Dalam pelajaran ini, kita akan melihat fungsi trigonometri dasar, sifat dan grafiknya, dan juga daftar jenis utama persamaan dan sistem trigonometri. Selain itu, kami menunjukkan solusi umum dari persamaan trigonometri paling sederhana dan kasus khusus mereka.
Pelajaran ini akan membantu Anda mempersiapkan diri untuk salah satu jenis tugas. B5 dan C1.
Persiapan untuk ujian matematika
Percobaan
Pelajaran 10 Persamaan trigonometri dan sistemnya.
Teori
Ringkasan pelajaran
Kami telah berulang kali menggunakan istilah "fungsi trigonometri". Kembali ke pelajaran pertama topik ini, kita mendefinisikannya menggunakan segitiga siku-siku dan lingkaran trigonometri satuan. Dengan menggunakan metode mendefinisikan fungsi trigonometri seperti itu, kita sudah dapat menyimpulkan bahwa bagi mereka satu nilai argumen (atau sudut) sesuai dengan tepat satu nilai fungsi, yaitu. kita berhak menyebut fungsi sinus, cosinus, tangen, dan kotangen dengan tepat.
Pada pelajaran kali ini, saatnya mencoba mengabstraksi dari metode yang telah dibahas sebelumnya untuk menghitung nilai fungsi trigonometri. Hari ini kita akan beralih ke pendekatan aljabar biasa untuk bekerja dengan fungsi, kita akan mempertimbangkan propertinya dan menggambar grafik.
Adapun sifat-sifat fungsi trigonometri, perhatian khusus harus diberikan pada:
Domain definisi dan rentang nilai, karena untuk sinus dan cosinus ada batasan pada rentang nilai, dan untuk tangen dan kotangen ada batasan pada rentang definisi;
Periodisitas semua fungsi trigonometri, karena kita telah mencatat keberadaan argumen bukan nol terkecil, yang penambahannya tidak mengubah nilai fungsi. Argumen seperti itu disebut periode fungsi dan dilambangkan dengan huruf . Untuk sinus/cosinus dan tangen/cotangen, periode ini berbeda.
Pertimbangkan sebuah fungsi:
1) Domain definisi;
2) Rentang nilai 
;
3) Fungsinya ganjil 
;
Mari kita plot fungsinya. Dalam hal ini, akan lebih mudah untuk memulai konstruksi dari gambar area, yang membatasi grafik dari atas dengan angka 1 dan dari bawah dengan angka , yang terkait dengan rentang fungsi. Selain itu, untuk memplot, berguna untuk mengingat nilai sinus dari beberapa sudut tabel utama, misalnya, bahwa Ini akan memungkinkan Anda untuk memplot "gelombang" lengkap pertama dari grafik dan kemudian menggambar ulang ke kanan dan kiri, mengambil keuntungan dari fakta bahwa gambar akan diulang dengan diimbangi oleh suatu periode, yaitu. pada .
Sekarang mari kita lihat fungsinya:
Properti utama dari fungsi ini:
1) Domain definisi;
2) Rentang nilai ;
3) Fungsinya genap 
Ini menyiratkan simetri grafik fungsi terhadap sumbu y;
4) Fungsi tidak monoton di seluruh domain definisinya;
Mari kita plot fungsinya. Seperti halnya ketika membangun sinus, akan lebih mudah untuk memulai dengan gambar area yang membatasi grafik dari atas dengan angka 1 dan dari bawah dengan angka , yang terkait dengan rentang fungsi. Kami juga akan memplot koordinat beberapa titik pada grafik, yang perlu diingat nilai kosinus dari beberapa sudut tabel utama, misalnya, dengan menggunakan titik-titik ini, kita dapat membangun "gelombang" lengkap pertama dari grafik dan kemudian menggambar ulang ke kanan dan kiri, mengambil keuntungan dari fakta bahwa gambar akan berulang dengan pergeseran periode, yaitu. pada .
Mari kita beralih ke fungsi:
Properti utama dari fungsi ini:
1) Domain definisi kecuali , dimana . Kami telah menunjukkan dalam pelajaran sebelumnya bahwa tidak ada. Pernyataan ini dapat digeneralisasi dengan memperhatikan periode tangen;
2) Rentang nilai, mis. nilai tangen tidak terbatas;
3) Fungsinya ganjil 
;
4) Fungsi meningkat secara monoton dalam apa yang disebut cabang tangen, yang sekarang akan kita lihat pada gambar;
5) Fungsi periodik dengan periode
Mari kita plot fungsinya. Dalam hal ini, akan lebih mudah untuk memulai konstruksi dari gambar asimtot vertikal grafik pada titik-titik yang tidak termasuk dalam domain definisi, yaitu. dll. Selanjutnya, kami menggambarkan cabang-cabang garis singgung di dalam masing-masing strip yang dibentuk oleh asimtot, menekannya ke asimtot kiri dan ke kanan. Pada saat yang sama, jangan lupa bahwa setiap cabang meningkat secara monoton. Kami menggambarkan semua cabang dengan cara yang sama, karena fungsi memiliki periode yang sama dengan . Hal ini dapat dilihat dari fakta bahwa setiap cabang diperoleh dengan menggeser cabang yang berdekatan sepanjang sumbu x.
Dan kami menyimpulkan dengan melihat fungsinya:
Properti utama dari fungsi ini:
1) Domain definisi kecuali , dimana . Menurut tabel nilai fungsi trigonometri, kita sudah tahu bahwa itu tidak ada. Pernyataan ini dapat digeneralisasi dengan memperhatikan periode kotangen;
2) Rentang nilai, mis. nilai kotangen tidak terbatas;
3) Fungsinya ganjil 
;
4) Fungsi secara monoton menurun di dalam cabang-cabangnya, yang mirip dengan cabang-cabang singgung;
5) Fungsi periodik dengan periode
Mari kita plot fungsinya. Dalam hal ini, untuk garis singgung, akan lebih mudah untuk memulai konstruksi dari gambar asimtot vertikal dari grafik pada titik-titik yang tidak termasuk dalam area definisi, yaitu. dll. Selanjutnya, kami menggambarkan cabang-cabang kotangen di dalam masing-masing strip yang dibentuk oleh asimtot, menekannya ke asimtot kiri dan ke kanan. Dalam hal ini, kami memperhitungkan bahwa setiap cabang menurun secara monoton. Semua cabang, mirip dengan garis singgung, digambarkan dengan cara yang sama, karena fungsi memiliki periode yang sama dengan .
Secara terpisah, perlu dicatat bahwa fungsi trigonometri dengan argumen yang kompleks mungkin memiliki periode yang tidak standar. Ini adalah fungsi dari formulir:
Mereka memiliki periode yang sama. Dan tentang fungsi:
Mereka memiliki periode yang sama.
Seperti yang Anda lihat, untuk menghitung periode baru, periode standar hanya dibagi dengan faktor dalam argumen. Itu tidak tergantung pada modifikasi fungsi lainnya.
Anda dapat memahami dan memahami lebih detail dari mana rumus ini berasal dalam pelajaran tentang membuat dan mengonversi grafik fungsi.
Kami telah sampai pada salah satu bagian terpenting dari topik "Trigonometri", yang akan kami curahkan untuk menyelesaikan persamaan trigonometri. Kemampuan untuk memecahkan persamaan tersebut penting, misalnya, ketika menjelaskan proses osilasi dalam fisika. Mari kita bayangkan bahwa Anda telah berkendara beberapa putaran di kart di mobil sport, memecahkan persamaan trigonometri akan membantu menentukan berapa lama Anda telah berpartisipasi dalam balapan, tergantung pada posisi mobil di trek.
Mari kita tulis persamaan trigonometri paling sederhana:
Solusi dari persamaan semacam itu adalah argumen, yang sinusnya sama dengan. Tapi kita sudah tahu bahwa karena periodisitas sinus, ada banyak sekali argumen seperti itu. Jadi, solusi dari persamaan ini adalah, dll. Hal yang sama berlaku untuk menyelesaikan persamaan trigonometri sederhana lainnya, akan ada jumlah tak terbatas.
Persamaan trigonometri dibagi menjadi beberapa tipe dasar. Secara terpisah, seseorang harus memikirkan yang paling sederhana, karena. semua sisanya direduksi menjadi mereka. Ada empat persamaan seperti itu (sesuai dengan jumlah fungsi trigonometri dasar). Bagi mereka, solusi umum diketahui, mereka harus diingat.
Persamaan trigonometri paling sederhana dan solusi umumnya terlihat seperti ini:
Harap dicatat bahwa nilai sinus dan cosinus harus memperhitungkan batasan yang kami ketahui. Jika, misalnya, , maka persamaan tidak memiliki solusi dan rumus ini tidak boleh diterapkan.
Selain itu, rumus akar ini berisi parameter dalam bentuk bilangan bulat arbitrer . Dalam kurikulum sekolah, ini adalah satu-satunya kasus ketika solusi persamaan tanpa parameter berisi parameter. Bilangan bulat arbitrer ini menunjukkan bahwa adalah mungkin untuk menuliskan jumlah tak hingga akar dari salah satu persamaan yang ditunjukkan hanya dengan mensubstitusi semua bilangan bulat secara bergantian.
Anda dapat berkenalan dengan penerimaan terperinci dari rumus-rumus ini dengan mengulangi bab "Persamaan Trigonometri" dalam program aljabar kelas 10.
Secara terpisah, perlu memperhatikan solusi kasus-kasus tertentu dari persamaan paling sederhana dengan sinus dan kosinus. Persamaan ini terlihat seperti:
Rumus untuk menemukan solusi umum tidak boleh diterapkan padanya. Persamaan seperti itu paling mudah diselesaikan menggunakan lingkaran trigonometri, yang memberikan hasil yang lebih sederhana daripada rumus solusi umum.
Sebagai contoh, solusi persamaan tersebut adalah 
. Cobalah untuk mendapatkan jawaban ini sendiri dan selesaikan sisa persamaan yang ditunjukkan.
Selain jenis persamaan trigonometri yang paling umum ditunjukkan, ada beberapa persamaan standar lainnya. Kami mencantumkannya, dengan mempertimbangkan yang telah kami tunjukkan:
1) Protozoa, Sebagai contoh, ;
2) Kasus khusus dari persamaan paling sederhana, Sebagai contoh, ;
3) Persamaan Argumen Kompleks, Sebagai contoh, 
;
4) Persamaan direduksi menjadi bentuk paling sederhana dengan menghilangkan faktor persekutuan, Sebagai contoh, ;
5) Persamaan direduksi menjadi bentuk paling sederhana dengan mengubah fungsi trigonometri, Sebagai contoh, ;
6) Persamaan yang Dapat Direduksi ke yang Paling Sederhana dengan Substitusi, Sebagai contoh, ;
7) persamaan homogen, Sebagai contoh, ;
8) Persamaan yang diselesaikan menggunakan sifat-sifat fungsi, Sebagai contoh, 
. Jangan terintimidasi oleh fakta bahwa persamaan ini memiliki dua variabel, diselesaikan pada waktu yang sama;
Serta persamaan yang diselesaikan menggunakan berbagai metode.
Selain menyelesaikan persamaan trigonometri, Anda juga harus dapat menyelesaikan sistemnya.
Jenis sistem yang paling umum adalah:
1) Di mana salah satu persamaannya adalah hukum pangkat, Sebagai contoh, 
;
2) Sistem persamaan trigonometri sederhana, Sebagai contoh, 
.
Dalam pelajaran hari ini, kita melihat fungsi trigonometri dasar, sifat dan grafiknya. Dan juga berkenalan dengan rumus umum untuk menyelesaikan persamaan trigonometri paling sederhana, menunjukkan jenis utama persamaan tersebut dan sistemnya.
Di bagian praktis pelajaran, kita akan menganalisis metode untuk menyelesaikan persamaan trigonometri dan sistemnya.
Kotak 1.Solusi kasus khusus persamaan trigonometri paling sederhana.
Seperti yang kami katakan di bagian utama pelajaran, kasus khusus persamaan trigonometri dengan sinus dan kosinus dalam bentuk:
memiliki solusi yang lebih sederhana daripada yang diberikan oleh rumus solusi umum.
Untuk ini, lingkaran trigonometri digunakan. Mari kita menganalisis metode untuk menyelesaikannya menggunakan persamaan sebagai contoh.
Gambarlah sebuah titik pada lingkaran trigonometri di mana nilai cosinusnya adalah nol, yang juga merupakan koordinat sepanjang sumbu x. Seperti yang Anda lihat, ada dua poin seperti itu. Tugas kita adalah menunjukkan sudut yang sesuai dengan titik-titik ini pada lingkaran.
 |
Kami mulai menghitung dari arah positif sumbu absis (sumbu kosinus) dan, ketika menunda sudut, kami sampai ke titik pertama yang ditunjukkan, yaitu. satu solusi adalah nilai sudut ini. Tapi kami masih puas dengan sudut yang sesuai dengan poin kedua. Bagaimana cara masuk ke dalamnya?
Fungsi trigonometri dari argumen numerik. Sifat dan grafik fungsi trigonometri.
definisi1: Fungsi numerik yang diberikan oleh rumus y=sin x disebut sinus.
Kurva ini disebut sinusoidal
Sifat-sifat fungsi y=sin x
2. Rentang fungsi: E(y)=[-1; satu]
3. Fungsi paritas:
y=sin x – ganjil,.
4. Periodisitas: sin(x+2πn)=sin x, di mana n adalah bilangan bulat.
Fungsi ini mengambil nilai yang sama setelah interval tertentu. Sifat suatu fungsi disebut periodisitas. Interval adalah periode fungsi.
Untuk fungsi y=sin x, periodenya adalah 2π.
Fungsi y=sin x periodik, dengan periode T=2πn, n adalah bilangan bulat.
Periode positif terkecil T=2π.
Secara matematis, ini dapat ditulis sebagai: sin(x+2πn)=sin x, di mana n adalah bilangan bulat.
definisi2: Fungsi numerik yang diberikan oleh rumus y=cosx disebut kosinus.
Sifat-sifat fungsi y=cos x
1. Lingkup fungsi: D(y)=R
2. Lingkup fungsi: E(y)=[-1;1]
3. Fungsi paritas:
y=cos x genap.
4. Periodisitas: cos(x+2πn)=cos x, di mana n adalah bilangan bulat.
Fungsi y=cos x periodik, dengan periode =2π.
Definisi 3: Fungsi numerik yang diberikan oleh rumus y=tg x disebut tangen.
Sifat-sifat fungsi y=tg x
1. Domain fungsi: D(y) - semua bilangan real kecuali /2+πk, k adalah bilangan bulat. Karena pada titik-titik ini tangen tidak terdefinisi.
2. Ruang lingkup fungsi: E(y)=R.
3. Fungsi paritas:
y=tg x ganjil.
4. Periodisitas: tg(x+πk)=tg x, di mana k adalah bilangan bulat.
Fungsi y=tg x periodik dengan periode .
Definisi 4: Fungsi numerik yang diberikan oleh rumus y=ctg x disebut kotangen.
Sifat fungsi y=ctg x
1. Domain fungsi: D(y) - semua bilangan real, kecuali k, k adalah bilangan bulat. Karena pada titik ini kotangen tidak ditentukan.
Fungsi trigonometri adalah fungsi dasar yang argumennya adalah injeksi. Fungsi trigonometri menggambarkan hubungan antara sisi dan sudut lancip di segitiga siku-siku. Area penerapan fungsi trigonometri sangat beragam. Jadi, misalnya, setiap proses periodik dapat direpresentasikan sebagai jumlah dari fungsi trigonometri (). Fungsi-fungsi ini sering muncul ketika menyelesaikan persamaan fungsional.
Fungsi trigonometri meliputi 6 fungsi berikut: sinus , kosinus , garis singgung , kotangens , garis potong dan kosekans. Untuk masing-masing fungsi tersebut, terdapat fungsi trigonometri terbalik .
Definisi geometris fungsi trigonometri diperkenalkan dengan mudah menggunakan lingkaran satuan . Gambar di bawah menunjukkan lingkaran dengan jari-jari \(r = 1\). Titik \(M\kiri((x,y) \kanan)\) ditandai pada lingkaran. Sudut antara vektor radius \(OM\) dan arah positif dari sumbu \(Ox\) sama dengan \(\alpha\).
sinus sudut \(\alpha\) adalah rasio ordinat \(y\) dari titik \(M\kiri((x,y) \kanan)\) terhadap jari-jari \(r\):
\(\sin \alfa = y/r\).
Karena \(r = 1\), maka sinus sama dengan ordinat titik \(M\kiri((x,y) \kanan)\).
kosinus sudut \(\alpha\) adalah rasio absis \(x\) dari titik \(M\left((x,y) \kanan)\) dengan jari-jari \(r\):
\(\cos \alfa = x/r\)
garis singgung sudut \(\alpha\) adalah rasio ordinat \(y\) dari titik \(M\kiri((x,y) \kanan)\) terhadap absisnya \(x\):
\(\tan \alpha = y/x,\;\;x \ne 0\)
Kotangens
sudut \(\alpha\) adalah rasio absis \(x\) dari titik \(M\kiri((x,y) \kanan)\) terhadap ordinatnya \(y\):
\(\cot \alpha = x/y,\;\;y \ne 0\)
Garis potong sudut \(\alpha\) adalah rasio jari-jari \(r\) terhadap absis \(x\) titik \(M\kiri((x,y) \kanan)\):
\(\sec \alpha = r/x = 1/x,\;\;x \ne 0\)
Kosekans sudut \(\alpha\) adalah rasio jari-jari \(r\) terhadap ordinat \(y\) dari titik \(M\kiri((x,y) \kanan)\):
\(\csc \alpha = r/y = 1/y,\;\;y \ne 0\)
Dalam lingkaran satuan proyeksi \(x\), \(y\) titik-titik \(M\kiri((x,y) \kanan)\) dan jari-jari \(r\) membentuk segitiga siku-siku di mana \( x,y \) adalah kaki, dan \(r\) adalah sisi miring. Oleh karena itu, definisi fungsi trigonometri di atas yang diterapkan pada segitiga siku-siku dirumuskan sebagai berikut:
sinus sudut \(\alpha\) adalah rasio kaki yang berlawanan dengan sisi miring.
kosinus sudut \(\alpha\) adalah rasio kaki yang berdekatan dengan sisi miring.
garis singgung sudut \(\alpha\) disebut kaki yang berlawanan dengan kaki yang berdekatan.
Kotangens
sudut \(\alpha\) disebut kaki yang berdekatan dengan yang berlawanan.
Garis potong sudut \(\alpha\) adalah rasio sisi miring ke kaki yang berdekatan.
Kosekans sudut \(\alpha\) adalah rasio sisi miring ke kaki yang berlawanan.
grafik fungsi sinus
\(y = \sin x\), domain: \(x \in \mathbb(R)\), domain: \(-1 \le \sin x \le 1\)
Grafik fungsi kosinus
\(y = \cos x\), domain: \(x \in \mathbb(R)\), domain: \(-1 \le \cos x \le 1\)
Rasio antara fungsi trigonometri utama - sinus, kosinus, tangen dan kotangen - diberikan rumus trigonometri. Dan karena ada cukup banyak hubungan antara fungsi trigonometri, ini juga menjelaskan banyaknya rumus trigonometri. Beberapa rumus menghubungkan fungsi trigonometri dari sudut yang sama, yang lain - fungsi beberapa sudut, yang lain - memungkinkan Anda untuk menurunkan derajat, yang keempat - untuk mengekspresikan semua fungsi melalui garis singgung setengah sudut, dll.
Dalam artikel ini, kami membuat daftar secara berurutan semua rumus trigonometri dasar, yang cukup untuk menyelesaikan sebagian besar masalah trigonometri. Untuk kemudahan menghafal dan penggunaan, kami akan mengelompokkannya sesuai dengan tujuannya, dan memasukkannya ke dalam tabel.
Navigasi halaman.
Identitas trigonometri dasar
Identitas trigonometri dasar mengatur hubungan antara sinus, cosinus, tangen dan kotangen dari satu sudut. Mereka mengikuti dari definisi sinus, cosinus, tangen dan kotangen, serta konsep lingkaran satuan. Mereka memungkinkan Anda untuk mengekspresikan satu fungsi trigonometri melalui yang lain.
Untuk penjelasan rinci tentang rumus trigonometri ini, turunan dan contoh aplikasinya, lihat artikel.
Cast formula
Cast formula mengikuti dari sifat-sifat sinus, kosinus, tangen dan kotangen, yaitu, mereka mencerminkan sifat periodisitas fungsi trigonometri, sifat simetri, dan juga sifat pergeseran dengan sudut tertentu. Rumus trigonometri ini memungkinkan Anda untuk beralih dari bekerja dengan sudut sembarang ke bekerja dengan sudut mulai dari nol hingga 90 derajat.
Alasan untuk formula ini, aturan mnemonik untuk menghafalnya, dan contoh penerapannya dapat dipelajari di artikel.
Rumus Tambahan
Rumus penjumlahan trigonometri menunjukkan bagaimana fungsi trigonometri dari jumlah atau perbedaan dua sudut dinyatakan dalam fungsi trigonometri dari sudut-sudut ini. Rumus-rumus ini berfungsi sebagai dasar untuk penurunan rumus trigonometri berikut.
Rumus untuk double, triple, dll. sudut
Rumus untuk double, triple, dll. sudut (juga disebut rumus sudut ganda) menunjukkan bagaimana fungsi trigonometri ganda, tiga, dll. sudut () dinyatakan dalam fungsi trigonometri sudut tunggal. Derivasi mereka didasarkan pada formula tambahan.
Informasi lebih rinci dikumpulkan dalam formula artikel untuk double, triple, dll. sudut .
Rumus Setengah Sudut
Rumus Setengah Sudut menunjukkan bagaimana fungsi trigonometri setengah sudut dinyatakan dalam kosinus sudut bilangan bulat. Rumus trigonometri ini mengikuti dari rumus sudut ganda.
Kesimpulan dan contoh penerapannya dapat ditemukan di artikel.
Rumus pengurangan
Rumus trigonometri untuk menurunkan derajat dirancang untuk memfasilitasi transisi dari kekuatan alami fungsi trigonometri ke sinus dan kosinus di tingkat pertama, tetapi banyak sudut. Dengan kata lain, mereka memungkinkan seseorang untuk mengurangi kekuatan fungsi trigonometri menjadi yang pertama.
Rumus jumlah dan selisih fungsi trigonometri
Tujuan utama rumus jumlah dan selisih fungsi trigonometri terdiri dari transisi ke produk fungsi, yang sangat berguna saat menyederhanakan ekspresi trigonometri. Rumus ini juga banyak digunakan dalam menyelesaikan persamaan trigonometri, karena memungkinkan pemfaktoran jumlah dan perbedaan sinus dan cosinus.
Rumus untuk produk sinus, cosinus dan sinus dengan cosinus
Transisi dari produk fungsi trigonometri ke jumlah atau perbedaan dilakukan melalui rumus untuk produk sinus, cosinus dan sinus dengan cosinus.
Hak Cipta oleh siswa pintar
Seluruh hak cipta.
Dilindungi oleh undang-undang hak cipta. Tidak ada bagian dari www.site, termasuk materi internal dan desain eksternal, yang boleh direproduksi dalam bentuk apa pun atau digunakan tanpa izin tertulis sebelumnya dari pemegang hak cipta.
Kami mengingat informasi dasar dari trigonometri yang diperlukan untuk hal-hal berikut.
Fungsi trigonometri awalnya dianggap sebagai fungsi sudut, karena nilai numerik masing-masing (jika masuk akal) ditentukan dengan menentukan sudut. Korespondensi satu-satu antara busur lingkaran dan sudut pusat memungkinkan untuk mempertimbangkan fungsi trigonometri sebagai fungsi busur. Misalnya, argumen fungsi dosa kami memiliki pilihan untuk menafsirkan sebagai sudut atau busur sesuka hati. Jadi, awalnya argumen fungsi trigonometri bertindak sebagai objek geometris - sudut atau busur. Namun, baik dalam matematika itu sendiri maupun dalam aplikasinya, ada kebutuhan untuk mempertimbangkan fungsi trigonometri sebagai fungsi dari argumen numerik. Bahkan dalam matematika sekolah, argumen fungsi trigonometri tidak selalu dianggap sebagai sudut. Jadi, misalnya, gerak osilasi harmonik diberikan oleh persamaan: s = Sebuah sinat. Di sini argumen t adalah waktu, bukan sudut (koefisien a adalah angka yang mencirikan frekuensi osilasi).
Proses pengukuran sudut (atau busur) menetapkan setiap sudut (busur) angka tertentu sebagai ukurannya. Sebagai hasil dari pengukuran sudut (busur), Anda bisa mendapatkan setiap bilangan real, karena kita dapat mempertimbangkan sudut berarah (busur) dengan ukuran berapa pun. Dengan memilih unit pengukuran tertentu untuk sudut (busur), dimungkinkan untuk menetapkan ke sembarang sudut (busur) angka yang mengukurnya, dan, sebaliknya, ke angka apa pun untuk mengaitkan sudut (busur) yang diukur dengan angka tertentu. Ini memungkinkan Anda untuk menafsirkan argumen fungsi trigonometri sebagai angka. Pertimbangkan beberapa fungsi trigonometri, misalnya, sinus. Biarkan x menjadi bilangan real apa pun, bilangan ini sesuai dengan sudut yang ditentukan dengan baik (busur), diukur dengan bilangan x, dan sudut yang dihasilkan (busur) sesuai dengan nilai sinus yang ditentukan dengan baik, sin x. Pada akhirnya, korespondensi antara angka diperoleh: untuk setiap bilangan real x ada bilangan real yang terdefinisi dengan baik y \u003d sin x. Oleh karena itu, sin x dapat diartikan sebagai fungsi argumen numerik. Ketika mempertimbangkan fungsi trigonometri sebagai fungsi dari argumen numerik, kami sepakat untuk mengambil sebagai unit pengukuran untuk busur dan sudut radian. Berdasarkan konvensi ini, simbol sin x, cos x, tgx dan ctg x harus ditafsirkan sebagai sinus, cosinus, tangen dan kotangen dari sudut (busur), ukuran radian yang dinyatakan dengan angka x. Sebagai contoh, dosa 2 adalah sinus busur yang diukur dalam dua radian *.
* (Perhatikan bahwa dalam beberapa manual, ukuran radian sangat disayangkan disebut abstrak, berbeda dengan ukuran derajat. Antara kedua metode pengukuran tidak ada perbedaan mendasar, hanya unit pengukuran yang berbeda yang dipilih. Sayangnya, dan tetap saja pertanyaan ini kadang-kadang menimbulkan omong kosong "metodologis" pseudo-ilmiah yang berbahaya.)
Memilih satuan ukuran untuk busur dan sudut tidak memiliki penting yang mendasar. Memilih radian tidak didikte kebutuhan. Radian ternyata hanya unit yang paling nyaman, karena dalam pengukuran radian, rumus analisis matematika yang terkait dengan fungsi trigonometri mengambil bentuk paling sederhana * .
* (Penyederhanaan ini dijelaskan oleh fakta bahwa dalam ukuran radian Mari kita ambil, misalnya, derajat sebagai satuan pengukuran sudut. Biarkan t dan x berturut-turut adalah derajat dan ukuran radian dari sudut yang diberikan, maka kita memiliki:
Hukum korespondensi antara nilai-nilai argumen dan fungsi trigonometri ditetapkan bukan dengan indikasi langsung dari operasi matematika (rumus) yang akan dilakukan pada argumen, tetapi secara geometris * . Namun, untuk dapat berbicara tentang suatu fungsi, perlu memiliki hukum korespondensi, yang dengannya setiap nilai argumen yang valid sesuai dengan nilai fungsi tertentu, tapi tidak penting bagaimana hukum ini dibentuk.
* (Melalui matematika dasar, tidak mungkin untuk membuat rumus yang menyatakan nilai fungsi trigonometri menggunakan operasi aljabar pada argumen. Rumus yang diketahui dari matematika tingkat tinggi yang menyatakan nilai fungsi trigonometri secara langsung melalui nilai argumen,
Fungsi sin x dan cos x masuk akal untuk setiap nilai nyata x, dan oleh karena itu domain definisinya adalah himpunan semua bilangan real.
Fungsi tg x didefinisikan untuk semua nilai riil x, Selain daripada bilangan berbentuk / 2 + kπ.
Fungsi ctg x didefinisikan untuk semua nilai real x, Selain daripada bilangan berbentuk kπ.
Jadi, argumen fungsi trigonometri, pada kebijaksanaan kami, dapat ditafsirkan sebagai sudut, atau sebagai busur, atau, akhirnya, sebagai angka. Menyebut argumen sebagai busur (atau sudut), Anda dapat mengartikannya bukan busur (atau sudut) itu sendiri, tetapi angka yang mengukurnya. Menjaga terminologi geometris, kita akan membiarkan diri kita sendiri alih-alih, misalnya, frasa seperti: "sinus angka / 2" untuk mengatakan: "sinus busur / 2".
Terminologi geometris nyaman karena mengingatkan kita pada gambar geometris yang sesuai.
Salah satu sifat terpenting dari fungsi trigonometri adalah periodisitasnya. Fungsi sin x dan cos x memiliki periode 2π. Ini berarti bahwa untuk setiap nilai x, persamaan terjadi:
sin x \u003d sin (x + 2π) \u003d sin (x + 4π) \u003d ... \u003d sin (x + 2kπ);
cos x \u003d cos (x + 2π) \u003d cos (x + 4π) \u003d ... \u003d cos (x + 2kπ),
di mana k- bilangan bulat apa pun.
Sebenarnya, fungsi sin x dan cos x memiliki set tak terbatas periode:
±2π, ±4π, ±6π, ... ±2kπ,
bilangan 2n, yang merupakan periode positif terkecil, biasanya disebut periode saja.
Properti periodisitas memiliki interpretasi geometris berikut: nilai fungsi trigonometri dosa x dan cos x tidak berubah jika bilangan bulat lingkaran ditambahkan (atau dikurangi) ke busur x. Jika fungsi dosa x atau cos x memiliki beberapa properti ketika nilai argumen x = a, maka ia memiliki properti yang sama untuk semua nilai a + 2kπ.
Fungsi tg x dan ctg x juga periodik, periodenya (positif terkecil) adalah bilangan .
Ketika mempelajari sifat-sifat fungsi periodik, cukup untuk mempertimbangkannya dalam beberapa interval yang sama besarnya dengan periode.
Mari kita daftar sifat-sifat utama fungsi trigonometri.
1°. fungsi sin x pada ruas 
(Saya dan saya kuartal negatif) meningkat. Nilai sinus di ujung segmen, yaitu di x = / 2 dan di x = - / 2 masing-masing sama dengan 1 dan -1.
2°. Berapa pun bilangan real k, nilai absolutnya tidak lebih besar dari 1, pada ruas - / 2 x≤ / 2 ada satu busur x = x 1, yang sinusnya sama dengan k. Dengan kata lain, di segmen sinus memiliki, dengan satu nilai tunggal argumen x \u003d x 1, nilai yang diberikan sewenang-wenang yang tidak melebihi 1 dalam nilai absolut.
Faktanya, menurut nilai sinus yang diberikan, adalah mungkin untuk membuat busur yang sesuai di perempat negatif I dan I dari lingkaran trigonometri (jari-jari lingkaran trigonometri akan selalu dianggap sama dengan 1). Cukup menandai segmen nilai k pada diameter vertikal (naik untuk k>0 dan turun untuk k
Sifat 1° dan 2° biasanya digabungkan dalam bentuk pernyataan kondisional berikut.
Pada segmen - / 2 x≤ / 2, sinus meningkat dari -1 menjadi 1.
Dengan menggunakan penalaran geometris yang serupa, atau menggunakan rumus reduksi sin (π - x) \u003d sin x, mudah untuk menetapkan bahwa pada segmen / 2 ≤x≤ 3π / 2 (yaitu, pada kuartal II dan III) sinus berkurang dari 1 sampai -1. Segmen - / 2 x≤ π / 2 dan / 2 x≤ 3π / 2 bersama-sama membentuk lingkaran penuh, yaitu menutupi periode penuh sinus. Studi lebih lanjut tentang sinus menjadi berlebihan, dan kita dapat menyatakan bahwa pada setiap segmen [- / 2 + 2kπ, / 2 + 2kπ] sinus meningkat dari -1 menjadi 1, dan pada setiap segmen [ / 2 + 2kπ, 3π / 2 +2kπ] sinus berkurang dari 1 menjadi -1. Grafik sinus ditunjukkan pada gambar 11.
Studi tentang kosinus dilakukan dengan cara yang sama. Sifat utama dari kosinus adalah:
Fungsi cos x pada segmen (yaitu, di kuartal I dan II) berkurang dari 1 ke -1. Pada segmen [π, 2π] (yaitu, di kuartal III dan IV), kosinus meningkat dari -1 menjadi 1. Karena periodisitas, kosinus berkurang dari 1 ke -1 pada segmen dan meningkat dari -1 menjadi 1 pada segmen [(2k-1), 2kπ] (Gbr. 12).
Pertimbangkan fungsi y = tg x dalam interval (- / 2 , / 2).
Nilai batas ± / 2 harus dikecualikan, karena tg (± / 2) tidak ada.
1°. Dalam interval (- / 2 , / 2) fungsi tg x meningkat.
2°. Berapapun bilangan real k, dalam selang - - / 2
Keberadaan dan keunikan busur x 1 mudah dibuktikan dari konstruksi geometrik yang disajikan pada gambar 13.
Jadi, dalam interval (- / 2, / 2) tangen meningkat dan, dengan satu nilai argumen, memiliki nilai riil yang diberikan secara arbitrer. Sifat 1° dan 2° dirumuskan secara singkat sebagai pernyataan berikut:
dalam interval (- / 2 , / 2) garis singgung meningkat dari -∞ ke .
Apa pun bilangan positif N yang diberikan (besar secara sewenang-wenang), nilai garis singgung lebih besar dari N untuk semua nilai x kurang dari /2 dan cukup dekat dengan /2. Secara simbolis, pernyataan ini ditulis sebagai berikut:
Untuk nilai x lebih besar dari - / 2 dan cukup dekat dengan - / 2 nilai y tg x
* (Seringkali mereka menulis tan / 2 = dan mengatakan bahwa nilai garis singgung π / 2 adalah . Pernyataan ini dalam pelajaran matematika dasar hanya dapat menyebabkan ide-ide anti-ilmiah yang konyol. Simbol bukan bilangan dan tidak dapat berupa nilai fungsi. Arti yang tepat di mana simbol ± harus digunakan dijelaskan dalam teks.)
Studi lebih lanjut tentang garis singgung tidak diperlukan, karena nilai interval (- / 2, / 2) sama dengan , yaitu, periode penuh garis singgung. Oleh karena itu, dalam setiap interval (- / 2 + , / 2 + ) tangen meningkat dari -∞ ke , dan pada titik x = (2k+1)π / 2 masuk akal. Grafik tangen ditunjukkan pada gambar 14.
Fungsi ctg x pada interval (0, ), serta pada setiap interval (kπ, (k+1)π) berkurang dari ke -∞, dan pada titik x = kπ kotangen tidak memiliki arti . Grafik kotangen ditunjukkan pada gambar 15.
