Transformasi persamaan kuadrat lengkap menjadi persamaan tidak lengkap terlihat seperti ini (untuk kasus \(b=0\)):

Untuk kasus ketika \(c=0\) atau ketika kedua koefisien sama dengan nol, semuanya serupa.

Harap dicatat bahwa \(a\) tidak sama dengan nol, tidak bisa sama dengan nol, karena dalam hal ini berubah menjadi:

Penyelesaian persamaan kuadrat tidak lengkap.

Pertama-tama, Anda perlu memahami bahwa persamaan kuadrat yang tidak lengkap masih, oleh karena itu, dapat diselesaikan dengan cara yang sama seperti kuadrat biasa (melalui). Untuk melakukan ini, kita cukup menambahkan komponen persamaan yang hilang dengan koefisien nol.

Contoh : Cari akar persamaan \(3x^2-27=0\)
Keputusan :

		Kami memiliki persamaan kuadrat yang tidak lengkap dengan koefisien \(b=0\). Artinya, kita dapat menulis persamaan dalam bentuk berikut:
\(3x^2+0\cdot x-27=0\)		Sebenarnya, di sini adalah persamaan yang sama seperti di awal, tetapi sekarang dapat diselesaikan sebagai persegi biasa. Pertama kita tulis koefisiennya.
\(a=3;\) \(b=0;\) \(c=-27;\)		Hitung diskriminan menggunakan rumus \(D=b^2-4ac\)
\(D=0^2-4\cdot3\cdot(-27)=\) \(=0+324=324\)		Mari kita cari akar persamaan menggunakan rumus \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) dan \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D) )(2a)\)
\(x_(1)=\) \(\frac(-0+\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(18)(6)\) \(=3\) \(x_(2)=\) \(\frac(-0-\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(-18)(6)\) \(=-3\)		Tulis jawabannya

Menjawab : \(x_(1)=3\); \(x_(2)=-3\)

Contoh : Temukan akar persamaan \(-x^2+x=0\)
Keputusan :

		Sekali lagi, persamaan kuadrat tidak lengkap, tetapi sekarang koefisien \(c\) sama dengan nol. Kami menulis persamaan sebagai lengkap.

Sekolah menengah pedesaan Kopyevskaya

10 Cara Menyelesaikan Persamaan Kuadrat

Kepala: Patrikeeva Galina Anatolyevna,

guru matematika

s.Kopyevo, 2007

1. Sejarah perkembangan persamaan kuadrat

1.1 Persamaan kuadrat di Babel kuno

1.2 Bagaimana Diophantus menyusun dan memecahkan persamaan kuadrat

1.3 Persamaan kuadrat di India

1.4 Persamaan kuadrat dalam al-Khawarizmi

1.5 Persamaan kuadrat di Eropa Abad XIII - XVII

1.6 Tentang teorema Vieta

2. Metode untuk menyelesaikan persamaan kuadrat

Kesimpulan

literatur

1. Sejarah perkembangan persamaan kuadrat

1.1 Persamaan kuadrat di Babel kuno

Kebutuhan untuk menyelesaikan persamaan tidak hanya dari yang pertama, tetapi juga dari tingkat kedua di zaman kuno disebabkan oleh kebutuhan untuk memecahkan masalah yang berkaitan dengan menemukan bidang tanah dan pekerjaan tanah yang bersifat militer, serta perkembangan astronomi dan matematika itu sendiri. Persamaan kuadrat mampu memecahkan sekitar 2000 SM. e. Babilonia.

Dengan menggunakan notasi aljabar modern, kita dapat mengatakan bahwa dalam teks paku mereka, selain yang tidak lengkap, ada, misalnya, persamaan kuadrat lengkap:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Aturan untuk memecahkan persamaan ini, yang dinyatakan dalam teks Babilonia, pada dasarnya bertepatan dengan yang modern, tetapi tidak diketahui bagaimana Babilonia sampai pada aturan ini. Hampir semua teks paku yang ditemukan sejauh ini hanya memberikan masalah dengan solusi yang dinyatakan dalam bentuk resep, tanpa menunjukkan bagaimana mereka ditemukan.

Meskipun perkembangan aljabar tingkat tinggi di Babel, teks-teks runcing tidak memiliki konsep bilangan negatif dan metode umum untuk memecahkan persamaan kuadrat.

1.2 Bagaimana Diophantus menyusun dan memecahkan persamaan kuadrat.

Aritmatika Diophantus tidak memuat eksposisi sistematis aljabar, tetapi memuat rangkaian masalah yang sistematis, disertai dengan penjelasan dan diselesaikan dengan merumuskan persamaan berbagai derajat.

Saat menyusun persamaan, Diophantus dengan terampil memilih yang tidak diketahui untuk menyederhanakan solusinya.

Di sini, misalnya, adalah salah satu tugasnya.

Tugas 11."Temukan dua angka yang mengetahui bahwa jumlah mereka adalah 20 dan produk mereka adalah 96"

Diophantus berpendapat sebagai berikut: mengikuti dari kondisi masalah bahwa angka yang diinginkan tidak sama, karena jika mereka sama, maka produk mereka tidak akan sama dengan 96, tetapi dengan 100. Dengan demikian, salah satunya akan lebih dari setengah dari jumlah mereka, yaitu . 10+x, yang lainnya lebih kecil, yaitu 10-an. Perbedaan di antara mereka 2x .

Oleh karena itu persamaan:

(10 + x)(10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

Dari sini x = 2. Salah satu nomor yang diinginkan adalah 12 , lainnya 8 . Keputusan x = -2 karena Diophantus tidak ada, karena matematika Yunani hanya mengetahui bilangan positif.

Jika kita memecahkan masalah ini dengan memilih salah satu angka yang diinginkan sebagai yang tidak diketahui, maka kita akan sampai pada solusi persamaan

y(20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

Jelas bahwa Diophantus menyederhanakan solusi dengan memilih setengah selisih dari angka yang diinginkan sebagai yang tidak diketahui; ia berhasil mengurangi masalah menjadi penyelesaian persamaan kuadrat yang tidak lengkap (1).

1.3 Persamaan kuadrat di India

Masalah untuk persamaan kuadrat sudah ditemukan di saluran astronomi "Aryabhattam", yang disusun pada tahun 499 oleh ahli matematika dan astronom India Aryabhatta. Ilmuwan India lainnya, Brahmagupta (abad ke-7), menguraikan aturan umum untuk memecahkan persamaan kuadrat yang direduksi menjadi bentuk kanonik tunggal:

ah 2+ b x = c, a > 0. (1)

Dalam persamaan (1), koefisien, kecuali untuk sebuah, bisa juga negatif. Aturan Brahmagupta pada dasarnya bertepatan dengan kita.

Di India kuno, kompetisi publik dalam memecahkan masalah sulit adalah hal biasa. Dalam salah satu buku India kuno, berikut ini dikatakan tentang kompetisi semacam itu: “Seperti halnya matahari menyinari bintang-bintang dengan kecemerlangannya, demikian pula orang yang terpelajar akan lebih cemerlang dari kemuliaan orang lain dalam pertemuan-pertemuan publik, mengusulkan dan memecahkan masalah aljabar.” Tugas sering didandani dalam bentuk puitis.

Inilah salah satu masalah matematikawan India terkenal abad XII. Bhaskara.

Tugas 13.

“Kawanan monyet yang lincah Dan dua belas di tanaman merambat ...

Setelah makan kekuatan, bersenang-senang. Mereka mulai melompat, menggantung ...

Bagian delapan dari mereka di kotak Berapa banyak monyet di sana,

Bersenang-senang di padang rumput. Anda memberitahu saya, dalam kawanan ini?

Solusi Bhaskara menunjukkan bahwa dia tahu tentang akar persamaan kuadrat dua nilai (Gbr. 3).

Persamaan yang sesuai dengan masalah 13 adalah:

( x /8) 2 + 12 = x

Bhaskara menulis dengan kedok:

x 2 - 64x = -768

dan, untuk melengkapi sisi kiri persamaan ini menjadi persegi, ia menjumlahkan kedua sisinya 32 2 , diperoleh maka:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Persamaan kuadrat di al-Khorezmi

Risalah aljabar Al-Khorezmi memberikan klasifikasi persamaan linier dan kuadrat. Penulis membuat daftar 6 jenis persamaan, yang menyatakannya sebagai berikut:

1) "Persegi sama dengan akar", mis. sumbu 2 + c = b X.

2) "Persegi sama dengan angka", mis. sumbu 2 = s.

3) "Akar sama dengan angka", mis. ah = s.

4) "Kuadrat dan angka sama dengan akar", mis. sumbu 2 + c = b X.

5) "Kuadrat dan akar sama dengan angka", mis. ah 2+ bx = s.

6) "Akar dan angka sama dengan kuadrat", mis. bx + c \u003d kapak 2.

Bagi al-Khawarizmi, yang menghindari penggunaan bilangan negatif, suku-suku dari masing-masing persamaan ini adalah penjumlahan, bukan pengurangan. Dalam hal ini, persamaan yang tidak memiliki solusi positif jelas tidak diperhitungkan. Penulis menguraikan metode penyelesaian persamaan tersebut, dengan menggunakan metode al-jabr dan al-muqabala. Keputusannya, tentu saja, tidak sepenuhnya sesuai dengan keputusan kita. Belum lagi fakta bahwa itu murni retoris, perlu dicatat, misalnya, bahwa ketika menyelesaikan persamaan kuadrat yang tidak lengkap dari tipe pertama

al-Khorezmi, seperti semua matematikawan sebelum abad ke-17, tidak memperhitungkan solusi nol, mungkin karena itu tidak penting dalam masalah praktis tertentu. Ketika memecahkan persamaan kuadrat lengkap, al-Khorezmi menetapkan aturan untuk memecahkan, dan kemudian bukti geometris, menggunakan contoh numerik tertentu.

Tugas 14.“Kuadrat dan angka 21 sama dengan 10 akar. Temukan akarnya" (dengan asumsi akar persamaan x 2 + 21 = 10x).

Solusi penulis berjalan seperti ini: bagi jumlah akar menjadi dua, Anda mendapatkan 5, kalikan 5 dengan dirinya sendiri, kurangi 21 dari produk, 4. Ambil akar dari 4, Anda mendapatkan 2. Kurangi 2 dari 5, Anda dapatkan 3, ini akan menjadi root yang diinginkan. Atau tambahkan 2 hingga 5, yang akan menghasilkan 7, ini juga merupakan root.

Risalah al - Khorezmi adalah buku pertama yang sampai kepada kita, di mana klasifikasi persamaan kuadrat dinyatakan secara sistematis dan formula untuk solusinya diberikan.

1.5 Persamaan kuadrat di Eropa XIII - XVII abad

Rumus untuk memecahkan persamaan kuadrat pada model al - Khorezmi di Eropa pertama kali dituangkan dalam "Book of the Abacus", yang ditulis pada tahun 1202 oleh matematikawan Italia Leonardo Fibonacci. Karya yang sangat banyak ini, yang mencerminkan pengaruh matematika, baik di negara-negara Islam maupun Yunani Kuno, dibedakan oleh kelengkapan dan kejelasan penyajiannya. Penulis secara mandiri mengembangkan beberapa contoh aljabar baru untuk pemecahan masalah dan merupakan yang pertama di Eropa yang mendekati pengenalan bilangan negatif. Bukunya berkontribusi pada penyebaran pengetahuan aljabar tidak hanya di Italia, tetapi juga di Jerman, Prancis, dan negara-negara Eropa lainnya. Banyak tugas dari "Book of the Abacus" masuk ke hampir semua buku teks Eropa abad ke-16 - ke-17. dan sebagian XVIII.

Aturan umum untuk menyelesaikan persamaan kuadrat direduksi menjadi bentuk kanonik tunggal:

x 2+ bx = dengan,

untuk semua kemungkinan kombinasi tanda-tanda koefisien b , dengan diformulasikan di Eropa hanya pada tahun 1544 oleh M. Stiefel.

Vieta memiliki turunan umum dari rumus untuk memecahkan persamaan kuadrat, tetapi Vieta hanya mengenali akar positif. Matematikawan Italia Tartaglia, Cardano, Bombelli termasuk yang pertama di abad ke-16. Memperhitungkan, selain akar positif, dan negatif. Hanya di abad XVII. Berkat karya Girard, Descartes, Newton, dan ilmuwan lainnya, cara menyelesaikan persamaan kuadrat menjadi modern.

1.6 Tentang teorema Vieta

Teorema yang menyatakan hubungan antara koefisien persamaan kuadrat dan akarnya, dengan nama Vieta, dirumuskan olehnya untuk pertama kalinya pada tahun 1591 sebagai berikut: “Jika B + D dikalikan dengan A - A 2 , sama dengan BD, kemudian A sama dengan PADA dan sama D ».

Untuk memahami Vieta, seseorang harus ingat itu TETAPI, seperti vokal apa pun, berarti baginya yang tidak diketahui (kami X), vokal PADA, D- koefisien untuk yang tidak diketahui. Dalam bahasa aljabar modern, rumusan Vieta di atas berarti: jika

(a + b )x - x 2 = ab ,

x 2 - (a + b )x + a b = 0,

x 1 = a, x 2 = b .

Mengekspresikan hubungan antara akar dan koefisien persamaan dengan rumus umum yang ditulis menggunakan simbol, Viet menetapkan keseragaman dalam metode penyelesaian persamaan. Namun, simbolisme Vieta masih jauh dari bentuk modernnya. Dia tidak mengenali bilangan negatif, dan karena itu, ketika menyelesaikan persamaan, dia hanya mempertimbangkan kasus di mana semua akarnya positif.

2. Metode untuk menyelesaikan persamaan kuadrat

Persamaan kuadrat adalah fondasi tempat berdirinya bangunan aljabar yang megah. Persamaan kuadrat banyak digunakan dalam menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan trigonometri, eksponensial, logaritmik, irasional, dan transendental. Kita semua tahu bagaimana memecahkan persamaan kuadrat dari sekolah (kelas 8) sampai lulus.

Kami terus mempelajari topik solusi persamaan". Kita sudah berkenalan dengan persamaan linear dan sekarang kita akan berkenalan dengan persamaan kuadrat.

Pertama, kita akan membahas apa itu persamaan kuadrat, bagaimana persamaan itu ditulis dalam bentuk umum, dan memberikan definisi terkait. Setelah itu, dengan menggunakan contoh, kami akan menganalisis secara rinci bagaimana persamaan kuadrat yang tidak lengkap diselesaikan. Selanjutnya, mari kita beralih ke penyelesaian persamaan lengkap, mendapatkan rumus untuk akar-akarnya, berkenalan dengan diskriminan persamaan kuadrat, dan mempertimbangkan solusi untuk contoh-contoh tipikal. Akhirnya, kami menelusuri hubungan antara akar dan koefisien.

Navigasi halaman.

Apa itu persamaan kuadrat? Tipe mereka

Pertama, Anda perlu memahami dengan jelas apa persamaan kuadrat itu. Oleh karena itu, sangatlah logis untuk mulai membicarakan persamaan kuadrat dengan definisi persamaan kuadrat, serta definisi yang terkait dengannya. Setelah itu, Anda dapat mempertimbangkan jenis utama persamaan kuadrat: persamaan tereduksi dan tidak tereduksi, serta persamaan lengkap dan tidak lengkap.

Pengertian dan contoh persamaan kuadrat

Definisi.

Persamaan kuadrat adalah persamaan bentuk a x 2 + b x + c = 0, di mana x adalah variabel, a , b dan c adalah beberapa angka, dan a berbeda dari nol.

Katakanlah segera bahwa persamaan kuadrat sering disebut persamaan derajat kedua. Karena persamaan kuadrat adalah persamaan aljabar tingkat dua.

Definisi yang terdengar memungkinkan kita untuk memberikan contoh persamaan kuadrat. Jadi 2 x 2 +6 x+1=0, 0,2 x 2 +2,5 x+0,03=0, dst. adalah persamaan kuadrat.

Definisi.

angka a , b dan c disebut koefisien persamaan kuadrat a x 2 + b x + c \u003d 0, dan koefisien a disebut koefisien pertama, atau senior, atau pada x 2, b adalah koefisien kedua, atau koefisien pada x, dan c adalah anggota bebas.

Sebagai contoh, mari kita ambil persamaan kuadrat dalam bentuk 5 x 2 2 x−3=0, di sini koefisien utamanya adalah 5, koefisien kedua adalah 2, dan suku bebasnya adalah 3. Perhatikan bahwa ketika koefisien b dan/atau c negatif, seperti dalam contoh yang baru saja diberikan, bentuk singkat dari persamaan kuadrat dari bentuk 5 x 2 2 x−3=0 digunakan, bukan 5 x 2 +(− 2 )x+(−3)=0 .

Perlu dicatat bahwa ketika koefisien a dan / atau b sama dengan 1 atau 1, maka mereka biasanya tidak secara eksplisit hadir dalam notasi persamaan kuadrat, yang disebabkan oleh kekhasan notasi tersebut . Misalnya, dalam persamaan kuadrat y 2 y+3=0, koefisien utama adalah satu, dan koefisien di y adalah 1.

Persamaan kuadrat tereduksi dan tak tereduksi

Bergantung pada nilai koefisien utama, persamaan kuadrat tereduksi dan non-reduksi dibedakan. Mari kita berikan definisi yang sesuai.

Definisi.

Persamaan kuadrat di mana koefisien utama adalah 1 disebut persamaan kuadrat tereduksi. Jika tidak, persamaan kuadratnya adalah tidak dikurangi.

Menurut definisi ini, persamaan kuadrat x 2 3 x+1=0 , x 2 x−2/3=0, dst. - dikurangi, di masing-masing dari mereka koefisien pertama sama dengan satu. Dan 5 x 2 x−1=0 , dst. - persamaan kuadrat yang tidak direduksi, koefisien utamanya berbeda dari 1 .

Dari persamaan kuadrat yang tidak tereduksi, dengan membagi kedua bagiannya dengan koefisien utama, Anda dapat beralih ke yang tereduksi. Tindakan ini merupakan transformasi ekuivalen, yaitu persamaan kuadrat tereduksi yang diperoleh dengan cara ini memiliki akar yang sama dengan persamaan kuadrat non-reduksi asli, atau, seperti itu, tidak memiliki akar.

Mari kita ambil contoh bagaimana transisi dari persamaan kuadrat tak tereduksi ke persamaan tereduksi dilakukan.

Contoh.

Dari persamaan 3 x 2 +12 x−7=0, lanjutkan ke persamaan kuadrat tereduksi yang sesuai.

Keputusan.

Cukup bagi kita untuk melakukan pembagian kedua bagian persamaan asli dengan koefisien terkemuka 3, itu bukan nol, sehingga kita dapat melakukan tindakan ini. Kami memiliki (3 x 2 +12 x−7):3=0:3 , yang sama dengan (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0 , dan seterusnya (3 :3) x 2 +(12:3) x−7:3=0 , dari mana . Jadi kami mendapatkan persamaan kuadrat tereduksi, yang setara dengan yang asli.

Menjawab:

Persamaan kuadrat lengkap dan tidak lengkap

Ada kondisi a≠0 dalam definisi persamaan kuadrat. Kondisi ini diperlukan agar persamaan a x 2 +b x+c=0 benar-benar kuadrat, karena dengan a=0 sebenarnya menjadi persamaan linier berbentuk b x+c=0 .

Adapun koefisien b dan c, mereka bisa sama dengan nol, baik secara terpisah maupun bersama-sama. Dalam kasus ini, persamaan kuadrat disebut tidak lengkap.

Definisi.

Persamaan kuadrat a x 2 +b x+c=0 disebut tidak lengkap, jika setidaknya salah satu dari koefisien b , c sama dengan nol.

Pada gilirannya

Definisi.

Persamaan kuadrat lengkap adalah persamaan di mana semua koefisien berbeda dari nol.

Nama-nama ini tidak diberikan secara kebetulan. Ini akan menjadi jelas dari diskusi berikut.

Jika koefisien b sama dengan nol, maka persamaan kuadrat menjadi a x 2 +0 x+c=0 , dan setara dengan persamaan a x 2 +c=0 . Jika c=0 , yaitu, persamaan kuadrat berbentuk a x 2 +b x+0=0 , maka dapat ditulis ulang menjadi a x 2 +b x=0 . Dan dengan b=0 dan c=0 kita mendapatkan persamaan kuadrat a·x 2 =0. Persamaan yang dihasilkan berbeda dari persamaan kuadrat penuh karena ruas kirinya tidak mengandung suku dengan variabel x, atau suku bebas, atau keduanya. Karenanya namanya - persamaan kuadrat tidak lengkap.

Jadi persamaan x 2 +x+1=0 dan 2 x 2 5 x+0,2=0 adalah contoh persamaan kuadrat lengkap, dan x 2 =0, 2 x 2 =0, 5 x 2 +3 =0 , x 2 5 x=0 adalah persamaan kuadrat yang tidak lengkap.

Memecahkan persamaan kuadrat yang tidak lengkap

Ini mengikuti dari informasi paragraf sebelumnya bahwa ada tiga jenis persamaan kuadrat tidak lengkap:

• a x 2 =0 , koefisien b=0 dan c=0 sesuai dengan itu;
• a x 2 +c=0 saat b=0 ;
• dan a x 2 +b x=0 saat c=0 .

Mari kita menganalisis secara berurutan bagaimana persamaan kuadrat yang tidak lengkap dari masing-masing jenis ini diselesaikan.

a x 2 \u003d 0

Mari kita mulai dengan menyelesaikan persamaan kuadrat tidak lengkap di mana koefisien b dan c sama dengan nol, yaitu dengan persamaan berbentuk a x 2 =0. Persamaan a·x 2 =0 ekuivalen dengan persamaan x 2 =0, yang diperoleh dari asal dengan membagi kedua bagiannya dengan bilangan bukan nol a. Jelas, akar persamaan x 2 \u003d 0 adalah nol, karena 0 2 \u003d 0. Persamaan ini tidak memiliki akar-akar lain, yang dijelaskan, memang, untuk sembarang bilangan tak nol p, ketidaksamaan p 2 >0 terjadi, yang menyiratkan bahwa untuk p≠0, persamaan p 2 =0 tidak pernah tercapai.

Jadi, persamaan kuadrat tidak lengkap a x 2 \u003d 0 memiliki akar tunggal x \u003d 0.

Sebagai contoh, kami memberikan solusi dari persamaan kuadrat tidak lengkap 4·x 2 =0. Ini setara dengan persamaan x 2 \u003d 0, satu-satunya akarnya adalah x \u003d 0, oleh karena itu, persamaan asli memiliki satu akar nol.

Solusi singkat dalam hal ini dapat dikeluarkan sebagai berikut:
4 x 2 \u003d 0,
x 2 \u003d 0,
x=0 .

a x 2 + c = 0

Sekarang perhatikan bagaimana persamaan kuadrat yang tidak lengkap diselesaikan, di mana koefisien b sama dengan nol, dan c≠0, yaitu, persamaan berbentuk a x 2 +c=0. Kita tahu bahwa pemindahan suku dari satu sisi persamaan ke sisi lain yang berlawanan tanda, serta pembagian kedua sisi persamaan dengan bilangan bukan nol, menghasilkan persamaan yang setara. Oleh karena itu, transformasi ekivalen berikut dari persamaan kuadrat tak lengkap a x 2 +c=0 dapat dilakukan:

• pindahkan c ke ruas kanan, yang memberikan persamaan a x 2 = c,
• dan membagi kedua bagiannya dengan a , kita dapatkan .

Persamaan yang dihasilkan memungkinkan kita untuk menarik kesimpulan tentang akarnya. Bergantung pada nilai a dan c, nilai ekspresi bisa negatif (misalnya, jika a=1 dan c=2 , maka ) atau positif, (misalnya, jika a=−2 dan c=6 , maka ), tidak sama dengan nol , karena dengan syarat c≠0 . Kami akan menganalisis kasus dan .

Jika , maka persamaan tidak memiliki akar. Pernyataan ini mengikuti fakta bahwa kuadrat dari bilangan apa pun adalah bilangan non-negatif. Dari sini dapat disimpulkan bahwa ketika , maka untuk sembarang bilangan p persamaan tidak mungkin benar.

Jika , maka situasi dengan akar persamaan berbeda. Dalam hal ini, jika kita mengingat tentang, maka akar persamaan segera menjadi jelas, itu adalah bilangan, sejak. Mudah ditebak bahwa bilangan tersebut juga merupakan akar dari persamaan , memang, . Persamaan ini tidak memiliki akar lain, yang dapat ditunjukkan, misalnya, dengan kontradiksi. Ayo lakukan.

Mari kita nyatakan akar persamaan yang hanya disuarakan sebagai x 1 dan x 1 . Misalkan persamaan memiliki akar lain x 2 yang berbeda dari akar yang ditunjukkan x 1 dan x 1 . Diketahui bahwa substitusi ke dalam persamaan alih-alih x dari akar-akarnya mengubah persamaan menjadi persamaan numerik sejati. Untuk x 1 dan x 1 kita miliki , dan untuk x 2 kita miliki . Sifat-sifat persamaan numerik memungkinkan kita untuk melakukan pengurangan suku demi suku dari persamaan numerik yang sebenarnya, jadi mengurangkan bagian persamaan yang sesuai menghasilkan x 1 2 x 2 2 =0. Sifat-sifat operasi dengan angka memungkinkan kita untuk menulis ulang persamaan yang dihasilkan sebagai (x 1 x 2)·(x 1 + x 2)=0 . Kita tahu bahwa hasil kali dua bilangan sama dengan nol jika dan hanya jika paling sedikit salah satunya sama dengan nol. Oleh karena itu, dari persamaan yang diperoleh diperoleh bahwa x 1 x 2 =0 dan/atau x 1 +x 2 =0 , yang sama, x 2 =x 1 dan/atau x 2 = x 1 . Jadi kita sampai pada kontradiksi, karena pada awalnya kita mengatakan bahwa akar persamaan x 2 berbeda dengan x 1 dan x 1 . Ini membuktikan bahwa persamaan tersebut tidak memiliki akar selain dan .

Mari kita rangkum informasi dalam paragraf ini. Persamaan kuadrat tidak lengkap a x 2 +c=0 setara dengan persamaan , yang

• tidak memiliki akar jika ,
• memiliki dua akar dan jika .

Perhatikan contoh penyelesaian persamaan kuadrat tidak lengkap dalam bentuk a·x 2 +c=0 .

Mari kita mulai dengan persamaan kuadrat 9 x 2 +7=0 . Setelah memindahkan suku bebas ke ruas kanan persamaan, akan berbentuk 9·x 2 =−7. Membagi kedua sisi persamaan yang dihasilkan dengan 9 , kita sampai di . Karena bilangan negatif diperoleh di ruas kanan, persamaan ini tidak memiliki akar, oleh karena itu, persamaan kuadrat tidak lengkap asli 9 x 2 +7=0 tidak memiliki akar.

Mari selesaikan satu lagi persamaan kuadrat tidak lengkap x 2 +9=0. Kami mentransfer sembilan ke sisi kanan: -x 2 \u003d -9. Sekarang kita bagi kedua bagian dengan 1, kita mendapatkan x 2 =9. Sisi kanan berisi angka positif, dari mana kita menyimpulkan bahwa atau . Setelah kita menuliskan jawaban akhir: persamaan kuadrat tidak lengkap x 2 +9=0 memiliki dua akar x=3 atau x=−3.

a x 2 + b x = 0

Masih berurusan dengan solusi dari jenis terakhir persamaan kuadrat tidak lengkap untuk c=0 . Persamaan kuadrat tidak lengkap dari bentuk a x 2 +b x=0 memungkinkan Anda untuk memecahkan metode faktorisasi. Jelas, kita dapat, terletak di sisi kiri persamaan, yang cukup untuk mengambil faktor persekutuan x dari tanda kurung. Hal ini memungkinkan kita untuk berpindah dari persamaan kuadrat tidak lengkap asli ke persamaan ekuivalen dengan bentuk x·(a·x+b)=0 . Dan persamaan ini setara dengan himpunan dua persamaan x=0 dan a x+b=0 , yang terakhir adalah linier dan memiliki akar x=−b/a .

Jadi, persamaan kuadrat tidak lengkap a x 2 +b x=0 memiliki dua akar x=0 dan x=−b/a.

Untuk mengkonsolidasikan materi, kami akan menganalisis solusi dari contoh spesifik.

Contoh.

Memecahkan persamaan.

Keputusan.

Kami mengambil x dari tanda kurung, ini memberikan persamaan. Ini setara dengan dua persamaan x=0 dan . Kami memecahkan persamaan linier yang dihasilkan: , dan setelah membagi bilangan campuran dengan pecahan biasa, kami menemukan . Oleh karena itu, akar-akar persamaan awal adalah x=0 dan .

Setelah mendapatkan latihan yang diperlukan, solusi persamaan tersebut dapat ditulis secara singkat:

Menjawab:

x=0 , .

Diskriminan, rumus akar-akar persamaan kuadrat

Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat, ada rumus akar. Ayo tulis rumus akar persamaan kuadrat: , di mana D=b 2 4 a c- disebut diskriminan persamaan kuadrat. Notasi tersebut pada dasarnya berarti .

Sangat berguna untuk mengetahui bagaimana rumus akar diperoleh, dan bagaimana penerapannya dalam mencari akar persamaan kuadrat. Mari kita tangani ini.

Turunan dari rumus akar-akar persamaan kuadrat

Mari kita selesaikan persamaan kuadrat a·x 2 +b·x+c=0 . Mari kita lakukan beberapa transformasi yang setara:

• Kita dapat membagi kedua bagian persamaan ini dengan angka bukan nol a, sebagai hasilnya kita mendapatkan persamaan kuadrat tereduksi.
• Sekarang pilih kotak penuh di sebelah kirinya: . Setelah itu, persamaan akan berbentuk .
• Pada tahap ini, dimungkinkan untuk melakukan pemindahan dua suku terakhir ke ruas kanan dengan tanda yang berlawanan, kita miliki .
• Dan mari kita juga mengubah ekspresi di sisi kanan: .

Hasilnya, kita sampai pada persamaan , yang ekuivalen dengan persamaan kuadrat asli a·x 2 +b·x+c=0 .

Kami telah memecahkan persamaan serupa dalam bentuk di paragraf sebelumnya ketika kami menganalisis. Hal ini memungkinkan kita untuk menarik kesimpulan berikut mengenai akar persamaan:

• jika , maka persamaan tersebut tidak memiliki solusi nyata;
• jika , maka persamaan memiliki bentuk , Oleh karena itu, , dari mana akar satu-satunya terlihat;
• jika , maka atau , yang sama dengan atau , yaitu, persamaan memiliki dua akar.

Jadi, ada atau tidaknya akar-akar persamaan, dan karenanya persamaan kuadrat asli, bergantung pada tanda ekspresi di ruas kanan. Pada gilirannya, tanda dari ekspresi ini ditentukan oleh tanda pembilangnya, karena penyebutnya 4 a 2 selalu positif, yaitu, tanda dari ekspresi b 2 4 a c . Ungkapan ini b 2 4 a c disebut diskriminan persamaan kuadrat dan ditandai dengan huruf D. Dari sini, esensi diskriminan jelas - dengan nilai dan tandanya, disimpulkan apakah persamaan kuadrat memiliki akar nyata, dan jika demikian, berapa nomornya - satu atau dua.

Kami kembali ke persamaan , menulis ulang menggunakan notasi diskriminan: . Dan kami menyimpulkan:

• jika D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• jika D=0, maka persamaan ini memiliki akar tunggal;
• akhirnya, jika D>0, maka persamaan memiliki dua akar atau , yang dapat ditulis ulang dalam bentuk atau , dan setelah memperluas dan mengurangi pecahan ke penyebut yang sama, kita mendapatkan .

Jadi kami menurunkan rumus untuk akar persamaan kuadrat, mereka terlihat seperti , di mana diskriminan D dihitung dengan rumus D=b 2 4 a c .

Dengan bantuan mereka, dengan diskriminan positif, Anda dapat menghitung kedua akar real dari persamaan kuadrat. Ketika diskriminan sama dengan nol, kedua rumus memberikan nilai akar yang sama yang sesuai dengan satu-satunya solusi persamaan kuadrat. Dan dengan diskriminan negatif, ketika mencoba menggunakan rumus untuk akar persamaan kuadrat, kita dihadapkan dengan mengekstrak akar kuadrat dari bilangan negatif, yang membawa kita keluar dari cakupan kurikulum sekolah. Dengan diskriminan negatif, persamaan kuadrat tidak memiliki akar real, tetapi memiliki pasangan konjugasi kompleks akar, yang dapat ditemukan menggunakan rumus akar yang sama yang kita peroleh.

Algoritma untuk menyelesaikan persamaan kuadrat menggunakan rumus akar

Dalam praktiknya, saat memecahkan persamaan kuadrat, Anda dapat langsung menggunakan rumus akar, yang dapat digunakan untuk menghitung nilainya. Tapi ini lebih tentang menemukan akar yang kompleks.

Namun, dalam kursus aljabar sekolah, kita biasanya tidak berbicara tentang kompleks, tetapi tentang akar nyata dari persamaan kuadrat. Dalam hal ini, disarankan untuk mencari diskriminan terlebih dahulu sebelum menggunakan rumus untuk akar-akar persamaan kuadrat, pastikan tidak negatif (jika tidak, kita dapat menyimpulkan bahwa persamaan tidak memiliki akar real), dan setelah itu menghitung nilai akar.

Alasan di atas memungkinkan kita untuk menulis algoritma untuk menyelesaikan persamaan kuadrat. Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat a x 2 + b x + c \u003d 0, Anda perlu:

• menggunakan rumus diskriminan D=b 2 4 a c hitung nilainya;
• menyimpulkan bahwa persamaan kuadrat tidak memiliki akar real jika diskriminan negatif;
• hitung satu-satunya akar persamaan menggunakan rumus jika D=0 ;
• temukan dua akar real dari persamaan kuadrat menggunakan rumus akar jika diskriminannya positif.

Di sini kami hanya mencatat bahwa jika diskriminan sama dengan nol, rumus juga dapat digunakan, itu akan memberikan nilai yang sama dengan .

Anda dapat melanjutkan ke contoh penerapan algoritme untuk menyelesaikan persamaan kuadrat.

Contoh penyelesaian persamaan kuadrat

Pertimbangkan solusi dari tiga persamaan kuadrat dengan diskriminan positif, negatif, dan nol. Setelah berurusan dengan solusi mereka, dengan analogi dimungkinkan untuk menyelesaikan persamaan kuadrat lainnya. Ayo mulai.

Contoh.

Temukan akar-akar persamaan x 2 +2 x−6=0 .

Keputusan.

Dalam hal ini, kita memiliki koefisien persamaan kuadrat berikut: a=1 , b=2 dan c=−6 . Menurut algoritme, Anda harus terlebih dahulu menghitung diskriminan, untuk ini kami mengganti a, b dan c yang ditunjukkan ke dalam rumus diskriminan, kami memiliki D=b 2 4 a c=2 2 4 1 (−6)=4+24=28. Karena 28>0, yaitu diskriminan lebih besar dari nol, persamaan kuadrat memiliki dua akar real. Mari kita temukan dengan rumus akar , kita dapatkan , di sini kita dapat menyederhanakan ekspresi yang diperoleh dengan melakukan memfaktorkan tanda akarnya diikuti dengan pengurangan pecahan:

Menjawab:

Mari kita beralih ke contoh tipikal berikutnya.

Contoh.

Selesaikan persamaan kuadrat 4 x 2 +28 x−49=0 .

Keputusan.

Kita mulai dengan mencari diskriminan: D=28 2 4 (−4) (−49)=784−784=0. Oleh karena itu, persamaan kuadrat ini memiliki akar tunggal, yang kita temukan sebagai , yaitu,

Menjawab:

x=3.5 .

Tetap mempertimbangkan solusi persamaan kuadrat dengan diskriminan negatif.

Contoh.

Selesaikan persamaan 5 y 2 +6 y+2=0 .

Keputusan.

Berikut adalah koefisien persamaan kuadrat: a=5 , b=6 dan c=2 . Mengganti nilai-nilai ini ke dalam rumus diskriminan, kita dapatkan D=b 2 4 a c=6 2 4 5 2=36−40=−4. Diskriminan adalah negatif, oleh karena itu, persamaan kuadrat ini tidak memiliki akar real.

Jika Anda perlu menentukan akar kompleks, maka kami menggunakan rumus terkenal untuk akar persamaan kuadrat, dan lakukan operasi bilangan kompleks:

Menjawab:

tidak ada akar real, akar kompleksnya adalah: .

Sekali lagi, kita perhatikan bahwa jika diskriminan persamaan kuadrat adalah negatif, maka sekolah biasanya segera menuliskan jawabannya, di mana mereka menunjukkan bahwa tidak ada akar real, dan mereka tidak menemukan akar kompleks.

Rumus akar untuk koefisien kedua genap

Rumus untuk akar persamaan kuadrat , di mana D=b 2 4 a c memungkinkan Anda mendapatkan rumus yang lebih ringkas yang memungkinkan Anda menyelesaikan persamaan kuadrat dengan koefisien genap di x (atau hanya dengan koefisien yang terlihat seperti 2 n , misalnya, atau 14 ln5=2 7 ln5 ). Mari kita bawa dia keluar.

Katakanlah kita perlu menyelesaikan persamaan kuadrat berbentuk a x 2 +2 n x + c=0 . Mari kita cari akarnya menggunakan rumus yang kita kenal. Untuk melakukan ini, kami menghitung diskriminan D=(2 n) 2 4 a c=4 n 2 4 a c=4 (n 2 a c), dan kemudian kami menggunakan rumus akar:

Nyatakan ekspresi n 2 a c sebagai D 1 (kadang-kadang dilambangkan D "). Kemudian rumus untuk akar persamaan kuadrat yang dipertimbangkan dengan koefisien kedua 2 n berbentuk , dimana D 1 =n 2 a c .

Sangat mudah untuk melihat bahwa D=4·D 1 , atau D 1 =D/4 . Dengan kata lain, D 1 adalah bagian keempat dari diskriminan. Jelas bahwa tanda D 1 sama dengan tanda D . Artinya, tanda D 1 juga merupakan indikator ada tidaknya akar-akar persamaan kuadrat.

Jadi, untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dengan koefisien kedua 2 n, Anda perlu

• Hitung D 1 =n 2 a·c ;
• Jika D1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Jika D 1 =0, maka hitung satu-satunya akar persamaan dengan menggunakan rumus;
• Jika D 1 >0, maka cari dua akar real menggunakan rumus.

Pertimbangkan solusi dari contoh menggunakan rumus akar yang diperoleh dalam paragraf ini.

Contoh.

Selesaikan persamaan kuadrat 5 x 2 6 x−32=0 .

Keputusan.

Koefisien kedua dari persamaan ini dapat direpresentasikan sebagai 2·(−3) . Artinya, Anda dapat menulis ulang persamaan kuadrat asli dalam bentuk 5 x 2 +2 (−3) x−32=0 , di sini a=5 , n=−3 dan c=−32 , dan hitung bagian keempat dari pembeda: D 1 =n 2 a c=(−3) 2 5 (−32)=9+160=169. Karena nilainya positif, persamaan memiliki dua akar real. Kami menemukannya menggunakan rumus akar yang sesuai:

Perhatikan bahwa mungkin untuk menggunakan rumus biasa untuk akar persamaan kuadrat, tetapi dalam kasus ini, lebih banyak pekerjaan komputasi harus dilakukan.

Menjawab:

Penyederhanaan bentuk persamaan kuadrat

Terkadang, sebelum memulai perhitungan akar persamaan kuadrat menggunakan rumus, tidak ada salahnya untuk mengajukan pertanyaan: "Apakah mungkin untuk menyederhanakan bentuk persamaan ini"? Setuju bahwa dalam hal perhitungan akan lebih mudah untuk menyelesaikan persamaan kuadrat 11 x 2 4 x 6=0 daripada 1100 x 2 400 x−600=0 .

Biasanya, penyederhanaan bentuk persamaan kuadrat dicapai dengan mengalikan atau membagi kedua ruasnya dengan suatu bilangan. Misalnya, pada paragraf sebelumnya, kita berhasil mencapai penyederhanaan persamaan 1100 x 2 400 x 600=0 dengan membagi kedua ruas dengan 100 .

Transformasi serupa dilakukan dengan persamaan kuadrat, yang koefisiennya tidak . Dalam hal ini, kedua bagian persamaan biasanya dibagi dengan nilai absolut dari koefisiennya. Sebagai contoh, mari kita ambil persamaan kuadrat 12 x 2 42 x+48=0. nilai mutlak koefisiennya: gcd(12, 42, 48)= gcd(gcd(12, 42), 48)= gcd(6, 48)=6 . Membagi kedua bagian persamaan kuadrat asli dengan 6 , kita sampai pada persamaan kuadrat yang setara 2 x 2 7 x+8=0 .

Dan perkalian kedua bagian persamaan kuadrat biasanya dilakukan untuk menghilangkan koefisien pecahan. Dalam hal ini, perkalian dilakukan pada penyebut koefisiennya. Misalnya, jika kedua bagian persamaan kuadrat dikalikan dengan KPK(6, 3, 1)=6 , maka akan menjadi bentuk yang lebih sederhana x 2 +4 x−18=0 .

Sebagai kesimpulan dari paragraf ini, kami mencatat bahwa hampir selalu menyingkirkan minus pada koefisien tertinggi dari persamaan kuadrat dengan mengubah tanda semua suku, yang sesuai dengan mengalikan (atau membagi) kedua bagian dengan 1. Misalnya, biasanya dari persamaan kuadrat 2·x 2 3·x+7=0 pergi ke solusi 2·x 2 +3·x−7=0 .

Hubungan antara akar dan koefisien persamaan kuadrat

Rumus untuk akar-akar persamaan kuadrat menyatakan akar-akar persamaan dalam bentuk koefisiennya. Berdasarkan rumus akar, Anda bisa mendapatkan hubungan lain antara akar dan koefisien.

Rumus yang paling terkenal dan dapat diterapkan dari teorema Vieta bentuk dan . Khususnya, untuk persamaan kuadrat yang diberikan, jumlah akar-akarnya sama dengan koefisien kedua dengan tanda yang berlawanan, dan hasil kali akar-akarnya adalah suku bebas. Misalnya, dengan bentuk persamaan kuadrat 3 x 2 7 x+22=0, Anda dapat langsung mengatakan bahwa jumlah akar-akarnya adalah 7/3, dan hasil kali akar-akarnya adalah 22/3.

Dengan menggunakan rumus yang sudah ditulis, Anda bisa mendapatkan sejumlah hubungan lain antara akar dan koefisien persamaan kuadrat. Misalnya, Anda dapat menyatakan jumlah kuadrat dari akar-akar persamaan kuadrat dalam hal koefisiennya: .

Bibliografi.

• Aljabar: buku pelajaran untuk 8 sel. pendidikan umum institusi / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; ed. S.A. Telyakovsky. - edisi ke-16. - M. : Pendidikan, 2008. - 271 hal. : Saya akan. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A.G. Aljabar. kelas 8. Pukul 2 siang Bagian 1. Buku teks untuk siswa lembaga pendidikan / A. G. Mordkovich. - Edisi ke-11, terhapus. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 hal.: sakit. ISBN 978-5-346-01155-2.

Perhatikan persamaan kuadrat:
(1) .
Akar persamaan kuadrat(1) ditentukan dengan rumus:
; .
Rumus-rumus ini dapat digabungkan seperti ini:
.
Ketika akar-akar persamaan kuadrat diketahui, maka polinomial derajat kedua dapat direpresentasikan sebagai produk dari faktor-faktor (difaktorkan):
.

Selanjutnya, kita asumsikan bahwa adalah bilangan real.
Mempertimbangkan diskriminan persamaan kuadrat:
.
Jika diskriminannya positif, maka persamaan kuadrat (1) memiliki dua akar real yang berbeda:
; .
Maka faktorisasi trinomial kuadrat berbentuk:
.
Jika diskriminannya nol, maka persamaan kuadrat (1) memiliki dua akar real kelipatan (sama):
.
Faktorisasi:
.
Jika diskriminan negatif, maka persamaan kuadrat (1) memiliki dua akar konjugasi kompleks:
;
.
Berikut adalah unit imajiner, ;
dan merupakan bagian real dan imajiner dari akar:
; .
Kemudian

.

Interpretasi grafis

Jika kita membuat grafik fungsi
,
yang merupakan parabola, maka titik potong grafik dengan sumbu akan menjadi akar-akar persamaan
.
Ketika , grafik memotong sumbu absis (sumbu) di dua titik.
Ketika , grafik menyentuh sumbu x di satu titik.
Ketika , grafik tidak memotong sumbu x.

Di bawah ini adalah contoh grafik tersebut.

Rumus Berguna Terkait dengan Persamaan Kuadrat

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Turunan dari rumus akar-akar persamaan kuadrat

Kami melakukan transformasi dan menerapkan rumus (f.1) dan (f.3):




,
di mana
; .

Jadi, kami mendapatkan rumus untuk polinomial derajat kedua dalam bentuk:
.
Dari sini dapat diketahui bahwa persamaan

dilakukan pada
dan .
Yaitu, dan merupakan akar-akar persamaan kuadrat
.

Contoh menentukan akar persamaan kuadrat

Contoh 1

(1.1) .

Keputusan

.
Dibandingkan dengan persamaan kami (1.1), kami menemukan nilai koefisien:
.
Menemukan diskriminan:
.
Karena diskriminan positif, persamaan memiliki dua akar real:
;
;
.

Dari sini kita peroleh dekomposisi trinomial kuadrat menjadi faktor-faktor:

.

Grafik fungsi y = 2x2 + 7x + 3 memotong sumbu x di dua titik.

Mari kita plot fungsinya
.
Grafik fungsi ini berbentuk parabola. Ini melintasi sumbu x (sumbu) di dua titik:
dan .
Titik-titik ini adalah akar dari persamaan asli (1.1).

Menjawab

;
;
.

Contoh 2

Cari akar-akar persamaan kuadrat:
(2.1) .

Keputusan

Kami menulis persamaan kuadrat dalam bentuk umum:
.
Dibandingkan dengan persamaan asli (2.1), kami menemukan nilai koefisien:
.
Menemukan diskriminan:
.
Karena diskriminan adalah nol, persamaan memiliki dua akar kelipatan (sama):
;
.

Maka faktorisasi trinomial tersebut berbentuk:
.

Grafik fungsi y = x 2 - 4x + 4 menyentuh sumbu x di satu titik.

Mari kita plot fungsinya
.
Grafik fungsi ini berbentuk parabola. Menyentuh sumbu x (sumbu) pada satu titik:
.
Titik ini adalah akar dari persamaan awal (2.1). Karena akar ini difaktorkan dua kali:
,
maka akar seperti itu disebut kelipatan. Artinya, mereka menganggap bahwa ada dua akar yang sama:
.

Menjawab

;
.

Contoh 3

Cari akar-akar persamaan kuadrat:
(3.1) .

Keputusan

Kami menulis persamaan kuadrat dalam bentuk umum:
(1) .
Mari kita tulis ulang persamaan aslinya (3.1):
.
Dibandingkan dengan (1), kami menemukan nilai koefisien:
.
Menemukan diskriminan:
.
Diskriminannya negatif, . Oleh karena itu, tidak ada akar nyata.

Anda dapat menemukan akar kompleks:
;
;

Mari kita plot fungsinya
.
Grafik fungsi ini berbentuk parabola. Itu tidak melewati absis (sumbu). Oleh karena itu, tidak ada akar nyata.

Menjawab

Tidak ada akar nyata. Akar kompleks:
;
;
.

Diketahui bahwa ini adalah versi tertentu dari persamaan ax 2 + in + c \u003d o, di mana a, b dan c adalah koefisien nyata untuk x yang tidak diketahui, dan di mana a o, dan b dan c akan menjadi nol - secara bersamaan atau secara terpisah. Misalnya, c = o, v o atau sebaliknya. Kami hampir ingat definisi persamaan kuadrat.

Trinomial derajat kedua sama dengan nol. Koefisien pertamanya a o, b dan c dapat mengambil nilai apa pun. Nilai variabel x kemudian akan menjadi ketika, ketika disubstitusikan, itu akan mengubahnya menjadi kesetaraan numerik yang benar. Mari kita membahas akar-akar real, meskipun solusi persamaannya juga bisa lengkap.Ini adalah kebiasaan untuk memanggil persamaan di mana tidak ada koefisien yang sama dengan o, a o, b o, c o.
Mari kita selesaikan sebuah contoh. 2x2 -9x-5 = oh, kita temukan
D \u003d 81 + 40 \u003d 121,
D positif, jadi ada akar-akarnya, x 1 = (9+√121): 4 = 5, dan yang kedua x 2 = (9-√121): 4 = -o.5. Memeriksa akan membantu memastikan mereka benar.

Berikut ini adalah langkah demi langkah solusi untuk persamaan kuadrat

Melalui diskriminan, Anda dapat menyelesaikan persamaan apa pun, di sisi kirinya terdapat trinomial persegi yang diketahui dengan o. Dalam contoh kita. 2x 2 -9x-5 \u003d 0 (ax 2 + in + c \u003d o)

Pertimbangkan apa persamaan tidak lengkap dari derajat kedua

1. sumbu 2 + in = o. Suku bebas, koefisien c pada x 0, adalah nol di sini, di o.
   Bagaimana menyelesaikan persamaan kuadrat tidak lengkap semacam ini? Mari kita keluarkan x dari kurung. Ingat ketika produk dari dua faktor adalah nol.
   x(ax+b) = o, ini dapat terjadi ketika x = o atau ketika ax+b = o.
   Memecahkan 2, kami memiliki x = -v/a.
   Akibatnya, kami memiliki akar x 1 \u003d 0, menurut perhitungan x 2 \u003d -b / a.
2. Sekarang koefisien x adalah o, tetapi c tidak sama dengan (≠) o.
   x 2 + c \u003d o. Kami mentransfer c ke sisi kanan persamaan, kami mendapatkan x 2 \u003d -c. Persamaan ini hanya memiliki akar real jika -c adalah bilangan positif (c o),
   x 1 kemudian sama dengan (-c), berturut-turut, x 2 adalah -√(-c). Jika tidak, persamaan tidak memiliki akar sama sekali.
3. Opsi terakhir: b \u003d c \u003d o, yaitu, ax 2 \u003d o. Secara alami, persamaan sederhana seperti itu memiliki satu akar, x = o.

Kasus khusus

Kami telah mempertimbangkan bagaimana menyelesaikan persamaan kuadrat yang tidak lengkap, dan sekarang kami akan mengambil jenis apa pun.

• Dalam persamaan kuadrat penuh, koefisien kedua dari x adalah bilangan genap.
  Misalkan k = o,5b. Kami memiliki rumus untuk menghitung diskriminan dan akar.
  D / 4 \u003d k 2 - ac, akar dihitung sebagai berikut x 1,2 \u003d (-k ± (D / 4)) / a untuk D o.
  x = -k/a di D = o.
  Tidak ada akar untuk D o.
• Ada persamaan kuadrat tereduksi, ketika koefisien x kuadrat adalah 1, biasanya ditulis x 2 + px + q \u003d o. Semua rumus di atas berlaku untuk mereka, tetapi perhitungannya agak lebih sederhana.
  Contoh, x 2 -4x-9 \u003d 0. Kami menghitung D: 2 2 +9, D \u003d 13.
  x 1 = 2+√13, x 2 = 2-√13.
• Selain itu, mudah untuk menerapkan yang diberikan. Dikatakan bahwa jumlah akar persamaan sama dengan -p, koefisien kedua dengan minus (berarti tanda yang berlawanan), dan produk dari akar yang sama ini akan sama dengan q, suku bebas. Lihat betapa mudahnya menentukan akar persamaan ini secara lisan. Untuk tak tereduksi (untuk semua koefisien yang tidak sama dengan nol), teorema ini berlaku sebagai berikut: jumlah x 1 + x 2 sama dengan -v / a, hasil kali x 1 x 2 sama dengan c / a .

Jumlah suku bebas c dan koefisien pertama a sama dengan koefisien b. Dalam situasi ini, persamaan memiliki setidaknya satu akar (mudah dibuktikan), yang pertama harus sama dengan -1, dan yang kedua - c / a, jika ada. Cara menyelesaikan persamaan kuadrat yang tidak lengkap, Anda dapat memeriksanya sendiri. Mudah sekali. Koefisien bisa dalam beberapa rasio di antara mereka sendiri

• x 2 + x \u003d o, 7x 2 -7 \u003d o.
• Jumlah semua koefisien adalah o.
  Akar dari persamaan tersebut adalah 1 dan c / a. Contoh, 2x 2 -15x + 13 = o.
  x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 13/2.

Ada sejumlah cara lain untuk menyelesaikan persamaan derajat kedua yang berbeda. Di sini, misalnya, adalah metode untuk mengekstraksi kuadrat penuh dari polinomial tertentu. Ada beberapa cara grafik. Ketika Anda sering berurusan dengan contoh-contoh seperti itu, Anda akan belajar untuk "mengklik" mereka seperti benih, karena semua metode muncul secara otomatis.