trigonometri fungsi berkala, yaitu berulang setelah jangka waktu tertentu. Akibatnya, cukup untuk mempelajari fungsi pada interval ini dan memperluas properti yang ditemukan ke semua periode lainnya.

Petunjuk

1. Jika Anda diberikan ekspresi primitif di mana hanya ada satu fungsi trigonometri (sin, cos, tg, ctg, sec, cosec), dan sudut di dalam fungsi tidak dikalikan dengan bilangan apa pun, dan sudut di dalam fungsi tersebut tidak dikalikan dengan bilangan apa pun. kekuatan - gunakan definisi. Untuk ekspresi yang mengandung sin, cos, sec, cosec, setel periode dengan berani ke 2P, dan jika ada tg, ctg dalam persamaan, maka P. Katakanlah, untuk fungsi y \u003d 2 sinx + 5, periodenya adalah 2P .

2. Jika sudut x di bawah tanda fungsi trigonometri dikalikan dengan beberapa angka, maka untuk menemukan periode fungsi ini, bagi periode tipikal dengan angka ini. Katakanlah Anda diberi fungsi y = sin 5x. Periode khas untuk sinus adalah 2P, membaginya dengan 5, Anda mendapatkan 2P / 5 - ini adalah periode yang diinginkan dari ekspresi ini.

3. Untuk menemukan periode fungsi trigonometri yang dipangkatkan, evaluasi kemerataan pangkat. Untuk derajat genap, separuh periode sampel. Katakanlah, jika Anda diberi fungsi y \u003d 3 cos ^ 2x, maka periode tipikal 2P akan berkurang 2 kali, sehingga periodenya akan sama dengan P. Harap dicatat bahwa fungsi tg, ctg bersifat periodik sejauh P .

4. Jika Anda diberikan persamaan yang berisi produk atau hasil bagi dari 2 fungsi trigonometri, pertama-tama temukan periode untuk semuanya secara terpisah. Setelah itu, carilah bilangan minimum yang sesuai dengan bilangan bulat dari kedua periode tersebut. Katakanlah fungsi y=tgx*cos5x diberikan. Untuk garis singgung, periodenya adalah P, untuk kosinus 5x, periodenya adalah 2P/5. Jumlah minimum yang diperbolehkan untuk memenuhi kedua periode ini adalah 2P, jadi periode yang diinginkan adalah 2P.

5. Jika Anda merasa sulit untuk melakukan cara yang diusulkan atau meragukan hasilnya, coba lakukan dengan definisi. Ambil T sebagai periode fungsi, itu lebih besar dari nol. Substitusikan ekspresi (x + T) dalam persamaan sebagai ganti x dan selesaikan persamaan yang dihasilkan seolah-olah T adalah parameter atau angka. Hasilnya, Anda akan menemukan nilai fungsi trigonometri dan dapat memilih periode terkecil. Katakanlah, sebagai hasil dari memfasilitasi, Anda mendapatkan identitas sin (T / 2) \u003d 0. Nilai minimum T yang dilakukan adalah 2P, dan ini akan menjadi hasil tugas.

Fungsi periodik adalah fungsi yang mengulangi nilainya setelah beberapa periode bukan nol. Periode suatu fungsi adalah bilangan yang penambahan argumen fungsi tersebut tidak mengubah nilai fungsi tersebut.

Anda akan perlu

• Pengetahuan tentang matematika dasar dan awal survei.

Petunjuk

1. Mari kita nyatakan periode fungsi f(x) dengan bilangan K. Tugas kita adalah menemukan nilai K ini. Untuk melakukannya, bayangkan fungsi f(x), dengan menggunakan definisi fungsi periodik, samakan f (x+K)=f(x).

2. Kami memecahkan persamaan yang dihasilkan untuk K yang tidak diketahui, seolah-olah x adalah konstanta. Tergantung pada nilai K, akan ada beberapa opsi.

3. Jika K>0, maka ini adalah periode dari fungsi Anda Jika K=0, maka fungsi f(x) tidak periodik Jika solusi persamaan f(x+K)=f(x) tidak ada untuk setiap K yang tidak sama dengan nol, maka fungsi tersebut disebut aperiodik dan juga tidak memiliki periode.

Video Terkait

Catatan!
Semua fungsi trigonometri adalah periodik, dan semua fungsi polinomial dengan derajat lebih besar dari 2 adalah aperiodik.

Saran yang bermanfaat
Periode suatu fungsi yang terdiri dari 2 fungsi periodik adalah kelipatan persekutuan terkecil dari periode fungsi-fungsi tersebut.

Persamaan trigonometri adalah persamaan yang memuat fungsi trigonometri dari suatu argumen yang tidak diketahui (misalnya: 5sinx-3cosx =7). Untuk mempelajari cara menyelesaikannya, Anda perlu mengetahui beberapa metode untuk ini.

Petunjuk

1. Penyelesaian persamaan tersebut terdiri dari 2 tahap, yang pertama adalah reformasi persamaan untuk memperoleh bentuk yang paling sederhana. Persamaan trigonometri paling sederhana disebut sebagai berikut: Sinx=a; cosx=a dst.

2. Yang kedua adalah solusi dari persamaan trigonometri paling sederhana yang diperoleh. Ada beberapa cara dasar untuk menyelesaikan persamaan semacam ini: Pemecahan dengan cara aljabar. Metode ini terkenal terkenal dari sekolah, dari mata kuliah aljabar. Ini juga disebut metode mengganti variabel dan mensubstitusi. Menerapkan rumus reduksi, kami mengubah, membuat pengganti, setelah itu kami menemukan akarnya.

3. Dekomposisi persamaan menjadi faktor. Pertama, kita pindahkan semua suku ke kiri dan dekomposisi menjadi faktor.

4. Membawa persamaan ke persamaan yang homogen. Persamaan homogen disebut persamaan jika semua anggotanya memiliki derajat yang sama dan sinus, cosinus sudut yang sama.Untuk menyelesaikannya, Anda harus: pertama-tama memindahkan semua anggotanya dari sisi kanan ke sisi kiri; pindahkan semua faktor umum dari tanda kurung; samakan faktor dan kurung dengan nol; kurung sama memberikan persamaan homogen dengan derajat yang lebih rendah, yang harus dibagi dengan cos (atau sin) ke tingkat yang lebih tinggi; selesaikan persamaan aljabar yang dihasilkan untuk tan.

5. Cara selanjutnya adalah pergi ke setengah sudut. Katakan, selesaikan persamaan: 3 sin x - 5 cos x \u003d 7. Mari kita beralih ke setengah sudut: 6 sin (x / 2) cos (x / 2) - 5 cos ? (x / 2) + 5 dosa? (x / 2) = 7sin? (x / 2) + 7 cos? (x/ 2) , setelah itu kita kurangi semua suku menjadi satu bagian (sebaliknya ke kanan) dan selesaikan persamaannya.

6. Entri sudut bantu. Ketika kita mengganti nilai bilangan bulat cos(a) atau sin(a). Tanda "a" adalah sudut bantu.

7. Cara untuk memformat ulang produk menjadi jumlah. Di sini Anda perlu menerapkan formula yang sesuai. Misalkan diberikan: 2 sin x sin 3x = cos 4x. Mari kita selesaikan dengan mengubah ruas kiri menjadi jumlah, yaitu: cos 4x - cos 8x = cos 4x, cos 8x = 0, 8x = p / 2 + pk , x = p / 16 + pk / 8.

8. Cara terakhir, disebut substitusi multifungsi. Kami mengubah ekspresi dan membuat substitusi, katakanlah Cos(x/2)=u, setelah itu kami menyelesaikan persamaan dengan parameter u. Saat memperoleh total, kami menerjemahkan nilainya menjadi kebalikannya.

Video Terkait

Jika kita mempertimbangkan titik-titik pada lingkaran, maka titik-titik x, x + 2π, x + 4π, dst. cocok satu sama lain. Jadi trigonometri fungsi pada garis lurus secara berkala ulangi artinya. Jika periodenya terkenal fungsi, diperbolehkan untuk membangun fungsi pada periode ini dan mengulanginya pada yang lain.

Petunjuk

1. Periodenya adalah bilangan T sedemikian sehingga f(x) = f(x+T). Untuk menemukan periode, selesaikan persamaan yang sesuai, substitusi x dan x + T sebagai argumen. Dalam hal ini, periode terkenal untuk fungsi digunakan. Untuk fungsi sinus dan kosinus, periodenya adalah 2π, dan untuk garis singgung dan kotangen, adalah .

2. Biarkan fungsi f(x) = sin^2(10x) diberikan. Pertimbangkan ekspresi sin^2(10x) = sin^2(10(x+T)). Gunakan rumus untuk menurunkan derajat: sin^2(x) = (1 - cos 2x)/2. Kemudian dapatkan 1 - cos 20x = 1 - cos 20(x+T) atau cos 20x = cos (20x+20T). Diketahui periode cosinus adalah 2π, 20T = 2π. Jadi, T = /10. T adalah periode minimum yang benar, dan fungsi akan diulang setelah 2T, dan setelah 3T, dan dalam arah lain sepanjang sumbu: -T, -2T, dst.

Saran yang bermanfaat
Gunakan rumus untuk menurunkan derajat suatu fungsi. Jika Anda lebih terbiasa dengan periode beberapa fungsi, cobalah untuk mengurangi fungsi yang ada menjadi yang diketahui.

Menemukan fungsi genap dan ganjil membantu membangun grafik fungsi dan memahami sifat perilakunya. Untuk penelitian ini, Anda perlu membandingkan fungsi yang diberikan yang ditulis untuk argumen “x” dan untuk argumen “-x”.

Petunjuk

1. Tulis fungsi yang ingin Anda jelajahi sebagai y=y(x).

2. Ganti argumen fungsi dengan "-x". Substitusikan argumen ini ke dalam ekspresi fungsional.

3. Sederhanakan ekspresi.

4. Dengan demikian, Anda mendapatkan fungsi yang sama yang ditulis untuk argumen "x" dan "-x". Perhatikan kedua entri ini. Jika y(-x)=y(x), maka ini adalah fungsi genap. Jika y(-x)=-y(x), maka ini adalah fungsi ganjil. Jika tidak mungkin untuk katakan tentang fungsi yang y (-x)=y(x) atau y(-x)=-y(x), maka, dengan sifat paritas, ini adalah fungsi bentuk universal. Artinya, tidak genap maupun ganjil.

5. Tuliskan hasil Anda. Sekarang Anda dapat menggunakannya dalam memplot grafik fungsi atau dalam pencarian analitik di masa mendatang untuk properti suatu fungsi.

6. Dimungkinkan juga untuk berbicara tentang fungsi genap dan ganjil dalam kasus ketika grafik fungsi didefinisikan lebih dekat. Misalkan grafik tersebut merupakan hasil percobaan fisika. Jika grafik suatu fungsi simetris terhadap sumbu y, maka y(x) adalah fungsi genap. Jika grafik fungsi simetris terhadap sumbu x, maka x(y) adalah fungsi genap. x(y) adalah fungsi invers dari y(x) Jika grafik fungsi tersebut simetris terhadap titik asal (0,0), maka y(x) adalah fungsi ganjil. Fungsi invers x(y) juga akan ganjil.

7. Penting untuk diingat bahwa konsep fungsi genap dan ganjil memiliki hubungan langsung dengan domain fungsi. Jika, katakanlah, fungsi genap atau ganjil tidak ada untuk x=5, maka fungsi itu tidak ada untuk x=-5, yang tidak mungkin dikatakan tentang fungsi bentuk umum. Saat menentukan genap dan ganjil, perhatikan domain fungsi.

8. Mencari fungsi genap dan ganjil berkorelasi dengan menemukan himpunan nilai fungsi. Untuk menemukan himpunan nilai fungsi genap, cukup dengan melihat setengah dari fungsi tersebut, ke kanan atau ke kiri dari nol. Jika untuk x>0 fungsi genap y(x) mengambil nilai dari A ke B, maka akan mengambil nilai yang sama untuk x<0.Для нахождения множества значений, принимаемых нечетной функцией, тоже довольно разглядеть только одну часть функции. Если при x>0 fungsi ganjil y(x) mengambil rentang nilai dari A ke B, maka untuk x<0 она будет принимать симметричный диапазон значений от (-В) до (-А).

"Trigonometri" pernah mulai disebut fungsi yang ditentukan oleh ketergantungan sudut lancip dalam segitiga siku-siku pada panjang sisi-sisinya. Fungsi-fungsi ini meliputi, pertama-tama, sinus dan kosinus, dan kedua, garis potong dan kosekan, yang merupakan kebalikan dari fungsi-fungsi ini, turunan tangen dan kotangen dari mereka, serta fungsi invers arcsinus, arccosinus, dll. lebih positif untuk berbicara bukan tentang "solusi" dari fungsi-fungsi tersebut, tetapi tentang "perhitungan" mereka, yaitu tentang menemukan nilai numerik.

Petunjuk

1. Jika argumen fungsi trigonometri tidak diketahui, maka diizinkan untuk menghitung nilainya dengan metode tidak langsung berdasarkan definisi fungsi-fungsi ini. Untuk melakukan ini, Anda perlu mengetahui panjang sisi segitiga, fungsi trigonometri untuk salah satu sudut yang ingin Anda hitung. Katakanlah, menurut definisi, sinus sudut lancip dalam segitiga siku-siku adalah rasio panjang kaki di seberang sudut ini dengan panjang sisi miring. Dari sini dapat disimpulkan bahwa untuk menemukan sinus suatu sudut, cukup mengetahui panjang 2 sisi ini. Definisi serupa mengatakan bahwa sinus sudut lancip adalah rasio panjang kaki yang berdekatan dengan sudut ini dengan panjang sisi miring. Garis singgung suatu sudut lancip dapat dihitung dengan membagi panjang kaki yang berhadapan dengan panjang kaki sebelahnya, dan kotangen memerlukan pembagian panjang kaki sebelahnya dengan panjang kaki sebelahnya. Untuk menghitung garis potong dari sudut lancip, Anda perlu menemukan rasio panjang sisi miring dengan panjang kaki yang berdekatan dengan sudut yang diperlukan, dan garis potong ditentukan oleh rasio panjang sisi miring dengan panjang dari kaki yang berlawanan.

2. Jika argumen fungsi trigonometri dilakukan, maka tidak perlu mengetahui panjang sisi segitiga - diperbolehkan menggunakan tabel nilai atau kalkulator fungsi trigonometri. Kalkulator semacam itu adalah salah satu program standar sistem operasi Windows. Untuk menjalankannya, Anda dapat menekan kombinasi tombol Win + R, masukkan perintah calc dan klik tombol OK. Di antarmuka program, buka bagian "Tampilan" dan pilih item "Teknik" atau "Ilmuwan". Kemudian, diperbolehkan untuk memperkenalkan argumen fungsi trigonometri. Untuk menghitung fungsi sinus, cosinus, dan tangen, klik tombol antarmuka yang sesuai (sin, cos, tg) daripada memasukkan nilainya, dan untuk menemukan invers dari arcsine, arccosine, dan arctangent, centang kotak Inv di maju.

3. Ada juga metode alternatif. Salah satunya adalah pergi ke situs Nigma atau mesin pencari Google dan masukkan fungsi yang diperlukan dan argumennya (katakanlah, sin 0,47) sebagai permintaan pencarian. Mesin pencari ini memiliki kalkulator bawaan, oleh karena itu, setelah mengirim permintaan seperti itu, Anda akan menerima nilai fungsi trigonometri yang Anda masukkan.

Video Terkait

Tip 7: Cara mendeteksi nilai fungsi trigonometri

Fungsi trigonometri pertama kali muncul sebagai alat untuk perhitungan matematis abstrak dari ketergantungan besaran sudut lancip dalam segitiga siku-siku pada panjang sisi-sisinya. Sekarang mereka banyak digunakan di bidang ilmiah dan teknis aktivitas manusia. Untuk perhitungan utilitarian fungsi trigonometri dari argumen yang diberikan, diperbolehkan menggunakan berbagai alat - beberapa alat yang dapat diakses dijelaskan di bawah ini.

Petunjuk

1. Gunakan, katakanlah, program kalkulator yang diinstal secara default dengan sistem operasi. Ini terbuka dengan memilih item "Kalkulator" di folder "Utilitas" dari subbagian "Khas" yang terletak di bagian "Semua Program". Bagian ini dapat ditemukan dengan membuka menu utama sistem operasi dengan mengklik tombol "Start". Jika Anda menggunakan versi Windows 7, maka Anda dapat secara primitif memasukkan kata "Kalkulator" di bidang "Deteksi program dan file" pada menu utama, lalu klik tautan yang sesuai di hasil pencarian.

2. Masukkan nilai sudut yang ingin Anda hitung fungsi trigonometrinya, lalu klik tombol yang sesuai dengan fungsi ini - sin, cos atau tan. Jika Anda khawatir tentang fungsi trigonometri terbalik (arcsine, arccosine, atau arctangent), maka pertama-tama klik tombol berlabel Inv - ini membalikkan fungsi yang ditetapkan ke tombol kontrol kalkulator.

3. Di versi OS sebelumnya (misalnya, Windows XP), untuk mengakses fungsi trigonometri, Anda perlu membuka bagian "Tampilan" di menu kalkulator dan lebih memilih baris "Teknik". Selain itu, alih-alih tombol Inv di antarmuka versi lama program, ada kotak centang dengan tulisan yang sama.

4. Anda dapat melakukannya tanpa kalkulator jika Anda memiliki akses Internet. Ada banyak layanan di web yang menawarkan kalkulator fungsi trigonometri yang diatur secara berbeda. Salah satu opsi yang sangat berguna dibangun ke dalam mesin pencari Nigma. Setelah pergi ke halaman utamanya, masukkan secara primitif nilai yang menggairahkan Anda di bidang permintaan pencarian - katakan, "singgung busur 30 derajat". Setelah menekan tombol "Temukan!" mesin pencari akan menghitung dan menampilkan hasil perhitungan - 0.482347907101025.

Video Terkait

Trigonometri adalah cabang matematika untuk memahami fungsi yang menyatakan ketergantungan yang berbeda dari sisi-sisi segitiga siku-siku pada besaran sudut lancip pada sisi miring. Fungsi seperti itu disebut trigonometri, dan untuk memudahkan bekerja dengannya, fungsi trigonometri diturunkan. identitas .

Pertunjukan identitas dalam matematika menunjukkan kesetaraan yang dipenuhi untuk nilai apa pun dari argumen fungsi yang termasuk di dalamnya. trigonometri identitas- ini adalah persamaan fungsi trigonometri, dikonfirmasi dan diterima untuk menyederhanakan pekerjaan dengan rumus trigonometri.Fungsi trigonometri adalah fungsi dasar dari ketergantungan salah satu kaki segitiga siku-siku pada besarnya sudut akut di sisi miring. Lebih sering daripada tidak, enam fungsi trigonometri dasar digunakan: sin (sinus), cos (cosinus), tg (tangen), ctg (cotangent), sec (secant), dan cosec (cosecan). Fungsi-fungsi ini disebut langsung, ada juga fungsi invers, katakanlah, sinus - arcsine, cosinus - arccosine, dll. Awalnya, fungsi trigonometri menemukan refleksi dalam geometri, setelah itu menyebar ke bidang sains lain: fisika, kimia, geografi, optik , teori probabilitas , serta akustik, teori musik, fonetik, grafik komputer, dan banyak lainnya. Sekarang lebih sulit untuk membayangkan perhitungan matematis tanpa fungsi-fungsi ini, meskipun di masa lalu mereka hanya digunakan dalam astronomi dan arsitektur. identitas digunakan untuk menyederhanakan pekerjaan dengan rumus trigonometri panjang dan membawanya ke bentuk yang dapat dicerna. Ada enam identitas trigonometri dasar, mereka terkait dengan fungsi trigonometri langsung: tg ? = dosa?/cos?; dosa^2? + co^2? = 1; 1 + tg^2? = 1/cos^2?; 1 + 1/tg^2? = 1/sin^2?; sin (? / 2 -?) \u003d cos ?; cos (? / 2 -?) \u003d dosa?. Ini identitas mudah untuk mengkonfirmasi dari sifat-sifat rasio sisi dan sudut dalam segitiga siku-siku: sin ? = BC/AC = b/c; karena? = AB/AC = a/c; tg? = b/a Identitas pertama tg ? = dosa?/cos? berikut dari rasio sisi dalam segitiga dan pengecualian sisi c (sisi miring) saat membagi sin dengan cos. Dengan cara yang sama, identitas ctg didefinisikan? = cos ?/sin ?, karena ctg ? = 1/tg ?. Dengan teorema Pythagoras, a^2 + b^2 = c^2. Bagi persamaan ini dengan c^2, kita mendapatkan identitas kedua: a^2/c^2 + b^2/c^2 = 1 => sin^2 ? + co^2 ? = 1.Ketiga dan keempat identitas didapat dengan membagi b^2 dan a^2, berturut-turut: a^2/b^2 + 1 = c^2/b^2 => tg^2 ? + 1 = 1/cos^2 ?;1 + b^2/a^2 = c^2/a^2 => 1 + 1/tg^2 ? = 1/sin^ ? atau 1 + ctg^2 ? \u003d 1 / sin ^ 2?. Utama kelima dan keenam identitas dibuktikan dengan menentukan jumlah sudut lancip segitiga siku-siku, yang sama dengan 90 ° atau? / 2. Trigonometri yang lebih sulit identitas: rumus penjumlahan, sudut rangkap tiga dan sudut rangkap tiga, penurunan derajat, pengubahan jumlah atau hasil kali fungsi, serta rumus substitusi trigonometri yaitu persamaan fungsi trigonometri utama pada setengah sudut tg: sin ?= (2 * tg ? / 2) / (1 + tg^2 ?/2); cos ? = (1 – tg^2 ?/2)/(1 = tg^2 ?/2);tg ? = (2*tg ?/2)/(1 – tg^2 ?/2).

Kebutuhan untuk menemukan minimum berarti matematis fungsi adalah kepentingan aktual dalam memecahkan masalah terapan, katakanlah, dalam ekonomi. Sangat besar berarti untuk kegiatan wirausaha memiliki minimalisasi kerugian.

Petunjuk

1. Untuk mencari minimum berarti fungsi, perlu ditentukan pada nilai argumen x0 pertidaksamaan y(x0) akan dipenuhi? y(x), dimana x ? x0. Seperti biasa, masalah ini diselesaikan pada interval tertentu atau di setiap rentang nilai fungsi, jika salah satu tidak disetel. Salah satu aspek dari solusinya adalah menemukan titik tetap.

2. Titik diam disebut berarti argumen bahwa turunan fungsi pergi ke nol. Menurut teorema Fermat, jika suatu fungsi terdiferensial mengambil suatu berarti di beberapa titik (dalam hal ini, minimum lokal), maka titik ini stasioner.

3. Minimum berarti fungsi sering mengambil tepat pada titik ini, namun dapat ditentukan tidak selalu. Selain itu, tidak selalu mungkin untuk mengatakan dengan tepat berapa jumlah minimumnya fungsi atau dia menerima yang sangat kecil berarti. Kemudian, seperti biasa, mereka menemukan batas gravitasinya ketika menurun.

4. Untuk menentukan minimum berarti fungsi, perlu untuk melakukan urutan tindakan yang terdiri dari empat tahap: menemukan domain definisi fungsi, perolehan titik tetap, gambaran umum nilai fungsi di titik-titik ini dan di ujung celah, deteksi minimum.

5. Ternyata, misalkan suatu fungsi y(x) diberikan pada suatu interval dengan batas-batas di titik A dan B. Temukan domain definisinya dan cari tahu apakah intervalnya adalah himpunan bagiannya.

6. Hitung Derivatif fungsi. Samakan ekspresi yang dihasilkan dengan nol dan temukan akar persamaannya. Periksa apakah titik-titik stasioner ini termasuk dalam interval. Jika tidak, maka pada tahap selanjutnya mereka tidak diperhitungkan.

7. Lihatlah celah untuk jenis batas: terbuka, tertutup, majemuk, atau tanpa dimensi. Itu tergantung pada bagaimana Anda menemukan minimum berarti. Katakanlah segmen [A, B] adalah interval tertutup. Substitusikan ke dalam fungsi dan hitung nilainya. Lakukan hal yang sama dengan titik stasioner. Pilih jumlah terkecil.

8. Dengan interval terbuka dan tak terbatas, situasinya agak lebih sulit. Di sini kita harus mencari batas satu sisi, yang tidak selalu memberikan hasil yang tidak ambigu. Katakanlah, untuk interval dengan satu batas tertutup dan satu batas tertusuk [A, B), harus dicari fungsi di x = A dan batas satu sisi lim y di x? B-0.

Konsep dasar

Mari kita mulai dengan definisi fungsi genap, ganjil, dan periodik.

Definisi 2

Fungsi genap adalah fungsi yang nilainya tidak berubah ketika tanda variabel bebas berubah:

Definisi 3

Fungsi yang mengulangi nilainya pada interval waktu tertentu:

T adalah periode fungsi.

Fungsi trigonometri genap dan ganjil

Perhatikan gambar berikut (Gbr. 1):

Gambar 1.

Di sini $\overrightarrow(OA_1)=(x_1,y_1)$ dan $\overrightarrow(OA_2)=(x_2,y_2)$ adalah vektor dengan panjang satuan simetris terhadap sumbu $Ox$.

Jelas, koordinat vektor-vektor ini terkait dengan hubungan berikut:

Karena fungsi trigonometri sinus dan kosinus dapat ditentukan dengan menggunakan lingkaran trigonometri satuan, kita mendapatkan bahwa fungsi sinus ganjil, dan fungsi kosinus adalah fungsi genap, yaitu:

Periodisitas fungsi trigonometri

Perhatikan gambar berikut (Gbr. 2).

Gambar 2.

Di sini $\overrightarrow(OA)=(x,y)$ adalah vektor dengan panjang satuan.

Mari kita membuat putaran penuh dengan vektor $\overrightarrow(OA)$. Artinya, mari kita putar vektor yang diberikan sebesar $2\pi $ radian. Setelah itu, vektor akan sepenuhnya kembali ke posisi semula.

Karena fungsi trigonometri sinus dan kosinus dapat didefinisikan menggunakan lingkaran trigonometri satuan, kita mendapatkan bahwa

Artinya, fungsi sinus dan kosinus adalah fungsi periodik dengan periode terkecil $T=2\pi $.

Pertimbangkan sekarang fungsi tangen dan kotangen. Karena $tgx=\frac(sinx)(cosx)$, maka

Karena $ctgx=\frac(cosx)(sinx)$, maka

Contoh soal penggunaan genap, ganjil, dan periodisitas fungsi trigonometri

Contoh 1

Buktikan pernyataan berikut:

a) $tg(385)^0=tg(25)^0$

c) $sin((-721)^0)=-sin1^0$

a) $tg(385)^0=tg(25)^0$

Karena garis singgung adalah fungsi periodik dengan periode minimum $(360)^0$, kita dapatkan

b) $(cos \left(-13\pi \right)\ )=-1$

Karena kosinus adalah fungsi genap dan periodik dengan periode minimum $2\pi $, kita peroleh

\[(cos \left(-13\pi \right)\ )=(cos 13\pi \ )=(cos \left(\pi +6\cdot 2\pi \right)=cos\pi \ )=- satu\]

c) $sin((-721)^0)=-sin1^0$

Karena sinus adalah fungsi ganjil dan periodik dengan periode minimum $(360)^0$, kita peroleh

Ketergantungan variabel y pada variabel x, di mana setiap nilai x bersesuaian dengan satu nilai y disebut fungsi. Notasinya adalah y=f(x). Setiap fungsi memiliki sejumlah sifat dasar, seperti monotonisitas, paritas, periodisitas, dan lain-lain.

Sifat paritas dan periodisitas

Mari kita perhatikan lebih detail sifat-sifat paritas dan periodisitas, dengan menggunakan contoh fungsi trigonometri utama: y=sin(x),y=cos(x), y=tg(x), y=ctg(x).

Suatu fungsi y=f(x) dipanggil meskipun memenuhi dua kondisi berikut:

2. Nilai fungsi pada titik x yang termasuk ruang lingkup fungsi harus sama dengan nilai fungsi pada titik -x. Artinya, untuk setiap titik x, dari domain fungsi, persamaan berikut f (x) \u003d f (-x) harus benar.

Jika Anda membuat grafik fungsi genap, grafik tersebut akan simetris terhadap sumbu y.

Misalnya, fungsi trigonometri y=cos(x) genap.

Sifat-sifat keanehan dan periodisitas

Suatu fungsi y=f(x) disebut ganjil jika memenuhi dua kondisi berikut:

1. Domain dari fungsi yang diberikan harus simetris terhadap titik O. Artinya, jika beberapa titik a termasuk dalam domain fungsi, maka titik -a yang bersesuaian juga harus termasuk dalam domain dari fungsi yang diberikan.

2. Untuk sembarang titik x, dari domain fungsi, persamaan berikut f (x) \u003d -f (x) harus dipenuhi.

Grafik fungsi ganjil adalah simetris terhadap titik O - titik asal.

Misalnya, fungsi trigonometri y=sin(x), y=tg(x), y=ctg(x) ganjil.

Periodisitas fungsi trigonometri

Suatu fungsi y=f(x) disebut periodik jika terdapat bilangan tertentu T!=0 (disebut periode dari fungsi y=f(x)), sehingga untuk sembarang nilai x yang termasuk domain fungsi , bilangan x+T dan x-T juga termasuk domain fungsi dan persamaan f(x)=f(x+T)=f(x-T) dipenuhi.

Harus dipahami bahwa jika T adalah periode fungsi, maka bilangan k*T, di mana k adalah sembarang bilangan bulat bukan-nol, juga akan menjadi periode fungsi. Berdasarkan uraian di atas, kita memperoleh bahwa setiap fungsi periodik memiliki banyak periode yang tak terhingga. Paling sering, percakapan adalah tentang periode terkecil dari fungsi.

Fungsi trigonometri sin(x) dan cos(x) adalah periodik, dengan periode terkecil sama dengan 2*π.

Tujuan: untuk menggeneralisasi dan mensistematisasikan pengetahuan siswa tentang topik "Periodisitas fungsi"; membentuk keterampilan dalam menerapkan sifat-sifat fungsi periodik, menemukan periode positif terkecil dari suatu fungsi, merencanakan fungsi periodik; mempromosikan minat dalam studi matematika; menumbuhkan pengamatan, akurasi.

Peralatan: komputer, proyektor multimedia, kartu tugas, slide, jam, meja ornamen, elemen kerajinan rakyat

“Matematika adalah apa yang digunakan orang untuk mengendalikan alam dan diri mereka sendiri”
SEBUAH. Kolmogorov

Selama kelas

I. Tahap organisasi.

Memeriksa kesiapan siswa untuk pelajaran. Presentasi topik dan tujuan pelajaran.

II. Memeriksa pekerjaan rumah.

Kami memeriksa pekerjaan rumah sesuai dengan sampel, mendiskusikan poin yang paling sulit.

AKU AKU AKU. Generalisasi dan sistematisasi pengetahuan.

1. Pekerjaan lisan frontal.

Pertanyaan teori.

1) Bentuk definisi periode fungsi
2) Berapa periode positif terkecil dari fungsi y=sin(x), y=cos(x)
3). Berapa periode positif terkecil dari fungsi y=tg(x), y=ctg(x)
4) Gunakan lingkaran untuk membuktikan kebenaran hubungan:

y=sin(x) = sin(x+360º)
y=cos(x) = cos(x+360º)
y=tg(x) = tg(x+18 0º)
y=ctg(x) = ctg(x+180º)

tg(x+π n)=tgx, n Z
ctg(x+π n)=ctgx, n Z

sin(x+2π n)=sinx, n Z
cos(x+2π n)=cosx, n Z

5) Bagaimana cara memplot fungsi periodik?

latihan lisan.

1) Buktikan hubungan berikut

sebuah) dosa(740º) = dosa(20º)
b) cos(54º ) = cos(-1026º)
c) sin(-1000º) = dosa(80º )

2. Buktikan bahwa sudut 540º adalah salah satu periode dari fungsi y= cos(2x)

3. Buktikan bahwa sudut 360 adalah salah satu periode dari fungsi y=tg(x)

4. Transformasikan ekspresi ini sehingga sudut yang termasuk di dalamnya tidak melebihi 90º dalam nilai absolut.

sebuah) tg375º
b) ctg530º
c) dosa1268º
d) cos(-7363º)

5. Di mana Anda bertemu dengan kata PERIOD, PERIODICITY?

Jawaban siswa: Periode dalam musik adalah konstruksi di mana pemikiran musik yang kurang lebih lengkap dinyatakan. Zaman geologi merupakan bagian dari suatu zaman dan terbagi menjadi zaman-zaman dengan jangka waktu antara 35 sampai 90 juta tahun.

Waktu paruh zat radioaktif. Fraksi periodik. Majalah berkala adalah publikasi tercetak yang muncul pada tanggal yang ditentukan secara ketat. Sistem periodik Mendeleev.

6. Angka-angka tersebut menunjukkan bagian-bagian dari grafik fungsi periodik. Tentukan periode fungsi. Tentukan periode dari fungsi tersebut.

Menjawab: T=2; T=2; T=4; T=8.

7. Di mana dalam hidup Anda, Anda pernah bertemu dengan konstruksi elemen berulang?

Siswa menjawab: Unsur ornamen, kesenian rakyat.

IV. Pemecahan masalah kolektif.

(Pemecahan masalah pada slide.)

Mari kita pertimbangkan salah satu cara untuk mempelajari fungsi untuk periodisitas.

Metode ini melewati kesulitan yang terkait dengan membuktikan bahwa satu atau beberapa periode lain adalah yang terkecil, dan juga tidak perlu menyentuh pertanyaan tentang operasi aritmatika pada fungsi periodik dan tentang periodisitas fungsi kompleks. Penalaran hanya didasarkan pada definisi fungsi periodik dan fakta berikut: jika T adalah periode fungsi, maka nT(n? 0) adalah periodenya.

Soal 1. Tentukan periode positif terkecil dari fungsi f(x)=1+3(x+q>5)

Solusi: Mari kita asumsikan bahwa periode-T dari fungsi ini. Maka f(x+T)=f(x) untuk semua x D(f), mis.

1+3(x+T+0.25)=1+3(x+0.25)
(x+T+0,25)=(x+0,25)

Misalkan x=-0,25 kita peroleh

(T)=0<=>T=n, n Z

Kami telah memperoleh bahwa semua periode dari fungsi yang dipertimbangkan (jika ada) adalah di antara bilangan bulat. Pilih di antara angka-angka ini angka positif terkecil. Ini 1 . Mari kita periksa apakah itu benar-benar sebuah periode 1 .

f(x+1)=3(x+1+0.25)+1

Karena (T+1)=(T) untuk sembarang T, maka f(x+1)=3((x+0.25)+1)+1=3(x+0.25)+1=f(x ), mis. 1 - periode f. Karena 1 adalah yang terkecil dari semua bilangan bulat positif, maka T=1.

Tugas 2. Tunjukkan bahwa fungsi f(x)=cos 2 (x) adalah periodik dan temukan periode utamanya.

Tugas 3. Temukan periode utama dari fungsi

f(x)=sin(1.5x)+5cos(0.75x)

Asumsikan periode-T dari fungsi tersebut, maka untuk sembarang X rasio

sin1.5(x+T)+5cos0.75(x+T)=sin(1.5x)+5cos(0.75x)

Jika x = 0 maka

sin(1.5T)+5cos(0.75T)=sin0+5cos0

sin(1.5T)+5cos(0.75T)=5

Jika x=-T, maka

sin0+5cos0=sin(-1.5T)+5cos0.75(-T)

5= - sin(1.5T)+5cos(0.75T)

sin(1.5T)+5cos(0.75T)=5 – sin(1.5Т)+5cos(0.75Т)=5

Menambahkan, kita mendapatkan:

10cos (0.75T) = 10

2π n, n € Z

Mari kita pilih dari semua angka "mencurigakan" untuk periode yang positif terkecil dan periksa apakah itu adalah periode untuk f. Nomor ini

f(x+)=sin(1.5x+4π)+5cos(0.75x+2π)= sin(1.5x)+5cos(0.75x)=f(x)

Jadi, adalah periode utama dari fungsi f.

Tugas 4. Periksa apakah fungsi f(x)=sin(x) periodik

Misalkan T adalah periode dari fungsi f. Maka untuk sembarang x

sin|x+T|=sin|x|

Jika x=0, maka sin|T|=sin0, sin|T|=0 T=π n, n Z.

Memperkirakan. Bahwa untuk beberapa n bilangan n adalah suatu periode

dianggap fungsi n>0. Maka sin|π n+x|=sin|x|

Ini menyiratkan bahwa n harus genap dan ganjil pada saat yang sama, yang tidak mungkin. Oleh karena itu, fungsi ini tidak periodik.

Tugas 5. Periksa apakah fungsinya periodik

f(x)=

Misalkan T adalah periode f, maka

, maka sinT=0, T=π n, n € Z. Mari kita asumsikan bahwa untuk beberapa n bilangan n memang merupakan periode dari fungsi yang diberikan. Maka bilangan 2π n juga merupakan titik

Karena pembilangnya sama, penyebutnya juga sama, jadi

Oleh karena itu, fungsi f tidak periodik.

Pekerjaan kelompok.

Tugas untuk kelompok 1.

Tugas untuk kelompok 2.

Periksa apakah fungsi f periodik dan temukan periode utamanya (jika ada).

f(x)=cos(2x)+2sin(2x)

Tugas untuk kelompok 3.

Di akhir pekerjaan, kelompok mempresentasikan solusi mereka.

VI. Menyimpulkan pelajaran.

Refleksi.

Guru memberikan kartu gambar kepada siswa dan menawarkan untuk melukis pada bagian gambar pertama sesuai dengan sejauh mana, menurut mereka, mereka telah menguasai metode mempelajari fungsi periodisitas, dan pada bagian gambar kedua. , sesuai dengan kontribusi mereka terhadap pekerjaan dalam pelajaran.

VII. Pekerjaan rumah

satu). Periksa apakah fungsi f periodik dan temukan periode utamanya (jika ada)

b). f(x)=x 2 -2x+4

c). f(x)=2tg(3x+5)

2). Fungsi y=f(x) memiliki periode T=2 dan f(x)=x 2 +2x untuk x € [-2; 0]. Temukan nilai dari ekspresi -2f(-3)-4f(3,5)

Literatur/

1. Mordkovich A.G. Aljabar dan analisis awal dengan studi mendalam.
2. Matematika. Persiapan untuk ujian. Ed. Lysenko F.F., Kulabukhova S.Yu.
3. Sheremetyeva T.G. , Tarasova E.A. Aljabar dan analisis awal untuk kelas 10-11.