Pertimbangkan masalah mendefinisikan operasi kebalikan dari perkalian matriks.
Misalkan A adalah matriks bujur sangkar dengan orde n. Matriks A^(-1) , yang bersama-sama dengan matriks A memenuhi persamaan berikut:
A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E,
ditelepon membalik. Matriks A disebut reversibel, jika ada kebalikannya, jika tidak - ireversibel.
Ini mengikuti dari definisi bahwa jika matriks invers A^(-1) ada, maka matriks tersebut adalah kuadrat dengan orde yang sama dengan A . Namun, tidak setiap matriks persegi memiliki invers. Jika determinan matriks A sama dengan nol (\det(A)=0) , maka tidak ada inversnya. Memang, menerapkan teorema pada determinan produk matriks untuk matriks identitas E=A^(-1)A, kita memperoleh kontradiksi
\det(E)=\det(A^(-1)\cdot A)=\det(A^(-1))\det(A)=\det(A^(-1))\cdot0=0
karena determinan matriks identitas sama dengan 1. Ternyata selisih dari nol determinan matriks persegi adalah satu-satunya syarat keberadaan matriks terbalik. Ingatlah bahwa matriks persegi yang determinannya sama dengan nol disebut degenerasi (tunggal), jika tidak - non-tunggal (non-tunggal).
Teorema 4.1 tentang keberadaan dan keunikan matriks invers. matriks persegi A=\begin(pmatrix)a_(11)&\cdots&a_(1n)\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_(n1)&\cdots&a_(nn) \end(pmatrix), yang determinannya bukan nol, memiliki matriks invers dan, apalagi, hanya satu:
A^(-1)=\frac(1)(\det(A))\cdot\! \begin(pmatrix)A_(11)&A_(21)&\cdots&A_(1n)\\ A_(12)&A_(22)&\cdots&A_(n2)\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ A_(1n )&A_(2n)&\cdots&A_(nn) \end(pmatrix)= \frac(1)(\det(A))\cdot A^(+),
di mana A^(+) adalah matriks yang ditransposisikan untuk matriks yang terdiri dari komplemen aljabar dari elemen matriks A .
Matriks A^(+) disebut matriks terlampir terhadap matriks A .
Memang, matriks \frac(1)(\det(A))\,A^(+) ada di bawah kondisi \det(A)\ne0 . Kita harus menunjukkan bahwa itu adalah kebalikan dari A , yaitu. memenuhi dua syarat:
\begin(aligned)\mathsf(1))&~A\cdot\!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)=E;\\ \mathsf (2))&~ \!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)\!\cdot A=E.\end(aligned)
Mari kita buktikan persamaan pertama. Menurut butir 4 dari Keterangan 2.3, berikut dari sifat-sifat determinan bahwa AA^(+)=\det(A)\cdot E. Itu sebabnya
A\cdot\!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)= \frac(1)(\det(A))\cdot AA^(+) = \frac(1)(\det(A))\cdot \det(A)\cdot E=E,
yang akan ditampilkan. Persamaan kedua dibuktikan dengan cara yang sama. Oleh karena itu, pada kondisi \det(A)\ne0, matriks A memiliki invers
A^(-1)=\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+).
Kami membuktikan keunikan matriks terbalik dengan kontradiksi. Biarkan selain matriks A^(-1) ada satu lagi matriks invers B\,(B\ne A^(-1)) sehingga AB=E . Mengalikan kedua sisi persamaan ini di sebelah kiri dengan matriks A^(-1) , kita dapatkan \underbrace(A^(-1)AB)_(E)=A^(-1)E. Oleh karena itu B=A^(-1) , yang bertentangan dengan asumsi B\ne A^(-1) . Oleh karena itu, matriks inversnya adalah unik.
Keterangan 4.1
1. Berdasarkan definisi, matriks A dan A^(-1) dapat diubah-ubah.
2. Matriks yang terbalik dengan diagonal yang tidak berdegenerasi juga diagonal:
\Bigl[\operatorname(diag)(a_(11),a_(22),\ldots,a_(nn))\Bigr]^(-1)= \operatorname(diag)\!\left(\frac(1 )(a_(11)),\,\frac(1)(a_(22)),\,\ldots,\,\frac(1)(a_(nn))\kanan)\!.
3. Matriks invers ke matriks segitiga bawah (atas) yang tidak berdegenerasi adalah segitiga bawah (atas).
4. Matriks elementer memiliki invers yang juga elementer (lihat butir 1 dari Keterangan 1.11).
Sifat Matriks Terbalik
Operasi inversi matriks memiliki sifat-sifat berikut:
\begin(aligned)\bold(1.)&~~ (A^(-1))^(-1)=A\,;\\ \bold(2.)&~~ (AB)^(-1 )=B^(-1)A^(-1)\,;\\ \bold(3.)&~~ (A^T)^(-1)=(A^(-1))^T\ ,;\\ \bold(4.)&~~ \det(A^(-1))=\frac(1)(\det(A))\,;\\ \bold(5.)&~~ E^(-1)=E\,. \end(selaras)
jika operasi yang ditunjukkan dalam persamaan 1-4 masuk akal.
Mari kita buktikan properti 2: jika hasil kali AB dari matriks bujur sangkar tak tunggal berorde sama memiliki matriks invers, maka (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1).
Memang, determinan hasil kali matriks AB tidak sama dengan nol, karena
\det(A\cdot B)=\det(A)\cdot\det(B), di mana \det(A)\ne0,~\det(B)\ne0
Oleh karena itu, matriks invers (AB)^(-1) ada dan unik. Mari kita tunjukkan dengan definisi bahwa matriks B^(-1)A^(-1) adalah invers terhadap matriks AB . Betulkah.
Definisi 1: Suatu matriks disebut degenerasi jika determinannya nol.
Definisi 2: Suatu matriks disebut non-tunggal jika determinannya tidak sama dengan nol.
Matriks "A" disebut matriks terbalik, jika kondisi A*A-1 = A-1 *A = E (matriks identitas) terpenuhi.
Matriks persegi hanya dapat dibalik jika tidak tunggal.
Skema untuk menghitung matriks terbalik:
1) Hitung determinan matriks "A" jika ∆ A = 0, maka matriks invers tidak ada.
2) Temukan semua komplemen aljabar dari matriks "A".
3) Menyusun matriks penjumlahan aljabar (Aij )
4) Transpose matriks komplemen aljabar (Aij )T
5) Kalikan matriks yang ditransposisikan dengan kebalikan dari determinan matriks ini.
6) Jalankan pemeriksaan:
Sepintas mungkin tampak sulit, tetapi sebenarnya semuanya sangat sederhana. Semua solusi didasarkan pada operasi aritmatika sederhana, hal utama saat menyelesaikannya adalah jangan bingung dengan tanda "-" dan "+", dan jangan sampai hilang.
Dan sekarang mari kita selesaikan tugas praktis bersama Anda dengan menghitung matriks terbalik.
Tugas: temukan matriks invers "A", yang ditunjukkan pada gambar di bawah ini:
1. Hal pertama yang harus dilakukan adalah mencari determinan matriks "A":
Penjelasan:
Kami telah menyederhanakan determinan kami dengan menggunakan fungsi utamanya. Pertama, kami menambahkan elemen baris pertama ke baris ke-2 dan ke-3, dikalikan dengan satu angka.
Kedua, kami mengubah kolom determinan ke-2 dan ke-3, dan sesuai dengan sifat-sifatnya, kami mengubah tanda di depannya.
Ketiga, kami menghilangkan faktor persekutuan (-1) dari baris kedua, dengan demikian mengubah tandanya lagi, dan menjadi positif. Kami juga menyederhanakan baris 3 dengan cara yang sama seperti di awal contoh.
Kami memiliki determinan segitiga, di mana elemen-elemen di bawah diagonal sama dengan nol, dan oleh properti 7 itu sama dengan produk elemen-elemen diagonal. Hasilnya, kami mendapat ∆ A = 26, maka matriks invers ada.
A11 = 1*(3+1) = 4
A12 \u003d -1 * (9 + 2) \u003d -11
A13 = 1*1 = 1
A21 = -1*(-6) = 6
A22 = 1*(3-0) = 3
A23 = -1*(1+4) = -5
A31 = 1*2 = 2
A32 = -1*(-1) = -1
A33 = 1+(1+6) = 7
3. Langkah selanjutnya adalah menyusun matriks dari hasil penjumlahan:
5. Kami mengalikan matriks ini dengan kebalikan dari determinannya, yaitu dengan 1/26:
6. Nah, sekarang kita hanya perlu memeriksa:
Selama verifikasi, kami menerima matriks identitas, oleh karena itu, keputusan dibuat dengan benar.
2 cara menghitung matriks invers.
1. Transformasi dasar matriks
2. Invers matriks melalui konverter dasar.
Transformasi matriks dasar meliputi:
1. Mengalikan string dengan angka bukan nol.
2. Menambahkan ke baris mana pun dari baris lain, dikalikan dengan angka.
3. Tukar baris matriks.
4. Menerapkan rantai transformasi dasar, kami memperoleh matriks lain.
TETAPI -1 = ?
1. (A|E) ~ (E|A -1 )
2. A -1*A=E
Mari kita lihat ini dalam contoh praktis dengan bilangan real.
Latihan: Temukan matriks terbalik.
Larutan:
Mari kita periksa:
Sedikit klarifikasi tentang solusinya:
Kami pertama-tama menukar baris 1 dan 2 dari matriks, lalu kami mengalikan baris pertama dengan (-1).
Setelah itu, baris pertama dikalikan dengan (-2) dan ditambahkan ke baris kedua matriks. Kemudian kami mengalikan baris ke-2 dengan 1/4.
Tahap akhir dari transformasi adalah perkalian dari baris kedua dengan 2 dan penambahan dari yang pertama. Akibatnya, kami memiliki matriks identitas di sebelah kiri, oleh karena itu, matriks terbalik adalah matriks di sebelah kanan.
Setelah memeriksa, kami yakin akan kebenaran solusi tersebut.
Seperti yang Anda lihat, menghitung matriks terbalik sangat sederhana.
Sebagai penutup kuliah ini, saya juga ingin mencurahkan waktu untuk sifat-sifat matriks semacam itu.
Matriks $A^(-1)$ disebut invers dari matriks bujur sangkar $A$ jika $A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E$, di mana $E $ adalah matriks identitas, yang ordenya sama dengan orde matriks $A$.
Matriks tak tunggal adalah matriks yang determinannya tidak sama dengan nol. Dengan demikian, matriks degenerasi adalah matriks yang determinannya sama dengan nol.
Matriks invers $A^(-1)$ ada jika dan hanya jika matriks $A$ bukan singular. Jika matriks invers $A^(-1)$ ada, maka matriks tersebut unik.
Ada beberapa cara untuk menemukan invers suatu matriks, dan kita akan melihat dua di antaranya. Halaman ini akan membahas metode matriks adjoint, yang dianggap standar di sebagian besar mata kuliah matematika tingkat tinggi. Cara kedua untuk menemukan matriks invers (metode transformasi dasar), yang melibatkan penggunaan metode Gauss atau metode Gauss-Jordan, dibahas di bagian kedua.
Metode matriks adjoint (serikat)
Biarkan matriks $A_(n\times n)$ diberikan. Untuk menemukan matriks invers $A^(-1)$, diperlukan tiga langkah:
- Temukan determinan matriks $A$ dan pastikan bahwa $\Delta A\neq 0$, mis. bahwa matriks A tidak berdegenerasi.
- Tulis komplemen aljabar $A_(ij)$ dari setiap elemen matriks $A$ dan tuliskan matriks $A_(n\times n)^(*)=\left(A_(ij) \right)$ dari yang ditemukan komplemen aljabar.
- Tulis matriks invers dengan memperhitungkan rumus $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$.
Matriks $(A^(*))^T$ sering disebut sebagai matriks adjoint (mutual, allied) dari $A$.
Jika keputusan dibuat secara manual, maka metode pertama hanya baik untuk matriks dengan ordo yang relatif kecil: kedua (), ketiga (), keempat (). Untuk mencari invers matriks untuk matriks orde yang lebih tinggi, digunakan metode lain. Misalnya, metode Gauss, yang dibahas di bagian kedua.
Contoh 1
Cari invers matriks ke matriks $A=\left(\begin(array) (cccc) 5 & -4 &1 & 0 \\ 12 &-11 &4 & 0 \\ -5 & 58 &4 & 0 \\ 3 & - 1 & -9 & 0 \end(array) \kanan)$.
Karena semua elemen dari kolom keempat sama dengan nol, maka $\Delta A=0$ (yaitu matriks $A$ merosot). Karena $\Delta A=0$, tidak ada matriks invers ke $A$.
Contoh #2
Cari invers matriks ke matriks $A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \end(array)\right)$.
Kami menggunakan metode matriks adjoint. Pertama, mari kita cari determinan dari matriks yang diberikan $A$:
$$ \Delta A=\kiri| \begin(array) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(array)\right|=-5\cdot 8-7\cdot 9=-103. $$
Karena $\Delta A \neq 0$, maka matriks terbalik ada, jadi kami melanjutkan solusi. Menemukan Pelengkap Aljabar
\begin(sejajar) & A_(11)=(-1)^2\cdot 8=8; \; A_(12)=(-1)^3\cdot 9=-9;\\ & A_(21)=(-1)^3\cdot 7=-7; \; A_(22)=(-1)^4\cdot (-5)=-5.\\ \end(selaras)
Susun matriks komplemen aljabar: $A^(*)=\left(\begin(array) (cc) 8 & -9\\ -7 & -5 \end(array)\right)$.
Transpos matriks yang dihasilkan: $(A^(*))^T=\left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right)$ (hasilnya matriks ini sering disebut matriks adjoint atau gabungan dari matriks $A$). Menggunakan rumus $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$, kita mendapatkan:
$$ A^(-1)=\frac(1)(-103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right) =\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right) $$
Jadi matriks invers ditemukan: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array) \kanan) $. Untuk memeriksa kebenaran hasil, cukup dengan memeriksa kebenaran salah satu persamaan: $A^(-1)\cdot A=E$ atau $A\cdot A^(-1)=E$. Mari kita periksa persamaan $A^(-1)\cdot A=E$. Untuk bekerja lebih sedikit dengan pecahan, kita akan mengganti matriks $A^(-1)$ bukan dalam bentuk $\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \ end(array)\right)$ tetapi sebagai $-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \ akhir(array)\kanan)$:
Menjawab: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right)$.
Contoh #3
Cari invers matriks $A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right)$.
Mari kita mulai dengan menghitung determinan dari matriks $A$. Jadi, determinan matriks $A$ adalah:
$$ \Delta A=\kiri| \begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right| = 18-36+56-12=26. $$
Karena $\Delta A\neq 0$, maka matriks terbalik ada, jadi kami melanjutkan solusi. Kami menemukan komplemen aljabar dari setiap elemen dari matriks yang diberikan:
Kami menyusun matriks penambahan aljabar dan mentransposnya:
$$ A^*=\left(\begin(array) (ccc) 6 & 8 & -12 \\ -5 & 2 & -3 \\ 1 & -16 & 37\end(array) \right); \; (A^*)^T=\left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right) $$
Dengan menggunakan rumus $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$, kita peroleh:
$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\end(array) \kanan)= \left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ \ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \kanan) $$
Jadi $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 13/3 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ - 6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \kanan)$. Untuk memeriksa kebenaran hasil, cukup dengan memeriksa kebenaran salah satu persamaan: $A^(-1)\cdot A=E$ atau $A\cdot A^(-1)=E$. Mari kita periksa persamaan $A\cdot A^(-1)=E$. Untuk bekerja lebih sedikit dengan pecahan, kita akan mengganti matriks $A^(-1)$ bukan dalam bentuk $\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \ \ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$, tetapi sebagai $\frac(1)(26)\ cdot \left( \begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right)$:
Cek berhasil dilewati, matriks terbalik $A^(-1)$ ditemukan dengan benar.
Menjawab: $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 13/3 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \kanan)$.
Contoh #4
Cari invers matriks dari $A=\left(\begin(array) (cccc) 6 & -5 & 8 & 4\\ 9 & 7 & 5 & 2 \\ 7 & 5 & 3 & 7\\ -4 & 8 & -8 & -3 \end(array) \kanan)$.
Untuk matriks orde keempat, mencari matriks invers menggunakan penjumlahan aljabar agak sulit. Namun, contoh seperti itu ditemukan dalam pekerjaan kontrol.
Untuk menemukan matriks invers, pertama Anda perlu menghitung determinan dari matriks $A$. Cara terbaik untuk melakukan ini dalam situasi ini adalah memperluas determinan dalam satu baris (kolom). Kami memilih setiap baris atau kolom dan menemukan komplemen aljabar dari setiap elemen dari baris atau kolom yang dipilih.
Biasanya, operasi invers digunakan untuk menyederhanakan ekspresi aljabar kompleks. Misalnya, jika soal berisi operasi pembagian dengan pecahan, Anda dapat menggantinya dengan operasi perkalian dengan kebalikannya, yang merupakan operasi kebalikannya. Selain itu, matriks tidak dapat dibagi, jadi Anda perlu mengalikan dengan matriks terbalik. Menghitung invers matriks 3x3 cukup membosankan, tetapi Anda harus bisa melakukannya secara manual. Anda juga dapat menemukan kebalikannya dengan kalkulator grafik yang bagus.
Langkah
Menggunakan matriks terlampir
Transpos matriks asli. Transposisi adalah penggantian baris dengan kolom relatif terhadap diagonal utama matriks, yaitu, Anda perlu menukar elemen (i, j) dan (j, i). Dalam hal ini, elemen diagonal utama (dimulai di sudut kiri atas dan berakhir di sudut kanan bawah) tidak berubah.
- Untuk menukar baris dengan kolom, tulis elemen baris pertama di kolom pertama, elemen baris kedua di kolom kedua, dan elemen baris ketiga di kolom ketiga. Urutan perubahan posisi elemen ditunjukkan pada gambar, di mana elemen yang sesuai dilingkari dengan lingkaran berwarna.
Tentukan definisi setiap matriks 2x2. Setiap elemen dari matriks apa pun, termasuk yang ditransposisikan, dikaitkan dengan matriks 2x2 yang sesuai. Untuk menemukan matriks 2x2 yang sesuai dengan elemen tertentu, coret baris dan kolom tempat elemen ini berada, yaitu, Anda perlu mencoret lima elemen dari matriks 3x3 asli. Empat elemen yang merupakan elemen dari matriks 2x2 yang sesuai akan tetap tidak dicoret.
- Misalnya, untuk mencari matriks 2x2 untuk elemen yang terletak di persimpangan baris kedua dan kolom pertama, coret lima elemen yang ada di baris kedua dan kolom pertama. Empat elemen yang tersisa adalah elemen dari matriks 2x2 yang sesuai.
- Tentukan determinan dari setiap matriks 2x2. Untuk melakukan ini, kurangi produk elemen diagonal sekunder dari produk elemen diagonal utama (lihat gambar).
- Informasi rinci tentang matriks 2x2 yang sesuai dengan elemen tertentu dari matriks 3x3 dapat ditemukan di Internet.
Buat matriks kofaktor. Catat hasil yang diperoleh tadi dalam bentuk matriks kofaktor baru. Untuk melakukannya, tulis determinan yang ditemukan dari setiap matriks 2x2 di mana elemen yang sesuai dari matriks 3x3 berada. Misalnya, jika Anda mempertimbangkan matriks 2x2 untuk elemen (1,1), tuliskan determinannya di posisi (1,1). Kemudian ubah tanda-tanda elemen yang sesuai sesuai dengan pola tertentu, yang ditunjukkan pada gambar.
- Skema perubahan tanda: tanda elemen pertama dari baris pertama tidak berubah; tanda elemen kedua dari baris pertama dibalik; tanda elemen ketiga dari baris pertama tidak berubah, dan seterusnya baris demi baris. Harap dicatat bahwa tanda "+" dan "-", yang ditunjukkan pada diagram (lihat gambar), tidak menunjukkan bahwa elemen yang sesuai akan positif atau negatif. Dalam hal ini, tanda “+” menunjukkan bahwa tanda unsur tidak berubah, dan tanda “-” menunjukkan bahwa tanda unsur telah berubah.
- Informasi rinci tentang matriks kofaktor dapat ditemukan di Internet.
- Ini adalah bagaimana Anda menemukan matriks terkait dari matriks asli. Kadang-kadang disebut matriks konjugat kompleks. Matriks seperti itu dilambangkan sebagai adj(M).
Bagilah setiap elemen matriks adjoint dengan determinannya. Determinan matriks M dihitung di awal untuk memeriksa bahwa matriks terbalik ada. Sekarang bagilah setiap elemen matriks adjoint dengan determinan ini. Catat hasil dari setiap operasi pembagian di mana elemen yang sesuai berada. Jadi Anda akan menemukan matriks, kebalikan dari aslinya.
- Determinan matriks yang ditunjukkan pada gambar adalah 1. Jadi, matriks terkait di sini adalah matriks invers (karena membagi bilangan apa pun dengan 1 tidak mengubahnya).
- Dalam beberapa sumber, operasi pembagian digantikan oleh operasi perkalian dengan 1/det(M). Dalam hal ini, hasil akhirnya tidak berubah.
Tuliskan matriks inversnya. Tulis elemen-elemen yang terletak di bagian kanan matriks besar sebagai matriks terpisah, yang merupakan matriks terbalik.
Masukkan matriks asli ke dalam memori kalkulator. Untuk melakukannya, klik tombol Matrix, jika tersedia. Untuk kalkulator Texas Instruments, Anda mungkin perlu menekan tombol ke-2 dan Matrix.
Pilih menu Sunting. Lakukan ini dengan menggunakan tombol panah atau tombol fungsi terkait yang terletak di bagian atas keyboard kalkulator (lokasi tombol tergantung pada model kalkulator).
Masukkan penunjukan matriks. Kebanyakan kalkulator grafis dapat bekerja dengan matriks 3-10, yang dapat dilambangkan dengan huruf A-J. Sebagai aturan umum, cukup pilih [A] untuk menunjukkan matriks asli. Kemudian tekan tombol Enter.
Masukkan ukuran matriks. Artikel ini membahas tentang matriks 3x3. Tetapi kalkulator grafis dapat bekerja dengan matriks besar. Masukkan jumlah baris, tekan tombol Enter, lalu masukkan jumlah kolom dan tekan tombol Enter lagi.
Masukkan setiap elemen matriks. Sebuah matriks akan ditampilkan pada layar kalkulator. Jika matriks telah dimasukkan ke dalam kalkulator sebelumnya, itu akan muncul di layar. Kursor akan menyorot elemen pertama dari matriks. Masukkan nilai elemen pertama dan tekan Enter. Kursor akan secara otomatis berpindah ke elemen matriks berikutnya.
Matriks A -1 disebut matriks invers terhadap matriks A, jika A * A -1 \u003d E, di mana E adalah matriks identitas orde ke-n. Matriks invers hanya bisa ada untuk matriks persegi.
tugas layanan. Dengan menggunakan layanan ini secara online, Anda dapat menemukan penjumlahan aljabar, matriks transpos A T , matriks gabungan, dan matriks terbalik. Penyelesaiannya dilakukan langsung di situs (online) dan gratis. Hasil perhitungan disajikan dalam laporan dalam format Word dan dalam format Excel (yaitu, dimungkinkan untuk memeriksa solusinya). lihat contoh desain.
Petunjuk. Untuk mendapatkan solusi, Anda harus menentukan dimensi matriks. Selanjutnya, pada kotak dialog baru, isikan matriks A .
Lihat juga Matriks Invers dengan Metode Jordan-Gauss
Algoritma untuk mencari matriks invers
- Mencari matriks transpos A T .
- Definisi penjumlahan aljabar. Ganti setiap elemen matriks dengan komplemen aljabarnya.
- Penyusunan matriks invers dari penjumlahan aljabar: setiap elemen matriks yang dihasilkan dibagi dengan determinan matriks aslinya. Matriks yang dihasilkan merupakan kebalikan dari matriks aslinya.
- Tentukan apakah matriks tersebut persegi. Jika tidak, maka tidak ada matriks invers untuk itu.
- Perhitungan determinan matriks A . Jika tidak sama dengan nol, kami melanjutkan solusi, jika tidak, matriks terbalik tidak ada.
- Definisi penjumlahan aljabar.
- Mengisi matriks gabungan (mutual, adjoint) C .
- Penyusunan matriks invers dari penjumlahan aljabar: setiap elemen matriks adjoin C dibagi dengan determinan matriks asalnya. Matriks yang dihasilkan merupakan kebalikan dari matriks aslinya.
- Lakukan pemeriksaan: kalikan matriks asli dan matriks yang dihasilkan. Hasilnya harus berupa matriks identitas.
Contoh 1. Kami menulis matriks dalam bentuk:
Penambahan aljabar.
| A 1.1 = (-1) 1+1 |
|
∆ 1,1 = (-1 4-5 (-2)) = 6
| A 1,2 = (-1) 1+2 |
|
∆ 1,2 = -(2 4-(-2 (-2))) = -4
| A 1,3 = (-1) 1+3 |
|
∆ 1,3 = (2 5-(-2 (-1))) = 8
| A 2.1 = (-1) 2+1 |
|
∆ 2,1 = -(2 4-5 3) = 7
| A 2.2 = (-1) 2+2 |
|
∆ 2,2 = (-1 4-(-2 3)) = 2
| A 2,3 = (-1) 2+3 |
|
∆ 2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1
| A 3.1 = (-1) 3+1 |
|
∆ 3,1 = (2 (-2)-(-1 3)) = -1
| A 3,2 = (-1) 3+2 |
|
∆ 3,2 = -(-1 (-2)-2 3) = 4
| A 3,3 = (-1) 3+3 |
|
∆ 3,3 = (-1 (-1)-2 2) = -3
Kemudian matriks terbalik dapat ditulis sebagai:
| A -1 = 1 / 10 |
|
| A -1 = |
|
Algoritma lain untuk menemukan matriks terbalik
Kami menyajikan skema lain untuk menemukan matriks terbalik.- Tentukan determinan dari matriks persegi A yang diberikan.
- Kami menemukan penambahan aljabar untuk semua elemen matriks A .
- Kami menulis pelengkap aljabar dari elemen baris ke dalam kolom (transposisi).
- Kami membagi setiap elemen dari matriks yang dihasilkan dengan determinan matriks A .
Kasus khusus: Invers, terhadap matriks identitas E , adalah matriks identitas E .
