Akar kuadrat dari suatu bilangan X disebut nomor A, yang dalam proses mengalikan dirinya dengan dirinya sendiri ( A A) dapat memberikan nomor X.
Itu. A * A = A 2 = X, dan X = A.

Di atas akar kuadrat ( x), seperti halnya bilangan lainnya, Anda dapat melakukan operasi aritmatika seperti pengurangan dan penambahan. Untuk mengurangi dan menambahkan akar, mereka harus dihubungkan menggunakan tanda yang sesuai dengan tindakan ini (misalnya x- y ).
Dan kemudian bawa akar ke bentuknya yang paling sederhana - jika ada yang serupa di antara mereka, Anda perlu membuat gips. Ini terdiri dari fakta bahwa koefisien dari istilah yang serupa dengan tanda-tanda dari istilah yang sesuai diambil, kemudian mereka diapit dalam tanda kurung, dan akar umum ditampilkan di luar tanda kurung pengali. Koefisien yang telah kita peroleh disederhanakan menurut aturan biasa.

Langkah 1. Mengekstrak akar kuadrat

Pertama, untuk menambahkan akar kuadrat, Anda harus mengekstrak akar ini terlebih dahulu. Ini dapat dilakukan jika angka-angka di bawah tanda akar adalah kuadrat sempurna. Misalnya, ambil ekspresi yang diberikan √4 + √9 . nomor pertama 4 adalah kuadrat dari bilangan tersebut 2 . Nomor kedua 9 adalah kuadrat dari bilangan tersebut 3 . Dengan demikian, persamaan berikut dapat diperoleh: √4 + √9 = 2 + 3 = 5 .
Semuanya, contohnya terpecahkan. Tapi itu tidak selalu terjadi seperti itu.

Langkah 2. Keluarkan pengali angka dari bawah akar

Jika tidak ada kuadrat penuh di bawah tanda akar, Anda dapat mencoba menghilangkan pengali angka dari bawah tanda akar. Misalnya, ambil ekspresi √24 + √54 .

Mari kita memfaktorkan angka-angkanya:
24 = 2 * 2 * 2 * 3 ,
54 = 2 * 3 * 3 * 3 .

dalam daftar 24 kami memiliki pengganda 4 , itu dapat diambil dari bawah tanda akar kuadrat. dalam daftar 54 kami memiliki pengganda 9 .

Kami mendapatkan persamaan:
√24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 .

Mempertimbangkan contoh ini, kami mendapatkan penghapusan faktor dari bawah tanda akar, sehingga menyederhanakan ekspresi yang diberikan.

Langkah 3. Mengurangi penyebut

Perhatikan situasi berikut: jumlah dua akar kuadrat adalah penyebut pecahan, misalnya, A / (a ​​+ b).
Sekarang kita dihadapkan pada tugas "menyingkirkan irasionalitas dalam penyebut."
Mari kita gunakan metode berikut: kalikan pembilang dan penyebut pecahan dengan ekspresi a - b.

Kami sekarang mendapatkan rumus perkalian yang disingkat dalam penyebut:
(√a + b) * (√a - b) = a - b.

Demikian pula, jika penyebutnya mengandung selisih akar-akarnya: a - b, pembilang dan penyebut pecahan dikalikan dengan persamaan a + b.

Mari kita ambil pecahan sebagai contoh:
4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 - √5) / ((√3 + √5) * (√3 - √5)) = 4 * (√3 - √5) / (-2) = 2 * (√5 - √3) .

Contoh pengurangan penyebut kompleks

Sekarang kita akan mempertimbangkan contoh yang agak rumit untuk menghilangkan irasionalitas dalam penyebut.

Mari kita ambil pecahan sebagai contoh: 12 / (√2 + √3 + √5) .
Anda perlu mengambil pembilang dan penyebutnya dan mengalikannya dengan ekspresi √2 + √3 - √5 .

Kita mendapatkan:

12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 - √5) / (2 * √6) = 2 * √3 + 3 * √2 - √30.

Langkah 4. Hitung nilai perkiraan pada kalkulator

Jika Anda hanya membutuhkan nilai perkiraan, ini dapat dilakukan pada kalkulator dengan menghitung nilai akar kuadrat. Secara terpisah, untuk setiap angka, nilainya dihitung dan dicatat dengan akurasi yang diperlukan, yang ditentukan oleh jumlah tempat desimal. Selanjutnya, semua operasi yang diperlukan dilakukan, seperti halnya angka biasa.

Contoh Perhitungan Perkiraan

Penting untuk menghitung nilai perkiraan dari ekspresi ini √7 + √5 .

Hasilnya, kita mendapatkan:

√7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89 .

Harap dicatat: dalam keadaan apa pun akar kuadrat tidak boleh ditambahkan sebagai bilangan prima, ini sama sekali tidak dapat diterima. Artinya, jika Anda menambahkan akar kuadrat dari lima dan tiga, kita tidak bisa mendapatkan akar kuadrat dari delapan.

Saran yang berguna: jika Anda memutuskan untuk memfaktorkan suatu angka, untuk menurunkan kuadrat dari tanda akar, Anda perlu melakukan pemeriksaan balik, yaitu, kalikan semua faktor yang dihasilkan dari perhitungan, dan hasil akhir dari ini perhitungan matematis harus menjadi angka yang awalnya diberikan kepada kita.

Fakta 1.
\(\bullet\) Ambil beberapa bilangan non-negatif \(a\) (yaitu \(a\geqslant 0\) ). Kemudian (aritmatika) akar pangkat dua dari bilangan \(a\) bilangan non-negatif \(b\) disebut, ketika mengkuadratkannya kita mendapatkan bilangan \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text(sama dengan )\quad a=b^2\] Ini mengikuti dari definisi bahwa \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Pembatasan ini merupakan syarat penting bagi keberadaan akar kuadrat dan harus diingat!
Ingatlah bahwa bilangan apa pun ketika dikuadratkan memberikan hasil non-negatif. Yaitu, \(100^2=10000\geqslant 0\) dan \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) Apa itu \(\sqrt(25)\) ? Kita tahu bahwa \(5^2=25\) dan \((-5)^2=25\) . Karena menurut definisi kita harus mencari bilangan non-negatif, \(-5\) tidak cocok, maka \(\sqrt(25)=5\) (sejak \(25=5^2\) ).
Mencari nilai \(\sqrt a\) disebut mengambil akar kuadrat dari bilangan \(a\) , dan bilangan \(a\) disebut ekspresi akar.
\(\bullet\) Berdasarkan definisi, ekspresi \(\sqrt(-25)\) , \(\sqrt(-4)\) , dll. tidak masuk akal.

Fakta 2.
Untuk perhitungan cepat, akan berguna untuk mempelajari tabel kuadrat bilangan asli dari \(1\) hingga \(20\) : \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(array)\]

Fakta 3.
Apa yang bisa dilakukan dengan akar kuadrat?
\(\peluru\) Jumlah atau selisih akar kuadrat TIDAK SAMA dengan akar kuadrat dari jumlah atau selisih, mis. \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\] Jadi, jika Anda perlu menghitung, misalnya \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , maka awalnya Anda harus mencari nilai \(\sqrt(25)\) dan \(\sqrt (49)\ ) lalu tambahkan. Karena itu, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Jika nilai \(\sqrt a\) atau \(\sqrt b\) tidak dapat ditemukan saat menambahkan \(\sqrt a+\sqrt b\), maka ekspresi tersebut tidak dikonversi lebih lanjut dan tetap seperti apa adanya. Misalnya, dalam penjumlahan \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) kita dapat menemukan \(\sqrt(49)\) - ini adalah \(7\) , tetapi \(\sqrt 2\) tidak dapat dikonversi dengan cara apapun, Itu sebabnya \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Lebih lanjut, ungkapan ini, sayangnya, tidak dapat disederhanakan dengan cara apa pun.\(\bullet\) Hasil kali/hasil bagi akar kuadrat sama dengan akar kuadrat dari hasil kali/hasil bagi, mis. \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (asalkan kedua bagian persamaan itu masuk akal)
Contoh: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Dengan menggunakan sifat-sifat ini, akan lebih mudah untuk menemukan akar kuadrat dari bilangan besar dengan memfaktorkannya.
Pertimbangkan sebuah contoh. Temukan \(\sqrt(44100)\) . Karena \(44100:100=441\) , maka \(44100=100\cdot 441\) . Menurut kriteria pembagian, bilangan \(441\) habis dibagi \(9\) (karena jumlah angka-angkanya adalah 9 dan habis dibagi 9), oleh karena itu, \(441:9=49\) , yaitu, \(441=9\ cdot 49\) .
Jadi, kami mendapat: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Mari kita lihat contoh lain: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) Mari kita tunjukkan cara memasukkan angka di bawah tanda akar kuadrat menggunakan contoh ekspresi \(5\sqrt2\) (kependekan dari ekspresi \(5\cdot \sqrt2\) ). Karena \(5=\sqrt(25)\) , maka \ Perhatikan juga bahwa, misalnya,
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

Mengapa demikian? Mari kita jelaskan dengan contoh 1). Seperti yang sudah Anda pahami, entah bagaimana kami tidak dapat mengonversi angka \(\sqrt2\) . Bayangkan \(\sqrt2\) adalah beberapa angka \(a\) . Dengan demikian, ekspresi \(\sqrt2+3\sqrt2\) tidak lain adalah \(a+3a\) (satu angka \(a\) ditambah tiga angka yang sama \(a\) ). Dan kita tahu bahwa ini sama dengan empat bilangan \(a\) , yaitu \(4\sqrt2\) .

Fakta 4.
\(\bullet\) Sering dikatakan “tidak dapat mengekstrak akar” ketika tidak mungkin menghilangkan tanda \(\sqrt () \ \) dari akar (radikal) ketika mencari nilai suatu bilangan. Misalnya, Anda dapat melakukan root pada bilangan \(16\) karena \(16=4^2\) , jadi \(\sqrt(16)=4\) . Tetapi untuk mengekstrak akar dari angka \(3\) , yaitu, untuk menemukan \(\sqrt3\) , tidak mungkin, karena tidak ada angka yang menghasilkan kuadrat \(3\) .
Angka-angka seperti itu (atau ekspresi dengan angka-angka seperti itu) tidak rasional. Misalnya bilangan \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\) dll. tidak rasional.
Juga irasional adalah bilangan \(\pi\) (bilangan “pi”, kira-kira sama dengan \(3,14\) ), \(e\) (bilangan ini disebut bilangan Euler, kira-kira sama dengan \(2 ,7\) ) dll.
\(\bullet\) Harap dicatat bahwa setiap angka akan menjadi rasional atau irasional. Dan bersama-sama semua bilangan rasional dan irasional membentuk himpunan yang disebut himpunan bilangan real (nyata). Himpunan ini dilambangkan dengan huruf \(\mathbb(R)\) .
Ini berarti bahwa semua bilangan yang kita kenal sekarang disebut bilangan real.

Fakta 5.
\(\bullet\) Modulus bilangan real \(a\) adalah bilangan non-negatif \(|a|\) sama dengan jarak dari titik \(a\) ke \(0\) pada real garis. Misalnya, \(|3|\) dan \(|-3|\) sama dengan 3, karena jarak dari titik \(3\) dan \(-3\) ke \(0\) adalah sama dan sama dengan \(3 \) .
\(\bullet\) Jika \(a\) adalah bilangan non-negatif, maka \(|a|=a\) .
Contoh: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Jika \(a\) adalah bilangan negatif, maka \(|a|=-a\) .
Contoh: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Mereka mengatakan bahwa untuk angka negatif, modul "memakan" angka minus, dan angka positif, serta angka \(0\) , modul tidak berubah.
TETAPI aturan ini hanya berlaku untuk angka. Jika Anda memiliki \(x\) yang tidak dikenal (atau yang tidak dikenal lainnya) di bawah tanda modul, misalnya, \(|x|\) , yang kita tidak tahu apakah itu positif, sama dengan nol atau negatif, maka menyingkirkan modul kita tidak bisa. Dalam hal ini, ekspresi ini tetap demikian: \(|x|\) . \(\bullet\) Rumus berikut berlaku: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text( disediakan ) a\geqslant 0\] Kesalahan berikut sering dibuat: mereka mengatakan bahwa \(\sqrt(a^2)\) dan \((\sqrt a)^2\) adalah hal yang sama. Ini benar hanya jika \(a\) adalah bilangan positif atau nol. Tetapi jika \(a\) adalah bilangan negatif, maka ini tidak benar. Cukuplah untuk mempertimbangkan contoh seperti itu. Mari kita ambil angka \(-1\) alih-alih \(a\). Kemudian \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , tetapi ekspresi \((\sqrt (-1))^2\) tidak ada sama sekali (karena tidak mungkin di bawah tanda root masukkan angka negatif!).
Oleh karena itu, kami menarik perhatian Anda pada fakta bahwa \(\sqrt(a^2)\) tidak sama dengan \((\sqrt a)^2\) ! Contoh 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), karena \(-\sqrt2<0\) ;

\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) Sejak \(\sqrt(a^2)=|a|\) , maka \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (ekspresi \(2n\) menunjukkan bilangan genap)
Artinya, ketika mengekstraksi akar dari angka yang ada dalam derajat tertentu, derajat ini dibelah dua.
Contoh:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (perhatikan jika modul tidak disetel, maka ternyata akar bilangan sama dengan \(-25 \) ; tapi kita ingat , yang, menurut definisi akar, ini tidak bisa: ketika mengekstrak akar, kita harus selalu mendapatkan angka positif atau nol)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (karena setiap bilangan pangkat genap adalah non-negatif)

Fakta 6.
Bagaimana cara membandingkan dua akar kuadrat?
\(\bullet\) Benar untuk akar kuadrat: jika \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aContoh:
1) bandingkan \(\sqrt(50)\) dan \(6\sqrt2\) . Pertama, kita ubah ekspresi kedua menjadi \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Jadi, karena \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) Di antara bilangan bulat manakah \(\sqrt(50)\) ?
Karena \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) , dan \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Bandingkan \(\sqrt 2-1\) dan \(0,5\) . Misalkan \(\sqrt2-1>0.5\) : \[\begin(aligned) &\sqrt 2-1>0.5 \ \big| +1\quad \text((tambahkan satu ke kedua sisi))\\ &\sqrt2>0,5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((persegi kedua bagian))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(selaras)\] Kami melihat bahwa kami telah memperoleh ketidaksetaraan yang salah. Oleh karena itu, asumsi kami salah dan \(\sqrt 2-1<0,5\) .
Perhatikan bahwa menambahkan angka tertentu ke kedua sisi pertidaksamaan tidak mempengaruhi tandanya. Mengalikan/membagi kedua ruas pertidaksamaan dengan bilangan positif juga tidak mengubah tandanya, tetapi mengalikan/membagi dengan bilangan negatif membalikkan tanda pertidaksamaan!
Kedua ruas persamaan/pertidaksamaan dapat dikuadratkan HANYA JIKA kedua ruas tidak negatif. Misalnya, dalam pertidaksamaan dari contoh sebelumnya, Anda dapat mengkuadratkan kedua sisi, dalam pertidaksamaan \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Perhatikan bahwa \[\begin(aligned) &\sqrt 2\approx 1,4\\ &\sqrt 3\approx 1,7 \end(aligned)\] Mengetahui arti perkiraan angka-angka ini akan membantu Anda saat membandingkan angka! \(\bullet\) Untuk mengekstrak akar (jika diekstraksi) dari beberapa nomor besar yang tidak ada dalam tabel kuadrat, Anda harus terlebih dahulu menentukan antara "ratusan" itu, lalu di antara yang "puluhan", dan kemudian tentukan digit terakhir dari nomor ini. Mari kita tunjukkan cara kerjanya dengan sebuah contoh.
Ambil \(\sqrt(28224)\) . Kita tahu bahwa \(100^2=10\,000\) , \(200^2=40\,000\) dan seterusnya. Perhatikan bahwa \(28224\) berada di antara \(10\,000\) dan \(4\,000\) . Oleh karena itu, \(\sqrt(28224)\) berada di antara \(100\) dan \(200\) .
Sekarang mari kita tentukan di antara “puluhan” nomor kita yang mana (yaitu, misalnya, antara \(120\) dan \(130\) ). Kita juga mengetahui dari tabel kuadrat bahwa \(11^2=121\) , \(12^2=144\) dll., maka \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ) . Jadi kita melihat bahwa \(28224\) berada di antara \(160^2\) dan \(170^2\) . Oleh karena itu, bilangan \(\sqrt(28224)\) berada di antara \(160\) dan \(170\) .
Mari kita coba menentukan angka terakhir. Mari kita ingat apa angka satu digit ketika mengkuadratkan memberi di akhir \ (4 \) ? Ini adalah \(2^2\) dan \(8^2\) . Oleh karena itu, \(\sqrt(28224)\) akan berakhir dengan 2 atau 8. Mari kita periksa ini. Temukan \(162^2\) dan \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Oleh karena itu \(\sqrt(28224)=168\) . Voila!

Untuk menyelesaikan ujian matematika secara memadai, pertama-tama, perlu mempelajari materi teoretis, yang memperkenalkan banyak teorema, rumus, algoritma, dll. Pada pandangan pertama, tampaknya ini cukup sederhana. Namun, menemukan sumber di mana teori Unified State Examination dalam matematika disajikan dengan cara yang mudah dan dapat dipahami oleh siswa dengan tingkat persiapan apa pun, pada kenyataannya, merupakan tugas yang agak sulit. Buku pelajaran sekolah tidak selalu dapat disimpan di tangan. Dan menemukan rumus dasar untuk ujian matematika bisa jadi sulit bahkan di Internet.

Mengapa begitu penting mempelajari teori dalam matematika, tidak hanya bagi mereka yang mengikuti ujian?

1. Karena itu memperluas wawasanmu. Kajian materi teori dalam matematika bermanfaat bagi siapa saja yang ingin mendapatkan jawaban atas berbagai pertanyaan yang berkaitan dengan pengetahuan dunia. Segala sesuatu di alam ini tertata dan memiliki logika yang jelas. Inilah tepatnya yang tercermin dalam sains, yang melaluinya dimungkinkan untuk memahami dunia.
2. Karena itu mengembangkan kecerdasan. Mempelajari bahan referensi untuk ujian matematika, serta memecahkan berbagai masalah, seseorang belajar berpikir dan bernalar secara logis, merumuskan pikiran dengan benar dan jelas. Ia mengembangkan kemampuan untuk menganalisis, menggeneralisasi, menarik kesimpulan.

Kami mengundang Anda untuk secara pribadi mengevaluasi semua keuntungan dari pendekatan kami terhadap sistematisasi dan presentasi materi pendidikan.

Topik akar kuadrat adalah wajib dalam kurikulum sekolah kursus matematika. Anda tidak dapat melakukannya tanpa mereka saat memecahkan persamaan kuadrat. Dan kemudian menjadi perlu tidak hanya untuk mengekstrak akarnya, tetapi juga untuk melakukan tindakan lain dengannya. Diantaranya cukup kompleks: eksponensial, perkalian dan pembagian. Tetapi ada juga yang cukup sederhana: pengurangan dan penambahan akar. Ngomong-ngomong, mereka hanya tampak begitu pada pandangan pertama. Melakukannya tanpa kesalahan tidak selalu mudah bagi seseorang yang baru mulai mengenalnya.

Apa itu akar matematika?

Tindakan ini muncul sebagai lawan dari eksponensial. Matematika mengasumsikan adanya dua operasi yang berlawanan. Ada pengurangan untuk penambahan. Perkalian bertentangan dengan pembagian. Tindakan kebalikan dari derajat adalah ekstraksi akar yang sesuai.

Jika eksponennya adalah 2, maka akarnya adalah kuadrat. Ini adalah yang paling umum dalam matematika sekolah. Ia bahkan tidak memiliki indikasi bahwa itu adalah persegi, yaitu angka 2. Notasi matematika dari operator ini (radikal) ditunjukkan pada gambar.

Dari tindakan yang dijelaskan, definisinya mengikuti dengan lancar. Untuk mengekstrak akar kuadrat dari angka tertentu, Anda perlu mencari tahu apa yang akan diberikan oleh ekspresi radikal ketika dikalikan dengan dirinya sendiri. Angka ini akan menjadi akar kuadrat. Jika kita menulis ini secara matematis, kita mendapatkan yang berikut: x * x \u003d x 2 \u003d y, yang berarti y \u003d x.

Tindakan apa yang dapat dilakukan dengan mereka?

Pada intinya, akar adalah pangkat pecahan yang memiliki satuan di pembilangnya. Dan penyebutnya bisa apa saja. Misalnya, akar kuadrat memiliki nilai dua. Oleh karena itu, semua tindakan yang dapat dilakukan dengan derajat juga akan berlaku untuk akar.

Dan mereka memiliki persyaratan yang sama untuk tindakan ini. Jika perkalian, pembagian, dan pangkat tidak menemui kesulitan bagi siswa, maka penambahan akar, serta pengurangannya, terkadang menyebabkan kebingungan. Dan semua karena Anda ingin melakukan operasi ini tanpa melihat tanda root. Dan disinilah kesalahan dimulai.

Bagaimana aturan penjumlahan dan pengurangan?

Pertama, Anda perlu mengingat dua kategori "tidak":

• tidak mungkin untuk melakukan penambahan dan pengurangan akar, seperti halnya bilangan prima, yaitu, tidak mungkin untuk menulis ekspresi akar dari jumlah di bawah satu tanda dan melakukan operasi matematika dengan mereka;
• Anda tidak dapat menjumlahkan dan mengurangkan akar dengan pangkat yang berbeda, seperti kuadrat dan kubik.

Contoh ilustratif dari larangan pertama: 6 + 10 16 tetapi (6 + 10) = 16.

Dalam kasus kedua, lebih baik membatasi diri untuk menyederhanakan akarnya sendiri. Dan dalam jawabannya tinggalkan jumlah mereka.

Sekarang ke aturan

1. Temukan dan kelompokkan akar yang serupa. Artinya, mereka yang tidak hanya memiliki angka yang sama di bawah radikal, tetapi mereka sendiri memiliki satu indikator.
2. Lakukan penambahan akar yang digabungkan menjadi satu kelompok dengan tindakan pertama. Sangat mudah untuk diterapkan, karena Anda hanya perlu menambahkan nilai-nilai yang mendahului radikal.
3. Ekstrak akar dalam istilah-istilah di mana ekspresi radikal membentuk seluruh persegi. Dengan kata lain, jangan tinggalkan apapun di bawah tanda radikal.
4. Sederhanakan ekspresi akar. Untuk melakukan ini, Anda perlu memfaktorkannya menjadi faktor prima dan melihat apakah mereka memberikan kuadrat dari bilangan apa pun. Jelas bahwa ini benar jika menyangkut akar kuadrat. Jika pangkatnya tiga atau empat, maka faktor prima harus memberikan pangkat tiga atau pangkat empat dari bilangan tersebut.
5. Keluarkan dari bawah tanda akar faktor yang memberikan kekuatan bilangan bulat.
6. Lihat apakah istilah serupa muncul lagi. Jika ya, maka lakukan langkah kedua lagi.

Dalam situasi di mana masalah tidak memerlukan nilai akar yang tepat, itu dapat dihitung dengan kalkulator. Bulatkan pecahan desimal tak terbatas yang akan ditampilkan di jendelanya. Paling sering ini dilakukan hingga seperseratus. Dan kemudian lakukan semua operasi untuk pecahan desimal.

Ini semua informasi tentang bagaimana penambahan akar dilakukan. Contoh di bawah ini akan menggambarkan hal di atas.

Tugas pertama

Hitung nilai ekspresi:

a) 2 + 3√32 + 128 - 6√18;

b) 75 - 147 + 48 - 1/5 300;

c) 275 - 10√11 + 2√99 + 396.

a) Jika Anda mengikuti algoritme di atas, Anda dapat melihat bahwa tidak ada apa pun untuk dua tindakan pertama dalam contoh ini. Tetapi Anda dapat menyederhanakan beberapa ekspresi radikal.

Misalnya, faktor 32 menjadi dua faktor 2 dan 16; 18 akan sama dengan hasil kali 9 dan 2; 128 adalah 2 dengan 64. Dengan ini, ekspresi akan ditulis seperti ini:

2 + 3√(2 * 16) + (2 * 64) - 6 (2 * 9).

Sekarang Anda perlu mengeluarkan dari bawah tanda radikal faktor-faktor yang memberikan kuadrat dari angka tersebut. Ini adalah 16=4 2 , 9=3 2 , 64=8 2 . Ekspresi akan mengambil bentuk:

2 + 3 * 4√2 + * 8 2 - 6 * 3√2.

Kita perlu menyederhanakan penulisannya sedikit. Untuk ini, koefisien dikalikan sebelum tanda-tanda akar:

√2 + 12√2 + 4 √2 - 12√2.

Dalam ungkapan ini, semua istilah ternyata serupa. Karena itu, mereka hanya perlu dilipat. Jawabannya adalah: 5√2.

b) Seperti contoh sebelumnya, penambahan akar dimulai dengan penyederhanaannya. Ekspresi akar 75, 147, 48 dan 300 akan diwakili oleh pasangan berikut: 5 dan 25, 3 dan 49, 3 dan 16, 3 dan 100. Masing-masing memiliki angka yang dapat diambil dari bawah tanda akar :

5√5 - 7√3 + 4√3 - 1/5 * 10√3.

Setelah disederhanakan, jawabannya adalah: 5√5 - 5√3. Ini dapat dibiarkan dalam bentuk ini, tetapi lebih baik untuk mengambil faktor persekutuan 5 dari braket: 5 (√5 - 3).

c) Dan faktorisasi lagi: 275 = 11 * 25, 99 = 11 * 9, 396 = 11 * 36. Setelah memfaktorkan tanda akarnya, diperoleh:

5√11 - 10√11 + 2 * 3√11 + 6√11. Setelah mengurangi suku yang sama, kita mendapatkan hasil: 7√11.

Contoh pecahan

√(45/4) - √20 - 5√(1/18) - 1/6 √245 + √(49/2).

Angka-angka berikut perlu difaktorkan: 45 = 5 * 9, 20 = 4 * 5, 18 = 2 * 9, 245 = 5 * 49. Sama halnya dengan yang sudah dipertimbangkan, Anda perlu menghilangkan faktor-faktornya dari akarnya tanda tangani dan sederhanakan ekspresi:

3/2 5 - 2√5 - 5/ 3 (½) - 7/6 5 + 7 (½) = (3/2 - 2 - 7/6) 5 - (5/3 - 7 ) (½) = - 5/3 5 + 16/3 (½).

Ungkapan ini membutuhkan menyingkirkan irasionalitas dalam penyebut. Untuk melakukannya, kalikan suku kedua dengan 2/2:

5/3 5 + 16/3 (½) * 2/√2 = - 5/3 5 + 8/3 2.

Untuk menyelesaikan tindakan, Anda harus memilih bagian bilangan bulat dari faktor di depan akar. Yang pertama adalah 1, yang kedua adalah 2.

Privasi Anda penting bagi kami. Untuk alasan ini, kami telah mengembangkan Kebijakan Privasi yang menjelaskan bagaimana kami menggunakan dan menyimpan informasi Anda. Harap baca kebijakan privasi kami dan beri tahu kami jika Anda memiliki pertanyaan.

Pengumpulan dan penggunaan informasi pribadi

Informasi pribadi mengacu pada data yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi atau menghubungi orang tertentu.

Anda mungkin diminta untuk memberikan informasi pribadi Anda kapan saja saat Anda menghubungi kami.

Berikut ini adalah beberapa contoh jenis informasi pribadi yang kami kumpulkan dan bagaimana kami dapat menggunakan informasi tersebut.

Informasi pribadi apa yang kami kumpulkan:

• Saat Anda mengajukan aplikasi di situs, kami dapat mengumpulkan berbagai informasi, termasuk nama, nomor telepon, alamat email, dll.

Bagaimana kami menggunakan informasi pribadi Anda:

• Informasi pribadi yang kami kumpulkan memungkinkan kami untuk menghubungi Anda dan memberi tahu Anda tentang penawaran unik, promosi, dan acara lainnya serta acara mendatang.
• Dari waktu ke waktu, kami dapat menggunakan informasi pribadi Anda untuk mengirimkan pemberitahuan dan komunikasi penting kepada Anda.
• Kami juga dapat menggunakan informasi pribadi untuk tujuan internal, seperti melakukan audit, analisis data, dan berbagai penelitian untuk meningkatkan layanan yang kami berikan dan memberi Anda rekomendasi terkait layanan kami.
• Jika Anda mengikuti undian berhadiah, kontes, atau insentif serupa, kami dapat menggunakan informasi yang Anda berikan untuk mengelola program tersebut.

Pengungkapan kepada pihak ketiga

Kami tidak mengungkapkan informasi yang diterima dari Anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

• Jika perlu - sesuai dengan hukum, perintah pengadilan, dalam proses hukum, dan / atau berdasarkan permintaan publik atau permintaan dari badan-badan negara di wilayah Federasi Rusia - mengungkapkan informasi pribadi Anda. Kami juga dapat mengungkapkan informasi tentang Anda jika kami menentukan bahwa pengungkapan tersebut diperlukan atau sesuai untuk alasan keamanan, penegakan hukum, atau kepentingan publik lainnya.
• Jika terjadi reorganisasi, merger, atau penjualan, kami dapat mentransfer informasi pribadi yang kami kumpulkan kepada penerus pihak ketiga yang relevan.

Perlindungan informasi pribadi

Kami mengambil tindakan pencegahan - termasuk administratif, teknis, dan fisik - untuk melindungi informasi pribadi Anda dari kehilangan, pencurian, dan penyalahgunaan, serta dari akses, pengungkapan, perubahan, dan penghancuran yang tidak sah.

Menjaga privasi Anda di tingkat perusahaan

Untuk memastikan bahwa informasi pribadi Anda aman, kami mengomunikasikan praktik privasi dan keamanan kepada karyawan kami dan secara ketat menegakkan praktik privasi.

Akar kuadrat dari bilangan x adalah bilangan a, yang jika dikalikan dengan dirinya sendiri, menghasilkan bilangan x: a * a = a^2 = x, ?x = a. Seperti halnya angka apa pun, itu diizinkan untuk melakukan operasi aritmatika penambahan dan pengurangan pada akar kuadrat.

Petunjuk

1. Pertama, saat menambahkan akar kuadrat, cobalah mengekstrak akar tersebut. Ini akan valid jika angka di bawah tanda akar adalah kuadrat sempurna. Katakanlah ekspresi?4 +?9 diberikan. Angka pertama 4 adalah kuadrat dari angka 2. Angka kedua 9 adalah kuadrat dari angka 3. Jadi ternyata: ?4 + ?9 = 2 + 3 = 5.

2. Jika tidak ada kotak penuh di bawah tanda akar, maka cobalah untuk mentransfer pengali angka dari bawah tanda akar. Katakanlah, biarkan ekspresi?24 +?54 diberikan. Faktorkan angka-angka: 24 \u003d 2 * 2 * 2 * 3, 54 \u003d 2 * 3 * 3 * 3. Dalam angka 24 ada faktor 4, faktor yang dapat ditransfer dari tanda akar kuadrat. Bilangan 54 memiliki faktor 9. Jadi, ternyata: ?24 + ?54 = ?(4 * 6) +? (9 * 6) = 2 * ?6 + 3 * ?6 = 5 * ?6 . Dalam contoh ini, sebagai hasil dari penghapusan faktor dari tanda akar, ternyata menyederhanakan ekspresi yang diberikan.

3. Misalkan jumlah 2 akar kuadrat adalah penyebut suatu pecahan, misalkan, A / (?a + ?b). Dan bahkan jika Anda dihadapkan dengan tugas "menyingkirkan irasionalitas dalam penyebut." Kemudian Anda dapat menggunakan metode selanjutnya. Kalikan pembilang dan penyebut pecahan dengan ekspresi ?a - ?b. Jadi, dalam penyebut, Anda mendapatkan rumus untuk perkalian yang disingkat: (?a + ?b) * (?a - ?b) \u003d a - b. Dengan analogi, jika perbedaan akar diberikan dalam penyebut: ?a - ?b, maka pembilang dan penyebut pecahan harus dikalikan dengan ekspresi?a + ?b. Misalnya, katakanlah 4 / (?3 + ?5) = 4 * (?3 - ?5) / ((?3 + ?5) * (?3 - ?5)) = 4 * (?3 - ? 5) / (-2) = 2 * (?5 - ?3).

4. Pertimbangkan contoh yang lebih sulit untuk menghilangkan irasionalitas dalam penyebut. Biarkan pecahan 12 / (?2 +?3 +?5) diberikan. Anda perlu mengalikan pembilang dan penyebut pecahan dengan ekspresi? 2 + ?3 - ?5:12 / (? 2 + ? + ?5) * (?2 + ?3 - ?5)) = 12 * ( ?2 + ?3 - ?5) / (2 * ?6) = ?6 * (?2 + ?3 - ?5) = 2 * ?3 + 3 * ?2 - ?30.

5. Dan terakhir, jika Anda hanya membutuhkan nilai perkiraan, Anda dapat menghitung akar kuadrat di kalkulator. Hitung nilai secara terpisah untuk bilangan bulat dan tulis dengan presisi yang diperlukan (misalnya, dua tempat desimal). Dan kemudian lakukan operasi aritmatika yang diperlukan, seperti dengan bilangan biasa. Katakanlah, katakanlah Anda perlu mencari tahu nilai perkiraan ekspresi? 7 +? 5 ? 2,65 + 2,24 = 4,89.

Video Terkait

Catatan!
Dalam kasus apa pun akar kuadrat tidak dapat ditambahkan sebagai bilangan primitif, mis. ?3 + ?2? ?5!!!

Saran yang bermanfaat
Jika Anda memfaktorkan angka tersebut untuk memindahkan kuadrat dari bawah tanda akar, maka lakukan pemeriksaan terbalik - kalikan semua faktor yang dihasilkan dan dapatkan angka aslinya.