Titik adalah objek abstrak yang tidak memiliki karakteristik pengukuran: tidak ada tinggi, tidak ada panjang, tidak ada jari-jari. Dalam kerangka tugas, hanya lokasinya yang penting
Titik ditunjukkan dengan angka atau huruf latin kapital (besar). Beberapa titik - angka yang berbeda atau huruf yang berbeda sehingga dapat dibedakan
titik A, titik B, titik C
A B Cpoin 1, poin 2, poin 3
1 2 3Anda dapat menggambar tiga titik "A" pada selembar kertas dan mengundang anak untuk menggambar garis melalui dua titik "A". Tapi bagaimana memahami melalui yang mana? A A A
Garis adalah kumpulan titik-titik. Dia hanya mengukur panjang. Tidak memiliki lebar atau tebal.
Ditunjukkan dengan huruf kecil (kecil) Latin
garis a, garis b, garis c
a b cGarisnya bisa jadi
- tertutup jika awal dan akhir berada pada titik yang sama,
- terbuka jika awal dan akhir tidak terhubung
garis tertutup
garis terbuka
Anda meninggalkan apartemen, membeli roti di toko dan kembali ke apartemen. Garis apa yang Anda dapatkan? Benar, tutup. Anda telah kembali ke titik awal. Anda meninggalkan apartemen, membeli roti di toko, masuk ke pintu masuk dan berbicara dengan tetangga Anda. Garis apa yang Anda dapatkan? Membuka. Anda belum kembali ke titik awal. Anda meninggalkan apartemen, membeli roti di toko. Garis apa yang Anda dapatkan? Membuka. Anda belum kembali ke titik awal.- berpotongan sendiri
- tanpa persimpangan sendiri
garis berpotongan sendiri
garis tanpa persimpangan sendiri
- lurus
- garis putus-putus
- bengkok
garis lurus
garis putus-putus
garis melengkung
Garis lurus adalah garis yang tidak melengkung, tidak berawal dan tidak berakhir, dapat diperpanjang tanpa batas ke dua arah
Bahkan ketika bagian kecil dari garis lurus terlihat, diasumsikan bahwa itu berlanjut tanpa batas di kedua arah.
Ini dilambangkan dengan huruf kecil (kecil) Latin. Atau dua huruf Latin kapital (besar) - titik terletak pada garis lurus
garis lurus a
sebuahgaris lurus AB
B Agaris lurus bisa
- berpotongan jika mereka memiliki titik yang sama. Dua garis hanya dapat berpotongan di satu titik.
- tegak lurus jika mereka berpotongan pada sudut siku-siku (90°).
- paralel, jika mereka tidak berpotongan, mereka tidak memiliki titik yang sama.
garis sejajar
garis berpotongan
garis tegak lurus
Sinar adalah bagian dari garis lurus yang memiliki awal tetapi tidak memiliki akhir, dapat diperpanjang tanpa batas hanya dalam satu arah
Titik awal berkas cahaya pada gambar adalah matahari.
matahari
Titik membagi garis menjadi dua bagian - dua sinar A A
Balok ditunjukkan dengan huruf Latin kecil (kecil). Atau dua huruf Latin kapital (besar), di mana yang pertama adalah titik dari mana sinar dimulai, dan yang kedua adalah titik yang terletak pada sinar
balok a
sebuahbalok AB
B ABalok cocok jika
- terletak pada garis lurus yang sama
- mulai dari satu titik
- diarahkan ke satu sisi
sinar AB dan AC berhimpitan
sinar CB dan CA bertepatan
C B ASegmen adalah bagian dari garis lurus yang dibatasi oleh dua titik, yaitu memiliki awal dan akhir, yang berarti panjangnya dapat diukur. Panjang segmen adalah jarak antara titik awal dan titik akhirnya.
Sejumlah garis dapat ditarik melalui satu titik, termasuk garis lurus.
Melalui dua titik - jumlah kurva yang tidak terbatas, tetapi hanya satu garis lurus
garis lengkung yang melalui dua titik
B Agaris lurus AB
B ASepotong "terpotong" dari garis lurus dan satu segmen tetap ada. Dari contoh di atas, Anda dapat melihat bahwa panjangnya adalah jarak terpendek antara dua titik. B A
Segmen dilambangkan dengan dua huruf Latin kapital (besar), di mana yang pertama adalah titik dari mana segmen dimulai, dan yang kedua adalah titik dari mana segmen berakhir.
segmen AB
B ATugas: di mana garis, sinar, segmen, kurva?
Garis putus-putus adalah garis yang terdiri dari segmen-segmen yang terhubung berurutan tidak membentuk sudut 180°
Segmen panjang "dipecah" menjadi beberapa segmen pendek.
Tautan polyline (mirip dengan tautan rantai) adalah segmen yang membentuk polyline. Tautan yang berdekatan adalah tautan di mana akhir dari satu tautan adalah awal dari yang lain. Tautan yang berdekatan tidak boleh terletak pada garis lurus yang sama.
Bagian atas polyline (mirip dengan puncak gunung) adalah titik dari mana polyline dimulai, titik di mana segmen yang membentuk polyline terhubung, titik di mana polyline berakhir.
Sebuah polyline dilambangkan dengan mendaftar semua simpulnya.
garis putus-putus ABCDE
simpul polyline A, simpul polyline B, simpul polyline C, simpul polyline D, simpul polyline E
tautan garis putus-putus AB, tautan garis putus-putus BC, tautan garis putus-putus CD, tautan garis putus-putus DE
link AB dan link BC bertetangga
tautan BC dan tautan CD berdekatan
tautan CD dan tautan DE berdekatan
A B C D E 64 62 127 52Panjang polyline adalah jumlah dari panjang tautannya: ABCDE = AB + BC + CD + DE = 64 + 62 + 127 + 52 = 305
Tugas: garis putus mana yang lebih panjang, sebuah mana yang memiliki lebih banyak puncak?? Pada baris pertama, semua mata rantai memiliki panjang yang sama, yaitu 13 cm. Baris kedua memiliki semua mata rantai yang sama panjang, yaitu 49 cm. Baris ketiga memiliki semua mata rantai yang sama panjang, yaitu 41 cm.
Sebuah poligon adalah polyline tertutup
Sisi poligon (mereka akan membantu Anda mengingat ungkapan: "pergi ke keempat sisi", "lari ke rumah", "di sisi meja mana Anda akan duduk?") adalah tautan dari garis putus-putus. Sisi-sisi yang bersebelahan dari poligon adalah tautan yang berdekatan dari garis putus-putus.
Simpul dari poligon adalah simpul dari polyline. Tetangga simpul adalah titik akhir dari satu sisi poligon.
Sebuah poligon dilambangkan dengan mendaftar semua simpulnya.
polyline tertutup tanpa self-intersection, ABCDEF
poligon ABCDEF
simpul poligon A, simpul poligon B, simpul poligon C, simpul poligon D, simpul poligon E, simpul poligon F
simpul A dan simpul B bertetangga
simpul B dan simpul C bertetangga
simpul C dan simpul D bertetangga
simpul D dan simpul E bertetangga
simpul E dan simpul F bertetangga
simpul F dan simpul A bertetangga
sisi poligon AB, sisi poligon BC, sisi poligon CD, sisi poligon DE, sisi poligon EF
sisi AB dan sisi BC berdekatan
sisi BC dan sisi CD berdekatan
sisi CD dan sisi DE berdekatan
sisi DE dan sisi EF berdekatan
sisi EF dan sisi FA berdekatan
A B C D E F 120 60 58 122 98 141Keliling poligon adalah panjang poligon: P = AB + BC + CD + DE + EF + FA = 120 + 60 + 58 + 122 + 98 + 141 = 599
Poligon dengan tiga simpul disebut segitiga, dengan empat - segi empat, dengan lima - segi lima, dan seterusnya.
Kami akan melihat masing-masing topik, dan pada akhirnya akan ada tes pada topik.
Poin dalam matematika
Apa yang dimaksud dengan poin dalam matematika? Titik matematika tidak memiliki dimensi dan ditunjukkan dengan huruf Latin kapital: A, B, C, D, F, dll.
Pada gambar tersebut, Anda dapat melihat bayangan titik A, B, C, D, F, E, M, T, S.
Segmen dalam matematika
Apa yang dimaksud dengan segmen dalam matematika? Dalam pelajaran matematika, Anda dapat mendengar penjelasan berikut: segmen matematika memiliki panjang dan ujung. Segmen dalam matematika adalah kumpulan semua titik yang terletak pada garis lurus di antara ujung-ujung segmen. Ujung segmen adalah dua titik batas.
Pada gambar kita melihat sebagai berikut: segmen ,,,, dan , serta dua titik B dan S.
Garis lurus dalam matematika
Apa yang dimaksud dengan garis lurus dalam matematika? Definisi garis lurus dalam matematika: garis lurus tidak memiliki ujung dan dapat berlanjut di kedua arah hingga tak terhingga. Garis lurus dalam matematika dilambangkan dengan dua titik pada garis lurus. Untuk menjelaskan konsep garis lurus kepada siswa, kita dapat mengatakan bahwa garis lurus adalah segmen yang tidak memiliki dua ujung.
Gambar menunjukkan dua garis lurus: CD dan EF.
Ray dalam matematika
Apa itu sinar? Definisi sinar dalam matematika: Sinar adalah bagian dari garis yang memiliki awal dan tidak ada akhir. Nama balok mengandung dua huruf, misalnya DC. Selain itu, huruf pertama selalu menunjukkan titik awal balok, sehingga Anda tidak dapat menukar huruf.
Gambar menunjukkan balok: DC, KC, EF, MT, MS. Balok KC dan KD - satu balok, karena mereka memiliki asal yang sama.
Garis bilangan dalam matematika
Definisi garis bilangan dalam matematika: Garis yang titik-titiknya menandai bilangan disebut garis bilangan.
Gambar tersebut menunjukkan garis bilangan, serta sinar OD dan ED
Kursus ini menggunakan bahasa geometris, terdiri dari notasi dan simbol yang diadopsi dalam pelajaran matematika (khususnya, dalam pelajaran geometri baru di sekolah menengah).
Seluruh ragam sebutan dan simbol, serta hubungan di antara mereka, dapat dibagi menjadi dua kelompok:
grup I - sebutan figur geometris dan hubungan di antara mereka;
kelompok II penunjukan operasi logis, yang merupakan dasar sintaksis dari bahasa geometris.
Berikut ini adalah daftar lengkap simbol matematika yang digunakan dalam kursus ini. Perhatian khusus diberikan pada simbol yang digunakan untuk menunjukkan proyeksi bentuk geometris.
Grup I
GAMBAR GEOMETRIS YANG DITENTUKAN SIMBOL DAN HUBUNGAN ANTARANYA
A. Penunjukan bentuk geometris
1. Sosok geometris dilambangkan - F.
2. Poin ditunjukkan dengan huruf kapital alfabet Latin atau angka Arab:
A, B, C, D, ... , L, M, N, ...
1,2,3,4,...,12,13,14,...
3. Garis-garis yang terletak secara sewenang-wenang dalam kaitannya dengan bidang proyeksi ditunjukkan dengan huruf kecil dari alfabet Latin:
a, b, c, d, ... , l, m, n, ...
Garis level ditunjukkan: h - horizontal; f- frontal.
Notasi berikut juga digunakan untuk garis lurus:
(AB) - garis lurus yang melewati titik A dan B;
[AB) - sinar dengan awal di titik A;
[AB] - segmen garis lurus yang dibatasi oleh titik A dan B.
4. Permukaan dilambangkan dengan huruf kecil dari alfabet Yunani:
α, β, γ, δ,...,ζ,η,ν,...
Untuk menekankan cara permukaan didefinisikan, Anda harus menentukan elemen geometris yang mendefinisikannya, misalnya:
(a || b) - bidang ditentukan oleh garis sejajar a dan b;
(d 1 d 2 gα) - permukaan ditentukan oleh pemandu d 1 dan d 2 , generatrix g dan bidang paralelisme .
5. Sudut ditunjukkan:
ABC - sudut dengan puncak di titik B, serta °, °, ... , °, ...
6. Sudut: nilai (ukuran derajat) ditunjukkan oleh tanda, yang ditempatkan di atas sudut:
Nilai sudut ABC;
Nilai sudut .
Sudut siku-siku ditandai dengan bujur sangkar dengan titik di dalamnya
7. Jarak antara bangun geometris ditunjukkan oleh dua segmen vertikal - ||.
Sebagai contoh:
|AB| - jarak antara titik A dan B (panjang ruas AB);
|Aa| - jarak dari titik A ke garis a;
|Aα| - jarak dari titik A ke permukaan ;
|ab| - jarak antara garis a dan b;
|αβ| jarak antara permukaan dan .
8. Untuk bidang proyeksi, sebutan berikut diterima: 1 dan 2, di mana 1 adalah bidang proyeksi horizontal;
bidang proyeksi 2 -fyuntal.
Saat mengganti bidang proyeksi atau memperkenalkan bidang baru, yang terakhir menunjukkan 3, 4, dll.
9. Sumbu proyeksi dilambangkan: x, y, z, di mana x adalah sumbu x; y adalah sumbu y; z - menerapkan sumbu.
Garis konstan diagram Monge dilambangkan dengan k.
10. Proyeksi titik, garis, permukaan, gambar geometris apa pun ditunjukkan dengan huruf (atau angka) yang sama dengan aslinya, dengan tambahan superskrip yang sesuai dengan bidang proyeksi tempat mereka diperoleh:
A", B", C", D", ... , L", M", N", proyeksi horizontal titik; A", B", C", D", ... , L", M " , N", ... proyeksi titik depan; a" , b" , c" , d" , ... , l", m" , n" , - proyeksi garis horizontal; a" ,b" , c" , d" , ... , l" , m " , n" , ... proyeksi garis depan; ", ", ", ",...,",",ν",... proyeksi horizontal permukaan; ", ", ", ",...,ζ " ,η",ν",... proyeksi frontal permukaan.
11. Jejak bidang (permukaan) ditunjukkan dengan huruf yang sama dengan horizontal atau frontal, dengan tambahan subskrip 0α, yang menekankan bahwa garis-garis ini terletak pada bidang proyeksi dan termasuk dalam bidang (permukaan) .
Jadi: h 0α - jejak horizontal bidang (permukaan) ;
f 0α - jejak frontal bidang (permukaan) .
12. Jejak garis lurus (garis) ditunjukkan dengan huruf kapital, yang diawali dengan kata yang menentukan nama (dalam transkripsi Latin) bidang proyeksi yang dilintasi garis tersebut, dengan subskrip yang menunjukkan milik garis.
Misalnya: H a - jejak horizontal garis lurus (garis) a;
F a - jejak frontal dari garis lurus (garis) a.
13. Barisan titik, garis (dari sembarang gambar) ditandai dengan subskrip 1,2,3,..., n:
A 1, A 2, A 3,..., A n;
a 1 , a 2 , a 3 ,..., a n ;
1 , 2 , 3 ,...,α n ;
F 1 , F 2 , F 3 ,..., F n dst.
Proyeksi bantu titik, yang diperoleh sebagai hasil transformasi untuk mendapatkan nilai sebenarnya dari sosok geometris, dilambangkan dengan huruf yang sama dengan subskrip 0:
A 0, B 0, C 0, D 0 , ...
Proyeksi aksonometrik
14. Proyeksi aksonometrik titik, garis, permukaan ditunjukkan dengan huruf yang sama dengan alam dengan penambahan superskrip 0:
A 0, B 0, C 0, D 0, ...
1 0 , 2 0 , 3 0 , 4 0 , ...
a 0, b 0, c 0 , d 0 , ...
0 , 0 , 0 , 0 , ...
15. Proyeksi sekunder ditunjukkan dengan menambahkan superskrip 1:
A 10 , B 1 0, C 1 0 , D 1 0 , ...
1 1 0 , 2 1 0 , 3 1 0 , 4 1 0 , ...
a 10 , b 1 0 , c 1 0 , d 1 0 , ...
1 0 , 1 0 , 1 0 , 1 0 , ...
Untuk memudahkan membaca gambar di buku teks, beberapa warna digunakan dalam desain bahan ilustrasi, yang masing-masing memiliki arti semantik tertentu: garis hitam (titik) menunjukkan data awal; warna hijau digunakan untuk garis konstruksi grafis tambahan; garis merah (titik) menunjukkan hasil konstruksi atau elemen geometris yang harus mendapat perhatian khusus.
tidak. | Penamaan | Isi | Contoh notasi simbolik |
---|---|---|---|
1 | ≡ | Cocok | (AB) (CD) - garis lurus yang melalui titik A dan B, berimpit dengan garis yang melalui titik C dan D |
2 | ≅ | Kongruen | ABC≅∠MNK - sudut ABC kongruen dengan sudut MNK |
3 | ∼ | Serupa | ABS∼ΔMNK - segitiga ABC dan MNK sebangun |
4 | || | Paralel | ||β - bidang sejajar dengan bidang |
5 | ⊥ | Tegak lurus | a⊥b - garis a dan b tegak lurus |
6 | membastar | dengan d - garis c dan d berpotongan | |
7 | garis singgung | t l - garis t bersinggungan dengan garis l. - bidang bersinggungan dengan permukaan |
|
8 | → | Ditampilkan | F 1 → F 2 - gambar F 1 dipetakan ke gambar F 2 |
9 | S | pusat proyeksi. Jika pusat proyeksi bukan titik yang tepat, posisinya ditunjukkan oleh panah, menunjukkan arah proyeksi | - |
10 | s | Arah proyeksi | - |
11 | P | Proyeksi paralel | p s Proyeksi paralel - proyeksi paralel ke bidang dalam arah s |
tidak. | Penamaan | Isi | Contoh notasi simbolik | Contoh notasi simbolik dalam geometri |
---|---|---|---|---|
1 | M N | Set | - | - |
2 | A,B,C,... | Tetapkan elemen | - | - |
3 | { ... } | Terdiri dari... | F(A, B, C,...) | (A, B, C,...) - gambar terdiri dari titik A, B, C, ... |
4 | ∅ | Set kosong | L - - himpunan L kosong (tidak berisi elemen) | - |
5 | ∈ | Milik, adalah elemen | 2∈N (di mana N adalah himpunan bilangan asli) - angka 2 milik himpunan N | A a - titik A termasuk ke dalam garis a (titik A terletak pada garis a) |
6 | ⊂ | Termasuk, berisi | N⊂M - himpunan N adalah bagian (subset) dari himpunan M dari semua bilangan rasional | a⊂α - garis a milik bidang (dipahami dalam arti: himpunan titik-titik garis a adalah himpunan bagian dari titik-titik bidang ) |
7 | ∪ | Persatuan | C \u003d A U B - himpunan C adalah gabungan dari himpunan A dan B; (1, 2. 3, 4.5) = (1.2.3)∪(4.5) | ABCD = [BC] - garis putus-putus, ABCD adalah penyatuan segmen [AB], [BC], |
8 | ∩ | persimpangan banyak | =К∩L - himpunan adalah perpotongan himpunan dan L (berisi elemen-elemen yang termasuk dalam himpunan K dan himpunan L). M N = - perpotongan himpunan M dan N adalah himpunan kosong (kumpulan M dan N tidak memiliki elemen yang sama) | a = ∩ - garis a adalah perpotongan pesawat dan dan b = - garis a dan b tidak berpotongan (tidak memiliki poin yang sama) |
tidak. | Penamaan | Isi | Contoh notasi simbolik |
---|---|---|---|
1 | ∧ | konjungsi kalimat; sesuai dengan serikat "dan". Kalimat (p∧q) benar jika dan hanya jika p dan q keduanya benar | = ( K:K∈α∧K∈β) Perpotongan permukaan dan adalah himpunan titik (garis), terdiri dari semua itu dan hanya titik-titik K yang dimiliki oleh permukaan dan permukaan |
2 | ∨ | Disjungsi kalimat; sesuai dengan serikat "atau". Kalimat (p∨q) benar ketika setidaknya salah satu kalimat p atau q benar (yaitu p atau q atau keduanya). | - |
3 | ⇒ | Implikasi adalah konsekuensi logis. Kalimat p⇒q artinya: "jika p, maka q" | (a||c∧b||c)⇒a||b. Jika dua garis sejajar dengan garis ketiga, maka mereka sejajar satu sama lain. |
4 | ⇔ | Kalimat (p⇔q) dipahami dalam arti: "jika p, maka q; jika q, maka p" | l⊂α. Sebuah titik milik sebuah pesawat jika itu milik beberapa garis milik pesawat itu. Kebalikannya juga benar: jika suatu titik termasuk ke dalam suatu garis, milik pesawat, maka itu juga milik pesawat itu sendiri. |
5 | ∀ | Kuantifier umum berbunyi: untuk semua orang, untuk semua orang, untuk siapa saja. Ekspresi (x)P(x) berarti: "untuk setiap x: properti P(x)" | (ΔABC)( = 180°) Untuk sembarang segitiga (untuk sembarang), jumlah nilai sudutnya pada simpulnya adalah 180° |
6 | ∃ | Kuantifier eksistensial berbunyi: ada. Ekspresi (x)P(x) berarti: "ada x yang memiliki sifat P(x)" | (∀α)(∃a) Untuk sembarang bidang , terdapat garis a yang tidak termasuk bidang dan sejajar dengan bidang |
7 | ∃1 | Keunikan kuantor keberadaan, berbunyi: ada yang unik (-th, -th)... Ekspresi 1(x)(Px) berarti: "ada unik (hanya satu) x, memiliki properti Rx" | (∀ A, B)(A≠B)(∃1a)(a∋A, B) Untuk setiap dua titik berbeda A dan B, terdapat garis unik a, melewati titik-titik tersebut. |
8 | (px) | Negasi dari pernyataan P(x) | ab(∃α )(α⊃а, b) Jika garis a dan b berpotongan, maka tidak ada bidang a yang memuat garis tersebut |
9 | \ | Tanda negatif | - ruas [AB] tidak sama dengan ruas .a? b - garis a tidak sejajar dengan garis b |
Halaman 1 dari 3
§satu. pertanyaan tes
Pertanyaan 1.
Berikan contoh bentuk geometris.
Menjawab. Contoh bentuk geometris: segitiga, persegi, lingkaran.
Pertanyaan 2. Sebutkan bentuk-bentuk geometris dasar pada bidang.
Menjawab. Angka-angka geometris utama di pesawat adalah titik dan garis.
Pertanyaan 3. Bagaimana titik dan garis didefinisikan?
Menjawab. Titik ditunjukkan dengan huruf latin kapital: A, B, C, D, .... Garis lurus dilambangkan dengan huruf latin kecil: a, b, c, d, ....
Sebuah garis dapat dilambangkan dengan dua titik yang terletak di atasnya. Misalnya, garis a pada gambar 4 dapat diberi label AC, dan garis b dapat diberi label BC.
Pertanyaan 4. Merumuskan sifat dasar keanggotaan titik dan garis.
Menjawab. Apapun garisnya, ada titik-titik yang termasuk dalam garis ini, dan titik-titik yang bukan milik garis itu.
Melalui dua titik mana pun Anda dapat menarik garis, dan hanya satu.
Pertanyaan 5. Jelaskan apa yang dimaksud dengan segmen dengan ujung di titik-titik tertentu.
Menjawab. Segmen adalah bagian dari garis lurus yang terdiri dari semua titik dari garis lurus ini yang terletak di antara dua titik tertentu. Titik-titik ini disebut ujung segmen. Segmen ditunjukkan dengan menunjukkan ujungnya. Ketika mereka mengatakan atau menulis: "segmen AB", yang mereka maksud adalah segmen dengan ujung di titik A dan B.
Pertanyaan 6. Rumuskan sifat utama lokasi titik-titik pada garis lurus.
Menjawab. Dari tiga titik pada suatu garis, satu dan hanya satu yang terletak di antara dua lainnya.
Pertanyaan 7. Merumuskan sifat-sifat utama segmen pengukuran.
Menjawab. Setiap segmen memiliki panjang tertentu lebih besar dari nol. Panjang segmen sama dengan jumlah panjang bagian-bagian yang dibagi dengan salah satu titiknya.
Pertanyaan 8. Berapa jarak antara dua titik yang diberikan?
Menjawab. Panjang ruas AB disebut jarak antara titik A dan B.
Pertanyaan 9. Apa sifat-sifat membelah pesawat menjadi dua setengah bidang?
Menjawab. Pembagian sebuah bidang menjadi dua setengah bidang memiliki sifat sebagai berikut. Jika ujung setiap segmen termasuk dalam setengah bidang yang sama, maka segmen tersebut tidak memotong garis. Jika titik-titik ujung suatu segmen termasuk dalam setengah bidang yang berbeda, maka segmen tersebut memotong garis.