Bidang memotong bola selalu dalam lingkaran, yang dapat diproyeksikan ke bidang dalam bentuk elips,lingkaran atau segmen garis lurus (Gbr. 70).

Bagian bola oleh bidang proyeksi Ω  P 2

Keliling bagian diproyeksikan ke bidang frontal menjadi segmen garis lurus Dengan 2 D 2, tetapi pada bidang horizontal proyeksi menjadi elips, sumbu utama yang sama dengan diameter lingkaran bagian.

Untuk membangun poros utama TETAPI 1 PADA 1 (proyeksi horizontal, tentukan bagian tengah segmen Dengan 2 D 2 , melalui titik ( TETAPI 2 PADA 2) paralel ditarik, proyeksi horizontal paralel ini ditemukan dan titik-titik sumbu ditentukan di sepanjang garis komunikasi TETAPI 1 dan PADA 1.

Titik 1 dan 1 yang terletak di ekuator merupakan batas jarak pandang di P 1 . Titik 2 dan 2, yang terletak di meridian utama, merupakan batas jarak pandang di P 3 .

Kuliah No. 6 proyeksi aksonometrik

1. Informasi umum. 2. Indikator distorsi. 3. Jenis proyeksi aksonometrik. 4. Konstruksi lingkaran dalam aksonometri.

1 Informasi umum

Saat membuat gambar teknik, seringkali diperlukan lebih banyak representasi visual dari objek. Untuk membangun gambar tersebut, proyeksi aksonometri (aksonometri) digunakan.

TETAPI xonometri - Kata dua kata Yunani ahson – sumbu dan metero –saya mengukur.

Metode proyeksi aksonometrik terdiri dari fakta bahwa objek, bersama dengan sumbu koordinat yang dirujuk dalam ruang, diproyeksikan ke bidang oleh sinar paralel. Bidang ini disebut bidang proyeksi aksonometrik atau bidang gambar (Gbr. 71).

Arah proyeksi tidak boleh bertepatan dengan sumbu koordinat mana pun, maka gambar bersifat visual.

Selain kejelasan, proyeksi aksonometrik juga memungkinkan pengukuran objek dalam tiga arah koordinat.

Konstruksi gambar suatu objek dilakukan sesuai dengan kerangka titik-titik karakteristik objek, dengan mempertimbangkan sifat-sifat proyeksi paralel: garis paralel tetap sejajar pada proyeksi aksonometrik, titik-titik milik garis pada proyeksi milik aksonometrik proyeksi garis-garis ini. Semua pengukuran hanya dilakukan di sepanjang sumbu atau sejajar dengan sumbu Titik-titik karakteristik dibangun sesuai dengan koordinat.

K - bidang aksonometrik (gambar);

S- arah proyeksi.

2 tingkat distorsi

Untuk dapat menggunakan metode koordinat dalam aksonometri, indikator distorsi di sepanjang sumbu diperkenalkan.

pada gambar. 72 menunjukkan sistem koordinat spasial , lajang segmen e pada sumbu koordinat dan proyeksinya ke arah S ke beberapa pesawat Ke , yang merupakan bidang proyeksi aksonometrik. proyeksi e X , e pada , e z segmen e pada masing-masing sumbu aksonometrik di kasus umum tidak sama dengan segmen e dan tidak setara. Segmen e X , e pada , e z adalah unit pengukuran sepanjang sumbu aksonometrik - unit aksonometrik (skala aksonometrik).

HAI rasio panjang potongan dalam proyeksi aksonometrik dengan panjang sebenarnya dari segmen disebut indeks distorsi (faktor distorsi):

.

Mengetahui nilai koefisien distorsi, dimungkinkan untuk membuat gambar aksonometrik dari suatu titik sesuai dengan koordinat alaminya, menggunakan rumus berikut:

X 1 = K X  X; Pada 1 = K pada  kamu;

Z 1 = K z  Z .

Indikator distorsi saling berhubungan oleh hubungan:

dalam perspektif persegi panjang:

Ke X 2  Ke pada 2  Ke z 2 = 2,

dalam perspektif miring:

Ke X 2  Ke pada 2  Ke z 2 = 2  dengantg 2 .

BAB EMPAT

BADAN BULAT

II BOLA

Bagian bola oleh bidang

125. Definisi. Benda yang dihasilkan dari rotasi setengah lingkaran di sekitar diameter disebut bola, dan permukaan yang dibentuk dalam hal ini oleh setengah lingkaran disebut bola atau bulat permukaan. Kita juga dapat mengatakan bahwa permukaan ini adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama dari titik yang sama (disebut tengah bola).

Ruas garis yang menghubungkan pusat dengan suatu titik pada permukaan disebut radius, dan ruas yang menghubungkan dua titik pada permukaan dan melalui pusat disebut diameter bola. Semua jari-jari satu bola sama satu sama lain; Setiap diameter sama dengan dua jari-jari.

Dua bola dengan jari-jari yang sama adalah sama karena, ketika bersarang, mereka digabungkan.

126. Teorema. Setiap bagian dari bola oleh pesawat adalah lingkaran.

1) Misalkan pertama (Gbr. 137) bidang potong AB melewati pusat O bola. Semua titik dari garis perpotongan milik permukaan bola dan karena itu sama-sama jauh dari titik O, yang terletak di bidang garis potong; oleh karena itu, bagian tersebut adalah lingkaran yang berpusat di titik O.

2) Mari kita asumsikan bahwa bidang potong CO tidak melewati pusat. Mari kita jatuhkan periendicular OK di atasnya dari pusat dan mengambil beberapa titik M pada garis persimpangan.Menghubungkannya dengan O dan A, kita mendapatkan segitiga siku-siku IOC, dari mana kita menemukan:

MK \u003d OM 2 - OK 2. (satu)

Karena panjang segmen OM dan OK tidak berubah ketika posisi titik M pada garis persimpangan berubah, jarak MK adalah nilai konstan untuk penampang tertentu; Ini berarti bahwa garis potongnya adalah lingkaran, yang pusatnya adalah titik K.

127. Konsekuensi. Misalkan R dan r akan menjadi panjang jari-jari bola dan jari-jari bagian lingkaran, dan
d- jarak bidang potong dari pusat, maka persamaan (1) akan berbentuk:
r=√R2 - d 2 .

Dari rumus ini kami menyimpulkan:

1) Jari-jari penampang terbesar diperoleh pada d= 0, yaitu ketika bidang potong melewati pusat bola. Pada kasus ini r= R Lingkaran yang diperoleh dalam hal ini disebut lingkaran besar.

2) Jari-jari penampang terkecil diperoleh ketika d= R. Dalam hal ini r= 0, yaitu, bagian lingkaran menjadi titik.

3) Bagian yang berjarak sama dari pusat bola adalah sama.

4) Dari dua bagian yang dikeluarkan secara tidak sama dari pusat bola, bagian yang lebih dekat ke pusat memiliki jari-jari yang lebih besar.

128. Teorema. Pesawat apa saja (R, neraka. 138), melewati pusat bola, membagi permukaannya menjadi dua bagian yang simetris dan sama besar.

Mari kita ambil beberapa titik A pada permukaan bola; misalkan AB tegak lurus turun dari titik A ke bidang P. Kita lanjutkan AB sampai berpotongan dengan permukaan bola di titik C. Menggambar BO, kita mendapatkan dua segitiga siku-siku yang sama
AOB dan BOC (kaki umum BO, dan sisi miring adalah sama, seperti jari-jari bola); oleh karena itu, AB = BC; dengan demikian, untuk setiap titik A dari permukaan bola terdapat titik lain C dari permukaan ini, simetris terhadap bidang P dengan titik A. Oleh karena itu, bidang P membagi permukaan bola menjadi dua bagian simetris.

Bagian-bagian ini tidak hanya simetris, tetapi juga sama, karena dengan memotong bola di sepanjang bidang P, kita dapat menumpuk salah satu dari dua bagian di yang lain dan menggabungkan bagian-bagian ini.

129. Teorema. Melalui dua titik permukaan bola yang tidak terletak pada ujung-ujung yang berdiameter sama, dimungkinkan untuk menggambar sebuah lingkaran besar dan hanya satu .

Misalkan diambil dua titik pada permukaan bola (Gbr. 139) yang memiliki pusat O, misalnya C dan N, tidak terletak pada garis lurus yang sama dengan titik O. Kemudian sebuah bidang dapat ditarik melalui titik C, O ke N . Bidang ini, melewati pusat O, akan memberikan, di persimpangan dengan permukaan bola, keliling lingkaran besar.

Lingkaran lain dari lingkaran besar tidak dapat dibuat melalui dua titik C dan N yang sama. Memang, setiap keliling lingkaran besar harus, menurut definisi, terletak pada bidang yang melewati pusat bola; oleh karena itu, jika mungkin untuk menggambar melalui C dan N lagi lingkaran besar, maka ternyata melalui tiga titik C, N dan O, yang tidak terletak pada satu garis lurus, dua bidang yang berbeda dapat ditarik , yang tidak mungkin.

130. Teorema. Keliling dua lingkaran besar terbelah dua ketika mereka berpotongan.

Pusat O (Gbr. 139), berada di bidang kedua lingkaran besar, terletak pada garis lurus di mana lingkaran-lingkaran ini berpotongan; maka garis lurus ini adalah diameter kedua lingkaran, dan diameter membagi dua lingkaran.

Karya tersebut berisi rencana ringkasan pelajaran dengan topik: "Bola. Bagian dari bola dengan bidang" (abstraknya agak skematis). Untuk gambaran yang lebih lengkap tentang pelajaran ini, saya sarankan untuk melihat presentasi yang dilampirkan, catatan referensi, peta reflektif, serta tes komputer. Abstrak sesuai dengan GEF baru untuk perangkat lunak sumber terbuka.

Unduh:

Pratinjau:

Untuk menggunakan pratinjau presentasi, buat akun Google (akun) dan masuk: https://accounts.google.com

Teks slide:

Kami menarik kebijaksanaan dari sejarah, kecerdasan dari puisi, wawasan dari matematika. Roger Bacon Memecahkan masalah matematika yang sulit seperti mengambil benteng. Naum Yakovlevich Vilenkin

Buatlah soal sesuai gambar dan selesaikan. S B O A 10 cm? ?

Buatlah soal sesuai gambar dan selesaikan. Sudut di bagian atas bagian aksial kerucut adalah 60 derajat. Generatrix kerucut adalah 10 cm. Hitunglah diameter kerucut dan tingginya. S B O A 10cm

Penyelesaian soal: Segitiga A S B adalah segitiga sama sisi. Segitiga sama sisi memiliki semua sisi yang sama. Dalam kasus kami, generatrix sama dengan diameter. Jadi diameternya adalah 10 cm. Segitiga O S B adalah persegi panjang. Menurut teorema Pythagoras: S O \u003d S B 2 - OB 2 \u003d S B O A

Topik pelajarannya adalah Bola. Bagian bola oleh bidang

Tujuan pelajaran: Untuk memberikan definisi konsep bola, bola dan elemennya, untuk mengetahui gambar mana yang terletak di bagian bola oleh bidang

TUJUAN: mempelajari konsep dasar yang berhubungan dengan bola dan bola; untuk mengetahui bentuk apa yang dapat diperoleh ketika sebuah bola dipotong oleh bidang, untuk mempelajari cara menggambar bola di bidang; mengembangkan akurasi dan kejelasan pidato matematika, belajar berdebat kesimpulan;

"Bola dan bola"

Bola adalah benda yang terdiri dari semua titik dalam ruang yang jaraknya tidak lebih dari suatu titik tertentu (jari-jari bola) dari titik tertentu (pusat bola). Batas sebuah bola disebut permukaan bola atau bola. Titik-titik bola adalah semua titik bola yang berada pada jarak yang sama dengan jari-jari dari pusat. /

t.O - pusat bola; R adalah jari-jari bola; AB - diameter bola - segmen yang menghubungkan dua titik bola dan melewati pusatnya. A, B - titik bola yang berlawanan secara diametral. A B O R

Bola adalah benda yang berputar setengah lingkaran di sekitar diameternya sebagai sumbu /

Sphere - tubuh rotasi setengah lingkaran di sekitar diameternya sebagai sumbu /

Lingkup aplikasi /

Geometri bola diperlukan tidak hanya oleh para astronom, navigator kapal laut, pesawat terbang, pesawat ruang angkasa, yang menentukan koordinatnya oleh bintang-bintang, tetapi juga oleh pembangun tambang, kereta bawah tanah, terowongan, serta dalam survei geodetik di area Bumi yang luas. permukaan, ketika menjadi perlu untuk memperhitungkan kebulatannya. /

CHARGER MATA

Bagian dari bola oleh pesawat.

/ http://www.etudes.ru/en/sketches/

Teorema 1 Setiap bagian bola oleh bidang adalah lingkaran. Pusat lingkaran ini adalah alas dari garis tegak lurus yang dijatuhkan dari pusat bola ke bidang pemotongan. OO "- tegak lurus. O" - pusat lingkaran - alas tegak lurus.

Bidang yang melalui pusat bola disebut bidang diametris. Penampang bola dengan bidang diametral disebut lingkaran besar, dan penampang bola disebut lingkaran besar. Bagian bola

Solusi dari masalah 29, hal.337:

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/11-klass/btela-vraweniya-b/reshenie-zadach-po-teme-sfera-shar?seconds=0&chapter_id=219

Kisah munculnya bola. Suatu ketika, ditinggal sendirian di rumah, Polukrug yang tampan menghabiskan waktu lama untuk berdandan dan berjongkok di depan cermin kecil berbingkai timah dan tidak bisa berhenti mengagumi dirinya sendiri. “Mengapa orang berpikir untuk memuji bahwa saya baik?” katanya. Orang berbohong, saya tidak baik sama sekali. Mengapa gadis-gadis itu menyatakan bahwa tidak pernah ada pria yang lebih baik dan tidak akan pernah ada di desa Khatanga? Setengah lingkaran tahu dan mendengar semua yang dikatakan tentang dia, dan berubah-ubah, seperti pria tampan. Dia bisa mengagumi dirinya sendiri di depan cermin sepanjang hari, melihat dirinya dari semua sisi. Dan tiba-tiba keajaiban terjadi ketika Setengah Lingkaran berbalik di depan cermin, dia melihat bayangannya sendiri di cermin dalam bentuk Bola.

DARI SEJARAH ASALNYA Bola biasanya disebut benda yang dibatasi oleh bola, yaitu. bola dan bola adalah benda geometris yang berbeda. Namun, baik kata bola dan bola berasal dari kata Yunani yang sama "api" - bola. Pada saat yang sama, kata "bola" dibentuk dari transisi konsonan sph menjadi sh. Dalam Buku XI Elemen, Euclid mendefinisikan bola sebagai sosok yang digambarkan oleh setengah lingkaran yang berputar dengan diameter tetap. Pada zaman kuno, bola dijunjung tinggi. Pengamatan astronomi dari cakrawala selalu membangkitkan citra bola. Ruang lingkup selalu banyak digunakan dalam berbagai bidang ilmu pengetahuan dan teknologi.

TUJUAN: mempelajari konsep dasar yang berhubungan dengan bola dan bola; mengembangkan keterampilan memecahkan masalah; untuk mengetahui angka apa yang dapat diperoleh ketika sebuah bola dipotong oleh bidang; mengembangkan akurasi dan kejelasan pidato matematika, belajar berargumentasi kesimpulan yang ditarik; belajar menggambar bola di pesawat;

TERIMA KASIH ATAS PELAJARANNYA

Pratinjau:

Ringkasan referensi pelajaran tentang topik:

"BOLA. BAGIAN BOLA DENGAN PESAWAT»

Sebuah benda yang terdiri dari semua titik dalam ruang yang jaraknya tidak lebih dari satu titik tertentu disebut ________________________________ dari suatu titik tertentu.

Titik ini disebut __________________ bola.

Jarak ini adalah _________ bola.

Batas bola disebut _____________________________________________, atau ________________________.

Ruas yang menghubungkan pusat bola dengan titik pada permukaan bola adalah _____________________.

Ini adalah segmen yang menghubungkan dua titik permukaan bola dan melewati pusat bola.

Ujung dari sembarang diameter disebut ________________________________________________ titik bola.

Bola adalah tubuh revolusi. Itu diperoleh dengan memutar setengah lingkaran di sekitar diameternya sebagai sumbu.

Menggambar bola. Tandai pusatnya di atasnya, gambar dan tandai jari-jari dan diameter, beri nama titik-titik bola yang berlawanan secara diametris.

DALIL. Setiap bagian dari bola oleh pesawat adalah lingkaran. Pusat lingkaran ini adalah alas dari garis tegak lurus yang dijatuhkan dari pusat bola ke bidang pemotongan.

Bidang diametral adalah bidang yang melalui _________ bola.

Lingkaran besar adalah penampang bola.

Lingkaran besar adalah penampang dari bidang diameter _______________.

Kartu reflektif siswa______

1. Evaluasi solusi dari tugas pendidikan yang ditetapkan

Tujuan Pembelajaran	Terselesaikan sepenuhnya	Terselesaikan sebagian	tidak terselesaikan
mempelajari konsep dasar yang berhubungan dengan bola dan bola
belajar untuk menerapkan pengetahuan yang diperoleh dalam memecahkan masalah dan membuktikan teorema
berkenalan dengan sejarah konsep "bola", "bola"
cari tahu bentuk apa yang dapat diperoleh jika sebuah bola dipotong oleh bidang?
mengembangkan kemampuan untuk bekerja dalam kelompok
mengembangkan pemikiran logis
membangun keterampilan pengendalian dan pengendalian diri.
belajar menggambar bola di pesawat
mengembangkan akurasi dan kejelasan pidato matematis, belajar berargumentasi kesimpulan yang ditarik

2. Evaluasi peningkatan pribadi.

berencana menemukan	Saya tahu		Direncanakan untuk belajar	tahu caranya
Definisi bola dan bola			Menerapkan pengetahuan yang diperoleh sebelumnya dalam memecahkan masalah dan membuktikan teorema
Mengetahui unsur-unsur bola dan bola serta definisinya			Membenarkan asumsi yang dibuat
Bentuk apa yang dapat diperoleh jika sebuah bola dipotong oleh bidang?			Buatlah gambar bola dan elemen-elemennya
Pelajari sejarah istilah "Bola", "Bola".			Kompilasi tugas sesuai dengan gambar yang sudah jadi

3. Harga diri.

A) Beri diri Anda nilai yang menurut Anda pantas untuk pekerjaan Anda dalam pelajaran.

B) Menarik kesimpulan pribadi

Pratinjau:

Ringkasan kelas dalam geometri dalam kelompok 1D.

Topik pelajaran: "Bola. Bagian bola dengan bidang".

Durasi pelajaran: 45 menit.

Buku pelajaran: "Geometri, kelas 10-11", Pogorelov A.V.

Pelajaran ini menggunakan elemen-elemen dari teknologi pendidikan modern berikut:

• Teknologi grup
• Teknologi hemat kesehatan
• Teknologi komputer informasi

Tujuan konseptual pengajaran geometri: pengembangan pemikiran logis dan abstrak, imajinasi spasial dan kemampuan penelitian.

Tujuan pelajaran: memperkenalkan konsep bola dan bola dan elemen-elemennya, mencari tahu gambar mana yang terletak di bagian bola dengan bidang;

Tugas:

Pelajari konsep dasar yang terkait dengan bola dan bola; jenis pengaturan timbal balik antara bola dan bidang (bagian bola dengan bidang);
- untuk membentuk keterampilan pemecahan masalah;

Mengembangkan kemampuan untuk perencanaan mandiri dan organisasi kerja, untuk introspeksi dan kemampuan untuk mengoreksi kegiatan sendiri;

Mengembangkan akurasi dan kejelasan pidato matematika

Menumbuhkan minat kognitif dalam matematika;
- mendidik budaya informasi dan budaya komunikasi;
- mendidik observasi, kemandirian, kemampuan bekerja sama.

Bahan dan peralatan didaktik:komputer, layar proyeksi, proyektor.

Bentuk pekerjaan: kerja kelompok, kerja mandiri.

Jenis pelajaran: pelajaran.

Selama kelas

I. Motivasi untuk memulai pelajaran - 1 menit:

Salam pembuka.

Kami menarik kebijaksanaan dari sejarah,

dalam puisi - kecerdasan,

dalam matematika, wawasan.
Roger Bacon

Memecahkan masalah matematika yang sulit

Itu bisa dibandingkan dengan perebutan benteng.

Naum Yakovlevich Vilenkin

Saya memperhatikan selebaran dan cara mengerjakannya(Slide 1)

II. Aktualisasi Pengetahuan Siswa - 7 menit:

sebuah) Melakukan tes komputer(9-10 orang)

b) Dengan siswa tidak terlibat dalam pengujian komputer, menyusun dan memecahkan masalah sesuai dengan gambar yang sudah jadi(sisa grup)(Slide 2-4)

c) meringkas hasil pekerjaan dan nilai awal untuk pelajaran (tes dan pemecahan masalah)

AKU AKU AKU. Penentuan nasib sendiri untuk aktivitas.

Tahun ini kami mulai mempelajari bagian geometri yang disebut stereometri. Apa yang dipelajari stereometri?

• Lihatlah tabel dan beri nama tubuh apa yang Anda lihat?
• Tampilkan Prisma
• Tampilkan silinder; kerucut
• Siapa yang tahu nama mayat yang tertinggal di atas meja?
• Menurut Anda apa topik pelajaran kita hari ini?
• Coba rumuskan tujuan utama pelajaran kita.(mengenalkan konsep bola dan bola serta unsur-unsurnya, cari tahu gambar mana yang terletak di bagian bola menurut bidang)
• Tugas apa yang akan kita tetapkan untuk mencapai tujuan ini?

(Slide 4-6 topik, tujuan, tugas)

Mempelajari materi baru - 10 menit:

A) Topik dirumuskan, tujuan dan sasaran jelas - maju ke pengetahuan baru.

Mari kita ingat apa yang mereka sebut lingkaran di sekolah?

Siapa yang akan mencoba memberikan definisi bola dengan analogi, mengingat ini adalah badan ruang? Mereka memberikan definisi bola, jari-jari bola, diameter bola (Dengan analogi, pekerjaan sedang berlangsung dengan bola; pada saat yang sama, siswa mengisi catatan referensi)

Kami belajar menggambarkan bola dan elemen-elemennya di pesawat, menunjukkan elemen-elemen ini dalam gambar, menemukan benda-benda bulat di lingkungan Geser 7-9

Fizminutka untuk menghilangkan rasa lelah dari mata dan stres

B) Salah satu tujuan dari pelajaran ini adalah: untuk mengetahui angka apa yang dapat diperoleh ketika sebuah bola dipotong oleh bidang. Pertama, mari kita ingat bagian apa yang dimiliki kerucut(demonstrasi studi matematika melalui internet)

Pikirkan, nyalakan imajinasi spasial Anda dan buat asumsi tentang bagian mana yang bisa dimiliki bola.

Matematikawan besar Rusia Lobachevsky berkata: “Matematika tidak memiliki otoritas. Satu-satunya argumen untuk kebenaran adalah argumen.

Rumuskan dan buktikan teorema pada bagian bola dengan bidang (.....) (10 menit)

Pengulangan langkah-langkah pembuktian.

C) sejarah konsep bola dan bola (......)

IV. Konsolidasi materi yang dipelajari - 5 menit

Solusi dari masalah.

Bekerja berpasangan dan periksa menggunakan Internet

V Hasil pelajaran. Refleksi.

Pertanyaan untuk konsolidasi:

• Apa itu bola?
• Apa yang dimaksud dengan permukaan bola atau bola?
• Berapa jari-jari, diameter, tali busur sebuah bola?
• Titik apa yang disebut berlawanan secara diametral?
• Apa yang dimaksud dengan bagian bola oleh bidang pada jarak kurang dari jari-jari bola dari pusat bola?
• Bidang manakah yang disebut bidang diametris bola?
• Apa itu lingkaran besar, lingkaran besar?

Mengisi peta reflektif, mengetahui apakah semua tujuan pembelajaran telah tercapai.

VI. Pekerjaan rumah 1 menit:

item 58, 59, No. 30, 31

Instruksi pekerjaan rumah.

Kata kunci: bola, bola, pusat bola, diameter, bidang singgung, bidang simetri,

bola sebuah benda disebut, yang terdiri dari semua titik ruang yang terletak pada jarak yang tidak lebih besar dari titik tertentu, dari titik tertentu.

Titik ini disebut tengah bola, dan jarak ini disebut radius bola. Batas bola disebut permukaan bola atau bola. Setiap ruas yang menghubungkan pusat bola dengan sebuah titik pada permukaan bola disebut jari-jari. Ruas garis yang menghubungkan dua titik pada permukaan bola dan melalui pusat bola disebut diameter. Ujung dengan diameter berapa pun disebut berlawanan secara diametral poin bola. Bola, seperti silinder dan kerucut, adalah benda revolusi. Itu diperoleh dengan memutar setengah lingkaran di sekitar diameternya sebagai sumbu. Setiap bagian dari bola oleh pesawat adalah lingkaran. Pusat lingkaran ini adalah alas dari garis tegak lurus yang dijatuhkan dari pusat ke bidang potong. Bidang yang melalui pusat bola disebut bidang diameter . Penampang bola dengan bidang diametral disebut lingkaran besar , dan bagian bola - lingkaran besar Setiap bidang diameter bola adalah bidang simetri . Pusat bola adalah pusat simetri Bidang yang melalui suatu titik pada permukaan bola dan tegak lurus dengan jari-jari yang ditarik ke titik itu disebut bidang singgung . Titik ini disebut titik sentuh. Bidang singgung hanya memiliki satu titik yang sama dengan bola - titik kontak. Garis lurus yang melalui suatu titik tertentu dari permukaan bola yang tegak lurus terhadap jari-jari yang ditarik ke titik ini disebut garis singgung. Melalui titik mana pun dari permukaan bola, ada banyak garis singgung yang tak terhingga, dan semuanya terletak pada bidang singgung bola.

Teorema 20.3 . Setiap bagian dari bola oleh pesawat adalah lingkaran. Pusat lingkaran ini adalah alas garis tegak lurus yang dijatuhkan dari pusat bola ke garis potong pesawat terbang.

Bukti. Biarkan - bidang potong dan O - pusat bola (Gbr. 453). Mari kita jatuhkan garis tegak lurus dari pusat bola ke bidang dan dilambangkan dengan O" dasar tegak lurus ini.

Biarkan X menjadi titik sewenang-wenang dari bola milik pesawat. Oleh dalil Pythagoras 0X2 \u003d 00 "2 + O" X2. Karena OX tidak lebih besar dari jari-jari R bola, maka, yaitu, setiap titik bagian bola oleh pesawat terletak pada jarak yang tidak lebih besar dari titik O ", oleh karena itu, ia termasuk dalam lingkaran dengan pusat O" dan radius.

Sebaliknya, setiap titik X dari lingkaran ini adalah milik bola. Dan ini berarti bahwa bagian bola bidang adalah lingkaran yang berpusat di titik O. Teorema terbukti.

Bidang yang melalui pusat bola disebut bidang diametris. Bagian bola menurut bidang diametris disebut lingkaran besar (Gbr. 454), dan bagian bola disebut lingkaran besar.

Soal (30). Sebuah bidang yang tegak lurus dengannya ditarik melalui titik tengah jari-jari bola. Bagaimana hubungan luas bagian yang diperoleh dengan luas lingkaran besar?

Keputusan . Jika jari-jari bola adalah R (Gbr. 455), maka jari-jari lingkaran pada bagian tersebut adalah

Perbandingan luas lingkaran ini dengan luas lingkaran besar adalah

Dalil. Setiap bagian dari bola oleh pesawat adalah lingkaran. Pusat lingkaran ini adalah alas dari garis tegak lurus yang dijatuhkan dari pusat bola ke bidang pemotongan.

Bukti. Misalkan b adalah bidang potong dan O pusat bola (Gbr. 453). Mari kita turunkan garis tegak lurus dari pusat bola ke bidang b dan dilambangkan dengan O" alas tegak lurus ini.

Biarkan X menjadi titik sewenang-wenang dari bola milik pesawat b. Menurut teorema Pythagoras, 0X2 \u003d 00 "2 + O" X2. Karena OX tidak lebih besar dari jari-jari R bola, yaitu, setiap titik bagian bola oleh bidang b berada pada jarak yang tidak lebih besar dari titik O ", oleh karena itu, ia termasuk dalam lingkaran dengan pusat O " dan radius.

Sebaliknya, setiap titik X dari lingkaran ini adalah milik bola. Dan ini berarti bahwa bagian bola oleh bidang adalah lingkaran yang berpusat di titik O. Teorema terbukti.

Bidang yang melalui pusat bola disebut bidang diametris. Bagian bola menurut bidang diametris disebut lingkaran besar (Gbr. 454), dan bagian bola disebut lingkaran besar.

tugas

Tugas 1 . Dua bagian bola berjari-jari 10 cm oleh bidang-bidang sejajar memiliki jari-jari sama dengan 6 landak dan 8 cm. Tentukan jarak antara bidang garis potong.

Keputusan. Tentukan jarak masing-masing bidang sejajar ke pusat bola:

tergantung pada apakah pusat bola terletak di antara bidang atau tidak, kita mendapatkan dua jawaban berbeda untuk masalah ini:

Tugas 2. Jarak antara pusat dua bola adalah d; jari-jarinya R1 dan R2. Temukan jari-jari lingkaran di mana mereka berpotongan.

Keputusan. Jari-jari yang diinginkan berfungsi sebagai ketinggian segitiga OMO1 (Gbr. 5). Luas S segitiga OMO2 terletak pada tiga sisi 001 = d, R1 R2 dan jari-jari yang diinginkan adalah r=2S/d. Garis lurus juga dapat menempati tiga posisi yang pada dasarnya berbeda terhadap bola. Yaitu, dapat memotong permukaan bola di dua titik yang berbeda, tidak memotongnya, atau memiliki satu titik yang sama dengannya. Dalam kasus terakhir, itu akan disebut garis singgung bola

Tugas 3 Sebuah bidang yang tegak lurus dengannya ditarik melalui titik tengah jari-jari bola. Bagaimana hubungan luas bagian yang diperoleh dengan luas lingkaran besar?