Di sini Anda dapat memecahkan sistem persamaan linier secara gratis Metode Gauss online ukuran besar dalam bilangan kompleks dengan solusi yang sangat rinci. Kalkulator kami dapat menyelesaikan sistem persamaan linier konvensional dan tak tentu secara online menggunakan metode Gaussian, yang memiliki jumlah solusi tak terbatas. Dalam hal ini, dalam jawaban Anda akan menerima ketergantungan beberapa variabel melalui yang lain, yang gratis. Anda juga dapat memeriksa sistem persamaan untuk kompatibilitas secara online menggunakan solusi Gaussian.
Tentang metode
Saat memecahkan sistem persamaan linier online dengan metode Gauss, langkah-langkah berikut dilakukan.
- Kami menulis matriks yang diperbesar.
- Sebenarnya, solusinya dibagi menjadi langkah maju dan mundur dari metode Gaussian. Perpindahan langsung dari metode Gauss disebut reduksi matriks menjadi bentuk langkah. Langkah kebalikan dari metode Gauss adalah reduksi matriks menjadi bentuk langkah khusus. Namun dalam praktiknya, lebih mudah untuk segera menghilangkan apa yang ada di atas dan di bawah elemen yang dimaksud. Kalkulator kami menggunakan pendekatan ini dengan tepat.
- Penting untuk dicatat bahwa ketika menyelesaikan dengan metode Gauss, kehadiran dalam matriks setidaknya satu baris nol dengan sisi kanan bukan nol (kolom anggota bebas) menunjukkan inkonsistensi sistem. Solusi dari sistem linier dalam hal ini tidak ada.
Untuk lebih memahami bagaimana algoritma Gaussian bekerja secara online, masukkan contoh apapun, pilih "solusi yang sangat rinci" dan lihat solusinya secara online.
Salah satu cara paling sederhana untuk menyelesaikan sistem persamaan linear adalah metode yang didasarkan pada penghitungan determinan ( Aturan Cramer). Keuntungannya adalah memungkinkan Anda untuk segera merekam solusi, sangat nyaman dalam kasus di mana koefisien sistem bukan angka, tetapi beberapa parameter. Kerugiannya adalah kerumitan perhitungan dalam kasus sejumlah besar persamaan, apalagi, aturan Cramer tidak secara langsung berlaku untuk sistem di mana jumlah persamaan tidak sesuai dengan jumlah yang tidak diketahui. Dalam kasus seperti itu, biasanya digunakan Metode Gauss.
Sistem persamaan linear yang memiliki himpunan penyelesaian yang sama disebut setara. Jelas, himpunan solusi sistem linier tidak akan berubah jika ada persamaan yang dipertukarkan, atau jika salah satu persamaan dikalikan dengan beberapa bilangan bukan nol, atau jika satu persamaan ditambahkan ke persamaan lainnya.
Metode Gauss (metode eliminasi berturut-turut dari yang tidak diketahui) terletak pada kenyataan bahwa, dengan bantuan transformasi dasar, sistem direduksi menjadi sistem bertahap yang setara. Pertama, dengan bantuan persamaan 1, x 1 dari semua persamaan sistem berikutnya. Kemudian, dengan menggunakan persamaan ke-2, kita eliminasi x 2 dari 3 dan semua persamaan berikutnya. Proses ini disebut metode Gauss langsung, berlanjut sampai hanya satu yang tidak diketahui yang tersisa di sisi kiri persamaan terakhir x n. Setelah itu dibuat Kebalikan Gauss– memecahkan persamaan terakhir, kami menemukan x n; setelah itu, dengan menggunakan nilai ini, dari persamaan kedua dari belakang kita hitung x n-1 dll. Terakhir kita temukan x 1 dari persamaan pertama.
Transformasi Gaussian mudah dilakukan dengan melakukan transformasi tidak dengan persamaan itu sendiri, tetapi dengan matriks koefisiennya. Pertimbangkan matriks:
ditelepon sistem matriks diperpanjang, karena selain matriks utama sistem, itu termasuk kolom anggota bebas. Metode Gaussian didasarkan pada membawa matriks utama sistem ke bentuk segitiga (atau bentuk trapesium dalam kasus sistem non-persegi) menggunakan transformasi baris elementer (!) dari matriks diperpanjang sistem.
Contoh 5.1. Selesaikan sistem menggunakan metode Gauss:
Keputusan. Mari kita tuliskan matriks yang diperbesar dari sistem dan, dengan menggunakan baris pertama, setelah itu kita akan mengatur elemen-elemen lainnya menjadi nol:
kita mendapatkan nol di baris ke-2, ke-3 dan ke-4 dari kolom pertama:
Sekarang kita membutuhkan semua elemen di kolom kedua di bawah baris ke-2 agar sama dengan nol. Untuk melakukan ini, Anda dapat mengalikan baris kedua dengan -4/7 dan menambahkan ke baris ke-3. Namun, agar tidak berurusan dengan pecahan, kami membuat unit di baris ke-2 dari kolom kedua dan hanya
Sekarang, untuk mendapatkan matriks segitiga, Anda perlu meniadakan elemen baris keempat dari kolom ke-3, untuk ini Anda dapat mengalikan baris ketiga dengan 8/54 dan menambahkannya ke yang keempat. Namun, agar tidak berurusan dengan pecahan, kami akan menukar baris ke-3 dan ke-4 dan kolom ke-3 dan ke-4, dan hanya setelah itu kami akan mengatur ulang elemen yang ditentukan. Perhatikan bahwa ketika kolom disusun ulang, variabel terkait akan ditukar, dan ini harus diingat; transformasi dasar lainnya dengan kolom (penjumlahan dan perkalian dengan angka) tidak dapat dilakukan!
Matriks sederhana terakhir sesuai dengan sistem persamaan yang setara dengan yang asli:
Dari sini, dengan menggunakan kebalikan dari metode Gauss, kita temukan dari persamaan keempat x 3 = -1; dari yang ketiga x 4 = -2, dari detik x 2 = 2 dan dari persamaan pertama x 1 = 1. Dalam bentuk matriks, jawabannya ditulis sebagai
Kami telah mempertimbangkan kasus ketika sistem pasti, yaitu. ketika hanya ada satu solusi. Mari kita lihat apa yang terjadi jika sistem tidak konsisten atau tak tentu.
Contoh 5.2. Jelajahi sistem menggunakan metode Gaussian:
Keputusan. Kami menulis dan mengubah matriks yang diperbesar dari sistem
Kami menulis sistem persamaan yang disederhanakan:
Di sini, dalam persamaan terakhir, ternyata 0=4, yaitu. kontradiksi. Oleh karena itu, sistem tidak memiliki solusi, mis. dia adalah tidak cocok. à
Contoh 5.3. Jelajahi dan selesaikan sistem menggunakan metode Gaussian:
Keputusan. Kami menulis dan mengubah matriks yang diperluas dari sistem:
Sebagai hasil dari transformasi, hanya nol yang diperoleh di baris terakhir. Ini berarti bahwa jumlah persamaan berkurang satu:
Jadi, setelah penyederhanaan, dua persamaan tetap ada, dan empat tidak diketahui, yaitu. dua "ekstra" yang tidak diketahui. Biarkan "berlebihan", atau, seperti yang mereka katakan, variabel bebas, akan x 3 dan x 4 . Kemudian
Asumsi x 3 = 2sebuah dan x 4 = b, kita mendapatkan x 2 = 1–sebuah dan x 1 = 2b–sebuah; atau dalam bentuk matriks
Solusi yang ditulis dengan cara ini disebut umum, karena, dengan memberikan parameter sebuah dan b nilai yang berbeda, adalah mungkin untuk menggambarkan semua solusi yang mungkin dari sistem. sebuah
Hari ini kita berurusan dengan metode Gauss untuk memecahkan sistem persamaan aljabar linier. Anda dapat membaca tentang apa sistem ini di artikel sebelumnya yang ditujukan untuk menyelesaikan SLAE yang sama dengan metode Cramer. Metode Gauss tidak memerlukan pengetahuan khusus, hanya perawatan dan konsistensi yang diperlukan. Terlepas dari kenyataan bahwa dari sudut pandang matematika, persiapan sekolah sudah cukup untuk penerapannya, penguasaan metode ini sering menyebabkan kesulitan bagi siswa. Pada artikel ini, kami akan mencoba menguranginya menjadi nol!
Metode Gauss
M Metode Gauss adalah metode paling universal untuk memecahkan SLAE (dengan pengecualian sistem yang sangat besar). Tidak seperti yang dibahas sebelumnya, ini cocok tidak hanya untuk sistem yang memiliki solusi unik, tetapi juga untuk sistem yang memiliki jumlah solusi tak terbatas. Ada tiga pilihan di sini.
- Sistem memiliki solusi unik (determinan matriks utama sistem tidak sama dengan nol);
- Sistem memiliki jumlah solusi yang tak terbatas;
- Tidak ada solusi, sistem tidak konsisten.
Jadi, kami memiliki sistem (biarkan memiliki satu solusi), dan kami akan menyelesaikannya menggunakan metode Gaussian. Bagaimana itu bekerja?
Metode Gaussian terdiri dari dua tahap - langsung dan terbalik.
Metode Gauss Langsung
Pertama, kita menulis matriks yang diperbesar dari sistem. Untuk melakukan ini, kami menambahkan kolom anggota bebas ke matriks utama.
Inti keseluruhan dari metode Gaussian adalah mereduksi matriks ini menjadi bentuk bertahap (atau, seperti yang mereka katakan, segitiga) melalui transformasi elementer. Dalam bentuk ini, seharusnya hanya ada nol di bawah (atau di atas) diagonal utama matriks.
Apa yang bisa dilakukan:
- Anda dapat mengatur ulang baris matriks;
- Jika ada baris yang identik (atau proporsional) dalam matriks, Anda dapat menghapus semua kecuali satu;
- Anda dapat mengalikan atau membagi string dengan angka apa pun (kecuali nol);
- Garis nol dihapus;
- Anda dapat menambahkan string dikalikan dengan angka bukan nol ke string.
Metode Gauss terbalik
Setelah kami mengubah sistem dengan cara ini, satu yang tidak diketahui xn menjadi diketahui, dan adalah mungkin untuk menemukan semua yang tidak diketahui yang tersisa dalam urutan terbalik, dengan mensubstitusikan x yang sudah diketahui ke dalam persamaan sistem, hingga yang pertama.
Saat Internet selalu tersedia, Anda dapat menyelesaikan sistem persamaan menggunakan metode Gauss on line . Yang harus Anda lakukan adalah memasukkan peluang ke dalam kalkulator online. Tetapi Anda harus mengakui, jauh lebih menyenangkan untuk menyadari bahwa contoh itu diselesaikan bukan oleh program komputer, tetapi oleh otak Anda sendiri.
Contoh penyelesaian sistem persamaan menggunakan metode Gauss
Dan sekarang - sebuah contoh, sehingga semuanya menjadi jelas dan dapat dimengerti. Biarkan sistem persamaan linier diberikan, dan itu perlu diselesaikan dengan metode Gauss:
Pertama, mari kita tulis matriks yang diperbesar:
Sekarang mari kita lihat transformasinya. Ingat bahwa kita perlu mencapai bentuk segitiga dari matriks. Kalikan baris pertama dengan (3). Kalikan baris ke-2 dengan (-1). Mari tambahkan baris ke-2 ke baris ke-1 dan dapatkan:
Kemudian kalikan baris ke-3 dengan (-1). Mari tambahkan baris ke-3 ke baris ke-2:
Kalikan baris pertama dengan (6). Kalikan baris ke-2 dengan (13). Mari tambahkan baris ke-2 ke baris ke-1:
Voila - sistem dibawa ke bentuk yang sesuai. Masih menemukan yang tidak diketahui:
Sistem dalam contoh ini memiliki solusi unik. Kami akan mempertimbangkan solusi sistem dengan serangkaian solusi tak terbatas dalam artikel terpisah. Mungkin pada awalnya Anda tidak akan tahu harus mulai dari mana dengan transformasi matriks, tetapi setelah latihan yang tepat Anda akan mendapatkannya dan akan mengklik Gaussian SLAE seperti kacang. Dan jika Anda tiba-tiba menemukan SLAU, yang ternyata terlalu sulit untuk dipecahkan, hubungi penulis kami! Anda bisa dengan meninggalkan aplikasi di Korespondensi. Bersama-sama kita akan menyelesaikan masalah apa pun!
1. Sistem persamaan aljabar linier
1.1 Konsep sistem persamaan aljabar linier
Sistem persamaan adalah suatu kondisi yang terdiri dari eksekusi simultan beberapa persamaan dalam beberapa variabel. Sistem persamaan aljabar linier (selanjutnya disebut SLAE) yang berisi m persamaan dan n yang tidak diketahui adalah sistem dengan bentuk:
di mana angka a ij disebut koefisien sistem, angka b i adalah anggota bebas, aij dan b saya(i=1,…, m; b=1,…, n) adalah beberapa bilangan yang diketahui, dan x 1 ,…, x n- tidak dikenal. Dalam notasi koefisien aij indeks pertama i menunjukkan jumlah persamaan, dan indeks kedua j adalah jumlah yang tidak diketahui di mana koefisien ini berdiri. Tunduk untuk menemukan nomor x n . Lebih mudah untuk menulis sistem seperti itu dalam bentuk matriks yang ringkas: AX=B. Di sini A adalah matriks koefisien sistem, yang disebut matriks utama;
adalah vektor kolom dari xj yang tidak diketahui. adalah vektor kolom anggota bebas bi.
Hasil kali matriks A * X didefinisikan, karena jumlah kolom dalam matriks A sama banyaknya dengan jumlah baris dalam matriks X (n buah).
Matriks yang diperluas dari sistem adalah matriks A dari sistem, ditambah dengan kolom anggota bebas
1.2 Solusi dari sistem persamaan aljabar linier
Solusi dari sistem persamaan adalah himpunan bilangan berurutan (nilai variabel), ketika menggantikannya sebagai ganti variabel, masing-masing persamaan sistem berubah menjadi persamaan sejati.
Penyelesaian sistem adalah n nilai yang tidak diketahui x1=c1, x2=c2,…, xn=cn, dengan mensubstitusi semua persamaan sistem menjadi persamaan sebenarnya. Setiap solusi dari sistem dapat ditulis sebagai matriks-kolom
Suatu sistem persamaan disebut konsisten jika memiliki setidaknya satu solusi, dan tidak konsisten jika tidak memiliki solusi.
Suatu sistem gabungan disebut pasti jika memiliki solusi unik, dan tidak terbatas jika memiliki lebih dari satu solusi. Dalam kasus terakhir, masing-masing solusinya disebut solusi tertentu dari sistem. Himpunan semua solusi khusus disebut solusi umum.
Memecahkan suatu sistem berarti mengetahui apakah sistem itu konsisten atau tidak konsisten. Jika sistem kompatibel, temukan solusi umumnya.
Dua sistem disebut ekuivalen (ekuivalen) jika memiliki solusi umum yang sama. Dengan kata lain, sistem adalah ekuivalen jika setiap solusi untuk salah satunya adalah solusi untuk yang lain, dan sebaliknya.
Transformasi, penerapan yang mengubah sistem menjadi sistem baru yang setara dengan yang asli, disebut transformasi setara atau setara. Transformasi berikut dapat berfungsi sebagai contoh transformasi ekuivalen: menukar dua persamaan sistem, menukar dua yang tidak diketahui bersama-sama dengan koefisien semua persamaan, mengalikan kedua bagian dari setiap persamaan sistem dengan angka bukan nol.
Suatu sistem persamaan linear disebut homogen jika semua suku bebas sama dengan nol:
Sistem homogen selalu konsisten, karena x1=x2=x3=…=xn=0 adalah solusi sistem. Solusi ini disebut null atau trivial.
2. Metode eliminasi Gauss
2.1 Inti dari metode eliminasi Gaussian
Metode klasik untuk menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier adalah metode eliminasi berturut-turut dari yang tidak diketahui - Metode Gauss(Ini juga disebut metode eliminasi Gaussian). Ini adalah metode eliminasi variabel berturut-turut, ketika, dengan bantuan transformasi dasar, sistem persamaan direduksi menjadi sistem setara bentuk bertahap (atau segitiga), dari mana semua variabel lain ditemukan secara berurutan, mulai dari variabel terakhir (berdasarkan angka).
Proses solusi Gaussian terdiri dari dua tahap: gerakan maju dan mundur.
1. Gerakan langsung.
Pada tahap pertama, apa yang disebut gerakan langsung dilakukan, ketika, melalui transformasi dasar atas baris, sistem dibawa ke bentuk bertahap atau segitiga, atau ditetapkan bahwa sistem tidak konsisten. Yaitu, di antara elemen-elemen kolom pertama matriks, dipilih yang bukan nol, dipindahkan ke posisi paling atas dengan mengubah baris, dan baris pertama yang diperoleh setelah permutasi dikurangi dari baris yang tersisa, mengalikannya dengan nilai yang sama dengan rasio elemen pertama dari setiap baris ini dengan elemen pertama dari baris pertama, sehingga kolom di bawahnya menjadi nol.
Setelah transformasi yang ditunjukkan dibuat, baris pertama dan kolom pertama secara mental dicoret dan dilanjutkan sampai matriks ukuran nol tetap. Jika pada beberapa iterasi di antara elemen-elemen kolom pertama tidak ditemukan yang bukan nol, maka lanjutkan ke kolom berikutnya dan lakukan operasi serupa.
Pada tahap pertama (lari ke depan), sistem direduksi menjadi bentuk bertahap (khususnya, segitiga).
Sistem di bawah ini bertahap:
,
Koefisien aii disebut elemen utama (terkemuka) dari sistem.
(jika a11=0, atur ulang baris matriks sehingga sebuah 11 tidak sama dengan 0. Ini selalu mungkin, karena jika tidak, matriks berisi kolom nol, determinannya sama dengan nol dan sistem tidak konsisten).Kami mengubah sistem dengan menghilangkan x1 yang tidak diketahui dalam semua persamaan kecuali yang pertama (menggunakan transformasi dasar sistem). Untuk melakukannya, kalikan kedua ruas persamaan pertama dengan
dan tambahkan suku demi suku dengan persamaan kedua sistem (atau dari persamaan kedua kita kurangi suku dengan suku pertama dikalikan ). Kemudian kita mengalikan kedua bagian persamaan pertama dengan dan menambahkannya ke persamaan ketiga sistem (atau mengurangkan yang pertama dikalikan dengan suku ketiga dengan suku). Jadi, kita berturut-turut mengalikan baris pertama dengan angka dan menambahkan ke saya-baris ke-, untuk saya = 2, 3, …,n.Melanjutkan proses ini, kami mendapatkan sistem yang setara:
– nilai baru dari koefisien untuk yang tidak diketahui dan suku bebas dalam persamaan m-1 terakhir dari sistem, yang ditentukan oleh rumus: Jadi, pada langkah pertama, semua koefisien di bawah elemen utama pertama a 11 dihancurkan
0, langkah kedua menghancurkan elemen di bawah elemen utama kedua a 22 (1) (jika a 22 (1) 0), dan seterusnya. Melanjutkan proses ini lebih lanjut, kita akhirnya akan mereduksi sistem asli menjadi sistem segitiga pada langkah (m-1).Jika, dalam proses mereduksi sistem ke bentuk bertahap, persamaan nol muncul, mis. persamaan bentuk 0=0, mereka dibuang. Jika ada persamaan bentuk
Ini menunjukkan ketidakcocokan sistem. Ini melengkapi kursus langsung dari metode Gauss.
2. Gerakan mundur.
Pada tahap kedua, apa yang disebut gerakan mundur dilakukan, yang intinya adalah untuk mengekspresikan semua variabel dasar yang dihasilkan dalam bentuk yang non-dasar dan membangun sistem solusi fundamental, atau, jika semua variabel adalah dasar, kemudian secara numerik nyatakan satu-satunya solusi untuk sistem persamaan linier.
Prosedur ini dimulai dengan persamaan terakhir, dari mana variabel dasar yang sesuai diekspresikan (hanya ada satu di dalamnya) dan disubstitusikan ke persamaan sebelumnya, dan seterusnya, naik ke "langkah".
Setiap baris sesuai dengan tepat satu variabel dasar, jadi pada setiap langkah, kecuali yang terakhir (paling atas), situasinya persis mengulangi kasus baris terakhir.
Catatan: dalam praktiknya, lebih mudah untuk bekerja bukan dengan sistem, tetapi dengan matriks yang diperluas, melakukan semua transformasi dasar pada barisnya. Lebih mudah bahwa koefisien a11 sama dengan 1 (mengatur ulang persamaan, atau membagi kedua sisi persamaan dengan a11).
2.2 Contoh penyelesaian SLAE dengan metode Gauss
Pada bagian ini, dengan menggunakan tiga contoh berbeda, kami akan menunjukkan bagaimana metode Gaussian dapat digunakan untuk menyelesaikan SLAE.
Contoh 1. Selesaikan SLAE orde ke-3.
Tetapkan koefisien ke nol di
pada baris kedua dan ketiga. Untuk melakukan ini, kalikan masing-masing dengan 2/3 dan 1, dan tambahkan ke baris pertama:
Carl Friedrich Gauss, ahli matematika terbesar, ragu-ragu untuk waktu yang lama, memilih antara filsafat dan matematika. Mungkin justru pola pikir seperti itulah yang memungkinkannya untuk "pergi" begitu mencolok di dunia sains. Secara khusus, dengan membuat "Metode Gauss" ...
Selama hampir 4 tahun, artikel-artikel situs ini berkaitan dengan pendidikan sekolah, terutama dari sudut pandang filsafat, prinsip-prinsip (salah) pemahaman yang diperkenalkan ke dalam pikiran anak-anak. Waktunya akan datang untuk lebih spesifik, contoh dan metode ... Saya percaya bahwa ini adalah pendekatan yang akrab, membingungkan dan penting bidang kehidupan memberikan hasil terbaik.
Kami manusia diatur sedemikian rupa sehingga tidak peduli berapa banyak yang Anda bicarakan berpikir abstrak, tetapi pemahaman selalu terjadi melalui contoh. Jika tidak ada contoh, maka tidak mungkin menangkap prinsipnya... Alangkah mustahilnya berada di puncak gunung selain melalui seluruh lerengnya dari kaki.
Sama dengan sekolah: untuk saat ini cerita hidup tidak cukup kita secara naluriah terus menganggapnya sebagai tempat di mana anak-anak diajari untuk mengerti.
Misalnya, mengajarkan metode Gauss...
Metode Gauss di kelas 5 sekolah
Saya akan segera membuat reservasi: metode Gauss memiliki aplikasi yang jauh lebih luas, misalnya, saat menyelesaikan sistem persamaan linear. Apa yang akan kita bicarakan terjadi di kelas 5. Ini Mulailah, setelah memahami yang mana, jauh lebih mudah untuk memahami lebih banyak "opsi lanjutan". Dalam artikel ini kita berbicara tentang metode (metode) Gauss ketika menemukan jumlah deret
Ini adalah contoh yang dibawa putra bungsu saya dari sekolah, menghadiri kelas 5 gimnasium Moskow.
Demonstrasi sekolah tentang metode Gauss
Seorang guru matematika menggunakan papan tulis interaktif (metode pengajaran modern) menunjukkan kepada anak-anak presentasi cerita "penciptaan metode" oleh Gauss kecil.
Guru sekolah mencambuk Carl kecil (metode usang, sekarang tidak digunakan di sekolah) karena,
alih-alih menambahkan angka secara berurutan dari 1 hingga 100 untuk menemukan jumlah mereka diperhatikan bahwa pasangan angka yang berjarak sama dari tepi deret aritmatika dijumlahkan dengan angka yang sama. misalnya, 100 dan 1, 99 dan 2. Setelah menghitung jumlah pasangan seperti itu, Gauss kecil hampir seketika memecahkan masalah yang diajukan oleh guru. Untuk itu ia menjadi sasaran eksekusi di depan publik yang tercengang. Bagi yang lain berpikir itu tidak sopan.
Apa yang dilakukan Gauss kecil? dikembangkan pengertian bilangan? diperhatikan beberapa fitur deret bilangan dengan langkah konstan (deret aritmatika). Dan persis ini membuatnya kemudian menjadi ilmuwan besar, mampu memperhatikan, memiliki perasaan, naluri pemahaman.
Inilah nilai matematika, yang berkembang kemampuan melihat umum khususnya - berpikir abstrak. Oleh karena itu, kebanyakan orang tua dan majikan secara naluriah menganggap matematika sebagai disiplin yang penting ...
“Matematika harus diajarkan nanti, sehingga menertibkan pikiran.
M.V. Lomonosov".
Namun, para pengikut mereka yang mencambuk para jenius masa depan mengubah Metode menjadi sesuatu yang berlawanan. Seperti yang dikatakan supervisor saya 35 tahun yang lalu: "Mereka mempelajari pertanyaan itu." Atau, seperti yang dikatakan putra bungsu saya kemarin tentang metode Gauss: "Mungkin tidak ada gunanya membuat ilmu besar dari ini, ya?"
Konsekuensi dari kreativitas "ilmuwan" terlihat pada tingkat matematika sekolah saat ini, tingkat pengajaran dan pemahaman "Ratu Ilmu Pengetahuan" oleh mayoritas.
Namun, mari kita lanjutkan ...
Metode untuk menjelaskan metode Gauss di kelas 5 sekolah
Seorang guru matematika di gimnasium Moskow, menjelaskan metode Gauss dengan cara Vilenkin, memperumit tugas.
Bagaimana jika selisih (langkah) suatu deret aritmatika bukan satu, melainkan bilangan lain? Misalnya, 20.
Tugas yang dia berikan kepada siswa kelas lima:
20+40+60+80+ ... +460+480+500
Sebelum berkenalan dengan metode gimnasium, mari kita lihat Web: bagaimana cara guru sekolah - tutor matematika melakukannya? ..
Metode Gauss: Penjelasan #1
Seorang tutor terkenal di saluran YOUTUBE-nya memberikan alasan berikut:
"mari kita tulis angka dari 1 sampai 100 seperti ini:
pertama serangkaian angka dari 1 hingga 50, dan tepat di bawahnya serangkaian angka lain dari 50 hingga 100, tetapi dalam urutan terbalik"
1, 2, 3, ... 48, 49, 50
100, 99, 98 ... 53, 52, 51
“Harap diperhatikan: jumlah setiap pasangan angka dari baris atas dan bawah adalah sama dan sama dengan 101! Mari kita hitung jumlah pasangan, itu adalah 50 dan kalikan jumlah satu pasangan dengan jumlah pasangan! Voila: The jawabannya sudah siap!".
“Jika kamu tidak mengerti, jangan marah!” Guru mengulangi tiga kali selama penjelasan. "Kamu akan melewati metode ini di kelas 9!"
Metode Gauss: Penjelasan #2
Tutor lain, yang kurang terkenal (dilihat dari jumlah penayangan) mengambil pendekatan yang lebih ilmiah, menawarkan algoritma solusi 5 poin yang harus diselesaikan secara berurutan.
Untuk yang belum tahu: 5 adalah salah satu angka Fibonacci yang secara tradisional dianggap ajaib. Metode 5 langkah selalu lebih ilmiah daripada metode 6 langkah, misalnya. ... Dan ini bukan kebetulan, kemungkinan besar, Penulis adalah penganut teori Fibonacci yang tersembunyi
Diberikan barisan aritmatika: 4, 10, 16 ... 244, 250, 256 .
Algoritma untuk mencari jumlah angka dalam deret menggunakan metode Gauss:
4, 10, 16 ... 244, 250, 256
256, 250, 244 ... 16, 10, 4
Pada saat yang sama, Anda perlu mengingat tentang ditambah satu aturan : satu harus ditambahkan ke hasil bagi: jika tidak, kita akan mendapatkan hasil yang lebih kecil satu dari jumlah pasangan yang sebenarnya: 42 + 1 = 43.
Ini adalah jumlah yang diinginkan dari deret aritmatika dari 4 menjadi 256 dengan selisih 6!
Metode Gauss: penjelasan di kelas 5 gimnasium Moskow
Dan inilah cara yang diperlukan untuk menyelesaikan masalah menemukan jumlah deret:
20+40+60+ ... +460+480+500
di kelas 5 gimnasium Moskow, buku teks Vilenkin (menurut putra saya).
Setelah menunjukkan presentasi, guru matematika menunjukkan beberapa contoh Gaussian dan memberi tugas kepada kelas untuk menemukan jumlah angka dalam deret dengan langkah 20.
Ini diperlukan sebagai berikut:
Seperti yang Anda lihat, ini adalah teknik yang lebih ringkas dan efisien: angka 3 juga merupakan anggota deret Fibonacci
Komentar saya tentang metode Gauss versi sekolah
Matematikawan hebat itu pasti akan memilih filsafat jika dia telah meramalkan apa yang akan diubah oleh para pengikutnya menjadi "metode"-nya. guru bahasa jerman yang mencambuk Karl dengan tongkat. Dia akan melihat simbolisme dan spiral dialektika dan kebodohan abadi dari "guru" mencoba mengukur keselarasan pemikiran matematika yang hidup dengan aljabar kesalahpahaman ....
Ngomong-ngomong, tahukah Anda. bahwa sistem pendidikan kita berakar pada sekolah Jerman abad 18 dan 19?
Tetapi Gauss memilih matematika.
Apa inti dari metodenya?
PADA penyederhanaan. PADA pengamatan dan penangkapan pola bilangan sederhana. PADA mengubah aritmatika sekolah kering menjadi kegiatan yang menarik dan menyenangkan , mengaktifkan keinginan untuk melanjutkan di otak, dan tidak menghalangi aktivitas mental yang mahal.
Apakah mungkin menghitung jumlah bilangan deret aritmatika dengan salah satu "modifikasi metode Gauss" di atas segera? Menurut "algoritma", Karl kecil akan dijamin untuk menghindari pukulan, menumbuhkan keengganan terhadap matematika dan menekan dorongan kreatifnya sejak awal.
Mengapa tutor begitu bersikeras menasihati siswa kelas lima "untuk tidak takut salah paham" tentang metode ini, meyakinkan mereka bahwa mereka akan memecahkan masalah "seperti" yang sudah ada di kelas 9? Tindakan yang buta huruf secara psikologis. Itu ide yang bagus untuk dicatat: "Sampai jumpa sudah di kelas 5 kamu bisa selesaikan masalah yang hanya akan kamu lewati dalam 4 tahun! Betapa baiknya kalian!"
Untuk menggunakan metode Gaussian, level 3 kelas sudah cukup ketika anak normal sudah tahu cara menjumlahkan, mengalikan dan membagi 2-3 angka angka. Masalah muncul karena ketidakmampuan guru dewasa yang "tidak masuk" bagaimana menjelaskan hal-hal sederhana dalam bahasa manusia yang normal, bukan hanya matematika ... Mereka tidak mampu untuk minat matematika dan sama sekali mengecilkan hati bahkan "mampu".
Atau, seperti yang dikomentari putra saya, "buatlah ilmu besar darinya."
Metode Gauss, penjelasan saya
Saya dan istri saya menjelaskan "metode" ini kepada anak kami, tampaknya, bahkan sebelum sekolah ...
Kesederhanaan alih-alih kerumitan atau permainan pertanyaan - jawaban
""Lihat, ini angka dari 1 sampai 100. Apa yang kamu lihat?"
Ini bukan tentang apa yang dilihat anak. Triknya adalah membuatnya terlihat.
"Bagaimana kamu bisa menyatukannya?" Putranya menyadari bahwa pertanyaan seperti itu tidak ditanyakan "begitu saja" dan Anda perlu melihat pertanyaan "entah bagaimana berbeda dari biasanya"
Tidak masalah jika anak melihat solusinya segera, itu tidak mungkin. Penting bahwa dia berhenti takut untuk melihat, atau seperti yang saya katakan: "pindah tugas". Ini adalah awal dari jalan menuju pemahaman
"Mana yang lebih mudah: tambahkan, misalnya, 5 dan 6 atau 5 dan 95?" Sebuah pertanyaan utama... Tapi bagaimanapun, setiap pelatihan datang untuk "membimbing" seseorang ke sebuah "jawaban" - dengan cara apapun yang dapat diterima olehnya.
Pada tahap ini, mungkin sudah ada tebakan tentang cara "menghemat" dalam perhitungan.
Yang telah kami lakukan hanyalah petunjuk: metode penghitungan "frontal, linier" bukan satu-satunya yang mungkin. Jika anak telah memotong ini, maka nanti dia akan menemukan lebih banyak metode seperti itu, karena menarik!!! Dan dia pasti akan menghindari "kesalahpahaman" matematika, tidak akan merasa jijik karenanya. Dia menang!
Jika sebuah bayi ditemukan bahwa menambahkan pasangan angka yang berjumlah seratus adalah tugas yang sepele, lalu "deret aritmatika dengan selisih 1"- hal yang agak suram dan tidak menarik bagi seorang anak - tiba-tiba memberikan kehidupan padanya . Keluar dari kekacauan datang ketertiban, dan ini selalu antusias: begitulah kita!
Sebuah pertanyaan untuk diisi: mengapa, setelah wawasan yang diterima oleh anak, sekali lagi mendorongnya ke dalam kerangka algoritma kering, apalagi, secara fungsional tidak berguna dalam kasus ini?!
Mengapa membuat penulisan ulang yang bodoh? nomor urut dalam buku catatan: sehingga bahkan yang mampu tidak akan memiliki satu kesempatan pun untuk memahami? Secara statistik, tentu saja, tetapi pendidikan massal difokuskan pada "statistik" ...
Kemana perginya nol?
Namun, menjumlahkan angka yang berjumlah 100 jauh lebih dapat diterima pikiran daripada memberi 101 ...
"Metode Gauss sekolah" membutuhkan hal ini: lipat tanpa berpikir berjarak sama dari pusat deret pasangan bilangan, apa pun yang terjadi.
Bagaimana jika Anda melihat?
Namun, nol adalah penemuan terbesar umat manusia, yang berusia lebih dari 2.000 tahun. Dan guru matematika terus mengabaikannya.
Jauh lebih mudah untuk mengubah barisan bilangan yang dimulai dari 1 menjadi barisan yang dimulai dari 0. Jumlahnya tidak akan berubah, bukan? Anda harus berhenti "berpikir dalam buku teks" dan mulai mencari ... Dan untuk melihat bahwa pasangan dengan jumlah 101 dapat sepenuhnya diganti dengan pasangan dengan jumlah 100!
0 + 100, 1 + 99, 2 + 98 ... 49 + 51
Bagaimana cara menghapus "aturan plus 1"?
Sejujurnya, saya pertama kali mendengar tentang aturan seperti itu dari tutor YouTube itu ...
Apa yang masih saya lakukan ketika saya perlu menentukan jumlah anggota dari suatu seri?
Melihat urutannya:
1, 2, 3, .. 8, 9, 10
dan ketika benar-benar lelah, maka pada baris yang lebih sederhana:
1, 2, 3, 4, 5
dan saya pikir: jika Anda mengurangi satu dari 5, Anda mendapatkan 4, tapi saya cukup jelas Lihat 5 angka! Karena itu, Anda perlu menambahkan satu! Pengertian angka, yang dikembangkan di sekolah dasar, menunjukkan bahwa meskipun ada seluruh anggota Google dalam deret tersebut (10 pangkat perseratus), polanya akan tetap sama.
Benci aturan?..
Sehingga dalam beberapa - tiga tahun untuk mengisi semua ruang antara dahi dan bagian belakang kepala dan berhenti berpikir? Bagaimana kalau mendapatkan roti dan mentega? Bagaimanapun, kita sedang bergerak dalam peringkat yang genap ke era ekonomi digital!
Lebih lanjut tentang metode sekolah Gauss: "mengapa membuat sains dari ini? .."
Tidak sia-sia saya memposting tangkapan layar dari notebook anak saya ...
"Apa yang ada di pelajaran itu?"
"Nah, saya langsung menghitung, mengangkat tangan, tetapi dia tidak bertanya. Oleh karena itu, sementara yang lain menghitung, saya mulai melakukan DZ dalam bahasa Rusia agar tidak membuang waktu. Kemudian, ketika yang lain selesai menulis (?? ?), dia memanggil saya ke dewan. Saya mengatakan jawabannya."
"Itu benar, tunjukkan padaku bagaimana kamu menyelesaikannya," kata guru itu. saya tunjukkan. Dia berkata: "Salah, Anda harus menghitung seperti yang saya tunjukkan!"
"Bagus bahwa saya tidak meletakkan deuce. Dan saya membuat saya menulis" kursus solusi "dengan cara mereka sendiri di buku catatan. Mengapa membuat sains besar dari ini? .."
Kejahatan utama seorang guru matematika
hampir tidak setelah kasus itu Carl Gauss mengalami rasa hormat yang tinggi terhadap guru sekolah matematika. Tapi jika dia tahu caranya pengikut guru itu memutarbalikkan esensi dari metode... dia akan meraung marah dan, melalui Organisasi Kekayaan Intelektual Dunia WIPO, mencapai larangan penggunaan nama jujurnya di buku pelajaran sekolah! ..
Apa kesalahan utama dari pendekatan sekolah? Atau, seperti yang saya katakan, kejahatan guru matematika sekolah terhadap anak-anak?
Salah paham algoritma
Apa yang dilakukan ahli metodologi sekolah, yang sebagian besar tidak tahu cara berpikir?
Buat metode dan algoritma (lihat). Ini reaksi defensif yang melindungi guru dari kritik ("Semuanya dilakukan menurut ..."), dan anak-anak dari pemahaman. Dan dengan demikian - dari keinginan untuk mengkritik guru!(Turunan kedua dari "kebijaksanaan" birokrasi, pendekatan ilmiah terhadap masalah). Seseorang yang tidak memahami artinya lebih baik menyalahkan kesalahpahamannya sendiri, dan bukan kebodohan sistem sekolah.
Yang terjadi: orang tua menyalahkan anak, dan guru… sama halnya dengan anak yang “tidak paham matematika!..
Apakah Anda cerdas?
Apa yang dilakukan Carl kecil?
Benar-benar tidak konvensional mendekati tugas template. Ini adalah intisari dari pendekatan-Nya. Ini hal utama yang harus diajarkan di sekolah adalah berpikir bukan dengan buku teks, tetapi dengan kepalamu. Tentu saja, ada juga komponen instrumental yang dapat digunakan ... untuk mencari metode penghitungan yang lebih sederhana dan efisien.
Metode Gauss menurut Vilenkin
Di sekolah mereka mengajarkan bahwa metode Gauss adalah untuk
Apa, jika jumlah anggota baris ganjil, seperti dalam tugas yang diberikan kepada putra? ..
"Trik"nya adalah dalam hal ini Anda harus menemukan nomor "ekstra" dari seri dan menambahkannya ke jumlah pasangan. Dalam contoh kita, angka ini adalah 260.
Bagaimana cara menemukan? Menulis ulang semua pasangan angka di buku catatan!(Itulah mengapa guru membuat anak-anak melakukan pekerjaan bodoh ini, mencoba mengajarkan "kreativitas" menggunakan metode Gaussian... Dan itulah mengapa "metode" seperti itu praktis tidak dapat diterapkan pada deret data besar, Dan itulah mengapa ini bukan Gaussian metode).
Sedikit kreativitas dalam rutinitas sekolah...
Putranya bertindak berbeda.
(20 + 500, 40 + 480 ...).
0+500, 20+480, 40+460 ...
Mudah, bukan?
Tetapi dalam praktiknya menjadi lebih mudah, yang memungkinkan Anda mengukir 2-3 menit untuk penginderaan jauh dalam bahasa Rusia, sementara sisanya "berhitung". Selain itu, ia mempertahankan sejumlah langkah metodologi: 5, yang tidak memungkinkan untuk mengkritik pendekatan karena tidak ilmiah.
Jelas pendekatan ini lebih sederhana, lebih cepat dan lebih fleksibel, dalam gaya Metode. Tapi... gurunya tidak hanya tidak memuji, tetapi juga memaksa saya untuk menulis ulang "dengan cara yang benar" (lihat tangkapan layar). Artinya, dia berusaha mati-matian untuk menahan dorongan kreatif dan kemampuan untuk memahami matematika sejak awal! Rupanya, untuk kemudian dipekerjakan sebagai tutor ... Dia menyerang yang salah ...
Semua yang telah saya jelaskan begitu panjang dan membosankan dapat dijelaskan kepada anak normal dalam waktu maksimal setengah jam. Bersama dengan contoh.
Dan agar dia tidak akan pernah melupakannya.
Dan itu akan langkah menuju pemahaman... bukan hanya matematika.
Akui saja: berapa kali dalam hidup Anda telah ditambahkan menggunakan metode Gauss? Dan saya tidak pernah!
Tetapi naluri pemahaman, yang berkembang (atau padam) dalam proses pembelajaran metode matematika di sekolah… Oh!.. Ini benar-benar suatu hal yang tak tergantikan!
Apalagi di era digitalisasi universal, yang diam-diam kita masuki di bawah bimbingan ketat Partai dan Pemerintah.
Beberapa kata untuk membela guru...
Tidak adil dan salah untuk menempatkan semua tanggung jawab untuk gaya mengajar ini hanya pada guru sekolah. Sistem sedang beroperasi.
Beberapa guru memahami absurditas dari apa yang terjadi, tapi apa yang harus dilakukan? Undang-undang tentang Pendidikan, Standar Pendidikan Negara Bagian Federal, metode, kartu pelajaran... Semuanya harus dilakukan "sesuai dan berdasarkan" dan semuanya harus didokumentasikan. Minggir - berdiri dalam antrean untuk pemecatan. Jangan munafik: gaji guru Moskow sangat bagus ... Jika mereka dipecat, ke mana mereka harus pergi?..
Oleh karena itu situs ini bukan tentang pendidikan. Dia tentang pendidikan individu, satu-satunya cara yang mungkin untuk keluar dari keramaian Generasi Z ...
