Sumbu x terbatas, grafik fungsi integral dan segmen garis x=a\,\! dan x=b\,\!, di mana sebuah\,\! dan b\,\!- batas integrasi (lihat gambar).

Kebutuhan untuk menerapkan integrasi numerik paling sering dapat disebabkan oleh tidak adanya representasi dalam dan, oleh karena itu, ketidakmungkinan menghitung secara analitis nilai integral tertentu lebih dari . Mungkin juga bentuk antiturunannya begitu kompleks sehingga lebih cepat untuk menghitung nilai integral secara numerik.

Kasus satu dimensi

Gagasan utama dari sebagian besar metode integrasi numerik adalah mengganti integran dengan yang lebih sederhana, yang integralnya dapat dengan mudah dihitung secara analitis. Dalam hal ini, untuk memperkirakan nilai integral, rumus bentuk

Saya \kira-kira \sum_(i=1)^(n) w_i\, f(x_i),

di mana n\,\! adalah jumlah titik di mana nilai integran dihitung. poin x_i\,\! disebut node metode, angka w_i\,\!- bobot simpul. Ketika integran digantikan oleh polinomial nol, derajat pertama dan kedua, metode , dan (Simpson) diperoleh, masing-masing. Seringkali rumus untuk memperkirakan nilai integral disebut rumus kuadratur.

Metode persegi panjang

Metode persegi panjang diperoleh dengan mengganti integran dengan konstanta. Sebagai konstanta, Anda dapat mengambil nilai fungsi di sembarang titik pada segmen \kiri\,\!. Nilai fungsi yang paling umum digunakan adalah di tengah segmen dan di ujungnya. Modifikasi yang sesuai disebut metode persegi panjang sedang, persegi panjang kiri dan persegi panjang kanan. Rumus untuk menghitung perkiraan nilai integral tertentu dengan metode persegi panjang adalah

Saya \kira-kira f(x) (b-a),

di mana x=\frac(\left(a+b\kanan))(2), sebuah\,\! atau b\,\!, masing-masing.

Metode trapesium

Jika kita menggambar garis lurus melalui ujung-ujung segmen integrasi, kita mendapatkan metode trapesium. Dari pertimbangan geometris, mudah diperoleh

Saya \kira-kira \frac(f(a)+f(b))(2) (b-a).

Metode parabola

Menggunakan tiga titik dari segmen integrasi, kita dapat mengganti integran dengan parabola. Biasanya, ujung segmen dan titik tengahnya digunakan sebagai titik tersebut. Dalam hal ini, rumusnya sangat sederhana

I \kira-kira \frac(b-a)(6)\left(f(a)+4f\left(\frac(a+b)(2)\right)+f(b)\right).

Meningkatkan Akurasi

Pendekatan suatu fungsi dengan satu polinomial pada seluruh interval integrasi, sebagai suatu peraturan, menyebabkan kesalahan besar dalam memperkirakan nilai integral.

Untuk mengurangi kesalahan, segmen integrasi dibagi menjadi beberapa bagian dan metode numerik digunakan untuk mengevaluasi integral pada masing-masing bagian.

Karena jumlah partisi cenderung tak terhingga, taksiran integral cenderung ke nilai sebenarnya untuk metode numerik apa pun.

Metode di atas memungkinkan prosedur sederhana untuk mengurangi separuh langkah, sedangkan pada setiap langkah diperlukan untuk menghitung nilai fungsi hanya pada node yang baru ditambahkan. Untuk memperkirakan kesalahan perhitungan, digunakan.

Metode Gauss

Metode yang dijelaskan di atas menggunakan titik segmen garis tetap (ujung dan titik tengah) dan rendah (masing-masing 1, 1 dan 3). Jika kita dapat memilih titik di mana kita menghitung nilai fungsi f(x)\,\!, maka dimungkinkan, dengan jumlah kalkulasi integran yang sama, untuk memperoleh metode dengan tingkat akurasi yang lebih tinggi. Jadi untuk dua (seperti dalam metode trapesium) perhitungan nilai integran, Anda bisa mendapatkan metode yang tidak lagi dari yang pertama, tetapi dari tingkat akurasi yang ketiga:

I \kira-kira \frac(b-a)(2)\left(f\left(\frac(a+b)(2) - \frac(b-a)(2\sqrt(3)) \right)+f\left( \frac(a+b)(2) + \frac(b-a)(2\sqrt(3)) \kanan) \kanan).

Secara umum, menggunakan n\,\! poin, Anda bisa mendapatkan metode dengan urutan akurasi 2n-1\,\!. Nilai-nilai node dari metode Gaussian dengan n\,\! titik adalah akar dari polinomial derajat Legendre n\,\!.

Nilai node metode Gaussian dan bobotnya diberikan dalam buku referensi fungsi khusus. Yang paling terkenal adalah metode lima titik Gaussian.

Metode Gauss-Kronrod

Kelemahan dari metode Gauss adalah tidak memiliki cara yang mudah (dari sudut pandang komputasi) untuk memperkirakan kesalahan dari nilai integral yang diperoleh. Penggunaan aturan Runge membutuhkan perhitungan integran pada jumlah titik yang kira-kira sama, tanpa memberikan peningkatan akurasi secara praktis, berbeda dengan metode sederhana, di mana akurasi meningkat beberapa kali dengan setiap partisi baru. Kronrod mengusulkan metode berikut untuk memperkirakan nilai integral:

Saya \perkiraan \sum_(i=1)^(n) a_i\, f(x_i) + \sum_(i=1)^(n+1) b_i\, f(y_i),

di mana x_i\,\!- Node metode Gauss dengan n\,\! poin, dan 3n+2\,\! parameter a_i\,\!, dua\,\!, y_i\,\! dipilih sedemikian rupa sehingga urutan akurasi metode sama dengan 3n+1\,\!.

Kemudian, untuk memperkirakan kesalahan, seseorang dapat menggunakan rumus empiris

\Delta = \kiri(200 |I - I_G|\kanan)^(1.5),

di mana AKU G\,\!- nilai integral, ditaksir dengan metode Gauss menurut n\,\! poin. Perpustakaan [

pemrograman rumus integrasi numerik

pengantar

1. Metode integrasi numerik

2. Rumus kuadrat

3. Pemilihan otomatis langkah integrasi

Kesimpulan

Daftar bibliografi

pengantar

Tujuan abstrak adalah untuk mempelajari dan analisis komparatif metode untuk integrasi numerik fungsi; implementasi metode tersebut dalam bentuk program mesin dalam bahasa tingkat tinggi dan solusi praktis dari masalah integrasi numerik pada komputer.

Saat memecahkan masalah teknik, seringkali perlu untuk menghitung nilai integral tertentu dari bentuk

. (1)

Jika fungsi kontinu pada segmen [ sebuah , b] dan antiturunannya dapat ditentukan melalui fungsi yang diketahui, maka perhitungan integral tersebut dilakukan menurut rumus Newton-Leibniz:

.

Dalam masalah teknik, sangat jarang mungkin untuk mendapatkan nilai integral dalam bentuk analitik. Selain itu, fungsi f (x) dapat diberikan, misalnya, dengan tabel data eksperimen. Oleh karena itu, dalam praktiknya, untuk menghitung integral tertentu, digunakan metode khusus yang didasarkan pada peralatan interpolasi.

Ide di balik metode ini adalah sebagai berikut. Alih-alih menghitung integral menggunakan rumus (1), nilai fungsi dihitung terlebih dahulu f (x saya) = aku di beberapa node x saya Î[ sebuah , b]. Kemudian polinomial interpolasi dipilih P (x) melalui titik-titik yang diperoleh ( x saya , aku), yang digunakan dalam menghitung nilai perkiraan integral (1):

.

Saat menerapkan pendekatan ini, rumus integrasi numerik mengambil bentuk umum berikut:

, (2) - simpul interpolasi, ai adalah beberapa koefisien, R– istilah sisa yang mencirikan kesalahan rumus. Perhatikan bahwa rumus dari bentuk (2) disebut rumus kuadrat.

Arti geometris integrasi numerik adalah menghitung luas trapesium lengkung yang dibatasi oleh grafik fungsi f (X), sumbu absis dan dua garis lurus x = dan x = b. Perhitungan perkiraan luas mengarah pada penolakan suku sisa dalam rumus kuadratur R mengkarakterisasi kesalahan metode, yang juga ditumpangkan oleh kesalahan komputasi.

1. Metode integrasi numerik

Dalam penelitian terapan, sering kali diperlukan untuk menghitung nilai integral tertentu

Seperti diketahui dari mata kuliah matematika, perhitungan analitik integral tidak dapat dilakukan dalam semua kasus. Dan bahkan dalam kasus ketika dimungkinkan untuk menemukan bentuk analitik integral ini, prosedur perhitungan memberikan hasil perkiraan, sehingga masalah nilai perkiraan integral ini muncul.

Inti dari perhitungan perkiraan terdiri dari dua operasi: 1. dalam memilih angka yang terbatas, bukan n; 2. dalam pemilihan poin

di segmen yang sesuai.

Tergantung pilihan

kita mendapatkan berbagai rumus untuk menghitung integral: Rumus untuk persegi panjang kiri dan kanan (5), (6) (5) (6)

Rumus trapesium:

rumus simpson

b, a - ujung segmen yang dipertimbangkan.

Untuk membandingkan hasil perhitungan dengan rumus integrasi numerik di atas, kami menghitung integral berikut dalam 3 cara, membagi segmen menjadi 6 segmen yang sama: h=

Menurut rumus persegi panjang kiri:

Menurut rumus trapesium:

Menurut rumus Simpson:

Dan hasil yang diperoleh secara analitik sama dengan

=1

Oleh karena itu, kita dapat menyimpulkan bahwa metode numerik integrasi menurut rumus Simpson lebih akurat, tetapi digunakan dalam kasus umum ketika membagi segmen yang dipisahkan menjadi sejumlah interval genap.

2. Rumus kuadrat

Rumus persegi panjang adalah rumus kuadrat paling sederhana. Mari kita bagi interval integrasi [ a, b] pada P bagian yang sama panjang

. Perhatikan bahwa nilai h disebut langkah integrasi. Pada titik split X 0 = ,X 1 = a + h , ..., x n = b perhatikan ordinatnya kamu 0 ,kamu 1 ,…,y n bengkok f (x), yaitu menghitung saya = f (x saya), x i = a+ ih = x i -1 +h (saya =). Pada setiap segmen panjang h bangun persegi panjang dengan sisi-sisinya h dan aku, di mana saya =, yaitu dengan nilai ordinat yang dihitung di ujung kiri segmen. Kemudian luas trapesium lengkung, yang menentukan nilai integral (1), dapat direpresentasikan secara kira-kira sebagai jumlah luas persegi panjang (Gbr. 1). Dari sini kita mendapatkan rumus persegi panjang:
. (3)

Jika, saat menghitung jumlah integral, kami mengambil nilai fungsi f (x) tidak di kiri, tetapi di ujung kanan segmen panjang h, yang ditunjukkan pada gambar. 1 dengan garis putus-putus, maka kita mendapatkan versi kedua dari rumus persegi panjang:

. (4)

Varian ketiga dari rumus persegi panjang dapat diperoleh dengan menggunakan nilai-nilai fungsi f (x) dihitung pada titik tengah setiap segmen panjang h(Gbr. 2):

. (5)

Rumus (3), (4) dan (4) masing-masing disebut rumus persegi panjang kiri, kanan dan tengah.

rumus simpson. Kami membagi interval integrasi menjadi 2 n bagian yang sama panjang

. Pada setiap segmen [ x saya , x i+2] integral f (X) diganti dengan parabola yang melalui titik ( x saya , aku), (x saya +1 , aku +1), (x saya +2 , aku+2). Kemudian nilai perkiraan integral ditentukan dengan rumus Simpson: . (7)

Saat menghitung di komputer, rumus berikut lebih nyaman:

Metode Simpson adalah salah satu metode integrasi numerik yang paling banyak dikenal dan digunakan, ini memberikan nilai integral yang tepat ketika mengintegrasikan polinomial hingga inklusif orde ketiga.

rumus Newton. Nilai perkiraan integral menurut rumus Newton dihitung sebagai berikut:

di mana jumlah segmen partisi adalah kelipatan tiga, yaitu, adalah 3 n. Saat mengembangkan program komputer, lebih mudah menggunakan rumus yang setara:

Metode Newton memberikan nilai eksak dari integral ketika mengintegrasikan polinomial hingga inklusif orde keempat.

3. Pemilihan otomatis langkah integrasi

Sebagai hasil dari perhitungan dengan rumus (3) - (8), nilai perkiraan integral diperoleh, yang mungkin berbeda dari yang tepat dengan jumlah tertentu, yang disebut kesalahan integrasi. Kesalahan ditentukan oleh rumus sisa R, berbeda untuk masing-masing metode integrasi. Jika diperlukan untuk menghitung nilai integral dengan kesalahan tidak melebihi e, maka perlu memilih langkah integrasi seperti itu h untuk memenuhi ketidaksetaraan R (h) £e. Dalam praktiknya, pemilihan nilai otomatis digunakan h, yang memastikan pencapaian kesalahan yang ditentukan. Hitung dulu nilai integralnya Saya (n), membagi interval integrasi menjadi P bagian, maka jumlah bagian digandakan dan integralnya dihitung Saya (2n). Proses perhitungan dilanjutkan sampai kondisi menjadi benar.

Integrasi numerik

Pertanyaan utama yang dibahas dalam kuliah:

2. Rumus kuadratur Newton-Cotes

3. Rumus persegi panjang

4. Rumus trapesium

5. Rumus Simpson

6. Rumus kuadrat dari Gauss

7. Metode Monte Carlo

1. Pernyataan masalah integrasi numerik

Diperlukan untuk menghitung integral tertentu dari bentuk , dan fungsinya dapat diberikan baik dalam bentuk rumus maupun dalam bentuk tabel.

Rumus kuadratur Newton-Cotes

,
di mana - Koefisien Cotes.
Rumus-rumus ini memberikan representasi yang berbeda untuk sejumlah n segmen partisi yang berbeda pada segmen integrasi yang sama.

Rumus persegi panjang

Biarkan diperlukan untuk menghitung integral .
Jika segmen integrasi cukup besar, maka Anda perlu memecahnya menjadi segmen yang lebih kecil dengan panjang yang sama, di mana n adalah jumlah segmen, dan mengganti trapesium lengkung dengan persegi panjang pada masing-masing segmen, hitung luas persegi panjang ini. Kemudian area yang dihasilkan harus dijumlahkan, dan jumlah ini akan diambil sebagai nilai perkiraan integral yang diinginkan.
Adapun konstruksi persegi panjang, mereka dapat dibangun dengan cara yang berbeda: Anda dapat menggambar tegak lurus terhadap persimpangan dengan kurva f (x) dari ujung kanan setiap segmen (Gbr. 1), Anda dapat - dari ujung kiri (Gbr. 2)

Beras. satu

Beras. 2

Bergantung pada ini, rumus untuk menghitung agak berbeda dan masing-masing disebut rumus persegi panjang dengan ordinat kanan atau kiri:

(rumus persegi panjang "kanan")

(rumus persegi panjang "kiri")
Ada juga rumus untuk persegi panjang "tengah": , di mana konstruksi persegi panjang dilakukan melalui titik tengah masing-masing segmen partisi:

· rumus trapesium

· rumus simpson

Mengganti pada setiap segmen partisi bagian dari kurva y = f(x) ke kurva parabola, menghitung luas gambar yang dihasilkan dan menjumlahkannya, kami memperoleh rumus Simpson:

·

· Rumus kuadrat dari Gauss

Secara tradisional, ketika memperoleh rumus Gaussian kuadratur dalam integral asli, perubahan variabel dilakukan, menerjemahkan integral di atas segmen menjadi integral di atas segmen [-1; satu]:

.
Kemudian .
Kami akan menggunakan interpolasi linier dari integran.
Jika bukan segmen [-1; 1] untuk mengambil simpul bergerak t1, t2 sebagai simpul interpolasi, maka Anda harus memilih nilai-nilai ini sehingga luas trapesium dibatasi dari atas oleh garis lurus yang melewati titik-titik A1 (t1, (t1) ) dan A2 (t2, (t2)) sama dengan integral dari polinomial manapun dengan derajat tertinggi.
Dengan asumsi bahwa ini adalah polinomial derajat ketiga, kami menghitung t1, t2, yang ternyata sama dengan dan , hanya berbeda dalam penomoran nilai.
Selanjutnya, memecah segmen integrasi menjadi n bagian, menerapkan ide yang dijelaskan di atas untuk masing-masing bagian, kita dapat memperoleh rumus Gauss:

Integrasi numerik

Integrasi numerik(nama sejarah: (numerik) kuadratur ) - perhitungan nilai integral tertentu (biasanya perkiraan). Integrasi numerik dipahami sebagai seperangkat metode numerik untuk menemukan nilai integral tertentu.

Integrasi numerik diterapkan ketika:

Dalam dua kasus ini, tidak mungkin menghitung integral menggunakan rumus Newton-Leibniz. Mungkin juga bentuk antiturunannya begitu kompleks sehingga lebih cepat untuk menghitung nilai integral secara numerik.

Kasus satu dimensi

Gagasan utama dari sebagian besar metode integrasi numerik adalah mengganti integran dengan yang lebih sederhana, yang integralnya dapat dengan mudah dihitung secara analitis. Dalam hal ini, untuk memperkirakan nilai integral, rumus bentuk

di mana adalah jumlah titik di mana nilai integran dihitung. Titik-titik tersebut disebut node dari metode, angka-angka tersebut adalah bobot dari node-node tersebut. Ketika integran digantikan oleh polinomial nol, derajat pertama dan kedua, metode persegi panjang, trapesium dan parabola (Simpson) diperoleh, masing-masing. Seringkali rumus untuk memperkirakan nilai integral disebut rumus kuadratur.

Kasus khusus adalah metode untuk membangun rumus kuadratur integral untuk kisi-kisi seragam, yang dikenal sebagai Rumus Cotes. Metode ini dinamai Roger Coates. Ide utama dari metode ini adalah mengganti integran dengan semacam polinomial interpolasi. Setelah mengambil integral, kita dapat menulis

di mana angka-angka itu disebut Koefisien Cotes dan dihitung sebagai integral dari polinomial yang sesuai dalam polinomial interpolasi asli untuk integran dengan nilai fungsi pada node ( adalah langkah grid; adalah jumlah node grid, dan indeks node ). Istilahnya adalah kesalahan metode, yang dapat ditemukan dengan cara yang berbeda. Untuk ganjil, kesalahan dapat ditemukan dengan mengintegrasikan kesalahan polinomial interpolasi dari integran.

Kasus khusus dari rumus Cotes adalah: rumus persegi panjang (n=0), rumus trapesium (n=1), rumus Simpson (n=2), rumus Newton (n=3), dll.

Metode persegi panjang

Biarkan diperlukan untuk menentukan nilai integral dari fungsi pada interval . Segmen ini dibagi oleh titik-titik menjadi segmen-segmen yang sama panjang Dilambangkan dengan nilai fungsi pada titik-titik Selanjutnya, kita membuat jumlah Setiap jumlah adalah jumlah integral untuk dan oleh karena itu kira-kira menyatakan integral

Jika fungsi yang diberikan positif dan meningkat, maka rumus ini menyatakan luas bangun datar yang terdiri dari persegi panjang "masuk", juga disebut rumus persegi panjang kiri, dan rumus

menyatakan luas bangun datar yang terdiri dari persegi panjang "keluar", juga disebut rumus persegi panjang siku-siku. Semakin pendek panjang segmen di mana segmen tersebut dibagi, semakin akurat nilai yang dihitung dengan rumus integral yang diinginkan ini.

Jelas, perlu mengandalkan akurasi yang lebih besar jika kita mengambil titik di tengah celah sebagai titik referensi untuk menemukan ketinggian. Hasilnya, kami mendapatkan rumus untuk persegi panjang tengah:

Mengingat akurasi apriori yang lebih besar dari rumus terakhir dengan volume dan sifat perhitungan yang sama, itu disebut rumus persegi panjang

Metode trapesium

Jika fungsi pada masing-masing segmen parsial didekati dengan garis lurus yang melalui nilai akhir, maka kita memperoleh metode trapesium.

Luas trapesium pada setiap ruas:

Kesalahan perkiraan pada setiap segmen:

di mana

Rumus lengkap untuk trapesium dalam hal membagi seluruh interval integrasi menjadi segmen dengan panjang yang sama:

di mana

Kesalahan rumus trapesium:

di mana

Metode Parabola (Metode Simpson)

Menggunakan tiga titik dari segmen integrasi, kita dapat mengganti integran dengan parabola. Biasanya, ujung segmen dan titik tengahnya digunakan sebagai titik tersebut. Dalam hal ini, rumusnya sangat sederhana

.

Jika kita membagi interval integrasi menjadi bagian yang sama, maka kita memiliki

Meningkatkan Akurasi

Pendekatan suatu fungsi dengan satu polinomial pada seluruh interval integrasi, sebagai suatu peraturan, menyebabkan kesalahan besar dalam memperkirakan nilai integral.

Untuk mengurangi kesalahan, segmen integrasi dibagi menjadi beberapa bagian dan metode numerik digunakan untuk mengevaluasi integral pada masing-masing bagian.

Karena jumlah partisi cenderung tak terhingga, taksiran integral cenderung ke nilai sebenarnya untuk fungsi analitik untuk metode numerik apa pun.

Metode di atas memungkinkan prosedur sederhana untuk mengurangi separuh langkah, sementara pada setiap langkah diperlukan untuk menghitung nilai fungsi hanya pada node yang baru ditambahkan. Untuk memperkirakan kesalahan perhitungan, aturan Runge digunakan.

Metode Gauss

Metode yang dijelaskan di atas menggunakan titik segmen tetap (ujung dan tengah) dan memiliki akurasi orde rendah (1 - metode persegi panjang kanan dan kiri, 2 - metode persegi panjang tengah dan trapesium, 3 - metode parabola (Simpson)). Jika kita dapat memilih titik di mana kita menghitung nilai fungsi , maka kita dapat memperoleh metode dengan tingkat akurasi yang lebih tinggi dengan jumlah perhitungan integran yang sama. Jadi untuk dua (seperti dalam metode trapesium) perhitungan nilai integran, Anda bisa mendapatkan metode yang tidak lagi dari yang ke-2, tetapi dari tingkat akurasi yang ke-3:

.

Secara umum, dengan menggunakan poin, Anda bisa mendapatkan metode dengan urutan akurasi. Nilai simpul dari metode Gauss dengan poin adalah akar dari polinomial derajat Legendre.

Nilai node metode Gaussian dan bobotnya diberikan dalam buku referensi fungsi khusus. Yang paling terkenal adalah metode lima titik Gaussian.

Metode Gauss-Kronrod

Kelemahan dari metode Gauss adalah tidak mudah (dari sudut pandang komputasi) cara untuk memperkirakan kesalahan dari nilai integral yang diperoleh. Penggunaan aturan Runge membutuhkan perhitungan integran pada jumlah poin yang hampir sama, tanpa memberikan keuntungan apa pun dalam akurasi, berbeda dengan metode sederhana, di mana akurasi meningkat beberapa kali dengan setiap partisi baru. Kronrod mengusulkan metode berikut untuk memperkirakan nilai integral:

,

di mana node dari metode Gauss dengan poin, dan parameter , , dipilih sedemikian rupa sehingga urutan akurasi metode sama dengan .

Kemudian, untuk memperkirakan kesalahan, Anda dapat menggunakan rumus empiris:

,

di mana adalah nilai perkiraan integral yang diperoleh dengan metode Gauss di atas titik. Pustaka gsl dan Slatec untuk menghitung integral tentu berisi rutinitas menggunakan metode Gauss-Kronrod untuk titik 15, 21, 31, 41, 51 dan 61. Pustaka menggunakan metode Gauss-Kronrod untuk 15 poin.

Metode Chebyshev

Integrasi di bawah batas tak terbatas

Untuk mengintegrasikan lebih dari batas tak terbatas, Anda perlu memperkenalkan kisi tidak seragam, yang langkah-langkahnya meningkat saat Anda mencapai tak terhingga, atau Anda dapat membuat perubahan variabel seperti itu dalam integral, setelah itu batasnya akan terbatas. Seseorang dapat melanjutkan dengan cara yang sama jika fungsinya adalah singular di ujung interval integrasi

Metode Monte Carlo

Gambar 3 Integrasi numerik suatu fungsi dengan metode Monte Carlo

Untuk menentukan area di bawah grafik fungsi, Anda dapat menggunakan algoritma stokastik berikut:

Untuk sejumlah kecil dimensi fungsi yang dapat diintegralkan, kinerja integrasi Monte Carlo jauh lebih rendah daripada kinerja metode deterministik. Namun, dalam beberapa kasus, ketika fungsi ditentukan secara implisit, tetapi perlu untuk menentukan area yang ditentukan dalam bentuk pertidaksamaan kompleks, metode stokastik mungkin lebih disukai.

Metode Runge-Kutta

metode spline

Kasus multivariat

Dalam dimensi kecil, seseorang juga dapat menerapkan rumus kuadratur berdasarkan polinomial interpolasi. Namun, dalam dimensi yang lebih tinggi, metode ini menjadi tidak dapat diterima karena peningkatan pesat dalam jumlah titik grid dan/atau batas kompleks wilayah tersebut. Dalam hal ini, metode Monte Carlo diterapkan. Poin acak dihasilkan di area kami dan nilai fungsi di dalamnya dirata-rata. Anda juga dapat menggunakan pendekatan campuran - membagi area menjadi beberapa bagian, di mana masing-masing (atau hanya di bagian yang integralnya tidak dapat dihitung karena batas yang kompleks) menerapkan metode Monte Carlo.

literatur

1. Kahaner D., Moler K., Nash S. Metode numerik dan perangkat lunak (diterjemahkan dari bahasa Inggris). M.: Mir, 2001, 575 hal.