Polihedra
Objek utama studi stereometri adalah benda tiga dimensi. Tubuh adalah bagian dari ruang yang dibatasi oleh suatu permukaan.
polihedron Benda yang permukaannya terdiri dari sejumlah poligon bidang yang terbatas disebut. Suatu polihedron disebut cembung jika terletak pada satu sisi bidang setiap poligon datar pada permukaannya. Bagian umum dari bidang seperti itu dan permukaan polihedron disebut tepian. Wajah polihedron cembung adalah poligon cembung datar. Sisi-sisi wajah disebut tepi polihedron, dan simpul simpul dari polihedron.
Sebagai contoh, sebuah kubus terdiri dari enam kotak yang wajahnya. Ini berisi 12 tepi (sisi bujur sangkar) dan 8 simpul (simpul bujur sangkar).
Polihedra paling sederhana adalah prisma dan piramida, yang akan kita pelajari lebih lanjut.
Prisma
Definisi dan sifat-sifat prisma
prisma disebut polihedron yang terdiri dari dua poligon datar yang terletak pada bidang paralel yang digabungkan dengan terjemahan paralel, dan semua segmen menghubungkan titik-titik yang sesuai dari poligon ini. Poligon disebut alas prisma, dan segmen yang menghubungkan simpul yang sesuai dari poligon adalah tepi samping prisma.
Tinggi prisma disebut jarak antara bidang alasnya (). Ruas yang menghubungkan dua simpul prisma yang tidak berhadap-hadapan disebut diagonal prisma(). Prisma disebut n-batubara jika basisnya adalah n-gon.
Setiap prisma memiliki sifat-sifat berikut, yang mengikuti dari fakta bahwa alas prisma digabungkan dengan terjemahan paralel:
1. alas prisma sama besar.
2. Sisi-sisi prisma sejajar dan sama panjang.
Permukaan prisma terdiri dari alas dan permukaan lateral. Permukaan lateral prisma terdiri dari jajaran genjang (ini mengikuti dari sifat-sifat prisma). Luas permukaan lateral prisma adalah jumlah dari luas permukaan lateral.
prisma lurus
Prisma disebut lurus jika sisi-sisinya tegak lurus dengan alasnya. Jika tidak, prisma disebut miring.
Wajah-wajah prisma lurus adalah persegi panjang. Tinggi prisma lurus sama dengan permukaan sisinya.
permukaan prisma penuh adalah jumlah dari luas permukaan lateral dan luas alas.
Prisma yang benar disebut prisma siku-siku dengan poligon beraturan di alasnya.
Teorema 13.1. Luas permukaan lateral prisma lurus sama dengan produk keliling dan tinggi prisma (atau, setara, dengan tepi lateral).
Bukti. Sisi sisi prisma lurus adalah persegi panjang yang alasnya adalah sisi-sisi poligon pada alas prisma, dan tingginya adalah sisi sisi prisma. Maka, menurut definisi, luas permukaan lateral adalah:
,
dimana adalah keliling alas prisma lurus.
Paralelipiped
Jika jajar genjang terletak pada alas prisma, maka disebut paralelipiped. Semua wajah paralelepiped adalah jajaran genjang. Dalam hal ini, wajah yang berlawanan dari parallelepiped sejajar dan sama.
Teorema 13.2. Diagonal dari parallelepiped berpotongan di satu titik dan titik potong dibagi dua.
Bukti. Pertimbangkan dua diagonal sewenang-wenang, misalnya, dan . Karena wajah parallelepiped adalah jajaran genjang, maka dan , yang berarti bahwa menurut T tentang dua garis lurus sejajar dengan yang ketiga . Selain itu, ini berarti bahwa garis dan terletak pada bidang yang sama (bidang). Bidang ini memotong bidang sejajar dan sepanjang garis sejajar dan . Jadi, segiempat adalah jajar genjang, dan dengan sifat jajar genjang, diagonal dan berpotongan dan titik persimpangan dibagi dua, yang harus dibuktikan.
Sejajar siku-siku yang alasnya berbentuk persegi panjang disebut berbentuk kubus. Semua permukaan balok adalah persegi panjang. Panjang sisi non-paralel dari parallelepiped persegi panjang disebut dimensi liniernya (pengukuran). Ada tiga ukuran (lebar, tinggi, panjang).
Teorema 13.3. Dalam sebuah balok, kuadrat dari sembarang diagonal sama dengan jumlah kuadrat dari tiga dimensinya 
(dibuktikan dengan menerapkan Pythagoras T dua kali).
Sejajar persegi panjang yang semua sisinya sama disebut kubus.
tugas
13.1 Berapa banyak diagonalnya? n- prisma karbon
13.2 Pada prisma segitiga miring, jarak antara sisi samping adalah 37, 13, dan 40. Hitung jarak antara sisi yang lebih besar dan sisi yang berlawanan.
13.3 Melalui sisi alas bawah prisma segitiga beraturan, sebuah bidang ditarik yang memotong sisi-sisinya sepanjang segmen, sudut di antaranya adalah . Temukan sudut kemiringan bidang ini ke dasar prisma.
Definisi 1. Permukaan prismatik
Teorema 1. Pada bagian paralel dari permukaan prismatik
Definisi 2. Bagian tegak lurus dari permukaan prismatik
Definisi 3. Prisma
Definisi 4. Tinggi prisma
Definisi 5. Prisma langsung
Teorema 2. Luas permukaan lateral prisma
paralel:
Definisi 6. Paralelepiped
Teorema 3. Pada perpotongan diagonal-diagonal paralelepiped
Definisi 7. Paralelepiped kanan
Definisi 8. Paralelepiped persegi panjang
Definisi 9. Dimensi parallelepiped
Definisi 10. Kubus
Definisi 11. Belah Ketupat
Teorema 4. Pada diagonal dari parallelepiped persegi panjang
Teorema 5. Volume prisma
Teorema 6. Volume prisma lurus
Teorema 7. Volume paralelepiped persegi panjang
prisma polihedron disebut, di mana dua wajah (alas) terletak pada bidang paralel, dan tepi yang tidak terletak pada wajah ini sejajar satu sama lain.
Muka selain alas disebut lateral.
Sisi-sisi sisi muka dan alasnya disebut tepi prisma, ujung-ujungnya disebut bagian atas prisma. Iga samping disebut tepi yang tidak termasuk basis. Gabungan dari sisi-sisi wajah disebut permukaan samping prisma, dan penyatuan semua wajah disebut seluruh permukaan prisma. Tinggi prisma disebut tegak lurus dijatuhkan dari titik alas atas ke bidang alas bawah atau panjang tegak lurus ini. 
prisma lurus disebut prisma, di mana sisi-sisinya tegak lurus terhadap bidang alasnya. 
benar disebut prisma lurus (Gbr. 3), di dasarnya terletak poligon beraturan.
Sebutan:
l - rusuk samping;
P - perimeter dasar;
S o - area dasar;
H - tinggi;
P ^ - keliling bagian tegak lurus;
S b - luas permukaan samping;
V - volume;
S p - luas total permukaan prisma.
|
V=SH |
*Diasumsikan bahwa setiap dua bidang berurutan berpotongan dan bidang terakhir memotong bidang pertama.
Teorema 1 . Bagian dari permukaan prismatik dengan bidang yang sejajar satu sama lain (tetapi tidak sejajar dengan tepinya) adalah poligon yang sama.
Misalkan ABCDE dan A"B"C"D"E" adalah bagian dari permukaan prismatik oleh dua bidang sejajar. Untuk memastikan bahwa kedua poligon ini sama, cukup untuk menunjukkan bahwa segitiga ABC dan A"B"C" adalah sama dan memiliki arah putaran yang sama dan hal yang sama berlaku untuk segitiga ABD dan A"B"D", ABE dan A"B"E". Tetapi sisi-sisi yang bersesuaian dari segitiga-segitiga ini sejajar (misalnya, AC sejajar dengan A "C") sebagai garis perpotongan bidang tertentu dengan dua bidang paralel; maka sisi-sisi ini adalah sama (misalnya, AC sama dengan A"C") sebagai sisi-sisi yang berlawanan dari jajaran genjang, dan bahwa sudut-sudut yang dibentuk oleh sisi-sisi ini adalah sama dan memiliki arah yang sama.
Definisi 2 . Bagian tegak lurus dari permukaan prismatik adalah bagian dari permukaan ini oleh bidang yang tegak lurus dengan tepinya. Berdasarkan teorema sebelumnya, semua bagian tegak lurus dari permukaan prismatik yang sama akan menjadi poligon yang sama.
Definisi 3
. Prisma adalah polihedron yang dibatasi oleh permukaan prismatik dan dua bidang sejajar satu sama lain (tetapi tidak sejajar dengan tepi permukaan prismatik)
Wajah-wajah yang terletak di bidang terakhir ini disebut alas prisma; wajah milik permukaan prismatik - wajah samping; tepi permukaan prismatik - tepi samping prisma. Berdasarkan teorema sebelumnya, alas prisma adalah: poligon yang sama. Semua sisi sisi prisma jajaran genjang; semua sisi sisinya sama satu sama lain.
Jelaslah bahwa jika alas prisma ABCDE dan salah satu rusuknya AA" diberikan besar dan arahnya, maka prisma dapat dibuat dengan menggambar rusuk-rusuk BB", CC", .., sama dan sejajar dengan tepi AA".
Definisi 4 . Tinggi prisma adalah jarak antara bidang alasnya (HH").
Definisi 5
. Sebuah prisma disebut garis lurus jika alasnya adalah bagian tegak lurus dari permukaan prismatik. Dalam hal ini, tinggi prisma tentu saja adalah rusuk samping; tepi samping akan persegi panjang.
Prisma dapat diklasifikasikan berdasarkan jumlah sisi sisinya, sama dengan jumlah sisi poligon yang menjadi alasnya. Dengan demikian, prisma bisa berbentuk segitiga, segi empat, segi lima, dll.
Teorema 2
. Luas permukaan lateral prisma sama dengan produk tepi lateral dan keliling bagian tegak lurus.
Misalkan ABCDEA"B"C"D"E" adalah prisma yang diberikan dan abcde adalah bagian tegak lurusnya, sehingga ruas-ruas ab, bc, .. tegak lurus dengan sisi-sisinya. Wajah ABA"B" adalah jajar genjang; luasnya sama dengan produk alas AA " dengan ketinggian yang cocok dengan ab; luas permukaan BCV "C" sama dengan produk alas BB" dengan tinggi bc, dll. Oleh karena itu, permukaan samping (yaitu, jumlah luas permukaan samping) adalah sama dengan produk dari tepi samping, dengan kata lain, panjang total segmen AA", BB", .., dengan jumlah ab+bc+cd+de+ea.
Dalam kurikulum sekolah untuk kursus geometri padat, studi tentang bangun tiga dimensi biasanya dimulai dengan tubuh geometris sederhana - polihedron prisma. Peran basisnya dilakukan oleh 2 poligon yang sama yang terletak di bidang paralel. Kasus khusus adalah prisma segi empat biasa. Basisnya adalah 2 segi empat biasa yang identik, yang sisi-sisinya tegak lurus, memiliki bentuk jajaran genjang (atau persegi panjang jika prisma tidak miring).
Seperti apa bentuk prisma?
Prisma segi empat biasa adalah segi enam, di dasarnya ada 2 kotak, dan sisi-sisinya diwakili oleh persegi panjang. Nama lain untuk sosok geometris ini adalah paralelepiped lurus.
Sebuah gambar yang menunjukkan prisma segi empat ditunjukkan di bawah ini.
Bisa juga di lihat di gambar elemen terpenting yang membentuk tubuh geometris. Mereka biasanya disebut sebagai:
Kadang-kadang dalam masalah geometri Anda dapat menemukan konsep bagian. Definisinya akan terdengar seperti ini: bagian adalah semua titik dari benda volumetrik yang termasuk dalam bidang pemotongan. Bagian itu tegak lurus (melintasi tepi gambar pada sudut 90 derajat). Untuk prisma persegi panjang, bagian diagonal juga dipertimbangkan (jumlah maksimum bagian yang dapat dibangun adalah 2), melewati 2 tepi dan diagonal alas.
Jika bagian tersebut digambar sedemikian rupa sehingga bidang potong tidak sejajar dengan alas atau permukaan samping, hasilnya adalah prisma terpotong.
Berbagai rasio dan rumus digunakan untuk mencari elemen prismatik tereduksi. Beberapa di antaranya diketahui dari perjalanan planimetri (misalnya, untuk menemukan luas alas prisma, cukup mengingat rumus luas persegi).
Luas permukaan dan volume
Untuk menentukan volume prisma menggunakan rumus, Anda perlu mengetahui luas alas dan tingginya:
V = Sprim h
Karena alas prisma tetrahedral beraturan adalah persegi dengan sisi sebuah, Anda dapat menulis rumus dalam bentuk yang lebih rinci:
V = a² h
Jika kita berbicara tentang kubus - prisma biasa dengan panjang, lebar, dan tinggi yang sama, volumenya dihitung sebagai berikut:
Untuk memahami cara menemukan luas permukaan lateral prisma, Anda perlu membayangkan sapuannya.
Dari gambar tersebut dapat dilihat bahwa permukaan sisinya terdiri dari 4 persegi panjang yang sama panjang. Luasnya dihitung sebagai produk dari keliling alas dan tinggi gambar:
Sisi = Pos h
Karena keliling persegi adalah P = 4a, rumus mengambil bentuk:
Sisi = 4a h
Untuk kubus:
Sisi = 4a²
Untuk menghitung luas permukaan total prisma, tambahkan 2 luas alas ke luas sisi:
Penuh = Sisi + 2 Basis
Seperti yang diterapkan pada prisma beraturan segi empat, rumusnya memiliki bentuk:
Penuh = 4a jam + 2a²
Untuk luas permukaan kubus :
Penuh = 6a²
Mengetahui volume atau luas permukaan, Anda dapat menghitung elemen individual dari benda geometris.
Menemukan elemen prisma
Seringkali ada masalah di mana volume diberikan atau nilai luas permukaan lateral diketahui, di mana perlu untuk menentukan panjang sisi alas atau tingginya. Dalam kasus seperti itu, rumus dapat diturunkan:
- panjang sisi alas: a = Sisi / 4h = (V / jam);
- tinggi atau panjang rusuk samping: h = Sisi / 4a = V / a²;
- daerah dasar: Semburat = V / jam;
- daerah wajah samping: Samping gr = Sisi / 4.
Untuk menentukan luas penampang diagonal, Anda perlu mengetahui panjang diagonal dan tinggi gambar. Untuk persegi d = a√2. Karena itu:
Sdiag = ah√2
Untuk menghitung diagonal prisma digunakan rumus :
dprize = (2a² + h²)
Untuk memahami bagaimana menerapkan rasio di atas, Anda dapat berlatih dan menyelesaikan beberapa tugas sederhana.
Contoh masalah dengan solusi
Berikut adalah beberapa tugas yang muncul dalam ujian akhir negara dalam matematika.
Latihan 1.
Pasir dituangkan ke dalam kotak yang berbentuk seperti prisma segi empat biasa. Tinggi alasnya 10 cm Berapakah tinggi pasir jika dimasukan ke dalam wadah yang bentuknya sama tetapi panjang alasnya 2 kali lebih panjang?
Hal itu perlu dikemukakan sebagai berikut. Jumlah pasir di wadah pertama dan kedua tidak berubah, mis., volumenya di dalamnya sama. Anda dapat menentukan panjang alas sebagai sebuah. Dalam hal ini, untuk kotak pertama, volume zat adalah:
V₁ = ha² = 10a²
Untuk kotak kedua, panjang alasnya adalah 2a, tetapi ketinggian permukaan pasir tidak diketahui:
V₂ = h(2a)² = 4ha²
Sejauh V₁ = V, ekspresinya dapat disamakan:
10a² = 4ha²
Setelah mengurangi kedua sisi persamaan dengan a², kita mendapatkan:
Akibatnya, level pasir baru akan menjadi h = 10/4 = 2.5 cm.
Tugas 2.
ABCDA₁B₁C₁D₁ adalah prisma beraturan. Diketahui BD = AB₁ = 6√2. Temukan luas permukaan total tubuh.
Untuk memudahkan memahami elemen mana yang diketahui, Anda dapat menggambar gambar.
Karena kita berbicara tentang prisma biasa, kita dapat menyimpulkan bahwa alasnya adalah persegi dengan diagonal 6√2. Diagonal muka samping mempunyai nilai yang sama, oleh karena itu muka samping juga berbentuk bujur sangkar sama dengan alasnya. Ternyata ketiga dimensi - panjang, lebar dan tinggi - adalah sama. Kita dapat menyimpulkan bahwa ABCDA₁B₁C₁D₁ adalah kubus.
Panjang setiap sisi ditentukan melalui diagonal yang diketahui:
a = d / 2 = 6√2 / 2 = 6
Luas permukaan total ditemukan dengan rumus kubus:
Penuh = 6a² = 6 6² = 216
Tugas 3.
Kamar sedang direnovasi. Diketahui lantainya berbentuk persegi dengan luas 9 m². Ketinggian ruangan adalah 2,5 m. Berapa biaya wallpapering kamar terendah jika 1 m² berharga 50 rubel?
Karena lantai dan langit-langit adalah bujur sangkar, yaitu segi empat beraturan, dan dindingnya tegak lurus terhadap permukaan horizontal, kita dapat menyimpulkan bahwa itu adalah prisma beraturan. Hal ini diperlukan untuk menentukan luas permukaan lateralnya.
Panjang ruangan tersebut adalah a = 9 = 3 m.
Alun-alun akan ditutupi dengan wallpaper Sisi = 4 3 2,5 = 30 m².
Biaya wallpaper terendah untuk ruangan ini adalah 50 30 = 1500 rubel.
Jadi, untuk menyelesaikan masalah pada prisma persegi panjang, cukup untuk dapat menghitung luas dan keliling persegi dan persegi panjang, serta mengetahui rumus untuk menemukan volume dan luas permukaan.
Cara mencari luas kubus
Prisma. Paralelipiped
prisma disebut polihedron yang dua wajahnya sama n-gons (dasar) , terletak pada bidang paralel, dan n wajah yang tersisa adalah jajaran genjang (tepi samping) . rusuk samping prisma adalah sisi wajah lateral yang bukan milik alas.
Prisma yang sisi-sisinya tegak lurus terhadap bidang alas disebut lurus prisma (Gbr. 1). Jika sisi-sisinya tidak tegak lurus dengan bidang alasnya, maka prisma disebut miring . benar Prisma adalah prisma lurus yang alasnya merupakan poligon beraturan.
Tinggi prisma disebut jarak antara bidang alas. Diagonal Prisma adalah segmen yang menghubungkan dua simpul yang tidak memiliki wajah yang sama. bagian diagonal Bagian prisma oleh bidang yang melalui dua sisi sisi yang tidak berhadap-hadapan disebut. Bagian tegak lurus disebut bagian prisma oleh bidang yang tegak lurus terhadap tepi lateral prisma.
Luas permukaan samping prisma adalah jumlah luas semua sisi sisinya. Luas permukaan penuh jumlah luas semua permukaan prisma disebut (yaitu, jumlah luas permukaan sisi dan luas alas).
Untuk prisma sewenang-wenang, rumusnya benar:
di mana aku adalah panjang rusuk samping;
H- tinggi;
P
Q
sisi S
S penuh
S utama adalah luas pangkalan;
V adalah volume prisma.
Untuk prisma lurus, rumus berikut ini benar:
di mana p- keliling pangkalan;
aku adalah panjang rusuk samping;
H- tinggi.
Paralelipiped Prisma yang alasnya jajar genjang disebut. Sebuah paralelepiped yang tepi lateralnya tegak lurus dengan alasnya disebut langsung (Gbr. 2). Jika sisi-sisinya tidak tegak lurus dengan alasnya, maka paralelepiped disebut miring . Sejajar siku-siku yang alasnya berbentuk persegi panjang disebut persegi panjang. Sejajar persegi panjang yang semua sisinya sama disebut kubus.
Wajah-wajah dari parallelepiped yang tidak memiliki simpul yang sama disebut di depan . Panjang rusuk yang keluar dari satu titik disebut pengukuran paralelipiped. Karena kotak adalah prisma, elemen utamanya didefinisikan dengan cara yang sama seperti yang didefinisikan untuk prisma.
Teorema.
1. Diagonal dari parallelepiped berpotongan di satu titik dan membagi dua itu.
2. Dalam parallelepiped persegi panjang, kuadrat dari panjang diagonal sama dengan jumlah kuadrat dari tiga dimensinya: 
3. 
Keempat diagonal dari parallelepiped persegi panjang adalah sama satu sama lain.
Untuk parallelepiped sewenang-wenang, rumus berikut ini benar:
di mana aku adalah panjang rusuk samping;
H- tinggi;
P adalah keliling penampang tegak lurus;
Q– Luas bagian tegak lurus;
sisi S adalah luas permukaan lateral;
S penuh adalah luas permukaan total;
S utama adalah luas pangkalan;
V adalah volume prisma.
Untuk paralelepiped kanan, rumus berikut ini benar:
di mana p- keliling pangkalan;
aku adalah panjang rusuk samping;
H adalah ketinggian parallelepiped kanan.
Untuk parallelepiped persegi panjang, rumus berikut ini benar:
(3)
di mana p- keliling pangkalan;
H- tinggi;
d- diagonal;
a,b,c– pengukuran paralelepiped.
Rumus kubus yang benar adalah:
di mana sebuah adalah panjang rusuk;
d adalah diagonal kubus.
Contoh 1 Diagonal sebuah balok persegi panjang adalah 33 dm, dan pengukurannya berhubungan dengan 2:6:9.Temukan ukuran balok tersebut.
Keputusan. Untuk mencari dimensi paralelepiped, kami menggunakan rumus (3), yaitu. fakta bahwa kuadrat sisi miring sebuah kubus sama dengan jumlah kuadrat dimensinya. Dilambangkan dengan k koefisien proporsionalitas. Maka dimensi parallelepiped akan sama dengan 2 k, 6k dan 9 k. Kami menulis rumus (3) untuk data masalah:
Memecahkan persamaan ini untuk k, kita mendapatkan:
Jadi, dimensi paralelepiped adalah 6 dm, 18 dm dan 27 dm.
Menjawab: 6 dm, 18 dm, 27 dm.
Contoh 2 Hitunglah volume prisma segitiga miring yang alasnya merupakan segitiga sama sisi dengan sisi 8 cm, jika sisi sisinya sama dengan sisi alasnya dan miring membentuk sudut 60º terhadap alasnya.
Keputusan
.
Mari kita membuat gambar (Gbr. 3).
Untuk menemukan volume prisma miring, Anda perlu mengetahui luas alas dan tingginya. Luas alas prisma ini adalah luas segitiga sama sisi yang panjang sisinya 8 cm, mari kita hitung:
Tinggi prisma adalah jarak antara alasnya. Dari atas TETAPI 1 dari alas atas kita turunkan tegak lurus terhadap bidang alas bawah TETAPI 1 D. Panjangnya akan menjadi tinggi prisma. Pertimbangkan D TETAPI 1 IKLAN: karena ini adalah sudut kemiringan rusuk samping TETAPI 1 TETAPI ke pesawat dasar TETAPI 1 TETAPI= 8 cm Dari segitiga ini kita temukan TETAPI 1 D:
Sekarang kita menghitung volume menggunakan rumus (1):
Menjawab: 192 cm3.
Contoh 3 Tepi samping prisma segi enam beraturan adalah 14 cm, luas penampang diagonal terbesar adalah 168 cm 2. Temukan luas permukaan total prisma.
Keputusan. Mari kita membuat gambar (Gbr. 4)
Bagian diagonal terbesar adalah persegi panjang A A 1 DD 1 , karena diagonalnya IKLAN segi enam biasa ABCDEF adalah yang terbesar. Untuk menghitung luas permukaan lateral prisma, perlu diketahui sisi alas dan panjang rusuk lateral.
Mengetahui luas bagian diagonal (persegi panjang), kami menemukan diagonal alasnya.
Dari dulu 
Dari dulu AB= 6cm
Maka keliling alasnya adalah:
Temukan luas permukaan lateral prisma:
Luas segi enam beraturan dengan sisi 6 cm adalah:
Temukan luas permukaan total prisma:
Menjawab: 
Contoh 4 Dasar dari parallelepiped kanan adalah belah ketupat. Luas penampang diagonalnya adalah 300 cm 2 dan 875 cm 2. Temukan luas permukaan sisi paralelepiped.
Keputusan. Mari kita membuat gambar (Gbr. 5).
Tunjukkan sisi belah ketupat dengan sebuah, diagonal-diagonal belah ketupat d 1 dan d 2 , tinggi kotak h. Untuk menemukan luas permukaan lateral dari paralelepiped lurus, perlu untuk mengalikan keliling alas dengan tingginya: (rumus (2)). Perimeter dasar p = AB + BC + CD + DA = 4AB = 4a, sebagai ABCD- belah ketupat. H = AA 1 = h. Itu. Perlu menemukan sebuah dan h.
Pertimbangkan bagian diagonal. A A 1 SS 1 - persegi panjang, satu sisinya adalah diagonal belah ketupat AC = d 1 , tepi sisi kedua A A 1 = h, kemudian
Demikian pula untuk bagian BB 1 DD 1 kita mendapatkan:
Menggunakan properti jajar genjang sehingga jumlah kuadrat diagonal sama dengan jumlah kuadrat semua sisinya, kita mendapatkan persamaan Kita mendapatkan yang berikut.
Definisi.
Ini adalah segi enam, yang alasnya adalah dua persegi yang sama, dan sisi-sisinya adalah persegi panjang yang sama.
rusuk samping adalah sisi persekutuan dari dua sisi yang bersebelahan
Tinggi Prisma adalah ruas garis yang tegak lurus alas prisma
Diagonal Prisma- segmen yang menghubungkan dua simpul dari basis yang tidak memiliki wajah yang sama
Bidang diagonal- bidang yang melalui diagonal prisma dan sisi-sisinya
Bagian diagonal- batas-batas perpotongan prisma dan bidang diagonal. Bagian diagonal prisma segi empat beraturan adalah persegi panjang
Bagian tegak lurus (bagian ortogonal)- ini adalah perpotongan prisma dan bidang yang ditarik tegak lurus terhadap sisi-sisinya
Unsur-unsur prisma segi empat beraturan
Gambar tersebut menunjukkan dua prisma segi empat biasa, yang ditandai dengan huruf yang sesuai:
- Basa ABCD dan A 1 B 1 C 1 D 1 sama besar dan sejajar
- Sisi muka AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C dan CC 1 D 1 D yang masing-masing berbentuk persegi panjang
- Permukaan lateral - jumlah luas semua sisi sisi prisma
- Permukaan total - jumlah luas semua alas dan permukaan samping (jumlah luas permukaan samping dan alas)
- Rusuk samping AA 1 , BB 1 , CC 1 dan DD 1 .
- Diagonal B 1 D
- Basis diagonal BD
- Bagian diagonal BB 1 D 1 D
- Bagian tegak lurus A 2 B 2 C 2 D 2 .
Sifat-sifat prisma segi empat beraturan
- Basis adalah dua persegi yang sama
- Basisnya sejajar satu sama lain
- Sisi-sisinya berbentuk persegi panjang.
- Sisi wajah sama satu sama lain
- Wajah samping tegak lurus dengan alas
- Tulang rusuk lateral sejajar satu sama lain dan sama besar
- Penampang tegak lurus terhadap semua rusuk sisi dan sejajar dengan alas
- Sudut Bagian Tegak Lurus - Kanan
- Bagian diagonal prisma segi empat beraturan adalah persegi panjang
- Tegak lurus (bagian ortogonal) sejajar dengan alas
Rumus prisma segi empat beraturan
Petunjuk untuk memecahkan masalah
Saat memecahkan masalah pada topik " prisma segi empat beraturan" menyiratkan bahwa:Prisma yang benar- sebuah prisma yang alasnya terletak poligon beraturan, dan sisi-sisinya tegak lurus terhadap bidang alasnya. Artinya, prisma segi empat biasa berisi di alasnya kotak. (lihat di atas sifat-sifat prisma segi empat beraturan) Catatan. Ini adalah bagian dari pelajaran dengan tugas-tugas dalam geometri (bagian geometri padat - prisma). Berikut adalah tugas-tugas yang menyebabkan kesulitan dalam menyelesaikannya. Jika Anda perlu menyelesaikan masalah dalam geometri, yang tidak ada di sini - tulis di forum. Untuk menunjukkan tindakan mengekstraksi akar kuadrat dalam memecahkan masalah, simbol digunakan√ .
Tugas.
Pada sebuah prisma segi empat beraturan, luas alasnya 144 cm2 dan tingginya 14 cm. Hitunglah diagonal prisma tersebut dan luas permukaan totalnya.Keputusan.
Segi empat beraturan adalah persegi.
Dengan demikian, sisi alasnya akan sama dengan
Dimana diagonal alas prisma segi empat beraturan sama dengan
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2
Diagonal prisma beraturan membentuk segitiga siku-siku dengan diagonal alas dan tinggi prisma. Dengan demikian, menurut teorema Pythagoras, diagonal prisma segi empat beraturan yang diberikan akan sama dengan:
((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 cm
Menjawab: 22 cm
Tugas
Hitunglah luas permukaan prisma segi empat beraturan jika diagonalnya 5 cm dan diagonal sisi sisinya 4 cm.Keputusan.
Karena alas prisma segi empat beraturan adalah persegi, maka sisi alasnya (dilambangkan dengan a) ditemukan oleh teorema Pythagoras:
A2 + a2 = 5 2
2a 2 = 25
a = 12,5
Ketinggian sisi muka (dilambangkan sebagai h) kemudian akan sama dengan:
H 2 + 12,5 \u003d 4 2
jam 2 + 12,5 = 16
j 2 \u003d 3.5
h = 3,5
Luas permukaan total akan sama dengan jumlah luas permukaan lateral dan dua kali luas alas
S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * 3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S \u003d 25 + 10√7 51,46 cm 2.
Jawaban: 25 + 10√7 51,46 cm 2.
