დღეს განვიხილავთ გეომეტრიულ ფიგურას - ოთხკუთხედს. ამ ფიგურის სახელიდან უკვე ირკვევა, რომ ამ ფიგურას ოთხი კუთხე აქვს. მაგრამ ამ ფიგურის დანარჩენ მახასიათებლებსა და თვისებებს ქვემოთ განვიხილავთ.

რა არის ოთხკუთხედი

ოთხკუთხედი არის მრავალკუთხედი, რომელიც შედგება ოთხი წერტილისაგან (წვეროები) და ოთხი სეგმენტისაგან (გვერდები), რომლებიც აკავშირებენ ამ წერტილებს წყვილებში. ოთხკუთხედის ფართობი არის მისი დიაგონალების და მათ შორის კუთხის ნამრავლის ნახევარი.

ოთხკუთხედი არის მრავალკუთხედი ოთხი წვერით, რომელთაგან სამი ერთსა და იმავე წრფეზე არ დევს.

ოთხკუთხედების ტიპები

• ოთხკუთხედს, რომლის მოპირდაპირე გვერდები წყვილად პარალელურია, პარალელოგრამი ეწოდება.
• ოთხკუთხედს, რომელშიც ორი მოპირდაპირე გვერდი პარალელურია, ხოლო დანარჩენი ორი არა, ეწოდება ტრაპეცია.
• ოთხკუთხედი ყველა მართი კუთხით არის მართკუთხედი.
• ოთხკუთხედი, რომლის ყველა გვერდი ტოლია, არის რომბი.
• ოთხკუთხედს, რომელშიც ყველა გვერდი ტოლია და ყველა კუთხე მართია, კვადრატი ეწოდება.

ოთხკუთხედი შეიძლება იყოს:

თვითგადაკვეთა

არაამოზნექილი

ამოზნექილი

თვითგადაკვეთა ოთხკუთხედიარის ოთხკუთხედი, რომელშიც მის ნებისმიერ გვერდს აქვს გადაკვეთის წერტილი (ლურჯით ნახატზე).

არაამოზნექილი ოთხკუთხედიარის ოთხკუთხედი, რომელშიც ერთ-ერთი შიდა კუთხე 180 გრადუსზე მეტია (ნახაზზე ნარინჯისფრად არის მითითებული).

კუთხეების ჯამინებისმიერი ოთხკუთხედი, რომელიც არ იკვეთება, ყოველთვის უდრის 360 გრადუსს.

ოთხკუთხედების განსაკუთრებული ტიპები

ოთხკუთხედებს შეიძლება ჰქონდეთ დამატებითი თვისებები, ქმნიან გეომეტრიული ფორმების სპეციალურ ტიპებს:

• პარალელოგრამი
• მართკუთხედი
• მოედანი
• ტრაპეცია
• დელტოიდი
• კონტრაპარალელოგრამი

ოთხკუთხედი და წრე

წრის ირგვლივ ჩაწერილი ოთხკუთხედი (ოთხკუთხედში ჩაწერილი წრე).

შემოხაზული ოთხკუთხედის ძირითადი თვისება:

ოთხკუთხედი შეიძლება შემოიფარგლოს წრის ირგვლივ, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მოპირდაპირე გვერდების სიგრძის ჯამები ტოლია.

წრეში ჩაწერილი ოთხკუთხედი (წრე ჩაწერილი ოთხკუთხედის გარშემო)

ჩაწერილი ოთხკუთხედის ძირითადი თვისება:

ოთხკუთხედი შეიძლება ჩაიწეროს წრეში, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მოპირდაპირე კუთხეების ჯამი 180 გრადუსია.

ოთხკუთხა გვერდის სიგრძის თვისებები

ოთხკუთხედის ნებისმიერი ორი მხარის განსხვავების მოდულიარ აღემატება მისი დანარჩენი ორი მხარის ჯამს.

|ა - ბ| ≤ c + d

|ა - გ| ≤ b + d

|ა - დ| ≤ b + c

|ბ - გ| ≤ a + d

|ბ - დ| ≤ a + b

|გ - დ| ≤ a + b

Მნიშვნელოვანი. უტოლობა მართალია ოთხკუთხედის გვერდების ნებისმიერი კომბინაციისთვის. ფიგურა მოცემულია მხოლოდ გასაგებად.

ნებისმიერ ოთხკუთხედში მისი სამი გვერდის სიგრძის ჯამი არ არის ნაკლები მეოთხე მხარის სიგრძეზე.

Მნიშვნელოვანი. სკოლის სასწავლო გეგმის ფარგლებში პრობლემების გადაჭრისას შეგიძლიათ გამოიყენოთ მკაცრი უთანასწორობა (<). Равенство достигается только в случае, если четырехугольник является "вырожденным", то есть три его точки лежат на одной прямой. То есть эта ситуация не попадает под классическое определение четырехугольника.

Javascript გამორთულია თქვენს ბრაუზერში.
გამოთვლების განსახორციელებლად ActiveX კონტროლი უნდა იყოს ჩართული!

1 . ამოზნექილი ოთხკუთხედის დიაგონალების ჯამი აღემატება მისი ორი მოპირდაპირე მხარის ჯამს.

2 . თუ მოპირდაპირე მხარის შუა წერტილების დამაკავშირებელი სეგმენტები ოთხკუთხედი

ა) ტოლია, მაშინ ოთხკუთხედის დიაგონალები პერპენდიკულურია;

ბ) პერპენდიკულარულია, მაშინ ოთხკუთხედის დიაგონალები ტოლია.

3 . ტრაპეციის გვერდითი კუთხეების ბისექტრები იკვეთება მის შუა ხაზზე.

4 . პარალელოგრამის გვერდები ტოლია და . მაშინ ოთხკუთხედი, რომელიც წარმოიქმნება პარალელოგრამის კუთხეების ბისექტორების გადაკვეთებით, არის მართკუთხედი, რომლის დიაგონალები ტოლია.

5 . თუ ტრაპეციის ერთ-ერთ ფუძეზე კუთხეების ჯამი არის 90°, მაშინ ტრაპეციის ფუძეების შუა წერტილების დამაკავშირებელი სეგმენტი უდრის მათ ნახევრად სხვაობას.

6 . გვერდებზე ABდა ახ.წპარალელოგრამი Ა Ბ Გ Დქულები აღებულია მდა ნისე რომ პირდაპირ ᲥᲐᲚᲑᲐᲢᲝᲜᲘდა NCპარალელოგრამი დაყავით სამ თანაბარ ნაწილად. იპოვე MN,თუ BD=d.

7 . სწორი ხაზის სეგმენტი ტრაპეციის ფუძეების პარალელურად, რომელიც ჩასმულია ტრაპეციის შიგნით, მისი დიაგონალებით იყოფა სამ ნაწილად. მაშინ გვერდების მიმდებარე სეგმენტები ერთმანეთის ტოლია.

8 . ტრაპეციის დიაგონალების ფუძეებთან გადაკვეთის წერტილის გავლით და გაყვანილია სწორი ხაზი, ფუძეების პარალელურად. ამ ხაზის სეგმენტი, რომელიც ჩასმულია ტრაპეციის გვერდებს შორის, ტოლია.

9 . ტრაპეცია იყოფა მისი ფუძეების პარალელურად და ტოლი ხაზით , ორ თანაბარ ტრაპეციაში. მაშინ ამ სწორი ხაზის სეგმენტი, რომელიც ჩასმულია გვერდებს შორის, უდრის.

10 . თუ რომელიმე ქვემოთ ჩამოთვლილი პირობა დაკმაყოფილებულია, მაშინ ოთხი ქულა A, B, Cდა დდაწექი იმავე წრეზე.

ა) CAD=CBD= 90°.

ბ) ქულები მაგრამდა ATდაწექი სწორი ხაზის ერთ მხარეს CDდა კუთხე CADკუთხის ტოლი CBD

გ) სწორი ACდა BDიკვეთება ერთ წერტილში ოდა O A OS=OV OD.

11 . წერტილის დამაკავშირებელი ხაზი როთხკუთხედის დიაგონალების გადაკვეთები ABCD-თან ერთადწერტილი ქხაზის კვეთები ABდა CD,ყოფს მხარეს ახ.წნახევარში. შემდეგ ის ყოფს ორად და გვერდს მზე.

12 . ამოზნექილი ოთხკუთხედის თითოეული მხარე დაყოფილია სამ თანაბარ ნაწილად. საპირისპირო მხარეს შესაბამისი გაყოფის წერტილები დაკავშირებულია სეგმენტებით. შემდეგ ეს სეგმენტები იყოფა ერთმანეთს სამ თანაბარ ნაწილად.

13 . ორი სწორი ხაზი ყოფს ამოზნექილი ოთხკუთხედის ორ მოპირდაპირე მხარეს სამ თანაბარ ნაწილად. შემდეგ ამ ხაზებს შორის არის ოთხკუთხედის ფართობის მესამედი.

14 . თუ წრე შეიძლება ჩაიწეროს ოთხკუთხედში, მაშინ დიაგონალების გადაკვეთის წერტილში გადის ის მონაკვეთი, რომელიც აკავშირებს წერტილებს, რომლებზეც ჩაწერილი წრე ეხება ოთხკუთხედის მოპირდაპირე მხარეს.

15 . თუ ოთხკუთხედის მოპირდაპირე გვერდების ჯამები ტოლია, მაშინ წრე შეიძლება ჩაიწეროს ასეთ ოთხკუთხედში.

16. ერთმანეთის პერპენდიკულარული დიაგონალებით ჩაწერილი ოთხკუთხედის თვისებები.ოთხკუთხედი Ა Ბ Გ Დჩაწერილი რადიუსის წრეში რ.მისი დიაგონალები ACდა BDერთმანეთის პერპენდიკულურია და იკვეთება ერთ წერტილში რ.მერე

ა) სამკუთხედის მედიანა ARVმხარეს პერპენდიკულარული CD;

ბ) გატეხილი ხაზი AOCყოფს ოთხკუთხედს Ა Ბ Გ Დორ თანაბარ ფიგურად;

in) AB 2 + CD 2=4რ 2 ;

გ) AP 2 + BP 2 + SR 2 + DP 2 = 4რ 2 და AB 2 + BC 2 + CD 2 + AD 2 = 8R 2;

ე) მანძილი წრის ცენტრიდან ოთხკუთხედის მხარეს არის მოპირდაპირე მხარის ნახევარი.

ვ) თუ პერპენდიკულარები გვერდზე ჩამოვარდა ახ.წმწვერვალებიდან ATდა თან,ჯვარი დიაგონალები ACდა BDწერტილებში ედა F,მაშინ BCFE- რომბი;

ზ) ოთხკუთხედი, რომლის წვეროები არის წერტილის პროექცია როთხკუთხედის მხარეს Ა Ბ Გ Დ,- წარწერაც და აღწერილიც;

თ) ოთხკუთხედი, რომელიც წარმოიქმნება ტანგენტებით ოთხკუთხედის შემოხაზულ წრეზე Ა Ბ Გ Დ,მის წვეროებზე დახატული შეიძლება ჩაიწეროს წრეში.

17 . Თუ ა, ბ, გ, დ- ოთხკუთხედის თანმიმდევრული გვერდები, ს- მაშ, მისი ფართობი და ტოლობა ხდება მხოლოდ წარწერიანი ოთხკუთხედისთვის, რომლის დიაგონალები ერთმანეთის პერპენდიკულურია.

18 . ბრაჰმაგუპტას ფორმულა.თუ შემოხაზული ოთხკუთხედის გვერდები ტოლია ა, ბ, გდა დ,შემდეგ მისი ფართობი სშეიძლება გამოითვალოს ფორმულით,

სადაც არის ოთხკუთხედის ნახევარპერიმეტრი.

19 . თუ ოთხკუთხედი გვერდებით ა, ბ, გ, დშეიძლება ჩაიწეროს და წრე შემოიხაზოს მის გარშემო, მაშინ მისი ფართობი უდრის .

20 . წერტილი P მდებარეობს კვადრატის შიგნით Ა Ბ Გ Დ,და კუთხე PABკუთხის ტოლი RVAდა უდრის 15°. შემდეგ სამკუთხედი DPC- ტოლგვერდა.

21 . თუ ჩაწერილი ოთხკუთხედისთვის Ა Ბ Გ Დთანასწორობა CD=AD+BC,შემდეგ მისი კუთხეების ბისექტრები მაგრამდა ATგვერდზე იკვეთება CD.

22 . საპირისპირო მხარეების გაგრძელება ABდა CDჩაწერილი ოთხკუთხედი Ა Ბ Გ Დიკვეთება ერთ წერტილში მ,და მხარეები ახ.წდა მზე- წერტილში ნ.მერე

ა) კუთხის ბისექტრები AMDდა DNCორმხრივი პერპენდიკულარული;

ბ) სწორი MQდა NQოთხკუთხედის გვერდების გადაკვეთა რომბის წვეროებზე;

გ) გადაკვეთის წერტილი ქამ ბისექტორებიდან დევს ოთხკუთხედის დიაგონალების შუა წერტილების დამაკავშირებელ სეგმენტზე Ა Ბ Გ Დ.

23 . პტოლემეოსის თეორემა.ჩაწერილი ოთხკუთხედის ორი წყვილი მოპირდაპირე მხარის ნამრავლების ჯამი უდრის მისი დიაგონალების ნამრავლს.

24 . ნიუტონის თეორემა.ნებისმიერ შემოხაზულ ოთხკუთხედში დიაგონალების შუა წერტილები და ჩაწერილი წრის ცენტრი ერთსა და იმავე სწორ ხაზზე დევს.

25 . მონჯის თეორემა.ჩაწერილი ოთხკუთხედის გვერდების შუა წერტილებში გავლებული ხაზები მოპირდაპირე მხარეებზე პერპენდიკულარული იკვეთება ერთ წერტილში.

27 . დიამეტრის სახით ამოზნექილი ოთხკუთხედის გვერდებზე აგებული ოთხი წრე მთელ ოთხკუთხედს ფარავს.

29 . ამოზნექილი ოთხკუთხედის ორი მოპირდაპირე კუთხე ბლაგვია. მაშინ ამ კუთხეების წვეროების დამაკავშირებელი დიაგონალი სხვა დიაგონალზე ნაკლებია.

30. მის გარეთ პარალელოგრამის გვერდებზე აგებული კვადრატების ცენტრები თავად ქმნიან კვადრატს.

ოთხი კუთხით და ოთხი გვერდით. ოთხკუთხედი წარმოიქმნება დახურული პოლიწრისაგან, რომელიც შედგება ოთხი რგოლისაგან და სიბრტყის იმ ნაწილისგან, რომელიც პოლიხაზის შიგნითაა.

ოთხკუთხედის აღნიშვნა შედგება მის წვეროებზე არსებული ასოებისგან, რომლებიც ასახელებენ მათ თანმიმდევრობით. მაგალითად, ამბობენ ან წერენ: ოთხკუთხედი Ა Ბ Გ Დ :

ოთხკუთხედში Ა Ბ Გ Დქულები ა, ბ, Cდა დ- ეს ოთხკუთხა წვეროები, სეგმენტები AB, ძვ.წ, CDდა DA - მხარეები.

წვეროებს, რომლებიც მიეკუთვნება იმავე მხარეს, ეწოდება მეზობელი, წვეროებს, რომლებიც არ არის მიმდებარე ეწოდება საწინააღმდეგო:

ოთხკუთხედში Ა Ბ Გ Დმწვერვალები ადა ბ, ბდა C, Cდა დ, დდა აარიან მიმდებარე და წვეროები ადა C, ბდა დ- საწინააღმდეგო. მიმდებარე წვეროებზე მდებარე კუთხეებს მეზობელსაც უწოდებენ, ხოლო მოპირდაპირე წვეროებს - საპირისპირო.

ოთხკუთხედის გვერდები ასევე შეიძლება დაიყოს წყვილებად მიმდებარე და მოპირდაპირე გვერდებად: გვერდები, რომლებსაც აქვთ საერთო წვერო, ე.წ. მეზობელი(ან დაკავშირებული), მხარეები, რომლებსაც არ აქვთ საერთო წვეროები - საწინააღმდეგო:

პარტიები ABდა ძვ.წ, ძვ.წდა CD, CDდა DA, DAდა ABარიან მიმდებარე და გვერდები ABდა DC, ახ.წდა ძვ.წ- საწინააღმდეგო.

თუ საპირისპირო წვეროები დაკავშირებულია სეგმენტით, მაშინ ასეთი სეგმენტი გამოიძახება ოთხკუთხედის დიაგონალი. იმის გათვალისწინებით, რომ ოთხკუთხედში არის მხოლოდ ორი წყვილი საპირისპირო წვერო, მაშინ შეიძლება იყოს მხოლოდ ორი დიაგონალი:

სეგმენტები ACდა BD- დიაგონალები.

განვიხილოთ ამოზნექილი ოთხკუთხედების ძირითადი ტიპები:

• ტრაპეცია- ოთხკუთხედი, რომელშიც მოპირდაპირე გვერდების ერთი წყვილი ერთმანეთის პარალელურია, ხოლო მეორე წყვილი არ არის პარალელური.
  • ტოლფერდა ტრაპეცია- ტრაპეცია, რომლის გვერდები ტოლია.
  • მართკუთხა ტრაპეციატრაპეცია ერთ-ერთი სწორი კუთხით.
• პარალელოგრამიოთხკუთხედი, რომელშიც მოპირდაპირე გვერდის ორივე წყვილი ერთმანეთის პარალელურია.
  • მართკუთხედიპარალელოგრამი, რომელშიც ყველა კუთხე ტოლია.
  • რომბიპარალელოგრამი ყველა გვერდით ტოლია.
  • მოედანიპარალელოგრამი თანაბარი გვერდებით და კუთხეებით. მართკუთხედიც და რომბიც შეიძლება იყოს კვადრატი.

ამოზნექილი ოთხკუთხედების კუთხის თვისებები

ყველა ამოზნექილ ოთხკუთხედს აქვს შემდეგი ორი თვისება:

1. ნებისმიერი შიდა კუთხე 180°-ზე ნაკლები.
2. შიდა კუთხეების ჯამია 360°.

სასკოლო სასწავლო გეგმაში გეომეტრიის გაკვეთილებს უნდა ეხებოდეს სხვადასხვა ტიპის ოთხკუთხედები: რომბები, პარალელოგრამები, მართკუთხედები, ტრაპეცია, კვადრატები. პირველივე ფორმები შესასწავლად არის მართკუთხედი და კვადრატი.

მაშ რა არის მართკუთხედი? ყოვლისმომცველი სკოლის მე-2 კლასის განმარტება ასე გამოიყურება: ეს არის ოთხკუთხედი, რომელშიც ოთხივე კუთხე სწორია. ადვილი წარმოსადგენია, როგორ გამოიყურება მართკუთხედი: ეს არის ფიგურა 4 მართი კუთხით და გვერდით ერთმანეთის პარალელურად წყვილებში.

კონტაქტში

როგორ გავიგოთ შემდეგი გეომეტრიული ამოცანის ამოხსნით, რა სახის ოთხკუთხედთან გვაქვს საქმე? არსებობს სამი ძირითადი მახასიათებელი, რომლითაც შეგიძლიათ ზუსტად განსაზღვროთ, რომ საუბარია მართკუთხედზე. მოდით დავარქვათ მათ:

• ფიგურა არის ოთხკუთხედი 90°-ის ტოლი სამი კუთხით;
• წარმოდგენილი ოთხკუთხედი არის პარალელოგრამი თანაბარი დიაგონალებით;
• პარალელოგრამი, რომელსაც აქვს მინიმუმ ერთი მართი კუთხე.

საინტერესოა ვიცოდეთ: რა არის ამოზნექილი, მისი თვისებები და ნიშნები.

ვინაიდან მართკუთხედი არის პარალელოგრამი (ანუ ოთხკუთხედი წყვილი პარალელური მოპირდაპირე გვერდებით), მაშინ მისთვის ყველა თვისება და თვისება შესრულდება.

გვერდების სიგრძის გამოთვლის ფორმულები

მართკუთხედშიმოპირდაპირე მხარეები თანაბარი და ერთმანეთის პარალელურია. უფრო გრძელ მხარეს ჩვეულებრივ უწოდებენ სიგრძეს (აღნიშნავს a-ით), უფრო მოკლე მხარეს ეწოდება სიგანე (მითითება b-ით). გამოსახულების ოთხკუთხედში სიგრძეებია AB და CD გვერდები, ხოლო სიგანეები AC და B.D. ისინი ასევე პერპენდიკულარულია ფუძეებზე (ანუ ისინი სიმაღლეებია).

მხარეების მოსაძებნად შეგიძლიათ გამოიყენოთ ქვემოთ მოცემული ფორმულები. მათში მიღებულია კონვენციები: a - მართკუთხედის სიგრძე, b - მისი სიგანე, d - დიაგონალი (სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს ერთმანეთის მოპირდაპირე მდებარე ორი კუთხის წვეროებს), S - ფიგურის ფართობი, P - პერიმეტრი, α - კუთხე დიაგონალსა და სიგრძეს შორის, β არის ორივე დიაგონალის მიერ წარმოქმნილი მწვავე კუთხე. გვერდების სიგრძის პოვნის გზები:

• დიაგონალის და ცნობილი მხარის გამოყენებით: a \u003d √ (d ² - b ²), b \u003d √ (d ² - a ²).
• ფიგურის ფართობისა და მისი ერთ-ერთი მხარის მიხედვით: a = S / b, b = S / a.
• პერიმეტრისა და ცნობილი მხარის გამოყენებით: a = (P - 2 b) / 2, b = (P - 2 a) / 2.
• დიაგონალის და მასსა და სიგრძეს შორის კუთხის მეშვეობით: a = d sinα, b = d cosα.
• დიაგონალის და β კუთხის მეშვეობით: a = d sin 0,5 β, b = d cos 0,5 β.

პერიმეტრი და ფართობი

ოთხკუთხედის პერიმეტრი ეწოდებამისი ყველა მხარის სიგრძის ჯამი. პერიმეტრის გამოსათვლელად შეგიძლიათ გამოიყენოთ შემდეგი ფორმულები:

• ორივე მხრიდან: P = 2 (a + b).
• არეალის და ერთ-ერთი მხარის გავლით: P \u003d (2S + 2a ²) / a, P \u003d (2S + 2b ²) / b.

ფართობი არის სივრცე, რომელიც შემოიფარგლება პერიმეტრით. ფართობის გამოთვლის სამი ძირითადი გზა:

• ორივე მხარის სიგრძით: S = a*b.
• პერიმეტრის და რომელიმე ცნობილი მხარის გამოყენებით: S \u003d (Pa - 2 a ²) / 2; S = (Pb - 2b²) / 2.
• დიაგონალურად და კუთხე β: S = 0,5 d² sinβ.

სასკოლო მათემატიკის კურსის ამოცანებისას ხშირად საჭიროა კარგი ცოდნა მართკუთხედის დიაგონალების თვისებები. ჩვენ ჩამოვთვლით მთავარებს:

1. დიაგონალები ერთმანეთის ტოლია და მათი გადაკვეთის ადგილას იყოფა ორ თანაბარ სეგმენტად.
2. დიაგონალი განისაზღვრება, როგორც ორივე მხარის ჯამის ფესვი კვადრატში (გამოდის პითაგორას თეორემიდან).
3. დიაგონალი ოთხკუთხედს ყოფს ორ სამკუთხედად მართი კუთხით.
4. გადაკვეთის წერტილი ემთხვევა შემოხაზული წრის ცენტრს, ხოლო თავად დიაგონალები ემთხვევა მის დიამეტრს.

დიაგონალის სიგრძის გამოსათვლელად გამოიყენება შემდეგი ფორმულები:

• ფიგურის სიგრძისა და სიგანის გამოყენებით: d = √ (a ² + b ²).
• ოთხკუთხედის გარშემო შემოხაზული წრის რადიუსის გამოყენებით: d = 2 R.

კვადრატის განმარტება და თვისებები

კვადრატი არის რომბის, პარალელოგრამის ან მართკუთხედის განსაკუთრებული შემთხვევა. მისი განსხვავება ამ ფიგურებისგან არის ის, რომ მისი ყველა კუთხე სწორია და ოთხივე გვერდი ტოლია. კვადრატი არის რეგულარული ოთხკუთხედი.

ოთხკუთხედს კვადრატი ეწოდება შემდეგ შემთხვევებში:

1. თუ ეს არის მართკუთხედი, რომლის სიგრძე a და სიგანე b ტოლია.
2. თუ ეს არის რომბი თანაბარი სიგრძის დიაგონალებით და ოთხი მართი კუთხით.

კვადრატის თვისებები მოიცავს მართკუთხედთან დაკავშირებულ ყველა ადრე განხილულ თვისებას, ასევე შემდეგს:

1. დიაგონალები ერთმანეთის პერპენდიკულარულია (რომბის თვისება).
2. გადაკვეთის წერტილი ემთხვევა შემოხაზული წრის ცენტრს.
3. ორივე დიაგონალი ოთხკუთხედს ყოფს ოთხ იდენტურ მართკუთხა და ტოლკუთხედ სამკუთხედად.

აქ არის რამდენიმე ხშირად გამოყენებული ფორმულა კვადრატის პერიმეტრის, ფართობის და ელემენტების გამოთვლა:

• დიაგონალი d = a √2.
• პერიმეტრი P = 4 ა.
• ფართობი S = a².
• შემოხაზული წრის რადიუსი არის დიაგონალის ნახევარი: R = 0,5 a √2.
• ჩაწერილი წრის რადიუსი განისაზღვრება, როგორც გვერდის სიგრძის ნახევარი: r = a / 2.

კითხვებისა და დავალებების ნიმუშები

მოდით გავაანალიზოთ რამდენიმე კითხვა, რომელიც შეიძლება შეგხვდეთ სკოლაში მათემატიკის შესწავლისას და გადავჭრათ რამდენიმე მარტივი ამოცანა.

დავალება 1. როგორ შეიცვლება მართკუთხედის ფართობი, თუ მისი გვერდების სიგრძე გასამმაგდება?

გადაწყვეტილება : ავღნიშნოთ ორიგინალური ფიგურის ფართობი, როგორც S0, ხოლო ოთხკუთხედის ფართობი გვერდების სამმაგი სიგრძით - S1. ადრე განხილული ფორმულის მიხედვით ვიღებთ: S0 = ab. ახლა გავზარდოთ სიგრძე და სიგანე 3-ჯერ და დავწეროთ: S1= 3 a 3 b = 9 ab. S0 და S1-ის შედარებისას ცხადი ხდება, რომ მეორე ფართობი პირველზე 9-ჯერ დიდია.

კითხვა 1. მართკუთხა ოთხკუთხედი კვადრატია?

გადაწყვეტილება : განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ მართი კუთხის მქონე ფიგურა არის კვადრატი მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მისი ყველა გვერდის სიგრძე ტოლია. წინააღმდეგ შემთხვევაში, ფიგურა არის მართკუთხედი.

დავალება 2. მართკუთხედის დიაგონალები ქმნიან 60 გრადუსიან კუთხეს. მართკუთხედის სიგანე არის 8. გამოთვალეთ რა დიაგონალია.

გადაწყვეტილება:შეგახსენებთ, რომ დიაგონალები იკვეთება გადაკვეთის წერტილით. ამრიგად, საქმე გვაქვს ტოლფერდა სამკუთხედთან, რომლის კუთხით წვეროზე ტოლია 60°. ვინაიდან სამკუთხედი ტოლფერდაა, ფუძის კუთხეებიც იგივე იქნება. მარტივი გამოთვლებით მივიღებთ, რომ თითოეული მათგანი ტოლია 60 °. აქედან გამომდინარეობს, რომ სამკუთხედი ტოლგვერდაა. ჩვენთვის ცნობილი სიგანე არის სამკუთხედის ფუძე, ასე რომ, დიაგონალის ნახევარი ასევე არის 8, ხოლო მთლიანი დიაგონალის სიგრძე ორჯერ მეტია და უდრის 16-ს.

კითხვა 2. აქვს თუ არა მართკუთხედს ყველა გვერდი ტოლი თუ არა?

გადაწყვეტილება : საკმარისია გავიხსენოთ, რომ ყველა გვერდი თანაბარი უნდა იყოს კვადრატისთვის, რომელიც მართკუთხედის განსაკუთრებული შემთხვევაა. ყველა სხვა შემთხვევაში, საკმარისი პირობაა მინიმუმ 3 სწორი კუთხის არსებობა. მხარეთა თანასწორობა არ არის სავალდებულო თვისება.

დავალება 3. კვადრატის ფართობი ცნობილია და უდრის 289-ს. იპოვეთ შემოხაზული და შემოხაზული წრეების რადიუსი.

გადაწყვეტილება : კვადრატის ფორმულების მიხედვით, ჩვენ განვახორციელებთ შემდეგ გამოთვლებს:

• განვსაზღვროთ რის ტოლია კვადრატის ძირითადი ელემენტები: a = √ S = √289 = 17; d = a √2 =1 7√2.
• გამოვთვალოთ რის ტოლია ოთხკუთხედის გარშემო აღწერილი წრის რადიუსი: R = 0,5 d = 8,5√2.
• ვიპოვოთ ჩაწერილი წრის რადიუსი: r = a / 2 = 17 / 2 = 8,5.

განმარტება.პარალელოგრამი არის ოთხკუთხედი, რომლის მოპირდაპირე გვერდები წყვილი პარალელურია.

საკუთრება.პარალელოგრამში მოპირდაპირე გვერდები ტოლია და მოპირდაპირე კუთხეები ტოლია.

საკუთრება.პარალელოგრამის დიაგონალები იკვეთება გადაკვეთის წერტილით.

პარალელოგრამის 1 ნიშანი.თუ ოთხკუთხედის ორი გვერდი ტოლია და პარალელურია, მაშინ ოთხკუთხედი პარალელოგრამია.

პარალელოგრამის 2 ნიშანი.თუ ოთხკუთხედის მოპირდაპირე გვერდები წყვილებში ტოლია, მაშინ ოთხკუთხედი პარალელოგრამია.

პარალელოგრამის 3 ნიშანი.თუ ოთხკუთხედში დიაგონალები იკვეთება და გადაკვეთის წერტილი იკვეთება, მაშინ ეს ოთხკუთხედი პარალელოგრამია.

განმარტება.ტრაპეცია არის ოთხკუთხედი, რომელშიც ორი გვერდი პარალელურია, ხოლო დანარჩენი ორი გვერდი პარალელურია. პარალელური მხარეები ეწოდება საფუძველი.

ტრაპეცია ე.წ ტოლკუთხედი (ისოსკელური)თუ მისი გვერდები ტოლია. ტოლფერდა ტრაპეციაში ფუძეების კუთხეები ტოლია.

მართკუთხა.

ტრაპეციის შუა ხაზი. შუა ხაზი ფუძეების პარალელურია და მათი ნახევრად ჯამის ტოლია.

მართკუთხედი

განმარტება.

საკუთრება.მართკუთხედის დიაგონალები ტოლია.

მართკუთხედის ნიშანი.თუ პარალელოგრამის დიაგონალები ტოლია, მაშინ პარალელოგრამი არის მართკუთხედი.

განმარტება.

საკუთრება.რომბის დიაგონალები ერთმანეთის პერპენდიკულარულია და კვეთენ მის კუთხეებს.

განმარტება.

კვადრატი არის მართკუთხედის კონკრეტული სახეობა და ასევე რომბის განსაკუთრებული სახეობა. აქედან გამომდინარე, მას აქვს ყველა მათი თვისება.

Თვისებები:
1. კვადრატის ყველა კუთხე სწორია

ოთხკუთხედი ყველა წესს

საკვანძო სიტყვები:
ოთხკუთხედი, ამოზნექილი, კუთხეების ჯამი, ოთხკუთხედის ფართობი

ოთხკუთხედიეწოდება ფიგურა, რომელიც შედგება ოთხი წერტილისა და ოთხი სეგმენტისგან, რომლებიც აკავშირებს მათ სერიას. ამ შემთხვევაში, ამ წერტილებიდან სამი არ უნდა იყოს ერთ სწორ ხაზზე და მათი დამაკავშირებელი სეგმენტები არ უნდა იკვეთებოდეს.

• ოთხკუთხედის წვეროები ეწოდება მეზობელი თუ ისინი მისი ერთ-ერთი მხარის ბოლოებია.
• ვერტიკები, რომლებიც არ არიან მეზობლები , დაურეკა საწინააღმდეგო .
• ოთხკუთხედის საპირისპირო წვეროების დამაკავშირებელი ხაზის სეგმენტები ეწოდება დიაგონალები .
• ოთხკუთხედის გვერდები, რომლებიც წარმოიქმნება ერთი და იგივე წვეროდან, ეწოდება მეზობელი პარტიები.
• მხარეებს, რომლებსაც საერთო დასასრული არ აქვთ, ეძახიან საწინააღმდეგო პარტიები.
• ოთხკუთხედი ეწოდება ამოზნექილი , თუ იგი განლაგებულია ერთ ნახევარ სიბრტყეში სწორ ხაზთან შედარებით, რომელიც შეიცავს მის რომელიმე მხარეს.

ოთხკუთხედების ტიპები

1. პარალელოგრამი ოთხკუთხედი საპირისპირო გვერდებით პარალელურად
   • მართკუთხედი პარალელოგრამი ყველა მართი კუთხით
   • რომბი - პარალელოგრამი ყველა გვერდით ტოლია
   • მოედანი - მართკუთხედი ყველა გვერდით თანაბარი
2. ტრაპეცია - ოთხკუთხედი, რომელშიც ორი გვერდი პარალელურია, ხოლო დანარჩენი ორი გვერდი არ არის პარალელური
3. დელტოიდი ოთხკუთხედი, რომლის მიმდებარე გვერდის ორი წყვილი ტოლია

ოთხკუთხედები

ოთხკუთხედიეწოდება ფიგურა, რომელიც შედგება ოთხი წერტილისა და ოთხი სეგმენტისგან, რომლებიც აკავშირებს მათ სერიას. ამ შემთხვევაში, ამ წერტილებიდან სამი არ არის ერთსა და იმავე სწორ ხაზზე და მათი დამაკავშირებელი სეგმენტები არ იკვეთება.

საწინააღმდეგო. საწინააღმდეგო.

ოთხკუთხედების ტიპები

პარალელოგრამი

პარალელოგრამიეწოდება ოთხკუთხედს, რომლის მოპირდაპირე გვერდები წყვილად პარალელურია.

პარალელოგრამის თვისებები

• მოპირდაპირე მხარეები თანაბარია;
• მოპირდაპირე კუთხეები ტოლია;
• დიაგონალების კვადრატების ჯამი უდრის ყველა გვერდის კვადრატების ჯამს:

პარალელოგრამის მახასიათებლები

ტრაპეციაოთხკუთხედს უწოდებენ, რომელშიც ორი მოპირდაპირე გვერდი პარალელურია, ხოლო დანარჩენი ორი არ არის პარალელური.

ტრაპეციის პარალელურ გვერდებს მისი ეწოდება საფუძველიდა არაპარალელური მხარეები მხარეები.გვერდების შუა წერტილების დამაკავშირებელი სეგმენტი ეწოდება შუა ხაზი.

ტრაპეცია ე.წ ტოლფერდა(ან ტოლფერდა) თუ მისი გვერდები ტოლია.

ერთი მართი კუთხით ტრაპეცია ეწოდება მართკუთხა.

ტრაპეციის თვისებები

ტრაპეციის ნიშნები

მართკუთხედი

მართკუთხედიპარალელოგრამი ეწოდება, თუ ყველა კუთხე მართია.

მართკუთხედის თვისებები

მართკუთხედის მახასიათებლები

პარალელოგრამი არის მართკუთხედი, თუ:

1. მისი ერთ-ერთი კუთხე სწორია.
2. მისი დიაგონალები ტოლია.

რომბიპარალელოგრამი ეწოდება, თუ ყველა გვერდი ტოლია.

რომბის თვისებები

• პარალელოგრამის ყველა თვისება;
• დიაგონალები პერპენდიკულარულია;

რომბის ნიშნები

მოედანიმართკუთხედი ეწოდება, რომელშიც ყველა გვერდი თანაბარია.

კვადრატული თვისებები

• მოედნის ყველა კუთხე სწორია;
• კვადრატის დიაგონალები ტოლია, ერთმანეთის პერპენდიკულარული, გადაკვეთის წერტილი გაყოფილია შუაზე და კვადრატის კუთხეები გაყოფილია შუაზე.

კვადრატული ნიშნები

ძირითადი ფორმულები

S=d 1 დ 2 ცოდვა

პარალელოგრამი
ადა ბ-მიმდებარე პარტიები; - კუთხე მათ შორის; სთ ა -სიმაღლე მხარეს ა.

S = ab sin

S=d 1 დ 2 ცოდვა

ტრაპეცია
ადა ბ- საფუძველი; თ-მათ შორის მანძილი; l-შუა ხაზი .

მართკუთხედი

S=d 1 დ 2 ცოდვა

S = 2 ცოდვა

S=d 1 დ 2

მოედანი
დ- დიაგონალი.

www.univer.omsk.su

ოთხკუთხედების თვისებები. ოთხკუთხედების ტიპები. თვითნებური ოთხკუთხედების თვისებები. პარალელოგრამის თვისებები. რომბის თვისებები. მართკუთხედის თვისებები. კვადრატული თვისებები. ტრაპეციის თვისებები. დაახლოებით 7-9 კლასი (13-15 წელი)

ოთხკუთხედების თვისებები. ოთხკუთხედების ტიპები. თვითნებური ოთხკუთხედების თვისებები.
პარალელოგრამის თვისებები. რომბის თვისებები. მართკუთხედის თვისებები. კვადრატული თვისებები. ტრაპეციის თვისებები.

ოთხკუთხედების ტიპები:

• პარალელოგრამიარის ოთხკუთხედი, რომლის მოპირდაპირე გვერდები პარალელურია

• რომბიარის პარალელოგრამი ყველა გვერდით თანაბარი.

• მართკუთხედიარის პარალელოგრამი ყველა მართი კუთხით.

• მოედანიარის მართკუთხედი ყველა გვერდით თანაბარი.

თვითნებური ოთხკუთხედების თვისებები:

პარალელოგრამის თვისებები:

რომბის თვისებები:

მართკუთხედის თვისებები:

კვადრატული თვისებები:

ტრაპეციის თვისებები:

საკონსულტაციო და ტექნიკური
საიტის მხარდაჭერა: Zavarka Team

ოთხკუთხედი ყველა წესს

არაევკლიდური გეომეტრია, გეომეტრიის მსგავსი გეომეტრია ევკლიდეიმით, რომ ის განსაზღვრავს ფიგურების მოძრაობას, მაგრამ განსხვავდება ევკლიდური გეომეტრიისგან იმით, რომ მისი ხუთი პოსტულატიდან ერთ-ერთი (მეორე ან მეხუთე) იცვლება მისი უარყოფით. ევკლიდეს ერთ-ერთი პოსტულატის უარყოფა (1825) მნიშვნელოვანი მოვლენა იყო აზროვნების ისტორიაში, რადგან ის იყო პირველი ნაბიჯი. ფარდობითობის თეორია.

ევკლიდეს მეორე პოსტულატში ნათქვამია, რომ ნებისმიერი ხაზის სეგმენტი შეიძლება გაგრძელდეს განუსაზღვრელი ვადით. ევკლიდეს აშკარად სჯეროდა, რომ ეს პოსტულატი ასევე შეიცავს განცხადებას, რომ სწორ ხაზს აქვს უსასრულო სიგრძე. თუმცა "ელიფსურ" გეომეტრიაში ნებისმიერი სწორი ხაზი სასრულია და, როგორც წრე, დახურულია.

მეხუთე პოსტულატში ნათქვამია, რომ თუ წრფე კვეთს ორ მოცემულ წრფეს ისე, რომ მის ერთ მხარეს ორი შიდა კუთხე იყოს ჯამით ორ მართ კუთხზე ნაკლები, მაშინ ეს ორი წრფე, თუ განუსაზღვრელი ვადით გაგრძელდება, გადაიკვეთება იმ მხარეს, სადაც ამ კუთხეების ჯამი ნაკლებია ორი სწორი ხაზის ჯამზე. მაგრამ „ჰიპერბოლურ“ გეომეტრიაში შეიძლება არსებობდეს წრფე CB (იხ. ნახ.), პერპენდიკულური C წერტილში მოცემულ წრფეზე r და კვეთს მეორე ს წრფეს მწვავე კუთხით B წერტილში, მაგრამ, მიუხედავად ამისა, უსასრულო წრფეები r და არასოდეს გადაიკვეთება.

ამ შესწორებული პოსტულატებიდან გამომდინარეობს, რომ სამკუთხედის კუთხეების ჯამი, რომელიც უდრის 180°-ს ევკლიდეს გეომეტრიაში, ელიფსურ გეომეტრიაში 180°-ზე მეტია და ჰიპერბოლურ გეომეტრიაში 180°-ზე ნაკლები.

ოთხკუთხედი

ოთხკუთხედიარის მრავალკუთხედი, რომელიც შეიცავს ოთხ წვეროს და ოთხ მხარეს.

ოთხკუთხედი, გეომეტრიული ფიგურა - მრავალკუთხედი ოთხი კუთხით, ისევე როგორც ნებისმიერი ობიექტი, ამ ფორმის მოწყობილობა.

ოთხკუთხედის ორი არამიმდებარე გვერდი ეწოდება საწინააღმდეგო.ორ წვეროს, რომლებიც არ არის მიმდებარე, ასევე უწოდებენ საწინააღმდეგო.

ოთხკუთხედები ამოზნექილია (როგორც ABCD) და
არაამოზნექილი (A 1 B 1 C 1 D 1).

ოთხკუთხედების ტიპები

• პარალელოგრამი- ოთხკუთხედი, რომელშიც ყველა მოპირდაპირე მხარე პარალელურია;
• მართკუთხედი- ოთხკუთხედი ყველა მართი კუთხით;
• რომბი- ოთხკუთხედი, რომელშიც ყველა მხარე თანაბარია;
• მოედანი- ოთხკუთხედი, რომელშიც ყველა კუთხე მართია და ყველა გვერდი ტოლია;
• ტრაპეცია- ოთხკუთხედი ორი მოპირდაპირე გვერდით პარალელურად;
• დელტოიდიოთხკუთხედი, რომლის მიმდებარე გვერდის ორი წყვილი ტოლია.

პარალელოგრამი

პარალელოგრამი არის ოთხკუთხედი, რომლის მოპირდაპირე გვერდები წყვილი პარალელურია.

პარალელოგრამი (ბერძნულიდან parallelos - პარალელი და gramme - წრფე) ანუ წოლა პარალელურ წრფეებზე. პარალელოგრამის განსაკუთრებული შემთხვევებია მართკუთხედი, კვადრატი და რომბი.

• მოპირდაპირე მხარეები თანაბარია;
• მოპირდაპირე კუთხეები ტოლია;
• გადაკვეთის წერტილის დიაგონალები იყოფა ნახევრად;
• ერთი მხარის მიმდებარე კუთხეების ჯამი არის 180°;
• დიაგონალების კვადრატების ჯამი უდრის ყველა გვერდის კვადრატების ჯამს.

ოთხკუთხედი არის პარალელოგრამი, თუ:

1. მისი ორი მოპირდაპირე მხარე თანაბარი და პარალელურია.
2. მოპირდაპირე მხარეები წყვილებში ტოლია.
3. საპირისპირო კუთხეები წყვილებში ტოლია.
4. გადაკვეთის წერტილის დიაგონალები იყოფა ნახევრად.

მართკუთხედი

მართკუთხედი არის პარალელოგრამი ყველა მართი კუთხით.

• მოპირდაპირე მხარეები თანაბარია;
• მოპირდაპირე კუთხეები ტოლია;
• გადაკვეთის წერტილის დიაგონალები იყოფა ნახევრად;
• ერთი მხარის მიმდებარე კუთხეების ჯამი არის 180°;
• დიაგონალები ტოლია.

პარალელოგრამი არის მართკუთხედი, თუ:

1. მისი ერთ-ერთი კუთხე სწორია.
2. მისი დიაგონალები ტოლია.

რომბი არის პარალელოგრამი, რომელშიც ყველა გვერდი თანაბარია.

• მოპირდაპირე მხარეები თანაბარია;
• მოპირდაპირე კუთხეები ტოლია;
• გადაკვეთის წერტილის დიაგონალები იყოფა ნახევრად;
• ერთი მხარის მიმდებარე კუთხეების ჯამი არის 180°;
• დიაგონალების კვადრატების ჯამი უდრის ყველა გვერდის კვადრატების ჯამს;
• დიაგონალები პერპენდიკულარულია;
• დიაგონალები მისი კუთხეების ბისექტრებია.

პარალელოგრამი არის რომბი, თუ:

1. მისი ორი მიმდებარე გვერდი ტოლია.
2. მისი დიაგონალები პერპენდიკულარულია.
3. ერთ-ერთი დიაგონალი მისი კუთხის ბისექტრია.

კვადრატი არის მართკუთხედი, რომელშიც ყველა გვერდი თანაბარია.

• მოედნის ყველა კუთხე სწორია;
• კვადრატის დიაგონალები ტოლია, ერთმანეთის პერპენდიკულარული, გადაკვეთის წერტილი გაყოფილია შუაზე და კვადრატის კუთხეები გაყოფილია შუაზე.

1. მართკუთხედი არის კვადრატი, თუ მას აქვს რომბის რაიმე მახასიათებელი.

ტრაპეცია არის ოთხკუთხედი, რომელშიც ორი მოპირდაპირე მხარე პარალელურია, ხოლო დანარჩენი ორი არ არის პარალელური.

ტრაპეციის პარალელურ გვერდებს მის ფუძეებს უწოდებენ, ხოლო არაპარალელურ გვერდებს – გვერდებს. გვერდების შუა წერტილების დამაკავშირებელ სეგმენტს შუა ხაზი ეწოდება.

ტრაპეციას უწოდებენ ტოლფერს (ან ტოლფერს), თუ მისი გვერდები ტოლია.

ერთი მართი კუთხით ტრაპეციას მართკუთხა ტრაპეცია ეწოდება.

• მისი შუა ხაზი ფუძეების პარალელურია და მათი ნახევრად ჯამის ტოლია;
• თუ ტრაპეცია ტოლფერდაა, მაშინ მისი დიაგონალები ტოლია და ფუძის კუთხეები ტოლია;
• თუ ტრაპეცია ტოლფერდაა, მაშინ მის გარშემო შეიძლება აღწერილი იყოს წრე;
• თუ ფუძეების ჯამი ტოლია გვერდების ჯამის, მაშინ მასში შეიძლება ჩაიწეროს წრე.

1. ოთხკუთხედი არის ტრაპეცია, თუ მისი პარალელური გვერდები ტოლი არ არის

დელტოიდიოთხკუთხედი ერთი და იგივე სიგრძის ორი წყვილი გვერდით. პარალელოგრამისგან განსხვავებით, მიმდებარე გვერდის ორი წყვილი არ არის ტოლი, არამედ ორი წყვილი მიმდებარე გვერდი. დელტოიდი ბუდის ფორმისაა.

• არათანაბარი სიგრძის გვერდებს შორის კუთხეები ტოლია.
• დელტოიდის დიაგონალები (ან მათი გაფართოება) იკვეთება სწორი კუთხით.
• ნებისმიერი ამოზნექილი დელტოიდი შეიძლება ჩაიწეროს წრით, გარდა ამისა, თუ დელტოიდი არ არის რომბი, მაშინ არის კიდევ ერთი წრე, რომელიც ეხება ოთხივე მხარის გაფართოებას. არაამოზნექილი დელტოიდისთვის შეიძლება ავაგოთ წრე ორ დიდ მხარეს და ორი პატარა მხარის გაფართოება, და ორ პატარა მხარეს ტანგენტიანი წრე და ორი დიდი მხარის გაფართოება.

• თუ დელტოიდის არათანაბარ გვერდებს შორის კუთხე სწორი ხაზია, მაშინ მასში შეიძლება ჩაიწეროს წრე (აღწერილი დელტოიდი).
• თუ დელტოიდის საპირისპირო გვერდის წყვილი ტოლია, მაშინ ასეთი დელტოიდი არის რომბი.
• თუ დელტოიდის საპირისპირო გვერდის წყვილი და ორივე დიაგონალი ტოლია, მაშინ დელტოიდი არის კვადრატი. ტოლი დიაგონალის მქონე წარწერიანი დელტოიდი ასევე კვადრატია.

გეომეტრიის გაჩენა თარიღდება უძველესი დროიდან და განპირობებული იყო ადამიანის საქმიანობის პრაქტიკული მოთხოვნილებებით (მიწის გაზომვის აუცილებლობა, სხვადასხვა სხეულების მოცულობის გაზომვა და ა.შ.).

უმარტივესი გეომეტრიული ინფორმაცია და ცნებები ცნობილი იყო ძველ ეგვიპტეში. ამ პერიოდში გეომეტრიული განცხადებები ჩამოყალიბდა მტკიცებულების გარეშე მოცემული წესების სახით.

VII საუკუნიდან ძვ.წ ე. 1-ლი საუკუნემდე ე. გეომეტრია, როგორც მეცნიერება, სწრაფად განვითარდა ძველ საბერძნეთში. ამ პერიოდის განმავლობაში მოხდა არა მხოლოდ სხვადასხვა გეომეტრიული ინფორმაციის დაგროვება, არამედ შემუშავდა გეომეტრიული დებულებების დადასტურების მეთოდოლოგია და პირველი მცდელობები იყო გეომეტრიის ძირითადი პირველადი დებულებების (აქსიომების) ჩამოყალიბება, საიდანაც მრავალი განსხვავებული გეომეტრიული განცხადებები მიღებულია წმინდა ლოგიკური მსჯელობით. ძველ საბერძნეთში გეომეტრიის განვითარების დონე აისახა ევკლიდეს „საწყისების“ ნაშრომში.

ამ წიგნში პირველად იყო მცდელობა მიეცა პლანიმეტრიის სისტემატური აგება ძირითადი განუსაზღვრელი გეომეტრიული ცნებებისა და აქსიომების (პოსტულატების) საფუძველზე.

მათემატიკის ისტორიაში განსაკუთრებული ადგილი უკავია ევკლიდეს მეხუთე პოსტულატს (პარალელური წრფეების აქსიომა). დიდი ხნის განმავლობაში, მათემატიკოსები წარუმატებლად ცდილობდნენ მეხუთე პოსტულატის გამოყვანას ევკლიდეს დანარჩენი პოსტულატებიდან და მხოლოდ XIX საუკუნის შუა წლებში, N.I. Lobachevsky, B. Riemann და J. Boyai-ის კვლევების წყალობით გაირკვა, რომ მეხუთე პოსტულატი არ შეიძლება იყოს მიღებული დანარჩენიდან და ევკლიდეს მიერ შემოთავაზებული აქსიომების სისტემა ერთადერთი შესაძლო არ არის.

ევკლიდეს „ელემენტებმა“ უდიდესი გავლენა იქონია მათემატიკის განვითარებაზე. ორ ათას წელზე მეტი ხნის განმავლობაში ეს წიგნი არა მხოლოდ გეომეტრიის სახელმძღვანელო იყო, არამედ მრავალი მათემატიკური კვლევის ამოსავალი წერტილი იყო, რის შედეგადაც წარმოიშვა მათემატიკის ახალი დამოუკიდებელი დარგები.

გეომეტრიის სისტემატური აგება ჩვეულებრივ ხორციელდება შემდეგი გეგმის მიხედვით:

ᲛᲔ.ჩამოთვლილია ძირითადი გეომეტრიული ცნებები, რომლებიც წარმოდგენილია განმარტებების გარეშე.

II.მოცემულია გეომეტრიის აქსიომების ფორმულირება.

III.აქსიომებისა და ძირითადი გეომეტრიული ცნებების საფუძველზე ჩამოყალიბებულია სხვა გეომეტრიული ცნებები და თეორემები.

1. სახელის წარმოშობა არაევკლიდური გეომეტრია?
2. რა ფორმებს უწოდებენ ოთხკუთხედებს?
3. პარალელოგრამის თვისებები?
4. ოთხკუთხედების ტიპები?

გამოყენებული წყაროების სია

1. ა.გ. ციპკინი. მათემატიკის სახელმძღვანელო
2. „ერთიანი სახელმწიფო გამოცდა 2006წ. მათემატიკა. საგანმანათლებლო და სასწავლო მასალები სტუდენტების მოსამზადებლად / Rosobrnadzor, ISOP - M .: Intellect-Center, 2006 "
3. Mazur K. I. "მ.ი. სკანავის რედაქტორული კრებულის ძირითადი საკონკურსო ამოცანების ამოხსნა მათემატიკაში"

გაკვეთილზე მუშაობა

თქვენ შეგიძლიათ დასვათ შეკითხვა თანამედროვე განათლების შესახებ, გამოხატოთ აზრი ან გადაწყვიტოთ გადაუდებელი პრობლემა განათლების ფორუმისადაც ახალი აზრისა და მოქმედების საგანმანათლებლო საბჭო იკრიბება საერთაშორისო დონეზე. რომელმაც შექმნა ბლოგი,თქვენ არა მხოლოდ გააუმჯობესებთ კომპეტენტური მასწავლებლის სტატუსს, არამედ მნიშვნელოვან წვლილს შეიტანთ მომავლის სკოლის განვითარებაში. განათლების ლიდერთა გილდიაკარს უხსნის უმაღლესი რანგის სპეციალისტებს და გიწვევთ თანამშრომლობისთვის მსოფლიოში საუკეთესო სკოლების შექმნის მიმართულებით.

პოპულარული:

• მუხლი 282. სიძულვილის ან მტრობის აღძვრა, აგრეთვე ადამიანის ღირსების დამცირება.
• კორპორატიული ქონების გადასახადის კალკულატორი როგორ გამოვთვალოთ კორპორატიული ქონების გადასახადი წინასწარ გადასახადების გაანგარიშების ფორმა შეიცვალა. 2017 წლის პირველი ნახევრის ანგარიშგებიდან დაწყებული, კორპორატიული ქონების გადასახადის გაანგარიშება […]
• ეკოლოგიის კანონები 100 წელზე მეტი ხნის განმავლობაში პოპულაციებისა და თემების ყოვლისმომცველი შესწავლის მანძილზე დაგროვდა უზარმაზარი ფაქტები. მათ შორის - დიდი რაოდენობა, რომელიც ასახავს შემთხვევით ან არარეგულარულ მოვლენებსა და პროცესებს. მაგრამ არა […]
• საპენსიო უზრუნველყოფის ვარიანტები სავალდებულო საპენსიო დაზღვევის სისტემაში 2015 წლის ბოლომდე, 1967 წელს დაბადებულ მოქალაქეებს შეუძლიათ აირჩიონ გააგრძელონ თუ არა საპენსიო მშენებლობა […]
• სოფლის მეურნეობის სამინისტროს ბრძანება 549 რეგისტრირებულია რუსეთის ფედერაციის იუსტიციის სამინისტროში 2009 წლის 5 მარტს N 13476 რუსეთის ფედერაციის სოფლის მეურნეობის სამინისტროს 2008 წლის 16 დეკემბრის N 532 N 532 დამტკიცების დამტკიცების შესახებ. ტყეები და […]
• 2018 წლის 1 იანვრიდან შშმ ბავშვებისთვის პენსიების გაზრდა მოქალაქეთა საპენსიო უზრუნველყოფა სახელმწიფოს ვალდებულებაა. ამის შესახებ ქვეყნის კანონთა კოდექსში - კონსტიტუციაში წერია. ინვალიდებს შორის, რომლებსაც სჭირდებათ […]
• სს RZD სს "რუსეთის რკინიგზის" შიდა ბრძანების წესი 2012 წლის 26 ივლისის N 87 შრომის შიდა მარეგულირებელი დებულებების დამტკიცების შესახებ რეგიონალური სერვისების (დეპარტამენტი) განვითარებისა და განვითარების დეპარტამენტი.
• კონტის პოზიტივიზმის 3 ეტაპის კანონი, როგორც ფილოსოფიური ტენდენცია, გამომდინარეობს მოსაზრებიდან, რომ სამყაროს, ადამიანისა და საზოგადოების შესახებ ცოდნის ძირითადი ნაწილი მიიღება სპეციალურ მეცნიერებებში, რომ „პოზიტიურმა“ მეცნიერებამ უნდა მიატოვოს მცდელობები […]