იმისათვის, რომ გაიგოთ, თუ როგორ უნდა იპოვოთ ორი ან მეტი რიცხვის უდიდესი საერთო გამყოფი, თქვენ უნდა გესმოდეთ რა არის ბუნებრივი, მარტივი და რთული რიცხვები.
ნატურალური რიცხვია ნებისმიერი რიცხვი, რომელიც გამოიყენება მთელი რიცხვების დასათვლელად.
თუ ნატურალური რიცხვი შეიძლება დაიყოს მხოლოდ თავისთავზე და ერთზე, მაშინ მას ეწოდება მარტივი.
ყველა ნატურალური რიცხვი შეიძლება დაიყოს საკუთარ თავზე და ერთზე, მაგრამ ერთადერთი ლუწი მარტივი რიცხვი არის 2, ყველა დანარჩენი შეიძლება გაიყოს ორზე. ამიტომ, მხოლოდ კენტი რიცხვები შეიძლება იყოს მარტივი.
მარტივი რიცხვები ბევრია, მათი სრული სია არ არსებობს. GCD-ის საპოვნელად მოსახერხებელია ასეთი ნომრებით სპეციალური ცხრილების გამოყენება.
ნატურალური რიცხვების უმეტესობა შეიძლება დაიყოს არა მხოლოდ ერთზე, საკუთარ თავზე, არამედ სხვა რიცხვებზეც. მაგალითად, რიცხვი 15 შეიძლება დაიყოს 3-ზე და 5-ზე. ყველა მათგანს ეწოდება 15 რიცხვის გამყოფი.
ამრიგად, ნებისმიერი A-ს გამყოფი არის რიცხვი, რომლითაც იგი შეიძლება გაიყოს ნაშთების გარეშე. თუ რიცხვს აქვს ორზე მეტი ბუნებრივი გამყოფი, მას კომპოზიციური ეწოდება.
რიცხვ 30-ს აქვს ისეთი გამყოფები, როგორიცაა 1, 3, 5, 6, 15, 30.
ხედავთ, რომ 15-ს და 30-ს აქვთ იგივე გამყოფები 1, 3, 5, 15. ამ ორი რიცხვის ყველაზე დიდი საერთო გამყოფი არის 15.
ამრიგად, A და B რიცხვების საერთო გამყოფი არის რიცხვი, რომლითაც შეგიძლიათ მათი სრული გაყოფა. მაქსიმუმ შეიძლება ჩაითვალოს მაქსიმალური ჯამური რიცხვი, რომლითაც ისინი შეიძლება დაიყოს.
პრობლემების გადასაჭრელად გამოიყენება შემდეგი შემოკლებული წარწერა:
GCD (A; B).
მაგალითად, GCD (15; 30) = 30.
ნატურალური რიცხვის ყველა გამყოფის ჩასაწერად გამოიყენება აღნიშვნა:
D(15) = (1, 3, 5, 15)
gcd (9; 15) = 1
ამ მაგალითში ნატურალურ რიცხვებს აქვთ მხოლოდ ერთი საერთო გამყოფი. მათ ეძახიან coprime, შესაბამისად, ერთეული მათი უდიდესი საერთო გამყოფია.
როგორ მოვძებნოთ რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი
რამდენიმე ნომრის GCD-ს საპოვნელად გჭირდებათ:
იპოვეთ თითოეული ნატურალური რიცხვის ყველა გამყოფი ცალ-ცალკე, ანუ დაშალეთ ისინი ფაქტორებად (მარტივი რიცხვები);
აირჩიეთ ყველა იგივე ფაქტორი მოცემული რიცხვებისთვის;
გაამრავლეთ ისინი ერთად.
მაგალითად, 30-ისა და 56-ის უდიდესი საერთო გამყოფის გამოსათვლელად, თქვენ დაწერთ შემდეგს:
იმისათვის, რომ არ აგერიოთ, მოსახერხებელია მულტიპლიკატორების დაწერა ვერტიკალური სვეტების გამოყენებით. ხაზის მარცხენა მხარეს, თქვენ უნდა მოათავსოთ დივიდენდი, ხოლო მარჯვნივ - გამყოფი. დივიდენდის ქვეშ უნდა მიუთითოთ მიღებული კოეფიციენტი.
ასე რომ, მარჯვენა სვეტში იქნება გადაწყვეტისთვის საჭირო ყველა ფაქტორი.
მოხერხებულობისთვის შეიძლება ხაზგასმული იყოს იდენტური გამყოფები (ნაპოვნი ფაქტორები). ისინი ხელახლა უნდა დაიწეროს და გამრავლდეს და ჩაიწეროს უდიდესი საერთო გამყოფი.
GCD (30; 56) = 2 * 5 = 10
მართლაც ასე მარტივია რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფის პოვნა. მცირე პრაქტიკით, შეგიძლიათ ამის გაკეთება თითქმის ავტომატურად.
ყველაზე დიდი ნატურალური რიცხვი, რომლითაც რიცხვები a და b იყოფა ნაშთების გარეშე, ეწოდება ყველაზე დიდი საერთო გამყოფიეს ნომრები. აღნიშნეთ GCD(a, b).
განვიხილოთ GCD-ის პოვნა ორი ნატურალური რიცხვის 18 და 60 მაგალითის გამოყენებით:
18 = 2×3×3
60 = 2×2×3×5
18 = 2×3×3
60 = 2×2×3×5
324 , 111 და 432
მოდით დავშალოთ რიცხვები მარტივ ფაქტორებად:
324 = 2×2×3×3×3×3
111 = 3×37
432 = 2×2×2×2×3×3×3
წაშალეთ პირველი რიცხვიდან, რომლის ფაქტორები არ არის მეორე და მესამე ნომრებში, მივიღებთ:
2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 = 3
GCD-ის შედეგად ( 324 , 111 , 432 )=3
GCD-ის პოვნა ევკლიდეს ალგორითმით
ყველაზე დიდი საერთო გამყოფის პოვნის მეორე გზა გამოყენებით ევკლიდეს ალგორითმი. ევკლიდეს ალგორითმი არის ყველაზე ეფექტური გზა GCD, მისი გამოყენებით თქვენ მუდმივად უნდა იპოვოთ რიცხვების დაყოფის დარჩენილი ნაწილი და გამოიყენოთ განმეორებითი ფორმულა.
განმეორებითი ფორმულა GCD-სთვის, gcd(a, b)=gcd(b, a mod b), სადაც mod b არის a b-ზე გაყოფის დარჩენილი ნაწილი.
ევკლიდეს ალგორითმი
მაგალითი იპოვეთ რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი 7920 და 594
მოდი ვიპოვოთ GCD( 7920 , 594 ) ევკლიდის ალგორითმის გამოყენებით, ჩვენ გამოვთვლით დანარჩენ გაყოფას კალკულატორის გამოყენებით.
- 7920 mod 594 = 7920 - 13 × 594 = 198
- 594 mod 198 = 594 - 3 × 198 = 0
შედეგად, ჩვენ ვიღებთ GCD( 7920 , 594 ) = 198
უმცირესი საერთო ჯერადი
იმისათვის, რომ იპოვოთ საერთო მნიშვნელი სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების შეკრებისა და გამოკლებისას, თქვენ უნდა იცოდეთ და შეძლოთ გამოთვლა უმცირესი საერთო ჯერადი(NOC).
რიცხვის "a" ნამრავლი არის რიცხვი, რომელიც თავისთავად იყოფა რიცხვზე "a" ნაშთის გარეშე.
რიცხვები, რომლებიც 8-ის ჯერადია (ანუ ეს რიცხვები ნაშთის გარეშე გაიყოფა 8-ზე): ეს არის რიცხვები 16, 24, 32 ...
9-ის ნამრავლები: 18, 27, 36, 45…
მოცემული a რიცხვის უსასრულოდ ბევრი ჯერადია, ერთი და იგივე რიცხვის გამყოფებისგან განსხვავებით. გამყოფები - სასრული რიცხვი.
ორი ნატურალური რიცხვის საერთო ჯერადი არის რიცხვი, რომელიც თანაბრად იყოფა ორივე ამ რიცხვზე..
უმცირესი საერთო ჯერადიორი ან მეტი ნატურალური რიცხვის (LCM) არის უმცირესი ნატურალური რიცხვი, რომელიც თავისთავად იყოფა თითოეულ ამ რიცხვზე.
როგორ მოვძებნოთ NOC
LCM შეიძლება მოიძებნოს და დაიწეროს ორი გზით.
LCM-ის პოვნის პირველი გზა
ეს მეთოდი ჩვეულებრივ გამოიყენება მცირე რაოდენობით.
- ჩვენ ვწერთ მამრავლებს თითოეული რიცხვისთვის სტრიქონში, სანამ არ იქნება ჯერადი, რომელიც ერთნაირია ორივე რიცხვისთვის.
- რიცხვი "a"-ს ჯერადი აღინიშნება დიდი ასო "K"-ით.
მაგალითი. იპოვეთ LCM 6 და 8.
LCM-ის პოვნის მეორე გზა
ეს მეთოდი მოსახერხებელია სამი ან მეტი ნომრისთვის LCM-ის მოსაძებნად.
რიცხვების გაფართოებაში იდენტური ფაქტორების რაოდენობა შეიძლება განსხვავებული იყოს.
LCM (24, 60) = 2 2 3 5 2
პასუხი: LCM (24, 60) = 120
თქვენ ასევე შეგიძლიათ უმცირესი საერთო ჯერადი (LCM) პოვნა ფორმალურად შემდეგნაირად. მოდი ვიპოვოთ LCM (12, 16, 24) .
24 = 2 2 2 3
როგორც რიცხვების გაფართოებიდან ვხედავთ, 12-ის ყველა ფაქტორი შედის 24-ის გაფართოებაში (რიცხვებიდან ყველაზე დიდი), ამიტომ LCM-ს ვამატებთ მხოლოდ ერთ 2-ს 16 რიცხვის გაფართოებიდან.
LCM (12, 16, 24) = 2 2 2 3 2 = 48
პასუხი: LCM (12, 16, 24) = 48
NOC-ების აღმოჩენის განსაკუთრებული შემთხვევები
მაგალითად, LCM(60, 15) = 60
ვინაიდან თანაპირველ რიცხვებს არ აქვთ საერთო მარტივი გამყოფები, მათი უმცირესი საერთო ჯერადი უდრის ამ რიცხვების ნამრავლს.
ჩვენს საიტზე, თქვენ ასევე შეგიძლიათ გამოიყენოთ სპეციალური კალკულატორი, რათა იპოვოთ ყველაზე ნაკლებად გავრცელებული მრავლობითი ონლაინ, რათა შეამოწმოთ თქვენი გამოთვლები.
თუ ნატურალური რიცხვი იყოფა მხოლოდ 1-ზე და საკუთარ თავზე, მაშინ მას მარტივი ეწოდება.
ნებისმიერი ნატურალური რიცხვი ყოველთვის იყოფა 1-ზე და საკუთარ თავზე.
რიცხვი 2 არის ყველაზე პატარა მარტივი რიცხვი. ეს არის ერთადერთი ლუწი მარტივი რიცხვი, დანარჩენი მარტივი რიცხვები კენტია.
უამრავი მარტივი რიცხვია და მათ შორის პირველი არის ნომერი 2. თუმცა, ბოლო მარტივი რიცხვი არ არსებობს. განყოფილებაში „სწავლისთვის“ შეგიძლიათ ჩამოტვირთოთ მარტივი რიცხვების ცხრილი 997-მდე.
მაგრამ ბევრი ნატურალური რიცხვი თანაბრად იყოფა სხვა ნატურალურ რიცხვებზე.
- რიცხვი 12 იყოფა 1-ზე, 2-ზე, 3-ზე, 4-ზე, 6-ზე, 12-ზე;
- 36 იყოფა 1-ზე, 2-ზე, 3-ზე, 4-ზე, 6-ზე, 12-ზე, 18-ზე, 36-ზე.
- რიცხვთა გამყოფების დაშლა მარტივ ფაქტორებად;
რიცხვებს, რომლებზეც რიცხვი თანაბრად იყოფა (12-ისთვის ეს არის 1, 2, 3, 4, 6 და 12) რიცხვის გამყოფები ეწოდება.
a ნატურალური რიცხვის გამყოფი ისეთი ნატურალური რიცხვია, რომელიც მოცემულ რიცხვს "a" ყოფს ნაშთის გარეშე.
ნატურალურ რიცხვს, რომელსაც აქვს ორზე მეტი ფაქტორი, ეწოდება კომპოზიტური რიცხვი.
გაითვალისწინეთ, რომ 12 და 36 რიცხვებს აქვთ საერთო გამყოფები. ეს არის რიცხვები: 1, 2, 3, 4, 6, 12. ამ რიცხვების უდიდესი გამყოფი არის 12.
ორი მოცემული რიცხვის "a" და "b" საერთო გამყოფი არის რიცხვი, რომლითაც ორივე მოცემული რიცხვი "a" და "b" იყოფა ნაშთების გარეშე.
უდიდესი საერთო გამყოფი(GCD) ორი მოცემული რიცხვის "a" და "b" არის უდიდესი რიცხვი, რომლითაც ორივე რიცხვი "a" და "b" იყოფა ნაშთების გარეშე.
მოკლედ, "a" და "b" რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი იწერება შემდეგნაირად:
მაგალითი: gcd (12; 36) = 12.
ამოხსნის ჩანაწერში რიცხვების გამყოფები აღინიშნება დიდი ასო "D"-ით.
7 და 9 რიცხვებს აქვთ მხოლოდ ერთი საერთო გამყოფი - რიცხვი 1. ასეთ ნომრებს ეძახიან თანაპრიმა რიცხვები.
კოპრიმი რიცხვებიარის ნატურალური რიცხვები, რომლებსაც აქვთ მხოლოდ ერთი საერთო გამყოფი - რიცხვი 1. მათი GCD არის 1.
როგორ მოვძებნოთ ყველაზე დიდი საერთო გამყოფი
ორი ან მეტი ნატურალური რიცხვის gcd-ის საპოვნელად გჭირდებათ:
გამოთვლები მოხერხებულად იწერება ვერტიკალური ზოლის გამოყენებით. ხაზის მარცხნივ ჯერ ჩაწერეთ დივიდენდი, მარჯვნივ - გამყოფი. შემდგომ მარცხენა სვეტში ჩვენ ვწერთ კერძოს მნიშვნელობებს.
მოდი მაშინვე ავხსნათ მაგალითით. მოდით გავამრავლოთ 28 და 64 რიცხვები მარტივ ფაქტორებად.
- ხაზი გაუსვით ერთსა და იმავე მარტივ ფაქტორებს ორივე რიცხვში.
28 = 2 2 7
64 = 2 2 2 2 2 2 2
ვპოულობთ იდენტური მარტივი ფაქტორების ნამრავლს და ვწერთ პასუხს;
GCD (28; 64) = 2 2 = 4
პასუხი: GCD (28; 64) = 4
თქვენ შეგიძლიათ მოაწყოთ GCD-ის მდებარეობა ორი გზით: სვეტში (როგორც ეს გაკეთდა ზემოთ) ან "ხაზში".
GCD ჩაწერის პირველი გზა
იპოვეთ GCD 48 და 36.
GCD (48; 36) = 2 2 3 = 12
GCD ჩაწერის მეორე გზა
ახლა მოდით დავწეროთ GCD საძიებო გადაწყვეტა ხაზში. იპოვეთ GCD 10 და 15.
ჩვენს საინფორმაციო საიტზე ასევე შეგიძლიათ იპოვოთ უდიდესი საერთო გამყოფი ონლაინ დამხმარე პროგრამის გამოყენებით თქვენი გამოთვლების შესამოწმებლად.
უმცირესი საერთო ჯერადის პოვნა, მეთოდები, LCM-ის პოვნის მაგალითები.
ქვემოთ წარმოდგენილი მასალა არის თეორიის ლოგიკური გაგრძელება სტატიიდან სათაურით LCM - უმცირესი საერთო მრავალჯერადი, განმარტება, მაგალითები, ურთიერთობა LCM-სა და GCD-ს შორის. აქ ჩვენ ვისაუბრებთ უმცირესი საერთო ჯერადი (LCM) პოვნა, და განსაკუთრებული ყურადღება მიაქციეთ მაგალითების ამოხსნას. ჯერ ვაჩვენოთ, თუ როგორ გამოითვლება ორი რიცხვის LCM ამ რიცხვების GCD-ის მიხედვით. შემდეგი, განიხილეთ უმცირესი საერთო ჯერადის პოვნა რიცხვების მარტივ ფაქტორებად გამრავლებით. ამის შემდეგ, ჩვენ ყურადღებას გავამახვილებთ სამი ან მეტი რიცხვის LCM-ის პოვნაზე და ასევე ყურადღებას მივაქცევთ უარყოფითი რიცხვების LCM-ის გამოთვლას.
გვერდის ნავიგაცია.
უმცირესი საერთო ჯერადი (LCM) გამოთვლა gcd-ის მეშვეობით
უმცირესი საერთო ჯერადის პოვნის ერთ-ერთი გზა ემყარება LCM-სა და GCD-ს შორის ურთიერთობას. LCM-სა და GCD-ს შორის არსებული ურთიერთობა საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ ორი დადებითი მთელი რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადი ცნობილი უდიდესი საერთო გამყოფის მეშვეობით. შესაბამის ფორმულას აქვს ფორმა LCM(a, b)=a b: GCD(a, b). განვიხილოთ LCM-ის პოვნის მაგალითები ზემოაღნიშნული ფორმულის მიხედვით.
იპოვეთ ორი რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადი 126 და 70.
ამ მაგალითში a=126, b=70. გამოვიყენოთ LCM-ის ბმული GCD-თან, რომელიც გამოიხატება ფორმულით LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) . ანუ ჯერ უნდა ვიპოვოთ 70 და 126 რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი, რის შემდეგაც შეგვიძლია დაწერილი ფორმულის მიხედვით გამოვთვალოთ ამ რიცხვების LCM.
იპოვეთ gcd(126, 70) ევკლიდეს ალგორითმის გამოყენებით: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4, აქედან გამომდინარე gcd(126, 70)=14.
ახლა ჩვენ ვიპოვით საჭირო უმცირეს საერთო ჯერადს: LCM(126, 70)=126 70:GCD(126, 70)= 126 70:14=630 .
რა არის LCM(68, 34)?
ვინაიდან 68 თანაბრად იყოფა 34-ზე, მაშინ gcd(68, 34)=34. ახლა ჩვენ ვიანგარიშებთ უმცირეს საერთო ჯერადს: LCM(68, 34)=68 34:GCD(68, 34)= 68 34:34=68 .
გაითვალისწინეთ, რომ წინა მაგალითი ერგება შემდეგ წესს დადებითი მთელი რიცხვებისთვის a და b-სთვის LCM-ის საპოვნელად: თუ რიცხვი a იყოფა b-ზე, მაშინ ამ რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი არის a.
LCM-ის პოვნა რიცხვების ძირითად ფაქტორებად გადაყვანით
უმცირესი საერთო ჯერადის პოვნის კიდევ ერთი გზა ეფუძნება რიცხვების მარტივ ფაქტორებად გადაქცევას. თუ ამ რიცხვების ყველა მარტივი ფაქტორების ნამრავლს გავაკეთებთ, რის შემდეგაც ამ ნამრავლიდან გამოვრიცხავთ ყველა საერთო მარტივ ფაქტორს, რომელიც არის ამ რიცხვების გაფართოებებში, მაშინ მიღებული ნამრავლი ტოლი იქნება ამ რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადისა.
LCM-ის პოვნის გამოცხადებული წესი გამომდინარეობს ტოლობიდან LCM(a, b)=a b: GCD(a, b) . მართლაც, a და b რიცხვების ნამრავლი ტოლია a და b რიცხვების გაფართოებაში მონაწილე ყველა ფაქტორის ნამრავლის. თავის მხრივ, gcd(a, b) უდრის ყველა მარტივი ფაქტორების ნამრავლს, რომლებიც ერთდროულად გვხვდება a და b რიცხვების გაფართოებებში (რაც აღწერილია განყოფილებაში gcd-ის პოვნის შესახებ რიცხვების მარტივ ფაქტორებად დაშლის გამოყენებით. ).
ავიღოთ მაგალითი. გავიგოთ, რომ 75=3 5 5 და 210=2 3 5 7 . შეადგინეთ ამ გაფართოების ყველა ფაქტორის ნამრავლი: 2 3 3 5 5 5 7 . ახლა ამ პროდუქტიდან გამოვრიცხავთ ყველა იმ ფაქტორს, რომელიც წარმოდგენილია როგორც 75 რიცხვის გაფართოებაში, ასევე 210 რიცხვის გაფართოებაში (ასეთი ფაქტორებია 3 და 5), მაშინ პროდუქტი მიიღებს 2 3 5 5 7 ფორმას. ამ ნამრავლის მნიშვნელობა უდრის 75-ისა და 210-ის უმცირეს საერთო ჯერადს, ანუ LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050.
441 და 700 რიცხვების მარტივ ფაქტორებად გამრავლების შემდეგ, იპოვეთ ამ რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი.
მოდით დავშალოთ რიცხვები 441 და 700 მარტივ ფაქტორებად: 
ვიღებთ 441=3 3 7 7 და 700=2 2 5 5 7 .
ახლა მოდით შევადგინოთ ყველა ფაქტორი, რომელიც მონაწილეობს ამ რიცხვების გაფართოებაში: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . ამ პროდუქტიდან გამოვრიცხოთ ყველა ის ფაქტორი, რომელიც ერთდროულად არის ორივე გაფართოებაში (არსებობს მხოლოდ ერთი ასეთი ფაქტორი - ეს არის ნომერი 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . ასე რომ, LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100 .
LCM(441, 700)= 44 100 .
რიცხვების მარტივ ფაქტორებად დაშლის გამოყენებით LCM-ის პოვნის წესი შეიძლება ოდნავ განსხვავებულად ჩამოყალიბდეს. თუ b რიცხვის გაფართოებიდან გამოტოვებულ ფაქტორებს a რიცხვის გაფართოების ფაქტორებს დავუმატებთ, მაშინ მიღებული ნამრავლის მნიშვნელობა უდრის a და b რიცხვების უმცირეს საერთო ჯერადს.
მაგალითად, ავიღოთ ყველა იგივე რიცხვი 75 და 210, მათი გაფართოებები მარტივ ფაქტორებად არის შემდეგი: 75=3 5 5 და 210=2 3 5 7 . 75 რიცხვის დაშლის 3, 5 და 5 ფაქტორებს ვუმატებთ 210 რიცხვის დაშლის გამოტოვებულ ფაქტორებს 2 და 7, მივიღებთ ნამრავლს 2 3 5 5 7, რომლის მნიშვნელობა არის LCM(75. , 210).
იპოვეთ 84-ისა და 648-ის უმცირესი საერთო ჯერადი.
ჩვენ ჯერ ვიღებთ 84 და 648 რიცხვების მარტივ ფაქტორებად დაშლას. ისინი ჰგავს 84=2 2 3 7 და 648=2 2 2 3 3 3 3 . 2 , 2 , 3 და 7 ფაქტორებს 84 რიცხვის დაშლისას ვუმატებთ 648 რიცხვის დაშლის გამოტოვებულ 2 , 3 , 3 და 3 ფაქტორებს , მივიღებთ ნამრავლს 2 2 2 3 3 3 3 7 . რომელიც უდრის 4 536-ს. ამრიგად, 84 და 648 რიცხვების სასურველი უმცირესი საერთო ჯერადი არის 4536.
სამი ან მეტი რიცხვის LCM-ის პოვნა
სამი ან მეტი რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადი შეიძლება მოიძებნოს ორი რიცხვის LCM-ის თანმიმდევრული პოვნის გზით. გავიხსენოთ შესაბამისი თეორემა, რომელიც საშუალებას გაძლევთ იპოვოთ სამი ან მეტი რიცხვის LCM.
მიეცით დადებითი მთელი რიცხვები a 1 , a 2 , ..., a k, ამ რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი m k გვხვდება თანმიმდევრულ გამოთვლაში m 2 = LCM (a 1 , a 2), m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k =LCM(m k−1, a k) .
განვიხილოთ ამ თეორემის გამოყენება ოთხი რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადის პოვნის მაგალითზე.
იპოვეთ ოთხი რიცხვის LCM 140 , 9 , 54 და 250 .
ჯერ ვპოულობთ m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9) . ამისათვის ევკლიდური ალგორითმის გამოყენებით განვსაზღვრავთ gcd(140, 9) , გვაქვს 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , შესაბამისად, gcd( 140, 9)=1, საიდანაც LCM(140, 9)=140 9: GCD(140, 9)= 140 9:1=1 260. ანუ m 2 =1 260 .
ახლა ჩვენ ვპოულობთ m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54) . გამოვთვალოთ gcd(1 260, 54) მეშვეობით, რომელიც ასევე განისაზღვრება ევკლიდეს ალგორითმით: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . შემდეგ gcd(1 260, 54)=18, საიდანაც LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . ანუ m 3 \u003d 3 780.
რჩება m 4 = LCM (m 3, a 4) = LCM (3 780, 250) პოვნა. ამისათვის ვპოულობთ GCD(3 780, 250) ევკლიდის ალგორითმის გამოყენებით: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . ამიტომ, gcd(3 780, 250)=10, აქედან გამომდინარე LCM(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500. ანუ, m 4 \u003d 94 500.
ასე რომ, თავდაპირველი ოთხი რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადი არის 94500.
LCM(140, 9, 54, 250)=94500.
ხშირ შემთხვევაში, სამი ან მეტი რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადი მოხერხებულად გვხვდება მოცემული რიცხვების მარტივი ფაქტორიზაციების გამოყენებით. ამ შემთხვევაში, შემდეგი წესი უნდა დაიცვან. რამდენიმე რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადი უდრის ნამრავლს, რომელიც შედგება შემდეგნაირად: მეორე რიცხვის გაფართოებიდან გამოტოვებული ფაქტორები ემატება პირველი რიცხვის გაფართოების ყველა ფაქტორს, გამოტოვებული ფაქტორები გაფართოებიდან. მიღებულ ფაქტორებს ემატება მესამე რიცხვი და ა.შ.
განვიხილოთ უმცირესი საერთო ჯერადის პოვნის მაგალითი რიცხვების მარტივ ფაქტორებად დაშლის გამოყენებით.
იპოვეთ ხუთი რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადი 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .
ჯერ ვიღებთ ამ რიცხვების დაშლას მარტივ ფაქტორებად: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 (7 არის მარტივი რიცხვი, ემთხვევა მის დაშლას მარტივ ფაქტორებად) და 143=11 13 .
ამ რიცხვების LCM-ის საპოვნელად, პირველი რიცხვის 84-ის ფაქტორებს (ისინი არის 2, 2, 3 და 7) თქვენ უნდა დაამატოთ დაკარგული ფაქტორები მეორე რიცხვ 6-ის გაფართოებიდან. რიცხვი 6-ის გაფართოება არ შეიცავს გამოტოვებულ ფაქტორებს, ვინაიდან 2 და 3 უკვე წარმოდგენილია პირველი რიცხვის 84-ის გაფართოებაში. 2 , 2 , 3 და 7 ფაქტორების შემდეგ ვამატებთ გამოტოვებულ ფაქტორებს 2 და 2 მესამე ნომრის გაფართოებიდან 48 , ვიღებთ 2 , 2 , 2 , 2 , 3 და 7 ფაქტორების ერთობლიობას . არ არის საჭირო ამ კომპლექტში ფაქტორების დამატება შემდეგ ეტაპზე, რადგან მასში უკვე არის 7. და ბოლოს, 2, 2, 2, 2, 3 და 7 ფაქტორებს ვუმატებთ გამოტოვებულ 11 და 13 ფაქტორებს 143 რიცხვის გაფართოებიდან. ვიღებთ ნამრავლს 2 2 2 2 3 7 11 13, რომელიც უდრის 48 048-ს.
ამიტომ, LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48048.
LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48048.
უარყოფითი რიცხვების უმცირესი მრავლობითის პოვნა
ზოგჯერ არის დავალებები, რომლებშიც თქვენ უნდა იპოვოთ რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი, რომელთა შორის ერთი, რამდენიმე ან ყველა რიცხვი უარყოფითია. ამ შემთხვევაში, ყველა უარყოფითი რიცხვი უნდა შეიცვალოს მათი საპირისპირო რიცხვებით, რის შემდეგაც უნდა მოიძებნოს დადებითი რიცხვების LCM. ეს არის გზა, რომ იპოვოთ უარყოფითი რიცხვების LCM. მაგალითად, LCM(54, −34)=LCM(54, 34) და LCM(−622, −46, −54, −888)= LCM(622, 46, 54, 888) .
ჩვენ შეგვიძლია ამის გაკეთება, რადგან a-ს ჯერადთა სიმრავლე იგივეა, რაც −a-ს ჯერადების სიმრავლე (a და −a საპირისპირო რიცხვებია). მართლაც, დავუშვათ b იყოს a-ს რამდენიმე ჯერადი, მაშინ b იყოფა a-ზე და გაყოფის ცნება ამტკიცებს ისეთი რიცხვის q არსებობას, რომ b=a q . მაგრამ მართალი იქნება b=(−a)·(−q) ტოლობა, რაც გაყოფის იგივე ცნების მიხედვით ნიშნავს, რომ b იყოფა −a-ზე, ანუ b არის −a-ს ნამრავლი. საპირისპირო დებულება ასევე მართალია: თუ b არის −a-ს რამდენიმე ჯერადი, მაშინ b ასევე არის a-ს ჯერადი.
იპოვეთ −145 და −45 უარყოფითი რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი.
−145 და −45 უარყოფითი რიცხვები ჩავანაცვლოთ მათი საპირისპირო რიცხვებით 145 და 45. გვაქვს LCM(−145, −45)=LCM(145, 45) . განვსაზღვრავთ gcd(145, 45)=5 (მაგალითად, ევკლიდის ალგორითმის გამოყენებით), გამოვთვალეთ LCM(145, 45)=145 45:gcd(145, 45)= 145 45:5=1 305 . ამრიგად, უარყოფითი მთელი რიცხვების −145 და −45 უმცირესი საერთო ჯერადი არის 1,305.
www.cleverstudents.ru
ჩვენ ვაგრძელებთ განყოფილების შესწავლას. ამ გაკვეთილზე ჩვენ განვიხილავთ ცნებებს, როგორიცაა GCDდა NOC.
GCDარის ყველაზე დიდი საერთო გამყოფი.
NOCარის უმცირესი საერთო ჯერადი.
თემა საკმაოდ მოსაწყენია, მაგრამ მისი გაგება აუცილებელია. ამ თემის გააზრების გარეშე, თქვენ ვერ შეძლებთ ეფექტურად იმუშაოთ წილადებთან, რომლებიც რეალურ დაბრკოლებას წარმოადგენენ მათემატიკაში.
უდიდესი საერთო გამყოფი
განმარტება. რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი ადა ბ ადა ბგაყოფილი ნარჩენების გარეშე.
ამ განმარტების კარგად გასაგებად, ჩვენ ვცვლით ცვლადების ნაცვლად ადა ბნებისმიერი ორი რიცხვი, მაგალითად, ცვლადის ნაცვლად აჩაანაცვლეთ რიცხვი 12 და ცვლადის ნაცვლად ბნომერი 9. ახლა შევეცადოთ წავიკითხოთ ეს განმარტება:
რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი 12 და 9 არის ყველაზე დიდი რიცხვი, რომლითაც 12 და 9 გაყოფილი ნარჩენების გარეშე.
განმარტებიდან ირკვევა, რომ საუბარია 12 და 9 რიცხვების საერთო გამყოფზე და ეს გამყოფი ყველაზე დიდია ყველა არსებულ გამყოფთა შორის. ეს უდიდესი საერთო გამყოფი (gcd) უნდა მოიძებნოს.
ორი რიცხვის უდიდესი საერთო გამყოფის საპოვნელად გამოიყენება სამი მეთოდი. პირველი მეთოდი საკმაოდ შრომატევადია, მაგრამ საშუალებას გაძლევთ კარგად გაიგოთ თემის არსი და იგრძნოთ მისი მთელი მნიშვნელობა.
მეორე და მესამე მეთოდები საკმაოდ მარტივია და შესაძლებელს ხდის სწრაფად იპოვოთ GCD. ჩვენ განვიხილავთ სამივე მეთოდს. და რა უნდა გამოიყენოთ პრაქტიკაში - თქვენ ირჩევთ.
პირველი გზა არის ორი რიცხვის ყველა შესაძლო გამყოფის პოვნა და მათგან ყველაზე დიდის არჩევა. განვიხილოთ ეს მეთოდი შემდეგ მაგალითში: იპოვეთ 12 და 9 რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი.
ჯერ ვპოულობთ 12 რიცხვის ყველა შესაძლო გამყოფს. ამისათვის ჩვენ ვყოფთ 12-ს ყველა გამყოფად 1-დან 12-მდე დიაპაზონში. თუ გამყოფი საშუალებას გვაძლევს გავყოთ 12 ნაშთის გარეშე, მაშინ გამოვყოფთ მას ლურჯად და გააკეთეთ შესაბამისი განმარტება ფრჩხილებში.
12: 1 = 12
(12 გაყოფილი 1-ზე ნაშთის გარეშე, ამიტომ 1 არის 12-ის გამყოფი)
12: 2 = 6
(12 გაყოფილი 2-ზე ნაშთის გარეშე, ამიტომ 2 არის 12-ის გამყოფი)
12: 3 = 4
(12 გაყოფილი სამზე ნაშთის გარეშე, ასე რომ 3 არის 12-ის გამყოფი)
12: 4 = 3
(12 გაყოფილი 4-ზე ნაშთის გარეშე, ასე რომ 4 არის 12-ის გამყოფი)
12:5 = 2 (დარჩენილია 2)
(12 არ იყოფა 5-ზე ნაშთის გარეშე, ამიტომ 5 არ არის 12-ის გამყოფი)
12: 6 = 2
(12 გაყოფილი 6-ზე ნაშთის გარეშე, ასე რომ 6 არის 12-ის გამყოფი)
12: 7 = 1 (დარჩენილია 5)
(12 არ იყოფა 7-ზე ნაშთის გარეშე, ამიტომ 7 არ არის 12-ის გამყოფი)
12: 8 = 1 (დარჩენილია 4)
(12 არ იყოფა 8-ზე ნაშთის გარეშე, ამიტომ 8 არ არის 12-ის გამყოფი)
12:9 = 1 (დარჩენილია 3)
(12 არ იყოფა 9-ზე ნაშთის გარეშე, ამიტომ 9 არ არის 12-ის გამყოფი)
12: 10 = 1 (დარჩენილია 2)
(12 არ იყოფა 10-ზე ნაშთის გარეშე, ამიტომ 10 არ არის 12-ის გამყოფი)
12:11 = 1 (დარჩენილია 1)
(12 არ იყოფა 11-ზე ნაშთის გარეშე, ამიტომ 11 არ არის 12-ის გამყოფი)
12: 12 = 1
(12 გაყოფილი 12-ზე ნაშთის გარეშე, ამიტომ 12 არის 12-ის გამყოფი)
ახლა ვიპოვოთ რიცხვი 9-ის გამყოფები. ამისათვის შეამოწმეთ ყველა გამყოფი 1-დან 9-მდე.
9: 1 = 9
(9 გაყოფილი 1-ზე ნაშთის გარეშე, ამიტომ 1 არის 9-ის გამყოფი)
9: 2 = 4 (1 დარჩა)
(9 არ იყოფა 2-ზე ნაშთის გარეშე, ამიტომ 2 არ არის 9-ის გამყოფი)
9: 3 = 3
(9 გაყოფილი სამზე ნაშთის გარეშე, ასე რომ 3 არის 9-ის გამყოფი)
9: 4 = 2 (1 დარჩა)
(9 არ იყოფა 4-ზე ნაშთის გარეშე, ამიტომ 4 არ არის 9-ის გამყოფი)
9:5 = 1 (დარჩენილია 4)
(9 არ იყოფა 5-ზე ნაშთის გარეშე, ამიტომ 5 არ არის 9-ის გამყოფი)
9: 6 = 1 (დარჩენილია 3)
(9 არ იყოფა 6-ზე ნაშთის გარეშე, ასე რომ 6 არ არის 9-ის გამყოფი)
9:7 = 1 (დარჩენილია 2)
(9 არ იყოფა 7-ზე ნაშთის გარეშე, ამიტომ 7 არ არის 9-ის გამყოფი)
9:8 = 1 (დარჩენილია 1)
(9 არ იყოფა 8-ზე ნაშთის გარეშე, ამიტომ 8 არ არის 9-ის გამყოფი)
9: 9 = 1
(9 გაყოფილი 9-ზე ნაშთის გარეშე, ასე რომ 9 არის 9-ის გამყოფი)
ახლა ჩაწერეთ ორივე რიცხვის გამყოფები. ცისფრად მონიშნული რიცხვები არის გამყოფები. მოდით დავწეროთ ისინი:
გამყოფების ამოწერის შემდეგ, შეგიძლიათ დაუყოვნებლივ განსაზღვროთ რომელია ყველაზე დიდი და ყველაზე გავრცელებული.
განმარტებით, 12-ისა და 9-ის უდიდესი საერთო გამყოფი არის რიცხვი, რომლითაც 12 და 9 თანაბრად იყოფა. 12 და 9 რიცხვების უდიდესი და საერთო გამყოფი არის რიცხვი 3
ორივე რიცხვი 12 და რიცხვი 9 იყოფა 3-ზე ნაშთის გარეშე:
ასე რომ, gcd (12 და 9) = 3
GCD-ის პოვნის მეორე გზა
ახლა განიხილეთ მეორე გზა უდიდესი საერთო გამყოფის მოსაძებნად. ამ მეთოდის არსი არის ორივე რიცხვის დაშლა მარტივ ფაქტორებად და გამრავლება საერთო.
მაგალითი 1. იპოვეთ 24 და 18 ნომრების GCD
პირველ რიგში, მოდით გავამრავლოთ ორივე რიცხვი მარტივ ფაქტორებად:
ახლა ჩვენ გავამრავლებთ მათ საერთო ფაქტორებს. იმისათვის, რომ არ დაიბნეთ, შეიძლება ხაზი გავუსვა საერთო ფაქტორებს.
ჩვენ ვუყურებთ რიცხვი 24-ის დაშლას. მისი პირველი ფაქტორი არის 2. ჩვენ ვეძებთ იმავე კოეფიციენტს 18 რიცხვის დაშლაში და ვხედავთ, რომ ის ასევე არსებობს. ჩვენ ხაზს ვუსვამთ ორივე ორს:
კვლავ ვუყურებთ რიცხვის 24-ის დაშლას. მისი მეორე ფაქტორიც არის 2. ჩვენ ვეძებთ იმავე ფაქტორს 18 რიცხვის დაშლაში და ვხედავთ, რომ ის მეორედ არ არის. მაშინ ჩვენ არაფერს გამოვყოფთ.
24 რიცხვის გაფართოებაში შემდეგი ორი ასევე აკლია 18 რიცხვის გაფართოებას.
ჩვენ გადავდივართ ბოლო ფაქტორზე 24 რიცხვის დაშლისას. ეს არის კოეფიციენტი 3. ჩვენ ვეძებთ იმავე ფაქტორს 18 რიცხვის დაშლისას და ვხედავთ, რომ ის ასევე არსებობს. ჩვენ ხაზს ვუსვამთ ორივე სამს:
ასე რომ, 24 და 18 რიცხვების საერთო ფაქტორები არის 2 და 3 ფაქტორები. GCD-ის მისაღებად, ეს ფაქტორები უნდა გამრავლდეს:
ასე რომ, gcd (24 და 18) = 6
მესამე გზა GCD-ის მოსაძებნად
ახლა განიხილეთ მესამე გზა უდიდესი საერთო გამყოფის მოსაძებნად. ამ მეთოდის არსი მდგომარეობს იმაში, რომ რიცხვები, რომლებიც უნდა მოძებნოთ უდიდესი საერთო გამყოფისთვის, იყოფა მარტივ ფაქტორებად. შემდეგ, პირველი რიცხვის დაშლიდან წაიშლება ფაქტორები, რომლებიც არ შედის მეორე რიცხვის დაშლაში. პირველ გაფართოებაში დარჩენილი რიცხვები მრავლდება და მიიღება GCD.
მაგალითად, ვიპოვოთ GCD 28 და 16 ნომრებისთვის ამ გზით. უპირველეს ყოვლისა, ჩვენ ვანაწილებთ ამ რიცხვებს მარტივ ფაქტორებად:
მივიღეთ ორი გაფართოება: და
ახლა, პირველი ნომრის გაფართოებიდან, ჩვენ ვშლით ფაქტორებს, რომლებიც არ შედის მეორე რიცხვის გაფართოებაში. მეორე რიცხვის გაფართოება არ მოიცავს შვიდს. ჩვენ წავშლით მას პირველი გაფართოებიდან:
ახლა ვამრავლებთ დარჩენილ ფაქტორებს და ვიღებთ GCD-ს:
რიცხვი 4 არის 28 და 16 რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი. ორივე ეს რიცხვი იყოფა 4-ზე ნაშთის გარეშე:
მაგალითი 2იპოვეთ 100 და 40 რიცხვების GCD
100 რიცხვის ფაქტორირება
40 რიცხვის გათვალისწინება
ჩვენ მივიღეთ ორი გაფართოება:
ახლა, პირველი ნომრის გაფართოებიდან, ჩვენ ვშლით ფაქტორებს, რომლებიც არ შედის მეორე რიცხვის გაფართოებაში. მეორე რიცხვის გაფართოება არ მოიცავს ერთ ხუთს (არსებობს მხოლოდ ერთი ხუთი). ჩვენ ვშლით მას პირველი დაშლისგან
გაამრავლეთ დარჩენილი რიცხვები:
მივიღეთ პასუხი 20. ასე რომ, რიცხვი 20 არის 100 და 40 რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი. ეს ორი რიცხვი იყოფა 20-ზე ნაშთის გარეშე:
GCD (100 და 40) = 20.
მაგალითი 3იპოვეთ 72 და 128 რიცხვების gcd
72 ნომრის გათვალისწინება
128 რიცხვის ფაქტორირება
2×2×2×2×2×2×2
ახლა, პირველი ნომრის გაფართოებიდან, ჩვენ ვშლით ფაქტორებს, რომლებიც არ შედის მეორე რიცხვის გაფართოებაში. მეორე რიცხვის გაფართოება არ მოიცავს ორ სამეულს (საერთოდ არ არსებობს). ჩვენ ვშლით მათ პირველი დაშლისგან:
მივიღეთ პასუხი 8. ასე რომ, რიცხვი 8 არის 72 და 128 რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი. ეს ორი რიცხვი იყოფა 8-ზე ნაშთის გარეშე:
GCD (72 და 128) = 8
GCD-ის პოვნა მრავალი რიცხვისთვის
ყველაზე დიდი საერთო გამყოფი შეიძლება მოიძებნოს რამდენიმე რიცხვისთვის და არა მხოლოდ ორისთვის. ამისთვის ყველაზე დიდი საერთო გამყოფის საძიებელი რიცხვები იყოფა მარტივ ფაქტორებად, შემდეგ მოიძებნება ამ რიცხვების საერთო მარტივი ფაქტორების ნამრავლი.
მაგალითად, ვიპოვოთ GCD 18, 24 და 36 ნომრებისთვის
18 რიცხვის ფაქტორინგი
24 რიცხვის ფაქტორინგი
36 რიცხვის ფაქტორინგი
ჩვენ მივიღეთ სამი გაფართოება:
ახლა ჩვენ ვირჩევთ და ხაზს ვუსვამთ საერთო ფაქტორებს ამ რიცხვებში. საერთო ფაქტორები უნდა იყოს შეტანილი სამივე რიცხვში:
ჩვენ ვხედავთ, რომ საერთო ფაქტორები 18, 24 და 36 რიცხვებისთვის არის 2 და 3 ფაქტორები. ამ ფაქტორების გამრავლებით მივიღებთ GCD-ს, რომელსაც ვეძებთ:
მივიღეთ პასუხი 6. ასე რომ, რიცხვი 6 არის 18, 24 და 36 რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი. ეს სამი რიცხვი იყოფა 6-ზე ნაშთის გარეშე:
GCD (18, 24 და 36) = 6
მაგალითი 2იპოვეთ gcd 12, 24, 36 და 42 ნომრებისთვის
მოდით გავამრავლოთ თითოეული რიცხვი. შემდეგ ვიპოვით ამ რიცხვების საერთო ფაქტორების ნამრავლს.
12 რიცხვის ფაქტორინგი
42 რიცხვის ფაქტორინგი
ჩვენ მივიღეთ ოთხი გაფართოება:
ახლა ჩვენ ვირჩევთ და ხაზს ვუსვამთ საერთო ფაქტორებს ამ რიცხვებში. საერთო ფაქტორები უნდა იყოს შეტანილი ოთხივე რიცხვში:
ჩვენ ვხედავთ, რომ საერთო ფაქტორები 12, 24, 36 და 42 რიცხვებისთვის არის 2 და 3 ფაქტორები. ამ ფაქტორების გამრავლებით მივიღებთ GCD, რომელსაც ვეძებთ:
მივიღეთ პასუხი 6. ასე რომ, რიცხვი 6 არის 12, 24, 36 და 42 რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი. ეს რიცხვები იყოფა 6-ზე ნაშთის გარეშე:
gcd(12, 24, 36 და 42) = 6
წინა გაკვეთილიდან ვიცით, რომ თუ რომელიმე რიცხვი იყოფა მეორეზე ნაშთის გარეშე, მას ამ რიცხვის ჯერადი ეწოდება.
გამოდის, რომ ჯერადი შეიძლება იყოს საერთო რამდენიმე რიცხვისთვის. ახლა კი ჩვენ დავინტერესდებით ორი რიცხვის ნამრავლით, მაშინ როცა ის რაც შეიძლება მცირე უნდა იყოს.
განმარტება. რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი (LCM). ადა ბ- ადა ბ ადა ნომერი ბ.
განმარტება შეიცავს ორ ცვლადს ადა ბ. მოდით ჩავანაცვლოთ ამ ცვლადებს ნებისმიერი ორი რიცხვი. მაგალითად, ცვლადის ნაცვლად აჩაანაცვლეთ რიცხვი 9 და ცვლადის ნაცვლად ბშევცვალოთ რიცხვი 12. ახლა ვცადოთ განმარტების წაკითხვა:
რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი (LCM). 9 და 12 - არის უმცირესი რიცხვი, რომელიც არის ჯერადი 9 და 12 . სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ეს არის ისეთი მცირე რიცხვი, რომელიც ნაშთის გარეშე იყოფა რიცხვზე 9 და ნომერზე 12 .
განმარტებიდან ირკვევა, რომ LCM არის უმცირესი რიცხვი, რომელიც იყოფა ნაშთის გარეშე 9-ზე და 12-ზე. ეს LCM უნდა მოიძებნოს.
უმცირესი საერთო ჯერადი (LCM) პოვნის ორი გზა არსებობს. პირველი გზა არის ის, რომ თქვენ შეგიძლიათ ჩაწეროთ ორი რიცხვის პირველი ჯერადი, შემდეგ კი ამ ჯერადებს შორის აირჩიოთ ისეთი რიცხვი, რომელიც იქნება როგორც საერთო, ასევე მცირე. გამოვიყენოთ ეს მეთოდი.
უპირველეს ყოვლისა, მოდით ვიპოვოთ 9-ის პირველი ჯერადები. 9-ის ჯერადების საპოვნელად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ ეს ცხრა რიცხვებზე რიგრიგობით 1-დან 9-მდე. თქვენ მიერ მიღებული პასუხები იქნება 9-ის ჯერადი. , დავიწყოთ. მრავლობითი მონიშნული იქნება წითლად:
ახლა ჩვენ ვპოულობთ 12 რიცხვს ჯერადებს. ამისათვის ვამრავლებთ 12-ს ყველა რიცხვზე 1-დან 12-მდე.
განვიხილოთ ორი გზა უდიდესი საერთო გამყოფის მოსაძებნად.
მოძიება ფაქტორინგით
პირველი გზა არის უდიდესი საერთო გამყოფის პოვნა მოცემული რიცხვების მარტივ ფაქტორებად გამრავლებით.
რამდენიმე რიცხვის GCD-ს საპოვნელად საკმარისია მათი დაშლა მარტივ ფაქტორებად და ერთმანეთში გამრავლება, რაც საერთოა ყველა მოცემული რიცხვისთვის.
მაგალითი 1მოდი ვიპოვოთ GCD (84, 90).
ჩვენ ვყოფთ 84 და 90 რიცხვებს მარტივ ფაქტორებად:
ამრიგად, ჩვენ ხაზი გავუსვით ყველა საერთო პირველ ფაქტორს, რჩება მათი ერთმანეთში გამრავლება: 1 2 3 = 6.
ასე რომ, gcd(84, 90) = 6.
მაგალითი 2მოდი ვიპოვოთ GCD (15, 28).
ჩვენ ვყოფთ 15 და 28 პირველ ფაქტორებად:
რიცხვები 15 და 28 თანაპირდაპირია, რადგან მათი ყველაზე დიდი საერთო გამყოფი არის ერთი.
gcd (15, 28) = 1.
ევკლიდეს ალგორითმი
მეორე მეთოდი (სხვაგვარად ევკლიდის მეთოდს უწოდებენ) არის GCD-ის პოვნა თანმიმდევრული გაყოფით.
პირველ რიგში, ჩვენ შევხედავთ ამ მეთოდს, როგორც გამოიყენება მხოლოდ ორ მოცემულ რიცხვზე, შემდეგ კი გავარკვევთ, როგორ გამოვიყენოთ იგი სამ ან მეტ რიცხვზე.
თუ მოცემული ორი რიცხვიდან უფრო დიდი იყოფა პატარაზე, მაშინ რიცხვი, რომელიც უფრო მცირეა, იქნება მათი უდიდესი საერთო გამყოფი.
მაგალითი 1აიღეთ ორი რიცხვი 27 და 9. ვინაიდან 27 იყოფა 9-ზე და 9 იყოფა 9-ზე, მაშინ 9 არის 27 და 9 რიცხვების საერთო გამყოფი. ეს გამყოფი ასევე ყველაზე დიდია, რადგან 9 არ შეიძლება დაიყოს არცერთ რიცხვზე, უფრო დიდი. ვიდრე 9. ამიტომ, gcd (27, 9) = 9.
სხვა შემთხვევებში, ორი რიცხვის უდიდესი საერთო გამყოფის საპოვნელად გამოიყენება შემდეგი პროცედურა:
- მოცემული ორი რიცხვიდან უფრო დიდი რიცხვი იყოფა პატარაზე.
- შემდეგ, უფრო მცირე რიცხვი იყოფა ნარჩენზე, რომელიც წარმოიქმნება დიდი რიცხვის მცირეზე გაყოფის შედეგად.
- გარდა ამისა, პირველი ნაშთი იყოფა მეორე ნაშთზე, რომელიც მიიღება მცირე რიცხვის პირველ ნაშთზე გაყოფით.
- მეორე ნაშთი იყოფა მესამეზე, რომელიც მიიღება პირველი ნარჩენის მეორეზე გაყოფით და ა.შ.
- ამრიგად, გაყოფა გრძელდება მანამ, სანამ ნაშთი ნულის ტოლია. ბოლო გამყოფი იქნება ყველაზე დიდი საერთო გამყოფი.
მაგალითი 2ვიპოვოთ 140 და 96 რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი:
1) 140: 96 = 1 (დარჩენილი 44)
2) 96: 44 = 2 (დარჩენილი 8)
3) 44: 8 = 5 (დარჩენილი 4)
ბოლო გამყოფი არის 4, რაც ნიშნავს gcd(140, 96) = 4.
თანმიმდევრული გაყოფა ასევე შეიძლება დაიწეროს სვეტში:
სამი ან მეტი მოცემული რიცხვის უდიდესი საერთო გამყოფის საპოვნელად გამოიყენეთ შემდეგი პროცედურა:
- პირველი, იპოვნეთ ნებისმიერი ორი რიცხვის უდიდესი საერთო გამყოფი მრავალი მონაცემთა ნაკრებიდან.
- შემდეგ ვპოულობთ ნაპოვნი გამყოფის GCD-ს და მესამე მოცემულ რიცხვს.
- შემდეგ ვპოულობთ ბოლო ნაპოვნი გამყოფის GCD-ს და მეოთხე მოცემულ რიცხვს და ა.შ.
მაგალითი 3ვიპოვოთ 140, 96 და 48 რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი. წინა მაგალითში უკვე ვიპოვეთ 140 და 96 რიცხვების GCD (ეს არის რიცხვი 4). რჩება 4 რიცხვისა და მესამე მოცემული რიცხვის უდიდესი საერთო გამყოფის პოვნა - 48:
48 იყოფა ოთხზე ნაშთის გარეშე. ასე რომ, gcd (140, 96, 48) = 4.
გახსოვდეს!
თუ ნატურალური რიცხვი იყოფა მხოლოდ 1-ზე და საკუთარ თავზე, მაშინ მას მარტივი ეწოდება.
ნებისმიერი ნატურალური რიცხვი ყოველთვის იყოფა 1-ზე და საკუთარ თავზე.
რიცხვი 2 არის ყველაზე პატარა მარტივი რიცხვი. ეს არის ერთადერთი ლუწი მარტივი რიცხვი, დანარჩენი მარტივი რიცხვები კენტია.
უამრავი მარტივი რიცხვია და მათ შორის პირველი არის ნომერი 2. თუმცა, ბოლო მარტივი რიცხვი არ არსებობს. განყოფილებაში „სწავლისთვის“ შეგიძლიათ ჩამოტვირთოთ მარტივი რიცხვების ცხრილი 997-მდე.
მაგრამ ბევრი ნატურალური რიცხვი თანაბრად იყოფა სხვა ნატურალურ რიცხვებზე.
Მაგალითად:
- რიცხვი 12 იყოფა 1-ზე, 2-ზე, 3-ზე, 4-ზე, 6-ზე, 12-ზე;
- 36 იყოფა 1-ზე, 2-ზე, 3-ზე, 4-ზე, 6-ზე, 12-ზე, 18-ზე, 36-ზე.
რიცხვებს, რომლებზეც რიცხვი თანაბრად იყოფა (12-ისთვის ეს არის 1, 2, 3, 4, 6 და 12) რიცხვის გამყოფები ეწოდება.
გახსოვდეს!
a ნატურალური რიცხვის გამყოფი ისეთი ნატურალური რიცხვია, რომელიც მოცემულ რიცხვს "a" ყოფს ნაშთის გარეშე.
ნატურალურ რიცხვს, რომელსაც აქვს ორზე მეტი ფაქტორი, ეწოდება კომპოზიტური რიცხვი.
გაითვალისწინეთ, რომ 12 და 36 რიცხვებს აქვთ საერთო გამყოფები. ეს არის რიცხვები: 1, 2, 3, 4, 6, 12. ამ რიცხვების უდიდესი გამყოფი არის 12.
ორი მოცემული რიცხვის "a" და "b" საერთო გამყოფი არის რიცხვი, რომლითაც ორივე მოცემული რიცხვი "a" და "b" იყოფა ნაშთების გარეშე.
გახსოვდეს!
უდიდესი საერთო გამყოფი(GCD) ორი მოცემული რიცხვის "a" და "b" - ეს არის ყველაზე დიდი რიცხვი, რომლითაც ორივე რიცხვი "a" და "b" იყოფა ნაშთების გარეშე.
მოკლედ, "a" და "b" რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი იწერება შემდეგნაირად:
gcd (a; b) .
მაგალითი: gcd (12; 36) = 12.
ამოხსნის ჩანაწერში რიცხვების გამყოფები აღინიშნება დიდი ასო "D"-ით.
D(7) = (1, 7)
D(9) = (1, 9)
gcd (7; 9) = 1
7 და 9 რიცხვებს აქვთ მხოლოდ ერთი საერთო გამყოფი - რიცხვი 1. ასეთ ნომრებს ეძახიან თანაპრიმა რიცხვები.
გახსოვდეს!
კოპრიმი რიცხვებიარის ნატურალური რიცხვები, რომლებსაც აქვთ მხოლოდ ერთი საერთო გამყოფი - რიცხვი 1. მათი GCD არის 1.
როგორ მოვძებნოთ ყველაზე დიდი საერთო გამყოფი
ორი ან მეტი ნატურალური რიცხვის gcd-ის საპოვნელად გჭირდებათ:
- რიცხვთა გამყოფების დაშლა მარტივ ფაქტორებად;
გამოთვლები მოხერხებულად იწერება ვერტიკალური ზოლის გამოყენებით. ხაზის მარცხნივ ჯერ ჩაწერეთ დივიდენდი, მარჯვნივ - გამყოფი. შემდგომ მარცხენა სვეტში ჩვენ ვწერთ კერძოს მნიშვნელობებს.
მოდი მაშინვე ავხსნათ მაგალითით. მოდით გავამრავლოთ 28 და 64 რიცხვები მარტივ ფაქტორებად.
- ხაზი გაუსვით ერთსა და იმავე მარტივ ფაქტორებს ორივე რიცხვში.
28 = 2 2 764 = 2 2 2 2 2 2 2
- ვპოულობთ იდენტური მარტივი ფაქტორების ნამრავლს და ვწერთ პასუხს;
GCD (28; 64) = 2 2 = 4პასუხი: GCD (28; 64) = 4
თქვენ შეგიძლიათ მოაწყოთ GCD-ის მდებარეობა ორი გზით: სვეტში (როგორც ეს გაკეთდა ზემოთ) ან "ხაზში".
ახლა და შემდგომში, ჩვენ ვივარაუდებთ, რომ ამ რიცხვებიდან ერთი მაინც განსხვავდება ნულიდან. თუ ყველა მოცემული რიცხვი ნულის ტოლია, მაშინ მათი საერთო გამყოფი არის ნებისმიერი მთელი რიცხვი და რადგან უსასრულოდ ბევრი მთელი რიცხვია, მათგან უდიდესზე ვერ ვისაუბრებთ. მაშასადამე, არ შეიძლება საუბარი რიცხვების უდიდეს საერთო გამყოფზე, რომელთაგან თითოეული ნულის ტოლია.
ახლა შეგვიძლია მივცეთ ყველაზე დიდი საერთო გამყოფის პოვნაორი ნომერი.
განმარტება.
უდიდესი საერთო გამყოფიორი მთელი რიცხვიდან არის ყველაზე დიდი რიცხვი, რომელიც ყოფს მოცემულ ორ რიცხვს.
აბრევიატურა GCD ხშირად გამოიყენება უდიდესი საერთო გამყოფის - Greatest Common Divisor-ის შესამცირებლად. ასევე, ორი a და b რიცხვის უდიდესი საერთო გამყოფი ხშირად აღინიშნება როგორც gcd(a, b) .
მოვიყვანოთ უდიდესი საერთო გამყოფის (gcd) მაგალითიორი მთელი რიცხვი. 6-ისა და −15-ის უდიდესი საერთო გამყოფი არის 3. დავამტკიცოთ ეს. ჩამოვწეროთ ექვსი რიცხვის ყველა გამყოფი: ±6, ±3, ±1, ხოლო −15 რიცხვის გამყოფები არის რიცხვები ±15, ±5, ±3 და ±1. ახლა თქვენ შეგიძლიათ იპოვოთ 6 და −15 რიცხვების ყველა საერთო გამყოფი, ეს არის რიცხვები −3, −1, 1 და 3. -3 წლიდან<−1<1<3 , то 3 – это наибольший общий делитель чисел 6 и −15 . То есть, НОД(6, −15)=3 .
სამი ან მეტი მთელი რიცხვის უდიდესი საერთო გამყოფის განმარტება მსგავსია ორი რიცხვის gcd-ის განმარტებისა.
განმარტება.
უდიდესი საერთო გამყოფისამი ან მეტი მთელი რიცხვი არის ყველაზე დიდი რიცხვი, რომელიც ერთდროულად ყოფს ყველა მოცემულ რიცხვს.
n მთელი რიცხვის უდიდესი საერთო გამყოფი a 1 , a 2 , ..., a n ჩვენ აღვნიშნავთ როგორც gcd(a 1 , a 2 , ..., a n) . თუ ვიპოვეთ ამ რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფის მნიშვნელობა b, მაშინ შეგვიძლია დავწეროთ GCD(a 1, a 2, …, a n)=b.
მაგალითად, ოთხი მთელი რიცხვის gcd −8 , 52 , 16 და −12 , უდრის 4 , ანუ gcd(−8, 52, 16, −12)=4 . ამის შემოწმება შესაძლებელია მოცემული რიცხვების ყველა გამყოფის ჩაწერით, მათგან საერთო გამყოფების არჩევით და უდიდესი საერთო გამყოფის დადგენით.
გაითვალისწინეთ, რომ მთელი რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი შეიძლება იყოს ერთ-ერთი ამ რიცხვის ტოლი. ეს განცხადება მართალია, თუ ყველა მოცემული რიცხვი იყოფა ერთ მათგანზე (დადასტურება მოცემულია ამ მუხლის შემდეგ პუნქტში). მაგალითად, gcd(15, 60, −45)=15. ეს მართალია, რადგან 15 ყოფს 15-ს, 60-ს და −45-ს და არ არსებობს 15-ის, 60-ისა და −45-ის საერთო გამყოფი, რომელიც 15-ზე მეტია.
განსაკუთრებით საინტერესოა ეგრეთ წოდებული შედარებით მარტივი რიცხვები, - ასეთი მთელი რიცხვები, რომელთა უდიდესი საერთო გამყოფი ერთის ტოლია.
ყველაზე დიდი საერთო გამყოფი თვისებები, ევკლიდეს ალგორითმი
უდიდეს საერთო გამყოფს აქვს რამდენიმე დამახასიათებელი შედეგი, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მთელი რიგი თვისებები. ახლა ჩამოვთვლით მთავარს უდიდესი საერთო გამყოფის თვისებები (gcd), ჩამოვაყალიბებთ მათ თეორემების სახით და მაშინვე მივცემთ მტკიცებულებებს.
ჩვენ ჩამოვაყალიბებთ ყველაზე დიდი საერთო გამყოფის ყველა თვისებას დადებითი მთელი რიცხვებისთვის, ხოლო განვიხილავთ ამ რიცხვების მხოლოდ დადებით გამყოფებს.
a-სა და b-ის უდიდესი საერთო გამყოფი უდრის b-სა და a-ს უდიდეს საერთო გამყოფს, ანუ gcd(a, b)=gcd(a, b) .
ეს GCD თვისება პირდაპირ გამომდინარეობს უდიდესი საერთო გამყოფის განმარტებიდან.
თუ a იყოფა b-ზე, მაშინ a და b-ის საერთო გამყოფთა სიმრავლე იგივეა, რაც b-ის გამყოფთა სიმრავლე, კერძოდ gcd(a, b)=b.
მტკიცებულება.
a და b რიცხვების ნებისმიერი საერთო გამყოფი არის თითოეული ამ რიცხვის გამყოფი, მათ შორის b რიცხვი. მეორეს მხრივ, რადგან a არის b-ის ჯერადი, მაშინ b რიცხვის ნებისმიერი გამყოფი ასევე არის a რიცხვის გამყოფი იმის გამო, რომ გაყოფას აქვს გარდამავლობის თვისება, შესაბამისად, b რიცხვის ნებისმიერი გამყოფი არის a. a და b რიცხვების საერთო გამყოფი. ეს ამტკიცებს, რომ თუ a იყოფა b-ზე, მაშინ a და b რიცხვების გამყოფთა სიმრავლე ემთხვევა ერთი რიცხვის b-ის გამყოფთა სიმრავლეს. და რადგან b რიცხვის უდიდესი გამყოფი არის თავად რიცხვი b, მაშინ a და b რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი ასევე უდრის b-ს, ანუ gcd(a, b)=b.
კერძოდ, თუ რიცხვები a და b ტოლია, მაშინ gcd(a, b)=gcd(a, a)=gcd(b, b)=a=b. მაგალითად, gcd(132, 132)=132.
დადასტურებული უდიდესი გამყოფის თვისება გვაძლევს საშუალებას ვიპოვოთ ორი რიცხვის gcd, როდესაც ერთი მათგანი იყოფა მეორეზე. ამ შემთხვევაში, GCD უდრის ერთ-ერთ ამ რიცხვს, რომელზედაც სხვა რიცხვი იყოფა. მაგალითად, gcd(8, 24)=8, რადგან 24 არის რვის ნამრავლი.
თუ a=b q+c, სადაც a, b, c და q მთელი რიცხვებია, მაშინ a და b რიცხვების საერთო გამყოფთა სიმრავლე ემთხვევა b და c რიცხვების საერთო გამყოფთა სიმრავლეს, კერძოდ, gcd( a, b)=gcd (b, c) .
მოდით გავამართლოთ GCD-ის ეს თვისება.
ვინაიდან ტოლობა a=b·q+c მოქმედებს, მაშინ a და b რიცხვების ნებისმიერი საერთო გამყოფი ასევე ყოფს c (ეს გამომდინარეობს გაყოფის თვისებებიდან). ამავე მიზეზით, b და c-ის ყველა საერთო გამყოფი ყოფს a-ს. მაშასადამე, a და b რიცხვების საერთო გამყოფთა სიმრავლე იგივეა, რაც b და c რიცხვების საერთო გამყოფთა სიმრავლე. კერძოდ, ამ საერთო გამყოფებიდან ყველაზე დიდი ასევე უნდა ემთხვეოდეს, ანუ შემდეგი ტოლობა უნდა იყოს მართებული gcd(a, b)=gcd(b, c) .
ახლა ჩვენ ვაყალიბებთ და ვამტკიცებთ თეორემას, რომელიც არის ევკლიდეს ალგორითმი. ევკლიდეს ალგორითმი საშუალებას გაძლევთ იპოვოთ ორი რიცხვის GCD (იხ. GCD-ის პოვნა ევკლიდის ალგორითმის გამოყენებით). უფრო მეტიც, ევკლიდეს ალგორითმი საშუალებას მოგვცემს დავამტკიცოთ უდიდესი საერთო გამყოფის შემდეგი თვისებები.
თეორემის განცხადების მიცემამდე, ჩვენ გირჩევთ განაახლოთ თეორემის მეხსიერება თეორიის განყოფილებიდან, სადაც ნათქვამია, რომ დივიდენდი a შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც b q + r, სადაც b არის გამყოფი, q არის გარკვეული მთელი რიცხვი, რომელსაც ეწოდება ნაწილობრივი კოეფიციენტი. და r არის მთელი რიცხვი, რომელიც აკმაყოფილებს პირობას, რომელსაც ეწოდება ნაშთი.
მაშ ასე, ორ არანულოვანი დადებითი მთელი რიცხვისთვის a და b, ტოლობების სერია მართალია 
მთავრდება, როდესაც r k+1 =0 (რაც გარდაუვალია, რადგან b>r 1 >r 2 >r 3 , … არის კლებადი რიცხვების სერია და ეს სერია არ შეიძლება შეიცავდეს დადებითი რიცხვების სასრულ რიცხვზე მეტს), მაშინ r k – არის a და b-ის უდიდესი საერთო გამყოფი, ანუ r k =gcd(a, b) .
მტკიცებულება.
ჯერ დავამტკიცოთ, რომ r k არის a და b რიცხვების საერთო გამყოფი, რის შემდეგაც ვაჩვენებთ, რომ r k არ არის მხოლოდ გამყოფი, არამედ a და b რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი.
ჩვენ გადავალთ დაწერილი ტოლობების გასწვრივ ქვემოდან ზევით. ბოლო ტოლობიდან შეგვიძლია ვთქვათ, რომ r k−1 იყოფა r k-ზე. ამ ფაქტის გათვალისწინებით, ისევე როგორც წინა GCD თვისებით, ბოლო ტოლობა r k−2 =r k−1 q k +r k გვაძლევს იმის მტკიცებას, რომ r k−2 იყოფა r k-ზე, რადგან r k−1 იყოფა r k-ზე და r k იყოფა. რ კ-ის მიერ. ანალოგიით, ქვემოდან მესამე ტოლობიდან ვასკვნით, რომ r k−3 იყოფა r k-ზე. Და ასე შემდეგ. მეორე ტოლობიდან ვიღებთ, რომ b იყოფა r k-ზე, ხოლო პირველი ტოლობიდან ვიღებთ, რომ a იყოფა r k-ზე. მაშასადამე, r k არის a და b-ის საერთო გამყოფი.
რჩება იმის დასამტკიცებლად, რომ r k =gcd(a, b) . საკმარისია იმის ჩვენება, რომ a და b რიცხვების ნებისმიერი საერთო გამყოფი (ჩვენ ვნიშნავთ r 0-ით) ყოფს r k-ს.
ჩვენ გადავალთ საწყისი თანასწორობების გასწვრივ ზემოდან ქვემოდან. წინა თვისებიდან გამომდინარე, პირველი ტოლობიდან გამომდინარეობს, რომ r 1 იყოფა r 0-ზე. შემდეგ მეორე ტოლობიდან ვიღებთ, რომ r 2 იყოფა r 0-ზე. Და ასე შემდეგ. ბოლო ტოლობიდან ვიღებთ, რომ r k იყოფა r 0-ზე. ამრიგად, r k =gcd(a, b) .
უდიდესი საერთო გამყოფის განხილული თვისებიდან გამომდინარეობს, რომ a და b რიცხვების საერთო გამყოფთა სიმრავლე ემთხვევა ამ რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფის გამყოფთა სიმრავლეს. ევკლიდეს ალგორითმის ეს დასკვნა საშუალებას გვაძლევს ვიპოვოთ ორი რიცხვის ყველა საერთო გამყოფი, როგორც ამ რიცხვების gcd-ის გამყოფები.
მოდით a და b იყოს მთელი რიცხვები, რომლებიც ერთდროულად არ უდრის ნულს, მაშინ არის ასეთი მთელი რიცხვები u 0 და v 0, მაშინ ტოლობა gcd(a, b)=a u 0 +b v 0 არის ჭეშმარიტი. ბოლო ტოლობა არის a და b რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფის წრფივი წარმოდგენა, ამ ტოლობას ეწოდება Bezout თანაფარდობა, ხოლო რიცხვები u 0 და v 0 არის ბეზუტის კოეფიციენტები.
მტკიცებულება.
ევკლიდეს ალგორითმის მიხედვით შეგვიძლია დავწეროთ შემდეგი ტოლობები
პირველი ტოლობიდან გვაქვს r 1 =a−b q 1 , და 1=s 1 და −q 1 =t 1 აღსანიშნავად, ეს ტოლობა ღებულობს r 1 =s 1 a+t 1 b ფორმას, ხოლო რიცხვები s 1. და t 1 არის მთელი რიცხვები. შემდეგ მეორე ტოლობიდან ვიღებთ r 2 =b−r 1 q 2 = b−(s 1 a+t 1 b) q 2 =−s 1 q 2 a+(1−t 1 q 2) b. −s 1 q 2 =s 2 და 1−t 1 q 2 =t 2 აღსანიშნავად, ბოლო ტოლობა შეიძლება დაიწეროს როგორც r 2 =s 2 a+t 2 b, ხოლო s 2 და t 2 არის მთელი რიცხვები (რადგან ჯამი , სხვაობა და მთელი რიცხვების ნამრავლი არის მთელი რიცხვი). ანალოგიურად, მესამე ტოლობიდან ვიღებთ r 3 =s 3 ·a+t 3 ·b, მეოთხედან r 4 =s 4 ·a+t 4 ·b და ა.შ. და ბოლოს, r k =s k ·a+t k ·b , სადაც s k და t k მთელი რიცხვებია. ვინაიდან r k =gcd(a, b) , და აღვნიშნავთ s k =u 0 და t k =v 0 , მივიღებთ gcd-ის საჭირო ფორმის წრფივ წარმოდგენას: gcd(a, b)=a u 0 +b v 0 .
თუ m არის ნებისმიერი ნატურალური რიცხვი, მაშინ gcd(m a, m b)=m gcd(a, b).
ყველაზე დიდი საერთო გამყოფის ამ თვისების დასაბუთება შემდეგია. თუ გავამრავლებთ m-ზე ევკლიდეს ალგორითმის თითოეული ტოლობის ორივე მხარეს, მივიღებთ, რომ gcd(m a, m b)=m r k და r k არის gcd(a, b) . შესაბამისად, gcd(m a, m b)=m gcd(a, b).
უდიდესი საერთო გამყოფის ეს თვისება არის GCD-ის პოვნის მეთოდის საფუძველი ძირითადი ფაქტორიზაციის გამოყენებით.
მოდით p იყოს a და b რიცხვების ნებისმიერი საერთო გამყოფი, მაშინ gcd(a:p, b:p)=gcd(a, b):p, კერძოდ, თუ p=gcd(a, b) გვაქვს gcd(a:gcd(a, b), b:gcd(a, b))=1, ანუ რიცხვები a:gcd(a, b) და b:gcd(a, b) თანაპრომიტეულია.
ვინაიდან a=p (a:p) და b=p (b:p) , და წინა თვისების გამო, შეგვიძლია დავწეროთ ფორმის ტოლობების ჯაჭვი. gcd(a, b)=gcd(p (a:p), p (b:p))= p·gcd(a:p, b:p) , საიდანაც დასამტკიცებელი ტოლობა შემდეგია.
ყველაზე დიდი საერთო გამყოფი თვისება, რომელიც ახლახან დადასტურდა, ეფუძნება.
ახლა მოდით გავახმოვანოთ GCD თვისება, რომელიც ამცირებს სამი ან მეტი რიცხვის უდიდესი საერთო გამყოფის პოვნის პრობლემას ორი რიცხვის GCD-ის თანმიმდევრულად პოვნამდე.
a 1 , a 2 , ..., a k რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი უდრის d k რიცხვს, რომელიც გვხვდება GCD(a 1 , a 2)=d 2 , GCD(d 2 , a-ს თანმიმდევრულ გამოთვლაში. 3)=d 3, GCD(d 3, a 4)=d 4, …, GCD(d k-1, a k)=d k.
მტკიცებულება ეფუძნება ევკლიდეს ალგორითმის დასკვნას. a 1 და a 2 რიცხვების საერთო გამყოფები იგივეა რაც d 2-ის გამყოფები. მაშინ a 1, a 2 და a 3 რიცხვების საერთო გამყოფები ემთხვევა d 2 და a 3 რიცხვების საერთო გამყოფებს, შესაბამისად, ისინი ემთხვევა d 3-ის გამყოფებს. a 1, a 2, a 3 და a 4 რიცხვების საერთო გამყოფები იგივეა, რაც d 3 და a 4-ის საერთო გამყოფები, შესაბამისად იგივეა რაც d 4-ის გამყოფები. Და ასე შემდეგ. და ბოლოს, a 1, a 2, ..., a k რიცხვების საერთო გამყოფები ემთხვევა d k-ის გამყოფებს. და რადგან d k რიცხვის უდიდესი გამყოფი არის თავად რიცხვი d k, მაშინ GCD(a 1, a 2, …, a k)=d k.
ამით დასრულდა უდიდესი საერთო გამყოფის ძირითადი თვისებების მიმოხილვა.
ბიბლიოგრაფია.
- ვილენკინი ნ.ია. და ა.შ მათემატიკა. მე-6 კლასი: სახელმძღვანელო საგანმანათლებლო დაწესებულებებისთვის.
- ვინოგრადოვი ი.მ. რიცხვების თეორიის საფუძვლები.
- მიხელოვიჩ შ.ხ. რიცხვების თეორია.
- კულიკოვი ლ.ია. და სხვა ამოცანების კრებული ალგებრაში და რიცხვთა თეორიაში: სახელმძღვანელო ფიზ.-მატ. პედაგოგიური ინსტიტუტების სპეციალობები.
