ფუნქციის ანალიტიკური განსაზღვრება

ფუნქცია %%y = f(x), x \in X%% მოცემულია აშკარა ანალიტიკური გზით, თუ მოცემულია ფორმულა, რომელიც მიუთითებს მათემატიკური მოქმედებების თანმიმდევრობას, რომელიც უნდა შესრულდეს არგუმენტით %%x%% ამ ფუნქციის %%f(x)%% მნიშვნელობის მისაღებად.

მაგალითი

• %% y = 2 x^2 + 3x + 5, x \in \mathbb(R)%%;
• %% y = \frac(1)(x - 5), x \neq 5%%;
• %% y = \sqrt(x), x \geq 0%%.

ასე, მაგალითად, ფიზიკაში, თანაბრად აჩქარებული მართკუთხა მოძრაობით, სხეულის სიჩქარე განისაზღვრება ფორმულით t%% იწერება როგორც: %% s = s_0 + v_0 t + \frac(a t^2)(2) %%.

ცალმხრივი განსაზღვრული ფუნქციები

ზოგჯერ განსახილველი ფუნქცია შეიძლება განისაზღვროს რამდენიმე ფორმულით, რომლებიც მოქმედებენ მისი განმარტების დომენის სხვადასხვა ნაწილში, რომლებშიც იცვლება ფუნქციის არგუმენტი. მაგალითად: $$ y = \begin(cases) x ^ 2,~ if~x< 0, \\ \sqrt{x},~ если~x \geq 0. \end{cases} $$

ამ ტიპის ფუნქციებს ზოგჯერ უწოდებენ შემადგენელიან ცალ-ცალკე. ასეთი ფუნქციის მაგალითია %%y = |x|%%

ფუნქციის ფარგლები

თუ ფუნქცია მითითებულია აშკარა ანალიტიკური გზით ფორმულის გამოყენებით, მაგრამ ფუნქციის ფარგლები %%D%% ნაკრების სახით არ არის მითითებული, მაშინ %%D%%–ით ყოველთვის ვიგულისხმებთ მნიშვნელობების სიმრავლეს. არგუმენტი %%x%% რომლისთვისაც ეს ფორმულა აზრიანია. ასე რომ, %%y = x^2% ფუნქციისთვის, განმარტების დომენი არის ნაკრები %%D = \mathbb(R) = (-\infty, +\infty)%%, რადგან არგუმენტი %%x% %-ს შეუძლია მიიღოს ნებისმიერი მნიშვნელობა ნომრის ხაზი. და %%y = \frac(1)(\sqrt(1 - x^2))% ფუნქციისთვის, განსაზღვრების დომენი იქნება მნიშვნელობების ნაკრები %%x%%, რომელიც აკმაყოფილებს %1 უტოლობას. - x^2 > 0%%, მ .ე. %%D = (-1, 1)%%.

აშკარა ანალიტიკური ფუნქციის განსაზღვრის უპირატესობები

გაითვალისწინეთ, რომ ფუნქციის დაზუსტების აშკარა ანალიტიკური გზა საკმაოდ კომპაქტურია (ფორმულა, როგორც წესი, იკავებს მცირე ადგილს), ადვილად რეპროდუცირებადია (ფორმულა ადვილად იწერება) და ყველაზე მეტად ადაპტირებულია მათემატიკური ოპერაციებისა და გარდაქმნების შესასრულებლად. ფუნქციები.

ამ მოქმედებებიდან ზოგიერთი - ალგებრული (შეკრება, გამრავლება და ა.შ.) - კარგად არის ცნობილი სასკოლო მათემატიკის კურსიდან, ზოგიც (დიფერენციაცია, ინტეგრაცია) მომავალში შეისწავლება. ამასთან, ეს მეთოდი ყოველთვის არ არის ნათელი, რადგან არგუმენტზე ფუნქციის დამოკიდებულების ბუნება ყოველთვის არ არის ნათელი და ზოგჯერ რთული გამოთვლებია საჭირო ფუნქციის მნიშვნელობების მოსაძებნად (საჭიროების შემთხვევაში).

იმპლიციტური ფუნქციის სპეციფიკაცია

განსაზღვრულია ფუნქცია %%y = f(x)%% იმპლიციტური ანალიტიკური გზით, თუ მოცემულია კავშირი $$F(x,y) = 0, ~~~~~~~~~~(1)$$ აკავშირებს %%y%% ფუნქციის მნიშვნელობებს და არგუმენტს %% x%%. თუ მოცემულია არგუმენტების მნიშვნელობები, მაშინ %%y%% მნიშვნელობის საპოვნელად, რომელიც შეესაბამება %%x%%-ის კონკრეტულ მნიშვნელობას, საჭიროა ამოხსნათ განტოლება %%(1)%% %%y%% მიმართებით. ამ კონკრეტულ მნიშვნელობაზე %%x%%.

%%x%% მნიშვნელობის გათვალისწინებით, განტოლებას %%(1)%% შეიძლება არ ჰქონდეს ამონახსნი ან ერთზე მეტი ამონახსნი. პირველ შემთხვევაში, მითითებული მნიშვნელობა %%x%% არ არის იმპლიციტური ფუნქციის ფარგლებში, ხოლო მეორე შემთხვევაში ის აზუსტებს მრავალმნიშვნელოვანი ფუნქცია, რომელსაც აქვს ერთზე მეტი მნიშვნელობა მოცემული არგუმენტის მნიშვნელობისთვის.

გაითვალისწინეთ, რომ თუ განტოლება %%(1)%% შეიძლება ცალსახად ამოიხსნას %%y = f(x)%%-ის მიმართ, მაშინ ჩვენ ვიღებთ იგივე ფუნქციას, მაგრამ უკვე განსაზღვრულია აშკარა ანალიტიკური გზით. ასე რომ, განტოლება %%x + y^5 - 1 = 0%%

და ტოლობა %%y = \sqrt(1 - x)%% განსაზღვრავს იგივე ფუნქციას.

პარამეტრული ფუნქციის განსაზღვრა

როდესაც %%y%%-ის დამოკიდებულება %%x%%-ზე პირდაპირ არ არის მოცემული, მაგრამ ამის ნაცვლად მოცემულია ორივე ცვლადის %%x%% და %%y%% დამოკიდებულება მესამე დამხმარე ცვლადზე %%t%% ფორმაში

$$ \დაწყება(შემთხვევები) x = \varphi(t), \\ y = \psi(t), \end (შემთხვევები) ~~~t \in T \subseteq \mathbb(R), ~~~~~ ~~~~~(2) $$ზე საუბრობენ პარამეტრულიფუნქციის დაყენების მეთოდი;

მაშინ დამხმარე ცვლადს %%t%% ეწოდება პარამეტრი.

თუ შესაძლებელია პარამეტრის %%t%% გამორიცხვა განტოლებიდან %%(2)%%, მაშინ ისინი მიდიან ფუნქციამდე, რომელიც მოცემულია %%y%%%%x%%–ზე გამოკვეთილი ან იმპლიციტური ანალიტიკური დამოკიდებულებით. . მაგალითად, ურთიერთობებიდან $$ \begin(cases) x = 2 t + 5, \\ y = 4 t + 12, \end (cases), ~~~t \in \mathbb(R), $$ გარდა % %t%% პარამეტრისთვის ვიღებთ დამოკიდებულებას %%y = 2 x + 2%%, რომელიც ადგენს სწორ ხაზს %%xOy%% სიბრტყეში.

გრაფიკული გზა

ფუნქციის გრაფიკული განმარტების მაგალითი

ზემოთ მოყვანილი მაგალითები აჩვენებს, რომ ფუნქციის განსაზღვრის ანალიტიკური გზა შეესაბამება მის გრაფიკული გამოსახულება, რომელიც შეიძლება ჩაითვალოს ფუნქციის აღწერის მოსახერხებელ და ვიზუალურ ფორმად. ზოგჯერ გამოიყენება გრაფიკული გზაფუნქციის განსაზღვრა, როდესაც %%y%%–ის დამოკიდებულება %%x%%–ზე მოცემულია წრფით %%xOy%% სიბრტყეზე. თუმცა, მთელი მისი სიცხადისთვის, ის კარგავს სიზუსტეს, რადგან არგუმენტის მნიშვნელობები და ფუნქციის შესაბამისი მნიშვნელობები შეიძლება მიღებულ იქნას გრაფიკიდან მხოლოდ დაახლოებით. შედეგად მიღებული შეცდომა დამოკიდებულია გრაფიკის ცალკეული წერტილების აბსცისა და ორდინატის გაზომვის მასშტაბსა და სიზუსტეზე. სამომავლოდ ფუნქციის გრაფიკს მივანიჭავთ მხოლოდ ფუნქციის ქცევის ილუსტრირების როლს და ამიტომ შემოვიფარგლებით ფუნქციების ძირითად მახასიათებლებზე ასახული გრაფიკების „ესკიზების“ აგებით.

ცხრილის გზა

შენიშვნა ცხრილის გზაფუნქციების მინიჭება, როდესაც ზოგიერთი არგუმენტის მნიშვნელობა და მათი შესაბამისი ფუნქციის მნიშვნელობები მოთავსებულია ცხრილში გარკვეული თანმიმდევრობით. ასე აგებულია ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ცნობილი ცხრილები, ლოგარითმების ცხრილები და ა.შ. ცხრილის სახით, ჩვეულებრივ, წარმოდგენილია ექსპერიმენტულ კვლევებში, დაკვირვებებსა და ტესტებში გაზომილ სიდიდეებს შორის ურთიერთობა.

ამ მეთოდის მინუსი არის ფუნქციის მნიშვნელობების უშუალოდ განსაზღვრის შეუძლებლობა არგუმენტის მნიშვნელობებისთვის, რომლებიც არ არის შეტანილი ცხრილში. თუ არსებობს დარწმუნებული, რომ არგუმენტის მნიშვნელობები, რომლებიც არ არის წარმოდგენილი ცხრილში, ეკუთვნის განხილული ფუნქციის დომენს, მაშინ ფუნქციის შესაბამისი მნიშვნელობები შეიძლება გამოითვალოს დაახლოებით ინტერპოლაციისა და ექსტრაპოლაციის გამოყენებით.

მაგალითი

x	3	5.1	10	12.5
წ	9	23	80	110

ფუნქციების დაზუსტების ალგორითმული და ვერბალური გზები

ფუნქციის დაყენება შესაძლებელია ალგორითმული(ან პროგრამული) ისე, რომ ფართოდ გამოიყენება კომპიუტერულ გამოთვლებში.

საბოლოოდ, შეიძლება აღინიშნოს აღწერითი(ან სიტყვიერი) ფუნქციის დაზუსტების ხერხი, როდესაც ფუნქციის მნიშვნელობების არგუმენტის მნიშვნელობებთან შესაბამისობის წესი გამოხატულია სიტყვებით.

მაგალითად, ფუნქცია %%[x] = m~\forall (x \in , მუდმივი (-∞; -5];4. შეზღუდული - შეზღუდული ქვემოდან5. ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობა - y naim = 0, y naib - არ არსებობს;6. უწყვეტობა - უწყვეტი განსაზღვრების მთელ სფეროზე;7. მნიშვნელობების დიაპაზონი - , ამოზნექილი და ზემოთ და ქვემოთ (-∞; -5] და [-2; +∞).VI. ცოდნის რეპროდუცირება ახალ დონეზე. მოგეხსენებათ, რომ ცალ-ცალკე მოცემული ფუნქციების გრაფიკების აგება და გამოკვლევა გაშუქებულია ალგებრის გამოცდის მეორე ნაწილში ფუნქციების განყოფილებაში და ფასდება 4 და 6 ქულით. მოდით მივმართოთ ამოცანების კრებულს. გვერდი 119 - No 4.19-1). ამოხსნა: 1). y \u003d - x, - კვადრატული ფუნქცია, გრაფიკი - პარაბოლა, განშტოებები ქვემოთ (a \u003d -1, a 0) . x -2 -1 0 1 2 y -4 -1 0 1 4 2) y \u003d 3x - 10, - წრფივი ფუნქცია, გრაფიკი არის სწორი ხაზიმოდით შევქმნათ ცხრილი რამდენიმე მნიშვნელობის შესახებx 3 3 y 0 -1 3) y \u003d -3x -10, - წრფივი ფუნქცია, გრაფიკი არის სწორი ხაზიმოდით შევქმნათ ცხრილი რამდენიმე მნიშვნელობის შესახებ x -3 -3 y 0 -1 4) ვაშენებთ ფუნქციების გრაფიკებს ერთ კოორდინატულ სისტემაში და ვარჩევთ გრაფიკების ნაწილებს მოცემული ინტერვალებით.
მოდით ვიპოვოთ გრაფიკიდან, რომელ x-ის მნიშვნელობებისთვის არის ფუნქციის მნიშვნელობები არაუარყოფითი.პასუხი: f(x)  0 x = 0-ისთვის და ამისთვის  3 VII.მუშაობა არასტანდარტულ ამოცანებზე. No4.29-1), გვ.121.გამოსავალი: 1) პირდაპირი (მარცხნივ) y \u003d kx + b გადის წერტილებში (-4;0) და (-2;2). ასე რომ -4 k + b = 0, -2 k + b = 2;
k \u003d 1, b \u003d 4, y \u003d x + 4. პასუხი: x +4 თუ x -2 y = თუ -2  x 3 ფუნტი 3 თუ x  3
VIII.ცოდნის კონტროლი. ასე რომ, მოდით შევაჯამოთ ცოტა. რა გავიმეორეთ გაკვეთილზე ფუნქციის კვლევის გეგმა, ცალი ფუნქციის გრაფიკის გამოსახვის საფეხურები, ფუნქციის ანალიტიკურად დაყენება. მოდით შევამოწმოთ როგორ ისწავლეთ ეს მასალა. ტესტირება "4" - "5", "3" I ვარიანტი No. U
2 1 -1 -1 1 X

D(f) = , ამოზნექილი და ზევით და ქვევით მიერ, ამოზნექილი ზევით და ქვევით მიერ, კლება ________-ით შეზღუდული ____________-ით მაინც არ არსებობს, მაქსიმუმ =_____ უწყვეტი განსაზღვრების მთელ დომენზე E(f) = ___________ ქვევით და ზემოთ განსაზღვრების მთელი დომენით

მუნიციპალური საბიუჯეტო საგანმანათლებლო დაწესებულება

№13 საშუალო სკოლა

"ნაწილობრივი ფუნქციები"

საპოგოვა ვალენტინა და

დონსკაია ალექსანდრა

მთავარი კონსულტანტი:

ბერდსკი

1. ძირითადი მიზნებისა და ამოცანების განსაზღვრა.

2. დაკითხვა.

2.1. სამუშაოს აქტუალობის განსაზღვრა

2.2. პრაქტიკული მნიშვნელობა.

3. ფუნქციების ისტორია.

4. ზოგადი მახასიათებლები.

5. ფუნქციების დაყენების მეთოდები.

6. კონსტრუქციის ალგორითმი.

8. გამოყენებული ლიტერატურა.

1. ძირითადი მიზნებისა და ამოცანების განსაზღვრა.

სამიზნე:

გაეცანით ფუნქციების ნაწილებად ამოხსნის გზას და ამის საფუძველზე შეადგინეთ მათი აგების ალგორითმი.

Დავალებები:

— გაეცანით ცალი ფუნქციების ზოგად კონცეფციას;

- ისწავლეთ ტერმინი „ფუნქციის“ ისტორია;

- გამოკითხვის ჩატარება;

— ფუნქციების ცალმხრივად დაყენების გზების იდენტიფიცირება;

- შეადგინეთ მათი აგების ალგორითმი;

2. დაკითხვა.

ჩატარდა გამოკითხვა საშუალო სკოლის მოსწავლეებს შორის ფუნქციების ნაწილებად აგების უნარზე. გამოკითხულთა საერთო რაოდენობამ 54 ადამიანი შეადგინა. მათ შორის 6%-მა სამუშაო სრულად დაასრულა. 28%-მა შეძლო სამუშაოს დასრულება, მაგრამ გარკვეული შეცდომით. 62% - ვერ შეასრულეს სამუშაო, თუმცა გარკვეული მცდელობები გააკეთეს, დანარჩენი 4% კი საერთოდ არ შეუდგა მუშაობას.

ამ გამოკითხვიდან შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ ჩვენი სკოლის მოსწავლეებს, რომლებიც გადიან პროგრამას, აქვთ არასაკმარისი ცოდნის ბაზა, რადგან ეს ავტორი დიდ ყურადღებას არ აქცევს ამ ტიპის ამოცანებს. სწორედ აქედან გამომდინარეობს ჩვენი მუშაობის აქტუალობა და პრაქტიკული მნიშვნელობა.

2.1. სამუშაოს აქტუალობის განსაზღვრა.

შესაბამისობა:

ცალმხრივი ფუნქციები გვხვდება როგორც GIA-ში, ასევე USE-ში, ამოცანები, რომლებიც შეიცავს ამ ტიპის ფუნქციებს, ფასდება 2 ან მეტ ქულაზე. და, შესაბამისად, თქვენი შეფასება შეიძლება დამოკიდებული იყოს მათ გადაწყვეტილებაზე.

2.2. პრაქტიკული მნიშვნელობა.

ჩვენი მუშაობის შედეგი იქნება ფუნქციების ცალმხრივი ამოხსნის ალგორითმი, რომელიც დაგეხმარებათ მათი კონსტრუქციის გაგებაში. და ეს დაამატებს გამოცდაზე სასურველი ნიშნის მიღების შანსებს.

3. ფუნქციების ისტორია.

- „ალგებრა მე-9 კლასი“ და ა.შ.;

უწყვეტობა და ფუნქციების ცალ-ცალკე შედგენა რთული თემაა. უმჯობესია ისწავლოთ გრაფიკების აგება პირდაპირ პრაქტიკულ გაკვეთილზე. აქ ძირითადად ნაჩვენებია კვლევა უწყვეტობის შესახებ.

ცნობილია, რომ ელემენტარული ფუნქცია(იხ. გვ. 16) უწყვეტია ყველა წერტილში, სადაც ის არის განსაზღვრული. ამრიგად, ელემენტარული ფუნქციების შეწყვეტა შესაძლებელია მხოლოდ ორი ტიპის წერტილებში:

ა) იმ წერტილებში, სადაც ფუნქცია „გადალახულია“;

ბ) წერტილებში, სადაც ფუნქცია არ არსებობს.

შესაბამისად, მხოლოდ ასეთი პუნქტები შემოწმდება კვლევის დროს უწყვეტობისთვის, როგორც ეს ნაჩვენებია მაგალითებში.

არა ელემენტარული ფუნქციებისთვის შესწავლა უფრო რთულია. მაგალითად, ფუნქცია (რიცხვის მთელი რიცხვი) განისაზღვრება მთელ რიცხვთა წრფეზე, მაგრამ განიცდის შესვენებას თითოეულ მთელ რიცხვში. x. მსგავსი კითხვები ამ სახელმძღვანელოს ფარგლებს სცილდება.

მასალის შესწავლამდე ლექციიდან ან სახელმძღვანელოდან უნდა გაიმეოროთ, რა არის (რა სახის) შესვენების წერტილები.

ცალმხრივი მოცემული ფუნქციების გამოკვლევა უწყვეტობისთვის

ფუნქციური ნაკრები ცალ-ცალკე, თუ იგი მოცემულია სხვადასხვა ფორმულებით განსაზღვრების დომენის სხვადასხვა ნაწილში.

ასეთი ფუნქციების შესწავლის მთავარი იდეა არის იმის გარკვევა, არის თუ არა ფუნქცია განსაზღვრული იმ წერტილებში, სადაც ის ხელახლა არის განსაზღვრული და როგორ. შემდეგ მოწმდება, არის თუ არა ასეთი წერტილების მარცხნივ და მარჯვნივ ფუნქციის მნიშვნელობები.

მაგალითი 1მოდით ვაჩვენოთ, რომ ფუნქცია
უწყვეტი.

ფუნქცია
ელემენტარულია და, შესაბამისად, უწყვეტი იმ წერტილებში, რომლებშიც ის არის განსაზღვრული. მაგრამ, ცხადია, ის ყველა პუნქტშია განსაზღვრული. ამიტომ, ის უწყვეტია ყველა წერტილში, მათ შორის
, როგორც ამას მოითხოვს მდგომარეობა.

იგივე ეხება ფუნქციას
და ზე
ის უწყვეტია.

ასეთ შემთხვევებში, უწყვეტობა შეიძლება დაირღვეს მხოლოდ მაშინ, როდესაც ფუნქცია ხელახლა არის განსაზღვრული. ჩვენს მაგალითში ეს არის წერტილი
. მოდით შევამოწმოთ, რისთვისაც ვპოულობთ საზღვრებს მარცხნივ და მარჯვნივ:

საზღვრები მარცხნივ და მარჯვნივ იგივეა. გასათვალისწინებელია:

ა) განსაზღვრულია თუ არა ფუნქცია თავად წერტილში
;

ბ) თუ ასეა, ემთხვევა თუ არა?
ზღვრული მნიშვნელობებით მარცხნივ და მარჯვნივ.

პირობით, თუ
, მაშინ
. Ამიტომაც
.

ჩვენ ვხედავთ, რომ (ყველა უდრის რიცხვს 2). ეს ნიშნავს, რომ იმ წერტილში
ფუნქცია უწყვეტია. ასე რომ, ფუნქცია უწყვეტია მთელ ღერძზე, წერტილის ჩათვლით
.

გადაწყვეტის შენიშვნები

ა) ამან არ ითამაშა როლი გამოთვლებში, შემცვლელიჩვენ ვართ კონკრეტული რიცხვის ფორმულაში
ან
. ეს ჩვეულებრივ მნიშვნელოვანია, როდესაც მიიღება უსასრულობის ნიშანზე გაყოფა. Აქ
და
პასუხისმგებელი მხოლოდ ფუნქციის შერჩევა;

ბ) როგორც წესი, აღნიშვნები
და
თანაბარია, იგივე ეხება აღნიშვნებს
და
(და მართალია ნებისმიერ საკითხზე, არა მხოლოდ
). შემდეგში, მოკლედ, ვიყენებთ ფორმის აღნიშვნებს
;

გ) როდესაც მარცხნივ და მარჯვნივ ზღვრები ტოლია, უწყვეტობის შესამოწმებლად, ფაქტობრივად, რჩება თუ არა ერთ-ერთი უტოლობა მოდუნებული. მაგალითში ეს მე-2 უტოლობა აღმოჩნდა.

მაგალითი 2ჩვენ ვიკვლევთ ფუნქციის უწყვეტობას
.

იგივე მიზეზების გამო, როგორც მაგალით 1-ში, უწყვეტობა შეიძლება დაირღვეს მხოლოდ წერტილში
. მოდით შევამოწმოთ:

მარცხნივ და მარჯვნივ საზღვრები თანაბარია, მაგრამ თავად წერტილში
ფუნქცია არ არის განსაზღვრული (უტოლობა მკაცრია). Ეს ნიშნავს, რომ
- წერტილი შესაკეთებელი უფსკრული.

„მოხსნადი შეწყვეტა“ ნიშნავს, რომ საკმარისია ან რომელიმე უტოლობა არამკაცრად გავხადოთ, ან ცალკე წერტილის გამოგონება.
ფუნქცია, რომლის ღირებულებაც ზე
არის -5, ან უბრალოდ მიუთითეთ ეს
ისე რომ მთელი ფუნქცია
უწყვეტი გახდა.

პასუხი:წერტილი
- შესვენების წერტილი.

შენიშვნა 1.ლიტერატურაში, მოსახსნელი უფსკრული, როგორც წესი, განიხილება 1-ლი ტიპის უფსკრულის განსაკუთრებულ შემთხვევად, თუმცა, სტუდენტები უფრო ხშირად ესმით, როგორც ცალკეული ტიპის უფსკრული. შეუსაბამობების თავიდან აცილების მიზნით, ჩვენ დავიცავთ 1-ელ თვალსაზრისს და კონკრეტულად განვსაზღვრავთ 1-ლი სახის „გამოუვალ“ უფსკრული.

მაგალითი 3შეამოწმეთ ფუნქცია უწყვეტია თუ არა

წერტილში

მარცხნივ და მარჯვნივ საზღვრები განსხვავებულია:
. განსაზღვრულია თუ არა ფუნქცია
(დიახ) და თუ ასეა, რა უდრის (უდრის 2), ქულა
–პირველი სახის შეუქცევადი შეწყვეტის წერტილი.

წერტილში
გაგრძელება საბოლოო ნახტომი(1-დან 2-მდე).

პასუხი:წერტილი

შენიშვნა 2.Მაგივრად
და
ჩვეულებრივ წერენ
და
შესაბამისად.

ხელმისაწვდომია კითხვა:როგორ განსხვავდება ფუნქციები

და
,

და ასევე მათი ჩარტები? უფლება პასუხი:

ა) მე-2 ფუნქცია არ არის განსაზღვრული წერტილში
;

ბ) 1-ლი ფუნქციის გრაფიკზე წერტილი
"დახატული", გრაფიკზე 2 - არა ("პუნქციური წერტილი").

Წერტილი
სადაც მთავრდება გრაფიკი
, ორივე ნაკვეთში არ არის დაჩრდილული.

უფრო რთულია ფუნქციების შესწავლა, რომლებზეც განსხვავებულად არის განსაზღვრული სამინაკვეთები.

მაგალითი 4ფუნქცია უწყვეტია?
?

ისევე, როგორც მაგალითებში 1 - 3, თითოეული ფუნქცია
,
და უწყვეტია მთელ რიცხვით ღერძზე, იმ მონაკვეთის ჩათვლით, რომელზედაც იგი მოცემულია. უფსკრული შესაძლებელია მხოლოდ წერტილში
ან (და) წერტილში
სადაც ფუნქცია უგულებელყოფილია.

ამოცანა დაყოფილია 2 ქვეამოცანად: ფუნქციის უწყვეტობის გამოკვლევა

და
,

უფრო მეტიც, წერტილი
ფუნქციისთვის არ არის საინტერესო
და წერტილი
- ფუნქციისთვის
.

1 ნაბიჯი.წერტილის შემოწმება
და ფუნქცია
(ჩვენ არ ვწერთ ინდექსს):

ლიმიტები ემთხვევა. პირობით,
(თუ მარცხნივ და მარჯვნივ ზღვრები ტოლია, მაშინ ფუნქცია რეალურად უწყვეტია, როდესაც ერთ-ერთი უტოლობა არ არის მკაცრი). ასე რომ, წერტილში
ფუნქცია უწყვეტია.

მე-2 ნაბიჯი.წერტილის შემოწმება
და ფუნქცია
:

Იმიტომ რომ
, წერტილი
არის პირველი სახის შეწყვეტის წერტილი და მნიშვნელობა
(და საერთოდ არსებობს თუ არა) მნიშვნელობა აღარ აქვს.

პასუხი:ფუნქცია უწყვეტია ყველა წერტილში, წერტილის გარდა
, სადაც არის 1-ლი სახის გამოუსწორებელი შეწყვეტა - ნახტომი 6-დან 4-მდე.

მაგალითი 5იპოვნეთ ფუნქციის შესვენების წერტილები
.

ჩვენ ვმოქმედებთ ისევე, როგორც მე-4 მაგალითში.

1 ნაბიჯი.წერტილის შემოწმება
:

ა)
, რადგან მარცხნივ
ფუნქცია მუდმივია და 0-ის ტოლია;

ბ) (
არის თანაბარი ფუნქცია).

საზღვრები იგივეა, მაგრამ
ფუნქცია არ არის განსაზღვრული პირობით და გამოდის, რომ
- შესვენების წერტილი.

მე-2 ნაბიჯი.წერტილის შემოწმება
:

ა)
;

ბ)
- ფუნქციის მნიშვნელობა არ არის დამოკიდებული ცვლადზე.

ლიმიტები განსხვავებულია: , წერტილი
არის 1-ლი სახის შეუქცევადი შეწყვეტის წერტილი.

პასუხი:
- შესვენების წერტილი,
არის პირველი სახის მოუხსნელი წყვეტის წერტილი, სხვა წერტილებში ფუნქცია უწყვეტია.

მაგალითი 6ფუნქცია უწყვეტია?
?

ფუნქცია
დადგენილია
, ასე რომ მდგომარეობა
მდგომარეობად იქცევა
.

მეორეს მხრივ, ფუნქცია
დადგენილია
, ე.ი. ზე
. ასე რომ, მდგომარეობა
მდგომარეობად იქცევა
.

გამოდის, რომ პირობა უნდა დაკმაყოფილდეს
და მთელი ფუნქციის განსაზღვრის დომენი არის სეგმენტი
.

თავად ფუნქციები
და
არის ელემენტარული და, შესაბამისად, უწყვეტი ყველა წერტილში, სადაც ისინი განსაზღვრულია - კერძოდ და ამისთვის
.

რჩება იმის შემოწმება, თუ რა ხდება ამ ეტაპზე
:

ა)
;

Იმიტომ რომ
, ნახეთ, არის თუ არა ფუნქცია განსაზღვრული წერტილში
. დიახ, 1 უტოლობა არ არის მკაცრი მიმართებაში
და ეს საკმარისია.

პასუხი:ფუნქცია განისაზღვრება სეგმენტზე
და მასზე უწყვეტი.

უფრო რთული შემთხვევები, როდესაც ერთ-ერთი შემადგენელი ფუნქცია არ არის ელემენტარული ან არ არის განსაზღვრული მისი სეგმენტის რომელიმე პუნქტში, სცილდება სახელმძღვანელოს ფარგლებს.

NF1.შედგენის ფუნქციის გრაფიკები. ყურადღება მიაქციეთ არის თუ არა ფუნქცია განსაზღვრული იმ წერტილში, სადაც ის ხელახლა არის განსაზღვრული და თუ ასეა, რა არის ფუნქციის მნიშვნელობა (სიტყვა " თუ” გამოტოვებულია ფუნქციის განმარტებაში მოკლედ):

1) ა)
ბ)
in)
გ)

2) ა)
ბ)
in)
გ)

3) ა)
ბ)
in)
გ)

4) ა)
ბ)
in)
გ)

მაგალითი 7დაე
. მერე საიტზე
ჰორიზონტალური ხაზის აშენება
და საიტზე
ჰორიზონტალური ხაზის აშენება
. ამ შემთხვევაში, წერტილი კოორდინატებით
„ამოიჭრა“ და წერტილი
"დახატული". წერტილში
მიიღება 1-ლი სახის უწყვეტობა („ნახტომი“) და
.

NF2.გამოიკვლიეთ განსხვავებულად განსაზღვრული ფუნქციების უწყვეტობა 3 ინტერვალზე. დახაზეთ გრაფიკები:

1) ა)
ბ)
in)

გ)
ე)
ე)

2) ა)
ბ)
in)

გ)
ე)
ე)

3) ა)
ბ)
in)

გ)
ე)
ე)

მაგალითი 8დაე
. მდებარეობა ჩართულია
სწორი ხაზის აშენება
, რისთვისაც ვპოულობთ
და
. წერტილების შეერთება
და
სეგმენტი. ჩვენ არ ჩავთვლით თავად ქულებს, ვინაიდან for
და
ფუნქცია არ არის განსაზღვრული პირობით.

მდებარეობა ჩართულია
და
შემოხაზეთ OX ღერძი (მასზე
), მაგრამ ქულები
და
"ნაკაუტი". წერტილში
ვიღებთ მოსახსნელ შეწყვეტას და წერტილში
– პირველი სახის შეწყვეტა („ნახტომი“).

NF3.დახაზეთ ფუნქციის გრაფიკები და დარწმუნდით, რომ ისინი უწყვეტია:

1) ა)
ბ)
in)

გ)
ე)
ე)

2) ა)
ბ)
in)

გ)
ე)
ე)

NF4.დარწმუნდით, რომ ფუნქციები უწყვეტია და შექმენით მათი გრაფიკები:

1) ა)
ბ)
in)

2 ა)
ბ)
in)

3) ა)
ბ)
in)

NF5.შედგენის ფუნქციის გრაფიკები. ყურადღება მიაქციეთ უწყვეტობას:

1) ა)
ბ)
in)

გ)
ე)
ე)

2) ა)
ბ)
in)

გ)
ე)
ე)

3) ა)
ბ)
in)

გ)
ე)
ე)

4) ა)
ბ)
in)

გ)
ე)
ე)

5) ა)
ბ)
in)

გ)
ე)
ე)

NF6.უწყვეტი ფუნქციების გრაფიკების დახატვა. გაითვალისწინეთ ფუნქციის მნიშვნელობა იმ წერტილში, სადაც ფუნქცია ხელახლა არის განსაზღვრული (და არსებობს თუ არა):

1) ა)
ბ)
in)

გ)
ე)
ე)

2) ა)
ბ)
in)

გ)
ე)
ე)

3) ა)
ბ)
in)

გ)
ე)
ე)

4) ა)
ბ)
in)

გ)
ე)
ე)

5) ა)
ბ)
in)

გ)
ე)
ე)

NF7.იგივე დავალება, როგორც NF6-ში:

1) ა)
ბ)
in)

გ)
ე)
ე)

2) ა)
ბ)
in)

გ)
ე)
ე)

3) ა)
ბ)
in)

გ)
ე)
ე)

4) ა)
ბ)
in)

გ)
ე)
ე)

ბუნებაში მიმდინარე რეალური პროცესები შეიძლება აღწერილი იყოს ფუნქციების გამოყენებით. ამრიგად, ჩვენ შეგვიძლია განვასხვავოთ პროცესების ნაკადის ორი ძირითადი ტიპი, რომლებიც ერთმანეთის საპირისპიროა - ეს არის თანდათანობითან უწყვეტიდა სპაზმური(მაგალითი იქნება ბურთის დაცემა და მოხსნა). მაგრამ თუ არსებობს უწყვეტი პროცესები, მაშინ არსებობს სპეციალური საშუალებები მათი აღწერისთვის. ამ მიზნით მიმოქცევაში იდება ფუნქციები, რომლებსაც აქვთ უწყვეტობა, ნახტომი, ანუ რიცხვითი ხაზის სხვადასხვა ნაწილში ფუნქცია იქცევა სხვადასხვა კანონების მიხედვით და, შესაბამისად, მოცემულია სხვადასხვა ფორმულებით. შემოღებულია შეწყვეტის წერტილებისა და მოსახსნელი შეწყვეტის ცნებები.

რა თქმა უნდა, თქვენ უკვე გინახავთ რამდენიმე ფორმულით განსაზღვრული ფუნქციები, რაც დამოკიდებულია არგუმენტის მნიშვნელობებზე, მაგალითად:

y \u003d (x - 3, x\u003e -3-ით;
(-(x - 3), x-სთვის< -3.

ასეთ ფუნქციებს ე.წ ცალ-ცალკეან ცალ-ცალკე. ნომრის ხაზის სექციები სხვადასხვა სამუშაო ფორმულებით, მოდით დარეკოთ შემადგენელი კომპონენტებიდომენი. ყველა კომპონენტის გაერთიანება არის ცალი ფუნქციის დომენი. იმ წერტილებს, რომლებიც ყოფს ფუნქციის დომენს კომპონენტებად, ეწოდება სასაზღვრო წერტილები. ფორმულები, რომლებიც განსაზღვრავენ ცალმხრივ ფუნქციას განმარტების თითოეულ შემადგენელ დომენზე, ეწოდება შემომავალი ფუნქციები. ცალ-ცალკე მოცემული ფუნქციების გრაფიკები მიიღება დანაყოფის თითოეულ ინტერვალზე აგებული გრაფიკების ნაწილების გაერთიანების შედეგად.

Სავარჯიშოები.

შეადგინეთ ცალი ფუნქციების გრაფიკები:

1) (-3, -4 ≤ x< 0,
f(x) = (0, x = 0-ისთვის,
(1, 0-ზე< x ≤ 5.

პირველი ფუნქციის გრაფიკი არის სწორი ხაზი, რომელიც გადის y = -3 წერტილში. იგი წარმოიქმნება კოორდინატების მქონე წერტილში (-4; -3), მიდის აბსცისის ღერძის პარალელურად კოორდინატებთან (0; -3) წერტილამდე. მეორე ფუნქციის გრაფიკი არის წერტილი კოორდინატებით (0; 0). მესამე გრაფიკი პირველის მსგავსია - ეს არის სწორი ხაზი, რომელიც გადის y \u003d 1 წერტილში, მაგრამ უკვე Ox ღერძის გასწვრივ 0-დან 5-მდე მიდამოში.

პასუხი: სურათი 1.

2) (3 თუ x ≤ -4,
f(x) = (|x 2 - 4|x| + 3| თუ -4< x ≤ 4,
(3 - (x - 4) 2 თუ x > 4.

განიხილეთ თითოეული ფუნქცია ცალკე და დახაზეთ მისი გრაფიკი.

ასე რომ, f(x) = 3 არის სწორი ხაზი Ox ღერძის პარალელურად, მაგრამ ის უნდა დაიხაზოს მხოლოდ იმ არეში, სადაც x ≤ -4.

f(x) = |x 2 – 4|x| ფუნქციის გრაფიკი + 3| შეიძლება მივიღოთ პარაბოლიდან y \u003d x 2 - 4x + 3. მისი გრაფიკის აგების შემდეგ, ფიგურის ნაწილი, რომელიც დევს Ox ღერძის ზემოთ, უნდა დარჩეს უცვლელი, ხოლო ნაწილი, რომელიც დევს აბსცისის ღერძის ქვეშ, უნდა იყოს ნაჩვენები სიმეტრიულად. Ox-ის ღერძთან შედარებით. შემდეგ სიმეტრიულად აჩვენეთ გრაფიკის ის ნაწილი, სადაც
x ≥ 0 Oy ღერძის შესახებ უარყოფითი x-ისთვის. ყველა გარდაქმნის შედეგად მიღებული გრაფიკი რჩება მხოლოდ აბსცისის გასწვრივ -4-დან 4-მდე არეში.

მესამე ფუნქციის გრაფიკი არის პარაბოლა, რომლის ტოტები მიმართულია ქვემოთ, ხოლო წვერო არის კოორდინატებთან (4; 3) წერტილში. ნახატი გამოსახულია მხოლოდ იმ ადგილას, სადაც x > 4.

პასუხი: სურათი 2.

3) (8 - (x + 6) 2 თუ x ≤ -6,
f(x) = (|x 2 – 6|x| + 8| თუ -6 ≤ x< 5,
(3 თუ x ≥ 5.

შემოთავაზებული ცალ-ცალკე მოცემული ფუნქციის კონსტრუქცია წინა აბზაცის მსგავსია. აქ პირველი ორი ფუნქციის გრაფიკები მიიღება პარაბოლის გარდაქმნებიდან, ხოლო მესამეს გრაფიკი არის სწორი ხაზი Ox-ის პარალელურად.

პასუხი: სურათი 3.

4) დახაზეთ ფუნქცია y = x – |x| + (x – 1 – |x|/x) 2 .

გამოსავალი.ამ ფუნქციის დომენი არის ყველა რეალური რიცხვი ნულის გარდა. მოდით გავხსნათ მოდული. ამისათვის განიხილეთ ორი შემთხვევა:

1) x > 0-ისთვის მივიღებთ y = x - x + (x - 1 - 1) 2 = (x - 2) 2 .

2) x-სთვის< 0 получим y = x + x + (x – 1 + 1) 2 = 2x + x 2 .

ამრიგად, ჩვენ გვაქვს ცალ-ცალკე მოცემული ფუნქცია:

y = ((x - 2) 2, x > 0-ისთვის;
( x 2 + 2x, x-სთვის< 0.

ორივე ფუნქციის გრაფიკები არის პარაბოლები, რომელთა ტოტები მიმართულია ზემოთ.

პასუხი: სურათი 4.

5) დახაზეთ ფუნქცია y = (x + |x|/x – 1) 2 .

გამოსავალი.

ადვილი მისახვედრია, რომ ფუნქციის დომენი არის ყველა რეალური რიცხვი ნულის გარდა. მოდულის გაფართოების შემდეგ, ჩვენ ვიღებთ ცალ-ცალკე მოცემულ ფუნქციას:

1) x > 0-ისთვის მივიღებთ y = (x + 1 - 1) 2 = x 2 .

2) x-სთვის< 0 получим y = (x – 1 – 1) 2 = (x – 2) 2 .

გადავიწეროთ.

y \u003d (x 2, x\u003e 0-ისთვის;
((x – 2) 2, x-ისთვის< 0.

ამ ფუნქციების გრაფიკები პარაბოლებია.

პასუხი: ფიგურა 5.

6) არის თუ არა ფუნქცია, რომლის გრაფიკს კოორდინატულ სიბრტყეზე აქვს საერთო წერტილი რომელიმე წრფესთან?

გამოსავალი.

Დიახ აქ არის.

მაგალითი იქნება ფუნქცია f(x) = x 3. მართლაც, კუბური პარაბოლის გრაფიკი კვეთს ვერტიკალურ ხაზს x = a წერტილში (a; a 3). ახლა სწორი ხაზი მოცემულია განტოლებით y = kx + b. შემდეგ განტოლება
x 3 - kx - b \u003d 0 აქვს ნამდვილი ფესვი x 0 (რადგან კენტი ხარისხის პოლინომს ყოველთვის აქვს მინიმუმ ერთი რეალური ფესვი). ამრიგად, ფუნქციის გრაფიკი იკვეთება y \u003d kx + b სწორ ხაზთან, მაგალითად, წერტილში (x 0; x 0 3).

blog.site, მასალის სრული ან ნაწილობრივი კოპირებით, საჭიროა წყაროს ბმული.