ნაწილი 5 გამოთქმები და განტოლებები

განყოფილებაში შეისწავლით:

ü o გამონათქვამები და მათი გამარტივებები;

ü რა თვისებები აქვს თანასწორობას;

ü როგორ ამოხსნათ განტოლებები ტოლობების თვისებებზე დაყრდნობით;

ü რა ტიპის ამოცანები წყდება განტოლებების დახმარებით; რა არის პერპენდიკულარული ხაზები და როგორ ავაშენოთ ისინი;

ü რა ხაზებს უწოდებენ პარალელურს და როგორ ავაშენოთ ისინი;

ü რა არის კოორდინატთა სიბრტყე;

ü როგორ განვსაზღვროთ სიბრტყეზე წერტილის კოორდინატები;

ü რა არის სიდიდეებს შორის დამოკიდებულების გრაფიკი და როგორ ავაშენოთ იგი;

ü როგორ გამოვიყენოთ ნასწავლი მასალა პრაქტიკაში

§ 30. გამოთქმები და მათი გამარტივება

თქვენ უკვე იცით რა არის პირდაპირი გამონათქვამები და იცით როგორ გაამარტივოთ ისინი შეკრებისა და გამრავლების კანონების გამოყენებით. მაგალითად, 2a ∙ (-4ბ) = -8 აბ . შედეგად გამოსახულებაში რიცხვს -8 ეწოდება გამოხატვის კოეფიციენტი.

გამოხატავს cd კოეფიციენტი? Ისე. ის უდრის 1-ს, რადგან cd - 1 ∙ cd .

შეგახსენებთ, რომ ფრჩხილებით გამოსახულების გადაქცევას ფრჩხილების გარეშე გამოსახულებად ეწოდება ფრჩხილების გაფართოება. მაგალითად: 5(2x + 4) = 10x + 20.

ამ მაგალითში საპირისპირო მოქმედება არის საერთო ფაქტორის ფრჩხილებიდან ამოღება.

ტერმინებს, რომლებიც შეიცავს იგივე ლიტერატურულ ფაქტორებს, მსგავს ტერმინებს უწოდებენ. საერთო ფაქტორის ფრჩხილებიდან ამოღებით, მსგავსი ტერმინები დგება:

5x + y + 4 - 2x + 6 y - 9 =

= (5x - 2x) + (y + 6y )+ (4 - 9) = = (5-2)* + (1 + 6)* y-5=

B x + 7y - 5.

ფრჩხილის გაფართოების წესები

1. თუ ფრჩხილების წინ არის „+“ ნიშანი, მაშინ ფრჩხილების გახსნისას დაცულია ფრჩხილებში მოცემული ტერმინების ნიშნები;

2. თუ ფრჩხილების წინ არის „-“ ნიშანი, მაშინ ფრჩხილების გახსნისას ფრჩხილებში მოცემული ტერმინების ნიშნები უკუღმა ხდება.

ამოცანა 1 . გამოთქმის გამარტივება:

1) 4x+(-7x + 5);

2) 15 y -(-8 + 7 y ).

გადაწყვეტილებები. 1. ფრჩხილების წინ არის „+“ ნიშანი, ამიტომ ფრჩხილების გახსნისას დაცულია ყველა ტერმინის ნიშანი:

4x + (-7x + 5) \u003d 4x - 7x + 5 \u003d -3x + 5.

2. ფრჩხილების წინ არის „-“ ნიშანი, შესაბამისად, ფრჩხილების გახსნისას: ყველა ტერმინის ნიშანი შებრუნებულია:

15 - (- 8 + 7წ) \u003d 15წ + 8 - 7წ \u003d 8წ +8.

ფრჩხილების გასახსნელად გამოიყენეთ გამრავლების გამანაწილებელი თვისება: a(ბ + გ) = აბ + ac. თუ a > 0, მაშინ ტერმინების ნიშნებიბ და არ შეიცვალოს. Თუ< 0, то знаки слагаемых ბ და დან არიან შებრუნებული.

დავალება 2. გამოთქმის გამარტივება:

1) 2(6წ -8) + 7წ;

2) -5 (2-5x) + 12.

გადაწყვეტილებები. 1. კოეფიციენტი 2 ფრჩხილების წინ არის დადებითი, ამიტომ ფრჩხილების გახსნისას ვინახავთ ყველა ტერმინის ნიშანს: 2(6. y - 8) + 7 y = 12 y - 16 + 7 y =19 y -16.

2. კოეფიციენტი -5 ფრჩხილების წინ არის უარყოფითი, ამიტომ ფრჩხილების გახსნისას ყველა ტერმინის ნიშანს ვცვლით საპირისპიროზე:

5(2 - 5x) + 12 = -10 + 25x +12 = 2 + 25x.

შეიტყვეთ მეტი

1. სიტყვა "sum" მომდინარეობს ლათინურიდანშეჯამება , რაც ნიშნავს "სულ", "სულ".

2. სიტყვა „პლუს“ ლათინურიდან მოდისპლუს, რაც ნიშნავს "მეტს", ხოლო სიტყვა "მინუს" - ლათინურიდანმინუს, რაც ნიშნავს "ნაკლებს". ნიშნები "+" და "-" გამოიყენება შეკრებისა და გამოკლების მოქმედებების აღსანიშნავად. ეს ნიშნები შემოიღო ჩეხმა მეცნიერმა ჯ.ვიდმანმა 1489 წელს წიგნში "სწრაფი და სასიამოვნო ანგარიში ყველა ვაჭრისთვის"(სურ. 138).

ბრინჯი. 138

დაიმახსოვრე მთავარი

1. რა ტერმინებს ჰქვია მსგავსი? როგორ იქმნება მსგავსი ტერმინები?

2. როგორ ხსნით ფრჩხილებს, რომლებსაც წინ უძღვის „+“ ნიშანი?

3. როგორ ხსნით ფრჩხილებს, რომლებსაც წინ უძღვის "-" ნიშანი?

4. როგორ ხსნით ფრჩხილებს, რომლებსაც წინ უძღვის დადებითი ფაქტორი?

5. როგორ ხსნით ფრჩხილებს, რომლებსაც წინ უძღვის უარყოფითი ფაქტორი?

1374". დაასახელეთ გამოთქმის კოეფიციენტი:

1) 12 ა; 3) -5,6 xy;

2)4 6; 4)-s.

1375". დაასახელეთ ტერმინები, რომლებიც განსხვავდებიან მხოლოდ კოეფიციენტით:

1) 10a + 76-26 + ა; 3) 5n + 5m -4n + 4;

2) bc -4d - bc + 4d; 4) 5x + 4y-x + y.

რა ჰქვია ამ ტერმინებს?

1376". არის თუ არა მსგავსი ტერმინები გამოთქმაში:

1) 11a + 10a; 3)6n + 15n; 5) 25r - 10r + 15r;

2) 14ს-12; 4)12 მ + მ; 6) 8k +10k - n?

1377". აუცილებელია თუ არა ფრჩხილებში მოცემული ტერმინების ნიშნების შეცვლა გამოთქმაში ფრჩხილების გახსნით:

1)4 + (a + 3b); 2)-c +(5-d); 3) 16-(5მ-8ნ)?

1378°. გაამარტივეთ გამოთქმა და ხაზი გაუსვით კოეფიციენტს:

1379°. გაამარტივეთ გამოთქმა და ხაზი გაუსვით კოეფიციენტს:

1380°. მსგავსი ტერმინების შემცირება:

1) 4a - Po + 6a - 2a; 4) 10 - 4 d - 12 + 4d;

2) 4b - 5b + 4 + 5b; 5) 5a - 12b - 7a + 5b;

3)-7ang="EN-US">c+ 5-3 c + 2; 6) 14 n - 12 მ -4 n -3 მ.

1381°. მსგავსი ტერმინების შემცირება:

1) 6a - 5a + 8a -7a; 3) 5s + 4-2s-3s;

2)9 ბ +12-8-46; 4) -7n + 8m - 13n - 3m.

1382°. ამოიღეთ საერთო ფაქტორი ფრჩხილებიდან:

1) 1.2 a +1.2 b; 3) -3 n - 1,8 მ; 5) -5p + 2.5k -0.5t;

2) 0,5 წმ + 5დ; 4) 1,2 n - 1,8 მ; 6) -8p - 10k - 6t.

1383°. ამოიღეთ საერთო ფაქტორი ფრჩხილებიდან:

1) 6a-12b; 3) -1,8 n -3,6 მ;

2) -0,2 წმ + 1 4 დ; ა) 3p - 0.9k + 2.7t.

1384°. გახსენით ფრჩხილები და შეამცირეთ მსგავსი პირობები;

1) 5 + (4a -4); 4) -(5 c - d) + (4 d + 5c);

2) 17x-(4x-5); 5) (n - m) - (-2 m - 3 n);

3) (76 - 4) - (46 + 2); 6) 7 (-5x + y) - (-2y + 4x) + (x - 3y).

1385°. გახსენით ფრჩხილები და შეამცირეთ მსგავსი პირობები:

1) 10a + (4 - 4a); 3) (s - 5დ) - (- d + 5s);

2) -(46-10) + (4-56); 4) - (5 ნ + მ) + (-4 ნ + 8 მ) - (2 მ -5 ნ).

1386°. გააფართოვეთ ფრჩხილები და იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა:

1)15+(-12+ 4,5); 3) (14,2-5)-(12,2-5);

2) 23-(5,3-4,7); 4) (-2,8 + 13)-(-5,6 + 2,8) + (2,8-13).

1387°. გააფართოვეთ ფრჩხილები და იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა:

1) (14- 15,8)- (5,8 + 4);

2)-(18+22,2)+ (-12+ 22,2)-(5- 12).

1388°. გახსენით ფრჩხილები:

1) 0,5 ∙ (a + 4); 4) (n - m) ∙ (-2.4 p);

2)-s ∙ (2.7-1.2 დ ); 5) 3 ∙ (-1,5 p + k - 0,2ტ);

3) 1.6 ∙ (2n + m); 6) (4.2 p - 3.5 k -6 t) ∙ (-2a).

1389°. გახსენით ფრჩხილები:

1) 2.2 ∙ (x-4); 3)(4 c - d )∙(-0.5 y );

2) -2 ∙ (1.2 ნ - მ); 4) 6- (-p + 0,3 k - 1,2 ტ).

1390. გაამარტივე გამოთქმა:

1391. გაამარტივე გამოთქმა:

1392. მსგავსი ტერმინების შემცირება:

1393. მსგავსი ტერმინების შემცირება:

1394. გაამარტივე გამოთქმა:

1) 2.8 - (0.5 a + 4) - 2.5 ∙ (2a - 6);

2) -12 ∙ (8 - 2, by) + 4.5 ∙ (-6 y - 3.2);

4) (-12,8 მ + 24,8 ნ) ∙ (-0,5)-(3,5 მ -4,05 მ) ∙ 2.

1395. გაამარტივე გამოთქმა:

1396. იპოვე გამოთქმის მნიშვნელობა;

1) 4-(0.2 a-3) - (5.8 a-16), თუ a \u003d -5;

2) 2-(7-56)+ 156-3∙(26+ 5), თუ = -0.8;

m = 0.25, n = 5.7.

1397. იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა:

1) -4∙ (i-2) + 2∙(6x - 1), თუ x = -0.25;

1398*. იპოვნეთ შეცდომა გამოსავალში:

1) 5- (a-2.4) -7 ∙ (-a + 1.2) \u003d 5a - 12-7a + 8.4 \u003d -2a-3.6;

2) -4 ∙ (2.3 a - 6) + 4.2 ∙ (-6 - 3.5 a) \u003d -9.2 a + 46 + 4.26 - 14.7 a \u003d -5.5 a + 8.26.

1399*. გააფართოვეთ ფრჩხილები და გაამარტივეთ გამოთქმა:

1) 2ab - 3(6(4a - 1) - 6(6 - 10a)) + 76;

1400*. დაალაგეთ ფრჩხილები სწორი ტოლობის მისაღებად:

1) a-6-a + 6 \u003d 2a; 2) a -2 b -2 a + b \u003d 3 a -3 b.

1401 *. დაამტკიცეთ, რომ ნებისმიერი რიცხვისთვის a და b თუ a > b , მაშინ მოქმედებს შემდეგი ტოლობა:

1) (a + b) + (a-b) \u003d 2a; 2) (a + b) - (a - b) \u003d 2 b.

სწორი იქნება თუ არა ეს ტოლობა, თუ: ა) ა< ბ; ბ) a = 6?

1402 *. დაამტკიცეთ, რომ ნებისმიერი ნატურალური რიცხვისთვის a, წინა და შემდეგი რიცხვების საშუალო არითმეტიკული ტოლია a.

მიმართეთ პრაქტიკაში

1403. სამი ადამიანისთვის ხილის დესერტის მოსამზადებლად საჭიროა: 2 ვაშლი, 1 ფორთოხალი, 2 ბანანი და 1 კივი. როგორ გავაკეთოთ პირდაპირი გამოთქმა, რათა განვსაზღვროთ ხილის რაოდენობა, რომელიც საჭიროა სტუმრებისთვის დესერტის მოსამზადებლად? დაეხმარეთ მარინს გამოთვალოს რამდენი ხილი უნდა იყიდოს, თუ სანახავად მოვა: 1) 5 მეგობარი; 2) 8 მეგობარი.

1404. მათემატიკაში საშინაო დავალების შესასრულებლად საჭირო დროის დასადგენად გააკეთეთ პირდაპირი გამოთქმა, თუ:

1) წთ დაიხარჯა პრობლემების გადაჭრაზე; 2) გამოთქმების გამარტივება 2-ჯერ მეტია, ვიდრე ამოცანების გადასაჭრელად. რამდენ დროს ასრულებდა ვასილკომ საშინაო დავალება, თუ 15 წუთი დახარჯა ამოცანების გადაჭრაზე?

1405. სადილი სკოლის სასადილოში შედგება სალათის, ბორშის, კომბოსტოს რულეტებისა და კომპოტისგან. სალათის ღირებულებაა 20%, ბორში - 30%, კომბოსტოს რულონები - 45%, კომპოტი - 5% მთლიანი კვების ღირებულების. დაწერეთ გამოთქმა სკოლის კაფეტერიაში ლანჩის საფასურის დასადგენად. რა ღირს სადილი, თუ სალათის ფასია 2 UAH?

განმეორებითი ამოცანები

1406. ამოხსენი განტოლება:

1407. ტანიამ ნაყინზე გაატარაყველა ხელმისაწვდომი ფული და ტკბილეული -დასვენება. რამდენი ფული აქვს ტანიას?

თუ ტკბილეული ღირს 12 UAH?

ზოგიერთი ერთგვარი ალგებრული მაგალითს შეუძლია შეაშინოს სკოლის მოსწავლეები. გრძელი გამონათქვამები არა მხოლოდ დამაშინებელია, არამედ ძალიან რთული გამოსათვლელია. ცდილობს დაუყოვნებლივ გაიგოს რა მოჰყვება და რა მოჰყვება, დიდხანს არ იბნეოდეს. სწორედ ამ მიზეზით, მათემატიკოსები ყოველთვის ცდილობენ მაქსიმალურად გაამარტივონ „საშინელი“ ამოცანა და მხოლოდ ამის შემდეგ გააგრძელონ მისი ამოხსნა. უცნაურად საკმარისია, რომ ასეთი ხრიკი მნიშვნელოვნად აჩქარებს პროცესს.

გამარტივება ერთ-ერთი ფუნდამენტური წერტილია ალგებრაში. თუ მარტივ ამოცანებში ამის გაკეთება ჯერ კიდევ შესაძლებელია, მაშინ მაგალითების გამოთვლა უფრო რთული შეიძლება იყოს "ზედმეტად მკაცრი". ეს არის ის, სადაც ეს უნარები გამოდგება! უფრო მეტიც, რთული მათემატიკური ცოდნა არ არის საჭირო: საკმარისი იქნება მხოლოდ დაიმახსოვროთ და ისწავლოთ, თუ როგორ გამოიყენოთ რამდენიმე ძირითადი ტექნიკა და ფორმულა.

მიუხედავად გამოთვლების სირთულისა, ნებისმიერი გამონათქვამის ამოხსნისას მნიშვნელოვანია დაიცავით მოქმედებების თანმიმდევრობა რიცხვებით:

1. ფრჩხილები;
2. ექსპონენტაცია;
3. გამრავლება;
4. გაყოფა;
5. დამატება;
6. გამოკლება.

ბოლო ორი ქულის უსაფრთხოდ გაცვლა შესაძლებელია და ეს არანაირად არ იმოქმედებს შედეგზე. მაგრამ ორი მეზობელი რიცხვის დამატება, როდესაც ერთ-ერთი მათგანის გვერდით არის გამრავლების ნიშანი, აბსოლუტურად შეუძლებელია! პასუხი, ასეთის არსებობის შემთხვევაში, არასწორია. ამიტომ, თქვენ უნდა გახსოვდეთ თანმიმდევრობა.

გამოყენება ასეთი

ასეთი ელემენტები მოიცავს რიცხვებს, რომლებსაც აქვთ იგივე რიგის ან იმავე ხარისხის ცვლადი. ასევე არსებობენ ეგრეთ წოდებული თავისუფალი წევრები, რომლებსაც გვერდით არ აქვთ უცნობი ასოს აღნიშვნა.

დასკვნა ის არის, რომ ფრჩხილების არარსებობის შემთხვევაში თქვენ შეგიძლიათ გაამარტივოთ გამოხატვა ლაიქების დამატებით ან გამოკლებით.

რამდენიმე საილუსტრაციო მაგალითი:

• 8x 2 და 3x 2 - ორივე რიცხვს აქვს ერთი და იგივე მეორე რიგის ცვლადი, ამიტომ ისინი მსგავსია და მიმატებისას გამარტივდება (8+3)x2 =11x2, ხოლო გამოკლებისას გამოდის (8-3) x 2 =5x 2;
• 4x 3 და 6x - და აქ "x"-ს განსხვავებული ხარისხი აქვს;
• 2y 7 და 33x 7 - შეიცავს სხვადასხვა ცვლადებს, ამიტომ, როგორც წინა შემთხვევაში, ისინი არ მიეკუთვნებიან მსგავსებს.

რიცხვის ფაქტორინგი

ეს პატარა მათემატიკური ხრიკი, თუ ისწავლით მის სწორად გამოყენებას, დაგეხმარებათ მომავალში არაერთხელ გაუმკლავდეთ რთულ პრობლემას. და ადვილი გასაგებია, თუ როგორ მუშაობს "სისტემა": დაშლა არის რამდენიმე ელემენტის პროდუქტი, რომელთა გაანგარიშება იძლევა თავდაპირველ მნიშვნელობას. ამრიგად, 20 შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც 20x1, 2x10, 5x4, 2x5x2 ან სხვაგვარად.

შენიშვნაზე: მამრავლები ყოველთვის იგივეა, რაც გამყოფები. ასე რომ, თქვენ უნდა მოძებნოთ სამუშაო „წყვილი“ გაფართოებისთვის იმ რიცხვებს შორის, რომლითაც ორიგინალი იყოფა ნაშთების გარეშე.

თქვენ შეგიძლიათ შეასრულოთ ასეთი ოპერაცია როგორც თავისუფალი წევრებით, ასევე ცვლადზე მიმაგრებული ციფრებით. მთავარია ეს უკანასკნელი არ დაკარგოთ გამოთვლების დროს - თანაც დაშლის შემდეგ უცნობი ვერ აიღებს და „არსად წავა“. ის რჩება ერთ-ერთ ფაქტორზე:

• 15x=3(5x);
• 60წ 2 \u003d (15წ 2) 4.

მარტივი რიცხვები, რომლებიც მხოლოდ საკუთარ თავზე შეიძლება გაიყოს ან 1 არასოდეს ფაქტორი - აზრი არ აქვს..

გამარტივების ძირითადი მეთოდები

პირველი რაც იპყრობს თვალს:

• ფრჩხილების არსებობა;
• წილადები;
• ფესვები.

სასკოლო სასწავლო გეგმაში ალგებრული მაგალითები ხშირად შედგენილია იმ ვარაუდით, რომ მათი ლამაზად გამარტივება შესაძლებელია.

ბრეკეტის გამოთვლები

ყურადღება მიაქციეთ ნიშანს ფრჩხილების წინ!გამრავლება ან გაყოფა გამოიყენება თითოეულ ელემენტზე შიგნით, და მინუს - აბრუნებს არსებულ "+" ან "-" ნიშნებს.

ფრჩხილები გამოითვლება წესების მიხედვით ან შემოკლებული გამრავლების ფორმულების მიხედვით, რის შემდეგაც მოცემულია მსგავსი.

ფრაქციების შემცირება

წილადების შემცირებაასევე ადვილია. ისინი თვითონ "ნებით გარბიან" დროდადრო, ღირს ასეთი წევრების მოყვანით ოპერაციების გაკეთება. მაგრამ თქვენ შეგიძლიათ გაამარტივოთ მაგალითი აქამდეც: ყურადღება მიაქციეთ მრიცხველს და მნიშვნელს. ისინი ხშირად შეიცავს აშკარა ან ფარულ ელემენტებს, რომლებიც შეიძლება ურთიერთშემცირდეს. მართალია, თუ პირველ შემთხვევაში თქვენ უბრალოდ გჭირდებათ ზედმეტის წაშლა, მეორეში მოგიწევთ ფიქრი, გამოთქმის ნაწილი ფორმაში მიტანა გამარტივებისთვის. გამოყენებული მეთოდები:

• მრიცხველისა და მნიშვნელის უდიდესი საერთო გამყოფის ძიება და ფრჩხილებში შეყვანა;
• თითოეული ზედა ელემენტის გაყოფა მნიშვნელზე.

როდესაც გამონათქვამი ან მისი ნაწილი ფესვის ქვეშ არის, პირველადი გამარტივების პრობლემა თითქმის იგივეა, რაც წილადების შემთხვევაში. აუცილებელია მოძებნოთ გზები, რათა სრულად მოიცილოთ იგი ან, თუ ეს შეუძლებელია, მინიმუმამდე დაიყვანოთ ნიშანი, რომელიც ხელს უშლის გამოთვლებს. მაგალითად, შეუმჩნეველი √(3) ან √(7).

რადიკალური გამოხატვის გამარტივების უტყუარი გზაა მისი ფაქტორების გარჩევის მცდელობა, რომელთაგან ზოგიერთი ნიშანს მიღმაა. საილუსტრაციო მაგალითი: √(90)=√(9×10) =√(9)×√(10)=3√(10).

სხვა პატარა ხრიკები და ნიუანსი:

• ეს გამარტივების ოპერაცია შეიძლება შესრულდეს წილადებით, ამოიღოთ იგი როგორც მთლიანობაში, ასევე ცალკე, როგორც მრიცხველი ან მნიშვნელი;
• შეუძლებელია ჯამის ან სხვაობის ნაწილის დაშლა და ამოღება ფესვის მიღმა;
• ცვლადებთან მუშაობისას აუცილებლად გავითვალისწინეთ მისი ხარისხი, ის უნდა იყოს ფესვის ტოლი ან მრავლობითი გაცემის შესაძლებლობისთვის: √(x 2 y)=x√(y), √(x 3)= √(x 2 ×x)=x√( x);
• ზოგჯერ დასაშვებია რადიკალური ცვლადის მოშორება წილადის ხარისხზე აწევით: √ (y 3)=y 3/2.

ძალის გამოხატვის გამარტივება

თუ მარტივი გამოთვლების შემთხვევაში მინუს ან პლუსზე მაგალითები გამარტივებულია მსგავსის მოყვანით, მაშინ რა შეიძლება ითქვას სხვადასხვა სიმძლავრის მქონე ცვლადების გამრავლების ან გაყოფისას? მათი მარტივად გამარტივება შესაძლებელია ორი ძირითადი პუნქტის გახსენებით:

1. თუ ცვლადებს შორის არის გამრავლების ნიშანი, ემატება მაჩვენებლები.
2. როდესაც ისინი იყოფა ერთმანეთზე, ერთი და იგივე მნიშვნელი კლებულობს მრიცხველის ხარისხს.

ასეთი გამარტივების ერთადერთი პირობაა, რომ ორივე ტერმინს ჰქონდეს ერთი და იგივე საფუძველი. მაგალითები სიცხადისთვის:

• 5x 2 × 4x 7 + (y 13 / y 11) \u003d (5 × 4)x 2+7 + y 13- 11 \u003d 20x 9 + y 2;
• 2z 3 +z×z 2 -(3×z 8 /z 5)=2z 3 +z 1+2 -(3×z 8-5)=2z 3 +z 3 -3z 3 =3z 3 -3z 3 = 0.

ჩვენ აღვნიშნავთ, რომ ცვლადების წინ რიცხვითი მნიშვნელობებით ოპერაციები ხდება ჩვეულებრივი მათემატიკური წესების მიხედვით. და თუ კარგად დააკვირდებით, ირკვევა, რომ გამოხატვის ძალის ელემენტები "მუშაობენ" ანალოგიურად:

• წევრის ძლიერებამდე აყვანა ნიშნავს მის თავისთავად გამრავლებას გარკვეულ რაოდენობაზე, ანუ x 2 \u003d x × x;
• გაყოფა მსგავსია: თუ გააფართოვებთ მრიცხველის და მნიშვნელის ხარისხს, მაშინ ზოგიერთი ცვლადი შემცირდება, ხოლო დანარჩენი "შეგროვდება", რაც გამოკლების ტოლფასია.

როგორც ნებისმიერ ბიზნესში, ალგებრული გამონათქვამების გამარტივებისას საჭიროა არა მხოლოდ საფუძვლების ცოდნა, არამედ პრაქტიკაც. რამდენიმე გაკვეთილის შემდეგ, მაგალითები, რომლებიც ოდესღაც რთული ჩანდა, დიდი სირთულის გარეშე შემცირდება, გადაიქცევა მოკლე და ადვილად ამოსახსნელად.

ვიდეო

ეს ვიდეო დაგეხმარებათ გაიგოთ და დაიმახსოვროთ როგორ გამარტივებულია გამონათქვამები.

არ მიგიღიათ პასუხი თქვენს კითხვაზე? შესთავაზეთ თემა ავტორებს.

ალგებრაში განხილულ სხვადასხვა გამოთქმებს შორის მნიშვნელოვანი ადგილი უჭირავს მონომების ჯამს. აქ მოცემულია ასეთი გამონათქვამების მაგალითები:
\(5a^4 - 2a^3 + 0.3a^2 - 4.6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)

მონომების ჯამს მრავალწევრი ეწოდება. მრავალწევრის ტერმინებს მრავალწევრის წევრები ეწოდება. მონონომები ასევე მოიხსენიება როგორც მრავალწევრები, განიხილება მონომი, როგორც პოლინომი, რომელიც შედგება ერთი წევრისაგან.

მაგალითად, მრავალწევრი
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 \)
შეიძლება გამარტივდეს.

ჩვენ წარმოვადგენთ ყველა ტერმინს სტანდარტული ფორმის მონომიებად:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)

მიღებულ პოლინომში მსგავს ტერმინებს ვაძლევთ:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
შედეგი არის პოლინომი, რომლის ყველა წევრი სტანდარტული ფორმის მონომია და მათ შორის მსგავსი არ არის. ასეთ მრავალწევრებს უწოდებენ სტანდარტული ფორმის მრავალწევრები.

პერ მრავალწევრი ხარისხისტანდარტული ფორმა იღებს მისი წევრების ყველაზე დიდ უფლებამოსილებებს. ასე რომ, ბინომს \(12a^2b - 7b \) აქვს მესამე ხარისხი, ხოლო ტრინომს \(2b^2 -7b + 6 \) აქვს მეორე.

ჩვეულებრივ, სტანდარტული ფორმის მრავალწევრების ტერმინები, რომლებიც შეიცავს ერთ ცვლადს, განლაგებულია მისი მაჩვენებლების კლებადობით. Მაგალითად:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)

რამდენიმე მრავალწევრის ჯამი შეიძლება გარდაიქმნას (გამარტივდეს) სტანდარტული ფორმის მრავალწევრად.

ზოგჯერ მრავალწევრის წევრები უნდა დაიყოს ჯგუფებად, თითოეული ჯგუფის ჩასმა ფრჩხილებში. ვინაიდან ფრჩხილები ფრჩხილების საპირისპიროა, მისი ჩამოყალიბება მარტივია ფრჩხილების გახსნის წესები:

თუ + ნიშანი მოთავსებულია ფრჩხილების წინ, მაშინ ფრჩხილებში ჩასმული ტერმინები იწერება იგივე ნიშნებით.

თუ ფრჩხილების წინ არის "-" ნიშანი, მაშინ ფრჩხილებში ჩასმული ტერმინები იწერება საპირისპირო ნიშნებით.

მონომისა და მრავალწევრის ნამრავლის ტრანსფორმაცია (გამარტივება).

გამრავლების გამანაწილებელი თვისების გამოყენებით შეიძლება მონომისა და მრავალწევრის ნამრავლის გადაქცევა (გამარტივება) მრავალწევრად. Მაგალითად:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

მონომისა და მრავალწევრის ნამრავლი იდენტურად უდრის ამ მონომის ნამრავლებისა და მრავალწევრის თითოეული წევრის ჯამს.

ეს შედეგი ჩვეულებრივ ჩამოყალიბებულია როგორც წესი.

მონომის მრავალწევრზე გასამრავლებლად, ეს მონომი უნდა გავამრავლოთ მრავალწევრის თითოეულ წევრზე.

ჩვენ არაერთხელ გამოვიყენეთ ეს წესი ჯამზე გასამრავლებლად.

მრავალწევრების ნამრავლი. ორი მრავალწევრის ნამრავლის ტრანსფორმაცია (გამარტივება).

ზოგადად, ორი მრავალწევრის ნამრავლი იდენტურად უდრის ერთი მრავალწევრის თითოეული წევრისა და მეორის თითოეული წევრის ნამრავლის ჯამს.

ჩვეულებრივ გამოიყენეთ შემდეგი წესი.

მრავალწევრის მრავალწევრზე გასამრავლებლად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ ერთი მრავალწევრის თითოეული წევრი მეორის თითოეულ წევრზე და დაამატოთ მიღებული პროდუქცია.

შემოკლებული გამრავლების ფორმულები. ჯამი, სხვაობა და სხვაობის კვადრატები

ალგებრული გარდაქმნების ზოგიერთ გამონათქვამს უფრო ხშირად უნდა შევეხოთ, ვიდრე სხვებს. ალბათ ყველაზე გავრცელებული გამონათქვამებია \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) და \(a^2 - b^2 \), ანუ ჯამის კვადრატი, სხვაობის კვადრატი და სხვაობის კვადრატი. თქვენ შენიშნეთ, რომ მითითებული გამონათქვამების სახელები თითქოს არასრულია, ასე რომ, მაგალითად, \((a + b)^2 \) არის, რა თქმა უნდა, არა მხოლოდ ჯამის კვადრატი, არამედ ჯამის კვადრატი. ა და ბ. თუმცა, a და b ჯამის კვადრატი არც თუ ისე გავრცელებულია, როგორც წესი, a და b ასოების ნაცვლად, შეიცავს სხვადასხვა, ზოგჯერ საკმაოდ რთულ გამონათქვამებს.

გამონათქვამები \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) ადვილად გარდაიქმნება (გამარტივება) სტანდარტული ფორმის პოლინომებად, ფაქტობრივად, თქვენ უკვე შეგხვედრიათ ასეთი დავალება მრავალწევრების გამრავლებისას. :
\((ა + ბ)^2 = (ა + ბ)(ა + ბ) = a^2 + აბ + ბა + ბ^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

შედეგად მიღებული იდენტობები სასარგებლოა დასამახსოვრებლად და გამოყენებაში შუალედური გამოთვლების გარეშე. ამას ეხმარება მოკლე სიტყვიერი ფორმულირებები.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - ჯამის კვადრატი უდრის კვადრატების ჯამს და ორმაგ ნამრავლს.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - სხვაობის კვადრატი არის კვადრატების ჯამი ნამრავლის გაორმაგების გარეშე.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - კვადრატების სხვაობა უდრის სხვაობისა და ჯამის ნამრავლს.

ეს სამი იდენტობა საშუალებას აძლევს ტრანსფორმაციას შეცვალოს მათი მარცხენა ნაწილები მარჯვენა ნაწილებით და პირიქით - მარჯვენა ნაწილები მარცხნივ. ყველაზე რთული ამ შემთხვევაში არის შესაბამისი გამონათქვამების დანახვა და იმის გაგება, თუ რა არის მათში ჩანაცვლებული a და b ცვლადები. მოდით შევხედოთ შემოკლებული გამრავლების ფორმულების გამოყენების რამდენიმე მაგალითს.

ჩვენს წელთაღრიცხვამდე მეხუთე საუკუნეში ძველმა ბერძენმა ფილოსოფოსმა ზენომ ელეამ ჩამოაყალიბა თავისი ცნობილი აპორიები, რომელთაგან ყველაზე ცნობილია აპორია „აქილევსი და კუს“. აი, როგორ ჟღერს:

ვთქვათ აქილევსი კუზე ათჯერ უფრო სწრაფად დარბის და ათასი ნაბიჯით ჩამორჩება. იმ დროში, რაც აქილევსს სჭირდება ამ მანძილის გასაშვებად, კუ ასი ნაბიჯით გაივლის იმავე მიმართულებით. როცა აქილევსი ას საფეხურს გაივლის, კუს კიდევ ათი ნაბიჯი დაცოცავს და ა.შ. პროცესი უსასრულოდ გაგრძელდება, აქილევსი კუს ვერასოდეს მიაღწევს.

ეს მსჯელობა ლოგიკური შოკი გახდა ყველა შემდგომი თაობისთვის. არისტოტელე, დიოგენე, კანტი, ჰეგელი, გილბერტი... ყველა მათგანი ასე თუ ისე ზენონის აპორიებს თვლიდა. შოკი იმდენად ძლიერი იყო, რომ " ... მსჯელობა ამჟამად გრძელდება, სამეცნიერო საზოგადოებას ჯერ არ მიუღწევია პარადოქსების არსის შესახებ საერთო მოსაზრებამდე... საკითხის შესწავლაში ჩართული იყო მათემატიკური ანალიზი, სიმრავლეების თეორია, ახალი ფიზიკური და ფილოსოფიური მიდგომები. ; არცერთი მათგანი არ გახდა პრობლემის საყოველთაოდ მიღებული გადაწყვეტა ..."[ვიკიპედია," ზენონის აპორია "]. ყველას ესმის, რომ ატყუებენ, მაგრამ არავის ესმის, რა არის მოტყუება.

მათემატიკის თვალსაზრისით, ზენონმა თავის აპორიაში ნათლად აჩვენა გადასვლა მნიშვნელობიდან. ეს გადასვლა გულისხმობს გამოყენებას მუდმივების ნაცვლად. რამდენადაც მე მესმის, საზომი ცვლადი ერთეულების გამოყენების მათემატიკური აპარატი ან ჯერ არ არის შემუშავებული, ან არ არის გამოყენებული ზენონის აპორიაზე. ჩვენი ჩვეული ლოგიკის გამოყენება მახეში მიგვიყვანს. ჩვენ, აზროვნების ინერციით, ვიყენებთ დროის მუდმივ ერთეულებს ურთიერთსაწინააღმდეგოზე. ფიზიკური თვალსაზრისით, ეს ჰგავს დროის შენელებას, სანამ ის მთლიანად არ შეჩერდება იმ მომენტში, როდესაც აქილევსი დაეწევა კუს. თუ დრო გაჩერდება, აქილევსი ვეღარ გაუსწრებს კუს.

თუ შევეჩვიეთ ლოგიკას, ყველაფერი თავის ადგილზე დგება. აქილევსი მუდმივი სიჩქარით დარბის. მისი გზის ყოველი მომდევნო სეგმენტი წინაზე ათჯერ მოკლეა. შესაბამისად, მის დაძლევაზე დახარჯული დრო წინაზე ათჯერ ნაკლებია. თუ ამ სიტუაციაში „უსასრულობის“ ცნებას გამოვიყენებთ, მაშინ სწორი იქნება ვთქვათ „აქილევსი უსაზღვროდ სწრაფად გაუსწრებს კუს“.

როგორ ავიცილოთ თავიდან ეს ლოგიკური ხაფანგი? დარჩით დროის მუდმივ ერთეულებში და არ გადახვიდეთ საპასუხო მნიშვნელობებზე. ზენონის ენაზე ასე გამოიყურება:

იმ დროს, რაც აქილევსს სჭირდება ათასი ნაბიჯის გასაშვებად, კუ ასი ნაბიჯით მიიწევს იმავე მიმართულებით. შემდეგი დროის ინტერვალის განმავლობაში, პირველის ტოლფასი, აქილევსი კიდევ ათას ნაბიჯს გაივლის, კუს კი ასი ნაბიჯით გაივლის. ახლა აქილევსი რვაასი ნაბიჯით უსწრებს კუს.

ეს მიდგომა ადეკვატურად აღწერს რეალობას ყოველგვარი ლოგიკური პარადოქსების გარეშე. მაგრამ ეს არ არის პრობლემის სრული გადაწყვეტა. აინშტაინის განცხადება სინათლის სიჩქარის დაუძლეველობის შესახებ ძალიან ჰგავს ზენონის აპორიას „აქილევსი და კუს“. ჩვენ ჯერ კიდევ უნდა შევისწავლოთ, გადავხედოთ და გადავჭრათ ეს პრობლემა. და გამოსავალი უნდა ვეძიოთ არა უსასრულოდ დიდი რაოდენობით, არამედ გაზომვის ერთეულებში.

ზენონის კიდევ ერთი საინტერესო აპორია მოგვითხრობს მფრინავი ისრის შესახებ:

მფრინავი ისარი უმოძრაოა, რადგან დროის ყოველ მომენტში ის ისვენებს, და რადგან ის ისვენებს დროის ყოველ მომენტში, ის ყოველთვის ისვენებს.

ამ აპორიაში ლოგიკური პარადოქსი დაძლეულია ძალიან მარტივად - საკმარისია იმის გარკვევა, რომ დროის ყოველ მომენტში მფრინავი ისარი ისვენებს სივრცის სხვადასხვა წერტილში, რაც, ფაქტობრივად, მოძრაობაა. აქ უნდა აღინიშნოს კიდევ ერთი წერტილი. გზაზე მანქანის ერთი ფოტოსურათიდან შეუძლებელია მისი გადაადგილების ფაქტის და მასამდე მანძილის დადგენა. მანქანის მოძრაობის ფაქტის დასადგენად საჭიროა ერთი და იმავე წერტილიდან დროის სხვადასხვა მომენტში გადაღებული ორი ფოტო, მაგრამ მათი გამოყენება მანძილის დასადგენად არ შეიძლება. მანქანამდე მანძილის დასადგენად, საჭიროა ერთდროულად ორი ფოტო გადაღებული სივრცეში სხვადასხვა წერტილიდან, მაგრამ მათგან გადაადგილების ფაქტს ვერ განსაზღვრავთ (რა თქმა უნდა, გამოთვლებისთვის დამატებითი მონაცემები მაინც გჭირდებათ, ტრიგონომეტრია დაგეხმარებათ) . კონკრეტულად მინდა აღვნიშნო, რომ ორი წერტილი დროისა და ორი წერტილი სივრცეში არის ორი განსხვავებული რამ, რაც არ უნდა აგვერიოს, რადგან ისინი აძლევენ სხვადასხვა შესაძლებლობებს კვლევისთვის.

ოთხშაბათი, 4 ივლისი, 2018 წ

ძალიან კარგად არის განსხვავებები კომპლექტსა და მრავალნაკრებს შორის აღწერილი ვიკიპედიაში. ჩვენ ვუყურებთ.

როგორც ხედავთ, „კომპლექტს არ შეიძლება ჰქონდეს ორი იდენტური ელემენტი“, მაგრამ თუ ნაკრებში იდენტური ელემენტებია, ასეთ კომპლექტს „მულტისეტი“ ეწოდება. გონივრული არსებები ვერასოდეს გაიგებენ აბსურდის ასეთ ლოგიკას. ეს არის მოლაპარაკე თუთიყუშების და გაწვრთნილი მაიმუნების დონე, რომელშიც გონება აკლია სიტყვას „მთლიანად“. მათემატიკოსები მოქმედებენ როგორც რიგითი ტრენერები და ქადაგებენ თავიანთ აბსურდულ იდეებს.

ოდესღაც ინჟინრები, რომლებმაც ხიდი ააშენეს, ხიდის გამოცდების დროს ნავით იმყოფებოდნენ ხიდის ქვეშ. თუ ხიდი ჩამოინგრა, უღიმღამო ინჟინერი მისი შემოქმედების ნანგრევების ქვეშ გარდაიცვალა. თუ ხიდი დატვირთვას გაუძლებდა, ნიჭიერმა ინჟინერმა სხვა ხიდები ააგო.

რაც არ უნდა იმალებოდნენ მათემატიკოსები ფრაზის მიღმა, „იგონე, მე სახლში ვარ“, უფრო სწორად, „მათემატიკა სწავლობს აბსტრაქტულ ცნებებს“, არის ერთი ჭიპლარი, რომელიც განუყოფლად აკავშირებს მათ რეალობასთან. ეს ჭიპლარი ფულია. მოდით გამოვიყენოთ მათემატიკური სიმრავლეების თეორია თავად მათემატიკოსებზე.

მათემატიკა ძალიან კარგად ვისწავლეთ და ახლა სალაროსთან ვსხედვართ და ხელფასს ვიხდით. აქ მათემატიკოსი მოდის ჩვენთან თავისი ფულისთვის. ჩვენ მას მთელ თანხას ვითვლით და ჩვენს მაგიდაზე ვდებთ სხვადასხვა გროვად, რომელშიც ერთი და იმავე ნომინალის კუპიურებს ვდებთ. შემდეგ ყოველი წყობიდან ვიღებთ თითო კუპიურას და ვაძლევთ მათემატიკოსს მის „მათემატიკურ სახელფასო კომპლექტს“. მათემატიკას ავხსნით, რომ ის მიიღებს დანარჩენ ქვითრებს მხოლოდ მაშინ, როცა დაამტკიცებს, რომ იდენტური ელემენტების გარეშე ნაკრები არ უდრის იდენტური ელემენტების სიმრავლეს. სწორედ აქ იწყება გართობა.

უპირველეს ყოვლისა, იმუშავებს დეპუტატების ლოგიკა: „შეგიძლიათ სხვებს მიმართოთ, ჩემზე კი არა! გარდა ამისა, დაიწყება გარანტიები, რომ ერთი და იმავე ნომინალის ბანკნოტებზე არის სხვადასხვა ბანკნოტების ნომრები, რაც ნიშნავს, რომ ისინი არ შეიძლება ჩაითვალოს იდენტურ ელემენტებად. აბა, ხელფასს მონეტებში ვითვლით - მონეტებზე ნომრები არ არის. აქ მათემატიკოსი სასტიკად გაიხსენებს ფიზიკას: სხვადასხვა მონეტებს აქვთ სხვადასხვა რაოდენობის ჭუჭყიანი, კრისტალური სტრუქტურა და ატომების განლაგება თითოეული მონეტისთვის უნიკალურია ...

და ახლა მე მაქვს ყველაზე საინტერესო კითხვა: სად არის საზღვარი, რომლის მიღმაც მულტისიმრავლის ელემენტები გადაიქცევა სიმრავლის ელემენტებად და პირიქით? ასეთი ხაზი არ არსებობს - ყველაფერს შამანები წყვეტენ, მეცნიერება აქაც არ არის ახლოს.

ნახე აქ. ჩვენ ვირჩევთ საფეხბურთო სტადიონებს იმავე მოედანზე. ველების ფართობი იგივეა, რაც ნიშნავს, რომ ჩვენ გვაქვს მულტიკომპლექტი. მაგრამ ერთი და იგივე სტადიონების სახელებს თუ გავითვალისწინებთ, ბევრს მივიღებთ, რადგან სახელები განსხვავებულია. როგორც ხედავთ, ელემენტების ერთიდაიგივე კომპლექტი ერთდროულად არის კომპლექტიც და მულტიკომპლექტიც. რამდენად სწორად? აქ კი მათემატიკოსი-შამან-შულერი ამოიღებს კოზირის ტუზს ყდიდან და იწყებს ჩვენთვის მოყოლას ან კომპლექტზე ან მულტისეტზე. ყოველ შემთხვევაში, ის დაგვარწმუნებს, რომ მართალია.

იმის გასაგებად, თუ როგორ მოქმედებენ თანამედროვე შამანები სიმრავლეების თეორიასთან, აკავშირებენ მას რეალობასთან, საკმარისია ვუპასუხოთ ერთ კითხვას: რით განსხვავდება ერთი ნაკრების ელემენტები სხვა ნაკრების ელემენტებისაგან? მე გაჩვენებთ, ყოველგვარი „წარმოდგენელი, როგორც არა ერთი მთლიანი“ ან „არა წარმოდგენა, როგორც ერთი მთლიანობა“.

კვირა, 18 მარტი, 2018 წ

რიცხვის ციფრების ჯამი არის შამანების ცეკვა ტამბურთან, რომელსაც არაფერი აქვს საერთო მათემატიკასთან. დიახ, მათემატიკის გაკვეთილებზე გვასწავლიან რიცხვის ციფრების ჯამის პოვნას და მის გამოყენებას, მაგრამ ისინი ამისთვის შამანები არიან, რათა შთამომავლებს ასწავლონ თავიანთი უნარები და სიბრძნე, წინააღმდეგ შემთხვევაში შამანები უბრალოდ დაიღუპებიან.

გჭირდებათ მტკიცებულება? გახსენით ვიკიპედია და სცადეთ იპოვოთ გვერდი "რიცხვის ციფრთა ჯამი". ის არ არსებობს. მათემატიკაში არ არსებობს ფორმულა, რომლითაც შეგიძლიათ იპოვოთ ნებისმიერი რიცხვის ციფრების ჯამი. რიცხვები ხომ გრაფიკული სიმბოლოებია, რომლებითაც ციფრებს ვწერთ და მათემატიკის ენაზე დავალება ასე ჟღერს: „იპოვე ნებისმიერი რიცხვის გამოსახული გრაფიკული სიმბოლოების ჯამი“. მათემატიკოსებს არ შეუძლიათ ამ პრობლემის გადაჭრა, მაგრამ შამანებს ეს ელემენტარულად შეუძლიათ.

მოდით გავარკვიოთ რას და როგორ ვაკეთებთ იმისათვის, რომ ვიპოვოთ მოცემული რიცხვის ციფრების ჯამი. ასე რომ, ვთქვათ გვაქვს რიცხვი 12345. რა უნდა გაკეთდეს იმისათვის, რომ ვიპოვოთ ამ რიცხვის ციფრების ჯამი? განვიხილოთ ყველა ნაბიჯი თანმიმდევრობით.

1. ჩაწერეთ რიცხვი ფურცელზე. რა გავაკეთეთ? რიცხვი გადავაქციეთ რიცხვის გრაფიკულ სიმბოლოდ. ეს არ არის მათემატიკური ოპერაცია.

2. ერთი მიღებული სურათი დავჭრათ რამდენიმე ნახატად, რომლებიც შეიცავს ცალკეულ ნომრებს. სურათის ამოჭრა არ არის მათემატიკური ოპერაცია.

3. ინდივიდუალური გრაფიკული სიმბოლოების რიცხვებად გადაქცევა. ეს არ არის მათემატიკური ოპერაცია.

4. შეკრიბეთ მიღებული რიცხვები. ახლა ეს მათემატიკაა.

12345 რიცხვის ციფრების ჯამი არის 15. ეს არის შამანების მიერ გამოყენებული მათემატიკოსების მიერ გამოყენებული "ჭრის და კერვის კურსები". მაგრამ ეს ყველაფერი არ არის.

მათემატიკის თვალსაზრისით არ აქვს მნიშვნელობა რომელ რიცხვთა სისტემაში დავწერთ რიცხვს. ასე რომ, სხვადასხვა რიცხვების სისტემაში, ერთი და იგივე რიცხვის ციფრების ჯამი განსხვავებული იქნება. მათემატიკაში რიცხვითი სისტემა მითითებულია როგორც ქვემოწერა ნომრის მარჯვნივ. დიდი რაოდენობით 12345, არ მინდა მოვიტყუო ჩემი თავი, განიხილეთ ნომერი 26 სტატიიდან. ჩავწეროთ ეს რიცხვი ორობით, რვადიან, ათობითი და თექვსმეტობით რიცხვთა სისტემებში. ჩვენ არ განვიხილავთ თითოეულ ნაბიჯს მიკროსკოპის ქვეშ, ეს უკვე გავაკეთეთ. მოდით შევხედოთ შედეგს.

როგორც ხედავთ, სხვადასხვა რიცხვთა სისტემაში ერთი და იგივე რიცხვის ციფრების ჯამი განსხვავებულია. ამ შედეგს საერთო არაფერი აქვს მათემატიკასთან. ეს იგივეა, თუ თქვენ მიიღებთ სრულიად განსხვავებულ შედეგებს მართკუთხედის ფართობის მეტრებში და სანტიმეტრებში განსაზღვრისას.

ნული ყველა რიცხვთა სისტემაში ერთნაირად გამოიყურება და არ აქვს ციფრების ჯამი. ეს არის კიდევ ერთი არგუმენტი იმისა, რომ . კითხვა მათემატიკოსებს: როგორ აღინიშნება მათემატიკაში ის, რაც არ არის რიცხვი? რა, მათემატიკოსებისთვის, რიცხვების გარდა არაფერი არსებობს? შამანებისთვის მე შემიძლია ამის დაშვება, მაგრამ მეცნიერებისთვის არა. რეალობა არ არის მხოლოდ რიცხვები.

მიღებული შედეგი უნდა ჩაითვალოს მტკიცებულებად იმისა, რომ რიცხვითი სისტემები არის რიცხვების საზომი ერთეული. ჩვენ ხომ ვერ შევადარებთ რიცხვებს სხვადასხვა საზომ ერთეულებს. თუ ერთი და იგივე მოქმედებები ერთი და იგივე რაოდენობის საზომი სხვადასხვა ერთეულებით იწვევს განსხვავებულ შედეგებს მათი შედარების შემდეგ, მაშინ ამას არაფერი აქვს საერთო მათემატიკასთან.

რა არის ნამდვილი მათემატიკა? ეს ხდება მაშინ, როდესაც მათემატიკური მოქმედების შედეგი არ არის დამოკიდებული რიცხვის მნიშვნელობაზე, გამოყენებულ საზომ ერთეულზე და იმაზე, თუ ვინ ასრულებს ამ მოქმედებას.

მოაწერე კარზე კარს აღებს და ამბობს:

ოჰ! ეს ქალის საპირფარეშო არ არის?
- Ახალგაზრდა ქალი! ეს არის ზეცაში ამაღლებისას სულების განუსაზღვრელი სიწმინდის შესწავლის ლაბორატორია! ნიმბუსი თავზე და ისარი ზევით. სხვა რა ტუალეტი?

ქალი... ზევით ჰალო და ქვემოთ ისარი მამრობითია.

თუ თქვენ გაქვთ ასეთი დიზაინის ნამუშევარი თქვენს თვალწინ დღეში რამდენჯერმე ციმციმებს,

მაშინ გასაკვირი არ არის, რომ მოულოდნელად თქვენს მანქანაში აღმოაჩენთ უცნაურ ხატს:

პირადად მე საკუთარ თავზე ვცდილობ დავინახო მინუს ოთხი გრადუსი მოღუშულ ადამიანში (ერთი სურათი) (რამდენიმე სურათის შემადგენლობა: მინუს ნიშანი, ნომერი ოთხი, გრადუსის აღნიშვნა). და მე არ ვთვლი ამ გოგოს სულელად, რომელმაც ფიზიკა არ იცის. მას უბრალოდ აქვს გრაფიკული სურათების აღქმის რკალის სტერეოტიპი. და მათემატიკოსები ამას ყოველთვის გვასწავლიან. აი მაგალითი.

1A არ არის "მინუს ოთხი გრადუსი" ან "ერთი ა". ეს არის "გაფუჭებული კაცი" ან რიცხვი "ოცდაექვსი" თექვსმეტობით რიცხვთა სისტემაში. ის ადამიანები, რომლებიც მუდმივად მუშაობენ ამ რიცხვების სისტემაში, ავტომატურად აღიქვამენ რიცხვს და ასოს, როგორც ერთ გრაფიკულ სიმბოლოს.

ალგებრული გამონათქვამების გამარტივება არის ალგებრის სწავლის ერთ-ერთი გასაღები და ძალიან სასარგებლო უნარი ყველა მათემატიკოსისთვის. გამარტივება საშუალებას გაძლევთ შეამციროთ რთული ან გრძელი გამოხატულება მარტივ გამოხატულებამდე, რომლებთანაც ადვილია მუშაობა. საბაზისო გამარტივების უნარები კარგია მათთვისაც, ვინც არ არის ენთუზიაზმი მათემატიკით. რამდენიმე მარტივი წესის დაცვით, ალგებრული გამონათქვამების მრავალი ყველაზე გავრცელებული სახეობა შეიძლება გამარტივდეს რაიმე განსაკუთრებული მათემატიკური ცოდნის გარეშე.

ნაბიჯები

მნიშვნელოვანი განმარტებები

1. მსგავსი წევრები.ესენი არიან ერთიდაიგივე რიგის ცვლადის მქონე წევრები, იგივე ცვლადების მქონე წევრები ან თავისუფალი წევრები (წევრები, რომლებიც არ შეიცავს ცვლადს). სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მსგავსი ტერმინები მოიცავს ერთ ცვლადს იმავე ზომით, მოიცავს რამდენიმე იდენტურ ცვლადს ან საერთოდ არ შეიცავს ცვლადს. გამოთქმაში ტერმინების თანმიმდევრობას მნიშვნელობა არ აქვს.

   • მაგალითად, 3x 2 და 4x 2 ტერმინების მსგავსია, რადგან ისინი შეიცავს მეორე რიგის ცვლადს "x" (მეორე ხარისხში). თუმცა, x ​​და x 2 არ არის მსგავსი წევრები, რადგან ისინი შეიცავს სხვადასხვა რიგის ცვლადს "x" (პირველი და მეორე). ანალოგიურად, -3yx და 5xz არ არის მსგავსი წევრები, რადგან ისინი შეიცავს სხვადასხვა ცვლადებს.

2. ფაქტორიზაცია.ეს არის ისეთი რიცხვების პოვნა, რომელთა ნამრავლი მივყავართ თავდაპირველ რიცხვამდე. ნებისმიერ ორიგინალურ რიცხვს შეიძლება ჰქონდეს რამდენიმე ფაქტორი. მაგალითად, რიცხვი 12 შეიძლება დაიყოს ფაქტორების შემდეგ სერიად: 1 × 12, 2 × 6 და 3 × 4, ასე რომ, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ რიცხვები 1, 2, 3, 4, 6 და 12 არის ფაქტორები. ნომერი 12. ფაქტორები იგივეა, რაც გამყოფები, ანუ რიცხვები, რომლებზედაც იყოფა თავდაპირველი რიცხვი.

   • მაგალითად, თუ გსურთ რიცხვი 20 დაასახელოთ, დაწერეთ ასე: 4×5.
   • გაითვალისწინეთ, რომ ფაქტორინგის დროს მხედველობაში მიიღება ცვლადი. მაგალითად, 20x = 4 (5x).
   • მარტივი რიცხვების გაანგარიშება შეუძლებელია, რადგან ისინი იყოფა მხოლოდ საკუთარ თავზე და 1-ზე.

3. დაიმახსოვრეთ და დაიცავით ოპერაციების თანმიმდევრობა შეცდომების თავიდან ასაცილებლად.

   • ფრჩხილები
   • ხარისხი
   • გამრავლება
   • განყოფილება
   • დამატება
   • გამოკლება

   წევრების მსგავსად კასტინგი

   1. ჩაწერეთ გამოთქმა.უმარტივესი ალგებრული გამონათქვამები (რომლებიც არ შეიცავს წილადებს, ფესვებს და ა.

      • მაგალითად, გამოთქმის გამარტივება 1 + 2x - 3 + 4x.

   2. განსაზღვრეთ მსგავსი წევრები (წევრები იმავე რიგის ცვლადით, წევრები იგივე ცვლადებით ან თავისუფალი წევრები).

      • იპოვეთ მსგავსი ტერმინები ამ გამოთქმაში. ტერმინები 2x და 4x შეიცავს იმავე რიგის ცვლადს (პირველი). ასევე, 1 და -3 არის თავისუფალი წევრები (არ შეიცავს ცვლადს). ამრიგად, ამ გამოთქმაში ტერმინები 2x და 4xმსგავსია და წევრები 1 და -3ასევე მსგავსია.

   3. მიეცით მსგავსი პირობები.ეს ნიშნავს მათ დამატებას ან გამოკლებას და გამოხატვის გამარტივებას.

      • 2x+4x= 6x
      • 1 - 3 = -2

   4. გადაწერეთ გამოთქმა მოცემული ტერმინების გათვალისწინებით.თქვენ მიიღებთ მარტივ გამოთქმას ნაკლები ტერმინებით. ახალი გამოთქმა ორიგინალის ტოლია.

      • ჩვენს მაგალითში: 1 + 2x - 3 + 4x = 6x - 2, ანუ ორიგინალური გამოთქმა გამარტივებულია და ადვილია მუშაობა.

   5. მსგავსი ტერმინების ჩამოსხმისას დააკვირდით ოპერაციების შესრულების თანმიმდევრობას.ჩვენს მაგალითში ადვილი იყო მსგავსი ტერმინების მოყვანა. თუმცა რთული გამონათქვამების შემთხვევაში, რომლებშიც წევრები ფრჩხილებშია ჩასმული და წილადები და ფესვებია, ასეთი ტერმინების მოყვანა არც ისე ადვილია. ამ შემთხვევებში დაიცავით ოპერაციების თანმიმდევრობა.

      • მაგალითად, განიხილეთ გამოთქმა 5(3x - 1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x. აქ შეცდომა იქნება დაუყოვნებლივ განვსაზღვროთ 3x და 2x, როგორც მსგავსი ტერმინები და მათი ციტირება, რადგან ჯერ უნდა გააფართოვოთ ფრჩხილები. ამიტომ, შეასრულეთ ოპერაციები მათი თანმიმდევრობით.
        • 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x(x) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x 2 + 8 - 3x. ახლა, როდესაც გამონათქვამი შეიცავს მხოლოდ შეკრების და გამოკლების ოპერაციებს, შეგიძლიათ გადმოწეროთ მსგავსი ტერმინები.
        • x 2 + (15x - 3x) + (8 - 5)
        • x 2 + 12x + 3

   მულტიპლიკატორის ფრჩხილებში შეყვანა

   1. იპოვეთ გამოხატვის ყველა კოეფიციენტის უდიდესი საერთო გამყოფი (gcd). GCD არის უდიდესი რიცხვი, რომლითაც იყოფა გამოხატვის ყველა კოეფიციენტი.

      • მაგალითად, განვიხილოთ განტოლება 9x 2 + 27x - 3. ამ შემთხვევაში gcd=3, ვინაიდან ამ გამოსახულების ნებისმიერი კოეფიციენტი იყოფა 3-ზე.

   2. გამოთქმის თითოეული წევრი გაყავით gcd-ზე.მიღებული ტერმინები შეიცავენ უფრო მცირე კოეფიციენტებს, ვიდრე თავდაპირველ გამოსახულებაში.

      • ჩვენს მაგალითში, თითოეული გამონათქვამის ტერმინი გაყავით 3-ზე.
        • 9x2/3=3x2
        • 27x/3=9x
        • -3/3 = -1
        • აღმოჩნდა გამოთქმა 3x2 + 9x-1. ეს არ არის ორიგინალური გამოხატვის ტოლი.

   3. დაწერეთ ორიგინალური გამოხატულება, როგორც ტოლი gcd-ის ნამრავლის შედეგად გამოსახულებაზე.ანუ, ჩასვით მიღებული გამოხატულება ფრჩხილებში და მოათავსეთ GCD ფრჩხილებიდან.

      • ჩვენს მაგალითში: 9x 2 + 27x - 3 = 3 (3x 2 + 9x - 1)

   4. წილადური გამონათქვამების გამარტივება მულტიპლიკატორის ფრჩხილებიდან ამოღებით.რატომ ამოიღეთ მულტიპლიკატორი ფრჩხილებიდან, როგორც ეს ადრე გაკეთდა? შემდეგ, ისწავლეთ რთული გამონათქვამების გამარტივება, როგორიცაა წილადი. ამ შემთხვევაში, ფაქტორის ფრჩხილებიდან ამოღება დაგეხმარებათ წილადის (მნიშვნელიდან) მოშორებაში.

      • მაგალითად, განიხილეთ წილადური გამოხატულება (9x 2 + 27x - 3)/3. გამოიყენეთ ფრჩხილები ამ გამოთქმის გასამარტივებლად.
        • აიღეთ ფაქტორი 3 (როგორც ადრე გააკეთეთ): (3(3x 2 + 9x - 1))/3
        • გაითვალისწინეთ, რომ მრიცხველსაც და მნიშვნელსაც ახლა აქვს რიცხვი 3. ეს შეიძლება შემცირდეს და მიიღებთ გამონათქვამს: (3x 2 + 9x - 1) / 1
        • ვინაიდან ნებისმიერი წილადი, რომელსაც აქვს რიცხვი 1 მნიშვნელში, მხოლოდ მრიცხველის ტოლია, ორიგინალური წილადური გამოხატულება გამარტივებულია: 3x2 + 9x-1.

   დამატებითი გამარტივების ტექნიკა

4. განვიხილოთ მარტივი მაგალითი: √(90). რიცხვი 90 შეიძლება დაიყოს შემდეგ ფაქტორებად: 9 და 10, ხოლო 9-დან აიღეთ კვადრატული ფესვი (3) და ამოიღეთ 3 ფესვის ქვეშ.
   • √(90)
   • √(9×10)
   • √(9)×√(10)
   • 3×√(10)
   • 3√(10)

5. გამოთქმების გამარტივება ძალებით.ზოგიერთ გამონათქვამში არის რიცხვების გამრავლების ან გაყოფის მოქმედებები ხარისხით. წევრთა ერთი ფუძით გამრავლების შემთხვევაში ემატება მათი ხარისხები; ერთიდაიგივე ფუძით ტერმინების გაყოფის შემთხვევაში მათ ხარისხს აკლებს.

   • მაგალითად, განიხილეთ გამოთქმა 6x 3 × 8x 4 + (x 17 / x 15). გამრავლების შემთხვევაში დაამატეთ მაჩვენებლები, ხოლო გაყოფის შემთხვევაში გამოაკლეთ ისინი.
     • 6x 3 × 8x 4 + (x 17 / x 15)
     • (6 × 8)x 3 + 4 + (x 17 - 15)
     • 48x7+x2
   • ქვემოთ მოცემულია პუნქტებით გამრავლებისა და გაყოფის წესის განმარტება.
     • წევრთა გამრავლება ძალაუფლებაზე უდრის მათზე გამრავლებას. მაგალითად, რადგან x 3 = x × x × x და x 5 = x × x × x × x × x, მაშინ x 3 × x 5 = (x × x × x) × (x × x × x × x × x), ან x 8.
     • ანალოგიურად, ტერმინების დაყოფა უფლებამოსილებით არის ტერმინების თავისთავად გაყოფის ექვივალენტური. x 5 /x 3 \u003d (x × x × x × x × x) / (x × x × x). ვინაიდან მსგავსი ტერმინები, რომლებიც არის როგორც მრიცხველში, ასევე მნიშვნელში, შეიძლება შემცირდეს, ორი "x" ან x 2-ის ნამრავლი რჩება მრიცხველში.

• ყოველთვის გაითვალისწინეთ ნიშნები (პლუს ან მინუს) გამოხატვის ტერმინების წინ, რადგან ბევრ ადამიანს უჭირს სწორი ნიშნის არჩევა.
• საჭიროების შემთხვევაში ითხოვეთ დახმარება!
• ალგებრული გამონათქვამების გამარტივება ადვილი არ არის, მაგრამ თუ ხელი მოგივიდათ, შეგიძლიათ გამოიყენოთ ეს უნარი მთელი ცხოვრების განმავლობაში.