მოდით, სისტემა იყოს მოცემული, ∆≠0. (ერთი)
გაუსის მეთოდიარის უცნობების თანმიმდევრული აღმოფხვრის მეთოდი.

გაუსის მეთოდის არსი არის (1) გარდაქმნა სისტემაში სამკუთხა მატრიცით, საიდანაც შემდეგ მიიღება ყველა უცნობის მნიშვნელობები თანმიმდევრულად (უკუ) განვიხილოთ ერთ-ერთი გამოთვლითი სქემა. ამ წრეს ეწოდება ერთი გაყოფის წრე. მოდით შევხედოთ ამ დიაგრამას. მოდით 11 ≠0 (წამყვანი ელემენტი) გავყოთ 11-ზე პირველი განტოლება. მიიღეთ
(2)
განტოლების (2) გამოყენებით ადვილია სისტემის დარჩენილი განტოლებებიდან x 1 უცნობის გამორიცხვა (ამისთვის საკმარისია გამოვაკლოთ განტოლება (2) თითოეულ განტოლებას წინასწარ გამრავლებული x 1-ზე შესაბამის კოეფიციენტზე), რომ არის, პირველ საფეხურზე ვიღებთ
.
სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, პირველ ეტაპზე, მომდევნო რიგების თითოეული ელემენტი, მეორედან დაწყებული, უდრის განსხვავებას თავდაპირველ ელემენტსა და მისი „პროექციის“ ნამრავლს შორის პირველ სვეტსა და პირველ (გარდაქმნილ) მწკრივზე.
ამის შემდეგ, დავტოვოთ პირველი განტოლება მარტო, პირველ ეტაპზე მიღებულ სისტემის დანარჩენ განტოლებაზე, ჩვენ განვახორციელებთ მსგავს ტრანსფორმაციას: მათ შორის ვირჩევთ განტოლებას წამყვანი ელემენტით და ვიყენებთ მას x 2-ის გამოსარიცხად. დარჩენილი განტოლებები (ნაბიჯი 2).
n ნაბიჯის შემდეგ, (1)-ის ნაცვლად ვიღებთ ეკვივალენტურ სისტემას
(3)
ამრიგად, პირველ ეტაპზე მივიღებთ სამკუთხა სისტემას (3). ამ ნაბიჯს წინსვლას უწოდებენ.
მეორე ეტაპზე (უკუ სვლა) თანმიმდევრულად ვპოულობთ (3) მნიშვნელობებს x n , x n -1 , ..., x 1 .
მიღებული ამონახსნი ავღნიშნოთ x 0-ით. მაშინ სხვაობა ε=b-A x 0 ნარჩენი ეწოდება.
თუ ε=0, მაშინ ნაპოვნი ამონახსნი x 0 სწორია.

გაუსის მეთოდით გამოთვლები ხორციელდება ორ ეტაპად:

1. პირველ ეტაპს მეთოდის პირდაპირი კურსი ეწოდება. პირველ ეტაპზე, ორიგინალური სისტემა გარდაიქმნება სამკუთხა ფორმაში.
2. მეორე ეტაპს საპირისპირო ეწოდება. მეორე ეტაპზე წყდება ორიგინალის ექვივალენტური სამკუთხა სისტემა.

კოეფიციენტებს a 11 , a 22 , ..., წამყვანი ელემენტები ეწოდება.
ყოველ საფეხურზე ითვლებოდა, რომ წამყვანი ელემენტი განსხვავდება ნულისაგან. თუ ეს ასე არ არის, მაშინ ნებისმიერი სხვა ელემენტი შეიძლება გამოყენებულ იქნას როგორც ლიდერი, თითქოს სისტემის განტოლებების გადალაგება.

გაუსის მეთოდის მიზანი

გაუსის მეთოდი განკუთვნილია წრფივი განტოლებების სისტემების გადასაჭრელად. ეხება გადაწყვეტის პირდაპირ მეთოდებს.

გაუსის მეთოდის სახეები

1. კლასიკური გაუსის მეთოდი;
2. გაუსის მეთოდის ცვლილებები. გაუსის მეთოდის ერთ-ერთი მოდიფიკაცია არის წრე ძირითადი ელემენტის არჩევით. გაუსის მეთოდის მახასიათებელი ძირითადი ელემენტის არჩევით არის განტოლებების ისეთი პერმუტაცია, რომ k-ე საფეხურზე წამყვანი ელემენტი არის ყველაზე დიდი ელემენტი k-ე სვეტში.
3. ჟორდანია-გაუსის მეთოდი;

განსხვავება ჟორდანია-გაუსის მეთოდსა და კლასიკურს შორის გაუსის მეთოდიშედგება მართკუთხედის წესის გამოყენებაში, როდესაც ამონახსნის ძიების მიმართულება არის მთავარი დიაგონალის გასწვრივ (გარდაქმნა იდენტურობის მატრიცაში). გაუსის მეთოდით ამოხსნის ძიების მიმართულება ხდება სვეტების გასწვრივ (ტრანსფორმაცია სისტემაში სამკუთხა მატრიცით).
აჩვენე განსხვავება ჟორდანი-გაუსის მეთოდიგაუსის მეთოდიდან მაგალითებზე.

გაუსის ხსნარის მაგალითი
მოდით გადავჭრათ სისტემა:

გამოთვლების მოხერხებულობისთვის, ჩვენ ვცვლით ხაზებს:

გავამრავლოთ მე-2 რიგი (2-ზე). დაამატეთ მე-3 სტრიქონი მე-2-ს

გავამრავლოთ მე-2 რიგი (-1-ზე). დაამატეთ მე-2 რიგი პირველს

პირველი ხაზიდან გამოვხატავთ x 3:
მე-2 სტრიქონიდან გამოვხატავთ x 2:
მე-3 სტრიქონიდან გამოვხატავთ x 1:

ჟორდანია-გაუსის მეთოდით ამოხსნის მაგალითი
ჩვენ გადავჭრით იგივე SLAE-ს ჟორდანო-გაუსის მეთოდით.

თანმიმდევრულად ავირჩევთ RE-ს გამხსნელ ელემენტს, რომელიც დევს მატრიცის მთავარ დიაგონალზე.
ჩართვის ელემენტი უდრის (1).



NE \u003d SE - (A * B) / RE
RE - ჩართვის ელემენტი (1), A და B - მატრიცის ელემენტები, რომლებიც ქმნიან ოთხკუთხედს STE და RE ელემენტებით.
წარმოგიდგენთ თითოეული ელემენტის გამოთვლას ცხრილის სახით:

x 1	x2	x 3	ბ
1 / 1 = 1	2 / 1 = 2	-2 / 1 = -2	1 / 1 = 1

ჩართვის ელემენტი უდრის (3).
გადამწყვეტი ელემენტის ადგილას ვიღებთ 1-ს, ხოლო თავად სვეტში ვწერთ ნულებს.
მატრიცის ყველა სხვა ელემენტი, B სვეტის ელემენტების ჩათვლით, განისაზღვრება მართკუთხედის წესით.
ამისათვის აირჩიეთ ოთხი რიცხვი, რომლებიც განლაგებულია მართკუთხედის წვეროებზე და ყოველთვის შეიცავს RE-ს გამაძლიერებელ ელემენტს.

x 1	x2	x 3	ბ
0 / 3 = 0	3 / 3 = 1	1 / 3 = 0.33	4 / 3 = 1.33

ჩართვის ელემენტია (-4).
გადამწყვეტი ელემენტის ადგილას ვიღებთ 1-ს, ხოლო თავად სვეტში ვწერთ ნულებს.
მატრიცის ყველა სხვა ელემენტი, B სვეტის ელემენტების ჩათვლით, განისაზღვრება მართკუთხედის წესით.
ამისათვის აირჩიეთ ოთხი რიცხვი, რომლებიც განლაგებულია მართკუთხედის წვეროებზე და ყოველთვის შეიცავს RE-ს გამაძლიერებელ ელემენტს.
წარმოგიდგენთ თითოეული ელემენტის გამოთვლას ცხრილის სახით:

x 1	x2	x 3	ბ
0 / -4 = 0	0 / -4 = 0	-4 / -4 = 1	-4 / -4 = 1

უპასუხე: x 1 = 1, x 2 = 1, x 3 = 1

გაუსის მეთოდის განხორციელება

გაუსის მეთოდი დანერგილია პროგრამირების ბევრ ენაში, კერძოდ: Pascal, C ++, php, Delphi, ასევე არსებობს გაუსის მეთოდის ონლაინ განხორციელება.

გაუსის მეთოდის გამოყენებით

გაუსის მეთოდის გამოყენება თამაშების თეორიაში

თამაშის თეორიაში მოთამაშის მაქსიმალური ოპტიმალური სტრატეგიის პოვნისას დგება განტოლებათა სისტემა, რომელიც იხსნება გაუსის მეთოდით.

გაუსის მეთოდის გამოყენება დიფერენციალური განტოლებების ამოხსნისას

დიფერენციალური განტოლების კონკრეტული ამოხსნის მოსაძებნად, ჯერ იპოვნეთ დაწერილი კონკრეტული ამოხსნის შესაბამისი ხარისხის წარმოებულები (y=f(A,B,C,D)), რომლებიც ჩანაცვლებულია თავდაპირველ განტოლებაში. შემდგომ, A, B, C, D ცვლადების საპოვნელად, შედგენილია განტოლებათა სისტემა, რომელიც იხსნება გაუსის მეთოდით.

ჟორდანო-გაუსის მეთოდის გამოყენება ხაზოვან პროგრამირებაში

წრფივ პროგრამირებაში, კერძოდ, სიმპლექსის მეთოდში, ყოველი გამეორებისას მარტივი ცხრილის გარდაქმნისთვის გამოიყენება მართკუთხედის წესი, რომელიც იყენებს ჟორდანი-გაუსის მეთოდს.

ნება მიეცეს წრფივი ალგებრული განტოლებათა სისტემა, რომელიც უნდა ამოხსნას (იპოვეთ хi უცნობის ისეთი მნიშვნელობები, რომლებიც სისტემის თითოეულ განტოლებას ტოლობაში აქცევს).

ჩვენ ვიცით, რომ წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემას შეუძლია:

1) არ აქვს გადაწყვეტილებები (იყოს შეუთავსებელი).
2) აქვს უსაზღვროდ ბევრი გამოსავალი.
3) გქონდეთ უნიკალური გადაწყვეტა.

როგორც გვახსოვს, კრამერის წესი და მატრიცის მეთოდი შეუფერებელია იმ შემთხვევებში, როდესაც სისტემას აქვს უსაზღვროდ ბევრი გამოსავალი ან არათანმიმდევრულია. გაუსის მეთოდი – ყველაზე მძლავრი და მრავალმხრივი ინსტრუმენტი ნებისმიერი წრფივი განტოლების სისტემის ამოხსნის საპოვნელად, რომელიც ყოველ შემთხვევაშიმიგვიყვანეთ პასუხამდე! მეთოდის ალგორითმი სამივე შემთხვევაში ერთნაირად მუშაობს. თუ კრამერისა და მატრიცის მეთოდები მოითხოვს დეტერმინანტების ცოდნას, მაშინ გაუსის მეთოდის გამოყენება მოითხოვს მხოლოდ არითმეტიკული ოპერაციების ცოდნას, რაც მას ხელმისაწვდომს ხდის სკოლის მოსწავლეებისთვისაც. დაწყებითი სკოლა.

გაფართოებული მატრიცის გარდაქმნები ( ეს არის სისტემის მატრიცა - მატრიცა, რომელიც შედგება მხოლოდ უცნობის კოეფიციენტებისგან, პლუს თავისუფალი ტერმინების სვეტი)წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემები გაუსის მეთოდით:

1) თან ტროკიმატრიცები შეუძლია გადაწყობაადგილები.

2) თუ მატრიცაში არის (ან არის) პროპორციული (როგორც განსაკუთრებული შემთხვევა - იდენტური) რიგები, მაშინ ის მოჰყვება წაშლამატრიციდან, ყველა ეს მწკრივი ერთის გარდა.

3) თუ გარდაქმნების დროს მატრიცაში გამოჩნდა ნულოვანი მწკრივი, მაშინ ის ასევე მოჰყვება წაშლა.

4) მატრიცის მწკრივი შეიძლება გამრავლება (გაყოფა)ნულის გარდა ნებისმიერ რიცხვზე.

5) მატრიცის მწკრივამდე შეგიძლიათ დაამატეთ კიდევ ერთი სტრიქონი, გამრავლებული რიცხვით, განსხვავდება ნულიდან.

გაუსის მეთოდში ელემენტარული გარდაქმნები არ ცვლის განტოლებათა სისტემის ამონახსანს.

გაუსის მეთოდი შედგება ორი ეტაპისგან:

1. "პირდაპირი მოძრაობა" - ელემენტარული გარდაქმნების გამოყენებით, მიიტანეთ წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემის გაფართოებული მატრიცა "სამკუთხა" საფეხურზე: ძირითადი დიაგონალის ქვემოთ მდებარე გაფართოებული მატრიცის ელემენტები ტოლია ნულის ტოლი (ზემოდან ქვევით გადაადგილება). ). მაგალითად, ამ ტიპის:

ამისათვის შეასრულეთ შემდეგი ნაბიჯები:

1) განვიხილოთ წრფივი ალგებრული განტოლებათა სისტემის პირველი განტოლება და კოეფიციენტი x 1-ზე უდრის K. მეორე, მესამე და ა.შ. განტოლებებს ვაფორმებთ შემდეგნაირად: თითოეულ განტოლებას ვყოფთ (კოეფიციენტები უცნობისთვის, თავისუფალი ტერმინების ჩათვლით) უცნობი x 1-ის კოეფიციენტზე, რომელიც არის თითოეულ განტოლებაში და ვამრავლებთ K-ზე. ამის შემდეგ, პირველს გამოვაკლებთ მეორე განტოლებას ( კოეფიციენტები უცნობი და თავისუფალი ტერმინებისთვის). მეორე განტოლებაში x 1-ზე ვიღებთ კოეფიციენტს 0. მესამე ტრანსფორმირებულ განტოლებას გამოვაკლებთ პირველ განტოლებას, ასე რომ სანამ ყველა განტოლებას გარდა პირველისა, უცნობი x 1-ით, არ ექნება კოეფიციენტი 0.

2) გადადით შემდეგ განტოლებაზე. მოდით ეს იყოს მეორე განტოლება და კოეფიციენტი x 2-ზე უდრის M-ს. ყველა "ქვემდებარე" განტოლებით ვაგრძელებთ ზემოთ აღწერილი განტოლების მოქმედებას. ამრიგად, უცნობის ქვეშ x 2 ყველა განტოლებაში იქნება ნული.

3) გადავდივართ შემდეგ განტოლებაზე და ასე გრძელდება მანამ, სანამ არ დარჩება ბოლო უცნობი და გარდაქმნილი თავისუფალი წევრი.

1. გაუსის მეთოდის „უკუ სვლა“ არის წრფივი ალგებრული განტოლებათა სისტემის ამოხსნის მიღება (სვლა „ქვემოდან ზევით“). ბოლო "ქვედა" განტოლებიდან ვიღებთ ერთ პირველ ამონახსანს - უცნობი x n. ამისათვის ჩვენ ვხსნით ელემენტარულ განტოლებას A * x n \u003d B. ზემოთ მოცემულ მაგალითში x 3 \u003d 4. ჩვენ ვცვლით ნაპოვნი მნიშვნელობას "ზედა" შემდეგ განტოლებაში და ვხსნით მას შემდეგი უცნობის მიმართ. მაგალითად, x 2 - 4 \u003d 1, ე.ი. x 2 \u003d 5. და ასე შემდეგ სანამ არ ვიპოვით ყველა უცნობს.

მაგალითი.

ჩვენ ვხსნით წრფივი განტოლებების სისტემას გაუსის მეთოდით, როგორც ზოგიერთი ავტორი გვირჩევს:

ჩვენ ვწერთ სისტემის გაფართოებულ მატრიცას და ელემენტარული გარდაქმნების გამოყენებით მივყავართ მას საფეხურზე:

ჩვენ ვუყურებთ ზედა მარცხენა "ნაბიჯს". იქ უნდა გვქონდეს ერთეული. პრობლემა ის არის, რომ პირველ სვეტში საერთოდ არ არის არავინ, ასე რომ, რიგების გადალაგებით ვერაფერი გადაწყდება. ასეთ შემთხვევებში, დანაყოფი უნდა იყოს ორგანიზებული ელემენტარული ტრანსფორმაციის გამოყენებით. ეს ჩვეულებრივ შეიძლება გაკეთდეს რამდენიმე გზით. მოდით გავაკეთოთ ეს ასე:
1 ნაბიჯი . პირველ სტრიქონს ვამატებთ მეორე სტრიქონს, გამრავლებული -1-ზე. ანუ გონებრივად გავამრავლეთ მეორე სტრიქონი -1-ზე და შევასრულეთ პირველი და მეორე სტრიქონების შეკრება, ხოლო მეორე სტრიქონი არ შეცვლილა.

ახლა ზედა მარცხნივ "მინუს ერთი", რომელიც მშვენივრად გვერგება. ვისაც სურს მიიღოს +1, შეუძლია შეასრულოს დამატებითი მოქმედება: გაამრავლოს პირველი ხაზი -1-ზე (შეცვალოს მისი ნიშანი).

2 ნაბიჯი . მეორე სტრიქონს დაემატა 5-ზე გამრავლებული პირველი სტრიქონი, მესამე სტრიქონს დაემატა 3-ზე გამრავლებული პირველი სტრიქონი.

3 ნაბიჯი . პირველი ხაზი გამრავლდა -1-ზე, პრინციპში ეს სილამაზისთვისაა. შეიცვალა მესამე ხაზის ნიშანიც და გადავიდა მეორე ადგილზე, რითაც მეორე „საფეხურზე გვქონდა სასურველი ერთეული.

4 ნაბიჯი . მესამე სტრიქონს დაამატეთ მეორე სტრიქონი, გამრავლებული 2-ზე.

5 ნაბიჯი . მესამე ხაზი იყოფა 3-ზე.

ნიშანი, რომელიც მიუთითებს გამოთვლების შეცდომაზე (ნაკლებად ხშირად ბეჭდვითი შეცდომა) არის "ცუდი" ქვედა ხაზი. ანუ, თუ ქვემოთ მივიღებთ რაღაცას (0 0 11 | 23) და, შესაბამისად, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, მაშინ დიდი ალბათობით შეგვიძლია ვთქვათ, რომ შეცდომა დაშვებულია ელემენტარულ პერიოდში. გარდაქმნები.

ჩვენ ვასრულებთ საპირისპირო მოძრაობას, მაგალითების დიზაინში, თავად სისტემა ხშირად არ იწერება და განტოლებები "მიღებულია უშუალოდ მოცემული მატრიციდან". საპირისპირო მოძრაობა, შეგახსენებთ, მუშაობს "ქვემოდან ზემოდან". ამ მაგალითში საჩუქარი აღმოჩნდა:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 - x 3 \u003d 1, შესაბამისად x 1 + 3 - 1 \u003d 1, x 1 \u003d -1

უპასუხე:x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 3, x 3 \u003d 1.

მოდით გადავჭრათ იგივე სისტემა შემოთავაზებული ალგორითმის გამოყენებით. ვიღებთ

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

მეორე განტოლება გავყოთ 5-ზე და მესამე 3-ზე. მივიღებთ:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

გავამრავლოთ მეორე და მესამე განტოლება 4-ზე, მივიღებთ:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

გამოვაკლოთ პირველი განტოლება მეორე და მესამე განტოლებებს, გვაქვს:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

მესამე განტოლება გავყოთ 0,64-ზე:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

გავამრავლოთ მესამე განტოლება 0.4-ზე

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

გამოვაკლოთ მეორე განტოლება მესამე განტოლებას, მივიღებთ "ნაბიჯ" გაძლიერებულ მატრიცას:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

ამრიგად, მას შემდეგ, რაც გამოთვლების პროცესში დაგროვდა შეცდომა, ვიღებთ x 3 \u003d 0.96, ან დაახლოებით 1.

x 2 \u003d 3 და x 1 \u003d -1.

ამგვარად ამოხსნით, გათვლებში არასოდეს დაიბნევით და, მიუხედავად გაანგარიშების შეცდომებისა, მიიღებთ შედეგს.

წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემის ამოხსნის ეს მეთოდი ადვილად პროგრამირებადია და არ ითვალისწინებს უცნობის კოეფიციენტების სპეციფიკურ მახასიათებლებს, რადგან პრაქტიკაში (ეკონომიკურ და ტექნიკურ გამოთვლებში) საქმე გვაქვს არა მთელი რიცხვების კოეფიციენტებთან.

Წარმატებას გისურვებ! შევხვდებით კლასში! დამრიგებელი დიმიტრი აისტრახანოვი.

საიტი, მასალის სრული ან ნაწილობრივი კოპირებით, საჭიროა წყაროს ბმული.

დღეს ჩვენ საქმე გვაქვს გაუსის მეთოდთან წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემების ამოხსნისთვის. თუ რას წარმოადგენს ეს სისტემები, შეგიძლიათ წაიკითხოთ წინა სტატიაში, რომელიც მიეძღვნა იგივე SLAE კრამერის მეთოდით ამოხსნას. გაუსის მეთოდი არ საჭიროებს რაიმე სპეციფიკურ ცოდნას, საჭიროა მხოლოდ ზრუნვა და თანმიმდევრულობა. მიუხედავად იმისა, რომ მათემატიკის თვალსაზრისით სასკოლო მომზადება საკმარისია მისი გამოსაყენებლად, ამ მეთოდის ათვისება ხშირად უქმნის სირთულეებს მოსწავლეებს. ამ სტატიაში ჩვენ შევეცდებით მათ არაფრამდე დავიყვანოთ!

გაუსის მეთოდი

მ გაუსის მეთოდიარის SLAE ამოხსნის ყველაზე უნივერსალური მეთოდი (ძალიან დიდი სისტემების გარდა). ადრე განხილულისგან განსხვავებით, ის შესაფერისია არა მხოლოდ სისტემებისთვის, რომლებსაც აქვთ უნიკალური გადაწყვეტა, არამედ სისტემებისთვისაც, რომლებსაც აქვთ გადაწყვეტილებების უსასრულო რაოდენობა. აქ სამი ვარიანტია.

1. სისტემას აქვს უნიკალური ამონახსნი (სისტემის მთავარი მატრიცის განმსაზღვრელი არ არის ნულის ტოლი);
2. სისტემას აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა;
3. არ არსებობს გადაწყვეტილებები, სისტემა არათანმიმდევრულია.

ასე რომ, ჩვენ გვაქვს სისტემა (დაე, მას ჰქონდეს ერთი გამოსავალი) და ვაპირებთ მის ამოხსნას გაუსის მეთოდით. Როგორ მუშაობს?

გაუსის მეთოდი შედგება ორი ეტაპისგან - პირდაპირი და ინვერსიული.

პირდაპირი გაუსის მეთოდი

პირველ რიგში, ჩვენ ვწერთ სისტემის გაძლიერებულ მატრიცას. ამისათვის ჩვენ ვამატებთ თავისუფალი წევრების სვეტს მთავარ მატრიცას.

გაუსის მეთოდის მთელი არსი არის ელემენტარული გარდაქმნების საშუალებით ამ მატრიცის საფეხურზე (ან, როგორც ამბობენ, სამკუთხა) ფორმამდე დაყვანა. ამ ფორმით, მატრიცის მთავარი დიაგონალის ქვეშ (ან ზემოთ) უნდა იყოს მხოლოდ ნულები.

Რა შეიძლება გაკეთდეს:

1. თქვენ შეგიძლიათ გადააწყოთ მატრიცის რიგები;
2. თუ მატრიცაში არის იდენტური (ან პროპორციული) რიგები, შეგიძლიათ წაშალოთ ყველა, გარდა ერთისა;
3. შეგიძლიათ სტრიქონი გაამრავლოთ ან გაყოთ ნებისმიერ რიცხვზე (ნულის გარდა);
4. ნულოვანი ხაზები ამოღებულია;
5. თქვენ შეგიძლიათ დაამატოთ სტრიქონი გამრავლებული არანულოვანი რიცხვით სტრიქონს.

უკუ გაუსის მეთოდი

მას შემდეგ რაც სისტემას ამ გზით გარდაქმნით, ერთი უცნობია xn ხდება ცნობილი და შესაძლებელია ყველა დარჩენილი უცნობის პოვნა საპირისპირო თანმიმდევრობით, უკვე ცნობილი x-ების ჩანაცვლება სისტემის განტოლებებში, პირველამდე.

როდესაც ინტერნეტი ყოველთვის ხელთ არის, თქვენ შეგიძლიათ ამოხსნათ განტოლებათა სისტემა გაუსის მეთოდით ონლაინ .თქვენ მხოლოდ უნდა შეიყვანოთ შანსები ონლაინ კალკულატორში. მაგრამ უნდა აღიაროთ, გაცილებით სასიამოვნოა იმის გაცნობიერება, რომ მაგალითი გადაჭრა არა კომპიუტერული პროგრამით, არამედ საკუთარი ტვინით.

განტოლებათა სისტემის ამოხსნის მაგალითი გაუსის მეთოდით

ახლა კი - მაგალითი, რათა ყველაფერი ნათელი და გასაგები გახდეს. მოდით მივცეთ წრფივი განტოლებათა სისტემა და მისი ამოხსნა აუცილებელია გაუსის მეთოდით:

პირველ რიგში, მოდით დავწეროთ გაძლიერებული მატრიცა:

ახლა გადავხედოთ გარდაქმნებს. გახსოვდეთ, რომ ჩვენ უნდა მივაღწიოთ მატრიცის სამკუთხა ფორმას. გავამრავლოთ პირველი რიგი (3-ზე). გავამრავლოთ მე-2 რიგი (-1-ზე). დავუმატოთ მე-2 რიგი პირველს და მივიღოთ:

შემდეგ გავამრავლოთ მე-3 მწკრივი (-1-ზე). დავუმატოთ მე-3 სტრიქონი მე-2ს:

გავამრავლოთ პირველი რიგი (6-ზე). გავამრავლოთ მე-2 რიგი (13). დავუმატოთ მე-2 სტრიქონი პირველს:

Voila - სისტემა მიყვანილია შესაბამის ფორმაში. რჩება უცნობის პოვნა:

ამ მაგალითში სისტემას აქვს უნიკალური გადაწყვეტა. ცალკეულ სტატიაში განვიხილავთ სისტემების ამოხსნას გადაწყვეტილებების უსასრულო სიმრავლით. შესაძლოა თავიდან არ იცოდეთ საიდან დაიწყოთ მატრიცული გარდაქმნები, მაგრამ შესაბამისი პრაქტიკის შემდეგ თქვენ მიიღებთ მას და დააწკაპუნებთ Gaussian SLAE-ზე, როგორც კაკალი. და თუ მოულოდნელად წააწყდით SLAU-ს, რომელიც აღმოჩნდება ძალიან ხისტი თხილის გასატეხად, დაუკავშირდით ჩვენს ავტორებს! შეგიძლიათ განაცხადის დატოვებით კორესპონდენციაში. ჩვენ ერთად მოვაგვარებთ ნებისმიერ პრობლემას!

წრფივი განტოლებათა სისტემის ამოხსნის ერთ-ერთი უმარტივესი გზაა დეტერმინანტების გამოთვლაზე დაფუძნებული მეთოდი ( კრამერის წესი). მისი უპირატესობა ის არის, რომ საშუალებას გაძლევთ დაუყოვნებლივ ჩაწეროთ გამოსავალი, განსაკუთრებით მოსახერხებელია იმ შემთხვევებში, როდესაც სისტემის კოეფიციენტები არ არის რიცხვები, არამედ ზოგიერთი პარამეტრი. მისი მინუსი არის გამოთვლების უხერხულობა დიდი რაოდენობის განტოლების შემთხვევაში, უფრო მეტიც, კრამერის წესი პირდაპირ არ ვრცელდება სისტემებზე, რომლებშიც განტოლებების რაოდენობა არ ემთხვევა უცნობის რაოდენობას. ასეთ შემთხვევებში ჩვეულებრივ გამოიყენება გაუსის მეთოდი.

წრფივი განტოლებათა სისტემებს, რომლებსაც აქვთ ამონახსნების ერთნაირი ნაკრები ეწოდება ექვივალენტი. ცხადია, წრფივი სისტემის ამონახსნების სიმრავლე არ შეიცვლება, თუ რომელიმე განტოლება ერთმანეთს ცვლის, ან თუ ერთ-ერთი განტოლება გამრავლდება რაიმე არანულოვან რიცხვზე, ან თუ ერთი განტოლება დაემატება მეორეს.

გაუსის მეთოდი (უცნობების თანმიმდევრული აღმოფხვრის მეთოდი) მდგომარეობს იმაში, რომ ელემენტარული გარდაქმნების დახმარებით სისტემა მცირდება ეკვივალენტურ ეტაპობრივ სისტემამდე. პირველი, პირველი განტოლების დახმარებით, xსისტემის ყველა შემდგომი განტოლების 1. შემდეგ, მე-2 განტოლების გამოყენებით, ჩვენ გამოვრიცხავთ xმე-3 განტოლების 2 და ყველა შემდგომი განტოლება. ამ პროცესს ე.წ პირდაპირი გაუსის მეთოდი, გრძელდება მანამ, სანამ მხოლოდ ერთი უცნობი დარჩება ბოლო განტოლების მარცხენა მხარეს x n. ამის შემდეგ მზადდება გაუსიანი რევერსი– ბოლო განტოლების ამოხსნით, ვპოულობთ x n; ამის შემდეგ, ამ მნიშვნელობის გამოყენებით, ჩვენ ვიანგარიშებთ ბოლო განტოლებიდან x n-1 და ა.შ. ბოლოს ვიპოვით x 1 პირველი განტოლებიდან.

მოსახერხებელია გაუსის გარდაქმნების განხორციელება გარდაქმნების შესრულებით არა თავად განტოლებებით, არამედ მათი კოეფიციენტების მატრიცებით. განვიხილოთ მატრიცა:

დაურეკა გაფართოებული მატრიცული სისტემა,რადგან სისტემის მთავარი მატრიცის გარდა იგი მოიცავს თავისუფალი წევრების სვეტს. გაუსის მეთოდი ეფუძნება სისტემის ძირითადი მატრიცის სამკუთხა ფორმამდე მიყვანას (ან ტრაპეციულ ფორმას არაკვადრატული სისტემების შემთხვევაში) სისტემის გაფართოებული მატრიცის ელემენტარული მწკრივის გარდაქმნების (!) გამოყენებით.

მაგალითი 5.1.ამოხსენით სისტემა გაუსის მეთოდით:

გადაწყვეტილება. მოდით დავწეროთ სისტემის გაძლიერებული მატრიცა და პირველი რიგის გამოყენებით, ამის შემდეგ დავაყენებთ დანარჩენ ელემენტებს ნულზე:

ჩვენ ვიღებთ ნულებს პირველი სვეტის მე-2, მე-3 და მე-4 სტრიქონებში:

ახლა ჩვენ გვჭირდება ყველა ელემენტი მეორე სვეტის მე-2 რიგის ქვემოთ, რომ იყოს ნულის ტოლი. ამისათვის შეგიძლიათ მეორე სტრიქონი გაამრავლოთ -4/7-ზე და დაამატოთ მე-3 სტრიქონი. თუმცა, იმისთვის, რომ წილადებთან საქმე არ გვქონდეს, ჩვენ შევქმნით ერთეულს მეორე სვეტის მე-2 რიგში და მხოლოდ

ახლა, სამკუთხა მატრიცის მისაღებად, საჭიროა მე-3 სვეტის მეოთხე რიგის ელემენტის ნულიდან ამოღება, ამისთვის შეგიძლიათ მესამე მწკრივი გაამრავლოთ 8/54-ზე და დაამატოთ ის მეოთხეზე. თუმცა, იმისთვის, რომ წილადებთან საქმე არ გვქონდეს, გავცვლით მე-3 და მე-4 სტრიქონებს და მე-3 და მე-4 სვეტებს და მხოლოდ ამის შემდეგ გადავაყენებთ მითითებულ ელემენტს. გაითვალისწინეთ, რომ როდესაც სვეტები გადანაწილებულია, შესაბამისი ცვლადები იცვლება და ეს უნდა დაიმახსოვროთ; სხვა ელემენტარული გარდაქმნები სვეტებით (შეკრება და რიცხვით გამრავლება) შეუძლებელია!

ბოლო გამარტივებული მატრიცა შეესაბამება განტოლებათა სისტემას, რომელიც ექვივალენტურია ორიგინალის:

აქედან, გაუსის მეთოდის საპირისპირო კურსის გამოყენებით, ვხვდებით მეოთხე განტოლებიდან x 3 = -1; მესამედან x 4 = -2, მეორედან x 2 = 2 და პირველი განტოლებიდან x 1 = 1. მატრიცის სახით პასუხი იწერება როგორც

ჩვენ განვიხილეთ შემთხვევა, როდესაც სისტემა განსაზღვრულია, ე.ი. როდესაც გამოსავალი მხოლოდ ერთია. ვნახოთ, რა მოხდება, თუ სისტემა არათანმიმდევრული ან განუსაზღვრელია.

მაგალითი 5.2.გამოიკვლიეთ სისტემა გაუსის მეთოდის გამოყენებით:

გადაწყვეტილება. ჩვენ ვწერთ და გარდაქმნით სისტემის გაძლიერებულ მატრიცას

ჩვენ ვწერთ განტოლებათა გამარტივებულ სისტემას:

აი, ბოლო განტოლებაში აღმოჩნდა, რომ 0=4, ე.ი. წინააღმდეგობა. ამიტომ სისტემას არ აქვს გამოსავალი, ე.ი. ის არის შეუთავსებელი. à

მაგალითი 5.3.შეისწავლეთ და ამოხსენით სისტემა გაუსის მეთოდის გამოყენებით:

გადაწყვეტილება. ჩვენ ვწერთ და გარდაქმნით სისტემის გაფართოებულ მატრიცას:

გარდაქმნების შედეგად ბოლო სტრიქონში მხოლოდ ნულები მიიღეს. ეს ნიშნავს, რომ განტოლებების რაოდენობა შემცირდა ერთით:

ამრიგად, გამარტივების შემდეგ რჩება ორი განტოლება, ხოლო ოთხი უცნობი, ე.ი. ორი უცნობი „დამატებითი“. დაე, "ზედმეტი", ან, როგორც ამბობენ, უფასო ცვლადები, იქნება x 3 და x 4 . მერე

ვარაუდით x 3 = 2ადა x 4 = ბ, ვიღებთ x 2 = 1–ადა x 1 = 2ბ–ა; ან მატრიცის სახით

ამ გზით დაწერილ ამოხსნას ეწოდება გენერალი, ვინაიდან, პარამეტრების მიცემით ადა ბსხვადასხვა მნიშვნელობებით, შესაძლებელია სისტემის ყველა შესაძლო გადაწყვეტის აღწერა. ა

ხაზოვანი განტოლების ორი სისტემა ექვივალენტურად ითვლება, თუ მათი ყველა ამონახსნის სიმრავლე ერთნაირია.

განტოლებათა სისტემის ელემენტარული გარდაქმნებია:

1. ტრივიალური განტოლებათა სისტემიდან წაშლა, ე.ი. რომელთათვისაც ყველა კოეფიციენტი ნულის ტოლია;
2. ნებისმიერი განტოლების გამრავლება არანულოვან რიცხვზე;
3. ნებისმიერი j-ე განტოლების დამატება, გამრავლებული ნებისმიერ რიცხვზე.

ცვლადს x i უწოდებენ თავისუფალს, თუ ეს ცვლადი არ არის დაშვებული და დაშვებულია განტოლებათა მთელი სისტემა.

თეორემა. ელემენტარული გარდაქმნები განტოლებათა სისტემას გარდაქმნის ეკვივალენტად.

გაუსის მეთოდის მნიშვნელობა არის განტოლებათა თავდაპირველი სისტემის გარდაქმნა და ექვივალენტური დაშვებული ან ექვივალენტური არათანმიმდევრული სისტემის მიღება.

ასე რომ, გაუსის მეთოდი შედგება შემდეგი ნაბიჯებისგან:

1. განვიხილოთ პირველი განტოლება. ვირჩევთ პირველ არანულოვან კოეფიციენტს და ვყოფთ მასზე მთელ განტოლებას. ვიღებთ განტოლებას, რომელშიც x i ცვლადი შედის 1-ის კოეფიციენტით;
2. გამოვაკლოთ ეს განტოლება ყველა დანარჩენს, გავამრავლოთ ის რიცხვებით, რომ დარჩენილ განტოლებებში x i ცვლადის კოეფიციენტები ნულის ტოლია. ვიღებთ სისტემას, რომელიც გადაწყვეტილია x i ცვლადის მიმართ და ორიგინალურის ექვივალენტურია;
3. თუ ტრივიალური განტოლებები წარმოიქმნება (იშვიათად, მაგრამ ეს ხდება; მაგალითად, 0 = 0), ჩვენ ვშლით მათ სისტემიდან. შედეგად, განტოლებები ხდება ერთით ნაკლები;
4. ჩვენ ვიმეორებთ წინა ნაბიჯებს არა უმეტეს n-ჯერ, სადაც n არის განტოლებების რაოდენობა სისტემაში. ყოველ ჯერზე ვირჩევთ ახალ ცვლადს „დამუშავებისთვის“. თუ ურთიერთგამომრიცხავი განტოლებები წარმოიქმნება (მაგალითად, 0 = 8), სისტემა არათანმიმდევრულია.

შედეგად, რამდენიმე ნაბიჯის შემდეგ ვიღებთ ან დაშვებულ სისტემას (შესაძლოა თავისუფალი ცვლადებით) ან არათანმიმდევრულ სისტემას. დაშვებული სისტემები იყოფა ორ შემთხვევაში:

1. ცვლადების რაოდენობა უდრის განტოლებათა რაოდენობას. ასე რომ სისტემა განსაზღვრულია;
2. ცვლადების რაოდენობა განტოლებათა რაოდენობაზე მეტია. ჩვენ ვაგროვებთ ყველა თავისუფალ ცვლადს მარჯვნივ - ვიღებთ ფორმულებს დაშვებული ცვლადების შესახებ. ეს ფორმულები წერია პასუხში.

Სულ ეს არის! წრფივი განტოლებათა სისტემა ამოხსნილია! ეს საკმაოდ მარტივი ალგორითმია და მის დასაუფლებლად, თქვენ არ გჭირდებათ მათემატიკის დამრიგებელთან დაკავშირება. განვიხილოთ მაგალითი:

დავალება. ამოხსენით განტოლებათა სისტემა:

ნაბიჯების აღწერა:

1. პირველ განტოლებას გამოვაკლებთ მეორეს და მესამეს - მივიღებთ დაშვებულ ცვლადს x 1;
2. მეორე განტოლებას ვამრავლებთ (−1-ზე), ხოლო მესამე განტოლებას ვყოფთ (−3)-ზე - მივიღებთ ორ განტოლებას, რომლებშიც ცვლადი x 2 შედის 1-ის კოეფიციენტით;
3. პირველს ვუმატებთ მეორე განტოლებას და ვაკლებთ მესამეს. მივიღოთ დაშვებული ცვლადი x 2 ;
4. და ბოლოს, პირველს გამოვაკლებთ მესამე განტოლებას - ვიღებთ დაშვებულ ცვლადს x 3 ;
5. ჩვენ მივიღეთ ავტორიზებული სისტემა, ვწერთ პასუხს.

წრფივი განტოლებათა ერთობლივი სისტემის ზოგადი ამონახსნი არის ახალი სისტემა, თავდაპირველის ეკვივალენტური, რომელშიც ყველა დაშვებული ცვლადი გამოიხატება თავისუფალის მიხედვით.

როდის შეიძლება იყოს საჭირო ზოგადი გადაწყვეტა? თუ k-ზე ნაკლები ნაბიჯის გადადგმა მოგიწევთ (k არის რამდენი განტოლება ჯამში). თუმცა, მიზეზები, რის გამოც პროცესი მთავრდება რაღაც საფეხურზე l< k , может быть две:

1. l-ე საფეხურის შემდეგ ვიღებთ სისტემას, რომელიც არ შეიცავს განტოლებას რიცხვთან (l + 1). სინამდვილეში, ეს კარგია, რადგან. გადაწყვეტილი სისტემა მიიღება მაინც - თუნდაც რამდენიმე ნაბიჯით ადრე.
2. l-ე საფეხურის შემდეგ მიიღება განტოლება, რომელშიც ცვლადების ყველა კოეფიციენტი ნულის ტოლია, ხოლო თავისუფალი კოეფიციენტი ნულისაგან განსხვავდება. ეს არის არათანმიმდევრული განტოლება და, შესაბამისად, სისტემა არათანმიმდევრულია.

მნიშვნელოვანია გვესმოდეს, რომ გაუსის მეთოდით არათანმიმდევრული განტოლების გამოჩენა არათანმიმდევრულობის საკმარისი მიზეზია. ამავდროულად, აღვნიშნავთ, რომ l-th საფეხურის შედეგად ტრივიალური განტოლებები ვერ დარჩება - ყველა მათგანი წაიშლება უშუალოდ პროცესში.

ნაბიჯების აღწერა:

1. გამოვაკლოთ პირველი განტოლება 4-ჯერ მეორეს. და ასევე დაამატეთ პირველი განტოლება მესამეს - მივიღებთ დაშვებულ ცვლადს x 1;
2. მეორე განტოლებას გამოვაკლებთ 2-ზე გამრავლებულ მესამე განტოლებას - მივიღებთ წინააღმდეგობრივ განტოლებას 0 = −5.

ასე რომ, სისტემა არათანმიმდევრულია, რადგან ნაპოვნია არათანმიმდევრული განტოლება.

დავალება. გამოიკვლიეთ თავსებადობა და იპოვნეთ სისტემის ზოგადი გადაწყვეტა:

ნაბიჯების აღწერა:

1. პირველ განტოლებას გამოვაკლებთ მეორეს (ორზე გამრავლების შემდეგ) და მესამეს - მივიღებთ დაშვებულ ცვლადს x 1;
2. გამოვაკლოთ მეორე განტოლება მესამეს. ვინაიდან ამ განტოლებაში ყველა კოეფიციენტი ერთნაირია, მესამე განტოლება ხდება ტრივიალური. ამავდროულად ვამრავლებთ მეორე განტოლებას (−1-ზე);
3. პირველ განტოლებას გამოვაკლებთ მეორე განტოლებას - ვიღებთ დაშვებულ ცვლადს x 2. განტოლებათა მთელი სისტემა ახლა ასევე გადაწყვეტილია;
4. ვინაიდან x 3 და x 4 ცვლადები თავისუფალია, ჩვენ მათ მარჯვნივ გადავიტანთ დაშვებული ცვლადების გამოსახატავად. ეს არის პასუხი.

ასე რომ, სისტემა არის ერთობლივი და განუსაზღვრელი, რადგან არსებობს ორი დაშვებული ცვლადი (x 1 და x 2) და ორი თავისუფალი (x 3 და x 4).