შეფასებები მათემატიკური მოლოდინისა და დისპერსიისთვის. ნიმუშის მათემატიკური მოლოდინისა და დისპერსიის შეფასება

დაე, იყოს შემთხვევითი ცვლადი Xმათემატიკური მოლოდინით მდა დისპერსიას დ, მაშინ როცა ორივე ეს პარამეტრი უცნობია. სიდიდეზე მეტი Xწარმოებული ნდამოუკიდებელი ექსპერიმენტები, რამაც გამოიწვია კომპლექტი ნრიცხვითი შედეგები x 1, x 2, …, x N. როგორც მათემატიკური მოლოდინის შეფასება, ბუნებრივია შემოგვთავაზოს დაკვირვებული მნიშვნელობების საშუალო არითმეტიკული

(1)

აქ როგორც x iშედეგად მიღებული კონკრეტული მნიშვნელობები (რიცხვები). ნექსპერიმენტები. თუ ავიღებთ სხვებს (წინაგან დამოუკიდებლად) ნექსპერიმენტები, მაშინ, ცხადია, მივიღებთ განსხვავებულ მნიშვნელობას. თუ მეტს იღებთ ნექსპერიმენტებით, ჩვენ კიდევ ერთ ახალ მნიშვნელობას მივიღებთ. აღნიშნეთ X იშემთხვევითი ცვლადი შედეგად მეექსპერიმენტი, შემდეგ რეალიზებები X იიქნება ამ ექსპერიმენტების შედეგად მიღებული რიცხვები. აშკარაა, რომ შემთხვევითი ცვლადი X იექნება იგივე ალბათობის განაწილების სიმკვრივე, როგორც თავდაპირველი შემთხვევითი ცვლადი X. ჩვენ ასევე ვვარაუდობთ, რომ შემთხვევითი ცვლადები X იდა Xjდამოუკიდებელნი არიან მე, არ უდრის ჯ(სხვადასხვა დამოუკიდებელი ექსპერიმენტები ერთმანეთთან შედარებით). ამიტომ, ჩვენ ვწერთ ფორმულას (1) სხვა (სტატისტიკური) ფორმით:

(2)

მოდით ვაჩვენოთ, რომ შეფასება მიუკერძოებელია:

ამრიგად, შერჩევის საშუალო მათემატიკური მოლოდინი უდრის შემთხვევითი ცვლადის ჭეშმარიტ მათემატიკურ მოლოდინს. მ. ეს საკმაოდ პროგნოზირებადი და გასაგები ფაქტია. ამიტომ, შერჩევის საშუალო (2) შეიძლება მივიღოთ, როგორც შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინის შეფასება. ახლა ჩნდება კითხვა: რა ემართება მოლოდინების შეფასების დისპერსიას ექსპერიმენტების რაოდენობის ზრდისას? ანალიტიკური გამოთვლები აჩვენებს ამას

სად არის მათემატიკური მოლოდინის შეფასების ვარიაცია (2) და დ- შემთხვევითი ცვლადის ნამდვილი ვარიაცია X.

ზემოაღნიშნულიდან გამომდინარეობს, რომ მატებასთან ერთად ნ(ექსპერიმენტების რაოდენობა) მცირდება შეფასების ვარიაცია, ე.ი. რაც უფრო მეტად ვაჯამებთ დამოუკიდებელ განხორციელებებს, მით უფრო ახლოს მივიღებთ სავარაუდო ღირებულებას.

მათემატიკური დისპერსიის შეფასებები

ერთი შეხედვით, ყველაზე ბუნებრივი შეფასება ჩანს

(3)

სადაც გამოითვლება (2) ფორმულით. მოდით შევამოწმოთ არის თუ არა შეფასება მიუკერძოებელი. ფორმულა (3) შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად:

ჩვენ ვცვლით გამოხატულებას (2) ამ ფორმულაში:

მოდით ვიპოვოთ დისპერსიის შეფასების მათემატიკური მოლოდინი:

(4)

ვინაიდან შემთხვევითი ცვლადის ვარიაცია არ არის დამოკიდებული იმაზე, თუ რა არის შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი, ავიღებთ მათემატიკურ მოლოდინს 0-ის ტოლი, ე.ი. მ = 0.

	(5)
ზე.	(6)

ტესტის შედეგებზე დაფუძნებული მათემატიკური მოლოდინების შეფასების აუცილებლობა ჩნდება პრობლემებში, სადაც ექსპერიმენტის შედეგი აღწერილია შემთხვევითი ცვლადით და შესასწავლი ობიექტის ხარისხის ინდიკატორი ვარაუდობენ, რომ არის ამ შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი. მაგალითად, სისტემის მუშაობის დროის მათემატიკური მოლოდინი შეიძლება მივიღოთ საიმედოობის ინდიკატორად, ხოლო წარმოების ეფექტურობის შეფასებისას კარგი პროდუქტების რაოდენობის მათემატიკური მოლოდინი და ა.შ.

მათემატიკური მოლოდინის შეფასების პრობლემა ჩამოყალიბებულია შემდეგნაირად. დავუშვათ, რომ X შემთხვევითი ცვლადის უცნობი მნიშვნელობის დასადგენად, ის უნდა გააკეთოს n დამოუკიდებელი და თავისუფალი სისტემატური შეცდომებისგან გაზომვები. X v X 2 ,..., X გვ.საჭიროა მათემატიკური მოლოდინის საუკეთესო შეფასების არჩევა.

მათემატიკური მოლოდინის საუკეთესო და ყველაზე გავრცელებული შეფასება პრაქტიკაში არის ტესტის შედეგების საშუალო არითმეტიკული

ასევე მოუწოდა სტატისტიკურიან ნიმუში ნიშნავს.

ვაჩვენოთ, რომ შეფასება t xაკმაყოფილებს ნებისმიერი პარამეტრის შეფასების ყველა მოთხოვნას.

1. გამოთქმიდან (5.10) გამომდინარეობს, რომ

ანუ ქულა t "x- მიუკერძოებელი შეფასება.

2. ჩებიშევის თეორემის მიხედვით, ტესტის შედეგების საშუალო არითმეტიკული ალბათობით ემთხვევა მათემატიკურ მოლოდინს, ე.ი.

შესაბამისად, შეფასება (5.10) არის მოლოდინის თანმიმდევრული შეფასება.

3. შეფასების განსხვავება t x,თანაბარი

როგორც ნიმუშის ზომა იზრდება, n მცირდება განუსაზღვრელი ვადით. დადასტურებულია, რომ თუ შემთხვევითი X ცვლადი ექვემდებარება ნორმალურ განაწილების კანონს, მაშინ ნებისმიერი პდისპერსია (5.11) იქნება მინიმალური შესაძლო და შეფასება t x- მათემატიკური მოლოდინის ეფექტური შეფასება. შეფასების დისპერსიის ცოდნა შესაძლებელს ხდის ამ შეფასების გამოყენებით მათემატიკური მოლოდინის უცნობი მნიშვნელობის განსაზღვრის სიზუსტის შესახებ მსჯელობის გამოტანას.

როგორც მათემატიკური მოლოდინის შეფასება, არითმეტიკული საშუალო გამოიყენება, თუ გაზომვის შედეგები თანაბრად ზუსტია (ვარიაციები D, მე = 1, 2, ..., პყველა განზომილებაში ერთნაირია). თუმცა, პრაქტიკაში უნდა გაუმკლავდეთ დავალებებს, რომლებშიც გაზომვის შედეგები არ არის თანაბარი (მაგალითად, ტესტირების დროს გაზომვები ხდება სხვადასხვა ინსტრუმენტებით). ამ შემთხვევაში მათემატიკური მოლოდინის შეფასებას აქვს ფორმა

სადაც არის i-ის გაზომვის წონა.

ფორმულაში (5.12), თითოეული გაზომვის შედეგი შედის საკუთარ წონასთან ერთად FROM.. ამიტომ გაზომვის შედეგების შეფასება t xდაურეკა საშუალო შეწონილი.

შეიძლება ნაჩვენები იყოს, რომ შეფასება (5.12) არის მოლოდინის მიუკერძოებელი, თანმიმდევრული და ეფექტური შეფასება. შეფასების მინიმალური განსხვავება მოცემულია

კომპიუტერულ მოდელებთან ექსპერიმენტების ჩატარებისას, მსგავსი პრობლემები წარმოიქმნება, როდესაც შეფასებები გვხვდება რამდენიმე სერიის ტესტების შედეგებიდან და თითოეულ სერიაში ტესტების რაოდენობა განსხვავებულია. მაგალითად, ჩატარდა ტესტების ორი სერია მოცულობით გვ 1და n 2, რომლის შედეგების მიხედვით შეფასებები ტ xi და t x _.მათემატიკური მოლოდინის განსაზღვრის სიზუსტისა და სანდოობის გასაუმჯობესებლად, ამ სერიის ტესტების შედეგები გაერთიანებულია. ამისათვის გამოიყენეთ გამოთქმა (5.12)

C კოეფიციენტების გამოთვლისას, D ვარიაციების ნაცვლად, ჩანაცვლებულია მათი შეფასებები, რომლებიც მიღებულია ტესტის შედეგებიდან თითოეულ სერიაში.

მსგავსი მიდგომა ასევე გამოიყენება შემთხვევითი მოვლენის ალბათობის დასადგენად ტესტების სერიის შედეგების საფუძველზე.

X შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინის შესაფასებლად, შერჩევის საშუალოს გარდა, სხვა სტატისტიკა შეიძლება გამოყენებულ იქნას. ყველაზე ხშირად, ამ მიზნებისთვის გამოიყენება ვარიაციული სერიის წევრები, ანუ შეკვეთის სტატისტიკა, რომლის საფუძველზეც აგებულია შეფასებები,

ძირითადი მოთხოვნების დაკმაყოფილება, კერძოდ, თანმიმდევრულობა და მიუკერძოებლობა.

დავუშვათ, რომ ვარიაციების სერია შეიცავს n = 2kწევრები. შემდეგ, ნებისმიერი საშუალო შეიძლება მივიღოთ მათემატიკური მოლოდინის შეფასებად:

სადაც ტო-ესაშუალოდ

სხვა არაფერია, თუ არა შემთხვევითი X ცვლადის განაწილების სტატისტიკური მედიანა, ვინაიდან აშკარა თანასწორობა ხდება

სტატისტიკური მედიანის უპირატესობა ის არის, რომ ის თავისუფალია ანომალიური დაკვირვებების გავლენისგან, რაც გარდაუვალია პირველი საშუალოს, ანუ ვარიაციის სერიების უმცირესი და უდიდესი რაოდენობის საშუალო გამოყენებისას.

უცნაური ნიმუშის ზომით პ = 2 კ- 1 სტატისტიკური მედიანა არის მისი შუა ელემენტი, ე.ი. რომვარიაციების სერიის მე-ე წევრი მე = x კ.

არის განაწილებები, რომლებისთვისაც საშუალო არითმეტიკული არ არის მათემატიკური მოლოდინის ეფექტური შეფასება, მაგალითად, ლაპლასის განაწილება. შეიძლება აჩვენოს, რომ ლაპლასის განაწილებისთვის, საშუალო ეფექტური შეფასება არის ნიმუშის მედიანა.

დადასტურებულია, რომ თუ შემთხვევით X ცვლადს აქვს ნორმალური განაწილება, მაშინ საკმარისად დიდი ნიმუშის ზომით, სტატისტიკური მედიანას განაწილების კანონი ახლოსაა ნორმასთან რიცხვითი მახასიათებლებით.

(5.11) და (5.14) ფორმულების შედარებიდან გამომდინარეობს, რომ სტატისტიკური მედიანას დისპერსია 1.57-ჯერ მეტია საშუალო არითმეტიკული დისპერსიაზე. ამრიგად, საშუალო არითმეტიკული, როგორც მათემატიკური მოლოდინის შეფასება, ბევრად უფრო ეფექტურია, ვიდრე სტატისტიკური მედიანა. თუმცა, გამოთვლების სიმარტივის, ანომალიური გაზომვის შედეგებისადმი მგრძნობელობის გამო (ნიმუშის „დაბინძურება“), პრაქტიკაში, სტატისტიკური მედიანა მაინც გამოიყენება მათემატიკური მოლოდინის შეფასებად.

უნდა აღინიშნოს, რომ უწყვეტი სიმეტრიული განაწილებისთვის საშუალო და მედიანა ერთნაირია. ამრიგად, სტატისტიკური მედიანა შეიძლება იყოს მათემატიკური მოლოდინის კარგი შეფასება მხოლოდ შემთხვევითი ცვლადის სიმეტრიული განაწილებისთვის.

დახრილი განაწილებისთვის, სტატისტიკური მედიანა მეაქვს მნიშვნელოვანი მიკერძოება მათემატიკური მოლოდინის მიმართ, შესაბამისად, იგი შეუფერებელია მისი შეფასებისთვის.

(1)

(2)

მოდით ვაჩვენოთ, რომ შეფასება მიუკერძოებელია:

მათემატიკური დისპერსიის შეფასებები

ერთი შეხედვით, ყველაზე ბუნებრივი შეფასება ჩანს

(3)

ჩვენ ვცვლით გამოხატულებას (2) ამ ფორმულაში:

მოდით ვიპოვოთ დისპერსიის შეფასების მათემატიკური მოლოდინი:

(4)

	(5)
ზე.	(6)

დაე, შემთხვევითი ცვლადი უცნობი მათემატიკური მოლოდინით და დისპერსიით დაექვემდებაროს დამოუკიდებელ ექსპერიმენტებს, რომლებმაც გამოიღო შედეგი - . მოდით გამოვთვალოთ თანმიმდევრული და მიუკერძოებელი შეფასებები პარამეტრებისთვის და.

როგორც მათემატიკური მოლოდინის შეფასება, ჩვენ ვიღებთ ექსპერიმენტული მნიშვნელობების საშუალო არითმეტიკას

. (2.9.1)

დიდი რიცხვების კანონის მიხედვით, ეს შეფასება არის მდიდარი , ალბათობით სიდიდით. იგივე შეფასებაა მიუკერძოებელი , იმიტომ რომ

. (2.9.2)

ამ შეფასების განსხვავება არის

. (2.9.3)

შეიძლება აჩვენოს, რომ ნორმალური განაწილებისთვის, ეს შეფასება არის ეფექტური . სხვა კანონებისთვის ეს შეიძლება ასე არ იყოს.

მოდით ახლა შევაფასოთ განსხვავება. ჯერ ავირჩიოთ შეფასების ფორმულა სტატისტიკური დისპერსია

. (2.9.4)

მოდით შევამოწმოთ დისპერსიის შეფასების თანმიმდევრულობა. გავხსნათ ფრჩხილები ფორმულაში (2.9.4)

იყიდება , პირველი წევრი გადადის ალბათობით რაოდენობასთან , მეორეში - მდე . ამრიგად, ჩვენი შეფასება ალბათობით ემთხვევა დისპერსიას

ამიტომ ის არის მდიდარი .

შევამოწმოთ მიუკერძოებლობა შეფასებები რაოდენობაზე. ამისათვის ჩვენ ვცვლით გამოხატულებას (2.9.1) ფორმულაში (2.9.4) და გავითვალისწინებთ, რომ შემთხვევითი ცვლადები დამოუკიდებელი

. (2.9.5)

მოდით გადავიდეთ ფორმულაში (2.9.5) შემთხვევითი ცვლადების რყევებზე

ფრჩხილების გაფართოებით, მივიღებთ

. (2.9.6)

გამოვთვალოთ მნიშვნელობის მათემატიკური მოლოდინი (2.9.6), იმის გათვალისწინებით, რომ

. (2.9.7)

კავშირი (2.9.7) აჩვენებს, რომ მნიშვნელობა გამოითვლება ფორმულით (2.9.4) არ არის მიუკერძოებელი შემფასებელი დისპერსიისთვის. მისი მათემატიკური მოლოდინი არ არის თანაბარი, მაგრამ გარკვეულწილად ნაკლები. ასეთი შეფასება იწვევს დაღმავალ სისტემატურ შეცდომას. ასეთი მიკერძოების აღმოსაფხვრელად აუცილებელია შესწორების შემოღება არა მნიშვნელობის გამრავლებით. მაშინ ასეთი შესწორებული სტატისტიკური დისპერსია შეიძლება იყოს დისპერსიის მიუკერძოებელი შეფასება

. (2.9.8)

ეს შეფასება ისეთივე თანმიმდევრულია , როგორც შეფასება , რადგან .

პრაქტიკაში, შეფასების ნაცვლად (2.9.8), ზოგჯერ უფრო მოსახერხებელია მეორე საწყის სტატისტიკურ მომენტთან დაკავშირებული ეკვივალენტური შეფასების გამოყენება.

. (2.9.9)

შეფასებები (2.9.8), (2.9.9) არ არის ეფექტური. შეიძლება აჩვენოს, რომ ნორმალური განაწილების შემთხვევაში ისინი იქნებიან ასიმპტომურად ეფექტური (როდის იქნება მიდრეკილება მინიმალურ შესაძლო მნიშვნელობამდე).

ამრიგად, შესაძლებელია შეზღუდული სტატისტიკური მასალის დამუშავების შემდეგი წესების ფორმულირება. თუ დამოუკიდებელ ექსპერიმენტებში შემთხვევითი ცვლადი იღებს მნიშვნელობებს უცნობი მათემატიკური მოლოდინით და დისპერსიით, შემდეგ ამ პარამეტრების დასადგენად უნდა გამოვიყენოთ სავარაუდო შეფასებები

(2.9.10)

სამუშაოს დასასრული -

ეს თემა ეკუთვნის:

ლექციის შენიშვნები მათემატიკის ალბათობის თეორიის მათემატიკური სტატისტიკის შესახებ

უმაღლესი მათემატიკისა და ინფორმატიკის კათედრა.. ლექციის ჩანაწერები.. მათემატიკაში..

თუ გჭირდებათ დამატებითი მასალა ამ თემაზე, ან ვერ იპოვეთ ის, რასაც ეძებდით, გირჩევთ გამოიყენოთ ძებნა ჩვენს სამუშაოთა მონაცემთა ბაზაში:

რას ვიზამთ მიღებულ მასალასთან:

თუ ეს მასალა თქვენთვის სასარგებლო აღმოჩნდა, შეგიძლიათ შეინახოთ იგი თქვენს გვერდზე სოციალურ ქსელებში:

ყველა თემა ამ განყოფილებაში:

ალბათობის თეორია
ალბათობის თეორია არის მათემატიკის ფილიალი, რომელიც სწავლობს შემთხვევითი მასის ფენომენების ნიმუშებს. შემთხვევითი არის ფენომენი, რომელიც

ალბათობის სტატისტიკური განსაზღვრება
მოვლენა არის შემთხვევითი მოვლენა, რომელიც გამოცდილების შედეგად შეიძლება გამოჩნდეს ან არ გამოჩნდეს (ორფასიანი ფენომენი). აღნიშნეთ მოვლენები დიდი ლათინური ასოებით

ელემენტარული მოვლენების სივრცე
დაე, მოვლენების ერთობლიობა დაკავშირებული იყოს გარკვეულ გამოცდილებასთან და: 1) გამოცდილების შედეგად, ერთი და მხოლოდ ერთი

მოქმედებები მოვლენებზე
ორი მოვლენის ჯამი და

პერმუტაციები
აღინიშნება ელემენტების სხვადასხვა პერმუტაციების რაოდენობა

საცხოვრებლები
ელემენტების განლაგება მიერ

კომბინაციები
ელემენტების კომბინაცია

შეუთავსებელი მოვლენების ალბათობების დამატების ფორმულა
თეორემა. ორი შეუთავსებელი მოვლენის ჯამის ალბათობა უდრის ამ მოვლენების ალბათობების ჯამს. (ერთი

თვითნებური მოვლენების ალბათობის დამატების ფორმულა
თეორემა. ორი მოვლენის ჯამის ალბათობა უდრის ამ მოვლენების ალბათობების ჯამს მათი ნამრავლის ალბათობის გარეშე.

ალბათობის გამრავლების ფორმულა
მიეცით ორი მოვლენა. განიხილეთ მოვლენა

საერთო ალბათობის ფორმულა
მოდით იყოს შეუთავსებელი მოვლენების სრული ჯგუფი, მათ ჰიპოთეზას უწოდებენ. განვიხილოთ რაიმე მოვლენა

ჰიპოთეზების ალბათობის ფორმულა (ბეისი)
კიდევ ერთხელ განვიხილოთ - შეუთავსებელი ჰიპოთეზების სრული ჯგუფი და მოვლენა

ასიმპტომური პუასონის ფორმულა
იმ შემთხვევებში, როდესაც ცდების რაოდენობა დიდია და მოვლენის დადგომის ალბათობა

შემთხვევითი დისკრეტული ცვლადები
შემთხვევითი მნიშვნელობა არის სიდიდე, რომელიც, როდესაც ექსპერიმენტი განმეორდება, შეიძლება მიიღოს არათანაბარი რიცხვითი მნიშვნელობები. შემთხვევით ცვლადს ეწოდება დისკრეტული,

შემთხვევითი უწყვეტი ცვლადები
თუ ექსპერიმენტის შედეგად შემთხვევით ცვლადს შეუძლია მიიღოს რაიმე მნიშვნელობა გარკვეული სეგმენტიდან ან მთელი რეალური ღერძიდან, მაშინ მას უწყვეტი ეწოდება. კანონი

შემთხვევითი უწყვეტი ცვლადის ალბათობის სიმკვრივის ფუნქცია
დაე. განიხილეთ წერტილი და მიეცით ნამატი

შემთხვევითი ცვლადების რიცხვითი მახასიათებლები
შემთხვევითი დისკრეტული ან უწყვეტი ცვლადები განიხილება მთლიანად დაზუსტებულად, თუ ცნობილია მათი განაწილების კანონები. მართლაც, განაწილების კანონების ცოდნით, ყოველთვის შეიძლება გამოვთვალოთ დარტყმის ალბათობა

შემთხვევითი ცვლადების რაოდენობა
შემთხვევითი უწყვეტი ცვლადის რიგის რაოდენობა

შემთხვევითი ცვლადების მათემატიკური მოლოდინი
შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი ახასიათებს მის საშუალო მნიშვნელობას. შემთხვევითი ცვლადის ყველა მნიშვნელობა დაჯგუფებულია ამ მნიშვნელობის გარშემო. ჯერ განვიხილოთ შემთხვევითი დისკრეტული ცვლადი

შემთხვევითი ცვლადების სტანდარტული გადახრა და ვარიაცია
ჯერ განვიხილოთ შემთხვევითი დისკრეტული ცვლადი. რეჟიმის რიცხვითი მახასიათებლები, მედიანა, კვანტილები და მათემატიკური მოლოდინი

შემთხვევითი ცვლადების მომენტები
მათემატიკური მოლოდინისა და დისპერსიის გარდა, ალბათობის თეორია იყენებს უმაღლესი რიგის რიცხვით მახასიათებლებს, რომლებსაც შემთხვევითი ცვლადების მომენტები ეწოდება.

თეორემები შემთხვევითი ცვლადების რიცხვითი მახასიათებლების შესახებ
თეორემა 1. არაშემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი უდრის თავად ამ მნიშვნელობას. მტკიცებულება: მოდით

ბინომალური განაწილების კანონი

პუასონის განაწილების კანონი
დაე, შემთხვევითი დისკრეტული ცვლადი მიიღოს მნიშვნელობები

ერთიანი განაწილების კანონი
შემთხვევითი უწყვეტი ცვლადის განაწილების ერთიანი კანონია ალბათობის სიმკვრივის ფუნქციის კანონი, რომელიც

ნორმალური განაწილების კანონი
შემთხვევითი უწყვეტი ცვლადის განაწილების ნორმალური კანონი არის სიმკვრივის ფუნქციის კანონი

ექსპონენციური განაწილების კანონი
შემთხვევითი ცვლადის ექსპონენციალური ან ექსპონენციური განაწილება გამოიყენება ალბათობის თეორიის ისეთ აპლიკაციებში, როგორიცაა რიგის თეორია, სანდოობის თეორია.

შემთხვევითი ცვლადების სისტემები
პრაქტიკაში, ალბათობის თეორიის გამოყენებაში, ადამიანი ხშირად აწყდება პრობლემებს, რომლებშიც ექსპერიმენტის შედეგები აღწერილია არა ერთი შემთხვევითი ცვლადით, არამედ ერთდროულად რამდენიმე შემთხვევითი ცვლადით.

ორი შემთხვევითი დისკრეტული ცვლადის სისტემა
მოდით, ორმა შემთხვევითმა დისკრეტულმა ცვლადმა შექმნას სისტემა. შემთხვევითი მნიშვნელობა

ორი შემთხვევითი უწყვეტი ცვლადის სისტემა
ახლა მოდით, სისტემა ჩამოყალიბდეს ორი შემთხვევითი უწყვეტი ცვლადით. ამ სისტემის განაწილების კანონი ეწოდება ალბათ

განაწილების პირობითი კანონები
მოდით და დამოკიდებული შემთხვევითი უწყვეტი ცვლადები

ორი შემთხვევითი ცვლადის სისტემის რიცხვითი მახასიათებლები
შემთხვევითი ცვლადების სისტემის წესრიგის საწყისი მომენტი

რამდენიმე შემთხვევითი ცვლადის სისტემა
ორი შემთხვევითი ცვლადის სისტემისთვის მიღებული შედეგები შეიძლება განზოგადდეს შემთხვევითი ცვლადების თვითნებური რაოდენობისგან შემდგარი სისტემების შემთხვევაში. დაე, სისტემა ჩამოყალიბდეს კომპლექტით

ორი შემთხვევითი ცვლადის სისტემის ნორმალური განაწილება
განვიხილოთ ორი შემთხვევითი უწყვეტი ცვლადის სისტემა. ამ სისტემის განაწილების კანონი არის ნორმალური განაწილების კანონი

ალბათობის თეორიის ზღვრული თეორემები
ალბათობის თეორიის დისციპლინის მთავარი მიზანია შემთხვევითი მასობრივი ფენომენების შაბლონების შესწავლა. პრაქტიკა გვიჩვენებს, რომ ერთგვაროვანი შემთხვევითი ფენომენების მასაზე დაკვირვება ვლინდება

ჩებიშევის უთანასწორობა
განვიხილოთ შემთხვევითი ცვლადი მათემატიკური მოლოდინით

ჩებიშევის თეორემა
თუ შემთხვევითი ცვლადები წყვილში დამოუკიდებელია და პოპულაციაში შემოსაზღვრული აქვთ სასრული ვარიაციები

ბერნულის თეორემა
ექსპერიმენტების რაოდენობის შეუზღუდავი ზრდით, მოვლენის დადგომის სიხშირე ხვდება ალბათობით მოვლენის ალბათობას.

ცენტრალური ლიმიტის თეორემა
შემთხვევითი ცვლადების დამატებისას ნებისმიერი განაწილების კანონებით, მაგრამ მთლიანობაში შეზღუდული დისპერსიებით, განაწილების კანონი

მათემატიკური სტატისტიკის ძირითადი ამოცანები
ზემოთ განხილული ალბათობის თეორიის კანონები არის რეალური შაბლონების მათემატიკური გამოხატულება, რომლებიც რეალურად არსებობს სხვადასხვა შემთხვევითი მასის ფენომენებში. სწავლა

მარტივი სტატისტიკა. სტატისტიკური განაწილების ფუნქცია
განვიხილოთ რამდენიმე შემთხვევითი ცვლადი, რომლის განაწილების კანონი უცნობია. აუცილებელია გამოცდილებიდან გამომდინარე

სტატისტიკური ხაზი. სვეტოვანი დიაგრამა
დაკვირვების დიდი რაოდენობით (ასობით რიგის) საერთო მოსახლეობა ხდება არასასიამოვნო და შრომატევადი სტატისტიკური მასალის ჩასაწერად. სიცხადისთვის და კომპაქტურობისთვის, სტატისტიკური მასალა

სტატისტიკური განაწილების რიცხვითი მახასიათებლები
ალბათობის თეორიაში განიხილებოდა შემთხვევითი ცვლადების სხვადასხვა რიცხვითი მახასიათებელი: მათემატიკური მოლოდინი, ცვალებადობა, სხვადასხვა რიგის საწყისი და ცენტრალური მომენტები. მსგავსი ნომრები

თეორიული განაწილების არჩევანი მომენტების მეთოდით
ნებისმიერ სტატისტიკურ განაწილებაში, გარდაუვალია შემთხვევითობის ელემენტები, რომლებიც დაკავშირებულია დაკვირვებების შეზღუდულ რაოდენობასთან. დაკვირვების დიდი რაოდენობით, შემთხვევითობის ეს ელემენტები გათანაბრებულია,

განაწილების კანონის ფორმის შესახებ ჰიპოთეზის დამაჯერებლობის ტესტირება
მოცემული სტატისტიკური განაწილება მიახლოებული იყოს რაიმე თეორიული მრუდით ან

თანხმობის კრიტერიუმები
განვიხილოთ ერთ-ერთი ყველაზე ხშირად გამოყენებული სიკეთის ტესტი, ე.წ. პირსონის ტესტი. ვივარაუდოთ

განაწილების უცნობი პარამეტრების წერტილოვანი შეფასებები
გვ.წ. 2.1. - 2.7 დეტალურად განვიხილეთ მათემატიკური სტატისტიკის პირველი და მეორე ძირითადი ამოცანების ამოხსნის გზები. ეს არის ექსპერიმენტული მონაცემების მიხედვით შემთხვევითი ცვლადების განაწილების კანონების განსაზღვრის ამოცანები

Ნდობის ინტერვალი. ნდობის ალბათობა
პრაქტიკაში, შემთხვევით ცვლადზე ექსპერიმენტების მცირე რაოდენობით, უცნობი პარამეტრის სავარაუდო ჩანაცვლება

დაე, იყოს X შემთხვევითი ცვლადი და მისი პარამეტრები არის მათემატიკური მოლოდინი ადა განსხვავება უცნობია. X-ის მნიშვნელობის ზემოთ ჩატარდა დამოუკიდებელი ექსპერიმენტები, რომლებმაც მიიღეს შედეგები x 1, x 2, x n.

მსჯელობის ზოგადობის შემცირების გარეშე, ჩვენ განვიხილავთ შემთხვევითი ცვლადის ამ მნიშვნელობებს განსხვავებულად. ჩვენ განვიხილავთ x 1, x 2, x n მნიშვნელობებს, როგორც დამოუკიდებელ, იდენტურად განაწილებულ შემთხვევით ცვლადებს X 1, X 2, X n.

სტატისტიკური შეფასების უმარტივესი მეთოდი - ჩანაცვლების მეთოდი და ანალოგია - მდგომარეობს იმაში, რომ ზოგადი პოპულაციის ამა თუ იმ რიცხვითი მახასიათებლის (საშუალო, ვარიაცია და ა.შ.) შეფასებისას აღებულია ნიმუშის განაწილების შესაბამისი მახასიათებელი. - ნიმუშის მახასიათებელი.

ჩანაცვლების მეთოდით, როგორც მათემატიკური მოლოდინის შეფასება ააუცილებელია ავიღოთ ნიმუშის განაწილების მათემატიკური მოლოდინი - შერჩევის საშუალო. ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ

შერჩევის მიუკერძოებლობისა და თანმიმდევრულობის შესამოწმებლად ნიშნავს შეფასებებს ა, განვიხილოთ ეს სტატისტიკა არჩეული ვექტორის ფუნქციად (X 1, X 2, X n). იმის გათვალისწინებით, რომ თითოეულ მნიშვნელობებს X 1, X 2, X n აქვს იგივე განაწილების კანონი, როგორც X მნიშვნელობა, დავასკვნით, რომ ამ რაოდენობების რიცხვითი მახასიათებლები და X-ის მნიშვნელობა იგივეა: M(X მე) = M(X) = ა, D(X მე) = D(X) = , მე = 1, 2, n , სადაც X i არის ერთობლივად დამოუკიდებელი შემთხვევითი ცვლადები.

შესაბამისად,

აქედან გამომდინარე, განმარტებით, ჩვენ ვიღებთ, რომ ეს არის მიუკერძოებელი შეფასება ადა რადგან D()®0 როგორც n®¥, მაშინ წინა აბზაცის თეორემის მიხედვით არის მოლოდინის თანმიმდევრული შეფასება ასაერთო მოსახლეობა.

შეფასების ეფექტურობა ან არაეფექტურობა დამოკიდებულია X შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონის ფორმაზე. შეიძლება დადასტურდეს, რომ თუ X მნიშვნელობა ნაწილდება ნორმალური კანონის მიხედვით, მაშინ შეფასება ეფექტურია. სხვა განაწილების კანონებისთვის, ეს შეიძლება არ იყოს საქმე.

ზოგადი დისპერსიის მიუკერძოებელი შეფასებაარის შესწორებული ნიმუშის განსხვავება

იმიტომ რომ , სად არის ზოგადი განსხვავება. მართლაც,

შეფასება s -- 2 ზოგადი დისპერსიისთვის ასევე თანმიმდევრულია, მაგრამ არა ეფექტური. თუმცა, ნორმალური განაწილების შემთხვევაში, ის არის „ასიმპტომურად ეფექტური“, ანუ, როგორც n იზრდება, მისი დისპერსიის თანაფარდობა მინიმუმამდე უახლოვდება განუსაზღვრელი ვადით.

ასე რომ, მოცემულია ნიმუში F განაწილებიდან x) შემთხვევითი ცვლადი X უცნობი მათემატიკური მოლოდინით ადა დისპერსიას, შემდეგ ამ პარამეტრების მნიშვნელობების გამოსათვლელად, ჩვენ გვაქვს უფლება გამოვიყენოთ შემდეგი სავარაუდო ფორმულები:

ა ,

აქ x-i- - შერჩევის ვარიანტები, n-i-- სიხშირის ვარიანტები x i, - - ნიმუშის ზომა.
შესწორებული ნიმუშის დისპერსიის გამოსათვლელად, ფორმულა უფრო მოსახერხებელია

გაანგარიშების გასამარტივებლად, მიზანშეწონილია გადახვიდეთ პირობით ვარიანტებზე (მომგებიანია საწყისი ვარიანტი, რომელიც მდებარეობს ინტერვალის ვარიაციის სერიის შუაში, როგორც c). მერე

, .

ინტერვალის შეფასება

ზემოთ განვიხილეთ უცნობი პარამეტრის შეფასების საკითხი აერთი ნომერი. ასეთ შეფასებებს ჩვენ პუნქტუალურ შეფასებებს ვუწოდებდით. მათ აქვთ მინუსი, რომ მცირე ნიმუშის ზომით, ისინი შეიძლება მნიშვნელოვნად განსხვავდებოდეს სავარაუდო პარამეტრებისგან. ამიტომ, პარამეტრსა და მის შეფასებას შორის სიახლოვის წარმოდგენის მიზნით, მათემატიკურ სტატისტიკაში შემოდის ე.წ.

მოდი, იყოს q * წერტილის შეფასება q პარამეტრის ნიმუშში. ჩვეულებრივ, მკვლევარები წინასწარ ანიჭებენ გარკვეულ საკმარისად დიდ ალბათობას g (მაგალითად, 0,95; 0,99 ან 0,999) ისე, რომ მოვლენა g ალბათობით შეიძლება ჩაითვალოს პრაქტიკულად გარკვეულად და აყენებს საკითხს ისეთი მნიშვნელობის პოვნის შესახებ e > 0, რომლისთვისაც

ამ თანასწორობის შეცვლით, მივიღებთ:

და ამ შემთხვევაში ვიტყვით, რომ ინტერვალი ]q * - e; q * + e[ ფარავს q სავარაუდო პარამეტრს g ალბათობით.

ინტერვალი ]q * -e; q * +e [ ეძახიან ნდობის ინტერვალი .

ალბათობა g ეწოდება საიმედოობა (ნდობის ალბათობა) ინტერვალის შეფასება.

ნდობის ინტერვალის ბოლოები, ე.ი. წერტილები q * -e და q * +e ეწოდება ნდობის საზღვრები .

ნომერი e ეწოდება შეფასების სიზუსტე .

როგორც ნდობის ლიმიტების განსაზღვრის პრობლემის მაგალითი, განვიხილოთ შემთხვევითი X ცვლადის მათემატიკური მოლოდინის შეფასების საკითხი, რომელსაც აქვს ნორმალური განაწილების კანონი პარამეტრებით. ადა ს, ე.ი. X = N( ა, ს). მათემატიკური მოლოდინი ამ შემთხვევაში უდრის ა. X 1 , X 2 , X n დაკვირვების მიხედვით გამოთვალეთ საშუალო და შეფასება დისპერსია s 2.

გამოდის, რომ ნიმუშის მონაცემების მიხედვით, შესაძლებელია შემთხვევითი ცვლადის აგება

რომელსაც აქვს Student-ის განაწილება (ან t-განაწილება) n = n -1 თავისუფლების გრადუსით.

გამოვიყენოთ ცხრილი A.1.3 და ვიპოვოთ მოცემული ალბათობის g და n რიცხვის რიცხვი t g ისეთი, რომ ალბათობა

P(|t(n)|< t g) = g,

აშკარა გარდაქმნების შემდეგ, ჩვენ ვიღებთ

F- კრიტერიუმის გამოყენების პროცედურა შემდეგია:

1. კეთდება ვარაუდი პოპულაციების ნორმალური განაწილების შესახებ. მოცემულ მნიშვნელოვნების დონეზე a, ნულოვანი ჰიპოთეზა H 0 ჩამოყალიბებულია: s x 2 = s y 2 ნორმალური პოპულაციების ზოგადი ვარიაციების ტოლობის შესახებ კონკურენტი ჰიპოთეზის H 1: s x 2 > s y 2 .

2. ორი დამოუკიდებელი ნიმუში მიიღება X და Y პოპულაციებიდან შესაბამისად n x და n y.

3. გამოთვალეთ შესწორებული ნიმუშის ვარიაციების მნიშვნელობები s x 2 და s y 2 (გაანგარიშების მეთოდები განხილულია §13.4-ში). რაც უფრო დიდია დისპერსიები (s x 2 ან s y 2) აღინიშნება s 1 2, უფრო პატარა - s 2 2.

4. F-კრიტერიუმის მნიშვნელობა გამოითვლება ფორმულის მიხედვით F obs = s 1 2 / s 2 2 .

5. ფიშერ - სნედეკორის განაწილების კრიტიკული წერტილების ცხრილის მიხედვით, მოცემული მნიშვნელობის დონე a და თავისუფლების გრადუსების რაოდენობა n 1 \u003d n 1 - 1, n 2 \u003d n 2 - 1 (n 1 არის უფრო დიდი შესწორებული დისპერსიის თავისუფლების გრადუსების რაოდენობა), კრიტიკული წერტილი გვხვდება F cr (a, n 1, n 2).

გაითვალისწინეთ, რომ ცხრილში A.1.7 ნაჩვენებია ცალმხრივი F-კრიტერიუმის კრიტიკული მნიშვნელობები. ამიტომ, თუ გამოყენებულია ორმხრივი კრიტერიუმი (H 1: s x 2 ¹ s y 2), მაშინ მარჯვენა კრიტიკული წერტილი F cr (a / 2, n 1, n 2) იძებნება მნიშვნელოვნების დონით a /. 2 (მითითებულის ნახევარი) და თავისუფლების გრადუსების რაოდენობა n 1 და n 2 (n 1 - უფრო დიდი დისპერსიის თავისუფლების ხარისხების რაოდენობა). მარცხენა კრიტიკული წერტილი შეიძლება ვერ მოიძებნოს.

6. დასკვნა ხდება, რომ თუ F-კრიტერიუმის გამოთვლილი მნიშვნელობა მეტია ან ტოლია კრიტიკულზე (F obs ³ F cr), მაშინ დისპერსიები მნიშვნელოვნად განსხვავდება მოცემულ მნიშვნელოვნების დონეზე. წინააღმდეგ შემთხვევაში (F obs< F кр) нет оснований для отклонения нулевой гипотезы о равенстве двух дисперсий.

ამოცანა 15.1. ნედლეულის მოხმარება წარმოების ერთეულზე ძველი ტექნოლოგიით იყო:

Ახალი ტექნოლოგია:

თუ დავუშვებთ, რომ X და Y შესაბამის ზოგად პოპულაციებს აქვთ ნორმალური განაწილება, შეამოწმეთ, რომ ახალი და ძველი ტექნოლოგიებისთვის ნედლეულის მოხმარება არ განსხვავდება ცვალებადობით, თუ ავიღებთ მნიშვნელოვნების დონეს a = 0.1.

გამოსავალი. ჩვენ ვმოქმედებთ ზემოთ მითითებული თანმიმდევრობით.

1. ჩვენ ვიმსჯელებთ ახალი და ძველი ტექნოლოგიებისთვის ნედლეულის მოხმარების ცვალებადობაზე დისპერსიული მნიშვნელობების მიხედვით. ამრიგად, ნულოვანი ჰიპოთეზას აქვს ფორმა H 0: s x 2 = s y 2 . როგორც კონკურენტი ჰიპოთეზა, ჩვენ ვიღებთ ჰიპოთეზას H 1: s x 2 ¹ s y 2, რადგან წინასწარ არ ვართ დარწმუნებული, რომ რომელიმე ზოგადი ვარიაციები სხვაზე მეტია.

2-3. იპოვეთ ნიმუშის ვარიაციები. გამოთვლების გასამარტივებლად, მოდით გადავიდეთ პირობით ვარიანტებზე:

u i = x i - 307, v i = y i - 304.

ჩვენ მოვაწყობთ ყველა გამოთვლას შემდეგი ცხრილების სახით:

u i	მ ი	მე მე შენ მე	მე მე შენ მე 2	m i (u i +1) 2	v i	n i	n i v i	n i v i 2	n i (v i +1) 2
-3		-3			-1		-2


å	-
					å	-

კონტროლი: å m i u i 2 + 2å m i u i + m i = კონტროლი: å n i v i 2 + 2å n i v i + n i = 13 + 2 + 9 = 24 = 34 + 20 + 13 = 67

იპოვეთ შესწორებული ნიმუშის ვარიაციები:

4. შეადარეთ განსხვავებები. იპოვეთ უფრო დიდი შესწორებული დისპერსიის თანაფარდობა პატარასთან:

5. პირობით, კონკურენტ ჰიპოთეზას აქვს ფორმა s x 2 ¹ s y 2, შესაბამისად, კრიტიკული რეგიონი ორმხრივია და კრიტიკული წერტილის პოვნისას უნდა აიღოთ მოცემულის ნახევარი მნიშვნელოვნების დონეები.

ცხრილის A.1.7 მიხედვით, მნიშვნელოვნების დონე a/2 = 0.1/2 = 0.05 და თავისუფლების გრადუსების რაოდენობა n 1 = n 1 - 1 = 12, n 2 = n 2 - 1 = 8, ვპოულობთ კრიტიკული წერტილი F cr (0.05; 12; 8) = 3.28.

6. ვინაიდან F obl.< F кр то гипотезу о равенстве дисперсий расхода сырья при старой и новой технологиях принимаем.

ზემოთ, ჰიპოთეზების ტესტირებისას, ვარაუდობდნენ, რომ შესწავლილი შემთხვევითი ცვლადების განაწილება ნორმალური იყო. თუმცა, სპეციალურმა კვლევებმა აჩვენა, რომ შემოთავაზებული ალგორითმები ძალიან სტაბილურია (განსაკუთრებით დიდი ნიმუშის ზომებით) ნორმალური განაწილებიდან გადახრის მიმართ.

პორტალი სტუდენტისთვის. თვითმმართველობის ტრენინგი

მათემატიკური დისპერსიის შეფასებები

მათემატიკური დისპერსიის შეფასებები

ლექციის შენიშვნები მათემატიკის ალბათობის თეორიის მათემატიკური სტატისტიკის შესახებ

რას ვიზამთ მიღებულ მასალასთან:

ყველა თემა ამ განყოფილებაში:

ინტერვალის შეფასება

ᲓᲐᲙᲐᲕᲨᲘᲠᲔᲑᲣᲚᲘ ᲡᲢᲐᲢᲘᲔᲑᲘ