წრფივი განტოლებათა სისტემის ამოხსნის ერთ-ერთი უმარტივესი გზაა დეტერმინანტების გამოთვლაზე დაფუძნებული მეთოდი ( კრამერის წესი). მისი უპირატესობა ის არის, რომ საშუალებას გაძლევთ დაუყოვნებლივ ჩაწეროთ გამოსავალი, განსაკუთრებით მოსახერხებელია იმ შემთხვევებში, როდესაც სისტემის კოეფიციენტები არ არის რიცხვები, არამედ ზოგიერთი პარამეტრი. მისი მინუსი არის გამოთვლების უხერხულობა დიდი რაოდენობის განტოლების შემთხვევაში, უფრო მეტიც, კრამერის წესი პირდაპირ არ ვრცელდება სისტემებზე, რომლებშიც განტოლებების რაოდენობა არ ემთხვევა უცნობის რაოდენობას. ასეთ შემთხვევებში ჩვეულებრივ გამოიყენება გაუსის მეთოდი.
წრფივი განტოლებათა სისტემებს, რომლებსაც აქვთ ამონახსნების ერთნაირი ნაკრები ეწოდება ექვივალენტი. ცხადია, წრფივი სისტემის ამონახსნების სიმრავლე არ შეიცვლება, თუ რომელიმე განტოლება ერთმანეთს ცვლის, ან თუ ერთ-ერთი განტოლება გამრავლდება რაიმე არანულოვან რიცხვზე, ან თუ ერთი განტოლება დაემატება მეორეს.
გაუსის მეთოდი (უცნობების თანმიმდევრული აღმოფხვრის მეთოდი) მდგომარეობს იმაში, რომ ელემენტარული გარდაქმნების დახმარებით სისტემა მცირდება ეკვივალენტურ ეტაპობრივ სისტემამდე. პირველი, პირველი განტოლების დახმარებით, xსისტემის ყველა შემდგომი განტოლების 1. შემდეგ, მე-2 განტოლების გამოყენებით, ჩვენ გამოვრიცხავთ xმე-3 განტოლების 2 და ყველა შემდგომი განტოლება. ამ პროცესს ე.წ პირდაპირი გაუსის მეთოდი, გრძელდება მანამ, სანამ მხოლოდ ერთი უცნობი დარჩება ბოლო განტოლების მარცხენა მხარეს x n. ამის შემდეგ მზადდება გაუსიანი რევერსი– ბოლო განტოლების ამოხსნით, ვპოულობთ x n; ამის შემდეგ, ამ მნიშვნელობის გამოყენებით, ჩვენ ვიანგარიშებთ ბოლო განტოლებიდან x n-1 და ა.შ. ბოლოს ვიპოვით x 1 პირველი განტოლებიდან.
მოსახერხებელია გაუსის გარდაქმნების განხორციელება გარდაქმნების შესრულებით არა თავად განტოლებებით, არამედ მათი კოეფიციენტების მატრიცებით. განვიხილოთ მატრიცა:
დაურეკა გაფართოებული მატრიცული სისტემა,რადგან სისტემის მთავარი მატრიცის გარდა იგი მოიცავს თავისუფალი წევრების სვეტს. გაუსის მეთოდი ეფუძნება სისტემის ძირითადი მატრიცის სამკუთხა ფორმამდე მიყვანას (ან ტრაპეციულ ფორმას არაკვადრატული სისტემების შემთხვევაში) სისტემის გაფართოებული მატრიცის ელემენტარული მწკრივის გარდაქმნების (!) გამოყენებით.
მაგალითი 5.1.ამოხსენით სისტემა გაუსის მეთოდით:
გადაწყვეტილება. მოდით დავწეროთ სისტემის გაძლიერებული მატრიცა და პირველი რიგის გამოყენებით, ამის შემდეგ დავაყენებთ დანარჩენ ელემენტებს ნულზე:
ჩვენ ვიღებთ ნულებს პირველი სვეტის მე-2, მე-3 და მე-4 სტრიქონებში:
ახლა ჩვენ გვჭირდება ყველა ელემენტი მეორე სვეტის მე-2 რიგის ქვემოთ, რომ იყოს ნულის ტოლი. ამისათვის შეგიძლიათ მეორე სტრიქონი გაამრავლოთ -4/7-ზე და დაამატოთ მე-3 სტრიქონი. თუმცა, იმისთვის, რომ წილადებთან საქმე არ გვქონდეს, ჩვენ შევქმნით ერთეულს მეორე სვეტის მე-2 რიგში და მხოლოდ
ახლა, სამკუთხა მატრიცის მისაღებად, საჭიროა მე-3 სვეტის მეოთხე რიგის ელემენტის ნულიდან გამორიცხვა, ამისთვის შეგიძლიათ მესამე მწკრივი გაამრავლოთ 8/54-ზე და დაამატოთ ის მეოთხეზე. თუმცა, იმისთვის, რომ წილადებთან არ გვქონდეს საქმე, გავცვლით მე-3 და მე-4 სტრიქონებს და მე-3 და მე-4 სვეტებს და მხოლოდ ამის შემდეგ გადავაყენებთ მითითებულ ელემენტს. გაითვალისწინეთ, რომ როდესაც სვეტები გადანაწილებულია, შესაბამისი ცვლადები იცვლება და ეს უნდა დაიმახსოვროთ; სხვა ელემენტარული გარდაქმნები სვეტებით (შეკრება და რიცხვით გამრავლება) შეუძლებელია!
ბოლო გამარტივებული მატრიცა შეესაბამება განტოლებათა სისტემას, რომელიც ექვივალენტურია ორიგინალის:
აქედან, გაუსის მეთოდის საპირისპირო კურსის გამოყენებით, ვხვდებით მეოთხე განტოლებიდან x 3 = -1; მესამედან x 4 = -2, მეორედან x 2 = 2 და პირველი განტოლებიდან x 1 = 1. მატრიცის სახით პასუხი იწერება როგორც
ჩვენ განვიხილეთ შემთხვევა, როდესაც სისტემა განსაზღვრულია, ე.ი. როდესაც გამოსავალი მხოლოდ ერთია. ვნახოთ, რა მოხდება, თუ სისტემა არათანმიმდევრული ან განუსაზღვრელია.
მაგალითი 5.2.გამოიკვლიეთ სისტემა გაუსის მეთოდის გამოყენებით:
გადაწყვეტილება. ჩვენ ვწერთ და გარდაქმნით სისტემის გაძლიერებულ მატრიცას
ჩვენ ვწერთ განტოლებათა გამარტივებულ სისტემას:
აი, ბოლო განტოლებაში აღმოჩნდა, რომ 0=4, ე.ი. წინააღმდეგობა. ამიტომ სისტემას არ აქვს გამოსავალი, ე.ი. ის არის შეუთავსებელი. à
მაგალითი 5.3.შეისწავლეთ და ამოხსენით სისტემა გაუსის მეთოდის გამოყენებით:
გადაწყვეტილება. ჩვენ ვწერთ და გარდაქმნით სისტემის გაფართოებულ მატრიცას:
გარდაქმნების შედეგად ბოლო სტრიქონში მხოლოდ ნულები მიიღეს. ეს ნიშნავს, რომ განტოლებების რაოდენობა შემცირდა ერთით:
ამრიგად, გამარტივების შემდეგ რჩება ორი განტოლება, ხოლო ოთხი უცნობი, ე.ი. ორი უცნობი „დამატებითი“. დაე, "ზედმეტი", ან, როგორც ამბობენ, უფასო ცვლადები, იქნება x 3 და x 4 . მერე
ვარაუდით x 3 = 2ადა x 4 = ბ, ვიღებთ x 2 = 1–ადა x 1 = 2ბ–ა; ან მატრიცის სახით
ამ გზით დაწერილ ამოხსნას ეწოდება გენერალი, ვინაიდან, პარამეტრების მიცემით ადა ბსხვადასხვა მნიშვნელობებით, შესაძლებელია სისტემის ყველა შესაძლო გადაწყვეტის აღწერა. ა
გაუსის მეთოდიშესანიშნავია წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემების გადასაჭრელად (SLAE). მას აქვს რამდენიმე უპირატესობა სხვა მეთოდებთან შედარებით:
- პირველ რიგში, არ არის საჭირო განტოლებათა სისტემის წინასწარი გამოკვლევა თავსებადობისთვის;
- მეორეც, გაუსის მეთოდი შეიძლება გამოყენებულ იქნას არა მხოლოდ SLAE-ების გადასაჭრელად, რომლებშიც განტოლებების რაოდენობა ემთხვევა უცნობი ცვლადების რაოდენობას და სისტემის მთავარი მატრიცა არადეგენერატია, არამედ განტოლებათა სისტემები, რომლებშიც განტოლებების რაოდენობა არ ემთხვევა. უცნობი ცვლადების რაოდენობით ან მთავარი მატრიცის განმსაზღვრელი ნულის ტოლია;
- მესამე, გაუსის მეთოდი იწვევს შედეგს შედარებით მცირე რაოდენობის გამოთვლითი ოპერაციებით.
სტატიის მოკლე მიმოხილვა.
პირველ რიგში, ჩვენ ვაძლევთ აუცილებელ განმარტებებს და შემოგვაქვს გარკვეული აღნიშვნა.
შემდეგი, ჩვენ აღვწერთ გაუსის მეთოდის ალგორითმს უმარტივესი შემთხვევისთვის, ანუ წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემებისთვის, განტოლებების რაოდენობა, რომელშიც ემთხვევა უცნობი ცვლადების რაოდენობას და სისტემის მთავარი მატრიცის განმსაზღვრელს, არ არის. ნულის ტოლი. განტოლებათა ასეთი სისტემების ამოხსნისას ყველაზე ნათლად ჩანს გაუსის მეთოდის არსი, რომელიც შედგება უცნობი ცვლადების თანმიმდევრული აღმოფხვრაში. ამიტომ გაუსის მეთოდს ასევე უწოდებენ უცნობების თანმიმდევრული აღმოფხვრის მეთოდს. მოდით ვაჩვენოთ რამდენიმე მაგალითის დეტალური გადაწყვეტილებები.
დასასრულს, ჩვენ განვიხილავთ ხაზოვანი ალგებრული განტოლებების სისტემების გაუსის ამონახს, რომელთა ძირითადი მატრიცა არის მართკუთხა ან გადაგვარებული. ასეთი სისტემების გადაწყვეტას აქვს გარკვეული მახასიათებლები, რომლებსაც დეტალურად გავაანალიზებთ მაგალითების გამოყენებით.
გვერდის ნავიგაცია.
ძირითადი განმარტებები და აღნიშვნა.
განვიხილოთ p წრფივი განტოლებათა სისტემა n უცნობით (p შეიძლება იყოს n-ის ტოლი):
სადაც უცნობი ცვლადებია, არის რიცხვები (რეალური თუ რთული), არის თავისუფალი წევრები.
Თუ 
, მაშინ წრფივი ალგებრული განტოლებათა სისტემა ეწოდება ერთგვაროვანი, წინააღმდეგ შემთხვევაში - ჰეტეროგენული.
უცნობი ცვლადების მნიშვნელობების ერთობლიობა, რომელშიც სისტემის ყველა განტოლება გადაიქცევა იდენტებად, ე.წ. SLAU გადაწყვეტილება.
თუ წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემის ერთი ამონახსნი მაინც არის, მაშინ მას ე.წ ერთობლივი, წინააღმდეგ შემთხვევაში - შეუთავსებელი.
თუ SLAE-ს აქვს უნიკალური გამოსავალი, მაშინ მას ე.წ გარკვეული. თუ არსებობს ერთზე მეტი გამოსავალი, მაშინ სისტემა ეწოდება გაურკვეველი.
სისტემაში ამბობენ, რომ ჩაწერილია კოორდინატთა ფორმათუ ფორმა აქვს
.
ამ სისტემაში მატრიცის ფორმაჩანაწერს აქვს ფორმა, სადაც 
- SLAE-ის მთავარი მატრიცა, - უცნობი ცვლადების სვეტის მატრიცა, - თავისუფალი წევრების მატრიცა.
თუ A მატრიცას (n + 1)-ე სვეტად დავუმატებთ თავისუფალი ტერმინების მატრიცა-სვეტს, მაშინ მივიღებთ ე.წ. გაფართოებული მატრიცაწრფივი განტოლებათა სისტემები. ჩვეულებრივ, გაძლიერებული მატრიცა აღინიშნება ასო T-ით, ხოლო თავისუფალი წევრების სვეტი გამოყოფილია ვერტიკალური ხაზით დანარჩენი სვეტებისგან, ანუ, 
კვადრატული მატრიცა A ეწოდება დეგენერატითუ მისი განმსაზღვრელი არის ნული. თუ , მაშინ მატრიცა A ეწოდება არადეგენერატი.
უნდა აღინიშნოს შემდეგი პუნქტი.
თუ შემდეგი მოქმედებები შესრულებულია წრფივი ალგებრული განტოლებათა სისტემით
- გავცვალოთ ორი განტოლება,
- გავამრავლოთ ნებისმიერი განტოლების ორივე მხარე თვითნებური და არანულოვანი რეალური (ან რთული) რიცხვით k,
- ნებისმიერი განტოლების ორივე ნაწილს დაამატეთ სხვა განტოლების შესაბამისი ნაწილები, გამრავლებული თვითნებური რიცხვით k,
მაშინ ვიღებთ ეკვივალენტურ სისტემას, რომელსაც აქვს იგივე ამონახსნები (ან, როგორც ორიგინალს, არ აქვს ამონახსნები).
წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემის გაფართოებული მატრიცისთვის ეს მოქმედებები ნიშნავს ელემენტარულ გარდაქმნებს რიგებით:
- ორი სიმის გაცვლა
- T მატრიცის ნებისმიერი მწკრივის ყველა ელემენტის გამრავლება არანულოვანი რიცხვით k ,
- მატრიცის ნებისმიერი მწკრივის ელემენტებს დაამატეთ სხვა რიგის შესაბამისი ელემენტები, გამრავლებული თვითნებური რიცხვით k.
ახლა ჩვენ შეგვიძლია გადავიდეთ გაუსის მეთოდის აღწერაზე.
ხაზოვანი ალგებრული განტოლებების სისტემების ამოხსნა, რომლებშიც განტოლებათა რაოდენობა უდრის უცნობთა რაოდენობას და სისტემის მთავარი მატრიცა არადეგენერატიულია, გაუსის მეთოდით.
რას ვიზამთ სკოლაში, განტოლებათა სისტემის ამონახსნის დავალება რომ მოგვცეს 
.
ზოგი ასე მოიქცეოდა.
გაითვალისწინეთ, რომ პირველი განტოლების მარცხენა მხარის მიმატებით მეორე განტოლების მარცხენა მხარეს და მარჯვენა მხარეს მარჯვენა მხარეს, შეგიძლიათ თავიდან აიცილოთ უცნობი ცვლადები x 2 და x 3 და დაუყოვნებლივ იპოვოთ x 1: 
ჩვენ ვცვლით ნაპოვნი მნიშვნელობას x 1 \u003d 1 სისტემის პირველ და მესამე განტოლებაში: 
თუ სისტემის მესამე განტოლების ორივე ნაწილს გავამრავლებთ -1-ზე და დავამატებთ პირველი განტოლების შესაბამის ნაწილებს, მაშინ მოვიშორებთ უცნობ ცვლადს x 3 და შეგვიძლია ვიპოვოთ x 2: 
ჩვენ ვცვლით მიღებულ მნიშვნელობას x 2 \u003d 2 მესამე განტოლებაში და ვიპოვით დარჩენილი უცნობი ცვლადი x 3: 
სხვები სხვაგვარად მოიქცეოდნენ.
მოდით ამოხსნათ სისტემის პირველი განტოლება უცნობი ცვლადის x 1-ის მიმართ და მიღებული გამონათქვამი ჩავანაცვლოთ სისტემის მეორე და მესამე განტოლებით, რათა გამოვრიცხოთ ეს ცვლადი მათგან: 
ახლა მოდით ამოხსნათ სისტემის მეორე განტოლება x 2-ის მიმართ და მიღებული შედეგი ჩავანაცვლოთ მესამე განტოლებით, რათა მისგან გამოვრიცხოთ უცნობი ცვლადი x 2: 
სისტემის მესამე განტოლებიდან ჩანს, რომ x 3 =3. მეორე განტოლებიდან ვხვდებით 
, და პირველი განტოლებიდან ვიღებთ .
ნაცნობი გადაწყვეტილებები, არა?
აქ ყველაზე საინტერესო ის არის, რომ ამოხსნის მეორე მეთოდი არსებითად არის უცნობების თანმიმდევრული აღმოფხვრის მეთოდი, ანუ გაუსის მეთოდი. როდესაც ჩვენ გამოვხატეთ უცნობი ცვლადები (პირველი x 1, შემდეგი x 2) და ჩავანაცვლეთ ისინი სისტემის დანარჩენ განტოლებებში, ამით გამოვრიცხეთ ისინი. ჩვენ განვახორციელეთ გამონაკლისი იმ მომენტამდე, როდესაც ბოლო განტოლებამ დატოვა მხოლოდ ერთი უცნობი ცვლადი. უცნობების თანმიმდევრული აღმოფხვრის პროცესს ე.წ პირდაპირი გაუსის მეთოდი. წინ გადაადგილების დასრულების შემდეგ, ჩვენ გვაქვს შესაძლებლობა გამოვთვალოთ უცნობი ცვლადი ბოლო განტოლებაში. მისი დახმარებით, ბოლო განტოლებიდან ვპოულობთ შემდეგ უცნობ ცვლადს და ა.შ. ბოლო განტოლებიდან პირველზე გადასვლისას უცნობი ცვლადების თანმიმდევრული პოვნის პროცესი ეწოდება გაუსის საპირისპირო მეთოდი.
უნდა აღინიშნოს, რომ როდესაც ჩვენ გამოვხატავთ x 1-ს x 2-ით და x 3-ით პირველ განტოლებაში, შემდეგ კი მიღებული გამონათქვამი ჩავანაცვლებთ მეორე და მესამე განტოლებებს, შემდეგი ქმედებები იწვევს იმავე შედეგს:
მართლაც, ასეთი პროცედურა ასევე გვაძლევს საშუალებას გამოვრიცხოთ უცნობი ცვლადი x 1 სისტემის მეორე და მესამე განტოლებიდან: 
გაუსის მეთოდით უცნობი ცვლადების აღმოფხვრის ნიუანსები წარმოიქმნება მაშინ, როდესაც სისტემის განტოლებები არ შეიცავს ზოგიერთ ცვლადს.
მაგალითად, SLAU-ში 
პირველ განტოლებაში არ არის უცნობი ცვლადი x 1 (სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, კოეფიციენტი მის წინ არის ნული). ამიტომ, ჩვენ არ შეგვიძლია ამოხსნათ სისტემის პირველი განტოლება x 1-ის მიმართ, რათა გამოვრიცხოთ ეს უცნობი ცვლადი დანარჩენი განტოლებიდან. ამ სიტუაციიდან გამოსავალი არის სისტემის განტოლებების შეცვლა. ვინაიდან ჩვენ განვიხილავთ წრფივი განტოლებების სისტემებს, რომელთა ძირითადი მატრიცების განმსაზღვრელი ნულისაგან განსხვავებულია, ყოველთვის არსებობს განტოლება, რომელშიც ჩვენ გვჭირდება ცვლადი, და ჩვენ შეგვიძლია გადავაწყოთ ეს განტოლება ჩვენთვის საჭირო პოზიციამდე. ჩვენი მაგალითისთვის საკმარისია შევცვალოთ სისტემის პირველი და მეორე განტოლებები 
, მაშინ შეგიძლიათ ამოხსნათ პირველი განტოლება x 1-ისთვის და გამორიცხოთ იგი სისტემის დანარჩენი განტოლებიდან (თუმცა x 1 უკვე არ არის მეორე განტოლებაში).
ვიმედოვნებთ, რომ გაიგებთ არსს.
აღვწეროთ გაუსის მეთოდის ალგორითმი.
დაგვჭირდება ამოხსნათ n წრფივი ალგებრული განტოლების სისტემა ფორმის n უცნობი ცვლადით. 
და მისი მთავარი მატრიცის განმსაზღვრელი იყოს ნულოვანი.
ჩვენ ვივარაუდებთ, რომ , რადგან ამის მიღწევა ყოველთვის შეგვიძლია სისტემის განტოლებების გადალაგებით. ჩვენ გამოვრიცხავთ უცნობი ცვლადი x 1 სისტემის ყველა განტოლებიდან, მეორედან დაწყებული. ამისთვის სისტემის მეორე განტოლებას დავუმატოთ პირველი გამრავლებული განტოლება, მესამე განტოლებას დავუმატოთ პირველი გამრავლებული და ა.შ. პირველი გამრავლებული დავუმატოთ n-ე განტოლებას. განტოლებათა სისტემა ასეთი გარდაქმნების შემდეგ მიიღებს ფორმას 
სად, ა 
.
იმავე შედეგამდე მივიდოდით, თუ სისტემის პირველ განტოლებაში გამოვხატავთ x 1-ს სხვა უცნობი ცვლადების მიხედვით და მიღებული გამონათქვამი ჩავანაცვლებდით ყველა სხვა განტოლებით. ამრიგად, ცვლადი x 1 გამორიცხულია ყველა განტოლებიდან, მეორედან დაწყებული.
შემდეგი, ჩვენ ვიმოქმედებთ ანალოგიურად, მაგრამ მხოლოდ შედეგად მიღებული სისტემის ნაწილით, რომელიც აღნიშნულია ფიგურაში 
ამისთვის სისტემის მესამე განტოლებას დაამატეთ მეორეზე გამრავლებული განტოლება, მეოთხეზე გამრავლებული მეორე და ასე შემდეგ, მეორეზე გამრავლებული დაუმატეთ n-ე განტოლებას. განტოლებათა სისტემა ასეთი გარდაქმნების შემდეგ მიიღებს ფორმას 
სად, ა 
. ამრიგად, ცვლადი x 2 გამორიცხულია ყველა განტოლებიდან, მესამედან დაწყებული.
შემდეგი, ჩვენ ვაგრძელებთ უცნობი x 3-ის აღმოფხვრას, ხოლო ანალოგიურად ვიმოქმედებთ ფიგურაში მონიშნული სისტემის ნაწილთან. 
ასე რომ, ჩვენ ვაგრძელებთ გაუსის მეთოდის პირდაპირ კურსს, სანამ სისტემა არ მიიღებს ფორმას 
ამ მომენტიდან ვიწყებთ გაუსის მეთოდის საპირისპირო კურსს: ბოლო განტოლებიდან ვიანგარიშებთ x n-ს, როგორც x n-ის მიღებული მნიშვნელობის გამოყენებით ვპოულობთ x n-1-ს ბოლო განტოლებიდან და ასე შემდეგ, ვპოულობთ x 1-ს. პირველი განტოლება.
მოდით გავაანალიზოთ ალგორითმი მაგალითით.
მაგალითი.
გაუსის მეთოდი.
გადაწყვეტილება.
კოეფიციენტი a 11 განსხვავდება ნულისაგან, ამიტომ გადავიდეთ გაუსის მეთოდის პირდაპირ კურსზე, ანუ უცნობი ცვლადის x 1 ამოღებაზე სისტემის ყველა განტოლებიდან, გარდა პირველისა. ამისათვის, მეორე, მესამე და მეოთხე განტოლების მარცხენა და მარჯვენა ნაწილებს დაამატეთ პირველი განტოლების მარცხენა და მარჯვენა ნაწილები, გამრავლებული შესაბამისად, 
და: 
უცნობი ცვლადი x 1 აღმოიფხვრა, გადავიდეთ გამორიცხვაზე x 2 . სისტემის მესამე და მეოთხე განტოლების მარცხენა და მარჯვენა ნაწილებს ვამატებთ მეორე განტოლების მარცხენა და მარჯვენა ნაწილებს, გამრავლებული 
და 
:
გაუსის მეთოდის წინა კურსის დასასრულებლად, ჩვენ უნდა გამოვრიცხოთ უცნობი ცვლადი x 3 სისტემის ბოლო განტოლებიდან. მეოთხე განტოლების მარცხენა და მარჯვენა მხარეს, შესაბამისად, დაამატეთ მესამე განტოლების მარცხენა და მარჯვენა მხარეები, გამრავლებული 
:
შეგიძლიათ დაიწყოთ გაუსის მეთოდის საპირისპირო კურსი.
ბოლო განტოლებიდან გვაქვს 
,
მესამე განტოლებიდან ვიღებთ,
მეორედან
პირველიდან.
შესამოწმებლად, თქვენ შეგიძლიათ შეცვალოთ უცნობი ცვლადების მიღებული მნიშვნელობები განტოლებების თავდაპირველ სისტემაში. ყველა განტოლება გადაიქცევა იდენტობად, რაც ნიშნავს, რომ გაუსის მეთოდით ამონახსნები სწორად იქნა ნაპოვნი.
პასუხი:
ახლა კი იმავე მაგალითის ამონახსანს მივიღებთ გაუსის მეთოდით მატრიცის სახით.
მაგალითი.
იპოვნეთ განტოლებათა სისტემის ამონახსნი გაუსის მეთოდი.
გადაწყვეტილება.
სისტემის გაფართოებულ მატრიცას აქვს ფორმა 
. ყოველი სვეტის ზემოთ იწერება უცნობი ცვლადები, რომლებიც შეესაბამება მატრიცის ელემენტებს.
გაუსის მეთოდის პირდაპირი მიმდინარეობა აქ გულისხმობს სისტემის გაფართოებული მატრიცის ტრაპეციულ ფორმამდე მიყვანას ელემენტარული გარდაქმნების გამოყენებით. ეს პროცესი მსგავსია უცნობი ცვლადების გამორიცხვისა, რაც ჩვენ გავაკეთეთ სისტემასთან კოორდინატების სახით. ახლა თქვენ დარწმუნდებით ამაში.
მოდით გარდავქმნათ მატრიცა ისე, რომ პირველი სვეტის ყველა ელემენტი, მეორედან დაწყებული, გახდეს ნული. ამისათვის, მეორე, მესამე და მეოთხე რიგების ელემენტებს დაამატეთ პირველი რიგის შესაბამისი ელემენტები გამრავლებული. და შესაბამისად: 
შემდეგი, ჩვენ გარდაქმნის შედეგად მატრიცას ისე, რომ მეორე სვეტში, ყველა ელემენტი, დაწყებული მესამედან, გახდეს ნული. ეს შეესაბამება უცნობი ცვლადის x 2 გამორიცხვას. ამისათვის დაამატეთ მესამე და მეოთხე რიგების ელემენტებს მატრიცის პირველი რიგის შესაბამისი ელემენტები, გამრავლებული და :
რჩება უცნობი ცვლადის x 3 გამორიცხვა სისტემის ბოლო განტოლებიდან. ამისათვის, მიღებული მატრიცის ბოლო რიგის ელემენტებს ვამატებთ წინაბოლო მწკრივის შესაბამის ელემენტებს, გამრავლებული :
უნდა აღინიშნოს, რომ ეს მატრიცა შეესაბამება წრფივი განტოლებების სისტემას 
რომელიც ადრე იყო მიღებული პირდაპირი გადაადგილების შემდეგ.
უკან დაბრუნების დროა. აღნიშვნის მატრიცული ფორმით, გაუსის მეთოდის საპირისპირო კურსი გულისხმობს მიღებული მატრიცის ისეთ ტრანსფორმაციას, რომ ნახატზე მონიშნული მატრიცა 
გახდა დიაგონალი, ანუ მიიღო ფორმა 
სად არის რამდენიმე ნომერი.
ეს გარდაქმნები გაუსის მეთოდის მსგავსია, მაგრამ შესრულებულია არა პირველი ხაზიდან ბოლომდე, არამედ ბოლოდან პირველამდე.
მესამე, მეორე და პირველი რიგის ელემენტებს დაამატეთ ბოლო რიგის შესაბამისი ელემენტები, გამრავლებული 
, და კიდევ 
შესაბამისად: 
ახლა მოდით დავამატოთ მეორე და პირველი რიგის ელემენტებს მესამე რიგის შესაბამისი ელემენტები, გამრავლებული და შესაბამისად: 
გაუსის მეთოდის საპირისპირო მოძრაობის ბოლო საფეხურზე, პირველი რიგის ელემენტებს ვამატებთ მეორე რიგის შესაბამის ელემენტებს, გამრავლებული ზე: 
შედეგად მიღებული მატრიცა შეესაბამება განტოლებათა სისტემას 
, საიდანაც ვპოულობთ უცნობ ცვლადებს.
პასუხი:
ᲨᲔᲜᲘᲨᲕᲜᲐ.
ხაზოვანი ალგებრული განტოლებების სისტემების ამოხსნისას გაუსის მეთოდის გამოყენებისას თავიდან უნდა იქნას აცილებული სავარაუდო გამოთვლები, რადგან ამან შეიძლება გამოიწვიოს აბსოლუტურად არასწორი შედეგები. ჩვენ გირჩევთ, არ დამრგვალოთ ათწილადები. ათწილადი წილადებიდან ჩვეულებრივ წილადებზე გადასვლა უკეთესია.
მაგალითი.
სამი განტოლების სისტემის ამოხსნა გაუსის მეთოდით 
.
გადაწყვეტილება.
გაითვალისწინეთ, რომ ამ მაგალითში უცნობ ცვლადებს განსხვავებული აღნიშვნა აქვთ (არა x 1 , x 2 , x 3 , არამედ x, y, z ). გადავიდეთ ჩვეულებრივ წილადებზე: 
ამოიღეთ უცნობი x სისტემის მეორე და მესამე განტოლებიდან: 
მიღებულ სისტემაში არ არის უცნობი ცვლადი y მეორე განტოლებაში, ხოლო y არის მესამე განტოლებაში, ამიტომ ჩვენ ვცვლით მეორე და მესამე განტოლებებს: 
ამ ეტაპზე გაუსის მეთოდის პირდაპირი კურსი დასრულდა (თქვენ არ გჭირდებათ y-ის გამორიცხვა მესამე განტოლებიდან, რადგან ეს უცნობი ცვლადი აღარ არსებობს).
Მოდი დავბრუნდეთ.
ბოლო განტოლებიდან ვხვდებით 
,
ბოლოდან 
პირველი განტოლებიდან გვაქვს 
პასუხი:
X=10, y=5, z=-20.
წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემების ამოხსნა, რომლებშიც განტოლებათა რაოდენობა არ ემთხვევა უცნობის რაოდენობას ან სისტემის მთავარი მატრიცა დეგენერირებულია, გაუსის მეთოდით.
განტოლებათა სისტემებს, რომელთა ძირითადი მატრიცა არის მართკუთხა ან კვადრატული დეგენერატი, შეიძლება არ ჰქონდეთ ამონახსნები, შეიძლება ჰქონდეთ ერთი ამონახსნი ან შეიძლება ჰქონდეთ ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა.
ახლა ჩვენ გავიგებთ, თუ როგორ გვაძლევს გაუსის მეთოდი საშუალებას დავადგინოთ წრფივი განტოლებათა სისტემის თავსებადობა ან შეუსაბამობა და მისი თავსებადობის შემთხვევაში განვსაზღვროთ ყველა ამონახსნები (ან ერთი ამონახსნები).
პრინციპში, უცნობი ცვლადების აღმოფხვრის პროცესი ასეთი SLAE-ების შემთხვევაში იგივე რჩება. თუმცა, ღირს დეტალურად ვისაუბროთ ზოგიერთ სიტუაციაზე, რომელიც შეიძლება წარმოიშვას.
მოდით გადავიდეთ ყველაზე მნიშვნელოვან ნაბიჯზე.
ასე რომ, დავუშვათ, რომ წრფივი ალგებრული განტოლებათა სისტემა გაუსის მეთოდის წინსვლის დასრულების შემდეგ იღებს ფორმას 
და არც ერთი განტოლება არ შემცირდა (ამ შემთხვევაში, ჩვენ დავასკვნათ, რომ სისტემა არათანმიმდევრულია). ჩნდება ლოგიკური კითხვა: "რა უნდა გავაკეთოთ შემდეგ"?
ჩვენ ვწერთ უცნობ ცვლადებს, რომლებიც პირველ ადგილზეა მიღებული სისტემის ყველა განტოლებაში: 
ჩვენს მაგალითში ეს არის x 1, x 4 და x 5. სისტემის განტოლებების მარცხენა ნაწილებში ვტოვებთ მხოლოდ იმ ტერმინებს, რომლებიც შეიცავს ამოწერილ უცნობ ცვლადებს x 1, x 4 და x 5, დარჩენილ ტერმინებს გადავიტანთ განტოლებების მარჯვენა მხარეს საპირისპირო ნიშნით: 
მოდით მივანიჭოთ თვითნებური მნიშვნელობები უცნობ ცვლადებს, რომლებიც განტოლებების მარჯვენა მხარეს არიან, სადაც 
- თვითნებური ნომრები: 
ამის შემდეგ, რიცხვები გვხვდება ჩვენი SLAE-ის ყველა განტოლების სწორ ნაწილებში და შეგვიძლია გადავიდეთ გაუსის მეთოდის საპირისპირო კურსზე.
სისტემის ბოლო განტოლებიდან გვაქვს , ბოლო განტოლებიდან ვპოულობთ , პირველი განტოლებიდან ვიღებთ 
განტოლებათა სისტემის ამოხსნა არის უცნობი ცვლადების მნიშვნელობების ერთობლიობა 
ნომრების მიცემა სხვადასხვა მნიშვნელობებს, მივიღებთ განტოლებათა სისტემის განსხვავებულ ამონახსნებს. ანუ, ჩვენს განტოლებათა სისტემას აქვს უსასრულოდ ბევრი ამონახსნები.
პასუხი:
სადაც - თვითნებური ნომრები.
მასალის კონსოლიდაციის მიზნით, ჩვენ დეტალურად გავაანალიზებთ კიდევ რამდენიმე მაგალითის ამოხსნას.
მაგალითი.
წრფივი ალგებრული განტოლებების ერთგვაროვანი სისტემის ამოხსნა 
გაუსის მეთოდი.
გადაწყვეტილება.
სისტემის მეორე და მესამე განტოლებიდან გამოვრიცხოთ უცნობი ცვლადი x. ამისათვის დაამატეთ პირველი განტოლების მარცხენა და მარჯვენა ნაწილები, შესაბამისად, მეორე განტოლების მარცხენა და მარჯვენა ნაწილებს, გამრავლებული ზე და მესამე განტოლების მარცხენა და მარჯვენა ნაწილებს, მარცხენა და მარჯვენა ნაწილებს. პირველი განტოლება, გამრავლებული: 
ახლა ჩვენ გამოვრიცხავთ y-ს მიღებული განტოლებათა სისტემის მესამე განტოლებიდან: 
მიღებული SLAE სისტემის ექვივალენტურია 
.
სისტემის განტოლებების მარცხენა მხარეს ვტოვებთ მხოლოდ x და y უცნობი ცვლადების შემცველ ტერმინებს, ხოლო ტერმინებს უცნობი ცვლადით z მარჯვენა მხარეს გადავცემთ: 
დღეს ჩვენ საქმე გვაქვს გაუსის მეთოდთან წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემების ამოხსნისთვის. თუ რას წარმოადგენს ეს სისტემები, შეგიძლიათ წაიკითხოთ წინა სტატიაში, რომელიც მიეძღვნა იგივე SLAE კრამერის მეთოდით ამოხსნას. გაუსის მეთოდი არ საჭიროებს რაიმე კონკრეტულ ცოდნას, საჭიროა მხოლოდ ზრუნვა და თანმიმდევრულობა. მიუხედავად იმისა, რომ მათემატიკის თვალსაზრისით სასკოლო მომზადება საკმარისია მისი გამოსაყენებლად, ამ მეთოდის ათვისება ხშირად უქმნის სირთულეებს მოსწავლეებს. ამ სტატიაში ჩვენ შევეცდებით მათ არაფრამდე დავიყვანოთ!
გაუსის მეთოდი
მ გაუსის მეთოდიარის SLAE-ის ამოხსნის ყველაზე უნივერსალური მეთოდი (ძალიან დიდი სისტემების გარდა). ადრე განხილულისგან განსხვავებით, ის შესაფერისია არა მხოლოდ სისტემებისთვის, რომლებსაც აქვთ უნიკალური გადაწყვეტა, არამედ სისტემებისთვისაც, რომლებსაც აქვთ გადაწყვეტილებების უსასრულო რაოდენობა. აქ სამი ვარიანტია.
- სისტემას აქვს უნიკალური ამონახსნი (სისტემის მთავარი მატრიცის განმსაზღვრელი არ არის ნულის ტოლი);
- სისტემას აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა;
- არ არსებობს გადაწყვეტილებები, სისტემა არათანმიმდევრულია.
ასე რომ, ჩვენ გვაქვს სისტემა (დაე, მას ჰქონდეს ერთი გამოსავალი) და ვაპირებთ მის ამოხსნას გაუსის მეთოდით. Როგორ მუშაობს?
გაუსის მეთოდი შედგება ორი ეტაპისგან - პირდაპირი და ინვერსიული.
პირდაპირი გაუსის მეთოდი
პირველ რიგში, ჩვენ ვწერთ სისტემის გაძლიერებულ მატრიცას. ამისათვის ჩვენ ვამატებთ თავისუფალი წევრების სვეტს მთავარ მატრიცას.
გაუსის მეთოდის მთელი არსი არის ელემენტარული გარდაქმნების საშუალებით ამ მატრიცის საფეხურზე (ან, როგორც ამბობენ, სამკუთხა) ფორმამდე დაყვანა. ამ ფორმით, მატრიცის მთავარი დიაგონალის ქვეშ (ან ზემოთ) უნდა იყოს მხოლოდ ნულები.
Რა შეიძლება გაკეთდეს:
- თქვენ შეგიძლიათ გადააწყოთ მატრიცის რიგები;
- თუ მატრიცაში არის იდენტური (ან პროპორციული) რიგები, შეგიძლიათ წაშალოთ ყველა, გარდა ერთისა;
- შეგიძლიათ სტრიქონი გაამრავლოთ ან გაყოთ ნებისმიერ რიცხვზე (ნულის გარდა);
- ნულოვანი ხაზები ამოღებულია;
- თქვენ შეგიძლიათ დაამატოთ სტრიქონი გამრავლებული არანულოვანი რიცხვით სტრიქონს.
უკუ გაუსის მეთოდი
მას შემდეგ რაც სისტემას ამ გზით გარდაქმნით, ერთი უცნობია xn ხდება ცნობილი და შესაძლებელია ყველა დარჩენილი უცნობის პოვნა საპირისპირო თანმიმდევრობით, უკვე ცნობილი x-ების ჩანაცვლება სისტემის განტოლებებში, პირველამდე.
როდესაც ინტერნეტი ყოველთვის ხელთ არის, თქვენ შეგიძლიათ ამოხსნათ განტოლებათა სისტემა გაუსის მეთოდით ონლაინ .თქვენ მხოლოდ უნდა შეიყვანოთ შანსები ონლაინ კალკულატორში. მაგრამ უნდა აღიაროთ, გაცილებით სასიამოვნოა იმის გაცნობიერება, რომ მაგალითი გადაჭრა არა კომპიუტერული პროგრამით, არამედ საკუთარი ტვინით.
გაუსის მეთოდით განტოლებათა სისტემის ამოხსნის მაგალითი
ახლა კი - მაგალითი, რათა ყველაფერი ნათელი და გასაგები გახდეს. მოდით მივცეთ წრფივი განტოლებათა სისტემა და მისი ამოხსნა აუცილებელია გაუსის მეთოდით:
პირველ რიგში, მოდით დავწეროთ გაძლიერებული მატრიცა:
ახლა გადავხედოთ გარდაქმნებს. გახსოვდეთ, რომ ჩვენ უნდა მივაღწიოთ მატრიცის სამკუთხა ფორმას. გავამრავლოთ პირველი რიგი (3). გავამრავლოთ მე-2 რიგი (-1-ზე). დავუმატოთ მე-2 რიგი პირველს და მივიღოთ:
შემდეგ გავამრავლოთ მე-3 მწკრივი (-1-ზე). დავუმატოთ მე-3 სტრიქონი მე-2ს:
გავამრავლოთ პირველი რიგი (6-ზე). გავამრავლოთ მე-2 რიგი (13). დავუმატოთ მე-2 სტრიქონი პირველს:
Voila - სისტემა მიყვანილია შესაბამის ფორმაში. რჩება უცნობის პოვნა:
ამ მაგალითში სისტემას აქვს უნიკალური გადაწყვეტა. ცალკეულ სტატიაში განვიხილავთ სისტემების ამოხსნას გადაწყვეტილებების უსასრულო სიმრავლით. შესაძლოა თავიდან არ იცოდეთ საიდან დაიწყოთ მატრიცული გარდაქმნები, მაგრამ შესაბამისი პრაქტიკის შემდეგ თქვენ მიიღებთ ხელში და დააწკაპუნებთ გაუსიან SLAE-ზე, როგორც კაკალი. და თუ მოულოდნელად წააწყდით SLAU-ს, რომელიც აღმოჩნდება ძალიან ხისტი თხილის გასატეხად, დაუკავშირდით ჩვენს ავტორებს! შეგიძლიათ განაცხადის დატოვებით კორესპონდენციაში. ჩვენ ერთად მოვაგვარებთ ნებისმიერ პრობლემას!
ნება მიეცეს წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემა, რომელიც უნდა ამოხსნას (იპოვეთ хi უცნობის ისეთი მნიშვნელობები, რომლებიც სისტემის თითოეულ განტოლებას ტოლობაში აქცევს).
ჩვენ ვიცით, რომ წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემას შეუძლია:
1) არ აქვს გადაწყვეტილებები (იყოს შეუთავსებელი).
2) აქვს უსაზღვროდ ბევრი გამოსავალი.
3) გქონდეთ უნიკალური გადაწყვეტა.
როგორც გვახსოვს, კრამერის წესი და მატრიცის მეთოდი შეუფერებელია იმ შემთხვევებში, როდესაც სისტემას აქვს უსაზღვროდ ბევრი გამოსავალი ან არათანმიმდევრულია. გაუსის მეთოდი – ყველაზე მძლავრი და მრავალმხრივი ინსტრუმენტი ნებისმიერი წრფივი განტოლების სისტემის ამოხსნის საპოვნელად, რომელიც ყოველ შემთხვევაშიმიგვიყვანეთ პასუხამდე! მეთოდის ალგორითმი სამივე შემთხვევაში ერთნაირად მუშაობს. თუ კრამერის და მატრიცული მეთოდები მოითხოვს დეტერმინანტების ცოდნას, მაშინ გაუსის მეთოდის გამოყენება მოითხოვს მხოლოდ არითმეტიკული მოქმედებების ცოდნას, რაც მას ხელმისაწვდომს ხდის დაწყებითი სკოლის მოსწავლეებისთვისაც კი.
გაფართოებული მატრიცის გარდაქმნები ( ეს არის სისტემის მატრიცა - მატრიცა, რომელიც შედგება მხოლოდ უცნობის კოეფიციენტებისგან, პლუს თავისუფალი ტერმინების სვეტი)წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემები გაუსის მეთოდით:
1) თან ტროკიმატრიცები შეუძლია გადაწყობაადგილები.
2) თუ მატრიცაში არის (ან არის) პროპორციული (როგორც განსაკუთრებული შემთხვევა - იდენტური) რიგები, მაშინ ის მოჰყვება წაშლამატრიციდან, ყველა ეს მწკრივი ერთის გარდა.
3) თუ გარდაქმნების დროს მატრიცაში გამოჩნდა ნულოვანი მწკრივი, მაშინ ის ასევე მოჰყვება წაშლა.
4) მატრიცის მწკრივი შეიძლება გამრავლება (გაყოფა)ნულის გარდა ნებისმიერ რიცხვზე.
5) მატრიცის მწკრივამდე შეგიძლიათ დაამატეთ კიდევ ერთი სტრიქონი, გამრავლებული რიცხვით, განსხვავდება ნულიდან.
გაუსის მეთოდში ელემენტარული გარდაქმნები არ ცვლის განტოლებათა სისტემის ამონახსანს.
გაუსის მეთოდი შედგება ორი ეტაპისგან:
- "პირდაპირი მოძრაობა" - ელემენტარული გარდაქმნების გამოყენებით, მიიტანეთ ხაზოვანი ალგებრული განტოლებების სისტემის გაფართოებული მატრიცა "სამკუთხა" საფეხურზე: ძირითადი დიაგონალის ქვემოთ მდებარე გაფართოებული მატრიცის ელემენტები ნულის ტოლია (სვლა ზემოდან ქვევით. ). მაგალითად, ამ ტიპის:
ამისათვის შეასრულეთ შემდეგი ნაბიჯები:
1) განვიხილოთ წრფივი ალგებრული განტოლებათა სისტემის პირველი განტოლება და კოეფიციენტი x 1-ზე უდრის K. მეორე, მესამე და ა.შ. განტოლებებს ვაფორმებთ შემდეგნაირად: თითოეულ განტოლებას ვყოფთ (კოეფიციენტები უცნობისთვის, თავისუფალი ტერმინების ჩათვლით) უცნობი x 1-ის კოეფიციენტზე, რომელიც არის თითოეულ განტოლებაში და ვამრავლებთ K-ზე. ამის შემდეგ, პირველს გამოვაკლებთ მეორე განტოლებას ( კოეფიციენტები უცნობი და თავისუფალი ტერმინებისთვის). მეორე განტოლებაში x 1-ზე ვიღებთ კოეფიციენტს 0. მესამე გარდაქმნილ განტოლებას გამოვაკლებთ პირველ განტოლებას, ასე რომ სანამ ყველა განტოლებას, გარდა პირველისა, x 1 უცნობის მქონე არ ექნება კოეფიციენტი 0.
2) გადადით შემდეგ განტოლებაზე. მოდით ეს იყოს მეორე განტოლება და კოეფიციენტი x 2-ზე უდრის M-ს. ყველა "ქვემდებარე" განტოლებით ვაგრძელებთ ზემოთ აღწერილი განტოლების მოქმედებას. ამრიგად, უცნობის ქვეშ x 2 ყველა განტოლებაში იქნება ნული.
3) გადავდივართ შემდეგ განტოლებაზე და ასე ვაგრძელებთ, სანამ არ დარჩება ბოლო უცნობი და გარდაქმნილი თავისუფალი წევრი.
- გაუსის მეთოდის „უკუ სვლა“ არის წრფივი ალგებრული განტოლებათა სისტემის ამოხსნის მიღება (სვლა „ქვემოდან ზევით“). ბოლო "ქვედა" განტოლებიდან ვიღებთ ერთ პირველ ამონახსანს - უცნობი x n. ამისათვის ჩვენ ვხსნით ელემენტარულ განტოლებას A * x n \u003d B. ზემოთ მოცემულ მაგალითში x 3 \u003d 4. ჩვენ ვცვლით ნაპოვნი მნიშვნელობას "ზედა" შემდეგ განტოლებაში და ვხსნით მას შემდეგი უცნობის მიმართ. მაგალითად, x 2 - 4 \u003d 1, ე.ი. x 2 \u003d 5. და ასე შემდეგ სანამ არ ვიპოვით ყველა უცნობს.
მაგალითი.
ჩვენ ვხსნით წრფივი განტოლებების სისტემას გაუსის მეთოდით, როგორც ზოგიერთი ავტორი გვირჩევს:
ჩვენ ვწერთ სისტემის გაფართოებულ მატრიცას და ელემენტარული გარდაქმნების გამოყენებით მივყავართ მას საფეხურზე:
ჩვენ ვუყურებთ ზედა მარცხენა "ნაბიჯს". იქ უნდა გვქონდეს ერთეული. პრობლემა ისაა, რომ პირველ სვეტში საერთოდ არავინ არის, ასე რომ რიგების გადალაგებით ვერაფერი გადაწყდება. ასეთ შემთხვევებში, დანაყოფი უნდა იყოს ორგანიზებული ელემენტარული ტრანსფორმაციის გამოყენებით. ეს ჩვეულებრივ შეიძლება გაკეთდეს რამდენიმე გზით. მოდით გავაკეთოთ ეს ასე:
1 ნაბიჯი
. პირველ სტრიქონს ვამატებთ მეორე სტრიქონს, გამრავლებული -1-ზე. ანუ გონებრივად გავამრავლეთ მეორე სტრიქონი -1-ზე და შევასრულეთ პირველი და მეორე სტრიქონების შეკრება, ხოლო მეორე სტრიქონი არ შეცვლილა.
ახლა ზედა მარცხნივ "მინუს ერთი", რომელიც მშვენივრად გვერგება. ვისაც უნდა მიიღოს +1, შეუძლია შეასრულოს დამატებითი მოქმედება: გაამრავლოს პირველი ხაზი -1-ზე (შეცვალოს მისი ნიშანი).
2 ნაბიჯი . მეორე სტრიქონს დაემატა 5-ზე გამრავლებული პირველი სტრიქონი, მესამე სტრიქონს დაემატა 3-ზე გამრავლებული პირველი სტრიქონი.
3 ნაბიჯი . პირველი ხაზი გამრავლდა -1-ზე, პრინციპში ეს სილამაზისთვისაა. შეიცვალა მესამე ხაზის ნიშანიც და გადავიდა მეორე ადგილზე, რითაც მეორე „საფეხურზე გვქონდა სასურველი ერთეული.
4 ნაბიჯი . მესამე სტრიქონს დაამატეთ მეორე სტრიქონი, გამრავლებული 2-ზე.
5 ნაბიჯი . მესამე ხაზი იყოფა 3-ზე.
ნიშანი, რომელიც მიუთითებს გამოთვლების შეცდომაზე (ნაკლებად ხშირად ბეჭდვითი შეცდომა) არის "ცუდი" ქვედა ხაზი. ანუ, თუ ქვემოთ მივიღებთ რაღაცას (0 0 11 | 23) და, შესაბამისად, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, მაშინ დიდი ალბათობით შეგვიძლია ვთქვათ, რომ შეცდომა დაშვებულია ელემენტარულ პერიოდში. გარდაქმნები.
ჩვენ ვასრულებთ საპირისპირო მოძრაობას, მაგალითების დიზაინში, თავად სისტემა ხშირად არ იწერება და განტოლებები "მიღებულია უშუალოდ მოცემული მატრიციდან". საპირისპირო მოძრაობა, შეგახსენებთ, მუშაობს "ქვემოდან ზემოდან". ამ მაგალითში საჩუქარი აღმოჩნდა:
x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 - x 3 \u003d 1, შესაბამისად x 1 + 3 - 1 \u003d 1, x 1 \u003d -1
უპასუხე:x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 3, x 3 \u003d 1.
მოდით გადავჭრათ იგივე სისტემა შემოთავაზებული ალგორითმის გამოყენებით. ვიღებთ
4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0
მეორე განტოლება გავყოთ 5-ზე და მესამე 3-ზე. მივიღებთ:
4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0
გავამრავლოთ მეორე და მესამე განტოლება 4-ზე, მივიღებთ:
4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0
გამოვაკლოთ პირველი განტოლება მეორე და მესამე განტოლებებს, გვაქვს:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1
მესამე განტოლება გავყოთ 0,64-ზე:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625
გავამრავლოთ მესამე განტოლება 0.4-ზე
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625
გამოვაკლოთ მეორე განტოლება მესამე განტოლებას, მივიღებთ "ნაბიჯ" გაძლიერებულ მატრიცას:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225
ამრიგად, მას შემდეგ, რაც გამოთვლების პროცესში დაგროვდა შეცდომა, ვიღებთ x 3 \u003d 0.96, ან დაახლოებით 1.
x 2 \u003d 3 და x 1 \u003d -1.
ამგვარად ამოხსნით, გათვლებში არასოდეს დაიბნევით და, მიუხედავად გაანგარიშების შეცდომებისა, მიიღებთ შედეგს.
წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემის ამოხსნის ეს მეთოდი ადვილად პროგრამირებადია და არ ითვალისწინებს უცნობის კოეფიციენტების სპეციფიკურ მახასიათებლებს, რადგან პრაქტიკაში (ეკონომიკურ და ტექნიკურ გამოთვლებში) საქმე გვაქვს არა მთელი რიცხვების კოეფიციენტებთან.
Წარმატებას გისურვებ! შევხვდებით კლასში! დამრიგებელი.
blog.site, მასალის სრული ან ნაწილობრივი კოპირებით, საჭიროა წყაროს ბმული.
მოდით, სისტემა იყოს მოცემული, ∆≠0. (ერთი)გაუსის მეთოდიარის უცნობების თანმიმდევრული აღმოფხვრის მეთოდი.
გაუსის მეთოდის არსი არის (1) გადაქცევა სისტემაში სამკუთხა მატრიცით, საიდანაც შემდეგ მიიღება ყველა უცნობის მნიშვნელობები თანმიმდევრულად (უკუღმა). განვიხილოთ ერთ-ერთი გამოთვლითი სქემა. ამ წრეს ეწოდება ერთი გაყოფის წრე. მოდით შევხედოთ ამ დიაგრამას. მოდით 11 ≠0 (წამყვანი ელემენტი) გავყოთ 11-ზე პირველი განტოლება. მიიღეთ
(2)
განტოლების (2) გამოყენებით ადვილია სისტემის დარჩენილი განტოლებებიდან x 1 უცნობის გამორიცხვა (ამისთვის საკმარისია გამოვაკლოთ განტოლება (2) თითოეულ განტოლებას წინასწარ გამრავლებული x 1-ზე შესაბამის კოეფიციენტზე), რომ არის, პირველ საფეხურზე ვიღებთ
.
სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, პირველ ეტაპზე, მომდევნო რიგების თითოეული ელემენტი, მეორედან დაწყებული, უდრის განსხვავებას თავდაპირველ ელემენტსა და მისი „პროექციის“ ნამრავლს შორის პირველ სვეტსა და პირველ (გარდაქმნილ) მწკრივზე.
ამის შემდეგ, დავტოვოთ პირველი განტოლება მარტო, პირველ ეტაპზე მიღებულ სისტემის დანარჩენ განტოლებაზე, ჩვენ განვახორციელებთ მსგავს ტრანსფორმაციას: მათ შორის ვირჩევთ განტოლებას წამყვანი ელემენტით და ვიყენებთ მას x 2-ის გამოსარიცხად. დარჩენილი განტოლებები (ნაბიჯი 2).
n ნაბიჯის შემდეგ, (1)-ის ნაცვლად ვიღებთ ეკვივალენტურ სისტემას 
(3)
ამრიგად, პირველ ეტაპზე მივიღებთ სამკუთხა სისტემას (3). ამ ნაბიჯს წინსვლას უწოდებენ.
მეორე ეტაპზე (უკუ სვლა) თანმიმდევრულად ვპოულობთ (3) მნიშვნელობებს x n , x n -1 , ..., x 1 .
მიღებული ამონახსნი ავღნიშნოთ x 0-ით. მაშინ სხვაობა ε=b-A x 0 ნარჩენი ეწოდება.
თუ ε=0, მაშინ ნაპოვნი ამონახსნი x 0 სწორია.
გაუსის მეთოდით გამოთვლები ხორციელდება ორ ეტაპად:
- პირველ ეტაპს მეთოდის პირდაპირი კურსი ეწოდება. პირველ ეტაპზე, ორიგინალური სისტემა გარდაიქმნება სამკუთხა ფორმაში.
- მეორე ეტაპს საპირისპირო ეწოდება. მეორე ეტაპზე წყდება ორიგინალის ექვივალენტური სამკუთხა სისტემა.
ყოველ საფეხურზე ითვლებოდა, რომ წამყვანი ელემენტი განსხვავდება ნულისაგან. თუ ეს ასე არ არის, მაშინ ნებისმიერი სხვა ელემენტი შეიძლება გამოყენებულ იქნას როგორც ლიდერი, თითქოს სისტემის განტოლებების გადალაგება.
გაუსის მეთოდის მიზანი
გაუსის მეთოდი განკუთვნილია წრფივი განტოლებების სისტემების გადასაჭრელად. ეხება გადაწყვეტის პირდაპირ მეთოდებს.გაუსის მეთოდის სახეები
- კლასიკური გაუსის მეთოდი;
- გაუსის მეთოდის ცვლილებები. გაუსის მეთოდის ერთ-ერთი მოდიფიკაცია არის წრე ძირითადი ელემენტის არჩევით. გაუსის მეთოდის მახასიათებელი ძირითადი ელემენტის არჩევით არის განტოლებების ისეთი პერმუტაცია, რომ k-ე საფეხურზე წამყვანი ელემენტი არის ყველაზე დიდი ელემენტი k-ე სვეტში.
- ჟორდანი-გაუსის მეთოდი;
აჩვენე განსხვავება ჟორდანი-გაუსის მეთოდიგაუსის მეთოდიდან მაგალითებზე.
გაუსის ხსნარის მაგალითი
მოდით გადავჭრათ სისტემა: 
გამოთვლების მოხერხებულობისთვის, ჩვენ ვცვლით ხაზებს: 
გავამრავლოთ მე-2 რიგი (2-ზე). დაამატეთ მე-3 სტრიქონი მე-2-ს 
გავამრავლოთ მე-2 რიგი (-1-ზე). დაამატეთ მე-2 რიგი პირველს 
პირველი ხაზიდან გამოვხატავთ x 3:
მე-2 სტრიქონიდან გამოვხატავთ x 2:
მე-3 სტრიქონიდან გამოვხატავთ x 1: 
ჟორდანია-გაუსის მეთოდით ამოხსნის მაგალითი
ჩვენ გადავჭრით იგივე SLAE-ს ჟორდანო-გაუსის მეთოდით. 
თანმიმდევრულად ავირჩევთ RE-ს გამხსნელ ელემენტს, რომელიც დევს მატრიცის მთავარ დიაგონალზე.
ჩართვის ელემენტი უდრის (1).
NE \u003d SE - (A * B) / RE
RE - ჩართვის ელემენტი (1), A და B - მატრიცის ელემენტები, რომლებიც ქმნიან ოთხკუთხედს STE და RE ელემენტებით.
წარმოგიდგენთ თითოეული ელემენტის გამოთვლას ცხრილის სახით:
| x 1 | x2 | x 3 | ბ |
| 1 / 1 = 1 | 2 / 1 = 2 | -2 / 1 = -2 | 1 / 1 = 1 |
 |  |  |  |
ჩართვის ელემენტი უდრის (3).
გადამწყვეტი ელემენტის ადგილას ვიღებთ 1-ს, ხოლო თავად სვეტში ვწერთ ნულებს.
მატრიცის ყველა სხვა ელემენტი, B სვეტის ელემენტების ჩათვლით, განისაზღვრება მართკუთხედის წესით.
ამისათვის აირჩიეთ ოთხი რიცხვი, რომლებიც განლაგებულია მართკუთხედის წვეროებზე და ყოველთვის შეიცავს RE-ს გამაძლიერებელ ელემენტს.
| x 1 | x2 | x 3 | ბ |
 |  |
||
| 0 / 3 = 0 | 3 / 3 = 1 | 1 / 3 = 0.33 | 4 / 3 = 1.33 |
 |
ჩართვის ელემენტია (-4).
გადამწყვეტი ელემენტის ადგილას ვიღებთ 1-ს, ხოლო თავად სვეტში ვწერთ ნულებს.
მატრიცის ყველა სხვა ელემენტი, B სვეტის ელემენტების ჩათვლით, განისაზღვრება მართკუთხედის წესით.
ამისათვის აირჩიეთ ოთხი რიცხვი, რომლებიც განლაგებულია მართკუთხედის წვეროებზე და ყოველთვის შეიცავს RE-ს გამაძლიერებელ ელემენტს.
წარმოგიდგენთ თითოეული ელემენტის გამოთვლას ცხრილის სახით:
| x 1 | x2 | x 3 | ბ |
 |  |  |  |
 |  |
||
| 0 / -4 = 0 | 0 / -4 = 0 | -4 / -4 = 1 | -4 / -4 = 1 |
უპასუხე: x 1 = 1, x 2 = 1, x 3 = 1
