ეს სტატია შეიცავს ძირითად ინფორმაციას ამის შესახებ რეალური რიცხვები. ჯერ მოცემულია რეალური რიცხვების განმარტება და მოყვანილია მაგალითები. რეალური რიცხვების პოზიცია კოორდინატთა ხაზზე ნაჩვენებია შემდეგში. და ბოლოს, გაანალიზებულია, თუ როგორ არის მოცემული რეალური რიცხვები რიცხვითი გამონათქვამების სახით.

გვერდის ნავიგაცია.

რეალური რიცხვების განმარტება და მაგალითები

რეალური რიცხვები, როგორც გამოსახულებები

რეალური რიცხვების განმარტებიდან ირკვევა, რომ რეალური რიცხვებია:

• ნებისმიერი ნატურალური რიცხვი;
• ნებისმიერი მთელი რიცხვი;
• ნებისმიერი ჩვეულებრივი წილადი (როგორც დადებითი, ასევე უარყოფითი);
• ნებისმიერი შერეული რიცხვი;
• ნებისმიერი ათობითი წილადი (დადებითი, უარყოფითი, სასრული, უსასრულო პერიოდული, უსასრულო არაპერიოდული).

მაგრამ ძალიან ხშირად რეალური რიცხვები ჩანს სახით და ა.შ. უფრო მეტიც, რეალური რიცხვების ჯამი, სხვაობა, ნამრავლი და კოეფიციენტი ასევე რეალური რიცხვებია (იხ მოქმედებები რეალური რიცხვებით). მაგალითად, ეს არის რეალური რიცხვები.

და თუ უფრო შორს წახვალ, მაშინ რეალური რიცხვებიდან არითმეტიკული ნიშნების, ფესვის ნიშნების, გრადუსების, ლოგარითმული, ტრიგონომეტრიული ფუნქციების გამოყენებით და ა.შ. თქვენ შეგიძლიათ შეადგინოთ ყველა სახის რიცხვითი გამონათქვამი, რომელთა მნიშვნელობები ასევე იქნება რეალური რიცხვები. მაგალითად, გამოხატვის მნიშვნელობები და რეალური რიცხვებია.

ამ სტატიის დასასრულს აღვნიშნავთ, რომ რიცხვის ცნების გაფართოების შემდეგი ნაბიჯი არის რეალური რიცხვებიდან გადასვლა რთული რიცხვები.

ბიბლიოგრაფია.

• ვილენკინი ნ.ია. და ა.შ მათემატიკა. მე-6 კლასი: სახელმძღვანელო საგანმანათლებლო დაწესებულებებისთვის.
• მაკარიჩევი იუ.ნ., მინდიუკ ნ.გ., ნეშკოვი კ.ი., სუვოროვა ს.ბ. ალგებრა: სახელმძღვანელო 8 უჯრედისთვის. საგანმანათლებო ინსტიტუტები.
• გუსევი V.A., Mordkovich A.G. მათემატიკა (სახელმძღვანელო ტექნიკური სასწავლებლების მსურველთათვის).

საავტორო უფლება ჭკვიანი სტუდენტების მიერ

Ყველა უფლება დაცულია.
დაცულია საავტორო უფლებების კანონით. საიტის არც ერთი ნაწილი, შიდა მასალებისა და გარე დიზაინის ჩათვლით, არ შეიძლება იყოს რაიმე ფორმით რეპროდუცირება ან გამოყენება საავტორო უფლებების მფლობელის წინასწარი წერილობითი ნებართვის გარეშე.

ნატურალური რიცხვები განისაზღვრება როგორც დადებითი მთელი რიცხვები. ნატურალური რიცხვები გამოიყენება ობიექტების დასათვლელად და მრავალი სხვა მიზნებისთვის. აი ნომრები:

ეს არის რიცხვების ბუნებრივი სერია.
ნული ნატურალური რიცხვია? არა, ნული არ არის ნატურალური რიცხვი.
რამდენი ნატურალური რიცხვია? არსებობს ნატურალური რიცხვების უსასრულო ნაკრები.
რა არის ყველაზე პატარა ნატურალური რიცხვი? ერთი არის უმცირესი ნატურალური რიცხვი.
რა არის ყველაზე დიდი ბუნებრივი რიცხვი? მისი დაკონკრეტება შეუძლებელია, რადგან არსებობს ნატურალური რიცხვების უსასრულო ნაკრები.

ნატურალური რიცხვების ჯამი ნატურალური რიცხვია. ასე რომ, a და b ნატურალური რიცხვების შეკრება:

ნატურალური რიცხვების ნამრავლი არის ნატურალური რიცხვი. მაშ ასე, a და b ნატურალური რიცხვების ნამრავლი:

c ყოველთვის ნატურალური რიცხვია.

ნატურალური რიცხვების სხვაობა ყოველთვის არ არის ნატურალური რიცხვი. თუ მინუენდი მეტია ქვეტრაჰენდზე, მაშინ ნატურალური რიცხვების სხვაობა ნატურალური რიცხვია, წინააღმდეგ შემთხვევაში არა.

ნატურალური რიცხვების კოეფიციენტი ყოველთვის არ არის ნატურალური რიცხვი. თუ ნატურალური რიცხვებისთვის a და b

სადაც c არის ნატურალური რიცხვი, ეს ნიშნავს, რომ a თანაბრად იყოფა b-ზე. ამ მაგალითში a არის დივიდენდი, b არის გამყოფი, c არის კოეფიციენტი.

ნატურალური რიცხვის გამყოფი არის ნატურალური რიცხვი, რომლითაც პირველი რიცხვი თანაბრად იყოფა.

ყველა ნატურალური რიცხვი იყოფა 1-ზე და საკუთარ თავზე.

მარტივი ნატურალური რიცხვები იყოფა მხოლოდ 1-ზე და საკუთარ თავზე. აქ ვგულისხმობთ მთლიანად გაყოფილს. მაგალითი, ნომრები 2; 3; 5; 7 იყოფა მხოლოდ 1-ზე და საკუთარ თავზე. ეს არის მარტივი ბუნებრივი რიცხვები.

ერთი არ ითვლება მარტივ რიცხვად.

რიცხვებს, რომლებიც ერთზე მეტია და რომლებიც არ არიან მარტივი, კომპოზიციურ რიცხვებს უწოდებენ. კომპოზიციური რიცხვების მაგალითები:

ერთი არ ითვლება შედგენილ რიცხვად.

ნატურალური რიცხვების სიმრავლე შედგება ერთი, მარტივი და შედგენილი რიცხვებისაგან.

ნატურალური რიცხვების სიმრავლე აღინიშნება ლათინური ასო N-ით.

ნატურალური რიცხვების შეკრებისა და გამრავლების თვისებები:

დამატების კომუტაციური თვისება

დამატების ასოციაციური თვისება

(a + b) + c = a + (b + c);

გამრავლების კომუტაციური თვისება

გამრავლების ასოციაციური თვისება

(ab)c = a(bc);

გამრავლების გამანაწილებელი თვისება

a (b + c) = ab + ac;

Მთელი რიცხვები

მთელი რიცხვები არის ნატურალური რიცხვები, ნული და ნატურალური რიცხვების საპირისპირო.

ნატურალური რიცხვების საპირისპირო რიცხვები უარყოფითი მთელი რიცხვებია, მაგალითად:

1; -2; -3; -4;…

მთელი რიცხვების სიმრავლე აღინიშნება ლათინური ასოთი Z.

Რაციონალური რიცხვი

რაციონალური რიცხვები არის მთელი რიცხვები და წილადები.

ნებისმიერი რაციონალური რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს პერიოდული წილადის სახით. მაგალითები:

1,(0); 3,(6); 0,(0);…

მაგალითებიდან ჩანს, რომ ნებისმიერი მთელი რიცხვი არის პერიოდული წილადი ნულის პერიოდით.

ნებისმიერი რაციონალური რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს წილადად m/n, სადაც m არის მთელი რიცხვი, ხოლო n არის ნატურალური რიცხვი. წარმოვიდგინოთ რიცხვი 3,(6) წინა მაგალითიდან, როგორც ასეთი წილადი:

კიდევ ერთი მაგალითი: რაციონალური რიცხვი 9 შეიძლება წარმოდგენილი იყოს მარტივი წილადის სახით, როგორც 18/2 ან როგორც 36/4.

კიდევ ერთი მაგალითი: რაციონალური რიცხვი -9 შეიძლება წარმოდგენილი იყოს მარტივი წილადის სახით, როგორც -18/2 ან როგორც -72/8.

ეს სტატია ეძღვნება თემის „რაციონალური რიცხვების“ შესწავლას. ქვემოთ მოცემულია რაციონალური რიცხვების განმარტებები, მოყვანილია მაგალითები და როგორ განვსაზღვროთ რიცხვი რაციონალურია თუ არა.

Რაციონალური რიცხვი. განმარტებები

რაციონალური რიცხვების განმარტებამდე გავიხსენოთ რა არის რიცხვების სხვა სიმრავლეები და როგორ უკავშირდება ისინი ერთმანეთს.

ნატურალური რიცხვები მათ საპირისპირო რიცხვებთან და ნულთან ერთად ქმნიან მთელი რიცხვების ერთობლიობას. თავის მხრივ, მთელი წილადი რიცხვების სიმრავლე ქმნის რაციონალურ რიცხვთა სიმრავლეს.

განმარტება 1. რაციონალური რიცხვები

რაციონალური რიცხვები არის რიცხვები, რომლებიც შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც დადებითი საერთო წილადი a b, უარყოფითი საერთო წილადი a b ან რიცხვი ნული.

ამრიგად, ჩვენ შეგვიძლია დავტოვოთ რაციონალური რიცხვების მრავალი თვისება:

1. ნებისმიერი ნატურალური რიცხვი რაციონალური რიცხვია. ცხადია, ყოველი ნატურალური რიცხვი n შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც წილადი 1 n.
2. ნებისმიერი მთელი რიცხვი, მათ შორის რიცხვი 0, რაციონალური რიცხვია. მართლაც, ნებისმიერი დადებითი მთელი და უარყოფითი მთელი რიცხვი ადვილად შეიძლება იყოს წარმოდგენილი, როგორც დადებითი ან უარყოფითი საერთო წილადი, შესაბამისად. მაგალითად, 15 = 15 1, - 352 = - 352 1.
3. ნებისმიერი დადებითი ან უარყოფითი საერთო წილადი a b არის რაციონალური რიცხვი. ეს პირდაპირ გამომდინარეობს ზემოაღნიშნული განმარტებიდან.
4. ნებისმიერი შერეული რიცხვი რაციონალურია. მართლაც, ბოლოს და ბოლოს, შერეული რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც ჩვეულებრივი არასათანადო წილადი.
5. ნებისმიერი სასრული ან პერიოდული ათობითი წილადი შეიძლება იყოს წარმოდგენილი როგორც საერთო წილადი. ამიტომ, ყოველი პერიოდული ან საბოლოო ათწილადი რაციონალური რიცხვია.
6. უსასრულო და არაგანმეორებადი ათწილადები არ არის რაციონალური რიცხვები. ისინი არ შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ჩვეულებრივი წილადების სახით.

მოვიყვანოთ რაციონალური რიცხვების მაგალითები. რიცხვები 5, 105, 358, 1100055 არის ბუნებრივი, დადებითი და მთელი რიცხვი. ყოველივე ამის შემდეგ, ეს რაციონალური რიცხვებია. რიცხვები - 2 , - 358 , - 936 უარყოფითი მთელი რიცხვებია და ისინიც რაციონალურია განსაზღვრებით. საერთო წილადები 3 5 , 8 7 , - 35 8 ასევე რაციონალური რიცხვების მაგალითებია.

რაციონალური რიცხვების ზემოაღნიშნული განმარტება შეიძლება უფრო მოკლედ ჩამოყალიბდეს. კიდევ ერთხელ ვუპასუხოთ კითხვას, რა არის რაციონალური რიცხვი.

განმარტება 2. რაციონალური რიცხვები

რაციონალური რიცხვები არის ის რიცხვები, რომლებიც შეიძლება წარმოდგენილი იყოს წილადის სახით ± z n, სადაც z არის მთელი რიცხვი, n არის ნატურალური რიცხვი.

შეიძლება აჩვენოს, რომ ეს განმარტება რაციონალური რიცხვების წინა განმარტების ექვივალენტურია. ამისათვის გახსოვდეთ, რომ წილადის ზოლი იგივეა, რაც გაყოფის ნიშანი. მთელი რიცხვების გაყოფის წესებისა და თვისებების გათვალისწინებით, შეგვიძლია დავწეროთ შემდეგი სამართლიანი უტოლობა:

0 n = 0 ÷ n = 0; - m n = (- m) ÷ n = - m n .

ამრიგად, შეიძლება დაწეროთ:

z n = z n , p p და z > 0 0 , p p და z = 0 - z n , p p და z< 0

სინამდვილეში, ეს ჩანაწერი დასტურია. რაციონალური რიცხვების მაგალითებს ვაძლევთ მეორე განმარტებაზე დაყრდნობით. განვიხილოთ რიცხვები - 3 , 0 , 5 , - 7 55 , 0 , 0125 და - 1 3 5 . ყველა ეს რიცხვი რაციონალურია, ვინაიდან ისინი შეიძლება დაიწეროს წილადად მთელი რიცხვითა და ბუნებრივი მნიშვნელით: - 3 1 , 0 1 , - 7 55 , 125 10000 , 8 5 .

წარმოგიდგენთ რაციონალური რიცხვების განმარტების კიდევ ერთ ეკვივალენტურ ფორმას.

განმარტება 3. რაციონალური რიცხვები

რაციონალური რიცხვი არის რიცხვი, რომელიც შეიძლება დაიწეროს როგორც სასრული ან უსასრულო პერიოდული ათობითი წილადი.

ეს განმარტება პირდაპირ გამომდინარეობს ამ პუნქტის პირველივე განმარტებიდან.

ამ პუნქტის შეჯამება და შეჯამება:

1. დადებითი და უარყოფითი წილადი და მთელი რიცხვები ქმნიან რაციონალურ რიცხვთა სიმრავლეს.
2. ყოველი რაციონალური რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს წილადად, რომლის მრიცხველი არის მთელი რიცხვი და მნიშვნელი ნატურალური რიცხვი.
3. ყოველი რაციონალური რიცხვი ასევე შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ათობითი წილადის სახით: სასრული ან უსასრულო პერიოდული.

რომელი რიცხვია რაციონალური?

როგორც უკვე გავარკვიეთ, ნებისმიერი ნატურალური რიცხვი, მთელი რიცხვი, რეგულარული და არასწორი ჩვეულებრივი წილადი, პერიოდული და ბოლო ათობითი წილადი რაციონალური რიცხვებია. ამ ცოდნით შეიარაღებული თქვენ შეგიძლიათ მარტივად განსაზღვროთ არის თუ არა რიცხვი რაციონალური.

თუმცა, პრაქტიკაში ხშირად უწევთ საქმე არა რიცხვებთან, არამედ რიცხვით გამოსახულებებთან, რომლებიც შეიცავს ფესვებს, ხარისხებს და ლოგარითმებს. ზოგიერთ შემთხვევაში, პასუხი კითხვაზე "რაციონალურია თუ არა რიცხვი?" შორს არის აშკარა. მოდი ვნახოთ, როგორ ვუპასუხოთ ამ კითხვას.

თუ რიცხვი მოცემულია გამონათქვამად, რომელიც შეიცავს მხოლოდ რაციონალურ რიცხვებს და მათ შორის არითმეტიკულ მოქმედებებს, მაშინ გამოხატვის შედეგი არის რაციონალური რიცხვი.

მაგალითად, გამოხატვის მნიშვნელობა 2 · 3 1 8 - 0 , 25 0 , (3) არის რაციონალური რიცხვი და უდრის 18-ს.

ამრიგად, რთული რიცხვითი გამოხატვის გამარტივება საშუალებას გაძლევთ განსაზღვროთ არის თუ არა მის მიერ მოცემული რიცხვი რაციონალური.

ახლა მოდით გაუმკლავდეთ ფესვის ნიშანს.

გამოდის, რომ რიცხვი m n, რომელიც მოცემულია m რიცხვის n ხარისხის ფესვად, რაციონალურია მხოლოდ მაშინ, როდესაც m არის ზოგიერთი ნატურალური რიცხვის n-ე ხარისხი.

მოდით შევხედოთ მაგალითს. ნომერი 2 არ არის რაციონალური. მაშინ როცა 9, 81 რაციონალური რიცხვებია. 9 და 81 არის 3 და 9 რიცხვების სრულყოფილი კვადრატები, შესაბამისად. რიცხვები 199 , 28 , 15 1 არ არის რაციონალური რიცხვები, რადგან ძირის ნიშნის ქვეშ მყოფი რიცხვები არ არის ნებისმიერი ნატურალური რიცხვის სრულყოფილი კვადრატები.

ახლა ავიღოთ უფრო რთული შემთხვევა. რიცხვი 243 5 რაციონალურია? თუ 3-ს აწევთ მეხუთე ხარისხზე, მიიღებთ 243-ს, ამიტომ ორიგინალური გამონათქვამი შეიძლება გადაიწეროს ასე: 243 5 = 3 5 5 = 3 . ამიტომ, ეს რიცხვი რაციონალურია. ახლა ავიღოთ რიცხვი 121 5 . ეს რიცხვი არ არის რაციონალური, რადგან არ არსებობს ნატურალური რიცხვი, რომლის აწევა მეხუთე ხარისხამდე მისცემს 121-ს.

იმისთვის, რომ გავიგოთ, არის თუ არა გარკვეული a რიცხვის ლოგარითმი b ფუძესთან რაციონალური რიცხვი, საჭიროა წინააღმდეგობის მეთოდის გამოყენება. მაგალითად, მოდით გავარკვიოთ არის თუ არა რიცხვების ჟურნალი 2 5 რაციონალური. დავუშვათ, რომ ეს რიცხვი რაციონალურია. თუ ასეა, მაშინ ის შეიძლება დაიწეროს როგორც ჩვეულებრივი წილადი log 2 5 = m n. ლოგარითმის თვისებების და ხარისხის თვისებების მიხედვით, შემდეგი ტოლობები ჭეშმარიტია:

5 = 2 log 2 5 = 2 მ n 5 n = 2 მ

ცხადია, ბოლო ტოლობა შეუძლებელია, რადგან მარცხენა და მარჯვენა მხარეები შეიცავს შესაბამისად კენტ და ლუწ რიცხვებს. მაშასადამე, დაშვებული ვარაუდი არასწორია და რიცხვების ჟურნალი 2 5 არ არის რაციონალური რიცხვი.

აღსანიშნავია, რომ რიცხვების რაციონალურობისა და ირაციონალურობის დადგენისას არ უნდა მიიღოთ უეცარი გადაწყვეტილებები. მაგალითად, ირაციონალური რიცხვების ნამრავლის შედეგი ყოველთვის არ არის ირაციონალური რიცხვი. საილუსტრაციო მაგალითი: 2 · 2 = 2.

ასევე არსებობს ირაციონალური რიცხვები, რომელთა ამაღლება ირაციონალურ ხარისხზე იძლევა რაციონალურ რიცხვს. 2 log 2 3 ფორმის სიმძლავრეში ფუძე და მაჩვენებელი ირაციონალური რიცხვებია. თუმცა, რიცხვი თავისთავად რაციონალურია: 2 log 2 3 = 3.

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

რეალური რიცხვის კონცეფცია: ნამდვილი რიცხვი- (რეალური რიცხვი), ნებისმიერი არაუარყოფითი ან უარყოფითი რიცხვი ან ნული. რეალური რიცხვების დახმარებით გამოხატეთ თითოეული ფიზიკური სიდიდის გაზომვები.

რეალური, ან ნამდვილი რიცხვიწარმოიშვა სამყაროს გეომეტრიული და ფიზიკური სიდიდეების გაზომვის საჭიროებიდან. გარდა ამისა, ფესვის ამოღების ოპერაციების ჩასატარებლად, ლოგარითმის გამოთვლა, ალგებრული განტოლებების ამოხსნა და ა.შ.

ნატურალური რიცხვები ჩამოყალიბდა დათვლის განვითარებით, ხოლო რაციონალური რიცხვები მთელის ნაწილების მართვის საჭიროებით, შემდეგ უწყვეტი სიდიდეების გასაზომად გამოიყენება რეალური რიცხვები (რეალური). ამრიგად, განხილული რიცხვების მარაგის გაფართოებამ გამოიწვია რეალური რიცხვების სიმრავლე, რომელიც რაციონალური რიცხვების გარდა, შედგება სხვა ელემენტებისაგან ე.წ. ირაციონალური რიცხვები.

რეალური რიცხვების სიმრავლე(აღნიშნა რ) არის რაციონალური და ირაციონალური რიცხვების სიმრავლეები ერთად.

რეალური რიცხვები იყოფარაციონალურიდა ირაციონალური.

ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლეს აღნიშნავენ და ხშირად უწოდებენ რეალურიან ნომრის ხაზი. რეალური რიცხვები შედგება მარტივი ობიექტებისგან: მთლიანიდა რაციონალური რიცხვი.

რიცხვი, რომელიც შეიძლება დაიწეროს თანაფარდობით, სადაცმარის მთელი რიცხვი და ნბუნებრივი რიცხვიარაციონალური რიცხვი.

ნებისმიერი რაციონალური რიცხვი ადვილად შეიძლება იყოს წარმოდგენილი როგორც სასრული წილადი ან უსასრულო პერიოდული ათობითი წილადი.

მაგალითი,

უსასრულო ათობითი, არის ათობითი წილადი, რომელსაც აქვს უსასრულო რიცხვი ათობითი წერტილის შემდეგ.

რიცხვები, რომლებიც არ შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ისე, როგორც არის ირაციონალური რიცხვები.

მაგალითი:

ნებისმიერი ირაციონალური რიცხვი ადვილად წარმოსადგენია როგორც უსასრულო არაპერიოდული ათობითი წილადი.

მაგალითი,

რაციონალური და ირაციონალური რიცხვები ქმნიან რეალური რიცხვების ნაკრები.ყველა რეალური რიცხვი შეესაბამება ერთ წერტილს კოორდინატთა წრფეზე, რომელიც ე.წ ნომრის ხაზი.

რიცხვითი კომპლექტებისთვის გამოიყენება შემდეგი აღნიშვნა:

• ნ- ნატურალური რიცხვების ნაკრები;
• ზ- მთელი რიცხვების ნაკრები;
• ქ- რაციონალური რიცხვების ნაკრები;
• რარის რეალური რიცხვების სიმრავლე.

უსასრულო ათობითი წილადების თეორია.

რეალური რიცხვი განისაზღვრება როგორც უსასრულო ათობითი, ანუ:

±a 0,a 1 a 2 …a n…

სადაც ± არის ერთ-ერთი სიმბოლო + ან − რიცხვის ნიშანი,

0 არის დადებითი მთელი რიცხვი,

a 1 ,a 2 ,…a n ,… არის ათობითი ადგილების თანმიმდევრობა, ე.ი. რიცხვითი სიმრავლის ელემენტები {0,1,…9}.

უსასრულო ათობითი წილადი შეიძლება აიხსნას, როგორც რიცხვი, რომელიც არის რაციონალურ წერტილებს შორის რიცხვითი წრფე, როგორიცაა:

±a 0 ,a 1 a 2 …a nდა ±(a 0 ,a 1 a 2 …a n +10 −n)ყველასთვის n=0,1,2,…

რეალური რიცხვების შედარება, როგორც უსასრულო ათობითი წილადები, ხდება ცოტათი. Მაგალითადვთქვათ, მოცემულია 2 დადებითი რიცხვი:

α =+a 0 ,a 1 a 2 …a n…

β =+b 0 ,b 1 b 2 …b n…

Თუ a 0 0,მაშინ α<β ; თუ a0 >b0მაშინ α>β . Როდესაც a 0 = b 0მოდით გადავიდეთ შემდეგი დონის შედარებაზე. და ა.შ. Როდესაც α≠β , ასე რომ სასრული რაოდენობის საფეხურების შემდეგ პირველი ციფრი შეგხვდებათ ნ, ისეთივე როგორც a n ≠ b n. Თუ a n n, მაშინ α<β ; თუ a n > b nმაშინ α>β .

მაგრამ ამავე დროს, მოსაწყენია ყურადღების მიქცევა იმ ფაქტზე, რომ რიცხვი a 0 ,a 1 a 2 …a n (9)=a 0 ,a 1 a 2 …a n +10 −n .მაშასადამე, თუ რომელიმე შედარებული რიცხვის ჩანაწერი, დაწყებული გარკვეული ციფრიდან, არის პერიოდული ათობითი წილადი, რომელსაც აქვს 9 პერიოდში, მაშინ ის უნდა შეიცვალოს ეკვივალენტური ჩანაწერით, პერიოდში ნულით.

არითმეტიკული მოქმედებები უსასრულო ათობითი წილადებით არის რაციონალური რიცხვებით შესაბამისი მოქმედებების უწყვეტი გაგრძელება. Მაგალითად, ნამდვილ რიცხვთა ჯამი α და β რეალური რიცხვია α+β , რომელიც აკმაყოფილებს შემდეგ პირობებს:

∀ ა′,ა′′,ბ′,ბ′′∈ Q(a'⩽ α ⩽ ა")∧ (ბ'⩽ β ⩽ ბ")⇒ (ა'+ბ'⩽ α + β ⩽ ა"+ბ")

ანალოგიურად განსაზღვრავს უსასრულო ათობითი წილადების გამრავლების ოპერაციას.