რა უნდა იცოდეთ უთანასწორობის ხატების შესახებ? ხატების უთანასწორობა მეტი (> ), ან ნაკლები (< ) უწოდებენ მკაცრი.ხატებით მეტი თუ თანაბარი (≥ ), ნაკლები ან თანაბარი (≤ ) უწოდებენ არა მკაცრი.Ხატი არ უდრის (≠ ) მარტო დგას, მაგრამ მაგალითების ამოხსნაც ყოველთვის ასეთი ხატით გიწევს. და ჩვენ გავაკეთებთ.)

თავად ხატულა დიდად არ მოქმედებს გადაწყვეტის პროცესზე. მაგრამ ამოხსნის ბოლოს, საბოლოო პასუხის არჩევისას, ხატის მნიშვნელობა მთელი ძალით ჩნდება! როგორც ქვემოთ დავინახავთ, მაგალითებში. რაღაც ხუმრობებია...

უთანასწორობა, ისევე როგორც თანასწორობა, არის ერთგული და ორგული.აქ ყველაფერი მარტივია, ხრიკების გარეშე. ვთქვათ 5 > 2 არის სწორი უტოლობა. 5 < 2 არასწორია.

ასეთი მომზადება მუშაობს უთანასწორობებზე ნებისმიერი სახისდა მარტივი საშინელებამდე.) თქვენ უბრალოდ უნდა სწორად შეასრულოთ ორი (მხოლოდ ორი!) ელემენტარული მოქმედება. ეს მოქმედებები ყველასთვის ნაცნობია. მაგრამ, რაც დამახასიათებელია, ჯამები ამ მოქმედებებში არის მთავარი შეცდომა უთანასწორობის ამოხსნისას, დიახ... ამიტომ ეს მოქმედებები უნდა განმეორდეს. ამ მოქმედებებს ასე უწოდებენ:

უტოლობების იდენტობის გარდაქმნები.

უტოლობების იდენტობის გარდაქმნები ძალიან ჰგავს განტოლებათა იდენტურ გარდაქმნებს. სინამდვილეში, ეს არის მთავარი პრობლემა. განსხვავებები სცდება თავში და ... ჩამოვიდა.) ამიტომ, მე განსაკუთრებით გამოვყოფ ამ განსხვავებებს. ასე რომ, უტოლობების პირველი იდენტური ტრანსფორმაცია:

1. უტოლობის ორივე ნაწილს შეიძლება დაემატოს (გამოკლდეს) ერთი და იგივე რიცხვი ან გამონათქვამი. ნებისმიერი. უთანასწორობის ნიშანი არ შეიცვლება.

პრაქტიკაში, ეს წესი გამოიყენება როგორც ტერმინების გადატანა უტოლობის მარცხენა მხრიდან მარჯვენა მხარეს (და პირიქით) ნიშნის ცვლილებით. ტერმინის ნიშნის ცვლილებით და არა უთანასწორობით! ერთი-ერთზე წესი იგივეა, რაც განტოლებების წესი. მაგრამ შემდეგი იდენტური გარდაქმნები უტოლობაში მნიშვნელოვნად განსხვავდება განტოლებებისგან. ამიტომ მე მათ წითლად გამოვყოფ:

2. უტოლობის ორივე ნაწილი შეიძლება გამრავლდეს (გაიყოს) ერთზედადებითინომერი. ნებისმიერისთვისდადებითი არ შეიცვლება.

3. უტოლობის ორივე ნაწილი შეიძლება გამრავლდეს (გაიყოს) ერთზეუარყოფითინომერი. ნებისმიერისთვისუარყოფითინომერი. უთანასწორობის ნიშანი აქედანპირიქით შეიცვლება.

გახსოვთ (იმედია...) რომ განტოლება შეიძლება გამრავლდეს/გაყოთ ნებისმიერზე. და ნებისმიერი რიცხვისთვის და x-ით გამოსახულებისთვის. სანამ ის არ არის ნული. ის, განტოლება, აქედან არც ცხელია და არც ცივი.) არ იცვლება. მაგრამ უტოლობები უფრო მგრძნობიარეა გამრავლების/გაყოფის მიმართ.

კარგი მაგალითია ხანგრძლივი მეხსიერებისთვის. ჩვენ ვწერთ უთანასწორობას, რომელიც არ იწვევს ეჭვებს:

5 > 2

გავამრავლოთ ორივე მხარე +3, ჩვენ ვიღებთ:

15 > 6

არის რაიმე წინააღმდეგობა? წინააღმდეგობები არ არის.) ხოლო თუ თავდაპირველი უტოლობის ორივე ნაწილს გავამრავლებთ -3, ჩვენ ვიღებთ:

15 > -6

და ეს არის პირდაპირი ტყუილი.) სრული სიცრუე! ხალხის მოტყუება! მაგრამ როგორც კი უთანასწორობის ნიშანი შებრუნებულია, ყველაფერი თავის ადგილზე დგება:

15 < -6

ტყუილისა და მოტყუების შესახებ - უბრალოდ არ ვფიცავ.) "დამავიწყდა უთანასწორობის ნიშნის შეცვლა..."- ეს არის სახლშიშეცდომა უტოლობების ამოხსნისას. ამ წვრილმანმა და გაურთულებელმა წესმა უამრავი ადამიანი დააზარალა! ვისაც დაავიწყდა...) ასე რომ ვფიცავ. იქნებ გახსოვდეს...)

ვინც განსაკუთრებით ყურადღებიანია, შეამჩნევს, რომ უტოლობა არ შეიძლება გამრავლდეს x-ით გამოსახულებით. პატივი ეცით ყურადღებას!) და რატომაც არა? პასუხი მარტივია. ჩვენ არ ვიცით ამ გამოხატვის ნიშანი x-ით. ეს შეიძლება იყოს დადებითი, უარყოფითი... ამიტომ, არ ვიცით, რა უტოლობის ნიშანი დავაყენოთ გამრავლების შემდეგ. შევცვალო თუ არა? უცნობი. რა თქმა უნდა, ეს შეზღუდვა (უტოლობის გამრავლების/გაყოფის აკრძალვა x-ით გამოსახულებით) შეიძლება გვერდის ავლით. თუ მართლა გჭირდება. მაგრამ ეს სხვა გაკვეთილების თემაა.

ეს არის უთანასწორობის ყველა იდენტური ტრანსფორმაცია. კიდევ ერთხელ შეგახსენებთ, რომ ისინი მუშაობენ ნებისმიერიუთანასწორობები. ახლა კი შეგიძლიათ გადახვიდეთ კონკრეტულ ტიპებზე.

წრფივი უტოლობა. გამოსავალი, მაგალითები.

წრფივ უტოლობას უწოდებენ უტოლობას, რომლებშიც x პირველ ხარისხშია და არ არის გაყოფა x-ზე. ტიპი:

x+3 > 5x-5

როგორ წყდება ეს უთანასწორობები? მათი გადაჭრა ძალიან მარტივია! კერძოდ: დახმარებით ვამცირებთ ყველაზე დაბნეულ წრფივ უტოლობას პირდაპირ პასუხზე.ეს არის მთელი გამოსავალი. მე გამოვყოფ გადაწყვეტის მთავარ პუნქტებს. სულელური შეცდომების თავიდან ასაცილებლად.)

ჩვენ ვხსნით ამ უტოლობას:

x+3 > 5x-5

ჩვენ ვხსნით ისევე, როგორც წრფივი განტოლება. ერთადერთი განსხვავებით:

ყურადღება მიაქციეთ უთანასწორობის ნიშანს!

პირველი ნაბიჯი ყველაზე გავრცელებულია. x-ით - მარცხნივ, x-ის გარეშე - მარჯვნივ... ეს არის პირველი იდენტური ტრანსფორმაცია, მარტივი და უპრობლემოდ.) მხოლოდ გადაყვანილი წევრების ნიშნების შეცვლა არ დაგავიწყდეთ.

უთანასწორობის ნიშანი შენარჩუნებულია:

x-5x > -5-3

წარმოგიდგენთ მსგავსებს.

უთანასწორობის ნიშანი შენარჩუნებულია:

4x > -8

რჩება ბოლო იდენტური ტრანსფორმაციის გამოყენება: გაყავით ორივე ნაწილი -4-ზე.

გაყავით უარყოფითინომერი.

უთანასწორობის ნიშანი შებრუნებული იქნება:

X < 2

ეს არის პასუხი.

ასე იხსნება ყველა წრფივი უტოლობა.

ყურადღება! წერტილი 2 დახატულია თეთრი, ე.ი. შეუღებავი. შიგნით ცარიელი. ეს ნიშნავს, რომ ის არ შედის პასუხში! განზრახ დავხატე ასე ჯანმრთელად. ასეთი წერტილი (ცარიელი, არა ჯანსაღი!)) მათემატიკაში ე.წ დარტყმული წერტილი.

ღერძზე დარჩენილი რიცხვების მონიშვნა შესაძლებელია, მაგრამ არა აუცილებელი. ზედმეტი რიცხვები, რომლებიც არ არის დაკავშირებული ჩვენს უთანასწორობასთან, შეიძლება დამაბნეველი იყოს, დიახ... უბრალოდ უნდა გახსოვდეთ, რომ რიცხვების ზრდა ისრის მიმართულებით მიდის, ე.ი. ნომრები 3, 4, 5 და ა.შ. არიან მარჯვნივორები და რიცხვები 1, 0, -1 და ა.შ. - მარცხნივ.

უტოლობა x < 2 - მკაცრი. X მკაცრად ნაკლებია ორზე. როდესაც ეჭვი გეპარებათ, შემოწმება მარტივია. ჩვენ ვცვლით საეჭვო რიცხვს უტოლობაში და ვფიქრობთ: "ორი ნაკლებია ორზე? რა თქმა უნდა არა!" ზუსტად. უტოლობა 2 < 2 არასწორი.დიუსი არ არის კარგი პასუხისთვის.

ერთი საკმარისია? Რა თქმა უნდა. ნაკლები ... და ნული კარგია და -17 და 0.34... დიახ, ყველა რიცხვი, რომელიც ორზე ნაკლებია, კარგია! და კიდევ 1,9999 .... ცოტა მაინც, მაგრამ ნაკლები!

ასე რომ, ჩვენ აღვნიშნავთ ყველა ამ რიცხვს რიცხვის ღერძზე. Როგორ? აქ არის ვარიანტები. პირველი ვარიანტი არის გამოჩეკვა. ჩვენ მაუსის სურათს ავატარებთ (ან ვეხებით სურათს ტაბლეტზე) და ვხედავთ, რომ x-ების ის ნაწილი, რომელიც ემთხვევა x-ის მდგომარეობას, დაჩრდილულია. < 2 . Სულ ეს არის.

განვიხილოთ მეორე ვარიანტი მეორე მაგალითში:

X ≥ -0,5

დახაზეთ ღერძი, მონიშნეთ რიცხვი -0.5. Ამგვარად:

შენიშნე განსხვავება?) ჰო, ძნელია არ შეამჩნიო... ეს წერტილი შავია! მოხატული. ეს ნიშნავს, რომ -0.5 პასუხში შედის.აი, სხვათა შორის, ვიღაცას ამოწმებს და აბნევს. ჩვენ ვცვლით:

-0,5 ≥ -0,5

Როგორ თუ? -0,5 სხვა არაფერია, თუ არა -0,5! კიდევ არის ხატი...

Ყველაფერი კარგადაა. არამკაცრ უთანასწორობაში, ყველაფერი, რაც შეესაბამება ხატს, შესაფერისია. და უდრისმორგებული და მეტიკარგი. ამიტომ პასუხში შედის -0.5.

ასე რომ, ჩვენ აღვნიშნეთ -0.5 ღერძზე, რჩება აღვნიშნოთ ყველა რიცხვი, რომელიც მეტია -0.5-ზე. ამჯერად მე აღვნიშნავ შესაფერისი x მნიშვნელობების დიაპაზონს ბორკილი(სიტყვიდან რკალი) ვიდრე გამოჩეკვა. გადაიტანეთ სურათზე და ნახეთ ეს მშვილდი.

გამოჩეკვასა და თაღებს შორის განსაკუთრებული განსხვავება არ არის. გააკეთე ისე, როგორც მასწავლებელი ამბობს. თუ მასწავლებელი არ არის, დახაზეთ მკლავები. უფრო რთულ ამოცანებში გამოჩეკვა ნაკლებად აშკარაა. შეიძლება დაიბნე.

ასე იხაზება წრფივი უტოლობა ღერძზე. გადავდივართ უტოლობათა შემდეგ სინგულარულობაზე.

დაწერეთ პასუხი უტოლობაზე.

კარგი იყო განტოლებებში.) ვიპოვეთ x და ჩავწერეთ პასუხი, მაგალითად: x \u003d 3. უტოლობებში არსებობს პასუხების წერის ორი ფორმა. ერთი - საბოლოო უტოლობის სახით. კარგია მარტივი შემთხვევებისთვის. Მაგალითად:

X< 2.

ეს არის სრული პასუხი.

ზოგჯერ საჭიროა ერთი და იგივეს დაწერა, მაგრამ განსხვავებული ფორმით, რიცხვითი ხარვეზებით. შემდეგ ჩანაწერი ძალიან მეცნიერულად გამოიყურება):

x ∈ (-∞; 2)

ხატის ქვეშ ∈ სიტყვის დამალვა "ეკუთვნის".

ჩანაწერი ასე იკითხება: x ეკუთვნის ინტერვალს მინუს უსასრულობიდან ორამდე არ მოიცავს. საკმაოდ ლოგიკური. X შეიძლება იყოს ნებისმიერი რიცხვი ყველა შესაძლო რიცხვიდან მინუს უსასრულობიდან ორამდე. ორმაგი X არ შეიძლება იყოს, რასაც სიტყვა გვეუბნება "არ მოიცავს".

სად არის ეს პასუხში "არ მოიცავს"? ეს ფაქტი პასუხშია აღნიშნული. მრგვალიფრჩხილები დუსის შემდეგ დაუყოვნებლივ. თუ დეუზა ჩართული იქნებოდა, ფრჩხილები იქნებოდა კვადრატი.Აქ არის: ]. შემდეგი მაგალითი იყენებს ასეთ ფრჩხილს.

ჩავწეროთ პასუხი: x ≥ -0,5 ინტერვალებით:

x ∈ [-0,5; +∞)

კითხულობს: x ეკუთვნის ინტერვალს მინუს 0,5-დან, მათ შორის,პლუს უსასრულობამდე.

უსასრულობა ვერასოდეს ჩაირთვება. ეს არ არის რიცხვი, ეს სიმბოლოა. ამიტომ, ასეთ ჩანაწერებში უსასრულობა ყოველთვის თანაარსებობს ფრჩხილებთან.

ჩაწერის ეს ფორმა მოსახერხებელია კომპლექსური პასუხებისთვის, რომლებიც შედგება რამდენიმე ხარვეზისგან. მაგრამ - მხოლოდ საბოლოო პასუხებისთვის. შუალედურ შედეგებში, სადაც შემდგომი ამოხსნაა მოსალოდნელი, უმჯობესია გამოიყენოთ ჩვეულებრივი ფორმა, მარტივი უტოლობის სახით. ამას შესაბამის თემებში შევეხებით.

პოპულარული ამოცანები უთანასწორობით.

თავად წრფივი უტოლობა მარტივია. ამიტომ, დავალებები ხშირად რთულდება. ასე რომ, საჭირო იყო. ეს თუ ჩვევის გამო არ არის ძალიან სასიამოვნო.) მაგრამ სასარგებლოა. მე გაჩვენებთ ასეთი დავალებების მაგალითებს. არა იმისთვის, რომ ისწავლო ისინი, ეს ზედმეტია. და იმისათვის, რომ არ შეგეშინდეთ მსგავს მაგალითებთან შეხვედრისას. ცოტა ფიქრი - და ყველაფერი მარტივია!)

1. იპოვეთ ნებისმიერი ორი ამონახსნები 3x - 3 უტოლობაზე< 0

თუ არ არის ძალიან ნათელი რა უნდა გააკეთოს, გახსოვდეთ მათემატიკის მთავარი წესი:

თუ არ იცი რა გააკეთო, გააკეთე რაც შეგიძლია!

X < 1

Მერე რა? Არაფერი განსაკუთრებული. რას გვეკითხებიან? ჩვენ გვთხოვენ ვიპოვოთ ორი კონკრეტული რიცხვი, რომლებიც გამოსავალია უტოლობისთვის. იმათ. შეესაბამება პასუხს. ორი ნებისმიერინომრები. სინამდვილეში, ეს უხერხულია.) რამდენიმე 0 და 0.5 შესაფერისია. წყვილი -3 და -8. დიახ, ამ წყვილების უსასრულო რაოდენობაა! რა არის სწორი პასუხი?!

მე ვპასუხობ: ყველაფერი! რიცხვების ნებისმიერი წყვილი, რომელთაგან თითოეული ერთზე ნაკლებია, სწორი პასუხი იქნება.დაწერე რაც გინდა. მოდით წავიდეთ უფრო შორს.

2. ამოხსენით უტოლობა:

4x - 3 ≠ 0

ასეთი სამუშაოები იშვიათია. მაგრამ, როგორც დამხმარე უტოლობა, მაგალითად, ODZ-ის პოვნისას, ან ფუნქციის დომენის პოვნისას, ისინი ყოველთვის გვხვდება. ასეთი წრფივი უტოლობა შეიძლება ამოიხსნას როგორც ჩვეულებრივი წრფივი განტოლება. მხოლოდ ყველგან, გარდა "=" ნიშნისა ( უდრის) დადეთ ნიშანი " ≠ " (არ უდრის). ასე რომ, თქვენ მიხვალთ პასუხამდე, უთანასწორობის ნიშნით:

X ≠ 0,75

უფრო რთულ მაგალითებში სჯობს საქმეები სხვაგვარად გააკეთოთ. გაუტოლეთ უტოლობას. Ამგვარად:

4x - 3 = 0

მშვიდად მოაგვარეთ ის, როგორც ასწავლეს და მიიღეთ პასუხი:

x = 0.75

მთავარია, ბოლოს და ბოლოს, საბოლოო პასუხის ჩაწერისას, არ დაგვავიწყდეს, რომ ჩვენ ვიპოვეთ x, რომელიც იძლევა თანასწორობა.და ჩვენ გვჭირდება - უთანასწორობა.ამიტომ, ჩვენ უბრალოდ არ გვჭირდება ეს X.) და ჩვენ უნდა ჩავწეროთ ის სწორი ხატით:

X ≠ 0,75

ეს მიდგომა იწვევს ნაკლებ შეცდომებს. ვინც ხსნის განტოლებებს მანქანაზე. და მათთვის, ვინც არ ხსნის განტოლებებს, უტოლობები, ფაქტობრივად, უსარგებლოა ...) პოპულარული დავალების კიდევ ერთი მაგალითი:

3. იპოვეთ უტოლობის უმცირესი მთელი რიცხვის ამონახსნი:

3 (x - 1) < 5x + 9

პირველ რიგში, ჩვენ უბრალოდ ვხსნით უტოლობას. ვხსნით ფრჩხილებს, გადავიტანთ, ვაძლევთ მსგავსებს... ვიღებთ:

X > - 6

არ მოხდა!? დაიცავით ნიშნები? და წევრების ნიშნების მიღმა და უთანასწორობის ნიშნის მიღმა ...

კიდევ ერთხელ წარმოვიდგინოთ. ჩვენ უნდა ვიპოვოთ კონკრეტული რიცხვი, რომელიც შეესაბამება პასუხსაც და პირობასაც "უმცირესი მთელი რიცხვი".თუ მაშინვე არ გათენდა, შეგიძლიათ უბრალოდ აიღოთ ნებისმიერი რიცხვი და გაარკვიოთ. ორი მეტია მინუს ექვსი? Რა თქმა უნდა! არის შესაფერისი უფრო მცირე რიცხვი? Რა თქმა უნდა. მაგალითად, ნული მეტია -6-ზე. და კიდევ უფრო ნაკლები? ჩვენ გვჭირდება რაც შეიძლება პატარა! მინუს სამი მეტია მინუს ექვსზე! თქვენ უკვე შეგიძლიათ დაიჭიროთ ნიმუში და შეწყვიტოთ რიცხვების სულელურად დალაგება, არა?)

ჩვენ ვიღებთ რიცხვს -6-სთან უფრო ახლოს. მაგალითად, -5. პასუხი შესრულებულია, -5 > - 6. შეგიძლიათ იპოვოთ სხვა რიცხვი -5-ზე ნაკლები, მაგრამ -6-ზე მეტი? შეგიძლიათ, მაგალითად, -5,5... გაჩერდით! ჩვენ გვითხრეს მთლიანიგამოსავალი! არ ტრიალებს -5.5! რაც შეეხება მინუს ექვსი? ეეე! უტოლობა მკაცრია, მინუს 6 არ არის მინუს 6-ზე ნაკლები!

ასე რომ, სწორი პასუხია -5.

ვიმედოვნებ, რომ ყველაფერი ნათელია ზოგადი გადაწყვეტილების ღირებულების არჩევით. Სხვა მაგალითი:

4. ამოხსენით უტოლობა:

7 < 3x+1 < 13

Როგორ! ასეთ გამოთქმას ე.წ სამმაგი უთანასწორობა.მკაცრად რომ ვთქვათ, ეს არის უტოლობების სისტემის შემოკლებული აღნიშვნა. მაგრამ თქვენ მაინც უნდა ამოხსნათ ასეთი სამმაგი უტოლობა ზოგიერთ ამოცანებში... ის წყდება ყოველგვარი სისტემის გარეშე. იგივე იდენტური გარდაქმნებით.

აუცილებელია ამ უთანასწორობის გამარტივება, სუფთა X-მდე მიყვანა. მაგრამ... სად გადავიტანოთ!? აი, დროა გვახსოვდეს, რომ მარცხნიდან მარჯვნივ გადაადგილება არის შემცირებული ფორმაპირველი იდენტური ტრანსფორმაცია.

და სრული ფორმა ასე გამოიყურება: თქვენ შეგიძლიათ დაამატოთ/გამოაკლოთ ნებისმიერი რიცხვი ან გამოთქმა განტოლების ორივე ნაწილს (უტოლობა).

აქ სამი ნაწილია. ასე რომ, ჩვენ გამოვიყენებთ იდენტურ გარდაქმნებს სამივე ნაწილზე!

მაშ ასე, მოვიშოროთ უტოლობის შუა ნაწილი. გამოვაკლოთ ერთი მთელ შუა ნაწილს. რომ უტოლობა არ შეიცვალოს, დანარჩენ ორ ნაწილს გამოვაკლებთ ერთს. Ამგვარად:

7 -1< 3x+1-1 < 13-1

6 < 3x < 12

უკვე უკეთესია, არა?) რჩება სამივე ნაწილის სამად დაყოფა:

2 < X < 4

Სულ ეს არის. ეს არის პასუხი. X შეიძლება იყოს ნებისმიერი რიცხვი ორიდან (არ მოიცავს) ოთხამდე (არ მოიცავს). ეს პასუხიც იწერება ინტერვალებით, ასეთი ჩანაწერები იქნება კვადრატულ უტოლობაში. იქ ისინი ყველაზე გავრცელებულია.

გაკვეთილის ბოლოს გავიმეორებ ყველაზე მნიშვნელოვანს. წრფივი უტოლობების ამოხსნის წარმატება დამოკიდებულია წრფივი განტოლებების გარდაქმნისა და გამარტივების უნარზე. თუ ამავე დროს მიჰყევით უთანასწორობის ნიშანს,პრობლემები არ იქნება. რასაც გისურვებ. არაა პრობლემა.)

თუ მოგწონთ ეს საიტი...

სხვათა შორის, მე მაქვს კიდევ რამდენიმე საინტერესო საიტი თქვენთვის.)

შეგიძლიათ ივარჯიშოთ მაგალითების ამოხსნაში და გაიგოთ თქვენი დონე. ტესტირება მყისიერი გადამოწმებით. სწავლა - ინტერესით!)

შეგიძლიათ გაეცნოთ ფუნქციებს და წარმოებულებს.

ნებისმიერ უტოლობას, რომელიც მოიცავს ფუნქციას ფესვის ქვეშ, ეწოდება ირაციონალური. ასეთი უტოლობების ორი ტიპი არსებობს:

პირველ შემთხვევაში ფესვი გ (x) ფუნქციაზე ნაკლებია, მეორეში - მეტი. თუ g(x) - მუდმივი, უთანასწორობა მკვეთრად ამარტივებს. გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ გარეგნულად ეს უტოლობები ძალიან ჰგავს ერთმანეთს, მაგრამ მათი ამოხსნის სქემები ფუნდამენტურად განსხვავებულია.

დღეს ჩვენ ვისწავლით თუ როგორ უნდა ამოხსნათ პირველი ტიპის ირაციონალური უტოლობები - ისინი ყველაზე მარტივი და გასაგებია. უთანასწორობის ნიშანი შეიძლება იყოს მკაცრი ან არა მკაცრი. შემდეგი განცხადება მართალია მათთვის:

თეორემა. ფორმის ნებისმიერი ირაციონალური უთანასწორობა

უტოლობების სისტემის ტოლფასია:

სუსტი არაა? ვნახოთ, საიდან მოდის ასეთი სისტემა:

1. f (x) ≤ g 2 (x) - აქ ყველაფერი ნათელია. ეს არის საწყისი უტოლობა კვადრატში;
2. f(x) ≥ 0 არის ფესვის ODZ. შეგახსენებთ: არითმეტიკული კვადრატული ფესვი არსებობს მხოლოდ დან არაუარყოფითინომრები;
3. g(x) ≥ 0 არის ფესვის დიაპაზონი. უთანასწორობის კვადრატში გამოყვანით ჩვენ ვწვავთ მინუსებს. შედეგად, შეიძლება გამოჩნდეს დამატებითი ფესვები. უტოლობა g (x) ≥ 0 წყვეტს მათ.

ბევრი სტუდენტი „ციკლურად დადის“ სისტემის პირველ უტოლობაზე: f (x) ≤ g 2 (x) - და სრულიად ივიწყებს დანარჩენ ორს. შედეგი პროგნოზირებადია: არასწორი გადაწყვეტილება, დაკარგული ქულები.

ვინაიდან ირაციონალური უტოლობები საკმაოდ რთული თემაა, მოდით გავაანალიზოთ ერთდროულად 4 მაგალითი. ელემენტარულიდან მართლაც რთულამდე. ყველა დავალება აღებულია მოსკოვის სახელმწიფო უნივერსიტეტის მისაღები გამოცდებიდან. მ.ვ.ლომონოსოვი.

პრობლემის გადაჭრის მაგალითები

Დავალება. ამოხსენით უტოლობა:

ჩვენ გვაქვს კლასიკა ირაციონალური უთანასწორობა: f(x) = 2x + 3; g(x) = 2 არის მუდმივი. Ჩვენ გვაქვს:

სამი უტოლობიდან მხოლოდ ორი დარჩა ამოხსნის ბოლომდე. რადგან უტოლობა 2 ≥ 0 ყოველთვის მოქმედებს. გადავკვეთოთ დარჩენილი უტოლობა:

ასე რომ, x ∈ [−1,5; 0.5]. ყველა წერტილი დაჩრდილულია იმიტომ უთანასწორობა არ არის მკაცრი.

Დავალება. ამოხსენით უტოლობა:

ჩვენ ვიყენებთ თეორემას:

ჩვენ ვხსნით პირველ უტოლობას. ამისათვის ჩვენ გავხსნით განსხვავების კვადრატს. Ჩვენ გვაქვს:

2x 2 − 18x + 16< (x − 4) 2 ;
2x 2 − 18x + 16< x 2 − 8x + 16:
x 2 − 10x< 0;
x (x − 10)< 0;
x ∈ (0; 10).

ახლა გადავწყვიტოთ მეორე უტოლობა. Მანდაც კვადრატული ტრინომიალი:

2x 2 − 18x + 16 ≥ 0;
x 2 − 9x + 8 ≥ 0;
(x − 8)(x − 1) ≥ 0;
x ∈ (−∞; 1]∪∪∪∪)