ჩვენ უკვე ვისწავლეთ კვადრატული განტოლებების ამოხსნა. ახლა გავავრცელოთ შესწავლილი მეთოდები რაციონალურ განტოლებამდე.
რა არის რაციონალური გამოხატულება? ჩვენ უკვე შევხვდით ამ კონცეფციას. რაციონალური გამონათქვამებიუწოდებენ რიცხვებს, ცვლადებს, მათ ხარისხს და მათემატიკური მოქმედებების ნიშნებს შედგენილ გამონათქვამებს.
შესაბამისად, რაციონალური განტოლებები არის ფორმის განტოლებები: , სადაც 
- რაციონალური გამონათქვამები.
ადრე განვიხილავდით მხოლოდ იმ რაციონალურ განტოლებებს, რომლებიც წრფივ მცირდება. ახლა განვიხილოთ ის რაციონალური განტოლებები, რომლებიც შეიძლება შემცირდეს კვადრატულ განტოლებამდე.
მაგალითი 1
ამოხსენით განტოლება: .
გადაწყვეტილება:
წილადი არის 0, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ მისი მრიცხველი არის 0 და მისი მნიშვნელი არ არის 0.
ჩვენ ვიღებთ შემდეგ სისტემას:
სისტემის პირველი განტოლება არის კვადრატული განტოლება. მის ამოხსნამდე მის ყველა კოეფიციენტს ვყოფთ 3-ზე. ვიღებთ:
ვიღებთ ორ ფესვს: ; .
ვინაიდან 2 არასოდეს არის 0-ის ტოლი, ორი პირობა უნდა დაკმაყოფილდეს: 
. ვინაიდან ზემოთ მიღებული განტოლების არცერთი ფესვი არ ემთხვევა ცვლადის არასწორ მნიშვნელობებს, რომლებიც მიღებულ იქნა მეორე უტოლობის ამოხსნისას, ისინი ორივე ამ განტოლების ამონახსნებია.
პასუხი:.
მაშ ასე, ჩამოვაყალიბოთ რაციონალური განტოლებების ამოხსნის ალგორითმი:
1. გადაიტანეთ ყველა ტერმინი მარცხენა მხარეს ისე, რომ 0 მიიღება მარჯვენა მხარეს.
2. მარცხენა მხარის გადაფორმება და გამარტივება, ყველა წილადის მიყვანა საერთო მნიშვნელთან.
3. მიღებული წილადი გაატოლეთ 0-ზე შემდეგი ალგორითმის მიხედვით: 
.
4. ჩაწერეთ ის ფესვები, რომლებიც მიღებულია პირველ განტოლებაში და დააკმაყოფილეთ მეორე უტოლობა პასუხში.
მოდით შევხედოთ სხვა მაგალითს.
მაგალითი 2
ამოხსენით განტოლება: 
.
გადაწყვეტილება
თავიდანვე გადავიტანთ ყველა პირობას მარცხენა მხარეს ისე, რომ მარჯვნივ დარჩეს 0. ვიღებთ:
ახლა განტოლების მარცხენა მხარეს მივყავართ საერთო მნიშვნელთან:
ეს განტოლება უდრის სისტემას:
სისტემის პირველი განტოლება არის კვადრატული განტოლება.
ამ განტოლების კოეფიციენტები: . ჩვენ ვიანგარიშებთ დისკრიმინანტს:
ვიღებთ ორ ფესვს: ; .
ახლა ჩვენ ვხსნით მეორე უტოლობას: ფაქტორების ნამრავლი არ არის 0-ის ტოლი, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ არცერთი ფაქტორი არ არის 0-ის ტოლი.
ორი პირობა უნდა დაკმაყოფილდეს: 
. ჩვენ ვიღებთ, რომ პირველი განტოლების ორი ფესვიდან მხოლოდ ერთია შესაფერისი - 3.
პასუხი:.
ამ გაკვეთილზე ჩვენ გავიხსენეთ რა არის რაციონალური გამოთქმა და ასევე ვისწავლეთ როგორ ამოხსნათ რაციონალური განტოლებები, რომლებიც დაყვანილია კვადრატულ განტოლებამდე.
შემდეგ გაკვეთილზე განვიხილავთ რაციონალურ განტოლებებს, როგორც რეალური სიტუაციების მოდელებს და ასევე განვიხილავთ მოძრაობის პრობლემებს.
ბიბლიოგრაფია
- ბაშმაკოვი მ.ი. ალგებრა, მე-8 კლასი. - მ.: განმანათლებლობა, 2004 წ.
- დოროფეევი გ.ვ., სუვოროვა ს.ბ., ბუნიმოვიჩ ე.ა. და სხვ. ალგებრა, 8. მე-5 გამოცემა. - მ.: განათლება, 2010 წ.
- ნიკოლსკი S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. ალგებრა, მე-8 კლასი. სახელმძღვანელო საგანმანათლებლო დაწესებულებებისთვის. - მ.: განათლება, 2006 წ.
- პედაგოგიური იდეების ფესტივალი "ღია გაკვეთილი" ().
- School.xvatit.com().
- Rudocs.exdat.com().
Საშინაო დავალება
"რაციონალური განტოლებები მრავალწევრებით" არის ერთ-ერთი ყველაზე ხშირად ნაცნობი თემა მათემატიკაში USE ტესტებში. ამ მიზეზით მათ გამეორებას განსაკუთრებული ყურადღება უნდა მიექცეს. ბევრ სტუდენტს აწყდება დისკრიმინანტის პოვნის, ინდიკატორების მარჯვენა მხრიდან მარცხენა მხარეს გადატანის და განტოლების საერთო მნიშვნელზე მიყვანის პრობლემა, რაც ართულებს ასეთი ამოცანების შესრულებას. რაციონალური განტოლებების ამოხსნა ჩვენს ვებგვერდზე გამოცდისთვის მომზადებისას დაგეხმარებათ სწრაფად გაუმკლავდეთ ნებისმიერი სირთულის ამოცანებს და სრულყოფილად გაიაროთ ტესტი.
აირჩიეთ საგანმანათლებლო პორტალი "შკოლკოვო" მათემატიკაში ერთიანი გამოცდისთვის წარმატებული მომზადებისთვის!
იმისათვის, რომ იცოდეთ უცნობების გამოთვლის წესები და მარტივად მიიღოთ სწორი შედეგები, გამოიყენეთ ჩვენი ონლაინ სერვისი. შკოლკოვოს პორტალი არის უნიკალური პლატფორმა, სადაც გროვდება გამოცდისთვის საჭირო მასალები. ჩვენმა მასწავლებლებმა სისტემატიზაცია მოახდინეს და გასაგებად წარმოადგინეს ყველა მათემატიკური წესი. გარდა ამისა, ვიწვევთ სკოლის მოსწავლეებს, რომ სცადონ თავიანთი ძალები ტიპიური რაციონალური განტოლებების ამოხსნაში, რომელთა საფუძველს მუდმივად განახლდება და ავსებს.
ტესტირებისთვის უფრო ეფექტური მომზადებისთვის, გირჩევთ, მიჰყვეთ ჩვენს სპეციალურ მეთოდს და დაიწყოთ წესების გამეორებით და მარტივი პრობლემების გადაწყვეტით, თანდათან გადადით უფრო რთულზე. ამრიგად, კურსდამთავრებულს შეეძლება გამოყოს თავისთვის ურთულესი თემები და ყურადღება გაამახვილოს მათ შესწავლაზე.
დაიწყეთ მზადება საბოლოო ტესტირებისთვის შკოლკოვოსთან დღესვე და შედეგი არ დაგელოდებით! აირჩიეთ ყველაზე მარტივი მაგალითი მოცემულებიდან. თუ სწრაფად დაეუფლეთ გამოთქმას, გადადით უფრო რთულ ამოცანაზე. ასე რომ თქვენ შეგიძლიათ გააუმჯობესოთ თქვენი ცოდნა მათემატიკაში USE ამოცანების ამოხსნამდე პროფილის დონეზე.
განათლება ხელმისაწვდომია არა მხოლოდ მოსკოვის კურსდამთავრებულებისთვის, არამედ სხვა ქალაქების სკოლის მოსწავლეებისთვისაც. დაუთმეთ დღეში ორიოდე საათი სწავლას, მაგალითად, ჩვენს პორტალზე და ძალიან მალე შეძლებთ გაუმკლავდეთ ნებისმიერი სირთულის განტოლებებს!
აქამდე ჩვენ ამოხსნილი გვაქვს მხოლოდ მთელი რიცხვითი განტოლებები უცნობის მიმართ, ანუ განტოლებები, რომლებშიც მნიშვნელები (ასეთის არსებობის შემთხვევაში) არ შეიცავს უცნობს.
ხშირად თქვენ უნდა ამოხსნათ განტოლებები, რომლებიც შეიცავს უცნობს მნიშვნელებში: ასეთ განტოლებებს წილადს უწოდებენ.
ამ განტოლების ამოსახსნელად, ჩვენ გავამრავლებთ მის ორივე მხარეს, ანუ მრავალწევრზე, რომელიც შეიცავს უცნობს. იქნება თუ არა ახალი განტოლება მოცემულის ეკვივალენტური? კითხვაზე პასუხის გასაცემად, მოდით ამ განტოლება ამოხსნათ.
მისი ორივე მხარის გამრავლებით მივიღებთ:
პირველი ხარისხის ამ განტოლების ამოხსნით, ვპოულობთ:
ასე რომ, განტოლებას (2) აქვს ერთი ფესვი
მისი (1) განტოლებით ჩანაცვლებით მივიღებთ:
აქედან გამომდინარე, ასევე არის (1) განტოლების ფესვი.
განტოლებას (1) სხვა ფესვები არ აქვს. ჩვენს მაგალითში ეს ჩანს, მაგალითად, იქიდან, რომ განტოლებაში (1)
როგორ უნდა იყოს უცნობი გამყოფი ტოლი დივიდენდის 1-ის გაყოფილი 2-ზე, ე.ი.
მაშასადამე, (1) და (2) განტოლებებს აქვთ ერთი ფესვი, შესაბამისად, ისინი ეკვივალენტურია.
2. ახლა ჩვენ ვხსნით შემდეგ განტოლებას:
უმარტივესი საერთო მნიშვნელი: ; გაამრავლეთ მასზე განტოლების ყველა პირობა:
შემცირების შემდეგ ვიღებთ:
მოდით გავაფართოვოთ ფრჩხილები:
მსგავსი პირობების შემოტანით, ჩვენ გვაქვს:
ამ განტოლების ამოხსნისას ვპოულობთ:
(1) განტოლებით ჩანაცვლებით მივიღებთ:
მარცხენა მხარეს მივიღეთ გამოთქმები, რომლებსაც აზრი არ აქვს.
მაშასადამე, (1) განტოლების ფესვი არ არის. ეს გულისხმობს, რომ განტოლებები (1) და არ არის ეკვივალენტური.
ამ შემთხვევაში, ჩვენ ვამბობთ, რომ განტოლებამ (1) შეიძინა უცხო ფესვი.
მოდით შევადაროთ (1) განტოლების ამონახსნი იმ განტოლებების ამოხსნას, რომლებიც ადრე განვიხილეთ (იხ. § 51). ამ განტოლების ამოხსნისას ჩვენ უნდა შეგვესრულებინა ორი ისეთი ოპერაცია, რომელიც აქამდე არ იყო ნანახი: პირველი, გავამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე უცნობის (საერთო მნიშვნელის) შემცველი გამოსახულებით და მეორე, შევამცირეთ ალგებრული წილადები ფაქტორების შემცველობით. უცნობი.
განტოლების (1) განტოლების (2) შედარებისას, ჩვენ ვხედავთ, რომ ყველა x მნიშვნელობა არ არის მოქმედი განტოლებისთვის (2) მართებულია განტოლებისთვის (1).
ეს არის რიცხვები 1 და 3, რომლებიც არ არის უცნობის დასაშვები მნიშვნელობები (1) და ტრანსფორმაციის შედეგად ისინი დასაშვები გახდნენ განტოლებისთვის (2). ამ რიცხვებიდან ერთ-ერთი აღმოჩნდა (2) განტოლების ამონახსნი, მაგრამ, რა თქმა უნდა, ეს არ შეიძლება იყოს (1) განტოლების ამონახსნი. განტოლებას (1) არ აქვს ამონახსნები.
ეს მაგალითი გვიჩვენებს, რომ განტოლების ორივე ნაწილი უცნობის შემცველ ფაქტორზე გამრავლებისას და ალგებრული წილადების შემცირებისას შეიძლება მივიღოთ განტოლება, რომელიც არ არის მოცემულის ექვივალენტური, კერძოდ: შეიძლება გამოჩნდეს უცხო ფესვები.
აქედან გამომდინარე ვაკეთებთ შემდეგ დასკვნას. მნიშვნელში უცნობის შემცველი განტოლების ამოხსნისას, მიღებული ფესვები უნდა შემოწმდეს თავდაპირველ განტოლებაში ჩანაცვლებით. ზედმეტი ფესვები უნდა განადგურდეს.
თავად წილადებთან განტოლებები არ არის რთული და ძალიან საინტერესო. განვიხილოთ წილადი განტოლებების სახეები და მათი ამოხსნის გზები.
როგორ ამოხსნათ განტოლებები წილადებით - x მრიცხველში
თუ მოცემულია წილადი განტოლება, სადაც უცნობი არის მრიცხველში, ამონახსნი არ საჭიროებს დამატებით პირობებს და იხსნება ზედმეტი პრობლემების გარეშე. ასეთი განტოლების ზოგადი ფორმაა x/a + b = c, სადაც x უცნობია, a, b და c ჩვეულებრივი რიცხვებია.
იპოვეთ x: x/5 + 10 = 70.
განტოლების ამოსახსნელად, თქვენ უნდა მოიცილოთ წილადები. გაამრავლეთ განტოლების თითოეული წევრი 5-ზე: 5x/5 + 5x10 = 70x5. 5x და 5 მცირდება, 10 და 70 მრავლდება 5-ზე და მივიღებთ: x + 50 = 350 => x = 350 - 50 = 300.
იპოვეთ x: x/5 + x/10 = 90.
ეს მაგალითი პირველის ოდნავ უფრო რთული ვერსიაა. აქ ორი გამოსავალია.
- ვარიანტი 1: გაათავისუფლეთ წილადები განტოლების ყველა წევრის უფრო დიდ მნიშვნელზე გამრავლებით, ანუ 10-ზე: 10x/5 + 10x/10 = 90x10 => 2x + x = 900 => 3x = 900 => x= 300.
- ვარიანტი 2: დაამატეთ განტოლების მარცხენა მხარე. x/5 + x/10 = 90. საერთო მნიშვნელი არის 10. 10 გავყოთ 5-ზე, გავამრავლოთ x-ზე, მივიღებთ 2x-ს. 10 გაყოფილი 10-ზე, გამრავლებული x-ზე მივიღებთ x: 2x+x/10 = 90. აქედან გამომდინარე 2x+x = 90×10 = 900 => 3x = 900 => x = 300.
ხშირად არის წილადი განტოლებები, რომლებშიც x-ები ტოლობის ნიშნის საპირისპირო მხარესაა. ასეთ სიტუაციაში აუცილებელია ყველა წილადი x-ით გადავიტანოთ ერთი მიმართულებით, ხოლო რიცხვები სხვა მიმართულებით.
- იპოვეთ x: 3x/5 = 130 - 2x/5.
- გადაიტანეთ 2x/5 მარჯვნივ საპირისპირო ნიშნით: 3x/5 + 2x/5 = 130 => 5x/5 = 130.
- ვამცირებთ 5x/5 და ვიღებთ: x = 130.
როგორ ამოხსნათ განტოლება წილადებით - x მნიშვნელში
ამ ტიპის წილადი განტოლებები მოითხოვს დამატებითი პირობების ჩაწერას. ამ პირობების მითითება სწორი გადაწყვეტილების სავალდებულო და განუყოფელი ნაწილია. თუ მათ არ მიაკუთვნებთ, თქვენ რისკავთ, რადგან პასუხი (თუნდაც სწორი იყოს) შეიძლება უბრალოდ არ ჩაითვალოს.
წილადი განტოლებების ზოგადი ფორმა, სადაც x არის მნიშვნელში, არის: a/x + b = c, სადაც x უცნობია, a, b, c ჩვეულებრივი რიცხვებია. გაითვალისწინეთ, რომ x არ შეიძლება იყოს ნებისმიერი რიცხვი. მაგალითად, x არ შეიძლება იყოს ნული, რადგან თქვენ არ შეგიძლიათ გაყოთ 0-ზე. ეს არის ზუსტად ის დამატებითი პირობა, რომელიც უნდა დავაკონკრეტოთ. ამას ეწოდება მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონი, შემოკლებით - ODZ.
იპოვეთ x: 15/x + 18 = 21.
ჩვენ დაუყოვნებლივ ვწერთ ODZ-ს x-ზე: x ≠ 0. ახლა, როცა ODZ არის მითითებული, განტოლებას ვხსნით სტანდარტული სქემის მიხედვით, წილადებისგან თავის დაღწევა. ჩვენ ვამრავლებთ განტოლების ყველა წევრს x-ზე. 15x/x+18x = 21x => 15+18x = 21x => 15 = 3x => x = 15/3 = 5.
ხშირად არის განტოლებები, სადაც მნიშვნელი შეიცავს არა მხოლოდ x-ს, არამედ მასთან ერთად სხვა ოპერაციას, მაგალითად, შეკრებას ან გამოკლებას.
იპოვეთ x: 15/(x-3) + 18 = 21.
ჩვენ უკვე ვიცით, რომ მნიშვნელი არ შეიძლება იყოს ნულის ტოლი, რაც ნიშნავს x-3 ≠ 0. გადავიტანთ -3-ს მარჯვენა მხარეს, ხოლო „-“ ნიშანს ვცვლით „+“-ზე და მივიღებთ, რომ x ≠ 3. ODZ არის მითითებულია.
ამოხსენით განტოლება, გაამრავლეთ ყველაფერი x-3-ზე: 15 + 18x(x - 3) = 21x(x - 3) => 15 + 18x - 54 = 21x - 63.
გადაიტანეთ x-ები მარჯვნივ, რიცხვები მარცხნივ: 24 = 3x => x = 8.
გავეცნოთ რაციონალურ და წილად რაციონალურ განტოლებებს, მივცეთ მათი განმარტება, მოვიყვანოთ მაგალითები და ასევე გავაანალიზოთ ამოცანების ყველაზე გავრცელებული ტიპები.
Yandex.RTB R-A-339285-1
რაციონალური განტოლება: განმარტება და მაგალითები
რაციონალური გამონათქვამების გაცნობა იწყება სკოლის მე-8 კლასში. ამ დროს, ალგებრის გაკვეთილებზე მოსწავლეები სულ უფრო ხშირად იწყებენ ამოცანების შესრულებას განტოლებებით, რომლებიც შეიცავს რაციონალურ გამონათქვამებს მათ ჩანაწერებში. მოდით განვაახლოთ ჩვენი მეხსიერება იმის შესახებ, თუ რა არის ეს.
განმარტება 1
რაციონალური განტოლებაარის განტოლება, რომელშიც ორივე მხარე შეიცავს რაციონალურ გამონათქვამებს.
სხვადასხვა სახელმძღვანელოებში შეგიძლიათ იპოვოთ სხვა ფორმულირება.
განმარტება 2
რაციონალური განტოლება- ეს არის განტოლება, რომლის მარცხენა მხარის ჩანაწერი შეიცავს რაციონალურ გამოხატულებას, ხოლო მარჯვენა შეიცავს ნულს.
ჩვენ მიერ რაციონალური განტოლებების განმარტებები ექვივალენტურია, რადგან ისინი ერთსა და იმავეს ნიშნავს. ჩვენი სიტყვების სისწორეს ადასტურებს ის ფაქტი, რომ ნებისმიერი რაციონალური გამოთქმისთვის პდა ქგანტოლებები P=Qდა P - Q = 0იქნება ეკვივალენტური გამონათქვამები.
ახლა მოდით მივმართოთ მაგალითებს.
მაგალითი 1
რაციონალური განტოლებები:
x = 1, 2 x − 12 x 2 y z 3 = 0, x x 2 + 3 x - 1 = 2 + 2 7 x - a (x + 2) , 1 2 + 3 4 - 12 x - 1 = 3.
რაციონალური განტოლებები, ისევე როგორც სხვა ტიპის განტოლებები, შეიძლება შეიცავდეს ცვლადების ნებისმიერ რაოდენობას 1-დან რამდენიმემდე. დასაწყისისთვის, ჩვენ განვიხილავთ მარტივ მაგალითებს, რომლებშიც განტოლებები შეიცავს მხოლოდ ერთ ცვლადს. შემდეგ კი ჩვენ ვიწყებთ დავალების თანდათანობით გართულებას.
რაციონალური განტოლებები იყოფა ორ დიდ ჯგუფად: მთელი და წილადი. ვნახოთ, რომელი განტოლებები გავრცელდება თითოეულ ჯგუფზე.
განმარტება 3
რაციონალური განტოლება იქნება მთელი რიცხვი, თუ მისი მარცხენა და მარჯვენა ნაწილების ჩანაწერი შეიცავს მთელ რაციონალურ გამონათქვამებს.
განმარტება 4
რაციონალური განტოლება წილადი იქნება, თუ მისი ერთი ან ორივე ნაწილი შეიცავს წილადს.
წილადი რაციონალური განტოლებები აუცილებლად შეიცავს გაყოფას ცვლადზე, ან ცვლადი იმყოფება მნიშვნელში. მთელი რიცხვების განტოლებების ჩაწერისას ასეთი დაყოფა არ არსებობს.
მაგალითი 2
3 x + 2 = 0და (x + y) (3 x 2 − 1) + x = − y + 0 , 5არის მთელი რაციონალური განტოლებები. აქ განტოლების ორივე ნაწილი წარმოდგენილია მთელი რიცხვებით.
1 x - 1 = x 3 და x: (5 x 3 + y 2) = 3: (x − 1) : 5არის წილადი რაციონალური განტოლებები.
მთელი რაციონალური განტოლებები მოიცავს წრფივ და კვადრატულ განტოლებებს.
მთელი განტოლებების ამოხსნა
ასეთი განტოლებების ამოხსნა ჩვეულებრივ მცირდება მათ გარდაქმნამდე ეკვივალენტურ ალგებრულ განტოლებად. ამის მიღწევა შესაძლებელია განტოლებების ექვივალენტური ტრანსფორმაციების განხორციელებით შემდეგი ალგორითმის მიხედვით:
- ჯერ ვიღებთ ნულს განტოლების მარჯვენა მხარეს, ამისათვის საჭიროა განტოლების მარჯვენა მხარეს მდებარე გამოსახულება გადავიტანოთ მის მარცხენა მხარეს და შევცვალოთ ნიშანი;
- შემდეგ განტოლების მარცხენა მხარეს გამოსახულებას ვცვლით სტანდარტული ფორმის მრავალწევრად.
უნდა მივიღოთ ალგებრული განტოლება. ეს განტოლება ექვივალენტური იქნება თავდაპირველი განტოლების მიმართ. მარტივი შემთხვევები საშუალებას გვაძლევს გადავჭრათ პრობლემა მთელი განტოლების წრფივ ან კვადრატულზე შემცირებით. ზოგად შემთხვევაში, ჩვენ ვხსნით ხარისხის ალგებრულ განტოლებას ნ.
მაგალითი 3
აუცილებელია ვიპოვოთ მთელი განტოლების ფესვები 3 (x + 1) (x − 3) = x (2 x − 1) − 3.
გადაწყვეტილება
მოდით გადავიტანოთ ორიგინალური გამონათქვამი, რათა მივიღოთ მისი ექვივალენტური ალგებრული განტოლება. ამისათვის ჩვენ გადავიტანთ განტოლების მარჯვენა მხარეს არსებულ გამოსახულებას მარცხენა მხარეს და ვცვლით ნიშანს საპირისპიროდ. შედეგად, ჩვენ ვიღებთ: 3 (x + 1) (x − 3) − x (2 x − 1) + 3 = 0.
ახლა ჩვენ მარცხენა მხარეს გამოსახულებას გადავცემთ სტანდარტული ფორმის პოლინომად და ვასრულებთ საჭირო მოქმედებებს ამ მრავალწევრთან:
3 (x + 1) (x - 3) - x (2 x - 1) + 3 = (3 x + 3) (x - 3) - 2 x 2 + x + 3 = = 3 x 2 - 9 x + 3 x - 9 - 2 x 2 + x + 3 = x 2 - 5 x - 6
ჩვენ მოვახერხეთ თავდაპირველი განტოლების ამონახსნის გადაწყვეტა ფორმის კვადრატული განტოლების ამოხსნამდე x 2 − 5 x − 6 = 0. ამ განტოლების დისკრიმინანტი დადებითია: D = (− 5) 2 − 4 1 (− 6) = 25 + 24 = 49 .ეს ნიშნავს, რომ იქნება ორი რეალური ფესვი. მოდი ვიპოვოთ ისინი კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულის გამოყენებით:
x \u003d - - 5 ± 49 2 1,
x 1 \u003d 5 + 7 2 ან x 2 \u003d 5 - 7 2,
x 1 = 6 ან x 2 = - 1
მოდით შევამოწმოთ ამოხსნის პროცესში აღმოჩენილი განტოლების ფესვების სისწორე. ამ რიცხვისთვის, რომელიც მივიღეთ, ჩვენ ვცვლით თავდაპირველ განტოლებას: 3 (6 + 1) (6 − 3) = 6 (2 6 − 1) − 3და 3 (− 1 + 1) (− 1 − 3) = (− 1) (2 (− 1) − 1) − 3. პირველ შემთხვევაში 63 = 63 , მეორეში 0 = 0 . Ფესვები x=6და x = − 1მართლაც არის მაგალითის პირობით მოცემული განტოლების ფესვები.
პასუხი: 6 , − 1 .
ვნახოთ, რას ნიშნავს „მთელი განტოლების ძალა“. ჩვენ ხშირად შევხვდებით ამ ტერმინს იმ შემთხვევებში, როდესაც საჭიროა მთელი განტოლების წარმოდგენა ალგებრულის სახით. მოდით განვსაზღვროთ კონცეფცია.
განმარტება 5
მთელი რიცხვის განტოლების ხარისხიარის ალგებრული განტოლების ხარისხი, რომელიც ექვივალენტურია თავდაპირველი მთლიანი განტოლებისა.
თუ ზემოთ მოყვანილი მაგალითიდან გადახედავთ განტოლებებს, შეგიძლიათ დაადგინოთ: მთელი ამ განტოლების ხარისხი არის მეორე.
თუ ჩვენი კურსი შემოიფარგლებოდა მეორე ხარისხის განტოლებების ამოხსნით, მაშინ თემის განხილვა აქ შეიძლება დასრულდეს. მაგრამ ყველაფერი არც ისე მარტივია. მესამე ხარისხის განტოლებების ამოხსნა სავსეა სირთულეებით. ხოლო მეოთხე ხარისხის ზემოთ განტოლებისთვის, საერთოდ არ არსებობს ფესვების ზოგადი ფორმულები. ამ მხრივ, მესამე, მეოთხე და სხვა ხარისხების მთელი განტოლებების ამოხსნა მოითხოვს არაერთი სხვა ტექნიკისა და მეთოდის გამოყენებას.
ყველაზე ხშირად გამოყენებული მიდგომა მთელი რაციონალური განტოლებების ამოხსნისას ემყარება ფაქტორიზაციის მეთოდს. ამ შემთხვევაში მოქმედებების ალგორითმი შემდეგია:
- გამონათქვამს გადავიტანთ მარჯვენა მხრიდან მარცხენა მხარეს ისე, რომ ნული დარჩეს ჩანაწერის მარჯვენა მხარეს;
- ჩვენ წარმოვადგენთ მარცხენა მხარეს გამოსახულებას, როგორც ფაქტორების ნამრავლს და შემდეგ გადავდივართ რამდენიმე მარტივი განტოლების სიმრავლეზე.
იპოვეთ (x 2 − 1) განტოლების ამონახსნი (x 2 − 10 x + 13) = 2 x (x 2 − 10 x + 13) .
გადაწყვეტილება
გამონათქვამს გადავიტანთ ჩანაწერის მარჯვენა მხრიდან მარცხენა მხარეს საპირისპირო ნიშნით: (x 2 − 1) (x 2 − 10 x + 13) − 2 x (x 2 − 10 x + 13) = 0. მარცხენა მხარის სტანდარტული ფორმის პოლინომად გადაქცევა არაპრაქტიკულია იმის გამო, რომ ეს მოგვცემს მეოთხე ხარისხის ალგებრულ განტოლებას: x 4 − 12 x 3 + 32 x 2 − 16 x − 13 = 0. ტრანსფორმაციის სიმარტივე არ ამართლებს ყველა სირთულეს ასეთი განტოლების ამოხსნისას.
ბევრად უფრო ადვილია სხვა გზით წასვლა: ჩვენ ვიღებთ საერთო ფაქტორს x 2 − 10 x + 13 .ამრიგად, ჩვენ მივდივართ ფორმის განტოლებამდე (x 2 − 10 x + 13) (x 2 − 2 x − 1) = 0. ახლა ჩვენ ვცვლით მიღებულ განტოლებას ორი კვადრატული განტოლების სიმრავლით x 2 − 10 x + 13 = 0და x 2 − 2 x − 1 = 0და იპოვეთ მათი ფესვები დისკრიმინანტის საშუალებით: 5 + 2 3 , 5 - 2 3 , 1 + 2 , 1 - 2 .
პასუხი: 5 + 2 3 , 5 - 2 3 , 1 + 2 , 1 - 2 .
ანალოგიურად, ჩვენ შეგვიძლია გამოვიყენოთ ახალი ცვლადის შემოღების მეთოდი. ეს მეთოდი საშუალებას გვაძლევს გადავიდეთ ეკვივალენტურ განტოლებებზე, რომელთა სიმძლავრეები უფრო დაბალია, ვიდრე თავდაპირველი მთლიანი განტოლება.
მაგალითი 5
აქვს თუ არა განტოლებას ფესვები? (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 = − 2 (x 2 + 3 x − 4)?
გადაწყვეტილება
თუ ახლა ვცდილობთ მთლიანი რაციონალური განტოლების შემცირებას ალგებრულ განტოლებამდე მივიღებთ მე-4 ხარისხის განტოლებას, რომელსაც რაციონალური ფესვები არ აქვს. აქედან გამომდინარე, გაგვიადვილდება სხვა გზით წასვლა: შემოვიღოთ ახალი ცვლადი y, რომელიც ჩაანაცვლებს განტოლებაში გამოსახულებას. x 2 + 3 x.
ახლა ჩვენ ვიმუშავებთ მთელ განტოლებაზე (y + 1) 2 + 10 = − 2 (y − 4). განტოლების მარჯვენა მხარეს საპირისპირო ნიშნით გადავიტანთ მარცხენა მხარეს და ვახორციელებთ საჭირო გარდაქმნებს. ჩვენ ვიღებთ: y 2 + 4 y + 3 = 0. ვიპოვოთ კვადრატული განტოლების ფესვები: y = − 1და y = − 3.
ახლა გავაკეთოთ საპირისპირო ჩანაცვლება. ჩვენ ვიღებთ ორ განტოლებას x 2 + 3 x = − 1და x 2 + 3 x = - 3 .მოდით გადავიწეროთ ისინი x 2 + 3 x + 1 = 0 და x 2 + 3 x + 3 = 0. მიღებული პირველი განტოლების ფესვების საპოვნელად ვიყენებთ კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულას: - 3 ± 5 2 . მეორე განტოლების დისკრიმინანტი უარყოფითია. ეს ნიშნავს, რომ მეორე განტოლებას არ აქვს რეალური ფესვები.
პასუხი:- 3 ± 5 2
მაღალი ხარისხის მთელი რიცხვითი განტოლებები საკმაოდ ხშირად გვხვდება ამოცანებში. არ არის საჭირო მათი შიში. თქვენ მზად უნდა იყოთ მათი გადაჭრის არასტანდარტული მეთოდის გამოსაყენებლად, მათ შორის არაერთი ხელოვნური ტრანსფორმაციისთვის.
წილადი რაციონალური განტოლებების ამოხსნა
ამ ქვეთემის განხილვას ვიწყებთ p (x) q (x) = 0 ფორმის წილადი რაციონალური განტოლებების ამოხსნის ალგორითმით, სადაც p(x)და q(x)არის მთელი რაციონალური გამონათქვამები. სხვა წილადი რაციონალური განტოლებების ამოხსნა ყოველთვის შეიძლება შემცირდეს მითითებული ფორმის განტოლებამდე.
p (x) q (x) = 0 განტოლებების ამოხსნის ყველაზე ხშირად გამოყენებული მეთოდი ეფუძნება შემდეგ დებულებას: რიცხვითი წილადი u v, სად ვარის რიცხვი, რომელიც განსხვავდება ნულისაგან, ნულის ტოლია მხოლოდ იმ შემთხვევებში, როდესაც წილადის მრიცხველი ნულის ტოლია. ზემოაღნიშნული განცხადების ლოგიკის მიხედვით, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ განტოლების ამონახსნი p (x) q (x) = 0 შეიძლება შემცირდეს ორი პირობის შესრულებამდე: p(x)=0და q(x) ≠ 0. ამაზე აგებულია p (x) q (x) = 0 ფორმის წილადი რაციონალური განტოლებების ამოხსნის ალგორითმი:
- ვპოულობთ მთელი რაციონალური განტოლების ამოხსნას p(x)=0;
- ვამოწმებთ, დაკმაყოფილებულია თუ არა ხსნარის დროს აღმოჩენილი ფესვების მდგომარეობა q(x) ≠ 0.
თუ ეს პირობა დაკმაყოფილებულია, მაშინ ნაპოვნი ფესვი, თუ არა, მაშინ ფესვი არ არის პრობლემის გადაწყვეტა.
მაგალითი 6
იპოვეთ განტოლების ფესვები 3 · x - 2 5 · x 2 - 2 = 0.
გადაწყვეტილება
საქმე გვაქვს p (x) q (x) = 0 ფორმის წილად რაციონალურ განტოლებასთან, რომელშიც p (x) = 3 · x − 2 , q (x) = 5 · x 2 − 2 = 0 . დავიწყოთ წრფივი განტოლების ამოხსნა 3 x - 2 = 0. ამ განტოლების ფესვი იქნება x = 2 3.
შევამოწმოთ ნაპოვნი ფესვი, აკმაყოფილებს თუ არა ის პირობას 5 x 2 - 2 ≠ 0. ამისათვის ჩაანაცვლეთ რიცხვითი მნიშვნელობა გამოსახულებაში. ჩვენ ვიღებთ: 5 2 3 2 - 2 \u003d 5 4 9 - 2 \u003d 20 9 - 2 \u003d 2 9 ≠ 0.
პირობა შესრულებულია. Ეს ნიშნავს, რომ x = 2 3არის საწყისი განტოლების ფესვი.
პასუხი: 2 3 .
არსებობს წილადი რაციონალური განტოლებების ამოხსნის კიდევ ერთი ვარიანტი p (x) q (x) = 0 . შეგახსენებთ, რომ ეს განტოლება მთლიანი განტოლების ტოლია p(x)=0საწყისი განტოლების x ცვლადის დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონზე. ეს გვაძლევს საშუალებას გამოვიყენოთ შემდეგი ალგორითმი p(x) q(x) = 0 განტოლებების ამოხსნისას:
- განტოლების ამოხსნა p(x)=0;
- იპოვნეთ მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონი x ცვლადისთვის;
- ჩვენ ვიღებთ ფესვებს, რომლებიც მდებარეობს x ცვლადის დასაშვები მნიშვნელობების რეგიონში, როგორც ორიგინალური წილადი რაციონალური განტოლების სასურველი ფესვები.
ამოხსენით განტოლება x 2 - 2 x - 11 x 2 + 3 x = 0.
გადაწყვეტილება
პირველ რიგში, მოდით ამოხსნათ კვადრატული განტოლება x 2 − 2 x − 11 = 0. მისი ფესვების გამოსათვლელად ვიყენებთ ფესვის ფორმულას ლუწი მეორე კოეფიციენტისთვის. ვიღებთ D 1 = (− 1) 2 − 1 (− 11) = 12და x = 1 ± 2 3 .
ახლა ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ x-ის ODV საწყისი განტოლებისთვის. ეს ყველაფერი ის რიცხვებია, რისთვისაც x 2 + 3 x ≠ 0. იგივეა რაც x (x + 3) ≠ 0, საიდანაც x ≠ 0 , x ≠ − 3 .
ახლა შევამოწმოთ, არის თუ არა ამოხსნის პირველ ეტაპზე მიღებული ფესვები x = 1 ± 2 3 x ცვლადის მისაღები მნიშვნელობების ფარგლებში. ჩვენ ვხედავთ, რაც შემოდის. ეს ნიშნავს, რომ თავდაპირველ წილადობრივ რაციონალურ განტოლებას აქვს ორი ფესვი x = 1 ± 2 3.
პასუხი: x = 1 ± 2 3
ამოხსნის მეორე მეთოდი, რომელიც აღწერილია, უფრო მარტივია, ვიდრე პირველი, იმ შემთხვევებში, როდესაც ადვილად მოიძებნება x ცვლადის დასაშვები მნიშვნელობების ფართობი და განტოლების ფესვები. p(x)=0ირაციონალური. მაგალითად, 7 ± 4 26 9 . ფესვები შეიძლება იყოს რაციონალური, მაგრამ დიდი მრიცხველით ან მნიშვნელით. Მაგალითად, 127 1101 და − 31 59 . ეს დაზოგავს დროს მდგომარეობის შესამოწმებლად. q(x) ≠ 0: ბევრად უფრო ადვილია გამორიცხოთ ფესვები, რომლებიც არ ჯდება, ODZ-ის მიხედვით.
როდესაც განტოლების ფესვები p(x)=0არიან მთელი რიცხვები, უფრო მიზანშეწონილია გამოვიყენოთ აღწერილი ალგორითმებიდან პირველი p (x) q (x) = 0 ფორმის განტოლებების ამოსახსნელად. მთელი განტოლების ფესვების უფრო სწრაფად პოვნა p(x)=0, და შემდეგ შეამოწმეთ არის თუ არა მათთვის პირობა დაკმაყოფილებული q(x) ≠ 0, და არ იპოვო ODZ და შემდეგ ამოხსნას განტოლება p(x)=0ამ ODZ-ზე. ეს გამოწვეულია იმით, რომ ასეთ შემთხვევებში ჩვეულებრივ უფრო ადვილია შემოწმების გაკეთება, ვიდრე ODZ-ის პოვნა.
მაგალითი 8
იპოვეთ განტოლების ფესვები (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 = 0.
გადაწყვეტილება
ჩვენ ვიწყებთ მთელი განტოლების გათვალისწინებით (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) = 0და მისი ფესვების პოვნა. ამისათვის ჩვენ ვიყენებთ განტოლებების ამოხსნის მეთოდს ფაქტორიზაციის გზით. გამოდის, რომ თავდაპირველი განტოლება უდრის ოთხი განტოლების სიმრავლეს 2 x - 1 = 0, x - 6 = 0, x 2 - 5 x + 14 = 0, x + 1 = 0, რომელთაგან სამი არის წრფივი და ერთი არის კვადრატი. ვპოულობთ ფესვებს: პირველი განტოლებიდან x = 1 2, მეორედან x=6, მესამედან - x \u003d 7, x \u003d - 2, მეოთხედან - x = − 1.
გადავამოწმოთ მიღებული ფესვები. ჩვენთვის რთულია ამ შემთხვევაში ODZ-ის დადგენა, რადგან ამისთვის მეხუთე ხარისხის ალგებრული განტოლების ამოხსნა მოგვიწევს. უფრო ადვილი იქნება იმ პირობის შემოწმება, რომლის მიხედვითაც განტოლების მარცხენა მხარეს მყოფი წილადის მნიშვნელი არ უნდა გაქრეს.
თავის მხრივ, გამოსახულებაში ჩაანაცვლეთ ფესვები x ცვლადის ნაცვლად x 5 − 15 x 4 + 57 x 3 − 13 x 2 + 26 x + 112და გამოთვალეთ მისი ღირებულება:
1 2 5 - 15 1 2 4 + 57 1 2 3 - 13 1 2 2 + 26 1 2 + 112 = = 1 32 - 15 16 + 57 8 - 13 4 + 13 + 112 = 122 + 1 32;
6 5 − 15 6 4 + 57 6 3 − 13 6 2 + 26 6 + 112 = 448 ≠ 0;
7 5 − 15 7 4 + 57 7 3 − 13 7 2 + 26 7 + 112 = 0;
(− 2) 5 − 15 (− 2) 4 + 57 (− 2) 3 − 13 (− 2) 2 + 26 (− 2) + 112 = − 720 ≠ 0 ;
(− 1) 5 − 15 (− 1) 4 + 57 (− 1) 3 − 13 (− 1) 2 + 26 (− 1) + 112 = 0 .
განხორციელებული შემოწმება საშუალებას გვაძლევს დავადგინოთ, რომ თავდაპირველი წილადი რაციონალური განტოლების ფესვები არის 1 2, 6 და − 2 .
პასუხი: 1 2 , 6 , - 2
მაგალითი 9
იპოვეთ წილადი რაციონალური განტოლების ფესვები 5 x 2 - 7 x - 1 x - 2 x 2 + 5 x - 14 = 0 .
გადაწყვეტილება
დავიწყოთ განტოლებით (5 x 2 - 7 x - 1) (x - 2) = 0. მოდი ვიპოვოთ მისი ფესვები. ჩვენთვის უფრო ადვილია ამ განტოლების წარმოდგენა, როგორც კვადრატული და წრფივი განტოლებების კომბინაცია 5 x 2 - 7 x - 1 = 0და x − 2 = 0.
ფესვების საპოვნელად ვიყენებთ კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულას. ვიღებთ ორ ფესვს x = 7 ± 69 10 პირველი განტოლებიდან, ხოლო მეორედან x=2.
პირობების შესამოწმებლად ფესვების მნიშვნელობის პირვანდელ განტოლებაში ჩანაცვლება საკმაოდ რთული იქნება ჩვენთვის. უფრო ადვილი იქნება x ცვლადის LPV-ის დადგენა. ამ შემთხვევაში, x ცვლადის DPV არის ყველა რიცხვი, გარდა იმ რიცხვებისა, რისთვისაც პირობა დაკმაყოფილებულია. x 2 + 5 x − 14 = 0. ვიღებთ: x ∈ - ∞ , - 7 ∪ - 7 , 2 ∪ 2 , + ∞ .
ახლა შევამოწმოთ, ეკუთვნის თუ არა ჩვენს მიერ ნაპოვნი ფესვები x ცვლადის მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონს.
ფესვები x = 7 ± 69 10 - ეკუთვნის, შესაბამისად, ისინი თავდაპირველი განტოლების ფესვებია და x=2- არ ეკუთვნის, მაშასადამე, ის უცხო ფესვია.
პასუხი: x = 7 ± 69 10 .
ცალ-ცალკე განვიხილოთ შემთხვევები, როდესაც p (x) q (x) = 0 ფორმის წილადი რაციონალური განტოლების მრიცხველი შეიცავს რიცხვს. ასეთ შემთხვევებში, თუ მრიცხველი შეიცავს ნულის გარდა სხვა რიცხვს, მაშინ განტოლებას ფესვები არ ექნება. თუ ეს რიცხვი ნულის ტოლია, მაშინ განტოლების ფესვი იქნება ნებისმიერი რიცხვი ODZ-დან.
მაგალითი 10
ამოხსენით წილადი რაციონალური განტოლება - 3 , 2 x 3 + 27 = 0 .
გადაწყვეტილება
ამ განტოლებას არ ექნება ფესვები, რადგან განტოლების მარცხენა მხრიდან წილადის მრიცხველი შეიცავს არანულოვან რიცხვს. ეს ნიშნავს, რომ x-ის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის პრობლემის მდგომარეობაში მოცემული წილადის მნიშვნელობა არ იქნება ნულის ტოლი.
პასუხი:ფესვების გარეშე.
მაგალითი 11
ამოხსენით განტოლება 0 x 4 + 5 x 3 = 0.
გადაწყვეტილება
ვინაიდან წილადის მრიცხველი არის ნული, განტოლების ამონახსნი იქნება x-ის ნებისმიერი მნიშვნელობა ODZ x ცვლადიდან.
ახლა განვსაზღვროთ ODZ. იგი მოიცავს ყველა x მნიშვნელობას, რომლისთვისაც x 4 + 5 x 3 ≠ 0. განტოლების ამონახსნები x 4 + 5 x 3 = 0არიან 0 და − 5 , ვინაიდან ეს განტოლება განტოლების ტოლფასია x 3 (x + 5) = 0და ის, თავის მხრივ, უდრის ორი განტოლების სიმრავლეს x 3 = 0 და x + 5 = 0სადაც ეს ფესვები ჩანს. მივდივართ დასკვნამდე, რომ მისაღები მნიშვნელობების სასურველი დიაპაზონი არის ნებისმიერი x, გარდა x=0და x = -5.
გამოდის, რომ წილადის რაციონალურ განტოლებას 0 x 4 + 5 x 3 = 0 აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა, რომლებიც ნებისმიერი რიცხვია ნულისა და - 5-ის გარდა.
პასუხი: - ∞ , - 5 ∪ (- 5 , 0 ∪ 0 , + ∞
ახლა მოდით ვისაუბროთ თვითნებური ფორმის წილადი რაციონალური განტოლებებისა და მათი ამოხსნის მეთოდებზე. ისინი შეიძლება დაიწეროს როგორც r(x) = s(x), სად r(x)და s(x)რაციონალური გამონათქვამებია და მათგან ერთი მაინც წილადია. ასეთი განტოლებების ამოხსნა მცირდება p (x) q (x) = 0 ფორმის განტოლებათა ამოხსნამდე.
ჩვენ უკვე ვიცით, რომ შეგვიძლია მივიღოთ ეკვივალენტური განტოლება განტოლების მარჯვენა მხრიდან გამოსახულების საპირისპირო ნიშნით მარცხენა მხარეს გადატანით. ეს ნიშნავს, რომ განტოლება r(x) = s(x)განტოლების ტოლფასია r (x) − s (x) = 0. ჩვენ ასევე უკვე განვიხილეთ, თუ როგორ გადავიყვანოთ რაციონალური გამოხატულება რაციონალურ წილადად. ამის წყალობით, ჩვენ შეგვიძლია მარტივად გარდავქმნათ განტოლება r (x) − s (x) = 0მის იდენტურ რაციონალურ წილადში p (x) q (x) .
ასე რომ, ჩვენ გადავდივართ თავდაპირველი წილადი რაციონალური განტოლებიდან r(x) = s(x) p (x) q (x) = 0 ფორმის განტოლებამდე, რომლის ამოხსნა უკვე ვისწავლეთ.
უნდა აღინიშნოს, რომ გადასვლების განხორციელებისას r (x) − s (x) = 0 p (x) q (x) = 0-მდე და შემდეგ -მდე p(x)=0შეიძლება არ გავითვალისწინოთ x ცვლადის მოქმედი მნიშვნელობების დიაპაზონის გაფართოება.
საკმაოდ რეალურია, რომ ორიგინალური განტოლება r(x) = s(x)და განტოლება p(x)=0გარდაქმნების შედეგად ისინი შეწყვეტენ ეკვივალენტობას. შემდეგ განტოლების ამოხსნა p(x)=0შეუძლია მოგვცეს ფესვები, რომლებიც უცხო იქნება r(x) = s(x). ამასთან დაკავშირებით, თითოეულ შემთხვევაში აუცილებელია შემოწმების ჩატარება ზემოთ აღწერილი რომელიმე მეთოდით.
იმისათვის, რომ გაგიადვილოთ თემის შესწავლა, ჩვენ განვაზოგადეთ ყველა ინფორმაცია ფორმის წილადი რაციონალური განტოლების ამოხსნის ალგორითმში. r(x) = s(x):
- გამონათქვამს მარჯვენა მხრიდან საპირისპირო ნიშნით გადავიტანთ და მარჯვნივ მივიღებთ ნულს;
- ჩვენ გარდაქმნით თავდაპირველ გამოსახულებას რაციონალურ წილადად p (x) q (x) , თანმიმდევრულად ასრულებს მოქმედებებს წილადებთან და მრავალწევრებთან;
- განტოლების ამოხსნა p(x)=0;
- ჩვენ გამოვავლენთ გარე ფესვებს ODZ-თან მათი კუთვნილების შემოწმებით ან თავდაპირველ განტოლებაში ჩანაცვლებით.
ვიზუალურად, მოქმედებების ჯაჭვი ასე გამოიყურება:
r (x) = s (x) → r (x) - s (x) = 0 → p (x) q (x) = 0 → p (x) = 0 → მიტოვება r o n d e r o o n s
მაგალითი 12
ამოხსენით წილადი რაციონალური განტოლება x x + 1 = 1 x + 1 .
გადაწყვეტილება
გადავიდეთ განტოლებაზე x x + 1 - 1 x + 1 = 0 . გადავიყვანოთ განტოლების მარცხენა მხარეს წილადი რაციონალური გამოხატულება p (x) q (x) ფორმაში.
ამისთვის, რაციონალური წილადები უნდა შევიყვანოთ საერთო მნიშვნელამდე და გავამარტივოთ გამოთქმა:
x x + 1 - 1 x - 1 = x x - 1 (x + 1) - 1 x (x + 1) x (x + 1) = = x 2 - x - 1 - x 2 - x x (x + 1) = - 2 x - 1 x (x + 1)
იმისათვის, რომ ვიპოვოთ განტოლების ფესვები - 2 x - 1 x (x + 1) = 0, უნდა ამოხსნათ განტოლება − 2 x − 1 = 0. ჩვენ ვიღებთ ერთ ფესვს x = - 1 2.
ჩვენთვის რჩება შემოწმება რომელიმე მეთოდით. განვიხილოთ ორივე.
შეცვალეთ მიღებული მნიშვნელობა თავდაპირველ განტოლებაში. ვიღებთ - 1 2 - 1 2 + 1 = 1 - 1 2 + 1 . ჩვენ მივედით სწორ რიცხვობრივ ტოლობამდე − 1 = − 1 . Ეს ნიშნავს, რომ x = − 1 2არის საწყისი განტოლების ფესვი.
ახლა ჩვენ შევამოწმებთ ODZ-ს მეშვეობით. მოდით განვსაზღვროთ მისაღები მნიშვნელობების ფართობი x ცვლადისთვის. ეს იქნება რიცხვების მთელი ნაკრები, გარდა − 1-ისა და 0-ისა (როცა x = − 1 და x = 0, წილადების მნიშვნელები ქრება). ფესვი მივიღეთ x = − 1 2ეკუთვნის ODZ-ს. ეს ნიშნავს, რომ ეს არის საწყისი განტოლების ფესვი.
პასუხი: − 1 2 .
მაგალითი 13
იპოვეთ x 1 x + 3 - 1 x = - 2 3 x განტოლების ფესვები.
გადაწყვეტილება
საქმე გვაქვს წილადის რაციონალურ განტოლებასთან. ამიტომ, ჩვენ ვიმოქმედებთ ალგორითმის მიხედვით.
გადავიტანოთ გამონათქვამი მარჯვენა მხრიდან მარცხენა მხარეს საპირისპირო ნიშნით: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = 0
განვახორციელოთ საჭირო გარდაქმნები: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = x 3 + 2 x 3 = 3 x 3 = x.
მივდივართ განტოლებამდე x=0. ამ განტოლების ფესვი არის ნული.
მოდით შევამოწმოთ ეს ფესვი უცხოა თუ არა ორიგინალური განტოლებისთვის. ჩაანაცვლეთ მნიშვნელობა თავდაპირველ განტოლებაში: 0 1 0 + 3 - 1 0 = - 2 3 0 . როგორც ხედავთ, მიღებულ განტოლებას აზრი არ აქვს. ეს ნიშნავს, რომ 0 არის უცხო ფესვი და თავდაპირველ წილადი რაციონალურ განტოლებას ფესვები არ აქვს.
პასუხი:ფესვების გარეშე.
თუ ალგორითმში სხვა ეკვივალენტური გარდაქმნები არ ჩავრთეთ, ეს საერთოდ არ ნიშნავს რომ მათი გამოყენება შეუძლებელია. ალგორითმი უნივერსალურია, მაგრამ ის შექმნილია დასახმარებლად და არა შეზღუდვისთვის.
მაგალითი 14
ამოხსენით განტოლება 7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 7 24
გადაწყვეტილება
უმარტივესი გზაა მოცემული წილადი რაციონალური განტოლების ალგორითმის მიხედვით ამოხსნა. მაგრამ არსებობს სხვა გზა. განვიხილოთ.
გამოვაკლოთ მარჯვენა და მარცხენა ნაწილებს 7, მივიღებთ: 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 \u003d 7 24.
აქედან შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ მარცხენა მხარის მნიშვნელში გამოხატული უნდა იყოს ტოლი რიცხვის საპასუხო რიცხვის მარჯვენა მხრიდან, ანუ 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 24 7 .
გამოვაკლოთ ორივე ნაწილი 3: 1 2 + 1 5 - x 2 = 3 7 . ანალოგიით 2 + 1 5 - x 2 \u003d 7 3, საიდანაც 1 5 - x 2 \u003d 1 3 და შემდგომ 5 - x 2 \u003d 3, x 2 \u003d 2, x \u003d ± 2
მოდით შევამოწმოთ, რათა დავადგინოთ არის თუ არა ნაპოვნი ფესვები საწყისი განტოლების ფესვები.
პასუხი: x = ± 2
თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter
