შეკრებისა და გამოკლების თვისებების ფორმულირება. შეკრებისა და გამოკლების თვისებების პირდაპირი აღნიშვნა

ჩვენ განვსაზღვრეთ მთელი რიცხვების შეკრება, გამრავლება, გამოკლება და გაყოფა. ამ მოქმედებებს (ოპერაციებს) აქვს მთელი რიგი დამახასიათებელი შედეგი, რომლებსაც თვისებები ეწოდება. ამ სტატიაში განვიხილავთ მთელი რიცხვების შეკრებისა და გამრავლების ძირითად თვისებებს, საიდანაც გამომდინარეობს ამ მოქმედებების ყველა სხვა თვისება, ასევე მთელი რიცხვების გამოკლებისა და გაყოფის თვისებებს.

გვერდის ნავიგაცია.

მთელი რიცხვის დამატებას კიდევ რამდენიმე ძალიან მნიშვნელოვანი თვისება აქვს.

ერთ-ერთი მათგანი ნულის არსებობას უკავშირდება. მთელი რიცხვის მიმატების ეს თვისება ამბობს, რომ ნებისმიერ მთელ რიცხვს ნულის დამატება არ ცვლის ამ რიცხვს. შეკრების ეს თვისება დავწეროთ ასოების გამოყენებით: a+0=a და 0+a=a (ეს ტოლობა მოქმედებს შეკრების კომუტაციური თვისების გამო), a არის ნებისმიერი მთელი რიცხვი. შეიძლება გაიგოთ, რომ მთელ ნულს დამატებით ნეიტრალურ ელემენტსაც უწოდებენ. მოდით მოვიყვანოთ რამდენიმე მაგალითი. −78 და ნულის მთელი რიცხვის ჯამი არის −78; თუ ნულს დავუმატებთ დადებით მთელ რიცხვს 999, შედეგად მივიღებთ რიცხვს 999.

ახლა ჩამოვაყალიბებთ მთელი რიცხვის შეკრების სხვა თვისებას, რომელიც დაკავშირებულია ნებისმიერი მთელი რიცხვისთვის საპირისპირო რიცხვის არსებობასთან. ნებისმიერი მთელი რიცხვის ჯამი მის საპირისპირო რიცხვთან არის ნული. აი ამ თვისების პირდაპირი ფორმა: a+(−a)=0 , სადაც a და −a საპირისპირო მთელი რიცხვებია. მაგალითად, ჯამი 901+(−901) არის ნული; ანალოგიურად, საპირისპირო −97 და 97 რიცხვების ჯამი არის ნული.

მთელი რიცხვების გამრავლების ძირითადი თვისებები

მთელი რიცხვების გამრავლებას აქვს ნატურალური რიცხვების გამრავლების ყველა თვისება. ჩვენ ჩამოვთვლით ამ თვისებებს.

ისევე, როგორც ნული არის ნეიტრალური მთელი რიცხვი შეკრების მიმართ, ერთიც არის ნეიტრალური რიცხვი მთელი რიცხვების გამრავლების მიმართ. ე.ი. ნებისმიერი მთელი რიცხვის ერთზე გამრავლება არ ცვლის გამრავლებულ რიცხვს. ასე რომ, 1·a=a, სადაც a არის ნებისმიერი მთელი რიცხვი. ბოლო ტოლობა შეიძლება გადაიწეროს როგორც 1=a, ეს საშუალებას გვაძლევს შევქმნათ გამრავლების კომუტაციური თვისება. მოვიყვანოთ ორი მაგალითი. 556 მთელი რიცხვის ნამრავლი 1-ით არის 556; ერთი და უარყოფითი მთელი რიცხვის −78 ნამრავლი არის −78.

მთელი რიცხვის გამრავლების შემდეგი თვისება დაკავშირებულია ნულზე გამრავლებასთან. ნებისმიერი a მთელი რიცხვის ნულზე გამრავლების შედეგი არის ნული, ანუ 0=0 . ტოლობა 0·a=0 ასევე მართალია მთელი რიცხვების გამრავლების კომუტაციური თვისების გამო. კონკრეტულ შემთხვევაში, როდესაც a=0, ნულისა და ნულის ნამრავლი ნულის ტოლია.

მთელი რიცხვების გამრავლებისთვის ასევე მართებულია წინა საპირისპირო თვისება. ამას ამტკიცებს ორი მთელი რიცხვის ნამრავლი ნულის ტოლია, თუ ერთი ფაქტორი მაინც ნულის ტოლია. პირდაპირი ფორმით ეს თვისება შეიძლება ჩაიწეროს შემდეგნაირად: a·b=0 , თუ ან a=0 , ან b=0 , ან ორივე a და b ერთდროულად ნულის ტოლია.

შეკრების მიმართ მთელი რიცხვების გამრავლების გამანაწილებელი თვისება

მთელი რიცხვების შეკრება და გამრავლება საშუალებას გვაძლევს განვიხილოთ შეკრების მიმართ გამრავლების გამანაწილებელი თვისება, რომელიც აკავშირებს ორ მითითებულ მოქმედებას. შეკრებისა და გამრავლების ერთად გამოყენება გვიხსნის დამატებით შესაძლებლობებს, რომლებიც დაგვაკლდა, თუ შეკრებას გამრავლებისგან განცალკევებით განვიხილავდით.

ასე რომ, გამრავლების გამანაწილებელი თვისება მიმატებასთან მიმართებაში ამბობს, რომ a მთელი რიცხვის ნამრავლი და a და b ორი მთელი რიცხვის ჯამი უდრის a და a c ნამრავლების ჯამს, ანუ, a (b+c)=a b+a c. იგივე თვისება შეიძლება დაიწეროს სხვა ფორმით: (a+b) c=a c+b გ .

შეკრებასთან მიმართებაში მთელი რიცხვების გამრავლების გამანაწილებელი თვისება, შეკრების ასოციაციურ თვისებასთან ერთად, შესაძლებელს ხდის განისაზღვროს მთელი რიცხვის გამრავლება სამი ან მეტი მთელი რიცხვის ჯამზე, შემდეგ კი მთელი რიცხვების ჯამის გამრავლება. ჯამი.

ასევე გაითვალისწინეთ, რომ მთელი რიცხვების შეკრებისა და გამრავლების ყველა სხვა თვისება შეიძლება მივიღოთ ჩვენ მიერ მითითებული თვისებებიდან, ანუ ისინი ზემოაღნიშნული თვისებების შედეგია.

მთელი რიცხვის გამოკლების თვისებები

მიღებული ტოლობიდან, ისევე როგორც მთელი რიცხვების შეკრებისა და გამრავლების თვისებებიდან გამომდინარეობს მთელი რიცხვების გამოკლების შემდეგი თვისებები (a, b და c არის თვითნებური მთელი რიცხვები):

მთელი რიცხვის გამოკლებას საერთოდ არ აქვს კომუტაციური თვისება: a−b≠b−a.
ტოლი მთელი რიცხვების სხვაობა ნულის ტოლია: a−a=0 .
მოცემული მთელი რიცხვიდან ორი მთელი რიცხვის ჯამის გამოკლების თვისება: a−(b+c)=(a−b)−c .
მთელი რიცხვის გამოკლების თვისება ორი მთელი რიცხვის ჯამს: (a+b)−c=(a−c)+b=a+(b−c) .
გამრავლების გამანაწილებელი თვისება გამოკლების მიმართ: a (b−c)=a b−a c და (a−b) c=a c−b c.
და მთელი რიცხვის გამოკლების ყველა სხვა თვისება.

მთელი რიცხვის გაყოფის თვისებები

მთელი რიცხვების გაყოფის მნიშვნელობაზე კამათით გავარკვიეთ, რომ რიცხვების გაყოფა არის გამრავლების შებრუნებული. ჩვენ მივეცით შემდეგი განმარტება: მთელი რიცხვების დაყოფა არის უცნობი ფაქტორის პოვნა ცნობილი პროდუქტით და ცნობილი ფაქტორით. ანუ, მთელ c რიცხვს ვუწოდებთ a-ის კოეფიციენტს, რომელიც იყოფა მთელ b-ზე, როცა c·b ნამრავლი უდრის a-ს.

ეს განმარტება, ისევე როგორც მთელ რიცხვებზე მოქმედებების ზემოაღნიშნული ყველა თვისება, საშუალებას გვაძლევს დავადგინოთ მთელი რიცხვების გაყოფის შემდეგი თვისებების მართებულობა:

არც ერთი მთელი რიცხვი არ შეიძლება გაიყოს ნულზე.
ნულის გაყოფის თვისება თვითნებურ არანულოვან მთელ რიცხვზე a : 0:a=0 .
ტოლი მთელი რიცხვების გაყოფის თვისება: a:a=1 , სადაც a არის ნებისმიერი არანულოვანი მთელი რიცხვი.
თვითნებური მთელი რიცხვის a ერთზე გაყოფის თვისება: a:1=a .
ზოგადად, მთელი რიცხვების დაყოფას არ აქვს კომუტაციური თვისება: a:b≠b:a.
ორი მთელი რიცხვის ჯამისა და სხვაობის მთელ რიცხვზე გაყოფის თვისებებია: (a+b):c=a:c+b:c და (a−b):c=a:c−b:c , სადაც a. , b და c ისეთი რიცხვებია, რომ a და b იყოფა c-ზე, ხოლო c არის ნულოვანი.
ორი მთელი რიცხვის a და b ნამრავლის გაყოფის თვისება არანულოვანი რიცხვით c : (a b):c=(a:c) b თუ a იყოფა c-ზე; (a b):c=a (b:c) თუ b იყოფა c-ზე; (a b):c=(a:c) b=a (b:c) თუ ორივე a და b იყოფა c-ზე.
a მთელი რიცხვის გაყოფის თვისება ორი მთელი რიცხვის ნამრავლზე b და c (რიცხვები a , b და c ისეთი, რომ a გაყოფა b c-ზე შესაძლებელია): a:(b c)=(a:b) c=(a :c ) ბ .
მთელი რიცხვის გაყოფის ნებისმიერი სხვა თვისება.

ერთი ნომრის მეორეზე დამატება საკმაოდ მარტივია. განვიხილოთ მაგალითი, 4+3=7. ეს გამოთქმა ნიშნავს, რომ ოთხ ერთეულს დაემატა სამი ერთეული და შედეგად მიიღეს შვიდი ერთეული.
3 და 4 რიცხვები, რომლებიც დავამატეთ, ეწოდება ვადები. და 7 რიცხვის დამატების შედეგი ეწოდება ჯამი.

ჯამიარის რიცხვების დამატება. პლუს ნიშანი "+".
პირდაპირი ფორმით, ეს მაგალითი ასე გამოიყურება:

a+b=გ

დამატებითი კომპონენტები:
ა- ვადა, ბ- ვადები, გ- ჯამი.
თუ 3 ერთეულს დავუმატებთ 4 ერთეულს, მაშინ შეკრების შედეგად მივიღებთ იგივე შედეგს, უდრის 7-ს.

ამ მაგალითიდან ჩვენ ვასკვნით, რომ რაც არ უნდა გავცვალოთ ტერმინები, პასუხი უცვლელი რჩება:

ტერმინების ამ თვისებას ე.წ დამატების კომუტაციური კანონი.

დამატების კომუტაციური კანონი.

ვადების ადგილების შეცვლით თანხა არ იცვლება.

პირდაპირი ნოტაციით, შემცვლელი კანონი ასე გამოიყურება:

a+b=ბ+ა

თუ გავითვალისწინებთ სამ წევრს, მაგალითად, ავიღოთ რიცხვები 1, 2 და 4. და შეკრებას ვასრულებთ ამ თანმიმდევრობით, ჯერ ვამატებთ 1 + 2 და შემდეგ მივამატებთ მიღებულ ჯამს 4, მივიღებთ გამონათქვამს:

(1+2)+4=7

ჩვენ შეგვიძლია პირიქით მოვიქცეთ, ჯერ დავამატოთ 2 + 4, შემდეგ კი მიღებულ რაოდენობას დავუმატოთ 1. ჩვენი მაგალითი ასე გამოიყურება:

1+(2+4)=7

პასუხი იგივე რჩება. ერთი და იგივე მაგალითის დამატების ორივე ტიპზე პასუხი იგივეა. ჩვენ ვასკვნით:

(1+2)+4=1+(2+4)

ამ დამატების თვისებას ე.წ დამატების ასოციაციური კანონი.

შეკრების კომუტაციური და ასოციაციური კანონი მუშაობს ყველა არაუარყოფით რიცხვზე.

დამატების ასოციაციური კანონი.

ორი რიცხვის ჯამს მესამე რიცხვის დასამატებლად შეგიძლიათ პირველ რიცხვს დაუმატოთ მეორე და მესამე რიცხვის ჯამი.

(a+ბ)+c=a+(ბ+გ)

ასოციაციური კანონი მოქმედებს ნებისმიერი რაოდენობის ტერმინებზე. ჩვენ ვიყენებთ ამ კანონს, როდესაც გვჭირდება რიცხვების დამატება მოსახერხებელი თანმიმდევრობით. მაგალითად, დავუმატოთ სამი რიცხვი 12, 6, 8 და 4. უფრო მოსახერხებელი იქნება ჯერ 12 და 8 დავამატოთ, შემდეგ კი მიღებულ ჯამს დავუმატოთ ორი 6 და 4 რიცხვის ჯამი.
(12+8)+(6+4)=30

დამატების თვისება ნულით.

როდესაც რიცხვს დაუმატებთ ნულს, შედეგი იგივე რიცხვია.

3+0=3
0+3=3
3+0=0+3

პირდაპირი გამოთქმით, ნულის დამატება ასე გამოიყურება:

a+0=ა
0+ a=ა

კითხვები ნატურალური რიცხვების შეკრების შესახებ:
მიმატების ცხრილი, შეადგინეთ და ნახეთ, როგორ მუშაობს შემცვლელი კანონის თვისება?
დამატების ცხრილი 1-დან 10-მდე შეიძლება ასე გამოიყურებოდეს:

დამატების ცხრილის მეორე ვერსია.

თუ შევხედავთ მიმატების ცხრილებს, დავინახავთ, თუ როგორ მუშაობს შემცვლელი კანონი.

გამოთქმაში a + b \u003d c, რა იქნება ჯამი?
პასუხი: ჯამი არის ტერმინების ჯამი. a+b და c.

გამოთქმაში a + b \u003d c ტერმინებში, რა იქნება?
პასუხი: a და b. პირობები არის რიცხვები, რომლებსაც ვამატებთ.

რა დაემართება რიცხვს, თუ მას დაუმატებთ 0-ს?
პასუხი: არაფერი, ნომერი არ შეიცვლება. როდესაც ნულს ემატება, რიცხვი იგივე რჩება, რადგან ნული არის ერთების არარსებობა.

რამდენი ტერმინი უნდა იყოს მაგალითში, რათა გამოიყენოს მიმატების ასოციაციური კანონი?
პასუხი: სამი ტერმინიდან და მეტი.

ჩაწერეთ შემცვლელი კანონი პირდაპირი მნიშვნელობით?
პასუხი: a+b=b+a

მაგალითები დავალებისთვის.
მაგალითი #1:
ჩამოწერეთ პასუხი წარმოდგენილი გამონათქვამებისთვის: ა) 15+7 ბ) 7+15
პასუხი: ა) 22 ბ) 22

მაგალითი #2:
კომბინაციის კანონის გამოყენება ტერმინებზე: 1+3+5+2+9
1+3+5+2+9=(1+9)+(5+2)+3=10+7+3=10+(7+3)=10+10=20
პასუხი: 20.

მაგალითი #3:
ამოხსენი გამოთქმა:
ა) 5921+0 ბ) 0+5921
გადაწყვეტილება:
ა) 5921+0 =5921
ბ) 0+5921=5921

Ისე, ზოგადად, ნატურალური რიცხვების გამოკლებას არ გააჩნია შემცვლელი თვისება. მოდით დავწეროთ ეს განცხადება ასოებით. თუ a და b არათანაბარი ნატურალური რიცხვებია, მაშინ a−b≠b−a. მაგალითად, 45−21≠21−45 .

ნატურალურ რიცხვს ორი რიცხვის ჯამის გამოკლების თვისება.

შემდეგი თვისება დაკავშირებულია ნატურალური რიცხვიდან ორი რიცხვის ჯამის გამოკლებასთან. მოდით შევხედოთ მაგალითს, რომელიც მოგვცემს ამ თვისების გაგებას.

წარმოიდგინეთ, რომ ხელში 7 მონეტა გვაქვს. ჩვენ ჯერ გადავწყვიტეთ შევინახოთ 2 მონეტა, მაგრამ ვფიქრობთ, რომ ეს საკმარისი არ იქნება, გადავწყვიტეთ კიდევ ერთი მონეტა შევინახოთ. ნატურალური რიცხვების შეკრების მნიშვნელობიდან გამომდინარე, შეიძლება ითქვას, რომ ამ შემთხვევაში გადავწყვიტეთ შევინახოთ მონეტების რაოდენობა, რომელიც განისაზღვრება ჯამით 2 + 1. ასე რომ, ვიღებთ ორ მონეტას, ვამატებთ კიდევ ერთ მონეტას და ვდებთ ყულაბაში. ამ შემთხვევაში ჩვენს ხელში დარჩენილი მონეტების რაოდენობა განისაზღვრება 7−(2+1) სხვაობით.

ახლა წარმოვიდგინოთ, რომ გვაქვს 7 მონეტა და ყულაბაში ჩავდოთ 2 მონეტა და ამის შემდეგ - კიდევ ერთი მონეტა. მათემატიკურად, ეს პროცესი აღწერილია შემდეგი რიცხვითი გამოსახულებით: (7−2)−1.

თუ ჩავთვლით ხელებში დარჩენილ მონეტებს, მაშინ პირველ და მეორე შემთხვევაში გვაქვს 4 მონეტა. ანუ 7−(2+1)=4 და (7−2)−1=4, ანუ 7−(2+1)=(7−2)−1.

განხილული მაგალითი საშუალებას გვაძლევს ჩამოვაყალიბოთ მოცემული ნატურალური რიცხვიდან ორი რიცხვის ჯამის გამოკლების თვისება. მოცემული ნატურალური რიცხვის გამოკლება ორი ნატურალური რიცხვის მოცემული ჯამის იგივეა, რაც ამ ჯამის პირველი წევრის გამოკლება მოცემულ ნატურალურ რიცხვს, შემდეგ კი მეორე წევრის გამოკლება მიღებული სხვაობიდან.

შეგახსენებთ, რომ ნატურალური რიცხვების გამოკლებას მნიშვნელობა მივეცით მხოლოდ იმ შემთხვევისთვის, როდესაც მინუენდი მეტია ქვეტრაენდზე, ან მისი ტოლი. მაშასადამე, მოცემულ ნატურალურ რიცხვს შეგვიძლია გამოვაკლოთ მოცემული ჯამი მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ეს ჯამი არ აღემატება შემცირებულ ნატურალურ რიცხვს. გაითვალისწინეთ, რომ ამ პირობით, თითოეული წევრი არ აღემატება იმ ნატურალურ რიცხვს, რომელსაც აკლდება ჯამი.

ასოების გამოყენებით მოცემული ნატურალური რიცხვიდან ორი რიცხვის ჯამის გამოკლების თვისება იწერება ტოლობის სახით. a−(b+c)=(a−b)−c, სადაც a , b და c არის რამდენიმე ნატურალური რიცხვი და დაკმაყოფილებულია პირობები a>b+c ან a=b+c.

განხილული თვისება, ისევე როგორც ნატურალური რიცხვების შეკრების ასოციაციური თვისება, საშუალებას გაძლევთ გამოკლოთ სამი ან მეტი რიცხვის ჯამი მოცემულ ნატურალურ რიცხვს.

ნატურალური რიცხვის გამოკლების თვისება ორი რიცხვის ჯამს.

გადავდივართ შემდეგ თვისებაზე, რომელიც დაკავშირებულია ორი ნატურალური რიცხვის მოცემული ჯამიდან მოცემული ნატურალური რიცხვის გამოკლებასთან. განვიხილოთ მაგალითები, რომლებიც დაგვეხმარება ნატურალური რიცხვის გამოკლების ამ თვისების „დანახვაში“ ორი რიცხვის ჯამს.

დავუშვათ, რომ პირველ ჯიბეში გვაქვს 3 კანფეტი, ხოლო მეორეში 5 კანფეტი და უნდა მივცეთ 2 კანფეტი. ჩვენ შეგვიძლია ამის გაკეთება სხვადასხვა გზით. ავიღოთ ისინი თავის მხრივ.

ჯერ შეგვიძლია ყველა კანფეტი ერთ ჯიბეში ჩავდოთ, შემდეგ 2 კანფეტი ამოვიღოთ და მივცეთ. მოდით აღვწეროთ ეს მოქმედებები მათემატიკურად. მას შემდეგ, რაც კანფეტებს ერთ ჯიბეში ჩავყრით, მათი რაოდენობა განისაზღვრება 3 + 5 ჯამით. ახლა კანფეტების მთლიანი რაოდენობისგან ვაჩუქებთ 2 კანფეტს, ხოლო დარჩენილი კანფეტების რაოდენობა განისაზღვრება შემდეგი სხვაობით (3+5)−2.

მეორეც, შეგვიძლია გავაჩუქოთ 2 კანფეტი პირველი ჯიბიდან ამოღებით. ამ შემთხვევაში სხვაობა 3−2 განსაზღვრავს კანფეტების დარჩენილ რაოდენობას პირველ ჯიბეში, ხოლო კანფეტების ჯამური რაოდენობა, რომელიც დაგვრჩა, განვსაზღვრავთ ჯამით (3−2)+5.

მესამე, მეორე ჯიბიდან შეგვიძლია ვაჩუქოთ 2 კანფეტი. მაშინ სხვაობა 5−2 შეესატყვისება მეორე ჯიბეში დარჩენილი კანფეტების რაოდენობას, ხოლო დარჩენილი კანფეტების რაოდენობა განისაზღვრება ჯამით 3+(5−2) .

გასაგებია, რომ ყველა შემთხვევაში ერთნაირი ტკბილეული გვექნება. მაშასადამე, ტოლობები (3+5)−2=(3−2)+5=3+(5−2) მართებულია.

თუ არა 2, არამედ 4 კანფეტის მიცემა მოგვიწია, მაშინ ეს ორი გზით შეგვეძლო. პირველ რიგში, აჩუქეთ 4 კანფეტი, მანამდე ყველა ერთ ჯიბეში ჩადეთ. ამ შემთხვევაში ტკბილეულის დარჩენილი რაოდენობა განისაზღვრება ისეთი გამოსახულებით, როგორიცაა (3+5)−4. მეორეც, მეორე ჯიბიდან 4 კანფეტის გაცემა შეგვეძლო. ამ შემთხვევაში, კანფეტების საერთო რაოდენობა იძლევა შემდეგ ჯამს 3+(5−4) . გასაგებია, რომ პირველ და მეორე შემთხვევაში გვექნება ერთნაირი რაოდენობის ტკბილეული, შესაბამისად, ტოლობა (3+5)−4=3+(5−4) მართალია.

წინა მაგალითების ამოხსნისას მიღებული შედეგების გაანალიზების შემდეგ შეგვიძლია ჩამოვაყალიბოთ მოცემული ნატურალური რიცხვის გამოკლების თვისება ორი რიცხვის მოცემულ ჯამს. მოცემული ნატურალური რიცხვის გამოკლება ორი რიცხვის მოცემულ ჯამს იგივეა, რაც მოცემული რიცხვის გამოკლება ერთ-ერთ წევრს და შემდეგ მიღებულ განსხვავებას და მეორე წევრს. გასათვალისწინებელია, რომ გამოკლებული რიცხვი არ უნდა იყოს მეტი იმ ტერმინზე, რომელსაც ეს რიცხვი აკლდება.

დავწეროთ ნატურალური რიცხვის გამოკლების თვისება ჯამს ასოების გამოყენებით. მოდით a, b და c იყოს რამდენიმე ნატურალური რიცხვი. შემდეგ, იმ პირობით, რომ a მეტია ან ტოლია c-ზე, მაშინ ტოლობა (a+b)−c=(a−c)+bდა იმ პირობით, რომ b მეტია ან ტოლია c-ზე, ტოლობა (a+b)−c=a+(b−c). თუ ორივე a და b მეტია ან ტოლია c-ზე, მაშინ ორივე ბოლო ტოლობა ჭეშმარიტია და ისინი შეიძლება ჩაიწეროს შემდეგნაირად: (a+b)−c=(a−c)+b= a+(b−c) .

ანალოგიით, შეიძლება ჩამოყალიბდეს ნატურალური რიცხვის გამოკლების თვისება სამი ან მეტი რიცხვის ჯამიდან. ამ შემთხვევაში, ეს ნატურალური რიცხვი შეიძლება გამოკლდეს ნებისმიერ წევრს (რა თქმა უნდა, თუ ის მეტია ან ტოლია გამოკლებულ რიცხვზე), ხოლო დანარჩენი წევრები შეიძლება დაემატოს მიღებულ განსხვავებას.

გაჟღერებული ქონების ვიზუალიზაციისთვის შეგვიძლია წარმოვიდგინოთ, რომ ჩვენ ბევრი ჯიბე გვაქვს და მათში ტკბილეულია. დავუშვათ, ჩვენ უნდა მივცეთ 1 კანფეტი. გასაგებია, რომ ნებისმიერი ჯიბიდან შეგვიძლია მივცეთ 1 კანფეტი. ამავდროულად, არ აქვს მნიშვნელობა რომელი ჯიბიდან ვაძლევთ მას, რადგან ეს გავლენას არ ახდენს ჩვენს დარჩენილი ტკბილეულის რაოდენობაზე.

ავიღოთ მაგალითი. მოდით a , b , c და d იყოს რამდენიმე ნატურალური რიცხვი. თუ a>d ან a=d , მაშინ სხვაობა (a+b+c)−d უდრის (a−d)+b+c ჯამის. თუ b>d ან b=d, მაშინ (a+b+c)−d=a+(b−d)+c. თუ c>d ან c=d , მაშინ ტოლობა (a+b+c)−d=a+b+(c−d) მართალია.

უნდა აღინიშნოს, რომ ნატურალური რიცხვის გამოკლების თვისება სამი ან მეტი რიცხვის ჯამიდან არ არის ახალი თვისება, ვინაიდან იგი გამომდინარეობს ნატურალური რიცხვების შეკრების თვისებებიდან და ორი რიცხვის ჯამიდან რიცხვის გამოკლების თვისებიდან.

ბიბლიოგრაფია.

მათემატიკა. ნებისმიერი სახელმძღვანელო საგანმანათლებლო დაწესებულებების 1, 2, 3, 4 კლასებისთვის.
მათემატიკა. საგანმანათლებლო დაწესებულებების 5 კლასის ნებისმიერი სახელმძღვანელო.

მთელი რიცხვები

დათვლისთვის გამოყენებული რიცხვები ეწოდება ნატურალური რიცხვებინომერი ნულიარ ვრცელდება ნატურალურ რიცხვებზე.

ცალსახანომრები: 1,2,3,4,5,6,7,8,9 ორნიშნა რიცხვი: 24.56 და ა.შ. სამნიშნა: 348,569 და ა.შ. პოლისემანტიური: 23,562,456789 და ა.შ.

რიცხვის დაყოფა 3 ციფრიან ჯგუფებად, მარჯვნიდან დაწყებული, ე.წ კლასები: პირველი სამი ციფრი არის ერთეულების კლასი, შემდეგი სამი ციფრი არის ათასობით კლასი, შემდეგ მილიონები და ა.შ.

სეგმენტიმოვუწოდებთ A წერტილიდან B წერტილამდე შედგენილ ხაზს. მოვუწოდებთ AB ან BA A B AB მონაკვეთის სიგრძეს ე.წ. მანძილი A და B წერტილებს შორის.

სიგრძის ერთეული:

1) 10 სმ = 1 დმ

2) 100 სმ = 1 მ

3) 1სმ=10მმ

4) 1 კმ = 1000 მ

თვითმფრინავიარის ზედაპირი, რომელსაც არ აქვს კიდეები, ვრცელდება განუსაზღვრელი ვადით ყველა მიმართულებით. პირდაპირარ აქვს დასაწყისი და დასასრული. ორი ხაზი, რომელსაც აქვს ერთი საერთო წერტილი იკვეთება. რეი- ეს არის სწორი ხაზის ნაწილი, რომელსაც აქვს დასაწყისი და დასასრული (OA და OB). სხივებს, რომლებშიც წერტილი ყოფს წრფეს, ეწოდება დამატებითიერთმანეთი.

საკოორდინატო სხივი:

0 1 2 3 4 5 6 O E A B X O(0), E(1), A(2), B(3) – წერტილის კოორდინატები. ორი ნატურალური რიცხვიდან ის, რომელსაც დათვლისას უფრო ადრე ეძახიან, უფრო მცირეა და უფრო გვიან, უფრო დიდი. ერთი არის უმცირესი ნატურალური რიცხვი. ორი რიცხვის შედარების შედეგი იწერება უტოლობად: 5< 8, 5670 >368. რიცხვი 8 28-ზე ნაკლები და 5-ზე მეტი შეიძლება დაიწეროს ორმაგ უტოლობად: 5.< 8 < 28

ნატურალური რიცხვების შეკრება და გამოკლება

დამატება

რიცხვებს, რომლებიც იკრიბებიან, ეწოდება ტერმინები. შეკრების შედეგს ჯამი ეწოდება.

დანამატის თვისებები:

1. გადაადგილების ქონება:რიცხვების ჯამი არ იცვლება ტერმინების გადალაგებისას: a + b = b + a(a და b არის ნებისმიერი ნატურალური რიცხვი და 0) 2. ასოციაციური თვისება:რიცხვს ორი რიცხვის ჯამის დასამატებლად, ჯერ შეგიძლიათ დაამატოთ პირველი წევრი, შემდეგ კი მეორე წევრი მიღებულ ჯამს: a + (b + c) = (a + b) + c = a + b + c(a, b და c არის ნებისმიერი ნატურალური რიცხვი და 0).

3. შეკრება ნულით:ნულის დამატება არ ცვლის რიცხვს:

a + 0 = 0 + a = a(a არის ნებისმიერი ნატურალური რიცხვი).

მრავალკუთხედის გვერდების სიგრძეთა ჯამი ეწოდება ამ მრავალკუთხედის პერიმეტრი.

გამოკლება

მოქმედებას, რომლითაც ჯამი და ერთ-ერთი ტერმინი სხვა ტერმინს პოულობს, ეწოდება გამოკლება.

გამოკლებული რიცხვი ეწოდება შემცირებული, რიცხვს, რომელსაც აკლებს ქვია გამოიქვითება, გამოკლების შედეგი ეწოდება განსხვავება.ორ რიცხვს შორის განსხვავება გვიჩვენებს რამდენს პირველინომერი მეტიმეორე ან რამდენი მეორენომერი უფრო პატარაპირველი.

გამოკლების თვისებები:

1. რიცხვიდან ჯამის გამოკლების თვისება: რიცხვს ჯამის გამოკლების მიზნით, შეგიძლიათ ჯერ გამოაკლოთ პირველი წევრი ამ რიცხვს, შემდეგ კი მეორე წევრი გამოაკლოთ მიღებულ განსხვავებას:

a - (b + c) = (a - b) -თან= a – b –თან(b + c > a ან b + c = a).

2. რიცხვის ჯამიდან გამოკლების თვისება: რიცხვის ჯამს რომ გამოაკლოთ, შეგიძლიათ გამოაკლოთ ის ერთ წევრს და მიღებულ განსხვავებას კიდევ დაამატოთ

(a + b) - c \u003d a + (b - c), თუ ერთად< b или с = b

(a + b) - c \u003d (a - c) + b, თუ ერთად< a или с = a.

3. ნულოვანი გამოკლების თვისება: თუ რიცხვს გამოაკლებ ნულს, ის არ შეიცვლება:

a - 0 = a(a არის ნებისმიერი ბუნებრივი რიცხვი)

4. გამოკლების თვისება იმავე რიცხვიდან: თუ ამ რიცხვს გამოაკლებთ რიცხვს, მიიღებთ ნულს:

a - a = 0(a არის ნებისმიერი ნატურალური რიცხვი).

რიცხვითი და ანბანური გამონათქვამები

მოქმედების ჩანაწერებს რიცხვითი გამონათქვამები ეწოდება. ყველა ამ მოქმედების შესრულების შედეგად მიღებულ რიცხვს გამოხატვის მნიშვნელობა ეწოდება.

ნატურალური რიცხვების გამრავლება და გაყოფა

ნატურალური რიცხვების გამრავლება და მისი თვისებები

M რიცხვის გამრავლება n ბუნებრივ რიცხვზე ნიშნავს n წევრის ჯამის პოვნას, რომელთაგან თითოეული უდრის m.

გამოსახულებას m · n და ამ გამოხატვის მნიშვნელობას ეწოდება m და n რიცხვების ნამრავლი. რიცხვებს m და n ფაქტორებს უწოდებენ.

გამრავლების თვისებები:

1. გამრავლების კომუტაციური თვისება: ორი რიცხვის ნამრავლი არ იცვლება ფაქტორების გადალაგებისას:

a b = b a

2. გამრავლების ასოციაციური თვისება: რიცხვის გასამრავლებლად ორი რიცხვის ნამრავლზე, შეგიძლიათ ჯერ გაამრავლოთ ის პირველ ფაქტორზე, შემდეგ კი მიღებული ნამრავლი გაამრავლოთ მეორე ფაქტორზე:

a (b c) = (a b) c.

3. ერთზე გამრავლების თვისება: n წევრის ჯამი, რომელთაგან თითოეული უდრის 1-ს, უდრის n-ს:

1 n = n

4. ნულზე გამრავლების თვისება: n წევრის ჯამი, რომელთაგან თითოეული ნულის ტოლია, ნულის ტოლია:

0 n = 0

გამრავლების ნიშანი შეიძლება გამოტოვოთ: 8 x = 8x,

ან a b = ab,

ან a (b + c) = a (b + c)

განყოფილება

მოქმედებას, რომლითაც პროდუქტი და ერთ-ერთი ფაქტორი აღმოაჩენს სხვა ფაქტორს, ეწოდება გაყოფა.

რიცხვი, რომელიც იყოფა, ეწოდება გაყოფადი; რიცხვი, რომლითაც იგი იყოფა, ეწოდება გამყოფი, გაყოფის შედეგი ეწოდება კერძო.

კოეფიციენტი გვიჩვენებს რამდენჯერ აღემატება დივიდენდი გამყოფს.

ნულზე ვერ გაყოფ!

განყოფილების თვისებები:

1. რომელიმე რიცხვის 1-ზე გაყოფისას ერთი და იგივე რიცხვი მიიღება:

a: 1 = a.

2. რიცხვის იმავე რიცხვზე გაყოფისას ერთეული მიიღება:

a: a = 1.

3. როდესაც ნულს ყოფთ რიცხვზე, მიიღებთ ნულს:

0: a = 0.

უცნობი ფაქტორის მოსაძებნად, თქვენ უნდა გაყოთ პროდუქტი სხვა ფაქტორზე. 5x = 45 x = 45: 5 x = 9

უცნობი დივიდენდის საპოვნელად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ კოეფიციენტი გამყოფზე. x: 15 = 3 x = 3 15 x = 45

უცნობი გამყოფის საპოვნელად, დივიდენდი გაყავით კოეფიციენტზე. 48: x = 4 x = 48: 4 x = 12

გაყოფა ნაშთით

ნაშთი ყოველთვის ნაკლებია გამყოფზე.

თუ ნაშთი არის ნული, მაშინ ჩვენ ვამბობთ, რომ დივიდენდი იყოფა გამყოფზე ნაშთის გარეშე ან, სხვა შემთხვევაში, მთლიანად. ნაშთით გაყოფისას a დივიდენდის საპოვნელად საჭიროა არასრული c კოეფიციენტის გამრავლება b გამყოფზე და ნაშთი d მივამატოთ მიღებულ ნამრავლს.

a = c b + d

გამოხატვის გამარტივება

გამრავლების თვისებები:

1. გამრავლების გამანაწილებელი თვისება შეკრებასთან მიმართებაში: ჯამის რიცხვზე გასამრავლებლად შეგიძლიათ თითოეული წევრი გაამრავლოთ ამ რიცხვზე და დაამატოთ მიღებული ნამრავლები:

(a + b)c = ac + bc.

2. გამრავლების გამანაწილებელი თვისება გამოკლებასთან მიმართებაში: სხვაობის გასამრავლებლად რიცხვზე, შეგიძლიათ გაამრავლოთ მინუენდი და ქვეტრაჰენდი ამ რიცხვზე და გამოაკლოთ მეორე პირველ ნამრავლს:

(a - b)c \u003d ac - ძვ.

3a + 7a = (3 + 7)a = 10a

მოქმედებების თანმიმდევრობა

რიცხვების შეკრებას და გამოკლებას ეწოდება პირველი საფეხურის მოქმედებები, ხოლო რიცხვების გამრავლება და გაყოფა - მეორე საფეხურის მოქმედებები.

მოქმედებების თანმიმდევრობის წესები:

1. თუ გამოსახულებაში არ არის ფრჩხილები და შეიცავს მხოლოდ ერთი ეტაპის მოქმედებებს, მაშინ ისინი შესრულებულია თანმიმდევრობით მარცხნიდან მარჯვნივ.

2. თუ გამოთქმა შეიცავს პირველი და მეორე საფეხურის მოქმედებებს და მასში არ არის ფრჩხილები, მაშინ ჯერ სრულდება მეორე საფეხურის მოქმედებები, შემდეგ პირველი საფეხურის მოქმედებები.

3. თუ გამოთქმა შეიცავს ფრჩხილებს, მაშინ ჯერ შეასრულეთ მოქმედებები ფრჩხილებში (1 და 2 წესების გათვალისწინებით)

თითოეული გამონათქვამი განსაზღვრავს მისი გაანგარიშების პროგრამას. იგი შედგება ბრძანებებისგან.

ხარისხი. კვადრატული და კუბური რიცხვები

ნამრავლი, რომელშიც ყველა ფაქტორი ერთმანეთის ტოლია, უფრო მოკლედ იწერება: a · a · a · a · a · a = a6 წაიკითხეთ: a მეექვსე ხარისხამდე. რიცხვს a ეწოდება ხარისხის ფუძე, რიცხვი 6 არის მაჩვენებელი, ხოლო გამოსახულებას a6 ეწოდება ხარისხი.

n-ისა და n-ის ნამრავლს ეწოდება n-ის კვადრატი და აღინიშნება n2-ით (en კვადრატში):

n2 = n n

ნამრავლს n n n ეწოდება n რიცხვის კუბი და აღინიშნება n3-ით (en კუბურები): n3 = n n n

რიცხვის პირველი ხარისხი უდრის თავად რიცხვს. თუ რიცხვითი გამოხატულება მოიცავს რიცხვების ძალას, მაშინ მათი მნიშვნელობები გამოითვლება სხვა მოქმედებების შესრულებამდე.

ფართობები და მოცულობები

ასოების გამოყენებით წესის დაწერას ფორმულა ეწოდება. ბილიკის ფორმულა:

s = vt,სადაც s არის გზა, v არის სიჩქარე, t არის დრო.

v=s:t

t=s:v

მოედანი. მართკუთხედის ფართობის ფორმულა.

მართკუთხედის ფართობის საპოვნელად, გაამრავლეთ მისი სიგრძე მის სიგანეზე. S=ab,სადაც S არის ფართობი, a არის სიგრძე, b არის სიგანე

ორ ფიგურას ტოლი ეწოდება, თუ ერთ-ერთი მათგანი შეიძლება მეორეზე გადაიტანოს ისე, რომ ეს ფიგურები ემთხვეოდეს. თანაბარი ფიგურების ფართობი ტოლია. თანმიმდევრული ფიგურების პერიმეტრი ტოლია.

მთელი ფიგურის ფართობი უდრის მისი ნაწილების ფართობების ჯამს. თითოეული სამკუთხედის ფართობი არის მთელი მართკუთხედის ფართობის ნახევარი.

მოედანიარის მართკუთხედი თანაბარი გვერდებით.

კვადრატის ფართობი უდრის მისი მხარის კვადრატს:

ტერიტორიის ერთეულები

კვადრატული მილიმეტრი - მმ2

კვადრატული სანტიმეტრი - სმ2

კვადრატული დეციმეტრი - დმ2

კვადრატული მეტრი -მ2

კვადრატული კილომეტრი - კმ2

მინდვრის ფართობი იზომება ჰექტარში (ჰა). ჰექტარი არის კვადრატის ფართობი, რომლის გვერდია 100 მ.

მცირე მიწის ნაკვეთების ფართობები იზომება არებში (a).

Ar (ქსოვა) - კვადრატის ფართობი, რომლის გვერდია 10 მ.

1 ჰა = 10000 მ2

1 დმ2 = 100 სმ2

1 მ2 = 100 დმ2 = 10 000 სმ2

თუ მართკუთხედის სიგრძე და სიგანე იზომება სხვადასხვა ერთეულებში, მაშინ ისინი უნდა იყოს გამოხატული იმავე ერთეულებში ფართობის გამოსათვლელად.

კუბოიდური

კუბოიდის ზედაპირი შედგება 6 მართკუთხედისაგან, რომელთაგან თითოეულს სახე ეწოდება.

კუბოიდის საპირისპირო სახეები ტოლია.

სახეების გვერდები ე.წ პარალელეპიპედური კიდეებიდა სახეების წვეროები პარალელეპიპედის წვეროები.

კუბოიდს აქვს 12 კიდე და 8 წვერო.

კუბოიდს აქვს სამი განზომილება სიგრძე, სიგანე და სიმაღლე

კუბიარის მართკუთხა პარალელეპიპედი იგივე ზომებით. კუბის ზედაპირი შედგება 6 თანაბარი კვადრატისაგან.

კუბოიდის მოცულობა: კუბოიდის მოცულობის საპოვნელად, გაამრავლეთ მისი სიგრძე სიგანეზე მის სიმაღლეზე.

V=abc, V – მოცულობა, a სიგრძე, b – სიგანე, c – სიმაღლე

კუბის მოცულობა:

მოცულობის ერთეული:

კუბური მილიმეტრი - მმ3

კუბური სანტიმეტრი - სმ3

კუბური დეციმეტრი - dm3

კუბური მეტრი - მმ3

კუბური კილომეტრი - კმ3

1 მ3 = 1000 დმ3 = 1000 ლ

1 ლ = 1 დმ3 = 1000 სმ3

1 სმ3 = 1000 მმ3 1 კმ3 = 1 000 000 000 მ3

წრე და წრე

დახურულ ხაზს, რომელიც არის მოცემული წერტილიდან იმავე მანძილზე, წრე ეწოდება.

სიბრტყის ნაწილს, რომელიც წრის შიგნით მდებარეობს, წრე ეწოდება.

ამ წერტილს უწოდებენ როგორც წრის, ასევე წრის ცენტრს.

ხაზის სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს წრის ცენტრს წრის ნებისმიერ წერტილთან, ეწოდება წრის რადიუსი.

წრფის სეგმენტს, რომელიც აკავშირებს წრეზე ორ წერტილს და გადის მის ცენტრში, ეწოდება წრის დიამეტრი.

დიამეტრი უდრის ორ რადიუსს.

შეიძლება აღინიშნოს ამ მოქმედების თანდაყოლილი რამდენიმე შედეგი. ამ შედეგებს ე.წ ნატურალური რიცხვების შეკრების თვისებები. ამ სტატიაში დეტალურად გავაანალიზებთ ნატურალური რიცხვების შეკრების თვისებებს, დავწერთ მათ ასოების გამოყენებით და მოვიყვანთ განმარტებით მაგალითებს.

გვერდის ნავიგაცია.

ნატურალური რიცხვების შეკრების ასოციაციური თვისება.

ახლა ჩვენ ვაძლევთ მაგალითს, რომელიც ასახავს ნატურალური რიცხვების შეკრების ასოციაციურ თვისებას.

წარმოიდგინეთ სიტუაცია: პირველი ვაშლის ხიდან 1 ვაშლი ჩამოვარდა, მეორე ვაშლის ხიდან კი 2 ვაშლი და კიდევ 4 ვაშლი. ახლა განიხილეთ შემდეგი სიტუაცია: 1 ვაშლი და კიდევ 2 ვაშლი ჩამოვარდა პირველი ვაშლის ხისგან, ხოლო 4 ვაშლი ჩამოვარდა მეორე ვაშლის ხისგან. გასაგებია, რომ ერთნაირი რაოდენობის ვაშლი იქნება ადგილზე როგორც პირველ, ასევე მეორე შემთხვევაში (რისი გადამოწმებაც შესაძლებელია ხელახალი გაანგარიშებით). ანუ 2 და 4 რიცხვების ჯამს 1 რიცხვის მიმატების შედეგი უდრის 4 რიცხვში 1 და 2 რიცხვების ჯამის დამატების შედეგს.

განხილული მაგალითი საშუალებას გვაძლევს ჩამოვაყალიბოთ ნატურალური რიცხვების შეკრების ასოციაციური თვისება: მოცემულ რიცხვს ორი რიცხვის მოცემული ჯამის დასამატებლად, შეგიძლიათ ამ ჯამის პირველი წევრი დაუმატოთ ამ რიცხვს და დაამატოთ მეორე წევრი. ეს თანხა მიღებულ შედეგს. ეს თვისება შეიძლება დაიწეროს შემდეგი ასოების გამოყენებით: a+(b+c)=(a+b)+c, სადაც a , b და c არის თვითნებური ნატურალური რიცხვები.

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ ტოლობაში a+(b+c)=(a+b)+c არის ფრჩხილები "(" და ")". ფრჩხილები გამოიყენება გამონათქვამებში, რათა მიუთითონ მოქმედებების შესრულების თანმიმდევრობა - მოქმედებები ფრჩხილებში შესრულებულია პირველ რიგში (დაწვრილებით ამის შესახებ განყოფილებაში). სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ფრჩხილებში შედის გამონათქვამები, რომელთა მნიშვნელობები პირველ რიგში ფასდება.

ამ აბზაცის დასასრულს აღვნიშნავთ, რომ შეკრების ასოციაციური თვისება საშუალებას გვაძლევს ცალსახად განვსაზღვროთ სამი, ოთხი და მეტი ნატურალური რიცხვის შეკრება.

ნულისა და ნატურალური რიცხვის დამატების თვისება, ნულის ნულზე დამატების თვისება.

ჩვენ ვიცით, რომ ნული არ არის ნატურალური რიცხვი. მაშ, რატომ გადავწყვიტეთ ამ სტატიაში გავითვალისწინოთ ნულისა და ნატურალური რიცხვის შეკრების თვისება? ამის სამი მიზეზი არსებობს. პირველი: ეს თვისება გამოიყენება სვეტში ნატურალური რიცხვების დამატებისას. მეორე: ეს თვისება გამოიყენება ნატურალური რიცხვების გამოკლებისას. მესამე: თუ ჩავთვლით, რომ ნული ნიშნავს რაიმეს არარსებობას, მაშინ ნულისა და ნატურალური რიცხვის შეკრების მნიშვნელობა ემთხვევა ორი ნატურალური რიცხვის შეკრების მნიშვნელობას.

განვახორციელოთ მსჯელობა, რომელიც დაგვეხმარება ნულისა და ნატურალური რიცხვის შეკრების თვისების ჩამოყალიბებაში. წარმოიდგინეთ, რომ ყუთში არ არის ელემენტი (სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ყუთში არის 0 ელემენტი) და მასში მოთავსებულია ნივთები, სადაც a არის ნებისმიერი ნატურალური რიცხვი. ანუ დაემატა 0 და ელემენტი. ნათელია, რომ ამ მოქმედების შემდეგ ყუთში არის ნივთები. მაშასადამე, ტოლობა 0+a=a მართალია.

ანალოგიურად, თუ ყუთი შეიცავს ერთეულს და მას ემატება 0 ელემენტი (ანუ არ არის დამატებული), მაშინ ამ მოქმედების შემდეგ ელემენტი იქნება ყუთში. ასე რომ, a+0=a.

ახლა შეგვიძლია განვაცხადოთ ნულისა და ნატურალური რიცხვის მიმატების თვისება: ორი რიცხვის ჯამი, რომელთაგან ერთი არის ნული, უდრის მეორე რიცხვს. მათემატიკურად, ეს თვისება შეიძლება დაიწეროს შემდეგი ტოლობის სახით: 0+a=aან a+0=a, სადაც a არის თვითნებური ნატურალური რიცხვი.

ცალკე ვაქცევთ ყურადღებას, რომ ნატურალური რიცხვისა და ნულის შეკრებისას ჭეშმარიტი რჩება შეკრების კომუტაციური თვისება, ანუ a+0=0+a .

და ბოლოს, ჩვენ ვაყალიბებთ ნულოვანი ნულოვანი დამატების თვისებას (ეს საკმაოდ აშკარაა და არ საჭიროებს დამატებით კომენტარს): ორი რიცხვის ჯამი, რომლებიც თითოეული ნულია, არის ნული. ე.ი. 0+0=0 .

ახლა დროა გავარკვიოთ, როგორ ხდება ნატურალური რიცხვების შეკრება.