წილადს უწოდებენ სწორითუ მრიცხველის უმაღლესი ხარისხი ნაკლებია მნიშვნელის უმაღლეს ხარისხზე. სწორი რაციონალური წილადის ინტეგრალს აქვს ფორმა:

$$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$

რაციონალური წილადების ინტეგრირების ფორმულა დამოკიდებულია მრავალწევრის ფესვებზე მნიშვნელში. თუ მრავალწევრს $ax^2+bx+c $ აქვს:

1. მხოლოდ რთული ფესვები, მაშინ მისგან უნდა აირჩიოთ სრული კვადრატი: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(mx+n)(x^ 2 \pm a ^2) $$
2. განსხვავებული რეალური ფესვები $ x_1 $ და $ x_2 $, შემდეგ თქვენ უნდა გააფართოვოთ ინტეგრალი და იპოვოთ განუსაზღვრელი კოეფიციენტები $ A $ და $ B $: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c ) dx = \int \frac(A)(x-x_1) dx + \int \frac(B)(x-x_2) dx $$
3. ერთი მრავალჯერადი ფესვი $ x_1 $, შემდეგ გავაფართოვებთ ინტეგრალს და ვიპოვით განუსაზღვრელი კოეფიციენტები $ A $ და $ B $ ამ ფორმულისთვის: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(A)((x-x_1)^2)dx + \int \frac(B)(x-x_1) dx $$

თუ წილადი არის არასწორიანუ, მრიცხველში უმაღლესი ხარისხი მეტია ან ტოლია მნიშვნელის უმაღლეს ხარისხზე, მაშინ ჯერ ის უნდა შემცირდეს სწორიგონება მრიცხველისგან მრავალწევრზე მნიშვნელის მრავალწევრზე გაყოფით. ამ შემთხვევაში რაციონალური წილადის ინტეგრირების ფორმულა არის:

$$ \int \frac(P(x))(ax^2+bx+c)dx = \int Q(x) dx + \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$

გადაწყვეტის მაგალითები

მაგალითი 1

იპოვეთ რაციონალური წილადის ინტეგრალი: $$ \int \frac(dx)(x^2-10x+16) $$

გადაწყვეტილება

წილადი რეგულარულია და მრავალწევრს აქვს მხოლოდ რთული ფესვები. ამიტომ, ჩვენ ვირჩევთ სრულ კვადრატს: $$ \int \frac(dx)(x^2-10x+16) = \int \frac(dx)(x^2-2\cdot 5 x+ 5^2 - 9) = $$ ჩვენ ვაფუჭებთ სრულ კვადრატს და ვაჯამებთ დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ $ x-5 $: $$ = \int \frac(dx)((x-5)^2 - 9) = \int \frac(d(x-5))((x-5)^2-9) = $$ ინტეგრალების ცხრილის გამოყენებით ვიღებთ: $$ = \frac(1)(2 \cdot 3) \ln \bigg | \frac(x-5 - 3)(x-5 + 3) \bigg | + C = \frac(1)(6) \ln \bigg |\frac(x-8)(x-2) \bigg | + C$$ თუ ვერ გადაჭრით პრობლემას, გამოგვიგზავნეთ. ჩვენ მოგაწვდით დეტალურ გადაწყვეტას. თქვენ შეძლებთ გაეცნოთ გაანგარიშების მიმდინარეობას და შეაგროვოთ ინფორმაცია. ეს დაგეხმარებათ მასწავლებლისგან დროულად მიიღოთ კრედიტი!

უპასუხე

$$ \int \frac(dx)(x^2-10x+16) = \frac(1)(6) \ln \bigg |\frac(x-8)(x-2) \bigg | + C$$

მაგალითი 2

რაციონალური წილადების ინტეგრირება: $$ \int \frac(x+2)(x^2+5x-6) dx $$

გადაწყვეტილება

ამოხსენით კვადრატული განტოლება: $$ x^2+5x-6 = 0 $$ $$ x_(12) = \frac(-5\pm \sqrt(25-4\cdot 1 \cdot (-6)))(2) = \frac(-5 \pm 7)(2) $$ მოდით ჩამოვწეროთ ფესვები: $$ x_1 = \frac(-5-7)(2) = -6; x_2 = \frac(-5+7)(2) = 1 $$ მიღებული ფესვების გათვალისწინებით, ჩვენ გარდაქმნით ინტეგრალს: $$ \int \frac(x+2)(x^2+5x-6) dx = \int \frac(x+2)((x-1)(x+6)) dx = $$ ჩვენ ვასრულებთ რაციონალური წილადის გაფართოებას: $$ \frac(x+2)((x-1)(x+6)) = \frac(A)(x-1) + \frac(B)(x+6) = \frac(A(x -6)+B(x-1))((x-1)(x+6)) $$ გააიგივეთ მრიცხველები და იპოვეთ კოეფიციენტები $ A $ და $ B $: $$ A(x+6)+B(x-1)=x+2 $$ $$ Ax + 6A + Bx - B = x + 2 $$ $$ \ დასაწყისი (შემთხვევები) A + B = 1 \\ 6A - B = 2 \ დასასრული (შემთხვევები) $$ $$ \დაწყება(შემთხვევები) A = \frac(3)(7) \\ B = \frac(4)(7) \ბოლო(შემთხვევები) $$ ნაპოვნ კოეფიციენტებს ვცვლით ინტეგრალში და ვხსნით: $$ \int \frac(x+2)((x-1)(x+6))dx = \int \frac(\frac(3)(7))(x-1) dx + \int \frac (\frac(4)(7))(x+6) dx = $$ $$ = \frac(3)(7) \int \frac(dx)(x-1) + \frac(4)(7) \int \frac(dx)(x+6) = \frac(3) (7) \ln |x-1| + \frac(4)(7) \ln |x+6| + C$$

უპასუხე

$$ \int \frac(x+2)(x^2+5x-6) dx = \frac(3)(7) \ln |x-1| + \frac(4)(7) \ln |x+6| + C$$

როგორც უკვე აღვნიშნე, ინტეგრალურ გამოთვლებში არ არსებობს მოსახერხებელი ფორმულა წილადის ინტეგრაციისთვის. და ამიტომ, არსებობს სამწუხარო ტენდენცია: რაც უფრო "ლამაზია" წილადი, მით უფრო რთულია მისგან ინტეგრალის პოვნა. ამ მხრივ, ადამიანმა უნდა მიმართოს სხვადასხვა ხრიკებს, რომლებზეც ახლა ვისაუბრებ. მომზადებულ მკითხველს შეუძლია დაუყოვნებლივ გამოიყენოს სარჩევი:

• მარტივი წილადებისთვის დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ შეყვანის მეთოდი

მრიცხველის ხელოვნური ტრანსფორმაციის მეთოდი

მაგალითი 1

სხვათა შორის, განხილული ინტეგრალი ასევე შეიძლება ამოიხსნას ცვლადის მეთოდის ცვლილებით, აღსანიშნავად, მაგრამ ამოხსნა გაცილებით გრძელი იქნება.

მაგალითი 2

იპოვეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი. შეასრულეთ შემოწმება.

ეს არის საკუთარი თავის მაგალითი. უნდა აღინიშნოს, რომ აქ ცვლადი ჩანაცვლების მეთოდი აღარ იმუშავებს.

ყურადღება მნიშვნელოვანია! მაგალითები No1, 2 ტიპიური და გავრცელებულია. კერძოდ, ასეთი ინტეგრალები ხშირად წარმოიქმნება სხვა ინტეგრალების ამოხსნისას, კერძოდ, ირაციონალური ფუნქციების (ფესვების) ინტეგრირებისას.

ზემოთ მოყვანილი მეთოდი ასევე მუშაობს ამ შემთხვევაში თუ მრიცხველის უმაღლესი ხარისხი მეტია მნიშვნელის უმაღლეს ხარისხზე.

მაგალითი 3

იპოვეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი. შეასრულეთ შემოწმება.

დავიწყოთ მრიცხველით.

მრიცხველის შერჩევის ალგორითმი დაახლოებით ასეთია:

1) მრიცხველში მჭირდება ორგანიზება, მაგრამ იქ. Რა უნდა ვქნა? ვსვამ ფრჩხილებში და ვამრავლებ: .

2) ახლა ვცდილობ გავხსნა ეს ფრჩხილები, რა ხდება? . ჰმ... უკვე უკეთესია, მაგრამ მრიცხველში თავდაპირველად დუი არ არის. Რა უნდა ვქნა? თქვენ უნდა გაამრავლოთ:

3) ფრჩხილების ხელახლა გახსნა: . და აი, პირველი წარმატება! საჭირო აღმოჩნდა! მაგრამ პრობლემა ის არის, რომ დამატებითი ტერმინი გამოჩნდა. Რა უნდა ვქნა? იმისათვის, რომ გამოთქმა არ შეიცვალოს, იგივე უნდა დავამატო ჩემს კონსტრუქციას:
. ცხოვრება უფრო ადვილი გახდა. შესაძლებელია თუ არა მრიცხველში ხელახლა ორგანიზება?

4) შეგიძლია. Ჩვენ ვცდილობთ: . გააფართოვეთ მეორე ტერმინის ფრჩხილები:
. უკაცრავად, მაგრამ მე რეალურად მქონდა წინა ეტაპზე და არა. Რა უნდა ვქნა? მეორე წევრი უნდა გავამრავლოთ:

5) ისევ გადამოწმებისთვის ვხსნი ფრჩხილებს მეორე ტერმინში:
. ახლა ეს ნორმალურია: მიღებულია მე-3 პუნქტის საბოლოო კონსტრუქციიდან! მაგრამ ისევ არის პატარა "მაგრამ", გამოჩნდა დამატებითი ტერმინი, რაც ნიშნავს, რომ ჩემს გამოთქმას უნდა დავამატო:

თუ ყველაფერი სწორად გაკეთდა, მაშინ ყველა ფრჩხილის გახსნისას უნდა მივიღოთ ინტეგრანტის ორიგინალური მრიცხველი. ჩვენ ვამოწმებთ:
კარგი.

ამრიგად:

მზადაა. ბოლო ტერმინში გამოვიყენე ფუნქციის დიფერენციალში მოყვანის მეთოდი.

თუ პასუხის წარმოებულს ვიპოვით და გამოსახულებას საერთო მნიშვნელამდე მივაქცევთ, მაშინ მივიღებთ ზუსტად თავდაპირველ ინტეგრანდს. ჯამად გაფართოების განხილული მეთოდი სხვა არაფერია, თუ არა საპირისპირო მოქმედება, რათა გამოხატოს საერთო მნიშვნელამდე.

მრიცხველის შერჩევის ალგორითმი ასეთ მაგალითებში საუკეთესოდ შესრულებულია მონახაზზე. გარკვეული უნარებით ის გონებრივადაც იმუშავებს. მახსოვს რეკორდული დრო, როდესაც მე გავაკეთე არჩევანი მე-11 ხარისხზე და მრიცხველის გაფართოებამ Werd-ის თითქმის ორი ხაზი დასჭირდა.

მაგალითი 4

იპოვეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი. შეასრულეთ შემოწმება.

ეს არის საკუთარი თავის მაგალითი.

მარტივი წილადებისთვის დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ შეყვანის მეთოდი

გადავიდეთ შემდეგი ტიპის წილადებზე.
, , , (კოეფიციენტები და არ არის ნულის ტოლი).

ფაქტობრივად, გაკვეთილზე უკვე გაცურდა რამდენიმე შემთხვევა რკალით და არქტანგენტით ცვლადის ცვლილების მეთოდი განუსაზღვრელი ინტეგრალში. ასეთი მაგალითები იხსნება ფუნქციის დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ მოყვანით და შემდეგ ცხრილის გამოყენებით ინტეგრირებით. აქ არის კიდევ რამდენიმე ტიპიური მაგალითი გრძელი და მაღალი ლოგარითმით:

მაგალითი 5

მაგალითი 6

აქ მიზანშეწონილია აიღოთ ინტეგრალების ცხრილი და მიჰყვეთ რა ფორმულებს და როგორცტრანსფორმაცია ხდება. Შენიშვნა, როგორ და რატომამ მაგალითებში ხაზგასმულია კვადრატები. კერძოდ, მე-6 მაგალითში ჩვენ ჯერ უნდა წარმოვადგინოთ მნიშვნელი როგორც , შემდეგ მოიტანეთ დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ. და ეს ყველაფერი უნდა გააკეთოთ იმისათვის, რომ გამოიყენოთ სტანდარტული ცხრილის ფორმულა .

მაგრამ რას უნდა მიხედოთ, შეეცადეთ თავად მოაგვაროთ მაგალითები No7,8, მით უმეტეს, რომ ისინი საკმაოდ მოკლეა:

მაგალითი 7

მაგალითი 8

იპოვეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი:

თუ თქვენ ასევე შეგიძლიათ შეამოწმოთ ეს მაგალითები, მაშინ დიდი პატივისცემა არის თქვენი დიფერენცირების უნარი საუკეთესოდ.

სრული კვადრატის შერჩევის მეთოდი

ფორმის ინტეგრალები, (კოეფიციენტები და არ არის ნულის ტოლი) ამოხსნილია სრული კვადრატის შერჩევის მეთოდი, რომელიც უკვე გამოჩნდა გაკვეთილზე გეომეტრიული ნაკვეთის გარდაქმნები.

სინამდვილეში, ასეთი ინტეგრალები მცირდება ცხრილის ოთხი ინტეგრალიდან ერთ-ერთამდე, რომელიც ახლა განვიხილეთ. და ეს მიიღწევა ნაცნობი შემოკლებული გამრავლების ფორმულების გამოყენებით:

ფორმულები გამოიყენება ამ მიმართულებით, ანუ მეთოდის იდეაა გამოსახულებების ხელოვნურად ორგანიზება მნიშვნელში ან , და შემდეგ მათი გადაქცევა, შესაბამისად, ან .

მაგალითი 9

იპოვეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი

ეს არის უმარტივესი მაგალითი, სადაც ტერმინით - ერთეული კოეფიციენტით(და არა რაღაც რიცხვი ან მინუსი).

ჩვენ ვუყურებთ მნიშვნელს, აქ ყველაფერი აშკარად საქმეზეა დაყვანილი. დავიწყოთ მნიშვნელის კონვერტაცია:

ცხადია, თქვენ უნდა დაამატოთ 4. და ისე, რომ გამოთქმა არ შეიცვალოს - იგივე ოთხი და გამოვაკლოთ:

ახლა შეგიძლიათ გამოიყენოთ ფორმულა:

კონვერტაციის დასრულების შემდეგ ყოველთვისსასურველია შეასრულოთ საპირისპირო მოძრაობა: ყველაფერი კარგადაა, შეცდომები არ არის.

მოცემული მაგალითის სუფთა დიზაინი ასე უნდა გამოიყურებოდეს:

მზადაა. "თავისუფალი" რთული ფუნქციის მოყვანა დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ: , პრინციპში, შეიძლება უგულებელყოფილი იყოს

მაგალითი 10

იპოვეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი:

ეს არის მაგალითი თვითგამორკვევისთვის, პასუხი მოცემულია გაკვეთილის ბოლოს.

მაგალითი 11

იპოვეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი:

რა უნდა გააკეთოს, როდესაც წინ მინუსია? ამ შემთხვევაში, თქვენ უნდა ამოიღოთ მინუსი ფრჩხილებიდან და დაალაგოთ პირობები ჩვენთვის საჭირო თანმიმდევრობით:. მუდმივი(ამ შემთხვევაში "ორმაგი") არ შეეხოთ!

ახლა ერთს ვამატებთ ფრჩხილებში. გამონათქვამის გაანალიზებით, მივდივართ დასკვნამდე, რომ გვჭირდება ერთი ფრჩხილის მიღმა - დაამატეთ:

აქ არის ფორმულა, გამოიყენეთ:

ყოველთვისჩვენ ვამოწმებთ პროექტს:
, რომელიც გადამოწმებული იყო.

მაგალითის სუფთა დიზაინი ასე გამოიყურება:

ჩვენ ვართულებთ დავალებას

მაგალითი 12

იპოვეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი:

აქ, ტერმინთან ერთად, ის აღარ არის ერთი კოეფიციენტი, არამედ "ხუთი".

(1) თუ მუდმივი არის ნაპოვნი, მაშინ ჩვენ დაუყოვნებლივ ამოვიღებთ მას ფრჩხილებიდან.

(2) ზოგადად, ყოველთვის სჯობს, რომ ეს მუდმივი ამოიღოთ ინტეგრალიდან, რათა ხელი არ შეუშალოს.

(3) აშკარაა, რომ ყველაფერი დაიყვანება ფორმულამდე. აუცილებელია ტერმინის გაგება, კერძოდ, "ორი"-ს მიღება.

(4) დიახ, . ასე რომ, ჩვენ ვამატებთ გამოსახულებას და ვაკლებთ იგივე წილადს.

(5) ახლა აირჩიეთ სრული კვადრატი. ზოგადად, ასევე აუცილებელია გამოთვლა, მაგრამ აქ გვაქვს გრძელი ლოგარითმის ფორმულა და მოქმედების შესრულებას აზრი არ აქვს, რატომ - ცოტა დაბლა გაირკვევა.

(6) სინამდვილეში, ჩვენ შეგვიძლია გამოვიყენოთ ფორმულა , მხოლოდ „x“-ის ნაცვლად გვაქვს, რაც არ უარყოფს ტაბულური ინტეგრალის ნამდვილობას. მკაცრად რომ ვთქვათ, ერთი ნაბიჯი აკლია - ინტეგრაციამდე ფუნქცია დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ უნდა ყოფილიყო: , მაგრამ, როგორც არაერთხელ აღვნიშნე, ეს ხშირად უგულებელყოფილია.

(7) ძირის ქვეშ მყოფ პასუხში, სასურველია ყველა ფრჩხილის უკან გახსნა:

რთული? ეს არ არის ყველაზე რთული ინტეგრალური გამოთვლებით. თუმცა, განხილული მაგალითები არც ისე რთულია, რამდენადაც ისინი საჭიროებენ გამოთვლის კარგ ტექნიკას.

მაგალითი 13

იპოვეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი:

ეს არის საკუთარი თავის მაგალითი. უპასუხეთ გაკვეთილის ბოლოს.

მნიშვნელში არის ინტეგრალები ფესვებით, რომლებიც ჩანაცვლების დახმარებით მცირდება განხილული ტიპის ინტეგრალებამდე, მათ შესახებ შეგიძლიათ წაიკითხოთ სტატიაში რთული ინტეგრალები, მაგრამ ის განკუთვნილია მაღალ მომზადებული სტუდენტებისთვის.

მრიცხველის მოყვანა დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ

ეს გაკვეთილის ბოლო ნაწილია, თუმცა ამ ტიპის ინტეგრალები საკმაოდ გავრცელებულია! თუ დაღლილობა დაგროვდა, იქნებ ჯობია ხვალ წავიკითხო? ;)

ინტეგრალები, რომლებსაც განვიხილავთ წინა აბზაცის ინტეგრალების მსგავსია, აქვთ ფორმა: ან (კოეფიციენტები და არ არის ნულის ტოლი).

ანუ მრიცხველში გვაქვს წრფივი ფუნქცია. როგორ ამოხსნათ ასეთი ინტეგრალები?

წილადი რაციონალური ფუნქციის განუსაზღვრელი ინტეგრალის პოვნის პრობლემა მცირდება მარტივი წილადების ინტეგრირებამდე. ამიტომ, გირჩევთ, ჯერ გაეცნოთ წილადების მარტივებად დაშლის თეორიის განყოფილებას.

მაგალითი.

იპოვეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი.

გადაწყვეტილება.

ვინაიდან ინტეგრანტის მრიცხველის ხარისხი ტოლია მნიშვნელის ხარისხს, პირველ რიგში ვირჩევთ მთელ ნაწილს პოლინომის მრავალწევრზე სვეტით გაყოფით:

Ისე, .

მიღებული სწორი რაციონალური წილადის მარტივ წილადებად დაშლას აქვს ფორმა . აქედან გამომდინარე,

შედეგად მიღებული ინტეგრალი არის მესამე ტიპის უმარტივესი წილადის ინტეგრალი. ცოტა წინ რომ ვუყურებთ, აღვნიშნავთ, რომ მისი აღება შესაძლებელია დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ მოყვანით.

როგორც , მაშინ . Ისე

აქედან გამომდინარე,

ახლა მოდით გადავიდეთ ოთხი ტიპის თითოეულის უმარტივესი წილადების ინტეგრირების მეთოდების აღწერაზე.

პირველი ტიპის უმარტივესი წილადების ინტეგრაცია

პირდაპირი ინტეგრაციის მეთოდი იდეალურია ამ პრობლემის გადასაჭრელად:

მაგალითი.

იპოვეთ ფუნქციის ანტიწარმოებულთა სიმრავლე

გადაწყვეტილება.

ვიპოვოთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი ანტიწარმოებულის თვისებების, ანტიწარმოებულების ცხრილისა და ინტეგრაციის წესის გამოყენებით.

გვერდის ზედა

მეორე ტიპის უმარტივესი წილადების ინტეგრაცია

პირდაპირი ინტეგრაციის მეთოდი ასევე შესაფერისია ამ პრობლემის გადასაჭრელად:

მაგალითი.

გადაწყვეტილება.

გვერდის ზედა

მესამე ტიპის უმარტივესი წილადების ინტეგრაცია

პირველ რიგში წარმოგიდგენთ განუსაზღვრელ ინტეგრალს ჯამის სახით:

პირველ ინტეგრალს ვიღებთ დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ შეყვანის მეთოდით:

Ისე,

ჩვენ გარდაქმნით მიღებული ინტეგრალის მნიშვნელს:

აქედან გამომდინარე,

მესამე ტიპის უმარტივესი წილადების ინტეგრირების ფორმულა იღებს ფორმას:

მაგალითი.

იპოვეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი .

გადაწყვეტილება.

ჩვენ ვიყენებთ შედეგად მიღებული ფორმულას:

ეს ფორმულა რომ არ გვქონდეს, რას ვიზამთ:

გვერდის ზედა

მეოთხე ტიპის უმარტივესი წილადების ინტეგრაცია

პირველი ნაბიჯი არის მისი შეჯამება დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ:

მეორე ნაბიჯი არის ფორმის ინტეგრალის პოვნა . ამ ტიპის ინტეგრალები გვხვდება განმეორებადი ფორმულების გამოყენებით. (იხილეთ სექცია ინტეგრირება რეკურსიული ფორმულების გამოყენებით). ჩვენს შემთხვევაში, შემდეგი რეკურსიული ფორმულა შესაფერისია:

მაგალითი.

იპოვეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი

გადაწყვეტილება.

ამ ტიპის ინტეგრანდისთვის ჩვენ ვიყენებთ ჩანაცვლების მეთოდს. მოდით შემოვიტანოთ ახალი ცვლადი (იხ. განყოფილება ირაციონალური ფუნქციების ინტეგრაციის შესახებ):

ჩანაცვლების შემდეგ გვაქვს:

მივედით მეოთხე ტიპის წილადის ინტეგრალის პოვნამდე. ჩვენს შემთხვევაში გვაქვს კოეფიციენტები M=0, p=0, q=1, N=1და n=3. ჩვენ ვიყენებთ რეკურსიულ ფორმულას:

საპირისპირო ჩანაცვლების შემდეგ ვიღებთ შედეგს:

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ინტეგრაცია

1. ფორმის ინტეგრალები გამოითვლება ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ნამრავლის ჯამად გარდაქმნით ფორმულების მიხედვით: მაგალითად, 2. ფორმის ინტეგრალები , სად მან ნ- კენტი დადებითი რიცხვი, გამოითვლება დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ გამოყვანით. Მაგალითად, 3. ფორმის ინტეგრალები , სად მდა ნ- თუნდაც დადებითი რიცხვები, გამოითვლება შემცირების ფორმულების გამოყენებით: მაგალითად, 4. ინტეგრალები სადაც გამოითვლება ცვლადის შეცვლით: ან მაგალითად, 5. ფორმის ინტეგრალები მცირდება რაციონალური წილადების ინტეგრალებამდე უნივერსალური ტრიგონომეტრიული ჩანაცვლების გამოყენებით მაშინ (რადგან =[მრიცხველისა და მნიშვნელის გაყოფის შემდეგ ]= ; Მაგალითად, უნდა აღინიშნოს, რომ უნივერსალური ჩანაცვლების გამოყენება ხშირად იწვევს რთულ გამოთვლებს.

§5. უმარტივესი ირაციონალურობის ინტეგრაცია

განვიხილოთ ირაციონალურობის უმარტივესი ტიპების ინტეგრირების მეთოდები. ერთი. ამ ტიპის ფუნქციები ინტეგრირებულია ისევე, როგორც მე-3 ტიპის უმარტივესი რაციონალური წილადები: მნიშვნელში სრული კვადრატი ამოღებულია კვადრატული ტრინომიდან და შემოდის ახალი ცვლადი. მაგალითი. 2. (ინტეგრალის ნიშნის ქვეშ - არგუმენტების რაციონალური ფუნქცია). ამ ტიპის ინტეგრალები გამოითვლება ჩანაცვლების გამოყენებით. კერძოდ, ფორმის ინტეგრალებში ჩვენ აღვნიშნავთ. თუ ინტეგრანტი შეიცავს სხვადასხვა ხარისხის ფესვებს: , შემდეგ აღნიშნეთ სად ნარის რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი მ, კ. მაგალითი 1 მაგალითი 2 არასწორი რაციონალური წილადია, აირჩიეთ მთელი ნაწილი: – – – 3. ფორმის ინტეგრალები გამოითვლება ტრიგონომეტრიული ჩანაცვლების გამოყენებით:

44

45 განსაზღვრული ინტეგრალი

განსაზღვრული ინტეგრალიარის დანამატი მონოტონური ნორმალიზებული ფუნქციონალი, რომელიც განსაზღვრულია წყვილების ერთობლიობაზე, რომლის პირველი კომპონენტი არის ინტეგრირებადი ფუნქცია ან ფუნქციონალური, ხოლო მეორე არის ფართობი ამ ფუნქციის სიმრავლეში (ფუნქციური).

განმარტება

დაე განისაზღვროს. მოდით დავყოთ ის ნაწილებად რამდენიმე თვითნებური წერტილით. შემდეგ ჩვენ ვამბობთ, რომ სეგმენტი დაყოფილია შემდეგი, ჩვენ ვირჩევთ თვითნებურ წერტილს , ,

სეგმენტზე ფუნქციის განსაზღვრული ინტეგრალი არის ინტეგრალური ჯამების ზღვარი, რადგან დანაყოფის რანგი ნულისკენ მიისწრაფვის, თუ ის არსებობს დანაყოფის და წერტილების არჩევის მიუხედავად, ე.ი.

თუ ეს ლიმიტი არსებობს, მაშინ ფუნქცია რიმანის ინტეგრირებადია.

აღნიშვნა

· - ქვედა ზღვარი.

· - ზედა ზღვარი.

· - ინტეგრანდული ფუნქცია.

· - ნაწილობრივი სეგმენტის სიგრძე.

· არის ფუნქციის ინტეგრალური ჯამი შესაბამის დანაყოფზე.

· - ნაწილობრივი სეგმენტის მაქსიმალური სიგრძე.

Თვისებები

თუ ფუნქცია არის Riemann-ის ინტეგრირებადი ზე, მაშინ ის შემოიფარგლება მასზე.

გეომეტრიული გრძნობა

განსაზღვრული ინტეგრალი, როგორც ფიგურის ფართობი

განსაზღვრული ინტეგრალი რიცხობრივად უდრის ფიგურის ფართობს, რომელიც შემოიფარგლება x ღერძით, სწორი ხაზებით და ფუნქციის გრაფიკით.

ნიუტონ-ლაიბნიცის თეორემა

[რედაქტირება]

(გადამისამართებულია "ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულიდან")

ნიუტონი - ლაიბნიცის ფორმულაან ანალიზის ფუნდამენტური თეორემაიძლევა ორ მოქმედებას შორის: განსაზღვრული ინტეგრალის აღება და ანტიწარმოებულის გამოთვლა.

მტკიცებულება

მიეცეს ინტეგრირებადი ფუნქცია სეგმენტზე. დავიწყოთ იმით, რომ აღვნიშნოთ

ანუ არ აქვს მნიშვნელობა რომელი ასო (ან) არის ნიშნის ქვეშ განსაზღვრულ ინტეგრალში ინტერვალზე.

დააყენეთ თვითნებური მნიშვნელობა და განსაზღვრეთ ახალი ფუნქცია . იგი განსაზღვრულია ყველა მნიშვნელობისთვის, რადგან ვიცით, რომ თუ არის on-ის ინტეგრალი, მაშინ ასევე არის ინტეგრალი on, სადაც. შეგახსენებთ, რომ ჩვენ განვიხილავთ განმარტებით

(1)

შეამჩნია, რომ

ვაჩვენოთ, რომ ის უწყვეტია სეგმენტზე. მართლაც, დაე ; მაშინ

და თუ, მაშინ

ამრიგად, არის უწყვეტი, მიუხედავად იმისა, აქვს თუ არა წყვეტები; მნიშვნელოვანია, რომ ის ინტეგრირებადი იყოს.

ნახატზე ნაჩვენებია გრაფიკი. ცვლადი ფიგურის ფართობი არის. მისი ზრდა უდრის ფიგურის ფართობს , რომელიც, საზღვრულობის გამო, აშკარად მიისწრაფვის ნულისკენ, მიუხედავად იმისა, არის თუ არა უწყვეტობის წერტილი თუ შეწყვეტის წერტილი, მაგალითად, წერტილი.

მოდით, ფუნქცია იყოს არა მხოლოდ ინტეგრირებადი, არამედ უწყვეტი იყოს წერტილში. მოდით დავამტკიცოთ, რომ მაშინ აქვს წარმოებული ამ ეტაპზე ტოლი

(2)

მართლაც, მოცემული წერტილისთვის

(1) , (3)

ჩვენ ვსვამთ და რადგან მუდმივი არის ,TO-სთან შედარებით . გარდა ამისა, წერტილში უწყვეტობის გამო, ნებისმიერს შეუძლია მიუთითოს ისეთი, რომ .

რაც ადასტურებს, რომ ამ უტოლობის მარცხენა მხარე არის o(1) .

(3) ზე ზღვრამდე გადასვლა გვიჩვენებს წერტილში წარმოებულის არსებობას და ტოლობის (2) მართებულობას. აქ საუბარია, შესაბამისად, მარჯვენა და მარცხენა წარმოებულებზე.

თუ ფუნქცია უწყვეტია ზე, მაშინ, ზემოთ დადასტურებულიდან გამომდინარე, შესაბამისი ფუნქცია

(4)

აქვს წარმოებული ტოლი . მაშასადამე, ფუნქცია ანტიდერივატიულია on-ისთვის.

ამ დასკვნას ზოგჯერ უწოდებენ ცვლადის ზედა ლიმიტის ინტეგრალურ თეორემას ან ბაროუს თეორემას.

ჩვენ დავამტკიცეთ, რომ თვითნებურ უწყვეტ ფუნქციას ინტერვალზე აქვს ანტიდერივატი ამ ინტერვალზე, რომელიც განისაზღვრება ტოლობით (4). ეს ადასტურებს ანტიდერივატივის არსებობას ნებისმიერი უწყვეტი ფუნქციისთვის ინტერვალზე.

ახლა იყოს ფუნქციის თვითნებური ანტიდერივატი . ჩვენ ვიცით, რომ სად არის გარკვეული მუდმივი. ამ თანასწორობის დაშვებით და იმის გათვალისწინებით, რომ მივიღებთ .

ამრიგად, . მაგრამ

არასწორი ინტეგრალი

[რედაქტირება]

ვიკიპედიიდან, უფასო ენციკლოპედიიდან

განსაზღვრული ინტეგრალიდაურეკა არასათანადოთუ ქვემოთ ჩამოთვლილთაგან ერთი მაინც შეესაბამება სიმართლეს:

· ზღვარი a ან b (ან ორივე ზღვარი) უსასრულოა;

· f(x) ფუნქციას აქვს ერთი ან მეტი წყვეტის წერტილი სეგმენტის შიგნით.

[რედაქტირება] პირველი ტიპის არასწორი ინტეგრალები

. შემდეგ:

1. თუ და ინტეგრალი ეწოდება . Ამ შემთხვევაში კონვერგენტული ეწოდება.

, ან უბრალოდ განსხვავებული.

მოდით იყოს განსაზღვრული და უწყვეტი ნაკრებიდან და . შემდეგ:

1. თუ , შემდეგ აღნიშვნა და ინტეგრალი ეწოდება პირველი სახის რიმანის არასწორი ინტეგრალი. Ამ შემთხვევაში კონვერგენტული ეწოდება.

2. თუ არ არის სასრული (ან), მაშინ ამბობენ, რომ ინტეგრალი განსხვავდება , ან უბრალოდ განსხვავებული.

თუ ფუნქცია განსაზღვრულია და უწყვეტია მთელ რეალურ ხაზზე, მაშინ შეიძლება არსებობდეს ამ ფუნქციის არასწორი ინტეგრალი ინტეგრაციის ორი უსასრულო ლიმიტით, რომელიც განისაზღვრება ფორმულით:

, სადაც c არის თვითნებური რიცხვი.

[რედაქტირება] პირველი სახის არასწორი ინტეგრალის გეომეტრიული მნიშვნელობა

არასწორი ინტეგრალი გამოხატავს უსასრულოდ გრძელი მრუდი ტრაპეციის ფართობს.

[რედაქტირება] მაგალითები

[რედაქტირება] მეორე სახის არასწორი ინტეგრალები

დაე განისაზღვროს ზე, განიცადოს უსასრულო შეწყვეტა x=a და წერტილში . შემდეგ:

1. თუ , შემდეგ აღნიშვნა და ინტეგრალი ეწოდება

ეწოდება დივერგენტული , ან უბრალოდ განსხვავებული.

დაე განისაზღვროს ზე, განიცადოს უსასრულო შეწყვეტა x=b და . შემდეგ:

1. თუ , შემდეგ აღნიშვნა და ინტეგრალი ეწოდება მეორე სახის რიმანის არასწორი ინტეგრალი. ამ შემთხვევაში, ინტეგრალი ეწოდება კონვერგენტს.

2. თუ ან , მაშინ აღნიშვნა შენარჩუნებულია და ეწოდება დივერგენტული , ან უბრალოდ განსხვავებული.

თუ ფუნქცია განიცდის უწყვეტობას სეგმენტის შიდა წერტილში, მაშინ მეორე ტიპის არასწორი ინტეგრალი განისაზღვრება ფორმულით:

[რედაქტირება] მეორე სახის არასწორი ინტეგრალების გეომეტრიული მნიშვნელობა

არასწორი ინტეგრალი გამოხატავს უსასრულოდ მაღალი მრუდი ტრაპეციის ფართობს

[რედაქტირება] მაგალითი

[რედაქტირება] განსაკუთრებული შემთხვევა

დაე, ფუნქცია განისაზღვროს მთელ რეალურ ღერძზე და ჰქონდეს წყვეტა წერტილებში.

მაშინ ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ არასწორი ინტეგრალი

[რედაქტირება] კოშის კრიტერიუმი

1. ნაკრებზე განისაზღვროს და .

მაშინ იყრის თავს

2. Let განისაზღვრება და .

მაშინ იყრის თავს

[რედაქტირება] აბსოლუტური კონვერგენცია

ინტეგრალური დაურეკა აბსოლუტურად კონვერგენტული, თუ იყრის თავს.
თუ ინტეგრალი აბსოლუტურად იყრის თავს, მაშინ ის იყრის თავს.

[რედაქტირება] პირობითი კონვერგენცია

ინტეგრალი ე.წ პირობითად კონვერგენტულითუ იყრის და განსხვავდება.

48 12. არასწორი ინტეგრალები.

განსაზღვრული ინტეგრალების განხილვისას, ჩვენ ვივარაუდეთ, რომ ინტეგრაციის რეგიონი შემოსაზღვრულია (უფრო კონკრეტულად, ეს არის სეგმენტი [ ა ,ბ ]); განსაზღვრული ინტეგრალის არსებობისთვის, ინტეგრანტის შეზღუდვა [ ა ,ბ ]. ჩვენ დავარქმევთ განსაზღვრულ ინტეგრალებს, რომლებისთვისაც ორივე ეს პირობა დაკმაყოფილებულია (ინტეგრაციის დომენის და ინტეგრანდულის შეზღუდულობა) საკუთარი; ინტეგრალები, რომლებისთვისაც ეს მოთხოვნები დარღვეულია (ანუ, ინტეგრანდ, ან ინტეგრაციის დომენი, ან ორივე, შეუზღუდავია) არასაკუთარი. ამ ნაწილში ჩვენ შევისწავლით არასწორ ინტეგრალებს.

• 12.1. არასათანადო ინტეგრალები შეუზღუდავ ინტერვალზე (პირველი სახის არასწორი ინტეგრალები).
• 12.1.1. არასათანადო ინტეგრალის განმარტება უსასრულო ინტერვალზე. მაგალითები.
• 12.1.2. ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულა არასწორი ინტეგრალისათვის.
• 12.1.3. არაუარყოფითი ფუნქციების შედარების კრიტერიუმები.
• 12.1.3.1. შედარების ნიშანი.
• 12.1.3.2. შედარების ნიშანი შემზღუდველი ფორმით.
• 12.1.4. არასწორი ინტეგრალების აბსოლუტური კონვერგენცია უსასრულო ინტერვალზე.
• 12.1.5. აბელისა და დირიხლეტის კონვერგენციის კრიტერიუმები.
• 12.2. შეუზღუდავი ფუნქციების არასწორი ინტეგრალები (მეორე სახის არასწორი ინტეგრალები).
• 12.2.1. შეუზღუდავი ფუნქციის არასწორი ინტეგრალის განმარტება.
• 12.2.1.1. სინგულარობა ინტეგრაციის ინტერვალის მარცხენა ბოლოში.
• 12.2.1.2. ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულის გამოყენება.
• 12.2.1.3. სინგულარობა ინტეგრაციის ინტერვალის მარჯვენა ბოლოს.
• 12.2.1.4. სინგულარობა ინტეგრაციის ინტერვალის შიდა წერტილში.
• 12.2.1.5. რამდენიმე სინგულარობა ინტეგრაციის ინტერვალზე.
• 12.2.2. არაუარყოფითი ფუნქციების შედარების კრიტერიუმები.
• 12.2.2.1. შედარების ნიშანი.
• 12.2.2.2. შედარების ნიშანი შემზღუდველი ფორმით.
• 12.2.3. უწყვეტი ფუნქციების არასწორი ინტეგრალების აბსოლუტური და პირობითი კონვერგენცია.
• 12.2.4. აბელისა და დირიხლეტის კონვერგენციის კრიტერიუმები.

12.1. არასწორი ინტეგრალები შეუზღუდავი ინტერვალით

(პირველი სახის არასწორი ინტეგრალები).

12.1.1. არასათანადო ინტეგრალის განმარტება უსასრულო ინტერვალზე. დაუშვით ფუნქცია ვ (x ) განსაზღვრულია ნახევარხაზზე და ინტეგრირებადია ნებისმიერ ინტერვალზე [ დან, რაც თითოეულ ამ შემთხვევაში გულისხმობს შესაბამისი საზღვრების არსებობას და სასრულობას. ახლა მაგალითების გადაწყვეტილებები უფრო მარტივია: .

12.1.3. არაუარყოფითი ფუნქციების შედარების კრიტერიუმები. ამ განყოფილებაში ჩვენ ვივარაუდებთ, რომ ყველა ინტეგრანტი არაუარყოფითია განსაზღვრების მთელ დომენზე. აქამდე ინტეგრალის კონვერგენციას ვადგენდით მისი გამოთვლით: თუ არის ანტიწარმოებულის სასრული ზღვარი შესაბამისი მისწრაფებით ( ან ), მაშინ ინტეგრალი იყრის თავს, წინააღმდეგ შემთხვევაში ის განსხვავდება. თუმცა, პრაქტიკული პრობლემების გადაჭრისას, უპირველეს ყოვლისა, მნიშვნელოვანია დადგინდეს კონვერგენციის ფაქტი და მხოლოდ ამის შემდეგ გამოვთვალოთ ინტეგრალი (გარდა ამისა, ანტიდერივატი ხშირად არ არის გამოხატული ელემენტარული ფუნქციების მიხედვით). ჩვენ ვაყალიბებთ და ვამტკიცებთ რიგ თეორემებს, რომლებიც საშუალებას გვაძლევს დავადგინოთ არაუარყოფითი ფუნქციების არასწორი ინტეგრალების კონვერგენცია და განსხვავებები მათი გამოთვლის გარეშე.
12.1.3.1. შედარების ნიშანი. დაუშვით ფუნქციები ვ (x ) და გ (x ) ინტეგრირება

ამ თემაში წარმოდგენილი მასალა ეფუძნება თემაზე „რაციონალური წილადები. რაციონალური წილადების დაშლა ელემენტარულ (მარტივ) წილადებად წარმოდგენილ ინფორმაციას“. დაჟინებით გირჩევთ, გადახედოთ ამ თემას, სანამ ამ მასალის კითხვას გააგრძელებთ. გარდა ამისა, დაგვჭირდება განუსაზღვრელი ინტეგრალების ცხრილი.

შეგახსენებთ რამდენიმე ტერმინს. ისინი განხილული იყო შესაბამის თემაში, ამიტომ აქ მოკლე ფორმულირებით შემოვიფარგლები.

$\frac(P_n(x))(Q_m(x))$ ორი მრავალწევრის შეფარდებას რაციონალური ფუნქცია ან რაციონალური წილადი ეწოდება. რაციონალური წილადი ე.წ სწორითუ $n< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется არასწორი.

ელემენტარული (მარტივი) რაციონალური წილადები არის ოთხი ტიპის რაციონალური წილადები:

1. $\frac(A)(x-a)$;
2. $\frac(A)((x-a)^n)$ ($n=2,3,4, \ldots$);
3. $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ($p^2-4q< 0$);
4. $\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)$ ($p^2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).

შენიშვნა (სასურველია ტექსტის უკეთ გასაგებად): ჩვენება/დამალვა

რატომ არის საჭირო $p^2-4q პირობა?< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим квадратное уравнение $x^2+px+q=0$. Дискриминант этого уравнения $D=p^2-4q$. По сути, условие $p^2-4q < 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.

მაგალითად, გამოთქმისთვის $x^2+5x+10$ ვიღებთ: $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$. ვინაიდან $p^2-4q=-15< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.

სხვათა შორის, ამ შემოწმებისთვის არ არის აუცილებელი, რომ კოეფიციენტი $x^2$-ის წინ იყოს 1. მაგალითად, $5x^2+7x-3=0$-ზე მივიღებთ: $D=7^2- 4\cdot 5 \cdot (-3)=109$. ვინაიდან $D > 0$, გამოთქმა $5x^2+7x-3$ არის ფაქტორიზირებადი.

შეიძლება მოიძებნოს რაციონალური წილადების მაგალითები (რეგულარული და არასათანადო), აგრეთვე რაციონალური წილადის ელემენტარულებად დაშლის მაგალითები. აქ ჩვენ მხოლოდ მათი ინტეგრაციის საკითხები გვაინტერესებს. დავიწყოთ ელემენტარული წილადების ინტეგრაციით. ასე რომ, ზემოაღნიშნული ელემენტარული წილადების ოთხი ტიპიდან თითოეული მარტივია ინტეგრირება ქვემოთ მოცემული ფორმულების გამოყენებით. შეგახსენებთ, რომ (2) და (4) ტიპის წილადების ინტეგრირებისას გათვალისწინებულია $n=2,3,4,\ldots$. ფორმულები (3) და (4) მოითხოვს $p^2-4q პირობას< 0$.

\ დასაწყისი(განტოლება) \int \frac(A)(x-a) dx=A\cdot \ln |x-a|+C \end(განტოლება) \დაწყება(განტოლება) \int\frac(A)((x-a)^n )dx=-\frac(A)((n-1)(x-a)^(n-1))+C \end(განტოლება) \დაწყება(განტოლება) \int \frac(Mx+N)(x^2 +px+q) dx= \frac(M)(2)\cdot \ln (x^2+px+q)+\frac(2N-Mp)(\sqrt(4q-p^2))\arctg\ frac(2x+p)(\sqrt(4q-p^2))+C \end(განტოლება)

$\int\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)dx$-ისთვის კეთდება ჩანაცვლება $t=x+\frac(p)(2)$, რის შემდეგაც მიღებული ინტეგრალი არის გაყოფილი ორად. პირველი გამოითვლება დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ ჩასმით, ხოლო მეორე გამოიყურება $I_n=\int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)$. ეს ინტეგრალი აღებულია რეციდივის მიმართების გამოყენებით

\begin(განტოლება) I_(n+1)=\frac(1)(2na^2)\frac(t)((t^2+a^2)^n)+\frac(2n-1)(2na ^2)I_n, \; n \ N \ ბოლოს (განტოლება)

ასეთი ინტეგრალის გამოთვლა გაანალიზებულია მაგალითში No7 (იხ. მესამე ნაწილი).

რაციონალური ფუნქციებიდან ინტეგრალების გამოთვლის სქემა (რაციონალური წილადები):

1. თუ ინტეგრანტი ელემენტარულია, მაშინ გამოიყენეთ ფორმულები (1)-(4).
2. თუ ინტეგრადი არ არის ელემენტარული, მაშინ წარმოადგინეთ იგი ელემენტარული წილადების ჯამის სახით და შემდეგ გააერთიანეთ ფორმულების გამოყენებით (1)-(4).

რაციონალური წილადების ინტეგრირების ზემოხსენებულ ალგორითმს აქვს უდაო უპირატესობა - ის უნივერსალურია. იმათ. ამ ალგორითმის გამოყენებით შესაძლებელია ინტეგრირება ნებისმიერირაციონალური წილადი. ამიტომ განუსაზღვრელ ინტეგრალში ცვლადების თითქმის ყველა ჩანაცვლება (ეილერი, ჩებიშევის ჩანაცვლება, უნივერსალური ტრიგონომეტრიული ჩანაცვლება) ხდება ისე, რომ ამ ჩანაცვლების შემდეგ მივიღებთ რაციონალურ წილადს ინტერვალის ქვეშ. და გამოიყენეთ ალგორითმი მასზე. ჩვენ გავაანალიზებთ ამ ალგორითმის პირდაპირ გამოყენებას მაგალითების გამოყენებით, მცირე ჩანაწერის გაკეთების შემდეგ.

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C. $$

პრინციპში, ამ ინტეგრალის მიღება მარტივია ფორმულის მექანიკური გამოყენების გარეშე. თუ ინტეგრალური ნიშნიდან ავიღებთ $7$-ის მუდმივას და გავითვალისწინებთ, რომ $dx=d(x+9)$, მაშინ მივიღებთ:

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(d(x+9))(x+9 )=|u=x+9|=7\cdot\int\frac(du)(u)=7\ln|u|+C=7\ln|x+9|+C. $$

დეტალური ინფორმაციისთვის გირჩევთ გადახედოთ თემას. იგი დეტალურად განმარტავს, თუ როგორ იხსნება ასეთი ინტეგრალები. სხვათა შორის, ფორმულა დასტურდება იმავე გარდაქმნებით, რაც გამოიყენეს ამ პუნქტში „ხელით“ ამოხსნისას.

2) ისევ ორი ​​გზა არსებობს: მზა ფორმულის გამოყენება ან მის გარეშე გაკეთება. თუ გამოიყენებთ ფორმულას, მაშინ უნდა გაითვალისწინოთ, რომ კოეფიციენტი $x$-ის წინ (4 რიცხვი) უნდა მოიხსნას. ამისათვის ჩვენ უბრალოდ ამოვიღებთ ოთხ მათგანს ფრჩხილებში:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=\int\frac(11dx)(\left(4\left(x+\frac(19)(4)\მარჯვნივ)\მარჯვნივ)^ 8)= \int\frac(11dx)(4^8\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=\int\frac(\frac(11)(4^8)dx) (\left(x+\frac(19)(4)\right)^8). $$

ახლა დროა გამოვიყენოთ ფორმულა:

$$ \int\frac(\frac(11)(4^8)dx)(\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=-\frac(\frac(11)(4 ^8))((8-1)\მარცხნივ(x+\frac(19)(4) \მარჯვნივ)^(8-1))+C= -\frac(\frac(11)(4^8)) (7\left(x+\frac(19)(4) \მარჯვნივ)^7)+C=-\frac(11)(7\cdot 4^8 \left(x+\frac(19)(4) \მარჯვნივ )^7)+C. $$

შეგიძლიათ გააკეთოთ ფორმულის გამოყენების გარეშე. და თუნდაც მუდმივი $4$-ის ფრჩხილებიდან ამოღების გარეშე. თუ გავითვალისწინებთ, რომ $dx=\frac(1)(4)d(4x+19)$, მაშინ მივიღებთ:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=11\int\frac(dx)((4x+19)^8)=\frac(11)(4)\int\frac( d(4x+19))((4x+19)^8)=|u=4x+19|=\\ =\frac(11)(4)\int\frac(du)(u^8)=\ frac(11)(4)\int u^(-8)\;du=\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-8+1))(-8+1)+C= \\ =\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-7))(-7)+C=-\frac(11)(28)\cdot\frac(1)(u^7 )+C=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C. $$

დეტალური ახსნა ასეთი ინტეგრალების პოვნის შესახებ მოცემულია თემაში "ინტეგრაცია ჩანაცვლებით (შესავალი დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ)" .

3) ჩვენ უნდა გავაერთიანოთ წილადი $\frac(4x+7)(x^2+10x+34)$. ამ წილადს აქვს სტრუქტურა $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$, სადაც $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$. თუმცა, იმისთვის, რომ დარწმუნდეთ, რომ ეს ნამდვილად არის მესამე ტიპის ელემენტარული ფრაქცია, თქვენ უნდა შეამოწმოთ მდგომარეობა $p^2-4q.< 0$. Так как $p^2-4q=10^2-4\cdot 34=-16 < 0$, то мы действительно имеем дело с интегрированием элементарной дроби третьего типа. Как и в предыдущих пунктах есть два пути для нахождения $\int\frac{4x+7}{x^2+10x+34}dx$. Первый путь - банально использовать формулу . Подставив в неё $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$ получим:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx = \frac(4)(2)\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(2\cdot 7-4\cdot 10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2))+C=\\ = 2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(\sqrt(36)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(36))+C =2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(6) \arctg\frac(2x+10)(6)+C=\\ =2\cdot \ln (x^2+10x +34)-\frac(13)(3) \arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

მოდით გადავჭრათ იგივე მაგალითი, მაგრამ მზა ფორმულის გამოყენების გარეშე. შევეცადოთ გამოვყოთ მნიშვნელის წარმოებული მრიცხველში. Რას ნიშნავს ეს? ჩვენ ვიცით, რომ $(x^2+10x+34)"=2x+10$. ეს არის გამოხატულება $2x+10$, რომელიც უნდა გამოვყოთ მრიცხველში. ჯერჯერობით, მრიცხველი შეიცავს მხოლოდ $4x+7$-ს. , მაგრამ ეს არ არის ხანგრძლივი. გამოიყენეთ შემდეგი ტრანსფორმაცია მრიცხველზე:

$$ 4x+7=2\cdot 2x+7=2\cdot (2x+10-10)+7=2\cdot(2x+10)-2\cdot 10+7=2\cdot(2x+10) -ცამეტი. $$

ახლა მრიცხველში გამოჩნდა საჭირო გამოხატულება $2x+10$. და ჩვენი ინტეგრალი შეიძლება გადაიწეროს შემდეგნაირად:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34) dx= \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx. $$

მოდით დავყოთ ინტეგრანტი ორად. კარგად, და, შესაბამისად, თავად ინტეგრალი ასევე "გაყოფილია":

$$ \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx=\int \left(\frac(2\cdot(2x+10))(x^2 +10x+34)-\frac(13)(x^2+10x+34) \მარჯვნივ)\; dx=\\ =\int \frac(2\cdot(2x+10))(x^2+10x+34)dx-\int\frac(13dx)(x^2+10x+34)=2\cdot \int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34). $$

ჯერ პირველ ინტეგრალზე ვისაუბროთ, ე.ი. დაახლოებით $\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)$. ვინაიდან $d(x^2+10x+34)=(x^2+10x+34)"dx=(2x+10)dx$, მაშინ მნიშვნელის დიფერენციალი მდებარეობს ინტეგრანტის მრიცხველში. მოკლედ, ამის ნაცვლად გამოხატვის $( 2x+10)dx$ ვწერთ $d(x^2+10x+34)$.

ახლა მოდით ვთქვათ ორიოდე სიტყვა მეორე ინტეგრალის შესახებ. მნიშვნელში ავირჩიოთ სრული კვადრატი: $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$. გარდა ამისა, ჩვენ გავითვალისწინებთ $dx=d(x+5)$. ახლა უკვე მიღებული ინტეგრალების ჯამი შეიძლება გადაიწეროს ოდნავ განსხვავებული ფორმით:

$$ 2\cdot\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34) =2\cdot \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+5)^2+ ცხრა). $$

თუ ჩვენ გავაკეთებთ ცვლილებას $u=x^2+10x+34$ პირველ ინტეგრალში, მაშინ ის მიიღებს $\int\frac(du)(u)$ ფორმას და მიიღება უბრალოდ მეორე ფორმულის გამოყენებით. რაც შეეხება მეორე ინტეგრალს, მისთვის შესაძლებელია ჩანაცვლება $u=x+5$, რის შემდეგაც ის იღებს $\int\frac(du)(u^2+9)$ ფორმას. ეს არის ყველაზე სუფთა წყალი, მეთერთმეტე ფორმულა განუსაზღვრელი ინტეგრალების ცხრილიდან. ასე რომ, ინტეგრალების ჯამს რომ დავუბრუნდეთ, გვექნება:

$$ 2\cdot\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+ 5 )^2+9) =2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

ჩვენ მივიღეთ იგივე პასუხი, რაც ფორმულის გამოყენებისას, რაც, ფაქტობრივად, გასაკვირი არ არის. ზოგადად, ფორმულა დასტურდება იმავე მეთოდებით, რომლებიც ჩვენ გამოვიყენეთ ამ ინტეგრალის საპოვნელად. მე მჯერა, რომ ყურადღებიან მკითხველს შეიძლება აქ ერთი შეკითხვა ჰქონდეს, ამიტომ ჩამოვაყალიბებ:

Კითხვა 1

თუ განუსაზღვრელი ინტეგრალების ცხრილიდან მეორე ფორმულას გამოვიყენებთ ინტეგრალზე $\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)$, მაშინ მივიღებთ შემდეგს:

$$ \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)=|u=x^2+10x+34|=\int\frac(du)(u) =\ln|u|+C=\ln|x^2+10x+34|+C. $$

რატომ აკლდა მოდული გამოსავალს?

პასუხი #1 კითხვაზე

კითხვა სრულიად ლეგიტიმურია. მოდული არ იყო მხოლოდ იმიტომ, რომ გამოხატულება $x^2+10x+34$ ნებისმიერი $x\in R$ არის ნულზე მეტი. ამის ჩვენება საკმაოდ მარტივია რამდენიმე გზით. მაგალითად, ვინაიდან $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$ და $(x+5)^2 ≥ 0$, შემდეგ $(x+5)^2+9 > 0$ . შესაძლებელია განსჯა სხვაგვარად, სრული კვადრატის შერჩევის გარეშე. $10^2-4$-დან\cdot 34=-16< 0$, то $x^2+10x+34 >0$ ნებისმიერი $x\in R$ (თუ ეს ლოგიკური ჯაჭვი გასაკვირია, გირჩევთ, გადახედოთ კვადრატული უტოლობების ამოხსნის გრაფიკულ მეთოდს). ნებისმიერ შემთხვევაში, ვინაიდან $x^2+10x+34 > 0$, მაშინ $|x^2+10x+34|=x^2+10x+34$, ე.ი. მოდულის ნაცვლად შეგიძლიათ გამოიყენოთ ჩვეულებრივი ფრჩხილები.

No1 მაგალითის ყველა პუნქტი მოგვარებულია, რჩება მხოლოდ პასუხის ჩაწერა.

უპასუხე:

1. $\int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C$;
2. $\int\frac(11dx)((4x+19)^8)=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C$;
3. $\int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx=2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x +5)(3)+C$.

მაგალითი #2

იპოვეთ ინტეგრალი $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx$.

ერთი შეხედვით ინტეგრანდ $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ ძალიან ჰგავს მესამე ტიპის ელემენტარულ წილადს, ე.ი. $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$-მდე. როგორც ჩანს, განსხვავება მხოლოდ $3$-ის კოეფიციენტია $x^2$-ის წინ, მაგრამ კოეფიციენტის ამოღებას (ფრჩხილებიდან) დიდი დრო არ დასჭირდება. თუმცა, ეს მსგავსება აშკარაა. $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ წილადისთვის $p^2-4q< 0$, которое гарантирует, что знаменатель $x^2+px+q$ нельзя разложить на множители. Проверим, как обстоит дело с разложением на множители у знаменателя нашей дроби, т.е. у многочлена $3x^2-5x-2$.

ჩვენი კოეფიციენტი $x^2$-ის წინ არ არის ერთის ტოლი, ამიტომ შეამოწმეთ პირობა $p^2-4q< 0$ напрямую мы не можем. Однако тут нужно вспомнить, откуда взялось выражение $p^2-4q$. Это всего лишь дискриминант квадратного уравнения $x^2+px+q=0$. Если дискриминант меньше нуля, то выражение $x^2+px+q$ на множители не разложишь. Вычислим дискриминант многочлена $3x^2-5x-2$, расположенного в знаменателе нашей дроби: $D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49$. Итак, $D >0$, ასე რომ გამოხატვის $3x^2-5x-2$ შეიძლება ფაქტორიზირებული იყოს. და ეს ნიშნავს, რომ წილადი $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ არ არის მესამე ტიპის ელემენტარული წილადი და ვრცელდება $\int\frac(7x+12)(ინტეგრალზე). 3x^2- 5x-2)dx$ ფორმულა დაუშვებელია.

ისე, თუ მოცემული რაციონალური წილადი არ არის ელემენტარული, მაშინ ის უნდა იყოს წარმოდგენილი ელემენტარული წილადების ჯამის სახით და შემდეგ ინტეგრირებული. მოკლედ, ბილიკი ისარგებლეთ. როგორ დავშალოთ რაციონალური წილადი ელემენტარულებად, დეტალურად არის დაწერილი. დავიწყოთ მნიშვნელის ფაქტორინგით:

$$ 3x^2-5x-2=0;\\ \დაწყება(გასწორებული) & D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49;\\ & x_1=\frac( -(-5)-\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5-7)(6)=\frac(-2)(6)=-\frac(1)(3); \\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2.\ \ \ბოლო(გასწორებული)\\ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\right)\right)\cdot (x-2)= 3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2). $$

ჩვენ წარმოვადგენთ ქვეშიდა წილადს შემდეგი სახით:

$$ \frac(7x+12)(3x^2-5x-2)=\frac(7x+12)(3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\მარჯვნივ)(x-2) )=\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)). $$

ახლა მოდით გავაფართოვოთ $\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))$ ელემენტარულ წილადებად:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)) =\frac(A)(x+\frac( 1)(3))+\frac(B)(x-2)=\frac(A(x-2)+B\მარცხენა(x+\frac(1)(3)\მარჯვნივ))(\მარცხნივ(x+ \frac(1)(3)\right)(x-2));\\ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)( 3)\მარჯვნივ). $$

$A$ და $B$ კოეფიციენტების საპოვნელად არსებობს ორი სტანდარტული გზა: განუსაზღვრელი კოეფიციენტების მეთოდი და ნაწილობრივი მნიშვნელობების ჩანაცვლების მეთოდი. მოდით გამოვიყენოთ ნაწილობრივი მნიშვნელობის ჩანაცვლების მეთოდი $x=2$-ის და შემდეგ $x=-\frac(1)(3)$-ის ჩანაცვლებით:

$$ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right).\\ x=2;\; \frac(7)(3)\cdot 2+4=A(2-2)+B\left(2+\frac(1)(3)\right); \; \frac(26)(3)=\frac(7)(3)B;\; B=\frac(26)(7).\\ x=-\frac(1)(3);\; \frac(7)(3)\cdot \left(-\frac(1)(3) \მარჯვნივ)+4=A\left(-\frac(1)(3)-2\მარჯვნივ)+B\მარცხნივ (-\frac(1)(3)+\frac(1)(3)\right); \; \frac(29)(9)=-\frac(7)(3)A;\; A=-\frac(29\cdot 3)(9\cdot 7)=-\frac(29)(21).\\ $$

მას შემდეგ, რაც კოეფიციენტები იქნა ნაპოვნი, რჩება მხოლოდ დასრულებული გაფართოების ჩაწერა:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=\frac(-\frac(29)( 21))(x+\frac(1)(3))+\frac(\frac(26)(7))(x-2). $$

პრინციპში, შეგიძლიათ დატოვოთ ეს ჩანაწერი, მაგრამ მე მომწონს უფრო ზუსტი ვერსია:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=-\frac(29)(21)\ cdot\frac(1)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2). $$

დავუბრუნდეთ თავდაპირველ ინტეგრალს, ჩვენ ვცვლით მიღებულ გაფართოებას მასში. შემდეგ ინტეგრალს ვყოფთ ორად და თითოეულს მივმართავთ ფორმულას. მირჩევნია დაუყოვნებლივ ამოიღო მუდმივები ინტეგრალური ნიშნის გარეთ:

$$ \int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\frac(1)(x+\frac(1) (3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx=\\ =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\ frac(1)(x+\frac(1)(3))\right)dx+\int\left(\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx =- \frac(29)(21)\cdot\int\frac(dx)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\int\frac(dx)(x-2 )dx=\\ =-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right|+\frac(26)(7)\cdot\ln|x- 2|+C. $$

უპასუხე: $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx=-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right| +\frac(26)(7)\cdot\ln|x-2|+C$.

მაგალითი #3

იპოვეთ ინტეგრალი $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx$.

ჩვენ უნდა გავაერთიანოთ წილადი $\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))$. მრიცხველი მეორე ხარისხის მრავალწევრია, მნიშვნელი კი მესამე ხარისხის მრავალწევრია. ვინაიდან მრიცხველში მრავალწევრის ხარისხი ნაკლებია მნიშვნელში მრავალწევრის ხარისხზე, ე.ი. $2< 3$, то подынтегральная дробь является правильной. Разложение этой дроби на элементарные (простейшие) было получено в примере №3 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные. Полученное разложение таково:

$$ \frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))=-\frac(3)(x-1)+\frac(5)(x +4)-\frac(1)(x-9). $$

ჩვენ უბრალოდ უნდა დავყოთ მოცემული ინტეგრალი სამად და გამოვიყენოთ ფორმულა თითოეულზე. მირჩევნია დაუყოვნებლივ ამოიღო მუდმივები ინტეგრალური ნიშნის გარეთ:

$$ \int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=\int\left(-\frac(3)(x-1) +\frac(5)(x+4)-\frac(1)(x-9) \right)dx=\\=-3\cdot\int\frac(dx)(x-1)+ 5\cdot \int\frac(dx)(x+4)-\int\frac(dx)(x-9)=-3\ln|x-1|+5\ln|x+4|-\ln|x- 9|+C. $$

უპასუხე: $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=-3\ln|x-1|+5\ln|x+ 4 |-\ln|x-9|+C$.

ამ თემის მაგალითების ანალიზის გაგრძელება მოცემულია მეორე ნაწილში.

სანამ უმარტივესი წილადების ინტეგრაციას გააგრძელებთ წილადის რაციონალური ფუნქციის განუსაზღვრელი ინტეგრალის საპოვნელად, რეკომენდებულია მეხსიერების განახლება განყოფილების „წილადის დაშლა უმარტივესებად“.

მაგალითი 1

იპოვეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი ∫ 2 x 3 + 3 x 3 + x d x.

გადაწყვეტილება

ჩვენ ვირჩევთ მთელ ნაწილს მრავალწევრის სვეტის მრავალწევრზე გაყოფით, იმის გათვალისწინებით, რომ ინტეგრანტის მრიცხველის ხარისხი ტოლია მნიშვნელის ხარისხზე:

ასე რომ, 2 x 3 + 3 x 3 + x = 2 + - 2 x + 3 x 3 + x. მივიღეთ სწორი რაციონალური წილადი - 2 x + 3 x 3 + x, რომელსაც ახლა გავაფართოვებთ მარტივ წილადებად - 2 x + 3 x 3 + x \u003d 3 x - 3 x + 2 x 2 + 1. აქედან გამომდინარე,

∫ 2 x 3 + 3 x 3 + x d x = ∫ 2 + 3 x - 3 x + 2 x 2 + 1 d x = ∫ 2 d x + ∫ 3 x d x - ∫ 3 x + 2 x 2 + 1 d x = 2 x + 3 ჟურნალი x - ∫ 3 x + 2 x 2 + 1 d x

მივიღეთ მესამე ტიპის უმარტივესი წილადის ინტეგრალი. მისი აღება შეგიძლიათ დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ მოყვანით.

ვინაიდან d x 2 + 1 = 2 x d x, მაშინ 3 x d x = 3 2 d x 2 + 1. Ისე
∫ 3 x + 2 x 2 + 1 d x = ∫ 3 x x 2 + 1 d x + ∫ 2 x 2 + 1 = 3 2 ∫ d x 2 + 1 x 2 + 1 + 2 ∫ d x x 2 + 1 = 3 2 l x + 1 + 2 a r c t g x + C 1

აქედან გამომდინარე,
∫ 2 x 3 + 3 x 3 + x d x = 2 x + 3 ln x - ∫ 3 x + 2 x 2 + 1 d x = 2 x + 3 ln x - 3 2 ln x 2 + 1 - 2 a r c tan x + C , სადაც C \u003d - C 1

მოდით აღვწეროთ ოთხი ტიპის უმარტივესი წილადების ინტეგრირების მეთოდები.

პირველი ტიპის A x - a უმარტივესი წილადების ინტეგრაცია

ამ პრობლემის გადასაჭრელად ვიყენებთ პირდაპირი ინტეგრაციის მეთოდს:

∫ A x - a d x = A ∫ d x x - a = A ln x - a + C

მაგალითი 2

იპოვეთ y = 3 2 x - 1 ფუნქციის ანტიწარმოებულთა სიმრავლე.

გადაწყვეტილება

ინტეგრაციის წესის, ანტიწარმოებულის თვისებებისა და ანტიწარმოებულების ცხრილის გამოყენებით ვპოულობთ განუსაზღვრელ ინტეგრალს ∫ 3 d x 2 x - 1: ∫ f k x + b d x = 1 k F k x + b + C.

∫ 3 d x 2 x - 1 = 3 ∫ d x 2 x - 1 2 = 3 2 ∫ d x x - 1 2 = 3 2 ln x - 1 2 + C

პასუხი: ∫ 3 d x 2 x - 1 = 3 2 ln x - 1 2 + C

მეორე ტიპის A x - a n მარტივი წილადების ინტეგრაცია

აქ ასევე ვიყენებთ პირდაპირი ინტეგრაციის მეთოდს: ∫ A x - a n d x = A ∫ x - a - n d x = A - n + 1 x - a - n + 1 + C = A 1 - n x - a n - 1 + C

მაგალითი 3

აუცილებელია ვიპოვოთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი ∫ d x 2 x - 3 7 .

გადაწყვეტილება

∫ d x 2 x - 3 7 = ∫ d x 2 x - 3 2 7 = 1 2 7 ∫ x - 3 2 - 7 d x = = 1 2 7 1 - 7 + 1 x - 3 2 - 7 + 1 + C = 1 2 7 - 6 x - 3 2 6 + C = = 1 2 - 6 2 6 x - 3 2 6 + C = - 1 12 1 2 x - 3 6 + C

პასუხი:∫ d x 2 x - 3 7 = - 1 12 1 2 x - 3 6 + C

მესამე ტიპის მარტივი წილადების ინტეგრაცია M x + N x 2 + p x + q , D = p 2 - 4 q< 0

როგორც პირველი ნაბიჯი, ჩვენ წარმოვადგენთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი ∫ M x + N x 2 + p x + q ჯამის სახით:

∫ M x + N x 2 + p x + q d x = ∫ M x x 2 + p x + q d x + N ∫ d x x 2 + p x + q

პირველი ინტეგრალის ასაღებად ვიყენებთ დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ შეყვანის მეთოდს:

∫ M x x 2 + p x + q d x = d x 2 + p x + q = 2 x + p d x = 2 x d x + p d x ⇒ 2 x d x = d x 2 + p x + q - p d x ⇒ M x d x = M 2 d x - 2 + p x + p M 2 d x = = ∫ M 2 d x 2 + p x + q - p M 2 d x x 2 + p x + q = = M 2 ∫ d x 2 + p x + q x 2 + p x + q - p M 2 ∫ d x x 2 + p x + q = = M 2 log x 2 + p x + q - p M 2 ∫ d x x 2 + p x + q

Ისე,
∫ M x + N x 2 + p x + q d x = ∫ M x x 2 + p x + q d x + N ∫ d x x 2 + p x + q = = M 2 ln x 2 + p x + q - p M 2 ∫ d x x 2 + p x + q + N ∫ d x x 2 + p x + q = = M 2 ln x 2 + p x + q + 2 N - p M 2 ∫ d x x 2 + p x + q

მივიღეთ ინტეგრალი ∫ d x x 2 + p x + q. გადავცვალოთ მისი მნიშვნელი:

∫ d x x 2 + p x + q = ∫ d x x 2 + p x + p 2 2 - p 2 2 + q = = ∫ d x x + p 2 2 - p 2 4 + q = ∫ d x x + p 2 2 - p 2 4 + q = = ∫ d x x + p 2 2 + 4 q - p 2 4 = 2 4 q - p 2 a r c t g 2 x + p 2 4 q - p 2 + C 1

აქედან გამომდინარე,

∫ M x + N x 2 + p x + q d x = M 2 ln x 2 + p x + q + 2 N - p M 2 ∫ d x x 2 + p x + q = = M 2 ln x 2 + p x + q + 2 N - p M 2 2 4 q - p 2 a r c t g 2 x + p 2 4 q - p 2 + C 1

მესამე ტიპის უმარტივესი წილადების ინტეგრირების ფორმულა იღებს ფორმას:
∫ M x + N x 2 + p x + q d x = M 2 ln x 2 + p x + q + 2 N - p M 4 q - p 2 a r c t g 2 x + p 2 4 q - p 2 + C

მაგალითი 4

აუცილებელია ვიპოვოთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი ∫ 2 x + 1 3 x 2 + 6 x + 30 d x.

გადაწყვეტილება

მოდით გამოვიყენოთ ფორმულა:

∫ 2 x + 1 3 x 2 + 6 x + 30 d x = 1 3 ∫ 2 x + 1 x 2 + 2 x + 10 d x = M = 2, N = 1, p = 2, q = 10 = = 1 3 2 2 ln x 2 + 2 x + 10 + 2 1 - 2 2 4 10 - 2 2 a r c t g 2 x + 2 2 4 10 - 2 2 + C = = 1 3 ln x 2 + 2 x + 10 - 1 9 a r c t g x + 1 3 + C

მეორე გამოსავალი ასე გამოიყურება:

∫ 2 x + 1 3 x 2 + 6 x + 30 d x = 1 3 ∫ 2 x + 1 x 2 + 2 x + 10 d x = d (x 2 + 2 x + 10 = (2 x + 2) d x = = 1 3 ∫ 2 x + 2 - 1 x 2 + 2 x + 10 d x = 1 3 ∫ d (x 2 + 2 x + 10) x 2 + 2 x + 10 = 1 3 ∫ d x x 2 + 2 x + 10 = \u003d r a n d e n t a n d a n t = 1 3 ln x 2 + 2 x + 10 - 1 3 ∫ d (x) x + 1 2 + 9 = = 1 3 ln x 2 + 2 x + 10 - 1 9 a r c t

პასუხი: ∫ 2 x + 1 3 x 2 + 6 x + 30 d x = 1 3 ln x 2 + 2 x + 10 - 1 9 a r c t g x + 1 3 + C

მეოთხე ტიპის უმარტივესი წილადების ინტეგრაცია M x + N (x 2 + p x + q) n , D = p 2 - 4 q< 0

უპირველეს ყოვლისა, ჩვენ ვასრულებთ შეჯამებას დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ:

∫ M x + N x 2 + p x + q d x = d (x 2 + p x + q) = (2 x + p) d x = = M 2 ∫ d (x 2 + p x + q) (x 2 + p x + q ) n + N - p M 2 ∫ d x (x 2 + p x + q) n = = M 2 (- n + 1) 1 (x 2 + p x + q) n - 1 + N - p M 2 ∫ d x ( x 2 + p x + q) n

შემდეგ ვიპოვით J n = ∫ d x (x 2 + p x + q) n ფორმის ინტეგრალი განმეორებადი ფორმულების გამოყენებით. ინფორმაცია განმეორებადი ფორმულების შესახებ შეგიძლიათ იხილოთ თემაში „ინტეგრაცია განმეორებადი ფორმულების გამოყენებით“.

ჩვენი პრობლემის გადასაჭრელად, განმეორებითი ფორმულა J n \u003d 2 x + p (n - 1) (4 q - p 2) (x 2 + p x + q) n - 1 + 2 n - 3 n - 1 2 4 q - p 2 · J n - 1 .

მაგალითი 5

აუცილებელია ვიპოვოთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი ∫ d x x 5 x 2 - 1 .

გადაწყვეტილება

∫ d x x 5 x 2 - 1 = ∫ x - 5 (x 2 - 1) - 1 2 d x

ჩვენ გამოვიყენებთ ჩანაცვლების მეთოდს ამ ტიპის ინტეგრანდებისთვის. მოდით შემოვიტანოთ ახალი ცვლადი x 2 - 1 = z 2 x = (z 2 + 1) 1 2 d x = z (z 2 + 1) - 1 2 d x

ჩვენ ვიღებთ:

∫ d x x 5 x 2 - 1 = ∫ x - 5 (x 2 - 1) - 1 2 d x = = ∫ (z 2 + 1) - 5 2 z - 1 z (z 2 + 1) - 1 2 d z = ∫ d z (z 2 + 1) 3

მივედით მეოთხე ტიპის წილადის ინტეგრალის პოვნამდე. ჩვენს შემთხვევაში გვაქვს კოეფიციენტები M=0, p=0, q=1, N=1და n=3. ჩვენ ვიყენებთ რეკურსიულ ფორმულას:

J 3 \u003d ∫ d z (z 2 + 1) 3 \u003d 2 z + 0 (3 - 1) (4 1 - 0) z 2 + 1 3 - 1 + 2 3 - 3 3 - 1 2 4 1 - 0 ∫ d z (z 2 + 1) 2 = = z 4 (z 2 + 1) 2 + 3 4 2 z (2 - 1) (4 1 - 0) (z 2 + 1) 2 - 1 + 2 2 - 3 2 - 11 2 4 1 - 0 ∫ d z z 2 + 1 = = z 4 (z 2 + 1) 2 + 3 8 z z 2 + 1 + 3 8 a r c t g (z) + C

საპირისპირო ჩანაცვლების შემდეგ z = x 2 - 1 მივიღებთ შედეგს:
∫ d x x 5 x 2 - 1 = x 2 - 1 4 x 4 + 3 8 x 2 - 1 x 2 + 3 8 a r c t g x 2 - 1 + C

პასუხი:∫ d x x 5 x 2 - 1 = x 2 - 1 4 x 4 + 3 8 x 2 - 1 x 2 + 3 8 a r c t g x 2 - 1 + C

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter