შეცდომების გაანგარიშება პირდაპირ და არაპირდაპირ გაზომვებში

გაზომვა გაგებულია, როგორც გაზომილი მნიშვნელობის შედარება სხვა მნიშვნელობასთან, აღებული როგორც საზომი ერთეული. გაზომვები ხორციელდება ემპირიულად სპეციალური ტექნიკური საშუალებების გამოყენებით.

პირდაპირ გაზომვებს უწოდებენ გაზომვებს, რომლის შედეგი მიიღება უშუალოდ ექსპერიმენტული მონაცემებიდან (მაგალითად, სიგრძის გაზომვა სახაზავთან, დრო წამზომით, ტემპერატურა თერმომეტრით). არაპირდაპირი გაზომვები არის გაზომვები, რომლებშიც სიდიდის სასურველი მნიშვნელობა გვხვდება ამ რაოდენობასა და იმ სიდიდეებს შორის ცნობილი ურთიერთობის საფუძველზე, რომელთა მნიშვნელობები მიიღება პირდაპირი გაზომვების პროცესში (მაგალითად, სიჩქარის განსაზღვრა გავლილი მანძილის გასწვრივ. და დრო https://pandia.ru/text/78/ 464/images/image002_23.png" width="65" height="21 src=">).

ნებისმიერ გაზომვას, რაც არ უნდა ფრთხილად შესრულდეს, აუცილებლად თან ახლავს შეცდომა (შეცდომა) - გაზომვის შედეგის გადახრა გაზომილი სიდიდის ნამდვილი მნიშვნელობიდან.

სისტემური შეცდომები არის შეცდომები, რომელთა სიდიდე ერთნაირია ყველა გაზომვისას, რომელიც ხორციელდება ერთი და იგივე მეთოდით, იგივე საზომი ხელსაწყოების გამოყენებით, ერთსა და იმავე პირობებში. სისტემატური შეცდომები ხდება:

გაზომვებში გამოყენებული ხელსაწყოების არასრულყოფილების შედეგად (მაგალითად, ამპერმეტრის ნემსი შეიძლება გადახრილი იყოს ნულიდან დენის არარსებობის შემთხვევაში; ბალანსის სხივს შეიძლება ჰქონდეს არათანაბარი მკლავები და ა.შ.);

გაზომვის მეთოდის თეორიის არასაკმარისი განვითარების შედეგად, ანუ გაზომვის მეთოდი შეიცავს შეცდომების წყაროს (მაგალითად, შეცდომა ჩნდება, როდესაც გარემოსთვის სითბოს დაკარგვა არ არის გათვალისწინებული კალორიმეტრულ სამუშაოებში ან ანალიტიკურ აწონვისას. ბალანსი შესრულებულია ჰაერის გამაძლიერებელი ძალის გათვალისწინების გარეშე);

იმის გამო, რომ ექსპერიმენტის პირობების ცვლილება მხედველობაში არ მიიღება (მაგალითად, წრეში დენის ხანგრძლივი გავლის დროს, დენის თერმული ეფექტის შედეგად, ელექტრული პარამეტრები წრედის შეცვლა).

სისტემატური შეცდომები შეიძლება აღმოიფხვრას, თუ შეისწავლება ინსტრუმენტების მახასიათებლები, უფრო სრულყოფილად განვითარდება ექსპერიმენტის თეორია და ამის საფუძველზე ხდება გაზომვის შედეგების კორექტირება.

შემთხვევითი შეცდომები არის შეცდომები, რომელთა სიდიდე განსხვავებულია თუნდაც იმავე გზით შესრულებული გაზომვებისთვის. მათი მიზეზები მდგომარეობს როგორც ჩვენი გრძნობების არასრულყოფილებაში, ასევე ბევრ სხვა გარემოებაში, რომლებიც თან ახლავს გაზომვებს და რომელთა წინასწარ გათვალისწინება შეუძლებელია (შემთხვევითი შეცდომები ხდება, მაგალითად, თუ ფოტომეტრის განათების ველების თანასწორობა დაყენებულია თვალით. თუ მათემატიკური ქანქარის მაქსიმალური გადახრის მომენტი განისაზღვრება თვალით; ყურით ხმის რეზონანსის მომენტის პოვნისას; ანალიტიკურ ბალანსზე აწონვისას, თუ იატაკისა და კედლების ვიბრაცია გადადის ბალანსზე და ა.შ.) .

შემთხვევითი შეცდომების თავიდან აცილება შეუძლებელია. მათი გაჩენა გამოიხატება იმაში, რომ ერთი და იგივე სიფრთხილით ერთი და იგივე რაოდენობის გაზომვების გამეორებისას მიიღება ერთმანეთისგან განსხვავებული რიცხვითი შედეგები. ამიტომ, თუ იგივე მნიშვნელობები იქნა მიღებული გაზომვების განმეორებისას, მაშინ ეს მიუთითებს არა შემთხვევითი შეცდომების არარსებობაზე, არამედ გაზომვის მეთოდის არასაკმარის მგრძნობელობაზე.

შემთხვევითი შეცდომები ცვლის შედეგს როგორც ერთი მიმართულებით, ასევე მეორე მიმართულებით ჭეშმარიტი მნიშვნელობიდან, ამიტომ, რათა შემცირდეს შემთხვევითი შეცდომების გავლენა გაზომვის შედეგზე, გაზომვები ჩვეულებრივ მეორდება ბევრჯერ და ყველა გაზომვის შედეგის არითმეტიკული საშუალოა. აღებული.

შეგნებულად არასწორი შედეგები - გამოტოვება ხდება გაზომვის ძირითადი პირობების დარღვევის გამო, ექსპერიმენტატორის უყურადღებობის ან დაუდევრობის შედეგად. მაგალითად, ცუდი განათების დროს, ნაცვლად "3", ჩაწერეთ "8"; იმის გამო, რომ ექსპერიმენტატორი განადგურებულია, მას შეუძლია ცდება ქანქარის რხევების რაოდენობის დათვლისას; დაუდევრობის ან უყურადღებობის გამო, მას შეუძლია აირიოს ტვირთის მასები ზამბარის სიხისტის დადგენისას და ა.შ. გამოტოვების გარეგანი ნიშანი არის სიდიდის მკვეთრი განსხვავება სხვა გაზომვების შედეგებისგან. თუ შეცდომა გამოვლინდა, გაზომვის შედეგი დაუყოვნებლივ უნდა გაუქმდეს და თავად გაზომვა უნდა განმეორდეს. შეცდომების იდენტიფიცირებას ასევე ეხმარება სხვადასხვა ექსპერიმენტატორის მიერ მიღებული გაზომვის შედეგების შედარება.

ფიზიკური სიდიდის გაზომვა ნიშნავს ნდობის ინტერვალის პოვნას, რომელშიც არის მისი ნამდვილი მნიშვნელობა https://pandia.ru/text/78/464/images/image005_14.png" width="16 height=21" height="21" >. .png" width="21" height="17 src=">.png" width="31" height="21 src="> შემთხვევაში, გაზომილი მნიშვნელობის ნამდვილი მნიშვნელობა ჯდება ნდობის ინტერვალში. მნიშვნელობა გამოიხატება ან ერთეულის ფრაქციებში, ან პროცენტებში გაზომვების უმეტესობა შემოიფარგლება 0,9 ან 0,95 სანდოობის დონით, ზოგჯერ, როდესაც საჭიროა საიმედოობის უკიდურესად მაღალი ხარისხი, ნდობის დონესთან ერთად გამოიყენება ნდობის დონე 0,999. ხშირად გამოიყენება მნიშვნელოვნების დონე, რომელიც განსაზღვრავს ალბათობას, რომ ჭეშმარიტი მნიშვნელობა არ მოხვდება ნდობის ინტერვალში. გაზომვის შედეგი წარმოდგენილია როგორც

სადაც https://pandia.ru/text/78/464/images/image012_8.png" width="23" height="19"> არის აბსოლუტური შეცდომა. ამრიგად, ინტერვალის ლიმიტები, https://pandia.ru / text/78/464/images/image005_14.png" width="16" height="21"> ამ დიაპაზონშია.

იპოვეთ და შეასრულეთ ერთჯერადი გაზომვების სერია. განვიხილოთ კონკრეტული მაგალითი..png" width="71" height="23 src=">; ; https://pandia.ru/text/78/464/images/image019_5.png" width="72" height= " 23">.png" width="72" height="24">. მნიშვნელობები შეიძლება განმეორდეს, როგორიცაა მნიშვნელობები და https://pandia.ru/text/78/464/images/image024_4.png " width="48 height=15" height="15">.png" width="52" height="21">. შესაბამისად, მნიშვნელოვნების დონე .

გაზომილი მნიშვნელობის საშუალო მნიშვნელობა

საზომი მოწყობილობა ასევე ხელს უწყობს გაზომვის შეცდომას. ეს შეცდომა გამოწვეულია მოწყობილობის დიზაინით (მაჩვენებელი მოწყობილობის ღერძში ხახუნი, ციფრული ან დისკრეტული მაჩვენებლის მოწყობილობის მიერ წარმოებული დამრგვალება და ა.შ.). თავისი ბუნებით, ეს არის სისტემატური შეცდომა, მაგრამ არც მისი სიდიდე და არც ნიშანი ამ კონკრეტული ინსტრუმენტისთვის უცნობია. ინსტრუმენტული შეცდომა ფასდება იმავე ტიპის ინსტრუმენტების დიდი სერიის ტესტირების პროცესში.

საზომი ხელსაწყოების სიზუსტის კლასების ნორმალიზებული დიაპაზონი მოიცავს შემდეგ მნიშვნელობებს: 0,05; 0.1; 0.2; 0,5; 1.0; 1.5; 2.5; 4.0. მოწყობილობის სიზუსტის კლასი უდრის მოწყობილობის ფარდობით ცდომილებას, გამოხატული პროცენტულად, მასშტაბის სრულ დიაპაზონთან მიმართებაში. მოწყობილობის პასპორტის შეცდომა

ნებისმიერი გაზომვა ყოველთვის კეთდება გარკვეული შეცდომებით, რომლებიც დაკავშირებულია საზომი ხელსაწყოების შეზღუდულ სიზუსტესთან, არასწორი არჩევანით და გაზომვის მეთოდის შეცდომასთან, ექსპერიმენტატორის ფიზიოლოგიასთან, გაზომილი ობიექტების მახასიათებლებთან, გაზომვის პირობების ცვლილებებთან და ა.შ. მაშასადამე, საზომი ამოცანა მოიცავს არა მხოლოდ თავად სიდიდის, არამედ გაზომვის შეცდომის პოვნას, ე.ი. ინტერვალი, რომელშიც ყველაზე სავარაუდოა გაზომილი სიდიდის ჭეშმარიტი მნიშვნელობის პოვნა. მაგალითად, t დროის ინტერვალის გაზომვისას წამზომით გაყოფის მნიშვნელობით 0,2 წმ, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ მისი ნამდვილი მნიშვნელობა არის ინტერვალში s-დან s-მდე.
თან. ამრიგად, გაზომილი მნიშვნელობა ყოველთვის შეიცავს გარკვეულ შეცდომას
, სად და X, შესაბამისად, შესწავლილი რაოდენობის ჭეშმარიტი და გაზომილი მნიშვნელობებია. ღირებულება
დაურეკა აბსოლუტური შეცდომა(შეცდომა) გაზომვები და გამოხატულება
გაზომვის სიზუსტის დამახასიათებელი ეწოდება შედარებითი შეცდომა.

სავსებით ბუნებრივია, რომ ექსპერიმენტატორი ცდილობდეს ყველა გაზომვას უდიდესი მიღწევადი სიზუსტით, მაგრამ ასეთი მიდგომა ყოველთვის არ არის მიზანშეწონილი. რაც უფრო ზუსტად გვსურს გავზომოთ ესა თუ ის რაოდენობა, რაც უფრო რთული ინსტრუმენტები უნდა გამოვიყენოთ, მით მეტი დრო დასჭირდება ამ გაზომვებს. ამიტომ, საბოლოო შედეგის სიზუსტე უნდა შეესაბამებოდეს ექსპერიმენტის მიზანს. შეცდომების თეორია იძლევა რეკომენდაციებს იმის შესახებ, თუ როგორ უნდა მოხდეს გაზომვები და როგორ დამუშავდეს შედეგები ისე, რომ შეცდომის ზღვარი იყოს რაც შეიძლება მცირე.

გაზომვების დროს წარმოქმნილი ყველა შეცდომა ჩვეულებრივ იყოფა სამ ტიპად - სისტემატური, შემთხვევითი და გამოტოვებული, ან უხეში შეცდომები.

სისტემური შეცდომებიმოწყობილობების დამზადების შეზღუდული სიზუსტის გამო (ინსტრუმენტების შეცდომები), არჩეული გაზომვის მეთოდის ხარვეზები, გაანგარიშების ფორმულის უზუსტობა, მოწყობილობის არასწორი ინსტალაცია და ა.შ. ამრიგად, სისტემატურ შეცდომებს იწვევს ფაქტორები, რომლებიც ერთნაირად მოქმედებენ, როდესაც ერთი და იგივე გაზომვები მრავალჯერ მეორდება. ამ შეცდომის მნიშვნელობა სისტემატურად მეორდება ან იცვლება გარკვეული კანონის მიხედვით. ზოგიერთი სისტემატური შეცდომის აღმოფხვრა შესაძლებელია (პრაქტიკაში ამის მიღწევა ყოველთვის ადვილია) გაზომვის მეთოდის შეცვლით, ხელსაწყოების წაკითხვაში შესწორებების შეტანით და გარე ფაქტორების მუდმივი გავლენის გათვალისწინებით.

მიუხედავად იმისა, რომ სისტემატური (ინსტრუმენტული) შეცდომა განმეორებითი გაზომვების დროს იძლევა გაზომილი მნიშვნელობის გადახრას ჭეშმარიტი მნიშვნელობიდან ერთი მიმართულებით, ჩვენ არასოდეს ვიცით რომელი მიმართულებით. ამიტომ ინსტრუმენტული შეცდომა იწერება ორმაგი ნიშნით

შემთხვევითი შეცდომებიგამოწვეულია დიდი რაოდენობით შემთხვევითი მიზეზებით (ტემპერატურის ცვლილება, წნევა, შენობის რყევა და ა.შ.), რომელთა გავლენა თითოეულ გაზომვაზე განსხვავებულია და წინასწარ გათვალისწინება შეუძლებელია. შემთხვევითი შეცდომები ასევე ხდება ექსპერიმენტატორის გრძნობის ორგანოების არასრულყოფილების გამო. შემთხვევითი შეცდომები ასევე მოიცავს შეცდომებს გაზომილი ობიექტის თვისებების გამო.

შეუძლებელია ცალკეული გაზომვების შემთხვევითი შეცდომების გამორიცხვა, მაგრამ შესაძლებელია ამ შეცდომების გავლენის შემცირება საბოლოო შედეგზე მრავალჯერადი გაზომვების განხორციელებით. თუ შემთხვევითი შეცდომა ინსტრუმენტულ (სისტემატურ) შეცდომაზე მნიშვნელოვნად ნაკლები აღმოჩნდება, მაშინ შემთხვევითი შეცდომის შემდგომი შემცირება გაზომვების რაოდენობის გაზრდით აზრი არ აქვს. თუ შემთხვევითი ცდომილება მეტია ინსტრუმენტულ შეცდომაზე, მაშინ გაზომვების რაოდენობა უნდა გაიზარდოს, რათა შემცირდეს შემთხვევითი შეცდომის მნიშვნელობა და იყოს ის ინსტრუმენტული შეცდომის სიდიდის ან ერთი რიგის მიხედვით.

შეცდომები თუ დაშვებული შეცდომები- ეს არის არასწორი წაკითხვა მოწყობილობაზე, წაკითხვის არასწორი ჩაწერა და ა.შ. როგორც წესი, მითითებული მიზეზების გამო გამოტოვებები აშკარად ჩანს, რადგან მათ შესაბამისი წაკითხვები მკვეთრად განსხვავდება სხვა წაკითხვებისგან. ხარვეზები უნდა აღმოიფხვრას საკონტროლო გაზომვებით. ამრიგად, ინტერვალის სიგანე, რომელშიც დევს გაზომილი რაოდენობების ნამდვილი მნიშვნელობები, განისაზღვრება მხოლოდ შემთხვევითი და სისტემატური შეცდომებით.

2 . სისტემური (ინსტრუმენტული) შეცდომის შეფასება

პირდაპირი გაზომვისთვისგაზომილი სიდიდის მნიშვნელობა იკითხება პირდაპირ საზომი ხელსაწყოს შკალაზე. წაკითხვის შეცდომამ შეიძლება მიაღწიოს მასშტაბის გაყოფის რამდენიმე მეათედს. ჩვეულებრივ, ასეთ გაზომვებში, სისტემური შეცდომის სიდიდე განიხილება საზომი ხელსაწყოს მასშტაბის გაყოფის ნახევრის ტოლი. მაგალითად, კალიბრით გაზომვისას გაყოფის მნიშვნელობით 0,05 მმ, ინსტრუმენტული გაზომვის შეცდომის მნიშვნელობა აღებულია 0,025 მმ-ის ტოლი.

ციფრული საზომი ხელსაწყოები აძლევენ მათ მიერ გაზომილი რაოდენობების მნიშვნელობას, შეცდომით, რომელიც უდრის ინსტრუმენტის მასშტაბის ბოლო ციფრის ერთი ერთეულის მნიშვნელობას. ასე რომ, თუ ციფრული ვოლტმეტრი აჩვენებს მნიშვნელობას 20,45 მვ, მაშინ გაზომვის აბსოლუტური შეცდომა არის
mV.

სისტემატური შეცდომები ასევე წარმოიქმნება ცხრილებიდან განსაზღვრული მუდმივი მნიშვნელობების გამოყენებისას. ასეთ შემთხვევებში, შეცდომა მიიღება ბოლო მნიშვნელოვანი ციფრის ნახევრის ტოლი. მაგალითად, თუ ცხრილში ფოლადის სიმკვრივის მნიშვნელობა მოცემულია 7,9∙10 3 კგ / მ 3 მნიშვნელობით, მაშინ აბსოლუტური შეცდომა ამ შემთხვევაში უდრის
კგ / მ 3.

ელექტრული საზომი ხელსაწყოების ინსტრუმენტული შეცდომების გაანგარიშების ზოგიერთი მახასიათებელი ქვემოთ იქნება განხილული.

ირიბი გაზომვების სისტემატური (ინსტრუმენტული) ცდომილების დადგენისასფუნქციური ღირებულება
ფორმულა გამოიყენება

, (1)

სადაც - სიდიდის პირდაპირი გაზომვის ინსტრუმენტის შეცდომები , - ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებულები ცვლადის მიმართ.

მაგალითად, მივიღებთ ცილინდრის მოცულობის გაზომვისას სისტემატური შეცდომის გამოთვლის ფორმულას. ცილინდრის მოცულობის გამოთვლის ფორმულა არის

.

ნაწილობრივი წარმოებულები ცვლადების მიმართ დ და თთანაბარი იქნება

,
.

ამრიგად, ცილინდრის მოცულობის გაზომვისას აბსოლუტური სისტემური შეცდომის განსაზღვრის ფორმულას (2. ..) აქვს შემდეგი ფორმა.

,

სადაც
და
ინსტრუმენტული შეცდომები ცილინდრის დიამეტრისა და სიმაღლის გაზომვისას

3. შემთხვევითი შეცდომის შეფასება.

ნდობის ინტერვალი და ნდობის ალბათობა

მარტივი გაზომვების დიდი უმრავლესობისთვის, შემთხვევითი შეცდომების ეგრეთ წოდებული ნორმალური კანონი საკმაოდ კარგად არის დაკმაყოფილებული ( გაუსის კანონი), გამომდინარეობს შემდეგი ემპირიული დებულებებიდან.

გაზომვის შეცდომებმა შეიძლება მიიღოს მნიშვნელობების უწყვეტი სერია;

გაზომვების დიდი რაოდენობით, იგივე სიდიდის, მაგრამ განსხვავებული ნიშნის შეცდომები, თანაბრად ხშირად ხდება,

რაც უფრო დიდია შემთხვევითი შეცდომა, მით ნაკლებია მისი წარმოშობის ალბათობა.

ნორმალური გაუსის განაწილების გრაფიკი ნაჩვენებია ნახ.1-ზე. მრუდის განტოლებას აქვს ფორმა

, (2)

სადაც
- შემთხვევითი შეცდომების (შეცდომების) განაწილების ფუნქცია, რომელიც ახასიათებს შეცდომის ალბათობას
, σ არის ფესვის საშუალო კვადრატის შეცდომა.

მნიშვნელობა σ არ არის შემთხვევითი ცვლადი და ახასიათებს გაზომვის პროცესს. თუ გაზომვის პირობები არ იცვლება, მაშინ σ მუდმივი რჩება. ამ სიდიდის კვადრატი ეწოდება გაზომვების დისპერსია.რაც უფრო მცირეა დისპერსია, მით უფრო მცირეა ინდივიდუალური მნიშვნელობების გავრცელება და უფრო მაღალია გაზომვის სიზუსტე.

ზუსტი მნიშვნელობა root-საშუალო კვადრატული შეცდომის σ, ისევე როგორც გაზომილი სიდიდის ნამდვილი მნიშვნელობა უცნობია. არსებობს ამ პარამეტრის ე.წ. სტატისტიკური შეფასება, რომლის მიხედვითაც საშუალო კვადრატული ცდომილება უდრის საშუალო არითმეტიკული საშუალო კვადრატის ცდომილებას. . რომლის ღირებულება განისაზღვრება ფორმულით

, (3)

სადაც - შედეგი მე-ე განზომილება; - მიღებული სიდიდეების საშუალო არითმეტიკული; ნ არის გაზომვების რაოდენობა.

რაც უფრო დიდია გაზომვების რაოდენობა, მით უფრო მცირეა და უფრო უახლოვდება მას σ. თუ გაზომილი მნიშვნელობის μ ჭეშმარიტი მნიშვნელობა, გაზომვების შედეგად მიღებული მისი საშუალო არითმეტიკული მნიშვნელობა და შემთხვევითი აბსოლუტური შეცდომა, მაშინ გაზომვის შედეგი დაიწერება როგორც
.

მნიშვნელობის ინტერვალი დან
ადრე
, რომელშიც ეცემა გაზომილი სიდიდის μ ჭეშმარიტი მნიშვნელობა, ეწოდება ნდობის ინტერვალი.ვინაიდან ეს არის შემთხვევითი ცვლადი, ჭეშმარიტი მნიშვნელობა ხვდება ნდობის ინტერვალში α ალბათობით, რომელიც ე.წ. ნდობის ალბათობა,ან საიმედოობაგაზომვები. ეს მნიშვნელობა რიცხობრივად უდრის დაჩრდილული მრუდი ტრაპეციის ფართობს. (იხილეთ სურათი.)

ეს ყველაფერი მართალია საკმარისად დიდი რაოდენობის გაზომვებისთვის, როდესაც ახლოს არის σ. ნდობის ინტერვალისა და ნდობის დონის საპოვნელად მცირე რაოდენობის გაზომვებისთვის, რომლებთანაც საქმე გვაქვს ლაბორატორიული სამუშაოების დროს, ვიყენებთ მოსწავლის ალბათობის განაწილება.ეს არის შემთხვევითი ცვლადის ალბათობის განაწილება დაურეკა სტუდენტის კოეფიციენტი, იძლევა ნდობის ინტერვალის მნიშვნელობას არითმეტიკული საშუალოს ფესვის საშუალო კვადრატული ცდომილების წილადებში.

. (4)

ამ სიდიდის ალბათობის განაწილება არ არის დამოკიდებული σ 2-ზე, მაგრამ არსებითად დამოკიდებულია ექსპერიმენტების რაოდენობაზე ნ. ექსპერიმენტების რაოდენობის მატებასთან ერთად ნსტუდენტური განაწილება მიდრეკილია გაუსის განაწილებისკენ.

განაწილების ფუნქცია არის ცხრილი (ცხრილი 1). სტუდენტის კოეფიციენტის მნიშვნელობა არის გაზომვების რაოდენობის შესაბამისი ხაზის გადაკვეთაზე ნ, და სვეტი, რომელიც შეესაბამება α ნდობის დონეს

ცხრილი 1.

ცხრილის მონაცემების გამოყენებით შეგიძლიათ:

განსაზღვრეთ ნდობის ინტერვალი, გარკვეული ალბათობის გათვალისწინებით;

აირჩიეთ ნდობის ინტერვალი და განსაზღვრეთ ნდობის დონე.

არაპირდაპირი გაზომვებისთვის, ფუნქციის საშუალო არითმეტიკული ძირის საშუალო კვადრატული შეცდომა გამოითვლება ფორმულით

. (5)

ნდობის ინტერვალი და ნდობის ალბათობა განისაზღვრება ისევე, როგორც პირდაპირი გაზომვების შემთხვევაში.

გაზომვის მთლიანი შეცდომის შეფასება. საბოლოო შედეგის ჩაწერა.

X-ის გაზომვის შედეგის მთლიანი შეცდომა განისაზღვრება, როგორც სისტემური და შემთხვევითი შეცდომების საშუალო კვადრატული მნიშვნელობა

, (6)

სადაც δx -ინსტრუმენტული შეცდომა, Δ Xშემთხვევითი შეცდომაა.

X შეიძლება იყოს პირდაპირ ან ირიბად გაზომილი სიდიდე.

, α=…, Е=… (7)

გასათვალისწინებელია, რომ თავად შეცდომების თეორიის ფორმულები მოქმედებს დიდი რაოდენობის გაზომვებისთვის. ამრიგად, შემთხვევითობის მნიშვნელობა და, შესაბამისად, მთლიანი ცდომილება განისაზღვრება მცირეზე ნდიდი შეცდომით. Δ-ის გაანგარიშებისას Xგაზომვების რაოდენობით
რეკომენდებულია ერთი მნიშვნელოვანი ფიგურის შეზღუდვა, თუ ის 3-ზე მეტია და ორი, თუ პირველი მნიშვნელოვანი მაჩვენებელი 3-ზე ნაკლებია. მაგალითად, თუ Δ X= 0.042, შემდეგ გადააგდეთ 2 და ჩაწერეთ Δ X=0.04 და თუ Δ X=0.123, შემდეგ ვწერთ Δ X=0,12.

შედეგის ციფრების რაოდენობა და მთლიანი შეცდომა უნდა იყოს იგივე. ამიტომ შეცდომის საშუალო არითმეტიკული უნდა იყოს იგივე. აქედან გამომდინარე, საშუალო არითმეტიკული ჯერ გამოითვლება გაზომვაზე ერთი ციფრით მეტით, ხოლო შედეგის ჩაწერისას მისი მნიშვნელობა იხვეწება მთლიანი შეცდომის ციფრების რაოდენობამდე.

4. გაზომვის შეცდომების გამოთვლის მეთოდოლოგია.

პირდაპირი გაზომვების შეცდომები

პირდაპირი გაზომვების შედეგების დამუშავებისას რეკომენდებულია ოპერაციების შემდეგი თანმიმდევრობის მიღება.

. (8)

.

.

მთლიანი შეცდომა განისაზღვრება

შეფასებულია გაზომვის შედეგის შედარებითი შეცდომა

.

საბოლოო შედეგი იწერება როგორც

, ერთად α=… E=…%.

5. არაპირდაპირი გაზომვების შეცდომა

ირიბად გაზომილი სიდიდის ჭეშმარიტი მნიშვნელობის შეფასებისას, რომელიც არის სხვა დამოუკიდებელი სიდიდეების ფუნქცია.
, ორი მეთოდის გამოყენება შეიძლება.

პირველი გზაგამოიყენება თუ მნიშვნელობა წგანისაზღვრება სხვადასხვა ექსპერიმენტულ პირობებში. ამ შემთხვევაში, თითოეული მნიშვნელობისთვის,
და შემდეგ განისაზღვრება ყველა მნიშვნელობის საშუალო არითმეტიკული წ მე

. (9)

სისტემატური (ინსტრუმენტული) შეცდომა აღმოჩენილია ყველა გაზომვის ცნობილი ინსტრუმენტული შეცდომის საფუძველზე ფორმულის მიხედვით. შემთხვევითი შეცდომა ამ შემთხვევაში განისაზღვრება, როგორც პირდაპირი გაზომვის შეცდომა.

მეორე გზამოქმედებს თუ ფუნქცია წ განისაზღვრა რამდენჯერმე ერთი და იგივე გაზომვებით. ამ შემთხვევაში, ღირებულება გამოითვლება საშუალო მნიშვნელობებიდან. ჩვენს ლაბორატორიულ პრაქტიკაში უფრო ხშირად გამოიყენება ირიბად გაზომილი სიდიდის განსაზღვრის მეორე მეთოდი წ. სისტემატური (ინსტრუმენტული) შეცდომა, როგორც პირველ მეთოდში, გვხვდება ყველა გაზომვის ცნობილი ინსტრუმენტული შეცდომის საფუძველზე ფორმულის მიხედვით.

არაპირდაპირი გაზომვის შემთხვევითი შეცდომის საპოვნელად, ჯერ გამოითვლება ცალკეული გაზომვების საშუალო არითმეტიკული ცდომილების ფესვი-საშუალო კვადრატი. შემდეგ აღმოჩენილია ფესვის საშუალო კვადრატის შეცდომა წ. ნდობის ალბათობის α დადგენა, სტუდენტის კოეფიციენტის მოძიება, შემთხვევითი და ჯამური შეცდომების დადგენა ხდება ისევე, როგორც პირდაპირი გაზომვების შემთხვევაში. ანალოგიურად, ყველა გაანგარიშების შედეგი წარმოდგენილია ფორმაში

, ერთად α=… E=…%.

6. ლაბორატორიული სამუშაოს დაპროექტების მაგალითი

ლაბორატორია #1

ცილინდრის მოცულობის განსაზღვრა

აქსესუარები:ვერნიეს კალიბრი გაყოფის მნიშვნელობით 0,05 მმ, მიკრომეტრი გაყოფის მნიშვნელობით 0,01 მმ, ცილინდრული კორპუსი.

მიზანი:უმარტივესი ფიზიკური გაზომვების გაცნობა, ცილინდრის მოცულობის განსაზღვრა, პირდაპირი და არაპირდაპირი გაზომვების შეცდომების გამოთვლა.

სამუშაო შეკვეთა

გაზომეთ ცილინდრის დიამეტრი მინიმუმ 5 კალიბრით, ხოლო მისი სიმაღლე მიკრომეტრით.

ცილინდრის მოცულობის გამოთვლის გაანგარიშების ფორმულა

სადაც d არის ცილინდრის დიამეტრი; h არის სიმაღლე.

გაზომვის შედეგები

ცხრილი 2.

;

აბსოლუტური შეცდომა

;
.

5. შედარებითი შეცდომა, ან გაზომვის სიზუსტე

; E = 0.5%.

6. საბოლოო შედეგის ჩაწერა

შესწავლილი რაოდენობის საბოლოო შედეგი იწერება როგორც

, E = 0.5%.

Შენიშვნა. საბოლოო ჩანაწერში, შედეგის ციფრების რაოდენობა და აბსოლუტური შეცდომა უნდა იყოს იგივე.

6. გაზომვის შედეგების გრაფიკული წარმოდგენა

ფიზიკური გაზომვების შედეგები ძალიან ხშირად წარმოდგენილია გრაფიკული ფორმით. გრაფიკებს აქვთ მრავალი მნიშვნელოვანი უპირატესობა და ღირებული თვისება:

ა) საშუალებას იძლევა განისაზღვროს ფუნქციური დამოკიდებულების ტიპი და საზღვრები, რომლებშიც იგი მოქმედებს;

ბ) შესაძლებელს გახდის ექსპერიმენტული მონაცემების ვიზუალურად შედარება თეორიულ მრუდთან;

გ) გრაფიკის აგებისას ასწორებენ ნახტომებს ფუნქციის მიმდინარეობისას, რომლებიც წარმოიქმნება შემთხვევითი შეცდომების გამო;

დ) შესაძლებელს ხდის გარკვეული სიდიდეების განსაზღვრას ან გრაფიკული დიფერენციაციის, ინტეგრაციის, განტოლების ამოხსნის და ა.შ.

რაფიკი, როგორც წესი, კეთდება სპეციალურ ქაღალდზე (მილიმეტრული, ლოგარითმული, ნახევრად ლოგარითმული). მიღებულია დამოუკიდებელი ცვლადის გამოსახვა ჰორიზონტალური ღერძის გასწვრივ, ე.ი. მნიშვნელობა, რომლის მნიშვნელობასაც თავად ექსპერიმენტატორი ადგენს და ვერტიკალური ღერძის გასწვრივ, მნიშვნელობა, რომელსაც ის განსაზღვრავს ამ შემთხვევაში. გასათვალისწინებელია, რომ კოორდინატთა ღერძების კვეთა არ უნდა ემთხვეოდეს x და y ნულოვან მნიშვნელობებს. კოორდინატების წარმოშობის არჩევისას უნდა იხელმძღვანელოთ იმით, რომ ნახატის მთელი ფართობი სრულად არის გამოყენებული (ნახ. 2.).

გრაფიკის კოორდინატთა ღერძებზე მითითებულია არა მხოლოდ რაოდენობათა სახელები ან სიმბოლოები, არამედ მათი საზომი ერთეულებიც. კოორდინატთა ღერძების გასწვრივ მასშტაბი უნდა შეირჩეს ისე, რომ გაზომილი წერტილები განლაგდეს ფურცლის მთელ ფართობზე. ამავდროულად, მასშტაბი უნდა იყოს მარტივი, ისე, რომ გრაფიკზე წერტილების გამოსახვისას გონებაში არითმეტიკული გამოთვლები არ შესრულდეს.

გრაფიკზე ექსპერიმენტული წერტილები ზუსტად და ნათლად უნდა იყოს ნაჩვენები. სხვადასხვა ექსპერიმენტულ პირობებში (მაგალითად, გათბობა და გაგრილება) მიღებული ქულები შეიძლება სასარგებლო იყოს სხვადასხვა ფერებით ან სხვადასხვა ხატებით. თუ ექსპერიმენტის შეცდომა ცნობილია, მაშინ წერტილის ნაცვლად უმჯობესია გამოსახოთ ჯვარი ან მართკუთხედი, რომლის ზომები ღერძების გასწვრივ შეესაბამება ამ შეცდომას. არ არის რეკომენდებული ექსპერიმენტული წერტილების ერთმანეთთან დაკავშირება გატეხილი ხაზით. გრაფიკზე მრუდი უნდა იყოს დახატული შეუფერხებლად, დარწმუნდით, რომ ექსპერიმენტული წერტილები განლაგებულია მრუდის ზემოთ და ქვემოთ, როგორც ნაჩვენებია ნახ.3-ზე.

გრაფიკების გამოსახვისას, გარდა ერთიანი მასშტაბის მქონე კოორდინატთა სისტემისა, გამოიყენება ე.წ. ფუნქციური სკალები. შესაბამისი x და y ფუნქციების არჩევით, შეგიძლიათ მიიღოთ უფრო მარტივი ხაზი გრაფიკზე, ვიდრე ჩვეულებრივი კონსტრუქციით. ხშირად ეს აუცილებელია მოცემული გრაფიკისთვის ფორმულის შერჩევისას მისი პარამეტრების დასადგენად. ფუნქციური სასწორები ასევე გამოიყენება იმ შემთხვევებში, როდესაც საჭიროა გრაფიკზე მრუდის რომელიმე ნაწილის დაჭიმვა ან შემცირება. ყველაზე ხშირად, ფუნქციური სასწორებიდან გამოიყენება ლოგარითმული სკალა (ნახ. 4).

დოკუმენტი

კონკრეტული პირობებიდან, მოთხოვნებიდან და შესაძლებლობებიდან შეფასებებიშეცდომებიშედეგებიგაზომვები. ინფორმაციის თეორიის ზოგადი პრინციპების მიხედვით...

გაზომვის შეცდომები

დოკუმენტი

V.I. ივერონოვა. მ., ნაუკა, 1967. 4. P. V. Novitsky, I. A. Zograf. შეფასებაშეცდომებიშედეგებიგაზომვები. L., Energoatomizdat, 1991. 5. ლაბორატორიული სამუშაოები ...

გაიდლაინები ფიზიკის ლაბორატორიულ სახელოსნოში გაზომვებში შეცდომების დასადგენად

გაიდლაინები

... გაზომვებისასურველი მნიშვნელობა უშეცდომოდ მოიცავს შეფასებაშეცდომებიმიღებული შედეგი. ასეთის გარეშე შეფასებებიშედეგი... აბსოლუტური მნიშვნელობა შეცდომებიდა მე შედეგიგაზომვები. როგორც წესი, სიზუსტე შეფასებებიშეცდომებიგამოდის ძალიან...

გაზომვა No.

უმეტეს შემთხვევაში, ლაბორატორიული სამუშაოს საბოლოო მიზანი არის სასურველი მნიშვნელობის გამოთვლა გარკვეული ფორმულის გამოყენებით, რომელიც მოიცავს რაოდენობებს, რომლებიც იზომება პირდაპირი გზით. ასეთ გაზომვებს ირიბი ეწოდება. მაგალითად, ჩვენ ვაძლევთ მყარი ცილინდრული სხეულის სიმკვრივის ფორმულას

სადაც r არის სხეულის სიმკვრივე, მ- სხეულის მასა, დ- ცილინდრის დიამეტრი, თ- მისი მაღალი.

დამოკიდებულება (A.5) ზოგადი ფორმით შეიძლება წარმოდგენილი იყოს შემდეგნაირად:

სადაც იარის ირიბად გაზომილი სიდიდე, ფორმულაში (A.5) არის სიმკვრივე r; X 1 , X 2 ,... ,X nარის პირდაპირ გაზომილი სიდიდეები, ფორმულაში (A.5) ეს არის მ, დ, და თ.

არაპირდაპირი გაზომვის შედეგი არ შეიძლება იყოს ზუსტი, რადგან რაოდენობების პირდაპირი გაზომვის შედეგები X 1 , x2, ... ,X nყოველთვის შეიცავს შეცდომებს. ამიტომ, არაპირდაპირი გაზომვისთვის, ისევე როგორც პირდაპირი გაზომვისთვის, აუცილებელია მიღებული მნიშვნელობის ნდობის ინტერვალის (აბსოლუტური ცდომილების) შეფასება. DYდა შედარებითი შეცდომა ე.

არაპირდაპირი გაზომვების შემთხვევაში შეცდომების გაანგარიშებისას მოსახერხებელია დაიცვას მოქმედებების შემდეგი თანმიმდევრობა:

1) მიიღეთ ყოველი პირდაპირ გაზომილი რაოდენობის საშუალო მნიშვნელობები á x1ñ, á x2ñ, …, á X nñ;

2) მიიღეთ ირიბად გაზომილი á სიდიდის საშუალო მნიშვნელობა ი• უშუალოდ გაზომილი სიდიდეების საშუალო მნიშვნელობების ფორმულით (A.6) ჩანაცვლებით;

3) პირდაპირ გაზომილი სიდიდეების აბსოლუტური შეცდომების შეფასება DX 1 , DX 2 , ..., DXnფორმულების (A.2) და (A.3) გამოყენებით;

4) ფუნქციის (A.6) აშკარა ფორმის საფუძველზე მიიღეთ ფორმულა ირიბად გაზომილი მნიშვნელობის აბსოლუტური ცდომილების გამოსათვლელად. DYდა გამოთვალეთ იგი;

6) ჩაწერეთ გაზომვის შედეგი შეცდომის გათვალისწინებით.

ქვემოთ, დერივაციის გარეშე, მოცემულია ფორმულა, რომელიც საშუალებას გაძლევთ მიიღოთ ფორმულები აბსოლუტური შეცდომის გამოსათვლელად, თუ ცნობილია ფუნქციის (A.6) აშკარა ფორმა:

სად ¶Y¤¶ x1და ა.შ. - Y-ის ნაწილობრივი წარმოებულები ყველა უშუალოდ გაზომილი სიდიდეების მიმართ X 1 , X 2 , …, X n (როცა ნაწილობრივი წარმოებული აღებულია, მაგალითად X 1, შემდეგ ყველა სხვა რაოდენობა X იფორმულაში განიხილება მუდმივი), D X ი– პირდაპირ გაზომილი სიდიდეების აბსოლუტური ცდომილება, გამოთვლილი (A.3) მიხედვით.

DY გამოთვლის შემდეგ ისინი პოულობენ ფარდობით შეცდომას.

თუმცა, თუ ფუნქცია (A.6) არის მონომიური, მაშინ გაცილებით ადვილია ჯერ ფარდობითი ცდომილების გამოთვლა, შემდეგ კი აბსოლუტური.

მართლაც, თანასწორობის ორივე მხარის (A.7) გაყოფა ი, ვიღებთ

მაგრამ მას შემდეგ, ჩვენ შეგვიძლია დავწეროთ

ახლა, იცოდით ფარდობითი შეცდომა, განსაზღვრეთ აბსოლუტური.

მაგალითად, ჩვენ ვიღებთ ფორმულას ნივთიერების სიმკვრივის შეცდომის გამოთვლისთვის, რომელიც განისაზღვრება ფორმულით (A.5). ვინაიდან (A.5) არის მონომია, მაშინ, როგორც ზემოთ აღინიშნა, უფრო ადვილია ჯერ გაზომვის ფარდობითი შეცდომის გამოთვლა (A.8) მიხედვით. (A.8)-ში ფესვის ქვეშ გვაქვს ნაწილობრივი წარმოებულების კვადრატების ჯამი ლოგარითმიგაზომილი რაოდენობა, ასე რომ, ჯერ ვპოულობთ ბუნებრივ ლოგარითმს r:

ln r = ln 4 + ln მ– ln p –2 ln დ-ლნ თ,

და შემდეგ ვიყენებთ ფორმულას (A.8) და ვიღებთ ამას

როგორც ჩანს, (A.9)-ში გამოყენებულია პირდაპირ გაზომილი სიდიდეების საშუალო მნიშვნელობები და მათი აბსოლუტური შეცდომები, გამოითვლება პირდაპირი გაზომვების მეთოდით (A.3) მიხედვით. p რიცხვით შეტანილი შეცდომა მხედველობაში არ მიიღება, რადგან მისი მნიშვნელობა ყოველთვის შეიძლება იქნას მიღებული ყველა სხვა სიდიდის გაზომვის სიზუსტეზე მეტი სიზუსტით. e-ს გამოთვლით, ჩვენ ვპოულობთ.

თუ არაპირდაპირი გაზომვები დამოუკიდებელია (ყოველი შემდგომი ექსპერიმენტის პირობები განსხვავდება წინა პირობებისგან), მაშინ რაოდენობის მნიშვნელობები იგამოითვლება თითოეული ინდივიდუალური ექსპერიმენტისთვის. წარმოებული ნგამოცდილება, მიიღეთ ნღირებულებები Y i. გარდა ამისა, თითოეული მნიშვნელობის აღება Y i(სად მე- გამოცდილების რაოდენობა) პირდაპირი გაზომვის შედეგისთვის გამოთვალეთ á იñ და დ ი(A.1) და (A.2) ფორმულების შესაბამისად.

პირდაპირი და არაპირდაპირი გაზომვების საბოლოო შედეგი ასე უნდა გამოიყურებოდეს:

სადაც მ- ექსპონენტი, u- საზომი ერთეული ი.

ფიზიკური რაოდენობების გაზომვის შეცდომები და

გაზომვის შედეგების დამუშავება

გაზომვითეწოდება ფიზიკური სიდიდეების ემპირიულად პოვნა სპეციალური ტექნიკური საშუალებების დახმარებით. გაზომვები არის პირდაპირი ან არაპირდაპირი. ზე პირდაპირიგაზომვისას, ფიზიკური სიდიდის სასურველი მნიშვნელობა გვხვდება უშუალოდ საზომი ხელსაწყოების დახმარებით (მაგალითად, სხეულების ზომების გაზომვა კალიბრის გამოყენებით). არაპირდაპირიეწოდება საზომი, რომელშიც ფიზიკური სიდიდის სასურველი მნიშვნელობა გვხვდება გაზომულ რაოდენობასა და პირდაპირ გაზომვებს დაქვემდებარებულ სიდიდეებს შორის ცნობილი ფუნქციური ურთიერთობის საფუძველზე. მაგალითად, ცილინდრის V მოცულობის განსაზღვრისას იზომება მისი დიამეტრი D და სიმაღლე H, შემდეგ კი ფორმულის მიხედვით.გვ D 2/4 გამოთვალეთ მისი მოცულობა.

საზომი ხელსაწყოების უზუსტობისა და გაზომვებისას ყველა გვერდითი ეფექტის გათვალისწინების სირთულის გამო, გაზომვის შეცდომები გარდაუვალია. შეცდომაან შეცდომაგაზომვა ეხება გაზომვის შედეგის გადახრას გაზომილი ფიზიკური სიდიდის ნამდვილი მნიშვნელობიდან. გაზომვის შეცდომა ჩვეულებრივ უცნობია, ისევე როგორც გაზომილი სიდიდის ნამდვილი მნიშვნელობა. მაშასადამე, გაზომვის შედეგების ელემენტარული დამუშავების ამოცანაა დადგინდეს ინტერვალი, რომლის ფარგლებშიც მოცემული ალბათობით განლაგებულია გაზომილი ფიზიკური სიდიდის ნამდვილი მნიშვნელობა.

გაზომვის შეცდომების კლასიფიკაცია

შეცდომები იყოფა სამ ტიპად:

1) უხეში ან გამოტოვებული,

2) სისტემატური,

3) შემთხვევითი.

უხეში შეცდომები- ეს არის მცდარი გაზომვები, რომლებიც წარმოიქმნება მოწყობილობაზე უყურადღებო კითხვის, წაკითხვის გაუგებარი ჩაწერის შედეგად. მაგალითად, 2,65-ის ნაცვლად 26,5 შედეგის ჩაწერა; 13-ის ნაცვლად 18-იანი სკალაზე კითხვა და ა.შ. თუ უხეში შეცდომა გამოვლინდა, ამ გაზომვის შედეგი დაუყოვნებლივ უნდა განადგურდეს და თავად გაზომვა უნდა განმეორდეს.

სისტემური შეცდომები- შეცდომები, რომლებიც მუდმივი რჩება განმეორებითი გაზომვების დროს ან იცვლება გარკვეული კანონის მიხედვით. ეს შეცდომები შეიძლება გამოწვეული იყოს გაზომვის მეთოდის არასწორი არჩევანით, ინსტრუმენტების არასრულყოფილებით ან გაუმართაობით (მაგალითად, გაზომვები ინსტრუმენტის გამოყენებით, რომელსაც აქვს ნულოვანი ოფსეტი). იმისათვის, რომ მაქსიმალურად აღმოიფხვრას სისტემატური შეცდომები, ყოველთვის ყურადღებით უნდა გაანალიზდეს გაზომვის მეთოდი, შევადაროთ ინსტრუმენტები სტანდარტებს. მომავალში, ჩვენ ვივარაუდებთ, რომ ყველა სისტემატური შეცდომა აღმოიფხვრა, გარდა მოწყობილობების წარმოების უზუსტობებისა და წაკითხვის შეცდომების გამო. ჩვენ ამ შეცდომას დავარქმევთ აპარატურა.

შემთხვევითი შეცდომები - ეს არის შეცდომები, რომელთა მიზეზის წინასწარ გათვალისწინება შეუძლებელია. შემთხვევითი შეცდომები დამოკიდებულია ჩვენი გრძნობის ორგანოების არასრულყოფილებაზე, გარე პირობების ცვალებადობის უწყვეტ მოქმედებაზე (ტემპერატურის ცვლილება, წნევა, ტენიანობა, ჰაერის ვიბრაცია და ა.შ.). შემთხვევითი შეცდომები გარდაუვალია, ისინი აუცილებლად გვხვდება ყველა გაზომვაში, მაგრამ მათი შეფასება შესაძლებელია ალბათობის თეორიის მეთოდების გამოყენებით.

პირდაპირი გაზომვების შედეგების დამუშავება

მოდით, ფიზიკური სიდიდის პირდაპირი გაზომვის შედეგად მივიღოთ მისი მნიშვნელობების სერია:

x 1 , x 2 , ... x n .

რიცხვების ამ სერიის ცოდნით, თქვენ უნდა მიუთითოთ გაზომილი მნიშვნელობის ნამდვილ მნიშვნელობასთან ყველაზე ახლოს მდებარე მნიშვნელობა და იპოვოთ შემთხვევითი შეცდომის მნიშვნელობა. ეს პრობლემა მოგვარებულია ალბათობის თეორიის საფუძველზე, რომლის დეტალური პრეზენტაცია ჩვენი კურსის ფარგლებს სცილდება.

გაზომილი ფიზიკური სიდიდის ყველაზე სავარაუდო მნიშვნელობა (სინამდვილესთან ახლოს) არის საშუალო არითმეტიკული

. (1)

აქ x i არის i-ის გაზომვის შედეგი; n არის გაზომვების რაოდენობა. შემთხვევითი გაზომვის შეცდომა შეიძლება შეფასდეს აბსოლუტური შეცდომითდ x, რომელიც გამოითვლება ფორმულით

, (2)

სადაც t(a ,n) - სტუდენტის კოეფიციენტი, დამოკიდებულია გაზომვების რაოდენობაზე n და ნდობის დონეზეა . ნდობის ღირებულებაა დადგენილი ექსპერიმენტატორის მიერ.

ალბათობაშემთხვევითი მოვლენა არის ამ მოვლენისთვის ხელსაყრელი შემთხვევების რაოდენობის თანაფარდობა თანაბრად სავარაუდო შემთხვევების საერთო რაოდენობასთან. დარწმუნებული მოვლენის ალბათობა არის 1, ხოლო შეუძლებელი არის 0.

სტუდენტის კოეფიციენტის მნიშვნელობა, რომელიც შეესაბამება მოცემულ ნდობის დონესა და გარკვეული რაოდენობის გაზომვები n, იპოვეთ ცხრილის მიხედვით. ერთი.

ცხრილი 1

ნომერი გაზომვები n	ნდობის ალბათობაა
			0,95	0,98
	1,38		12,7	31,8
	1,06
	0,98
	0,94
	0,92
	0,90
	0,90
	0,90
	0,88
	0,84

მაგიდიდან. 1 ჩანს, რომ სტუდენტის კოეფიციენტის მნიშვნელობა და შემთხვევითი გაზომვის შეცდომა რაც უფრო მცირეა, რაც უფრო დიდია n და მით უფრო მცირეაა . პრაქტიკულად აირჩიეა =0.95. თუმცა, გაზომვების რაოდენობის უბრალო ზრდამ არ შეიძლება მთლიანი ცდომილების ნულამდე შემცირება, ვინაიდან ნებისმიერი საზომი მოწყობილობა იძლევა შეცდომას.

მოდით განვმარტოთ ტერმინების აბსოლუტური შეცდომად x და ნდობის დონეა რიცხვითი ხაზის გამოყენებით. მოდით გაზომილი სიდიდის საშუალო მნიშვნელობა (ნახ. 1) და გამოთვლილი აბსოლუტური შეცდომა Dx. დააყენეთ დ x-დან მარჯვენა და მარცხენა. შედეგად მიღებული რიცხვითი ინტერვალი ( - D x) to ( + დ x) ეწოდება ნდობის ინტერვალი. ამ სანდო ინტერვალში დევს გაზომილი სიდიდის x-ის ნამდვილი მნიშვნელობა.

ნახ.1

თუ ერთი და იგივე სიდიდის გაზომვები განმეორდება ერთიდაიგივე ხელსაწყოების მიერ იმავე პირობებში, მაშინ გაზომილი სიდიდის ჭეშმარიტი მნიშვნელობა x ist მოხვდება იმავე ნდობის ინტერვალში, მაგრამ დარტყმა არ იქნება სანდო, მაგრამ ალბათობით.ა.

აბსოლუტური ცდომილების სიდიდის გამოთვლად x ფორმულით (2), გაზომილი ფიზიკური სიდიდის ჭეშმარიტი მნიშვნელობა x შეიძლება ჩაიწეროს x= ±Dx.

ფიზიკური სიდიდის გაზომვის სიზუსტის შესაფასებლად გამოთვალეთ შედარებითი შეცდომარომელიც ჩვეულებრივ გამოხატულია პროცენტულად

. (3)

ამრიგად, პირდაპირი გაზომვების შედეგების დამუშავებისას აუცილებელია შემდეგი:

1. გაზომეთ n-ჯერ.

2. გამოთვალეთ საშუალო არითმეტიკული ფორმულით (1).

3. დააყენეთ ნდობის დონე a (ჩვეულებრივ იღებენ a = 0.95).

4. ცხრილი 1-ის მიხედვით იპოვეთ სტუდენტის კოეფიციენტი მოცემული ნდობის დონის შესაბამისია და ზომების რაოდენობა n.

5. გამოთვალეთ აბსოლუტური ცდომილება (2) ფორმულით და შეადარეთ ინსტრუმენტულს. შემდგომი გამოთვლებისთვის აიღეთ ის, რაც უფრო დიდია.

6. ფორმულით (3) გამოთვალეთ ფარდობითი შეცდომაე.

7. ჩამოწერეთ საბოლოო შედეგი

x= ±D x. შედარებითი შეცდომის მითითებითე და ნდობის დონეა.

ირიბი გაზომვების შედეგების დამუშავება

მოდით, სასურველი ფიზიკური სიდიდე y იყოს დაკავშირებული სხვა სიდიდეებთან x 1, x 2, ... x k გარკვეული ფუნქციური დამოკიდებულებით

Y=f(x 1, x 2, ... x k) (4)

x 1, x 2, ... x k მნიშვნელობებს შორის არის პირდაპირი გაზომვებითა და ცხრილის მონაცემებით მიღებული მნიშვნელობები. საჭიროა აბსოლუტის განსაზღვრად y და ნათესავიე შეცდომები y-ის მნიშვნელობაში.

უმეტეს შემთხვევაში, უფრო ადვილია ჯერ ფარდობითი შეცდომის გამოთვლა, შემდეგ კი აბსოლუტური შეცდომის გამოთვლა. ალბათობის თეორიიდან, არაპირდაპირი გაზომვის ფარდობითი შეცდომა

. (5)

Აქ , სად არის ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებული x i ცვლადის მიმართ, რომლის გაანგარიშებისას ყველა მნიშვნელობა, x i-ს გარდა, მუდმივია;დ x i არის x i-ის აბსოლუტური შეცდომა. თუ x i მიიღება პირდაპირი გაზომვების შედეგად, მაშინ მისი საშუალო მნიშვნელობა და აბსოლუტური შეცდომად x გამოითვლება (1) და (2) ფორმულებით. ყველა გაზომილი მნიშვნელობისთვის x i მოცემულია იგივე ნდობის ალბათობაა . თუ რომელიმე ტერმინი კვადრატში გამოსახულებაში (5) არის სიდიდის რიგით (10-ჯერ) ნაკლები სხვა ტერმინებზე, მაშინ მათი უგულებელყოფა შეიძლება. ეს უნდა იქნას გათვალისწინებული ცხრილის მნიშვნელობების არჩევისას (გვ , გ და ა.შ.) შედის ფარდობითი შეცდომის ფორმულაში. მათი მნიშვნელობა ისე უნდა შეირჩეს, რომ მათი ფარდობითი ცდომილება იყოს უდიდეს ფარდობით შეცდომაზე მცირე ზომის რიგითობა.

დავწეროთ საბოლოო შედეგი:

y= ± მოკვდა.

Აქ - არაპირდაპირი გაზომვის საშუალო მნიშვნელობა, მიღებული ფორმულით (4) მასში საშუალო მნიშვნელობების x i ჩანაცვლებით; Dy= ე .

ჩვეულებრივ, როგორც შემთხვევითი, ასევე სისტემატური (ინსტრუმენტული) შეცდომები გვხვდება რეალურ გაზომვებში. თუ პირდაპირი გაზომვების გამოთვლილი შემთხვევითი ცდომილება უდრის ნულს ან ნაკლებია ტექნიკის შეცდომაზე ორჯერ ან მეტჯერ, მაშინ არაპირდაპირი გაზომვების შეცდომის გამოთვლისას მხედველობაში უნდა იქნას მიღებული ტექნიკის შეცდომა. თუ ეს შეცდომები განსხვავდება ორჯერ ნაკლებით, მაშინ აბსოლუტური შეცდომა გამოითვლება ფორმულით

.

განვიხილოთ მაგალითი. დაგვჭირდება ცილინდრის მოცულობის გამოთვლა:

. (6)

აქ D არის ცილინდრის დიამეტრი, H არის მისი სიმაღლე, რომელიც იზომება ვერნიეს კალიბრით გაყოფის მნიშვნელობით 0,1 მმ. განმეორებითი გაზომვების შედეგად ვპოულობთ საშუალო მნიშვნელობებს =10.0 მმ და =40,0 მმ. ცილინდრის მოცულობის არაპირდაპირი გაზომვის ფარდობითი შეცდომა განისაზღვრება ფორმულით

, (7)

სადაც D D და D H არის დიამეტრისა და სიმაღლის პირდაპირი გაზომვის აბსოლუტური შეცდომები. მათი მნიშვნელობები გამოითვლება ფორმულით (2): D D=0.01 მმ; დ H=0.13 მმ. შევადაროთ გამოთვლილი შეცდომები აპარატურულს, ტოლია კალიბრის გაყოფის მნიშვნელობის.დ დ<0.1, поэтому в формуле (7) подставим вместо დ D არის არა 0,01 მმ, არამედ 0,1 მმ.

p მნიშვნელობა უნდა შეირჩეს ისე, რომ შედარებითი შეცდომადპ/პ ფორმულაში (7) შეიძლება უგულებელყოფილი იყოს. გაზომილი მნიშვნელობების ანალიზიდან და გამოთვლილი აბსოლუტური შეცდომებიდან D D და D H, ჩანს, რომ სიმაღლის გაზომვის შეცდომას უდიდესი წვლილი შეაქვს ფარდობითი მოცულობის გაზომვის შეცდომაში. ფარდობითი სიმაღლის შეცდომის გამოთვლა იძლევაე ჰ =0.01. ამიტომ, ღირებულებაგვ თქვენ უნდა აიღოთ 3.14. Ამ შემთხვევაში Dp / p » 0,001 (Dp =3,142-3,14=0,002).

აბსოლუტურ შეცდომაში დარჩა ერთი მნიშვნელოვანი ფიგურა.

შენიშვნები.

1. თუ გაზომვები შესრულებულია ერთხელ ან მრავალჯერადი გაზომვის შედეგები ერთნაირია, მაშინ ინსტრუმენტულ შეცდომად უნდა მივიღოთ გაზომვის აბსოლუტური შეცდომა, რომელიც გამოყენებული ხელსაწყოების უმეტესობისთვის უდრის ხელსაწყოს გაყოფის მნიშვნელობას (მეტი დეტალები ინსტრუმენტული შეცდომის შესახებ, იხილეთ განყოფილება „საზომი ხელსაწყოები“).

2. თუ ცხრილი ან ექსპერიმენტული მონაცემები მოცემულია შეცდომის დაზუსტების გარეშე, მაშინ ასეთი რიცხვების აბსოლუტური ცდომილება მიიღება ბოლო მნიშვნელოვანი ციფრის რიგის ნახევარის ტოლი.

მოქმედებები სავარაუდო რიცხვებით

სხვადასხვა გაანგარიშების სიზუსტის საკითხი ძალზე მნიშვნელოვანია, რადგან გაანგარიშების სიზუსტის გადაჭარბებული შეფასება იწვევს არასაჭირო სამუშაოს დიდ რაოდენობას. სტუდენტები ხშირად ითვლიან მათ მიერ მოძიებულ მნიშვნელობას ხუთი ან მეტი მნიშვნელოვანი ფიგურის სიზუსტით. უნდა გვესმოდეს, რომ ეს სიზუსტე გადაჭარბებულია. აზრი არ აქვს გამოთვლების ჩატარებას სიზუსტის ზღვარს მიღმა, რაც უზრუნველყოფილია უშუალოდ გაზომილი სიდიდეების განსაზღვრის სიზუსტით. გაზომვების დამუშავების შემდეგ, ისინი ხშირად არ ითვლიან ცალკეული შედეგების შეცდომებს და მსჯელობენ რაოდენობის მიახლოებითი მნიშვნელობის შეცდომაზე, რაც მიუთითებს ამ რიცხვში სწორი მნიშვნელოვანი ციფრების რაოდენობაზე.

Მნიშვნელოვანი პირებისავარაუდო რიცხვს უწოდებენ ყველა ციფრს ნულის გარდა, ასევე ნულს ორ შემთხვევაში:

1) როდესაც ის დგას მნიშვნელოვან ციფრებს შორის (მაგალითად, 1071 რიცხვში - ოთხი მნიშვნელოვანი ფიგურა);

2) როცა ის რიცხვის ბოლოს დგას და როცა ცნობილია, რომ მოცემულ რიცხვში შესაბამისი ციფრის ერთეული მიუწვდომელია. მაგალითი. რიცხვში 5.20 არის სამი მნიშვნელოვანი ფიგურა და ეს ნიშნავს, რომ გაზომვისას გავითვალისწინეთ არა მხოლოდ ერთეულები, არამედ მეათედები და მეასედები, ხოლო რიცხვში 5.2 - მხოლოდ ორი მნიშვნელოვანი ფიგურა, რაც ნიშნავს, რომ გავითვალისწინეთ მხოლოდ მთელი რიცხვები. და მეათედი.

სავარაუდო გამოთვლები უნდა განხორციელდეს შემდეგი წესების დაცვით.

1. შეკრებისა და გამოკლებისასშედეგად, შეინარჩუნეთ იმდენი ათწილადი, რამდენიც არის ათწილადის ყველაზე მცირე რაოდენობის რიცხვში. მაგალითად: 0.8934+3.24+1.188=5.3214» 5.32. თანხა უნდა დამრგვალდეს მეასედამდე, ე.ი. მიიღეთ ტოლი 5.32.

2. გამრავლებისა და გაყოფისასშედეგად, შენარჩუნებულია იმდენი მნიშვნელოვანი ციფრი, რამდენიც აქვს სავარაუდო რიცხვს ყველაზე ნაკლები მნიშვნელოვანი ციფრით. მაგალითად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ 8.632''2.8'' 3.53. ამის ნაცვლად, გამონათქვამები უნდა შეფასდეს

8.6 ´ 2,8 ´ 3,5 » 81.

შუალედური შედეგების გაანგარიშებისას ზოგავენ ერთი ციფრით მეტს, ვიდრე წესები გირჩევენ (ე.წ. სათადარიგო ციფრი). საბოლოო შედეგში, სათადარიგო ციფრი უგულვებელყოფილია. შედეგის ბოლო მნიშვნელოვანი ციფრის მნიშვნელობის გასარკვევად, თქვენ უნდა გამოთვალოთ მის უკან არსებული ციფრი. თუ აღმოჩნდება, რომ ის ხუთზე ნაკლებია, ის უბრალოდ უნდა განადგურდეს, ხოლო თუ ხუთი ან ხუთზე მეტი, მაშინ, მისი გადაგდების შემდეგ, წინა მაჩვენებელი უნდა გაიზარდოს ერთით. ჩვეულებრივ, აბსოლუტურ შეცდომაში რჩება ერთი მნიშვნელოვანი ციფრი, ხოლო გაზომილი მნიშვნელობა მრგვალდება იმ ციფრამდე, რომელშიც მდებარეობს აბსოლუტური შეცდომის მნიშვნელოვანი ციფრი.

3. x n , , lg ფუნქციების მნიშვნელობების გამოთვლის შედეგი x) რაღაც სავარაუდო რიცხვი xუნდა შეიცავდეს იმდენ მნიშვნელოვან ციფრს, რამდენიც არის რიცხვში x. Მაგალითად: .

შეთქმულება

ლაბორატორიული სამუშაოს შესრულებისას მიღებული შედეგები ხშირად მნიშვნელოვანია და უნდა იყოს წარმოდგენილი გრაფიკული ურთიერთობით. გრაფიკის ასაგებად აუცილებელია გაზომვების საფუძველზე შედგეს ცხრილი, რომელშიც ერთი სიდიდის თითოეული მნიშვნელობა შეესაბამება მეორის გარკვეულ მნიშვნელობას.

გრაფიკები შედგენილია გრაფიკულ ქაღალდზე. გრაფიკის აგებისას დამოუკიდებელი ცვლადის მნიშვნელობები უნდა იყოს გამოსახული აბსცისაზე, ხოლო ფუნქციის მნიშვნელობები ორდინატზე. თითოეულ ღერძთან უნდა დაწეროთ ნაჩვენები მნიშვნელობის აღნიშვნა და მიუთითოთ რა ერთეულებით არის იგი გაზომილი (ნახ. 2).

ნახ.2

გრაფიკის სწორი აგებისთვის მნიშვნელოვანია მასშტაბის არჩევანი: მრუდი იკავებს მთელ ფურცელს, ხოლო დიაგრამის ზომები სიგრძეში და სიმაღლეში დაახლოებით იგივეა. მასშტაბი უნდა იყოს მარტივი. უმარტივესი გზაა, თუ გაზომილი მნიშვნელობის ერთეული (0.1; 10; 100 და ა.შ.) შეესაბამება 1, 2 ან 5 სმ. გასათვალისწინებელია, რომ კოორდინატთა ღერძების გადაკვეთა არ უნდა ემთხვეოდეს გამოსახული მნიშვნელობების ნულოვანი მნიშვნელობები (ნახ. 2).

მიღებული თითოეული ექსპერიმენტული მნიშვნელობა გრაფიკზე საკმაოდ შესამჩნევად არის გამოსახული: წერტილი, ჯვარი და ა.შ.

შეცდომები მითითებულია გაზომილი მნიშვნელობებისთვის სეგმენტების სახით სანდო ინტერვალის სიგრძით, რომლის ცენტრში განლაგებულია ექსპერიმენტული წერტილები. ვინაიდან შეცდომების აღნიშვნა აფუჭებს გრაფიკს, ეს კეთდება მხოლოდ მაშინ, როდესაც შეცდომების შესახებ ინფორმაცია ნამდვილად არის საჭირო: ექსპერიმენტული წერტილებიდან მრუდის აგებისას, გრაფიკის გამოყენებით შეცდომების განსაზღვრისას, ექსპერიმენტული მონაცემების თეორიულ მრუდთან შედარებისას (სურათი 2). . ხშირად საკმარისია შეცდომის დაზუსტება ერთი ან მეტი პუნქტისთვის.

აუცილებელია გლუვი მრუდის დახაზვა ექსპერიმენტულ წერტილებში. ხშირად, ექსპერიმენტული წერტილები დაკავშირებულია მარტივი გატეხილი ხაზით. ამრიგად, როგორც იქნა, მითითებულია, რომ რაოდენობები ერთმანეთზეა დამოკიდებული. და ეს წარმოუდგენელია. მრუდი უნდა იყოს გლუვი და შეიძლება გაიაროს არა მონიშნულ წერტილებში, არამედ მათთან ახლოს ისე, რომ ეს წერტილები მრუდის ორივე მხარეს იყოს მისგან იმავე მანძილზე. თუ რომელიმე წერტილი ძლიერად ამოვარდება გრაფიკიდან, მაშინ ეს გაზომვა უნდა განმეორდეს. ამიტომ, სასურველია გრაფიკის აგება უშუალოდ ექსპერიმენტის დროს. შემდეგ გრაფიკი შეიძლება ემსახურებოდეს დაკვირვებების კონტროლს და გაუმჯობესებას.

საზომი ინსტრუმენტები და მათი შეცდომების აღრიცხვა

საზომი ხელსაწყოები გამოიყენება ფიზიკური სიდიდეების პირდაპირი გაზომვისთვის. ნებისმიერი საზომი ინსტრუმენტი არ იძლევა გაზომილი სიდიდის ნამდვილ მნიშვნელობას. ეს განპირობებულია, პირველ რიგში, იმით, რომ შეუძლებელია გაზომილი მნიშვნელობის ზუსტად წაკითხვა ინსტრუმენტის მასშტაბზე და მეორეც, საზომი ხელსაწყოების წარმოებაში არსებული უზუსტობით. პირველი ფაქტორის გასათვალისწინებლად შემოღებულია წაკითხვის შეცდომა Δx o, მეორესთვის - დასაშვები შეცდომა.Δ x დ. ამ შეცდომების ჯამი ქმნის მოწყობილობის ინსტრუმენტულ ან აბსოლუტურ შეცდომასΔ x:

.

დასაშვები შეცდომა ნორმალიზდება სახელმწიფო სტანდარტებით და მითითებულია პასპორტში ან მოწყობილობის აღწერაში.

წაკითხვის შეცდომა ჩვეულებრივ მიიღება ინსტრუმენტის გაყოფის ნახევრის ტოლი, მაგრამ ზოგიერთი ინსტრუმენტისთვის (ქრონომეტრი, ანეროიდული ბარომეტრი) - ინსტრუმენტის გაყოფის ტოლი (რადგან ამ ინსტრუმენტების ისრის პოზიცია ნახტომებში იცვლება ერთი განყოფილებით) და მასშტაბის რამდენიმე განყოფილებაც კი, თუ ექსპერიმენტის პირობები არ იძლევა საშუალებას დამაჯერებლად დათვალოთ ერთ განყოფილებამდე (მაგალითად, სქელი მაჩვენებლით ან ცუდი განათებით). ამრიგად, დათვლის შეცდომას ადგენს თავად ექსპერიმენტატორი, რაც რეალურად ასახავს კონკრეტული ექსპერიმენტის პირობებს.

თუ დასაშვები შეცდომა გაცილებით ნაკლებია ვიდრე კითხვის შეცდომა, მაშინ შეიძლება მისი იგნორირება. ჩვეულებრივ, ინსტრუმენტის აბსოლუტური შეცდომა აღებულია ინსტრუმენტის მასშტაბის დაყოფის ტოლფასი.

საზომ სახაზოებს ჩვეულებრივ აქვთ მილიმეტრიანი განყოფილებები. გაზომვისთვის რეკომენდირებულია გამოიყენოთ ფოლადის ან სახატავი სახაზავები ფანქრით. ასეთი სახაზავების დასაშვები ცდომილება არის 0,1 მმ და მისი იგნორირება შესაძლებელია, რადგან წაკითხვის შეცდომაზე გაცილებით ნაკლებია. ± 0,5 მმ. ხის და პლასტმასის სახაზავების დასაშვები შეცდომა± 1 მმ.

მიკრომეტრის გაზომვის დასაშვები შეცდომა დამოკიდებულია გაზომვის ზედა ზღვარზე და შეიძლება იყოს ± (3-4) μm (მიკრომეტრებისთვის საზომი დიაპაზონით 0-25 მმ). გაყოფის მნიშვნელობის ნახევარი აღებულია წაკითხვის შეცდომად. ამრიგად, მიკრომეტრის აბსოლუტური შეცდომა შეიძლება მივიღოთ გაყოფის მნიშვნელობის ტოლი, ე.ი. 0,01 მმ.

აწონვისას ტექნიკური სასწორის დასაშვები ცდომილება დამოკიდებულია დატვირთვაზე და შეადგენს 50 მგ-ს 20-დან 200 გ-მდე დატვირთვაზე, ხოლო 25 მგ-ს 20 გ-ზე ნაკლები დატვირთვისთვის.

ციფრული ინსტრუმენტების შეცდომა განისაზღვრება სიზუსტის კლასით.

არაპირდაპირი გაზომვების შეცდომების გამოთვლის ფორმულები ეფუძნება დიფერენციალური გამოთვლების წარმოდგენებს.

მოდით რაოდენობაზე დამოკიდებულება იგაზომილი მნიშვნელობიდან ზაქვს მარტივი ფორმა: .

Აქ და არის მუდმივები, რომელთა მნიშვნელობები ცნობილია. თუ z გაიზარდა ან შემცირდა გარკვეული რიცხვით, მაშინ ის შეიცვლება:

თუ - გაზომილი მნიშვნელობის შეცდომა ზ, მაშინ, შესაბამისად, იქნება გამოთვლილი მნიშვნელობის შეცდომა ი.

ჩვენ ვიღებთ აბსოლუტური შეცდომის ფორმულას ერთი ცვლადის ფუნქციის ზოგად შემთხვევაში. დაე, ამ ფუნქციის გრაფიკს ჰქონდეს ნახ.1-ზე ნაჩვენები ფორმა. z 0 არგუმენტის ზუსტი მნიშვნელობა შეესაბამება y 0 = f(z 0) ფუნქციის ზუსტ მნიშვნელობას.

არგუმენტის გაზომილი მნიშვნელობა განსხვავდება არგუმენტის ზუსტი მნიშვნელობისაგან Δz-ის მნიშვნელობით გაზომვის შეცდომების გამო. ფუნქციის მნიშვნელობა ზუსტი მნიშვნელობისაგან განსხვავდება Δy-ით.

წარმოებულის გეომეტრიული მნიშვნელობიდან, როგორც მოცემულ წერტილში ტანგენსის დახრილობის ტანგენსი მრუდზე (ნახ. 1), გამოდის:

. (10)

არაპირდაპირი გაზომვის ფარდობითი შეცდომის ფორმულა ერთი ცვლადის ფუნქციის შემთხვევაში იქნება:
. (11)

იმის გათვალისწინებით, რომ ფუნქციის დიფერენციალი არის , მივიღებთ

(12)

თუ არაპირდაპირი გაზომვა ფუნქციაა მცვლადები , მაშინ არაპირდაპირი გაზომვის შეცდომა დამოკიდებული იქნება პირდაპირი გაზომვების შეცდომებზე. ჩვენ აღვნიშნავთ ნაწილობრივ შეცდომას, რომელიც დაკავშირებულია არგუმენტის გაზომვის შეცდომასთან. იგი წარმოადგენს ფუნქციის ზრდას ნამატით, იმ პირობით, რომ ყველა სხვა არგუმენტი უცვლელი იქნება. ამრიგად, ჩვენ ვწერთ ნაწილობრივ აბსოლუტურ შეცდომას (10) მიხედვით შემდეგი ფორმით:

(13)

ამრიგად, არაპირდაპირი გაზომვის ნაწილობრივი შეცდომის საპოვნელად, აუცილებელია, (13) მიხედვით, ნაწილობრივი წარმოებული გავამრავლოთ პირდაპირი გაზომვის შეცდომით. დარჩენილი არგუმენტების მიმართ ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებულის გაანგარიშებისას ისინი განიხილება მუდმივი.

არაპირდაპირი გაზომვის შედეგად მიღებული აბსოლუტური შეცდომა განისაზღვრება ფორმულით, რომელიც მოიცავს ნაწილობრივი შეცდომების კვადრატებს

არაპირდაპირი გაზომვა:

ან (13) გათვალისწინებით

(14)

არაპირდაპირი გაზომვის ფარდობითი შეცდომა განისაზღვრება ფორმულით:

ან (11) და (12) გათვალისწინებით

. (15)

(14) და (15) გამოყენებით, აღმოჩენილია ერთ-ერთი შეცდომა, აბსოლუტური ან ფარდობითი, რაც დამოკიდებულია გამოთვლების მოხერხებულობაზე. მაგალითად, თუ სამუშაო ფორმულას აქვს პროდუქტის ფორმა, გაზომილი სიდიდეების თანაფარდობა, ადვილია აიღოთ ლოგარითმი და გამოიყენოთ ფორმულა (15) არაპირდაპირი გაზომვის ფარდობითი შეცდომის დასადგენად. შემდეგ გამოთვალეთ აბსოლუტური შეცდომა ფორმულის გამოყენებით (16):

არაპირდაპირი გაზომვების ცდომილების დადგენის ზემოაღნიშნული პროცედურის საილუსტრაციოდ დავუბრუნდეთ ვირტუალურ ლაბორატორიულ ნაშრომს „თავისუფალი ვარდნის აჩქარების დადგენა მათემატიკური ქანქარის გამოყენებით“.

სამუშაო ფორმულას (1) აქვს გაზომილი მნიშვნელობების თანაფარდობის ფორმა:

ამიტომ, ჩვენ ვიწყებთ ფარდობითი შეცდომის განმარტებით. ამისათვის ჩვენ ვიღებთ ამ გამონათქვამის ლოგარითმს და შემდეგ გამოვთვალოთ ნაწილობრივი წარმოებულები:

; ; .

ჩანაცვლება ფორმულაში (15) იწვევს არაპირდაპირი გაზომვის ფარდობითი შეცდომის ფორმულას:

(17)

პირდაპირი გაზომვების შედეგების ჩანაცვლების შემდეგ

{ ; ) (17)-ში ვიღებთ:

(18)

აბსოლუტური შეცდომის გამოსათვლელად ვიყენებთ გამოხატულებას (16) და გრავიტაციული აჩქარების ადრე გამოთვლილ მნიშვნელობას (9). გ:

აბსოლუტური ცდომილების გამოთვლის შედეგი მრგვალდება ერთ მნიშვნელოვან ციფრამდე. აბსოლუტური შეცდომის გამოთვლილი მნიშვნელობა განსაზღვრავს საბოლოო შედეგის ჩაწერის სიზუსტეს:

, α ≈ 1. (19)

ამ შემთხვევაში, ნდობის ალბათობა განისაზღვრება იმ პირდაპირი გაზომვების ნდობის ალბათობით, რომლებმაც გადამწყვეტი წვლილი შეიტანეს არაპირდაპირი გაზომვის შეცდომაში. ამ შემთხვევაში, ეს არის პერიოდის გაზომვები.

ამრიგად, 1-თან ახლოს ალბათობით, მნიშვნელობა გარის 8-დან 12-მდე.

თავისუფალი ვარდნის აჩქარების უფრო ზუსტი მნიშვნელობის მისაღებად გაუცილებელია გაზომვის ტექნიკის გაუმჯობესება. ამ მიზნით, აუცილებელია შემცირდეს ფარდობითი ცდომილება, რომელიც, როგორც (18) ფორმულიდან ჩანს, ძირითადად განისაზღვრება დროის გაზომვის შეცდომით.

ამისათვის საჭიროა არა ერთი სრული რხევის, არამედ, მაგალითად, 10 სრული რხევის დროის გაზომვა. შემდეგ, როგორც შემდეგნაირად გამოიყურება (2), ფარდობითი შეცდომის ფორმულა მიიღებს ფორმას:

. (20)

მე-4 ცხრილში მოცემულია დროის გაზომვის შედეგები ნ = 10

რაოდენობისთვის ლმიიღეთ გაზომვის შედეგები ცხრილიდან 2. პირდაპირი გაზომვების შედეგების (20) ფორმულით ჩანაცვლებით, ჩვენ ვპოულობთ არაპირდაპირი გაზომვების ფარდობით შეცდომას:

ფორმულის (2) გამოყენებით, ჩვენ ვიანგარიშებთ ირიბად გაზომილი სიდიდის მნიშვნელობას:

.

.

საბოლოო შედეგი იწერება შემდეგნაირად:

; ; .

ეს მაგალითი გვიჩვენებს ფარდობითი შეცდომის ფორმულის როლს გაზომვის ტექნიკის გასაუმჯობესებლად შესაძლო მიმართულებების ანალიზში.