მეორე რიგის ხაზები.
ელიფსი და მისი კანონიკური განტოლება. წრე

საფუძვლიანი შესწავლის შემდეგ სწორი ხაზები თვითმფრინავზეჩვენ ვაგრძელებთ ორგანზომილებიანი სამყაროს გეომეტრიის შესწავლას. ფსონები გაორმაგებულია და გეპატიჟებით ეწვიოთ ელიფსების, ჰიპერბოლების, პარაბოლების თვალწარმტაცი გალერეას, რომლებიც ტიპიური წარმომადგენლები არიან. მეორე რიგის ხაზები. ტური უკვე დაწყებულია და ჯერ მოკლე ინფორმაცია მუზეუმის სხვადასხვა სართულზე მთელი გამოფენის შესახებ:

ალგებრული წრფის კონცეფცია და მისი რიგი

ხაზს თვითმფრინავზე ეწოდება ალგებრული, თუ შიგნით აფინური კოორდინატთა სისტემამის განტოლებას აქვს ფორმა, სადაც არის მრავალწევრი, რომელიც შედგება ფორმის ტერმინებისგან (ნამდვილი რიცხვია, არის არაუარყოფითი მთელი რიცხვები).

როგორც ხედავთ, ალგებრული წრფის განტოლება არ შეიცავს სინუსებს, კოსინუსებს, ლოგარითმებს და სხვა ფუნქციურ ბომონდს. მხოლოდ "x" და "y". მთელი რიცხვი არაუარყოფითიგრადუსი.

ხაზის შეკვეთაუდრის მასში შემავალი ტერმინების მაქსიმალურ მნიშვნელობას.

შესაბამისი თეორემის მიხედვით, ალგებრული წრფის კონცეფცია, ისევე როგორც მისი რიგი, არ არის დამოკიდებული არჩევანზე. აფინური კოორდინატთა სისტემამაშასადამე, ყოფნის სიმარტივისთვის, მიგვაჩნია, რომ ყველა შემდგომი გამოთვლა ხდება ქ დეკარტის კოორდინატები.

ზოგადი განტოლებამეორე რიგის ხაზს აქვს ფორმა, სადაც არის თვითნებური რეალური რიცხვები (ჩვეულებრივია დაწეროთ მულტიპლიკატორით - "ორი")და კოეფიციენტები ერთდროულად არ არის ნულის ტოლი.

თუ , მაშინ განტოლება ამარტივებს და თუ კოეფიციენტები ერთდროულად არ არის ნულის ტოლი, მაშინ ეს არის ზუსტად "ბრტყელი" სწორი ხაზის ზოგადი განტოლება, რომელიც წარმოადგენს პირველი შეკვეთის ხაზი.

ბევრს ესმოდა ახალი ტერმინების მნიშვნელობა, მაგრამ, მიუხედავად ამისა, მასალის 100%-ით ათვისების მიზნით, თითებს ბუდეში ვყრით. ხაზის რიგის დასადგენად, გაიმეორეთ ყველა ტერმინიმისი განტოლებები და თითოეული მათგანისთვის იპოვეთ უფლებამოსილებების ჯამიშემომავალი ცვლადები.

Მაგალითად:

ტერმინი შეიცავს "x"-ს პირველ ხარისხამდე;
ტერმინი შეიცავს "Y" 1-ლი ხარისხით;
ტერმინში არ არის ცვლადები, ამიტომ მათი ძალების ჯამი არის ნული.

ახლა მოდით გავარკვიოთ, რატომ ადგენს განტოლება ხაზს მეორეშეკვეთა:

ტერმინი შეიცავს "x"-ს მე-2 ხარისხში;
ტერმინს აქვს ცვლადების ხარისხების ჯამი: 1 + 1 = 2;
ტერმინი შეიცავს „y“-ს მე-2 ხარისხში;
ყველა სხვა პირობა - ნაკლებიხარისხი.

მაქსიმალური ღირებულება: 2

თუ დამატებით დავამატებთ ჩვენს განტოლებას, ვთქვათ, , მაშინ ის უკვე განსაზღვრავს მესამე შეკვეთის ხაზი. აშკარაა, რომ მე-3 რიგის ხაზის განტოლების ზოგადი ფორმა შეიცავს ტერმინების „სრულ კომპლექტს“, ცვლადების ხარისხების ჯამი, რომელშიც სამი ტოლია:
, სადაც კოეფიციენტები ერთდროულად არ არის ნულის ტოლი.

იმ შემთხვევაში, თუ დაემატება ერთი ან მეტი შესაფერისი ტერმინი, რომელიც შეიცავს , შემდეგ ჩვენ ვისაუბრებთ მე -4 შეკვეთის ხაზებიდა ა.შ.

მე-3, მე-4 და უმაღლესი რიგის ალგებრულ ხაზებთან არაერთხელ მოგვიწევს საქმე, კერძოდ, გაცნობისას პოლარული კოორდინატთა სისტემა.

თუმცა, დავუბრუნდეთ ზოგად განტოლებას და გავიხსენოთ მისი უმარტივესი სასკოლო ვარიაციები. მაგალითებია პარაბოლა, რომლის განტოლება ადვილად შეიძლება შემცირდეს ზოგად ფორმამდე და ჰიპერბოლა ექვივალენტური განტოლებით. თუმცა ყველაფერი ასე გლუვი არ არის....

ზოგადი განტოლების მნიშვნელოვანი ნაკლი არის ის, რომ თითქმის ყოველთვის არ არის ნათელი, რომელ ხაზს განსაზღვრავს იგი. უმარტივეს შემთხვევაშიც კი, მაშინვე ვერ მიხვდებით, რომ ეს ჰიპერბოლაა. ასეთი განლაგება კარგია მხოლოდ მასკარადისთვის, ამიტომ ანალიტიკური გეომეტრიის მსვლელობისას განიხილება ტიპიური პრობლემა. მე-2 რიგის ხაზის განტოლების შემცირება კანონიკურ ფორმამდე.

რა არის განტოლების კანონიკური ფორმა?

ეს არის განტოლების ზოგადად მიღებული სტანდარტული ფორმა, როდესაც რამდენიმე წამში ირკვევა, თუ რა გეომეტრიულ ობიექტს განსაზღვრავს იგი. გარდა ამისა, კანონიკური ფორმა ძალიან მოსახერხებელია მრავალი პრაქტიკული პრობლემის გადასაჭრელად. ასე, მაგალითად, კანონიკური განტოლების მიხედვით "ბრტყელი" სწორი, ჯერ ერთი, მაშინვე ცხადია, რომ ეს არის სწორი ხაზი და მეორეც, მისი კუთვნილი წერტილი და მიმართულების ვექტორი უბრალოდ ჩანს.

ცხადია, ნებისმიერი 1-ლი შეკვეთის ხაზიწარმოადგენს სწორ ხაზს. მეორე სართულზე აღარ გველოდება დამლაგებელი, არამედ ცხრა ქანდაკებისგან შემდგარი გაცილებით მრავალფეროვანი კომპანია:

მეორე რიგის ხაზების კლასიფიკაცია

მოქმედებების სპეციალური ნაკრების დახმარებით, ნებისმიერი მეორე რიგის ხაზის განტოლება მცირდება ერთ-ერთ შემდეგ ტიპზე:

(და დადებითი რეალური რიცხვებია)

1) არის ელიფსის კანონიკური განტოლება;

2) არის ჰიპერბოლის კანონიკური განტოლება;

3) არის პარაბოლის კანონიკური განტოლება;

4) – წარმოსახვითიელიფსი;

5) - გადამკვეთი ხაზების წყვილი;

6) - წყვილი წარმოსახვითიგადამკვეთი ხაზები (საწყისზე გადაკვეთის ერთადერთი რეალური წერტილით);

7) - პარალელური წრფეების წყვილი;

8) - წყვილი წარმოსახვითიპარალელური ხაზები;

9) არის წყვილი, რომლებიც ემთხვევა ერთმანეთს.

ზოგიერთ მკითხველს შეიძლება ჰქონდეს შთაბეჭდილება, რომ სია არასრულია. მაგალითად, მე-7 პუნქტში, განტოლება ადგენს წყვილს პირდაპირი, ღერძის პარალელურად და ჩნდება კითხვა: სად არის განტოლება, რომელიც განსაზღვრავს y ღერძის პარალელურ წრფეებს? Უპასუხე არ ითვლება კანონად. სწორი ხაზები წარმოადგენს იგივე სტანდარტულ შემთხვევას, რომელიც შემოტრიალებულია 90 გრადუსით, ხოლო კლასიფიკაციაში დამატებითი ჩანაწერი ზედმეტია, რადგან ის არ შეიცავს რაიმე ძირეულად ახალს.

ამრიგად, არსებობს ცხრა და მხოლოდ ცხრა განსხვავებული ტიპის მეორე რიგის ხაზები, მაგრამ პრაქტიკაში ყველაზე გავრცელებულია ელიფსი, ჰიპერბოლა და პარაბოლა.

ჯერ ელიფსს გადავხედოთ. ჩვეულებისამებრ, მე ყურადღებას ვამახვილებ იმ პუნქტებზე, რომლებსაც დიდი მნიშვნელობა აქვს პრობლემების გადასაჭრელად, და თუ გჭირდებათ ფორმულების დეტალური წარმოშობა, თეორემების მტკიცებულებები, გთხოვთ, მიმართოთ, მაგალითად, ბაზილევის / ატანასიანის ან ალექსანდროვის სახელმძღვანელოს.

ელიფსი და მისი კანონიკური განტოლება

მართლწერა... გთხოვთ, არ გაიმეოროთ Yandex-ის ზოგიერთი მომხმარებლის შეცდომები, რომლებსაც აინტერესებთ "როგორ ავაშენოთ ელიფსი", "განსხვავება ელიფსსა და ოვალურს შორის" და "ელების ექსცენტრიულობა".

ელიფსის კანონიკურ განტოლებას აქვს ფორმა, სადაც დადებითი რეალური რიცხვებია და. ელიფსის განმარტებას მოგვიანებით ჩამოვაყალიბებ, მაგრამ ახლა დროა შეისვენოთ საუბარს და გადავჭრათ საერთო პრობლემა:

როგორ ავაშენოთ ელიფსი?

დიახ, აიღე და უბრალოდ დახატე. დავალება საერთოა და მოსწავლეთა მნიშვნელოვანი ნაწილი არც თუ ისე კომპეტენტურად უმკლავდება ნახატს:

მაგალითი 1

ააგეთ განტოლებით მოცემული ელიფსი

გადაწყვეტილება: ჯერ განტოლებას მივყავართ კანონიკურ ფორმამდე:

რატომ მოიტანე? კანონიკური განტოლების ერთ-ერთი უპირატესობა ის არის, რომ ის საშუალებას გაძლევთ მყისიერად განსაზღვროთ ელიფსის წვეროები, რომლებიც არიან პუნქტებში . ადვილი მისახვედრია, რომ თითოეული ამ წერტილის კოორდინატები აკმაყოფილებს განტოლებას.

Ამ შემთხვევაში :


ხაზის სეგმენტიდაურეკა ძირითადი ღერძიელიფსი;
ხაზის სეგმენტი – მცირე ღერძი;
ნომერი დაურეკა ნახევრად ძირითადი ღერძიელიფსი;
ნომერი – ნახევრად მცირე ღერძი.
ჩვენს მაგალითში: .

იმისთვის, რომ სწრაფად წარმოიდგინოთ, როგორ გამოიყურება ესა თუ ის ელიფსი, უბრალოდ გადახედეთ მისი კანონიკური განტოლების "a" და "be" მნიშვნელობებს.

ყველაფერი კარგად არის, მოწესრიგებული და ლამაზი, მაგრამ არის ერთი გაფრთხილება: ნახატი პროგრამის გამოყენებით დავასრულე. და თქვენ შეგიძლიათ დახატოთ ნებისმიერი აპლიკაციით. თუმცა, მკაცრ რეალობაში, მაგიდაზე ფურცელი დევს და თაგვები ჩვენს ხელებზე ცეკვავენ. მხატვრული ნიჭის მქონე ადამიანებს, რა თქმა უნდა, შეუძლიათ კამათი, მაგრამ თაგვებიც გყავთ (თუმცა უფრო პატარა). ტყუილად არ გამოიგონა კაცობრიობამ სახაზავი, კომპასი, პროტრაქტორი და სხვა მარტივი სახატავი მოწყობილობები.

ამ მიზეზით, ჩვენ ნაკლებად სავარაუდოა, რომ შევძლოთ ზუსტად დავხატოთ ელიფსი, მხოლოდ წვეროების ცოდნა. მაინც კარგია, თუ ელიფსი პატარაა, მაგალითად, ნახევარღერძებით. გარდა ამისა, შეგიძლიათ შეამციროთ მასშტაბი და, შესაბამისად, ნახაზის ზომები. მაგრამ ზოგად შემთხვევაში ძალიან სასურველია დამატებითი ქულების პოვნა.

ელიფსის აგების ორი მიდგომა არსებობს - გეომეტრიული და ალგებრული. არ მიყვარს კომპასით და სახაზავით აშენება მოკლე ალგორითმისა და ნახატის მნიშვნელოვანი აურზაურის გამო. აუცილებლობის შემთხვევაში, გთხოვთ, მიმართოთ სახელმძღვანელოს, მაგრამ რეალურად გაცილებით რაციონალურია ალგებრის იარაღების გამოყენება. მონახაზის ელიფსის განტოლებიდან ჩვენ სწრაფად გამოვხატავთ:

შემდეგ განტოლება იყოფა ორ ფუნქციად:
– განსაზღვრავს ელიფსის ზედა რკალს;
– განსაზღვრავს ელიფსის ქვედა რკალს.

კანონიკური განტოლებით მოცემული ელიფსი სიმეტრიულია კოორდინატთა ღერძების მიმართ, ასევე საწყისის მიმართ. და ეს მშვენიერია - სიმეტრია თითქმის ყოველთვის არის უფასო საწინდარი. ცხადია, საკმარისია საქმე 1 კოორდინატულ კვარტალთან, ამიტომ გვჭირდება ფუნქცია . იგი გვთავაზობს დამატებითი ქულების პოვნას აბსცისებით . კალკულატორზე დავაფიქსირეთ სამი SMS:

რა თქმა უნდა, სასიამოვნოა ისიც, რომ თუ გამოთვლებში დაშვებულია სერიოზული შეცდომა, მაშინ ეს მაშინვე გაირკვევა მშენებლობის დროს.

მონიშნეთ წერტილები ნახაზზე (წითელი ფერი), სიმეტრიული წერტილები დანარჩენ რკალებზე (ლურჯი ფერი) და ყურადღებით დააკავშირეთ მთელი კომპანია ხაზით:


სჯობს საწყისი ესკიზი თხლად და თხლად დახატოთ და მხოლოდ ამის შემდეგ დააჭიროთ ფანქარს. შედეგი უნდა იყოს საკმაოდ წესიერი ელიფსი. სხვათა შორის, გსურთ იცოდეთ რა არის ეს მრუდი?

ელიფსის განმარტება. ელიფსის კერები და ელიფსის ექსცენტრიულობა

ელიფსი არის ოვალის განსაკუთრებული შემთხვევა. სიტყვა „ოვალური“ ფილისტიმური გაგებით არ უნდა გავიგოთ („ბავშვმა ოვალური დახატა“ და ა.შ.). ეს არის მათემატიკური ტერმინი დეტალური ფორმულირებით. ამ გაკვეთილის მიზანი არ არის განიხილოს ოვალების თეორია და მათი სხვადასხვა ტიპები, რომლებსაც პრაქტიკულად არ ექცევა ყურადღება ანალიტიკური გეომეტრიის სტანდარტულ კურსში. და, უფრო მიმდინარე საჭიროებების შესაბამისად, ჩვენ დაუყოვნებლივ მივდივართ ელიფსის მკაცრ განმარტებაზე:

ელიფსი- ეს არის სიბრტყის ყველა წერტილის ერთობლიობა, თითოეულ მათგანთან მანძილების ჯამი ორი მოცემული წერტილიდან, ე.წ. ხრიკებიელიფსი არის მუდმივი მნიშვნელობა, რომელიც რიცხობრივად უდრის ამ ელიფსის მთავარი ღერძის სიგრძეს: .
ამ შემთხვევაში კერებს შორის მანძილი ამ მნიშვნელობაზე ნაკლებია: .

ახლა უფრო ნათელი გახდება:

წარმოიდგინეთ, რომ ლურჯი წერტილი "მიდის" ელიფსზე. ასე რომ, არ აქვს მნიშვნელობა ელიფსის რომელ წერტილს ავიღებთ, სეგმენტების სიგრძის ჯამი ყოველთვის იგივე იქნება:

დავრწმუნდეთ, რომ ჩვენს მაგალითში ჯამის მნიშვნელობა ნამდვილად რვის ტოლია. ძალაუნებურად მოათავსეთ წერტილი „ემ“ ელიფსის მარჯვენა წვეროში, შემდეგ: , რომლის შემოწმებაც საჭირო იყო.

ელიფსის დახატვის კიდევ ერთი გზა ემყარება ელიფსის განმარტებას. უმაღლესი მათემატიკა, ზოგჯერ, დაძაბულობისა და სტრესის მიზეზია, ამიტომ დროა განტვირთვის კიდევ ერთი სესია. გთხოვთ, აიღეთ ქაღალდის ნაჭერი ან მუყაოს დიდი ფურცელი და მიამაგრეთ მაგიდაზე ორი ფრჩხილით. ეს იქნება ხრიკები. ამობურცულ ფრჩხილის თავებს მიამაგრეთ მწვანე ძაფი და ფანქრით ბოლომდე მიათრევთ. ფანქრის კისერი იქნება რაღაც მომენტში, რომელიც ეკუთვნის ელიფსს. ახლა დაიწყეთ ფანქრის წარმართვა ქაღალდის ფურცელზე, შეინარჩუნეთ მწვანე ძაფი ძალიან დაჭიმული. გააგრძელეთ პროცესი მანამ, სანამ არ დაბრუნდებით საწყის წერტილში ... შესანიშნავად ... ნახატი შეიძლება გადაეცეს ექიმმა მასწავლებელს დასამოწმებლად =)

როგორ მოვძებნოთ ელიფსის ფოკუსი?

ზემოთ მოყვანილ მაგალითში მე გამოვხატე "მზად" ფოკუსირების წერტილები და ახლა ჩვენ ვისწავლით როგორ გამოვყოთ ისინი გეომეტრიის სიღრმიდან.

თუ ელიფსი მოცემულია კანონიკური განტოლებით, მაშინ მის კერებს აქვთ კოორდინატები , სად არის მანძილი თითოეული კერიდან ელიფსის სიმეტრიის ცენტრამდე.

გამოთვლები უფრო ადვილია, ვიდრე ორთქლზე მოხარშული ტურპები:

! "ce" მნიშვნელობით შეუძლებელია ტრიუკების კონკრეტული კოორდინატების დადგენა!ვიმეორებ, ეს არის DISTANCE თითოეული ფოკუსიდან ცენტრამდე(რომელიც ზოგად შემთხვევაში არ უნდა მდებარეობდეს ზუსტად საწყისზე).
და, მაშასადამე, კერებს შორის მანძილი არ შეიძლება იყოს მიბმული ელიფსის კანონიკურ პოზიციასთან. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ელიფსი შეიძლება გადავიდეს სხვა ადგილას და მნიშვნელობა უცვლელი დარჩეს, ხოლო კერები ბუნებრივად შეცვლიან კოორდინატებს. გთხოვთ გაითვალისწინოთ ეს თემის შემდგომი შესწავლისას.

ელიფსის ექსცენტრიულობა და მისი გეომეტრიული მნიშვნელობა

ელიფსის ექსცენტრიულობა არის თანაფარდობა, რომელსაც შეუძლია მიიღოს მნიშვნელობები შიგნით.

ჩვენს შემთხვევაში:

მოდით გავარკვიოთ, როგორ არის დამოკიდებული ელიფსის ფორმა მის ექსცენტრიულობაზე. Ამისთვის დააფიქსირეთ მარცხენა და მარჯვენა წვეროებიგანხილული ელიფსის, ანუ ნახევრად მთავარი ღერძის მნიშვნელობა მუდმივი დარჩება. მაშინ ექსცენტრიულობის ფორმულა მიიღებს ფორმას: .

დავიწყოთ ექსცენტრიულობის მნიშვნელობის ერთიანობამდე მიახლოება. ეს შესაძლებელია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ. Რას ნიშნავს? ... ხრიკების გახსენება . ეს ნიშნავს, რომ ელიფსის ფოკუსები აბსცისის ღერძის გასწვრივ გვერდითი წვეროებამდე „გაიფანტება“. და რადგან "მწვანე სეგმენტები არ არის რეზინის", ელიფსი აუცილებლად დაიწყებს გაბრტყელებას, გადაიქცევა ღერძზე დაკიდებულ თხელ და თხელ სოსისად.

ამრიგად, რაც უფრო ახლოს არის ელიფსის ექსცენტრიულობა ერთთან, მით უფრო გრძელია ელიფსი.

ახლა გავაკეთოთ საპირისპირო პროცესის სიმულაცია: ელიფსის კერები ერთმანეთისკენ წავიდნენ, ცენტრს მიუახლოვდნენ. ეს ნიშნავს, რომ "ce"-ს მნიშვნელობა მცირდება და, შესაბამისად, ექსცენტრიულობა ნულისკენ მიისწრაფვის: .
ამ შემთხვევაში, პირიქით, "მწვანე სეგმენტები" "გაჭედილი გახდება" და ისინი დაიწყებენ ელიფსის ხაზის "დაწევას" ზემოთ და ქვემოთ.

ამრიგად, რაც უფრო ახლოს არის ექსცენტრიულობის მნიშვნელობა ნულთან, მით უფრო გამოიყურება ელიფსი... შეხედეთ შემზღუდველ შემთხვევას, როდესაც კერები წარმატებით გაერთიანებულია საწყისთან:

წრე არის ელიფსის განსაკუთრებული შემთხვევა

მართლაც, ნახევარღერძების თანასწორობის შემთხვევაში ელიფსის კანონიკური განტოლება იღებს ფორმას, რომელიც რეფლექსურად გარდაიქმნება სკოლიდან ცნობილ წრის განტოლებაში, ცენტრით "a" რადიუსის სათავეში.

პრაქტიკაში, აღნიშვნა "სალაპარაკო" ასო "er" უფრო ხშირად გამოიყენება:. რადიუსს უწოდებენ სეგმენტის სიგრძეს, ხოლო წრის თითოეული წერტილი ამოღებულია ცენტრიდან რადიუსის მანძილით.

გაითვალისწინეთ, რომ ელიფსის განმარტება რჩება სრულიად სწორი: კერები ემთხვევა და წრის თითოეული წერტილისთვის შესაბამისი სეგმენტების სიგრძის ჯამი მუდმივი მნიშვნელობაა. ვინაიდან კერებს შორის მანძილი არის ნებისმიერი წრის ექსცენტრიულობა ნულის ტოლია.

წრე შენდება მარტივად და სწრაფად, საკმარისია შეიარაღო კომპასით. თუმცა, ზოგჯერ საჭიროა მისი ზოგიერთი წერტილის კოორდინატების გარკვევა, ამ შემთხვევაში მივდივართ ნაცნობ გზაზე - განტოლებას მივყავართ მხიარულ მატანის ფორმამდე:

არის ზედა ნახევარწრის ფუნქცია;
არის ქვედა ნახევარწრის ფუნქცია.

შემდეგ ჩვენ ვიპოვით სასურველ მნიშვნელობებს, დიფერენცირებადი, ინტეგრირებადა გააკეთე სხვა კარგი საქმეები.

სტატია, რა თქმა უნდა, მხოლოდ საცნობაროა, მაგრამ როგორ შეიძლება ცხოვრება სიყვარულის გარეშე მსოფლიოში? კრეატიული დავალება დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის

მაგალითი 2

შეადგინეთ ელიფსის კანონიკური განტოლება, თუ ცნობილია მისი ერთ-ერთი კერა და ნახევრად მცირე ღერძი (ცენტრი სათავეშია). იპოვეთ წვეროები, დამატებითი წერტილები და დახაზეთ ხაზი ნახაზზე. გამოთვალეთ ექსცენტრიულობა.

ამოხსნა და ნახატი გაკვეთილის ბოლოს

დავამატოთ მოქმედება:

დაატრიალეთ და თარგმნეთ ელიფსი

დავუბრუნდეთ ელიფსის კანონიკურ განტოლებას, კერძოდ, იმ მდგომარეობას, რომლის გამოცანა აწუხებს ცნობისმოყვარე გონებას ამ მრუდის პირველი ხსენების შემდეგ. აქ ჩვენ განვიხილეთ ელიფსი , მაგრამ პრაქტიკაში არ შეიძლება განტოლება ? თუმცა აქაც ხომ ელიფსს ჰგავს!

ასეთი განტოლება იშვიათია, მაგრამ გვხვდება. და ის განსაზღვრავს ელიფსს. მოდით გავფანტოთ მისტიკოსი:

აგების შედეგად მიიღება ჩვენი მშობლიური ელიფსი, რომელიც ბრუნავს 90 გრადუსით. ე.ი. - ეს არაკანონიკური ჩანაწერიელიფსი . ჩანაწერი!- განტოლება არ აკონკრეტებს სხვა ელიფსს, ვინაიდან ღერძზე არ არის წერტილები (ფოკუსები), რომლებიც დააკმაყოფილებს ელიფსის განმარტებას.

ჩამოვაყალიბოთ მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა სიბრტყეზე და განვიხილოთ მეორე ხარისხის ზოგადი განტოლება

სადაც
.

სიბრტყეში ყველა წერტილის სიმრავლე, რომლის კოორდინატები აკმაყოფილებს განტოლებას (8.4.1) ეწოდება მრუდე (ხაზი) მეორე შეკვეთა.

მეორე რიგის ნებისმიერი მრუდისთვის არსებობს მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა, რომელსაც ეწოდება კანონიკური, რომელშიც ამ მრუდის განტოლებას აქვს ერთ-ერთი შემდეგი ფორმა:

1)
(ელიფსი);

2)
(წარმოსახვითი ელიფსი);

3)
(წარმოსახვითი გადამკვეთი წრფეების წყვილი);

4)
(ჰიპერბოლა);

5)
(გადამკვეთი წრფეების წყვილი);

6)
(პარაბოლა);

7)
(პარალელური წრფეების წყვილი);

8)
(წარმოსახვითი პარალელური წრფეების წყვილი);

9)
(დამთხვევა ხაზების წყვილი).

1)–9) განტოლებები ეწოდება მეორე რიგის მრუდების კანონიკური განტოლებები.

მეორე რიგის მრუდის განტოლების კანონიკურ ფორმამდე დაყვანის პრობლემის გადაწყვეტა მოიცავს მრუდის კანონიკური განტოლებისა და კანონიკური კოორდინატთა სისტემის პოვნას. კანონიკურ ფორმამდე შემცირება საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ მრუდის პარამეტრები და განსაზღვროთ მისი მდებარეობა თავდაპირველ კოორდინატულ სისტემასთან შედარებით. გადასვლა ორიგინალური მართკუთხა კოორდინატთა სისტემიდან
კანონიკურამდე
ხორციელდება საწყისი კოორდინატთა სისტემის ღერძების წერტილის გარშემო ბრუნვით ოგარკვეულ კუთხეზე  და კოორდინატთა სისტემის შემდგომი პარალელური გადატანა.

მეორე რიგის მრუდის ინვარიანტები(8.4.1) ეწოდება მისი განტოლების კოეფიციენტების ისეთ ფუნქციებს, რომელთა მნიშვნელობები არ იცვლება ერთი მართკუთხა კოორდინატთა სისტემიდან იმავე სისტემის მეორეზე გადასვლისას.

მეორე რიგის მრუდისთვის (8.4.1) კოეფიციენტების ჯამი კვადრატულ კოორდინატებზე

,

წამყვანი ტერმინების კოეფიციენტებისგან შემდგარი განმსაზღვრელი

და მესამე რიგის განმსაზღვრელი

უცვლელები არიან.

s, ,  ინვარიანტების მნიშვნელობა შეიძლება გამოყენებულ იქნას მეორე რიგის მრუდის ტიპის დასადგენად და კანონიკური განტოლების შედგენისთვის (ცხრილი 8.1).

ცხრილი 8.1

მეორე რიგის მრუდების კლასიფიკაცია ინვარიანტებზე დაყრდნობით

მოდით უფრო ახლოს მივხედოთ ელიფსს, ჰიპერბოლას და პარაბოლას.

ელიფსი(ნახ. 8.1) არის სიბრტყის წერტილების ადგილი, რომლისთვისაც არის მანძილების ჯამი ორ ფიქსირებულ წერტილამდე
ეს თვითმფრინავი, ე.წ ელიფსის ხრიკები, არის მუდმივი მნიშვნელობა (უფრო მეტი ვიდრე მანძილი კერებს შორის). ეს არ გამორიცხავს ელიფსის კერების დამთხვევას. თუ კერები ერთნაირია, მაშინ ელიფსი არის წრე.

მანძილების ნახევარი ჯამი ელიფსის წერტილიდან მის კერებამდე აღინიშნება აკერებს შორის მანძილის ნახევარი - თან. თუ სიბრტყეზე მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა შეირჩევა ისე, რომ ელიფსი ფოკუსირებული იყოს ღერძზე ოxსიმეტრიული წარმოშობის მიმართ, მაშინ ამ კოორდინატულ სისტემაში ელიფსი მოცემულია განტოლებით

, (8.4.2)

დაურეკა ელიფსის კანონიკური განტოლება, სად
.

ბრინჯი. 8.1

მართკუთხა კოორდინატთა სისტემის განსაზღვრული არჩევანით, ელიფსი სიმეტრიულია კოორდინატთა ღერძებისა და საწყისის მიმართ. ელიფსის სიმეტრიის ღერძები მას უწოდებენ ცულებიდა სიმეტრიის ცენტრი არის ელიფსის ცენტრი. ამავდროულად, 2 რიცხვებს ხშირად უწოდებენ ელიფსის ცულებს. ადა 2 ბდა ნომრები ადა ბ – დიდიდა ნახევრად მცირე ღერძიშესაბამისად.

ელიფსის გადაკვეთის წერტილები მის ღერძებთან ეწოდება ელიფსის წვეროები. ელიფსის წვეროებს აქვთ კოორდინატები ( ა, 0), (–ა, 0), (0, ბ), (0, –ბ).

ელიფსის ექსცენტრიულობადარეკა ნომერზე

. (8.4.3)

რადგან 0  გ < ა, ელიფსის ექსცენტრიულობა 0  < 1, причем у окружности  = 0. Перепишем равенство (8.4.3) в виде

.

ეს აჩვენებს, რომ ექსცენტრიულობა ახასიათებს ელიფსის ფორმას: რაც უფრო ახლოს არის  ნულთან, მით უფრო ჰგავს ელიფსი წრეს; როგორც  იზრდება, ელიფსი უფრო წაგრძელებული ხდება.

დაე იყოს
არის ელიფსის თვითნებური წერტილი,
და
- მანძილი წერტილიდან მხრიკების წინ ფ 1 და ფ 2 შესაბამისად. ნომრები რ 1 და რ 2 ეძახიან წერტილის ფოკუსური რადიუსი მ ელიფსიდა გამოითვლება ფორმულებით

დირექტორებიწრის გარდა ელიფსიკანონიკური განტოლებით (8.4.2) იწოდება ორი წრფე

.

ელიფსის მიმართულებები განლაგებულია ელიფსის გარეთ (სურ. 8.1).

ფოკალური რადიუსის თანაფარდობა ქულებიმელიფსი მანძილზე  ამ ელიფსის (ფოკუსი და მიმართულება შესატყვისად ითვლება, თუ ისინი განლაგებულია ელიფსის ცენტრის იმავე მხარეს).

ჰიპერბოლა(ნახ. 8.2) არის სიბრტყის წერტილების ლოკუსი, რომლისთვისაც ორ ფიქსირებულ წერტილამდე მანძილების სხვაობის მოდული და ეს თვითმფრინავი, ე.წ ჰიპერბოლის კერები, არის მუდმივი მნიშვნელობა (არ არის ნულის ტოლი და ნაკლები მანძილი კერებს შორის).

კერებს შორის მანძილი იყოს 2 თანდა მანძილის სხვაობის მითითებული მოდული არის 2 ა. ჩვენ ვირჩევთ მართკუთხა კოორდინატთა სისტემას ისევე, როგორც ელიფსისთვის. ამ კოორდინატთა სისტემაში ჰიპერბოლა მოცემულია განტოლებით

, (8.4.4)

დაურეკა ჰიპერბოლის კანონიკური განტოლება, სად
.

ბრინჯი. 8.2

მართკუთხა კოორდინატთა სისტემის ამ არჩევანით, კოორდინატთა ღერძები არის ჰიპერბოლის სიმეტრიის ღერძი, ხოლო კოორდინატების საწყისი არის მისი სიმეტრიის ცენტრი. ჰიპერბოლის სიმეტრიის ღერძი ეწოდება ცულებიდა სიმეტრიის ცენტრი არის ჰიპერბოლის ცენტრი. მართკუთხედი 2 გვერდით ადა 2 ბ, მდებარეობს როგორც ნაჩვენებია ნახ. 8.2, ე.წ ჰიპერბოლის მთავარი მართკუთხედი. ნომრები 2 ადა 2 ბარის ჰიპერბოლის ღერძი და რიცხვები ადა ბ- მისი ღერძების ლილვები. სწორი ხაზები, რომლებიც წარმოადგენს მთავარი მართკუთხედის დიაგონალების გაგრძელებას, იქმნება ჰიპერბოლის ასიმპტოტები

.

ჰიპერბოლას ღერძთან გადაკვეთის წერტილები ოქსიდაურეკა ჰიპერბოლის წვეროები. ჰიპერბოლის წვეროებს აქვთ კოორდინატები ( ა, 0), (–ა, 0).

ჰიპერბოლის ექსცენტრიულობადარეკა ნომერზე

. (8.4.5)

Იმდენად, რამდენადაც თან > ა, ჰიპერბოლის ექსცენტრიულობა  > 1. გადავწეროთ ტოლობა (8.4.5) როგორც

.

ეს გვიჩვენებს, რომ ექსცენტრიულობა ახასიათებს მთავარი მართკუთხედის ფორმას და, შესაბამისად, თავად ჰიპერბოლის ფორმას: რაც უფრო მცირეა , მით უფრო ფართოვდება მთავარი მართკუთხედი და მის შემდეგ თავად ჰიპერბოლა ღერძის გასწვრივ. ოქსი.

დაე იყოს
არის ჰიპერბოლის თვითნებური წერტილი,
და
- მანძილი წერტილიდან მხრიკების წინ ფ 1 და ფ 2 შესაბამისად. ნომრები რ 1 და რ 2 ეძახიან წერტილის ფოკუსური რადიუსი მ ჰიპერბოლადა გამოითვლება ფორმულებით

დირექტორები ჰიპერბოლაკანონიკური განტოლებით (8.4.4) იწოდება ორი წრფე

.

ჰიპერბოლის მიმართულებები კვეთენ მთავარ ოთხკუთხედს და გადიან ცენტრსა და ჰიპერბოლის შესაბამის წვეროს შორის (სურ. 8.2).

ო ფოკალური რადიუსის თანაფარდობა ქულებიმ ჰიპერბოლები მანძილის მიმართ ამ წერტილიდან შესაბამის აქცენტამდე Directrix უდრის ექსცენტრიულობას ეს ჰიპერბოლა (ფოკუსი და მიმართულება მიჩნეულია შესაბამისებად, თუ ისინი განლაგებულია ჰიპერბოლის ცენტრის იმავე მხარეს).

პარაბოლა(ნახ. 8.3) არის სიბრტყის წერტილების ადგილი, რომლებისთვისაც მანძილია რომელიმე ფიქსირებულ წერტილამდე ფ (პარაბოლის ფოკუსი) ამ სიბრტყის უდრის მანძილს რომელიმე ფიქსირებულ ხაზამდე ( პარაბოლის მიმართულებები), ასევე განთავსებულია განხილულ სიბრტყეში.

ავირჩიოთ დასაწყისი ომართკუთხა კოორდინატთა სისტემა სეგმენტის შუაში [ ფდ], რომელიც ფოკუსიდან ამოვარდნილი პერპენდიკულურია ფმიმართულებამდე (ვარაუდობენ, რომ აქცენტი არ ეკუთვნის დირექტიკას) და ღერძები ოქსიდა ოიპირდაპირი, როგორც ნაჩვენებია ნახ. 8.3. მიეცით სეგმენტის სიგრძე [ ფდ] უდრის გვ. შემდეგ არჩეულ კოორდინატულ სისტემაში
და კანონიკური პარაბოლის განტოლებაფორმა აქვს

. (8.4.6)

ღირებულება გვდაურეკა პარაბოლის პარამეტრი.

პარაბოლას აქვს სიმეტრიის ღერძი, რომელსაც ე.წ პარაბოლის ღერძი. პარაბოლას ღერძთან გადაკვეთის წერტილი ეწოდება პარაბოლას ზევით. თუ პარაბოლა მოცემულია მისი კანონიკური განტოლებით (8.4.6), მაშინ პარაბოლის ღერძი არის ღერძი. ოქსი. ცხადია, პარაბოლის წვერო არის საწყისი.

მაგალითი 1Წერტილი მაგრამ= (2, –1) ეკუთვნის ელიფსს, წერტილს ფ= (1, 0) არის მისი ფოკუსი, შესაბამისი ფმიმართულება მოცემულია განტოლებით
. დაწერეთ განტოლება ამ ელიფსისთვის.

გადაწყვეტილება.ჩვენ ვივარაუდებთ, რომ კოორდინატთა სისტემა მართკუთხაა. შემდეგ მანძილი წერტილიდან მაგრამდირექტორს
(8.1.8) მიმართების შესაბამისად, რომელშიც


, უდრის

.

მანძილი წერტილიდან მაგრამფოკუსირება ფუდრის

,

რომელიც საშუალებას გაძლევთ განსაზღვროთ ელიფსის ექსცენტრიულობა

.

დაე იყოს მ = (x, წ) არის ელიფსის თვითნებური წერტილი. შემდეგ მანძილი
წერტილიდან მდირექტორს
ფორმულის მიხედვით (8.1.8) უდრის

და მანძილი წერტილიდან მფოკუსირება ფუდრის

.

ვინაიდან ელიფსის ნებისმიერი წერტილისთვის მიმართება არის მუდმივი მნიშვნელობა ელიფსის ექსცენტრიულობის ტოლი, აქედან გამომდინარე გვაქვს

,

მაგალითი 2მრუდი მოცემულია განტოლებით

მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში. იპოვეთ კანონიკური კოორდინატთა სისტემა და ამ მრუდის კანონიკური განტოლება. განსაზღვრეთ მრუდის ტიპი.

გადაწყვეტილება.კვადრატული ფორმა
აქვს მატრიცა

.

მისი დამახასიათებელი მრავალწევრი

აქვს ფესვები  1 = 4 და  2 = 9. ამიტომ, მატრიცის საკუთრივექტორების ორთონორმალურ საფუძველში მაგრამგანხილულ კვადრატულ ფორმას აქვს კანონიკური ფორმა

.

მოდით გადავიდეთ ცვლადების ორთოგონალური ტრანსფორმაციის მატრიცის აგებაზე, რომელიც განხილულ კვადრატულ ფორმას ამცირებს მითითებულ კანონიკურ ფორმამდე. ამისათვის ჩვენ ავაშენებთ განტოლებათა ერთგვაროვანი სისტემების ამონახსნების ფუნდამენტურ სისტემებს
და მათი ორთონორმალიზება.

ზე
ეს სისტემა ჰგავს

მისი ზოგადი გამოსავალი არის
. აქ არის ერთი უფასო ცვლადი. ამრიგად, ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემა შედგება ერთი ვექტორისგან, მაგალითად, ვექტორისგან
. მისი ნორმალიზებით ვიღებთ ვექტორს

.

ზე
ჩვენ ასევე ავაშენებთ ვექტორს

.

ვექტორები და უკვე ორთოგონალურია, რადგან ისინი მიუთითებენ სიმეტრიული მატრიცის სხვადასხვა საკუთრივ მნიშვნელობებზე მაგრამ. ისინი ქმნიან მოცემული კვადრატული ფორმის კანონიკურ ორთონორმალურ საფუძველს. მათი კოორდინატების სვეტებიდან აგებულია სასურველი ორთოგონალური მატრიცა (ბრუნვის მატრიცა).

.

შეამოწმეთ მატრიცის პოვნის სისწორე რფორმულის მიხედვით
, სად
არის კვადრატული ფორმის მატრიცა საფუძველში
:

მატრიცა რიპოვეს სწორად.

მოდით შევასრულოთ ცვლადების ტრანსფორმაცია

და ჩაწერეთ ამ მრუდის განტოლება ახალ მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში ძველი ცენტრისა და მიმართულების ვექტორებით
:

სადაც
.

მივიღეთ ელიფსის კანონიკური განტოლება

.

იმის გამო, რომ მართკუთხა კოორდინატების შედეგად მიღებული ტრანსფორმაცია განისაზღვრება ფორმულებით

,

,

კანონიკური კოორდინატთა სისტემა
აქვს დასაწყისი
და მიმართულების ვექტორები
.

მაგალითი 3ინვარიანტული თეორიის გამოყენებით განსაზღვრეთ ტიპი და დაწერეთ მრუდის კანონიკური განტოლება

გადაწყვეტილება.Იმდენად, რამდენადაც

,

ცხრილის შესაბამისად. 8.1 ჩვენ ვასკვნით, რომ ეს არის ჰიპერბოლა.

ვინაიდან s = 0, კვადრატული ფორმის მატრიცის დამახასიათებელი პოლინომი

მისი ფესვები
და
საშუალებას გვაძლევს დავწეროთ მრუდის კანონიკური განტოლება

სადაც თანმდგომარეობიდან არის ნაპოვნი

,

.

მრუდის სასურველი კანონიკური განტოლება

.

ამ განყოფილების ამოცანებში კოორდინატებიx, წვარაუდობენ მართკუთხა.

8.4.1. ელიფსებისთვის
და
იპოვე:

ა) ნახევარი ლილვები;

ბ) ილეთები;

გ) ექსცენტრიულობა;

დ) დირექტიული განტოლებები.

8.4.2. დაწერეთ ელიფსის განტოლებები, იცოდეთ მისი ფოკუსი
დირექტიკის შესაბამისი x= 8 და ექსცენტრიულობა . იპოვეთ ელიფსის მეორე ფოკუსი და მეორე მიმართულება.

8.4.3. დაწერეთ განტოლება ელიფსისთვის, რომლის კერებია (1, 0) და (0, 1) და რომლის მთავარი ღერძი არის ორი.

8.4.4. დანა ჰიპერბოლა
. იპოვე:

ა) ღერძები ადა ბ;

ბ) ილეთები;

გ) ექსცენტრიულობა;

დ) ასიმპტოტური განტოლებები;

ე) დირექტიული განტოლებები.

8.4.5. დანა ჰიპერბოლა
. იპოვე:

ა) ღერძები ადა ბ;

ბ) ილეთები;

გ) ექსცენტრიულობა;

დ) ასიმპტოტური განტოლებები;

ე) დირექტიული განტოლებები.

8.4.6. Წერტილი
ეკუთვნის ჰიპერბოლას, რომლის ფოკუსი არის
, და შესაბამისი მიმართულება მოცემულია განტოლებით
. დაწერეთ განტოლება ამ ჰიპერბოლისთვის.

8.4.7. დაწერეთ პარაბოლის განტოლება მისი ფოკუსის გათვალისწინებით
და დირექტორი
.

8.4.8. მოცემულია პარაბოლას წვერო
და დირექტივის განტოლება
. დაწერეთ ამ პარაბოლის განტოლება.

8.4.9. დაწერეთ განტოლება პარაბოლას, რომლის ფოკუსი არის წერტილზე

და მიმართულება მოცემულია განტოლებით
.

8.4.10. დაწერეთ განტოლება მეორე რიგის მრუდისთვის, იცოდეთ მისი ექსცენტრიულობა
, ფოკუსირება
და შესაბამისი დირექტორი
.

8.4.11. დაადგინეთ მეორე რიგის მრუდის ტიპი, ჩაწერეთ მისი კანონიკური განტოლება და იპოვეთ კანონიკური კოორდინატთა სისტემა:

გ)
;

8.4.12.

არის ელიფსი. იპოვეთ ამ ელიფსის ნახევრადღერძების სიგრძეები და ექსცენტრიულობა, ცენტრისა და კერების კოორდინატები, დაწერეთ ღერძებისა და მიმართულებების განტოლებები.

8.4.13. დაამტკიცეთ, რომ განტოლებით მოცემული მეორე რიგის მრუდი

არის ჰიპერბოლა. იპოვეთ ამ ჰიპერბოლის ნახევრადღერძების სიგრძეები და ექსცენტრიულობა, ცენტრისა და კერების კოორდინატები, დაწერეთ ღერძების, მიმართულებების და ასიმპტოტების განტოლებები.

8.4.14. დაამტკიცეთ, რომ განტოლებით მოცემული მეორე რიგის მრუდი

,

არის პარაბოლა. იპოვეთ პარაბოლის პარამეტრი, წვეროების კოორდინატები და ფოკუსი, დაწერეთ ღერძისა და მიმართულების განტოლებები.

8.4.15. მიიტანეთ თითოეული შემდეგი განტოლება კანონიკურ ფორმამდე. ნახატზე დახაზეთ შესაბამისი მეორე რიგის მრუდი თავდაპირველი მართკუთხა კოორდინატთა სისტემის მიმართ:

8.4.16. ინვარიანტული თეორიის გამოყენებით განსაზღვრეთ ტიპი და დაწერეთ მრუდის კანონიკური განტოლება.

11.1. Ძირითადი ცნებები

განვიხილოთ მეორე ხარისხის განტოლებებით განსაზღვრული ხაზები მიმდინარე კოორდინატებთან მიმართებაში

განტოლების კოეფიციენტები რეალური რიცხვებია, მაგრამ A, B ან C რიცხვებიდან ერთი მაინც არ არის ნულოვანი. ასეთ ხაზებს მეორე რიგის ხაზებს (მრუდებს) უწოდებენ. ქვემოთ დადგინდება, რომ განტოლება (11.1) განსაზღვრავს წრეს, ელიფსს, ჰიპერბოლას ან პარაბოლას სიბრტყეში. სანამ ამ მტკიცებაზე გადავიდოდეთ, შევისწავლოთ ჩამოთვლილი მრუდების თვისებები.

11.2. წრე

მეორე რიგის უმარტივესი მრუდი არის წრე. შეგახსენებთ, რომ R რადიუსის წრე, რომელიც ორიენტირებულია წერტილზე, არის სიბრტყის ყველა Μ წერტილის სიმრავლე, რომელიც აკმაყოფილებს პირობას. მართკუთხა კოორდინატთა სისტემაში წერტილს ჰქონდეს კოორდინატები x 0, y 0 a - წრის თვითნებური წერტილი (იხ. სურ. 48).

შემდეგ მდგომარეობიდან ვიღებთ განტოლებას

(11.2)

განტოლება (11.2) კმაყოფილდება მოცემულ წრის რომელიმე წერტილის კოორდინატებით და არ კმაყოფილდება ნებისმიერი წერტილის კოორდინატებით, რომელიც არ დევს წრეზე.

განტოლება (11.2) ეწოდება წრის კანონიკური განტოლება

კერძოდ, ვივარაუდოთ და, მივიღებთ საწყისზე ორიენტირებული წრის განტოლებას .

წრის განტოლება (11.2) მარტივი გარდაქმნების შემდეგ მიიღებს ფორმას. ამ განტოლების შედარებისას მეორე რიგის მრუდის ზოგად განტოლებასთან (11.1), ადვილი მისახვედრია, რომ წრის განტოლებისთვის ორი პირობაა დაკმაყოფილებული:

1) x 2 და y 2 კოეფიციენტები ერთმანეთის ტოლია;

2) არ არსებობს წევრი, რომელიც შეიცავს მიმდინარე კოორდინატების xy ნამრავლს.

განვიხილოთ საპირისპირო პრობლემა. განტოლებაში (11.1) ჩავსვით მნიშვნელობები და ვიღებთ

მოდით გარდავქმნათ ეს განტოლება:

(11.4)

აქედან გამომდინარეობს, რომ განტოლება (11.3) განსაზღვრავს წრეს პირობით . მისი ცენტრი არის წერტილში და რადიუსი

.

თუ , მაშინ განტოლებას (11.3) აქვს ფორმა

.

იგი კმაყოფილდება ერთი წერტილის კოორდინატებით . ამ შემთხვევაში, ისინი ამბობენ: "წრე გადაგვარდა წერტილად" (აქვს ნულოვანი რადიუსი).

Თუ , შემდეგ განტოლება (11.4) და, შესაბამისად, ეკვივალენტური განტოლება (11.3), არ განსაზღვრავს არცერთ ხაზს, რადგან განტოლების (11.4) მარჯვენა მხარე უარყოფითია, ხოლო მარცხენა მხარე არ არის უარყოფითი (ვთქვათ: „წარმოსახვითი წრე“).

11.3. ელიფსი

ელიფსის კანონიკური განტოლება

ელიფსი არის სიბრტყის ყველა წერტილის სიმრავლე, თითოეული მათგანიდან ამ სიბრტყის ორ მოცემულ წერტილამდე მანძილების ჯამი, ე.წ. ხრიკები , არის მუდმივი მნიშვნელობა, რომელიც აღემატება მანძილს კერებს შორის.

კერების აღნიშვნა F1და F2, მათ შორის მანძილი 2-ში გდა მანძილების ჯამი ელიფსის თვითნებური წერტილიდან კერებამდე - 2-მდე ა(იხ. სურ. 49). განმარტებით 2 ა > 2გ, ე.ი. ა > გ.

ელიფსის განტოლების გამოსატანად ვირჩევთ კოორდინატთა სისტემას ისე, რომ კერები F1და F2დაწექი ღერძზე და საწყისი ემთხვევა სეგმენტის შუა წერტილს F 1 F 2. მაშინ კერებს ექნებათ შემდეგი კოორდინატები: და .

მოდით იყოს ელიფსის თვითნებური წერტილი. მაშინ, ელიფსის განმარტებით, ე.ი.

ეს, ფაქტობრივად, არის ელიფსის განტოლება.

განტოლებას (11.5) ვაქცევთ მარტივ ფორმად შემდეგნაირად:

როგორც ა>თან, მაშინ . დავსვათ

(11.6)

შემდეგ ბოლო განტოლება იღებს ფორმას ან

(11.7)

შეიძლება დადასტურდეს, რომ განტოლება (11.7) ორიგინალური განტოლების ტოლია. ჰქვია ელიფსის კანონიკური განტოლება .

ელიფსი არის მეორე რიგის მრუდი.

ელიფსის ფორმის შესწავლა მისი განტოლების მიხედვით

დავადგინოთ ელიფსის ფორმა მისი კანონიკური განტოლების გამოყენებით.

1. განტოლება (11.7) შეიცავს x და y-ს მხოლოდ ლუწი ხარისხებში, ასე რომ, თუ წერტილი ეკუთვნის ელიფსს, მაშინ წერტილები ,, ასევე ეკუთვნის მას. აქედან გამომდინარეობს, რომ ელიფსი სიმეტრიულია ღერძების და , ასევე წერტილის მიმართ, რომელსაც ელიფსის ცენტრს უწოდებენ.

2. იპოვეთ ელიფსის გადაკვეთის წერტილები კოორდინატთა ღერძებთან. დაყენებით, ჩვენ ვპოულობთ ორ წერტილს და , სადაც ღერძი კვეთს ელიფსს (იხ. სურ. 50). განტოლებაში ჩასვით (11.7) ვპოულობთ ელიფსის გადაკვეთის წერტილებს ღერძთან: და . ქულები ა 1 , A2 , B1, B2დაურეკა ელიფსის წვეროები. სეგმენტები ა 1 A2და B1 B2, ისევე როგორც მათი სიგრძე 2 ადა 2 ბეძახიან შესაბამისად ძირითადი და მცირე ღერძიელიფსი. ნომრები ადა ბეძახიან შესაბამისად დიდს და პატარას. ღერძების ლილვებიელიფსი.

3. (11.7) განტოლებიდან გამომდინარეობს, რომ მარცხენა მხარეს თითოეული წევრი არ აღემატება ერთს, ე.ი. არის უტოლობები და ან და. მაშასადამე, ელიფსის ყველა წერტილი დევს სწორი ხაზებით წარმოქმნილ მართკუთხედში.

4. განტოლებაში (11.7) არაუარყოფითი წევრთა ჯამი და უდრის ერთს. შესაბამისად, როგორც ერთი ტერმინი იზრდება, მეორე მცირდება, ანუ თუ იზრდება, მაშინ მცირდება და პირიქით.

ნათქვამიდან გამომდინარეობს, რომ ელიფსს აქვს ნახ. 50 (ოვალური დახურული მრუდი).

მეტი ელიფსის შესახებ

ელიფსის ფორმა დამოკიდებულია თანაფარდობაზე. როდესაც ელიფსი იქცევა წრედ, ელიფსის განტოლება (11.7) იღებს ფორმას. როგორც ელიფსის ფორმის მახასიათებელი, თანაფარდობა უფრო ხშირად გამოიყენება. კერებს შორის მანძილის ნახევრის შეფარდებას ელიფსის ნახევრად მთავარ ღერძამდე ეწოდება ელიფსის ექსცენტრიულობა და o6o აღინიშნება ასო ε ("ეფსილონი"):

0-ით<ε< 1, так как 0<с<а. С учетом равенства (11.6) формулу (11.8) можно переписать в виде

ეს გვიჩვენებს, რომ რაც უფრო მცირეა ელიფსის ექსცენტრიულობა, მით უფრო ნაკლები იქნება ელიფსი; თუ დავსვამთ ε = 0, მაშინ ელიფსი იქცევა წრედ.

მოდით M(x; y) იყოს ელიფსის თვითნებური წერტილი F 1 და F 2 კერებით (იხ. სურ. 51). F 1 M=r 1 და F 2 M = r 2 სეგმენტების სიგრძეებს M წერტილის კეროვანი რადიუსი ეწოდება. ცხადია,

არის ფორმულები

სწორი ხაზები ეწოდება

თეორემა 11.1.თუ არის მანძილი ელიფსის თვითნებური წერტილიდან რომელიმე ფოკუსამდე, d არის მანძილი იმავე წერტილიდან ამ ფოკუსის შესაბამისი მიმართულებამდე, მაშინ თანაფარდობა არის მუდმივი მნიშვნელობა ელიფსის ექსცენტრიულობის ტოლი:

თანასწორობიდან (11.6) გამომდინარეობს, რომ . თუ , მაშინ განტოლება (11.7) განსაზღვრავს ელიფსს, რომლის ძირითადი ღერძი დევს Oy ღერძზე, ხოლო მცირე ღერძი მდებარეობს Ox ღერძზე (იხ. სურ. 52). ასეთი ელიფსის კერები არის წერტილებზე და, სადაც .

11.4. ჰიპერბოლა

ჰიპერბოლის კანონიკური განტოლება

ჰიპერბოლა სიბრტყის ყველა წერტილის სიმრავლე ეწოდება, თითოეული მათგანიდან ამ სიბრტყის ორ მოცემულ წერტილამდე მანძილების სხვაობის მოდული, ე.წ. ხრიკები , არის მუდმივი მნიშვნელობა, უფრო მცირეა ვიდრე მანძილი კერებს შორის.

კერების აღნიშვნა F1და F2მათ შორის მანძილი გადის 2 წმდა ჰიპერბოლის თითოეული წერტილიდან კერამდე მანძილების სხვაობის მოდული 2ა. ა-პრიორიტეტი 2ა < 2 წმ, ე.ი. ა < გ.

ჰიპერბოლის განტოლების გამოსატანად ვირჩევთ კოორდინატთა სისტემას ისე, რომ კერები F1და F2დაწექი ღერძზე და საწყისი დაემთხვა სეგმენტის შუა წერტილს F 1 F 2(იხ. სურ. 53). მაშინ კერებს ექნება კოორდინატები და

მოდით იყოს ჰიპერბოლის თვითნებური წერტილი. შემდეგ ჰიპერბოლის განმარტების მიხედვით ან, ანუ გამარტივების შემდეგ, როგორც ეს გაკეთდა ელიფსის განტოლების გამოყვანისას, მივიღებთ ჰიპერბოლის კანონიკური განტოლება

(11.9)

(11.10)

ჰიპერბოლა არის მეორე რიგის ხაზი.

ჰიპერბოლის ფორმის გამოკვლევა მისი განტოლების მიხედვით

მოდით დავადგინოთ ჰიპერბოლის ფორმა მისი კაკონური განტოლების გამოყენებით.

1. განტოლება (11.9) შეიცავს x და y-ს მხოლოდ ლუწი ხარისხებში. მაშასადამე, ჰიპერბოლა არის სიმეტრიული ღერძების მიმართ და ასევე წერტილის მიმართ, რომელიც ე.წ. ჰიპერბოლის ცენტრი.

2. იპოვეთ ჰიპერბოლის გადაკვეთის წერტილები კოორდინატთა ღერძებთან. განტოლებაში (11.9) ჩასვით, ვპოულობთ ჰიპერბოლის გადაკვეთის ორ წერტილს ღერძთან: და . ჩასვით (11.9), ვიღებთ , რომელიც არ შეიძლება იყოს. ამიტომ ჰიპერბოლა არ კვეთს y ღერძს.

ქულები და ე.წ მწვერვალები ჰიპერბოლები და სეგმენტი

რეალური ღერძი , ხაზის სეგმენტი - რეალური ნახევრადღერძი ჰიპერბოლა.

წერტილების დამაკავშირებელი ხაზის სეგმენტი ეწოდება წარმოსახვითი ღერძი , ნომერი ბ - წარმოსახვითი ღერძი . მართკუთხედი გვერდებით 2ადა 2ბდაურეკა ჰიპერბოლის მთავარი მართკუთხედი .

3. (11.9) განტოლებიდან გამომდინარეობს, რომ მინუენდი არ არის ერთზე ნაკლები, ანუ ის ან . ეს ნიშნავს, რომ ჰიპერბოლის წერტილები განლაგებულია წრფის მარჯვნივ (ჰიპერბოლის მარჯვენა ტოტი) და ხაზის მარცხნივ (ჰიპერბოლის მარცხენა ტოტი).

4. ჰიპერბოლის (11.9) განტოლებიდან ჩანს, რომ როდესაც ის იზრდება, მაშინ ისიც იზრდება. ეს გამომდინარეობს იქიდან, რომ განსხვავება ინარჩუნებს მუდმივ მნიშვნელობას ერთის ტოლი.

ნათქვამიდან გამომდინარეობს, რომ ჰიპერბოლას აქვს 54-ზე ნაჩვენები ფორმა (მრუდი, რომელიც შედგება ორი შეუზღუდავი ტოტისაგან).

ჰიპერბოლის ასიმპტოტები

ხაზს L ეწოდება ასიმპტოტი შეუზღუდავი K მრუდის, თუ მანძილი d K მრუდის M წერტილიდან ამ წრფემდე ნულისკენ მიისწრაფვის, რადგან M წერტილი მოძრაობს K მრუდის გასწვრივ საწყისიდან განუსაზღვრელი ვადით. სურათი 55 ასახავს ასიმპტოტის კონცეფციას: წრფე L არის ასიმპტოტი K მრუდისთვის.

მოდით ვაჩვენოთ, რომ ჰიპერბოლას აქვს ორი ასიმპტოტი:

(11.11)

ვინაიდან წრფეები (11.11) და ჰიპერბოლა (11.9) სიმეტრიულია კოორდინატთა ღერძებთან მიმართებაში, საკმარისია გავითვალისწინოთ მითითებული ხაზების მხოლოდ ის წერტილები, რომლებიც განლაგებულია პირველ კვადრატში.

აიღეთ სწორ ხაზზე N წერტილი, რომელსაც აქვს იგივე აბსციზა x, როგორც წერტილი ჰიპერბოლაზე (იხ. სურ. 56) და იპოვეთ განსხვავება ΜN სწორი ხაზის ორდინატებსა და ჰიპერბოლის განშტოებას შორის:

როგორც ხედავთ, x იზრდება, წილადის მნიშვნელი იზრდება; მრიცხველი არის მუდმივი მნიშვნელობა. ამიტომ, სეგმენტის სიგრძე ΜN მიდრეკილია ნულისკენ. ვინაიდან ΜN მეტია d მანძილს Μ წერტილიდან წრფემდე, მაშინ d კიდევ უფრო მიდრეკილია ნულისკენ. ამრიგად, ხაზები არის ჰიპერბოლის ასიმპტოტები (11.9).

ჰიპერბოლის აგებისას (11.9), მიზანშეწონილია ჯერ ააგოთ ჰიპერბოლის მთავარი მართკუთხედი (იხ. სურ. 57), გავავლოთ ხაზები ამ მართკუთხედის საპირისპირო წვეროებზე - ჰიპერბოლის ასიმპტოტები და მონიშნოთ წვეროები და , ჰიპერბოლა. .

ტოლგვერდა ჰიპერბოლის განტოლება.

რომლის ასიმპტოტებია კოორდინატთა ღერძები

ჰიპერბოლას (11.9) ეწოდება ტოლგვერდა, თუ მისი ნახევარღერძები ტოლია (). მისი კანონიკური განტოლება

(11.12)

ტოლგვერდა ჰიპერბოლის ასიმპტოტებს აქვთ განტოლებები და ამიტომ არიან კოორდინატთა კუთხეების ბისექტრები.

განვიხილოთ ამ ჰიპერბოლის განტოლება ახალ კოორდინატულ სისტემაში (იხ. სურ. 58), რომელიც მიღებულია ძველიდან კოორდინატთა ღერძების კუთხით ბრუნვით. ჩვენ ვიყენებთ ფორმულებს კოორდინატთა ღერძების ბრუნვისთვის:

ჩვენ ვცვლით x და y მნიშვნელობებს განტოლებაში (11.12):

ტოლგვერდა ჰიპერბოლის განტოლებას, რომლის ღერძები Ox და Oy ასიმპტოტებია, ექნება ფორმა.

მეტი ჰიპერბოლის შესახებ

ექსცენტრიულობა ჰიპერბოლა (11.9) არის კერებს შორის მანძილის თანაფარდობა ჰიპერბოლის რეალური ღერძის მნიშვნელობასთან, რომელიც აღინიშნება ε:

ვინაიდან ჰიპერბოლისთვის, ჰიპერბოლის ექსცენტრიულობა ერთზე მეტია: . ექსცენტრიულობა ახასიათებს ჰიპერბოლის ფორმას. მართლაც, თანასწორობიდან (11.10) გამომდინარეობს, რომ ე.ი. და .

ეს გვიჩვენებს, რომ რაც უფრო მცირეა ჰიპერბოლის ექსცენტრიულობა, მით უფრო მცირეა მისი ნახევრადღერძების თანაფარდობა, რაც იმას ნიშნავს, რომ რაც უფრო ფართოა მისი მთავარი მართკუთხედი.

ტოლგვერდა ჰიპერბოლის ექსცენტრიულობა არის . მართლაც,

ფოკალური რადიუსი და ჰიპერბოლის მარჯვენა შტოს წერტილებს აქვთ ფორმა და, ხოლო მარცხნივ - და .

სწორ ხაზებს ჰიპერბოლის მიმართულებებს უწოდებენ. ვინაიდან ε > 1 ჰიპერბოლისთვის, მაშინ . ეს ნიშნავს, რომ მარჯვენა მიმართულება მდებარეობს ჰიპერბოლის ცენტრსა და მარჯვენა წვეროს შორის, მარცხენა მიმართულება მდებარეობს ცენტრსა და მარცხენა წვეროს შორის.

ჰიპერბოლის მიმართულებებს აქვთ იგივე თვისება, რაც ელიფსის მიმართულებებს.

განტოლებით განსაზღვრული მრუდი ასევე არის ჰიპერბოლა, რომლის რეალური ღერძი 2b მდებარეობს Oy ღერძზე, ხოლო წარმოსახვითი ღერძი 2. ა- ოქსის ღერძზე. ნახაზზე 59, ის ნაჩვენებია წერტილოვანი ხაზის სახით.

ცხადია, ჰიპერბოლებს აქვთ საერთო ასიმპტოტები. ასეთ ჰიპერბოლებს კონიუგატს უწოდებენ.

11.5. პარაბოლა

პარაბოლის კანონიკური განტოლება

პარაბოლა არის სიბრტყის ყველა წერტილის ერთობლიობა, რომელთაგან თითოეული თანაბრად არის დაშორებული მოცემული წერტილისგან, რომელსაც ეწოდება ფოკუსი და მოცემული წრფე, რომელსაც ეწოდება მიმართულება. მანძილი F ფოკუსიდან დირექტიკულამდე ეწოდება პარაბოლის პარამეტრს და აღინიშნება p (p > 0).

პარაბოლის განტოლების გამოსატანად ვირჩევთ Oxy კოორდინატთა სისტემას ისე, რომ Oxy ღერძი გაიაროს F ფოკუსში, პერპენდიკულარული მიმართულებით, მიმართულებიდან F-ის მიმართულებით, ხოლო საწყისი O მდებარეობს შუაში ფოკუსსა და დირექტიკას შორის. (იხ. სურ. 60). არჩეულ სისტემაში F ფოკუსს აქვს კოორდინატები, ხოლო მიმართულების განტოლებას აქვს ფორმა ან .

1. განტოლებაში (11.13) ცვლადი y შედის ლუწი ხარისხით, რაც ნიშნავს, რომ პარაბოლა სიმეტრიულია Ox ღერძის მიმართ; x-ღერძი არის პარაბოლის სიმეტრიის ღერძი.

2. ვინაიდან ρ > 0, (11.13)-დან გამომდინარეობს, რომ . ამრიგად, პარაბოლა მდებარეობს y-ღერძის მარჯვნივ.

3. როცა გვაქვს y \u003d 0. ამიტომ პარაბოლა გადის საწყისზე.

4. x-ის შეუზღუდავი ზრდით, y მოდულიც განუსაზღვრელი ვადით იზრდება. პარაბოლას აქვს ფორმა (ფორმა), რომელიც ნაჩვენებია სურათზე 61. O (0; 0) წერტილს ეწოდება პარაბოლის წვერო, სეგმენტს FM \u003d r ეწოდება M წერტილის ფოკუსური რადიუსი.

განტოლებები, , ( p>0) ასევე განსაზღვრავს პარაბოლებს, ისინი ნაჩვენებია სურათზე 62

ადვილია იმის ჩვენება, რომ კვადრატული ტრინომის გრაფიკი, სადაც , B და C არის ნებისმიერი რეალური რიცხვი, არის პარაბოლა მისი ზემოთ განსაზღვრული მნიშვნელობით.

11.6. მეორე რიგის ხაზების ზოგადი განტოლება

მეორე რიგის მრუდების განტოლებები სიმეტრიის ღერძებით კოორდინატთა ღერძების პარალელურად

ჯერ ვიპოვოთ ელიფსის განტოლება, რომელიც ორიენტირებულია წერტილზე, რომლის სიმეტრიის ღერძები პარალელურია კოორდინატთა ღერძებთან Ox და Oy და ნახევარღერძები შესაბამისად ტოლია ადა ბ. მოდი ელიფსის O 1 ცენტრში მოვათავსოთ ახალი კოორდინატთა სისტემის საწყისი, რომლის ღერძები და ნახევრადღერძები ადა ბ(იხ. სურ. 64):

და ბოლოს, 65-ე სურათზე გამოსახულ პარაბოლებს აქვთ შესაბამისი განტოლებები.

განტოლება

ელიფსის, ჰიპერბოლის, პარაბოლის განტოლებები და წრის განტოლება გარდაქმნების შემდეგ (გახსენით ფრჩხილები, გადაიტანეთ განტოლების ყველა წევრი ერთი მიმართულებით, მოიყვანეთ მსგავსი ტერმინები, შემოიტანეთ კოეფიციენტების ახალი აღნიშვნა) შეიძლება დაიწეროს ერთი განტოლების გამოყენებით. ფორმა

სადაც A და C კოეფიციენტები ერთდროულად ნულის ტოლი არ არის.

ჩნდება კითხვა: განსაზღვრავს თუ არა (11.14) ფორმის რომელიმე განტოლება მეორე რიგის ერთ-ერთ მრუდს (წრე, ელიფსი, ჰიპერბოლა, პარაბოლა)? პასუხი მოცემულია შემდეგი თეორემით.

თეორემა 11.2. განტოლება (11.14) ყოველთვის განსაზღვრავს: ან წრეს (A = C-სთვის), ან ელიფსს (A C > 0-სთვის), ან ჰიპერბოლას (A C-სთვის).< 0), либо параболу (при А×С= 0). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) - в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы - в пару пересекающихся прямых, для параболы - в пару параллельных прямых.

მეორე რიგის ზოგადი განტოლება

ახლა განვიხილოთ მეორე ხარისხის ზოგადი განტოლება ორი უცნობით:

იგი განსხვავდება განტოლებისგან (11.14) კოორდინატების ნამრავლთან ტერმინის არსებობით (B¹ 0). შესაძლებელია, კოორდინატთა ღერძების a კუთხით ბრუნვით, ეს განტოლება ისე გარდაიქმნას, რომ მასში არ იყოს ტერმინი კოორდინატების ნამრავლთან.

ბრუნვის ცულების ფორმულების გამოყენება

გამოვხატოთ ძველი კოორდინატები ახლის მიხედვით:

ჩვენ ვირჩევთ a კუთხეს ისე, რომ კოეფიციენტი x "y"-ზე გაქრეს, ანუ ისე, რომ ტოლობა

ამრიგად, როდესაც ღერძები ბრუნავს a კუთხით, რომელიც აკმაყოფილებს პირობას (11.17), განტოლება (11.15) მცირდება განტოლებამდე (11.14).

დასკვნა: მეორე რიგის ზოგადი განტოლება (11.15) სიბრტყეზე (გარდა გადაგვარებისა და დაშლის შემთხვევებისა) განსაზღვრავს შემდეგ მრუდებს: წრე, ელიფსი, ჰიპერბოლა, პარაბოლა.

შენიშვნა: თუ A = C, მაშინ განტოლება (11.17) კარგავს თავის მნიშვნელობას. ამ შემთხვევაში cos2α = 0 (იხ. (11.16)), შემდეგ 2α = 90°, ანუ α = 45°. ასე რომ, A = C-ზე კოორდინატთა სისტემა უნდა შემობრუნდეს 45 °-ით.

1. მეორე რიგის ხაზები ევკლიდეს სიბრტყეზე.

2. მეორე რიგის წრფეთა განტოლებათა ინვარიანტები.

3. მეორე რიგის ხაზების ტიპის განსაზღვრა მისი განტოლების ინვარიანტებიდან.

4. მეორე რიგის ხაზები აფინურ სიბრტყეზე. უნიკალურობის თეორემა.

5. მეორე რიგის ხაზების ცენტრები.

6. მეორე რიგის ხაზების ასიმპტოტები და დიამეტრი.

7. მეორე რიგის წრფეთა განტოლებების შემცირება უმარტივესამდე.

8. მეორე რიგის ხაზების ძირითადი მიმართულებები და დიამეტრი.

ბიბლიოგრაფია

1. მეორე რიგის ხაზები ევკლიდეს სიბრტყეში.

განმარტება:

ევკლიდეს თვითმფრინავიარის მე-2 განზომილების სივრცე,

(ორგანზომილებიანი რეალური სივრცე).

მეორე რიგის ხაზები არის წრიული კონუსის გადაკვეთის ხაზები სიბრტყეებთან, რომლებიც არ გადიან მის ზედა ნაწილში.

ეს სტრიქონები ხშირად გვხვდება საბუნებისმეტყველო მეცნიერების სხვადასხვა საკითხებში. მაგალითად, მატერიალური წერტილის მოძრაობა ცენტრალური სიმძიმის ველის გავლენის ქვეშ ხდება ერთ-ერთი ამ ხაზის გასწვრივ.

თუ ჭრის სიბრტყე კვეთს კონუსის ერთი ღრუს ყველა სწორხაზოვან გენერატრიქსს, მაშინ მონაკვეთში მიიღება ხაზი, ე.წ. ელიფსი(ნახ. 1.1, ა). თუ ჭრის სიბრტყე კვეთს კონუსის ორივე ღრუს გენერატორს, მაშინ მონაკვეთში მიიღება ხაზი, ე.წ. ჰიპერბოლა(ნახ. 1.1.6). და ბოლოს, თუ სეკანტური სიბრტყე პარალელურია კონუსის ერთ-ერთი გენერატორის (1.1-ით, in- ეს არის გენერატორი AB),შემდეგ განყოფილებაში მიიღებთ ხაზს, რომელსაც ეძახიან პარაბოლა.ბრინჯი. 1.1 იძლევა განსახილველი ხაზების ფორმის ვიზუალურ წარმოდგენას.

სურათი 1.1

მეორე რიგის ხაზის ზოგად განტოლებას აქვს შემდეგი ფორმა:

(1)

(1*)

ელიფსი არის სიბრტყის წერტილების ერთობლიობა, რომლებისთვისაც მანძილების ჯამია ორამდე ფიქსირებული წერტილები ფ 1 და ფ 2 ეს სიბრტყე, რომელსაც ფოკუსს უწოდებენ, არის მუდმივი მნიშვნელობა.

ეს არ გამორიცხავს ელიფსის კერების დამთხვევას. ცხადია თუ კერები ერთნაირია, მაშინ ელიფსი არის წრე.

ელიფსის კანონიკური განტოლების გამოსატანად ვირჩევთ დეკარტის კოორდინატთა სისტემის საწყისის O-ს სეგმენტის შუაში. ფ 1 ფ 2 , ცულები ოჰდა OUპირდაპირი, როგორც ნაჩვენებია ნახ. 1.2 (თუ ხრიკები ფ 1 და ფ 2 ემთხვევა, შემდეგ O ემთხვევა ფ 1 და ფ 2 და ღერძისთვის ოჰნებისმიერი ღერძის აღება შეიძლება O).

მიეცით სეგმენტის სიგრძე ფ 1 ფ 2 ფ 1 და ფ 2 შესაბამისად აქვთ კოორდინატები (-c, 0) და (c, 0). აღნიშნეთ მიერ 2ამუდმივი, რომელიც მითითებულია ელიფსის განმარტებაში. ცხადია, 2a > 2c, ე.ი. a > c (Თუ მ- ელიფსის წერტილი (იხ. სურ. 1.2), შემდეგ | მფ ] |+ | მფ 2 | = 2 ა , და ვინაიდან ორი მხარის ჯამი მფ 1 და მფ 2 სამკუთხედი მფ 1 ფ 2 მესამე მხარეზე მეტი ფ 1 ფ 2 = 2c, შემდეგ 2a > 2c. ბუნებრივია გამოვრიცხოთ შემთხვევა 2a = 2c, მას შემდეგ წერტილი მმდებარეობს სეგმენტზე ფ 1 ფ 2 და ელიფსი გადაგვარდება სეგმენტად. ).

დაე იყოს მ- თვითმფრინავის წერტილი კოორდინატებით (x, y)(ნახ. 1.2). აღნიშნეთ r 1-ით და r 2-ით დაშორებები წერტილიდან მწერტილებამდე ფ 1 და ფ 2 შესაბამისად. ელიფსის განმარტების მიხედვით თანასწორობა

რ 1 + რ 2 = 2a (1.1)

მოცემულ ელიფსზე M(x, y) წერტილის მდებარეობის აუცილებელი და საკმარისი პირობაა.

ორ წერტილს შორის მანძილის ფორმულის გამოყენებით მივიღებთ

(1.2)

(1.1) და (1.2)-დან გამომდინარეობს, რომ თანაფარდობა

(1.3)

წარმოადგენს აუცილებელ და საკმარის პირობას M წერტილის x და y კოორდინატებით მოცემულ ელიფსზე მდებარეობისათვის.აქედან გამომდინარე, მიმართება (1.3) შეიძლება ჩაითვალოს როგორც ელიფსის განტოლება.„რადიკალების განადგურების“ სტანდარტული მეთოდის გამოყენებით, ეს განტოლება ჩამოყვანილია ფორმამდე

(1.4) (1.5)

ვინაიდან განტოლება (1.4) არის ალგებრული შედეგიელიფსის განტოლება (1.3), შემდეგ კოორდინატები x და yნებისმიერი წერტილი მელიფსი ასევე დააკმაყოფილებს განტოლებას (1.4). ვინაიდან „დამატებითი ფესვები“ შეიძლება გამოჩნდეს რადიკალების მოშორებასთან დაკავშირებული ალგებრული გარდაქმნების დროს, უნდა დავრწმუნდეთ, რომ ნებისმიერი წერტილი მ,რომლის კოორდინატები აკმაყოფილებს (1.4) განტოლებას მოცემულ ელიფსზე. ამისთვის აშკარად საკმარისია იმის დასამტკიცებლად, რომ რაოდენობები r 1 და რ 2 თითოეული წერტილისთვის დააკმაყოფილეთ მიმართება (1.1). მოდით კოორდინატები Xდა ზექულები მდააკმაყოფილეთ განტოლება (1.4). შემცვლელი ღირებულება 2-ზე(1.4)-დან გამოხატვის მარჯვენა მხარეს (1.2) r 1-ისთვის მარტივი გარდაქმნების შემდეგ აღმოვაჩენთ, რომ

, მაშინ .

ზუსტად ანალოგიურად ვხვდებით ამას

. ამრიგად, განხილული წერტილისთვის მ , (1.6)

ე.ი. რ 1 + რ 2 = 2a,და ამიტომ წერტილი M მდებარეობს ელიფსზე. განტოლება (1.4) ეწოდება ელიფსის კანონიკური განტოლება.რაოდენობები ადა ბეძახიან შესაბამისად ელიფსის ძირითადი და მცირე ნახევარღერძი(სახელწოდება "დიდი" და "პატარა" აიხსნება იმით, რომ ა > ბ).

კომენტარი. თუ ელიფსის ნახევარღერძები ადა ბტოლია, მაშინ ელიფსი არის წრე, რომლის რადიუსი ტოლია რ = ა = ბ, და ცენტრი ემთხვევა წარმოშობას.

ჰიპერბოლა არის სიბრტყის წერტილების ერთობლიობა, რომლებისთვისაც აბსოლუტური მნიშვნელობაა დისტანციებზე ორ ფიქსირებულ წერტილამდე, ფ 1 და ფ 2 ეს თვითმფრინავი, რომელსაც ფოკუსს უწოდებენ, არის მუდმივი მნიშვნელობა (ფოკუსირებს ფ 1 და ფ 2 ბუნებრივია ჰიპერბოლების განსხვავებულად მიჩნევა, რადგან თუ ჰიპერბოლის განმარტებაში მითითებული მუდმივი არ არის ნულის ტოლი, მაშინ სიბრტყის არც ერთი წერტილი არ არის, როცა ფ 1 და ფ 2 , რომელიც დააკმაყოფილებდა ჰიპერბოლის განმარტების მოთხოვნებს. თუ ეს მუდმივი არის ნული და ფ 1 ემთხვევა ფ 2 , მაშინ სიბრტყის ნებისმიერი წერტილი აკმაყოფილებს ჰიპერბოლის განმარტების მოთხოვნებს. ).

ჰიპერბოლის კანონიკური განტოლების გამოსატანად ვირჩევთ კოორდინატების საწყისს სეგმენტის შუაში. ფ 1 ფ 2 , ცულები ოჰდა OUპირდაპირი, როგორც ნაჩვენებია ნახ. 1.2. მიეცით სეგმენტის სიგრძე ფ 1 ფ 2 უდრის 2 წმ. შემდეგ არჩეულ კოორდინატთა სისტემაში წერტილები ფ 1 და ფ 2 შესაბამისად აქვთ კოორდინატები (-с, 0) და (с, 0) აღნიშნეთ 2-ით აჰიპერბოლის განმარტებაში მოხსენიებული მუდმივი. ცხადია 2ა< 2с, т. е. ა < с. უნდა დავრწმუნდეთ, რომ განტოლებას (1.9), რომელიც მიღებულ იქნა (1.8) განტოლების ალგებრული გარდაქმნებით, ახალი ფესვები არ შეიძინა. ამისათვის საკმარისია ამის დამტკიცება თითოეული პუნქტისთვის მ,კოორდინატები Xდა ზერომლებიც აკმაყოფილებენ განტოლებას (1.9), რაოდენობები r 1 და r 2 აკმაყოფილებენ მიმართებას (1.7). არგუმენტების მსგავსი არგუმენტების განხორციელებისას, რაც გაკეთდა ფორმულების (1.6) გამოყვანისას, ჩვენ ვპოულობთ შემდეგ გამონათქვამებს ჩვენთვის საინტერესო r 1 და r 2 რაოდენობებისთვის:

(1.11)

ამრიგად, განხილული წერტილისთვის მჩვენ გვაქვს

, და ამიტომ იგი მდებარეობს ჰიპერბოლაზე.

განტოლება (1.9) ეწოდება ჰიპერბოლის კანონიკური განტოლება.რაოდენობები ადა ბუწოდებენ რეალურს და წარმოსახვითს. ჰიპერბოლის ნახევარღერძები.

პარაბოლა არის სიბრტყეში წერტილების ერთობლიობა, რომლებისთვისაც მანძილია რომელიმე ფიქსირებულ წერტილამდე ფ ეს სიბრტყე უდრის მანძილს ზოგიერთ ფიქსირებულ სწორ ხაზამდე, რომელიც ასევე მდებარეობს განხილულ სიბრტყეში.

განტოლებებიმოსახვევები უხვადააეკონომიკური ლიტერატურის კითხვისას.მივნიშნოთ ამ მრუდებიდან რამდენიმე.

გულგრილობის მრუდი - მრუდი, რომელიც გვიჩვენებს ორი პროდუქტის სხვადასხვა კომბინაციებს, რომლებსაც აქვთ ერთი და იგივე სამომხმარებლო ღირებულება ან სარგებლობა მომხმარებლისთვის.

სამომხმარებლო ბიუჯეტის მრუდი არის მრუდი, რომელიც გვიჩვენებს ორი საქონლის რაოდენობის სხვადასხვა კომბინაციას, რომელიც მომხმარებელს შეუძლია შეიძინოს თავისი ფულის შემოსავლის მოცემულ დონეზე.

წარმოების შესაძლებლობების მრუდი - მრუდი, რომელიც გვიჩვენებს ორი საქონლის ან მომსახურების სხვადასხვა კომბინაციებს, რომლებიც შეიძლება წარმოიქმნას სრული დასაქმებისა და სრული წარმოების პირობებში ეკონომიკაში რესურსების მუდმივი მარაგით და უცვლელი ტექნოლოგიით.

საინვესტიციო მოთხოვნის მრუდი - მრუდი, რომელიც აჩვენებს საპროცენტო განაკვეთის დინამიკას და ინვესტიციების მოცულობას სხვადასხვა საპროცენტო განაკვეთზე.

ფილიპსის მრუდი- მრუდი, რომელიც აჩვენებს უმუშევრობის დონესა და ინფლაციის მაჩვენებელს შორის სტაბილური კავშირის არსებობას.

ლაფერის მრუდი- მრუდი, რომელიც აჩვენებს ურთიერთობას საგადასახადო განაკვეთებსა და საგადასახადო შემოსავლებს შორის, ავლენს ისეთ საგადასახადო განაკვეთს, რომლის დროსაც საგადასახადო შემოსავლები მაქსიმუმს აღწევს.

ტერმინების უკვე მარტივი ჩამოთვლა აჩვენებს, თუ რამდენად მნიშვნელოვანია ეკონომისტებისთვის გრაფიკების აგება და მრუდების განტოლებების ანალიზი, რომლებიც არის სწორი ხაზები და მეორე რიგის მრუდები - წრე, ელიფსი, ჰიპერბოლა, პარაბოლა. გარდა ამისა, დიდი კლასის ამოცანების ამოხსნისას საჭიროა სიბრტყეზე არეალის შერჩევა, რომელიც შემოსაზღვრულია ზოგიერთი მრუდით, რომლის განტოლებებიც მოცემულია.ყველაზე ხშირად ეს ამოცანები ფორმულირებულია შემდეგნაირად: იპოვეთ საუკეთესო საწარმოო გეგმა მოცემული რესურსებისთვის. რესურსების მინიჭება ჩვეულებრივ ხდება უტოლობების სახით, რომელთა განტოლებები მოცემულია. ამიტომ, თქვენ უნდა მოძებნოთ ყველაზე დიდი ან უმცირესი მნიშვნელობები, რომლებიც აღებულია რაიმე ფუნქციის მიერ უტოლობების სისტემის განტოლებით მითითებულ რეგიონში.

ანალიტიკურ გეომეტრიაში ხაზი თვითმფრინავშიგანისაზღვრება, როგორც წერტილების ერთობლიობა, რომელთა კოორდინატები აკმაყოფილებს განტოლებას F(x,y)=0. ამ შემთხვევაში, შეზღუდვები უნდა დაწესდეს F ფუნქციაზე ისე, რომ, ერთის მხრივ, ამ განტოლებას ჰქონდეს ამონახსნების უსასრულო სიმრავლე და, მეორე მხრივ, ისე, რომ ამონახსნები ამ სიმრავლემ არ შეავსოს „სიბრტყის ნაწილი “. წრფეების მნიშვნელოვანი კლასია ის, რომლისთვისაც ფუნქცია F(x,y) არის მრავალწევრი ორ ცვლადში, ამ შემთხვევაში F(x,y)=0 განტოლებით განსაზღვრული წრფე ე.წ. ალგებრული. პირველი ხარისხის განტოლებით მოცემული ალგებრული ხაზები სწორი ხაზებია. მეორე ხარისხის განტოლება, რომელსაც აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა, განსაზღვრავს ელიფსს, ჰიპერბოლას, პარაბოლას ან ორ სწორ ხაზად გაყოფილ წრფეს.

სიბრტყეზე მოყვანილი იყოს მართკუთხა დეკარტის კოორდინატთა სისტემა. სიბრტყეზე სწორი ხაზი შეიძლება მიღებულ იქნეს ერთ-ერთი განტოლებით:

ათი . სწორი ხაზის ზოგადი განტოლება

Ax + By + C = 0. (2.1)

ვექტორი ნ(А,В) არის ორთოგონალური სწორი ხაზის მიმართ, რიცხვები A და B ერთდროულად ნულის ტოლი არ არის.

20 . ხაზის განტოლება დახრილობით

y - y o = k (x - x o), (2.2)

სადაც k არის სწორი ხაზის დახრილობა, ანუ k = tgა , სადაც ა - სწორი ხაზით წარმოქმნილი კუთხის მნიშვნელობა Оx ღერძით, M (x o , y o) - სწორი ხაზის კუთვნილი რომელიღაც წერტილი.

განტოლება (2.2) იღებს y = kx + b ფორმას, თუ M (0, b) არის წრფის გადაკვეთის წერტილი Oy ღერძთან.

ოცდაათი . სწორი ხაზის განტოლება სეგმენტებში

x/a + y/b = 1, (2.3)

სადაც a და b არის სწორი ხაზით მოწყვეტილი სეგმენტების მნიშვნელობები კოორდინატთა ღერძებზე.

40 . ორ მოცემულ წერტილში გამავალი სწორი ხაზის განტოლება არის A(x 1, y 1) და B(x 2, y 2):

. (2.4)

ორმოცდაათი . სწორი ხაზის განტოლება, რომელიც გადის მოცემულ წერტილში A(x 1 , y 1) მოცემული ვექტორის პარალელურად ა(მ, ნ)

. (2.5)

60 . სწორი ხაზის ნორმალური განტოლება

rn o - p = 0, (2.6)

სადაც რარის ამ წრფის M(x, y) თვითნებური წერტილის რადიუსი, ნ o არის ერთეული ვექტორი ორთოგონალური ამ წრფეზე და მიმართულია საწყისიდან წრფემდე; p არის მანძილი საწყისიდან სწორ ხაზამდე.

ნორმალურ კოორდინატულ ფორმას აქვს ფორმა:

x cos a + y sin a - p \u003d 0,

სადაც ა - x-ღერძთან სწორი ხაზით ჩამოყალიბებული კუთხის მნიშვნელობა.

A (x 1, y 1) წერტილში მდებარე ხაზების ფანქრის განტოლებას აქვს ფორმა:

y-y 1 = l (x-x 1),

სადაც ლ არის სხივის პარამეტრი. თუ სხივი მოცემულია ორი გადამკვეთი ხაზით A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, მაშინ მის განტოლებას აქვს ფორმა:

l (A 1 x + B 1 y + C 1) + m (A 2 x + B 2 y + C 2)=0,

სადაც მე და მ არის სხივის პარამეტრები, რომლებიც ერთდროულად არ ბრუნდებიან 0-ზე.

კუთხე y \u003d kx + b და y \u003d k 1 x + b 1 ხაზებს შორის მოცემულია ფორმულით:

tg j = .

ტოლობა 1 + k 1 k = 0 აუცილებელი და საკმარისი პირობაა წრფეების პერპენდიკულური იყოს.

ორი განტოლების შესაქმნელად

A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, (2.7)

A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, (2.8)

დააყენეთ იგივე სწორი ხაზი, აუცილებელია და საკმარისია, რომ მათი კოეფიციენტები იყოს პროპორციული:

A 1 / A 2 = B 1 / B 2 = C 1 / C 2.

განტოლებები (2.7), (2.8) განსაზღვრავენ ორ სხვადასხვა პარალელურ წრფეს, თუ A 1 /A 2 = B 1 /B 2 და B 1 /B 2¹ C 1 / C 2; ხაზები იკვეთება, თუ A 1 /A 2¹B1/B2.

d მანძილი M o (x o, y o) წერტილიდან სწორ ხაზამდე არის M o წერტილიდან სწორ ხაზამდე დახატული პერპენდიკულარულის სიგრძე. თუ წრფე მოცემულია ნორმალური განტოლებით, მაშინ d =ê რშესახებ ნ o - r ê , სად რ o არის M o წერტილის რადიუსის ვექტორი ან კოორდინატთა სახით d =ê x o cos a + y o sin a - r ê .

მეორე რიგის მრუდის ზოგად განტოლებას აქვს ფორმა

a 11 x 2 + 2a 12 xy + a 22 y 2 + 2a 1 x +2a 2 y + a = 0.

ვარაუდობენ, რომ 11, a 12, a 22 განტოლების კოეფიციენტებს შორის არის ნულის გარდა.

წრის განტოლება, რომელიც ცენტრით არის C(a, b) წერტილი და R-ის ტოლი რადიუსით:

(x - a) 2 + (y - b) 2 = R 2 . (2.9)

ელიფსიეწოდება წერტილთა ლოკუსი, რომლის მანძილების ჯამი ორი მოცემული წერტილიდან F 1 და F 2 (კერა) არის მუდმივი მნიშვნელობა 2a-ის ტოლი.

ელიფსის კანონიკური (უმარტივესი) განტოლება

x 2 /a 2 + y 2 /a 2 = 1. (2.10)

(2.10) განტოლებით მოცემული ელიფსი სიმეტრიულია კოორდინატთა ღერძების მიმართ. Პარამეტრები ადა ბდაურეკა ღერძების ლილვებიელიფსი.

მოდით a>b, მაშინ კერები F 1 და F 2 არიან Ox ღერძზე დაშორებით
c= წარმოშობიდან. თანაფარდობა c/a =ე < 1 называется ექსცენტრიულობაელიფსი. მანძილი ელიფსის M(x, y) წერტილიდან მის კერებამდე (ფოკალური რადიუსის ვექტორები) განისაზღვრება ფორმულებით:

r 1 \u003d a - e x, r 2 \u003d a + e x.

Თუ< b, то фокусы находятся на оси Оy, c= , e = c/b,
r 1 \u003d b + e x, r 2 \u003d b - e x.

თუ a = b, მაშინ ელიფსი არის წრე, რომელიც ორიენტირებულია რადიუსის საწყისზე ა.

ჰიპერბოლაწერტილის ლოკუსი ეწოდება, რომლის მანძილების სხვაობა ორი მოცემული წერტილიდან F 1 და F 2 (კერა) აბსოლუტური მნიშვნელობით უდრის მოცემულ რიცხვს 2a.

ჰიპერბოლის კანონიკური განტოლება

x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1. (2.11)

(2.11) განტოლებით მოცემული ჰიპერბოლა სიმეტრიულია კოორდინატთა ღერძების მიმართ. ის კვეთს Ox ღერძს A (a,0) და A (-a,0) წერტილებზე - ჰიპერბოლის წვეროებზე და არ კვეთს Oy ღერძს. Პარამეტრი ადაურეკა რეალური ნახევრადღერძი, ბ -წარმოსახვითი ღერძი. პარამეტრი c= არის მანძილი ფოკუსიდან საწყისამდე. თანაფარდობა c/a =ე >1 ჰქვია ექსცენტრიულობაჰიპერბოლა. სწორი ხაზები, რომელთა განტოლებები y =± ბ/ა x ეძახიან ასიმპტოტებიჰიპერბოლა. მანძილი ჰიპერბოლის M(x,y) წერტილიდან მის კერებამდე (ფოკალური რადიუსის ვექტორები) განისაზღვრება ფორმულებით:

r 1 = ê e x - a ê , r 2 = ê e x + a ê .

ჰიპერბოლას a = b ეწოდება ტოლგვერდა, მისი განტოლება x 2 - y 2 \u003d a 2 და ასიმპტოტების განტოლება y \u003d± x. ჰიპერბოლები x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 და
y 2 /b 2 - x 2 /a 2 = 1 ეწოდება კონიუგირებული.

პარაბოლაარის მოცემული წერტილიდან (ფოკუსი) და მოცემული ხაზისგან (მიმართულები) თანაბარი მანძილის მქონე წერტილების ლოკუსი.

პარაბოლის კანონიკურ განტოლებას ორი ფორმა აქვს:

1) y 2 \u003d 2px - პარაბოლა სიმეტრიულია Ox ღერძის მიმართ.

2) x 2 \u003d 2py - პარაბოლა სიმეტრიულია Oy ღერძის მიმართ.

ორივე შემთხვევაში p>0 და პარაბოლის წვერო, ანუ წერტილი, რომელიც მდებარეობს სიმეტრიის ღერძზე, მდებარეობს საწყისთან.

პარაბოლას, რომლის განტოლებას y 2 = 2рx აქვს ფოკუსი F(р/2,0) და მიმართულება x = - р/2, M(x, y) წერტილის ფოკუსური რადიუსი-ვექტორი მასზე r = x+ р/2.

პარაბოლას, რომლის განტოლებას x 2 =2py აქვს ფოკუსი F(0, p/2) და მიმართულება y = - p/2; პარაბოლის M(x, y) წერტილის ფოკალური რადიუსის ვექტორი არის r = y + p/2.

განტოლება F(x, y) = 0 განსაზღვრავს ხაზს, რომელიც ყოფს სიბრტყეს ორ ან მეტ ნაწილად. ერთ-ერთ ამ ნაწილში, უტოლობა F(x, y)<0, а в других - неравенство F(x, y)>0. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ხაზი
F(x, y)=0 ჰყოფს სიბრტყის ნაწილს, სადაც F(x, y)>0 სიბრტყის იმ ნაწილისგან, სადაც F(x, y)<0.

სწორი ხაზი, რომლის განტოლებაა Ax+By+C = 0, სიბრტყეს ყოფს ორ ნახევრად სიბრტყეზე. პრაქტიკაში იმის გასარკვევად, რომელ ნახევრად სიბრტყეში გვაქვს Axe + By + C<0, а в какой Ax+By+C>0, გამოიყენეთ წყვეტის წერტილის მეთოდი. ამისათვის აიღეთ საკონტროლო წერტილი (რა თქმა უნდა, სწორ ხაზზე არ დევს, რომლის განტოლებაა Ax + By + C = 0) და შეამოწმეთ რა ნიშანი აქვს გამოხატვას Ax + By + C ამ ეტაპზე. იმავე ნიშანს აქვს მითითებული გამოხატულება მთელ ნახევარ სიბრტყეში, სადაც დევს საკონტროლო წერტილი. მეორე ნახევარსიბრტყეში Ax+By+C აქვს საპირისპირო ნიშანი.

ორი უცნობის მქონე არაწრფივი უტოლობა ერთნაირად წყდება.

მაგალითად, გადავჭრათ უტოლობა x 2 -4x+y 2 +6y-12 > 0. ის შეიძლება გადაიწეროს როგორც (x-2) 2 + (y+3) 2 - 25 > 0.

განტოლება (x-2) 2 + (y+3) 2 - 25 = 0 განსაზღვრავს წრეს ცენტრით C(2,-3) წერტილში და რადიუსით 5. წრე სიბრტყეს ყოფს ორ ნაწილად - შიდა. და გარე. იმის გასარკვევად, რომელ მათგანშია ეს უტოლობა, ვიღებთ საკონტროლო წერტილს შიდა რეგიონში, მაგალითად, ჩვენი წრის C(2,-3) ცენტრს. C წერტილის კოორდინატების ჩანაცვლებით უტოლობის მარცხენა მხარეს მივიღებთ უარყოფით რიცხვს -25. მაშასადამე, წრის შიგნით მდებარე ყველა წერტილში არის უტოლობა
x 2 -4x+y 2 +6y-12< 0. Отсюда следует, что данное неравенство имеет место во внешней для окружности области.

მაგალითი 1.5.შეადგინეთ A(3,1) წერტილის გავლით და 2x+3y-1 = 0 წრფეზე დახრილი ხაზების განტოლებები 45 o კუთხით.

გადაწყვეტილება.მოვიძიებთ y=kx+b სახით. ვინაიდან წრფე გადის A წერტილში, მისი კოორდინატები აკმაყოფილებს წრფის განტოლებას, ე.ი. 1=3k+b,Þ b=1-3k. კუთხე ხაზებს შორის
y= k 1 x+b 1 და y= kx+b განისაზღვრება tg ფორმულითჯ = . ვინაიდან საწყისი წრფის k 1 დახრილობა 2x+3y-1=0 არის - 2/3, ხოლო კუთხეჯ = 45 o, მაშინ ჩვენ გვაქვს განტოლება k-ის დასადგენად:

(2/3 + კ)/(1 - 2/3კ) = 1 ან (2/3 + კ)/(1 - 2/3კ) = -1.

ჩვენ გვაქვს k-ის ორი მნიშვნელობა: k 1 = 1/5, k 2 = -5. b=1-3k ფორმულით b-ის შესაბამისი მნიშვნელობების პოვნისას მივიღებთ ორ სასურველ ხაზს, რომელთა განტოლებებია: x - 5y + 2 = 0 და
5x + y - 16 = 0.

მაგალითი 1.6. პარამეტრის რა მნიშვნელობაზე ტწრფეები, რომელთა განტოლებები 3tx-8y+1 = 0 და (1+t)x-2ty = 0 პარალელურია?

გადაწყვეტილება.ზოგადი განტოლებებით მოცემული სწორი ხაზები პარალელურია, თუ კოეფიციენტები ა xდა წპროპორციული, ე.ი. 3ტ/(1+ტ) = -8/(-2ტ). მიღებული განტოლების ამოხსნით, ჩვენ ვპოულობთ ტ: t 1 \u003d 2, t 2 \u003d -2/3.

მაგალითი 1.7. იპოვეთ ორი წრის საერთო აკორდის განტოლება:
x 2 +y 2 =10 და x 2 +y 2 -10x-10y+30=0.

გადაწყვეტილება.იპოვეთ წრეების გადაკვეთის წერტილები, ამისათვის ჩვენ ვხსნით განტოლებათა სისტემას:

პირველი განტოლების ამოხსნისას ვპოულობთ მნიშვნელობებს x 1 \u003d 3, x 2 \u003d 1. მეორე განტოლებიდან - შესაბამის მნიშვნელობებს წ: y 1 \u003d 1, y 2 \u003d 3. ახლა ჩვენ ვიღებთ საერთო აკორდის განტოლებას, ვიცით ორი წერტილი A (3,1) და B (1,3), რომლებიც მიეკუთვნება ამ წრფეს: (y-1) / (3-1) \u003d (x-3)/(1-3), ან y+ x - 4 = 0.

მაგალითი 1.8. როგორ მდებარეობს სიბრტყეზე მდებარე წერტილები, რომელთა კოორდინატები აკმაყოფილებს პირობებს (x-3) 2 + (y-3) 2< 8, x >y?

გადაწყვეტილება.სისტემის პირველი უტოლობა განსაზღვრავს წრის ინტერიერს, საზღვრის გარეშე, ე.ი. წრე ცენტრით (3,3) წერტილში და რადიუსით. მეორე უტოლობა განსაზღვრავს ნახევრად სიბრტყეს, რომელიც განსაზღვრულია სწორი ხაზით, რომლის განტოლებაა x = y და, ვინაიდან უტოლობა მკაცრია, თავად სწორი ხაზის წერტილები არ მიეკუთვნება ნახევრად სიბრტყეს და ყველა წერტილი ამ სწორის ქვემოთ. ხაზი ეკუთვნის ნახევრად სიბრტყეს. ვინაიდან ჩვენ ვეძებთ წერტილებს, რომლებიც აკმაყოფილებს ორივე უტოლობას, სასურველი ფართობი არის ნახევარწრის ინტერიერი.

მაგალითი 1.9.გამოთვალეთ ელიფსში ჩაწერილი კვადრატის გვერდის სიგრძე, რომლის განტოლებაა x 2 / a 2 + y 2 / b 2 \u003d 1.

გადაწყვეტილება.დაე იყოს M(s, s)- კვადრატის წვერო, რომელიც დევს პირველ მეოთხედში. მაშინ კვადრატის გვერდი იქნება 2 თან. იმიტომ რომ წერტილი მეკუთვნის ელიფსს, მისი კოორდინატები აკმაყოფილებს ელიფსის განტოლებას c 2 /a 2 + c 2 /b 2 = 1, საიდანაც
c = ab/ ; ასე რომ, კვადრატის გვერდი არის 2ab/.

მაგალითი 1.10.y = ჰიპერბოლის ასიმპტოტების განტოლების ცოდნა± 0,5 x და მისი ერთ-ერთი წერტილი M (12, 3), შეადგინეთ ჰიპერბოლის განტოლება.

გადაწყვეტილება.ჩვენ ვწერთ ჰიპერბოლის კანონიკურ განტოლებას: x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1. ჰიპერბოლის ასიმპტოტები მოცემულია y = განტოლებებით.± 0,5 x, ამიტომ b/a = 1/2, აქედან გამომდინარე a=2b. Იმდენად, რამდენადაც მ- ჰიპერბოლის წერტილი, მაშინ მისი კოორდინატები აკმაყოფილებენ ჰიპერბოლის განტოლებას, ე.ი. 144/a 2 - 27/b 2 = 1. იმის გათვალისწინებით, რომ a = 2b, ჩვენ ვპოულობთ b: b 2 =9Þ b=3 და a=6. მაშინ ჰიპერბოლის განტოლება არის x 2 /36 - y 2 /9 = 1.

მაგალითი 1.11.გამოთვალეთ პარაბოლაში ჩაწერილი ABC რეგულარული სამკუთხედის გვერდის სიგრძე პარამეტრით რ, ვივარაუდოთ, რომ წერტილი A ემთხვევა პარაბოლას წვეროს.

გადაწყვეტილება.პარაბოლის კანონიკური განტოლება პარამეტრით რაქვს y 2 = 2рx ფორმა, მისი წვერო ემთხვევა საწყისს და პარაბოლა სიმეტრიულია x ღერძის მიმართ. ვინაიდან AB წრფე Ox ღერძთან ქმნის 30 o კუთხეს, წრფის განტოლებაა: y = x. უამრავი სქემა

მაშასადამე, ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ B წერტილის კოორდინატები y 2 =2px, y = x განტოლებათა სისტემის ამოხსნით, საიდანაც x = 6p, y = 2p. აქედან გამომდინარე, მანძილი A(0,0) და B(6p,2p) წერტილებს შორის არის 4p.