x სახელი -
1.2.3. შემოკლებული გამრავლების იდენტობების გამოყენება
მაგალითი. ფაქტორი x 4 16.
x 4 16x 2 2 42 x 2 4x 2 4x 2x 2x 2 4 .
1.2.4. მრავალწევრის ფაქტორიზირება მისი ფესვების გამოყენებით
თეორემა. დაე, მრავალწევრს P x ჰქონდეს ფესვი x 1. მაშინ ეს პოლინომი შეიძლება გამრავლდეს შემდეგნაირად: P x x x 1 S x, სადაც S x არის რამდენიმე მრავალწევრი, რომლის ხარისხიც ერთით ნაკლებია
მნიშვნელობს მონაცვლეობით P x-ის გამოხატულებაში. ჩვენ ვიღებთ ამას x 2-ისთვის, თქვენ-
გამოხატულება გადაიქცევა 0-ზე, ანუ P 2 0, რაც ნიშნავს, რომ x 2 არის მრავალჯერადი ფესვი.
წევრი. მრავალწევრი P x გავყოთ x 2-ზე.
X 3 3x 2 10x 24 | ||
x 32 x 2 | 24 10 x | x2 x12 |
12x2412x24
P x x 2 x2 x12 x2 x2 3 x4 x12 x2 x x3 4 x3
x 2 x 3 x 4
1.3. სრული კვადრატის შერჩევა
სრული კვადრატის შერჩევის მეთოდი ეფუძნება ფორმულებს: a 2 2ab b 2 a b 2 ,a 2 2ab b 2 a b 2 .
სრული კვადრატის შერჩევა არის ისეთი იდენტური ტრანსფორმაცია, რომელშიც მოცემული ტრინომი წარმოდგენილია როგორც b 2 ბინომის კვადრატის ჯამი ან სხვაობა და ზოგიერთი რიცხვითი ან ლიტერატურული გამოხატულება.
კვადრატული ტრინომი ცვლადის მიმართ არის ფორმის გამოხატულება
ax 2 bx c , სადაც a ,b და c მოცემულია რიცხვები და a 0 . | |||||||||||||
ჩვენ გარდაქმნით კვადრატულ ტრინომულ ცულს 2 bx c შემდეგნაირად. | x2: |
||||||||||||
კოეფიციენტი | |||||||||||||
შემდეგ ჩვენ წარმოვადგენთ გამონათქვამს b x, როგორც 2b x (ორმაგი ნამრავლი
x): a x | ||||||||||||||||
ფრჩხილებში გამოსახულებას დაუმატეთ და გამოაკლეთ რიცხვი
რომელიც არის რიცხვის კვადრატი | შედეგად, ჩვენ ვიღებთ: | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ახლა შეამჩნია ეს | მიიღეთ | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4a 2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
მაგალითი. აირჩიეთ სრული კვადრატი. | 2 x 12 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2x2 4x5 2x2 2x5 | 2x2 2x1 15 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 x 12 7.
4 ა 2,
1.4. პოლინომები რამდენიმე ცვლადში
პოლინომები რამდენიმე ცვლადში, ისევე როგორც მრავალწევრები ერთ ცვლადში, შეიძლება დაემატოს, გამრავლდეს და გაიზარდოს ბუნებრივ ხარისხზე.
პოლინომის მნიშვნელოვანი იდენტურ ტრანსფორმაცია რამდენიმე ცვლადში არის ფაქტორიზაცია. აქ ფაქტორიზაციის ისეთი ტექნიკა გამოიყენება, როგორიცაა საერთო ფაქტორის ფრჩხილებიდან ამოღება, დაჯგუფება, შემოკლებული გამრავლების იდენტობების გამოყენება, სრული კვადრატის ხაზგასმა, დამხმარე ცვლადების შემოღება.
1. მრავალწევრის ფაქტორიზაცია P x ,y 2x 5 128x 2 y 3 .
2 x 5128 x 2y 32 x 2x 364 y 32 x 2x 4 y x 24 xy 16 y 2.
2. P x ,y ,z 20x 2 3yz 15xy 4xz ფაქტორიზაცია. გამოიყენეთ დაჯგუფების მეთოდი
20 x2 3 yz15 xy4 xz20 x2 15 xy4 xz3 yz5 x4 x3 y z4 x3 y
4x3 y5xz.
3. P x ,y x 4 4y 4 ფაქტორიზაცია. მოდით ავირჩიოთ სრული კვადრატი:
x 4y 4x 44 x 2y 24 y 24 x 2y 2x 22 y 2 2 4 x 2y 2
x2 2 y2 2 xy x2 2 y2 2 xy.
1.5. ხარისხის თვისებები ნებისმიერი რაციონალური მაჩვენებლით
ხარისხს ნებისმიერი რაციონალური მაჩვენებლით აქვს შემდეგი თვისებები:
1. a r 1a r 2a r 1r 2,
a r 1a r 2a r 1r 2, |
||||||
3. a r 1r 2 a r 1r 2, |
||||||
4. abr 1 ar 1 br 1, |
||||||
a r 1 | ar 1 |
|||||
br 1 |
სადაც 0;b 0;r 1;r 2 არის თვითნებური რაციონალური რიცხვები.
1. გაამრავლე 8 | x3 12x7. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
24x23. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
8 x 3 12 x 7 x 8 x 12 x 8 12 x 24 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2. ფაქტორიზაცია | a2x3 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.6. სავარჯიშოები თვითრეალიზაციისთვის
1. მოქმედებების შესრულება შემოკლებული გამრავლების ფორმულების გამოყენებით. ერთი) a 52;
2) 3 a 72;
3) a nb n2.
4) 1 x 3;
3 y 3; | |||||
7) 8a 2 8a 2;
8) ა ნბ კა კბ ნა ნბ კა კბ ნ.
9) a 2 b a2 2 ab4 b2;
10) a 3a 2 3a 9;
11) a 2b 2a 4a 2b 2b 4. 3
2. გამოთვალეთ შემოკლებული გამრავლების იდენტობების გამოყენებით:
1) 53 2 432 ;
2) 22,4 2 22,32 ;
4) 30 2 2 ;
5) 51 2 ;
6) 99 2 ;
7) 17 2 2 17 23 232 ;
8) 85 2 2 85 15 152 .
3. დაამტკიცეთ ვინაობა:
ერთი). x 2 13 3x 2 x 12 6x x 1 11x 3 32 2;
2) a 2b 2 2 2 2 ab 2 a 2b 2 2;
3) 2 b2 x2 y2 ცული 2 bx ay2 .
4. დააბალანსეთ შემდეგი მრავალწევრები:
1) 3 x a2 a2;
2) ac 7 bc3 a21 b;
3) 63 m 4n 327 m 3n 445 m 5n 7;
4) 5 b2 c3 2 bc2 k2 k2 ;
5) 2 x3 y2 3 yz2 2 x2 yz3 z3;
6) 24ax38bx12a19b;
7) 25 a 21 b 2q 2;
8) 9 5 a 4b 2 64a 2;
9) 121 n 2 3n 2t 2;
10) 4 t 2 20tn 25n 2 36;
11) p 4 6 p2 k9 k2 ;
12) 16 p 3 q 8 72p 4 q 7 81p 5 q 6;
13) 6x3 36x 2 72x 48;
14) 15ax 3 45ax 2 45ax 15a;
15) 9 a 3 n 1 4.5a 2 n 1;
16) 5 p 2 n q n 15p 5 n q 2 n;
17) 4 a 7b 232 a 4b 5;
18) 7 x 24 y 2 2 3 x 28 y 2 2;
19) 1000 t 3 27t 6.
5. გამოთვალეთ უმარტივესი გზით:
1) 59 3 413 ;
2) 67 3 523 67 52. 119
6. იპოვეთ მრავალწევრის გაყოფის კოეფიციენტი და ნაშთი P x მრავალწევრებით Q x: 1)P x 2x 4 x 3 5;Q x x 3 9x;
2) P x 2 x 2; Q x x3 2 x2 x; 3) P x x6 1; Qxx4 4x2.
7. დაამტკიცეთ, რომ მრავალწევრი x 2 2x 2-ს არ აქვს ნამდვილი ფესვები.
8. იპოვეთ მრავალწევრის ფესვები:
1) x 3 4 x;
2) x 3 3x 2 5x 15.
9. ფაქტორიზაცია:
1) 6 a 2 a 5 5a 3;
2) x 2 x 3 2x 32 4x 3 3x 2;
3) x 3 6x 2 11x 6.
10. ამოხსენით განტოლებები სრული კვადრატის არჩევით:
1) x 2 2x 3 0;
2) x 2 13x 30 0 .
11. იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობები:
4 3 85 | ||||
16 6 | ||||
2 520 9 519 | ||||
1254
3) 5 3 25 7 ;
4) 0,01 2 ;
5) 06 .
12. გამოთვალეთ:
16 0,25 | 16 0,25 | |||||||||||||||||||||||
განმარტება ისეთ გამონათქვამებს, როგორიცაა 2 x 2 + 3 x + 5, ეწოდება კვადრატული ტრინომი. ზოგად შემთხვევაში, კვადრატული ტრინომი არის a x 2 + b x + c ფორმის გამოხატულება, სადაც a, b, c a, b, c არის თვითნებური რიცხვები და a ≠ 0. განვიხილოთ კვადრატული ტრინომი x 2 - 4 x + 5 . მოდით დავწეროთ იგი ამ ფორმით: x 2 - 2 2 x + 5. ამ გამოსახულებას დავუმატოთ 2 2 და გამოვაკლოთ 2 2, მივიღებთ: x 2 - 2 2 x + 2 2 - 2 2 + 5. გაითვალისწინეთ, რომ x 2 - 2 2 x + 2 2 = (x - 2) 2, ამიტომ x 2 - 4 x + 5 = (x - 2) 2 - 4 + 5 = (x - 2) 2 + 1 . ჩვენ მიერ გაკეთებული ტრანსფორმაცია ჰქვია "სრული კვადრატის შერჩევა კვადრატული ტრინომიდან". აირჩიეთ სრულყოფილი კვადრატი კვადრატული ტრინომიდან 9 x 2 + 3 x + 1. გაითვალისწინეთ, რომ 9 x 2 = (3 x) 2, `3x=2*1/2*3x`. შემდეგ `9x^2+3x+1=(3x)^2+2*1/2*3x+1`. მიღებულ გამონათქვამს `(1/2)^2` დავამატოთ და გამოვაკლოთ, მივიღებთ `((3x)^2+2*1/2*3x+(1/2)^2)+1-(1/2)^2=(3x+1/2)^2+3/4`. ვნახოთ, როგორ გამოიყენება კვადრატული ტრინომიდან სრული კვადრატის ამოღების მეთოდი კვადრატული ტრინომიდან ფაქტორიზაციისთვის. გაამრავლეთ კვადრატული ტრინომი 4 x 2 - 12 x + 5 . ჩვენ ვირჩევთ სრულ კვადრატს კვადრატული ტრინომიდან: 2 x 2 - 2 2 x 3 + 3 2 - 3 2 + 5 = 2 x - 3 2 - 4 = (2 x - 3) 2 - 2 2 . ახლა გამოიყენეთ ფორმულა a 2 - b 2 = (a - b) (a + b) , მივიღებთ: (2 x - 3 - 2) (2 x - 3 + 2) = (2 x - 5) (2 x - 1). გაატარეთ კვადრატული ტრინომი - 9 x 2 + 12 x + 5. 9 x 2 + 12 x + 5 = - 9 x 2 - 12 x + 5. ახლა შენიშნეთ, რომ 9 x 2 = 3 x 2, - 12 x = - 2 3 x 2. ჩვენ ვამატებთ ტერმინს 2 2 გამოთქმას 9 x 2 - 12 x, მივიღებთ: 3 x 2 - 2 3 x 2 + 2 2 - 2 2 + 5 = - 3 x - 2 2 - 4 + 5 = 3 x - 2 2 + 4 + 5 = - 3 x - 2 2 + 9 = 3 2 - 3 x - 2 2 . ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას კვადრატების სხვაობისთვის, გვაქვს: 9 x 2 + 12 x + 5 = 3 - 3 x - 2 3 + (3 x - 2) = (5 - 3 x) (3 x + 1) . გაზომეთ კვადრატული ტრინომი 3 x 2 - 14 x - 5 . ჩვენ არ შეგვიძლია გამოვხატოთ გამოხატულება 3 x 2, როგორც ზოგიერთი გამონათქვამის კვადრატი, რადგან ეს ჯერ არ ვისწავლეთ სკოლაში. ამას მოგვიანებით გაივლით და უკვე No4 ამოცანაში შევისწავლით კვადრატულ ფესვებს. მოდით ვაჩვენოთ, თუ როგორ შეგვიძლია მოცემული კვადრატული ტრინომილის ფაქტორიზირება: `3x^2-14x-5=3(x^2-14/3 x-5/3)=3(x^2-2*7/3 x+(7/3)^2-(7/3) ^2-5/3)=` `=3((x-7/3)^2-49/9-5/3)=3((x-7/3)^2-64/9)=3((x-7/3)^ 2-8/3)^2)=` `=3(x-7/3-8/3)(x-7/3+8/3)=3(x-5)(x+1/3)=(x-5)(3x+1) `. ჩვენ ვაჩვენებთ, თუ როგორ გამოიყენება სრული კვადრატის მეთოდი კვადრატული ტრინომის უდიდესი ან უმცირესი მნიშვნელობების მოსაძებნად. `(x)^2-2*x*1/2+(1/2)^2-(1/2)^2+3=(x-1/2)^2+11/4`. გაითვალისწინეთ, რომ როდესაც `x=1/2` კვადრატული ტრინომის მნიშვნელობა არის `11/4`, ხოლო როდესაც `x!=1/2` დადებითი რიცხვი ემატება `11/4` მნიშვნელობას, ამიტომ ჩვენ მიიღეთ "11/4"-ზე მეტი რიცხვი. ამრიგად, კვადრატული ტრინომის უმცირესი მნიშვნელობა არის `11/4` და ის მიიღება `x=1/2`-ით. იპოვეთ კვადრატული ტრინომის უდიდესი მნიშვნელობა - 16 2 + 8 x + 6 . ჩვენ ვირჩევთ სრულ კვადრატს კვადრატული ტრინომიდან: - 16 x 2 + 8 x + 6 = - 4 x 2 - 2 4 x 1 + 1 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 + 7 . `x=1/4`-ით კვადრატული ტრინომის მნიშვნელობა არის 7, ხოლო `x!=1/4`-ით 7-ს აკლდება დადებითი რიცხვი, ანუ მივიღებთ 7-ზე ნაკლებ რიცხვს. ამრიგად, რიცხვი 7 არის კვადრატული ტრინომის უდიდესი მნიშვნელობა და ის მიიღება `x=1/4`-ით. „(x^2+2x-15)/(x^2-6x+9)“-ის მრიცხველის და მნიშვნელის ფაქტორზე შეყვანა და წილადის გაუქმება. გაითვალისწინეთ, რომ x 2 - 6 x + 9 = x - 3 2 წილადის მნიშვნელი. წილადის მრიცხველს ვანაწილებთ ფაქტორებად კვადრატული ტრინომიდან სრული კვადრატის ამოღების მეთოდით. x 2 + 2 x - 15 = x 2 + 2 x 1 + 1 - 1 - 15 = x + 1 2 - 16 = x + 1 2 - 4 2 = = (x + 1 + 4) (x + 1 - 4 ) = (x + 5) (x - 3) . ეს წილადი შემცირდა სახით `((x+5)(x-3))/(x-3)^2` (x - 3-ით) შემცირების შემდეგ მივიღებთ `(x+5)/(x-3 )`. გაამრავლეთ მრავალწევრი x 4 - 13 x 2 + 36. მოდით გამოვიყენოთ სრული კვადრატის მეთოდი ამ მრავალწევრზე. `x^4-13x^2+36=(x^2)^2-2*x^2*13/2+(13/2)^2-(13/2)^2+36=(x^ 2-13/2)^2-169/4+36=(x^2-13/2)^2-25/4=` როგორც უკვე აღვნიშნე, ინტეგრალურ გამოთვლებში არ არსებობს მოსახერხებელი ფორმულა წილადის ინტეგრაციისთვის. და ამიტომ, არსებობს სამწუხარო ტენდენცია: რაც უფრო "ლამაზია" წილადი, მით უფრო რთულია მისგან ინტეგრალის პოვნა. ამ მხრივ, ადამიანმა უნდა მიმართოს სხვადასხვა ხრიკებს, რომლებზეც ახლა ვისაუბრებ. მომზადებულ მკითხველს შეუძლია დაუყოვნებლივ გამოიყენოს სარჩევი:
მრიცხველის ხელოვნური ტრანსფორმაციის მეთოდიმაგალითი 1 სხვათა შორის, განხილული ინტეგრალი ასევე შეიძლება ამოიხსნას ცვლადის ცვლილების მეთოდით, რომელიც აღნიშნავს , მაგრამ ამონახსნები გაცილებით გრძელი იქნება. მაგალითი 2 იპოვეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი. შეასრულეთ შემოწმება. ეს არის საკუთარი თავის მაგალითი. უნდა აღინიშნოს, რომ აქ ცვლადი ჩანაცვლების მეთოდი აღარ იმუშავებს. ყურადღება მნიშვნელოვანია! მაგალითები No1, 2 ტიპიური და გავრცელებულია. კერძოდ, ასეთი ინტეგრალები ხშირად წარმოიქმნება სხვა ინტეგრალების ამოხსნისას, კერძოდ, ირაციონალური ფუნქციების (ფესვების) ინტეგრირებისას. ზემოთ მოყვანილი მეთოდი ასევე მუშაობს ამ შემთხვევაში თუ მრიცხველის უმაღლესი ხარისხი მეტია მნიშვნელის უმაღლეს ხარისხზე. მაგალითი 3 იპოვეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი. შეასრულეთ შემოწმება. ვიწყებთ მრიცხველის არჩევას. მრიცხველის შერჩევის ალგორითმი დაახლოებით ასეთია: 1) მრიცხველში მჭირდება ორგანიზება, მაგრამ იქ. Რა უნდა ვქნა? ვსვამ ფრჩხილებში და ვამრავლებ: . 2) ახლა ვცდილობ გავხსნა ეს ფრჩხილები, რა ხდება? . ჰმ... უკვე უკეთესია, მაგრამ მრიცხველში თავდაპირველად დუი არ არის. Რა უნდა ვქნა? თქვენ უნდა გაამრავლოთ: 3) ფრჩხილების ხელახლა გახსნა: . და აი, პირველი წარმატება! საჭირო აღმოჩნდა! მაგრამ პრობლემა ის არის, რომ დამატებითი ტერმინი გამოჩნდა. Რა უნდა ვქნა? იმისათვის, რომ გამოთქმა არ შეიცვალოს, იგივე უნდა დავამატო ჩემს კონსტრუქციას: 4) შეგიძლია. Ჩვენ ვცდილობთ: 5) ისევ გადამოწმებისთვის ვხსნი ფრჩხილებს მეორე ტერმინში: თუ ყველაფერი სწორად გაკეთდა, მაშინ ყველა ფრჩხილის გახსნისას უნდა მივიღოთ ინტეგრანტის ორიგინალური მრიცხველი. ჩვენ ვამოწმებთ: Ამგვარად: მზადაა. ბოლო ტერმინში გამოვიყენე ფუნქციის დიფერენციალში მოყვანის მეთოდი. თუ პასუხის წარმოებულს ვიპოვით და გამოსახულებას საერთო მნიშვნელამდე მივყავართ, მაშინ მივიღებთ ზუსტად თავდაპირველ ინტეგრანდს. ჯამად გაფართოების განხილული მეთოდი სხვა არაფერია, თუ არა საპირისპირო მოქმედება გამოხატვის საერთო მნიშვნელამდე მიყვანისთვის. მრიცხველის შერჩევის ალგორითმი ასეთ მაგალითებში საუკეთესოდ შესრულებულია მონახაზზე. გარკვეული უნარებით ის გონებრივადაც იმუშავებს. მახსოვს რეკორდული დრო, როდესაც მე გავაკეთე არჩევანი მე-11 ხარისხზე და მრიცხველის გაფართოებამ Werd-ის თითქმის ორი ხაზი დასჭირდა. მაგალითი 4 იპოვეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი. შეასრულეთ შემოწმება. ეს არის საკუთარი თავის მაგალითი. მარტივი წილადებისთვის დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ შეყვანის მეთოდიგადავიდეთ შემდეგი ტიპის წილადებზე. ფაქტობრივად, გაკვეთილზე უკვე გაცურდა რამდენიმე შემთხვევა რკალით და არქტანგენტით ცვლადის ცვლილების მეთოდი განუსაზღვრელი ინტეგრალში. ასეთი მაგალითები იხსნება ფუნქციის დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ მოყვანით და შემდეგ ცხრილის გამოყენებით ინტეგრირებით. აქ არის კიდევ რამდენიმე ტიპიური მაგალითი გრძელი და მაღალი ლოგარითმით: მაგალითი 5 მაგალითი 6 აქ მიზანშეწონილია აიღოთ ინტეგრალების ცხრილი და მიჰყვეთ რა ფორმულებს და როგორტრანსფორმაცია ხდება. Შენიშვნა, როგორ და რატომამ მაგალითებში ხაზგასმულია კვადრატები. კერძოდ, მე-6 მაგალითში ჩვენ ჯერ უნდა წარმოვადგინოთ მნიშვნელი როგორც მაგრამ რას უნდა მიხედოთ, შეეცადეთ თავად მოაგვაროთ მაგალითები No7,8, მით უმეტეს, რომ ისინი საკმაოდ მოკლეა: მაგალითი 7 მაგალითი 8 იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი: თუ თქვენ ასევე შეგიძლიათ შეამოწმოთ ეს მაგალითები, მაშინ დიდი პატივისცემა არის თქვენი დიფერენცირების უნარი საუკეთესოდ. სრული კვადრატის შერჩევის მეთოდიფორმის ინტეგრალები, სინამდვილეში, ასეთი ინტეგრალები მცირდება ცხრილის ოთხი ინტეგრალიდან ერთ-ერთამდე, რომელიც ახლა განვიხილეთ. და ეს მიიღწევა ნაცნობი შემოკლებული გამრავლების ფორმულების გამოყენებით: ფორმულები გამოიყენება ამ მიმართულებით, ანუ მეთოდის იდეაა გამოსახულებების ხელოვნურად ორგანიზება მნიშვნელში ან , და შემდეგ მათი გადაქცევა, შესაბამისად, ან . მაგალითი 9 იპოვეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი ეს არის უმარტივესი მაგალითი, სადაც ტერმინით - ერთეული კოეფიციენტით(და არა რაღაც რიცხვი ან მინუსი). ჩვენ ვუყურებთ მნიშვნელს, აქ ყველაფერი აშკარად საქმეზეა დაყვანილი. დავიწყოთ მნიშვნელის კონვერტაცია: ცხადია, თქვენ უნდა დაამატოთ 4. და ისე, რომ გამოთქმა არ შეიცვალოს - იგივე ოთხი და გამოვაკლოთ: ახლა შეგიძლიათ გამოიყენოთ ფორმულა: კონვერტაციის დასრულების შემდეგ ყოველთვისსასურველია შეასრულოთ საპირისპირო მოძრაობა: ყველაფერი კარგადაა, შეცდომები არ არის. მოცემული მაგალითის სუფთა დიზაინი ასე უნდა გამოიყურებოდეს: მზადაა. "თავისუფალი" რთული ფუნქციის მოყვანა დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ: , პრინციპში, შეიძლება უგულებელყოფილი იყოს მაგალითი 10 იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი: ეს არის მაგალითი თვითგამორკვევისთვის, პასუხი მოცემულია გაკვეთილის ბოლოს. მაგალითი 11 იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი: რა უნდა გააკეთოს, როდესაც წინ მინუსია? ამ შემთხვევაში, თქვენ უნდა ამოიღოთ მინუსი ფრჩხილებიდან და დაალაგოთ პირობები ჩვენთვის საჭირო თანმიმდევრობით:. მუდმივი(ამ შემთხვევაში "ორმაგი") არ შეეხოთ! ახლა ერთს ვამატებთ ფრჩხილებში. გამონათქვამის გაანალიზებით, მივდივართ დასკვნამდე, რომ გვჭირდება ერთი ფრჩხილის მიღმა - დაამატეთ: აქ არის ფორმულა, გამოიყენეთ: ყოველთვისჩვენ ვამოწმებთ პროექტს: მაგალითის სუფთა დიზაინი ასე გამოიყურება: ჩვენ ვართულებთ დავალებას მაგალითი 12 იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი: აქ, ტერმინთან ერთად, ის აღარ არის ერთი კოეფიციენტი, არამედ "ხუთი". (1) თუ მუდმივი არის ნაპოვნი, მაშინ ჩვენ დაუყოვნებლივ ამოვიღებთ მას ფრჩხილებიდან. (2) ზოგადად, ყოველთვის სჯობს, რომ ეს მუდმივი ამოიღოთ ინტეგრალიდან, რათა ხელი არ შეუშალოს. (3) აშკარაა, რომ ყველაფერი დაიყვანება ფორმულამდე. აუცილებელია ტერმინის გაგება, კერძოდ, "ორი"-ს მიღება. (4) დიახ, . ასე რომ, ჩვენ ვამატებთ გამოსახულებას და ვაკლებთ იგივე წილადს. (5) ახლა აირჩიეთ სრული კვადრატი. ზოგადად, ასევე აუცილებელია გამოთვლა, მაგრამ აქ გვაქვს გრძელი ლოგარითმის ფორმულა (6) სინამდვილეში, ჩვენ შეგვიძლია გამოვიყენოთ ფორმულა (7) ძირის ქვეშ მყოფ პასუხში, სასურველია ყველა ფრჩხილის უკან გახსნა: რთული? ეს არ არის ყველაზე რთული ინტეგრალური გამოთვლებით. თუმცა, განხილული მაგალითები არც ისე რთულია, რამდენადაც ისინი საჭიროებენ გამოთვლის კარგ ტექნიკას. მაგალითი 13 იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი: ეს არის საკუთარი თავის მაგალითი. უპასუხეთ გაკვეთილის ბოლოს. მნიშვნელში არის ინტეგრალები ფესვებით, რომლებიც ჩანაცვლების დახმარებით მცირდება განხილული ტიპის ინტეგრალებზე, მათ შესახებ შეგიძლიათ წაიკითხოთ სტატიაში რთული ინტეგრალები, მაგრამ ის განკუთვნილია მაღალ მომზადებული სტუდენტებისთვის. მრიცხველის მოყვანა დიფერენციალური ნიშნის ქვეშეს გაკვეთილის ბოლო ნაწილია, თუმცა ამ ტიპის ინტეგრალები საკმაოდ გავრცელებულია! თუ დაღლილობა დაგროვდა, იქნებ ჯობია ხვალ წავიკითხო? ;) ინტეგრალები, რომლებსაც განვიხილავთ წინა აბზაცის ინტეგრალების მსგავსია, აქვთ ფორმა: ან ანუ მრიცხველში გვაქვს წრფივი ფუნქცია. როგორ ამოხსნათ ასეთი ინტეგრალები? ონლაინ კალკულატორი. ეს მათემატიკური პროგრამა ამოიღებს ბინომის კვადრატს კვადრატული ტრინომიდან, ე.ი. აკეთებს ფორმის ტრანსფორმაციას: |