დღეს ჩვენ საქმე გვაქვს გაუსის მეთოდთან წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემების ამოხსნისთვის. თუ რას წარმოადგენს ეს სისტემები, შეგიძლიათ წაიკითხოთ წინა სტატიაში, რომელიც მიეძღვნა იგივე SLAE კრამერის მეთოდით ამოხსნას. გაუსის მეთოდი არ საჭიროებს რაიმე კონკრეტულ ცოდნას, საჭიროა მხოლოდ ზრუნვა და თანმიმდევრულობა. მიუხედავად იმისა, რომ მათემატიკის თვალსაზრისით სასკოლო მომზადება საკმარისია მისი გამოსაყენებლად, ამ მეთოდის ათვისება ხშირად უქმნის სირთულეებს მოსწავლეებს. ამ სტატიაში ჩვენ შევეცდებით მათ არაფრამდე დავიყვანოთ!

გაუსის მეთოდი

მ გაუსის მეთოდიარის SLAE-ის ამოხსნის ყველაზე უნივერსალური მეთოდი (ძალიან დიდი სისტემების გარდა). ადრე განხილულისგან განსხვავებით, ის შესაფერისია არა მხოლოდ სისტემებისთვის, რომლებსაც აქვთ უნიკალური გადაწყვეტა, არამედ სისტემებისთვისაც, რომლებსაც აქვთ გადაწყვეტილებების უსასრულო რაოდენობა. აქ სამი ვარიანტია.

1. სისტემას აქვს უნიკალური ამონახსნი (სისტემის მთავარი მატრიცის განმსაზღვრელი არ არის ნულის ტოლი);
2. სისტემას აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა;
3. არ არსებობს გადაწყვეტილებები, სისტემა არათანმიმდევრულია.

ასე რომ, ჩვენ გვაქვს სისტემა (დაე, მას ჰქონდეს ერთი გამოსავალი) და ვაპირებთ მის ამოხსნას გაუსის მეთოდით. Როგორ მუშაობს?

გაუსის მეთოდი შედგება ორი ეტაპისგან - პირდაპირი და ინვერსიული.

პირდაპირი გაუსის მეთოდი

პირველ რიგში, ჩვენ ვწერთ სისტემის გაძლიერებულ მატრიცას. ამისათვის ჩვენ ვამატებთ თავისუფალი წევრების სვეტს მთავარ მატრიცას.

გაუსის მეთოდის მთელი არსი მდგომარეობს იმაში, რომ ელემენტარული გარდაქმნების საშუალებით მოცემული მატრიცის საფეხურზე (ან, როგორც ამბობენ, სამკუთხა) ფორმამდე მიყვანა. ამ ფორმით, მატრიცის მთავარი დიაგონალის ქვეშ (ან ზემოთ) უნდა იყოს მხოლოდ ნულები.

Რა შეიძლება გაკეთდეს:

1. თქვენ შეგიძლიათ გადააწყოთ მატრიცის რიგები;
2. თუ მატრიცაში არის იდენტური (ან პროპორციული) რიგები, შეგიძლიათ წაშალოთ ყველა, გარდა ერთისა;
3. შეგიძლიათ სტრიქონი გაამრავლოთ ან გაყოთ ნებისმიერ რიცხვზე (ნულის გარდა);
4. ნულოვანი ხაზები ამოღებულია;
5. თქვენ შეგიძლიათ დაამატოთ სტრიქონი გამრავლებული არანულოვანი რიცხვით სტრიქონს.

უკუ გაუსის მეთოდი

მას შემდეგ რაც სისტემას ამ გზით გარდაქმნით, ერთი უცნობია xn ხდება ცნობილი და შესაძლებელია ყველა დარჩენილი უცნობის პოვნა საპირისპირო თანმიმდევრობით, უკვე ცნობილი x-ების ჩანაცვლება სისტემის განტოლებებში, პირველამდე.

როდესაც ინტერნეტი ყოველთვის ხელთ არის, თქვენ შეგიძლიათ ამოხსნათ განტოლებათა სისტემა გაუსის მეთოდით ონლაინ .თქვენ მხოლოდ უნდა შეიყვანოთ შანსები ონლაინ კალკულატორში. მაგრამ უნდა აღიაროთ, გაცილებით სასიამოვნოა იმის გაცნობიერება, რომ მაგალითი გადაჭრა არა კომპიუტერული პროგრამით, არამედ საკუთარი ტვინით.

განტოლებათა სისტემის ამოხსნის მაგალითი გაუსის მეთოდით

ახლა კი - მაგალითი, რათა ყველაფერი ნათელი და გასაგები გახდეს. მოდით მივცეთ წრფივი განტოლებათა სისტემა და მისი ამოხსნა აუცილებელია გაუსის მეთოდით:

პირველ რიგში, მოდით დავწეროთ გაძლიერებული მატრიცა:

ახლა გადავხედოთ გარდაქმნებს. გახსოვდეთ, რომ ჩვენ უნდა მივაღწიოთ მატრიცის სამკუთხა ფორმას. გავამრავლოთ პირველი რიგი (3-ზე). გავამრავლოთ მე-2 რიგი (-1-ზე). დავუმატოთ მე-2 რიგი პირველს და მივიღოთ:

შემდეგ გავამრავლოთ მე-3 მწკრივი (-1-ზე). დავუმატოთ მე-3 სტრიქონი მე-2ს:

გავამრავლოთ პირველი რიგი (6-ზე). გავამრავლოთ მე-2 რიგი (13). დავუმატოთ მე-2 სტრიქონი პირველს:

Voila - სისტემა მიყვანილია შესაბამის ფორმაში. რჩება უცნობის პოვნა:

ამ მაგალითში სისტემას აქვს უნიკალური გადაწყვეტა. ცალკეულ სტატიაში განვიხილავთ სისტემების ამოხსნას გადაწყვეტილებების უსასრულო სიმრავლით. შესაძლოა თავიდან არ იცოდეთ საიდან დაიწყოთ მატრიცული გარდაქმნები, მაგრამ შესაბამისი პრაქტიკის შემდეგ თქვენ მიიღებთ ხელში და დააწკაპუნებთ გაუსიან SLAE-ზე, როგორც კაკალი. და თუ მოულოდნელად წააწყდით SLAU-ს, რომელიც აღმოჩნდება ძალიან ხისტი თხილის გასატეხად, დაუკავშირდით ჩვენს ავტორებს! შეგიძლიათ განაცხადის დატოვებით კორესპონდენციაში. ჩვენ ერთად მოვაგვარებთ ნებისმიერ პრობლემას!

გაუსის მეთოდიშესანიშნავია წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემების გადასაჭრელად (SLAE). მას აქვს რამდენიმე უპირატესობა სხვა მეთოდებთან შედარებით:

• პირველ რიგში, არ არის საჭირო განტოლებების სისტემის წინასწარი გამოკვლევა თავსებადობისთვის;
• მეორეც, გაუსის მეთოდის გამოყენება შესაძლებელია არა მხოლოდ SLAE-ების გადასაჭრელად, რომლებშიც განტოლებების რაოდენობა ემთხვევა უცნობი ცვლადების რაოდენობას და სისტემის მთავარი მატრიცა არის არადეგენერატი, არამედ განტოლებათა სისტემები, რომლებშიც განტოლებათა რაოდენობა ემთხვევა. არ ემთხვევა უცნობი ცვლადების რაოდენობას ან მთავარი მატრიცის განმსაზღვრელი ნულის ტოლია;
• მესამე, გაუსის მეთოდი იწვევს შედეგს შედარებით მცირე რაოდენობის გამოთვლითი ოპერაციებით.

სტატიის მოკლე მიმოხილვა.

პირველ რიგში, ჩვენ ვაძლევთ აუცილებელ განმარტებებს და შემოგვაქვს გარკვეული აღნიშვნა.

შემდეგი, ჩვენ აღვწერთ გაუსის მეთოდის ალგორითმს უმარტივესი შემთხვევისთვის, ანუ წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემებისთვის, განტოლებების რაოდენობა, რომელშიც ემთხვევა უცნობი ცვლადების რაოდენობას და სისტემის მთავარი მატრიცის განმსაზღვრელს, არ არის. ნულის ტოლი. განტოლებათა ასეთი სისტემების ამოხსნისას ყველაზე ნათლად ჩანს გაუსის მეთოდის არსი, რომელიც შედგება უცნობი ცვლადების თანმიმდევრული აღმოფხვრაში. ამიტომ გაუსის მეთოდს ასევე უწოდებენ უცნობების თანმიმდევრული აღმოფხვრის მეთოდს. მოდით ვაჩვენოთ რამდენიმე მაგალითის დეტალური გადაწყვეტილებები.

დასასრულს, ჩვენ განვიხილავთ ხაზოვანი ალგებრული განტოლებების სისტემების გაუსის ამონახს, რომელთა ძირითადი მატრიცა არის მართკუთხა ან გადაგვარებული. ასეთი სისტემების გადაწყვეტას აქვს გარკვეული მახასიათებლები, რომლებსაც დეტალურად გავაანალიზებთ მაგალითების გამოყენებით.

გვერდის ნავიგაცია.

ძირითადი განმარტებები და აღნიშვნა.

განვიხილოთ p წრფივი განტოლებათა სისტემა n უცნობით (p შეიძლება იყოს n-ის ტოლი):

სადაც უცნობი ცვლადებია, არის რიცხვები (რეალური თუ რთული), არის თავისუფალი წევრები.

Თუ , მაშინ წრფივი ალგებრული განტოლებათა სისტემა ეწოდება ერთგვაროვანი, წინააღმდეგ შემთხვევაში - ჰეტეროგენული.

უცნობი ცვლადების მნიშვნელობების ერთობლიობა, რომელშიც სისტემის ყველა განტოლება გადაიქცევა იდენტებად, ე.წ. SLAU გადაწყვეტილება.

თუ წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემის ერთი ამონახსნი მაინც არის, მაშინ მას ე.წ ერთობლივი, წინააღმდეგ შემთხვევაში - შეუთავსებელი.

თუ SLAE-ს აქვს უნიკალური გამოსავალი, მაშინ მას ე.წ გარკვეული. თუ არსებობს ერთზე მეტი გამოსავალი, მაშინ სისტემა ეწოდება გაურკვეველი.

ამბობენ, რომ სისტემა ჩაწერილია კოორდინატთა ფორმათუ ფორმა აქვს
.

ამ სისტემაში მატრიცის ფორმაჩანაწერს აქვს ფორმა, სადაც - SLAE-ის მთავარი მატრიცა, - უცნობი ცვლადების სვეტის მატრიცა, - თავისუფალი წევრების მატრიცა.

თუ A მატრიცას (n + 1)-ე სვეტად დავუმატებთ თავისუფალი ტერმინების მატრიცა-სვეტს, მაშინ მივიღებთ ე.წ. გაფართოებული მატრიცაწრფივი განტოლებათა სისტემები. ჩვეულებრივ, გაძლიერებული მატრიცა აღინიშნება ასო T-ით, ხოლო თავისუფალი წევრების სვეტი გამოყოფილია ვერტიკალური ხაზით დანარჩენი სვეტებისგან, ანუ,

კვადრატული მატრიცა A ეწოდება დეგენერატითუ მისი განმსაზღვრელი არის ნული. თუ , მაშინ მატრიცა A ეწოდება არადეგენერატი.

უნდა აღინიშნოს შემდეგი პუნქტი.

თუ შემდეგი მოქმედებები შესრულებულია წრფივი ალგებრული განტოლებათა სისტემით

• გავცვალოთ ორი განტოლება,
• გავამრავლოთ ნებისმიერი განტოლების ორივე მხარე თვითნებური და არანულოვანი რეალური (ან რთული) რიცხვით k,
• ნებისმიერი განტოლების ორივე ნაწილს დაამატეთ სხვა განტოლების შესაბამისი ნაწილები, გამრავლებული თვითნებური რიცხვით k,

მაშინ ვიღებთ ეკვივალენტურ სისტემას, რომელსაც აქვს იგივე ამონახსნები (ან, როგორც ორიგინალს, არ აქვს ამონახსნები).

ხაზოვანი ალგებრული განტოლებების სისტემის გაფართოებული მატრიცისთვის ეს მოქმედებები ნიშნავს ელემენტარული გარდაქმნების შესრულებას რიგებით:

• ორი სიმის გაცვლა
• T მატრიცის ნებისმიერი მწკრივის ყველა ელემენტის გამრავლება არანულოვანი რიცხვით k ,
• მატრიცის ნებისმიერი მწკრივის ელემენტებს დაამატეთ სხვა რიგის შესაბამისი ელემენტები, გამრავლებული თვითნებური რიცხვით k.

ახლა ჩვენ შეგვიძლია გადავიდეთ გაუსის მეთოდის აღწერაზე.

ხაზოვანი ალგებრული განტოლებების სისტემების ამოხსნა, რომლებშიც განტოლებათა რაოდენობა უდრის უცნობთა რაოდენობას და სისტემის მთავარი მატრიცა არადეგენერატიულია, გაუსის მეთოდით.

რას ვიზამთ სკოლაში, განტოლებათა სისტემის ამონახსნის დავალება რომ მოგვცეს .

ზოგი ასე მოიქცეოდა.

გაითვალისწინეთ, რომ პირველი განტოლების მარცხენა მხარის მეორე განტოლების მარცხენა მხარეს, ხოლო მარჯვენა მხარეს მარჯვენა მხარეს დამატებით, შეგიძლიათ თავი დააღწიოთ უცნობი ცვლადებს x 2 და x 3 და დაუყოვნებლივ იპოვოთ x 1:

ჩვენ ვცვლით ნაპოვნი მნიშვნელობას x 1 \u003d 1 სისტემის პირველ და მესამე განტოლებაში:

თუ სისტემის მესამე განტოლების ორივე ნაწილს გავამრავლებთ -1-ზე და დავამატებთ პირველი განტოლების შესაბამის ნაწილებს, მაშინ მოვიშორებთ უცნობ ცვლადს x 3 და შეგვიძლია ვიპოვოთ x 2:

ჩვენ ვცვლით მიღებულ მნიშვნელობას x 2 \u003d 2 მესამე განტოლებაში და ვიპოვით დარჩენილი უცნობი ცვლადი x 3:

სხვები სხვაგვარად მოიქცეოდნენ.

მოდით ამოხსნათ სისტემის პირველი განტოლება უცნობი ცვლადის x 1-ის მიმართ და მიღებული გამონათქვამი ჩავანაცვლოთ სისტემის მეორე და მესამე განტოლებით, რათა გამოვრიცხოთ ეს ცვლადი მათგან:

ახლა მოდით ამოხსნათ სისტემის მეორე განტოლება x 2-ის მიმართ და მიღებული შედეგი ჩავანაცვლოთ მესამე განტოლებით, რათა მისგან გამოვრიცხოთ უცნობი ცვლადი x 2:

სისტემის მესამე განტოლებიდან ჩანს, რომ x 3 =3. მეორე განტოლებიდან ვხვდებით და პირველი განტოლებიდან ვიღებთ .

ნაცნობი გადაწყვეტილებები, არა?

აქ ყველაზე საინტერესო ის არის, რომ ამოხსნის მეორე მეთოდი არსებითად არის უცნობების თანმიმდევრული აღმოფხვრის მეთოდი, ანუ გაუსის მეთოდი. როდესაც ჩვენ გამოვხატეთ უცნობი ცვლადები (პირველი x 1, შემდეგი x 2) და ჩავანაცვლეთ ისინი სისტემის დანარჩენ განტოლებებში, ამით გამოვრიცხეთ ისინი. ჩვენ განვახორციელეთ გამონაკლისი იმ მომენტამდე, როდესაც ბოლო განტოლებამ დატოვა მხოლოდ ერთი უცნობი ცვლადი. უცნობების თანმიმდევრული აღმოფხვრის პროცესს ე.წ პირდაპირი გაუსის მეთოდი. წინ სვლის დასრულების შემდეგ ჩვენ გვაქვს შესაძლებლობა გამოვთვალოთ უცნობი ცვლადი ბოლო განტოლებაში. მისი დახმარებით, ბოლო განტოლებიდან ვპოულობთ შემდეგ უცნობ ცვლადს და ა.შ. ბოლო განტოლებიდან პირველზე გადასვლისას უცნობი ცვლადების თანმიმდევრული პოვნის პროცესი ეწოდება გაუსის საპირისპირო მეთოდი.

უნდა აღინიშნოს, რომ როდესაც ჩვენ გამოვხატავთ x 1-ს x 2-ით და x 3-ით პირველ განტოლებაში, შემდეგ კი მიღებული გამონათქვამი ჩავანაცვლებთ მეორე და მესამე განტოლებებს, შემდეგი ქმედებები იწვევს იმავე შედეგს:

მართლაც, ასეთი პროცედურა საშუალებას გვაძლევს გამოვრიცხოთ უცნობი ცვლადი x 1 სისტემის მეორე და მესამე განტოლებიდან:

გაუსის მეთოდით უცნობი ცვლადების აღმოფხვრის ნიუანსები წარმოიქმნება მაშინ, როდესაც სისტემის განტოლებები არ შეიცავს ზოგიერთ ცვლადს.

მაგალითად, SLAU-ში პირველ განტოლებაში არ არის უცნობი ცვლადი x 1 (სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, კოეფიციენტი მის წინ არის ნული). აქედან გამომდინარე, ჩვენ არ შეგვიძლია ამოხსნათ სისტემის პირველი განტოლება x 1-ის მიმართ, რათა გამოვრიცხოთ ეს უცნობი ცვლადი დანარჩენი განტოლებიდან. ამ სიტუაციიდან გამოსავალი არის სისტემის განტოლებების შეცვლა. ვინაიდან ჩვენ განვიხილავთ წრფივი განტოლებების სისტემებს, რომელთა ძირითადი მატრიცების განმსაზღვრელი ნულისაგან განსხვავებულია, ყოველთვის არსებობს განტოლება, რომელშიც ჩვენ გვჭირდება ცვლადი, და ჩვენ შეგვიძლია გადავაწყოთ ეს განტოლება ჩვენთვის საჭირო პოზიციამდე. ჩვენი მაგალითისთვის საკმარისია შევცვალოთ სისტემის პირველი და მეორე განტოლებები , მაშინ შეგიძლიათ ამოხსნათ პირველი განტოლება x 1-ისთვის და გამორიცხოთ იგი სისტემის დანარჩენი განტოლებიდან (თუმცა x 1 უკვე არ არის მეორე განტოლებაში).

ვიმედოვნებთ, რომ გაიგებთ არსს.

აღვწეროთ გაუსის მეთოდის ალგორითმი.

დაგვჭირდება ამოხსნათ n წრფივი ალგებრული განტოლების სისტემა ფორმის n უცნობი ცვლადით. და მისი მთავარი მატრიცის განმსაზღვრელი იყოს ნულოვანი.

ჩვენ ვივარაუდებთ, რომ , რადგან ამის მიღწევა ყოველთვის შეგვიძლია სისტემის განტოლებების გადალაგებით. ჩვენ გამოვრიცხავთ უცნობი ცვლადი x 1 სისტემის ყველა განტოლებიდან, მეორედან დაწყებული. ამისთვის სისტემის მეორე განტოლებას დავუმატოთ პირველი გამრავლებული განტოლება, მესამე განტოლებას დავუმატოთ პირველი გამრავლებული და ა.შ. პირველი გამრავლებული დავუმატოთ n-ე განტოლებას. განტოლებათა სისტემა ასეთი გარდაქმნების შემდეგ მიიღებს ფორმას

სად, ა .

იმავე შედეგამდე მივიდოდით, თუ სისტემის პირველ განტოლებაში გამოვხატავთ x 1-ს სხვა უცნობი ცვლადების მიხედვით და მიღებული გამონათქვამი ჩავანაცვლებდით ყველა სხვა განტოლებით. ამრიგად, ცვლადი x 1 გამორიცხულია ყველა განტოლებიდან, მეორედან დაწყებული.

შემდეგი, ჩვენ ვიმოქმედებთ ანალოგიურად, მაგრამ მხოლოდ შედეგად მიღებული სისტემის ნაწილით, რომელიც აღნიშნულია ფიგურაში

ამისთვის სისტემის მესამე განტოლებას დაამატეთ მეორე გამრავლებული, მეოთხეზე გამრავლებული მეორე და ასე შემდეგ, მეორეზე გამრავლებული დაუმატეთ n-ე განტოლებას. განტოლებათა სისტემა ასეთი გარდაქმნების შემდეგ მიიღებს ფორმას

სად, ა . ამრიგად, ცვლადი x 2 გამორიცხულია ყველა განტოლებიდან, მესამედან დაწყებული.

შემდეგი, ჩვენ ვაგრძელებთ უცნობი x 3-ის აღმოფხვრას, ხოლო ანალოგიურად ვიმოქმედებთ ფიგურაში მონიშნული სისტემის ნაწილთან.

ასე რომ, ჩვენ ვაგრძელებთ გაუსის მეთოდის პირდაპირ კურსს, სანამ სისტემა არ მიიღებს ფორმას

ამ მომენტიდან ვიწყებთ გაუსის მეთოდის საპირისპირო კურსს: ბოლო განტოლებიდან ვიანგარიშებთ x n-ს, როგორც , მიღებული მნიშვნელობის x n-ს გამოყენებით ვპოულობთ x n-1-ს ბოლო განტოლებიდან და ასე შემდეგ, ვპოულობთ x 1-ს პირველიდან. განტოლება.

მოდით გავაანალიზოთ ალგორითმი მაგალითით.

მაგალითი.

გაუსის მეთოდი.

გადაწყვეტილება.

კოეფიციენტი a 11 განსხვავდება ნულისაგან, ამიტომ გადავიდეთ გაუსის მეთოდის პირდაპირ კურსზე, ანუ უცნობი ცვლადის x 1 აღმოფხვრაზე სისტემის ყველა განტოლებიდან, გარდა პირველისა. ამისათვის, მეორე, მესამე და მეოთხე განტოლების მარცხენა და მარჯვენა ნაწილებს დაამატეთ პირველი განტოლების მარცხენა და მარჯვენა ნაწილები, გამრავლებული შესაბამისად, და:

უცნობი ცვლადი x 1 აღმოიფხვრა, გადავიდეთ გამორიცხვაზე x 2 . სისტემის მესამე და მეოთხე განტოლების მარცხენა და მარჯვენა ნაწილებს ვამატებთ მეორე განტოლების მარცხენა და მარჯვენა ნაწილებს, გამრავლებული და :

გაუსის მეთოდის წინა კურსის დასასრულებლად, ჩვენ უნდა გამოვრიცხოთ უცნობი ცვლადი x 3 სისტემის ბოლო განტოლებიდან. მეოთხე განტოლების მარცხენა და მარჯვენა მხარეს, შესაბამისად, დაამატეთ მესამე განტოლების მარცხენა და მარჯვენა მხარეები, გამრავლებული :

შეგიძლიათ დაიწყოთ გაუსის მეთოდის საპირისპირო კურსი.

ბოლო განტოლებიდან გვაქვს ,
მესამე განტოლებიდან ვიღებთ,
მეორედან
პირველიდან.

შესამოწმებლად, თქვენ შეგიძლიათ შეცვალოთ უცნობი ცვლადების მიღებული მნიშვნელობები განტოლებების თავდაპირველ სისტემაში. ყველა განტოლება გადაიქცევა იდენტობად, რაც ნიშნავს, რომ გაუსის მეთოდით ამონახსნები სწორად იქნა ნაპოვნი.

პასუხი:

ახლა კი იმავე მაგალითის ამონახსანს მივიღებთ გაუსის მეთოდით მატრიცის სახით.

მაგალითი.

იპოვნეთ განტოლებათა სისტემის ამონახსნი გაუსის მეთოდი.

გადაწყვეტილება.

სისტემის გაფართოებულ მატრიცას აქვს ფორმა . ყოველი სვეტის ზემოთ იწერება უცნობი ცვლადები, რომლებიც შეესაბამება მატრიცის ელემენტებს.

გაუსის მეთოდის პირდაპირი მიმდინარეობა აქ გულისხმობს სისტემის გაფართოებული მატრიცის ტრაპეციულ ფორმამდე მიყვანას ელემენტარული გარდაქმნების გამოყენებით. ეს პროცესი მსგავსია უცნობი ცვლადების გამორიცხვისა, რაც ჩვენ გავაკეთეთ სისტემასთან კოორდინატების სახით. ახლა თქვენ დარწმუნდებით ამაში.

მოდით გარდავქმნათ მატრიცა ისე, რომ პირველი სვეტის ყველა ელემენტი, მეორედან დაწყებული, გახდეს ნული. ამისათვის, მეორე, მესამე და მეოთხე რიგების ელემენტებს დაამატეთ პირველი რიგის შესაბამისი ელემენტები გამრავლებული. და შესაბამისად:

შემდეგი, ჩვენ გარდაქმნის შედეგად მატრიცას ისე, რომ მეორე სვეტში, ყველა ელემენტი, დაწყებული მესამედან, გახდეს ნული. ეს შეესაბამება უცნობი ცვლადის x 2 გამორიცხვას. ამისათვის დაამატეთ მესამე და მეოთხე რიგების ელემენტებს მატრიცის პირველი რიგის შესაბამისი ელემენტები, გამრავლებული და :

რჩება უცნობი ცვლადის x 3 გამორიცხვა სისტემის ბოლო განტოლებიდან. ამისათვის, მიღებული მატრიცის ბოლო რიგის ელემენტებს ვამატებთ წინაბოლო მწკრივის შესაბამის ელემენტებს, გამრავლებული :

უნდა აღინიშნოს, რომ ეს მატრიცა შეესაბამება წრფივი განტოლებების სისტემას

რომელიც ადრე იყო მიღებული პირდაპირი გადაადგილების შემდეგ.

უკან დაბრუნების დროა. აღნიშვნის მატრიცული ფორმით, გაუსის მეთოდის საპირისპირო კურსი გულისხმობს მიღებული მატრიცის ისეთ ტრანსფორმაციას, რომ ნახატზე მონიშნული მატრიცა

გახდა დიაგონალი, ანუ მიიღო ფორმა

სად არის რამდენიმე ნომერი.

ეს გარდაქმნები გაუსის მეთოდის მსგავსია, მაგრამ შესრულებულია არა პირველი ხაზიდან ბოლომდე, არამედ ბოლოდან პირველამდე.

მესამე, მეორე და პირველი რიგის ელემენტებს დაამატეთ ბოლო რიგის შესაბამისი ელემენტები, გამრავლებული , და კიდევ შესაბამისად:

ახლა მოდით დავამატოთ მეორე და პირველი რიგის ელემენტებს მესამე რიგის შესაბამისი ელემენტები, გამრავლებული და შესაბამისად:

გაუსის მეთოდის საპირისპირო მოძრაობის ბოლო საფეხურზე, პირველი რიგის ელემენტებს ვამატებთ მეორე რიგის შესაბამის ელემენტებს, გამრავლებული:

შედეგად მიღებული მატრიცა შეესაბამება განტოლებათა სისტემას , საიდანაც ვპოულობთ უცნობ ცვლადებს.

პასუხი:

ᲨᲔᲜᲘᲨᲕᲜᲐ.

ხაზოვანი ალგებრული განტოლებების სისტემების ამოხსნისას გაუსის მეთოდის გამოყენებისას თავიდან უნდა იქნას აცილებული სავარაუდო გამოთვლები, რადგან ამან შეიძლება გამოიწვიოს აბსოლუტურად არასწორი შედეგები. ჩვენ გირჩევთ, არ დამრგვალოთ ათწილადები. ათწილადი წილადებიდან ჩვეულებრივ წილადებზე გადასვლა უკეთესია.

მაგალითი.

სამი განტოლების სისტემის ამოხსნა გაუსის მეთოდით .

გადაწყვეტილება.

გაითვალისწინეთ, რომ ამ მაგალითში უცნობ ცვლადებს განსხვავებული აღნიშვნა აქვთ (არა x 1 , x 2 , x 3 , არამედ x, y, z ). გადავიდეთ ჩვეულებრივ წილადებზე:

ამოიღეთ უცნობი x სისტემის მეორე და მესამე განტოლებიდან:

მიღებულ სისტემაში არ არის უცნობი ცვლადი y მეორე განტოლებაში, ხოლო y არის მესამე განტოლებაში, ამიტომ ჩვენ ვცვლით მეორე და მესამე განტოლებებს:

ამ ეტაპზე გაუსის მეთოდის პირდაპირი კურსი დასრულდა (თქვენ არ გჭირდებათ y-ის გამორიცხვა მესამე განტოლებიდან, რადგან ეს უცნობი ცვლადი აღარ არსებობს).

Მოდი დავბრუნდეთ.

ბოლო განტოლებიდან ვხვდებით ,
ბოლოდან


პირველი განტოლებიდან გვაქვს

პასუხი:

X=10, y=5, z=-20.

წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემების ამოხსნა, რომლებშიც განტოლებათა რაოდენობა არ ემთხვევა უცნობის რაოდენობას, ან სისტემის მთავარი მატრიცა დეგენერირებულია, გაუსის მეთოდით.

განტოლებათა სისტემებს, რომელთა ძირითადი მატრიცა არის მართკუთხა ან კვადრატული დეგენერატი, შეიძლება არ ჰქონდეთ ამონახსნები, შეიძლება ჰქონდეთ ერთი ამონახსნი ან შეიძლება ჰქონდეთ ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა.

ახლა ჩვენ გავიგებთ, თუ როგორ საშუალებას გაძლევთ გაუსის მეთოდი დაადგინოთ წრფივი განტოლებათა სისტემის თავსებადობა ან შეუსაბამობა და მისი თავსებადობის შემთხვევაში განსაზღვროთ ყველა ამონახსნები (ან ერთი ამონახსნები).

პრინციპში, უცნობი ცვლადების აღმოფხვრის პროცესი ასეთი SLAE-ების შემთხვევაში იგივე რჩება. თუმცა, ღირს დეტალურად ვისაუბროთ ზოგიერთ სიტუაციაზე, რომელიც შეიძლება წარმოიშვას.

მოდით გადავიდეთ ყველაზე მნიშვნელოვან ნაბიჯზე.

ასე რომ, დავუშვათ, რომ წრფივი ალგებრული განტოლებათა სისტემა გაუსის მეთოდის წინსვლის დასრულების შემდეგ იღებს ფორმას და არც ერთი განტოლება არ შემცირებულა (ამ შემთხვევაში, ჩვენ დავასკვნათ, რომ სისტემა არათანმიმდევრულია). ჩნდება ლოგიკური კითხვა: "რა უნდა გავაკეთოთ შემდეგ"?

ჩვენ ვწერთ უცნობ ცვლადებს, რომლებიც პირველ ადგილზეა მიღებული სისტემის ყველა განტოლებაში:

ჩვენს მაგალითში ეს არის x 1, x 4 და x 5. სისტემის განტოლებების მარცხენა ნაწილებში ვტოვებთ მხოლოდ იმ ტერმინებს, რომლებიც შეიცავს ამოწერილ უცნობ ცვლადებს x 1, x 4 და x 5, დარჩენილ ტერმინებს გადავიტანთ განტოლებების მარჯვენა მხარეს საპირისპირო ნიშნით:

მოდით მივანიჭოთ თვითნებური მნიშვნელობები უცნობ ცვლადებს, რომლებიც განტოლებების მარჯვენა მხარეს არიან, სადაც - თვითნებური ნომრები:

ამის შემდეგ, რიცხვები გვხვდება ჩვენი SLAE-ის ყველა განტოლების სწორ ნაწილში და შეგვიძლია გადავიდეთ გაუსის მეთოდის საპირისპირო კურსზე.

სისტემის ბოლო განტოლებიდან გვაქვს , ბოლო განტოლებიდან ვპოულობთ , პირველი განტოლებიდან ვიღებთ

განტოლებათა სისტემის ამოხსნა არის უცნობი ცვლადების მნიშვნელობების ერთობლიობა

ნომრების მიცემა სხვადასხვა მნიშვნელობებს, მივიღებთ განტოლებათა სისტემის განსხვავებულ ამონახსნებს. ანუ, ჩვენს განტოლებათა სისტემას აქვს უსასრულოდ ბევრი ამონახსნები.

პასუხი:

სადაც - თვითნებური ნომრები.

მასალის კონსოლიდაციის მიზნით, ჩვენ დეტალურად გავაანალიზებთ კიდევ რამდენიმე მაგალითის ამოხსნას.

მაგალითი.

წრფივი ალგებრული განტოლებების ერთგვაროვანი სისტემის ამოხსნა გაუსის მეთოდი.

გადაწყვეტილება.

სისტემის მეორე და მესამე განტოლებიდან გამოვრიცხოთ უცნობი ცვლადი x. ამისათვის დაამატეთ პირველი განტოლების მარცხენა და მარჯვენა ნაწილები, შესაბამისად, მეორე განტოლების მარცხენა და მარჯვენა ნაწილებს, გამრავლებული ზე და მესამე განტოლების მარცხენა და მარჯვენა ნაწილებს, მარცხენა და მარჯვენა ნაწილებს. პირველი განტოლება, გამრავლებული:

ახლა ჩვენ გამოვრიცხავთ y-ს მიღებული განტოლებათა სისტემის მესამე განტოლებიდან:

მიღებული SLAE სისტემის ექვივალენტურია .

სისტემის განტოლებების მარცხენა მხარეს ვტოვებთ მხოლოდ x და y უცნობი ცვლადების შემცველ ტერმინებს, ხოლო ტერმინებს უცნობი ცვლადით z მარჯვენა მხარეს გადავცემთ:

ჩვენ ვაგრძელებთ ხაზოვანი განტოლების სისტემების განხილვას. ეს გაკვეთილი მესამეა თემაზე. თუ თქვენ გაქვთ ბუნდოვანი წარმოდგენა იმაზე, თუ რა არის ზოგადად წრფივი განტოლებების სისტემა, თავს ჩაიდანად გრძნობთ, მაშინ გირჩევთ დაიწყოთ შემდეგი გვერდიდან საფუძვლებით, სასარგებლოა გაკვეთილის შესწავლა.

გაუსის მეთოდი მარტივია!რატომ? ცნობილმა გერმანელმა მათემატიკოსმა იოჰან კარლ ფრიდრიხ გაუსმა სიცოცხლეშივე მიიღო აღიარება ყველა დროის უდიდეს მათემატიკოსად, გენიოსად და მეტსახელად კი „მათემატიკის მეფე“. და ყველაფერი გენიალური, როგორც მოგეხსენებათ, მარტივია!სხვათა შორის, ფულში არა მხოლოდ მწოვრები, არამედ გენიოსებიც ხვდებიან - გაუსის პორტრეტი ასახულია 10 გერმანული მარკის კუპიურაზე (ევროს შემოღებამდე), ხოლო გაუსი მაინც იდუმალ ეღიმება გერმანელებს ჩვეულებრივი საფოსტო მარკებიდან.

გაუსის მეთოდი მარტივია იმით, რომ საკმარისია მეხუთე კლასის მოსწავლის ცოდნა მის დასაუფლებლად. უნდა შეეძლოს დამატება და გამრავლება!შემთხვევითი არ არის, რომ უცნობების თანმიმდევრული აღმოფხვრის მეთოდს მასწავლებლები ხშირად განიხილავენ სკოლის მათემატიკური არჩევით გაკვეთილებზე. პარადოქსია, მაგრამ გაუსის მეთოდი უდიდეს სირთულეებს უქმნის სტუდენტებს. არაფერია გასაკვირი - ეს ყველაფერი მეთოდოლოგიას ეხება და ვეცდები ხელმისაწვდომი ფორმით გითხრათ მეთოდის ალგორითმის შესახებ.

პირველ რიგში, ჩვენ მცირედით სისტემატიზაციას ვუწევთ ცოდნას წრფივი განტოლებების სისტემების შესახებ. წრფივი განტოლებათა სისტემას შეუძლია:

1) გქონდეთ უნიკალური გადაწყვეტა. 2) აქვს უსაზღვროდ ბევრი გამოსავალი. 3) არ აქვს გადაწყვეტილებები (იყოს შეუთავსებელი).

გაუსის მეთოდი არის ყველაზე მძლავრი და მრავალმხრივი ინსტრუმენტი გამოსავლის მოსაძებნად ნებისმიერიწრფივი განტოლებათა სისტემები. როგორც გვახსოვს კრამერის წესი და მატრიცის მეთოდიისინი შეუფერებელია იმ შემთხვევებში, როდესაც სისტემას აქვს უსაზღვროდ ბევრი გამოსავალი ან არათანმიმდევრულია. უცნობების თანმიმდევრული აღმოფხვრის მეთოდი მაინცმიგვიყვანეთ პასუხამდე! ამ გაკვეთილზე კვლავ განვიხილავთ გაუსის მეთოდს No1 შემთხვევისთვის (სისტემის ერთადერთი გამოსავალი), სტატია დაცულია No2-3 პუნქტების სიტუაციებისთვის. აღვნიშნავ, რომ თავად მეთოდის ალგორითმი სამივე შემთხვევაში ერთნაირად მუშაობს.

გაკვეთილიდან უმარტივეს სისტემას დავუბრუნდეთ როგორ ამოხსნათ წრფივი განტოლებათა სისტემა?და ამოხსნას გაუსის მეთოდით.

პირველი ნაბიჯი არის დაწერა გაფართოებული მატრიცული სისტემა: . რა პრინციპით იწერება კოეფიციენტები, მგონი ყველა ხედავს. მატრიცის შიგნით ვერტიკალურ ხაზს არავითარი მათემატიკური მნიშვნელობა არ აქვს - ეს უბრალოდ გადაკვეთაა დიზაინის გასაადვილებლად.

მითითება : გირჩევთ გახსოვდეთ ვადები ხაზოვანი ალგებრა. სისტემის მატრიცა არის მატრიცა, რომელიც შედგება მხოლოდ უცნობის კოეფიციენტებისგან, ამ მაგალითში, სისტემის მატრიცა: . გაფართოებული სისტემის მატრიცა არის სისტემის იგივე მატრიცა პლუს თავისუფალი წევრების სვეტი, ამ შემთხვევაში: . ნებისმიერ მატრიცას მოკლედ შეიძლება ეწოდოს უბრალოდ მატრიცა.

სისტემის გაფართოებული მატრიცის დაწერის შემდეგ აუცილებელია მასთან რამდენიმე მოქმედების შესრულება, რომელსაც ასევე ე.წ. ელემენტარული გარდაქმნები.

არსებობს შემდეგი ელემენტარული გარდაქმნები:

1) სიმებიმატრიცები შეუძლია გადაწყობაადგილები. მაგალითად, განხილულ მატრიცაში შეგიძლიათ უსაფრთხოდ გადააწყოთ პირველი და მეორე რიგები:

2) თუ მატრიცაში არის (ან გამოჩნდა) პროპორციული (როგორც განსაკუთრებული შემთხვევა - იდენტური) რიგები, მაშინ ის მოჰყვება წაშლამატრიციდან, ყველა ეს მწკრივი ერთის გარდა. განვიხილოთ, მაგალითად, მატრიცა . ამ მატრიცაში ბოლო სამი მწკრივი პროპორციულია, ამიტომ საკმარისია მხოლოდ ერთი მათგანის დატოვება: .

3) თუ გარდაქმნების დროს მატრიცაში გაჩნდა ნულოვანი მწკრივი, მაშინ ის ასევე მოჰყვება წაშლა. მე არ დავხატავ, რა თქმა უნდა, ნულოვანი ხაზი არის ის ხაზი, რომელშიც მხოლოდ ნულები.

4) მატრიცის მწკრივი შეიძლება იყოს გამრავლება (გაყოფა)ნებისმიერი ნომრისთვის არანულოვანი. განვიხილოთ, მაგალითად, მატრიცა. აქ მიზანშეწონილია პირველი ხაზი გავყოთ -3-ზე, ხოლო მეორე ხაზი გავამრავლოთ 2-ზე: . ეს ქმედება ძალიან სასარგებლოა, რადგან ამარტივებს მატრიცის შემდგომ ტრანსფორმაციას.

5) ეს ტრანსფორმაცია იწვევს ყველაზე დიდ სირთულეებს, მაგრამ სინამდვილეში არც არაფერია რთული. მატრიცის მწკრივამდე შეგიძლიათ დაამატეთ კიდევ ერთი სტრიქონი, გამრავლებული რიცხვით, განსხვავდება ნულიდან. განვიხილოთ ჩვენი მატრიცა პრაქტიკული მაგალითიდან: . პირველ რიგში, მე დეტალურად აღვწერ ტრანსფორმაციას. გავამრავლოთ პირველი რიგი -2-ზე: , და მეორე სტრიქონს ვუმატებთ პირველ სტრიქონს -2-ზე გამრავლებულს: . ახლა პირველი ხაზი შეიძლება დაიყოს "უკან" -2-ზე: . როგორც ხედავთ, ხაზი, რომელიც დამატებულია LI – არ შეცვლილა. ყოველთვისხაზი შეიცვალა, რომელსაც დაემატა UT.

პრაქტიკაში, რა თქმა უნდა, ისინი არ ხატავენ ასე დეტალურად, მაგრამ წერენ მოკლედ: კიდევ ერთხელ: მეორე ხაზამდე დაამატა პირველი რიგი გამრავლებული -2-ზე. ხაზი ჩვეულებრივ მრავლდება ზეპირად ან მონახაზზე, ხოლო გამოთვლების გონებრივი კურსი დაახლოებით ასეთია:

”მე გადავწერ მატრიცას და თავიდან ვწერ პირველ რიგს: »

პირველი სვეტი ჯერ. ქვემოთ უნდა მივიღო ნული. ამიტომ, ზემოთ მოცემულ ერთეულს ვამრავლებ -2:-ზე და პირველს ვამატებ მეორე სტრიქონს: 2 + (-2) = 0. შედეგს მეორე სტრიქონში ვწერ: »

„ახლა მეორე სვეტი. ზემოთ -1-ჯერ -2: . პირველს ვამატებ მეორე სტრიქონს: 1 + 2 = 3. შედეგს მეორე სტრიქონს ვწერ: »

„და მესამე სვეტი. ზემოთ -5-ჯერ -2: . მეორე სტრიქონს ვამატებ პირველ სტრიქონს: -7 + 10 = 3. შედეგს მეორე სტრიქონში ვწერ: »

გთხოვთ, კარგად დაფიქრდეთ ამ მაგალითზე და გაიგოთ თანმიმდევრული გამოთვლის ალგორითმი, თუ ეს გესმით, მაშინ გაუსის მეთოდი პრაქტიკულად "ჯიბეშია". მაგრამ, რა თქმა უნდა, ჩვენ კვლავ ვმუშაობთ ამ ტრანსფორმაციაზე.

ელემენტარული გარდაქმნები არ ცვლის განტოლებათა სისტემის ამოხსნას

! ყურადღება: განიხილება მანიპულაციები ვერ გამოიყენებს, თუ შემოგთავაზებთ დავალებას, სადაც მატრიცები მოცემულია „თვითონ“. მაგალითად, "კლასიკით" მატრიცებიარავითარ შემთხვევაში არ უნდა გადააწყოთ რაიმე მატრიცების შიგნით! დავუბრუნდეთ ჩვენს სისტემას. ის პრაქტიკულად ნაწილებად არის გატეხილი.

მოდით დავწეროთ სისტემის გაძლიერებული მატრიცა და ელემენტარული გარდაქმნების გამოყენებით შევიყვანოთ იგი საფეხურიანი ხედი:

(1) პირველი რიგი დაემატა მეორე რიგს, გამრავლებული -2-ზე. და კიდევ: რატომ ვამრავლებთ პირველ მწკრივს -2-ზე? იმისათვის, რომ მივიღოთ ნული ბოლოში, რაც ნიშნავს მეორე სტრიქონში ერთი ცვლადის მოშორებას.

(2) გაყავით მეორე რიგი 3-ზე.

ელემენტარული გარდაქმნების მიზანი – გადაიყვანეთ მატრიცა ნაბიჯ ფორმაში: . დავალების შედგენისას ისინი პირდაპირ ხაზავენ "კიბეს" მარტივი ფანქრით და ასევე შემოხაზავენ იმ რიცხვებს, რომლებიც მდებარეობს "ნაბიჯებზე". თავად ტერმინი „საფეხურიანი ხედვა“ არ არის მთლად თეორიული, სამეცნიერო და საგანმანათლებლო ლიტერატურაში მას ხშირად უწოდებენ. ტრაპეციული ხედიან სამკუთხა ხედი.

ელემენტარული გარდაქმნების შედეგად მივიღეთ ექვივალენტიგანტოლების ორიგინალური სისტემა:

ახლა სისტემას სჭირდება საპირისპირო მიმართულებით „გადახვევა“ – ქვემოდან ზევით, ამ პროცესს ე.წ გაუსის საპირისპირო მეთოდი.

ქვედა განტოლებაში ჩვენ უკვე გვაქვს დასრულებული შედეგი: .

განვიხილოთ სისტემის პირველი განტოლება და ჩაანაცვლეთ მასში უკვე ცნობილი "y" მნიშვნელობა:

განვიხილოთ ყველაზე გავრცელებული სიტუაცია, როდესაც გაუსის მეთოდია საჭირო სამი უცნობის მქონე სამი წრფივი განტოლების სისტემის ამოსახსნელად.

მაგალითი 1

ამოხსენით განტოლებათა სისტემა გაუსის მეთოდით:

მოდით დავწეროთ სისტემის გაძლიერებული მატრიცა:

ახლა მე მაშინვე დავხატავ შედეგს, რომელსაც გადაწყვეტის პროცესში მივალთ: და ვიმეორებ, ჩვენი მიზანია მივიყვანოთ მატრიცა საფეხურზე ელემენტარული გარდაქმნების გამოყენებით. სად უნდა დაიწყოს მოქმედება?

პირველ რიგში, შეხედეთ ზედა მარცხენა ნომერს: თითქმის ყოველთვის აქ უნდა იყოს ერთეული. ზოგადად რომ ვთქვათ, -1 (და ზოგჯერ სხვა რიცხვები) ასევე ჯდება, მაგრამ რატომღაც ტრადიციულად ხდება, რომ ერთეული ჩვეულებრივ იქ არის განთავსებული. როგორ მოვაწყოთ ერთეული? ჩვენ ვუყურებთ პირველ სვეტს - ჩვენ გვაქვს დასრულებული ერთეული! ტრანსფორმაცია პირველი: შეცვალეთ პირველი და მესამე სტრიქონები:

ახლა პირველი ხაზი უცვლელი დარჩება ხსნარის დასრულებამდე. ახლა კარგად.

განყოფილება ზედა მარცხენა მხარეს არის ორგანიზებული. ახლა თქვენ უნდა მიიღოთ ნულები ამ ადგილებში:

ნულები მიიღება მხოლოდ "რთული" ტრანსფორმაციის დახმარებით. პირველ რიგში, საქმე გვაქვს მეორე ხაზთან (2, -1, 3, 13). რა უნდა გაკეთდეს პირველ პოზიციაზე ნულის მისაღებად? საჭიროება მეორე სტრიქონს დაამატეთ პირველი სტრიქონი გამრავლებული -2-ზე. გონებრივად ან მონახაზზე ვამრავლებთ პირველ სტრიქონს -2-ზე: (-2, -4, 2, -18). და ჩვენ თანმიმდევრულად ვახორციელებთ (ისევ გონებრივად ან პროექტზე) დამატებას, მეორე სტრიქონს ვამატებთ პირველ სტრიქონს, უკვე გამრავლებული -2-ზე:

შედეგი იწერება მეორე სტრიქონში:

ანალოგიურად, საქმე გვაქვს მესამე ხაზთან (3, 2, -5, -1). პირველ პოზიციაზე ნულის მისაღებად საჭიროა მესამე სტრიქონს დაამატეთ პირველი სტრიქონი გამრავლებული -3-ზე. გონებრივად ან მონახაზზე ვამრავლებთ პირველ სტრიქონს -3-ზე: (-3, -6, 3, -27). და მესამე სტრიქონს ვამატებთ პირველ სტრიქონს -3-ზე გამრავლებული:

შედეგი იწერება მესამე სტრიქონში:

პრაქტიკაში, ეს მოქმედებები ჩვეულებრივ შესრულებულია სიტყვიერად და იწერება ერთი ნაბიჯით:

არ არის საჭირო ყველაფრის დათვლა ერთდროულად და ერთდროულად. გამოთვლების თანმიმდევრობა და შედეგების „ჩასმა“. თანმიმდევრულიდა ჩვეულებრივ ასეა: ჯერ გადავწერთ პირველ სტრიქონს და ჩუმად ვიფუჭებით - თანმიმდევრულად და ყურადღებით:
და მე უკვე განვიხილეთ თავად გამოთვლების გონებრივი კურსი ზემოთ.

ამ მაგალითში ამის გაკეთება ადვილია, მეორე სტრიქონს ვყოფთ -5-ზე (რადგან ყველა რიცხვი იყოფა 5-ზე ნაშთის გარეშე). ამავდროულად, მესამე ხაზს ვყოფთ -2-ზე, რადგან რაც უფრო მცირეა რიცხვი, მით უფრო მარტივია გამოსავალი:

ელემენტარული გარდაქმნების დასკვნით ეტაპზე აქ უნდა მივიღოთ კიდევ ერთი ნული:

Ამისთვის მესამე სტრიქონს ვამატებთ მეორე ხაზს, გამრავლებული -2-ზე:
შეეცადეთ თავად გააანალიზოთ ეს მოქმედება - გონებრივად გაამრავლეთ მეორე ხაზი -2-ზე და განახორციელეთ შეკრება.

ბოლო შესრულებული მოქმედება არის შედეგის ვარცხნილობა, გაყავით მესამე ხაზი 3-ზე.

ელემენტარული გარდაქმნების შედეგად მიღებული იქნა წრფივი განტოლებების ეკვივალენტური საწყისი სისტემა: მაგარია.

ახლა ამოქმედდება გაუსის მეთოდის საპირისპირო კურსი. განტოლებები „იხსნება“ ქვემოდან ზევით.

მესამე განტოლებაში ჩვენ უკვე გვაქვს დასრულებული შედეგი:

ვნახოთ მეორე განტოლება: . "ზ"-ის მნიშვნელობა უკვე ცნობილია, ასე რომ:

და ბოლოს, პირველი განტოლება: . "Y" და "Z" ცნობილია, საქმე მცირეა:

უპასუხე:

როგორც არაერთხელ აღინიშნა, განტოლებათა ნებისმიერი სისტემისთვის შესაძლებელია და აუცილებელია ნაპოვნი ამოხსნის შემოწმება, საბედნიეროდ, ეს არ არის რთული და სწრაფი.

მაგალითი 2

ეს არის მაგალითი თვითგამორკვევისთვის, დასრულების ნიმუში და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს.

უნდა აღინიშნოს, რომ თქვენი მოქმედების კურსიშეიძლება არ ემთხვეოდეს ჩემს მოქმედებებს, და ეს არის გაუსის მეთოდის თავისებურება. მაგრამ პასუხები იგივე უნდა იყოს!

მაგალითი 3

ამოხსენით წრფივი განტოლებათა სისტემა გაუსის მეთოდით

ჩვენ ვუყურებთ ზედა მარცხენა "ნაბიჯს". იქ უნდა გვქონდეს ერთეული. პრობლემა ისაა, რომ პირველ სვეტში საერთოდ არავინ არის, ასე რომ რიგების გადალაგებით ვერაფერი გადაწყდება. ასეთ შემთხვევებში, დანაყოფი უნდა იყოს ორგანიზებული ელემენტარული ტრანსფორმაციის გამოყენებით. ეს ჩვეულებრივ შეიძლება გაკეთდეს რამდენიმე გზით. მე გავაკეთე ეს: (1) პირველ სტრიქონს ვამატებთ მეორე სტრიქონს, გამრავლებული -1-ზე. ანუ გონებრივად გავამრავლეთ მეორე სტრიქონი -1-ზე და შევასრულეთ პირველი და მეორე სტრიქონების შეკრება, ხოლო მეორე სტრიქონი არ შეცვლილა.

ახლა ზედა მარცხნივ "მინუს ერთი", რომელიც მშვენივრად გვერგება. ვისაც სურს მიიღოს +1, შეუძლია შეასრულოს დამატებითი ჟესტი: გაამრავლოს პირველი ხაზი -1-ზე (შეცვალეთ მისი ნიშანი).

(2) 5-ზე გამრავლებული პირველი რიგი დაემატა მეორე რიგს.პირველი მწკრივი გამრავლებული 3-ზე დაემატა მესამე მწკრივს.

(3) პირველი ხაზი გამრავლდა -1-ზე, პრინციპში, ეს არის სილამაზისთვის. შეიცვალა მესამე ხაზის ნიშანიც და გადავიდა მეორე ადგილზე, რითაც მეორე „საფეხურზე გვქონდა სასურველი ერთეული.

(4) მეორე სტრიქონი გამრავლებული 2-ზე დაემატა მესამე სტრიქონს.

(5) მესამე რიგი იყოფა 3-ზე.

ცუდი ნიშანი, რომელიც მიუთითებს გაანგარიშების შეცდომაზე (ნაკლებად ხშირად ბეჭდვითი შეცდომა) არის "ცუდი" ქვედა ხაზი. ანუ, თუ მივიღეთ მსგავსი რამ ქვემოთ და, შესაბამისად, , მაშინ დიდი ალბათობით შეიძლება ითქვას, რომ შეცდომა დაშვებულია ელემენტარული გარდაქმნების დროს.

ჩვენ ვამუხტავთ საპირისპირო სვლას, მაგალითების დიზაინში, თავად სისტემა ხშირად არ იწერება და განტოლებები "მიღებულია პირდაპირ მოცემული მატრიციდან". საპირისპირო მოძრაობა, შეგახსენებთ, მუშაობს ქვემოდან ზევით. დიახ, აქ არის საჩუქარი:

უპასუხე: .

მაგალითი 4

ამოხსენით წრფივი განტოლებათა სისტემა გაუსის მეთოდით

ეს არის მაგალითი დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის, ის გარკვეულწილად უფრო რთულია. კარგია, თუ ვინმე დაიბნევა. სრული გადაწყვეტა და დიზაინის ნიმუში გაკვეთილის ბოლოს. შენი გამოსავალი შეიძლება განსხვავდებოდეს ჩემისგან.

ბოლო ნაწილში განვიხილავთ გაუსის ალგორითმის ზოგიერთ მახასიათებელს. პირველი თვისება ის არის, რომ ზოგჯერ ზოგიერთი ცვლადი აკლია სისტემის განტოლებებს, მაგალითად: როგორ სწორად დავწეროთ სისტემის გაძლიერებული მატრიცა? ამ მომენტზე უკვე ვისაუბრე გაკვეთილზე. კრამერის წესი. მატრიცული მეთოდი. სისტემის გაფართოებულ მატრიცაში გამოტოვებული ცვლადების ნაცვლად ნულებს ვათავსებთ: სხვათა შორის, ეს საკმაოდ მარტივი მაგალითია, რადგან პირველ სვეტში უკვე არის ერთი ნული და ნაკლები ელემენტარული გარდაქმნებია შესასრულებელი.

მეორე თვისება არის ეს. ყველა განხილულ მაგალითში ჩვენ დავაყენეთ ან –1 ან +1 „საფეხურებზე“. სხვა ნომრები შეიძლება იყოს? ზოგიერთ შემთხვევაში მათ შეუძლიათ. განვიხილოთ სისტემა: .

აქ ზედა მარცხენა "საფეხურზე" გვაქვს დუი. მაგრამ ჩვენ ვამჩნევთ იმ ფაქტს, რომ პირველი სვეტის ყველა რიცხვი იყოფა 2-ზე ნაშთის გარეშე - და კიდევ ორზე და ექვსზე. და ზედა მარცხნივ დუსი მოგვწონს! პირველ საფეხურზე თქვენ უნდა შეასრულოთ შემდეგი გარდაქმნები: მეორე სტრიქონს დაუმატეთ პირველი სტრიქონი -1-ზე გამრავლებული; მესამე სტრიქონს დაამატეთ პირველი სტრიქონი გამრავლებული -3-ზე. ამრიგად, პირველ სვეტში მივიღებთ სასურველ ნულებს.

ან კიდევ ერთი ჰიპოთეტური მაგალითი: . აი, მეორე „საფეხურზე“ სამეულიც გვიწყობს, ვინაიდან 12 (ადგილი, სადაც უნდა მივიღოთ ნული) ნაშთის გარეშე იყოფა 3-ზე. აუცილებელია შემდეგი ტრანსფორმაციის განხორციელება: მესამე სტრიქონს დავუმატოთ მეორე სტრიქონი, გამრავლებული -4-ზე, რის შედეგადაც მიიღება ჩვენთვის საჭირო ნული.

გაუსის მეთოდი უნივერსალურია, მაგრამ არის ერთი თავისებურება. თქვენ შეგიძლიათ თავდაჯერებულად ისწავლოთ როგორ ამოხსნათ სისტემები სხვა მეთოდებით (კრამერის მეთოდი, მატრიცის მეთოდი) სიტყვასიტყვით პირველად - არსებობს ძალიან ხისტი ალგორითმი. მაგრამ იმისთვის, რომ გაუსის მეთოდში თავდაჯერებულად იგრძნოთ თავი, უნდა „გაავსოთ ხელი“ და გადაჭრათ მინიმუმ 5-10 ათი სისტემა. ამიტომ, თავიდან შეიძლება იყოს დაბნეულობა, შეცდომები გამოთვლებში და ამაში არაფერია უჩვეულო ან ტრაგიკული.

წვიმიანი შემოდგომის ამინდი ფანჯრის მიღმა .... ამიტომ, ყველასთვის, უფრო რთული მაგალითი დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის:

მაგალითი 5

ამოხსენით 4 წრფივი განტოლების სისტემა ოთხი უცნობით გაუსის მეთოდით.

პრაქტიკაში ასეთი დავალება არც ისე იშვიათია. ვფიქრობ, ჩაიდანსაც კი, რომელმაც ეს გვერდი დეტალურად შეისწავლა, ესმის ასეთი სისტემის ინტუიციურად გადაჭრის ალგორითმი. ძირითადად იგივე - უბრალოდ მეტი მოქმედება.

გაკვეთილზე განიხილება შემთხვევები, როდესაც სისტემას არ აქვს ამონახსნები (არათანმიმდევრული) ან აქვს უსაზღვროდ ბევრი გამოსავალი. შეუთავსებელი სისტემები და სისტემები საერთო გადაწყვეტით. აქ შეგიძლიათ დააფიქსიროთ გაუსის მეთოდის განხილული ალგორითმი.

Წარმატებას გისურვებ!

გადაწყვეტილებები და პასუხები:

მაგალითი 2: გადაწყვეტილება : მოდით ჩამოვწეროთ სისტემის გაფართოებული მატრიცა და ელემენტარული გარდაქმნების გამოყენებით მივიყვანოთ იგი საფეხურზე.
შეასრულა ელემენტარული გარდაქმნები: (1) პირველი რიგი დაემატა მეორე რიგს, გამრავლებული -2-ზე. პირველი ხაზი დაემატა მესამე სტრიქონს, გამრავლებული -1-ზე. ყურადღება! აქ შეიძლება მაცდური იყოს პირველის გამოკლება მესამე სტრიქონიდან, კატეგორიულად არ გირჩევთ გამოკლებას - შეცდომის რისკი საგრძნობლად იზრდება. ჩვენ უბრალოდ ვკეცავთ! (2) შეიცვალა მეორე ხაზის ნიშანი (გამრავლებული -1-ზე). მეორე და მესამე ხაზი გაცვალეს. შენიშვნა რომ „საფეხურებზე“ ვკმაყოფილდებით არა მხოლოდ ერთით, არამედ -1-ითაც, რაც კიდევ უფრო მოსახერხებელია. (3) მესამე სტრიქონს დაამატეთ მეორე სტრიქონი, გამრავლებული 5-ზე. (4) შეიცვალა მეორე ხაზის ნიშანი (გამრავლებული -1-ზე). მესამე ხაზი იყოფა 14-ზე.

საპირისპირო მოძრაობა:

უპასუხე : .

მაგალითი 4: გადაწყვეტილება : ჩვენ ვწერთ სისტემის გაფართოებულ მატრიცას და ელემენტარული გარდაქმნების გამოყენებით მივყავართ მას საფეხურზე:

შესრულებული კონვერტაციები: (1) მეორე სტრიქონი დაემატა პირველ სტრიქონს. ამრიგად, სასურველი ერთეული ორგანიზებულია ზედა მარცხენა "ნაბიჯზე". (2) 7-ზე გამრავლებული პირველი მწკრივი დაემატა მეორე რიგს.პირველი 6-ზე გამრავლებული მესამე მწკრივს.

მეორე „ნაბიჯით“ ყველაფერი უარესია , მასზე "კანდიდატი" არის ნომრები 17 და 23 და გვჭირდება ან ერთი ან -1. ტრანსფორმაციები (3) და (4) მიმართული იქნება სასურველი ერთეულის მისაღებად (3) მესამე სტრიქონს დაემატა მეორე სტრიქონი, გამრავლებული -1-ზე. (4) მესამე სტრიქონი, გამრავლებული -3-ზე, დაემატა მეორე სტრიქონს. მეორე საფეხურზე საჭირო ნივთი მიღებულია . (5) მესამე სტრიქონს დაემატა მეორე, გამრავლებული 6-ზე. (6) მეორე რიგი გამრავლდა -1-ზე, მესამე მწკრივი იყოფა -83-ზე.

საპირისპირო მოძრაობა:

უპასუხე :

მაგალითი 5: გადაწყვეტილება : მოდით ჩამოვწეროთ სისტემის მატრიცა და ელემენტარული გარდაქმნების გამოყენებით მივიყვანოთ იგი ეტაპობრივ ფორმამდე:

შესრულებული კონვერტაციები: (1) პირველი და მეორე სტრიქონები შეიცვალა. (2) პირველი რიგი დაემატა მეორე რიგს, გამრავლებული -2-ზე. პირველი ხაზი დაემატა მესამე სტრიქონს, გამრავლებული -2-ზე. პირველი ხაზი დაემატა მეოთხე სტრიქონს, გამრავლებული -3-ზე. (3) მესამე სტრიქონს დაემატა 4-ზე გამრავლებული მეორე სტრიქონი, მეოთხე სტრიქონს დაემატა -1-ზე გამრავლებული მეორე სტრიქონი. (4) მეორე ხაზის ნიშანი შეიცვალა. მეოთხე ხაზი იყოფა 3-ზე და მოთავსდა მესამე ხაზის ნაცვლად. (5) მეოთხე სტრიქონს დაემატა მესამე სტრიქონი, გამრავლებული -5-ზე.

საპირისპირო მოძრაობა:

უპასუხე :

ნება მიეცეს წრფივი ალგებრული განტოლებათა სისტემა, რომელიც უნდა ამოხსნას (იპოვეთ хi უცნობის ისეთი მნიშვნელობები, რომლებიც სისტემის თითოეულ განტოლებას ტოლობაში აქცევს).

ჩვენ ვიცით, რომ წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემას შეუძლია:

1) არ აქვს გადაწყვეტილებები (იყოს შეუთავსებელი).
2) აქვს უსაზღვროდ ბევრი გამოსავალი.
3) გქონდეთ უნიკალური გადაწყვეტა.

როგორც გვახსოვს, კრამერის წესი და მატრიცის მეთოდი შეუფერებელია იმ შემთხვევებში, როდესაც სისტემას აქვს უსაზღვროდ ბევრი გამოსავალი ან არათანმიმდევრულია. გაუსის მეთოდი – ყველაზე მძლავრი და მრავალმხრივი ინსტრუმენტი ნებისმიერი წრფივი განტოლების სისტემის ამოხსნის საპოვნელად, რომელიც ყოველ შემთხვევაშიმიგვიყვანეთ პასუხამდე! მეთოდის ალგორითმი სამივე შემთხვევაში ერთნაირად მუშაობს. თუ კრამერის და მატრიცული მეთოდები მოითხოვს დეტერმინანტების ცოდნას, მაშინ გაუსის მეთოდის გამოყენება მოითხოვს მხოლოდ არითმეტიკული მოქმედებების ცოდნას, რაც მას ხელმისაწვდომს ხდის დაწყებითი სკოლის მოსწავლეებისთვისაც კი.

გაფართოებული მატრიცის გარდაქმნები ( ეს არის სისტემის მატრიცა - მატრიცა, რომელიც შედგება მხოლოდ უცნობის კოეფიციენტებისგან, პლუს თავისუფალი ტერმინების სვეტი)წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემები გაუსის მეთოდით:

1) თან ტროკიმატრიცები შეუძლია გადაწყობაადგილები.

2) თუ მატრიცაში არის (ან არის) პროპორციული (როგორც განსაკუთრებული შემთხვევა - იდენტური) რიგები, მაშინ ის მოჰყვება წაშლამატრიციდან, ყველა ეს მწკრივი ერთის გარდა.

3) თუ გარდაქმნების დროს მატრიცაში გამოჩნდა ნულოვანი მწკრივი, მაშინ ის ასევე მოჰყვება წაშლა.

4) მატრიცის მწკრივი შეიძლება გამრავლება (გაყოფა)ნულის გარდა ნებისმიერ რიცხვზე.

5) მატრიცის მწკრივამდე შეგიძლიათ დაამატეთ კიდევ ერთი სტრიქონი, გამრავლებული რიცხვით, განსხვავდება ნულიდან.

გაუსის მეთოდში ელემენტარული გარდაქმნები არ ცვლის განტოლებათა სისტემის ამონახსანს.

გაუსის მეთოდი შედგება ორი ეტაპისგან:

1. "პირდაპირი მოძრაობა" - ელემენტარული გარდაქმნების გამოყენებით, მიიტანეთ წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემის გაფართოებული მატრიცა "სამკუთხა" საფეხურზე: ძირითადი დიაგონალის ქვემოთ მდებარე გაფართოებული მატრიცის ელემენტები ტოლია ნულის ტოლი (ზემოდან ქვევით გადაადგილება). ). მაგალითად, ამ ტიპის:

ამისათვის შეასრულეთ შემდეგი ნაბიჯები:

1) განვიხილოთ წრფივი ალგებრული განტოლებათა სისტემის პირველი განტოლება და კოეფიციენტი x 1-ზე უდრის K. მეორე, მესამე და ა.შ. განტოლებებს ვაფორმებთ შემდეგნაირად: თითოეულ განტოლებას ვყოფთ (კოეფიციენტები უცნობისთვის, თავისუფალი ტერმინების ჩათვლით) უცნობი x 1-ის კოეფიციენტზე, რომელიც არის თითოეულ განტოლებაში და ვამრავლებთ K-ზე. ამის შემდეგ, პირველს გამოვაკლებთ მეორე განტოლებას ( კოეფიციენტები უცნობი და თავისუფალი ტერმინებისთვის). მეორე განტოლებაში x 1-ზე ვიღებთ კოეფიციენტს 0. მესამე გარდაქმნილ განტოლებას გამოვაკლებთ პირველ განტოლებას, ასე რომ სანამ ყველა განტოლებას, გარდა პირველისა, x 1 უცნობის მქონე არ ექნება კოეფიციენტი 0.

2) გადადით შემდეგ განტოლებაზე. მოდით ეს იყოს მეორე განტოლება და კოეფიციენტი x 2-ზე უდრის M-ს. ყველა "ქვემდებარე" განტოლებით ვაგრძელებთ ზემოთ აღწერილი განტოლების მოქმედებას. ამრიგად, უცნობის ქვეშ x 2 ყველა განტოლებაში იქნება ნული.

3) გადავდივართ შემდეგ განტოლებაზე და ასე ვაგრძელებთ, სანამ არ დარჩება ბოლო უცნობი და გარდაქმნილი თავისუფალი წევრი.

1. გაუსის მეთოდის „უკუ სვლა“ არის წრფივი ალგებრული განტოლებათა სისტემის ამოხსნის მიღება (სვლა „ქვემოდან ზევით“). ბოლო "ქვედა" განტოლებიდან ვიღებთ ერთ პირველ ამონახსანს - უცნობი x n. ამისათვის ჩვენ ვხსნით ელემენტარულ განტოლებას A * x n \u003d B. ზემოთ მოცემულ მაგალითში x 3 \u003d 4. ჩვენ ვცვლით ნაპოვნი მნიშვნელობას "ზედა" შემდეგ განტოლებაში და ვხსნით მას შემდეგი უცნობის მიმართ. მაგალითად, x 2 - 4 \u003d 1, ე.ი. x 2 \u003d 5. და ასე შემდეგ სანამ არ ვიპოვით ყველა უცნობს.

მაგალითი.

ჩვენ ვხსნით წრფივი განტოლებების სისტემას გაუსის მეთოდით, როგორც ზოგიერთი ავტორი გვირჩევს:

ჩვენ ვწერთ სისტემის გაფართოებულ მატრიცას და ელემენტარული გარდაქმნების გამოყენებით მივყავართ მას საფეხურზე:

ჩვენ ვუყურებთ ზედა მარცხენა "ნაბიჯს". იქ უნდა გვქონდეს ერთეული. პრობლემა ისაა, რომ პირველ სვეტში საერთოდ არავინ არის, ასე რომ რიგების გადალაგებით ვერაფერი გადაწყდება. ასეთ შემთხვევებში, დანაყოფი უნდა იყოს ორგანიზებული ელემენტარული ტრანსფორმაციის გამოყენებით. ეს ჩვეულებრივ შეიძლება გაკეთდეს რამდენიმე გზით. მოდით გავაკეთოთ ეს ასე:
1 ნაბიჯი . პირველ სტრიქონს ვამატებთ მეორე სტრიქონს, გამრავლებული -1-ზე. ანუ გონებრივად გავამრავლეთ მეორე სტრიქონი -1-ზე და შევასრულეთ პირველი და მეორე სტრიქონების შეკრება, ხოლო მეორე სტრიქონი არ შეცვლილა.

ახლა ზედა მარცხნივ "მინუს ერთი", რომელიც მშვენივრად გვერგება. ვისაც უნდა მიიღოს +1, შეუძლია შეასრულოს დამატებითი მოქმედება: გაამრავლოს პირველი ხაზი -1-ზე (შეცვალოს მისი ნიშანი).

2 ნაბიჯი . მეორე სტრიქონს დაემატა 5-ზე გამრავლებული პირველი სტრიქონი, მესამე სტრიქონს დაემატა 3-ზე გამრავლებული პირველი სტრიქონი.

3 ნაბიჯი . პირველი ხაზი გამრავლდა -1-ზე, პრინციპში ეს სილამაზისთვისაა. შეიცვალა მესამე ხაზის ნიშანიც და გადავიდა მეორე ადგილზე, რითაც მეორე „საფეხურზე გვქონდა სასურველი ერთეული.

4 ნაბიჯი . მესამე სტრიქონს დაამატეთ მეორე სტრიქონი, გამრავლებული 2-ზე.

5 ნაბიჯი . მესამე ხაზი იყოფა 3-ზე.

ნიშანი, რომელიც მიუთითებს გამოთვლების შეცდომაზე (ნაკლებად ხშირად ბეჭდვითი შეცდომა) არის "ცუდი" ქვედა ხაზი. ანუ, თუ ქვემოთ მივიღებთ რაღაცას (0 0 11 | 23) და, შესაბამისად, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, მაშინ დიდი ალბათობით შეგვიძლია ვთქვათ, რომ შეცდომა დაშვებულია ელემენტარულ პერიოდში. გარდაქმნები.

ჩვენ ვასრულებთ საპირისპირო მოძრაობას, მაგალითების დიზაინში, თავად სისტემა ხშირად არ იწერება და განტოლებები "მიღებულია უშუალოდ მოცემული მატრიციდან". საპირისპირო მოძრაობა, შეგახსენებთ, მუშაობს "ქვემოდან ზემოდან". ამ მაგალითში საჩუქარი აღმოჩნდა:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 - x 3 \u003d 1, შესაბამისად x 1 + 3 - 1 \u003d 1, x 1 \u003d -1

უპასუხე:x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 3, x 3 \u003d 1.

მოდით გადავჭრათ იგივე სისტემა შემოთავაზებული ალგორითმის გამოყენებით. ვიღებთ

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

მეორე განტოლება გავყოთ 5-ზე და მესამე 3-ზე. მივიღებთ:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

გავამრავლოთ მეორე და მესამე განტოლება 4-ზე, მივიღებთ:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

გამოვაკლოთ პირველი განტოლება მეორე და მესამე განტოლებებს, გვაქვს:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

მესამე განტოლება გავყოთ 0,64-ზე:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

გავამრავლოთ მესამე განტოლება 0.4-ზე

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

გამოვაკლოთ მეორე განტოლება მესამე განტოლებას, მივიღებთ "ნაბიჯ" გაძლიერებულ მატრიცას:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

ამრიგად, მას შემდეგ, რაც გამოთვლების პროცესში დაგროვდა შეცდომა, ვიღებთ x 3 \u003d 0.96, ან დაახლოებით 1.

x 2 \u003d 3 და x 1 \u003d -1.

ამგვარად ამოხსნით, არასოდეს დაიბნევით გამოთვლებში და, მიუხედავად გაანგარიშების შეცდომებისა, მიიღებთ შედეგს.

ხაზოვანი ალგებრული განტოლებების სისტემის ამოხსნის ეს მეთოდი ადვილად პროგრამირებადია და არ ითვალისწინებს უცნობის კოეფიციენტების სპეციფიკურ მახასიათებლებს, რადგან პრაქტიკაში (ეკონომიკურ და ტექნიკურ გამოთვლებში) საქმე გვაქვს არა მთელი რიცხვების კოეფიციენტებთან.

Წარმატებას გისურვებ! შევხვდებით კლასში! დამრიგებელი.

blog.site, მასალის სრული ან ნაწილობრივი კოპირებით, საჭიროა წყაროს ბმული.

მე-16-18 საუკუნეების დასაწყისიდან მათემატიკოსებმა ინტენსიურად დაიწყეს ფუნქციების შესწავლა, რომლის წყალობითაც ძალიან ბევრი რამ შეიცვალა ჩვენს ცხოვრებაში. კომპიუტერული ტექნოლოგია ამ ცოდნის გარეშე უბრალოდ არ იარსებებს. რთული ამოცანების, წრფივი განტოლებებისა და ფუნქციების გადასაჭრელად შეიქმნა სხვადასხვა ცნებები, თეორემები და ამოხსნის ტექნიკა. წრფივი განტოლებების და მათი სისტემების ამოხსნის ერთ-ერთი ასეთი უნივერსალური და რაციონალური მეთოდი და ტექნიკა იყო გაუსის მეთოდი. მატრიცები, მათი წოდება, განმსაზღვრელი - ყველაფრის გამოთვლა შესაძლებელია რთული ოპერაციების გამოყენების გარეშე.

რა არის SLAU

მათემატიკაში არსებობს ცნება SLAE - წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემა. რას წარმოადგენს იგი? ეს არის m განტოლებათა კომპლექტი საჭირო n უცნობით, ჩვეულებრივ აღინიშნება x, y, z ან x 1, x 2 ... x n ან სხვა სიმბოლოებით. ამ სისტემის ამოხსნა გაუსის მეთოდით ნიშნავს ყველა უცნობი უცნობის პოვნას. თუ სისტემას აქვს იგივე რაოდენობის უცნობი და განტოლება, მაშინ მას უწოდებენ n-ე რიგის სისტემას.

SLAE გადაჭრის ყველაზე პოპულარული მეთოდები

საშუალო განათლების საგანმანათლებლო დაწესებულებებში სწავლობენ ასეთი სისტემების გადაჭრის სხვადასხვა მეთოდებს. ყველაზე ხშირად, ეს არის მარტივი განტოლებები, რომლებიც შედგება ორი უცნობისგან, ამიტომ მათზე პასუხის პოვნის ნებისმიერ არსებულ მეთოდს დიდი დრო არ დასჭირდება. ეს შეიძლება იყოს ჩანაცვლების მეთოდის მსგავსი, როდესაც სხვა განტოლება მიღებულია ერთი განტოლებიდან და ჩანაცვლებულია თავდაპირველში. ან ვადით გამოკლება და დამატება. მაგრამ გაუსის მეთოდი ითვლება ყველაზე იოლი და უნივერსალური. ეს შესაძლებელს ხდის განტოლებების ამოხსნას ნებისმიერი რაოდენობის უცნობით. რატომ ითვლება ეს ტექნიკა რაციონალურად? ყველაფერი მარტივია. მატრიცული მეთოდი კარგია, რადგან მას არ სჭირდება რამდენჯერმე გადაწერა არასაჭირო სიმბოლოები უცნობის სახით, საკმარისია არითმეტიკული მოქმედებების გაკეთება კოეფიციენტებზე - და მიიღებთ საიმედო შედეგს.

სად გამოიყენება SLAE პრაქტიკაში?

SLAE-ის ამოხსნა არის ხაზების გადაკვეთის წერტილები ფუნქციების გრაფიკებზე. ჩვენს მაღალტექნოლოგიურ კომპიუტერულ ეპოქაში, ადამიანებმა, რომლებიც მჭიდროდ არიან ჩართულნი თამაშებისა და სხვა პროგრამების შემუშავებაში, უნდა იცოდნენ, როგორ გადაჭრან ასეთი სისტემები, რას წარმოადგენენ ისინი და როგორ შეამოწმონ მიღებული შედეგის სისწორე. ყველაზე ხშირად, პროგრამისტები ავითარებენ სპეციალურ ხაზოვან ალგებრის კალკულატორებს, ეს მოიცავს ხაზოვანი განტოლების სისტემას. გაუსის მეთოდი საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ ყველა არსებული ამოხსნა. ასევე გამოიყენება სხვა გამარტივებული ფორმულები და ტექნიკა.

SLAE თავსებადობის კრიტერიუმი

ასეთი სისტემის გადაჭრა შესაძლებელია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ის თავსებადია. სიცხადისთვის წარმოგიდგენთ SLAE-ს სახით Ax=b. მას აქვს ამონახსნი, თუ რანგი (A) უდრის რანგს (A,b). ამ შემთხვევაში, (A,b) არის გაფართოებული ფორმის მატრიცა, რომელიც შეიძლება მივიღოთ A მატრიციდან მისი თავისუფალი ტერმინებით გადაწერით. გამოდის, რომ გაუსის მეთოდით წრფივი განტოლებების ამოხსნა საკმაოდ მარტივია.

შესაძლოა, ზოგიერთი აღნიშვნა ბოლომდე გასაგები არ არის, ამიტომ აუცილებელია ყველაფრის მაგალითით განხილვა. ვთქვათ არსებობს სისტემა: x+y=1; 2x-3y=6. იგი შედგება მხოლოდ ორი განტოლებისგან, რომელშიც არის 2 უცნობი. სისტემას ექნება გამოსავალი მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მისი მატრიცის რანგი უდრის გაზრდილი მატრიცის რანგის. რა არის წოდება? ეს არის სისტემის დამოუკიდებელი ხაზების რაოდენობა. ჩვენს შემთხვევაში, მატრიცის რანგია 2. მატრიცა A შედგება უცნობის მახლობლად მდებარე კოეფიციენტებისგან, ხოლო "=" ნიშნის უკან კოეფიციენტები ასევე მოერგება გაფართოებულ მატრიცას.

რატომ შეიძლება SLAE იყოს წარმოდგენილი მატრიცის სახით

დადასტურებული კრონეკერ-კაპელის თეორემის მიხედვით თავსებადობის კრიტერიუმზე დაყრდნობით, წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემა შეიძლება წარმოდგენილი იყოს მატრიცის სახით. გაუსის კასკადის მეთოდის გამოყენებით შეგიძლიათ ამოხსნათ მატრიცა და მიიღოთ ერთადერთი საიმედო პასუხი მთელი სისტემისთვის. თუ ჩვეულებრივი მატრიცის წოდება უდრის მისი გაფართოებული მატრიცის წოდებას, მაგრამ ნაკლებია უცნობის რაოდენობაზე, მაშინ სისტემას აქვს უსასრულო რაოდენობის პასუხები.

მატრიცის გარდაქმნები

სანამ მატრიცების ამოხსნაზე გადავიდოდეთ, საჭიროა ვიცოდეთ, რა მოქმედებები შეიძლება შესრულდეს მათ ელემენტებზე. არსებობს რამდენიმე ელემენტარული ტრანსფორმაცია:

• სისტემის მატრიცულ ფორმაში გადაწერით და მისი ამოხსნის განხორციელებით შესაძლებელია სერიის ყველა ელემენტის ერთი და იგივე კოეფიციენტით გამრავლება.
• მატრიცის კანონიკურ ფორმად გადაქცევის მიზნით, შესაძლებელია ორი პარალელური მწკრივის შეცვლა. კანონიკური ფორმა გულისხმობს, რომ მატრიცის ყველა ელემენტი, რომლებიც განლაგებულია მთავარი დიაგონალის გასწვრივ, ხდება ერთი, ხოლო დანარჩენი - ნულები.
• მატრიცის პარალელური რიგების შესაბამისი ელემენტები შეიძლება დაემატოს ერთმანეთს.

ჟორდანი-გაუსის მეთოდი

გაუსის მეთოდით წრფივი ერთგვაროვანი და არაერთგვაროვანი განტოლებების სისტემების ამოხსნის არსი არის უცნობების თანდათანობით აღმოფხვრა. ვთქვათ, გვაქვს ორი განტოლების სისტემა, რომელშიც არის ორი უცნობი. მათი მოსაძებნად, თქვენ უნდა შეამოწმოთ სისტემა თავსებადობისთვის. გაუსის განტოლება ამოხსნილია ძალიან მარტივად. აუცილებელია თითოეული უცნობის მახლობლად მდებარე კოეფიციენტების ჩაწერა მატრიცის სახით. სისტემის გადასაჭრელად, თქვენ უნდა ჩამოწეროთ გაძლიერებული მატრიცა. თუ ერთ-ერთი განტოლება შეიცავს უცნობის უფრო მცირე რაოდენობას, მაშინ გამოტოვებული ელემენტის ნაცვლად უნდა დაიდოს "0". მატრიცაზე გამოიყენება ტრანსფორმაციის ყველა ცნობილი მეთოდი: გამრავლება, რიცხვზე გაყოფა, მწკრივების შესაბამისი ელემენტების ერთმანეთთან დამატება და სხვა. გამოდის, რომ თითოეულ მწკრივში აუცილებელია ერთი ცვლადის დატოვება მნიშვნელობით "1", დანარჩენი უნდა დაიწიოს ნულამდე. უფრო ზუსტი გაგებისთვის აუცილებელია გაუსის მეთოდის გათვალისწინება მაგალითებით.

2x2 სისტემის ამოხსნის მარტივი მაგალითი

დასაწყისისთვის, ავიღოთ ალგებრული განტოლებების მარტივი სისტემა, რომელშიც იქნება 2 უცნობი.

მოდით გადავიწეროთ ის გაფართოებულ მატრიცაში.

ამ წრფივი განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად საჭიროა მხოლოდ ორი ოპერაცია. ჩვენ უნდა მივიყვანოთ მატრიცა კანონიკურ ფორმამდე ისე, რომ იყოს ერთეულები მთავარი დიაგონალის გასწვრივ. ასე რომ, მატრიცული ფორმიდან სისტემაში გადათარგმნით, ვიღებთ განტოლებებს: 1x+0y=b1 და 0x+1y=b2, სადაც b1 და b2 არის ამოხსნის პროცესში მიღებული პასუხები.

1. გაზრდილი მატრიცის ამოხსნის პირველი ნაბიჯი იქნება შემდეგი: პირველი მწკრივი უნდა გამრავლდეს -7-ზე და შესაბამისი ელემენტები დაემატოს შესაბამისად მეორე რიგს, რათა მეორე განტოლებაში ერთი უცნობი მოვიშოროთ.
2. ვინაიდან გაუსის მეთოდით განტოლებების ამოხსნა გულისხმობს მატრიცის კანონიკურ ფორმამდე მიყვანას, მაშინ აუცილებელია იგივე მოქმედებების გაკეთება პირველი განტოლებით და მეორე ცვლადის ამოღება. ამისთვის პირველს გამოვაკლებთ მეორე სტრიქონს და ვიღებთ საჭირო პასუხს - SLAE-ის ამოხსნას. ან, როგორც ნახატზეა ნაჩვენები, მეორე მწკრივს ვამრავლებთ -1-ზე და ვამატებთ მეორე რიგის ელემენტებს პირველ რიგში. ეს იგივეა.

როგორც ხედავთ, ჩვენი სისტემა იხსნება ჟორდანი-გაუსის მეთოდით. გადავიწერთ საჭირო ფორმით: x=-5, y=7.

SLAE 3x3 ამოხსნის მაგალითი

დავუშვათ, გვაქვს წრფივი განტოლებათა უფრო რთული სისტემა. გაუსის მეთოდი შესაძლებელს ხდის პასუხის გამოთვლას ყველაზე ერთი შეხედვით დამაბნეველი სისტემისთვისაც კი. ამიტომ, იმისათვის, რომ უფრო ღრმად ჩავუღრმავდეთ გამოთვლის მეთოდოლოგიას, შეგვიძლია გადავიდეთ უფრო რთულ მაგალითზე სამი უცნობით.

როგორც წინა მაგალითში, ჩვენ გადავწერთ სისტემას გაფართოებული მატრიცის სახით და ვიწყებთ მის კანონიკურ ფორმაში მიყვანას.

ამ სისტემის გადასაჭრელად მოგიწევთ გაცილებით მეტი მოქმედების შესრულება, ვიდრე წინა მაგალითში.

1. ჯერ პირველ სვეტში უნდა გააკეთოთ ერთი ელემენტი და დანარჩენი ნულები. ამისათვის გაამრავლეთ პირველი განტოლება -1-ზე და დაამატეთ მას მეორე განტოლება. მნიშვნელოვანია გვახსოვდეს, რომ ჩვენ გადავწერთ პირველ სტრიქონს თავდაპირველი სახით, ხოლო მეორე - უკვე შეცვლილი ფორმით.
2. შემდეგი, მესამე განტოლებიდან ჩვენ ვხსნით იგივე პირველ უცნობს. ამისთვის ვამრავლებთ პირველი რიგის ელემენტებს -2-ზე და ვამატებთ მესამე რიგს. ახლა პირველი და მეორე სტრიქონები გადაწერილია თავდაპირველი სახით, ხოლო მესამე - უკვე ცვლილებებით. როგორც შედეგიდან ხედავთ, პირველი მივიღეთ მატრიცის მთავარი დიაგონალის დასაწყისში, დანარჩენი კი ნულებია. კიდევ რამდენიმე მოქმედება და გაუსის მეთოდით განტოლებების სისტემა საიმედოდ გადაიჭრება.
3. ახლა თქვენ უნდა გააკეთოთ ოპერაციები რიგების სხვა ელემენტებზე. მესამე და მეოთხე ნაბიჯები შეიძლება გაერთიანდეს ერთში. მეორე და მესამე სტრიქონები უნდა გავყოთ -1-ზე, რათა თავი დავაღწიოთ ნეგატივს დიაგონალზე. ჩვენ უკვე მივიტანეთ მესამე ხაზი საჭირო ფორმამდე.
4. შემდეგი, ჩვენ ვახდენთ მეორე სტრიქონის კანონიზაციას. ამისთვის ვამრავლებთ მესამე რიგის ელემენტებს -3-ზე და ვამატებთ მატრიცის მეორე ხაზს. შედეგიდან ჩანს, რომ მეორე სტრიქონიც დაყვანილია ჩვენთვის საჭირო ფორმამდე. რჩება კიდევ რამდენიმე ოპერაციის გაკეთება და პირველი რიგიდან უცნობის კოეფიციენტების ამოღება.
5. რიგის მეორე ელემენტიდან 0 რომ გააკეთოთ, მესამე მწკრივი უნდა გაამრავლოთ -3-ზე და დაამატოთ პირველ რიგში.
6. შემდეგი გადამწყვეტი ნაბიჯი არის მეორე რიგის საჭირო ელემენტების პირველ რიგში დამატება. ასე რომ, ჩვენ ვიღებთ მატრიცის კანონიკურ ფორმას და, შესაბამისად, პასუხს.

როგორც ხედავთ, გაუსის მეთოდით განტოლებების ამოხსნა საკმაოდ მარტივია.

4x4 განტოლებათა სისტემის ამოხსნის მაგალითი

განტოლების ზოგიერთი უფრო რთული სისტემის ამოხსნა შესაძლებელია გაუსის მეთოდით კომპიუტერული პროგრამების გამოყენებით. აუცილებელია კოეფიციენტების გადატანა უცნობებისთვის არსებულ ცარიელ უჯრედებში და პროგრამა ეტაპობრივად გამოთვლის საჭირო შედეგს და დეტალურად აღწერს თითოეულ მოქმედებას.

ასეთი მაგალითის გადაჭრის ნაბიჯ-ნაბიჯ ინსტრუქციები აღწერილია ქვემოთ.

პირველ ეტაპზე, უფასო კოეფიციენტები და რიცხვები უცნობისთვის შეყვანილია ცარიელ უჯრედებში. ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ იგივე გაძლიერებულ მატრიცას, რომელსაც ხელით ვწერთ.

და ყველა საჭირო არითმეტიკული ოპერაცია შესრულებულია გაფართოებული მატრიცის კანონიკურ ფორმამდე მისასვლელად. უნდა გვესმოდეს, რომ განტოლებათა სისტემის პასუხი ყოველთვის არ არის მთელი რიცხვები. ზოგჯერ ამონახსნი შეიძლება იყოს წილადი რიცხვებიდან.

ხსნარის სისწორის შემოწმება

ჟორდანი-გაუსის მეთოდი ითვალისწინებს შედეგის სისწორის შემოწმებას. იმისათვის, რომ გაარკვიოთ, სწორად არის თუ არა გამოთვლილი კოეფიციენტები, თქვენ უბრალოდ უნდა ჩაანაცვლოთ შედეგი განტოლების თავდაპირველ სისტემაში. განტოლების მარცხენა მხარე უნდა ემთხვეოდეს მარჯვენა მხარეს, რომელიც არის ტოლობის ნიშნის უკან. თუ პასუხები არ ემთხვევა, მაშინ უნდა გადათვალოთ სისტემა ან სცადოთ გამოიყენოთ თქვენთვის ცნობილი SLAE-ის ამოხსნის სხვა მეთოდი, როგორიცაა ჩანაცვლება ან ტერმინით გამოკლება და დამატება. ყოველივე ამის შემდეგ, მათემატიკა არის მეცნიერება, რომელსაც აქვს გადაჭრის უამრავი სხვადასხვა მეთოდი. მაგრამ დაიმახსოვრე: შედეგი ყოველთვის უნდა იყოს იგივე, არ აქვს მნიშვნელობა რა გადაწყვეტის მეთოდს იყენებდი.

გაუსის მეთოდი: ყველაზე გავრცელებული შეცდომები SLAE-ს ამოხსნისას

განტოლებათა წრფივი სისტემების ამოხსნისას ყველაზე ხშირად ჩნდება შეცდომები, როგორიცაა კოეფიციენტების არასწორი გადატანა მატრიცულ ფორმაში. არის სისტემები, რომლებშიც ზოგიერთი უცნობი აკლია ერთ-ერთ განტოლებას, შემდეგ, მონაცემების გაფართოებულ მატრიცაში გადატანისას, ისინი შეიძლება დაიკარგოს. შედეგად, ამ სისტემის გადაჭრისას შედეგი შეიძლება არ შეესაბამებოდეს რეალურს.

კიდევ ერთი მთავარი შეცდომა შეიძლება იყოს საბოლოო შედეგის არასწორი ჩაწერა. ნათლად უნდა გვესმოდეს, რომ პირველი კოეფიციენტი შეესაბამება სისტემიდან პირველ უცნობს, მეორე - მეორეს და ა.შ.

გაუსის მეთოდი დეტალურად აღწერს წრფივი განტოლებების ამოხსნას. მისი წყალობით ადვილია საჭირო ოპერაციების შესრულება და სწორი შედეგის პოვნა. გარდა ამისა, ეს არის უნივერსალური ინსტრუმენტი ნებისმიერი სირთულის განტოლებებზე საიმედო პასუხის საპოვნელად. შესაძლოა ამიტომაა, რომ ის ასე ხშირად გამოიყენება SLAE-ს გადასაჭრელად.