სადაც x* - არაჰომოგენური სისტემის ერთ-ერთი გამოსავალი (2) (მაგალითად (4)), (E−A + A)ქმნის მატრიცის ბირთვს (ნულოვანი სივრცე). ა.

მოდით გავაკეთოთ მატრიცის ჩონჩხის დაშლა (E−A + A):

E−A + A=Q S

სადაც ქ n×n−r- რანგის მატრიცა (Q)=n−r, ს n−r×n- რანგის მატრიცა (S)=n−r.

შემდეგ (13) შეიძლება ჩაიწეროს შემდეგი ფორმით:

x=x*+Qk, ∀ კ ∈ რ ნ-რ .

სადაც k=Sz.

Ისე, გადაწყვეტის ზოგადი პროცედურაფსევდოინვერსიული მატრიცის გამოყენებით წრფივი განტოლებების სისტემები შეიძლება წარმოდგენილი იყოს შემდეგი სახით:

1. გამოთვალეთ ფსევდოინვერსიული მატრიცა ა + .
2. ჩვენ ვიანგარიშებთ წრფივი განტოლებების არაერთგვაროვანი სისტემის კონკრეტულ ამონახსანს (2): x*=ა + ბ.
3. ჩვენ ვამოწმებთ სისტემის თავსებადობას. ამისათვის ჩვენ ვიანგარიშებთ აა + ბ. Თუ აა + ბ≠ბ, მაშინ სისტემა არათანმიმდევრულია. წინააღმდეგ შემთხვევაში ვაგრძელებთ პროცედურას.
4. vyssylyaem E−A+A.
5. აკეთებს ჩონჩხის დაშლას E−A + A=Q·S.
6. გადაწყვეტის აგება

x=x*+Qk, ∀ კ ∈ რ ნ-რ .

ონლაინ წრფივი განტოლებების სისტემის ამოხსნა

ონლაინ კალკულატორი საშუალებას გაძლევთ იპოვოთ წრფივი განტოლებათა სისტემის ზოგადი ამოხსნა დეტალური ახსნა-განმარტებით.

წრფივი ასაკობრივი განტოლებების სისტემის (SLAE) გამოკვლევა თავსებადობისთვის ნიშნავს იმის გარკვევას, აქვს თუ არა ამ სისტემას ამონახსნები. კარგად, თუ არსებობს გადაწყვეტილებები, მაშინ მიუთითეთ რამდენი მათგანი.

დაგვჭირდება ინფორმაცია თემიდან "წრფივი ალგებრული განტოლებათა სისტემა. ძირითადი ტერმინები. მატრიცული აღნიშვნა". კერძოდ, საჭიროა ისეთი ცნებები, როგორიცაა სისტემის მატრიცა და სისტემის გაფართოებული მატრიცა, ვინაიდან მათზეა დაფუძნებული კრონეკერ-კაპელის თეორემის ფორმულირება. როგორც ყოველთვის, სისტემის მატრიცა აღინიშნა ასო $A$-ით, ხოლო სისტემის გაფართოებული მატრიცა $\widetilde(A)$ ასოთი.

კრონეკერ-კაპელის თეორემა

წრფივი ალგებრული განტოლებათა სისტემა თანმიმდევრულია, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ სისტემის მატრიცის რანგი უდრის სისტემის გაფართოებული მატრიცის რანგს, ე.ი. $\rank A=\rang\widetilde(A)$.

შეგახსენებთ, რომ სისტემას ეწოდება ერთობლივი, თუ მას აქვს მინიმუმ ერთი გამოსავალი. კრონეკერ-კაპელის თეორემა ასე ამბობს: თუ $\rang A=\rang\widetilde(A)$, მაშინ არის გამოსავალი; თუ $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$, მაშინ ამ SLAE-ს არ აქვს გადაწყვეტილებები (არათანმიმდევრულია). ამ ამონახსნების რაოდენობის შესახებ კითხვაზე პასუხი მოცემულია კრონეკერ-კაპელის თეორემის დასკვნაში. დასკვნის დებულებაში გამოყენებულია ასო $n$, რომელიც უდრის მოცემულ SLAE-ში ცვლადების რაოდენობას.

დასკვნა კრონეკერ-კაპელის თეორემიდან

1. თუ $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$, მაშინ SLAE არათანმიმდევრულია (არ აქვს გადაწყვეტილებები).
2. თუ $\rang A=\rang\widetilde(A)< n$, то СЛАУ является неопределённой (имеет бесконечное количество решений).
3. თუ $\rang A=\rang\widetilde(A) = n$, მაშინ SLAE არის გარკვეული (მას აქვს ზუსტად ერთი გამოსავალი).

გაითვალისწინეთ, რომ ჩამოყალიბებული თეორემა და მისი დასკვნა არ მიუთითებს იმაზე, თუ როგორ უნდა ვიპოვოთ გამოსავალი SLAE-ზე. მათი დახმარებით შეგიძლიათ მხოლოდ გაარკვიოთ, არსებობს თუ არა ეს გადაწყვეტილებები და არსებობს თუ არა, მაშინ რამდენი.

მაგალითი #1

გამოიკვლიეთ SLAE $ \მარცხნივ \(\ დასაწყისი (გასწორებული) & -3x_1+9x_2-7x_3=17;\\ & -x_1+2x_2-4x_3=9;\\ & 4x_1-2x_2+19x_3=-42. \end (გასწორებული )\right.$ თანმიმდევრულობისთვის თუ SLAE თანმიმდევრულია, მიუთითეთ ამონახსნების რაოდენობა.

მოცემული SLAE-ის ამონახსნების არსებობის გასარკვევად ვიყენებთ კრონეკერ-კაპელის თეორემას. ჩვენ გვჭირდება $A$ სისტემის მატრიცა და $\widetilde(A)$ სისტემის გაფართოებული მატრიცა, ჩავწერთ მათ:

$$ A=\left(\begin(მასივი) (cccc) -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \end(მაივი) \მარჯვნივ);\; \widetilde(A)=\left(\ დასაწყისი(მასივი) (ccc|c) -3 & 9 &-7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9\\ 4 & -2 & 19 & -42 \end(მასივი)\მარჯვნივ). $$

ჩვენ უნდა ვიპოვოთ $\rang A$ და $\rang\widetilde(A)$. ამის გაკეთების მრავალი გზა არსებობს, რომელთაგან ზოგიერთი ჩამოთვლილია განყოფილებაში Matrix Rank. ასეთი სისტემების შესასწავლად ჩვეულებრივ გამოიყენება ორი მეთოდი: „მატრიცის რანგის გამოთვლა განმარტებით“ ან „მატრიცის რანგის გამოთვლა ელემენტარული გარდაქმნების მეთოდით“.

მეთოდი ნომერი 1. წოდებების გაანგარიშება განმარტებით.

განმარტების მიხედვით, წოდება არის მატრიცის მცირერიცხოვანთა უმაღლესი რიგი, რომელთა შორის არის მინიმუმ ერთი, გარდა ნულისა. როგორც წესი, სწავლა იწყება პირველი რიგის მცირეწლოვანებით, მაგრამ აქ უფრო მოსახერხებელია დაუყოვნებლივ გადავიდეთ $A$ მატრიცის მესამე რიგის მინორის გაანგარიშებაზე. მესამე რიგის მინორის ელემენტები განხილული მატრიცის სამი მწკრივისა და სამი სვეტის კვეთაზეა. ვინაიდან $A$ მატრიცა შეიცავს მხოლოდ 3 სტრიქონს და 3 სვეტს, $A$ მატრიცის მესამე რიგის მინორი არის $A$ მატრიცის განმსაზღვრელი, ე.ი. $\DeltaA$. დეტერმინანტის გამოსათვლელად ვიყენებთ No2 ფორმულას თემიდან „მეორე და მესამე რიგის დეტერმინანტების გამოთვლის ფორმულები“:

$$ \დელტა A=\მარცხნივ| \begin(მაივი) (ccc) -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \end(მაივი) \მარჯვნივ|=-21. $$

ასე რომ, არის $A$ მატრიცის მესამე რიგის მინორი, რომელიც არ არის ნულის ტოლი. მე-4 რიგის მინორის შედგენა შეუძლებელია, რადგან მას სჭირდება 4 მწკრივი და 4 სვეტი, ხოლო $A$ მატრიცას აქვს მხოლოდ 3 მწკრივი და 3 სვეტი. ასე რომ, $A$ მატრიცის მინორების უმაღლესი რიგი, რომელთა შორის არის სულ მცირე ერთი არანულოვანი ერთი, უდრის 3-ს. შესაბამისად, $\rang A=3$.

ჩვენ ასევე უნდა ვიპოვოთ $\rang\widetilde(A)$. მოდით შევხედოთ $\widetilde(A)$ მატრიცის სტრუქტურას. $\widetilde(A)$ მატრიცის ხაზამდე არის $A$ მატრიცის ელემენტები და ჩვენ გავარკვიეთ, რომ $\Delta A\neq 0$. ამრიგად, $\widetilde(A)$ მატრიცას აქვს მესამე რიგის მინორი, რომელიც არ არის ნულის ტოლი. ჩვენ არ შეგვიძლია შევადგინოთ $\widetilde(A)$ მატრიცის მეოთხე რიგის მცირე რაოდენობა, ამიტომ დავასკვნათ: $\rang\widetilde(A)=3$.

ვინაიდან $\rang A=\rang\widetilde(A)$, კრონეკერ-კაპელის თეორემის მიხედვით, სისტემა თანმიმდევრულია, ე.ი. აქვს გამოსავალი (ერთი მაინც). გადაწყვეტილებების რაოდენობის აღსანიშნავად, ჩვენ გავითვალისწინებთ, რომ ჩვენი SLAE შეიცავს 3 უცნობს: $x_1$, $x_2$ და $x_3$. ვინაიდან უცნობის რიცხვი არის $n=3$, ვასკვნით: $\rang A=\rang\widetilde(A)=n$, შესაბამისად, კრონეკერ-კაპელის თეორემის დასკვნის მიხედვით, სისტემა განსაზღვრულია, ე.ი. აქვს უნიკალური გადაწყვეტა.

პრობლემა მოგვარებულია. რა არის ამ მეთოდის უარყოფითი მხარეები და უპირატესობები? პირველ რიგში, მოდით ვისაუბროთ უპირატესობებზე. პირველ რიგში, მხოლოდ ერთი განმსაზღვრელი უნდა გვეპოვა. ამის შემდეგ, ჩვენ დაუყოვნებლივ გავაკეთეთ დასკვნა გადაწყვეტილებების რაოდენობის შესახებ. ჩვეულებრივ, სტანდარტულ ტიპურ გამოთვლებში მოცემულია განტოლებების სისტემები, რომლებიც შეიცავს სამ უცნობს და აქვთ ერთი ამონახსნი. ასეთი სისტემებისთვის ეს მეთოდი ძალიან მოსახერხებელია, რადგან წინასწარ ვიცით, რომ არსებობს გამოსავალი (თორემ ტიპიურ გაანგარიშებაში მაგალითი არ იქნებოდა). იმათ. ჩვენ მხოლოდ უნდა ვაჩვენოთ გამოსავლის არსებობა უსწრაფესი გზით. მეორეც, სისტემის მატრიცის განმსაზღვრელი გამოთვლილი მნიშვნელობა (ანუ $\Delta A$) გამოდგება მოგვიანებით: როდესაც დავიწყებთ მოცემული სისტემის ამოხსნას კრამერის მეთოდით ან ინვერსიული მატრიცის გამოყენებით.

თუმცა, განსაზღვრებით, რანგის გამოთვლის მეთოდი არასასურველია, თუ $A$ სისტემის მატრიცა მართკუთხაა. ამ შემთხვევაში უკეთესია მეორე მეთოდის გამოყენება, რომელიც ქვემოთ იქნება განხილული. გარდა ამისა, თუ $\Delta A=0$, მაშინ ჩვენ ვერაფერს ვიტყვით მოცემული არაჰომოგენური SLAE ამონახსნების რაოდენობაზე. შესაძლოა SLAE-ს აქვს უსასრულო რაოდენობის გადაწყვეტილებები, ან შესაძლოა არცერთი. თუ $\Delta A=0$, მაშინ საჭიროა დამატებითი კვლევა, რომელიც ხშირად რთულია.

ნათქვამის შეჯამებით, აღვნიშნავ, რომ პირველი მეთოდი კარგია იმ SLAE-ებისთვის, რომელთა სისტემის მატრიცა არის კვადრატული. ამავდროულად, თავად SLAE შეიცავს სამ ან ოთხ უცნობს და აღებულია სტანდარტული სტანდარტული გამოთვლებიდან ან საკონტროლო სამუშაოებიდან.

მეთოდი ნომერი 2. წოდების გამოთვლა ელემენტარული გარდაქმნების მეთოდით.

ეს მეთოდი დეტალურად არის აღწერილი შესაბამის თემაში. ჩვენ გამოვთვლით $\widetilde(A)$ მატრიცის რანგს. რატომ $\widetilde(A)$ მატრიცები და არა $A$? საქმე იმაშია, რომ $A$ მატრიცა $\widetilde(A)$ მატრიცის ნაწილია, ამიტომ $\widetilde(A)$ მატრიცის რანგის გამოთვლით ერთდროულად ვიპოვით $A$ მატრიცის რანგს. .

\begin(გასწორებული) &\widetilde(A) =\left(\begin(მასივი) (ccc|c) -3 & 9 &-7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9\\ 4 & - 2 & 19 & -42 \end(მასივი) \მარჯვნივ) \rightarrow \მარცხნივ|\ტექსტი(პირველი და მეორე სტრიქონების შეცვლა)\მარჯვნივ| \rightarrow \\ &\rightarrow \left(\ დასაწყისი(მასივი) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ -3 & 9 &-7 & 17\\ 4 & -2 & 19 & - 42 \end(მასივი) \მარჯვნივ) \დაწყება(მასივი) (l) \phantom(0) \\ II-3\cdot I\\ III+4\cdot I \ბოლო(მასივი) \მარჯვნივ arrow \მარცხნივ(\ დასაწყისი (მასივი) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 6 & 3 & -6 \end (მაივი) \მარჯვნივ) \ დასაწყისი (მასივი) ( l) \phantom(0) \\ \phantom(0)\\ III-2\cdot II \end(მასივი)\rightarrow\\ &\rightarrow \left(\begin(მასივი) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 0 & -7 & 14 \end(მასივი) \მარჯვნივ) \end (გასწორებული)

ჩვენ შევამცირეთ $\widetilde(A)$ მატრიცა ტრაპეციულ ფორმამდე. მიღებული მატრიცის მთავარ დიაგონალზე $\left(\begin(მასივი) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 0 & -7 & 14 \end( მასივი) \right)$ შეიცავს სამ არანულოვან ელემენტს: -1, 3 და -7. დასკვნა: $\widetilde(A)$ მატრიცის რანგი არის 3, ე.ი. $\rank\widetilde(A)=3$. გარდაქმნების გაკეთებისას $\widetilde(A)$ მატრიცის ელემენტებით, ჩვენ ერთდროულად გადავიყვანეთ $A$ მატრიცის ელემენტები, რომლებიც მდებარეობს ხაზის წინ. $A$ მატრიცა ასევე არის ტრაპეციული: $\left(\begin(მასივი) (cccc) -1 & 2 & -4 \\ 0 & 3 &5 \\ 0 & 0 & -7 \end(მაივი) \right ) $. დასკვნა: $A$ მატრიცის რანგი ასევე უდრის 3-ს, ე.ი. $\რანგი A=3$.

ვინაიდან $\rang A=\rang\widetilde(A)$, კრონეკერ-კაპელის თეორემის მიხედვით, სისტემა თანმიმდევრულია, ე.ი. აქვს გამოსავალი. გადაწყვეტილებების რაოდენობის აღსანიშნავად, ჩვენ გავითვალისწინებთ, რომ ჩვენი SLAE შეიცავს 3 უცნობს: $x_1$, $x_2$ და $x_3$. ვინაიდან უცნობის რაოდენობაა $n=3$, ვასკვნით: $\rang A=\rang\widetilde(A)=n$, შესაბამისად, კრონეკერ-კაპელის თეორემის დასკვნის მიხედვით, სისტემა განისაზღვრება, ე.ი. აქვს უნიკალური გადაწყვეტა.

რა უპირატესობა აქვს მეორე მეთოდს? მთავარი უპირატესობა მისი მრავალფეროვნებაა. ჩვენთვის არ აქვს მნიშვნელობა სისტემის მატრიცა კვადრატულია თუ არა. გარდა ამისა, ჩვენ რეალურად განვახორციელეთ გაუსის მეთოდის ტრანსფორმაციები წინ. დარჩენილია მხოლოდ რამდენიმე ნაბიჯი და ჩვენ შეგვიძლია მივიღოთ ამ SLAE-ს გადაწყვეტა. მართალი გითხრათ, მეორე გზა უფრო მომწონს, ვიდრე პირველი, მაგრამ არჩევანი გემოვნების საკითხია.

უპასუხე: მოცემული SLAE არის თანმიმდევრული და განსაზღვრული.

მაგალითი #2

გამოიკვლიეთ SLAE $ \left\( \ დასაწყისი (გასწორებული) & x_1-x_2+2x_3=-1;\\ & -x_1+2x_2-3x_3=3;\\ & 2x_1-x_2+3x_3=2;\\ & 3x_1- 2x_2+5x_3=1;\\ & 2x_1-3x_2+5x_3=-4.\end(გასწორებული) \right.$ თავსებადობისთვის.

ელემენტარული გარდაქმნების მეთოდით ვიპოვით სისტემის მატრიცის და სისტემის გაფართოებულ მატრიცას. გაფართოებული სისტემის მატრიცა: $\widetilde(A)=\left(\begin(მასივი) (ccc|c) 1 & -1 & 2 & -1\\ -1 & 2 & -3 & 3 \\ 2 & -1 & 3 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 1 \\ 2 & -3 & 5 & -4 \end(მასივი) \მარჯვნივ)$. მოდი ვიპოვოთ საჭირო წოდებები სისტემის გაძლიერებული მატრიცის გარდაქმნით:

სისტემის გაფართოებული მატრიცა დაყვანილია საფეხურზე. თუ მატრიცა მცირდება საფეხურზე, მაშინ მისი წოდება უდრის არანულოვანი რიგების რაოდენობას. ამიტომ, $\რანგი A=3$. $A$ მატრიცა (ხაზამდე) მცირდება ტრაპეციულ ფორმამდე და მისი რანგი უდრის 2, $\rang A=2$.

ვინაიდან $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$, მაშინ, კრონეკერ-კაპელის თეორემის მიხედვით, სისტემა არათანმიმდევრულია (ანუ არ აქვს ამონახსნები).

უპასუხე: სისტემა არათანმიმდევრულია.

მაგალითი #3

გამოიკვლიეთ SLAE $ \მარცხნივ\( \ დასაწყისი (გასწორებული) & 2x_1+7x_3-5x_4+11x_5=42;\\ & x_1-2x_2+3x_3+2x_5=17;\\ & -3x_1+9x_2-11x_3-7x_5=- ;\\ & -5x_1+17x_2-16x_3-5x_4-4x_5=-90;\\ & 7x_1-17x_2+23x_3+15x_5=132. \end(გასწორებული) \მარჯვნივ.$ თავსებადობისთვის.

გაფართოებული სისტემის მატრიცაა: $\widetilde(A)=\left(\begin(მასივი) (ccccc|c) 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42\\ 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17 \\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64 \\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \end(მასივი)\მარჯვნივ)$. შეცვალეთ ამ მატრიცის პირველი და მეორე რიგები ისე, რომ პირველი რიგის პირველი ელემენტი იყოს ერთი: $\left(\begin(მაივი) (ccccc|c) 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\\ 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42 \\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64 \\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \end(მასივი) \მარჯვნივ)$.

ჩვენ შევამცირეთ სისტემის გაფართოებული მატრიცა და თავად სისტემის მატრიცა ტრაპეციულ ფორმამდე. სისტემის გაფართოებული მატრიცის რანგი უდრის სამს, სისტემის მატრიცის რანგიც უდრის სამს. ვინაიდან სისტემა შეიცავს $n=5$ უცნობებს, ე.ი. $\rang\widetilde(A)=\რანგი A< n$, то согласно следствия из теоремы Кронекера-Капелли данная система является неопределённой, т.е. имеет бесконечное количество решений.

უპასუხე: სისტემა განუსაზღვრელია.

მეორე ნაწილში ჩვენ გავაანალიზებთ მაგალითებს, რომლებიც ხშირად შედის სტანდარტულ გამოთვლებში ან ტესტებში უმაღლეს მათემატიკაში: თავსებადობის შესწავლა და SLAE ამოხსნა, მასში შემავალი პარამეტრების მნიშვნელობიდან გამომდინარე.

ჩვენ ვაგრძელებთ წრფივი განტოლებების სისტემებს. ჯერჯერობით განვიხილეთ სისტემები, რომლებსაც აქვთ უნიკალური გადაწყვეტა. ასეთი სისტემები შეიძლება გადაწყდეს ნებისმიერი გზით: ჩანაცვლების მეთოდი("სკოლა") კრამერის ფორმულებით, მატრიცული მეთოდით, გაუსის მეთოდი. თუმცა, პრაქტიკაში კიდევ ორი ​​შემთხვევაა გავრცელებული, როდესაც:

1) სისტემა არათანმიმდევრულია (არ აქვს გადაწყვეტილებები);

2) სისტემას აქვს უსაზღვროდ ბევრი გამოსავალი.

ამ სისტემებისთვის გამოიყენება გადაწყვეტის ყველა მეთოდიდან ყველაზე უნივერსალური - გაუსის მეთოდი. ფაქტობრივად, „სკოლის“ მეთოდიც მიგვიყვანს პასუხამდე, მაგრამ უმაღლეს მათემატიკაში მიღებულია უცნობების თანმიმდევრული აღმოფხვრის გაუსის მეთოდის გამოყენება. ვინც არ იცნობს გაუსის მეთოდის ალგორითმს, გთხოვთ, ჯერ გაკვეთილი შეისწავლოთ გაუსის მეთოდი

თავად ელემენტარული მატრიცის გარდაქმნები ზუსტად იგივეა, განსხვავება იქნება ამოხსნის ბოლოს. პირველი, განიხილეთ რამდენიმე მაგალითი, სადაც სისტემას არ აქვს გადაწყვეტილებები (არათანმიმდევრული).

მაგალითი 1

რა იპყრობს თქვენს თვალს ამ სისტემაში? განტოლებათა რაოდენობა ცვლადების რაოდენობაზე ნაკლებია. არის თეორემა, რომელიც ამბობს: „თუ სისტემაში განტოლებათა რაოდენობა ცვლადების რაოდენობაზე ნაკლებია, მაშინ სისტემა ან არათანმიმდევრულია ან აქვს უსაზღვროდ ბევრი გამოსავალი.და ეს რჩება მხოლოდ გასარკვევად.

ამოხსნის დასაწყისი საკმაოდ ჩვეულებრივია - ჩვენ ვწერთ სისტემის გაფართოებულ მატრიცას და ელემენტარული გარდაქმნების გამოყენებით მივყავართ მას ეტაპობრივ ფორმამდე:

(ერთი). მარცხენა ზედა საფეხურზე უნდა მივიღოთ (+1) ან (-1). პირველ სვეტში ასეთი რიცხვები არ არის, ამიტომ რიგების გადაწყობა არ იმუშავებს. დანაყოფი დამოუკიდებლად უნდა იყოს ორგანიზებული და ეს შეიძლება გაკეთდეს რამდენიმე გზით. ჩვენ ასე მოვიქეცით. პირველ სტრიქონს ვამატებთ მესამე სტრიქონს, გამრავლებული (-1-ზე).

(2). ახლა ჩვენ ვიღებთ ორ ნულს პირველ სვეტში. მეორე სტრიქონს დაუმატეთ პირველი სტრიქონი, გამრავლებული 3-ზე, მესამე სტრიქონს დაამატეთ პირველი, გამრავლებული 5-ზე.

(3). ტრანსფორმაციის დასრულების შემდეგ, ყოველთვის მიზანშეწონილია ნახოთ, შესაძლებელია თუ არა მიღებული სიმების გამარტივება? შეუძლია. მეორე ხაზს ვყოფთ 2-ზე, ამავდროულად მეორე საფეხურზე ვიღებთ სასურველს (-1). მესამე ხაზი გავყოთ (-3-ზე).

(4). დაამატეთ მეორე ხაზი მესამე ხაზს. ალბათ, ყველამ ყურადღება მიაქცია ცუდ ხაზს, რომელიც ელემენტარული გარდაქმნების შედეგად აღმოჩნდა:

. გასაგებია, რომ ასე არ შეიძლება.

მართლაც, ჩვენ ხელახლა ვწერთ მიღებულ მატრიცას

დაუბრუნდით წრფივი განტოლებების სისტემას:

თუ ელემენტარული გარდაქმნების შედეგად ფორმის სტრიქონი , სადλ არის არანულოვანი რიცხვი, მაშინ სისტემა არათანმიმდევრულია (არ აქვს ამონახსნები).

როგორ ჩავწეროთ დავალების დასასრული? თქვენ უნდა დაწეროთ ფრაზა:

„ელემენტარული გარდაქმნების შედეგად მიიღება ფორმის სტრიქონი, სადაც λ ≠ 0 ". პასუხი: "სისტემას არ აქვს გადაწყვეტილებები (არათანმიმდევრული)."

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ ამ შემთხვევაში არ არსებობს გაუსის ალგორითმის საპირისპირო მოძრაობა, არ არსებობს გადაწყვეტილებები და უბრალოდ არაფერია მოსაძებნი.

მაგალითი 2

ამოხსენით წრფივი განტოლებათა სისტემა

ეს არის საკუთარი თავის მაგალითი. სრული ამოხსნა და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს.

კიდევ ერთხელ შეგახსენებთ, რომ თქვენი გადაწყვეტილების პროცესი შეიძლება განსხვავდებოდეს ჩვენი გადაწყვეტილების პროცესისგან, გაუსის მეთოდი არ ადგენს ცალსახა ალგორითმს, თქვენ თავად უნდა გამოიცნოთ პროცედურა და მოქმედებები თითოეულ შემთხვევაში.

გადაწყვეტის კიდევ ერთი ტექნიკური მახასიათებელი: ელემენტარული გარდაქმნები შეიძლება შეჩერდეს ერთბაშად, როგორც კი ხაზი მოსწონს , სად λ ≠ 0 . განვიხილოთ პირობითი მაგალითი: დავუშვათ, რომ პირველი ტრანსფორმაციის შემდეგ მივიღებთ მატრიცას

.

ეს მატრიცა ჯერ არ არის დაყვანილი საფეხურზე, მაგრამ არ არის საჭირო დამატებითი ელემენტარული გარდაქმნები, რადგან გაჩნდა ფორმის ხაზი, სადაც λ ≠ 0 . დაუყოვნებლივ უნდა უპასუხოს, რომ სისტემა შეუთავსებელია.

როდესაც წრფივი განტოლებების სისტემას არ აქვს ამონახსნები, ეს თითქმის საჩუქარია სტუდენტისთვის, იმის გამო, რომ მიიღება მოკლე ამონახსნები, ზოგჯერ ფაქტიურად 2-3 ნაბიჯში. მაგრამ ამ სამყაროში ყველაფერი დაბალანსებულია და პრობლემა, რომელშიც სისტემას უსაზღვროდ ბევრი გამოსავალი აქვს, უფრო გრძელია.

მაგალითი 3:

ამოხსენით წრფივი განტოლებათა სისტემა

არსებობს 4 განტოლება და 4 უცნობი, ასე რომ სისტემას შეიძლება ჰქონდეს ერთი ამონახსნები, ან არ ჰქონდეს ამონახსნები, ან ჰქონდეს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა. რაც არ უნდა იყო, მაგრამ გაუსის მეთოდი ნებისმიერ შემთხვევაში მიგვიყვანს პასუხამდე. ეს არის მისი მრავალფეროვნება.

დასაწყისი ისევ სტანდარტულია. ჩვენ ვწერთ სისტემის გაფართოებულ მატრიცას და ელემენტარული გარდაქმნების გამოყენებით მივყავართ მას საფეხურზე:

სულ ესაა და გეშინოდა.

(ერთი). გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ პირველი სვეტის ყველა რიცხვი იყოფა 2-ზე, ამიტომ ორი ასევე კარგია მარცხენა ზედა საფეხურზე. მეორე სტრიქონს ვამატებთ პირველ სტრიქონს, გამრავლებული (-4-ზე). მესამე სტრიქონს ვამატებთ პირველ სტრიქონს, გამრავლებული (-2). მეოთხე სტრიქონს ვამატებთ პირველ სტრიქონს, გამრავლებული (-1-ზე).

ყურადღება!ბევრი შეიძლება იყოს ცდუნება მეოთხე ხაზიდან გამოკლებაპირველი ხაზი. ეს შეიძლება გაკეთდეს, მაგრამ ეს არ არის აუცილებელი, გამოცდილება აჩვენებს, რომ გამოთვლებში შეცდომის ალბათობა რამდენჯერმე იზრდება. ჩვენ უბრალოდ ვამატებთ: მეოთხე სტრიქონს ვამატებთ პირველ სტრიქონს, გამრავლებული (-1) - ზუსტად!

(2). ბოლო სამი ხაზი პროპორციულია, ორი მათგანი შეიძლება წაიშალოს. აქ კიდევ ერთხელ აუცილებელია ჩვენება გაზრდილი ყურადღება, მაგრამ არის თუ არა ხაზები მართლაც პროპორციული? გადაზღვევისთვის ზედმეტი არ იქნება მეორე რიგის (-1-ზე) გამრავლება, მეოთხე რიგის 2-ზე გაყოფა, შედეგად სამი იდენტური მწკრივი. და მხოლოდ ამის შემდეგ ამოიღეთ ორი მათგანი. ელემენტარული გარდაქმნების შედეგად, სისტემის გაფართოებული მატრიცა მცირდება საფეხურზე:

რვეულში დავალების შესრულებისას სასურველია იგივე ჩანაწერების გაკეთება ფანქრით სიცხადისთვის.

ჩვენ ვწერთ განტოლებათა შესაბამის სისტემას:

სისტემის "ჩვეულებრივი" ერთადერთი გამოსავალი აქ სუნი არ დგას. ცუდი ხაზი სად λ ≠ 0, ასევე არა. აქედან გამომდინარე, ეს არის მესამე დარჩენილი შემთხვევა - სისტემას აქვს უსაზღვროდ ბევრი გამოსავალი.

სისტემის ამონახსნების უსასრულო ნაკრები მოკლედ იწერება ე.წ ზოგადი სისტემის გადაწყვეტა.

ჩვენ ვიპოვით სისტემის ზოგად ამოხსნას გაუსის მეთოდის საპირისპირო მოძრაობის გამოყენებით. უსასრულო ამონახსნებიანი განტოლების სისტემებისთვის ახალი ცნებები ჩნდება: "ძირითადი ცვლადები"და "თავისუფალი ცვლადები". პირველი, მოდით განვსაზღვროთ რა ცვლადები გვაქვს ძირითადიდა რა ცვლადები - უფასო. არ არის საჭირო წრფივი ალგებრის ტერმინების დეტალური ახსნა, საკმარისია გვახსოვდეს, რომ არსებობს ასეთი საბაზისო ცვლადებიდა უფასო ცვლადები.

ძირითადი ცვლადები ყოველთვის "სხედან" მკაცრად მატრიცის საფეხურებზე. ამ მაგალითში საბაზისო ცვლადებია x 1 და x 3 .

უფასო ცვლადები ყველაფერია დარჩენილიცვლადები, რომლებმაც არ მიიღეს ნაბიჯი. ჩვენს შემთხვევაში ორია: x 2 და x 4 - უფასო ცვლადები.

ახლა თქვენ გჭირდებათ ყველასაბაზისო ცვლადებიგამოხატოს მხოლოდ მეშვეობითუფასო ცვლადები. გაუსის ალგორითმის საპირისპირო მოძრაობა ტრადიციულად მუშაობს ქვემოდან ზევით. სისტემის მეორე განტოლებიდან გამოვხატავთ ძირითად ცვლადს x 3:

ახლა შეხედეთ პირველ განტოლებას: . პირველ რიგში, ჩვენ ვცვლით მასში ნაპოვნი გამონათქვამს:

რჩება ძირითადი ცვლადის გამოხატვა x 1 უფასო ცვლადების მეშვეობით x 2 და x 4:

შედეგი არის ის, რაც გჭირდებათ - ყველასაბაზისო ცვლადები ( x 1 და x 3) გამოხატული მხოლოდ მეშვეობითუფასო ცვლადები ( x 2 და x 4):

სინამდვილეში, ზოგადი გამოსავალი მზად არის:

.

როგორ დავწეროთ ზოგადი გამოსავალი? უპირველეს ყოვლისა, უფასო ცვლადები იწერება ზოგად გადაწყვეტაში „თავისთავად“ და მკაცრად მათ ადგილებზე. ამ შემთხვევაში, უფასო ცვლადები x 2 და x 4 უნდა დაიწეროს მეორე და მეოთხე პოზიციებზე:

.

მიღებული გამონათქვამები ძირითადი ცვლადებისთვის და აშკარად უნდა დაიწეროს პირველ და მესამე პოზიციებზე:

სისტემის ზოგადი გადაწყვეტიდან შეიძლება უსაზღვროდ ბევრი იპოვოთ პირადი გადაწყვეტილებები. ძალიან მარტივია. უფასო ცვლადები x 2 და x 4 ეწოდება ასე, რადგან მათი მიცემა შესაძლებელია ნებისმიერი საბოლოო მნიშვნელობა. ყველაზე პოპულარული მნიშვნელობები არის ნულოვანი მნიშვნელობები, რადგან ეს არის უმარტივესი გზა კონკრეტული გადაწყვეტის მისაღებად.

ჩანაცვლება ( x 2 = 0; x 4 = 0) ზოგად ამოხსნაში, ჩვენ ვიღებთ ერთ-ერთ კონკრეტულ ამონახსნებს:

, ან არის კონკრეტული გადაწყვეტა, რომელიც შეესაბამება თავისუფალ ცვლადებს მნიშვნელობებით ( x 2 = 0; x 4 = 0).

ესენი კიდევ ერთი საყვარელი წყვილია, მოდით შევცვალოთ ( x 2 = 1 და x 4 = 1) ზოგად გადაწყვეტაში:

, ანუ (-1; 1; 1; 1) არის კიდევ ერთი კონკრეტული გამოსავალი.

ადვილი მისახვედრია, რომ განტოლებათა სისტემას აქვს უსასრულოდ ბევრი გამოსავალივინაიდან ჩვენ შეგვიძლია მივცეთ უფასო ცვლადები ნებისმიერიღირებულებები.

თითოეულიკონკრეტული გამოსავალი უნდა აკმაყოფილებდეს თითოეულსისტემის განტოლება. ეს არის გადაწყვეტის სისწორის "სწრაფი" შემოწმების საფუძველი. აიღეთ, მაგალითად, კონკრეტული ამონახსნი (-1; 1; 1; 1) და ჩაანაცვლეთ იგი ორიგინალური სისტემის თითოეული განტოლების მარცხენა მხარეს:

ყველაფერი ერთად უნდა შედგეს. და თქვენ მიიღებთ რაიმე კონკრეტულ გადაწყვეტას, ყველაფერი ასევე უნდა ემთხვეოდეს.

მკაცრად რომ ვთქვათ, კონკრეტული გადაწყვეტის გადამოწმება ზოგჯერ ატყუებს, ე.ი. ზოგიერთი კონკრეტული ამონახსნი შეიძლება აკმაყოფილებდეს სისტემის თითოეულ განტოლებას, ხოლო თავად ზოგადი ამონახსნები რეალურად არასწორად არის ნაპოვნი. ამიტომ, უპირველეს ყოვლისა, ზოგადი გადაწყვეტის შემოწმება უფრო საფუძვლიანი და საიმედოა.

როგორ შევამოწმოთ მიღებული ზოგადი გამოსავალი ?

ეს არ არის რთული, მაგრამ საკმაოდ დიდ ტრანსფორმაციას მოითხოვს. ჩვენ უნდა მივიღოთ გამონათქვამები ძირითადიცვლადები, ამ შემთხვევაში და , და ჩაანაცვლეთ ისინი სისტემის თითოეული განტოლების მარცხენა მხარეს.

სისტემის პირველი განტოლების მარცხენა მხარეს:

მიღებულია სისტემის თავდაპირველი პირველი განტოლების მარჯვენა მხარე.

სისტემის მეორე განტოლების მარცხენა მხარეს:

მიღებულია სისტემის თავდაპირველი მეორე განტოლების მარჯვენა მხარე.

და შემდგომ - სისტემის მესამე და მეოთხე განტოლებების მარცხნივ. ეს შემოწმება უფრო გრძელია, მაგრამ ის უზრუნველყოფს მთლიანი გადაწყვეტის 100% სისწორეს. გარდა ამისა, ზოგიერთ ამოცანაში საჭიროა ზოგადი გადაწყვეტის შემოწმება.

მაგალითი 4:

ამოხსენით სისტემა გაუსის მეთოდით. იპოვეთ ზოგადი და ორი პირადი გამოსავალი. შეამოწმეთ საერთო გამოსავალი.

ეს არის საკუთარი თავის მაგალითი. აქ, სხვათა შორის, ისევ განტოლებათა რიცხვი ნაკლებია უცნობის რაოდენობაზე, რაც იმას ნიშნავს, რომ მაშინვე ცხადია, რომ სისტემა ან არათანმიმდევრული იქნება, ან ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა ექნება.

მაგალითი 5:

ამოხსენით წრფივი განტოლებათა სისტემა. თუ სისტემას აქვს უსაზღვროდ ბევრი გამოსავალი, იპოვეთ ორი კონკრეტული გამოსავალი და შეამოწმეთ ზოგადი გამოსავალი

გადაწყვეტილება:მოდით დავწეროთ სისტემის გაფართოებული მატრიცა და ელემენტარული გარდაქმნების გამოყენებით მივიყვანოთ იგი საფეხურზე:

(ერთი). დაამატეთ პირველი ხაზი მეორე ხაზს. მესამე სტრიქონს ვამატებთ 2-ზე გამრავლებულ პირველ სტრიქონს.მეოთხე სტრიქონს ვამატებთ 3-ზე გამრავლებულ პირველ სტრიქონს.

(2). მესამე სტრიქონს ვამატებთ მეორე სტრიქონს, გამრავლებული (-5-ზე). მეოთხე სტრიქონს ვამატებთ მეორე სტრიქონს, გამრავლებული (-7-ზე).

(3). მესამე და მეოთხე სტრიქონები იგივეა, ერთ-ერთ მათგანს ვშლით. აი ასეთი სილამაზე:

საბაზისო ცვლადები ზის საფეხურებზე, ამიტომ ისინი საბაზისო ცვლადებია.

არის მხოლოდ ერთი თავისუფალი ცვლადი, რომელსაც ნაბიჯი არ მიუღია: .

(4). საპირისპირო მოძრაობა. ჩვენ გამოვხატავთ ძირითად ცვლადებს თავისუფალი ცვლადის მიხედვით:

მესამე განტოლებიდან:

განვიხილოთ მეორე განტოლება და ჩაანაცვლეთ მასში ნაპოვნი გამონათქვამი:

, , ,

განვიხილოთ პირველი განტოლება და ჩაანაცვლეთ ნაპოვნი გამონათქვამები და მასში:

ამრიგად, ზოგადი გადაწყვეტა ერთი თავისუფალი ცვლადით x 4:

კიდევ ერთხელ, როგორ მოხდა ეს? უფასო ცვლადი x 4 მარტო ზის თავის კანონიერ მეოთხე ადგილზე. ძირითადი ცვლადების , , მიღებული გამონათქვამები ასევე თავის ადგილზეა.

მოდით დაუყოვნებლივ შევამოწმოთ ზოგადი გადაწყვეტა.

ჩვენ ვცვლით ძირითად ცვლადებს, , სისტემის თითოეული განტოლების მარცხენა მხარეს:

მიღებულია განტოლებების შესაბამისი მარჯვენა მხარეები, რითაც იპოვება სწორი ზოგადი ამონახსნები.

ახლა ნაპოვნი ზოგადი გადაწყვეტიდან ჩვენ ვიღებთ ორ კონკრეტულ გადაწყვეტას. აქ ყველა ცვლადი გამოხატულია ერთის საშუალებით უფასო ცვლადი x 4 . არ გჭირდება თავის გატეხვა.

დაე იყოს x 4 = 0, მაშინ არის პირველი კონკრეტული გამოსავალი.

დაე იყოს x 4 = 1, მაშინ არის კიდევ ერთი კონკრეტული გამოსავალი.

პასუხი:საერთო გადაწყვეტილება: . პირადი გადაწყვეტილებები:

და .

მაგალითი 6:

იპოვეთ წრფივი განტოლებათა სისტემის ზოგადი ამონახსნი.

ჩვენ უკვე შევამოწმეთ ზოგადი გადაწყვეტა, პასუხი შეიძლება სანდო იყოს. თქვენი მოქმედების კურსი შეიძლება განსხვავდებოდეს ჩვენი მოქმედებისგან. მთავარი ის არის, რომ ზოგადი გადაწყვეტილებები ემთხვევა. ალბათ, ბევრმა შეამჩნია უსიამოვნო მომენტი ამონახსნებში: ძალიან ხშირად, გაუსის მეთოდის საპირისპირო კურსის დროს, ჩვეულებრივ წილადებთან გვიწევდა ჩხუბი. პრაქტიკაში, ეს ასეა, შემთხვევები, როდესაც არ არის წილადები, გაცილებით ნაკლებად გავრცელებულია. მოემზადეთ გონებრივად და რაც მთავარია ტექნიკურად.

მოდით ვისაუბროთ ამოხსნის იმ მახასიათებლებზე, რომლებიც არ მოიძებნა ამოხსნილ მაგალითებში. სისტემის ზოგადი გადაწყვეტა ზოგჯერ შეიძლება შეიცავდეს მუდმივ (ან მუდმივებს).

მაგალითად, ზოგადი გამოსავალი: . აქ ერთ-ერთი ძირითადი ცვლადი უდრის მუდმივ რიცხვს: . ამაში ეგზოტიკური არაფერია, ეს ხდება. ცხადია, ამ შემთხვევაში, ნებისმიერი კონკრეტული გამოსავალი შეიცავს ხუთეულს პირველ პოზიციაზე.

იშვიათად, მაგრამ არის სისტემები, რომლებშიც განტოლებების რაოდენობა მეტი რაოდენობითცვლადები. თუმცა, გაუსის მეთოდი მუშაობს ყველაზე მძიმე პირობებში. თქვენ მშვიდად უნდა მიიყვანოთ სისტემის გაფართოებული მატრიცა საფეხურზე სტანდარტული ალგორითმის მიხედვით. ასეთი სისტემა შეიძლება იყოს არათანმიმდევრული, შეიძლება ჰქონდეს უსაზღვროდ ბევრი გამოსავალი და, უცნაურად საკმარისი, შეიძლება ჰქონდეს უნიკალური გადაწყვეტა.

ჩვენ ვიმეორებთ ჩვენს რჩევას - იმისათვის, რომ თავი კომფორტულად იგრძნოთ გაუსის მეთოდით სისტემის ამოხსნისას, უნდა აავსოთ ხელი და გადაჭრათ მინიმუმ ათეული სისტემა.

გადაწყვეტილებები და პასუხები:

მაგალითი 2:

გადაწყვეტილება:მოდით ჩამოვწეროთ სისტემის გაფართოებული მატრიცა და ელემენტარული გარდაქმნების გამოყენებით მივიყვანოთ იგი საფეხურზე.

შეასრულა ელემენტარული გარდაქმნები:

(1) პირველი და მესამე სტრიქონები შეიცვალა.

(2) პირველი ხაზი დაემატა მეორე სტრიქონს, გამრავლებული (-6-ზე). პირველი ხაზი დაემატა მესამე სტრიქონს, გამრავლებული (-7).

(3) მეორე სტრიქონი დაემატა მესამე სტრიქონს, გამრავლებული (-1).

ელემენტარული გარდაქმნების შედეგად ფორმის სტრიქონი, სად λ ≠ 0 .ასე რომ, სისტემა არათანმიმდევრულია.პასუხი: არ არის გადაწყვეტილებები.

მაგალითი 4:

გადაწყვეტილება:ჩვენ ვწერთ სისტემის გაფართოებულ მატრიცას და ელემენტარული გარდაქმნების გამოყენებით მივყავართ მას საფეხურზე:

შესრულებული კონვერტაციები:

(ერთი). მეორე სტრიქონს დაემატა 2-ზე გამრავლებული პირველი სტრიქონი, მესამე სტრიქონს დაემატა 3-ზე გამრავლებული პირველი სტრიქონი.

მეორე საფეხურისთვის ერთეული არ არის , ხოლო ტრანსფორმაცია (2) მიზნად ისახავს მის მიღებას.

(2). მესამე სტრიქონს დაემატა მეორე სტრიქონი, გამრავლებული -3-ზე.

(3). მეორე და მესამე რიგები შეიცვალა (მიღებული -1 გადავიდა მეორე საფეხურზე)

(4). მესამე სტრიქონს დაემატა მეორე სტრიქონი, გამრავლებული 3-ზე.

(5). პირველი ორი ხაზის ნიშანი შეიცვალა (გამრავლებული -1-ზე), მესამე ხაზი გაიყო 14-ზე.

საპირისპირო მოძრაობა:

(ერთი). Აქ არის ძირითადი ცვლადები (რომლებიც ნაბიჯებზეა) და არის უფასო ცვლადები (რომლებიც ვერ მიიღეს ნაბიჯი).

(2). ჩვენ გამოვხატავთ ძირითად ცვლადებს თავისუფალი ცვლადების თვალსაზრისით:

მესამე განტოლებიდან: .

(3). განვიხილოთ მეორე განტოლება:, კონკრეტული გადაწყვეტილებები:

პასუხი: საერთო გადაწყვეტილება:

რთული რიცხვები

ამ ნაწილში ჩვენ გავაცნობთ კონცეფციას რთული რიცხვი, განიხილეთ ალგებრული, ტრიგონომეტრიულიდა საჩვენებელი ფორმართული რიცხვი. ჩვენ ასევე ვისწავლით კომპლექსურ რიცხვებთან მოქმედებების შესრულებას: შეკრება, გამოკლება, გამრავლება, გაყოფა, გაძლიერება და ფესვის ამოღება.

რთული რიცხვების დასაუფლებლად, თქვენ არ გჭირდებათ რაიმე სპეციალური ცოდნა უმაღლესი მათემატიკის კურსიდან და მასალა ხელმისაწვდომია სკოლის მოსწავლეებისთვისაც კი. საკმარისია ალგებრული მოქმედებების შესრულება „ჩვეულებრივი“ რიცხვებით და დაიმახსოვროთ ტრიგონომეტრია.

პირველ რიგში, გავიხსენოთ "ჩვეულებრივი" ნომრები. მათემატიკაში მათ ეძახიან რეალური რიცხვების ნაკრებიდა აღინიშნება ასოთი R,ან R (სქელი). ყველა რეალური რიცხვი ზის ნაცნობ რიცხვთა ხაზზე:

რეალური რიცხვების კომპანია ძალიან ფერადია - აქ არის მთელი რიცხვები, წილადები და ირაციონალური რიცხვები. ამ შემთხვევაში, რიცხვითი ღერძის თითოეული წერტილი აუცილებლად შეესაბამება გარკვეულ რეალურ რიცხვს.

§ერთი. წრფივი განტოლებათა სისტემები.

ხედვის სისტემა

სისტემას უწოდებენ მწრფივი განტოლებები ნუცნობი.

Აქ
- უცნობი, - კოეფიციენტები უცნობისთვის,
- განტოლებების თავისუფალი წევრები.

თუ განტოლების ყველა თავისუფალი წევრი ნულის ტოლია, სისტემა ეწოდება ერთგვაროვანი.გადაწყვეტილებასისტემას ეწოდება რიცხვების ერთობლიობა
, სისტემაში უცნობის ნაცვლად ჩანაცვლებისას, ყველა განტოლება გადაიქცევა იდენტებად. სისტემა ე.წ ერთობლივითუ მას აქვს ერთი გამოსავალი მაინც. უნიკალური ხსნარის მქონე ერთობლივ სისტემას ე.წ გარკვეული. ორ სისტემას ე.წ ექვივალენტითუ მათი ამონახსნები ერთნაირია.

სისტემა (1) შეიძლება წარმოდგენილი იყოს მატრიცის სახით განტოლების გამოყენებით

(2)

.

§2. წრფივი განტოლებათა სისტემების თავსებადობა.

სისტემის გაფართოებულ მატრიცას (1) ჩვენ ვუწოდებთ მატრიცას

კრონეკერი - კაპელის თეორემა. სისტემა (1) თანმიმდევრულია, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ სისტემის მატრიცის რანგი ტოლია გაფართოებული მატრიცის რანგის:

.

§3. სისტემური გადაწყვეტან წრფივი განტოლებებინ უცნობი.

განვიხილოთ არაჰომოგენური სისტემა ნწრფივი განტოლებები ნუცნობი:

(3)

კრამერის თეორემა.თუ სისტემის მთავარი განმსაზღვრელი (3)
, მაშინ სისტემას აქვს უნიკალური გადაწყვეტა, რომელიც განისაზღვრება ფორმულებით:

იმათ.
,

სადაც - დეტერმინანტისგან მიღებული განმსაზღვრელი ჩანაცვლება ე სვეტი თავისუფალი წევრების სვეტამდე.

Თუ
და ერთი მაინც ≠0, მაშინ სისტემას არ აქვს გადაწყვეტილებები.

Თუ
, მაშინ სისტემას აქვს უსაზღვროდ ბევრი გამოსავალი.

სისტემის (3) ამოხსნა შესაძლებელია მისი მატრიცული აღნიშვნის (2) გამოყენებით. თუ მატრიცის რანგი მაგრამუდრის ნ, ე.ი.
, შემდეგ მატრიცა მაგრამაქვს შებრუნებული
. მატრიცული განტოლების გამრავლება
მატრიცამდე
მარცხნივ ვიღებთ:

.

ბოლო ტოლობა გამოხატავს წრფივი განტოლებების სისტემების ამოხსნის გზას შებრუნებული მატრიცის გამოყენებით.

მაგალითი.ამოხსენით განტოლებათა სისტემა შებრუნებული მატრიცის გამოყენებით.

გადაწყვეტილება. მატრიცა
არადეგენერატი, რადგან
ასე რომ, არსებობს შებრუნებული მატრიცა. მოდით გამოვთვალოთ შებრუნებული მატრიცა:
.

,

ვარჯიში. სისტემის ამოხსნა კრამერის მეთოდით.

§4. წრფივი განტოლებათა თვითნებური სისტემების ამოხსნა.

მიეცით (1) ფორმის წრფივი განტოლებათა არაერთგვაროვანი სისტემა.

დავუშვათ, რომ სისტემა თანმიმდევრულია, ე.ი. კრონეკერ-კაპელის თეორემის პირობა შესრულებულია:
. თუ მატრიცის რანგი
(უცნობების რაოდენობამდე), მაშინ სისტემას აქვს უნიკალური გადაწყვეტა. Თუ
, მაშინ სისტემას აქვს უსაზღვროდ ბევრი გამოსავალი. ავხსნათ.

მოდით მატრიცის რანგი რ(ა)= რ< ნ. Იმდენად, რამდენადაც
, მაშინ არსებობს რიგის არანულოვანი მინორი რ. მოდით ვუწოდოთ მას ძირითადი მინორი. უცნობებს, რომელთა კოეფიციენტები ქმნიან ძირითად მინორს, ეწოდება ძირითადი ცვლადები. დარჩენილ უცნობებს თავისუფალი ცვლადები ეწოდება. ჩვენ გადავაწყობთ განტოლებებს და გადავნომრავთ ცვლადებს ისე, რომ ეს მინორი მდებარეობს სისტემის მატრიცის ზედა მარცხენა კუთხეში:

.

Პირველი რრიგები წრფივად დამოუკიდებელია, დანარჩენი მათი მეშვეობით არის გამოხატული. ამიტომ, ეს ხაზები (განტოლებები) შეიძლება გაუქმდეს. ჩვენ ვიღებთ:

თავისუფალ ცვლადებს მივცეთ თვითნებური რიცხვითი მნიშვნელობები: . მარცხენა მხარეს ვტოვებთ მხოლოდ ძირითად ცვლადებს, ხოლო თავისუფალ ცვლადებს გადავიტანთ მარჯვენა მხარეს.

მიიღო სისტემა რწრფივი განტოლებები რუცნობი, რომლის განმსაზღვრელი განსხვავდება 0-ისგან. მას აქვს უნიკალური ამონახსნები.

ამ სისტემას ეწოდება წრფივი განტოლებათა სისტემის ზოგადი ამონახსნები (1). წინააღმდეგ შემთხვევაში: საბაზისო ცვლადების გამოხატვა თავისუფალთა მნიშვნელობით ეწოდება საერთო გადაწყვეტასისტემები. მისგან შეგიძლიათ მიიღოთ უსასრულო რიცხვი პირადი გადაწყვეტილებები, თავისუფალ ცვლადებს ანიჭებს თვითნებურ მნიშვნელობებს. ზოგადიდან მიღებული კონკრეტული ამონახსნი თავისუფალი ცვლადების ნულოვან მნიშვნელობებზე ეწოდება ძირითადი გადაწყვეტა. სხვადასხვა ძირითადი გადაწყვეტილებების რაოდენობა არ აღემატება
. ძირითადი ხსნარი არაუარყოფითი კომპონენტებით ე.წ გადამწყვეტისისტემური გადაწყვეტა.

მაგალითი.

,რ=2.

ცვლადები
- ძირითადი,
- უფასო.

დავამატოთ განტოლებები; გამოხატოს
მეშვეობით
:

- საერთო გადაწყვეტილება.

- პირადი გადაწყვეტა
.

- ძირითადი გადაწყვეტა, ძირითადი.

§5. გაუსის მეთოდი.

გაუსის მეთოდი უნივერსალური მეთოდია წრფივი განტოლებების თვითნებური სისტემების შესწავლისა და ამოხსნისთვის. იგი მოიცავს სისტემის დიაგონალურ (ან სამკუთხა) ფორმამდე მიყვანას უცნობიების თანმიმდევრული აღმოფხვრის გზით ელემენტარული გარდაქმნების გამოყენებით, რომლებიც არ არღვევენ სისტემების ეკვივალენტობას. ცვლადი ითვლება გამორიცხულად, თუ იგი შეიცავს სისტემის მხოლოდ ერთ განტოლებას კოეფიციენტით 1.

ელემენტარული გარდაქმნებისისტემებია:

განტოლების გამრავლება არანულოვან რიცხვზე;

რომელიმე რიცხვზე გამრავლებული განტოლების სხვა განტოლებასთან დამატება;

განტოლებათა გადაწყობა;

0 = 0 განტოლების ამოღება.

ელემენტარული გარდაქმნები შეიძლება შესრულდეს არა განტოლებებზე, არამედ მიღებული ექვივალენტური სისტემების გაფართოებულ მატრიცებზე.

მაგალითი.

გადაწყვეტილება.ჩვენ ვწერთ სისტემის გაფართოებულ მატრიცას:

.

ელემენტარული გარდაქმნების შესრულებისას მატრიცის მარცხენა მხარეს მივყავართ ერთეულ ფორმამდე: შევქმნით ერთეულებს მთავარ დიაგონალზე, ხოლო ნულებს მის გარეთ.

კომენტარი. თუ ელემენტარული გარდაქმნების შესრულებისას 0-ის ფორმის განტოლება = მდე(სად რომ0), მაშინ სისტემა არათანმიმდევრულია.

წრფივი განტოლებათა სისტემების ამოხსნა უცნობების თანმიმდევრული აღმოფხვრის მეთოდით შეიძლება ფორმალიზებული იყოს სახით მაგიდები.

ცხრილის მარცხენა სვეტი შეიცავს ინფორმაციას გამორიცხული (ძირითადი) ცვლადების შესახებ. დარჩენილი სვეტები შეიცავს უცნობების კოეფიციენტებს და განტოლებების თავისუფალ წევრებს.

სისტემის გაფართოებული მატრიცა იწერება წყაროს ცხრილში. შემდეგი, გააგრძელეთ იორდანიის ტრანსფორმაციების განხორციელება:

1. აირჩიეთ ცვლადი , რომელიც გახდება საფუძველი. შესაბამის სვეტს საკვანძო სვეტი ეწოდება. შეარჩიეთ განტოლება, რომელშიც ეს ცვლადი დარჩება სხვა განტოლებიდან გამორიცხული. ცხრილის შესაბამის რიგს საკვანძო მწკრივი ეწოდება. კოეფიციენტი , რომელიც დგას საკვანძო მწკრივისა და საკვანძო სვეტის გადაკვეთაზე, ეწოდება გასაღები.

2. საკვანძო სტრიქონის ელემენტები იყოფა საკვანძო ელემენტზე.

3. გასაღების სვეტი ივსება ნულებით.

4. დარჩენილი ელემენტები გამოითვლება მართკუთხედის წესის მიხედვით. ისინი ქმნიან ოთხკუთხედს, რომლის მოპირდაპირე წვეროებზე არის საკვანძო ელემენტი და ხელახლა გამოთვლილი ელემენტი; საკვანძო ელემენტთან მართკუთხედის დიაგონალზე ელემენტების ნამრავლს აკლდება სხვა დიაგონალის ელემენტების ნამრავლი, შედეგად მიღებული განსხვავება იყოფა საკვანძო ელემენტზე.

მაგალითი. იპოვეთ განტოლებათა სისტემის ზოგადი ამონახსნები და ძირითადი ამონახსნები:

გადაწყვეტილება.

სისტემის ზოგადი გადაწყვეტა:

ძირითადი გადაწყვეტა:
.

ერთჯერადი ჩანაცვლებითი ტრანსფორმაცია საშუალებას აძლევს ადამიანს გადავიდეს სისტემის ერთი საფუძვლიდან მეორეზე: ერთ-ერთი მთავარი ცვლადის ნაცვლად, ერთ-ერთი თავისუფალი ცვლადი შედის ბაზაში. ამისათვის შეირჩევა საკვანძო ელემენტი თავისუფალ ცვლადის სვეტში და ტრანსფორმაციები ხორციელდება ზემოაღნიშნული ალგორითმის მიხედვით.

§6. დამხმარე გადაწყვეტილებების პოვნა

წრფივი განტოლებათა სისტემის საცნობარო ამონახსნები არის ძირითადი ამოხსნა, რომელიც არ შეიცავს უარყოფით კომპონენტებს.

სისტემის დამხმარე გადაწყვეტილებები ნაპოვნია გაუსის მეთოდით შემდეგ პირობებში.

1. თავდაპირველ სისტემაში, ყველა უფასო პირობა უნდა იყოს არაუარყოფითი:
.

2. ძირითადი ელემენტი არჩეულია დადებით კოეფიციენტებს შორის.

3. თუ საფუძველში შეყვანილ ცვლადს აქვს რამდენიმე დადებითი კოეფიციენტი, მაშინ საკვანძო სტრიქონი არის ის, რომელშიც თავისუფალი წევრის შეფარდება დადებით კოეფიციენტთან ყველაზე მცირეა.

შენიშვნა 1. თუ უცნობის აღმოფხვრის პროცესში ჩნდება განტოლება, რომელშიც ყველა კოეფიციენტი არაპოზიტიურია და თავისუფალი წევრი
, მაშინ სისტემას არ აქვს არაუარყოფითი გადაწყვეტილებები.

შენიშვნა 2. თუ თავისუფალი ცვლადების კოეფიციენტების სვეტებში არ არის ერთი დადებითი ელემენტი, მაშინ სხვა საცნობარო გადაწყვეტაზე გადასვლა შეუძლებელია.

მაგალითი.

თუმცა, პრაქტიკაში კიდევ ორი ​​შემთხვევაა გავრცელებული:

– სისტემა არათანმიმდევრულია (არ აქვს გადაწყვეტილებები);
სისტემა თანმიმდევრულია და აქვს უსაზღვროდ ბევრი გამოსავალი.

შენიშვნა : ტერმინი „თანმიმდევრულობა“ გულისხმობს, რომ სისტემას აქვს გარკვეული გამოსავალი მაინც. რიგი ამოცანების დროს საჭიროა წინასწარ შეისწავლოს სისტემა თავსებადობისთვის, როგორ გავაკეთოთ ეს - იხილეთ სტატია მატრიცის რანგი.

ამ სისტემებისთვის გამოიყენება გადაწყვეტის ყველა მეთოდიდან ყველაზე უნივერსალური - გაუსის მეთოდი. ფაქტობრივად, „სკოლის“ მეთოდიც მიგვიყვანს პასუხამდე, მაგრამ უმაღლეს მათემატიკაში მიღებულია უცნობების თანმიმდევრული აღმოფხვრის გაუსის მეთოდის გამოყენება. ვინც არ იცნობს გაუსის მეთოდის ალგორითმს, გთხოვთ, ჯერ გაკვეთილი შეისწავლოთ გაუსის მეთოდი დუმებისთვის.

თავად ელემენტარული მატრიცის გარდაქმნები ზუსტად იგივეა, განსხვავება იქნება ამოხსნის ბოლოს. პირველი, განიხილეთ რამდენიმე მაგალითი, სადაც სისტემას არ აქვს გადაწყვეტილებები (არათანმიმდევრული).

მაგალითი 1

რა იპყრობს თქვენს თვალს ამ სისტემაში? განტოლებათა რაოდენობა ცვლადების რაოდენობაზე ნაკლებია. თუ განტოლებათა რაოდენობა ცვლადების რაოდენობაზე ნაკლებია, მაშინვე შეგვიძლია ვთქვათ, რომ სისტემა ან არათანმიმდევრულია ან აქვს უსაზღვროდ ბევრი გამოსავალი. და ეს რჩება მხოლოდ გასარკვევად.

ამოხსნის დასაწყისი საკმაოდ ჩვეულებრივია - ჩვენ ვწერთ სისტემის გაფართოებულ მატრიცას და ელემენტარული გარდაქმნების გამოყენებით მივყავართ მას ეტაპობრივ ფორმამდე:

(1) ზედა მარცხენა საფეხურზე უნდა მივიღოთ +1 ან -1. პირველ სვეტში ასეთი რიცხვები არ არის, ამიტომ რიგების გადაწყობა არ იმუშავებს. დანაყოფი დამოუკიდებლად უნდა იყოს ორგანიზებული და ეს შეიძლება გაკეთდეს რამდენიმე გზით. მე ასე მოვიქეცი: პირველ სტრიქონს დავუმატოთ მესამე სტრიქონი, გამრავლებული -1-ზე.

(2) ახლა ჩვენ ვიღებთ ორ ნულს პირველ სვეტში. მეორე სტრიქონს ვამატებთ 3-ზე გამრავლებულ პირველ სტრიქონს. მესამე სტრიქონს ვამატებთ 5-ზე გამრავლებულ პირველ სტრიქონს.

(3) ტრანსფორმაციის დასრულების შემდეგ, ყოველთვის მიზანშეწონილია ნახოთ, შესაძლებელია თუ არა მიღებული სიმების გამარტივება? შეუძლია. მეორე ხაზს ვყოფთ 2-ზე, ამავდროულად მეორე საფეხურზე ვიღებთ სასურველ -1-ს. მესამე ხაზი გაყავით -3-ზე.

(4) დაამატეთ მეორე ხაზი მესამე ხაზს.

ალბათ, ყველამ ყურადღება მიაქცია ცუდ ხაზს, რომელიც ელემენტარული გარდაქმნების შედეგად აღმოჩნდა: . გასაგებია, რომ ასე არ შეიძლება. მართლაც, ჩვენ ხელახლა ვწერთ მიღებულ მატრიცას დაუბრუნდით წრფივი განტოლებების სისტემას:

თუ ელემენტარული გარდაქმნების შედეგად მიიღება ფორმის სტრიქონი, სადაც არის არანულოვანი რიცხვი, მაშინ სისტემა არათანმიმდევრულია (არ აქვს ამონახსნები).

როგორ ჩავწეროთ დავალების დასასრული? თეთრი ცარცით დავხატოთ: „ელემენტარული გარდაქმნების შედეგად მიიღება ფორმის ხაზი, სად“ და მივცეთ პასუხი: სისტემას ამონახსნები არ აქვს (არათანმიმდევრული).

თუ, პირობის მიხედვით, საჭიროა სისტემის შესწავლა თავსებადობისთვის, მაშინ აუცილებელია გადაწყვეტის გამოცემა უფრო მყარი სტილით, რომელიც მოიცავს კონცეფციას. მატრიცული რანგი და კრონეკერ-კაპელის თეორემა.

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ აქ გაუსის ალგორითმის საპირისპირო მოძრაობა არ არის - არ არსებობს გადაწყვეტილებები და უბრალოდ არაფერია მოსაძებნი.

მაგალითი 2

ამოხსენით წრფივი განტოლებათა სისტემა

ეს არის საკუთარი თავის მაგალითი. სრული ამოხსნა და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს. კიდევ ერთხელ შეგახსენებთ, რომ თქვენი ამოხსნის გზა შეიძლება განსხვავდებოდეს ჩემი გადაწყვეტილების გზისგან, გაუსის ალგორითმს არ აქვს ძლიერი „სიმტკიცე“.

გადაწყვეტის კიდევ ერთი ტექნიკური მახასიათებელი: ელემენტარული გარდაქმნები შეიძლება შეჩერდეს ერთბაშად, როგორც კი ხაზი მოსწონს , სადაც . განვიხილოთ პირობითი მაგალითი: დავუშვათ, რომ პირველი ტრანსფორმაციის შემდეგ მივიღებთ მატრიცას . მატრიცა ჯერ არ არის დაყვანილი საფეხურზე, მაგრამ არ არის საჭირო შემდგომი ელემენტარული გარდაქმნები, ვინაიდან გაჩნდა ფორმის ხაზი, სადაც . დაუყოვნებლივ უნდა უპასუხოს, რომ სისტემა შეუთავსებელია.

როდესაც წრფივი განტოლებების სისტემას არ აქვს ამონახსნები, ეს თითქმის საჩუქარია, რადგან მიიღება მოკლე ამონახსნები, ზოგჯერ ფაქტიურად 2-3 ნაბიჯში.

მაგრამ ამ სამყაროში ყველაფერი დაბალანსებულია და პრობლემა, რომელშიც სისტემას უსაზღვროდ ბევრი გამოსავალი აქვს, უფრო გრძელია.

მაგალითი 3

ამოხსენით წრფივი განტოლებათა სისტემა

არსებობს 4 განტოლება და 4 უცნობი, ასე რომ სისტემას შეიძლება ჰქონდეს ერთი ამონახსნები, ან არ ჰქონდეს ამონახსნები, ან ჰქონდეს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა. რაც არ უნდა იყო, მაგრამ გაუსის მეთოდი ნებისმიერ შემთხვევაში მიგვიყვანს პასუხამდე. ამაში მდგომარეობს მისი მრავალფეროვნება.

დასაწყისი ისევ სტანდარტულია. ჩვენ ვწერთ სისტემის გაფართოებულ მატრიცას და ელემენტარული გარდაქმნების გამოყენებით მივყავართ მას საფეხურზე:

სულ ესაა და გეშინოდა.

(1) გაითვალისწინეთ, რომ პირველი სვეტის ყველა რიცხვი იყოფა 2-ზე, ამიტომ 2 კარგია ზედა მარცხენა საფეხურზე. მეორე სტრიქონს ვამატებთ პირველ სტრიქონს, გამრავლებული -4-ზე. მესამე სტრიქონს ვამატებთ პირველ ხაზს, გამრავლებული -2-ზე. მეოთხე სტრიქონს ვამატებთ პირველ სტრიქონს, გამრავლებული -1-ზე.

ყურადღება!ბევრი შეიძლება იყოს ცდუნება მეოთხე ხაზიდან გამოკლებაპირველი ხაზი. ეს შეიძლება გაკეთდეს, მაგრამ ეს არ არის აუცილებელი, გამოცდილება აჩვენებს, რომ გამოთვლებში შეცდომის ალბათობა რამდენჯერმე იზრდება. უბრალოდ დაამატე: მეოთხე სტრიქონს დაამატეთ პირველი სტრიქონი, გამრავლებული -1-ზე - ზუსტად!

(2) ბოლო სამი სტრიქონი პროპორციულია, ორი მათგანი შეიძლება წაიშალოს.

აქ კიდევ ერთხელ აუცილებელია ჩვენება გაზრდილი ყურადღება, მაგრამ არის თუ არა ხაზები მართლაც პროპორციული? გადაზღვევისთვის (განსაკუთრებით ჩაიდანისთვის) ზედმეტი არ იქნება მეორე რიგის -1-ზე გამრავლება, მეოთხე რიგის 2-ზე გაყოფა, შედეგად სამი იდენტური მწკრივი. და მხოლოდ ამის შემდეგ ამოიღეთ ორი მათგანი.

ელემენტარული გარდაქმნების შედეგად, სისტემის გაფართოებული მატრიცა მცირდება საფეხურზე:

რვეულში დავალების შესრულებისას სასურველია იგივე ჩანაწერების გაკეთება ფანქრით სიცხადისთვის.

ჩვენ ვწერთ განტოლებათა შესაბამის სისტემას:

სისტემის "ჩვეულებრივი" ერთადერთი გამოსავალი აქ სუნი არ დგას. არც ცუდი ხაზია. ეს ნიშნავს, რომ ეს არის მესამე დარჩენილი შემთხვევა - სისტემას აქვს უსაზღვროდ ბევრი გამოსავალი. ზოგჯერ, პირობით, აუცილებელია სისტემის თავსებადობის გამოკვლევა (ანუ იმის დასამტკიცებლად, რომ გამოსავალი საერთოდ არსებობს), ამის შესახებ შეგიძლიათ წაიკითხოთ სტატიის ბოლო პუნქტში. როგორ მოვძებნოთ მატრიცის წოდება?მაგრამ ახლა მოდით დავშალოთ საფუძვლები:

სისტემის ამონახსნების უსასრულო ნაკრები მოკლედ იწერება ე.წ ზოგადი სისტემის გადაწყვეტა .

ჩვენ ვიპოვით სისტემის ზოგად ამოხსნას გაუსის მეთოდის საპირისპირო მოძრაობის გამოყენებით.

ჯერ უნდა განვსაზღვროთ რა ცვლადები გვაქვს ძირითადიდა რომელი ცვლადები უფასო. არ არის საჭირო წრფივი ალგებრის ტერმინებით შეწუხება, საკმარისია გვახსოვდეს, რომ არსებობს ასეთი საბაზისო ცვლადებიდა უფასო ცვლადები.

ძირითადი ცვლადები ყოველთვის "სხედან" მკაცრად მატრიცის საფეხურებზე.
ამ მაგალითში ძირითადი ცვლადებია და

უფასო ცვლადები ყველაფერია დარჩენილიცვლადები, რომლებმაც არ მიიღეს ნაბიჯი. ჩვენს შემთხვევაში ორი მათგანია: – თავისუფალი ცვლადები.

ახლა თქვენ გჭირდებათ ყველა საბაზისო ცვლადებიგამოხატოს მხოლოდ მეშვეობით უფასო ცვლადები.

გაუსის ალგორითმის საპირისპირო მოძრაობა ტრადიციულად მუშაობს ქვემოდან ზევით.
სისტემის მეორე განტოლებიდან გამოვხატავთ ძირითად ცვლადს:

ახლა შეხედეთ პირველ განტოლებას: . პირველ რიგში, ჩვენ ვცვლით მასში ნაპოვნი გამონათქვამს:

რჩება ძირითადი ცვლადის გამოხატვა თავისუფალი ცვლადების თვალსაზრისით:

შედეგი არის ის, რაც გჭირდებათ - ყველაგამოსახულია საბაზისო ცვლადები ( და ). მხოლოდ მეშვეობითუფასო ცვლადები:

სინამდვილეში, ზოგადი გამოსავალი მზად არის:

როგორ დავწეროთ ზოგადი გამოსავალი?
უფასო ცვლადები იწერება ზოგად გადაწყვეტაში "თავისთავად" და მკაცრად მათ ადგილებზე. ამ შემთხვევაში თავისუფალი ცვლადები უნდა დაიწეროს მეორე და მეოთხე პოზიციებზე:
.

მიღებული გამონათქვამები ძირითადი ცვლადებისთვის და აშკარად უნდა დაიწეროს პირველ და მესამე პოზიციებზე:

უფასო ცვლადების მიცემა თვითნებური მნიშვნელობები, უსასრულოდ ბევრია პირადი გადაწყვეტილებები. ყველაზე პოპულარული მნიშვნელობები არის ნულები, რადგან კონკრეტული გადაწყვეტა ყველაზე მარტივი მოსაპოვებელია. ჩანაცვლება ზოგად ხსნარში:

პირადი გადაწყვეტილებაა.

ეს კიდევ ერთი საყვარელი წყვილია, მოდით ჩავანაცვლოთ ზოგად გადაწყვეტაში:

არის კიდევ ერთი კონკრეტული გამოსავალი.

ადვილი მისახვედრია, რომ განტოლებათა სისტემას აქვს უსასრულოდ ბევრი გამოსავალი(რადგან ჩვენ შეგვიძლია მივცეთ უფასო ცვლადები ნებისმიერიღირებულებები)

თითოეულიკონკრეტული გამოსავალი უნდა აკმაყოფილებდეს თითოეულსისტემის განტოლება. ეს არის გადაწყვეტის სისწორის "სწრაფი" შემოწმების საფუძველი. აიღეთ, მაგალითად, კონკრეტული ამონახსნი და ჩაანაცვლეთ იგი ორიგინალური სისტემის თითოეული განტოლების მარცხენა მხარეს:

ყველაფერი ერთად უნდა შედგეს. და თქვენ მიიღებთ რაიმე კონკრეტულ გადაწყვეტას, ყველაფერი ასევე უნდა ემთხვეოდეს.

მაგრამ, მკაცრად რომ ვთქვათ, კონკრეტული გადაწყვეტის გადამოწმება ზოგჯერ ატყუებს; ზოგიერთი კონკრეტული ამონახსნი შეიძლება აკმაყოფილებდეს სისტემის თითოეულ განტოლებას, ხოლო თავად ზოგადი ამონახსნები რეალურად არასწორად არის ნაპოვნი.

ამიტომ, ზოგადი გადაწყვეტის შემოწმება უფრო საფუძვლიანი და საიმედოა. როგორ შევამოწმოთ მიღებული ზოგადი გამოსავალი ?

ადვილია, მაგრამ საკმაოდ დამღლელი. ჩვენ უნდა მივიღოთ გამონათქვამები ძირითადიცვლადები, ამ შემთხვევაში და , და ჩაანაცვლეთ ისინი სისტემის თითოეული განტოლების მარცხენა მხარეს.

სისტემის პირველი განტოლების მარცხენა მხარეს:

სისტემის მეორე განტოლების მარცხენა მხარეს:


მიღებულია ორიგინალური განტოლების მარჯვენა მხარე.

მაგალითი 4

ამოხსენით სისტემა გაუსის მეთოდით. იპოვეთ ზოგადი და ორი პირადი გამოსავალი. შეამოწმეთ საერთო გამოსავალი.

ეს არის საკუთარი თავის მაგალითი. აქ, სხვათა შორის, ისევ განტოლებათა რიცხვი ნაკლებია უცნობის რაოდენობაზე, რაც იმას ნიშნავს, რომ მაშინვე ცხადია, რომ სისტემა ან არათანმიმდევრული იქნება, ან ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა ექნება. რა არის მნიშვნელოვანი თავად გადაწყვეტილების პროცესში? ყურადღება და ისევ ყურადღება. სრული ამოხსნა და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს.

და კიდევ რამდენიმე მაგალითი მასალის გასაძლიერებლად

მაგალითი 5

ამოხსენით წრფივი განტოლებათა სისტემა. თუ სისტემას აქვს უსაზღვროდ ბევრი გამოსავალი, იპოვეთ ორი კონკრეტული გამოსავალი და შეამოწმეთ ზოგადი გამოსავალი

გადაწყვეტილება: დავწეროთ სისტემის გაძლიერებული მატრიცა და ელემენტარული გარდაქმნების დახმარებით მივიყვანოთ საფეხურზე:

(1) დაამატეთ პირველი ხაზი მეორე სტრიქონს. მესამე სტრიქონს ვამატებთ 2-ზე გამრავლებულ პირველ სტრიქონს.მეოთხე სტრიქონს ვამატებთ 3-ზე გამრავლებულ პირველ სტრიქონს.
(2) მესამე სტრიქონს დაამატეთ მეორე სტრიქონი, გამრავლებული -5-ზე. მეოთხე სტრიქონს ვამატებთ მეორე ხაზს, გამრავლებული -7-ზე.
(3) მესამე და მეოთხე სტრიქონები იგივეა, ჩვენ ვშლით ერთ-ერთ მათგანს.

აი ასეთი სილამაზე:

საბაზისო ცვლადები ზის საფეხურებზე, ამიტომ ისინი საბაზისო ცვლადებია.
არსებობს მხოლოდ ერთი უფასო ცვლადი, რომელსაც ნაბიჯი არ მიუღია:

საპირისპირო მოძრაობა:
ჩვენ გამოვხატავთ ძირითად ცვლადებს თავისუფალი ცვლადის მიხედვით:
მესამე განტოლებიდან:

განვიხილოთ მეორე განტოლება და ჩაანაცვლეთ მასში ნაპოვნი გამონათქვამი:

განვიხილოთ პირველი განტოლება და ჩაანაცვლეთ ნაპოვნი გამონათქვამები და მასში:

დიახ, კალკულატორი, რომელიც ითვლის ჩვეულებრივ წილადებს, მაინც მოსახერხებელია.

ასე რომ, ზოგადი გამოსავალი არის:

კიდევ ერთხელ, როგორ მოხდა ეს? თავისუფალი ცვლადი მარტო ზის თავის კანონიერ მეოთხე ადგილზე. ძირითადი ცვლადების მიღებულმა გამონათქვამებმა ასევე დაიკავეს რიგითი ადგილები.

მოდით დაუყოვნებლივ შევამოწმოთ ზოგადი გადაწყვეტა. იმუშავე შავკანიანებზე, მაგრამ მე უკვე გავაკეთე, ასე რომ დაიჭირე =)

ჩვენ ვცვლით სამ გმირს სისტემის თითოეული განტოლების მარცხენა მხარეს:

მიღებულია განტოლებების შესაბამისი მარჯვენა მხარეები, ამიტომ ზოგადი ამონახსნები სწორად არის ნაპოვნი.

ახლა ნაპოვნი ზოგადი გადაწყვეტიდან ჩვენ ვიღებთ ორ კონკრეტულ გადაწყვეტას. აქ შეფ-მზარეული ერთადერთი უფასო ცვლადია. არ გჭირდება თავის გატეხვა.

დაე მერე პირადი გადაწყვეტილებაა.
დაე მერე არის კიდევ ერთი კონკრეტული გამოსავალი.

უპასუხე: საერთო გადაწყვეტილება: , კონკრეტული გადაწყვეტილებები: , .

აქ შავკანიანების შესახებ არ უნდა მახსოვდეს... ... რადგან თავში ყველანაირი სადისტური მოტივი გამახსენდა და გამახსენდა კარგად ცნობილი ფოტოჟაბა, რომელშიც კუ კლუქს კლანსმენები თეთრ კომბინეზონებში დარბიან მოედანზე შავი ფეხბურთის შემდეგ. მოთამაშე. ვჯდები და ჩუმად ვიღიმი. თქვენ იცით, როგორ აშორებს ყურადღებას…

ბევრი მათემატიკა საზიანოა, ამიტომ მსგავსი საბოლოო მაგალითი დამოუკიდებელი ამოხსნისთვის.

მაგალითი 6

იპოვეთ წრფივი განტოლებათა სისტემის ზოგადი ამონახსნი.

მე უკვე შევამოწმე ზოგადი გადაწყვეტა, პასუხი შეიძლება სანდო იყოს. თქვენი გამოსავალი შეიძლება განსხვავდებოდეს ჩემი გადაწყვეტილებისგან, მთავარია, რომ ზოგადი გადაწყვეტილებები ემთხვეოდეს.

ალბათ, ბევრმა შეამჩნია უსიამოვნო მომენტი ამონახსნებში: ძალიან ხშირად, გაუსის მეთოდის საპირისპირო კურსის დროს, ჩვეულებრივ წილადებთან გვიწევდა ჩხუბი. პრაქტიკაში, ეს ასეა, შემთხვევები, როდესაც არ არის წილადები, გაცილებით ნაკლებად გავრცელებულია. მოემზადეთ გონებრივად და რაც მთავარია ტექნიკურად.

შევჩერდები ამოხსნის ზოგიერთ მახასიათებელზე, რომელიც ამოხსნილ მაგალითებში ვერ მოიძებნა.

სისტემის ზოგადი გადაწყვეტა ზოგჯერ შეიძლება შეიცავდეს მუდმივას (ან მუდმივებს), მაგალითად: . აქ ერთ-ერთი ძირითადი ცვლადი უდრის მუდმივ რიცხვს: . ამაში ეგზოტიკური არაფერია, ეს ხდება. ცხადია, ამ შემთხვევაში, ნებისმიერი კონკრეტული გამოსავალი შეიცავს ხუთეულს პირველ პოზიციაზე.

იშვიათად, მაგრამ არის სისტემები, რომლებშიც განტოლებების რაოდენობა ცვლადების რაოდენობაზე მეტია. გაუსის მეთოდი მუშაობს ყველაზე მძიმე პირობებში, მშვიდად უნდა მივიყვანოთ სისტემის გაფართოებული მატრიცა საფეხურზე სტანდარტული ალგორითმის მიხედვით. ასეთი სისტემა შეიძლება იყოს არათანმიმდევრული, შეიძლება ჰქონდეს უსაზღვროდ ბევრი გამოსავალი და, უცნაურად საკმარისი, შეიძლება ჰქონდეს უნიკალური გადაწყვეტა.