მაგალითი. მოსახლეობის დინამიკის სტატისტიკური შესწავლა.
ჯაჭვის, დინამიკის საბაზისო, საშუალო მაჩვენებლების დახმარებით შეაფასეთ რიცხვის ცვლილება, ჩამოწერეთ დასკვნები.
ანალიტიკური გასწორების მეთოდის გამოყენებით (სწორი ხაზისა და პარაბოლის გასწვრივ, კოეფიციენტების განსაზღვრის შემდეგ უმცირესი კვადრატების გამოყენებით), განსაზღვრეთ ფენომენის განვითარების მთავარი ტენდენცია (კომის რესპუბლიკის მოსახლეობა). შეაფასეთ მიღებული მოდელების ხარისხი შეცდომებისა და მიახლოების ფაქტორების გამოყენებით.
განსაზღვრეთ წრფივი და პარაბოლური ტენდენციის კოეფიციენტები Chart Wizard-ის გამოყენებით. მიეცით 2010 წლის მოსახლეობის ქულა და ინტერვალური პროგნოზები. ჩამოწერეთ დასკვნები.
ანალიტიკური გასწორების მეთოდი ა) წრფივი ტენდენციის განტოლება არის y = bt + a 1. იპოვეთ განტოლების პარამეტრები უმცირესი კვადრატების მეთოდით. ჩვენ ვიყენებთ დროის დათვლის მეთოდს პირობითი დასაწყისიდან. წრფივი ტენდენციისთვის უმცირესი კვადრატების განტოლების სისტემას აქვს ფორმა: a 0 n + a 1 ∑t = ∑y a 0 ∑t + a 1 ∑t 2 = ∑y t
ჩვენი მონაცემებისთვის განტოლებათა სისტემა მიიღებს ფორმას: 10a 0 + 0a 1 = 10400 0a 0 + 330a 1 = -4038 -12.236t+1040
მოდით შევაფასოთ ტენდენციის განტოლების ხარისხი აბსოლუტური მიახლოების შეცდომის გამოყენებით. მიახლოების შეცდომა 5%-7%-ში მიუთითებს ტენდენციის განტოლების კარგ შერჩევაზე თავდაპირველ მონაცემებთან. 
ბ) პარაბოლური გასწორება ტენდენციის განტოლებას აქვს ფორმა y = 2 + bt + c 1. განტოლების პარამეტრებს ვპოულობთ უმცირესი კვადრატების მეთოდით. უმცირესი კვადრატების განტოლებათა სისტემა: a 0 n + a 1 ∑t + a 2 ∑t 2 = ∑y a 0 ∑t + a 1 ∑t 2 + a 2 ∑t 3 = ∑yt a 0 ∑t 2 + a 1 ∑t 3 + a 2 ∑t 4 = ∑yt 2
ჩვენი მონაცემებისთვის, განტოლებათა სისტემას აქვს ფორმა 2 = 998.5 ტრენდული განტოლება: y = 1.258t 2 -12.236t+998.5
მიახლოების შეცდომა პარაბოლური ტენდენციის განტოლებისთვის. 
ვინაიდან შეცდომა 7%-ზე ნაკლებია, ეს განტოლება შეიძლება გამოყენებულ იქნას როგორც ტენდენცია.
მინიმალური მიახლოების შეცდომა პარაბოლური გასწორებისთვის. გარდა ამისა, R 2 განსაზღვრის კოეფიციენტი უფრო მაღალია, ვიდრე წრფივი. ამიტომ, პროგნოზირებისთვის აუცილებელია პარაბოლური განტოლების გამოყენება.
ინტერვალის პროგნოზი. მოდით განვსაზღვროთ პროგნოზირებული ინდიკატორის საშუალო კვადრატული ცდომილება. 
m = 1 - გავლენის ფაქტორების რაოდენობა ტრენდის განტოლებაში. Uy = y n+L ± K სადაც 
L - ტყვიის დრო; n+L - წერტილის პროგნოზი მოდელის მიხედვით დროის (n + L)-ე მომენტში; n არის დროის სერიაში დაკვირვებების რაოდენობა; Sy არის პროგნოზირებული ინდიკატორის სტანდარტული შეცდომა; T ცხრილი - სტუდენტის კრიტერიუმის ცხრილის მნიშვნელობა α მნიშვნელოვნების დონისთვის და თავისუფლების ხარისხების რაოდენობის ტოლი n-2. Student-ის ცხრილის მიხედვით ვპოულობთ Ttable Ttable (n-m-1;α/2) = (8;0.025) = 2.306 ქულიანი პროგნოზი, t = 10: y(10) = 1.26*10 2 -12.24*10 + 998.5 = 1001.89 ათასი ადამიანი 1001.89 - 71.13 = 930.76; 1001.89 + 71.13 = 1073.02 ინტერვალის პროგნოზი: t = 9+1 = 10: (930.76;1073.02)
ფორმულის მიხედვით (9.29) წრფივი ტენდენციის პარამეტრებია a = 1894/11 = 172,2 ქ/ჰა; ბ= 486/110 = 4,418 ქ/ჰა. წრფივი ტენდენციის განტოლება არის:
û = 172,2 + 4,418ტ, სად t = 0 1987 წელს ეს ნიშნავს, რომ საშუალო ფაქტობრივი და კორექტირებული დონე, რომელიც მიუთითებს პერიოდის შუა რიცხვებზე, ე.ი. 1991 წლისთვის, უდრის 172 ცენტნერს 1 რაზე, საშუალო წლიური ზრდა არის 4,418 ცენტნერი/ჰა წელიწადში.
პარაბოლური ტენდენციის პარამეტრები (9.23) არის b= 4,418; ა = 177,75; c =-0,5571. პარაბოლური ტენდენციის განტოლებას აქვს ფორმა ũ = 177,75 + 4,418ტ - 0.5571t2; ტ= 0 1991 წელს. ეს ნიშნავს, რომ მოსავლიანობის აბსოლუტური ზრდა ნელდება საშუალოდ 2,0,56 ც/ჰა წელიწადში წელიწადში. თავად აბსოლუტური ზრდა აღარ არის პარაბოლური ტენდენციის მუდმივი, მაგრამ არის საშუალო მნიშვნელობა პერიოდისთვის. საცნობარო პუნქტად მიღებულ წელს, ე.ი. 1991 წელს ტენდენცია გადის 77,75 ც/ჰა ორდინატით წერტილში; პარაბოლური ტენდენციის თავისუფალი ვადა არ არის პერიოდის საშუალო დონე. ექსპონენციური ტენდენციის პარამეტრები გამოითვლება ფორმულებით (9.32) და (9.33) ln ა= 56.5658/11 = 5.1423; აძლიერებს, ვიღებთ ა= 171,1; ლნ კ= 2.853:110 = 0.025936; აძლიერებს, ვიღებთ კ = 1,02628.
ექსპონენციალური ტენდენციის განტოლება არის: y = 171.1 1.02628 ტ .
ეს ნიშნავს, რომ საშუალო წლიური პოსტ-სარგებელი ამ პერიოდისთვის იყო 102.63%. საწყისამდე მიყვანილ წერტილში ტენდენცია გადის წერტილს 171,1 კვ/ჰა ორდინატით.
ტენდენციის განტოლებების მიხედვით გამოთვლილი დონეები ჩაწერილია ცხრილის ბოლო სამ სვეტში. 9.5. როგორც ამ მონაცემებიდან ჩანს. სამივე ტიპის ტენდენციისთვის დონეების გამოთვლილი მნიშვნელობები დიდად არ განსხვავდება, რადგან პარაბოლის აჩქარებაც და მაჩვენებლის ზრდის ტემპიც მცირეა. პარაბოლას აქვს მნიშვნელოვანი განსხვავება - დონეების ზრდა შეჩერებულია 1995 წლიდან, ხოლო წრფივი ტენდენციით, დონეები აგრძელებს ზრდას, ხოლო ექსპონენციალურობით, მათი OST აჩქარებს. მაშასადამე, მომავლის პროგნოზებისთვის, ეს სამი ტენდენცია არ არის თანაბარი: პარაბოლის ექსტრაპოლაციისას მომავალი წლებისთვის, დონეები მკვეთრად განსხვავდება სწორი ხაზისა და მაჩვენებლისგან, როგორც ჩანს ცხრილიდან. 9.6. ეს ცხრილი გვიჩვენებს გამოსავლის ამონაბეჭდს კომპიუტერზე Statgraphics პროგრამის გამოყენებით იგივე სამი ტენდენციისთვის. განსხვავება მათ უფასო პირობებსა და ზემოთ მოცემულ პირობებს შორის აიხსნება იმით, რომ პროგრამა ითვლის წლებს არა შუა რიცხვებიდან, არამედ თავიდანვე, ასე რომ ტენდენციების უფასო პირობები ეხება 1986 წელს, რომლისთვისაც t = 0. ანაბეჭდზე ექსპონენციალური განტოლება დარჩა ლოგარითმული სახით. პროგნოზი კეთდება 5 წლის წინ, ე.ი. როდესაც პარაბოლის განტოლებაში იცვლება კოორდინატების საწყისი (დროის მითითება), საშუალო აბსოლუტური ზრდა, პარამეტრი. ბ.ვინაიდან ნეგატიური აჩქარების შედეგად ზრდა მუდმივად მცირდება და მისი მაქსიმუმი პერიოდის დასაწყისშია. პარაბოლას მუდმივი მხოლოდ აჩქარებაა.
ხაზი "მონაცემები" შეიცავს ორიგინალური სერიის დონეებს; „პროგნოზის შეჯამება“ ნიშნავს პროგნოზის შემაჯამებელ მონაცემებს. შემდეგ სტრიქონებში - სწორი წრფის, პარაბოლის, მაჩვენებლის განტოლებები - ლოგარითმული სახით. ME სვეტი ნიშნავს საშუალო შეუსაბამობას ორიგინალური სერიის დონეებსა და ტენდენციის დონეებს შორის (მორგებული). სწორი ხაზისთვის და პარაბოლისთვის, ეს შეუსაბამობა ყოველთვის ნულის ტოლია. მაჩვენებლის დონეები საშუალოდ 0,48852-ით დაბალია, ვიდრე ორიგინალური სერიის დონეები. ზუსტი დამთხვევა შესაძლებელია, თუ ჭეშმარიტი ტენდენცია ექსპონენციალურია; ამ შემთხვევაში შემთხვევითობა არ არის, მაგრამ განსხვავება მცირეა. MAE სვეტი არის განსხვავება s2-ფაქტობრივი დონის ცვალებადობის საზომი ტენდენციასთან მიმართებაში, როგორც აღწერილია 9.7 პარაგრაფში. სვეტი MAE - დონეების საშუალო წრფივი გადახრა ტრენდის მოდულიდან (იხ. პუნქტი 5.8); სვეტი MARE - ფარდობითი წრფივი გადახრა პროცენტებში. აქ ისინი მოცემულია შერჩეული ტენდენციის ტიპის ვარგისიანობის ინდიკატორებად. პარაბოლას აქვს უფრო მცირე დისპერსიისა და გადახრის მოდული: ის არის 1986 - 1996 წლებში. რეალურ დონეებთან უფრო ახლოს. მაგრამ ტენდენციის ტიპის არჩევანი მხოლოდ ამ კრიტერიუმზე ვერ დაიყვანება. ფაქტობრივად, ზრდის შენელება არის დიდი უარყოფითი გადახრის შედეგი, ანუ 1996 წელს მოსავლის უკმარისობა.
ცხრილის მეორე ნახევარი წარმოადგენს მოსავლიანობის დონის პროგნოზს სამი ტიპის ტენდენციისთვის წლების განმავლობაში; t = 12, 13, 14, 15 და 16 საწყისიდან (1986 წ.). პროგნოზის დონეები ექსპონენტურად მე-16 წლამდე არ არის ბევრად უფრო მაღალი ვიდრე სწორი ხაზით. ტენდენციის პარაბოლის დონეები მცირდება, უფრო და უფრო განსხვავდება სხვა ტენდენციებისგან.
როგორც ჩანს ცხრილში. 9.4, ტენდენციის პარამეტრების გაანგარიშებისას საწყისი სერიის დონეები შედის სხვადასხვა წონით - მნიშვნელობებით tpდა მათი კვადრატები. აქედან გამომდინარე, დონის რყევების გავლენა ტენდენციის პარამეტრებზე დამოკიდებულია იმაზე, თუ წელიწადის რომელი რიცხვი მოდის პროდუქტიულ ან მჭლე წელს. თუ მკვეთრი გადახრა ხდება წელიწადში ნულოვანი რიცხვით ( ti = 0), მაშინ ტენდენციის პარამეტრებზე არანაირ გავლენას არ მოახდენს და სერიის დასაწყისსა და დასასრულს რომ მოხვდება ძლიერი ეფექტი ექნება. შესაბამისად, ერთი ანალიტიკური გასწორება მთლიანად არ ათავისუფლებს ტენდენციის პარამეტრებს ცვალებადობის გავლენისგან და ძლიერი რყევებით ისინი შეიძლება მკვეთრად დამახინჯდეს, რაც ჩვენს მაგალითში პარაბოლასთან მოხდა. ტენდენციის პარამეტრებზე რყევების დამახინჯებული ეფექტის შემდგომი აღმოსაფხვრელად, უნდა იქნას გამოყენებული მრავალჯერადი მოცურების გასწორების მეთოდი.
ეს ტექნიკა მდგომარეობს იმაში, რომ ტენდენციის პარამეტრები გამოითვლება არა დაუყოვნებლივ მთელი სერიის განმავლობაში, არამედ მოცურების მეთოდით, ჯერ პირველისთვის. ტდროის მონაკვეთები ან მომენტები, შემდეგ პერიოდისთვის მე-2-დან t+ 1, მე-3-მდე (t + 2)-ე დონე და ა.შ. თუ სერიის საწყისი დონეების რაოდენობა არის P,და თითოეული მოცურების პარამეტრის გამოთვლის ბაზის სიგრძე უდრის ტ,მაშინ ასეთი მოძრავი ბაზების რაოდენობა t ან პარამეტრების ინდივიდუალური მნიშვნელობები, რომლებიც მათგან იქნება განსაზღვრული, იქნება:
ლ = n+ 1 - ტ.
მრავალჯერადი გასწორების ტექნიკის გამოყენება შეიძლება განიხილებოდეს, როგორც ეს ჩანს ზემოაღნიშნული გამოთვლებიდან, მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ სერიის დონეების რაოდენობა საკმარისად დიდია, ჩვეულებრივ 15 ან მეტი. განვიხილოთ ეს ტექნიკა ცხრილში მოცემული მონაცემების მაგალითზე. 9.4 გვიჩვენებს არასაწვავის საქონლის ფასების დინამიკას განვითარებად ქვეყნებში, რაც კიდევ ერთხელ აძლევს მკითხველს შესაძლებლობას მონაწილეობა მიიღოს მცირე სამეცნიერო კვლევაში. იმავე მაგალითზე, ჩვენ გავაგრძელებთ პროგნოზირების ტექნიკას განყოფილებაში 9.10.
თუ გამოვთვლით ჩვენს სერიების პარამეტრებს 11 წლიან პერიოდზე (11 დონისთვის), მაშინ ტ= 17 + 1 - 11 = 7. მრავალჯერადი მოცურების ნიველირება არის ის, რომ პარამეტრის გამოთვლის ბაზის თანმიმდევრული გადანაცვლებით, მის ბოლოებში და შუაში იქნება სხვადასხვა დონეები განსხვავებული ნიშნებით და ტენდენციიდან გადახრების სიდიდით. მაშასადამე, ბაზაში გარკვეული ცვლილებით, პარამეტრები გადაჭარბებული იქნება, სხვებთან ერთად ისინი შეფასდება, ხოლო პარამეტრის მნიშვნელობების შემდგომი საშუალოდ გაანგარიშების ბაზაში ყველა ცვლაზე, ტენდენციის პარამეტრების დამახინჯება კიდევ უფრო გაიზრდება. კომპენსირდება დონის რყევებით.
მრავალჯერადი მოცურების გასწორება საშუალებას გაძლევთ მიიღოთ არა მხოლოდ ტენდენციის პარამეტრების უფრო ზუსტი და საიმედო შეფასება, არამედ გააკონტროლოთ ტრენდის განტოლების ტიპის სწორი არჩევანი. თუ აღმოჩნდება, რომ წამყვანი ტენდენციის პარამეტრი, მისი მუდმივი, მოძრავი ბაზებით გაანგარიშებისას, შემთხვევით არ იცვლება, მაგრამ სისტემატურად ცვლის მის მნიშვნელობას მნიშვნელოვნად, მაშინ ტენდენციის ტიპი არასწორად არის არჩეული, ეს პარამეტრი არ არის მუდმივი.
რაც შეეხება თავისუფალ ტერმინს მრავალჯერადი გასწორებით, არ არის საჭირო და, უფრო მეტიც, უბრალოდ არასწორია მისი მნიშვნელობის საშუალოდ გამოთვლა ბაზის ყველა ცვლაზე, რადგან ამ მეთოდით თავდაპირველი სერიის ცალკეული დონეები ჩაირთვება. საშუალოს გამოთვლა სხვადასხვა წონებით და გასწორებული დონეების ჯამი განსხვავდება ორიგინალური სერიის პირობების ჯამთან. ტენდენციის თავისუფალი ვადა არის დონის საშუალო მნიშვნელობა პერიოდისთვის, იმ პირობით, რომ დრო დათვლილია პერიოდის შუა რიცხვებიდან. თავიდანვე დათვლისას თუ პირველ დონეზე ტ ი= 1, თავისუფალი ვადა ტოლი იქნება: a 0 = у̅ - ბ((N-1)/2). მიზანშეწონილია აირჩიოთ მოძრავი ბაზის სიგრძე ტენდენციის პარამეტრების გამოსათვლელად მინიმუმ 9-11 დონეზე, რათა საკმარისად შემცირდეს დონის რყევები. თუ თავდაპირველი რიგი ძალიან გრძელია, ფუძე შეიძლება იყოს მისი სიგრძის 0,7-0,8-მდე. ტენდენციის პარამეტრებზე ხანგრძლივი პერიოდის (ციკლური) რყევების გავლენის აღმოსაფხვრელად, საბაზისო ცვლის რაოდენობა უნდა იყოს რყევების ციკლის სიგრძის ტოლი ან ჯერადი. შემდეგ ბაზის დასაწყისი და დასასრული თანმიმდევრულად "გაივლის" ციკლის ყველა ფაზას და როდესაც პარამეტრი საშუალოდ იქნება ყველა ცვლაზე, მისი დამახინჯებები ციკლური რყევებისგან გააუქმებს ერთმანეთს. კიდევ ერთი გზაა აიღოთ მოცურების ბაზის სიგრძე ციკლის ხანგრძლივობის ტოლი, ისე, რომ ფუძის დასაწყისი და ფუძის დასასრული ყოველთვის მოხვდეს რხევის ციკლის ერთსა და იმავე ფაზაზე.
ვინაიდან ცხრილის მიხედვით. 9.4, უკვე დადგენილია, რომ ტენდენციას აქვს წრფივი ფორმა, ვიანგარიშებთ საშუალო წლიურ აბსოლუტურ ზრდას, ანუ პარამეტრს. ბწრფივი ტენდენციის განტოლებები სრიალის გზით 11 წლის საფუძვლებზე (იხ. ცხრილი 9.7). იგი ასევე შეიცავს 9.7 პუნქტში არასტაბილურობის შემდგომი შესწავლისთვის საჭირო მონაცემების გამოთვლას. მოდით უფრო დეტალურად ვისაუბროთ მოცურების ბაზებით მრავალჯერადი გასწორების მეთოდზე. გამოთვალეთ პარამეტრი ბყველა ბაზისთვის:
ტენდენციის ხაზი გამოიყენება ფასების ტენდენციების ვიზუალურად საილუსტრაციოდ. ტექნიკური ანალიზის ელემენტი არის გაანალიზებული ინდიკატორის საშუალო მნიშვნელობების გეომეტრიული წარმოდგენა.
ვნახოთ, როგორ დავამატოთ ტრენდის ხაზი გრაფიკს Excel-ში.
ტენდენციის ხაზის დამატება დიაგრამაზე
მაგალითად, ავიღოთ ნავთობის საშუალო ფასი 2000 წლიდან ღია წყაროებიდან. ჩვენ შევიყვანთ მონაცემებს ანალიზისთვის ცხრილში:
ტენდენციის ხაზი Excel-ში არის მიახლოებითი ფუნქციის გრაფიკი. რატომ არის საჭირო - პროგნოზების გაკეთება სტატისტიკურ მონაცემებზე დაყრდნობით. ამ მიზნით, აუცილებელია ხაზის გაფართოება და მისი მნიშვნელობების დადგენა.
თუ R2 = 1, მაშინ მიახლოების შეცდომა არის ნული. ჩვენს მაგალითში, ხაზოვანი მიახლოების არჩევამ დაბალი ნდობა და ცუდი შედეგი მისცა. პროგნოზი არაზუსტი იქნება.
ყურადღება!!! ტენდენციის ხაზი არ შეიძლება დაემატოს შემდეგი ტიპის გრაფიკებსა და დიაგრამებს:
- ფურცელი;
- წრიული;
- ზედაპირი;
- რგოლისებრი;
- მოცულობა;
- დაგროვებით.
Trendline განტოლება Excel-ში
ზემოთ მოყვანილ მაგალითში, წრფივი მიახლოება არჩეული იყო მხოლოდ ალგორითმის საილუსტრაციოდ. როგორც სანდოობის ღირებულებამ აჩვენა, არჩევანი მთლად წარმატებული არ იყო.
თქვენ უნდა აირჩიოთ დისპლეის ტიპი, რომელიც ყველაზე ზუსტად ასახავს მომხმარებლის შეყვანის ტენდენციას. მოდით შევხედოთ ვარიანტებს.
წრფივი დაახლოება
მისი გეომეტრიული გამოსახულება არის სწორი ხაზი. ამიტომ, წრფივი მიახლოება გამოიყენება ინდიკატორის საილუსტრაციოდ, რომელიც იზრდება ან მცირდება მუდმივი სიჩქარით.
განვიხილოთ მენეჯერის მიერ 10 თვის განმავლობაში დადებული კონტრაქტების პირობითი რაოდენობა:
Excel-ის ცხრილის მონაცემებზე დაყრდნობით, ჩვენ ავაშენებთ სკატერის ნახაზს (ეს დაგეხმარებათ ხაზოვანი ტიპის ილუსტრირებაში):
აირჩიეთ დიაგრამა - "ტენდენციის ხაზის დამატება". პარამეტრებში აირჩიეთ ხაზოვანი ტიპი. ჩვენ ვამატებთ მიახლოების საიმედოობის მნიშვნელობას და ტენდენციის ხაზის განტოლებას Excel-ში (უბრალოდ შეამოწმეთ ველები "პარამეტრების" ფანჯრის ბოლოში).
ჩვენ ვიღებთ შედეგს:
Შენიშვნა! ხაზოვანი ტიპის მიახლოებით, მონაცემთა წერტილები განლაგებულია რაც შეიძლება ახლოს სწორ ხაზთან. ეს ხედი იყენებს შემდეგ განტოლებას:
y = 4,503x + 6,1333
- სადაც 4.503 არის დახრილობის მაჩვენებელი;
- 6.1333 - ოფსეტები;
- y არის მნიშვნელობების თანმიმდევრობა,
- x არის პერიოდის ნომერი.
გრაფიკზე სწორი ხაზი აჩვენებს მენეჯერის მუშაობის ხარისხის სტაბილურ ზრდას. მიახლოებითი სანდოობის მნიშვნელობა არის 0,9929, რაც მიუთითებს კარგ შეთანხმებაზე გამოთვლილ სწორ ხაზსა და საწყის მონაცემებს შორის. პროგნოზები ზუსტი უნდა იყოს.
დადებული კონტრაქტების რაოდენობის პროგნოზირებისთვის, მაგალითად, მე-11 პერიოდში, განტოლებაში x-ის ნაცვლად რიცხვი 11 უნდა ჩაანაცვლოთ. გამოთვლების მსვლელობისას ვიგებთ, რომ მე-11 პერიოდში ეს მენეჯერი 55-56 კონტრაქტს გააფორმებს.
ექსპონენციალური ტენდენციის ხაზი
ეს ტიპი სასარგებლო იქნება, თუ შეყვანის მნიშვნელობები იცვლება მუდმივად მზარდი ტემპით. ექსპონენციალური მიახლოება არ გამოიყენება ნულოვანი ან უარყოფითი მახასიათებლების არსებობისას.
მოდით ავაშენოთ ექსპონენციალური ტენდენციის ხაზი Excel-ში. ავიღოთ მაგალითად X რეგიონში ელექტროენერგიის სასარგებლო მიწოდების პირობითი მნიშვნელობები:
ჩვენ ვაშენებთ სქემას. დაამატეთ ექსპონენციალური ხაზი.
განტოლებას აქვს შემდეგი ფორმა:
y = 7.6403е^-0.084x
- სადაც 7.6403 და -0.084 მუდმივებია;
- e არის ბუნებრივი ლოგარითმის საფუძველი.
მიახლოების სანდოობის ინდექსი იყო 0,938 - მრუდი შეესაბამება მონაცემებს, შეცდომა მინიმალურია, პროგნოზები ზუსტი იქნება.
შესვლა Trendline Excel-ში
იგი გამოიყენება ინდიკატორის შემდეგი ცვლილებებისთვის: ჯერ სწრაფი ზრდა ან შემცირება, შემდეგ შედარებითი სტაბილურობა. ოპტიმიზებული მრუდი კარგად ეგუება რაოდენობის ამ „ქცევას“. ლოგარითმული ტენდენცია შესაფერისია ახალი პროდუქტის გაყიდვების პროგნოზირებისთვის, რომელიც ახლახან არის წარმოდგენილი ბაზარზე.
საწყის ეტაპზე მწარმოებლის ამოცანაა მომხმარებელთა ბაზის გაზრდა. როდესაც პროდუქტს ჰყავს საკუთარი მყიდველი, ის უნდა იყოს შენახული, მიწოდებული.
მოდით ავაშენოთ გრაფიკი და დავამატოთ ლოგარითმული ტენდენციის ხაზი პირობითი პროდუქტის გაყიდვების პროგნოზირებისთვის:
R2 მნიშვნელობით ახლოს არის 1-თან (0.9633), რაც მიუთითებს მიახლოების მინიმალურ შეცდომაზე. ჩვენ ვიწინასწარმეტყველებთ გაყიდვების მოცულობას მომდევნო პერიოდებში. ამისათვის თქვენ უნდა შეცვალოთ პერიოდის რიცხვი განტოლებაში x-ის ნაცვლად.
Მაგალითად:
| პერიოდი | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| პროგნოზი | 1005,4 | 1024,18 | 1041,74 | 1058,24 | 1073,8 | 1088,51 | 1102,47 |
პროგნოზის მაჩვენებლების გამოსათვლელად გამოყენებული იქნა შემდეგი ფორმულა: =272.14*LN(B18)+287.21. სადაც B18 არის პერიოდის ნომერი.
პოლინომიური Trendline Excel-ში
ამ მრუდს აქვს აღმავალი და დაღმავალი ცვლადები. მრავალწევრებისთვის (პოლინომები) ხარისხი განისაზღვრება (მაქსიმალური და მინიმალური მნიშვნელობების რაოდენობით). მაგალითად, ერთი ექსტრემუმი (მინიმალური და მაქსიმალური) არის მეორე ხარისხი, ორი უკიდურესი არის მესამე ხარისხი, სამი არის მეოთხე.
Excel-ში პოლინომიური ტენდენცია გამოიყენება არასტაბილური მნიშვნელობის შესახებ მონაცემთა დიდი ნაკრების გასაანალიზებლად. მოდით შევხედოთ ღირებულებების პირველი ნაკრების მაგალითს (ნავთობის ფასები).
მიახლოების სანდოობის ასეთი მნიშვნელობის მისაღებად (0,9256), მე უნდა დავაყენო მე-6 ხარისხი.
მაგრამ ასეთი ტენდენცია საშუალებას გაძლევთ გააკეთოთ მეტ-ნაკლებად ზუსტი პროგნოზები.
23. წრფივი ტენდენციის პარამეტრების გაანგარიშება.
განვითარების ძირითადი ტენდენცია (ტენდენცია) არის ფენომენის დონის გლუვი და სტაბილური ცვლილება დროში, შემთხვევითი რყევებისგან თავისუფალი.
ამოცანა მდგომარეობს იმაში, რომ გამოვავლინოთ სერიის დონეების ცვლილების ზოგადი ტენდენციები, გათავისუფლებული სხვადასხვა შემთხვევითი ფაქტორების მოქმედებისგან. ამ მიზნით დროის სერიები მუშავდება ინტერვალის გადიდების, მოძრავი საშუალო და ანალიტიკური გასწორების მეთოდებით.
*დროის სერიებში ძირითადი ტენდენციის შესწავლის ერთ-ერთი უმარტივესი მეთოდია ინტერვალების გაფართოება. იგი ეფუძნება დროის პერიოდების გაფართოებას, რომელიც მოიცავს დინამიკის სერიის დონეებს (ამავდროულად, ინტერვალების რაოდენობა მცირდება). მაგალითად, დღიური გამომავალი სერია იცვლება ყოველთვიური გამომავალი სერიებით და ა.შ. საშუალო, რომელიც გამოითვლება გაფართოებულ ინტერვალებში, შესაძლებელს ხდის განისაზღვროს ძირითადი განვითარების ტენდენციის მიმართულება და ბუნება (ზრდის დაჩქარება ან შენელება).
* ძირითადი ტენდენციის იდენტიფიცირება ასევე შეიძლება განხორციელდეს მოძრავი (მოძრავი) საშუალო მეთოდით. მისი არსი მდგომარეობს იმაში, რომ საშუალო დონე გამოითვლება ზედიზედ პირველი დონის გარკვეული რიცხვიდან, ჩვეულებრივ კენტიდან (3, 5, 7 და ა.შ.), შემდეგ დონეების იგივე რაოდენობის მიხედვით, მაგრამ დაწყებული ზედიზედ მეორე, შემდეგ - მესამედან დაწყებული და ა.შ. ამრიგად, საშუალო, როგორც ეს იყო, "სრიალებს" დინამიკის სერიის გასწვრივ, მოძრაობს ერთი პერიოდის განმავლობაში.
ორ წევრად რიგის დასაწყისში და ბოლოს. ის რეალურზე ნაკლებია, რომელიც ექვემდებარება რყევებს შემთხვევითი მიზეზების გამო და უფრო ნათლად, გრაფიკზე გლუვი ხაზის სახით, გამოხატავს მოსავლიანობის ზრდის ძირითად ტენდენციას შესწავლილ პერიოდში, რაც დაკავშირებულია მოქმედებასთან. გრძელვადიანი არსებული მიზეზები და განვითარების პირობები.
სერიის გამარტივების მინუსი არის გათლილი სერიის „დამოკლება“ რეალურთან შედარებით და, შესაბამისად, ინფორმაციის დაკარგვა.
დინამიური სერიების დაგლუვების განხილული მეთოდები (უხეში ინტერვალები და მოძრავი საშუალო მეთოდი) შესაძლებელს ხდის ფენომენის განვითარების მხოლოდ ზოგადი ტენდენციის განსაზღვრას, მეტ-ნაკლებად გათავისუფლებული შემთხვევითი და ტალღოვანი რყევებისგან. თუმცა ამ მეთოდების გამოყენებით განზოგადებული სტატისტიკური ტენდენციის მოდელის მიღება შეუძლებელია.
*რაოდენობრივი მოდელის მისაცემად, რომელიც გამოხატავს დროის სერიების დონეების ცვლილების ძირითად ტენდენციას დროთა განმავლობაში, გამოიყენება დროის სერიების ანალიტიკური გასწორება.
სადაც yt არის დინამიური სერიის დონეები, რომლებიც გამოითვლება შესაბამისი ანალიტიკური განტოლების მიხედვით t დროს.
yt-ის თეორიული (გამოთვლილი) დონეები განისაზღვრება ე.წ. ადეკვატური მათემატიკური მოდელის საფუძველზე, რომელიც საუკეთესოდ ასახავს (აახლოებს) დროის სერიების ძირითად ტენდენციას. მოდელის ტიპის არჩევანი დამოკიდებულია კვლევის მიზანზე და უნდა ეფუძნებოდეს თეორიულ ანალიზს, რომელიც ავლენს ფენომენის განვითარების ბუნებას, ასევე დინამიკის სერიის გრაფიკულ წარმოდგენას (წრფივი დიაგრამა).
მაგალითად, უმარტივესი მოდელები (ფორმულები), რომლებიც გამოხატავს განვითარების ტენდენციას, არის:
წრფივი ფუნქცია - პირდაპირი yt = a0 + a1t,
სადაც a0,a1 არის განტოლების პარამეტრები; t - დრო;
ექსპონენციალური ფუნქცია yt = A0A1t
სიმძლავრის ფუნქცია - მეორე რიგის მრუდი (პარაბოლა)
იმ შემთხვევებში, როდესაც საჭიროა განვითარების ტენდენციის განსაკუთრებით ზუსტი შესწავლა (მაგალითად, ტენდენციის მოდელი პროგნოზირებისთვის), ადეკვატური ფუნქციის ტიპის არჩევისას შეიძლება გამოყენებულ იქნას მათემატიკური სტატისტიკის სპეციალური კრიტერიუმები.
ფუნქციის პარამეტრები, როგორც წესი, გამოითვლება უმცირესი კვადრატების მეთოდის გამოყენებით, რომელშიც გადაწყვეტის სახით მიიღება თეორიულ და ემპირიულ დონეებს შორის კვადრატული გადახრების ჯამის მინიმალური წერტილი:
სადაც yt - გასწორებული (გამოთვლილი) დონეები; yt - ფაქტობრივი დონეები.
განტოლების პარამეტრები a, - ამ პირობის დაკმაყოფილების პოვნა შესაძლებელია ნორმალური განტოლებათა სისტემის ამოხსნით. ნაპოვნი ტრენდის განტოლების საფუძველზე გამოითვლება გასწორებული დონეები. ამგვარად, დროის სერიების გასწორება შედგება y, - ფაქტობრივი დონეების შეცვლაში, შეუფერხებლად ცვალებადი დონეებით Y(, რაც საუკეთესოდ შეესაბამება სტატისტიკურ მონაცემებს.
სწორი ხაზით გასწორება გამოიყენება, როგორც წესი, იმ შემთხვევებში, როდესაც აბსოლუტური მიღწევები პრაქტიკულად მუდმივია, ანუ როდესაც დონეები იცვლება არითმეტიკული პროგრესიით (ან მასთან ახლოს).
ექსპონენციური ფუნქციით გასწორება გამოიყენება იმ შემთხვევებში, როდესაც სერია ასახავს განვითარებას გეომეტრიული პროგრესიით, ანუ, როდესაც ჯაჭვის ზრდის ფაქტორები პრაქტიკულად მუდმივია.
განვიხილოთ დროის სერიების სწორი ხაზით გასწორების „ტექნიკა“: yt=a0+a1t
პარამეტრები a0, a1 უმცირესი კვადრატების მეთოდის მიხედვით ნაპოვნია პირობის ალგებრული გარდაქმნით მიღებული ნორმალური განტოლებების შემდეგი სისტემის ამოხსნით.
სადაც y - სერიის ფაქტობრივი (ემპირიული) დონეები; t - დრო (პერიოდის სერიული ნომერი ან დროის წერტილი).
ჩვენ ვაჩვენებთ ტენდენციის განტოლების პარამეტრების დეტალური გაანგარიშების მაგალითს შემდეგ მონაცემებზე დაყრდნობით (იხ. ცხრილი) კალკულატორის გამოყენებით.
წრფივი ტენდენციის განტოლება არის y = at + b.
1. იპოვეთ განტოლების პარამეტრები უმცირესი კვადრატების მეთოდით.
უმცირესი კვადრატების განტოლებების სისტემა:
a 0 n + a 1 ∑t = ∑y
a 0 ∑t + a 1 ∑t 2 = ∑yt
| ტ | წ | t2 | y2 | t y | y(t) | (y-y cp) 2 | (y-y(t)) 2 | (t-t p) 2 | (y-y(t)) : y |
| 1 | 17.4 | 1 | 302.76 | 17.4 | 12.26 | 895.01 | 26.47 | 30.25 | 0.3 |
| 2 | 26.9 | 4 | 723.61 | 53.8 | 18.63 | 416.84 | 68.39 | 20.25 | 0.31 |
| 3 | 23 | 9 | 529 | 69 | 25 | 591.3 | 4.02 | 12.25 | 0.0872 |
| 4 | 23.7 | 16 | 561.69 | 94.8 | 31.38 | 557.75 | 58.98 | 6.25 | 0.32 |
| 5 | 27.2 | 25 | 739.84 | 136 | 37.75 | 404.68 | 111.4 | 2.25 | 0.39 |
| 6 | 34.5 | 36 | 1190.25 | 207 | 44.13 | 164.27 | 92.72 | 0.25 | 0.28 |
| 7 | 50.7 | 49 | 2570.49 | 354.9 | 50.5 | 11.45 | 0.0383 | 0.25 | 0.0039 |
| 8 | 61.4 | 64 | 3769.96 | 491.2 | 56.88 | 198.34 | 20.44 | 2.25 | 0.0736 |
| 9 | 69.3 | 81 | 4802.49 | 623.7 | 63.25 | 483.27 | 36.56 | 6.25 | 0.0872 |
| 10 | 94.4 | 100 | 8911.36 | 944 | 69.63 | 2216.84 | 613.62 | 12.25 | 0.26 |
| 11 | 61.1 | 121 | 3733.21 | 672.1 | 76 | 189.98 | 222.11 | 20.25 | 0.24 |
| 12 | 78.2 | 144 | 6115.24 | 938.4 | 82.38 | 953.78 | 17.46 | 30.25 | 0.0534 |
| 78 | 567.8 | 650 | 33949.9 | 4602.3 | 567.8 | 7083.5 | 1272.21 | 143 | 2.41 |
ჩვენი მონაცემებისთვის, განტოლებათა სისტემას აქვს ფორმა:
12a 0 + 78a 1 = 567.8
78a 0 + 650a 1 = 4602.3
პირველი განტოლებიდან გამოვხატავთ 0-ს და ვცვლით მეორე განტოლებაში
ჩვენ ვიღებთ 0 = 6.37, a 1 = 5.88
შენიშვნა: სვეტი #6 y(t) მნიშვნელობები გამოითვლება მიღებული ტენდენციის განტოლების საფუძველზე. მაგალითად, t = 1: y(1) = 6.37*1 + 5.88 = 12.26
ტენდენციის განტოლება
y = 6,37 ტ + 5,88მოდით შევაფასოთ ტენდენციის განტოლების ხარისხი აბსოლუტური მიახლოების შეცდომის გამოყენებით.
ვინაიდან ცდომილება 15%-ზე მეტია, ეს განტოლება არ არის სასურველი ტენდენციად გამოყენება.
საშუალო მნიშვნელობები: 
დისპერსია 
სტანდარტული გადახრა
ელასტიურობის კოეფიციენტი 
ელასტიურობის კოეფიციენტი 1-ზე ნაკლებია. ამიტომ, თუ X იცვლება 1%-ით, Y შეიცვლება 1%-ზე ნაკლებით. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, X-ის გავლენა Y-ზე არ არის მნიშვნელოვანი.
განსაზღვრის კოეფიციენტი 
იმათ. შემთხვევების 82,04%-ში გავლენას ახდენს მონაცემთა ცვლილებაზე. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ტენდენციის განტოლების შერჩევის სიზუსტე მაღალია
2. ტენდენციის განტოლების პარამეტრების შეფასებების განსაზღვრის სიზუსტის ანალიზი..
განტოლების შეცდომის ვარიაცია.
სადაც m = 1 არის ტენდენციის მოდელში გავლენის ფაქტორების რაოდენობა.
განტოლების სტანდარტული შეცდომა.
3. ჰიპოთეზების ტესტირება წრფივი ტენდენციის განტოლების კოეფიციენტებთან დაკავშირებით.
1) t-სტატისტიკა. სტუდენტის კრიტერიუმი.
სტუდენტის ცხრილის მიხედვით ვპოულობთ Ttable-ს
T ცხრილი (n-m-1; α / 2) \u003d (10; 0.025) \u003d 2.228
>
დადასტურებულია a 0 კოეფიციენტის სტატისტიკური მნიშვნელობა. პარამეტრი a 0-ის შეფასება მნიშვნელოვანია და დროის სერიას აქვს ტენდენცია.
a 1 კოეფიციენტის სტატისტიკური მნიშვნელობა არ არის დადასტურებული.
ტენდენციის განტოლების კოეფიციენტებისთვის ნდობის ინტერვალი.
მოდით განვსაზღვროთ ტენდენციის კოეფიციენტების ნდობის ინტერვალები, რომლებიც 95% სანდოობით იქნება შემდეგი:
(a 1 - t obs S a 1 ;a 1 + t obs S a 1)
(6.375 - 2.228*0.943; 6.375 + 2.228*0.943)
(4.27;8.48)
(a 0 - t obs S a 0 ;a 0 + t obs S a 0)
(5.88 - 2.228*6.942; 5.88 + 2.228*6.942)
(-9.59;21.35)
ვინაიდან წერტილი 0 (ნული) დევს ნდობის ინტერვალში, a 0 კოეფიციენტის ინტერვალის შეფასება სტატისტიკურად უმნიშვნელოა.
2) F- სტატისტიკა. ფიშერის კრიტერიუმი. 
fkp = 4.84
ვინაიდან F > Fkp, განსაზღვრის კოეფიციენტი სტატისტიკურად მნიშვნელოვანია
შეამოწმეთ ნარჩენების ავტოკორელაცია.
LSM-ის გამოყენებით თვისებრივი რეგრესიის მოდელის აგების მნიშვნელოვანი წინაპირობაა შემთხვევითი გადახრების მნიშვნელობების დამოუკიდებლობა ყველა სხვა დაკვირვებაში გადახრების მნიშვნელობებისგან. ეს უზრუნველყოფს, რომ არ არსებობს კორელაცია რაიმე გადახრებს შორის და, კერძოდ, მიმდებარე გადახრებს შორის.
ავტოკორელაცია (სერიული კორელაცია)განსაზღვრულია, როგორც კორელაცია დაკვირვებულ ზომებს შორის, რომლებიც დალაგებულია დროში (დროის სერიაში) ან სივრცეში (ჯვარედინი სერიები). ნარჩენების ავტოკორელაცია (აღკვეთილები) ჩვეულებრივ გვხვდება რეგრესიის ანალიზში დროის სერიების მონაცემების გამოყენებისას და ძალიან იშვიათად ჯვარედინი მონაცემების გამოყენებისას.
ეკონომიკურ ამოცანებში ეს ბევრად უფრო ხშირია დადებითი ავტოკორელაციავიდრე უარყოფითი ავტოკორელაცია. უმეტეს შემთხვევაში, პოზიტიური ავტოკორელაცია გამოწვეულია გარკვეული ფაქტორების მიმართული მუდმივი გავლენით, რომლებიც არ არის გათვალისწინებული მოდელში.
უარყოფითი ავტოკორელაციარეალურად ნიშნავს, რომ დადებით გადახრას მოსდევს უარყოფითი და პირიქით. ასეთი ვითარება შეიძლება მოხდეს, თუ გამაგრილებელ სასმელებზე მოთხოვნასა და შემოსავლებს შორის იგივე კავშირი განიხილება სეზონური მონაცემების მიხედვით (ზამთარი-ზაფხული).
მათ შორის ავტოკორელაციის გამომწვევი ძირითადი მიზეზები, შეიძლება გამოიყოს შემდეგი:
1. სპეციფიკაციის შეცდომები. მოდელში რაიმე მნიშვნელოვანი ახსნა-განმარტებითი ცვლადის გაუთვალისწინებლობა ან დამოკიდებულების ფორმის არასწორი არჩევანი ჩვეულებრივ იწვევს დაკვირვების წერტილების სისტემურ გადახრებს რეგრესიის ხაზიდან, რამაც შეიძლება გამოიწვიოს ავტოკორელაცია.
2. ინერცია. ბევრ ეკონომიკურ ინდიკატორს (ინფლაცია, უმუშევრობა, მშპ და ა.შ.) აქვს გარკვეული ციკლურობა, რომელიც დაკავშირებულია ბიზნესის აქტივობის ტალღურ ხასიათთან. ამიტომ, ინდიკატორების ცვლილება არ ხდება მყისიერად, მაგრამ აქვს გარკვეული ინერცია.
3. ვებ ეფექტი. ბევრ ინდუსტრიულ და სხვა სფეროში ეკონომიკური ინდიკატორები რეაგირებენ ეკონომიკური პირობების ცვლილებაზე დაგვიანებით (დროის ჩამორჩენით).
4. მონაცემთა გასწორება. ხშირად, გარკვეული ხანგრძლივი პერიოდის მონაცემები მიიღება მონაცემების საშუალოდ მისი შემადგენელი ინტერვალებით. ამან შეიძლება გამოიწვიოს განხილული პერიოდის განმავლობაში არსებული რყევების გარკვეული შერბილება, რაც თავის მხრივ შეიძლება გამოიწვიოს ავტოკორელაცია.
ავტოკორელაციის ეფექტები მსგავსია ჰეტეროსკედასტიურობა: t- და F- სტატისტიკაზე დასკვნები, რომლებიც განსაზღვრავენ რეგრესიის კოეფიციენტისა და დეტერმინაციის კოეფიციენტის მნიშვნელობას, შეიძლება არასწორი იყოს.
ავტოკორელაციის გამოვლენა
1. გრაფიკული მეთოდი
ავტოკორელაციის გრაფიკული განსაზღვრის რამდენიმე ვარიანტი არსებობს. ერთ-ერთი მათგანი ეხება e i გადახრებს მათი მიღების i მომენტებს. ამავდროულად, ან სტატისტიკური მონაცემების მოპოვების დრო ან დაკვირვების სერიული ნომერი გამოსახულია აბსცისის ღერძის გასწვრივ, ხოლო გადახრები e i (ან გადახრების შეფასება) გამოსახულია ორდინატთა ღერძის გასწვრივ.
ბუნებრივია ვივარაუდოთ, რომ თუ არსებობს გარკვეული კავშირი გადახრებს შორის, მაშინ ხდება ავტოკორელაცია. დამოკიდებულების არარსებობა, სავარაუდოდ, მიუთითებს ავტოკორელაციის არარსებობაზე.
ავტოკორელაცია უფრო მკაფიო ხდება, თუ დახაზავთ e i-ს წინააღმდეგ e i-1-ს
დურბინ-უოტსონის ტესტი.
ეს კრიტერიუმი ყველაზე ცნობილია ავტოკორელაციის გამოსავლენად.
რეგრესიული განტოლებების სტატისტიკური ანალიზის დროს, საწყის ეტაპზე, ხშირად ამოწმებს ერთი წინაპირობის მიზანშეწონილობას: ერთმანეთისგან გადახრების სტატისტიკური დამოუკიდებლობის პირობებს. ამ შემთხვევაში მოწმდება მეზობელი მნიშვნელობების არაკორელაცია e i.
| წ | y(x) | e i = y-y(x) | e 2 | (e i - e i-1) 2 |
| 17.4 | 12.26 | 5.14 | 26.47 | 0 |
| 26.9 | 18.63 | 8.27 | 68.39 | 9.77 |
| 23 | 25 | -2 | 4.02 | 105.57 |
| 23.7 | 31.38 | -7.68 | 58.98 | 32.2 |
| 27.2 | 37.75 | -10.55 | 111.4 | 8.26 |
| 34.5 | 44.13 | -9.63 | 92.72 | 0.86 |
| 50.7 | 50.5 | 0.2 | 0.0384 | 96.53 |
| 61.4 | 56.88 | 4.52 | 20.44 | 18.71 |
| 69.3 | 63.25 | 6.05 | 36.56 | 2.33 |
| 94.4 | 69.63 | 24.77 | 613.62 | 350.63 |
| 61.1 | 76 | -14.9 | 222.11 | 1574.09 |
| 78.2 | 82.38 | -4.18 | 17.46 | 115.03 |
| 1272.21 | 2313.98 |
გადახრების კორელაციის გასაანალიზებლად გამოიყენეთ დურბინ-უოტსონის სტატისტიკა:
კრიტიკული მნიშვნელობები d 1 და d 2 განისაზღვრება სპეციალური ცხრილების საფუძველზე α საჭირო მნიშვნელოვნების დონისთვის, დაკვირვებების რაოდენობა n = 12 და ახსნა ცვლადების რაოდენობა m=1.
არ არსებობს ავტოკორელაცია, თუ შემდეგი პირობა მართალია:
d1< DW и d 2 < DW < 4 - d 2 .
ცხრილების მითითების გარეშე შეგვიძლია გამოვიყენოთ მიახლოებითი წესი და ვივარაუდოთ, რომ არ არსებობს ნარჩენების ავტოკორელაცია, თუ 1.5< DW < 2.5. Поскольку 1.5 < 1.82 < 2.5, то автокорреляция остатков არ არის.
უფრო სანდო დასკვნისთვის, მიზანშეწონილია მიმართოთ ცხრილის მნიშვნელობებს.
დურბინ-უოტსონის ცხრილის მიხედვით n=12 და k=1 (მნიშვნელოვნების დონე 5%) ვხვდებით: d 1 = 1.08; d2 = 1.36.
1.08 წლიდან< 1.82 и 1.36 < 1.82 < 4 - 1.36, то автокорреляция остатков არ არის.
ჰეტეროსკედასტიურობის შემოწმება.
1) ნარჩენების გრაფიკული ანალიზის მეთოდით.
ამ შემთხვევაში, X ახსნითი ცვლადის მნიშვნელობები გამოსახულია აბსცისის გასწვრივ, ხოლო გადახრები e i ან მათი კვადრატები e 2 i გამოსახულია ორდინატის გასწვრივ.
თუ არსებობს გარკვეული კავშირი გადახრებს შორის, მაშინ ხდება ჰეტეროსკედასტიურობა. დამოკიდებულების არარსებობა სავარაუდოდ მიუთითებს ჰეტეროსცედასტიურობის არარსებობაზე.
2) სპირმენის რანგის კორელაციის ტესტის გამოყენება.
სპირმენის წოდების კორელაციის კოეფიციენტი.
მიანიჭეთ რიგები Y თვისებასა და X ფაქტორს. იპოვეთ d 2 კვადრატების სხვაობის ჯამი.
ფორმულის გამოყენებით ვიანგარიშებთ სპირმენის რანგის კორელაციის კოეფიციენტს. 
| ტ | ე ი | წოდება X, dx | წოდება e i, d y | (dx - dy) 2 |
| 1 | -5.14 | 1 | 4 | 9 |
| 2 | -8.27 | 2 | 2 | 0 |
| 3 | 2 | 3 | 7 | 16 |
| 4 | 7.68 | 4 | 9 | 25 |
| 5 | 10.55 | 5 | 11 | 36 |
| 6 | 9.63 | 6 | 10 | 16 |
| 7 | -0.2 | 7 | 6 | 1 |
| 8 | -4.52 | 8 | 5 | 9 | t ცხრილი (n-m-1; α / 2) \u003d (10; 0.05 / 2) \u003d 2.228
