უმარტივესი ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნის წესი. ექსპონენციალური განტოლებები

ლექცია: „ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნის მეთოდები“.

1 . ექსპონენციალური განტოლებები.

განტოლებებს, რომლებიც შეიცავს უცნობებს ექსპონენტში, ეწოდება ექსპონენციალური განტოლებები. მათგან უმარტივესი არის განტოლება ax = b, სადაც a > 0 და a ≠ 1.

1) ბ< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.

2) b > 0-ისთვის, ფუნქციისა და ფესვის თეორემის ერთფეროვნების გამოყენებით, განტოლებას აქვს ერთი ფესვი. მის საპოვნელად b უნდა იყოს წარმოდგენილი b = aс, ax = bс ó x = c ან x = logab.

ექსპონენციალური განტოლებები, ალგებრული გარდაქმნების გზით, იწვევს სტანდარტულ განტოლებებს, რომლებიც იხსნება შემდეგი მეთოდების გამოყენებით:

1) ერთ ბაზამდე შემცირების მეთოდი;

2) შეფასების მეთოდი;

3) გრაფიკული მეთოდი;

4) ახალი ცვლადების შემოტანის მეთოდი;

5) ფაქტორიზაციის მეთოდი;

6) ექსპონენციალური - სიმძლავრის განტოლებები;

7) ექსპონენციალური პარამეტრით.

2 . ერთ საფუძვლამდე შემცირების მეთოდი.

მეთოდი ემყარება გრადუსების შემდეგ თვისებებს: თუ ორი გრადუსი ტოლია და მათი ფუძეები ტოლია, მაშინ მათი მაჩვენებლები ტოლია, ანუ განტოლება უნდა შემცირდეს ფორმამდე.

მაგალითები. ამოხსენით განტოლება:

1 . 3x=81;

გამოვსახოთ განტოლების მარჯვენა მხარე სახით 81 = 34 და დავწეროთ განტოლება ორიგინალის ექვივალენტური 3 x = 34; x = 4. პასუხი: 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49"> და გადადით მაჩვენებლების განტოლებაზე 3x+1 = 3 – 5x; 8x = 4; x = 0,5 პასუხი: 0,5

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width="105" height="47">

გაითვალისწინეთ, რომ რიცხვები 0.2, 0.04, √5 და 25 არის 5-ის ხარისხები. მოდით გამოვიყენოთ ეს და გადავიტანოთ თავდაპირველი განტოლება შემდეგნაირად:

, საიდანაც 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x - 1 = - 2x - 2, საიდანაც ვპოულობთ ამონახს x = -1. პასუხი: -1.

5. 3x = 5. ლოგარითმის განმარტებით, x = log35. პასუხი: log35.

6. 62x+4 = 33x. 2x+8.

გადავიწეროთ განტოლება, როგორც 32x+4.22x+4 = 32x.2x+8, ანუ png" width="181" height="49 src="> აქედან გამომდინარე x - 4 =0, x = 4. პასუხი: 4.

7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. ხარისხების თვისებების გამოყენებით ვწერთ განტოლებას e.x+1 = 2, x =1. პასუხი: 1.

დავალებათა ბანკი No1.

ამოხსენით განტოლება:

ტესტი ნომერი 1.

	1) 0 2) 4 3) -2 4) -4
A2 32x-8 = √3.	1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4
A3	1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) ფესვების გარეშე
	1) 7;1 2) ფესვების გარეშე 3) -7;1 4) -1;-7
A5	1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0
A6	1) -1 2) 0 3) 2 4) 1

ტესტი #2

A1	1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1
A2	1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11
A3	1) 2;-1 2) ფესვების გარეშე 3) 0 4) -2;1
A4	1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2
A5	1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3

3 შეფასების მეთოდი.

ფესვის თეორემა: თუ ფუნქცია f (x) იზრდება (მცირდება) I ინტერვალზე, რიცხვი a არის ნებისმიერი მნიშვნელობა, რომელიც აღებულია f-ით ამ ინტერვალზე, მაშინ განტოლებას f (x) = a აქვს ერთი ფესვი I ინტერვალზე.

განტოლებების შეფასების მეთოდით ამოხსნისას გამოიყენება ეს თეორემა და ფუნქციის ერთფეროვნების თვისებები.

მაგალითები. განტოლებების ამოხსნა: 1. 4x = 5 - x.

გადაწყვეტილება. გადავიწეროთ განტოლება როგორც 4x + x = 5.

1. თუ x \u003d 1, მაშინ 41 + 1 \u003d 5, 5 \u003d 5 მართალია, მაშინ 1 არის განტოლების ფესვი.

ფუნქცია f(x) = 4x იზრდება R-ზე და g(x) = x იზრდება R => h(x)= f(x)+g(x) იზრდება R-ზე, როგორც მზარდი ფუნქციების ჯამი, ამიტომ x = 1 არის 4x = 5 – x განტოლების ერთადერთი ფესვი. პასუხი: 1.

გადაწყვეტილება. განტოლებას ვწერთ ფორმაში .

1. თუ x = -1, მაშინ , 3 = 3-true, ამიტომ x = -1 არის განტოლების ფესვი.

2. დაამტკიცეთ, რომ ის უნიკალურია.

3. ფუნქცია f(x) = - მცირდება R-ზე, ხოლო g(x) = - x - მცირდება R => h(x) = f(x) + g(x) - მცირდება R-ზე, როგორც ჯამი. ფუნქციების შემცირება. ასე რომ, ფესვის თეორემით, x = -1 არის განტოლების ერთადერთი ფესვი. პასუხი: -1.

დავალებათა ბანკი No2. განტოლების ამოხსნა

ა) 4x + 1 = 6 - x;

ბ)

გ) 2x – 2 =1 – x;

4. ახალი ცვლადების დანერგვის მეთოდი.

მეთოდი აღწერილია 2.1 ნაწილში. ახალი ცვლადის (ჩანაცვლება) დანერგვა ჩვეულებრივ ხორციელდება განტოლების ტერმინების გარდაქმნების (გამარტივების) შემდეგ. განვიხილოთ მაგალითები.

მაგალითები. რჭამის განტოლება: 1. .

განტოლება სხვანაირად გადავწეროთ: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> ე.ი..png" width="210" სიმაღლე = "45">

გადაწყვეტილება. მოდი, განტოლება სხვანაირად გადავწეროთ:

მიუთითეთ https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> - არ არის შესაფერისი.

t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> არის ირაციონალური განტოლება. გაითვალისწინეთ, რომ

განტოლების ამონახსნი არის x = 2,5 ≤ 4, ამიტომ 2,5 არის განტოლების ფესვი. პასუხი: 2.5.

გადაწყვეტილება. გადავწეროთ განტოლება ფორმაში და გავყოთ ორივე მხარე 56x+6 ≠ 0-ზე. მივიღებთ განტოლებას

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, ასე რომ..png" width="118" height="56">

კვადრატული განტოლების ფესვები - t1 = 1 და t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.

გადაწყვეტილება . განტოლებას ვწერთ ფორმაში

და გაითვალისწინეთ, რომ ეს არის მეორე ხარისხის ერთგვაროვანი განტოლება.

განტოლება გავყოთ 42x-ზე, მივიღებთ

შეცვალეთ https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src=">.

პასუხი: 0; 0.5.

დავალების ბანკი #3. განტოლების ამოხსნა

ბ)

გ)

ტესტი #3 პასუხების არჩევანით. მინიმალური დონე.

A1	1) -0.2;2 2) log52 3) –log52 4) 2
А2 0,52x – 3 0,5x +2 = 0.	1) 2;1 2) -1;0 3) ფესვების გარეშე 4) 0
	1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5
A4 52x-5x - 600 = 0.	1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2
	1) ფესვების გარეშე 2) 2;4 3) 3 4) -1;2

ტესტი #4 პასუხების არჩევანით. ზოგადი დონე.

A1	1) 2;1 2) ½;0 3)2;0 4) 0
А2 2x – (0.5)2x – (0.5)x + 1 = 0	1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1
	1) 64 2) -14 3) 3 4) 8
	1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0
A5	1) 0 2) 1 3) 0; 1 4) ფესვების გარეშე

5. ფაქტორიზაციის მეთოდი.

1. ამოხსენით განტოლება: 5x+1 - 5x-1 = 24.

Solution..png" width="169" height="69"> , საიდანაც

2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.

გადაწყვეტილება. ამოვიღოთ 6x განტოლების მარცხენა მხარეს და 2x მარჯვენა მხარეს. ვიღებთ განტოლებას 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x.

ვინაიდან 2x >0 ყველა x-ისთვის, ჩვენ შეგვიძლია ამ განტოლების ორივე მხარე გავყოთ 2x-ზე ამონახსნების დაკარგვის შიშის გარეშე. ჩვენ ვიღებთ 3x = 1- x = 0.

გადაწყვეტილება. განტოლებას ვხსნით ფაქტორინგით.

ვირჩევთ ბინომის კვადრატს

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width="500" height="181">

x = -2 არის განტოლების ფესვი.

განტოლება x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

A1 5x-1 +5x -5x+1 = -19.

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

A2 3x+1 +3x-1 =270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32x + 32x+1 -108 = 0. x=1.5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2x -2x-4 = 15.x=4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

ტესტი #6 ზოგადი დონე.

A1 (22x-1)(24x+22x+1)=7.	1) ½ 2) 2 3) -1;3 4) 0.2
A2	1) 2.5 2) 3;4 3) log43/2 4) 0
A3 2x-1-3x=3x-1-2x+2.	1) 2 2) -1 3) 3 4) -3
A4	1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4
A5	1) 2 2) -2 3) 5 4) 0

6. ექსპონენციალური - სიმძლავრის განტოლებები.

ეგ.

თუ ცნობილია, რომ f(x)>0 და f(x) ≠ 1, მაშინ განტოლება, როგორც ექსპონენციალური, იხსნება g(x) = f(x) მაჩვენებლების ტოლობით.

თუ პირობა არ გამორიცხავს f(x)=0 და f(x)=1-ის შესაძლებლობას, მაშინ ეს შემთხვევები უნდა გავითვალისწინოთ ექსპონენციალური სიმძლავრის განტოლების ამოხსნისას.

1..png" width="182" height="116 src=">

გადაწყვეტილება. x2 +2x-8 - აზრი აქვს ნებისმიერ x-ს, რადგან პოლინომია, ამიტომ განტოლება სიმრავლის ტოლია

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width="137" height="35">

ბ)

7. ექსპონენციალური განტოლებები პარამეტრებით.

1. p პარამეტრის რა მნიშვნელობებისთვის აქვს განტოლებას 4 (5 – 3)2 +4p2–3p = 0 (1) უნიკალური ამონახსნები?

გადაწყვეტილება. მოდით შემოვიტანოთ ცვლილება 2x = t, t > 0, შემდეგ განტოლება (1) მიიღებს ფორმას t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0. (2)

(2) განტოლების დისკრიმინანტი არის D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2.

განტოლებას (1) აქვს უნიკალური ამონახსნი, თუ განტოლებას (2) აქვს ერთი დადებითი ფესვი. ეს შესაძლებელია შემდეგ შემთხვევებში.

1. თუ D = 0, ანუ p = 1, მაშინ განტოლება (2) მიიღებს ფორმას t2 – 2t + 1 = 0, აქედან გამომდინარე, t = 1, შესაბამისად, განტოლებას (1) აქვს უნიკალური ამონახსნი x = 0.

2. თუ p1, მაშინ 9(p – 1)2 > 0, მაშინ განტოლებას (2) აქვს ორი განსხვავებული ფესვი t1 = p, t2 = 4p – 3. სისტემების სიმრავლე აკმაყოფილებს ამოცანის პირობას.

T1 და t2 ჩანაცვლება სისტემებში, გვაქვს

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="(!LANG:no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

გადაწყვეტილება. დაე იყოს მაშინ განტოლება (3) მიიღებს ფორმას t2 – 6t – a = 0. (4)

მოდით ვიპოვოთ a პარამეტრის მნიშვნელობები, რომლისთვისაც განტოლების (4) ერთი ფესვი მაინც აკმაყოფილებს t>0 პირობას.

შემოვიტანოთ ფუნქცია f(t) = t2 – 6t – a. შესაძლებელია შემდეგი შემთხვევები.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант квадратного трехчлена f(t);!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

შემთხვევა 2. განტოლებას (4) აქვს უნიკალური დადებითი ამონახსნი თუ

D = 0, თუ a = – 9, მაშინ განტოლება (4) მიიღებს ფორმას (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1.

შემთხვევა 3. განტოლებას (4) აქვს ორი ფესვი, მაგრამ ერთი მათგანი არ აკმაყოფილებს t > 0 უტოლობას. ეს შესაძლებელია, თუ

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="(!LANG:no35_17" width="267" height="63">!}

ამრიგად, a 0 განტოლებას (4) აქვს ერთი დადებითი ფესვი . მაშინ განტოლებას (3) აქვს უნიკალური ამონახსნი

Თვის< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

თუ< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
თუ a = – 9, მაშინ x = – 1;

თუ a  0, მაშინ

შევადაროთ (1) და (3) განტოლებების ამოხსნის მეთოდები. გაითვალისწინეთ, რომ (1) განტოლების ამოხსნისას იგი დაყვანილ იქნა კვადრატულ განტოლებამდე, რომლის დისკრიმინანტი არის სრული კვადრატი; ამრიგად, (2) განტოლების ფესვები დაუყოვნებლივ გამოითვალა კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულით და შემდეგ გამოიტანეს დასკვნები ამ ფესვებთან დაკავშირებით. განტოლება (3) შემცირდა კვადრატულ განტოლებამდე (4), რომლის დისკრიმინანტი არ არის სრულყოფილი კვადრატი, ამიტომ, განტოლების (3) ამოხსნისას მიზანშეწონილია გამოიყენოთ თეორემები კვადრატული ტრინომის ფესვების მდებარეობაზე და გრაფიკული მოდელი. გაითვალისწინეთ, რომ განტოლება (4) შეიძლება ამოიხსნას ვიეტას თეორემის გამოყენებით.

მოდით ამოხსნათ უფრო რთული განტოლებები.

ამოცანა 3. ამოხსენით განტოლება

გადაწყვეტილება. ODZ: x1, x2.

წარმოგიდგინოთ შემცვლელი. მოდით 2x = t, t > 0, შემდეგ, გარდაქმნების შედეგად, განტოლება მიიღებს ფორმას t2 + 2t – 13 – a = 0. (*) იპოვეთ a-ს მნიშვნელობები, რომლებისთვისაც მინიმუმ ერთი ფესვი განტოლება (*) აკმაყოფილებს პირობას t > 0.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

პასუხი: თუ a > - 13, a  11, a  5, მაშინ თუ a - 13,

a = 11, a = 5, მაშინ ფესვები არ არის.

ბიბლიოგრაფია.

1. გუზეევის საგანმანათლებლო ტექნოლოგიების საფუძვლები.

2. გუზეევის ტექნოლოგია: მიმღებიდან ფილოსოფიამდე.

მ.„დირექტორი“ No4, 1996წ

3. გუზეევი და განათლების ორგანიზაციული ფორმები.

4. გუზეევი და ინტეგრალური საგანმანათლებლო ტექნოლოგიების პრაქტიკა.

მ.„სახალხო განათლება“, 2001წ

5. გუზეევი გაკვეთილის ფორმებიდან - სემინარი.

მათემატიკა მე-2 სკოლაში, 1987 წ., გვ.9 - 11.

6. სელევკოს საგანმანათლებლო ტექნოლოგიები.

მ.„სახალხო განათლება“, 1998 წ

7. ეპიშევას სკოლის მოსწავლეები სწავლობენ მათემატიკას.

მ.„განმანათლებლობა“, 1990 წ

8. ივანოვი მოამზადოს გაკვეთილები - სემინარები.

მათემატიკა მე-6 სკოლაში, 1990 წ., გვ. 37-40.

9. მათემატიკის სწავლების სმირნოვის მოდელი.

მათემატიკა No1 სკოლაში, 1997 წ., გვ. 32-36.

10. ტარასენკოს პრაქტიკული მუშაობის ორგანიზების გზები.

მათემატიკა No1 სკოლაში, 1993 წ., გვ. 27 - 28.

11. ინდივიდუალური მუშაობის ერთ-ერთი სახეობის შესახებ.

მათემატიკა მე-2 სკოლაში, 1994 წ., გვ.63 - 64.

12. ხაზანკინის სკოლის მოსწავლეების შემოქმედებითი შესაძლებლობები.

მათემატიკა მე-2 სკოლაში, 1989 წ., გვ. ათი.

13. სკანავი. გამომცემელი, 1997 წ

14. და სხვები ალგებრა და ანალიზის დასაწყისი. დიდაქტიკური მასალები

15. კრივონოგოვის ამოცანები მათემატიკაში.

M. „პირველი სექტემბერი“, 2002 წ

16. ჩერკასოვი. სახელმძღვანელო საშუალო სკოლის მოსწავლეებისთვის და

უნივერსიტეტებში შესვლა. "A S T - პრესის სკოლა", 2002 წ

17. ჟევნიაკი უნივერსიტეტებში აბიტურიენტებისთვის.

მინსკი და RF "მიმოხილვა", 1996 წ

18. წერილობითი დ. მომზადება გამოცდისთვის მათემატიკაში. M. Rolf, 1999 წ

19. და სხვა.განტოლებებისა და უტოლობაების ამოხსნის სწავლა.

მ "ინტელექტი - ცენტრი", 2003 წ

20. და სხვა საგანმანათლებლო და სასწავლო მასალები E G E-სთვის მოსამზადებლად.

მ „ინტელექტი – ცენტრი“, 2003 და 2004 წ

21 და სხვა.CMM-ის ვარიანტები. რუსეთის ფედერაციის თავდაცვის სამინისტროს ტესტირების ცენტრი, 2002, 2003 წ

22. გოლდბერგის განტოლებები. „კვანტი“ No3, 1971 წ

23. ვოლოვიჩ მ. როგორ წარმატებით ვასწავლოთ მათემატიკა.

მათემატიკა, 1997 No3.

24 ოკუნევი გაკვეთილისთვის, ბავშვებო! მ.განმანათლებლობა, 1988 წ

25. იაკიმანსკაია - ორიენტირებული განათლება სკოლაში.

26. გაკვეთილზე ლიმეცის მუშაობა. M. Knowledge, 1975 წ

დასკვნითი ტესტირებისთვის მომზადების ეტაპზე, საშუალო სკოლის მოსწავლეებმა უნდა გაიუმჯობესონ ცოდნა თემაზე „ექსპონენციალური განტოლებები“. გასული წლების გამოცდილება მიუთითებს, რომ მსგავსი ამოცანები გარკვეულ სირთულეებს უქმნის სკოლის მოსწავლეებს. ამიტომ, საშუალო სკოლის მოსწავლეებს, განურჩევლად მათი მომზადების დონისა, საჭიროა ყურადღებით დაეუფლონ თეორიას, დაიმახსოვრონ ფორმულები და გაიგონ ასეთი განტოლებების ამოხსნის პრინციპი. როდესაც ისწავლეს ამ ტიპის ამოცანების შესრულება, კურსდამთავრებულებს შეეძლებათ მაღალი ქულების დათვლა მათემატიკაში გამოცდის ჩაბარებისას.

მოემზადეთ საგამოცდო ტესტირებისთვის შკოლკოვოსთან ერთად!

გაშუქებული მასალების გამეორებისას ბევრ მოსწავლეს აწყდება განტოლებების ამოსახსნელად საჭირო ფორმულების პოვნის პრობლემა. სასკოლო სახელმძღვანელო ყოველთვის ხელთ არ არის და ინტერნეტში თემის შესახებ საჭირო ინფორმაციის შერჩევას დიდი დრო სჭირდება.

შკოლკოვოს საგანმანათლებლო პორტალი იწვევს სტუდენტებს გამოიყენონ ჩვენი ცოდნის ბაზა. ვახორციელებთ საბოლოო გამოცდისთვის მომზადების სრულიად ახალ მეთოდს. ჩვენს საიტზე სწავლისას თქვენ შეძლებთ ცოდნის ხარვეზების იდენტიფიცირებას და ყურადღება მიაქციოთ ზუსტად იმ ამოცანებს, რომლებიც იწვევს უდიდეს სირთულეებს.

„შკოლკოვოს“ მასწავლებლებმა შეაგროვეს, სისტემატიზებული და ყველაზე მარტივი და ხელმისაწვდომი სახით წარმოადგინეს გამოცდის წარმატებით ჩაბარებისთვის საჭირო ყველა მასალა.

ძირითადი განმარტებები და ფორმულები წარმოდგენილია განყოფილებაში "თეორიული მითითება".

მასალის უკეთ ათვისებისთვის გირჩევთ დავალებების შესრულებას. ყურადღებით გადახედეთ ამ გვერდზე წარმოდგენილი ამონახსნებით ექსპონენციალური განტოლებების მაგალითებს, რათა გაიგოთ გამოთვლის ალგორითმი. ამის შემდეგ გააგრძელეთ დავალებები "კატალოგების" განყოფილებაში. შეგიძლიათ დაიწყოთ უმარტივესი ამოცანებით ან პირდაპირ გადაჭრათ რთული ექსპონენციალური განტოლებები რამდენიმე უცნობი ან . ჩვენს ვებ-გვერდზე არსებული სავარჯიშოების ბაზა მუდმივად ივსება და ახლდება.

ის მაგალითები ინდიკატორებით, რომლებმაც სირთულეები შეგიქმნათ, შეიძლება დაემატოს "რჩეულებს". ასე რომ, თქვენ შეგიძლიათ სწრაფად იპოვოთ ისინი და განიხილოთ გამოსავალი მასწავლებელთან.

გამოცდის წარმატებით ჩაბარებისთვის ყოველდღე ისწავლეთ შკოლკოვოს პორტალზე!

ბელგოროდის სახელმწიფო უნივერსიტეტი

ᲡᲙᲐᲛᲘ ალგებრა, რიცხვების თეორია და გეომეტრია

სამუშაო თემა: ექსპონენციალური სიმძლავრის განტოლებები და უტოლობა.

სამაგისტრო სამუშაოფიზიკა-მათემატიკის ფაკულტეტის სტუდენტი

ხელმძღვანელი:

______________________________

რეფერენტი: _________________________________

________________________

ბელგოროდი. 2006 წ

შესავალი			3
*საგანი* *ᲛᲔ.*	საკვლევ თემაზე ლიტერატურის ანალიზი.
*საგანი* *II.*	ფუნქციები და მათი თვისებები, რომლებიც გამოიყენება ექსპონენციალური სიმძლავრის განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნისას.
	*I.1.*	დენის ფუნქცია და მისი თვისებები.
	*I.2.*	ექსპონენციალური ფუნქცია და მისი თვისებები.
*საგანი* *III.*	ექსპონენციალური სიმძლავრის განტოლებების ამოხსნა, ალგორითმი და მაგალითები.
*საგანი* *IV.*	ექსპონენციალური სიმძლავრის უტოლობების ამოხსნა, ამოხსნის გეგმა და მაგალითები.
*საგანი* ვ.	სკოლის მოსწავლეებთან გაკვეთილების ჩატარების გამოცდილება თემაზე: „ექსპონენციალურ-ძალიან განტოლებათა და უტოლობათა ამოხსნა“.
ვ. 1.	სასწავლო მასალა.
ვ. 2.	ამოცანები დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის.
*დასკვნა.*	დასკვნები და შეთავაზებები.
*ბიბლიოგრაფია.*
*აპლიკაციები*

შესავალი.

"... ნახვისა და გაგების სიხარული..."

ა.აინშტაინი.

ამ ნაშრომში შევეცადე გადმომეცა ჩემი, როგორც მათემატიკის მასწავლებლის გამოცდილება, გადმომეცა, გარკვეულწილად მაინც, ჩემი დამოკიდებულება მის სწავლებისადმი - ადამიანური საკითხი, რომელშიც გასაკვირია მათემატიკური მეცნიერება, პედაგოგიკა, დიდაქტიკა, ფსიქოლოგია და ფილოსოფიაც კი. ერთმანეთში გადახლართული.

მე მქონდა შესაძლებლობა მემუშავა ბავშვებთან და კურსდამთავრებულებთან, ინტელექტუალური განვითარების პოლუსებზე მდგარ ბავშვებთან: ფსიქიატრთან დარეგისტრირებული და მათემატიკით ნამდვილად დაინტერესებული.

ბევრი მეთოდოლოგიური პრობლემის გადაჭრა მომიწია. შევეცდები ვისაუბრო მათზე, რისი მოგვარებაც მოვახერხე. მაგრამ უფრო მეტიც - ეს შეუძლებელი იყო და მათში, რომლებიც, როგორც ჩანს, მოგვარებულია, ახალი კითხვები ჩნდება.

მაგრამ თვით გამოცდილებაზე უფრო მნიშვნელოვანია მასწავლებლის აზრები და ეჭვები: რატომ არის ზუსტად ასე, ეს გამოცდილება?

ზაფხული კი ახლა სულ სხვაა და სწავლის რიგი უფრო საინტერესო გახდა. „იუპიტერების ქვეშ“ დღეს არის არა „ყველას და ყველაფრის“ სწავლების მითიური ოპტიმალური სისტემის ძიება, არამედ თავად ბავშვი. მაგრამ შემდეგ - აუცილებლობით - და მასწავლებელი.

ალგებრის სასკოლო კურსში და ანალიზის დასაწყისში, 10 - 11 კლასები, საშუალო სკოლის კურსის გამოცდის ჩაბარებისას და უნივერსიტეტებში შესასვლელ გამოცდებზე, არის განტოლებები და უტოლობები, რომლებიც შეიცავს უცნობის ფუძესა და ექსპონენტებს - ეს არის ექსპონენციალური. -ძალების განტოლებები და უტოლობა.

სკოლაში მათ მცირე ყურადღება ექცევა, სახელმძღვანელოებში ამ თემაზე პრაქტიკულად არ არის დავალებები. თუმცა მათი გადაჭრის მეთოდოლოგიის დაუფლება, მეჩვენება, ძალიან სასარგებლოა: ზრდის მოსწავლეთა გონებრივ და შემოქმედებით შესაძლებლობებს, სრულიად ახალი ჰორიზონტები იხსნება ჩვენს წინაშე. ამოცანების გადაჭრისას მოსწავლეები იძენენ კვლევითი მუშაობის პირველ უნარ-ჩვევებს, მდიდრდება მათემატიკური კულტურა და უვითარდებათ ლოგიკური აზროვნების უნარი. სკოლის მოსწავლეებს უვითარდებათ ისეთი პიროვნული თვისებები, როგორიცაა მიზანდასახულობა, მიზანდასახულობა, დამოუკიდებლობა, რაც გამოადგებათ მათ შემდგომ ცხოვრებაში. ასევე ხდება საგანმანათლებლო მასალის გამეორება, გაფართოება და ღრმა ათვისება.

ჩემი სადისერტაციო კვლევის ამ თემაზე მუშაობა დავიწყე საკურსო ნაშრომის დაწერით. რომლის დროსაც უფრო ღრმად შევისწავლე და გავაანალიზე მათემატიკური ლიტერატურა ამ თემაზე, გამოვავლინე ყველაზე შესაფერისი მეთოდი ექსპონენციალური სიმძლავრის განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნისთვის.

ეს მდგომარეობს იმაში, რომ გარდა ზოგადად მიღებული მიდგომისა ექსპონენციალური სიმძლავრის განტოლებების ამოხსნისას (ფუძე აღებულია 0-ზე მეტი) და იგივე უტოლობების ამოხსნისას (ფუძე აღებულია 1-ზე მეტი ან 0-ზე მეტი, მაგრამ ნაკლები 1), ასევე განიხილება შემთხვევები, როდესაც ფუძეები უარყოფითია, არის 0 და 1.

მოსწავლეთა წერილობითი საგამოცდო ნაშრომების ანალიზი აჩვენებს, რომ სასკოლო სახელმძღვანელოებში ექსპონენციალურ-ძალაუფლების ფუნქციის არგუმენტის უარყოფითი მნიშვნელობის საკითხის არ გაშუქება მათ უამრავ სირთულეს უქმნის და იწვევს შეცდომებს. და ასევე მათ აქვთ პრობლემები მიღებული შედეგების სისტემატიზაციის ეტაპზე, სადაც განტოლებაზე გადასვლის გამო - შედეგი ან უთანასწორობა - შედეგი, შეიძლება გაჩნდეს ზედმეტი ფესვები. შეცდომების აღმოსაფხვრელად, ვიყენებთ თავდაპირველი განტოლების ან უტოლობის შემოწმებას და ექსპონენციალური სიმძლავრის განტოლებების ამოხსნის ალგორითმს, ან ექსპონენციალური სიმძლავრის უტოლობების ამოხსნის გეგმას.

იმისათვის, რომ მოსწავლეებმა წარმატებით ჩააბარონ დასკვნითი და მისაღები გამოცდები, ვფიქრობ, მეტი ყურადღება უნდა მიექცეს ექსპონენციალური სიმძლავრის განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნას კლასში, ან დამატებით არჩევით საგანსა და წრეებში.

ამგვარად საგანი , ჩემი დისერტაცია ასე განისაზღვრა: "ექსპონენციალური სიმძლავრის განტოლებები და უტოლობა".

მიზნები ამ ნაწარმოებიდან არის:

1. გააანალიზეთ ლიტერატურა ამ თემაზე.

2. მიეცით ექსპონენციალური სიმძლავრის განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნის სრული ანალიზი.

3. მიეცით საკმარისი რაოდენობის მაგალითები ამ თემაზე სხვადასხვა ტიპის.

4. შეამოწმეთ გაკვეთილზე, სურვილისამებრ და წრის გაკვეთილებზე, როგორ იქნება აღქმული ექსპონენციალური სიმძლავრის განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნის შემოთავაზებული მეთოდები. მიეცით შესაბამისი რეკომენდაციები ამ თემის შესასწავლად.

საგანი ჩვენი კვლევა არის ტექნიკის შემუშავება ექსპონენციალური სიმძლავრის განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნისთვის.

კვლევის მიზანი და საგანი მოითხოვდა შემდეგი ამოცანების გადაწყვეტას:

1. შეისწავლეთ ლიტერატურა თემაზე: „ექსპონენციალურ-ძალიან განტოლებები და უტოლობა“.

2. დაეუფლოს ექსპონენციალურ-ძალიან განტოლებათა და უტოლობათა ამოხსნის მეთოდებს.

3. შეარჩიეთ სასწავლო მასალა და შეიმუშავეთ სავარჯიშოების სისტემა სხვადასხვა დონეზე თემაზე: „ექსპონენციალურ-ძალიან განტოლებათა და უტოლობათა ამოხსნა“.

სადიპლომო კვლევის დროს გაანალიზდა 20-ზე მეტი ნაშრომი, რომლებიც ეძღვნებოდა ექსპონენციალური სიმძლავრის განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნის სხვადასხვა მეთოდის გამოყენებას. აქედან ვიღებთ.

დისერტაციის გეგმა:

შესავალი.

თავი I. ლიტერატურის ანალიზი საკვლევ თემაზე.

თავი II. ფუნქციები და მათი თვისებები, რომლებიც გამოიყენება ექსპონენციალური სიმძლავრის განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნისას.

II.1. დენის ფუნქცია და მისი თვისებები.

II.2. ექსპონენციალური ფუნქცია და მისი თვისებები.

თავი III. ექსპონენციალური სიმძლავრის განტოლებების ამოხსნა, ალგორითმი და მაგალითები.

თავი IV. ექსპონენციალური სიმძლავრის უტოლობების ამოხსნა, ამოხსნის გეგმა და მაგალითები.

თავი V. ამ თემაზე სკოლის მოსწავლეებთან გაკვეთილების ჩატარების გამოცდილება.

1. სასწავლო მასალა.

2. ამოცანები დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის.

დასკვნა. დასკვნები და შეთავაზებები.

გამოყენებული ლიტერატურის სია.

I თავში გაანალიზებული ლიტერატურა

ეს გაკვეთილი განკუთვნილია მათთვის, ვინც ახლა იწყებს ექსპონენციალური განტოლებების სწავლას. როგორც ყოველთვის, დავიწყოთ განმარტებით და მარტივი მაგალითებით.

თუ თქვენ კითხულობთ ამ გაკვეთილს, მაშინ მეეჭვება, რომ თქვენ უკვე გაქვთ მინიმუმ მინიმალური გაგება უმარტივესი განტოლებების - წრფივი და კვადრატული: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$ და ა.შ. ასეთი კონსტრუქციების გადაჭრის შესაძლებლობა აბსოლუტურად აუცილებელია, რათა არ "ჩამოკიდებული" იმ თემაში, რომელიც ახლა განიხილება.

ასე რომ, ექსპონენციალური განტოლებები. ნება მომეცით მოგცეთ რამდენიმე მაგალითი:

\[((2)^(x))=4;\ quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=- 3\]

ზოგიერთი მათგანი შეიძლება უფრო რთულად მოგეჩვენოთ, ზოგი კი პირიქით, ძალიან მარტივია. მაგრამ ყველა მათგანს ერთი მნიშვნელოვანი მახასიათებელი აერთიანებს: ისინი შეიცავს ექსპონენციალურ ფუნქციას $f\left(x \right)=((a)^(x))$. ამრიგად, ჩვენ წარმოგიდგენთ განმარტებას:

ექსპონენციალური განტოლება არის ნებისმიერი განტოლება, რომელიც შეიცავს ექსპონენციალურ ფუნქციას, ე.ი. $((a)^(x))$ ფორმის გამოხატულება. გარდა მითითებული ფუნქციისა, ასეთი განტოლებები შეიძლება შეიცავდეს ნებისმიერ სხვა ალგებრულ კონსტრუქციას - მრავალწევრებს, ფესვებს, ტრიგონომეტრიას, ლოგარითმებს და ა.შ.

კარგი მაშინ. გაიგე განმარტება. ახლა ისმის კითხვა: როგორ მოვაგვაროთ მთელი ეს სისულელე? პასუხი არის ერთდროულად მარტივი და რთული.

დავიწყოთ კარგი ამბებით: ბევრ სტუდენტთან ჩემი გამოცდილებიდან შემიძლია ვთქვა, რომ მათი უმეტესობისთვის ექსპონენციალური განტოლებები ბევრად უფრო ადვილია, ვიდრე იგივე ლოგარითმები და მით უმეტეს, ტრიგონომეტრია.

მაგრამ არის ცუდი ამბავიც: ზოგჯერ ყველა სახის სახელმძღვანელოსა და გამოცდის პრობლემების შემდგენელებს „შთაგონება“ ეწვევა და მათი ნარკოტიკებით ანთებული ტვინი იწყებს ისეთი სასტიკი განტოლებების გამომუშავებას, რომ პრობლემატური ხდება არა მხოლოდ სტუდენტებისთვის მათი გადაჭრა - ბევრი მასწავლებელიც კი ჩერდება ასეთ პრობლემებზე.

თუმცა სამწუხარო რამეებზე ნუ ვისაუბრებთ. და დავუბრუნდეთ იმ სამ განტოლებას, რომლებიც მოთხრობის დასაწყისშივე იყო მოცემული. შევეცადოთ თითოეული მათგანის ამოხსნას.

პირველი განტოლება: $((2)^(x))=4$. აბა, რა ძალამდე უნდა გაიზარდოს ნომერი 2, რომ მივიღოთ ნომერი 4? ალბათ მეორე? ბოლოს და ბოლოს, $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ — და მივიღეთ სწორი რიცხვითი ტოლობა, ე.ი. მართლაც $x=2$. კარგი, მადლობა, ქუდი, მაგრამ ეს განტოლება ისეთი მარტივი იყო, რომ ჩემს კატასაც კი შეეძლო მისი ამოხსნა. :)

მოდით შევხედოთ შემდეგ განტოლებას:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

მაგრამ აქ ცოტა უფრო რთულია. ბევრმა სტუდენტმა იცის, რომ $((5)^(2))=25$ არის გამრავლების ცხრილი. ზოგიერთი ასევე ეჭვობს, რომ $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ არსებითად არის უარყოფითი მაჩვენებლების განმარტება (მსგავსი ფორმულა $((a)^(-n))= \ frac(1)(((a)^(n)))$).

დაბოლოს, მხოლოდ რამდენიმე გამოცნობს, რომ ეს ფაქტები შეიძლება გაერთიანდეს და გამოვიდეს შემდეგი შედეგი:

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]

ამრიგად, ჩვენი ორიგინალური განტოლება გადაიწერება შემდეგნაირად:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\მარჯვენა ისარი ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

ახლა კი ეს უკვე მთლიანად მოგვარებულია! განტოლების მარცხენა მხარეს არის ექსპონენციალური ფუნქცია, განტოლების მარჯვენა მხარეს არის ექსპონენციალური ფუნქცია, მათ გარდა სხვაგან არაფერია. აქედან გამომდინარე, შესაძლებელია ბაზების "გადაგდება" და ინდიკატორების სულელურად გათანაბრება:

ჩვენ მივიღეთ უმარტივესი წრფივი განტოლება, რომლის ამოხსნაც ნებისმიერ სტუდენტს შეუძლია რამდენიმე სტრიქონში. კარგი, ოთხ სტრიქონში:

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\ბოლო(გასწორება)\]

თუ ვერ გაიგეთ რა მოხდა ბოლო ოთხ სტრიქონში, აუცილებლად დაუბრუნდით თემას „წრფივი განტოლებები“ და გაიმეორეთ. რადგან ამ თემის მკაფიო ასიმილაციის გარეშე, თქვენთვის ნაადრევია ექსპონენციალური განტოლებების მიღება.

\[((9)^(x))=-3\]

აბა, როგორ გადაწყვიტე? პირველი ფიქრი: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, ასე რომ ორიგინალური განტოლება შეიძლება გადაიწეროს ასე:

\[((\ მარცხენა (((3)^(2)) \მარჯვნივ))^(x))=-3\]

შემდეგ გავიხსენებთ, რომ ხარისხის ხარისხზე ამაღლებისას ინდიკატორები მრავლდება:

\[((\ მარცხენა (((3)^(2)) \მარჯვნივ))^(x))=((3)^(2x))\მარჯვენა ისარი ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\ბოლო(გასწორება)\]

და ასეთი გადაწყვეტილების მისაღებად, ჩვენ ვიღებთ პატიოსნად დამსახურებულ დეუსს. ჩვენ, პოკემონის სიმშვიდით, სამის წინ მინუს ნიშანი გავუგზავნეთ სწორედ ამ სამს. და თქვენ არ შეგიძლიათ ამის გაკეთება. და ამიტომ. შეხედეთ სამეულის სხვადასხვა ძალას:

\[\begin(მატრიცა) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(მატრიცა)\]

ამ ტაბლეტის შედგენისას, როგორც კი გავაკეთე, არ გავუსწორე: მე მივიჩნიე დადებითი გრადუსები, უარყოფითი და თუნდაც წილადი ... კარგი, სად არის აქ მინიმუმ ერთი უარყოფითი რიცხვი? Იგი არ არის! და ეს არ შეიძლება იყოს, რადგან ექსპონენციალური ფუნქცია $y=((a)^(x))$, პირველ რიგში, ყოველთვის იღებს მხოლოდ დადებით მნიშვნელობებს (რაც არ უნდა გაამრავლოთ ერთი ან გაყოთ ორზე, ის მაინც იქნება დადებითი რიცხვი) და მეორეც, ასეთი ფუნქციის საფუძველი, რიცხვი $a$, განსაზღვრებით დადებითი რიცხვია!

აბა, როგორ ამოხსნათ განტოლება $((9)^(x))=-3$? არა, ფესვები არ არის. და ამ თვალსაზრისით, ექსპონენციალური განტოლებები ძალიან ჰგავს კვადრატულ განტოლებებს - შეიძლება ასევე არ იყოს ფესვები. მაგრამ თუ კვადრატულ განტოლებებში ფესვების რაოდენობა განისაზღვრება დისკრიმინანტით (დისკრიმინანტი დადებითია - 2 ფესვი, უარყოფითი - ფესვების გარეშე), მაშინ ექსპონენციურ განტოლებებში ეს ყველაფერი დამოკიდებულია იმაზე, თუ რა არის ტოლობის ნიშნის მარჯვნივ.

ამრიგად, ჩვენ ვაყალიბებთ ძირითად დასკვნას: $((a)^(x))=b$ ფორმის უმარტივეს ექსპონენციალურ განტოლებას აქვს ფესვი, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ $b>0$. იცოდეთ ეს მარტივი ფაქტი, თქვენ შეგიძლიათ მარტივად განსაზღვროთ, აქვს თუ არა თქვენთვის შემოთავაზებულ განტოლებას ფესვები. იმათ. ღირს თუ არა მისი გადაჭრა საერთოდ ან დაუყოვნებლივ ჩაწერეთ, რომ ფესვები არ არსებობს.

ეს ცოდნა ბევრჯერ დაგვეხმარება, როცა უფრო რთული პრობლემების გადაჭრა მოგვიწევს. ამასობაში, საკმარისი ლექსები - დროა შეისწავლოთ ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნის ძირითადი ალგორითმი.

როგორ ამოხსნათ ექსპონენციალური განტოლებები

მაშ ასე, ჩამოვაყალიბოთ პრობლემა. აუცილებელია ექსპონენციალური განტოლების ამოხსნა:

\[((a)^(x))=b,\quad a,b>0\]

"გულუბრყვილო" ალგორითმის მიხედვით, რომელიც ადრე გამოვიყენეთ, აუცილებელია რიცხვი $b$ წარმოვიდგინოთ $a$ რიცხვის ხარისხად:

გარდა ამისა, თუ $x$ ცვლადის ნაცვლად არის რაიმე გამოხატულება, მივიღებთ ახალ განტოლებას, რომლის ამოხსნაც უკვე შესაძლებელია. Მაგალითად:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(3))\Rightarrow x=3; \\& ((3)^(-x))=81\მარჯვენა ისარი ((3)^(-x))=((3)^(4))\მარჯვენა ისარი -x=4\მარჯვენა ისარი x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\მარჯვენა ისარი ((5)^(2x))=((5)^(3))\მარჯვენა ისარი 2x=3\მარჯვენა ისარი x=\frac(3)( 2). \\\ბოლო (გასწორება)\]

და უცნაურად საკმარისია, რომ ეს სქემა მუშაობს დაახლოებით 90% შემთხვევაში. მერე დანარჩენი 10% რას იტყვით? დანარჩენი 10% არის ფორმის ოდნავ „შიზოფრენიული“ ექსპონენციალური განტოლებები:

\[((2)^(x))=3;\ოთხი ((5)^(x))=15;\ოთხი ((4)^(2x))=11\]

რა სიმძლავრემდე გჭირდებათ 2-ის აწევა 3-ის მისაღებად? Პირველად? მაგრამ არა: $((2)^(1))=2$ არ არის საკმარისი. მეორეში? არც ერთი: $((2)^(2))=4$ ძალიან ბევრია. Რა იქნება შემდეგ?

მცოდნე სტუდენტებმა ალბათ უკვე გამოიცნეს: ასეთ შემთხვევებში, როდესაც შეუძლებელია „ლამაზად“ ამოხსნა, „მძიმე არტილერია“ დაკავშირებულია საქმესთან - ლოგარითმებთან. შეგახსენებთ, რომ ლოგარითმების გამოყენებით, ნებისმიერი დადებითი რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ნებისმიერი სხვა დადებითი რიცხვის ხარისხად (გარდა ერთისა):

გახსოვთ ეს ფორმულა? როცა ჩემს სტუდენტებს ვეუბნები ლოგარითმების შესახებ, მე ყოველთვის გაფრთხილებ: ეს ფორმულა (ის ასევე არის ძირითადი ლოგარითმული იდენტობა ან, თუ გნებავთ, ლოგარითმის განმარტება) ძალიან დიდი ხნის განმავლობაში დაგდევნის და ყველაზე მეტად „გაჩნდება“. მოულოდნელი ადგილები. ისე, ის გამოჩნდა. მოდით შევხედოთ ჩვენს განტოლებას და ამ ფორმულას:

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& ((2)^(x))=3 \\& a=((ბ)^((\log )_(ბ))ა)) \\\ბოლო(გასწორება) \]

თუ ვივარაუდებთ, რომ $a=3$ არის ჩვენი ორიგინალური რიცხვი მარჯვნივ და $b=2$ არის ექსპონენციალური ფუნქციის საფუძველი, რომელსაც ასე გვინდა შევამციროთ მარჯვენა მხარე, მივიღებთ შემდეგს:

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& a=((ბ)^(((\log )_(ბ))ა))\მარჯვენა ისარი 3=((2)^((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\მარჯვენა ისარი ((2)^(x))=(2)^(((\log )_(2))3))\მარჯვენა ისარი x=( (\log )_(2))3. \\\ბოლო (გასწორება)\]

მივიღეთ ოდნავ უცნაური პასუხი: $x=((\log )_(2))3$. სხვა ამოცანისას, ასეთი პასუხით, ბევრს ეჭვი შეეპარება და დაიწყებს გადაწყვეტის ორჯერ შემოწმებას: რა იქნებოდა, თუ სადმე შეცდომა იყო? მე მეჩქარება გაგახაროთ: აქ შეცდომა არ არის და ლოგარითმები ექსპონენციალური განტოლებების ფესვებში საკმაოდ ტიპიური სიტუაციაა. ასე რომ შეეგუე. :)

ახლა ჩვენ ანალოგიით ვხსნით დარჩენილ ორ განტოლებას:

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& ((5)^(x))=15\მარჯვენა ისარი ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \მარჯვენა ისარი x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\მარჯვენა ისარი ((4)^(2x))=((4)^((\log )_(4))11))\მარჯვენა ისარი 2x=( (\log )_(4))11\მარჯვენა ისარი x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\ბოლო (გასწორება)\]

Სულ ეს არის! სხვათა შორის, ბოლო პასუხი შეიძლება სხვაგვარად დაიწეროს:

სწორედ ჩვენ შევიტანეთ მულტიპლიკატორი ლოგარითმის არგუმენტში. მაგრამ არავინ გვიშლის ხელს ამ ფაქტორის ბაზაზე დამატებაში:

უფრო მეტიც, სამივე ვარიანტი სწორია - ისინი უბრალოდ ერთი და იგივე რიცხვის ჩაწერის სხვადასხვა ფორმაა. რომელი აირჩიოთ და ჩაწეროთ ამ გადაწყვეტილებაში, თქვენზეა დამოკიდებული.

ამრიგად, ჩვენ ვისწავლეთ $((a)^(x))=b$ ფორმის ნებისმიერი ექსპონენციალური განტოლების ამოხსნა, სადაც რიცხვები $a$ და $b$ მკაცრად დადებითია. თუმცა, ჩვენი სამყაროს მკაცრი რეალობა ის არის, რომ ასეთი მარტივი ამოცანები ძალიან, ძალიან იშვიათად შეგხვდებათ. უფრო ხშირად შეგხვდებათ მსგავსი რამ:

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09. \\\ბოლო (გასწორება)\]

აბა, როგორ გადაწყვიტე? შეიძლება ეს საერთოდ მოგვარდეს? და თუ ასეა, როგორ?

არანაირი პანიკა. ყველა ეს განტოლება სწრაფად და მარტივად მცირდება იმ მარტივ ფორმულებამდე, რომელიც უკვე განვიხილეთ. თქვენ უბრალოდ უნდა იცოდეთ, რომ გახსოვდეთ რამდენიმე ხრიკი ალგებრის კურსიდან. და რა თქმა უნდა, აქ დიპლომებთან მუშაობის წესები არ არსებობს. ამ ყველაფერზე ახლა ვისაუბრებ. :)

ექსპონენციალური განტოლებების ტრანსფორმაცია

პირველი, რაც უნდა გვახსოვდეს, არის ის, რომ ნებისმიერი ექსპონენციალური განტოლება, რაც არ უნდა რთული იყოს იგი, ამა თუ იმ გზით უნდა დაიყვანოს უმარტივეს განტოლებამდე - სწორედ ისეთ განტოლებამდე, რომელიც უკვე განვიხილეთ და რომლის ამოხსნაც ვიცით. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ნებისმიერი ექსპონენციალური განტოლების ამოხსნის სქემა ასე გამოიყურება:

ჩაწერეთ ორიგინალური განტოლება. მაგალითად: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
გააკეთე რაღაც სისულელე. ან თუნდაც რაღაც სისულელე სახელწოდებით "განტოლების გარდაქმნა";
გამოსავალზე მიიღეთ უმარტივესი გამონათქვამები, როგორიცაა $((4)^(x))=4$ ან მსგავსი რამ. უფრო მეტიც, ერთ საწყის განტოლებას შეუძლია ერთდროულად რამდენიმე ასეთი გამონათქვამის მიცემა.

პირველი პუნქტით ყველაფერი ნათელია - ჩემს კატასაც კი შეუძლია ფოთოლზე დაწეროს განტოლება. მესამე პუნქტითაც, როგორც ჩანს, მეტ-ნაკლებად გასაგებია - ზემოთ უკვე მოვაგვარეთ ასეთი განტოლებების მთელი თაიგული.

მაგრამ რაც შეეხება მეორე პუნქტს? რა არის გარდაქმნები? რა გადავიყვანოთ რაზე? Და როგორ?

აბა, მოდი გავარკვიოთ. პირველ რიგში, მინდა აღვნიშნო შემდეგი. ყველა ექსპონენციალური განტოლება იყოფა ორ ტიპად:

განტოლება შედგება იგივე ფუძის მქონე ექსპონენციალური ფუნქციებისგან. მაგალითი: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
ფორმულა შეიცავს ექსპონენციალურ ფუნქციებს სხვადასხვა ბაზებით. მაგალითები: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ და $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09$.

დავიწყოთ პირველი ტიპის განტოლებებით – მათი ამოხსნა ყველაზე მარტივია. და მათ გადაჭრაში დაგვეხმარება ისეთი ტექნიკა, როგორიცაა სტაბილური გამონათქვამების შერჩევა.

სტაბილური გამოხატვის ხაზგასმა

მოდით კიდევ ერთხელ გადავხედოთ ამ განტოლებას:

\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

რას ვხედავთ? ოთხივე ამაღლებულია სხვადასხვა ხარისხით. მაგრამ ყველა ეს ძალა არის $x$ ცვლადის მარტივი ჯამები სხვა რიცხვებთან. აქედან გამომდინარე, აუცილებელია გახსოვდეთ ხარისხებთან მუშაობის წესები:

\[\begin(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))((a) )^(y))). \\\ბოლო (გასწორება)\]

მარტივად რომ ვთქვათ, მაჩვენებლების დამატება შეიძლება გარდაიქმნას ხარისხების ნამრავლად, ხოლო გამოკლება ადვილად გარდაიქმნება გაყოფად. შევეცადოთ გამოვიყენოთ ეს ფორმულები ჩვენი განტოლების ძალებზე:

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\ბოლო (გასწორება)\]

ჩვენ ხელახლა ვწერთ თავდაპირველ განტოლებას ამ ფაქტის გათვალისწინებით და შემდეგ ვაგროვებთ ყველა პირობას მარცხნივ:

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -თერთმეტი; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\ბოლო (გასწორება)\]

პირველი ოთხი ტერმინი შეიცავს ელემენტს $((4)^(x))$ - მოდით ამოვიღოთ იგი ფრჩხილიდან:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \მარჯვნივ)=-11. \\\ბოლო (გასწორება)\]

რჩება განტოლების ორივე ნაწილის გაყოფა $-\frac(11)(4)$ წილადზე, ე.ი. არსებითად გავამრავლოთ შებრუნებულ წილადზე - $-\frac(4)(11)$. ჩვენ ვიღებთ:

\[\begin(გასწორება)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \მარჯვნივ )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \right); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\&x=1. \\\ბოლო (გასწორება)\]

Სულ ეს არის! თავდაპირველი განტოლება შევამცირეთ უმარტივესამდე და მივიღეთ საბოლოო პასუხი.

ამავდროულად, ამოხსნის პროცესში აღმოვაჩინეთ (და ამოიღეთ კიდეც ფრჩხილიდან) საერთო ფაქტორი $((4)^(x))$ - ეს არის სტაბილური გამოხატულება. ის შეიძლება დაინიშნოს როგორც ახალი ცვლადი, ან შეგიძლიათ უბრალოდ ზუსტად გამოხატოთ იგი და მიიღოთ პასუხი. ნებისმიერ შემთხვევაში, გადაწყვეტის ძირითადი პრინციპი შემდეგია:

იპოვეთ თავდაპირველ განტოლებაში სტაბილური გამოხატულება, რომელიც შეიცავს ცვლადს, რომელიც ადვილად გამოირჩევა ყველა ექსპონენციალური ფუნქციისგან.

კარგი ამბავი ის არის, რომ თითქმის ყველა ექსპონენციალური განტოლება აღიარებს ასეთ სტაბილურ გამონათქვამს.

მაგრამ ასევე არის ცუდი ამბავი: ასეთი გამონათქვამები შეიძლება იყოს ძალიან სახიფათო და მათი გარჩევა საკმაოდ რთულია. მოდით შევხედოთ სხვა პრობლემას:

\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

ალბათ ვინმეს ახლა გაუჩნდება კითხვა: „ფაშა, ჩაქოლეს? აქ არის სხვადასხვა ბაზები - 5 და 0.2. ოღონდ ვცადოთ სიმძლავრის გადაქცევა ბაზისით 0.2. მაგალითად, მოვიშოროთ ათობითი წილადი, მივიყვანოთ იგი ჩვეულებრივზე:

\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\მარცხნივ(x+1 \მარჯვნივ)))=((\left(\frac(2)(10 ) \მარჯვნივ))^(-\მარცხნივ(x+1 \მარჯვნივ)))=((\მარცხნივ(\frac(1)(5) \მარჯვნივ))^(-\მარცხნივ(x+1 \მარჯვნივ)) )\]

როგორც ხედავთ, რიცხვი 5 მაინც გამოჩნდა, თუმცა მნიშვნელში. ამავდროულად, ინდიკატორი გადაიწერა როგორც უარყოფითი. ახლა კი გავიხსენებთ ხარისხებთან მუშაობის ერთ-ერთ ყველაზე მნიშვნელოვან წესს:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\მარჯვენა ისარი ((\ მარცხნივ(\frac(1)(5) \მარჯვნივ))^( -\left(x+1 \მარჯვნივ)))=((\left(\frac(5)(1) \მარჯვნივ))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]

აი, რა თქმა უნდა, ცოტა მოვიტყუე. იმის გამო, რომ სრული გაგებისთვის, უარყოფითი ინდიკატორებისგან თავის დაღწევის ფორმულა უნდა დაიწეროს შემდეგნაირად:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\left(\frac(1)(a) \მარჯვნივ))^(n ))\მარჯვენა ისარი ((\ მარცხნივ(\frac(1)(5) \მარჯვნივ))^(-\მარცხნივ(x+1 \მარჯვნივ)))=((\left(\frac(5)(1) \ მარჯვნივ))^(x+1))=((5)^(x+1))\]

მეორეს მხრივ, არაფერი შეგვეშალა მხოლოდ ერთ წილადთან მუშაობაში:

\[((\left(\frac(1)(5) \მარჯვნივ))^(-\left(x+1 \მარჯვნივ)))=((\left(((5)^(-1)) \ მარჯვნივ))^(-\მარცხნივ(x+1 \მარჯვნივ)))=((5)^(\ მარცხნივ(-1 \მარჯვნივ)\cdot \left(-\left(x+1 \მარჯვნივ) \მარჯვნივ) ))=((5)^(x+1))\]

მაგრამ ამ შემთხვევაში, თქვენ უნდა შეძლოთ ხარისხის სხვა ხარისხით აწევა (შეგახსენებთ: ამ შემთხვევაში ინდიკატორები ემატება). მაგრამ მე არ მომიწია წილადების „გადაბრუნება“ - ალბათ ვინმესთვის ეს უფრო ადვილი იქნება. :)

ნებისმიერ შემთხვევაში, ორიგინალური ექსპონენციალური განტოლება გადაიწერება შემდეგნაირად:

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& ((5)^(x+2))+(5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+(5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\ბოლო (გასწორება)\]

ასე რომ, გამოდის, რომ თავდაპირველი განტოლება კიდევ უფრო ადვილი მოსაგვარებელია, ვიდრე ადრე განხილული: აქ თქვენ არც კი გჭირდებათ სტაბილური გამონათქვამის გამოყოფა - ყველაფერი თავისთავად შემცირდა. რჩება მხოლოდ გვახსოვდეს, რომ $1=((5)^(0))$, საიდანაც ვიღებთ:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\&x+2=0; \\&x=-2. \\\ბოლო (გასწორება)\]

ეს არის მთელი გამოსავალი! მივიღეთ საბოლოო პასუხი: $x=-2$. ამავე დროს, მინდა აღვნიშნო ერთი ხრიკი, რომელმაც მნიშვნელოვნად გაამარტივა ჩვენთვის ყველა გამოთვლა:

ექსპონენციალურ განტოლებებში აუცილებლად მოიშორეთ ათობითი წილადები, გადათარგმნეთ ისინი ჩვეულებრივად. ეს საშუალებას მოგცემთ დაინახოთ გრადუსების იგივე საფუძვლები და მნიშვნელოვნად გაამარტივოთ გამოსავალი.

ახლა მოდით გადავიდეთ უფრო რთულ განტოლებებზე, რომლებშიც არის სხვადასხვა ფუძე, რომლებიც, როგორც წესი, არ არის ერთმანეთთან შემცირებული ძალების გამოყენებით.

მაჩვენებლის თვისების გამოყენება

შეგახსენებთ, რომ ჩვენ გვაქვს კიდევ ორი განსაკუთრებით მკაცრი განტოლება:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09. \\\ბოლო (გასწორება)\]

აქ მთავარი სირთულე ის არის, რომ გაუგებარია რა და რის საფუძველზე მივიყვანოთ. სად არის ფიქსირებული გამონათქვამები? სად არის საერთო საფუძველი? ეს არც ერთი არ არის.

მაგრამ შევეცადოთ სხვა გზით წავიდეთ. თუ არ არსებობს მზა იდენტური ბაზები, შეგიძლიათ სცადოთ მათი პოვნა ხელმისაწვდომი ბაზების ფაქტორინგით.

დავიწყოთ პირველი განტოლებით:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\მარჯვენა ისარი ((21)^(3x))=((\left(7\cdot 3 \მარჯვნივ))^(3x))=(7)^(3x))\ cdot ((3) ^ (3x)). \\\ბოლო (გასწორება)\]

ყოველივე ამის შემდეგ, თქვენ შეგიძლიათ გააკეთოთ საპირისპირო - შეადგინეთ რიცხვი 21 7 და 3 რიცხვებიდან. განსაკუთრებით ადვილია ამის გაკეთება მარცხნივ, რადგან ორივე ხარისხის ინდიკატორები ერთნაირია:

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\ მარცხნივ(7\cdot 3 \მარჯვნივ))^(x+ 6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\&x+6=3x; \\& 2x=6; \\&x=3. \\\ბოლო (გასწორება)\]

Სულ ეს არის! თქვენ ამოიღეთ მაჩვენებლები ნამრავლიდან და მაშინვე მიიღეთ ლამაზი განტოლება, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია რამდენიმე სტრიქონში.

ახლა მოდით საქმე მეორე განტოლებაზე. აქ ყველაფერი ბევრად უფრო რთულია:

\[((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\ left(\frac(27)(10) \მარჯვნივ))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

ამ შემთხვევაში წილადები შეუქცევადი აღმოჩნდა, მაგრამ თუ რამის შემცირება შეიძლებოდა, აუცილებლად შეამცირეთ. ეს ხშირად იწვევს საინტერესო საფუძვლებს, რომლებთანაც უკვე შეგიძლიათ მუშაობა.

სამწუხაროდ, არაფერი გამოგვივიდა. მაგრამ ჩვენ ვხედავთ, რომ პროდუქტში მარცხნივ მაჩვენებლები საპირისპიროა:

შეგახსენებთ: მაჩვენებელში მინუს ნიშნის მოსაშორებლად საჭიროა მხოლოდ წილადის „გადაბრუნება“. მოდით გადავიწეროთ ორიგინალური განტოლება:

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \მარჯვნივ))^(x-1))=\frac(9 )(100); \\& ((\left(100\cdot \frac(10)(27) \მარჯვნივ))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\left(\frac(1000)(27) \მარჯვნივ))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\ბოლო (გასწორება)\]

მეორე სტრიქონში, ჩვენ უბრალოდ დავაფიქსირეთ ჯამი პროდუქტიდან $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a\cdot b \right) წესის მიხედვით ))^ (x))$ და ამ უკანასკნელში უბრალოდ ამრავლეს რიცხვი 100 წილადზე.

ახლა გაითვალისწინეთ, რომ რიცხვები მარცხნივ (ძირში) და მარჯვნივ არის გარკვეულწილად მსგავსი. Როგორ? დიახ, ცხადია: ისინი ერთნაირი რაოდენობის ძალები არიან! Ჩვენ გვაქვს:

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac( 10)(3) \მარჯვნივ))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))((10)^(3))=((\left(\frac(3)(10) \მარჯვნივ))^(2)). \\\ბოლო (გასწორება)\]

ამრიგად, ჩვენი განტოლება გადაიწერება შემდეგნაირად:

\[((\ left(((\ left(\frac(10)(3) \მარჯვნივ))^(3)) \მარჯვნივ))^(x-1))=((\left(\frac(3) )(10) \მარჯვნივ))^(2))\]

\[((\ left(((\ left(\frac(10)(3) \მარჯვნივ))^(3)) \მარჯვნივ))^(x-1))=((\ left(\frac(10 )(3) \მარჯვნივ))^(3\მარცხნივ(x-1 \მარჯვნივ)))=((\left(\frac(10)(3) \მარჯვნივ))^(3x-3))\]

ამავდროულად, მარჯვნივ, შეგიძლიათ მიიღოთ ხარისხი იგივე ფუძით, რისთვისაც საკმარისია მხოლოდ წილადის „გადატრიალება“:

\[((\ left(\frac(3)(10) \მარჯვნივ))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \მარჯვნივ))^(-2))\]

საბოლოოდ, ჩვენი განტოლება მიიღებს ფორმას:

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& ((\ მარცხნივ(\frac(10)(3) \მარჯვნივ))^(3x-3))=((\მარცხნივ(\frac(10)(3) \მარჯვნივ)) ^ (-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac (1) (3). \\\ბოლო (გასწორება)\]

ეს არის მთელი გამოსავალი. მისი მთავარი იდეა ემყარება იმ ფაქტს, რომ თუნდაც სხვადასხვა მიზეზის გამო, ჩვენ ვცდილობთ, რომ ეს მიზეზები ერთსა და იმავეზე დავიყვანოთ. ამაში გვეხმარება განტოლებების ელემენტარული გარდაქმნები და ძალებთან მუშაობის წესები.

მაგრამ რა წესები და როდის გამოვიყენოთ? როგორ გავიგოთ, რომ ერთ განტოლებაში საჭიროა ორივე მხარის გაყოფა რაღაცაზე, ხოლო მეორეში - ექსპონენციალური ფუნქციის ფუძის დაშლა ფაქტორებად?

ამ კითხვაზე პასუხი გამოცდილებით მოგეცემათ. სცადეთ თქვენი ხელი ჯერ მარტივ განტოლებებზე, შემდეგ კი თანდათან გაართულეთ დავალებები - და ძალიან მალე თქვენი უნარები იქნება საკმარისი იმისათვის, რომ ამოხსნათ ნებისმიერი ექსპონენციალური განტოლება იმავე USE-დან ან ნებისმიერი დამოუკიდებელი / სატესტო სამუშაოდან.

და დაგეხმაროთ ამ რთულ ამოცანაში, მე გთავაზობთ ჩამოტვირთოთ განტოლებების ნაკრები ჩემს ვებსაიტზე დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის. ყველა განტოლებას აქვს პასუხი, ასე რომ თქვენ ყოველთვის შეგიძლიათ შეამოწმოთ საკუთარი თავი.

ამ გაკვეთილზე განვიხილავთ უფრო რთული ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნას, გავიხსენებთ მთავარ თეორიულ დებულებებს ექსპონენციალურ ფუნქციასთან დაკავშირებით.

1. ექსპონენციალური ფუნქციის განმარტება და თვისებები, უმარტივესი ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნის ტექნიკა.

გაიხსენეთ ექსპონენციალური ფუნქციის განმარტება და ძირითადი თვისებები. სწორედ თვისებებზეა დაფუძნებული ყველა ექსპონენციალური განტოლებისა და უტოლობის ამოხსნა.

ექსპონენციალური ფუნქციაარის ფორმის ფუნქცია, სადაც საფუძველი არის ხარისხი და აქ x არის დამოუკიდებელი ცვლადი, არგუმენტი; y - დამოკიდებული ცვლადი, ფუნქცია.

ბრინჯი. 1. ექსპონენციალური ფუნქციის გრაფიკი

გრაფიკზე ნაჩვენებია მზარდი და კლებადი მაჩვენებლები, რაც ასახავს ექსპონენციალურ ფუნქციას ერთზე მეტი და ერთზე ნაკლები, მაგრამ ნულზე მეტი, შესაბამისად.

ორივე მრუდი გადის წერტილში (0;1)

ექსპონენციალური ფუნქციის თვისებები:

დომენი: ;

მნიშვნელობების დიაპაზონი: ;

ფუნქცია მონოტონურია, იზრდება როგორც , მცირდება როგორც .

მონოტონური ფუნქცია იღებს მის თითოეულ მნიშვნელობას არგუმენტის ერთი მნიშვნელობით.

როდესაც არგუმენტი იზრდება მინუსდან პლუს უსასრულობამდე, ფუნქცია იზრდება ნულიდან, ჩათვლით, პლუს უსასრულობამდე. პირიქით, როდესაც არგუმენტი იზრდება მინუსიდან პლუს უსასრულობამდე, ფუნქცია მცირდება უსასრულობიდან ნულამდე, ჩათვლით.

2. ტიპიური ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნა

გაიხსენეთ როგორ ამოხსნათ უმარტივესი ექსპონენციალური განტოლებები. მათი ამოხსნა ემყარება ექსპონენციალური ფუნქციის ერთფეროვნებას. თითქმის ყველა რთული ექსპონენციალური განტოლება დაყვანილია ასეთ განტოლებამდე.

თანაბარი ფუძის მქონე მაჩვენებლების ტოლობა განპირობებულია ექსპონენციალური ფუნქციის თვისებით, კერძოდ მისი ერთფეროვნებით.

გადაწყვეტის მეთოდი:

გრადუსების საფუძვლების გათანაბრება;

მაჩვენებლების გათანაბრება.

მოდით გადავიდეთ უფრო რთულ ექსპონენციალურ განტოლებაზე, ჩვენი მიზანია თითოეული მათგანის უმარტივესამდე შემცირება.

მოვიშოროთ ფესვი მარცხენა მხარეს და შევამციროთ გრადუსები იმავე ბაზაზე:

რთული ექსპონენციალური განტოლების მარტივზე დასაყვანად, ხშირად გამოიყენება ცვლადების შეცვლა.

მოდით გამოვიყენოთ ხარისხი თვისება:

ჩვენ წარმოგიდგენთ შემცვლელს. დაე მერე

ჩვენ გავამრავლებთ მიღებულ განტოლებას ორზე და გადავიტანთ ყველა პირობას მარცხენა მხარეს:

პირველი ფესვი არ აკმაყოფილებს y მნიშვნელობების ინტერვალს, ჩვენ მას ვხსნით. ჩვენ ვიღებთ:

მოდით მივიყვანოთ გრადუსები იმავე ინდიკატორამდე:

ჩვენ წარმოგიდგენთ ჩანაცვლებას:

დაე მერე . ამ ჩანაცვლებით, აშკარაა, რომ y იღებს მკაცრად დადებით მნიშვნელობებს. ჩვენ ვიღებთ:

ჩვენ ვიცით როგორ ამოხსნათ მსგავსი კვადრატული განტოლებები, ჩვენ ვწერთ პასუხს:

იმისათვის, რომ დარწმუნდეთ, რომ ფესვები სწორად არის ნაპოვნი, შეგიძლიათ შეამოწმოთ ვიეტას თეორემის მიხედვით, ანუ იპოვოთ ფესვების ჯამი და მათი ნამრავლი და შეამოწმოთ განტოლების შესაბამისი კოეფიციენტებით.

ჩვენ ვიღებთ:

3. მეორე ხარისხის ერთგვაროვანი ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნის ტექნიკა

მოდით შევისწავლოთ შემდეგი მნიშვნელოვანი ტიპის ექსპონენციალური განტოლებები:

ამ ტიპის განტოლებებს უწოდებენ მეორე ხარისხის ერთგვაროვანს f და g ფუნქციების მიმართ. მის მარცხენა მხარეს არის კვადრატული ტრინომი f-ის მიმართ g პარამეტრით ან კვადრატული ტრინომი g-ის მიმართ f პარამეტრით.

გადაწყვეტის მეთოდი:

ეს განტოლება შეიძლება ამოიხსნას როგორც კვადრატული, მაგრამ უფრო ადვილია ამის გაკეთება პირიქით. ორი შემთხვევა უნდა განიხილებოდეს:

პირველ შემთხვევაში ვიღებთ

მეორე შემთხვევაში გვაქვს უფლება გავყოთ უმაღლეს ხარისხზე და მივიღებთ:

თქვენ უნდა შემოიტანოთ ცვლადების ცვლილება, ვიღებთ კვადრატულ განტოლებას y-სთვის:

გაითვალისწინეთ, რომ f და g ფუნქციები შეიძლება იყოს თვითნებური, მაგრამ ჩვენ გვაინტერესებს შემთხვევა, როდესაც ეს არის ექსპონენციალური ფუნქციები.

4. ერთგვაროვანი განტოლებების ამოხსნის მაგალითები

გადავიტანოთ ყველა წევრი განტოლების მარცხენა მხარეს:

ვინაიდან ექსპონენციალური ფუნქციები იძენენ მკაცრად დადებით მნიშვნელობებს, ჩვენ გვაქვს უფლება დაუყოვნებლივ გავყოთ განტოლება ზე, იმ შემთხვევის გათვალისწინების გარეშე, როდესაც: