გამონათქვამები, გამოხატვის გარდაქმნა

ძალაუფლების გამონათქვამები (გამოხატვები ძალებით) და მათი ტრანსფორმაცია

ამ სტატიაში ვისაუბრებთ გამონათქვამების ძალებით გარდაქმნაზე. პირველ რიგში, ჩვენ ყურადღებას გავამახვილებთ ტრანსფორმაციებზე, რომლებიც შესრულებულია ნებისმიერი სახის გამონათქვამებით, მათ შორის ძალის გამონათქვამებით, როგორიცაა ფრჩხილების გახსნა, მსგავსი ტერმინების შემცირება. შემდეგ ჩვენ გავაანალიზებთ გარდაქმნებს, რომლებიც თან ახლავს კონკრეტულად გამონათქვამებს გრადუსით: მუშაობა ფუძესთან და ექსპონენტთან, ხარისხების თვისებების გამოყენებით და ა.შ.

გვერდის ნავიგაცია.

რა არის ძალის გამონათქვამები?

ტერმინი "ძალაუფლების გამონათქვამები" პრაქტიკულად არ გვხვდება მათემატიკის სასკოლო სახელმძღვანელოებში, მაგრამ ის ხშირად გვხვდება ამოცანების კრებულებში, განსაკუთრებით შექმნილია ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისთვის და OGE-სთვის მოსამზადებლად, მაგალითად,. ამოცანების გაანალიზების შემდეგ, რომლებშიც საჭიროა რაიმე მოქმედების შესრულება ძალის გამონათქვამებით, ცხადი ხდება, რომ ძალაუფლების გამონათქვამები გაგებულია, როგორც გამონათქვამები, რომლებიც შეიცავს ხარისხს მათ ჩანაწერებში. ამიტომ, თქვენთვის, შეგიძლიათ მიიღოთ შემდეგი განმარტება:

განმარტება.

ძალის გამონათქვამებიარის გამონათქვამები, რომლებიც შეიცავს ძალაუფლებას.

მოვიყვანოთ ძალაუფლების გამოხატვის მაგალითები. უფრო მეტიც, ჩვენ წარმოვადგენთ მათ იმის მიხედვით, თუ როგორ ხდება შეხედულებების განვითარება ბუნებრივი ინდიკატორის ხარისხიდან რეალური ინდიკატორის ხარისხამდე.

მოგეხსენებათ, ჯერ გაეცნობით რიცხვის ხარისხს ბუნებრივი მაჩვენებლით, ამ ეტაპზე 3 2 , 7 5 +1 , (2+1) 5 , (−0,1 ტიპის პირველი უმარტივესი სიმძლავრის გამოსახულებები. ) 4 , 3 a 2 −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 და ა.შ.

ცოტა მოგვიანებით, შესწავლილია რიცხვის სიმძლავრე მთელი რიცხვის მაჩვენებლით, რაც იწვევს უარყოფითი მთელი ძალებით გამოსახულებების გამოჩენას, როგორიცაა: 3 −2, , a −2 +2 b −3 + c 2 .

უფროს კლასებში ისევ უბრუნდებიან ხარისხს. იქ შემოღებულია ხარისხი რაციონალური მაჩვენებლით, რაც იწვევს შესაბამისი სიმძლავრის გამონათქვამების გამოჩენას: , , და ა.შ. და ბოლოს, განიხილება ირაციონალური მაჩვენებლებით და მათ შემცველი გამონათქვამები: , .

საკითხი არ შემოიფარგლება ჩამოთვლილი სიმძლავრის გამოსახულებებით: შემდგომში ცვლადი აღწევს მაჩვენებელში და არის, მაგალითად, ასეთი გამონათქვამები 2 x 2 +1 ან . და გაცნობის შემდეგ იწყება გამონათქვამები ძალებითა და ლოგარითმებით, მაგალითად, x 2 lgx −5 x lgx.

ასე რომ, ჩვენ გავარკვიეთ კითხვა, რა არის ძალაუფლების გამოხატულება. შემდეგი, ჩვენ ვისწავლით როგორ გარდაქმნას ისინი.

ძალაუფლების გამონათქვამების გარდაქმნების ძირითადი ტიპები

ძალაუფლების გამონათქვამებით შეგიძლიათ შეასრულოთ გამონათქვამების იდენტობის ნებისმიერი ძირითადი ტრანსფორმაცია. მაგალითად, შეგიძლიათ გააფართოვოთ ფრჩხილები, შეცვალოთ რიცხვითი გამონათქვამები მათი მნიშვნელობებით, დაამატოთ მსგავსი ტერმინები და ა.შ. ბუნებრივია, ამ შემთხვევაში აუცილებელია მოქმედებების განხორციელებისთვის მიღებული პროცედურის დაცვა. მოვიყვანოთ მაგალითები.

მაგალითი.

გამოთვალეთ სიმძლავრის გამოხატვის მნიშვნელობა 2 3 ·(4 2 −12) .

გამოსავალი.

მოქმედებების თანმიმდევრობის მიხედვით, პირველ რიგში ვასრულებთ მოქმედებებს ფრჩხილებში. იქ ჯერ 4 2-ის სიმძლავრეს ვცვლით მისი მნიშვნელობით 16 (იხ. საჭიროების შემთხვევაში) და მეორეც, ვიანგარიშებთ სხვაობას 16−12=4 . Ჩვენ გვაქვს 2 3 (4 2 −12)=2 3 (16−12)=2 3 4.

მიღებულ გამონათქვამში 2 3-ის სიმძლავრეს ვცვლით მისი მნიშვნელობით 8, რის შემდეგაც გამოვთვლით ნამრავლს 8·4=32. ეს არის სასურველი მნიშვნელობა.

Ისე, 2 3 (4 2 −12)=2 3 (16−12)=2 3 4=8 4=32.

პასუხი:

2 3 (4 2 −12)=32 .

მაგალითი.

ძალაუფლების გამონათქვამების გამარტივება 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

გამოსავალი.

ცხადია, ეს გამოთქმა შეიცავს მსგავს ტერმინებს 3 · a 4 · b − 7 და 2 · a 4 · b − 7 და შეგვიძლია შევამციროთ ისინი: .

პასუხი:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

მაგალითი.

გამოხატეთ გამოხატულება ძალებით, როგორც პროდუქტი.

გამოსავალი.

ამოცანის შესასრულებლად საშუალებას იძლევა 9 რიცხვის წარმოდგენა 3 2-ის სიმძლავრის სახით და შემდგომში შემცირებული გამრავლების ფორმულის გამოყენება, კვადრატების სხვაობა:

პასუხი:

ასევე არსებობს მთელი რიგი იდენტური გარდაქმნები, რომლებიც თან ახლავს ძალაუფლების გამონათქვამებს. შემდეგი, ჩვენ გავაანალიზებთ მათ.

ბაზისთან და ექსპონენტთან მუშაობა

არის ხარისხები, რომელთა საფუძველში და/ან ინდიკატორში არის არა მხოლოდ რიცხვები ან ცვლადები, არამედ ზოგიერთი გამონათქვამი. მაგალითად, დავწეროთ (2+0.3 7) 5−3.7 და (a (a+1)−a 2) 2 (x+1) .

ასეთ გამონათქვამებთან მუშაობისას შესაძლებელია როგორც ხარისხის საფუძველში გამოხატული, ასევე ინდიკატორის გამოხატვის შეცვლა მისი ცვლადების DPV-ზე იდენტური თანაბარი გამოსახულებით. ანუ ჩვენთვის ცნობილი წესების მიხედვით შეგვიძლია ცალ-ცალკე გადავიყვანოთ ხარისხის საფუძველი, ცალკე კი - ინდიკატორი. ცხადია, რომ ამ ტრანსფორმაციის შედეგად მიიღება გამონათქვამი, რომელიც იდენტურად უტოლდება თავდაპირველს.

ასეთი გარდაქმნები საშუალებას გვაძლევს გავამარტივოთ გამოთქმები ძალებით ან მივაღწიოთ სხვა მიზნებს, რაც გვჭირდება. მაგალითად, ზემოხსენებულ 5−3.7 დენის გამოხატულებაში (2+0.3 7) შეგიძლიათ შეასრულოთ მოქმედებები ძირში და მაჩვენებელში მოცემული რიცხვებით, რაც საშუალებას მოგცემთ გადახვიდეთ 4.1 1.3 ხარისხზე. და ფრჩხილების გახსნის და (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) ხარისხის ფუძეში მსგავსი ტერმინების მოყვანის შემდეგ მივიღებთ 2·(x+1) უფრო მარტივი ფორმის სიმძლავრის გამოხატვას. ) .

დენის თვისებების გამოყენება

გამონათქვამების ძალებით გარდაქმნის ერთ-ერთი მთავარი ინსტრუმენტი არის თანასწორობა, რომელიც ასახავს . გავიხსენოთ ძირითადი. ნებისმიერი დადებითი რიცხვისთვის a და b და თვითნებური რეალური რიცხვებისთვის r და s, ძალაშია შემდეგი თვისებები:

• a r a s =a r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (ა ბ) r = a r b r;
• (a:b) r =a r:b r ;
• (a r) s =a r s .

გაითვალისწინეთ, რომ ბუნებრივი, მთელი და დადებითი მაჩვენებლებისთვის, a და b რიცხვებზე შეზღუდვები შეიძლება არც ისე მკაცრი იყოს. მაგალითად, m და n ნატურალური რიცხვებისთვის ტოლობა a m ·a n =a m+n მართალია არა მხოლოდ დადებითი a , არამედ უარყოფითი და a=0 .

სკოლაში ძალაუფლების გამონათქვამების ტრანსფორმაციისას მთავარი ყურადღება გამახვილებულია სწორედ შესაბამისი თვისების არჩევისა და მისი სწორად გამოყენების უნარზე. ამ შემთხვევაში, გრადუსების საფუძვლები, როგორც წესი, დადებითია, რაც საშუალებას გაძლევთ გამოიყენოთ ხარისხების თვისებები შეზღუდვების გარეშე. იგივე ეხება ცვლადების შემცველი გამონათქვამების ტრანსფორმაციას გრადუსების საფუძვლებში - ცვლადების მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონი ჩვეულებრივ ისეთია, რომ ფუძეები მასზე მხოლოდ დადებით მნიშვნელობებს იღებენ, რაც საშუალებას გაძლევთ თავისუფლად გამოიყენოთ თვისებები. ხარისხების. ზოგადად, მუდმივად უნდა დაისვას კითხვა, შესაძლებელია თუ არა მასში ამ საქმესგამოიყენეთ ხარისხების ნებისმიერი თვისება, რადგან თვისებების არაზუსტმა გამოყენებამ შეიძლება გამოიწვიოს ODZ-ის შევიწროება და სხვა პრობლემები. ეს პუნქტები დეტალურად და მაგალითებით არის განხილული სტატიაში გამონათქვამების ტრანსფორმაცია გრადუსების თვისებების გამოყენებით. აქ შემოვიფარგლებით რამდენიმე მარტივი მაგალითით.

მაგალითი.

გამოთქვით a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 გამოთქმა ხარისხად a ფუძით.

გამოსავალი.

პირველი, ჩვენ გარდაქმნით მეორე ფაქტორს (a 2) −3 სიმძლავრის ხარისხზე აყვანის თვისებით: (a 2) −3 =a 2 (−3) =a −6. ამ შემთხვევაში საწყისი სიმძლავრის გამოხატულება მიიღებს ფორმას a 2.5 ·a −6:a −5.5 . ცხადია, რჩება ძალაუფლების გამრავლებისა და გაყოფის თვისებების გამოყენება იმავე ფუძით, გვაქვს
a 2.5 a -6: a -5.5 =
a 2,5−6:a−5,5 =a−3,5:a−5,5 =
a −3,5−(−5,5) =a 2 .

პასუხი:

a 2.5 (a 2) -3:a -5.5 \u003d a 2.

სიმძლავრის თვისებები გამოიყენება ძალაუფლების გამონათქვამების გარდაქმნისას როგორც მარცხნიდან მარჯვნივ, ასევე მარჯვნიდან მარცხნივ.

მაგალითი.

იპოვეთ ძალა გამოხატვის მნიშვნელობა.

გამოსავალი.

ტოლობა (a·b) r =a r ·b r, გამოყენებული მარჯვნიდან მარცხნივ, საშუალებას გაძლევთ გადახვიდეთ ორიგინალური გამოხატულებიდან ფორმის ნამრავლზე და შემდგომში. და იმავე ფუძით ძალების გამრავლებისას, ინდიკატორები ემატება: .

შესაძლებელი იყო ორიგინალური გამოხატვის ტრანსფორმაციის სხვა გზით შესრულება:

პასუხი:

.

მაგალითი.

1.5 −a 0.5 −6 სიმძლავრის გამოსახულების გათვალისწინებით, შეიყვანეთ ახალი ცვლადი t=a 0.5.

გამოსავალი.

a 1.5 ხარისხი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც 0.5 3 და შემდგომში ხარისხის თვისების საფუძველზე მარჯვნიდან მარცხნივ გამოყენებული ხარისხით (a r) s =a r s, გადაიყვანოთ იგი ფორმაში (a 0.5) 3. Ამგვარად, a 1.5 -a 0.5 -6=(a 0.5) 3 -a 0.5 -6. ახლა ადვილია ახალი ცვლადის შემოღება t=a 0.5 , მივიღებთ t 3 −t−6 .

პასუხი:

t 3 −t−6 .

სიმძლავრის შემცველი წილადების გადაქცევა

სიმძლავრის გამონათქვამები შეიძლება შეიცავდეს წილადებს ხარისხებით ან წარმოადგენენ ასეთ წილადებს. წილადის ნებისმიერი ძირითადი გარდაქმნა, რომელიც თანდაყოლილია ნებისმიერი სახის წილადებში, სრულად გამოიყენება ასეთ წილადებზე. ანუ წილადები, რომლებიც შეიცავენ ხარისხს, შეიძლება შემცირდეს, შემცირდეს ახალ მნიშვნელამდე, იმუშაოს ცალ-ცალკე მათ მრიცხველთან და ცალ-ცალკე მნიშვნელთან და ა.შ. ზემოთ მოყვანილი სიტყვების საილუსტრაციოდ, განიხილეთ რამდენიმე მაგალითის ამონახსნები.

მაგალითი.

ძალაუფლების გამოხატვის გამარტივება .

გამოსავალი.

ეს სიმძლავრის გამოხატულება არის წილადი. ვიმუშაოთ მის მრიცხველთან და მნიშვნელთან. მრიცხველში ვხსნით ფრჩხილებს და ვამარტივებთ ამის შემდეგ მიღებულ გამონათქვამს ძალაუფლების თვისებების გამოყენებით, ხოლო მნიშვნელში წარმოვადგენთ მსგავს ტერმინებს:

ჩვენ ასევე ვცვლით მნიშვნელის ნიშანს წილადის წინ მინუსის დაყენებით: .

პასუხი:

.

ძალაუფლების შემცველი წილადების ახალ მნიშვნელამდე შემცირება ხდება ისევე, როგორც რაციონალური წილადების ახალ მნიშვნელამდე შემცირება. ამავდროულად, მოიძებნება დამატებითი ფაქტორიც და მასზე მრავლდება წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი. ამ მოქმედების შესრულებისას უნდა გვახსოვდეს, რომ ახალ მნიშვნელზე შემცირებამ შეიძლება გამოიწვიოს DPV-ის შევიწროება. ამის თავიდან ასაცილებლად, აუცილებელია, რომ დამატებითი ფაქტორი არ გაქრეს ორიგინალური გამოსახულებისთვის ODZ ცვლადების ცვლადების რომელიმე მნიშვნელობისთვის.

მაგალითი.

მიიტანეთ წილადები ახალ მნიშვნელზე: ა) მნიშვნელზე a, ბ) მნიშვნელისკენ.

გამოსავალი.

ა) ამ შემთხვევაში საკმაოდ მარტივია იმის გარკვევა, თუ რა დამატებითი ფაქტორი უწყობს ხელს სასურველი შედეგის მიღწევას. ეს არის 0.3-ის გამრავლება, ვინაიდან 0.7 a 0.3 = a 0.7+0.3 = a. გაითვალისწინეთ, რომ a ცვლადის მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონში (ეს არის ყველა დადებითი რეალური რიცხვის სიმრავლე), a 0.3 ხარისხი არ ქრება, შესაბამისად, ჩვენ გვაქვს უფლება გავამრავლოთ მოცემული წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი. ამ დამატებითი ფაქტორით:

ბ) მნიშვნელს უფრო ყურადღებით დავაკვირდებით, ვხვდებით, რომ

და ამ გამონათქვამის გამრავლება მივიღებთ კუბების ჯამს და, ანუ . და ეს არის ახალი მნიშვნელი, რომელსაც უნდა მივიყვანოთ საწყისი წილადი.

ასე რომ, ჩვენ ვიპოვეთ დამატებითი ფაქტორი. გამოთქმა არ ქრება x და y ცვლადების მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონში, ამიტომ ჩვენ შეგვიძლია გავამრავლოთ წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი მასზე:

პასუხი:

ა) , ბ) .

ასევე არაფერია ახალი გრადუსების შემცველი წილადების შემცირებაში: მრიცხველი და მნიშვნელი წარმოდგენილია ფაქტორების გარკვეული რაოდენობის სახით, ხოლო მრიცხველისა და მნიშვნელის იგივე ფაქტორები მცირდება.

მაგალითი.

შეამცირე წილადი: ა) , ბ).

გამოსავალი.

ა) ჯერ მრიცხველი და მნიშვნელი შეიძლება შემცირდეს 30 და 45 რიცხვებით, რაც უდრის 15-ს. ასევე, ცხადია, შეგიძლიათ შეამციროთ x 0,5 +1-ით და . აი რა გვაქვს:

ბ) ამ შემთხვევაში მრიცხველსა და მნიშვნელში ერთი და იგივე ფაქტორები მაშინვე არ ჩანს. მათი მისაღებად, თქვენ უნდა შეასრულოთ წინასწარი გარდაქმნები. ამ შემთხვევაში, ისინი მოიცავს მნიშვნელის ფაქტორებად დაშლას კვადრატების ფორმულის სხვაობის მიხედვით:

პასუხი:

ა)

ბ) .

წილადების ახალ მნიშვნელამდე შემცირება და წილადების შემცირება ძირითადად გამოიყენება წილადებზე მოქმედებების შესასრულებლად. მოქმედებები შესრულებულია ცნობილი წესების მიხედვით. წილადების შეკრებისას (გამოკლებისას) ისინი მცირდება საერთო მნიშვნელამდე, რის შემდეგაც მრიცხველები ემატება (აკლდება) და მნიშვნელი იგივე რჩება. შედეგი არის წილადი, რომლის მრიცხველი არის მრიცხველების ნამრავლი, ხოლო მნიშვნელი არის მნიშვნელების ნამრავლი. წილადზე გაყოფა არის გამრავლება მის ორმხრივად.

მაგალითი.

მიჰყევით ნაბიჯებს .

გამოსავალი.

ჯერ ფრჩხილებში გამოვაკლებთ წილადებს. ამისათვის ჩვენ მათ საერთო მნიშვნელამდე მივყავართ, რაც არის , შემდეგ გამოაკელი მრიცხველები:

ახლა ვამრავლებთ წილადებს:

ცხადია, შესაძლებელია x 1/2 სიმძლავრის შემცირება, რის შემდეგაც გვაქვს .

თქვენ ასევე შეგიძლიათ გაამარტივოთ სიმძლავრის გამოხატულება მნიშვნელში კვადრატების განსხვავების ფორმულის გამოყენებით: .

პასუხი:

მაგალითი.

ძალაუფლების გამოხატვის გამარტივება .

გამოსავალი.

ცხადია, ეს წილადი შეიძლება შემცირდეს (x 2.7 +1) 2-ით, ეს იძლევა წილადს . გასაგებია, რომ x-ის ძალებით სხვა რამის გაკეთებაა საჭირო. ამისთვის მიღებულ წილადს პროდუქტად ვაქცევთ. ეს გვაძლევს შესაძლებლობას გამოვიყენოთ ძალაუფლების გამყოფი თვისება იგივე საფუძვლებით: . პროცესის ბოლოს კი ბოლო პროდუქტიდან ფრაქციაზე გადავდივართ.

პასუხი:

.

და ვამატებთ, რომ შესაძლებელია და ხშირ შემთხვევაში სასურველია უარყოფითი მაჩვენებლების მქონე ფაქტორების გადატანა მრიცხველიდან მნიშვნელზე ან მნიშვნელიდან მრიცხველზე მაჩვენებლის ნიშნის შეცვლით. ასეთი გარდაქმნები ხშირად ამარტივებს შემდგომ მოქმედებებს. მაგალითად, დენის გამოხატულება შეიძლება შეიცვალოს .

გამონათქვამების კონვერტაცია ფესვებითა და ძალებით

ხშირად გამონათქვამებში, რომლებშიც საჭიროა გარკვეული გარდაქმნები, წილადებთან ერთად ხარისხებთან ერთად, არის ფესვებიც. ასეთი გამონათქვამის სასურველ ფორმაში გადასაყვანად, უმეტეს შემთხვევაში საკმარისია მხოლოდ ფესვებზე გადასვლა ან მხოლოდ ძალებზე გადასვლა. მაგრამ რადგან უფრო მოსახერხებელია ხარისხებთან მუშაობა, ისინი ჩვეულებრივ გადადიან ფესვებიდან გრადუსამდე. თუმცა, მიზანშეწონილია განახორციელოთ ასეთი გადასვლა, როდესაც ცვლადების ODZ ორიგინალური გამოსახულებისთვის საშუალებას გაძლევთ შეცვალოთ ფესვები გრადუსით მოდულზე წვდომის აუცილებლობის გარეშე ან ODZ-ს რამდენიმე ინტერვალებად გაყოფა (ეს დეტალურად განვიხილეთ სტატია, ფესვებიდან ძალაზე გადასვლა და პირიქით, რაციონალური მაჩვენებლის მქონე ხარისხის გაცნობის შემდეგ შემოღებულია ხარისხი ირაციონალური მაჩვენებლით, რაც შესაძლებელს ხდის ხარისხზე საუბარი თვითნებური რეალური მაჩვენებლით. ამ ეტაპზე, სკოლა იწყებს სწავლას ექსპონენციალური ფუნქცია, რომელიც ანალიტიკურად მოცემულია ხარისხით, რომლის საფუძველზეც არის რიცხვი, ხოლო ინდიკატორში - ცვლადი. ასე რომ, ჩვენ წინაშე ვდგავართ გრადუსის ფუძეში რიცხვების შემცველი გამონათქვამების, ხოლო ექსპონენტში - ცვლადებით გამოსახულებებს და ბუნებრივია ჩნდება ასეთი გამონათქვამების გარდაქმნების საჭიროება.

უნდა ითქვას, რომ მითითებული ტიპის გამონათქვამების ტრანსფორმაცია ჩვეულებრივ უნდა განხორციელდეს ამოხსნისას ექსპონენციალური განტოლებებიდა ექსპონენციური უტოლობებიდა ეს გარდაქმნები საკმაოდ მარტივია. უმეტეს შემთხვევაში, ისინი ეფუძნება ხარისხის თვისებებს და ძირითადად მიმართულია მომავალში ახალი ცვლადის დანერგვაზე. განტოლება საშუალებას მოგვცემს ვაჩვენოთ ისინი 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

პირველ რიგში, მაჩვენებლები, რომელთა მაჩვენებლებშიც არის ნაპოვნი ზოგიერთი ცვლადის (ან ცვლადის გამოსახულებების) ჯამი და რიცხვი, იცვლება პროდუქტებით. ეს ეხება მარცხენა მხარეს გამოთქმის პირველ და ბოლო ტერმინებს:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

შემდეგ, თანასწორობის ორივე ნაწილი იყოფა გამოსახულებით 7 2 x, რომელიც იღებს მხოლოდ დადებით მნიშვნელობებს x ცვლადის ODV-ზე თავდაპირველი განტოლებისთვის (ეს არის სტანდარტული ტექნიკა ამ ტიპის განტოლებების გადასაჭრელად, ჩვენ არ ვართ ახლა ამაზე ვსაუბრობთ, ამიტომ ფოკუსირება მოახდინეთ გამონათქვამების შემდგომ ტრანსფორმაციებზე ძალებით):

ახლა ძალაუფლების მქონე ფრაქციები გაუქმებულია, რაც იძლევა .

საბოლოოდ, თანაფარდობა ერთი და იგივე მაჩვენებლებით იცვლება თანაფარდობის ხარისხებით, რაც იწვევს განტოლებას , რაც უდრის . განხორციელებული გარდაქმნები საშუალებას გვაძლევს შემოვიტანოთ ახალი ცვლადი, რომელიც ამცირებს საწყისი ექსპონენციალური განტოლების ამონახს კვადრატულ განტოლებამდე

ი.ვ.ბოიკოვი, ლ.დ.რომანოვადავალებების კრებული გამოცდისთვის მოსამზადებლად. ნაწილი 1. პენზა 2003 წ.

ნაწილი 5 გამოთქმები და განტოლებები

განყოფილებაში შეისწავლით:

ü o გამონათქვამები და მათი გამარტივებები;

ü რა თვისებები აქვს თანასწორობას;

ü როგორ ამოხსნათ განტოლებები ტოლობების თვისებებზე დაყრდნობით;

ü რა სახის ამოცანები წყდება განტოლებების დახმარებით; რა არის პერპენდიკულარული ხაზები და როგორ ავაშენოთ ისინი;

ü რა ხაზებს უწოდებენ პარალელურს და როგორ ავაშენოთ ისინი;

ü რა არის კოორდინატთა სიბრტყე;

ü როგორ განვსაზღვროთ სიბრტყეზე წერტილის კოორდინატები;

ü რა არის დამოკიდებულების გრაფიკი რაოდენობებს შორის და როგორ ავაშენოთ იგი;

ü როგორ გამოვიყენოთ ნასწავლი მასალა პრაქტიკაში

§ 30. გამოთქმები და მათი გამარტივება

თქვენ უკვე იცით რა არის პირდაპირი გამონათქვამები და იცით როგორ გაამარტივოთ ისინი შეკრებისა და გამრავლების კანონების გამოყენებით. მაგალითად, 2a ∙ (-4ბ) = -8 აბ . შედეგად გამოსახულებაში რიცხვს -8 ეწოდება გამოხატვის კოეფიციენტი.

გამოხატავს cd კოეფიციენტი? Ისე. ის უდრის 1-ს, რადგან cd - 1 ∙ cd .

შეგახსენებთ, რომ ფრჩხილებით გამოსახულების გადაქცევას ფრჩხილების გარეშე გამოსახულებად ეწოდება ფრჩხილების გაფართოება. მაგალითად: 5(2x + 4) = 10x + 20.

ამ მაგალითში საპირისპირო მოქმედება არის საერთო ფაქტორის ფრჩხილებიდან ამოღება.

იგივე ლიტერატურული ფაქტორების შემცველ ტერმინებს მსგავსი ტერმინები ეწოდება. საერთო ფაქტორის ფრჩხილებიდან ამოღებით, მსგავსი ტერმინები დგება:

5x + y + 4 - 2x + 6 y - 9 =

= (5x - 2x) + (y + 6y )+ (4 - 9) = = (5-2)* + (1 + 6)* y-5=

B x + 7y - 5.

ფრჩხილის გაფართოების წესები

1. თუ ფრჩხილების წინ არის „+“ ნიშანი, მაშინ ფრჩხილების გახსნისას დაცულია ფრჩხილებში მოცემული ტერმინების ნიშნები;

2. თუ ფრჩხილების წინ არის „-“ ნიშანი, მაშინ როდესაც ფრჩხილები იხსნება, ფრჩხილებში მოცემული ტერმინების ნიშნები შებრუნებულია.

ამოცანა 1 . გაამარტივე გამოთქმა:

1) 4x+(-7x + 5);

2) 15 y -(-8 + 7 y ).

გადაწყვეტილებები. 1. ფრჩხილების წინ არის „+“ ნიშანი, ამიტომ ფრჩხილების გახსნისას დაცულია ყველა ტერმინის ნიშანი:

4x + (-7x + 5) \u003d 4x - 7x + 5 \u003d -3x + 5.

2. ფრჩხილების წინ არის „-“ ნიშანი, შესაბამისად, ფრჩხილების გახსნისას: ყველა ტერმინის ნიშანი შებრუნებულია:

15 - (- 8 + 7წ) \u003d 15წ + 8 - 7წ \u003d 8წ +8.

ფრჩხილების გასახსნელად გამოიყენეთ გამრავლების გამანაწილებელი თვისება: a(ბ + გ) = აბ + ac. თუ a > 0, მაშინ ტერმინების ნიშნებიბ და არ შეიცვალოს. Თუ< 0, то знаки слагаемых ბ და დან არიან შებრუნებული.

დავალება 2. გამოთქმის გამარტივება:

1) 2(6წ -8) + 7წ;

2) -5 (2-5x) + 12.

გადაწყვეტილებები. 1. კოეფიციენტი 2 ფრჩხილების წინ არის დადებითი, ამიტომ ფრჩხილების გახსნისას ვიცავთ ყველა ტერმინის ნიშანს: 2(6 y - 8) + 7 y = 12 y - 16 + 7 y =19 y -16.

2. ე ფრჩხილების წინ -5 ფაქტორი უარყოფითია, ამიტომ ფრჩხილების გახსნისას ყველა ტერმინის ნიშანს ვცვლით საპირისპიროზე:

5(2 - 5x) + 12 = -10 + 25x +12 = 2 + 25x.

შეიტყვეთ მეტი

1. სიტყვა "sum" მომდინარეობს ლათინურიდანშეჯამება , რაც ნიშნავს "სულ", "სულ".

2. სიტყვა „პლუს“ ლათინურიდან მოდისპლუს, რაც ნიშნავს "მეტს", ხოლო სიტყვა "მინუს" - ლათინურიდანმინუს, რაც ნიშნავს "ნაკლებს". ნიშნები "+" და "-" გამოიყენება შეკრებისა და გამოკლების მოქმედებების აღსანიშნავად. ეს ნიშნები შემოიღო ჩეხმა მეცნიერმა ჯ.ვიდმანმა 1489 წელს წიგნში "სწრაფი და სასიამოვნო ანგარიში ყველა ვაჭრისთვის"(სურ. 138).

ბრინჯი. 138

დაიმახსოვრე მთავარი

1. რა ტერმინებს უწოდებენ მსგავსს? როგორ იქმნება მსგავსი ტერმინები?

2. როგორ ხსნით ფრჩხილებს, რომლებსაც წინ უძღვის „+“ ნიშანი?

3. როგორ ხსნით ფრჩხილებს, რომლებსაც წინ უძღვის "-" ნიშანი?

4. როგორ ხსნით ფრჩხილებს, რომლებსაც წინ უძღვის დადებითი ფაქტორი?

5. როგორ ხსნით ფრჩხილებს, რომლებსაც წინ უძღვის უარყოფითი ფაქტორი?

1374". დაასახელეთ გამოთქმის კოეფიციენტი:

1) 12 ა; 3) -5,6 xy;

2)4 6; 4)-s.

1375". დაასახელეთ ტერმინები, რომლებიც განსხვავდებიან მხოლოდ კოეფიციენტით:

1) 10a + 76-26 + ა; 3) 5n + 5m -4n + 4;

2) bc -4d - bc + 4d; 4) 5x + 4y-x + y.

რა ჰქვია ამ ტერმინებს?

1376". არის თუ არა მსგავსი ტერმინები გამოთქმაში:

1) 11a + 10a; 3)6n + 15n; 5) 25r - 10r + 15r;

2) 14ს-12; 4)12 მ + მ; 6) 8k +10k - n?

1377". აუცილებელია თუ არა ფრჩხილებში მოცემული ტერმინების ნიშნების შეცვლა გამოთქმაში ფრჩხილების გახსნით:

1)4 + (a + 3b); 2)-c +(5-d); 3) 16-(5მ-8ნ)?

1378°. გაამარტივეთ გამოთქმა და ხაზი გაუსვით კოეფიციენტს:

1379°. გაამარტივეთ გამოთქმა და ხაზი გაუსვით კოეფიციენტს:

1380°. მსგავსი ტერმინების შემცირება:

1) 4a - Po + 6a - 2a; 4) 10 - 4 d - 12 + 4d;

2) 4b - 5b + 4 + 5b; 5) 5a - 12b - 7a + 5b;

3)-7ang="EN-US">c+ 5-3 c + 2; 6) 14 n - 12 მ -4 n -3 მ.

1381°. მსგავსი ტერმინების შემცირება:

1) 6a - 5a + 8a -7a; 3) 5s + 4-2s-3s;

2)9 ბ +12-8-46; 4) -7n + 8m - 13n - 3m.

1382°. ამოიღეთ საერთო ფაქტორი ფრჩხილებიდან:

1) 1.2 a +1.2 b; 3) -3 n - 1,8 მ; 5) -5p + 2.5k -0.5t;

2) 0,5 წმ + 5დ; 4) 1,2 n - 1,8 მ; 6) -8p - 10k - 6t.

1383°. ამოიღეთ საერთო ფაქტორი ფრჩხილებიდან:

1) 6a-12b; 3) -1,8 n -3,6 მ;

2) -0,2 წ + 1 4 დ; ა) 3p - 0.9k + 2.7t.

1384°. გახსენით ფრჩხილები და შეამცირეთ მსგავსი პირობები;

1) 5 + (4a -4); 4) -(5 c - d) + (4 d + 5c);

2) 17x-(4x-5); 5) (n - m) - (-2 m - 3 n);

3) (76 - 4) - (46 + 2); 6) 7 (-5x + y) - (-2y + 4x) + (x - 3y).

1385°. გახსენით ფრჩხილები და შეამცირეთ მსგავსი პირობები:

1) 10a + (4 - 4a); 3) (s - 5დ) - (- d + 5s);

2) -(46-10) + (4-56); 4) - (5 ნ + მ) + (-4 ნ + 8 მ) - (2 მ -5 ნ).

1386°. გააფართოვეთ ფრჩხილები და იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა:

1)15+(-12+ 4,5); 3) (14,2-5)-(12,2-5);

2) 23-(5,3-4,7); 4) (-2,8 + 13)-(-5,6 + 2,8) + (2,8-13).

1387°. გააფართოვეთ ფრჩხილები და იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა:

1) (14- 15,8)- (5,8 + 4);

2)-(18+22,2)+ (-12+ 22,2)-(5- 12).

1388°. გახსენით ფრჩხილები:

1) 0,5 ∙ (a + 4); 4) (n - m) ∙ (-2.4 p);

2)-s ∙ (2.7-1.2 დ ); 5) 3 ∙ (-1,5 p + k - 0,2ტ);

3) 1.6 ∙ (2n + m); 6) (4.2 p - 3.5 k -6 t) ∙ (-2a).

1389°. გახსენით ფრჩხილები:

1) 2.2 ∙ (x-4); 3)(4 c - d)∙(-0.5 y);

2) -2 ∙ (1.2 ნ - მ); 4) 6- (-p + 0,3 k - 1,2 ტ).

1390. გაამარტივე გამოთქმა:

1391. გაამარტივე გამოთქმა:

1392. მსგავსი ტერმინების შემცირება:

1393. მსგავსი ტერმინების შემცირება:

1394. გაამარტივე გამოთქმა:

1) 2.8 - (0.5 a + 4) - 2.5 ∙ (2a - 6);

2) -12 ∙ (8 - 2, by) + 4.5 ∙ (-6 y - 3.2);

4) (-12,8 მ + 24,8 ნ) ∙ (-0,5)-(3,5 მ -4,05 მ) ∙ 2.

1395. გაამარტივე გამოთქმა:

1396. იპოვე გამოთქმის მნიშვნელობა;

1) 4-(0.2 a-3) - (5.8 a-16), თუ a \u003d -5;

2) 2-(7-56)+ 156-3∙(26+ 5), თუ = -0.8;

m = 0.25, n = 5.7.

1397. იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა:

1) -4∙ (i-2) + 2∙(6x - 1), თუ x = -0.25;

1398*. იპოვნეთ შეცდომა გამოსავალში:

1) 5- (a-2.4) -7 ∙ (-a + 1.2) \u003d 5a - 12-7a + 8.4 \u003d -2a-3.6;

2) -4 ∙ (2.3 a - 6) + 4.2 ∙ (-6 - 3.5 a) \u003d -9.2 a + 46 + 4.26 - 14.7 a \u003d -5.5 a + 8.26.

1399*. გააფართოვეთ ფრჩხილები და გაამარტივეთ გამოთქმა:

1) 2ab - 3(6(4a - 1) - 6(6 - 10a)) + 76;

1400*. დაალაგეთ ფრჩხილები სწორი ტოლობის მისაღებად:

1) a-6-a + 6 \u003d 2a; 2) a -2 b -2 a + b \u003d 3 a -3 b.

1401 *. დაამტკიცეთ, რომ ნებისმიერი რიცხვისთვის a და b თუ a > b , მაშინ მოქმედებს შემდეგი ტოლობა:

1) (a + b) + (a-b) \u003d 2a; 2) (a + b) - (a - b) \u003d 2 b.

სწორი იქნება თუ არა ეს თანასწორობა, თუ: ა) ა< ბ; ბ) a = 6?

1402 *. დაამტკიცეთ, რომ ნებისმიერი ნატურალური რიცხვისთვის a, წინა და შემდეგი რიცხვების საშუალო არითმეტიკული რიცხვი a რიცხვის ტოლია.

მიმართეთ პრაქტიკაში

1403. სამი ადამიანისთვის ხილის დესერტის მოსამზადებლად საჭიროა: 2 ვაშლი, 1 ფორთოხალი, 2 ბანანი და 1 კივი. როგორ გავაკეთოთ პირდაპირი გამოთქმა, რათა დადგინდეს სტუმრებისთვის დესერტის მოსამზადებლად საჭირო ხილის რაოდენობა? დაეხმარეთ მარინს გამოთვალოს რამდენი ხილი უნდა იყიდოს, თუ სანახავად მოვა: 1) 5 მეგობარი; 2) 8 მეგობარი.

1404. გააკეთეთ სიტყვასიტყვითი გამოთქმა მათემატიკაში საშინაო დავალების შესასრულებლად საჭირო დროის დასადგენად, თუ:

1) წთ დაიხარჯა პრობლემების გადაჭრაზე; 2) გამოთქმების გამარტივება 2-ჯერ მეტია, ვიდრე ამოცანების გადასაჭრელად. რამდენ დროს ასრულებდა ვასილკომ საშინაო დავალება, თუ 15 წუთი დახარჯა პრობლემების გადაჭრაზე?

1405. სადილი სკოლის სასადილოში შედგება სალათის, ბორშის, კომბოსტოს რულეტებისა და კომპოტისგან. სალათის ღირებულება შეადგენს 20%-ს, ბორშის - 30%-ს, კომბოსტოს რულეტებს - 45%-ს, კომპოტს - მთლიანი კვების ღირებულების 5%-ს. დაწერეთ გამოთქმა სკოლის კაფეტერიაში ლანჩის საფასურის დასადგენად. რა ღირს სადილი, თუ სალათის ფასია 2 UAH?

განმეორებითი ამოცანები

1406. ამოხსენი განტოლება:

1407. ტანიამ ნაყინზე გაატარაყველა ხელმისაწვდომი ფული და ტკბილეული -დასვენება. რამდენი ფული აქვს ტანიას?

თუ ტკბილეული ღირს 12 UAH?

ალგებრაში განხილულ სხვადასხვა გამოთქმებს შორის მნიშვნელოვანი ადგილი უჭირავს მონომების ჯამებს. აქ მოცემულია ასეთი გამონათქვამების მაგალითები:
\(5a^4 - 2a^3 + 0.3a^2 - 4.6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)

მონომების ჯამს მრავალწევრი ეწოდება. მრავალწევრში შემავალი ტერმინები მრავალწევრის წევრებს უწოდებენ. მონონომები ასევე მოიხსენიება როგორც პოლინომები, განიხილება მონომი, როგორც პოლინომი, რომელიც შედგება ერთი წევრისაგან.

მაგალითად, მრავალწევრი
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 \)
შეიძლება გამარტივდეს.

ჩვენ წარმოვადგენთ ყველა ტერმინს სტანდარტული ფორმის მონომიებად:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)

მიღებულ პოლინომში მსგავს ტერმინებს ვაძლევთ:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
შედეგი არის მრავალწევრი, რომლის ყველა წევრი სტანდარტული ფორმის მონომია და მათ შორის მსგავსი არ არის. ასეთ მრავალწევრებს უწოდებენ სტანდარტული ფორმის მრავალწევრები.

პერ მრავალწევრი ხარისხისტანდარტული ფორმა იღებს მისი წევრების ყველაზე დიდ უფლებამოსილებებს. ასე რომ, ბინომს \(12a^2b - 7b \) აქვს მესამე ხარისხი, ხოლო ტრინომს \(2b^2 -7b + 6 \) აქვს მეორე.

ჩვეულებრივ, სტანდარტული ფორმის მრავალწევრების წევრები, რომლებიც შეიცავს ერთ ცვლადს, განლაგებულია მისი მაჩვენებლების კლებადობით. Მაგალითად:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)

რამდენიმე მრავალწევრის ჯამი შეიძლება გარდაიქმნას (გამარტივდეს) სტანდარტული ფორმის მრავალწევრად.

ზოგჯერ მრავალწევრის წევრები უნდა დაიყოს ჯგუფებად, თითოეული ჯგუფის ჩასმა ფრჩხილებში. ვინაიდან ფრჩხილები ფრჩხილების საპირისპიროა, მისი ჩამოყალიბება მარტივია ფრჩხილების გახსნის წესები:

თუ + ნიშანი მოთავსებულია ფრჩხილების წინ, მაშინ ფრჩხილებში ჩასმული ტერმინები იწერება იგივე ნიშნებით.

თუ ფრჩხილების წინ არის "-" ნიშანი, მაშინ ფრჩხილებში ჩასმული ტერმინები იწერება საპირისპირო ნიშნებით.

მონომისა და მრავალწევრის ნამრავლის ტრანსფორმაცია (გამარტივება).

გამრავლების გამანაწილებელი თვისების გამოყენებით შეიძლება მონომისა და მრავალწევრის ნამრავლის გადაქცევა (გამარტივება) მრავალწევრად. Მაგალითად:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

მონომისა და მრავალწევრის ნამრავლი იდენტურად უდრის ამ მონომის ნამრავლებისა და მრავალწევრის თითოეული წევრის ჯამს.

ეს შედეგი ჩვეულებრივ ჩამოყალიბებულია როგორც წესი.

მონომის მრავალწევრზე გასამრავლებლად, ეს მონომი უნდა გავამრავლოთ მრავალწევრის თითოეულ წევრზე.

ჩვენ არაერთხელ გამოვიყენეთ ეს წესი ჯამზე გასამრავლებლად.

მრავალწევრების ნამრავლი. ორი მრავალწევრის ნამრავლის ტრანსფორმაცია (გამარტივება).

ზოგადად, ორი მრავალწევრის ნამრავლი იდენტურად უდრის ერთი მრავალწევრის თითოეული წევრისა და მეორის თითოეული წევრის ნამრავლის ჯამს.

ჩვეულებრივ გამოიყენეთ შემდეგი წესი.

მრავალწევრის მრავალწევრზე გასამრავლებლად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ ერთი მრავალწევრის თითოეული წევრი მეორის თითოეულ წევრზე და დაამატოთ მიღებული პროდუქცია.

შემოკლებული გამრავლების ფორმულები. ჯამი, სხვაობა და სხვაობის კვადრატები

ალგებრული გარდაქმნების ზოგიერთ გამონათქვამს უფრო ხშირად უნდა შევეხოთ, ვიდრე სხვებს. ალბათ ყველაზე გავრცელებული გამონათქვამებია \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) და \(a^2 - b^2 \), ანუ ჯამის კვადრატი, სხვაობის კვადრატი და სხვაობის კვადრატი. თქვენ შენიშნეთ, რომ მითითებული გამონათქვამების სახელები თითქოს არასრულია, ასე რომ, მაგალითად, \((a + b)^2 \) არის, რა თქმა უნდა, არა მხოლოდ ჯამის კვადრატი, არამედ ჯამის კვადრატი. ა და ბ. თუმცა, a და b ჯამის კვადრატი არც თუ ისე გავრცელებულია, როგორც წესი, a და b ასოების ნაცვლად, შეიცავს სხვადასხვა, ზოგჯერ საკმაოდ რთულ გამონათქვამებს.

გამონათქვამები \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) ადვილად გადაიქცევა (გამარტივება) სტანდარტული ფორმის პოლინომებად, ფაქტობრივად, თქვენ უკვე შეგხვედრიათ ასეთი დავალება მრავალწევრების გამრავლებისას. :
\((ა + ბ)^2 = (ა + ბ)(ა + ბ) = a^2 + აბ + ბა + ბ^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

შედეგად მიღებული იდენტობები სასარგებლოა დასამახსოვრებლად და გამოყენებაში შუალედური გამოთვლების გარეშე. ამას ეხმარება მოკლე სიტყვიერი ფორმულირებები.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - ჯამის კვადრატი უდრის კვადრატების ჯამს და ორმაგ ნამრავლს.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - სხვაობის კვადრატი არის კვადრატების ჯამი ნამრავლის გაორმაგების გარეშე.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - კვადრატების სხვაობა უდრის სხვაობისა და ჯამის ნამრავლს.

ეს სამი იდენტობა საშუალებას იძლევა ტრანსფორმაციების დროს შეცვალოს მათი მარცხენა ნაწილები მარჯვენა ნაწილებით და პირიქით - მარჯვენა ნაწილები მარცხნივ. ყველაზე რთული ამ შემთხვევაში არის შესაბამისი გამონათქვამების დანახვა და იმის გაგება, თუ რა არის მათში ჩანაცვლებული a და b ცვლადები. მოდით შევხედოთ შემოკლებული გამრავლების ფორმულების გამოყენების რამდენიმე მაგალითს.

ზოგიერთ ალგებრულ მაგალითს შეუძლია შეაშინოს სკოლის მოსწავლეები. გრძელი გამონათქვამები არა მხოლოდ დამაშინებელია, არამედ ძალიან რთული გამოსათვლელია. ცდილობს დაუყოვნებლივ გაიგოს რა მოჰყვება და რა მოყვება, დიდხანს არ დაიბნე. სწორედ ამ მიზეზით, მათემატიკოსები ყოველთვის ცდილობენ მაქსიმალურად გაამარტივონ „საშინელი“ ამოცანა და მხოლოდ ამის შემდეგ გააგრძელონ მისი ამოხსნა. უცნაურად საკმარისია, რომ ასეთი ხრიკი მნიშვნელოვნად აჩქარებს პროცესს.

გამარტივება ერთ-ერთი ფუნდამენტური წერტილია ალგებრაში. თუ მარტივ ამოცანებში ამის გაკეთება ჯერ კიდევ შესაძლებელია, მაშინ მაგალითების გამოთვლა უფრო რთული შეიძლება იყოს "ზედმეტად მკაცრი". ეს არის ის, სადაც ეს უნარები გამოდგება! უფრო მეტიც, რთული მათემატიკური ცოდნა არ არის საჭირო: საკმარისი იქნება მხოლოდ დაიმახსოვროთ და ვისწავლოთ როგორ გამოიყენოთ რამდენიმე ძირითადი ტექნიკა და ფორმულა.

მიუხედავად გამოთვლების სირთულისა, ნებისმიერი გამონათქვამის ამოხსნისას მნიშვნელოვანია დაიცავით მოქმედებების თანმიმდევრობა რიცხვებით:

1. ფრჩხილები;
2. ექსპონენტაცია;
3. გამრავლება;
4. გაყოფა;
5. დამატება;
6. გამოკლება.

ბოლო ორი ქულის უსაფრთხოდ გაცვლა შესაძლებელია და ეს არანაირად არ იმოქმედებს შედეგზე. მაგრამ ორი მეზობელი რიცხვის დამატება, როდესაც ერთ-ერთი მათგანის გვერდით არის გამრავლების ნიშანი, აბსოლუტურად შეუძლებელია! პასუხი, ასეთის არსებობის შემთხვევაში, არასწორია. ამიტომ, თქვენ უნდა გახსოვდეთ თანმიმდევრობა.

გამოყენება ასეთი

ასეთი ელემენტები მოიცავს რიცხვებს, რომლებსაც აქვთ იგივე რიგის ან იგივე ხარისხის ცვლადი. ასევე არსებობენ ეგრეთ წოდებული თავისუფალი წევრები, რომლებსაც გვერდით არ აქვთ უცნობი ასოს აღნიშვნა.

დასკვნა ისაა, რომ ფრჩხილების არარსებობის შემთხვევაში თქვენ შეგიძლიათ გაამარტივოთ გამოხატვა ლაიქების დამატებით ან გამოკლებით.

რამდენიმე საილუსტრაციო მაგალითი:

• 8x 2 და 3x 2 - ორივე რიცხვს აქვს ერთი და იგივე მეორე რიგის ცვლადი, ამიტომ ისინი მსგავსია და მიმატებისას გამარტივდება (8+3)x 2 =11x 2, ხოლო გამოკლებისას გამოდის (8-3)x. 2 =5x2;
• 4x 3 და 6x - და აქ "x"-ს განსხვავებული ხარისხი აქვს;
• 2y 7 და 33x 7 - შეიცავს სხვადასხვა ცვლადებს, ამიტომ, როგორც წინა შემთხვევაში, ისინი არ მიეკუთვნებიან მსგავსებს.

რიცხვის ფაქტორინგი

ეს პატარა მათემატიკური ხრიკი, თუ ისწავლით მის სწორად გამოყენებას, დაგეხმარებათ მომავალში არაერთხელ გაუმკლავდეთ რთულ პრობლემას. და ადვილი გასაგებია, თუ როგორ მუშაობს "სისტემა": დაშლა არის რამდენიმე ელემენტის პროდუქტი, რომელთა გაანგარიშება იძლევა თავდაპირველ მნიშვნელობას. ამრიგად, 20 შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც 20x1, 2x10, 5x4, 2x5x2 ან სხვაგვარად.

შენიშვნაზე: მამრავლები ყოველთვის იგივეა, რაც გამყოფები. ასე რომ, თქვენ უნდა მოძებნოთ სამუშაო „წყვილი“ გაფართოებისთვის იმ რიცხვებს შორის, რომლითაც ორიგინალი იყოფა ნაშთების გარეშე.

თქვენ შეგიძლიათ შეასრულოთ ასეთი ოპერაცია როგორც თავისუფალი წევრებით, ასევე ცვლადზე მიმაგრებული ციფრებით. მთავარია ეს უკანასკნელი არ დაკარგოთ გამოთვლების დროს - თანაც დაშლის შემდეგ უცნობი ვერ აიღებს და „არსად წავა“. ის რჩება ერთ-ერთ ფაქტორზე:

• 15x=3(5x);
• 60წ 2 \u003d (15წ 2) 4.

მარტივი რიცხვები, რომლებიც მხოლოდ საკუთარ თავზე შეიძლება გაიყოს ან 1 არასოდეს ფაქტორი - აზრი არ აქვს..

გამარტივების ძირითადი მეთოდები

პირველი რაც იპყრობს თვალს:

• ფრჩხილების არსებობა;
• წილადები;
• ფესვები.

სასკოლო სასწავლო გეგმაში ალგებრული მაგალითები ხშირად შექმნილია იმ ვარაუდით, რომ მათი ლამაზად გამარტივება შესაძლებელია.

ბრეკეტის გამოთვლები

ყურადღება მიაქციეთ ნიშანს ფრჩხილების წინ!გამრავლება ან გაყოფა გამოიყენება თითოეულ ელემენტზე შიგნით, ხოლო მინუს - ცვლის არსებულ ნიშნებს "+" ან "-" საპირისპიროდ.

ფრჩხილები გამოითვლება წესების მიხედვით ან შემოკლებული გამრავლების ფორმულების მიხედვით, რის შემდეგაც მოცემულია მსგავსი.

ფრაქციების შემცირება

წილადების შემცირებაასევე ადვილია. ისინი თვითონ "ნებით გარბიან" დროდადრო, ღირს ასეთი წევრების მოყვანით ოპერაციების გაკეთება. მაგრამ თქვენ შეგიძლიათ გაამარტივოთ მაგალითი აქამდეც: ყურადღება მიაქციეთ მრიცხველს და მნიშვნელს. ისინი ხშირად შეიცავს აშკარა ან ფარულ ელემენტებს, რომლებიც შეიძლება ურთიერთშემცირდეს. მართალია, თუ პირველ შემთხვევაში თქვენ უბრალოდ უნდა წაშალოთ ზედმეტი, მეორეში მოგიწევთ ფიქრი, გამოთქმის ნაწილი ფორმაში მიტანა გამარტივებისთვის. გამოყენებული მეთოდები:

• მრიცხველისა და მნიშვნელის უდიდესი საერთო გამყოფის ძიება და ფრჩხილებში შეყვანა;
• თითოეული ზედა ელემენტის გაყოფა მნიშვნელზე.

როდესაც გამონათქვამი ან მისი ნაწილი ძირის ქვეშ არის, პირველადი გამარტივების პრობლემა თითქმის იგივეა, რაც წილადების შემთხვევაში. აუცილებელია მოძებნოთ გზები, რათა მთლიანად მოიცილოთ იგი ან, თუ ეს შეუძლებელია, მინიმუმამდე დაიყვანოთ ნიშანი, რომელიც ხელს უშლის გამოთვლებს. მაგალითად, შეუმჩნეველი √(3) ან √(7).

რადიკალური გამოხატვის გამარტივების უტყუარი გზაა მისი ფაქტორების გარჩევის მცდელობა, რომელთაგან ზოგიერთი ნიშანს მიღმაა. საილუსტრაციო მაგალითი: √(90)=√(9×10) =√(9)×√(10)=3√(10).

სხვა პატარა ხრიკები და ნიუანსი:

• ეს გამარტივების ოპერაცია შეიძლება განხორციელდეს წილადებით, ამოიღოთ იგი როგორც მთლიანობაში, ისე ცალკე, როგორც მრიცხველი ან მნიშვნელი;
• შეუძლებელია ჯამის ან სხვაობის ნაწილის დაშლა და ამოღება ფესვის მიღმა;
• ცვლადებთან მუშაობისას აუცილებლად გავითვალისწინოთ მისი ხარისხი, ის უნდა იყოს ფესვის ტოლი ან ჯერადი გაცემის შესაძლებლობისთვის: √(x 2 y)=x√(y), √(x 3)= √(x 2 ×x)=x√( x);
• ზოგჯერ დასაშვებია რადიკალური ცვლადის მოშორება წილადის ხარისხზე აწევით: √ (y 3)=y 3/2.

ძალის გამოხატვის გამარტივება

თუ მარტივი გამოთვლების შემთხვევაში მინუს ან პლუსზე მაგალითები გამარტივებულია მსგავსის მოყვანით, მაშინ რა შეიძლება ითქვას სხვადასხვა სიმძლავრის მქონე ცვლადების გამრავლების ან გაყოფისას? მათი მარტივად გამარტივება შესაძლებელია ორი ძირითადი პუნქტის გახსენებით:

1. თუ ცვლადებს შორის არის გამრავლების ნიშანი, ემატება მაჩვენებლები.
2. როდესაც ისინი იყოფა ერთმანეთზე, ერთი და იგივე მნიშვნელი კლებულობს მრიცხველის ხარისხს.

ასეთი გამარტივების ერთადერთი პირობაა, რომ ორივე ტერმინს ჰქონდეს ერთი და იგივე საფუძველი. მაგალითები სიცხადისთვის:

• 5x 2 × 4x 7 + (y 13 / y 11) \u003d (5 × 4)x 2+7 + y 13- 11 \u003d 20x 9 + y 2;
• 2z 3 +z×z 2 -(3×z 8 /z 5)=2z 3 +z 1+2 -(3×z 8-5)=2z 3 +z 3 -3z 3 =3z 3 -3z 3 = 0.

ჩვენ აღვნიშნავთ, რომ ცვლადების წინ რიცხვითი მნიშვნელობების მქონე ოპერაციები ხდება ჩვეულებრივი მათემატიკური წესების მიხედვით. და თუ კარგად დააკვირდებით, ცხადი ხდება, რომ გამოხატვის ძალის ელემენტები "მუშაობენ" ანალოგიურად:

• წევრის ძლიერებამდე აყვანა ნიშნავს მის თავისთავად გამრავლებას გარკვეულ რაოდენობაზე, ანუ x 2 \u003d x × x;
• გაყოფა მსგავსია: თუ გააფართოვებთ მრიცხველისა და მნიშვნელის ხარისხს, მაშინ ზოგიერთი ცვლადი შემცირდება, ხოლო დანარჩენი "შეგროვდება", რაც გამოკლების ტოლფასია.

როგორც ნებისმიერ ბიზნესში, ალგებრული გამონათქვამების გამარტივებისას საჭიროა არა მხოლოდ საფუძვლების ცოდნა, არამედ პრაქტიკაც. სულ რამდენიმე გაკვეთილის შემდეგ, მაგალითები, რომლებიც ოდესღაც რთული ჩანდა, დიდი სირთულის გარეშე შემცირდება, გადაიქცევა მოკლე და ადვილად ამოხსნად.

ვიდეო

ეს ვიდეო დაგეხმარებათ გაიგოთ და დაიმახსოვროთ, თუ როგორ გამარტივებულია გამონათქვამები.

არ მიგიღიათ პასუხი თქვენს კითხვაზე? შესთავაზეთ თემა ავტორებს.

მოდით განვიხილოთ გამონათქვამების ძალებით გარდაქმნის თემა, მაგრამ პირველ რიგში ვისაუბრებთ არაერთ ტრანსფორმაციაზე, რომელიც შეიძლება განხორციელდეს ნებისმიერი გამონათქვამით, მათ შორის ძალოვანი. ჩვენ ვისწავლით როგორ გავხსნათ ფრჩხილები, მივცეთ მსგავსი ტერმინები, ვიმუშაოთ ფუძესთან და მაჩვენებელთან, გამოვიყენოთ ძალაუფლების თვისებები.

Yandex.RTB R-A-339285-1

რა არის ძალის გამონათქვამები?

სასკოლო კურსში ცოტა ადამიანი იყენებს ფრაზას „ძალაუფლების გამონათქვამები“, მაგრამ ეს ტერმინი მუდმივად გვხვდება გამოცდისთვის მომზადების კრებულებში. უმეტეს შემთხვევაში, ფრაზა აღნიშნავს გამონათქვამებს, რომლებიც შეიცავს ხარისხს მათ ჩანაწერებში. ეს არის ის, რაც ჩვენ ასახავს ჩვენს განმარტებას.

განმარტება 1

ძალის გამოხატვაარის გამოხატულება, რომელიც შეიცავს ხარისხებს.

ჩვენ ვაძლევთ ძალის გამოხატვის რამდენიმე მაგალითს, დაწყებული ხარისხით ბუნებრივი მაჩვენებლით და დამთავრებული ხარისხით რეალური მაჩვენებლით.

უმარტივესი სიმძლავრის გამონათქვამები შეიძლება ჩაითვალოს ბუნებრივი მაჩვენებლის მქონე რიცხვის სიმძლავრეებად: 3 2 , 7 5 + 1 , (2 + 1) 5 , (− 0 , 1) 4 , 2 2 3 3 , 3 a 2 − a + a 2 , x 3 − 1 , (a 2) 3 . ისევე როგორც სიმძლავრეები ნულოვანი მაჩვენებლით: 5 0 , (a + 1) 0 , 3 + 5 2 − 3 , 2 0 . და უარყოფითი მთელი რიცხვების მქონე ხარისხები: (0 , 5) 2 + (0 , 5) - 2 2 .

ცოტა უფრო რთულია იმ ხარისხთან მუშაობა, რომელსაც აქვს რაციონალური და ირაციონალური მაჩვენებლები: 264 1 4 - 3 3 3 1 2 , 2 3 , 5 2 - 2 2 - 1 , 5 , 1 a 1 4 a 1 2 - 2 a - 1 6 · b 1 2 , x π · x 1 - π , 2 3 3 + 5 .

ინდიკატორი შეიძლება იყოს ცვლადი 3 x - 54 - 7 3 x - 58 ან ლოგარითმი x 2 l g x − 5 x l g x.

ჩვენ განვიხილეთ საკითხი, რა არის ძალაუფლების გამოხატულება. ახლა მოდით შევხედოთ მათ ტრანსფორმაციას.

ძალაუფლების გამონათქვამების გარდაქმნების ძირითადი ტიპები

უპირველეს ყოვლისა, განვიხილავთ გამონათქვამების იდენტობის ძირითად გარდაქმნებს, რომლებიც შეიძლება შესრულდეს ძალაუფლების გამონათქვამებით.

მაგალითი 1

გამოთვალეთ სიმძლავრის გამოხატვის მნიშვნელობა 2 3 (4 2 − 12).

გამოსავალი

ჩვენ განვახორციელებთ ყველა ტრანსფორმაციას მოქმედებების თანმიმდევრობის დაცვით. ამ შემთხვევაში დავიწყებთ მოქმედებების შესრულებით ფრჩხილებში: ხარისხს ჩავცვლით ციფრული მნიშვნელობით და გამოვთვლით განსხვავებას ორ რიცხვს შორის. Ჩვენ გვაქვს 2 3 (4 2 − 12) = 2 3 (16 − 12) = 2 3 4.

ჩვენთვის რჩება ხარისხის შეცვლა 2 3 მისი მნიშვნელობა 8 და გამოთვალეთ პროდუქტი 8 4 = 32. აქ არის ჩვენი პასუხი.

პასუხი: 2 3 (4 2 − 12) = 32 .

მაგალითი 2

გამოხატვის გამარტივება ძალებით 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7.

გამოსავალი

პრობლემის პირობით ჩვენთვის მოცემული გამოთქმა შეიცავს მსგავს ტერმინებს, რომლებიც შეგვიძლია მოვიტანოთ: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1.

პასუხი: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1 .

მაგალითი 3

გამოხატეთ გამონათქვამი ხარისხებით 9 - b 3 · π - 1 2 როგორც ნამრავლი.

გამოსავალი

გამოვსახოთ რიცხვი 9, როგორც ძალა 3 2 და გამოიყენეთ შემოკლებული გამრავლების ფორმულა:

9 - b 3 π - 1 2 = 3 2 - b 3 π - 1 2 = = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1

პასუხი: 9 - b 3 π - 1 2 = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1.

ახლა კი გადავიდეთ იდენტური გარდაქმნების ანალიზზე, რომლებიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას კონკრეტულად ძალაუფლების გამონათქვამებზე.

ბაზისთან და ექსპონენტთან მუშაობა

ფუძის ან მაჩვენებლის ხარისხს შეიძლება ჰქონდეს რიცხვები, ცვლადები და ზოგიერთი გამონათქვამი. Მაგალითად, (2 + 0 , 3 7) 5 − 3 , 7და . ასეთ ჩანაწერებთან მუშაობა რთულია. ბევრად უფრო ადვილია შეცვალოს გამოხატულება ხარისხის ფუძეში ან გამოხატულება გამოხატულებაში იდენტური თანაბარი გამოსახულებით.

ხარისხისა და ინდიკატორის გარდაქმნები ხორციელდება ჩვენთვის ერთმანეთისგან დამოუკიდებლად ცნობილი წესებით. ყველაზე მნიშვნელოვანი ის არის, რომ გარდაქმნების შედეგად მიიღება გამონათქვამი, რომელიც ორიგინალის იდენტურია.

გარდაქმნების მიზანია ორიგინალური გამოხატვის გამარტივება ან პრობლემის გადაჭრის მოპოვება. მაგალითად, ზემოთ მოყვანილ მაგალითში (2 + 0 , 3 7) 5 − 3 , 7 შეგიძლიათ შეასრულოთ ოპერაციები ხარისხამდე მისასვლელად 4 , 1 1 , 3 . ფრჩხილების გახსნით, ჩვენ შეგვიძლია მივიღოთ მსგავსი ტერმინები ხარისხის საფუძველში (a (a + 1) − a 2) 2 (x + 1)და მიიღეთ უფრო მარტივი ფორმის ძალის გამოხატვა a 2 (x + 1).

დენის თვისებების გამოყენება

გრადუსების თვისებები, დაწერილი ტოლობის სახით, არის ერთ-ერთი მთავარი ინსტრუმენტი გრადუსით გამოხატვის გარდაქმნისთვის. აქვე წარმოგიდგენთ მთავარებს ამის გათვალისწინებით ადა ბარის ნებისმიერი დადებითი რიცხვი და რდა ს- თვითნებური რეალური რიცხვები:

განმარტება 2

• a r a s = a r + s;
• a r: a s = a r − s;
• (ა ბ) r = a r b r;
• (ა: ბ) რ = ა რ: ბ რ;
• (a r) s = a r s .

იმ შემთხვევებში, როდესაც საქმე გვაქვს ბუნებრივ, მთელ რიცხვებთან, დადებით მაჩვენებლებთან, შეზღუდვები a და b რიცხვებზე შეიძლება იყოს გაცილებით ნაკლებად მკაცრი. ასე, მაგალითად, თუ გავითვალისწინებთ თანასწორობას a m a n = a m + n, სად მდა ნარის ნატურალური რიცხვები, მაშინ ეს იქნება ჭეშმარიტი a-ს ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის, როგორც დადებითი, ასევე უარყოფითი, ასევე for a = 0.

თქვენ შეგიძლიათ გამოიყენოთ გრადუსების თვისებები შეზღუდვის გარეშე იმ შემთხვევებში, როდესაც გრადუსების საფუძვლები დადებითია ან შეიცავს ცვლადებს, რომელთა მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონი ისეთია, რომ ბაზები მასზე მხოლოდ დადებით მნიშვნელობებს იღებენ. ფაქტიურად მათემატიკაში სასკოლო სასწავლო გეგმის ფარგლებში მოსწავლის ამოცანაა აირჩიოს შესაბამისი თვისება და სწორად გამოიყენოს იგი.

უნივერსიტეტებში ჩასაბარებლად მომზადებისას შეიძლება არსებობდეს ამოცანები, რომლებშიც თვისებების არაზუსტმა გამოყენებამ გამოიწვიოს ODZ-ის შევიწროება და გადაწყვეტის სხვა სირთულეები. ამ განყოფილებაში განვიხილავთ მხოლოდ ორ ასეთ შემთხვევას. დამატებითი ინფორმაცია ამ თემაზე შეგიძლიათ იხილოთ თემაში "გამონათქვამების ტრანსფორმირება ექსპონენტური თვისებების გამოყენებით".

მაგალითი 4

წარმოადგინე გამოხატულება a 2, 5 (a 2) - 3: a - 5, 5როგორც ხარისხი ფუძით ა.

გამოსავალი

დასაწყისისთვის, ჩვენ ვიყენებთ სიძლიერის თვისებას და გარდაქმნით მეორე ფაქტორს მისი გამოყენებით (a 2) - 3. შემდეგ ვიყენებთ ძალაუფლების გამრავლებისა და გაყოფის თვისებებს იმავე ფუძით:

a 2 , 5 a − 6: a − 5 , 5 = a 2 , 5 − 6: a − 5 , 5 = a − 3 , 5: a − 5 , 5 = a − 3 , 5 − (− 5 , 5 ) = a 2.

პასუხი: a 2 , 5 (a 2) − 3: a − 5 , 5 = a 2 .

სიძლიერის გამონათქვამების ტრანსფორმაცია გრადუსების თვისების მიხედვით შეიძლება განხორციელდეს როგორც მარცხნიდან მარჯვნივ, ასევე საპირისპირო მიმართულებით.

მაგალითი 5

იპოვეთ ძალა გამოხატვის მნიშვნელობა 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 .

გამოსავალი

თუ თანასწორობას გამოვიყენებთ (ა ბ) r = a r b r, მარჯვნიდან მარცხნივ, შემდეგ მივიღებთ 3 7 1 3 21 2 3 და შემდეგ 21 1 3 21 2 3 ფორმის ნამრავლს. მოდით დავუმატოთ მაჩვენებლები იმავე საფუძვლებით ხარისხების გამრავლებისას: 21 1 3 21 2 3 \u003d 21 1 3 + 2 3 \u003d 21 1 \u003d 21.

გარდაქმნების სხვა გზა არსებობს:

3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 3 7 1 3 (3 7) 2 3 = 3 1 3 7 1 3 3 2 3 7 2 3 = = 3 1 3 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21

პასუხი: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21

მაგალითი 6

მოცემული ძალაუფლების გამოხატულება a 1, 5 − a 0, 5 − 6, შეიყვანეთ ახალი ცვლადი t = a 0, 5.

გამოსავალი

წარმოიდგინეთ ხარისხი a 1, 5როგორ a 0, 5 3. ხარისხის თვისების გამოყენება ხარისხში (a r) s = a r sმარჯვნიდან მარცხნივ და მიიღეთ (a 0 , 5) 3: a 1 , 5 - a 0 , 5 - 6 = (a 0 , 5) 3 - a 0 , 5 - 6 . შედეგად გამოსახულებაში, თქვენ შეგიძლიათ მარტივად შემოიტანოთ ახალი ცვლადი t = a 0, 5: მიიღეთ t 3 − t − 6.

პასუხი: t 3 − t − 6 .

სიმძლავრის შემცველი წილადების გადაქცევა

ჩვენ ჩვეულებრივ საქმე გვაქვს წილადებით ძლიერ გამოსახულებების ორ ვარიანტთან: გამოხატულება არის წილადი ხარისხით ან შეიცავს ასეთ წილადს. ყველა ძირითადი წილადის გარდაქმნა გამოიყენება ასეთ გამონათქვამებზე შეზღუდვების გარეშე. მათი შემცირება, ახალ მნიშვნელზე მიყვანა, მრიცხველთან და მნიშვნელთან ცალკე მუშაობა. მოდი მაგალითებით ავხსნათ ეს.

მაგალითი 7

გაამარტივე ძალა გამოხატვის 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 .

გამოსავალი

საქმე გვაქვს წილადთან, ამიტომ გარდაქმნებს განვახორციელებთ როგორც მრიცხველში, ასევე მნიშვნელში:

3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2

წილადის წინ დადეთ მინუსი მნიშვნელის ნიშნის შესაცვლელად: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2

პასუხი: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2

სიმძლავრეების შემცველი წილადები მცირდება ახალ მნიშვნელამდე ისევე, როგორც რაციონალური წილადები. ამისათვის თქვენ უნდა იპოვოთ დამატებითი ფაქტორი და გაამრავლოთ მასზე წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი. აუცილებელია დამატებითი ფაქტორის არჩევა ისე, რომ იგი არ გაქრეს ცვლადების არცერთი მნიშვნელობისთვის ODZ ცვლადებიდან ორიგინალური გამოსახულებისთვის.

მაგალითი 8

მიიტანეთ წილადები ახალ მნიშვნელზე: ა) a + 1 a 0, 7 მნიშვნელზე. ა, ბ) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 მნიშვნელთან x + 8 y 1 2 .

გამოსავალი

ა) ვირჩევთ ისეთ ფაქტორს, რომელიც მოგვცემს ახალ მნიშვნელამდე შემცირებას. a 0, 7 a 0, 3 = a 0, 7 + 0, 3 = a,ამიტომ დამატებით ფაქტორად ვიღებთ a 0, 3. ცვლადის a დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონი მოიცავს ყველა დადებითი რეალური რიცხვის სიმრავლეს. ამ სფეროში, ხარისხი a 0, 3ნულამდე არ მიდის.

გავამრავლოთ წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი a 0, 3:

a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a 0, 7 a 0, 3 = a + 1 a 0, 3 a

ბ) ყურადღება მიაქციეთ მნიშვნელს:

x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 y 1 6 + 2 y 1 6 2

გავამრავლოთ ეს გამონათქვამი x 1 3 + 2 · y 1 6-ზე, მივიღებთ კუბების ჯამს x 1 3 და 2 · y 1 6, ე.ი. x + 8 · y 1 2 . ეს არის ჩვენი ახალი მნიშვნელი, რომელსაც უნდა მივიყვანოთ საწყისი წილადი.

ასე რომ, ჩვენ ვიპოვეთ დამატებითი ფაქტორი x 1 3 + 2 · y 1 6. ცვლადების მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონზე xდა წგამოთქმა x 1 3 + 2 y 1 6 არ ქრება, ასე რომ ჩვენ შეგვიძლია გავამრავლოთ წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი მასზე:
1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 + 2 y 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 3 + 2 y 1 6 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2

პასუხი:ა) a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a, ბ) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2 .

მაგალითი 9

წილადის შემცირება: ა) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, ბ) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2.

გამოსავალი

ა) გამოიყენეთ უდიდესი საერთო მნიშვნელი (GCD), რომლითაც შეიძლება მრიცხველი და მნიშვნელი შემცირდეს. 30 და 45 ნომრებისთვის ეს არის 15. ასევე შეგვიძლია შევამციროთ x 0, 5 + 1და x + 2 x 1 1 3 - 5 3-ზე.

ჩვენ ვიღებთ:

30 x 3 (x 0 , 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0 , 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0 , 5 + 1)

ბ) აქ იდენტური ფაქტორების არსებობა აშკარა არ არის. თქვენ მოგიწევთ გარკვეული ტრანსფორმაციების შესრულება, რათა მიიღოთ იგივე ფაქტორები მრიცხველში და მნიშვნელში. ამისათვის ჩვენ ვაფართოებთ მნიშვნელს კვადრატების სხვაობის ფორმულის გამოყენებით:

a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 a 1 4 - b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4

პასუხი:ა) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1), ბ) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4 .

წილადებთან ძირითადი ოპერაციები მოიცავს ახალ მნიშვნელზე შემცირებას და წილადების შემცირებას. ორივე მოქმედება ხორციელდება რიგი წესების დაცვით. წილადების შეკრებისა და გამოკლებისას წილადები ჯერ მცირდება საერთო მნიშვნელამდე, რის შემდეგაც მოქმედებები (შეკრება ან გამოკლება) სრულდება მრიცხველებით. მნიშვნელი იგივე რჩება. ჩვენი მოქმედებების შედეგი არის ახალი წილადი, რომლის მრიცხველი არის მრიცხველების ნამრავლი, ხოლო მნიშვნელი არის მნიშვნელების ნამრავლი.

მაგალითი 10

შეასრულეთ ნაბიჯები x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2.

გამოსავალი

დავიწყოთ ფრჩხილებში მოთავსებული წილადების გამოკლებით. მოდით მივიყვანოთ ისინი საერთო მნიშვნელამდე:

x 1 2 - 1 x 1 2 + 1

გამოვაკლოთ მრიცხველები:

x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2

ახლა ვამრავლებთ წილადებს:

4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2

დავიკლოთ ხარისხით x 1 2, ვიღებთ 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 .

გარდა ამისა, თქვენ შეგიძლიათ გაამარტივოთ სიმძლავრის გამოხატულება მნიშვნელში კვადრატების სხვაობის ფორმულის გამოყენებით: კვადრატები: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1.

პასუხი: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1

მაგალითი 11

გაამარტივეთ ძალა გამოხატვის x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 x 2 , 7 + 1 3 .
გამოსავალი

ჩვენ შეგვიძლია შევამციროთ წილადი (x 2, 7 + 1) 2. ვიღებთ წილადს x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1.

გავაგრძელოთ x ხარისხების x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2 , 7 + 1 გარდაქმნები. ახლა თქვენ შეგიძლიათ გამოიყენოთ ძალაუფლების გამყოფი თვისება იგივე საფუძვლებით: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2 , 7 + 1 .

ბოლო ნამრავლიდან გადავდივართ x 1 3 8 x 2, 7 + 1 წილადზე.

პასუხი: x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 x 2 , 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2 , 7 + 1 .

უმეტეს შემთხვევაში, უფრო მოსახერხებელია უარყოფითი მაჩვენებლების მქონე მამრავლების გადატანა მრიცხველიდან მნიშვნელზე და პირიქით, მაჩვენებლის ნიშნის შეცვლით. ეს ქმედება ამარტივებს შემდგომ გადაწყვეტილებას. მოვიყვანოთ მაგალითი: სიმძლავრის გამოხატულება (x + 1) - 0 , 2 3 · x - 1 შეიძლება შეიცვალოს x 3 · (x + 1) 0 , 2-ით.

გამონათქვამების კონვერტაცია ფესვებითა და ძალებით

ამოცანებში არის დენის გამონათქვამები, რომლებიც შეიცავს არა მხოლოდ ხარისხს წილადის მაჩვენებლებით, არამედ ფესვებსაც. სასურველია, ასეთი გამონათქვამები მხოლოდ ფესვებამდე ან მხოლოდ ძალაუფლებამდე დავიყვანოთ. ხარისხებზე გადასვლა სასურველია, რადგან მათთან მუშაობა უფრო ადვილია. ასეთი გადასვლა განსაკუთრებით ხელსაყრელია, როდესაც ორიგინალური გამოხატვის ცვლადების DPV საშუალებას გაძლევთ შეცვალოთ ფესვები ძალებით მოდულზე წვდომის ან DPV რამდენიმე ინტერვალად გაყოფის გარეშე.

მაგალითი 12

გამოხატეთ გამონათქვამი x 1 9 x x 3 6, როგორც ძალა.

გამოსავალი

ცვლადის სწორი დიაპაზონი xგანისაზღვრება ორი უტოლობით x ≥ 0და x · x 3 ≥ 0 , რომელიც განსაზღვრავს სიმრავლეს [ 0 , + ∞) .

ამ კომპლექტში ჩვენ გვაქვს უფლება გადავიდეთ ფესვებიდან ძალაუფლებაზე:

x 1 9 x x 3 6 = x 1 9 x x 1 3 1 6

გრადუსების თვისებების გამოყენებით, ჩვენ ვამარტივებთ მიღებულ ძალაუფლების გამოხატვას.

x 1 9 x x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 1 3 6 = = x 1 9 x 1 6 x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3

პასუხი: x 1 9 x x 3 6 = x 1 3 .

სიმძლავრეების კონვერტაცია ცვლადებით მაჩვენებელში

ამ გარდაქმნების გაკეთება საკმაოდ მარტივია, თუ სწორად იყენებთ ხარისხის თვისებებს. Მაგალითად, 5 2 x + 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x − 1 = 0.

შეგვიძლია შევცვალოთ ხარისხის ნამრავლი, რომლის მიხედვითაც მოიძებნება ზოგიერთი ცვლადისა და რიცხვის ჯამი. მარცხენა მხარეს, ეს შეიძლება გაკეთდეს გამოხატვის მარცხენა მხარეს პირველი და ბოლო ტერმინებით:

5 2 x 5 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x 7 − 1 = 0 , 5 5 2 x − 3 5 x 7 x − 2 7 2 x = 0.

ახლა გავყოთ განტოლების ორივე მხარე 7 2 x. x ცვლადის ODZ-ზე ეს გამოხატულება მხოლოდ დადებით მნიშვნელობებს იღებს:

5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0

შევამციროთ წილადები ძალებით, მივიღებთ: 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x - 2 = 0 .

დაბოლოს, თანაფარდობა ერთი და იგივე მაჩვენებლებით იცვლება თანაფარდობების ხარისხებით, რაც მივყავართ განტოლებამდე 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0, რაც უდრის 5 5 7 x 2 - 3 5 7. x - 2 = 0.

შემოვიღოთ ახალი ცვლადი t = 5 7 x , რომელიც ამცირებს საწყისი ექსპონენციალური განტოლების ამონახს 5 · t 2 − 3 · t − 2 = 0 კვადრატული განტოლების ამოხსნამდე.

გამონათქვამების გადაქცევა ძალებითა და ლოგარითმებით

სიმძლავრეებისა და ლოგარითმების შემცველი გამონათქვამები ასევე გვხვდება ამოცანებში. ასეთი გამონათქვამების მაგალითებია: 1 4 1 - 5 log 2 3 ან log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) log 5 3 . ასეთი გამონათქვამების ტრანსფორმაცია ხორციელდება ზემოთ განხილული მიდგომებისა და ლოგარითმების თვისებების გამოყენებით, რომლებიც დეტალურად გავაანალიზეთ თემაში „ლოგარითმული გამოსახულებების ტრანსფორმაცია“.

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter