ამ სტატიაში დეტალურად ვისაუბრებთ გეომეტრიის ერთ-ერთ ძირითად ცნებაზე - სიბრტყეზე სწორი ხაზის კონცეფციაზე. პირველი, მოდით განვსაზღვროთ ძირითადი ტერმინები და აღნიშვნა. შემდეგ განვიხილავთ წრფისა და წერტილის ფარდობით პოზიციას, ასევე ორ ხაზს სიბრტყეზე და ვაძლევთ აუცილებელ აქსიომებს. დასასრულს, განვიხილავთ სიბრტყეზე სწორი ხაზის დაყენების გზებს და გრაფიკული ილუსტრაციების მიცემას.

გვერდის ნავიგაცია.

სიბრტყეზე სწორი ხაზი არის კონცეფცია.

სანამ სიბრტყეზე სწორი ხაზის კონცეფციას მივცემთ, ნათლად უნდა გვესმოდეს, რა არის თვითმფრინავი. თვითმფრინავის წარმომადგენლობასაშუალებას გაძლევთ მიიღოთ, მაგალითად, მაგიდის ან სახლის კედლის ბრტყელი ზედაპირი. თუმცა, გასათვალისწინებელია, რომ მაგიდის ზომები შეზღუდულია და სიბრტყე ამ საზღვრებს მიღმა უსასრულობამდე ვრცელდება (თითქოს ჩვენ გვქონდა თვითნებურად დიდი მაგიდა).

თუ ავიღებთ კარგად გამოკვეთილ ფანქარს და მის ბირთვს შევეხებით „მაგიდის“ ზედაპირს, მაშინ მივიღებთ წერტილის გამოსახულებას. ასე რომ, ჩვენ ვიღებთ წერტილის წარმოდგენა სიბრტყეზე.

ახლა შეგიძლიათ წასვლა სიბრტყეზე სწორი ხაზის კონცეფცია.

მაგიდის ზედაპირზე (თვითმფრინავზე) დავდოთ სუფთა ქაღალდის ფურცელი. სწორი ხაზის დასახაზად საჭიროა ავიღოთ სახაზავი და ფანქრით გავავლოთ ხაზი, რამდენადაც სახაზავი და გამოყენებული ფურცლის ზომები იძლევა საშუალებას. უნდა აღინიშნოს, რომ ამ გზით ვიღებთ მხოლოდ სწორი ხაზის ნაწილს. მთლიანობაში სწორი ხაზი, რომელიც ვრცელდება უსასრულობამდე, ჩვენ შეგვიძლია მხოლოდ წარმოვიდგინოთ.

წრფისა და წერტილის ურთიერთ პოზიცია.

თქვენ უნდა დაიწყოთ აქსიომით: არის წერტილები ყველა სწორ ხაზზე და ყველა სიბრტყეში.

წერტილები ჩვეულებრივ აღინიშნება დიდი ლათინური ასოებით, მაგალითად, წერტილები A და F. თავის მხრივ, სწორი ხაზები აღინიშნება პატარა ლათინური ასოებით, მაგალითად, სწორი ხაზები a და d.

შესაძლებელია სიბრტყეზე წრფის და წერტილის ფარდობითი პოზიციის ორი ვარიანტი: ან წერტილი დევს წრფეზე (ამ შემთხვევაში, ხაზსაც ამბობენ, რომ გადის წერტილში), ან წერტილი არ დევს წრფეზე (ასევე ამბობენ, რომ წერტილი წრფეს არ ეკუთვნის, ან ხაზი არ გადის წერტილს).

იმისათვის, რომ მიუთითოთ, რომ წერტილი ეკუთვნის გარკვეულ ხაზს, გამოიყენება სიმბოლო "". მაგალითად, თუ წერტილი A დევს a წრფეზე, მაშინ შეგიძლიათ დაწეროთ. თუ წერტილი A არ ეკუთვნის a წრფეს, ჩაწერეთ.

შემდეგი განცხადება მართალია: ნებისმიერი ორი წერტილიდან არის მხოლოდ ერთი სწორი ხაზი.

ეს განცხადება არის აქსიომა და უნდა იქნას მიღებული როგორც ფაქტი. გარდა ამისა, ეს სავსებით აშკარაა: ჩვენ ქაღალდზე ვნიშნავთ ორ წერტილს, ვასხამთ მათ სახაზავს და ვხაზავთ სწორ ხაზს. სწორი ხაზი, რომელიც გადის ორ მოცემულ წერტილში (მაგალითად, A და B წერტილების გავლით) შეიძლება აღვნიშნოთ ამ ორი ასოთი (ჩვენს შემთხვევაში, სწორი ხაზი AB ან BA).

უნდა გვესმოდეს, რომ სიბრტყეზე მოცემულ სწორ ხაზზე უსაზღვროდ ბევრი განსხვავებული წერტილია და ყველა ეს წერტილი ერთ სიბრტყეშია. ეს დებულება დგინდება აქსიომით: თუ წრფის ორი წერტილი დევს გარკვეულ სიბრტყეში, მაშინ ამ წრფის ყველა წერტილი დევს ამ სიბრტყეში.

სწორ ხაზზე მოცემულ ორ წერტილს შორის მდებარე ყველა წერტილის ერთობლიობა ამ წერტილებთან ერთად ე.წ სწორი ხაზიან უბრალოდ სეგმენტი. წერტილებს, რომლებიც აკავშირებენ სეგმენტს, ეწოდება სეგმენტის ბოლოები. სეგმენტი აღინიშნება ორი ასოებით, რომლებიც შეესაბამება სეგმენტის ბოლოების წერტილებს. მაგალითად, A და B წერტილები იყოს სეგმენტის ბოლოები, მაშინ ეს სეგმენტი შეიძლება აღვნიშნოთ AB ან BA. გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ სეგმენტის ეს აღნიშვნა იგივეა, რაც სწორი ხაზის აღნიშვნა. დაბნეულობის თავიდან ასაცილებლად, ჩვენ გირჩევთ დაამატოთ სიტყვა "სეგმენტი" ან "პირდაპირი" აღნიშვნაში.

კუთვნილების მოკლე ჩანაწერისთვის და არ მიეკუთვნება გარკვეულ წერტილს გარკვეულ სეგმენტზე, გამოიყენება ყველა ერთი და იგივე სიმბოლო. იმის საჩვენებლად, რომ სეგმენტი დევს ან არ დევს სწორ ხაზზე, გამოიყენება სიმბოლოები და შესაბამისად. მაგალითად, თუ სეგმენტი AB ეკუთვნის a ხაზს, შეგიძლიათ მოკლედ ჩაწეროთ.

ასევე უნდა შევჩერდეთ იმ შემთხვევაზე, როდესაც სამი განსხვავებული წერტილი ერთსა და იმავე წრფეს ეკუთვნის. ამ შემთხვევაში, ერთი და მხოლოდ ერთი წერტილი დევს დანარჩენ ორს შორის. ეს განცხადება კიდევ ერთი აქსიომაა. დავუშვათ, რომ A, B და C წერტილები მდებარეობენ ერთსა და იმავე სწორ ხაზზე, ხოლო B წერტილი მდებარეობს A და C წერტილებს შორის. მაშინ შეგვიძლია ვთქვათ, რომ A და C წერტილები B წერტილის მოპირდაპირე მხარეს არიან. ასევე შეიძლება ითქვას, რომ B და C წერტილები დევს A წერტილის ერთ მხარეს, ხოლო A და B წერტილები დევს C წერტილის ერთ მხარეს.

სურათის დასასრულებლად აღვნიშნავთ, რომ სწორი ხაზის ნებისმიერი წერტილი ყოფს ამ სწორ ხაზს ორ ნაწილად - ორად სხივი. ამ შემთხვევისთვის მოცემულია აქსიომა: თვითნებური O წერტილი, რომელიც ეკუთვნის წრფეს, ყოფს ამ წრფეს ორ სხივად და ერთი სხივის ნებისმიერი ორი წერტილი მდებარეობს O წერტილის ერთსა და იმავე მხარეს და სხვადასხვა სხივების ნებისმიერი ორი წერტილი. დაწექით O წერტილის მოპირდაპირე მხარეს.

სიბრტყეზე სწორი ხაზების ურთიერთგანლაგება.

ახლა მოდით ვუპასუხოთ კითხვას: "როგორ შეიძლება ორი ხაზი განთავსდეს სიბრტყეზე ერთმანეთთან შედარებით"?

პირველი, ორი ხაზი თვითმფრინავში შეიძლება ემთხვევა.

ეს შესაძლებელია, როდესაც ხაზებს აქვთ მინიმუმ ორი საერთო წერტილი. მართლაც, წინა აბზაცში გაჟღერებული აქსიომის ძალით, ერთი სწორი ხაზი გადის ორ წერტილს. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თუ ორი წრფე გადის ორ მოცემულ წერტილში, მაშინ ისინი ემთხვევა.

მეორეც, ორი სწორი ხაზი თვითმფრინავში ჯვარი.

ამ შემთხვევაში წრფეებს აქვთ ერთი საერთო წერტილი, რომელსაც ხაზების გადაკვეთის წერტილი ეწოდება. ხაზების გადაკვეთა აღინიშნება სიმბოლოთი "", მაგალითად, ჩანაწერი ნიშნავს, რომ a და b წრფეები იკვეთება M წერტილში. გადამკვეთი ხაზები მიგვიყვანს გადაკვეთის ხაზებს შორის კუთხის კონცეფციამდე. ცალკე, ღირს სიბრტყეზე სწორი ხაზების ადგილმდებარეობის გათვალისწინება, როდესაც მათ შორის კუთხე ოთხმოცდაათი გრადუსია. ამ შემთხვევაში, ხაზები ე.წ პერპენდიკულარული(ჩვენ გირჩევთ სტატიას პერპენდიკულარულ ხაზებს, ხაზების პერპენდიკულარულობას). თუ ხაზი a პერპენდიკულარულია b წრფეზე, მაშინ შეიძლება გამოყენებულ იქნას მოკლე აღნიშვნა.

მესამე, სიბრტყეში ორი ხაზი შეიძლება იყოს პარალელური.

პრაქტიკული თვალსაზრისით, მოსახერხებელია სიბრტყეზე სწორი ხაზის განხილვა ვექტორებთან ერთად. განსაკუთრებული მნიშვნელობა აქვს მოცემულ წრფეზე ან რომელიმე პარალელურ წრფეზე მოთავსებულ არანულოვან ვექტორებს, მათ ე.წ. სწორი ხაზის მიმართულების ვექტორები. სიბრტყეზე სწორი ხაზის მიმართული ვექტორი სტატიაში მოცემულია ვექტორების მიმართულების მაგალითები და აჩვენებს მათი გამოყენების ვარიანტებს ამოცანების გადასაჭრელად.

ასევე ყურადღება უნდა მიაქციოთ მოცემული პერპენდიკულარულ რომელიმე წრფეზე მდებარე არანულოვან ვექტორებს. ასეთ ვექტორებს ე.წ ხაზის ნორმალური ვექტორები. სწორი ხაზის ნორმალური ვექტორების გამოყენება აღწერილია სტატიაში სწორი ხაზის ნორმალური ვექტორი სიბრტყეზე.

როდესაც თვითმფრინავზე მოცემულია სამი ან მეტი სწორი ხაზი, არსებობს მრავალი განსხვავებული ვარიანტი მათი შედარებითი პოზიციისთვის. ყველა ხაზი შეიძლება იყოს პარალელური, წინააღმდეგ შემთხვევაში ზოგიერთი ან ყველა მათგანი იკვეთება. ამ შემთხვევაში, ყველა წრფე შეიძლება იკვეთებოდეს ერთ წერტილში (იხ. სტატიის ფანქარი ხაზები), ან შეიძლება ჰქონდეთ გადაკვეთის სხვადასხვა წერტილი.

ამაზე დეტალურად არ შევჩერდებით, მაგრამ მტკიცებულების გარეშე მოვიყვანთ რამდენიმე ღირსშესანიშნავ და ძალიან ხშირად გამოყენებულ ფაქტს:

• თუ ორი წრფე პარალელურია მესამე წრფის, მაშინ ისინი ერთმანეთის პარალელურია;
• თუ ორი წრფე პერპენდიკულარულია მესამე წრფეზე, მაშინ ისინი ერთმანეთის პარალელურია;
• თუ სიბრტყეში წრფე კვეთს ორი პარალელური წრფედან ერთს, მაშინ ის მეორე წრფესაც კვეთს.

სიბრტყეზე სწორი ხაზის დაყენების მეთოდები.

ახლა ჩვენ ჩამოვთვლით ძირითად გზებს, რომლითაც შეგიძლიათ განსაზღვროთ კონკრეტული ხაზი თვითმფრინავში. ეს ცოდნა ძალიან სასარგებლოა პრაქტიკული თვალსაზრისით, ვინაიდან ამდენი მაგალითისა და პრობლემის გადაწყვეტა მასზეა დაფუძნებული.

პირველი, სწორი ხაზი შეიძლება განისაზღვროს სიბრტყეზე ორი წერტილის მითითებით.

მართლაც, ამ სტატიის პირველ პუნქტში განხილული აქსიომიდან ჩვენ ვიცით, რომ სწორი ხაზი გადის ორ წერტილს და უფრო მეტიც, მხოლოდ ერთ წერტილს.

თუ სიბრტყეზე მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში მითითებულია ორი შეუსაბამო წერტილის კოორდინატები, მაშინ შესაძლებელია ორ მოცემულ წერტილში გამავალი სწორი ხაზის განტოლების ჩაწერა.

მეორეც, წრფე შეიძლება განისაზღვროს წერტილის მითითებით, რომლითაც ის გადის და წრფე, რომლის პარალელურადაც არის. ეს მეთოდი მოქმედებს, რადგან ერთი სწორი ხაზი გადის სიბრტყის მოცემულ წერტილში მოცემული სწორი ხაზის პარალელურად. ამის დადასტურება გიმნაზიაში გეომეტრიის გაკვეთილებზე განხორციელდა.

თუ სიბრტყეზე სწორი ხაზი დაყენებულია ამ გზით შემოღებულ მართკუთხა დეკარტის კოორდინატულ სისტემასთან მიმართებაში, მაშინ შესაძლებელია მისი განტოლების შედგენა. ეს წერია სტატიაში სწორი ხაზის განტოლება, რომელიც გადის მოცემულ წერტილში მოცემული სწორი ხაზის პარალელურად.

მესამე, ხაზი შეიძლება განისაზღვროს წერტილის, რომლითაც იგი გადის და მისი მიმართულების ვექტორი.

თუ მართკუთხა კოორდინატთა სისტემაში სწორი ხაზი მოცემულია ამ გზით, მაშინ ადვილია მისი კანონიკური განტოლების შედგენა სიბრტყეზე სწორი ხაზის და სიბრტყეზე სწორი ხაზის პარამეტრული განტოლებების შედგენა.

წრფის მითითების მეოთხე გზა არის წერტილის მითითება, რომლითაც ის გადის და წრფეზე, რომელზეც ის პერპენდიკულარულია. მართლაც, სიბრტყის მოცემულ წერტილში გადის მხოლოდ ერთი წრფე, რომელიც მოცემული წრფის პერპენდიკულარულია. ეს ფაქტი მტკიცების გარეშე დავტოვოთ.

დაბოლოს, სიბრტყეში წრფე შეიძლება განისაზღვროს წერტილის, რომლითაც ის გადის და წრფის ნორმალური ვექტორის მითითებით.

თუ მოცემულ წრფეზე მდებარე წერტილის კოორდინატები და წრფის ნორმალური ვექტორის კოორდინატები ცნობილია, მაშინ შესაძლებელია წრფის ზოგადი განტოლების ჩაწერა.

ბიბლიოგრაფია.

• ატანასიანი ლ.ს., ბუტუზოვი ვ.ფ., კადომცევი ს.ბ., პოზნიაკი ე.გ., იუდინა ი.ი. გეომეტრია. 7-9 კლასები: სახელმძღვანელო საგანმანათლებლო დაწესებულებებისთვის.
• ატანასიანი ლ.ს., ბუტუზოვი ვ.ფ., კადომცევი ს.ბ., კისელევა ლ.ს., პოზნიაკი ე.გ. გეომეტრია. სახელმძღვანელო საშუალო სკოლის 10-11 კლასებისთვის.
• ბუგროვი ია.ს., ნიკოლსკი ს.მ. უმაღლესი მათემატიკა. ტომი პირველი: წრფივი ალგებრის ელემენტები და ანალიტიკური გეომეტრია.
• Ilyin V.A., Poznyak E.G. ანალიტიკური გეომეტრია.

საავტორო უფლება ჭკვიანი სტუდენტების მიერ

Ყველა უფლება დაცულია.
დაცულია საავტორო უფლებების კანონით. www.site-ის არც ერთი ნაწილი, შიდა მასალებისა და გარე დიზაინის ჩათვლით, არ შეიძლება იყოს რაიმე ფორმით რეპროდუცირება ან გამოყენება საავტორო უფლებების მფლობელის წინასწარი წერილობითი ნებართვის გარეშე.

Oh-oh-oh-oh-oh ... კარგი, ეს თინაა, თითქოს შენთვის წაიკითხე წინადადება =) თუმცა, მაშინ დასვენება დაგეხმარებათ, მით უმეტეს, რომ დღეს ვიყიდე შესაფერისი აქსესუარები. ამიტომ, მოდით გადავიდეთ პირველ ნაწილზე, იმედი მაქვს, სტატიის ბოლომდე შევინარჩუნებ ხალისიან განწყობას.

ორი სწორი ხაზის ურთიერთგანლაგება

შემთხვევა, როცა დარბაზი გუნდში მღერის. ორი ხაზი შეიძლება:

1) მატჩი;

2) იყოს პარალელური: ;

3) ან იკვეთება ერთ წერტილზე: .

დახმარება დუიმებისთვის : გთხოვთ დაიმახსოვროთ კვეთის მათემატიკური ნიშანი, ის ძალიან ხშირად მოხდება. ჩანაწერი ნიშნავს, რომ ხაზი კვეთს ხაზს წერტილში.

როგორ განვსაზღვროთ ორი ხაზის შედარებითი პოზიცია?

დავიწყოთ პირველი შემთხვევით:

ორი წრფე ემთხვევა თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მათი შესაბამისი კოეფიციენტები პროპორციულია, ანუ არის ისეთი რიცხვი „ლამბდა“ რომ ტოლები

განვიხილოთ სწორი ხაზები და შევადგინოთ სამი განტოლება შესაბამისი კოეფიციენტებიდან: . თითოეული განტოლებიდან გამომდინარეობს, რომ, შესაბამისად, ეს ხაზები ემთხვევა.

მართლაც, თუ განტოლების ყველა კოეფიციენტი გავამრავლოთ -1-ზე (ცვლის ნიშნები) და განტოლების ყველა კოეფიციენტი შეამცირეთ 2-ით, მიიღებთ იგივე განტოლებას: .

მეორე შემთხვევა, როდესაც ხაზები პარალელურია:

ორი წრფე პარალელურია, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მათი კოეფიციენტები ცვლადებში პროპორციულია: , მაგრამ.

მაგალითად, განვიხილოთ ორი სწორი ხაზი. ჩვენ ვამოწმებთ შესაბამისი კოეფიციენტების პროპორციულობას ცვლადებისთვის:

თუმცა, ცხადია, რომ.

და მესამე შემთხვევა, როდესაც ხაზები იკვეთება:

ორი წრფე იკვეთება, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ცვლადების მათი კოეფიციენტები პროპორციული არ არის, ანუ არ არსებობს "ლამბდას" ისეთი მნიშვნელობა, რომ ტოლობები შესრულდეს

ასე რომ, სწორი ხაზებისთვის ჩვენ შევქმნით სისტემას:

პირველი განტოლებიდან გამომდინარეობს, რომ , ხოლო მეორე განტოლებიდან: , მაშასადამე, სისტემა არათანმიმდევრულია(არ არის გადაწყვეტილებები). ამრიგად, ცვლადებში კოეფიციენტები არ არის პროპორციული.

დასკვნა: ხაზები იკვეთება

პრაქტიკულ პრობლემებში შეიძლება გამოყენებულ იქნას ახლად განხილული გადაწყვეტის სქემა. სხვათა შორის, ის ძალიან ჰგავს ვექტორების კოლინარობის შემოწმების ალგორითმს, რომელიც განვიხილეთ გაკვეთილზე. ვექტორების წრფივი (არა) დამოკიდებულების ცნება. ვექტორული საფუძველი. მაგრამ არსებობს უფრო ცივილიზებული პაკეტი:

მაგალითი 1

გაარკვიეთ ხაზების შედარებითი პოზიცია:

გადაწყვეტილებასწორი ხაზების მიმართული ვექტორების შესწავლის საფუძველზე:

ა) განტოლებიდან ვპოულობთ წრფეების მიმართულების ვექტორებს: .

, ასე რომ, ვექტორები არ არის ხაზოვანი და ხაზები იკვეთება.

ყოველი შემთხვევისთვის გზაჯვარედინზე დავდებ ქვას მითითებით:

დანარჩენები ახტებიან ქვას და მიჰყვებიან პირდაპირ კაშჩეის უკვდავებამდე =)

ბ) იპოვეთ წრფეების მიმართულების ვექტორები:

ხაზებს აქვთ იგივე მიმართულების ვექტორი, რაც ნიშნავს, რომ ისინი ან პარალელურები არიან ან ერთნაირი. აქ განმსაზღვრელი არ არის საჭირო.

ცხადია, უცნობის კოეფიციენტები პროპორციულია, ხოლო .

მოდით გავარკვიოთ არის თუ არა თანასწორობა ჭეშმარიტი:

ამრიგად,

გ) იპოვეთ წრფეების მიმართულების ვექტორები:

მოდით გამოვთვალოთ განმსაზღვრელი, რომელიც შედგება ამ ვექტორების კოორდინატებისგან:
მაშასადამე, მიმართულების ვექტორები კოლინარულია. ხაზები ან პარალელურია ან ემთხვევა.

პროპორციულობის კოეფიციენტი „ლამბდა“ ადვილი შესამჩნევია პირდაპირ კოლინარული მიმართულების ვექტორების თანაფარდობიდან. თუმცა, ის ასევე შეიძლება მოიძებნოს თავად განტოლებების კოეფიციენტების საშუალებით: .

ახლა მოდით გავარკვიოთ არის თუ არა თანასწორობა ჭეშმარიტი. ორივე უფასო ტერმინი ნულის ტოლია, ასე რომ:

მიღებული მნიშვნელობა აკმაყოფილებს ამ განტოლებას (ნებისმიერი რიცხვი ზოგადად აკმაყოფილებს მას).

ამრიგად, ხაზები ემთხვევა ერთმანეთს.

უპასუხე:

ძალიან მალე ისწავლით (ან უკვე ისწავლეთ) განხილული პრობლემის სიტყვიერად გადაჭრას რამდენიმე წამში. ამ მხრივ, მე ვერ ვხედავ მიზეზს, რომ შემოგთავაზოთ რაიმე დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის, უმჯობესია გეომეტრიულ საძირკველში კიდევ ერთი მნიშვნელოვანი აგურის ჩაყრა:

როგორ გავავლოთ წრფე მოცემულის პარალელურად?

ამ უმარტივესი ამოცანის უცოდინრობის გამო, ბულბული ყაჩაღი სასტიკად სჯის.

მაგალითი 2

სწორი ხაზი მოცემულია განტოლებით. დაწერეთ განტოლება პარალელური ხაზისთვის, რომელიც გადის წერტილში.

გადაწყვეტილება: უცნობი სტრიქონის აღნიშვნა ასოთი . რას ამბობს მდგომარეობა ამაზე? ხაზი გადის წერტილში. ხოლო თუ წრფეები პარალელურია, მაშინ აშკარაა, რომ „ce“ წრფის მიმართულების ვექტორიც შესაფერისია „de“ წრფის ასაგებად.

განტოლებიდან ამოვიღებთ მიმართულების ვექტორს:

უპასუხე:

მაგალითის გეომეტრია მარტივია:

ანალიტიკური შემოწმება შედგება შემდეგი ნაბიჯებისგან:

1) ვამოწმებთ, რომ წრფეებს აქვთ ერთნაირი მიმართულების ვექტორი (თუ წრფის განტოლება სათანადოდ არ არის გამარტივებული, მაშინ ვექტორები იქნება კოლინარული).

2) შეამოწმეთ, აკმაყოფილებს თუ არა წერტილი მიღებულ განტოლებას.

ანალიტიკური გადამოწმება უმეტეს შემთხვევაში ადვილი შესასრულებელია სიტყვიერად. შეხედეთ ორ განტოლებას და ბევრი თქვენგანი სწრაფად გაიგებს, თუ როგორ არის წრფეები პარალელურად ყოველგვარი ნახაზის გარეშე.

კრეატიული იქნება დღევანდელი თვითგადაჭრის მაგალითები. იმიტომ, რომ ბაბა იაგას მაინც უნდა ეჯიბრო და ის, მოგეხსენებათ, ყველანაირი გამოცანების მოყვარულია.

მაგალითი 3

დაწერეთ განტოლება წრფის, რომელიც გადის წრფის პარალელურ წერტილში, თუ

არსებობს გადაჭრის რაციონალური და არც თუ ისე რაციონალური გზა. უმოკლესი გზა არის გაკვეთილის ბოლოს.

ჩვენ გავაკეთეთ მცირე მუშაობა პარალელური ხაზებით და მათ მოგვიანებით დავუბრუნდებით. სტრიქონების დამთხვევის შემთხვევა ნაკლებად საინტერესოა, ამიტომ განვიხილოთ პრობლემა, რომელიც თქვენთვის კარგად არის ცნობილი სკოლის სასწავლო გეგმიდან:

როგორ მოვძებნოთ ორი წრფის გადაკვეთის წერტილი?

თუ სწორი იკვეთება წერტილში, მაშინ მისი კოორდინატები გამოსავალია წრფივი განტოლებათა სისტემები

როგორ მოვძებნოთ ხაზების გადაკვეთის წერტილი? გადაჭრით სისტემა.

აი შენ ორი უცნობი წრფივი განტოლების სისტემის გეომეტრიული მნიშვნელობაარის ორი გადამკვეთი (ყველაზე ხშირად) სწორი ხაზი სიბრტყეზე.

მაგალითი 4

იპოვეთ ხაზების გადაკვეთის წერტილი

გადაწყვეტილება: გადაჭრის ორი გზა არსებობს - გრაფიკული და ანალიტიკური.

გრაფიკული გზა არის უბრალოდ მოცემული ხაზების დახატვა და გადაკვეთის წერტილის გარკვევა პირდაპირ ნახაზიდან:

აქ არის ჩვენი აზრი: . შესამოწმებლად, თქვენ უნდა ჩაანაცვლოთ მისი კოორდინატები სწორი ხაზის თითოეულ განტოლებაში, ისინი უნდა შეესაბამებოდეს იქაც და იქაც. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, წერტილის კოორდინატები არის სისტემის ამოხსნა. ფაქტობრივად, ჩვენ განვიხილეთ გადაჭრის გრაფიკული გზა წრფივი განტოლებათა სისტემებიორი განტოლებით, ორი უცნობით.

გრაფიკული მეთოდი, რა თქმა უნდა, არ არის ცუდი, მაგრამ არის შესამჩნევი უარყოფითი მხარეები. არა, საქმე ის არ არის, რომ მეშვიდე კლასელები ასე წყვეტენ, საქმე ისაა, რომ სწორი და ზუსტი ნახატის გაკეთებას დრო დასჭირდება. გარდა ამისა, ზოგიერთი ხაზი არც ისე ადვილია აგებული და თავად გადაკვეთის წერტილი შეიძლება იყოს სადღაც ოცდამეათე სამეფოში ნოუთბუქის ფურცლის მიღმა.

ამიტომ უფრო მიზანშეწონილია გადაკვეთის წერტილის ძიება ანალიტიკური მეთოდით. მოდით გადავჭრათ სისტემა:

სისტემის ამოსახსნელად გამოყენებული იქნა განტოლებათა ტერმინული შეკრების მეთოდი. შესაბამისი უნარების გასავითარებლად ეწვიეთ გაკვეთილს როგორ ამოხსნათ განტოლებათა სისტემა?

უპასუხე:

გადამოწმება ტრივიალურია - გადაკვეთის წერტილის კოორდინატები უნდა აკმაყოფილებდეს სისტემის თითოეულ განტოლებას.

მაგალითი 5

იპოვეთ წრფეების გადაკვეთის წერტილი, თუ ისინი იკვეთებიან.

ეს არის საკუთარი თავის მაგალითი. მოსახერხებელია პრობლემის რამდენიმე ეტაპად დაყოფა. მდგომარეობის ანალიზი ვარაუდობს, რომ აუცილებელია:
1) დაწერეთ სწორი ხაზის განტოლება.
2) დაწერეთ სწორი ხაზის განტოლება.
3) გაარკვიეთ ხაზების ფარდობითი პოზიცია.
4) თუ ხაზები იკვეთება, მაშინ იპოვეთ გადაკვეთის წერტილი.

მოქმედების ალგორითმის შემუშავება დამახასიათებელია მრავალი გეომეტრიული პრობლემისთვის და ამაზე არაერთხელ გავამახვილებ ყურადღებას.

სრული გადაწყვეტა და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს:

წყვილი ფეხსაცმელი ჯერ არ არის გაცვეთილი, რადგან მივედით გაკვეთილის მეორე განყოფილებაში:

პერპენდიკულარული ხაზები. მანძილი წერტილიდან ხაზამდე.
კუთხე ხაზებს შორის

დავიწყოთ ტიპიური და ძალიან მნიშვნელოვანი ამოცანებით. პირველ ნაწილში ვისწავლეთ როგორ ავაგოთ სწორი ხაზი მოცემულის პარალელურად და ახლა ქათმის ფეხებზე ქოხი 90 გრადუსით დაბრუნდება:

როგორ დავხატოთ მოცემული წრფის პერპენდიკულარული?

მაგალითი 6

სწორი ხაზი მოცემულია განტოლებით. დაწერეთ განტოლება პერპენდიკულარულ წრფეზე, რომელიც გადის წერტილს.

გადაწყვეტილება: ვარაუდით ცნობილია რომ . კარგი იქნებოდა სწორი ხაზის მიმართულების ვექტორის პოვნა. ვინაიდან ხაზები პერპენდიკულარულია, ხრიკი მარტივია:

განტოლებიდან „ამოგვაქვს“ ნორმალური ვექტორი: , რომელიც იქნება სწორი ხაზის მიმართული ვექტორი.

ჩვენ ვადგენთ სწორი ხაზის განტოლებას წერტილით და მიმართული ვექტორით:

უპასუხე:

მოდით გავშალოთ გეომეტრიული ესკიზი:

ჰმ... ნარინჯისფერი ცა, ნარინჯისფერი ზღვა, ნარინჯისფერი აქლემი.

ხსნარის ანალიტიკური შემოწმება:

1) ამოიღეთ მიმართულების ვექტორები განტოლებიდან და დახმარებით ვექტორების წერტილოვანი ნამრავლივასკვნით, რომ წრფეები მართლაც პერპენდიკულარულია: .

სხვათა შორის, შეგიძლიათ გამოიყენოთ ნორმალური ვექტორები, ეს კიდევ უფრო ადვილია.

2) შეამოწმეთ, აკმაყოფილებს თუ არა წერტილი მიღებულ განტოლებას .

გადამოწმება, ისევ და ისევ, მარტივია სიტყვიერად შესრულება.

მაგალითი 7

იპოვეთ პერპენდიკულარული წრფეების გადაკვეთის წერტილი, თუ განტოლება ცნობილია და წერტილი.

ეს არის საკუთარი თავის მაგალითი. ამოცანაში რამდენიმე მოქმედებაა, ამიტომ მოსახერხებელია ამოხსნის პუნქტად მოწყობა.

ჩვენი საინტერესო მოგზაურობა გრძელდება:

მანძილი წერტილიდან ხაზამდე

ჩვენს თვალწინ არის მდინარის სწორი ზოლი და ჩვენი ამოცანაა უმოკლესი გზით მივაღწიოთ მას. არ არსებობს დაბრკოლებები და ყველაზე ოპტიმალური მარშრუტი იქნება მოძრაობა პერპენდიკულარულის გასწვრივ. ანუ, მანძილი წერტილიდან ხაზამდე არის პერპენდიკულარული სეგმენტის სიგრძე.

მანძილი გეომეტრიაში ტრადიციულად აღინიშნება ბერძნული ასო "ro"-ით, მაგალითად: - მანძილი "em" წერტილიდან სწორ ხაზამდე "de".

მანძილი წერტილიდან ხაზამდე გამოიხატება ფორმულით

მაგალითი 8

იპოვეთ მანძილი წერტილიდან ხაზამდე

გადაწყვეტილება: ყველაფერი რაც თქვენ გჭირდებათ არის გულდასმით ჩაანაცვლოთ რიცხვები ფორმულაში და გააკეთოთ გამოთვლები:

უპასუხე:

მოდით შევასრულოთ ნახაზი:

ნაპოვნი მანძილი წერტილიდან ხაზამდე არის ზუსტად წითელი სეგმენტის სიგრძე. თუ თქვენ გააკეთებთ ნახატს ჭადრაკულ ქაღალდზე 1 ერთეულის მასშტაბით. \u003d 1 სმ (2 უჯრედი), შემდეგ მანძილის გაზომვა შესაძლებელია ჩვეულებრივი მმართველით.

განიხილეთ სხვა დავალება იმავე ნახაზის მიხედვით:

ამოცანაა იპოვოთ წერტილის კოორდინატები, რომელიც სიმეტრიულია წერტილის მიმართ წრფესთან მიმართებაში. . მე ვთავაზობ მოქმედებების დამოუკიდებლად შესრულებას, თუმცა მე გამოვყოფ ამოხსნის ალგორითმს შუალედური შედეგებით:

1) იპოვეთ წრფე, რომელიც არის წრფის პერპენდიკულარული.

2) იპოვეთ წრფეების გადაკვეთის წერტილი: .

ორივე მოქმედება დეტალურად არის განხილული ამ გაკვეთილზე.

3) წერტილი არის სეგმენტის შუა წერტილი. ჩვენ ვიცით შუა და ერთ-ერთი ბოლოების კოორდინატები. ავტორი ფორმულები შუა სეგმენტის კოორდინატებისთვისიპოვე .

ზედმეტი არ იქნება იმის შემოწმება, რომ მანძილიც უდრის 2.2 ერთეულს.

სირთულეები აქ შეიძლება წარმოიშვას გამოთვლებში, მაგრამ კოშკში მიკროკალკულატორი ბევრს ეხმარება, რაც საშუალებას გაძლევთ დათვალოთ ჩვეულებრივი წილადები. ბევრჯერ ვურჩიე და კიდევ გირჩევ.

როგორ მოვძებნოთ მანძილი ორ პარალელურ წრფეს შორის?

მაგალითი 9

იპოვეთ მანძილი ორ პარალელურ წრფეს შორის

ეს არის კიდევ ერთი მაგალითი დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის. პატარა მინიშნება: გადაჭრის უსასრულოდ ბევრი გზა არსებობს. გაკვეთილის ბოლოს ბრიფინგი, ოღონდ სცადეთ თავად გამოიცნოთ, ვფიქრობ, კარგად მოახერხეთ თქვენი ჭკუის დაშლა.

კუთხე ორ ხაზს შორის

რაც არ უნდა იყოს კუთხე, მაშინ ჯამი:


გეომეტრიაში, კუთხე ორ წრფეს შორის აღებულია როგორც უფრო მცირე კუთხე, საიდანაც ავტომატურად ირკვევა, რომ ის არ შეიძლება იყოს ბლაგვი. ნახატზე წითელი რკალით მითითებული კუთხე არ ითვლება გადამკვეთ ხაზებს შორის. და მისი "მწვანე" მეზობელი ან საპირისპიროდ ორიენტირებულიჟოლოსფერი კუთხე.

თუ ხაზები პერპენდიკულარულია, მაშინ 4 კუთხიდან რომელიმე შეიძლება მივიღოთ მათ შორის კუთხედ.

რით განსხვავდება კუთხეები? ორიენტაცია. პირველ რიგში, ფუნდამენტურად მნიშვნელოვანია კუთხის "გადახვევის" მიმართულება. მეორეც, უარყოფითად ორიენტირებული კუთხე იწერება მინუს ნიშნით, მაგალითად, თუ .

რატომ ვთქვი ეს? როგორც ჩანს, თქვენ შეგიძლიათ გაუმკლავდეთ კუთხის ჩვეულ კონცეფციას. ფაქტია, რომ იმ ფორმულებში, რომლებითაც ჩვენ ვიპოვით კუთხეებს, ადვილად შეიძლება უარყოფითი შედეგის მიღება და ეს არ უნდა გაგიკვირდეთ. მინუს ნიშნის მქონე კუთხე არ არის უარესი და აქვს ძალიან სპეციფიკური გეომეტრიული მნიშვნელობა. უარყოფითი კუთხისთვის ნახაზში აუცილებელია მისი ორიენტაციის (საათის ისრის მიმართულებით) მითითება ისრით.

როგორ მოვძებნოთ კუთხე ორ წრფეს შორის?არსებობს ორი სამუშაო ფორმულა:

მაგალითი 10

იპოვეთ კუთხე ხაზებს შორის

გადაწყვეტილებადა მეთოდი პირველი

განვიხილოთ განტოლებებით მოცემული ორი სწორი ხაზი ზოგადი ფორმით:

თუ სწორი არა პერპენდიკულარული, მაშინ ორიენტირებულიმათ შორის კუთხე შეიძლება გამოითვალოს ფორმულის გამოყენებით:

დიდი ყურადღება მივაქციოთ მნიშვნელს - ეს არის ზუსტად სკალარული პროდუქტისწორი ხაზების მიმართულების ვექტორები:

თუ , მაშინ ფორმულის მნიშვნელი ქრება და ვექტორები ორთოგონალური იქნება, ხოლო წრფეები პერპენდიკულარული. სწორედ ამიტომ გაკეთდა დათქმა ფორმულირებაში ხაზების არაპერპენდიკულარულობის შესახებ.

ზემოაღნიშნულიდან გამომდინარე, გამოსავალი მოხერხებულად ფორმალიზებულია ორ ეტაპად:

1) გამოთვალეთ სწორი ხაზების მიმართული ვექტორების სკალარული ნამრავლი:
ასე რომ, ხაზები არ არის პერპენდიკულარული.

2) ხაზებს შორის კუთხეს ვპოულობთ ფორმულით:

ინვერსიული ფუნქციის გამოყენებით, ადვილია თავად კუთხის პოვნა. ამ შემთხვევაში ვიყენებთ რკალის ტანგენსის უცნაურობას (იხ. ელემენტარული ფუნქციების გრაფიკები და თვისებები):

უპასუხე:

პასუხში ჩვენ მივუთითებთ ზუსტ მნიშვნელობას, ისევე როგორც სავარაუდო მნიშვნელობას (სასურველია, როგორც გრადუსებში, ასევე რადიანებში), გამოთვლილი კალკულატორის გამოყენებით.

კარგი, მინუს, ასე რომ მინუს, არა უშავს. აქ არის გეომეტრიული ილუსტრაცია:

გასაკვირი არ არის, რომ კუთხე უარყოფითი ორიენტაციის აღმოჩნდა, რადგან პრობლემის პირობებში პირველი რიცხვი არის სწორი ხაზი და კუთხის „გადახვევა“ სწორედ მისგან დაიწყო.

თუ ნამდვილად გსურთ დადებითი კუთხის მიღება, თქვენ უნდა შეცვალოთ სწორი ხაზები, ანუ აიღოთ კოეფიციენტები მეორე განტოლებიდან. და აიღეთ კოეფიციენტები პირველი განტოლებიდან. მოკლედ, თქვენ უნდა დაიწყოთ პირდაპირი .

ახლა მივიღოთ ორი განტოლება:

ვნახოთ, როდის არიან ამ განტოლებებით განსაზღვრული d და d წრფეები პარალელურები ფართო გაგებით, როდის ემთხვევა ერთმანეთს, როდის არის პარალელურად სწორი გაგებით (ანუ ერთი საერთო წერტილი არ აქვთ).

პირველ კითხვაზე პასუხი დაუყოვნებლივ მიიღება: d და d წრფეები პარალელურია ფართო გაგებით, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მათი მიმართულების ვექტორები არის ხაზოვანი, ანუ როდესაც ხდება პროპორცია და, შესაბამისად, პროპორცია.

თუ ეს პროპორცია შეიძლება გაფართოვდეს პროპორციამდე

მაშინ წრფეები ერთმანეთს ემთხვევა: ამ შემთხვევაში, ორი განტოლებიდან ერთის (Г) ყველა კოეფიციენტი მიიღება მეორის კოეფიციენტებიდან რამდენიმეზე გამრავლებით და, შესაბამისად, განტოლებაზე (1) და ეკვივალენტურია (ნებისმიერი. წერტილი, რომელიც აკმაყოფილებს ერთ განტოლებას, აკმაყოფილებს მეორეს).

პირიქით, თუ ორი ხაზი ემთხვევა, მაშინ პროპორცია (3) მოქმედებს.

მოდით ეს ჯერ დავამტკიცოთ იმ შემთხვევაში, როდესაც ჩვენი წრფეები პარალელურია y-ღერძის. მაშინ და ჩვენ მხოლოდ თანასწორობის დამტკიცება გვჭირდება.

მაგრამ ბოლო თანასწორობა (რომელშიც გამომდინარეობს იქიდან, რომ ორივე (დამთხვევა) წრფე კვეთს აბსცისის ღერძს აბსცისასთან ერთსა და იმავე წერტილში.

მოდით, დამთხვევა პირველადი არ იყოს პარალელური y-ღერძის. შემდეგ ისინი კვეთენ მას იმავე Q წერტილში ორდინატთან და გვაქვს პროპორცია , რომელიც პროპორციასთან ერთად (2) (რომელიც გამოხატავს წრფეთა პარალელიზმს ფართო გაგებით) გვაძლევს საჭირო პროპორციას (3).

პარალელიზმი სწორი გაგებით ნიშნავს, რომ არსებობს პარალელიზმი ფართო გაგებით (ანუ პირობა (2) დაკმაყოფილებულია), მაგრამ არ არის დამთხვევა (ანუ არ არის დაკმაყოფილებული). ეს ნიშნავს, რომ პროპორცია

ხდება, ხოლო

ორი ურთიერთობის კომბინაცია (2) და (4) ჩვეულებრივ იწერება ერთი ფორმულის სახით:

მოდით შევაჯამოთ ის, რაც დადასტურდა.

თეორემა 1. აფინური კოორდინატთა სისტემით აღჭურვილ სიბრტყეზე ნებისმიერი დ წრფე განისაზღვრება მისი წერტილების კოორდინატებს შორის პირველი ხარისხის განტოლებით. პირიქით, პირველი ხარისხის ნებისმიერი განტოლება

არის რაღაც (უნიკალური) წრფის განტოლება; უფრო მეტიც, ყველა ვექტორი ამ წრფესთან არის და მხოლოდ ისინი აკმაყოფილებენ ერთგვაროვან განტოლებას

ეს სტატია ეხება პარალელურ ხაზებს და პარალელურ ხაზებს. თავდაპირველად მოცემულია პარალელური წრფეების განმარტება სიბრტყეში და სივრცეში, შემოღებულია აღნიშვნა, მოცემულია პარალელური წრფეების მაგალითები და გრაფიკული ილუსტრაციები. შემდგომში გაანალიზებულია სწორი ხაზების პარალელურობის ნიშნები და პირობები. დასასრულს, ნაჩვენებია გადაწყვეტილებები სწორი ხაზების პარალელურობის დამადასტურებელი ტიპიური ამოცანებისთვის, რომლებიც მოცემულია სწორი ხაზის ზოგიერთი განტოლებით მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში სიბრტყეზე და სამგანზომილებიან სივრცეში.

გვერდის ნავიგაცია.

პარალელური ხაზები - ძირითადი ინფორმაცია.

განმარტება.

სიბრტყეში ორი ხაზი ეწოდება პარალელურადთუ მათ არ აქვთ საერთო წერტილები.

განმარტება.

ორ ხაზს სამ განზომილებაში ეწოდება პარალელურადთუ ისინი ერთ სიბრტყეში წევენ და საერთო წერტილები არ აქვთ.

გაითვალისწინეთ, რომ სივრცეში პარალელური წრფეების განმარტებაში პუნქტი „თუ ისინი ერთსა და იმავე სიბრტყეში არიან“ ძალიან მნიშვნელოვანია. მოდით განვმარტოთ ეს პუნქტი: ორი სწორი ხაზი სამგანზომილებიან სივრცეში, რომლებსაც არ აქვთ საერთო წერტილები და არ დევს ერთ სიბრტყეში, არ არის პარალელური, არამედ დახრილი.

აქ მოცემულია პარალელური ხაზების რამდენიმე მაგალითი. ნოუთბუქის ფურცლის საპირისპირო კიდეები დევს პარალელურ ხაზებზე. სწორი ხაზები, რომლითაც სახლის კედლის სიბრტყე კვეთს ჭერისა და იატაკის სიბრტყეებს, პარალელურია. რკინიგზის ლიანდაგები დონის ადგილზე ასევე შეიძლება ჩაითვალოს პარალელურ ხაზებად.

სიმბოლო "" გამოიყენება პარალელური ხაზების აღსანიშნავად. ანუ თუ a და b წრფეები პარალელურია, მაშინ შეგიძლიათ მოკლედ დაწეროთ b.

გაითვალისწინეთ, რომ თუ a და b წრფეები პარალელურია, მაშინ შეგვიძლია ვთქვათ, რომ a წრფე პარალელურია b წრფესთან და ასევე, რომ b წრფე პარალელურია a წრფესთან.

მოდით გამოვთქვათ განცხადება, რომელიც მნიშვნელოვან როლს ასრულებს სიბრტყეში პარალელური წრფეების შესწავლაში: მოცემულ წრფეზე არ დევს წერტილის გავლით, გადის მოცემული წრფის ერთადერთი პარალელურად. ეს დებულება მიღებულია როგორც ფაქტი (მისი დამტკიცება შეუძლებელია პლანიმეტრიის ცნობილი აქსიომების საფუძველზე) და მას უწოდებენ პარალელური წრფეების აქსიომას.

სივრცეში შემთხვევისთვის თეორემა მართალია: სივრცის ნებისმიერი წერტილიდან, რომელიც არ დევს მოცემულ წრფეზე, გადის ერთი ხაზი მოცემულის პარალელურად. ეს თეორემა მარტივად შეიძლება დადასტურდეს ზემოთ მოცემული პარალელური წრფეების აქსიომის გამოყენებით (მისი დადასტურება შეგიძლიათ 10-11 კლასის გეომეტრიის სახელმძღვანელოში, რომელიც მოცემულია სტატიის ბოლოს ბიბლიოგრაფიაში).

სივრცეში შემთხვევისთვის თეორემა მართალია: სივრცის ნებისმიერი წერტილიდან, რომელიც არ დევს მოცემულ წრფეზე, გადის ერთი ხაზი მოცემულის პარალელურად. ეს თეორემა ადვილად დამტკიცდება ზემოთ მოცემული პარალელური წრფეების აქსიომის გამოყენებით.

წრფეთა პარალელიზმი – პარალელურობის ნიშნები და პირობები.

პარალელური ხაზების ნიშანიარის საკმარისი პირობა პარალელური ხაზებისთვის, ანუ ისეთი პირობა, რომლის შესრულებაც პარალელური ხაზების გარანტიას იძლევა. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ამ პირობის შესრულება საკმარისია ხაზების პარალელურობის დასადასტურებლად.

ასევე არის აუცილებელი და საკმარისი პირობები სიბრტყეში და სამგანზომილებიან სივრცეში პარალელური ხაზებისთვის.

ავხსნათ ფრაზის მნიშვნელობა „აუცილებელი და საკმარისი პირობა პარალელური წრფეებისთვის“.

ჩვენ უკვე განვიხილეთ პარალელური ხაზების საკმარისი პირობა. და რა არის „აუცილებელი პირობა პარალელური ხაზებისთვის“? სახელწოდებით „აუცილებელი“ ირკვევა, რომ ამ პირობის შესრულება აუცილებელია იმისთვის, რომ ხაზები იყოს პარალელური. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თუ პარალელური ხაზებისთვის აუცილებელი პირობა არ არის დაკმაყოფილებული, მაშინ ხაზები არ არის პარალელური. ამრიგად, აუცილებელი და საკმარისი პირობა, რომ ხაზები იყოს პარალელურიარის პირობა, რომლის შესრულებაც აუცილებელია და საკმარისია პარალელური ხაზებისთვის. ანუ, ერთის მხრივ, ეს არის პარალელური წრფეების ნიშანი და მეორე მხრივ, ეს არის თვისება, რომელიც გააჩნია პარალელურ წრფეებს.

ხაზების პარალელურად ყოფნის აუცილებელ და საკმარის პირობამდე, სასარგებლოა გავიხსენოთ რამდენიმე დამხმარე განმარტება.

სკანტური ხაზიარის წრფე, რომელიც კვეთს თითოეულ მოცემულ ორ წრფეს.

სეკანტის ორი ხაზის გადაკვეთაზე იქმნება რვა არაგანლაგებული. Ე. წ იწვა ჯვარედინად, შესაბამისიდა ცალმხრივი კუთხეები. მოდით ვაჩვენოთ ისინი ნახატზე.

თეორემა.

თუ სიბრტყეზე ორი სწორი ხაზი გადაკვეთილია სეკანტით, მაშინ მათი პარალელურობისთვის აუცილებელია და საკმარისია, რომ ჯვარედინი დაწოლის კუთხეები ტოლი იყოს, ან შესაბამისი კუთხეები ტოლი იყოს, ან ცალმხრივი კუთხეების ჯამი იყოს 180 გრადუსი. .

მოდით ვაჩვენოთ ამ აუცილებელი და საკმარისი პირობის გრაფიკული ილუსტრაცია სიბრტყეში პარალელური ხაზებისთვის.

ამ პირობების მტკიცებულება შეგიძლიათ იპოვოთ პარალელური ხაზებისთვის გეომეტრიის სახელმძღვანელოებში 7-9 კლასებისთვის.

გაითვალისწინეთ, რომ ამ პირობების გამოყენება შესაძლებელია სამგანზომილებიან სივრცეშიც - მთავარია, რომ ორი ხაზი და სეკანტი ერთ სიბრტყეში იყოს.

აქ არის კიდევ რამდენიმე თეორემა, რომლებიც ხშირად გამოიყენება წრფეების პარალელურობის დასამტკიცებლად.

თეორემა.

თუ სიბრტყეში ორი წრფე პარალელურია მესამე წრფის, მაშინ ისინი პარალელურია. ამ მახასიათებლის დადასტურება გამომდინარეობს პარალელური წრფეების აქსიომიდან.

მსგავსი პირობაა პარალელური ხაზებისთვის სამგანზომილებიან სივრცეში.

თეორემა.

თუ სივრცეში ორი წრფე პარალელურია მესამე წრფის, მაშინ ისინი პარალელურია. ამ მახასიათებლის მტკიცებულება განიხილება მე-10 კლასის გეომეტრიის გაკვეთილებზე.

მოდით გამოვხატოთ გაჟღერებული თეორემები.

მოდით მივცეთ კიდევ ერთი თეორემა, რომელიც საშუალებას გვაძლევს დავამტკიცოთ სიბრტყეში წრფეების პარალელიზმი.

თეორემა.

თუ სიბრტყეში ორი წრფე პერპენდიკულარულია მესამე წრფეზე, მაშინ ისინი პარალელურია.

არსებობს მსგავსი თეორემა სივრცეში წრფეებისთვის.

თეორემა.

თუ სამგანზომილებიან სივრცეში ორი წრფე პერპენდიკულარულია იმავე სიბრტყეზე, მაშინ ისინი პარალელურია.

მოდით დავხატოთ ამ თეორემების შესაბამისი სურათები.

ყველა ზემოთ ჩამოყალიბებული თეორემა, ნიშნები და აუცილებელი და საკმარისი პირობები სავსებით შესაფერისია სწორი ხაზების პარალელურობის დასამტკიცებლად გეომეტრიის მეთოდებით. ანუ ორი მოცემული წრფის პარალელურობის დასამტკიცებლად აუცილებელია იმის ჩვენება, რომ ისინი პარალელურია მესამე წრფის, ან ჯვარედინ დაწოლის კუთხეების ტოლობის ჩვენება და ა.შ. ამ პრობლემებიდან ბევრი წყდება საშუალო სკოლაში გეომეტრიის გაკვეთილებზე. თუმცა, უნდა აღინიშნოს, რომ ხშირ შემთხვევაში მოსახერხებელია კოორდინატების მეთოდის გამოყენება სიბრტყეში ან სამგანზომილებიან სივრცეში წრფეების პარალელურობის დასამტკიცებლად. ჩამოვაყალიბოთ მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში მოცემული წრფეების პარალელიზმისთვის აუცილებელი და საკმარისი პირობები.

მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში წრფეების პარალელიზმი.

სტატიის ამ ნაწილში ჩვენ ჩამოვაყალიბებთ აუცილებელი და საკმარისი პირობები პარალელური ხაზებისთვისმართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში, განტოლებების ტიპებიდან გამომდინარე, რომლებიც განსაზღვრავენ ამ ხაზებს და ასევე მივცემთ ტიპურ ამოცანებს დეტალურ ამონახსნებს.

დავიწყოთ მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში Oxy სიბრტყეზე ორი წრფის პარალელურობის პირობით. მისი მტკიცებულება ეფუძნება წრფის მიმართული ვექტორის განსაზღვრებას და სიბრტყეზე წრფის ნორმალური ვექტორის განმარტებას.

თეორემა.

იმისთვის, რომ სიბრტყეში ორი არათანაბარი წრფე იყოს პარალელურად, აუცილებელია და საკმარისია, რომ ამ წრფეების მიმართულების ვექტორები იყოს წრფივი, ან ამ წრფეების ნორმალური ვექტორები იყოს წრფივი, ან ერთი წრფის მიმართულების ვექტორი ნორმალურის პერპენდიკულარული იყოს. მეორე ხაზის ვექტორი.

ცხადია, სიბრტყეში ორი წრფის პარალელურობის პირობა მცირდება (წრფეთა მიმართულების ვექტორები ან წრფეების ნორმალური ვექტორები) ან (ერთი წრფის მიმართულების ვექტორი და მეორე ხაზის ნორმალური ვექტორი). ამრიგად, თუ და არის a და b წრფეების მიმართულების ვექტორები და და არის a და b წრფეების ნორმალური ვექტორები, შესაბამისად, პარალელური წრფეებისთვის აუცილებელი და საკმარისი პირობა a და b შეიძლება ჩაიწეროს როგორც , ან , ან , სადაც t არის რეალური რიცხვი. თავის მხრივ, a და b სწორი ხაზების მიმართული და (ან) ნორმალური ვექტორების კოორდინატები გვხვდება სწორი ხაზების ცნობილი განტოლებიდან.

კერძოდ, თუ წრფე a მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში Oxy სიბრტყეზე განსაზღვრავს ფორმის ხაზის ზოგად განტოლებას. და სწორი ხაზი b - , მაშინ ამ წრფეების ნორმალურ ვექტორებს აქვთ კოორდინატები და შესაბამისად და a და b წრფეების პარალელურობის პირობა დაიწერება როგორც .

თუ სწორი ხაზი a შეესაბამება სწორი ხაზის განტოლებას ფორმის დახრილობის კოეფიციენტთან . მაშასადამე, თუ მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში სიბრტყეზე სწორი ხაზები პარალელურია და შეიძლება მიცემული იყოს დახრილობის კოეფიციენტებით სწორი ხაზების განტოლებით, მაშინ ხაზების დახრილობის კოეფიციენტები ტოლი იქნება. და პირიქით: თუ მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში სიბრტყეზე არათანაბარი სწორი ხაზები შეიძლება მიღებულ იქნას ტოლი დახრილობის კოეფიციენტებით სწორი ხაზის განტოლებით, მაშინ ასეთი სწორი ხაზები პარალელურია.

თუ მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში a და წრფე b განსაზღვრავს წრფის კანონიკურ განტოლებებს ფორმის სიბრტყეზე. და , ან სწორი ხაზის პარამეტრული განტოლებები ფორმის სიბრტყეზე და შესაბამისად, მაშინ ამ წრფეების მიმართულების ვექტორებს აქვთ კოორდინატები და , ხოლო a და b წრფეების პარალელურობის პირობა იწერება როგორც .

მოდით შევხედოთ რამდენიმე მაგალითს.

მაგალითი.

ხაზები პარალელურია? და ?

გადაწყვეტილება.

ჩვენ ვწერთ სწორი ხაზის განტოლებას სეგმენტებში, სწორი ხაზის ზოგადი განტოლების სახით: . ახლა ჩვენ ვხედავთ, რომ ეს არის სწორი ხაზის ნორმალური ვექტორი და არის სწორი ხაზის ნორმალური ვექტორი. ეს ვექტორები არ არის კოლინარული, რადგან არ არსებობს რეალური რიცხვი t, რომლის ტოლობა ( ). შესაბამისად, სიბრტყეზე წრფეების პარალელურობის აუცილებელი და საკმარისი პირობა არ არის დაკმაყოფილებული, შესაბამისად, მოცემული წრფეები არ არის პარალელური.

პასუხი:

არა, ხაზები არ არის პარალელური.

მაგალითი.

არის ხაზები და პარალელები?

გადაწყვეტილება.

სწორი ხაზის კანონიკური განტოლება მივყავართ დახრილობის მქონე სწორი ხაზის განტოლებამდე: . ცხადია, წრფეების განტოლებები და არ არის ერთნაირი (ამ შემთხვევაში მოცემული ხაზები იგივე იქნებოდა) და ხაზების დახრილობა ტოლია, შესაბამისად, თავდაპირველი ხაზები პარალელურია.