თუ ჩვენ მივყვებით განსაზღვრებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილი არის Δ ფუნქციის ნამატის შეფარდების ზღვარი. წΔ არგუმენტის ნამატამდე x:

როგორც ჩანს, ყველაფერი ნათელია. მაგრამ შეეცადეთ გამოთვალოთ ამ ფორმულით, ვთქვათ, ფუნქციის წარმოებული ვ(x) = x 2 + (2x+ 3) · ე xცოდვა x. თუ ყველაფერს აკეთებთ განსაზღვრებით, მაშინ რამდენიმე გვერდიანი გამოთვლების შემდეგ უბრალოდ დაიძინებთ. ამიტომ, არსებობს უფრო მარტივი და ეფექტური გზები.

დასაწყისისთვის, ჩვენ აღვნიშნავთ, რომ ე.წ. ელემენტარული ფუნქციები შეიძლება განვასხვავოთ ფუნქციების მთელი მრავალფეროვნებისგან. ეს არის შედარებით მარტივი გამონათქვამები, რომელთა წარმოებულები დიდი ხანია გამოითვლება და შეტანილია ცხრილში. ასეთი ფუნქციების დამახსოვრება საკმაოდ მარტივია, მათ წარმოებულებთან ერთად.

ელემენტარული ფუნქციების წარმოებულები

ელემენტარული ფუნქციები არის ყველაფერი ჩამოთვლილი ქვემოთ. ამ ფუნქციების წარმოებულები ზეპირად უნდა იყოს ცნობილი. უფრო მეტიც, მათი დამახსოვრება არ არის რთული - ამიტომაც ისინი ელემენტარულია.

ასე რომ, ელემენტარული ფუნქციების წარმოებულები:

სახელი	ფუნქცია	წარმოებული
მუდმივი	ვ(x) = C, C ∈ რ	0 (დიახ, დიახ, ნული!)
ხარისხი რაციონალური მაჩვენებლით	ვ(x) = x ნ	ნ · x ნ − 1
სინუსი	ვ(x) = ცოდვა x	cos x
კოსინუსი	ვ(x) = cos x	- ცოდვა x(მინუს სინუსი)
ტანგენტი	ვ(x) = ტგ x	1/co 2 x
კოტანგენსი	ვ(x) = ctg x	− 1/ცოდვა2 x
ბუნებრივი ლოგარითმი	ვ(x) = ჟურნალი x	1/x
თვითნებური ლოგარითმი	ვ(x) = ჟურნალი ა x	1/(xლნ ა)
ექსპონენციალური ფუნქცია	ვ(x) = ე x	ე x(არაფერი შეცვლილა)

თუ ელემენტარული ფუნქცია მრავლდება თვითნებურ მუდმივზე, მაშინ ახალი ფუნქციის წარმოებული ასევე ადვილად გამოითვლება:

(C · ვ)’ = C · ვ ’.

ზოგადად, მუდმივები შეიძლება ამოღებულ იქნეს წარმოებულის ნიშნიდან. Მაგალითად:

(2x 3)' = 2 ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .

ცხადია, ელემენტარული ფუნქციები შეიძლება დაემატოს ერთმანეთს, გამრავლდეს, გაიყოს და ბევრი სხვა. ასე გამოჩნდება ახალი ფუნქციები, აღარ არის ძალიან ელემენტარული, მაგრამ ასევე დიფერენცირებადი გარკვეული წესების მიხედვით. ეს წესები განიხილება ქვემოთ.

ჯამისა და სხვაობის წარმოებული

დაუშვით ფუნქციები ვ(x) და გ(x), რომლის წარმოებულები ჩვენთვის ცნობილია. მაგალითად, შეგიძლიათ აიღოთ ზემოთ განხილული ელემენტარული ფუნქციები. შემდეგ შეგიძლიათ იპოვოთ ამ ფუნქციების ჯამისა და სხვაობის წარმოებული:

1. (ვ + გ)’ = ვ ’ + გ ’
2. (ვ − გ)’ = ვ ’ − გ ’

ასე რომ, ორი ფუნქციის ჯამის (განსხვავების) წარმოებული უდრის წარმოებულების ჯამს (განსხვავებას). შეიძლება მეტი ვადები იყოს. Მაგალითად, ( ვ + გ + თ)’ = ვ ’ + გ ’ + თ ’.

მკაცრად რომ ვთქვათ, ალგებრაში არ არსებობს „გამოკლების“ ცნება. არსებობს "ნეგატიური ელემენტის" კონცეფცია. აქედან გამომდინარე, განსხვავება ვ − გშეიძლება გადაიწეროს ჯამის სახით ვ+ (−1) გ, და შემდეგ რჩება მხოლოდ ერთი ფორმულა - ჯამის წარმოებული.

ვ(x) = x 2 + სინქსი; გ(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

ფუნქცია ვ(x) არის ორი ელემენტარული ფუნქციის ჯამი, ასე რომ:

ვ ’(x) = (x 2+ ცოდვა x)’ = (x 2)' + (ცოდვა x)’ = 2x+ cosx;

ჩვენ ანალოგიურად ვკამათობთ ფუნქციისთვის გ(x). მხოლოდ სამი ტერმინია (ალგებრას თვალსაზრისით):

გ ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

პასუხი:
ვ ’(x) = 2x+ cosx;
გ ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

პროდუქტის წარმოებული

მათემატიკა ლოგიკური მეცნიერებაა, ამიტომ ბევრს სჯერა, რომ თუ ჯამის წარმოებული ტოლია წარმოებულების ჯამს, მაშინ პროდუქტის წარმოებული გაფიცვა"\u003e ტოლია წარმოებულების ნამრავლს. მაგრამ ლეღვი შენთვის! პროდუქტის წარმოებული გამოითვლება სრულიად განსხვავებული ფორმულით. კერძოდ:

(ვ · გ) ’ = ვ ’ · გ + ვ · გ ’

ფორმულა მარტივია, მაგრამ ხშირად დავიწყებული. და არა მხოლოდ სკოლის მოსწავლეები, არამედ სტუდენტებიც. შედეგი არის არასწორად მოგვარებული პრობლემები.

დავალება. იპოვნეთ ფუნქციების წარმოებულები: ვ(x) = x 3 cosx; გ(x) = (x 2 + 7x− 7) · ე x .

ფუნქცია ვ(x) არის ორი ელემენტარული ფუნქციის პროდუქტი, ამიტომ ყველაფერი მარტივია:

ვ ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3)' cos x + x 3 (კოს x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (-ცოდვა x) = x 2 (3 cos x − xცოდვა x)

ფუნქცია გ(x) პირველი მულტიპლიკატორი ცოტა უფრო რთულია, მაგრამ ზოგადი სქემა აქედან არ იცვლება. ცხადია, ფუნქციის პირველი მულტიპლიკატორი გ(x) მრავალწევრია და მისი წარმოებული არის ჯამის წარმოებული. Ჩვენ გვაქვს:

გ ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · ე x)’ = (x 2 + 7x− 7)' · ე x + (x 2 + 7x− 7) ( ე x)’ = (2x+ 7) · ე x + (x 2 + 7x− 7) · ე x = ე x(2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · ე x = x(x+ 9) · ე x .

პასუხი:
ვ ’(x) = x 2 (3 cos x − xცოდვა x);
გ ’(x) = x(x+ 9) · ე x .

გაითვალისწინეთ, რომ ბოლო საფეხურზე ხდება წარმოებულის ფაქტორიზირება. ფორმალურად, ეს არ არის აუცილებელი, მაგრამ წარმოებულების უმეტესობა არ არის გამოთვლილი დამოუკიდებლად, არამედ ფუნქციის შესასწავლად. ეს ნიშნავს, რომ შემდგომში წარმოებული გაუტოლდება ნულს, გაირკვევა მისი ნიშნები და ა.შ. ასეთი შემთხვევისთვის უმჯობესია გამოთქმა იყოს ფაქტორებად დაშლილი.

თუ არსებობს ორი ფუნქცია ვ(x) და გ(x), და გ(x) ≠ 0 ჩვენთვის საინტერესო სიმრავლეზე, შეგვიძლია განვსაზღვროთ ახალი ფუნქცია თ(x) = ვ(x)/გ(x). ასეთი ფუნქციისთვის, თქვენ ასევე შეგიძლიათ იპოვოთ წარმოებული:

სუსტი არაა, არა? საიდან გაჩნდა მინუსი? რატომ გ 2? მაგრამ ასე! ეს არის ერთ-ერთი ყველაზე რთული ფორმულა - თქვენ არ შეგიძლიათ ამის გარკვევა ბოთლის გარეშე. ამიტომ ჯობია მისი შესწავლა კონკრეტული მაგალითებით.

დავალება. იპოვნეთ ფუნქციების წარმოებულები:

თითოეული წილადის მრიცხველსა და მნიშვნელში არის ელემენტარული ფუნქციები, ასე რომ, ყველაფერი რაც ჩვენ გვჭირდება არის კოეფიციენტის წარმოებულის ფორმულა:

ტრადიციულად, ჩვენ მრიცხველს ვაქცევთ ფაქტორებად - ეს მნიშვნელოვნად გაამარტივებს პასუხს:

რთული ფუნქცია სულაც არ არის ნახევარი კილომეტრის სიგრძის ფორმულა. მაგალითად, საკმარისია ფუნქციის აღება ვ(x) = ცოდვა xდა შეცვალეთ ცვლადი x, ვთქვათ, on x 2 + ლნ x. თურმე ვ(x) = ცოდვა ( x 2 + ლნ x) რთული ფუნქციაა. მას ასევე აქვს წარმოებული, მაგრამ მისი პოვნა არ გამოდგება ზემოთ განხილული წესების მიხედვით.

Როგორ უნდა იყოს? ასეთ შემთხვევებში, ცვლადის ჩანაცვლება და რთული ფუნქციის წარმოებულის ფორმულა ეხმარება:

ვ ’(x) = ვ ’(ტ) · ტ“, თუ xშეცვლილია ტ(x).

როგორც წესი, სიტუაცია ამ ფორმულის გაგებით კიდევ უფრო სამწუხაროა, ვიდრე კოეფიციენტის წარმოებულთან. ამიტომ, ასევე უკეთესია მისი ახსნა კონკრეტული მაგალითებით, თითოეული ნაბიჯის დეტალური აღწერით.

დავალება. იპოვნეთ ფუნქციების წარმოებულები: ვ(x) = ე 2x + 3 ; გ(x) = ცოდვა ( x 2 + ლნ x)

გაითვალისწინეთ, რომ თუ ფუნქციაში ვ(x) გამოთქმის ნაცვლად 2 x+3 ადვილი იქნება x, მაშინ ვიღებთ ელემენტარულ ფუნქციას ვ(x) = ე x. ამიტომ ვაკეთებთ ჩანაცვლებას: მოდით 2 x + 3 = ტ, ვ(x) = ვ(ტ) = ე ტ. ჩვენ ვეძებთ რთული ფუნქციის წარმოებულს ფორმულით:

ვ ’(x) = ვ ’(ტ) · ტ ’ = (ე ტ)’ · ტ ’ = ე ტ · ტ ’

ახლა კი - ყურადღება! საპირისპირო ჩანაცვლების შესრულება: ტ = 2x+ 3. ჩვენ ვიღებთ:

ვ ’(x) = ე ტ · ტ ’ = ე 2x+ 3 (2 x + 3)’ = ე 2x+ 3 2 = 2 ე 2x + 3

ახლა მოდით შევხედოთ ფუნქციას გ(x). აშკარად გამოსაცვლელია. x 2 + ლნ x = ტ. Ჩვენ გვაქვს:

გ ’(x) = გ ’(ტ) · ტ= (ცოდვა ტ)’ · ტ' = cos ტ · ტ ’

საპირისპირო ჩანაცვლება: ტ = x 2 + ლნ x. შემდეგ:

გ ’(x) = cos ( x 2 + ლნ x) · ( x 2 + ლნ x)' = cos ( x 2 + ლნ x) · (2 x + 1/x).

Სულ ეს არის! როგორც ბოლო გამონათქვამიდან ჩანს, მთელი პრობლემა დაყვანილია ჯამის წარმოებულის გამოთვლაზე.

პასუხი:
ვ ’(x) = 2 ე 2x + 3 ;
გ ’(x) = (2x + 1/x) cos ( x 2 + ლნ x).

ძალიან ხშირად ჩემს გაკვეთილებზე ტერმინის „წარმოებული“ ნაცვლად ვიყენებ სიტყვას „ინსულტი“. მაგალითად, ჯამის დარტყმა უდრის დარტყმების ჯამს. ეს უფრო ნათელია? ისე, კარგია.

ამრიგად, წარმოებულის გაანგარიშება ხდება სწორედ ამ დარტყმების მოშორებაზე ზემოთ განხილული წესების მიხედვით. როგორც საბოლოო მაგალითი, დავუბრუნდეთ წარმოებულ ძალას რაციონალური მაჩვენებლით:

(x ნ)’ = ნ · x ნ − 1

ცოტამ თუ იცის ეს როლში ნშეიძლება იყოს წილადი რიცხვი. მაგალითად, ფესვი არის x 0.5 . მაგრამ რა მოხდება, თუ ფესვის ქვეშ არის რაღაც სახიფათო? ისევ რთული ფუნქცია გამოვა - მათ მოსწონთ ასეთი კონსტრუქციების მიცემა ტესტებში და გამოცდებში.

დავალება. იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული:

პირველი, მოდით გადავიწეროთ ფესვი, როგორც ძალა რაციონალური მაჩვენებლით:

ვ(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

ახლა ჩვენ ვაკეთებთ ჩანაცვლებას: მოდით x 2 + 8x − 7 = ტ. წარმოებულს ვპოულობთ ფორმულით:

ვ ’(x) = ვ ’(ტ) · ტ ’ = (ტ 0.5)' ტ' = 0,5 ტ−0,5 ტ ’.

ჩვენ ვაკეთებთ საპირისპირო ჩანაცვლებას: ტ = x 2 + 8x− 7. გვაქვს:

ვ ’(x) = 0.5 ( x 2 + 8x− 7) −0,5 ( x 2 + 8x− 7)' = 0.5 (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

და ბოლოს, დავუბრუნდეთ ფესვებს:

რთული ფუნქციები ყოველთვის არ ერგება რთული ფუნქციის განმარტებას. თუ არსებობს y \u003d sin x - (2 - 3) a r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11 ფორმის ფუნქცია, მაშინ ის არ შეიძლება ჩაითვალოს კომპლექსურად, განსხვავებით y \u003d sin 2 x.

ამ სტატიაში ნაჩვენები იქნება რთული ფუნქციის კონცეფცია და მისი იდენტიფიკაცია. მოდით ვიმუშაოთ წარმოებულის საპოვნელ ფორმულებთან დასკვნაში ამონახსნების მაგალითებით. წარმოებულების ცხრილის გამოყენება და დიფერენციაციის წესები მნიშვნელოვნად ამცირებს წარმოებულის პოვნის დროს.

ძირითადი განმარტებები

განმარტება 1

რთული ფუნქცია არის ფუნქცია, რომლის არგუმენტიც ასევე ფუნქციაა.

იგი აღინიშნება ასე: f (g (x)) . გვაქვს, რომ g (x) ფუნქცია ითვლება f (g (x)) არგუმენტად.

განმარტება 2

თუ არსებობს f ფუნქცია და არის კოტანგენტური ფუნქცია, მაშინ g(x) = ln x არის ბუნებრივი ლოგარითმის ფუნქცია. მივიღებთ, რომ კომპლექსური ფუნქცია f (g (x)) დაიწერება როგორც arctg (lnx). ან ფუნქცია f, რომელიც არის ფუნქცია ამაღლებული მე-4 ხარისხში, სადაც g (x) \u003d x 2 + 2 x - 3 ითვლება მთელ რაციონალურ ფუნქციად, მივიღებთ, რომ f (g (x)) \u003d (x 2 + 2 x - 3) 4 .

ცხადია, g(x) შეიძლება იყოს სახიფათო. მაგალითიდან y \u003d sin 2 x + 1 x 3 - 5, ჩანს, რომ g-ის მნიშვნელობას აქვს კუბური ფესვი წილადით. ეს გამონათქვამი შეიძლება აღვნიშნოთ როგორც y = f (f 1 (f 2 (x))) . საიდანაც გვაქვს, რომ f არის სინუსური ფუნქცია, ხოლო f 1 არის ფუნქცია, რომელიც მდებარეობს კვადრატული ფესვის ქვეშ, f 2 (x) \u003d 2 x + 1 x 3 - 5 არის წილადი რაციონალური ფუნქცია.

განმარტება 3

ბუდობის ხარისხი განისაზღვრება ნებისმიერი ნატურალური რიცხვით და იწერება როგორც y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))))) .

განმარტება 4

ფუნქციის შემადგენლობის კონცეფცია ეხება ჩადგმული ფუნქციების რაოდენობას პრობლემის განცხადების მიხედვით. ამოხსნისთვის, ფორმის რთული ფუნქციის წარმოებულის პოვნის ფორმულა

(f(g(x)))"=f"(g(x)) g"(x)

მაგალითები

მაგალითი 1

იპოვეთ y = (2 x + 1) 2 ფორმის რთული ფუნქციის წარმოებული.

გადაწყვეტილება

პირობითად, f არის კვადრატის ფუნქცია და g(x) = 2 x + 1 ითვლება წრფივ ფუნქციად.

ჩვენ ვიყენებთ წარმოებული ფორმულას რთული ფუნქციისთვის და ვწერთ:

f "(g (x)) = ((g (x)) 2) " = 2 (g (x)) 2 - 1 = 2 გ (x) = 2 (2 x + 1) ; g "(x) = (2x + 1)" = (2x)" + 1" = 2 x" + 0 = 2 1 x 1 - 1 = 2 ⇒ (f(g(x))) "=f" ( გ(x)) გ"(x) = 2 (2x + 1) 2 = 8x + 4

აუცილებელია ფუნქციის გამარტივებული საწყისი ფორმის მქონე წარმოებულის პოვნა. ჩვენ ვიღებთ:

y = (2x + 1) 2 = 4x2 + 4x + 1

ამიტომ გვაქვს ეს

y"=(4x2+4x+1)"=(4x2)"+(4x)"+1"=4(x2)"+4(x)"+0==4 2 x 2 - 1 + 4 1 x 1 - 1 = 8 x + 4

შედეგები დაემთხვა.

ამ სახის ამოცანების გადაჭრისას მნიშვნელოვანია გვესმოდეს, სად განთავსდება ფორმის f და g (x) ფუნქცია.

მაგალითი 2

თქვენ უნდა იპოვოთ y \u003d sin 2 x და y \u003d sin x 2 ფორმის რთული ფუნქციების წარმოებულები.

გადაწყვეტილება

ფუნქციის პირველი ჩანაწერი ამბობს, რომ f არის კვადრატის ფუნქცია და g(x) არის სინუსური ფუნქცია. მაშინ მივიღებთ ამას

y "= (ცოდვა 2 x)" = 2 ცოდვა 2 - 1 x (ცოდვა x)" = 2 ცოდვა x cos x

მეორე ჩანაწერი აჩვენებს, რომ f არის სინუსური ფუნქცია და g (x) = x 2 აღნიშნავს სიმძლავრის ფუნქციას. აქედან გამომდინარეობს, რომ რთული ფუნქციის პროდუქტი შეიძლება დაიწეროს როგორც

y " \u003d (sin x 2) " \u003d cos (x 2) (x 2) " \u003d cos (x 2) 2 x 2 - 1 \u003d 2 x cos (x 2)

y \u003d f წარმოებულის ფორმულა (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))))) დაიწერება როგორც y "= f" (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))))) f 1 "(f 2 (f 3 (. . . (f n (x))))) f 2" (f 3 (. . . (f n (x ))))). . . f n "(x)

მაგალითი 3

იპოვეთ y = sin ფუნქციის წარმოებული (ln 3 a r c t g (2 x)) .

გადაწყვეტილება

ეს მაგალითი გვიჩვენებს ჩაწერის სირთულეს და ფუნქციების ადგილმდებარეობის განსაზღვრას. მაშინ y \u003d f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) აღვნიშნავთ, სადაც f , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 (x) არის სინუსური ფუნქცია, ფუნქცია 3 გრადუსამდე აწევის ფუნქცია ლოგარითმით და ფუძით e, რკალის ტანგენსის ფუნქცია და წრფივი.

რთული ფუნქციის განსაზღვრის ფორმულიდან გვაქვს ეს

y "= f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 "(f 3 (f 4 (x))) f 3 "(f 4 (x)) f 4" (x)

იმის მიღება, თუ რა უნდა იპოვო

1. f "(f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) როგორც სინუსის წარმოებული წარმოებულების ცხრილში, შემდეგ f "(f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x )))))) = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) .
2. f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) როგორც სიმძლავრის ფუნქციის წარმოებული, შემდეგ f 1" (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 ln 3 - 1 a r c t g (2 x) = 3 ln 2 a r c t g (2 x) .
3. f 2 "(f 3 (f 4 (x))) როგორც ლოგარითმული წარმოებული, შემდეგ f 2" (f 3 (f 4 (x))) = 1 a rc t g (2 x) .
4. f 3 "(f 4 (x)) როგორც რკალის ტანგენტის წარმოებული, შემდეგ f 3" (f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2.
5. f 4 (x) \u003d 2 x წარმოებულის პოვნისას, აიღეთ 2 წარმოებულის ნიშნიდან, დენის ფუნქციის წარმოებულის ფორმულის გამოყენებით, მაჩვენებლით, რომელიც არის 1, შემდეგ f 4 "(x) \u003d ( 2 x)" \u003d 2 x "\u003d 2 · 1 · x 1 - 1 = 2.

ჩვენ ვაკავშირებთ შუალედურ შედეგებს და ვიღებთ ამას

y "= f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 "(f 3 (f 4 (x))) f 3 "(f 4 (x)) f 4" (x) = = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) 3 ln 2 a r c t g (2 x) 1 a r c t g (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 = = 6 cos (ln 3 a rc t g (2 x)) ln 2 a r c t g (2 x) a r c t g (2 x) (1 + 4 x 2)

ასეთი ფუნქციების ანალიზი წააგავს მობუდულ თოჯინებს. დიფერენციაციის წესები ყოველთვის არ შეიძლება გამოყენებულ იქნას ცალსახად წარმოებული ცხრილის გამოყენებით. ხშირად საჭიროა რთული ფუნქციების წარმოებულების პოვნის ფორმულა.

არსებობს გარკვეული განსხვავებები კომპლექსურ ხედსა და კომპლექსურ ფუნქციას შორის. ამის გარჩევის მკაფიო უნარით, წარმოებულების პოვნა განსაკუთრებით ადვილი იქნება.

მაგალითი 4

ასეთი მაგალითის მოყვანაზე ფიქრი აუცილებელია. თუ არსებობს y = t g 2 x + 3 t g x + 1 ფორმის ფუნქცია, მაშინ ის შეიძლება ჩაითვალოს ფორმის კომპლექსურ ფუნქციად g (x) = t g x, f (g) = g 2 + 3 g + 1. . ცხადია, აუცილებელია რთული წარმოებულის ფორმულის გამოყენება:

f "(g (x)) \u003d (g 2 (x) + 3 g (x) + 1) " \u003d (g 2 (x)) " + (3 გ (x)) " + 1 " == 2 გ 2 - 1 (x) + 3 გ "(x) + 0 \u003d 2 გ (x) + 3 1 გ 1 - 1 (x) \u003d \u003d 2 გ (x) + 3 \u003d 2 ტ გ x + 3; g " (x) = (t g x) " = 1 cos 2 x ⇒ y " = (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = (2 ტ გ x + 3) 1 cos 2 x = 2 t g x + 3 cos 2 x

y = t g x 2 + 3 t g x + 1 ფორმის ფუნქცია არ ითვლება კომპლექსურად, რადგან მას აქვს ჯამი t g x 2, 3 t g x და 1. თუმცა, t g x 2 განიხილება კომპლექსურ ფუნქციად, შემდეგ ვიღებთ g (x) \u003d x 2 და f ფორმის სიმძლავრის ფუნქციას, რომელიც არის ტანგენტის ფუნქცია. ამისათვის თქვენ უნდა განასხვავოთ თანხის მიხედვით. ჩვენ ამას მივიღებთ

y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + (3 t g x) " + 1 " = = (t g x 2) " + 3 (t g x) " + 0 = (t g x 2) " + 3 cos 2 x

მოდით გადავიდეთ რთული ფუნქციის წარმოებულის პოვნაზე (t g x 2) ":

f "(g (x)) = (t g (g (x)))" = 1 cos 2 g (x) = 1 cos 2 (x 2) g "(x) = (x 2)" = 2 x 2 - 1 \u003d 2 x ⇒ (t g x 2) " \u003d f " (g (x)) g " (x) \u003d 2 x cos 2 (x 2)

მივიღებთ, რომ y "= (t g x 2 + 3 t g x + 1)" = (t g x 2) " + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x

რთული ფუნქციები შეიძლება შევიდეს რთულ ფუნქციებში, ხოლო თავად რთული ფუნქციები შეიძლება იყოს რთული ფორმის კომპოზიტური ფუნქციები.

მაგალითი 5

მაგალითად, განვიხილოთ y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) ფორმის რთული ფუნქცია.

ეს ფუნქცია შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც y = f (g (x)) , სადაც f-ის მნიშვნელობა არის 3 ბაზის ლოგარითმის ფუნქცია, ხოლო g (x) ითვლება h (x) = ფორმის ორი ფუნქციის ჯამად. x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 და k (x) = ln 2 x (x 2 + 1) . ცხადია, y = f (h (x) + k (x)) .

განვიხილოთ ფუნქცია h(x) . ეს არის თანაფარდობა l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 მ (x) = e x 2 + 3 3

გვაქვს, რომ l (x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x) არის ორი ფუნქციის ჯამი n (x) = x 2 + 7 და p ( x) \u003d 3 cos 3 (2 x + 1) , სადაც p (x) \u003d 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) არის რთული ფუნქცია ციფრული კოეფიციენტით 3, და p 1 არის კუბის ფუნქცია, p 2 კოსინუსის ფუნქცია, p 3 (x) = 2 x + 1 - წრფივი ფუნქცია.

ჩვენ აღმოვაჩინეთ, რომ m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x) არის ორი ფუნქციის ჯამი q (x) = e x 2 და r (x) = 3 3, სადაც q (x) = q 1 (q 2 (x)) არის რთული ფუნქცია, q 1 არის ფუნქცია მაჩვენებლით, q 2 (x) = x 2 არის სიმძლავრის ფუნქცია.

ეს აჩვენებს, რომ h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3 (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

k (x) \u003d ln 2 x (x 2 + 1) \u003d s (x) t (x) ფორმის გამოხატულებაზე გადასვლისას ცხადია, რომ ფუნქცია წარმოდგენილია როგორც რთული s (x) \ u003d ln 2 x \u003d s 1 ( s 2 (x)) მთელი რაციონალური t (x) = x 2 + 1, სადაც s 1 არის კვადრატის ფუნქცია და s 2 (x) = ln x არის ლოგარითმული e ფუძით .

აქედან გამომდინარეობს, რომ გამოთქმა მიიღებს k (x) = s (x) t (x) = s 1 (s 2 (x)) t (x) .

მაშინ მივიღებთ ამას

y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = f n (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3 ( x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)

ფუნქციის სტრუქტურების მიხედვით, გაირკვა, თუ როგორ და რა ფორმულები უნდა იქნას გამოყენებული გამოხატვის გასამარტივებლად მისი დიფერენცირებისას. ამგვარი პრობლემების გასაცნობად და მათი გადაწყვეტის გასაგებად, აუცილებელია მივმართოთ ფუნქციის დიფერენცირების პუნქტს, ანუ მისი წარმოებულის პოვნას.

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

და თეორემა რთული ფუნქციის წარმოებულზე, რომლის ფორმულირება ასეთია:

მოდით 1) $u=\varphi (x)$ ფუნქციას აქვს $u_(x)"=\varphi"(x_0)$ რაღაც მომენტში $x_0$, 2) ფუნქცია $y=f(u)$ აქვს შესაბამის წერტილში $u_0=\varphi (x_0)$ წარმოებული $y_(u)"=f"(u)$. მაშინ კომპლექსურ ფუნქციას $y=f\left(\varphi (x) \right)$ აღნიშნულ წერტილში ასევე ექნება წარმოებული $f(u)$ და $\varphi ფუნქციების წარმოებულების ნამრავლის ტოლი. x)$:

$$ \left(f(\varphi (x))\right)"=f_(u)"\left(\varphi (x_0) \მარჯვნივ)\cdot \varphi"(x_0) $$

ან, უფრო მოკლე აღნიშვნით: $y_(x)"=y_(u)"\cdot u_(x)"$.

ამ განყოფილების მაგალითებში ყველა ფუნქციას აქვს ფორმა $y=f(x)$ (ანუ განვიხილავთ მხოლოდ $x$ ცვლადის ფუნქციებს). შესაბამისად, ყველა მაგალითში $y"$ წარმოებული აღებულია $x$ ცვლადის მიმართ. იმის ხაზგასასმელად, რომ წარმოებული აღებულია $x$ ცვლადის მიმართ, ხშირად $-ის ნაცვლად წერენ $y"_x$. y"$.

მაგალითები #1, #2 და #3 იძლევა დეტალურ პროცესს რთული ფუნქციების წარმოებულის მოსაძებნად. მაგალითი No4 განკუთვნილია წარმოებულების ცხრილის უფრო სრულყოფილი გაგებისთვის და აზრი აქვს გაეცნოთ მას.

მიზანშეწონილია No1-3 მაგალითებში მასალის შესწავლის შემდეგ გადავიდეთ No5, No6 და No7 მაგალითების დამოუკიდებელ გადაწყვეტაზე. #5, #6 და #7 მაგალითები შეიცავს მოკლე გადაწყვეტას, რათა მკითხველმა შეამოწმოს თავისი შედეგის სისწორე.

მაგალითი #1

იპოვეთ $y=e^(\cos x)$ ფუნქციის წარმოებული.

ჩვენ უნდა ვიპოვოთ $y"$ რთული ფუნქციის წარმოებული. ვინაიდან $y=e^(\cos x)$, მაშინ $y"=\left(e^(\cos x)\right)"$. იპოვეთ წარმოებული $ \left(e^(\cos x)\right)"$ გამოიყენეთ ფორმულა #6 წარმოებულების ცხრილიდან. იმისათვის, რომ გამოიყენოთ ფორმულა No6, თქვენ უნდა გაითვალისწინოთ, რომ ჩვენს შემთხვევაში $u=\cos x$. შემდგომი გამოსავალი შედგება გამოხატვის $\cos x$-ის ნაცვლად $u$-ის ბანალურ ჩანაცვლებაში No6 ფორმულაში:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \მარჯვნივ)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)" \ tag (1.1)$$

ახლა ჩვენ უნდა ვიპოვოთ $(\cos x)"$ გამოხატვის მნიშვნელობა. კვლავ მივმართავთ წარმოებულების ცხრილს, მისგან ვირჩევთ ფორმულას No10. $u=x$-ის ჩანაცვლებით მე-10 ფორმულაში გვაქვს. : $(\cos x)"=-\ sin x\cdot x"$. ახლა ვაგრძელებთ თანასწორობას (1.1) და ვავსებთ მას ნაპოვნი შედეგით:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x") \ tag (1.2) $$

ვინაიდან $x"=1$, ჩვენ ვაგრძელებთ თანასწორობას (1.2):

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x")=e^(\cos x)\cdot (-\sin x\cdot 1)=-\sin x\cdot e^(\cos x) \ tag (1.3) $$

ასე რომ, ტოლობიდან (1.3) გვაქვს: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$. ბუნებრივია, ახსნა-განმარტებები და შუალედური ტოლობები ჩვეულებრივ გამოტოვებულია, წარმოებულის დაწერა ერთ სტრიქონში, როგორც ტოლობაში. (1.3) ასე რომ, ნაპოვნია რთული ფუნქციის წარმოებული, რჩება მხოლოდ პასუხის ჩაწერა.

უპასუხე: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$.

მაგალითი #2

იპოვეთ $y=9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x)$ ფუნქციის წარმოებული.

ჩვენ უნდა გამოვთვალოთ წარმოებული $y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. დასაწყისისთვის, ჩვენ აღვნიშნავთ, რომ მუდმივი (ანუ რიცხვი 9) შეიძლება ამოღებულ იქნას წარმოებულის ნიშნიდან:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)" \ tag (2.1) $$

ახლა მივმართოთ გამოთქმას $\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. წარმოებულების ცხრილიდან სასურველი ფორმულის არჩევის გასაადვილებლად წარმოგიდგენთ გამონათქვამს. შეკითხვა ამ ფორმით: $\left( \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(12)\right)"$. ახლა გასაგებია, რომ აუცილებელია No2 ფორმულის გამოყენება, ე.ი. $\left(u^\alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. ჩაანაცვლეთ $u=\arctg(4\cdot \ln x)$ და $\alpha=12$ ამ ფორმულაში:

ტოლობის (2.1) შევსების შედეგად მიღებული შედეგი გვაქვს:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"= 108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))" \ tag (2.2) $$

ამ სიტუაციაში ხშირად უშვებს შეცდომას, როდესაც ამომხსნელი პირველ საფეხურზე ირჩევს ფორმულას $(\arctg \; u)"=\frac(1)(1+u^2)\cdot u"$ ფორმულის ნაცვლად. $\left(u^\ alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. საქმე იმაშია, რომ ჯერ უნდა მოიძებნოს გარე ფუნქციის წარმოებული. იმის გასაგებად, თუ რომელი ფუნქცია იქნება $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$ გარე გამოხატვისთვის, წარმოიდგინეთ, რომ თქვენ ითვლით გამოხატვის $\arctg^(12)(4\cdot 5^) მნიშვნელობას. x)$ გარკვეული ღირებულებისთვის $x$. ჯერ გამოთვალეთ $5^x$-ის მნიშვნელობა, შემდეგ გაამრავლეთ შედეგი 4-ზე და მიიღეთ $4\cdot 5^x$. ახლა ამ შედეგიდან ვიღებთ არქტანგენტს, ვიღებთ $\arctg(4\cdot 5^x)$. შემდეგ მივიღებთ მიღებულ რიცხვს მეთორმეტე ხარისხამდე, ვიღებთ $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$. ბოლო მოქმედება, ე.ი. ამაღლება 12-ის სიმძლავრემდე, - და იქნება გარე ფუნქცია. და სწორედ აქედან უნდა დაიწყოს წარმოებულის პოვნა, რომელიც გაკეთდა თანასწორობაში (2.2).

ახლა ჩვენ უნდა ვიპოვოთ $(\arctg(4\cdot \ln x))"$. ჩვენ ვიყენებთ წარმოებულების ცხრილის ფორმულას No. 19, ჩავანაცვლებთ მასში $u=4\cdot \ln x$:

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

მოდით ოდნავ გავამარტივოთ მიღებული გამოხატულება $(4\cdot \ln x)^2=4^2\cdot (\ln x)^2=16\cdot \ln^2 x$-ის გათვალისწინებით.

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)"=\frac( 1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

ტოლობა (2.2) ახლა გახდება:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \მარჯვნივ)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" \ tag (2.3) $$

რჩება $(4\cdot \ln x)"$-ის პოვნა. ჩვენ ვიღებთ მუდმივას (ანუ 4) წარმოებულის ნიშნიდან: $(4\cdot \ln x)"=4\cdot (\ln x )"$. იმისათვის, რომ ვიპოვოთ $(\ln x)"$, ვიყენებთ ფორმულას No. 8, ჩანაცვლებით $u=x$ მასში: $(\ln x)"=\frac(1)(x) \cdot x"$. ვინაიდან $x"=1$, მაშინ $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x"=\frac(1)(x)\cdot 1=\frac(1)(x) $ მიღებული შედეგის (2.3) ფორმულით ჩანაცვლებით, მივიღებთ:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \მარჯვნივ)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" =\\ =108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \მარჯვნივ)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot 4\ cdot \frac(1)(x)=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x)).$ $

შეგახსენებთ, რომ რთული ფუნქციის წარმოებული ყველაზე ხშირად ერთ სტრიქონშია, როგორც ეს ბოლო ტოლობაში წერია. ამიტომ, სტანდარტული გამოთვლების ან ტესტების გაკეთებისას, სულაც არ არის საჭირო ხსნარის დახატვა იმავე დეტალებში.

უპასუხე: $y"=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x))$.

მაგალითი #3

იპოვეთ $y"$ ფუნქციის $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))$.

პირველ რიგში, მოდით ოდნავ გადავცვალოთ $y$ ფუნქცია რადიკალის (root) სიმძლავრის სახით გამოსახვით: $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))=\left(\sin(5\cdot 9). ^x) \მარჯვნივ)^(\frac(3)(7))$. ახლა დავიწყოთ წარმოებულის პოვნა. ვინაიდან $y=\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))$, მაშინ:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)" \tag (3.1) $$

ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას No2 წარმოებულების ცხრილიდან, ჩანაცვლებით $u=\sin(5\cdot 9^x)$ და $\alpha=\frac(3)(7)$ მასში:

$$ \left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"= \frac(3)(7)\cdot \left( \sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7)-1) (\sin(5\cdot 9^x))"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" $$

ვაგრძელებთ ტოლობას (3.1) მიღებული შედეგის გამოყენებით:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" \ tag (3.2) $$

ახლა ჩვენ უნდა ვიპოვოთ $(\sin(5\cdot 9^x))"$. ამისთვის ვიყენებთ ფორმულას No. 9 წარმოებულების ცხრილიდან, ჩავანაცვლებთ მასში $u=5\cdot 9^x$:

$$ (\sin(5\cdot 9^x))"=\cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)" $$

ტოლობის (3.2) შევსების შედეგად მიღებული შედეგი გვაქვს:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)" \ tag (3.3) $$

რჩება $(5\cdot 9^x)"$-ის პოვნა. პირველ რიგში, ჩვენ ვიღებთ მუდმივას (რიცხვი $5$) წარმოებულის ნიშნიდან, ანუ $(5\cdot 9^x)"=5\ cdot (9^x) "$. $(9^x)"$ წარმოებულის საპოვნელად, გამოვიყენებთ წარმოებულთა ცხრილის მე-5 ფორმულას, ჩავანაცვლებთ მასში $a=9$ და $u=x$: $. (9^x)"=9^x\cdot \ ln9\cdot x"$. ვინაიდან $x"=1$, მაშინ $(9^x)"=9^x\cdot \ln9\cdot x"=9^x\cdot \ln9$. ახლა შეგვიძლია გავაგრძელოთ თანასწორობა (3.3):

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)"= \frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9 ^x)\cdot 5\cdot 9^x\cdot \ln9=\\ =\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right) ^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x. $$

თქვენ შეგიძლიათ დაუბრუნდეთ ძალაუფლებიდან რადიკალებს (მაგ. ფესვებს) $\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))$-ად დაწერით $\ frac(1) )(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(4)(7)))=\frac(1)(\sqrt(\sin^4(5\ cdot 9^ x)))$. შემდეგ წარმოებული დაიწერება შემდეგი ფორმით:

$$ y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x= \frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x) (\sqrt(\sin^4(5\cdot 9^x))) $$

უპასუხე: $y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x)(\sqrt(\sin^4(5\ cdot 9^x)))$.

მაგალითი #4

აჩვენეთ, რომ წარმოებულთა ცხრილის No3 და No4 ფორმულები ამ ცხრილის No2 ფორმულის განსაკუთრებული შემთხვევაა.

წარმოებულთა ცხრილის No2 ფორმულაში იწერება $u^\alpha$ ფუნქციის წარმოებული. $\alpha=-1$ ჩანაცვლებით ფორმულაში #2, მივიღებთ:

$$(u^(-1))"=-1\cdot u^(-1-1)\cdot u"=-u^(-2)\cdot u"\tag (4.1)$$

ვინაიდან $u^(-1)=\frac(1)(u)$ და $u^(-2)=\frac(1)(u^2)$, თანასწორობა (4.1) შეიძლება გადაიწეროს შემდეგნაირად: $ \left(\frac(1)(u) \right)"=-\frac(1)(u^2)\cdot u"$. ეს არის წარმოებულების ცხრილის ფორმულა ნომერი 3.

კვლავ მივმართოთ წარმოებულების ცხრილის No2 ფორმულას. ჩაანაცვლეთ $\alpha=\frac(1)(2)$ მასში:

$$\left(u^(\frac(1)(2))\right)"=\frac(1)(2)\cdot u^(\frac(1)(2)-1)\cdot u" =\frac(1)(2)u^(-\frac(1)(2))\cdot u"\tag (4.2) $$

ვინაიდან $u^(\frac(1)(2))=\sqrt(u)$ და $u^(-\frac(1)(2))=\frac(1)(u^(\frac(1) )(2)))=\frac(1)(\sqrt(u))$, მაშინ ტოლობა (4.2) შეიძლება გადაიწეროს შემდეგნაირად:

$$ (\sqrt(u))"=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(u))\cdot u"=\frac(1)(2\sqrt(u) )\cdot u" $$

შედეგად მიღებული ტოლობა $(\sqrt(u))"=\frac(1)(2\sqrt(u))\cdot u"$ არის წარმოებულების ცხრილის ფორმულა No. 4. როგორც ხედავთ, წარმოებულების ცხრილის No3 და No4 ფორმულები მიღებულია No2 ფორმულიდან $\alpha$-ის შესაბამისი მნიშვნელობის ჩანაცვლებით.

მოცემულია წარმოებულების გამოთვლის მაგალითები რთული ფუნქციის წარმოებულის ფორმულის გამოყენებით.

შინაარსი

Იხილეთ ასევე: რთული ფუნქციის წარმოებულის ფორმულის დადასტურება

ძირითადი ფორმულები

აქ მოცემულია შემდეგი ფუნქციების წარმოებულების გამოთვლის მაგალითები:
; ; ; ; .

თუ ფუნქცია შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც რთული ფუნქცია შემდეგი ფორმით:
,
მაშინ მისი წარმოებული განისაზღვრება ფორმულით:
.
ქვემოთ მოცემულ მაგალითებში ჩვენ დავწერთ ამ ფორმულას შემდეგი ფორმით:
.
სად .
აქ ქვესკრიპტები ან , რომლებიც მდებარეობს წარმოებულის ნიშნის ქვეშ, აღნიშნავენ ცვლადს, რომლის მიმართაც ხდება დიფერენციაცია.

ჩვეულებრივ, წარმოებულების ცხრილებში მოცემულია x ცვლადის ფუნქციების წარმოებულები. თუმცა, x ​​არის ფორმალური პარამეტრი. x ცვლადი შეიძლება შეიცვალოს ნებისმიერი სხვა ცვლადით. ამიტომ, ფუნქციის ცვლადისგან დიფერენცირებისას, წარმოებულების ცხრილში უბრალოდ ვცვლით x ცვლადს u ცვლადში.

მარტივი მაგალითები

მაგალითი 1

იპოვეთ რთული ფუნქციის წარმოებული
.

მოცემულ ფუნქციას ვწერთ ექვივალენტური ფორმით:
.
წარმოებულების ცხრილში ვხვდებით:
;
.

რთული ფუნქციის წარმოებულის ფორმულის მიხედვით გვაქვს:
.
Აქ .

მაგალითი 2

იპოვეთ წარმოებული
.

ჩვენ ამოვიღებთ მუდმივ 5-ს წარმოებულის ნიშნის მიღმა და წარმოებულების ცხრილიდან ვპოულობთ:
.

.
Აქ .

მაგალითი 3

იპოვეთ წარმოებული
.

ვიღებთ მუდმივს -1 წარმოებულის ნიშნისთვის და წარმოებულების ცხრილიდან ვპოულობთ:
;
წარმოებულების ცხრილიდან ვხვდებით:
.

ჩვენ ვიყენებთ რთული ფუნქციის წარმოებულის ფორმულას:
.
Აქ .

უფრო რთული მაგალითები

უფრო რთულ მაგალითებში ჩვენ რამდენჯერმე ვიყენებთ რთული ფუნქციის დიფერენციაციის წესს. ამით ჩვენ ვიანგარიშებთ წარმოებულს ბოლოდან. ანუ, ჩვენ ვყოფთ ფუნქციას მის შემადგენელ ნაწილებად და ვიპოვით უმარტივესი ნაწილების წარმოებულებს გამოყენებით წარმოებული ცხრილი. ჩვენც მივმართავთ ჯამის დიფერენციაციის წესები, პროდუქტები და ფრაქციები . შემდეგ ვაკეთებთ ჩანაცვლებებს და ვიყენებთ რთული ფუნქციის წარმოებულის ფორმულას.

მაგალითი 4

იპოვეთ წარმოებული
.

ვირჩევთ ფორმულის უმარტივეს ნაწილს და ვიპოვით მის წარმოებულს. .

.
აქ ჩვენ გამოვიყენეთ აღნიშვნა
.

ჩვენ ვპოულობთ ორიგინალური ფუნქციის შემდეგი ნაწილის წარმოებულს მიღებული შედეგების გამოყენებით. ჩვენ ვიყენებთ ჯამის დიფერენციაციის წესს:
.

კიდევ ერთხელ ვიყენებთ რთული ფუნქციის დიფერენციაციის წესს.

.
Აქ .

მაგალითი 5

იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული
.

ჩვენ ვირჩევთ ფორმულის უმარტივეს ნაწილს და ვიპოვით მის წარმოებულს წარმოებულების ცხრილიდან. .

ჩვენ ვიყენებთ რთული ფუნქციის დიფერენციაციის წესს.
.
Აქ
.

ჩვენ განვასხვავებთ შემდეგ ნაწილს მიღებული შედეგების გამოყენებით.
.
Აქ
.

მოდით განვასხვავოთ შემდეგი ნაწილი.

.
Აქ
.

ახლა ჩვენ ვიპოვით სასურველი ფუნქციის წარმოებულს.

.
Აქ
.

Იხილეთ ასევე:

ამ გაკვეთილზე ჩვენ ვისწავლით როგორ მოვძებნოთ რთული ფუნქციის წარმოებული. გაკვეთილი არის გაკვეთილის ლოგიკური გაგრძელება როგორ მოვძებნოთ წარმოებული?, რომელზედაც გავაანალიზეთ უმარტივესი წარმოებულები, ასევე გავეცანით დიფერენციაციის წესებს და წარმოებულების პოვნის რამდენიმე ტექნიკურ მეთოდს. ამრიგად, თუ თქვენ არ ხართ ძალიან კარგად ფუნქციების წარმოებულები ან ამ სტატიის ზოგიერთი პუნქტი არ არის ბოლომდე გასაგები, მაშინ ჯერ წაიკითხეთ ზემოთ მოცემული გაკვეთილი. გთხოვთ, სერიოზულ განწყობას შეუდგეთ - მასალა ადვილი არ არის, მაგრამ მაინც შევეცდები მარტივად და ნათლად წარმოვაჩინო.

პრაქტიკაში, რთული ფუნქციის წარმოებულთან ძალიან ხშირად გიწევს საქმე, მე ვიტყოდი, თითქმის ყოველთვის, როცა დავალებებს აძლევენ წარმოებულების პოვნას.

ცხრილში განვიხილავთ კომპლექსური ფუნქციის დიფერენცირების წესს (No5):

ჩვენ გვესმის. პირველ რიგში, მოდით შევხედოთ აღნიშვნას. აქ გვაქვს ორი ფუნქცია - და , და ფუნქცია, ფიგურალურად რომ ვთქვათ, ჩადებულია ფუნქციაში. ამ ტიპის ფუნქციას (როდესაც ერთი ფუნქცია მეორეშია ჩადგმული) რთული ფუნქცია ეწოდება.

ფუნქციას გამოვიძახებ გარე ფუნქციადა ფუნქცია – შიდა (ან წყობილი) ფუნქცია.

! ეს განმარტებები არ არის თეორიული და არ უნდა გამოჩნდეს დავალებების საბოლოო დიზაინში. არაფორმალურ გამოთქმებს „გარე ფუნქცია“, „შინაგანი“ ფუნქცია ვიყენებ მხოლოდ იმისთვის, რომ გაგიადვილოთ მასალის გაგება.

სიტუაციის გასარკვევად, განიხილეთ:

მაგალითი 1

იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული

სინუსის ქვეშ ჩვენ გვაქვს არა მხოლოდ ასო "x", არამედ მთელი გამოხატულება, ასე რომ, წარმოებულის პოვნა ცხრილიდან დაუყოვნებლივ არ იმუშავებს. ჩვენ ასევე ვამჩნევთ, რომ აქ პირველი ოთხი წესის გამოყენება შეუძლებელია, როგორც ჩანს, განსხვავებაა, მაგრამ ფაქტია, რომ შეუძლებელია სინუსის „დაშლა“:

ამ მაგალითში, უკვე ჩემი ახსნა-განმარტებიდან, ინტუიციურად ირკვევა, რომ ფუნქცია რთული ფუნქციაა, ხოლო მრავალწევრი არის შიდა ფუნქცია (ჩანერგვა) და გარე ფუნქცია.

Პირველი ნაბიჯი, რომელიც უნდა შესრულდეს რთული ფუნქციის წარმოებულის პოვნისას არის გაიგე, რომელი ფუნქციაა შიდა და რომელი გარე.

მარტივი მაგალითების შემთხვევაში, აშკარად ჩანს, რომ პოლინომი მოთავსებულია სინუსის ქვეშ. მაგრამ რა მოხდება, თუ ეს არ არის აშკარა? როგორ განვსაზღვროთ ზუსტად რომელი ფუნქციაა გარე და რომელი შიდა? ამისათვის მე გთავაზობთ შემდეგი ტექნიკის გამოყენებას, რომელიც შეიძლება განხორციელდეს გონებრივად ან მონახაზზე.

წარმოვიდგინოთ, რომ ჩვენ უნდა გამოვთვალოთ გამოთქმის მნიშვნელობა კალკულატორით (ერთის ნაცვლად შეიძლება იყოს ნებისმიერი რიცხვი).

რა გამოვთვალოთ პირველ რიგში? პირველ რიგშითქვენ უნდა შეასრულოთ შემდეგი მოქმედება: , ასე რომ, მრავალწევრი იქნება შიდა ფუნქცია:

მეორეცუნდა მოიძებნოს, ამიტომ სინუსი იქნება გარე ფუნქცია:

ჩვენ შემდეგ გაიგეშიდა და გარე ფუნქციებით, დროა გამოვიყენოთ რთული ფუნქციების დიფერენციაციის წესი.

ჩვენ ვიწყებთ გადაწყვეტილების მიღებას. გაკვეთილიდან როგორ მოვძებნოთ წარმოებული?ჩვენ გვახსოვს, რომ ნებისმიერი წარმოებულის ამოხსნის დიზაინი ყოველთვის იწყება ასე - ჩვენ ვამაგრებთ გამონათქვამს ფრჩხილებში და ვათავსებთ შტრიხს ზედა მარჯვნივ:

Პირველადვპოულობთ გარეგანი ფუნქციის წარმოებულს (სინუსს), დავაკვირდებით ელემენტარული ფუნქციების წარმოებულთა ცხრილს და ვამჩნევთ, რომ . ყველა ცხრილის ფორმულა გამოიყენება მაშინაც კი, თუ "x" ჩანაცვლებულია რთული გამოსახულებით, ამ შემთხვევაში:

გაითვალისწინეთ, რომ შიდა ფუნქცია არ შეცვლილა, არ ვეხებით.

ისე, ეს სრულიად აშკარაა

ფორმულის გამოყენების საბოლოო შედეგი ასე გამოიყურება:

მუდმივი ფაქტორი ჩვეულებრივ მოთავსებულია გამოხატვის დასაწყისში:

თუ რაიმე გაუგებრობაა, დაწერეთ გადაწყვეტილება ქაღალდზე და ხელახლა წაიკითხეთ განმარტებები.

მაგალითი 2

იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული

მაგალითი 3

იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული

როგორც ყოველთვის, ჩვენ ვწერთ:

ჩვენ ვხვდებით, სად გვაქვს გარეგანი ფუნქცია და სად არის შიდა. ამისათვის ჩვენ ვცდილობთ (გონებრივად ან მონახაზზე) გამოვთვალოთ გამოხატვის მნიშვნელობა . რა უნდა გაკეთდეს პირველ რიგში? უპირველეს ყოვლისა, თქვენ უნდა გამოთვალოთ, თუ რას უდრის ფუძე:, რაც ნიშნავს, რომ მრავალწევრი არის შიდა ფუნქცია:

და, მხოლოდ ამის შემდეგ ხორციელდება ექსპონენტაცია, შესაბამისად, დენის ფუნქცია არის გარე ფუნქცია:

ფორმულის მიხედვით, ჯერ უნდა იპოვოთ გარე ფუნქციის წარმოებული, ამ შემთხვევაში, ხარისხი. ჩვენ ვეძებთ სასურველ ფორმულას ცხრილში:. კიდევ ერთხელ ვიმეორებთ: ნებისმიერი ცხრილის ფორმულა მოქმედებს არა მხოლოდ "x", არამედ რთული გამოსახულებისთვისაც. ამრიგად, რთული ფუნქციის დიფერენცირების წესის გამოყენების შედეგი შემდეგია:

კიდევ ერთხელ ხაზს ვუსვამ, რომ როდესაც ვიღებთ გარე ფუნქციის წარმოებულს, შიდა ფუნქცია არ იცვლება:

ახლა რჩება შიდა ფუნქციის ძალიან მარტივი წარმოებულის პოვნა და შედეგის ოდნავ "დავარცხნა":

მაგალითი 4

იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული

ეს არის მაგალითი თვითგამორკვევისთვის (პასუხი გაკვეთილის ბოლოს).

რთული ფუნქციის წარმოებულის გაგების გასამყარებლად, კომენტარის გარეშე მივცემ მაგალითს, შეეცადეთ თავად გაარკვიოთ, მიზეზი, სად არის გარეგანი და სად შინაგანი ფუნქცია, რატომ წყდება ამოცანები ასე?

მაგალითი 5

ა) იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული

ბ) იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული

მაგალითი 6

იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული

აქ გვაქვს ფესვი და ფესვის დიფერენცირების მიზნით, ის უნდა იყოს წარმოდგენილი როგორც ხარისხი. ამრიგად, ჩვენ პირველ რიგში მივყავართ ფუნქციას დიფერენციაციისთვის შესაბამის ფორმაში:

ფუნქციის გაანალიზებისას მივდივართ დასკვნამდე, რომ სამი წევრის ჯამი შიდა ფუნქციაა, სიმძლავრე კი გარეგანი ფუნქციაა. ჩვენ ვიყენებთ რთული ფუნქციის დიფერენციაციის წესს:

ხარისხი კვლავ წარმოდგენილია როგორც რადიკალი (ფესვი), ხოლო შინაგანი ფუნქციის წარმოებულისთვის ვიყენებთ ჯამის დიფერენცირების მარტივ წესს:

მზადაა. თქვენ ასევე შეგიძლიათ გამოთქმა საერთო მნიშვნელამდე მიიყვანოთ ფრჩხილებში და დაწეროთ ყველაფერი ერთ წილადად. რა თქმა უნდა, მშვენიერია, მაგრამ როდესაც უხერხული გრძელი წარმოებულები მიიღება, უმჯობესია არ გააკეთოთ ეს (ადვილია დაბნეულობა, არასაჭირო შეცდომის დაშვება და მასწავლებლისთვის უხერხული იქნება შემოწმება).

მაგალითი 7

იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული

ეს არის მაგალითი თვითგამორკვევისთვის (პასუხი გაკვეთილის ბოლოს).

საინტერესოა აღინიშნოს, რომ ზოგჯერ რთული ფუნქციის დიფერენცირების წესის ნაცვლად შეიძლება გამოვიყენოთ კოეფიციენტის დიფერენცირების წესი. , მაგრამ ასეთი გამოსავალი გარყვნილებას სასაცილოდ გამოიყურება. აქ არის ტიპიური მაგალითი:

მაგალითი 8

იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული

აქ შეგიძლიათ გამოიყენოთ კოეფიციენტის დიფერენცირების წესი , მაგრამ ბევრად უფრო მომგებიანია წარმოებულის პოვნა რთული ფუნქციის დიფერენციაციის წესით:

ჩვენ ვამზადებთ ფუნქციას დიფერენციაციისთვის - ამოვიღებთ წარმოებულის მინუს ნიშანს და ვზრდით კოსინუსს მრიცხველამდე:

კოსინუსი არის შინაგანი ფუნქცია, ექსპონენტაცია გარეგანი ფუნქციაა.
მოდით გამოვიყენოთ ჩვენი წესი:

ჩვენ ვპოულობთ შიდა ფუნქციის წარმოებულს, კოსინუსს უკან ვაყენებთ:

მზადაა. განხილულ მაგალითში მნიშვნელოვანია, რომ ნიშნებში არ დაიბნეთ. სხვათა შორის, შეეცადეთ მოაგვაროთ ეს წესით , პასუხები უნდა ემთხვეოდეს.

მაგალითი 9

იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული

ეს არის მაგალითი თვითგამორკვევისთვის (პასუხი გაკვეთილის ბოლოს).

აქამდე განვიხილეთ შემთხვევები, როცა კომპლექსურ ფუნქციაში მხოლოდ ერთი ბუდე გვქონდა. პრაქტიკულ ამოცანებში ხშირად შეგიძლიათ იპოვოთ წარმოებულები, სადაც მობუდული თოჯინების მსგავსად, ერთი მეორეში, ერთდროულად 3 ან თუნდაც 4-5 ფუნქციაა ჩასმული.

მაგალითი 10

იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული

ჩვენ გვესმის ამ ფუნქციის დანართები. ჩვენ ვცდილობთ შევაფასოთ გამოხატულება ექსპერიმენტული მნიშვნელობის გამოყენებით. როგორ ვითვლით კალკულატორს?

ჯერ უნდა იპოვოთ, რაც ნიშნავს, რომ რკალი არის ყველაზე ღრმა ბუდე:

მაშინ ერთიანობის ეს რკალი უნდა დაიწიოს კვადრატში:

და ბოლოს, ჩვენ ვაყენებთ შვიდს ძალამდე:

ანუ, ამ მაგალითში გვაქვს სამი განსხვავებული ფუნქცია და ორი ბუდე, ხოლო ყველაზე შიდა ფუნქცია არის რკალი, ხოლო ყველაზე გარე ფუნქცია არის ექსპონენციალური ფუნქცია.

ჩვენ ვიწყებთ გადაწყვეტილების მიღებას

წესის მიხედვით, ჯერ უნდა აიღოთ გარე ფუნქციის წარმოებული. ჩვენ ვათვალიერებთ წარმოებულთა ცხრილს და ვპოულობთ ექსპონენციალური ფუნქციის წარმოებულს: ერთადერთი განსხვავება ისაა, რომ „x“-ის ნაცვლად გვაქვს რთული გამოხატულება, რომელიც არ უარყოფს ამ ფორმულის ნამდვილობას. ასე რომ, რთული ფუნქციის დიფერენცირების წესის გამოყენების შედეგი შემდეგია:

ტირე ქვეშ, ჩვენ კვლავ გვაქვს სახიფათო ფუნქცია! მაგრამ ეს უკვე უფრო ადვილია. ადვილი მისახვედრია, რომ შიდა ფუნქცია არის რკალი, ხოლო გარე ფუნქცია არის ხარისხი. რთული ფუნქციის დიფერენციაციის წესის მიხედვით, ჯერ უნდა აიღოთ ხარისხის წარმოებული.