თვითნებური მუდმივთა ვარიაციის მეთოდი

თვითნებური მუდმივების ცვალებადობის მეთოდი წრფივი არაჰომოგენური დიფერენციალური განტოლების ამოხსნის ასაგებად

ა ნ (ტ)ზ (ნ) (ტ) + ა ნ − 1 (ტ)ზ (ნ − 1) (ტ) + ... + ა 1 (ტ)ზ"(ტ) + ა 0 (ტ)ზ(ტ) = ვ(ტ)

შედგება თვითნებური მუდმივების შეცვლაში გ კსაერთო გადაწყვეტილებაში

ზ(ტ) = გ 1 ზ 1 (ტ) + გ 2 ზ 2 (ტ) + ... + გ ნ ზ ნ (ტ)

შესაბამისი ერთგვაროვანი განტოლება

ა ნ (ტ)ზ (ნ) (ტ) + ა ნ − 1 (ტ)ზ (ნ − 1) (ტ) + ... + ა 1 (ტ)ზ"(ტ) + ა 0 (ტ)ზ(ტ) = 0

დამხმარე ფუნქციებისთვის გ კ (ტ) , რომლის წარმოებულები აკმაყოფილებს ხაზოვან ალგებრულ სისტემას

სისტემის (1) განმსაზღვრელი არის ფუნქციების ვრონსკი ზ 1 ,ზ 2 ,...,ზ ნ , რაც უზრუნველყოფს მის უნიკალურ ხსნადობას .

თუ ინტეგრაციის მუდმივების ფიქსირებული მნიშვნელობებით მიღებული ანტიდერივატივებია, მაშინ ფუნქცია

არის საწყისი წრფივი არაჰომოგენური დიფერენციალური განტოლების ამონახსნი. ამგვარად, არაჰომოგენური განტოლების ინტეგრაცია შესაბამისი ერთგვაროვანი განტოლების ზოგადი ამონახსნის არსებობისას მცირდება კვადრატებამდე.

თვითნებური მუდმივების ცვალებადობის მეთოდი ხაზოვანი დიფერენციალური განტოლებების სისტემის ამონახსნების ასაგებად ვექტორული ნორმალური ფორმით

შედგება კონკრეტული ხსნარის (1) ფორმით

სადაც ზ(ტ) არის შესაბამისი ერთგვაროვანი განტოლების ამონახსნების საფუძველი, დაწერილი მატრიცის სახით და ვექტორული ფუნქცია, რომელმაც ჩაანაცვლა თვითნებური მუდმივების ვექტორი, განისაზღვრება მიმართებით. სასურველი კონკრეტული გადაწყვეტა (ნულოვანი საწყისი მნიშვნელობებით ტ = ტ 0 აქვს ფორმა

მუდმივი კოეფიციენტების მქონე სისტემისთვის, ბოლო გამოხატულება გამარტივებულია:

მატრიცა ზ(ტ)ზ− 1 (τ)დაურეკა კოშის მატრიცაოპერატორი ლ = ა(ტ) .

თვითნებური მუდმივის ვარიაციის მეთოდი, ან ლაგრანგის მეთოდი, არის პირველი რიგის წრფივი დიფერენციალური განტოლებების და ბერნულის განტოლების ამოხსნის კიდევ ერთი გზა.

პირველი რიგის წრფივი დიფერენციალური განტოლებები არის y’+p(x)y=q(x) ფორმის განტოლებები. თუ მარჯვენა მხარე ნულია: y’+p(x)y=0, მაშინ ეს არის წრფივი ერთგვაროვანი 1 რიგის განტოლება. შესაბამისად, განტოლება არანულოვანი მარჯვენა გვერდით, y’+p(x)y=q(x), — ჰეტეროგენული 1 რიგის წრფივი განტოლება.

თვითნებური მუდმივი ვარიაციის მეთოდი (ლაგრანგის მეთოდი) შედგება შემდეგი:

1) ჩვენ ვეძებთ ერთგვაროვანი განტოლების ზოგად ამოხსნას y’+p(x)y=0: y=y*.

2) ზოგად ამონახსნში C ითვლება არა მუდმივად, არამედ x-ის ფუნქციად: C=C(x). ჩვენ ვპოულობთ ზოგადი ამონახსნის წარმოებულს (y*)' და მიღებული გამოხატულებით ვცვლით y* და (y*)' საწყის მდგომარეობაში. მიღებული განტოლებიდან ვპოულობთ С(x) ფუნქციას.

3) ერთგვაროვანი განტოლების ზოგად ამოხსნაში C-ის ნაცვლად ვცვლით ნაპოვნი გამოსახულებას C (x).

განვიხილოთ მაგალითები თვითნებური მუდმივის ვარიაციის მეთოდის შესახებ. ავიღოთ იგივე ამოცანები, როგორც ში, შევადაროთ ამოხსნის მიმდინარეობა და დავრწმუნდეთ, რომ მიღებული პასუხები ერთნაირია.

1) y'=3x-y/x

მოდით გადავიწეროთ განტოლება სტანდარტული ფორმით (ბერნულის მეთოდისგან განსხვავებით, სადაც აღნიშვნა გვჭირდებოდა მხოლოდ იმის დასანახად, რომ განტოლება წრფივია).

y'+y/x=3x (I). ახლა გეგმის მიხედვით მივდივართ.

1) ვხსნით ერთგვაროვან განტოლებას y’+y/x=0. ეს არის განცალკევებული ცვლადი განტოლება. წარმოადგინეთ y’=dy/dx, შემცვლელი: dy/dx+y/x=0, dy/dx=-y/x. განტოლების ორივე ნაწილს ვამრავლებთ dx-ზე და ვყოფთ xy≠0-ზე: dy/y=-dx/x. ჩვენ ვაერთიანებთ:

2) ერთგვაროვანი განტოლების მიღებულ ზოგად ამოხსნაში С განვიხილავთ არა მუდმივ, არამედ x-ის ფუნქციას: С=С(x). აქედან

მიღებული გამონათქვამები ჩანაცვლებულია პირობით (I):

ჩვენ ვაერთიანებთ განტოლების ორივე ნაწილს:

აქ C უკვე ახალი მუდმივია.

3) y=C/x ერთგვაროვანი განტოლების ზოგად ამოხსნაში, სადაც განვიხილეთ С=С(x), ანუ y=C(x)/x, С(x)-ის ნაცვლად ვცვლით ნაპოვნი გამოსახულებას x³. +C: y=(x³ +C)/x ან y=x²+C/x. მივიღეთ იგივე პასუხი, რაც ბერნულის მეთოდით ამოხსნისას.

პასუხი: y=x²+C/x.

2) y'+y=cosx.

აქ განტოლება უკვე დაწერილია სტანდარტული ფორმით, არ არის საჭირო გადაკეთება.

1) ვხსნით ერთგვაროვან წრფივ განტოლებას y’+y=0: dy/dx=-y; dy/y=-dx. ჩვენ ვაერთიანებთ:

უფრო მოსახერხებელი აღნიშვნის მისაღებად, ჩვენ ავიღებთ მაჩვენებელს C-ის ხარისხზე, როგორც ახალ C-ს:

ეს ტრანსფორმაცია განხორციელდა იმისათვის, რომ უფრო მოსახერხებელი ყოფილიყო წარმოებულის პოვნა.

2) წრფივი ერთგვაროვანი განტოლების მიღებულ საერთო ამონახსნისას С განვიხილავთ არა მუდმივ, არამედ x-ის ფუნქციას: С=С(x). ამ პირობით

მიღებული გამონათქვამები y და y' ჩანაცვლებულია პირობით:

გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე

ჩვენ ვაერთიანებთ განტოლების ორივე ნაწილს ინტეგრაციის ნაწილების ფორმულის გამოყენებით, მივიღებთ:

აქ C აღარ არის ფუნქცია, არამედ ჩვეულებრივი მუდმივი.

3) ერთგვაროვანი განტოლების ზოგად ამოხსნაში

ჩვენ ვცვლით ნაპოვნი ფუნქცია С(x):

მივიღეთ იგივე პასუხი, რაც ბერნულის მეთოდით ამოხსნისას.

თვითნებური მუდმივის ვარიაციის მეთოდი ასევე გამოიყენება ამოხსნისთვის.

y'x+y=-xy².

განტოლებას მივყავართ სტანდარტულ ფორმამდე: y’+y/x=-y² (II).

1) ვხსნით ერთგვაროვან განტოლებას y’+y/x=0. dy/dx=-y/x. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე dx-ზე და გაყავით y-ზე: dy/y=-dx/x. ახლა მოდით ინტეგრირება:

მიღებულ გამონათქვამებს ვცვლით პირობით (II):

გამარტივება:

მივიღეთ განტოლება განცალკევებული ცვლადებით C და x-სთვის:

აქ C უკვე ჩვეულებრივი მუდმივია. ინტეგრაციის პროცესში C(x-ის ნაცვლად) უბრალოდ დავწერეთ C, რათა არ გადატვირთოთ აღნიშვნა. და ბოლოს დავუბრუნდით C(x)-ს, რათა არ აგვერიოს C(x) ახალ C-ში.

3) ნაპოვნი С(x) ფუნქციას ვცვლით y=C(x)/x ერთგვაროვანი განტოლების ზოგად ამონახსნით:

მივიღეთ იგივე პასუხი, რაც ბერნულის მეთოდით ამოხსნისას.

მაგალითები თვითშემოწმებისთვის:

1. გადავიწეროთ განტოლება სტანდარტული ფორმით: y'-2y=x.

1) ვხსნით ერთგვაროვან განტოლებას y'-2y=0. y’=dy/dx, აქედან გამომდინარე, dy/dx=2y, გავამრავლოთ განტოლების ორივე მხარე dx-ზე, გავყოთ y-ზე და გავაერთიანოთ:

აქედან ჩვენ ვპოულობთ y:

ჩვენ ვცვლით y-ს და y-ს გამონათქვამებს პირობით (მოკლედობისთვის, C-ის ნაცვლად C (x)-ის ნაცვლად C-ს და C-ს ნაცვლად C-ს (x) მივაყენებთ):

მარჯვენა მხარეს ინტეგრალის საპოვნელად ვიყენებთ ინტეგრაციის ნაწილების ფორმულას:

ახლა ჩვენ ვცვლით u, du და v ფორმულაში:

აქ C = const.

3) ახლა ჩვენ შევცვლით ერთგვაროვან ხსნარს

ლექცია 44. მეორე რიგის წრფივი არაერთგვაროვანი განტოლებები. თვითნებური მუდმივების ვარიაციის მეთოდი. მეორე რიგის წრფივი არაერთგვაროვანი განტოლებები მუდმივი კოეფიციენტებით. (სპეციალური მარჯვენა მხარე).

სოციალური გარდაქმნები. სახელმწიფო და ეკლესია.

ბოლშევიკების სოციალური პოლიტიკა დიდწილად მათი კლასობრივი მიდგომით იყო ნაკარნახევი. 1917 წლის 10 ნოემბრის დადგენილებით გაუქმდა სამკვიდრო სისტემა, გაუქმდა რევოლუციამდელი წოდებები, წოდებები და ჯილდოები. დადგენილია მოსამართლეთა არჩევა; განხორციელდა სამოქალაქო სახელმწიფოების სეკულარიზაცია. დააწესა უფასო განათლება და სამედიცინო მომსახურება (1918 წლის 31 ოქტომბრის დადგენილება). ქალები უფლებებში გაათანაბრეს მამაკაცებთან (1917 წლის 16 და 18 დეკემბრის დადგენილებები). ქორწინების შესახებ დადგენილებამ შემოიღო სამოქალაქო ქორწინების ინსტიტუტი.

სახალხო კომისართა საბჭოს 1918 წლის 20 იანვრის დადგენილებით ეკლესია გამოეყო სახელმწიფოს და განათლების სისტემას. ეკლესიის ქონების დიდი ნაწილი ჩამოერთვა. მოსკოვისა და სრულიად რუსეთის პატრიარქმა ტიხონმა (აირჩიეს 1917 წლის 5 ნოემბერს) 1918 წლის 19 იანვარს ანათემას უწოდა საბჭოთა ხელისუფლება და მოუწოდა ბოლშევიკების წინააღმდეგ ბრძოლისკენ.

განვიხილოთ წრფივი არაჰომოგენური მეორე რიგის განტოლება

ასეთი განტოლების ზოგადი ამოხსნის სტრუქტურა განისაზღვრება შემდეგი თეორემით:

თეორემა 1.არაჰომოგენური განტოლების (1) ზოგადი ამონახსნები წარმოდგენილია როგორც ამ განტოლების ზოგიერთი კონკრეტული ამონახსნის ჯამი და შესაბამისი ერთგვაროვანი განტოლების ზოგადი ამონახვა.

მტკიცებულება. ჩვენ უნდა დავამტკიცოთ, რომ თანხა

არის (1) განტოლების ზოგადი ამოხსნა. ჯერ დავამტკიცოთ, რომ ფუნქცია (3) არის (1) განტოლების ამონახსნი.

ჯამის ჩანაცვლება განტოლებაში (1) ნაცვლად ზე, მექნება

ვინაიდან არსებობს (2) განტოლების ამონახსნი, პირველ ფრჩხილებში გამოსახულება იდენტურად ნულის ტოლია. ვინაიდან არსებობს (1) განტოლების ამონახსნი, მეორე ფრჩხილებში გამოსახულება ტოლია f(x). ამიტომ, თანასწორობა (4) არის იდენტობა. ამრიგად, დადასტურებულია თეორემის პირველი ნაწილი.

დავამტკიცოთ მეორე მტკიცება: გამოთქმა (3) არის გენერალი(1) განტოლების ამოხსნა. ჩვენ უნდა დავამტკიცოთ, რომ ამ გამონათქვამში შემავალი თვითნებური მუდმივები შეიძლება შეირჩეს ისე, რომ დაკმაყოფილდეს საწყისი პირობები:

როგორიც არ უნდა იყოს რიცხვები x 0, y 0და (თუ მხოლოდ x 0აღებულია იმ ტერიტორიიდან, სადაც ფუნქციონირებს a 1, a 2და f(x)უწყვეტი).

შეამჩნია, რომ შესაძლებელია ფორმაში წარმოდგენა. შემდეგ, პირობებიდან გამომდინარე (5) გვაქვს

მოვაგვაროთ ეს სისტემა და ვიპოვოთ 1-დანდა 2-დან. მოდით გადავიწეროთ სისტემა შემდეგნაირად:

გაითვალისწინეთ, რომ ამ სისტემის განმსაზღვრელი არის ვრონსკის განმსაზღვრელი ფუნქციებისთვის 1და 2-ზეწერტილში x=x 0. ვინაიდან ეს ფუნქციები დაშვებით წრფივად დამოუკიდებელია, ვრონსკის განმსაზღვრელი არ არის ნულის ტოლი; შესაბამისად (6) სისტემას აქვს გარკვეული გადაწყვეტა 1-დანდა 2-დან, ე.ი. არის ასეთი ღირებულებები 1-დანდა 2-დან, რომლის ფორმულა (3) განსაზღვრავს (1) განტოლების ამონახსანს, რომელიც აკმაყოფილებს მოცემულ საწყის პირობებს. ქ.ე.დ.

მოდით მივმართოთ არაჰომოგენური განტოლების კონკრეტული ამონახსნების პოვნის ზოგად მეთოდს.

მოდით დავწეროთ ერთგვაროვანი განტოლების (2) ზოგადი ამონახსნი.

ჩვენ ვეძებთ არაერთგვაროვანი განტოლების (1) კონკრეტულ ამოხსნას (7) სახით, იმის გათვალისწინებით, რომ 1-დანდა 2-დანროგორც ზოგიერთი ჯერ კიდევ უცნობი თვისება X.

მოდით განვასხვავოთ თანასწორობა (7):

ჩვენ ვირჩევთ სასურველ ფუნქციებს 1-დანდა 2-დანისე რომ თანასწორობა

თუ ეს დამატებითი პირობა იქნება გათვალისწინებული, მაშინ პირველი წარმოებული იღებს ფორმას

ახლა ამ გამოთქმის დიფერენცირებისას ვხვდებით:

(1) განტოლებით ჩანაცვლებით ვიღებთ

პირველ ორ ფრჩხილში გამოთქმები ქრება იმიტომ y 1და y2არის ერთგვაროვანი განტოლების ამონახსნები. აქედან გამომდინარე, ბოლო თანასწორობა იღებს ფორმას

ამრიგად, ფუნქცია (7) იქნება არაერთგვაროვანი განტოლების (1) ამონახსნი თუ ფუნქციები 1-დანდა 2-დანდააკმაყოფილეთ განტოლებები (8) და (9). მოდით შევადგინოთ განტოლებათა სისტემა (8) და (9) განტოლებიდან.

ვინაიდან ამ სისტემის განმსაზღვრელი არის ვრონსკის განმსაზღვრელი წრფივი დამოუკიდებელი ამონახსნებისთვის y 1და y2განტოლება (2), მაშინ ის არ არის ნულის ტოლი. მაშასადამე, სისტემის გადაჭრისას ჩვენ ვიპოვით ორივე გარკვეულ ფუნქციას X:

ამ სისტემის გადაჭრისას ვხვდებით, საიდანაც ინტეგრაციის შედეგად ვიღებთ. შემდეგ, ჩვენ ვცვლით ნაპოვნი ფუნქციებს ფორმულაში, ვიღებთ არაჰომოგენური განტოლების ზოგად ამოხსნას, სადაც არის თვითნებური მუდმივები.

განხილულია მუდმივი კოეფიციენტებით უმაღლესი რიგის წრფივი არაერთგვაროვანი დიფერენციალური განტოლებების ამოხსნის მეთოდი ლაგრანჟის მუდმივთა ვარიაციის მეთოდით. ლაგრანგის მეთოდი ასევე გამოიყენება ნებისმიერი წრფივი არაერთგვაროვანი განტოლების გადასაჭრელად, თუ ცნობილია ერთგვაროვანი განტოლების ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემა.

შინაარსი

Იხილეთ ასევე:

ლაგრანგის მეთოდი (მუდმივების ცვალებადობა)

განვიხილოთ წრფივი არაჰომოგენური დიფერენციალური განტოლება თვითნებური n-ე რიგის მუდმივი კოეფიციენტებით:
(1) .
მუდმივი ვარიაციის მეთოდი, რომელიც ჩვენ განვიხილეთ პირველი რიგის განტოლებისთვის, ასევე გამოიყენება უმაღლესი რიგის განტოლებებზე.

ხსნარი ტარდება ორ ეტაპად. პირველ ეტაპზე ვაშორებთ მარჯვენა მხარეს და ვხსნით ერთგვაროვან განტოლებას. შედეგად ვიღებთ n თვითნებურ მუდმივთა შემცველ ხსნარს. მეორე ეტაპზე ჩვენ ვცვლით მუდმივებს. ანუ მიგვაჩნია, რომ ეს მუდმივები არის x დამოუკიდებელი ცვლადის ფუნქციები და ვპოულობთ ამ ფუნქციების ფორმას.

მართალია აქ განვიხილავთ განტოლებებს მუდმივი კოეფიციენტებით, მაგრამ ლაგრანგის მეთოდი ასევე გამოიყენება ნებისმიერი წრფივი არაერთგვაროვანი განტოლების ამოხსნისთვის. ამასთან, ამისათვის ცნობილი უნდა იყოს ერთგვაროვანი განტოლების ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემა.

ნაბიჯი 1. ერთგვაროვანი განტოლების ამოხსნა

როგორც პირველი რიგის განტოლებების შემთხვევაში, ჩვენ ჯერ ვეძებთ ერთგვაროვანი განტოლების ზოგად ამონახსანს, მარჯვენა არაჰომოგენური ნაწილის ტოლფასი ნულამდე:
(2) .
ასეთი განტოლების ზოგად ამოხსნას აქვს ფორმა:
(3) .
აქ არის თვითნებური მუდმივები; - n ერთგვაროვანი განტოლების წრფივად დამოუკიდებელი ამონახსნები, რომლებიც ქმნიან ამ განტოლების ამონახსნების ფუნდამენტურ სისტემას.

ნაბიჯი 2. მუდმივთა ვარიაცია - მუდმივების ჩანაცვლება ფუნქციებით

მეორე ეტაპზე ჩვენ განვიხილავთ მუდმივთა ცვალებადობას. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ჩვენ ჩავანაცვლებთ მუდმივებს დამოუკიდებელი ცვლადის x ფუნქციებით:
.
ანუ, ჩვენ ვეძებთ ამოხსნას საწყისი განტოლებისთვის (1) შემდეგი ფორმით:
(4) .

თუ (4) ჩავანაცვლებთ (1), მივიღებთ ერთ დიფერენციალურ განტოლებას n ფუნქციისთვის. ამ შემთხვევაში, ჩვენ შეგვიძლია დავაკავშიროთ ეს ფუნქციები დამატებითი განტოლებებით. შემდეგ მიიღებთ n განტოლებებს, საიდანაც შეგიძლიათ განსაზღვროთ n ფუნქცია. დამატებითი განტოლებები შეიძლება დაიწეროს სხვადასხვა გზით. მაგრამ ჩვენ ამას გავაკეთებთ ისე, რომ გამოსავალს ჰქონდეს უმარტივესი ფორმა. ამისათვის, დიფერენცირებისას, თქვენ უნდა გაიგივოთ ნულოვანი ტერმინები, რომლებიც შეიცავს ფუნქციების წარმოებულებს. მოდით ვაჩვენოთ ეს.

შემოთავაზებული ამოხსნის (4) ჩასანაცვლებლად თავდაპირველ განტოლებაში (1), უნდა ვიპოვოთ (4) სახით დაწერილი ფუნქციის პირველი n რიგის წარმოებულები. განასხვავეთ (4) ჯამისა და ნამრავლის დიფერენცირების წესების გამოყენებით:
.
მოდით დავაჯგუფოთ წევრები. ჯერ ვწერთ ტერმინებს -ს წარმოებულებით და შემდეგ ტერმინებს წარმოებულებით:

.
ჩვენ პირველ პირობას ვაკისრებთ ფუნქციებს:
(5.1) .
მაშინ პირველი წარმოებულის გამოთქმას უფრო მარტივი ფორმა ექნება:
(6.1) .

ანალოგიურად, ჩვენ ვპოულობთ მეორე წარმოებულს:

.
ჩვენ ვაკისრებთ მეორე პირობას ფუნქციებს:
(5.2) .
მაშინ
(6.2) .
და ა.შ. დამატებითი პირობებით ფუნქციების წარმოებულების შემცველ ტერმინებს ვატოლებთ ნულს.

ამრიგად, თუ ჩვენ ავირჩევთ შემდეგ დამატებით განტოლებებს ფუნქციებისთვის:
(5.k) ,
მაშინ პირველ წარმოებულებს ექნებათ უმარტივესი ფორმა:
(6.k) .
Აქ .

ჩვენ ვპოულობთ n-ე წარმოებულს:
(6.n)
.

ჩვენ ვცვლით თავდაპირველ განტოლებას (1):
(1) ;






.
ჩვენ გავითვალისწინებთ, რომ ყველა ფუნქცია აკმაყოფილებს განტოლებას (2):
.
შემდეგ ტერმინთა ჯამი, რომელიც შეიცავს ნულს. შედეგად, ჩვენ ვიღებთ:
(7) .

შედეგად, მივიღეთ წარმოებულების წრფივი განტოლებების სისტემა:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) ;
. . . . . . .
(5.n-1) ;
(7′) .

ამ სისტემის ამოხსნისას ჩვენ ვპოულობთ წარმოებულების გამონათქვამებს x-ის ფუნქციების სახით. ინტეგრირება, ჩვენ ვიღებთ:
.
აქ არის მუდმივები, რომლებიც აღარ არიან დამოკიდებული x-ზე. ჩანაცვლებით (4), მივიღებთ საწყისი განტოლების ზოგად ამონახსანს.

გაითვალისწინეთ, რომ ჩვენ არასოდეს გამოგვიყენებია ის ფაქტი, რომ a i კოეფიციენტები მუდმივია წარმოებულების მნიშვნელობების დასადგენად. Ისე ლაგრანგის მეთოდი გამოიყენება ნებისმიერი წრფივი არაერთგვაროვანი განტოლების ამოსახსნელადთუ ცნობილია (2) ერთგვაროვანი განტოლების ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემა.

მაგალითები

განტოლებების ამოხსნა მუდმივების ცვალებადობის მეთოდით (ლაგრანჟი).


მაგალითების ამოხსნა > > >

Იხილეთ ასევე: პირველი რიგის განტოლებების ამოხსნა მუდმივი ვარიაციული მეთოდით (ლაგრანჟი)
უმაღლესი რიგის განტოლებების ამოხსნა ბერნულის მეთოდით
წრფივი არაჰომოგენური უმაღლესი რიგის დიფერენციალური განტოლებების ამოხსნა მუდმივი კოეფიციენტებით წრფივი ჩანაცვლებით