მოდით გავაკეთოთ რამდენიმე ახსნა-განმარტებითი შენიშვნა ანალიტიკური გამოსახულებით ან ფორმულით ფუნქციის დაზუსტების შესახებ, რომლებიც უაღრესად მნიშვნელოვან როლს თამაშობენ მათემატიკური ანალიზში.

1° უპირველეს ყოვლისა, რა ანალიტიკური ოპერაციები ან მოქმედებები შეიძლება შევიდეს ამ ფორმულებში? უპირველეს ყოვლისა, ელემენტარულ ალგებრასა და ტრიგონომეტრიაში შესწავლილი ყველა მოქმედება აქ გასაგებია: არითმეტიკული მოქმედებები, სიმძლავრემდე (და ფესვის ამოღება), ლოგარითმი, კუთხიდან გადასვლა მათ ტრიგონომეტრიულ სიდიდეებზე და პირიქით [იხ. ქვემოთ 48 - 51]. თუმცა, და ეს მნიშვნელოვანია ხაზგასმით აღვნიშნოთ, რადგან ანალიზის შესახებ ჩვენი ცოდნა განვითარდება, მათ რიცხვს დაემატება სხვა ოპერაციები, უპირველეს ყოვლისა, ზღვარზე გადასვლა, რომელსაც მკითხველი უკვე იცნობს I თავიდან.

ამრიგად, ტერმინის „ანალიტიკური გამოხატვის“ ან „ფორმულის“ სრული შინაარსი მხოლოდ თანდათანობით გამოვლინდება.

2° მეორე შენიშვნა ეხება ანალიტიკური გამოსახულებით ან ფორმულით ფუნქციის განსაზღვრის სფეროს.

თითოეულ ანალიტიკურ გამონათქვამს, რომელიც შეიცავს x არგუმენტს, აქვს, ასე ვთქვათ, გამოყენების ბუნებრივი არეალი: ეს არის x-ის ყველა იმ მნიშვნელობის სიმრავლე, რომლისთვისაც ის ინარჩუნებს მნიშვნელობას, ანუ აქვს კარგად განსაზღვრული, სასრული, რეალური ღირებულება. ავხსნათ ეს მარტივი მაგალითებით.

ასე რომ, გამოხატვისთვის, ასეთი ფართობი იქნება რეალური რიცხვების მთელი ნაკრები. გამოხატვისთვის ეს არე შემცირდება დახურულ ინტერვალამდე, რომლის მიღმაც მისი მნიშვნელობა წყვეტს რეალურს. პირიქით, გამოთქმა თავის ბუნებრივ ფარგლებს უნდა შეიცავდეს ღია უფსკრულის სახით, რადგან ბოლოებში მისი მნიშვნელი ხდება 0. ზოგჯერ მნიშვნელობების დიაპაზონი, რომლისთვისაც გამოხატულება ინარჩუნებს მნიშვნელობას, შედგება გაფანტული ხარვეზებისგან: ამისთვის იქნება. ხარვეზები ამისთვის - ხარვეზები და ა.შ.

როგორც საბოლოო მაგალითი, განვიხილოთ უსასრულო გეომეტრიული პროგრესიის ჯამი

თუ მაშინ, როგორც ვიცით, ეს ზღვარი არსებობს და აქვს მნიშვნელობა . ამისთვის ლიმიტი ან თანაბარია ან საერთოდ არ არსებობს. ამრიგად, ზემოაღნიშნული ანალიტიკური გამოხატვისთვის, ბუნებრივი მასშტაბი იქნება ღია ინტერვალი

შემდეგ პრეზენტაციაში ჩვენ მოგვიწევს განვიხილოთ როგორც უფრო რთული, ასევე უფრო ზოგადი ანალიტიკური გამონათქვამები და არაერთხელ შევისწავლით მსგავსი გამონათქვამის მიერ მოცემული ფუნქციების თვისებებს მთელ რეგიონში, სადაც ის ინარჩუნებს მნიშვნელობას, ე.ი. თავად ანალიტიკური აპარატი.

თუმცა შესაძლებელია სხვა მდგომარეობაც, რაზეც წინასწარ მიგვაჩნია მკითხველის ყურადღება მივაპყროთ. წარმოვიდგინოთ, რომ ზოგიერთმა კონკრეტულმა კითხვამ, რომელშიც x ცვლადი არსებითად შემოიფარგლება X-ის დიაპაზონით, განაპირობა ფუნქციის განხილვა, რომელიც აღიარებს ანალიტიკურ გამოხატულებას. მიუხედავად იმისა, რომ შეიძლება მოხდეს, რომ ამ გამოთქმას აქვს აზრი X რეგიონის გარეთ, რა თქმა უნდა, შეუძლებელია მის ფარგლებს გარეთ გასვლა. აქ ანალიტიკური გამოთქმა დაქვემდებარებული, დამხმარე როლს ასრულებს.

მაგალითად, თუ დედამიწის ზედაპირიდან სიმაღლიდან მძიმე წერტილის თავისუფალ დაცემას გამოვიკვლევთ, მივმართავთ ფორმულას

აბსურდული იქნება t-ის უარყოფითი მნიშვნელობების ან უფრო დიდი მნიშვნელობების გათვალისწინება, ვიდრე ამისთვის, როგორც ადვილი მისახვედრია, რომ წერტილი უკვე მიწაზე დაეცემა. და ეს მიუხედავად იმისა, რომ თავად გამოთქმა - ინარჩუნებს თავის მნიშვნელობას ყველა რეალურისთვის.

3° შეიძლება მოხდეს, რომ ფუნქცია არ განისაზღვროს ერთი და იგივე ფორმულით არგუმენტის ყველა მნიშვნელობისთვის, მაგრამ ზოგისთვის ერთი ფორმულით, ზოგისთვის კი მეორის მიერ. ასეთი ფუნქციის მაგალითია შემდეგი სამი ფორმულით განსაზღვრული ფუნქცია:

და ბოლოს თუ .

ჩვენ ასევე აღვნიშნავთ დირიხლეს ფუნქციას (P. G. Lejeune-Dinchlet), რომელიც განისაზღვრება შემდეგნაირად:

ბოლოს, კრონეკერთან ერთად (L. Kroneckcf) განვიხილავთ ფუნქციას, რომელსაც მან უწოდა „signum“ და აღნიშნა.

ფუნქციის დაყენების სხვადასხვა გზა ანალიტიკური, გრაფიკული, ცხრილი - ფუნქციის დაყენების უმარტივესი და, შესაბამისად, ყველაზე პოპულარული გზები, ჩვენი საჭიროებისთვის ეს მეთოდები სავსებით საკმარისია. ანალიტიკური გრაფიკული ცხრილი ფაქტობრივად, მათემატიკაში არსებობს ფუნქციის დაზუსტების საკმაოდ განსხვავებული გზები და ერთ-ერთი მათგანია ვერბალური, რომელიც გამოიყენება ძალიან თავისებურ სიტუაციებში.

ფუნქციის მითითების ვერბალური ხერხი ფუნქციის დაზუსტება შესაძლებელია აგრეთვე სიტყვიერად, ანუ აღწერით. მაგალითად, ეგრეთ წოდებული დირიხლეს ფუნქცია განისაზღვრება შემდეგნაირად: ფუნქცია y უდრის 0-ს ყველა რაციონალური და 1-ის არგუმენტის x-ის ყველა ირაციონალური მნიშვნელობისთვის. ასეთი ფუნქცია არ შეიძლება განისაზღვროს ცხრილით, რადგან ის განისაზღვრება მთელ რიცხვთა ღერძზე და მისი არგუმენტის მნიშვნელობების ნაკრები უსასრულოა. გრაფიკულად, ამ ფუნქციის განსაზღვრაც შეუძლებელია. მიუხედავად ამისა, ნაპოვნია ამ ფუნქციის ანალიტიკური გამოხატულება, მაგრამ ის იმდენად რთულია, რომ მას პრაქტიკული მნიშვნელობა არ აქვს. ვერბალური მეთოდი იძლევა მის მოკლე და მკაფიო განმარტებას.

მაგალითი 1 ფუნქცია y = f (x) განისაზღვრება ყველა არაუარყოფითი რიცხვის სიმრავლეზე შემდეგი წესის გამოყენებით: თითოეულ რიცხვს x 0 ენიჭება პირველი ათობითი ადგილი x რიცხვის ათწილადში. თუ, ვთქვათ, x \u003d 2.534, მაშინ f (x) \u003d 5 (პირველი ათობითი ადგილი არის ნომერი 5); თუ x = 13.002, მაშინ f(x) = 0; თუ x \u003d 2/3, მაშინ, ჩაწერით 2/3, როგორც უსასრულო ათობითი წილადი 0,6666 ..., ვპოულობთ f (x) \u003d 6. და რა არის f (15) მნიშვნელობა? ის უდრის 0-ს, რადგან 15 = 15.000…, და ჩვენ ვხედავთ, რომ ათწილადის შემდეგ პირველი ათობითი ადგილი არის 0 (სინამდვილეში, ტოლობა 15 = 14.999... მართალია, მაგრამ მათემატიკოსები შეთანხმდნენ, რომ არ განიხილონ უსასრულო პერიოდული ათობითი წილადები პერიოდი 9).

ნებისმიერი არაუარყოფითი რიცხვი x შეიძლება დაიწეროს როგორც ათობითი წილადი (სასრული ან უსასრულო) და, შესაბამისად, x-ის თითოეული მნიშვნელობისთვის შეგიძლიათ იპოვოთ პირველი ათწილადის მნიშვნელობების გარკვეული რაოდენობა, ასე რომ, ჩვენ შეგვიძლია ვისაუბროთ. ფუნქცია, თუმცა გარკვეულწილად უჩვეულო. D (f) = . = 2 [" title="(!LANG: ფუნქცია, რომელიც განისაზღვრება პირობებით: f (x) არის მთელი რიცხვი; f (x) x; x; f + 1 > x,x, რიცხვის მთელი ნაწილი ეწოდება რიცხვის მთელ ნაწილს D (f) = (-;+), E (f) = Z (მთლიანი რიცხვების სიმრავლე) x რიცხვის მთელი ნაწილისთვის გამოიყენეთ აღნიშვნა [ x ].= 2 [" class="link_thumb"> 7 !}ფუნქცია, რომელიც განისაზღვრება პირობებით: f (x) არის მთელი რიცხვი; f(x)x;x; f + 1 > x,x, რიცხვის მთელ ნაწილს ეწოდება რიცხვის მთელი ნაწილი. D (f) \u003d (-;+), E (f) \u003d Z (მთლიანი რიცხვების ნაკრები) x რიცხვის მთელი ნაწილისთვის გამოიყენება აღნიშვნა [ x ]. = 2 = 47 [-0,23] = - 1 x,x, რიცხვის მთელ ნაწილს ეწოდება რიცხვის მთელი ნაწილი. D (f) \u003d (-;+), E (f) \u003d Z (მთლიანი რიცხვების ნაკრები) x რიცხვის მთელი ნაწილისთვის გამოიყენება აღნიშვნა [ x ]. \u003d 2 ["\u003e x, x, რიცხვის მთელ ნაწილს ეწოდება რიცხვის მთელი ნაწილი. D (f) \u003d (-; +), E (f) \u003d Z (მთლიანი რიცხვების ნაკრები) x რიცხვის მთელი ნაწილისთვის გამოიყენება აღნიშვნა [x]. \u003d 2 \u003d 47 [ - 0.23] \u003d - 1 "\u003e x, x, რიცხვის მთელ ნაწილს ეწოდება მთელი რიცხვი. ნომერი. D (f) \u003d (-;+), E (f) \u003d Z (მთლიანი რიცხვების ნაკრები) x რიცხვის მთელი ნაწილისთვის გამოიყენება აღნიშვნა [ x ]. = 2 [" title="(!LANG: ფუნქცია, რომელიც განისაზღვრება პირობებით: f (x) არის მთელი რიცხვი; f (x) x; x; f + 1 > x,x, რიცხვის მთელი ნაწილი ეწოდება რიცხვის მთელ ნაწილს D (f) = (-;+), E (f) = Z (მთლიანი რიცხვების სიმრავლე) x რიცხვის მთელი ნაწილისთვის გამოიყენეთ აღნიშვნა [ x ].= 2 ["> title="ფუნქცია, რომელიც განისაზღვრება პირობებით: f (x) არის მთელი რიცხვი; f(x)x;x; f + 1 > x,x, რიცხვის მთელ ნაწილს ეწოდება რიცხვის მთელი ნაწილი. D (f) \u003d (-;+), E (f) \u003d Z (მთლიანი რიცხვების ნაკრები) x რიცხვის მთელი ნაწილისთვის გამოიყენება აღნიშვნა [ x ]. = 2["> !}

ფუნქციის დაყენების ყველა ზემოთ ჩამოთვლილი მეთოდიდან, ანალიტიკური მეთოდი იძლევა მათემატიკური ანალიზის აპარატის გამოყენების უდიდეს შესაძლებლობებს, ხოლო გრაფიკულ მეთოდს აქვს უდიდესი სიცხადე. ამიტომ მათემატიკური ანალიზი ემყარება ანალიტიკური და გეომეტრიული მეთოდების ღრმა სინთეზს. ანალიტიკურად მოცემული ფუნქციების შესწავლა გაცილებით მარტივია და ცხადი ხდება, თუ ამ ფუნქციების გრაფიკებს პარალელურად განვიხილავთ.

X y=x

დიდი მათემატიკოსი - დირიხლე ბერლინის პროფესორი, 1855 წლიდან გეტინგენის უნივერსიტეტი. ძირითადი სამუშაოები რიცხვთა თეორიასა და მათემატიკური ანალიზზე. მათემატიკური ანალიზის სფეროში დირიხლემ პირველად ზუსტად ჩამოაყალიბა და შეისწავლა რიგის პირობითი კონვერგენციის ცნება, დაადგინა სერიების დაახლოების კრიტერიუმი (ე.წ. დირიხლეს კრიტერიუმი, 1862 წ.) და (1829 წ.) მისცა. მკაცრი დადასტურება ფუნქციის გაფართოების შესაძლებლობის ფურიეს სერიაში, რომელსაც აქვს მაქსიმალური და მინიმალური რაოდენობა. დირიხლეს მნიშვნელოვანი ნაშრომები ეძღვნება მექანიკას და მათემატიკურ ფიზიკას (დირიხლეს პრინციპი ჰარმონიული ფუნქციის თეორიაში). დირიხლე პიტერ გუსტავ ლეჟენი () გერმანელი მათემატიკოსი, უცხოელი კორესპონდენტი. პეტერბურგის მეცნიერებათა აკადემია (გ), ლონდონის სამეფო საზოგადოების (1855), პარიზის მეცნიერებათა აკადემიის (1854), ბერლინის მეცნიერებათა აკადემიის წევრი. დირიხლემ დაამტკიცა თეორემა უსასრულოდ დიდი რაოდენობის მარტივი რიცხვების არსებობის შესახებ მთელი რიცხვების ნებისმიერ არითმეტიკულ პროგრესიაში, რომელთა პირველი წევრი და სხვაობა არის თანაპირდაპირი რიცხვები და შეისწავლა (1837) არითმეტიკული პროგრესიების მარტივი რიცხვების განაწილების კანონი, რომელიც მან შემოიტანა სპეციალური ფორმის ფუნქციური სერიები (ე.წ. დირიხლეს სერია).

"ფუნქციის" ცნების ერთ-ერთი კლასიკური განმარტებაა კორესპონდენციებზე დაფუძნებული განმარტებები. ჩვენ წარმოგიდგენთ რამდენიმე ასეთ განმარტებას.

განმარტება 1

ურთიერთობა, რომელშიც დამოუკიდებელი ცვლადის თითოეული მნიშვნელობა შეესაბამება დამოკიდებული ცვლადის ერთ მნიშვნელობას, ეწოდება ფუნქცია.

განმარტება 2

მიეცით ორი არა ცარიელი ნაკრები $X$ და $Y$. $f$-ის შესატყვისი, რომელიც ემთხვევა თითოეულ $x\in X$ ერთ და მხოლოდ ერთ $y\in Y$-ს ეწოდება ფუნქცია($f:X → Y$).

განმარტება 3

მოდით $M$ და $N$ იყოს ორი თვითნებური რიცხვითი კომპლექტი. ნათქვამია, რომ ფუნქცია $f$ განსაზღვრულია $M$-ზე, რომელიც იღებს მნიშვნელობებს $N$-დან, თუ $x\in X$-ის თითოეული ელემენტი ასოცირდება ერთ და მხოლოდ ერთ ელემენტთან $N$-დან.

შემდეგი განმარტება მოცემულია ცვლადის კონცეფციის საშუალებით. ცვლადი არის სიდიდე, რომელიც ამ კვლევაში იღებს სხვადასხვა ციფრულ მნიშვნელობებს.

განმარტება 4

მოდით $M$ იყოს $x$ ცვლადის მნიშვნელობების ნაკრები. მაშინ, თუ თითოეული მნიშვნელობა $x\in M$ შეესაბამება სხვა $y$ ცვლადის ერთ განსაზღვრულ მნიშვნელობას, ეს არის $x$ მნიშვნელობის ფუნქცია, რომელიც განსაზღვრულია $M$ ნაკრებში.

განმარტება 5

მოდით, $X$ და $Y$ იყოს ზოგიერთი რიცხვითი ნაკრები. ფუნქცია არის $f$ რიცხვების მოწესრიგებული წყვილების ნაკრები $(x,\ y)$ ისეთი, რომ $x\in X$, $y\in Y$ და ყოველი $x$ ეკუთვნის ამ წყვილის ერთ და მხოლოდ ერთ წყვილს. მითითებულია და თითოეული $y$ არის მინიმუმ ერთ წყვილში.

განმარტება 6

ნებისმიერი ნაკრები $f=\(\left(x,\ y\right)\)$ შეკვეთილი წყვილების $\left(x,\ y\right)$ ისეთი, რომ ნებისმიერი წყვილისთვის $\left(x",\ y" \right)\ f$-ში და $\left(x"",\ y""\right)\-ში f$ ეს გამომდინარეობს $y"≠ y""$-ში, რომ $x"≠x""$ არის ფუნქცია ან დისპლეი ეწოდება.

განმარტება 7

ფუნქცია $f:X → Y$ არის $f$ მოწესრიგებული წყვილების ნაკრები $\left(x,\ y\right)\X\ჯერ Y$-ში, ისეთი, რომ ნებისმიერი ელემენტისთვის $x\X$-ში არის უნიკალური ელემენტი $y\in Y$ ისეთი, რომ $\left(x,\ y\right)\ f$-ში, ანუ ფუნქცია არის ობიექტების წყება $\left(f,\ X,\ Y\right) $.

ამ განმარტებებში

$x$ არის დამოუკიდებელი ცვლადი.

$y$ არის დამოკიდებული ცვლადი.

$x$ ცვლადის ყველა შესაძლო მნიშვნელობას ეწოდება ფუნქციის დომენი, ხოლო $y$ ცვლადის ყველა შესაძლო მნიშვნელობას ეწოდება ფუნქციის დომენი.

ფუნქციის განსაზღვრის ანალიტიკური ხერხი

ამ მეთოდისთვის ჩვენ გვჭირდება ანალიტიკური გამოხატვის კონცეფცია.

განმარტება 8

ანალიტიკური გამოხატულება არის ყველა შესაძლო მათემატიკური მოქმედების პროდუქტი ნებისმიერ რიცხვსა და ცვლადზე.

ფუნქციის დაყენების ანალიტიკური გზა არის მისი დაყენება ანალიტიკური გამოხატვის გამოყენებით.

მაგალითი 1

$y=x^2+7x-3$, $y=\frac(x+5)(x+2)$, $y=cos5x$.

Დადებითი:

1. ფორმულებით ჩვენ შეგვიძლია განვსაზღვროთ ფუნქციის მნიშვნელობა $x$ ცვლადის ნებისმიერი მოცემული მნიშვნელობისთვის;
2. ამ გზით განსაზღვრული ფუნქციების შესწავლა შესაძლებელია მათემატიკური ანალიზის აპარატის გამოყენებით.

მინუსები:

1. მცირე ხილვადობა.
2. ზოგჯერ თქვენ უნდა შეასრულოთ ძალიან რთული გამოთვლები.

ფუნქციის განსაზღვრის ცხრილური გზა

დაყენების ეს გზა არის ის, რომ დამოუკიდებელი ცვლადის რამდენიმე მნიშვნელობისთვის იწერება დამოკიდებული ცვლადის მნიშვნელობები. ეს ყველაფერი შეტანილია ცხრილში.

მაგალითი 2

სურათი 1.

პლუს:$x$ დამოუკიდებელი ცვლადის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის, რომელიც შეყვანილია ცხრილში, $y$ ფუნქციის შესაბამისი მნიშვნელობა დაუყოვნებლივ ამოიცნობა.

მინუსები:

1. უფრო ხშირად, ვიდრე არა, არ არსებობს ფუნქციის სრული დაზუსტება;
2. მცირე ხილვადობა.

ფუნქცია არის კორესპონდენცია ორი სიმრავლის ელემენტებს შორის, დადგენილი ასეთი წესით, რომ ერთი სიმრავლის თითოეული ელემენტი ასოცირდება სხვა სიმრავლის ზოგიერთ ელემენტთან.

ფუნქციის გრაფიკი არის წერტილების ადგილი სიბრტყეში, რომლის აბსცისი (x) და ორდინატები (y) დაკავშირებულია მითითებული ფუნქციით:

წერტილი მდებარეობს (ან მდებარეობს) ფუნქციის გრაფიკზე, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ .

ამრიგად, ფუნქცია შეიძლება ადეკვატურად იყოს აღწერილი მისი გრაფიკით.

ცხრილის გზა. საკმაოდ გავრცელებულია, ის შედგება ცალკეული არგუმენტების მნიშვნელობებისა და მათი შესაბამისი ფუნქციის მნიშვნელობების ცხრილის დაყენებაში. ფუნქციის განსაზღვრის ეს მეთოდი გამოიყენება, როდესაც ფუნქციის დომენი არის დისკრეტული სასრული ნაკრები.

ფუნქციის მითითების ტაბულური მეთოდით, შესაძლებელია დაახლოებით გამოვთვალოთ ფუნქციის მნიშვნელობები, რომლებიც არ არის მოცემული ცხრილში, არგუმენტის შუალედური მნიშვნელობების შესაბამისი. ამისათვის გამოიყენეთ ინტერპოლაციის მეთოდი.

ფუნქციის დაყენების ტაბულური მეთოდის უპირატესობები ისაა, რომ შესაძლებელს ხდის გარკვეული კონკრეტული მნიშვნელობების ერთდროულად განსაზღვრას, დამატებითი გაზომვებისა და გამოთვლების გარეშე. თუმცა, ზოგიერთ შემთხვევაში, ცხრილი არ განსაზღვრავს ფუნქციას მთლიანად, არამედ მხოლოდ არგუმენტის ზოგიერთი მნიშვნელობისთვის და არ იძლევა ფუნქციის ცვლილების ბუნების ვიზუალურ წარმოდგენას, რაც დამოკიდებულია არგუმენტის ცვლილებაზე.

გრაფიკული გზა. y = f(x) ფუნქციის გრაფიკი არის სიბრტყის ყველა წერტილის სიმრავლე, რომლის კოორდინატები აკმაყოფილებს მოცემულ განტოლებას.

ფუნქციის დაზუსტების გრაფიკული გზა ყოველთვის არ იძლევა არგუმენტის რიცხვითი მნიშვნელობების ზუსტად განსაზღვრას. თუმცა მას სხვა მეთოდებთან შედარებით დიდი უპირატესობა აქვს – ხილვადობა. ინჟინერიასა და ფიზიკაში ხშირად გამოიყენება ფუნქციის დაყენების გრაფიკული მეთოდი და ამისთვის ერთადერთი ხელმისაწვდომი გზაა გრაფიკი.

იმისათვის, რომ ფუნქციის გრაფიკული მინიჭება მათემატიკური თვალსაზრისით საკმაოდ სწორი იყოს, საჭიროა მიეთითოს გრაფიკის ზუსტი გეომეტრიული აგებულება, რომელიც, ყველაზე ხშირად, მოცემულია განტოლებით. ეს იწვევს ფუნქციის განსაზღვრის შემდეგ გზას.

ანალიტიკური გზა. ყველაზე ხშირად, კანონი, რომელიც აყალიბებს ურთიერთობას არგუმენტსა და ფუნქციას შორის, მითითებულია ფორმულების საშუალებით. ფუნქციის განსაზღვრის ამ ხერხს ანალიტიკური ეწოდება.

ეს მეთოდი შესაძლებელს ხდის x არგუმენტის თითოეულ ციფრულ მნიშვნელობას ზუსტად ან გარკვეული სიზუსტით იპოვნოს y ფუნქციის შესაბამისი რიცხვითი მნიშვნელობა.

თუ x-სა და y-ს შორის კავშირი მოცემულია ფორმულით, რომელიც გადაწყვეტილია y-ის მიმართ, ე.ი. აქვს y = f(x) ფორმა, მაშინ ვამბობთ, რომ x-ის ფუნქცია მოცემულია ცალსახად.

თუ x და y მნიშვნელობები დაკავშირებულია F(x,y) = 0 ფორმის რაიმე განტოლებით, ე.ი. ფორმულა დაუშვებელია y-სთან მიმართებაში, რაც ნიშნავს, რომ ფუნქცია y = f(x) ირიბად არის განსაზღვრული.

ფუნქცია შეიძლება განისაზღვროს სხვადასხვა ფორმულებით მისი ამოცანების არეალის სხვადასხვა ნაწილში.

ანალიტიკური მეთოდი ფუნქციების განსაზღვრის ყველაზე გავრცელებული გზაა. კომპაქტურობა, ლაკონურობა, არგუმენტის თვითნებური მნიშვნელობისთვის ფუნქციის მნიშვნელობის გამოთვლის უნარი განსაზღვრების სფეროდან, მათემატიკური ანალიზის აპარატის მოცემულ ფუნქციაზე გამოყენების შესაძლებლობა არის განსაზღვრის ანალიტიკური მეთოდის მთავარი უპირატესობა. ფუნქცია. ნაკლოვანებები მოიცავს ხილვადობის ნაკლებობას, რაც კომპენსირდება გრაფიკის აგების შესაძლებლობით და ზოგჯერ ძალიან რთული გამოთვლების შესრულების აუცილებლობით.

სიტყვიერი გზა. ეს მეთოდი მდგომარეობს იმაში, რომ ფუნქციური დამოკიდებულება გამოხატულია სიტყვებით.

მაგალითი 1: ფუნქცია E(x) არის x რიცხვის მთელი რიცხვი. ზოგადად, E(x) = [x] აღნიშნავს უდიდეს მთელ რიცხვს, რომელიც არ აღემატება x-ს. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თუ x = r + q, სადაც r არის მთელი რიცხვი (შეიძლება იყოს უარყოფითი) და q ეკუთვნის = r ინტერვალს. ფუნქცია E(x) = [x] მუდმივია = r ინტერვალზე.

მაგალითი 2: ფუნქცია y = (x) - რიცხვის წილადი ნაწილი. უფრო ზუსტად, y =(x) = x - [x], სადაც [x] არის x რიცხვის მთელი რიცხვი. ეს ფუნქცია განსაზღვრულია ყველა x-ისთვის. თუ x არის თვითნებური რიცხვი, მაშინ წარმოვადგენთ მას როგორც x = r + q (r = [x]), სადაც r არის მთელი რიცხვი და q დევს ინტერვალში.
ჩვენ ვხედავთ, რომ x არგუმენტზე n-ის დამატება არ ცვლის ფუნქციის მნიშვნელობას.
n-ში ყველაზე პატარა არანულოვანი რიცხვი არის , შესაბამისად პერიოდი არის sin 2x .

გამოძახებულია არგუმენტის მნიშვნელობა, რომლის ფუნქცია 0-ის ტოლია ნული (ფესვი) ფუნქციები.

ფუნქციას შეიძლება ჰქონდეს მრავალი ნული.

მაგალითად, ფუნქცია y=x(x+1)(x-3)აქვს სამი ნული: x=0, x=-1, x=3.

გეომეტრიულად, ფუნქციის ნული არის ფუნქციის გრაფიკის ღერძთან გადაკვეთის წერტილის აბსციზა. X .

7-ზე ნაჩვენებია ფუნქციის გრაფიკი ნულებით: x = a, x = b და x = c.

თუ ფუნქციის გრაფიკი უახლოვდება გარკვეულ სწორ ხაზს განუსაზღვრელი ვადით, რადგან ის შორდება საწყისს, მაშინ ეს სწორი ხაზი ე.წ. ასიმპტოტი.

ინვერსიული ფუნქცია

დაე, ფუნქცია y=ƒ(x) იყოს მოცემული D განსაზღვრის დომენით და მნიშვნელობების სიმრავლით E. თუ თითოეული მნიშვნელობა yєE შეესაბამება ერთ მნიშვნელობას xєD, მაშინ ფუნქცია x=φ(y) განისაზღვრება E განსაზღვრების დომენი და D მნიშვნელობების სიმრავლე (იხ. სურ. 102).

ასეთ ფუნქციას φ(y) ეწოდება ƒ(x) ფუნქციის შებრუნებული და იწერება შემდეგი სახით: x=j(y)=f -1 (y) ფუნქციების შესახებ y=ƒ(x) და. x=φ(y) ისინი ამბობენ, რომ ისინი ურთიერთშებრუნებულია. x=φ(y) ფუნქციის y=ƒ(x) შებრუნებული ფუნქციის საპოვნელად საკმარისია ƒ(x)=y განტოლების ამოხსნა x-ის მიმართ (თუ შესაძლებელია).

1. y \u003d 2x ფუნქციისთვის, შებრუნებული ფუნქცია არის ფუნქცია x \u003d y / 2;

2. y \u003d x2 xє ფუნქციისთვის შებრუნებული ფუნქციაა x \u003d √y; გაითვალისწინეთ, რომ y \u003d x 2 ფუნქციისთვის, მოცემული სეგმენტზე [-1; 1], არ არსებობს ინვერსიული, რადგან y-ის ერთი მნიშვნელობა შეესაბამება x-ის ორ მნიშვნელობას (მაგალითად, თუ y=1/4, მაშინ x1=1/2, x2=-1/2).

შებრუნებული ფუნქციის განსაზღვრებიდან გამომდინარეობს, რომ y=ƒ(x) ფუნქციას აქვს შებრუნებული, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ ფუნქცია ƒ(x) განსაზღვრავს ერთერთ შესაბამისობას D და E სიმრავლებს შორის. აქედან გამომდინარეობს, რომ ნებისმიერი მკაცრად მონოტონურ ფუნქციას აქვს შებრუნებული. უფრო მეტიც, თუ ფუნქცია იზრდება (მცირდება), მაშინ ინვერსიული ფუნქციაც იზრდება (მცირდება).

გაითვალისწინეთ, რომ ფუნქცია y \u003d ƒ (x) და მისი შებრუნებული x \u003d φ (y) გამოსახულია იგივე მრუდით, ანუ მათი გრაფიკები ემთხვევა. თუ შევთანხმდებით, რომ, როგორც ყოველთვის, დამოუკიდებელი ცვლადი (ანუ არგუმენტი) აღინიშნება x-ით, ხოლო დამოკიდებული ცვლადი y-ით, მაშინ y \u003d ƒ (x) ფუნქციის შებრუნებული ფუნქცია დაიწერება როგორც y \u003d. φ (x).

ეს ნიშნავს, რომ y=ƒ(x) მრუდის წერტილი M 1 (x o; y o) ხდება y=φ(x) მრუდის M 2 (y o; x o) წერტილი. მაგრამ M 1 და M 2 წერტილები სიმეტრიულია სწორი ხაზის მიმართ y \u003d x (იხ. სურ. 103). მაშასადამე, y=ƒ(x) და y=φ(x) ურთიერთშებრუნებული ფუნქციების გრაფიკები სიმეტრიულია პირველი და მესამე კოორდინატთა კუთხის ბისექტრის მიმართ.

კომპლექსური ფუნქცია

ფუნქცია y=ƒ(u) განისაზღვროს D სიმრავლეზე, ფუნქცია u= φ(х) D 1 სიმრავლეზე, ხოლო  x D 1-სთვის შესაბამისი მნიშვნელობა u=φ(x) є D. შემდეგ D 1 სიმრავლეზე განისაზღვრება ფუნქცია u=ƒ(φ(x)), რომელსაც ეწოდება x-ის რთული ფუნქცია (ან მოცემული ფუნქციების სუპერპოზიცია, ან ფუნქციის ფუნქცია).

ცვლადს u=φ(x) ეწოდება რთული ფუნქციის შუალედური არგუმენტი.

მაგალითად, ფუნქცია y=sin2x არის ორი ფუნქციის y=sinu და u=2x ზედებულება. კომპლექსურ ფუნქციას შეიძლება ჰქონდეს მრავალი შუალედური არგუმენტი.

4. ძირითადი ელემენტარული ფუნქციები და მათი გრაფიკები.

შემდეგ ფუნქციებს ეწოდება ძირითადი ელემენტარული ფუნქციები.

1) ექსპონენციალური ფუნქცია y \u003d a x, a> 0, a ≠ 1. ნახ. 104 გვიჩვენებს სხვადასხვა ექსპონენციური ფუძის შესაბამისი ექსპონენციალური ფუნქციების გრაფიკებს.

2) სიმძლავრის ფუნქცია y=x α , αєR. სხვადასხვა მაჩვენებლების შესაბამისი სიმძლავრის ფუნქციების გრაფიკების მაგალითები მოცემულია ფიგურებში

3) ლოგარითმული ფუნქცია y=log a x, a>0,a≠1; სხვადასხვა ფუძის შესაბამისი ლოგარითმული ფუნქციების გრაფიკები ნაჩვენებია ნახ. 106.

4) ტრიგონომეტრიული ფუნქციები y=sinx, y=cosx, y=tgx, y=ctgx; ტრიგონომეტრიული ფუნქციების გრაფიკებს აქვთ ნახ. 107.

5) შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციები y=arcsinx, y=arccosx, y=arctgx, y=arcctgx. ნახ. 108 გვიჩვენებს შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების გრაფიკებს.

ერთი ფორმულით მოცემულ ფუნქციას, რომელიც შედგება ძირითადი ელემენტარული ფუნქციებისა და მუდმივებისგან, სასრული რაოდენობის არითმეტიკული მოქმედებების (შეკრება, გამოკლება, გამრავლება, გაყოფა) და ფუნქციიდან ფუნქციის აღების ოპერაციების გამოყენებით, ელემენტარული ფუნქცია ეწოდება.

ელემენტარული ფუნქციების მაგალითებია ფუნქციები

არა ელემენტარული ფუნქციების მაგალითებია ფუნქციები

5. მიმდევრობისა და ფუნქციის ზღვრის ცნებები. თვისებების შეზღუდვა.

ფუნქციის ლიმიტი (ფუნქციის ლიმიტი) მოცემულ წერტილში, ფუნქციის განსაზღვრის დომენის შეზღუდვა, არის ისეთი მნიშვნელობა, რომლისკენაც განხილული ფუნქციის მნიშვნელობა მიისწრაფვის, როდესაც მისი არგუმენტი იხრება მოცემულ წერტილამდე.

მათემატიკაში თანმიმდევრობის ლიმიტიმეტრული სივრცის ელემენტები ან ტოპოლოგიური სივრცის ელემენტები არის იგივე სივრცის ელემენტი, რომელსაც აქვს მოცემული მიმდევრობის ელემენტების „მიზიდვის“ თვისება. ტოპოლოგიური სივრცის ელემენტების მიმდევრობის ზღვარი არის ისეთი წერტილი, რომლის ყოველი სამეზობლო შეიცავს მიმდევრობის ყველა ელემენტს, დაწყებული რაღაც რიცხვიდან. მეტრულ სივრცეში უბნები განისაზღვრება მანძილის ფუნქციის მიხედვით, ამიტომ ლიმიტის ცნება ჩამოყალიბებულია მანძილების ენაზე. ისტორიულად, პირველი იყო რიცხვითი მიმდევრობის ლიმიტის კონცეფცია, რომელიც წარმოიქმნება მათემატიკური ანალიზში, სადაც ის ემსახურება მიახლოებების სისტემის საფუძველს და ფართოდ გამოიყენება დიფერენციალური და ინტეგრალური გამოთვლების აგებაში.

Დანიშნულება:

(წაიკითხე: x-n-ე მიმდევრობის ზღვარი, როგორც en მიდრეკილია უსასრულობისკენ არის a)

მიმდევრობის თვისებას, რომ ჰქონდეს ზღვარი, ეწოდება კონვერგენცია: თუ მიმდევრობას აქვს ზღვარი, მაშინ მოცემული მიმდევრობა არის ნათქვამი იყრის თავს; წინააღმდეგ შემთხვევაში (თუ თანმიმდევრობას საზღვარი არ აქვს) მიმდევრობას ამბობენ განსხვავდება. ჰაუსდორფის სივრცეში და, კერძოდ, მეტრულ სივრცეში, კონვერგენტული მიმდევრობის ყველა ქვემიმდევრობა იყრის თავს და მისი ზღვარი იგივეა, რაც თავდაპირველი მიმდევრობის ზღვარი. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ჰაუსდორფის სივრცეში ელემენტების თანმიმდევრობას არ შეიძლება ჰქონდეს ორი განსხვავებული ზღვარი. თუმცა შეიძლება აღმოჩნდეს, რომ თანმიმდევრობას საზღვარი არ აქვს, მაგრამ არის ქვემიმდევრობა (მოცემული მიმდევრობის) რომელსაც აქვს ზღვარი. თუ წერტილების რომელიმე მიმდევრობას სივრცეში აქვს კონვერგენტული ქვემიმდევრობა, მაშინ მოცემულ სივრცეს ამბობენ, რომ აქვს თანმიმდევრული კომპაქტურობის თვისება (ან, უბრალოდ, კომპაქტურობა, თუ კომპაქტურობა განისაზღვრება მხოლოდ მიმდევრობით).

მიმდევრობის ზღვრის ცნება პირდაპირ კავშირშია ზღვრული წერტილის (სიმრავლის) ცნებასთან: თუ სიმრავლეს აქვს სასაზღვრო წერტილი, მაშინ არის მოცემული სიმრავლის ელემენტების თანმიმდევრობა, რომლებიც იყრიან მოცემულ წერტილს.

განმარტება

მიეცით ტოპოლოგიური სივრცე და მიმდევრობა მაშინ, თუ არსებობს ისეთი ელემენტი, რომელიც

სადაც არის ღია სიმრავლე, რომელიც შეიცავს , მაშინ მას უწოდებენ მიმდევრობის ლიმიტს. თუ სივრცე მეტრულია, მაშინ ლიმიტი შეიძლება განისაზღვროს მეტრიკის გამოყენებით: თუ არსებობს ისეთი ელემენტი, რომელიც

სად არის მეტრიკა, მაშინ ეწოდება ლიმიტი.

· თუ სივრცე აღჭურვილია ანტიდისკრეტული ტოპოლოგიით, მაშინ სივრცის ნებისმიერი ელემენტი იქნება ნებისმიერი მიმდევრობის ზღვარი.

6. ფუნქციის ლიმიტი წერტილში. ცალმხრივი საზღვრები.

ერთი ცვლადის ფუნქცია. ფუნქციის ზღვრის განსაზღვრა წერტილში კოშის მიხედვით.ნომერი ბფუნქციის ზღვარი ეწოდება ზე = ვ(x) ზე Xმიისწრაფვის ა(ან წერტილში ა) თუ რომელიმე დადებითი რიცხვისთვის  არის დადებითი რიცხვი  ისეთი, რომ ყველა x ≠ a, ისეთი, რომ | x – ა | < , выполняется неравенство
| ვ(x) – ა | <  .

ფუნქციის ზღვრის განსაზღვრა წერტილში ჰეინეს მიხედვით.ნომერი ბფუნქციის ზღვარი ეწოდება ზე = ვ(x) ზე Xმიისწრაფვის ა(ან წერტილში ა) თუ რაიმე თანმიმდევრობისთვის ( xო ) თანხვედრა ა(მიისწრაფვის ა, რომელსაც აქვს ლიმიტის ნომერი ა), და ნებისმიერი ღირებულებისთვის n x n≠ ა, შემდგომი ( წ n= ვ(xო)) გადაიყრის ბ.

ეს განმარტებები ვარაუდობენ, რომ ფუნქცია ზე = ვ(x) განსაზღვრულია წერტილის რომელიმე მიდამოში ა, გარდა, ალბათ, მთავარი ა.

ფუნქციის ზღვრის განმარტებები წერტილში კოშისა და ჰაინის მიხედვით ეკვივალენტურია: თუ რიცხვი ბერთ-ერთ მათგანში ლიმიტია, მეორეშიც იგივეა.

მითითებული ლიმიტი მითითებულია შემდეგნაირად:

გეომეტრიულად, ფუნქციის ლიმიტის არსებობა წერტილში კოშის მიხედვით ნიშნავს, რომ ნებისმიერი რიცხვისთვის  > 0, ასეთი მართკუთხედი შეიძლება მიეთითოს კოორდინატულ სიბრტყეზე ფუძით 2 > 0, სიმაღლე 2 და ცენტრი. წერტილში ( ა; ბ) რომ ამ ფუნქციის გრაფიკის ყველა წერტილი ინტერვალზე ( ა– ; ა+ ), წერტილის შესაძლო გამონაკლისის გარდა მ(ა; ვ(ა)), დაწექი ამ მართკუთხედში

ცალმხრივი ლიმიტიმათემატიკური ანალიზისას, რიცხვითი ფუნქციის ზღვარი, რაც გულისხმობს ზღვრულ წერტილს ერთი მხრიდან „მიახლოებას“. ასეთ ლიმიტებს შესაბამისად უწოდებენ მარცხენა ლიმიტი(ან მარცხენა ლიმიტი) და მარჯვენა ლიმიტი (ლიმიტი მარჯვნივ). მოდით, რიცხვითი ფუნქცია იყოს მოცემული რომელიმე რიცხვით სიმრავლეზე და რიცხვი იყოს განსაზღვრების დომენის ზღვრული წერტილი. არსებობს სხვადასხვა განმარტებები ფუნქციის ცალმხრივი საზღვრებისთვის წერტილში, მაგრამ ისინი ყველა ექვივალენტურია.

მოცემულია, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ცნობილია, თუ არგუმენტების შესაძლო რაოდენობის თითოეული მნიშვნელობისთვის შესაძლებელია ფუნქციის შესაბამისი მნიშვნელობის გარკვევა. ყველაზე გავრცელებული სამი ფუნქციის განსაზღვრის მეთოდი: ტაბულური, გრაფიკული, ანალიტიკური, ასევე არსებობს ვერბალური და რეკურსიული მეთოდები.

1. ცხრილის გზა ყველაზე გავრცელებული (ლოგარითმების ცხრილები, კვადრატული ფესვები), მისი მთავარი უპირატესობაა ფუნქციის რიცხობრივი მნიშვნელობის მიღების შესაძლებლობა, ნაკლოვანებები ის არის, რომ ცხრილი შეიძლება იყოს რთული წასაკითხი და ზოგჯერ არ შეიცავს არგუმენტის შუალედურ მნიშვნელობებს. .

Მაგალითად:

x
წ

არგუმენტი Xიღებს ცხრილში მითითებულ მნიშვნელობებს და ზეგანსაზღვრული ამ არგუმენტის მიხედვით X.

2. გრაფიკული გზა შედგება ხაზის (გრაფიკის) დახატვაში, რომელშიც აბსციები წარმოადგენს არგუმენტის მნიშვნელობებს, ხოლო ორდინატები წარმოადგენს ფუნქციის შესაბამის მნიშვნელობებს. ხშირად, სიცხადისთვის, ცულებზე სასწორები განსხვავებულია.

Მაგალითად:განრიგის მოსაძებნად ზე, რომელიც შეესაბამება x = 2.5აუცილებელია ღერძის პერპენდიკულარული დახაზვა Xნიშანზე 2,5 . ნიშანი შეიძლება საკმაოდ ზუსტად გაკეთდეს სახაზავი. შემდეგ ჩვენ ვპოულობთ ამას X = 2,5 ზეუდრის 7,5 , მაგრამ თუ ჩვენ გვჭირდება მნიშვნელობის პოვნა ზეზე Xტოლია 2,76 , მაშინ ფუნქციის დაყენების გრაფიკული გზა საკმარისად ზუსტი არ იქნება, რადგან მმართველი არ იძლევა ასეთი ზუსტი გაზომვის საშუალებას.

ფუნქციების დაყენების ამ მეთოდის უპირატესობაა აღქმის სიმარტივე და მთლიანობა, არგუმენტის ცვლილების უწყვეტობა; მინუსი არის სიზუსტის ხარისხის დაქვეითება და ზუსტი მნიშვნელობების მოპოვების სირთულე.

3. ანალიტიკური მეთოდი მოიცავს ფუნქციის დაზუსტებას ერთი ან მეტი ფორმულით. ამ მეთოდის მთავარი უპირატესობა არის ინტერესის არგუმენტის ფუნქციის განსაზღვრის მაღალი სიზუსტე, ხოლო მინუსი არის დამატებითი მათემატიკური ოპერაციებისთვის დახარჯული დრო.

Მაგალითად:

ფუნქციის დაზუსტება შესაძლებელია მათემატიკური ფორმულის გამოყენებით y=x2,მაშინ თუ Xუდრის 2 , მაშინ ზეუდრის 4, ჩვენ ვაშენებთ Xმოედანზე.

4. სიტყვიერი გზა შედგება მარტივი ენით ფუნქციის განსაზღვრაში, ე.ი. სიტყვები. ამ შემთხვევაში აუცილებელია შეყვანის, გამომავალი მნიშვნელობების და მათ შორის შესაბამისობის მიცემა.

Მაგალითად:

თქვენ შეგიძლიათ სიტყვიერად მიუთითოთ ფუნქცია (დავალება), რომელიც მიიღება ბუნებრივ არგუმენტად Xმნიშვნელობის შემადგენელი ციფრების ჯამის შესაბამისი მნიშვნელობით ზე. ახსენით: თუ Xუდრის 4 , მაშინ ზეუდრის 4 , და თუ Xუდრის 358 , მაშინ ზეჯამის ტოლია 3 + 5 + 8 , ე.ი. 16 . შემდგომ ანალოგიურად.

5. რეკურსიული გზა შედგება ფუნქციის დაზუსტებაში თავისთავად, ხოლო ფუნქციის მნიშვნელობებიგანისაზღვრება მისი სხვა მნიშვნელობებით. ფუნქციის განსაზღვრის ეს გზა გამოიყენება კომპლექტებისა და სერიების განსაზღვრისას.

Მაგალითად:

როცა იშლება ეილერის ნომრებიმოცემულია ფუნქციით:

მისი აბრევიატურა მოცემულია ქვემოთ:

პირდაპირი გაანგარიშებისას ხდება უსასრულო რეკურსია, მაგრამ შეიძლება დადასტურდეს, რომ მნიშვნელობა f(n)მატებასთან ერთად ნმიდრეკილია ერთიანობისკენ (ამიტომ, სერიის უსასრულობის მიუხედავად, მნიშვნელობა ეილერის ნომრებირა თქმა უნდა). ღირებულების სავარაუდო გაანგარიშებისთვის ესაკმარისია ხელოვნურად შემოიფარგლოთ რეკურსიის სიღრმე წინასწარ განსაზღვრულ რიცხვზე და მის ნაცვლად, გამოიყენოთ იგი f(n)ერთეული.