პარალელოგრამი არის ოთხკუთხედი, რომლის მოპირდაპირე გვერდები წყვილი პარალელურია. შემდეგ სურათზე ნაჩვენებია ABCD პარალელოგრამი. მას აქვს AB გვერდი CD გვერდის პარალელურად და BC გვერდი AD გვერდის პარალელურად.

როგორც თქვენ მიხვდით, პარალელოგრამი არის ამოზნექილი ოთხკუთხედი. განვიხილოთ პარალელოგრამის ძირითადი თვისებები.

პარალელოგრამის თვისებები

1. პარალელოგრამში მოპირდაპირე კუთხეები და მოპირდაპირე გვერდები ტოლია. დავამტკიცოთ ეს თვისება - განვიხილოთ პარალელოგრამი, რომელიც ნაჩვენებია შემდეგ ფიგურაში.

დიაგონალი BD ყოფს მას ორ თანაბარ სამკუთხედად: ABD და CBD. ისინი ტოლია BD გვერდით და მის მიმდებარე ორი კუთხით, ვინაიდან BD-ის სეკანტზე მდებარე კუთხეები არის პარალელური წრფეები BC და AD და AB და CD, შესაბამისად. ამიტომ, AB = CD და
BC=ახ.წ. ხოლო 1, 2,3 და 4 კუთხეების ტოლობიდან გამომდინარეობს, რომ კუთხე A = კუთხე1 + კუთხე3 = კუთხე2 + კუთხე4 = კუთხე C.

2. პარალელოგრამის დიაგონალები იკვეთება გადაკვეთის წერტილით. წერტილი O იყოს ABCD პარალელოგრამის AC და BD დიაგონალების გადაკვეთის წერტილი.

მაშინ სამკუთხედი AOB და სამკუთხედი COD ტოლია ერთმანეთის გვერდით და მის მიმდებარე ორი კუთხით. (AB=CD რადგან ისინი პარალელოგრამის საპირისპირო მხარეები არიან. და კუთხე1 = კუთხე2 და კუთხე3 = კუთხე4, როგორც ჯვარედინიანი კუთხეები AB და CD წრფეების გადაკვეთაზე AC და BD სეკანტების მიხედვით.) აქედან გამომდინარეობს, რომ AO = OC და OB = OD, რომელიც და საჭირო იყო დამტკიცება.

ყველა ძირითადი თვისება ილუსტრირებულია შემდეგ სამ ფიგურაში.

გაკვეთილის თემა

• პარალელოგრამის დიაგონალების თვისებები.

გაკვეთილის მიზნები

• გაეცანით ახალ განმარტებებს და გაიხსენეთ უკვე შესწავლილი.
• ჩამოაყალიბეთ და დაამტკიცეთ პარალელოგრამის დიაგონალების თვისება.
• ისწავლეთ ფორმების თვისებების გამოყენება ამოცანების ამოხსნისას.
• განმავითარებელი - მოსწავლეთა ყურადღების განვითარება, შეუპოვრობა, შეუპოვრობა, ლოგიკური აზროვნება, მათემატიკური მეტყველება.
• საგანმანათლებლო - გაკვეთილის საშუალებით ერთმანეთის მიმართ ყურადღებიანი დამოკიდებულების ჩამოყალიბება, ამხანაგების მოსმენის უნარის, ურთიერთდახმარების, დამოუკიდებლობის განვითარება.

გაკვეთილის მიზნები

• შეამოწმეთ მოსწავლეთა პრობლემების გადაჭრის უნარი.

Გაკვეთილის გეგმა

1. შესავალი.
2. ადრე ნასწავლი მასალის გამეორება.
3. პარალელოგრამი, მისი თვისებები და ნიშნები.
4. დავალების მაგალითები.
5. Თვითშემოწმება.

შესავალი

”მთავარი მეცნიერული აღმოჩენა იძლევა ძირითადი პრობლემის გადაწყვეტას, მაგრამ ნებისმიერი პრობლემის გადაჭრაში არის აღმოჩენის მარცვალი.”

პარალელოგრამის მოპირდაპირე გვერდების თვისებები

პარალელოგრამს მოპირდაპირე გვერდები ტოლი აქვს.

მტკიცებულება.

ABCD იყოს მოცემული პარალელოგრამი. და დაე, მისი დიაგონალები იკვეთოს O წერტილში.
ვინაიდან Δ AOB = Δ COD სამკუთხედების ტოლობის პირველი ნიშნით (∠ AOB = ∠ COD, როგორც ვერტიკალური, AO=OC, DO=OB, პარალელოგრამის დიაგონალების თვისებით), მაშინ AB=CD. ანალოგიურად, BOC და DOA სამკუთხედების ტოლობიდან გამომდინარეობს, რომ BC=DA. თეორემა დადასტურდა.

პარალელოგრამის საპირისპირო კუთხეების თვისება

პარალელოგრამს აქვს საპირისპირო კუთხეები.

მტკიცებულება.

ABCD იყოს მოცემული პარალელოგრამი. და დაე, მისი დიაგონალები იკვეთოს O წერტილში.
პარალელოგრამის საპირისპირო გვერდების თვისებებიდან დადასტურებული თეორემაში Δ ABC = Δ CDA სამ მხარეს (AB=CD, BC=DA დადასტურებულიდან, AC ზოგადია). სამკუთხედების ტოლობიდან გამომდინარეობს, რომ ∠ABC = ∠CDA.
ასევე დადასტურებულია, რომ ∠ DAB = ∠ BCD, რომელიც გამომდინარეობს ∠ ABD = ∠ CDB-დან. თეორემა დადასტურდა.

პარალელოგრამის დიაგონალების თვისება

პარალელოგრამის დიაგონალები იკვეთება და გადაკვეთის წერტილი ორად იკვეთება.

მტკიცებულება.

ABCD იყოს მოცემული პარალელოგრამი. დავხატოთ AC დიაგონალი. მასზე ვნიშნავთ შუა O-ს. DO სეგმენტის გაგრძელებაზე ვდებთ DO-ს ტოლი OB 1 სეგმენტს.
წინა თეორემით AB 1 CD არის პარალელოგრამი. მაშასადამე, AB 1 ხაზი DC-ის პარალელურია. მაგრამ A წერტილის გავლით DC-ის პარალელურად მხოლოდ ერთი ხაზის გაყვანა შეიძლება. აქედან გამომდინარე, ხაზი AB 1 ემთხვევა AB ხაზს.
ასევე დასტურდება, რომ ძვ.წ 1 ემთხვევა ძვ.წ. ასე რომ C წერტილი ემთხვევა C 1-ს. პარალელოგრამი ABCD ემთხვევა პარალელოგრამს AB 1 CD. ამრიგად, პარალელოგრამის დიაგონალები იკვეთება და გადაკვეთის წერტილი ორად იკვეთება. თეორემა დადასტურდა.

ჩვეულებრივი სკოლების სახელმძღვანელოებში (მაგალითად, პოგორელოვში) ასეა დადასტურებული: დიაგონალები ყოფენ პარალელოგრამს 4 სამკუთხედად. განვიხილოთ ერთი წყვილი და გაარკვიეთ - ისინი ტოლია: მათი ფუძეები მოპირდაპირე გვერდებია, მის მიმდებარედ შესაბამისი კუთხეები ტოლია, როგორც ვერტიკალური პარალელური ხაზებით. ანუ დიაგონალების სეგმენტები წყვილში ტოლია. ყველაფერი.

Სულ ეს არის?
ზემოთ დადასტურდა, რომ გადაკვეთის წერტილი ყოფს დიაგონალებს - თუ ის არსებობს. ზემოაღნიშნული მსჯელობა არანაირად არ ადასტურებს მის არსებობას. ანუ თეორემის ნაწილი „პარალელოგრამის დიაგონალები იკვეთება“ რჩება დაუმტკიცებელი.

სასაცილოა, რამდენად რთულია ამ ნაწილის დამტკიცება. სხვათა შორის, ეს უფრო ზოგადი შედეგიდან გამომდინარეობს: ნებისმიერი ამოზნექილი ოთხკუთხედისთვის დიაგონალები იკვეთება, ნებისმიერი არაამოზნექილისთვის - არა.

გვერდის გასწვრივ სამკუთხედების და მის მიმდებარე ორი კუთხის ტოლობის შესახებ (სამკუთხედების ტოლობის მეორე ნიშანი) და სხვა.

თეორემა გვერდის გასწვრივ ორი ​​სამკუთხედის და მის მიმდებარე ორი კუთხის ტოლობის შესახებ, თალესმა იპოვა მნიშვნელოვანი პრაქტიკული გამოყენება. მილეტის ნავსადგურში აშენდა დიაპაზონი, რომელიც განსაზღვრავს მანძილს ზღვაზე გემამდე. იგი შედგებოდა სამი ამოძრავებული სამაგრი A, B და C (AB = BC) და მონიშნული სწორი ხაზი SK, პერპენდიკულარული CA. როდესაც გემი გამოჩნდა SC სწორ ხაზზე, აღმოჩნდა D წერტილი ისეთი, რომ D, .B და E წერტილები იმავე სწორ ხაზზე იყო. როგორც ნახატიდან ირკვევა, CD მანძილი ადგილზე არის სასურველი მანძილი გემამდე.

კითხვები

1. კვადრატის დიაგონალები იკვეთება გადაკვეთის წერტილით?
   
2. პარალელოგრამის დიაგონალები ტოლია?
3. პარალელოგრამის საპირისპირო კუთხეები ტოლია?
4. რა არის პარალელოგრამის განმარტება?
5. პარალელოგრამის რამდენი თვისებაა?
   
6. შეიძლება რომბი იყოს პარალელოგრამი?
   

გამოყენებული წყაროების სია

1. კუზნეცოვი A.V., მათემატიკის მასწავლებელი (5-9 კლასები), კიევი
2. „ერთიანი სახელმწიფო გამოცდა 2006წ. მათემატიკა. საგანმანათლებლო და სასწავლო მასალები სტუდენტების მოსამზადებლად / Rosobrnadzor, ISOP - M .: Intellect-Center, 2006 "
3. Mazur K. I. "მ.ი. სკანავის რედაქტორული კრებულის ძირითადი საკონკურსო ამოცანების ამოხსნა მათემატიკაში"
4. ლ.

გაკვეთილზე მუშაობა

კუზნეცოვი A.V.

Poturnak S.A.

ევგენი პეტროვი

თქვენ შეგიძლიათ დასვათ შეკითხვა თანამედროვე განათლების შესახებ, გამოხატოთ აზრი ან გადაწყვიტოთ გადაუდებელი პრობლემა განათლების ფორუმისადაც ახალი აზრისა და მოქმედების საგანმანათლებლო საბჭო იკრიბება საერთაშორისო დონეზე. რომელმაც შექმნა ბლოგი,თქვენ არა მხოლოდ გააუმჯობესებთ კომპეტენტური მასწავლებლის სტატუსს, არამედ მნიშვნელოვან წვლილს შეიტანთ მომავლის სკოლის განვითარებაში. განათლების ლიდერთა გილდიაკარს უხსნის უმაღლესი რანგის სპეციალისტებს და გიწვევთ თანამშრომლობისთვის მსოფლიოში საუკეთესო სკოლების შექმნის მიმართულებით.

საგნები > მათემატიკა > მათემატიკა მე-8 კლასი

როგორც ევკლიდეს გეომეტრიაში, წერტილი და წრფე სიბრტყეების თეორიის ძირითადი ელემენტებია, პარალელოგრამი არის ამოზნექილი ოთხკუთხედების ერთ-ერთი მთავარი ფიგურა. მისგან, ბურთის ძაფების მსგავსად, მიედინება "მართკუთხედის", "კვადრატის", "რომბის" და სხვა გეომეტრიული სიდიდის ცნებები.

კონტაქტში

პარალელოგრამის განმარტება

ამოზნექილი ოთხკუთხედი,სეგმენტებისგან შემდგარი, რომელთა თითოეული წყვილი პარალელურია, გეომეტრიაში ცნობილია როგორც პარალელოგრამი.

როგორ გამოიყურება კლასიკური პარალელოგრამი არის ოთხკუთხედი ABCD. გვერდებს უწოდებენ ფუძეებს (AB, BC, CD და AD), ნებისმიერი წვეროდან ამ წვეროს მოპირდაპირე მხარეს გამოყვანილ პერპენდიკულარს სიმაღლე (BE და BF), ხაზები AC და BD არის დიაგონალები.

ყურადღება!კვადრატი, რომბი და მართკუთხედი პარალელოგრამის განსაკუთრებული შემთხვევებია.

მხარეები და კუთხეები: თანაფარდობის მახასიათებლები

ძირითადი თვისებები, ზოგადად, წინასწარ განსაზღვრული თავად აღნიშვნით, ისინი დასტურდება თეორემით. ეს მახასიათებლები შემდეგია:

1. საპირისპირო მხარეები წყვილებში იდენტურია.
2. კუთხეები, რომლებიც ერთმანეთის საპირისპიროა, წყვილებში ტოლია.

დადასტურება: განვიხილოთ ∆ABC და ∆ADC, რომლებიც მიიღება ოთხკუთხედი ABCD AC წრფეზე გაყოფით. ∠BCA=∠CAD და ∠BAC=∠ACD, ვინაიდან AC მათთვის საერთოა (შესაბამისად, BC||AD და AB||CD ვერტიკალური კუთხეები). აქედან გამომდინარეობს: ∆ABC = ∆ADC (სამკუთხედების ტოლობის მეორე კრიტერიუმი).

AB და BC სეგმენტები ∆ABC-ში წყვილებში შეესაბამება CD ხაზებს და AD ADC-ში, რაც ნიშნავს, რომ ისინი იდენტურია: AB = CD, BC = AD. ამრიგად, ∠B შეესაბამება ∠D-ს და ისინი ტოლია. ვინაიდან ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, რომლებიც ასევე იდენტურია წყვილებში, მაშინ ∠A = ∠C. ქონება დადასტურებულია.

ფიგურის დიაგონალების მახასიათებლები

მთავარი თვისებაეს პარალელოგრამის წრფეები: გადაკვეთის წერტილი მათ ორად ყოფს.

დადასტურება: მოდით, m E იყოს ABCD ფიგურის AC და BD დიაგონალების გადაკვეთის წერტილი. ისინი ქმნიან ორ თანაზომიერ სამკუთხედს - ∆ABE და ∆CDE.

AB=CD რადგან ისინი საპირისპიროა. სტრიქონებისა და სეკანტების მიხედვით ∠ABE = ∠CDE და ∠BAE = ∠DCE.

თანასწორობის მეორე ნიშნის მიხედვით, ∆ABE = ∆CDE. ეს ნიშნავს, რომ ΔABE და ∆CDE ელემენტებია: AE = CE, BE = DE და, უფრო მეტიც, ისინი არიან AC და BD-ის თანაზომიერი ნაწილები. ქონება დადასტურებულია.

მიმდებარე კუთხეების მახასიათებლები

მიმდებარე გვერდებზე კუთხეების ჯამი არის 180°, ვინაიდან ისინი დევს პარალელური წრფეებისა და სეკანტის ერთ მხარეს. ოთხკუთხედი ABCD-სთვის:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

ბისექტორის თვისებები:

1. ერთ მხარეს ჩამოშვებული, პერპენდიკულარულია;
2. მოპირდაპირე წვეროებს აქვთ პარალელური ბისექტრები;
3. ბისექტრის დახაზვით მიღებული სამკუთხედი ტოლფერდა იქნება.

პარალელოგრამის დამახასიათებელი ნიშნების განსაზღვრა თეორემით

ამ ფიგურის მახასიათებლები გამომდინარეობს მისი მთავარი თეორემიდან, რომელიც შემდეგნაირად იკითხება: ოთხკუთხედი ითვლება პარალელოგრამადიმ შემთხვევაში, თუ მისი დიაგონალები იკვეთება და ეს წერტილი ყოფს მათ თანაბარ სეგმენტებად.

დადასტურება: ABCD ოთხკუთხედის AC და BD წრფეები იკვეთება t. E-ში. ვინაიდან ∠AED = ∠BEC და AE+CE=AC BE+DE=BD, მაშინ ∆AED = ∆BEC (სამკუთხედების ტოლობის პირველი ნიშნით). ანუ ∠EAD = ∠ECB. ისინი ასევე არიან AC სექციური გადაკვეთის კუთხეები AD და BC ხაზებისთვის. ამრიგად, პარალელიზმის განმარტებით - AD || ძვ.წ. ასევე მიღებულია BC და CD ხაზების მსგავსი თვისება. თეორემა დადასტურდა.

ფიგურის ფართობის გამოთვლა

ამ ფიგურის ფართობი ნაპოვნია რამდენიმე გზითერთ-ერთი უმარტივესი: სიმაღლისა და ფუძის გამრავლება, რომელზეც ის არის დახატული.

დადასტურება: დახაზეთ BE და CF პერპენდიკულარები B და C წვეროებიდან. ∆ABE და ∆DCF ტოლია, რადგან AB = CD და BE = CF. ABCD უდრის EBCF მართკუთხედს, რადგან ისინი ასევე შედგება პროპორციული ფიგურებისგან: S ABE და S EBCD, ასევე S DCF და S EBCD. აქედან გამომდინარეობს, რომ ამ გეომეტრიული ფიგურის ფართობი იგივეა, რაც მართკუთხედის ფართობი:

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

პარალელოგრამის ფართობის ზოგადი ფორმულის დასადგენად, ჩვენ აღვნიშნავთ სიმაღლეს, როგორც hb, და მხარე ბ. შესაბამისად:

ტერიტორიის პოვნის სხვა გზები

ფართობის გამოთვლები პარალელოგრამის გვერდებისა და კუთხის გავლით, რომელსაც ისინი ქმნიან, მეორე ცნობილი მეთოდია.

,

სპრ-მა - ფართობი;

a და b არის მისი მხარეები

α - კუთხე a და b სეგმენტებს შორის.

ეს მეთოდი პრაქტიკულად ეფუძნება პირველს, მაგრამ იმ შემთხვევაში, თუ ის უცნობია. ყოველთვის წყვეტს მართკუთხა სამკუთხედს, რომლის პარამეტრებიც გვხვდება ტრიგონომეტრიული იდენტობებით, ე.ი. თანაფარდობის გარდაქმნით, ვიღებთ. პირველი მეთოდის განტოლებაში ჩვენ ვცვლით სიმაღლეს ამ ნამრავლით და ვიღებთ ამ ფორმულის მართებულობის დადასტურებას.

პარალელოგრამისა და კუთხის დიაგონალების მეშვეობით,რომელსაც ისინი ქმნიან გადაკვეთისას, თქვენ ასევე შეგიძლიათ იპოვოთ ტერიტორია.

დადასტურება: AC და BD, რომლებიც კვეთენ ოთხ სამკუთხედს: ABE, BEC, CDE და AED. მათი ჯამი უდრის ამ ოთხკუთხედის ფართობს.

თითოეული ამ Δ-ის ფართობი შეგიძლიათ იხილოთ გამოსახულებიდან, სადაც a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. ვინაიდან , მაშინ გამოთვლებში გამოიყენება სინუსის ერთი მნიშვნელობა. ე.ი. ვინაიდან AE+CE=AC= d 1 და BE+DE=BD= d 2 , ფართობის ფორმულა მცირდება:

.

გამოყენება ვექტორულ ალგებრაში

ამ ოთხკუთხედის შემადგენელი ნაწილების მახასიათებლებმა იპოვეს გამოყენება ვექტორულ ალგებრაში, კერძოდ: ორი ვექტორის დამატება. პარალელოგრამის წესი ამბობს, რომ თუ მოცემულია ვექტორებიდაარაარიან კოლინარული, მაშინ მათი ჯამი ტოლი იქნება ამ ფიგურის დიაგონალის, რომლის ფუძეები შეესაბამება ამ ვექტორებს.

მტკიცებულება: თვითნებურად არჩეული დასაწყისიდან – ე.ი. - ვაშენებთ ვექტორებს და . შემდეგი, ჩვენ ვაშენებთ პარალელოგრამს OASV, სადაც OA და OB სეგმენტები გვერდებია. ამრიგად, OS დევს ვექტორზე ან ჯამზე.

პარალელოგრამის პარამეტრების გამოთვლის ფორმულები

პირადობა მოცემულია შემდეგ პირობებში:

1. a და b, α - გვერდები და მათ შორის კუთხე;
2. d 1 და d 2 , γ - დიაგონალები და მათი გადაკვეთის ადგილზე;
3. h a და h b - სიმაღლეები დაშვებულია a და b გვერდებზე;

Პარამეტრი	ფორმულა
მხარეების პოვნა
დიაგონალების და მათ შორის კუთხის კოსინუსის გასწვრივ
დიაგონალზე და გვერდით
სიმაღლისა და საპირისპირო წვეროს მეშვეობით
დიაგონალების სიგრძის პოვნა
გვერდებზე და მათ შორის ზედა ზომა

მნიშვნელოვანი შენიშვნები!
1. თუ ფორმულების ნაცვლად ხედავთ აბრაკადაბრას, გაასუფთავეთ თქვენი ქეში. როგორ გავაკეთოთ ეს თქვენს ბრაუზერში წერია აქ:
2. სანამ სტატიის კითხვას დაიწყებთ, ყურადღება მიაქციეთ ჩვენს ნავიგატორს ყველაზე სასარგებლო რესურსისთვის

1. პარალელოგრამი

რთული სიტყვა „პარალელოგრამი“? და მის უკან არის ძალიან მარტივი ფიგურა.

ანუ, ჩვენ ავიღეთ ორი პარალელური ხაზი:

გადაკვეთა კიდევ ორი:

შიგნით კი - პარალელოგრამი!

რა თვისებები აქვს პარალელოგრამს?

პარალელოგრამის თვისებები.

ანუ რა შეიძლება გამოვიყენოთ თუ პრობლემაში პარალელოგრამია მოცემული?

ამ კითხვაზე პასუხი გაცემულია შემდეგი თეორემით:

მოდით დავხატოთ ყველაფერი დეტალურად.

Რას თეორემის პირველი წერტილი? და ის ფაქტი, რომ თუ თქვენ გაქვთ პარალელოგრამი, მაშინ აუცილებლად

მეორე აბზაცი ნიშნავს, რომ თუ არის პარალელოგრამი, მაშინ, ისევ, აუცილებლად:

და ბოლოს, მესამე წერტილი ნიშნავს, რომ თუ პარალელოგრამი გაქვთ, მაშინ დარწმუნდით:

ნახეთ, რა სიმდიდრეა არჩევანი? რა გამოვიყენოთ დავალებაში? შეეცადეთ ფოკუსირება მოახდინოთ დავალების საკითხზე, ან უბრალოდ სცადეთ ყველაფერი თავის მხრივ - რაიმე სახის "გასაღები" გამოდგება.

ახლა კი დავუსვათ საკუთარ თავს კიდევ ერთი შეკითხვა: როგორ ამოვიცნოთ პარალელოგრამი „სახეზე“? რა უნდა დაემართოს ოთხკუთხედს, რომ ჩვენ გვქონდეს უფლება მივცეთ მას პარალელოგრამის „სათაური“?

ამ კითხვას პასუხობს პარალელოგრამის რამდენიმე ნიშანი.

პარალელოგრამის მახასიათებლები.

ყურადღება! დაწყება.

პარალელოგრამი.

მიაქციეთ ყურადღება: თუ თქვენს პრობლემაში ერთი ნიშანი მაინც იპოვეთ, მაშინ ზუსტად პარალელოგრამი გაქვთ და შეგიძლიათ გამოიყენოთ პარალელოგრამის ყველა თვისება.

2. მართკუთხედი

არა მგონია, ეს თქვენთვის სიახლე იყოს.

პირველი კითხვაა: არის თუ არა მართკუთხედი პარალელოგრამი?

რა თქმა უნდა არის! ბოლოს და ბოლოს, მას აქვს - გახსოვთ, ჩვენი ნიშანი 3?

და აქედან, რა თქმა უნდა, აქედან გამომდინარეობს, რომ მართკუთხედისთვის, ისევე როგორც ნებისმიერი პარალელოგრამისთვის, და, და დიაგონალები იყოფა გადაკვეთის წერტილით შუაზე.

მაგრამ არის მართკუთხედი და ერთი გამორჩეული თვისება.

მართკუთხედის თვისება

რატომ არის ეს ქონება გამორჩეული? რადგან არცერთ სხვა პარალელოგრამს არ აქვს თანაბარი დიაგონალები. უფრო ნათლად ჩამოვაყალიბოთ.

ყურადღება მიაქციეთ: იმისათვის, რომ ოთხკუთხედი გახდეს, ოთხკუთხედი ჯერ პარალელოგრამი უნდა იქცეს, შემდეგ კი დიაგონალების ტოლობა წარმოადგინოს.

3. ბრილიანტი

და ისევ ისმის კითხვა: რომბი პარალელოგრამია თუ არა?

სრული უფლებით - პარალელოგრამი, რადგან მას აქვს და (გაიხსენეთ ჩვენი ნიშანი 2).

და კიდევ, რადგან რომბი არის პარალელოგრამი, მაშინ მას უნდა ჰქონდეს პარალელოგრამის ყველა თვისება. ეს ნიშნავს, რომ რომბს აქვს საპირისპირო კუთხეები ტოლი, მოპირდაპირე მხარეები პარალელურია და დიაგონალები იკვეთება გადაკვეთის წერტილით.

რომბის თვისებები

Შეხედე სურათს:

როგორც მართკუთხედის შემთხვევაში, ეს თვისებები განმასხვავებელია, ანუ თითოეული ამ თვისებისთვის შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ გვაქვს არა მხოლოდ პარალელოგრამი, არამედ რომბი.

რომბის ნიშნები

და კიდევ ერთხელ მიაქციეთ ყურადღება: უნდა იყოს არა მხოლოდ ოთხკუთხედი პერპენდიკულარული დიაგონალებით, არამედ პარალელოგრამი. Დარწმუნდი:

არა, რა თქმა უნდა არა, თუმცა მისი დიაგონალები და პერპენდიკულარულია, ხოლო დიაგონალი არის u კუთხეების ბისექტორი. მაგრამ ... დიაგონალები არ იყოფა, გადაკვეთის წერტილი შუაზე, მაშასადამე - არა პარალელოგრამი და, შესაბამისად, არა რომბი.

ანუ კვადრატი ერთდროულად არის მართკუთხედი და რომბი. ვნახოთ რა გამოვა აქედან.

გასაგებია რატომ? - რომბი - A კუთხის ბისექტორი, რომელიც უდრის. ასე რომ, ის იყოფა (და ასევე) ორ კუთხედ გასწვრივ.

ისე, სავსებით გასაგებია: მართკუთხედის დიაგონალები ტოლია; რომბის დიაგონალები პერპენდიკულარულია, ხოლო ზოგადად - პარალელოგრამის დიაგონალები იყოფა გადაკვეთის წერტილით შუაზე.

შუა დონე

ოთხკუთხედების თვისებები. პარალელოგრამი

პარალელოგრამის თვისებები

ყურადღება! სიტყვები " პარალელოგრამის თვისებები» ნიშნავს, რომ თუ გაქვთ დავალება იქ არისპარალელოგრამი, მაშინ შეიძლება გამოყენებულ იქნას ყველა ქვემოთ ჩამოთვლილი.

თეორემა პარალელოგრამის თვისებების შესახებ.

ნებისმიერ პარალელოგრამაში:

ვნახოთ, რატომ არის ეს სიმართლე, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ ჩვენ დავამტკიცებთთეორემა.

რატომ არის 1) მართალია?

ვინაიდან ის პარალელოგრამია, მაშინ:

• როგორც ჯვარედინი წოლა
• როგორც წევს.

მაშასადამე, (II საფუძველზე: და - ზოგადი.)

აბა, ერთხელ, მერე - ესე იგი! - დაამტკიცა.

მაგრამ სხვათა შორის! ჩვენც დავამტკიცეთ 2)!

რატომ? მაგრამ ბოლოს და ბოლოს (შეხედეთ სურათს), ეს არის, კერძოდ, იმიტომ.

დარჩა მხოლოდ 3).

ამისათვის თქვენ ჯერ კიდევ უნდა დახაზოთ მეორე დიაგონალი.

ახლა კი ვხედავთ, რომ - II ნიშნის მიხედვით (კუთხე და გვერდი „მათ შორის“).

თვისებები დადასტურებულია! მოდით გადავიდეთ ნიშნებზე.

პარალელოგრამის მახასიათებლები

შეგახსენებთ, რომ პარალელოგრამის ნიშანი პასუხობს კითხვას „როგორ გავარკვიოთ?“ რომ ფიგურა პარალელოგრამია.

ხატებში ეს ასეა:

რატომ? კარგი იქნებოდა იმის გაგება, თუ რატომ - საკმარისია. მაგრამ შეხედე:

კარგად, ჩვენ გავარკვიეთ, რატომ არის 1 ნიშანი ჭეშმარიტი.

ისე, ეს კიდევ უფრო ადვილია! ისევ დავხატოთ დიაგონალი.

Რაც ნიშნავს:

დაასევე ადვილია. მაგრამ... განსხვავებული!

ნიშნავს,. Ვაუ! მაგრამ ასევე - შიდა ცალმხრივი სეკანტში!

მაშასადამე ის ფაქტი, რაც იმას ნიშნავს.

და თუ მეორე მხრიდან შეხედავ, მაშინ ისინი შიდა ცალმხრივია სეკანტში! Და, შესაბამისად.

ნახეთ, რა მაგარია?!

და ისევ უბრალოდ:

ზუსტად იგივე და.

Ყურადღებით:თუ იპოვე მინიმუმპარალელოგრამის ერთი ნიშანი თქვენს პრობლემაში, მაშინ გაქვთ ზუსტადპარალელოგრამი და შეგიძლიათ გამოიყენოთ ყველასპარალელოგრამის თვისებები.

სრული სიცხადისთვის, შეხედეთ დიაგრამას:

ოთხკუთხედების თვისებები. მართკუთხედი.

მართკუთხედის თვისებები:

პუნქტი 1) საკმაოდ აშკარაა - ბოლოს და ბოლოს, ნიშანი 3 () უბრალოდ შესრულებულია

და წერტილი 2) - ძალიან მნიშვნელოვანი. ასე რომ დავამტკიცოთ

ასე რომ, ორ ფეხზე (და - ზოგადად).

კარგი, რადგან სამკუთხედები ტოლია, მათი ჰიპოტენუსებიც ტოლია.

დაამტკიცა ეს!

და წარმოიდგინეთ, დიაგონალების ტოლობა არის მართკუთხედის განმასხვავებელი თვისება ყველა პარალელოგრამას შორის. ანუ, შემდეგი განცხადება მართალია

ვნახოთ რატომ?

ასე რომ, (იგულისხმება პარალელოგრამის კუთხეები). მაგრამ კიდევ ერთხელ გახსოვდეთ, რომ - პარალელოგრამი და ამიტომ.

ნიშნავს,. და, რა თქმა უნდა, აქედან გამომდინარეობს, რომ თითოეული მათგანი ბოლოს და ბოლოს, იმ ოდენობით, რაც მათ უნდა მისცეს!

აქ ჩვენ დავამტკიცეთ, რომ თუ პარალელოგრამიმოულოდნელად (!) იქნება თანაბარი დიაგონალები, მაშინ ეს ზუსტად მართკუთხედი.

მაგრამ! Ყურადღებით!ეს არის დაახლოებით პარალელოგრამები! არა რომელიმეთანაბარი დიაგონალის მქონე ოთხკუთხედი არის მართკუთხედი და მხოლოდპარალელოგრამი!

ოთხკუთხედების თვისებები. რომბი

და ისევ ისმის კითხვა: რომბი პარალელოგრამია თუ არა?

სრული უფლებით - პარალელოგრამი, რადგან მას აქვს და (გაიხსენეთ ჩვენი ნიშანი 2).

და კიდევ, რადგან რომბი არის პარალელოგრამი, მას უნდა ჰქონდეს პარალელოგრამის ყველა თვისება. ეს ნიშნავს, რომ რომბს აქვს საპირისპირო კუთხეები ტოლი, მოპირდაპირე მხარეები პარალელურია და დიაგონალები იკვეთება გადაკვეთის წერტილით.

მაგრამ ასევე არსებობს სპეციალური თვისებები. ჩვენ ვაყალიბებთ.

რომბის თვისებები

რატომ? ისე, რადგან რომბი არის პარალელოგრამი, მაშინ მისი დიაგონალები იყოფა შუაზე.

რატომ? დიახ, ამიტომ!

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, დიაგონალები და აღმოჩნდა რომბის კუთხეების ბისექტრები.

როგორც მართკუთხედის შემთხვევაში, ეს თვისებები არის გამორჩეული, თითოეული მათგანი ასევე რომბის ნიშანია.

რომბის ნიშნები.

Რატომ არის, რომ? და შეხედე

აქედან გამომდინარე, და ორივეეს სამკუთხედები ტოლფერდაა.

რომბი რომ იყოს, ოთხკუთხედი ჯერ პარალელოგრამად უნდა „გახდეს“ და შემდეგ უკვე აჩვენოს მახასიათებელი 1 ან 2.

ოთხკუთხედების თვისებები. მოედანი

ანუ კვადრატი ერთდროულად არის მართკუთხედი და რომბი. ვნახოთ რა გამოვა აქედან.

გასაგებია რატომ? კვადრატი - რომბი - კუთხის ბისექტორი, რომელიც უდრის. ასე რომ, ის იყოფა (და ასევე) ორ კუთხედ გასწვრივ.

ისე, სავსებით გასაგებია: მართკუთხედის დიაგონალები ტოლია; რომბის დიაგონალები პერპენდიკულარულია, ხოლო ზოგადად - პარალელოგრამის დიაგონალები იყოფა გადაკვეთის წერტილით შუაზე.

რატომ? უბრალოდ გამოიყენეთ პითაგორას თეორემა.

შემაჯამებელი და ძირითადი ფორმულა

პარალელოგრამის თვისებები:

1. მოპირდაპირე მხარეები ტოლია: , .
2. საპირისპირო კუთხეებია: , .
3. კუთხეები ერთ მხარეს ემატება: , .
4. დიაგონალები იყოფა გადაკვეთის წერტილით: .

მართკუთხედის თვისებები:

1. მართკუთხედის დიაგონალებია: .
2. მართკუთხედი არის პარალელოგრამი (პარალელოგრამის ყველა თვისება სრულდება მართკუთხედისთვის).

რომბის თვისებები:

1. რომბის დიაგონალები პერპენდიკულარულია: .
2. რომბის დიაგონალები მისი კუთხეების ბისექტრებია: ; ; ; .
3. რომბი არის პარალელოგრამი (პარალელოგრამის ყველა თვისება შესრულებულია რომბისთვის).

კვადრატული თვისებები:

კვადრატი არის რომბი და მართკუთხედი ერთდროულად, ამიტომ კვადრატისთვის სრულდება მართკუთხედის და რომბის ყველა თვისება. Ისევე, როგორც:

ხო, თემა დასრულდა. თუ ამ სტრიქონებს კითხულობ, მაშინ ძალიან მაგარი ხარ.

იმიტომ რომ ადამიანების მხოლოდ 5%-ს შეუძლია რაღაცის დაუფლება დამოუკიდებლად. და თუ ბოლომდე წაიკითხე, მაშინ 5%-ში ხარ!

ახლა ყველაზე მთავარი.

თქვენ გაარკვიეთ თეორია ამ თემაზე. და, ვიმეორებ, ეს ... უბრალოდ სუპერა! თქვენ უკვე უკეთესი ხართ, ვიდრე თქვენი თანატოლების უმრავლესობა.

პრობლემა ის არის, რომ ეს შეიძლება არ იყოს საკმარისი ...

Რისთვის?

გამოცდის წარმატებით ჩაბარებისთვის, ბიუჯეტში ინსტიტუტში ჩასაბარებლად და, რაც მთავარია, უვადოდ.

არაფერში არ დაგარწმუნებთ, მხოლოდ ერთს გეტყვით...

ადამიანები, რომლებმაც მიიღეს კარგი განათლება, ბევრად მეტს გამოიმუშავებენ, ვიდრე მათ, ვინც არ მიუღია. ეს არის სტატისტიკა.

მაგრამ ეს არ არის მთავარი.

მთავარია, რომ ისინი უფრო ბედნიერები არიან (არის ასეთი კვლევები). ალბათ იმიტომ, რომ ბევრად მეტი შესაძლებლობა იხსნება მათ წინაშე და ცხოვრება უფრო ნათელი ხდება? არ ვიცი...

მაგრამ შენ თვითონ იფიქრე...

რა არის საჭირო იმისთვის, რომ გამოცდაზე სხვებზე უკეთესი იყო და საბოლოოდ ... ბედნიერი?

შეავსეთ ხელი, გადაჭრით პრობლემებს ამ თემაზე.

გამოცდაზე თეორიას არ მოგთხოვენ.

დაგჭირდებათ დროულად მოაგვარეთ პრობლემები.

და, თუ თქვენ არ მოაგვარეთ ისინი (ბევრი!), აუცილებლად დაუშვებთ სადღაც სულელურ შეცდომას ან უბრალოდ დროულად არ დაუშვებთ.

ეს სპორტშია - თქვენ უნდა გაიმეოროთ ბევრჯერ, რომ აუცილებლად გაიმარჯვოთ.

იპოვეთ კოლექცია სადაც გინდათ აუცილებლად გადაწყვეტილებებით, დეტალური ანალიზითდა გადაწყვიტე, გადაწყვიტე, გადაწყვიტე!

თქვენ შეგიძლიათ გამოიყენოთ ჩვენი ამოცანები (აუცილებელი არ არის) და ჩვენ აუცილებლად გირჩევთ მათ.

იმისათვის, რომ ხელი მოკიდოთ ჩვენს ამოცანებს, თქვენ უნდა დაეხმაროთ YouClever სახელმძღვანელოს სიცოცხლის გახანგრძლივებას, რომელსაც ამჟამად კითხულობთ.

Როგორ? არის ორი ვარიანტი:

1. განბლოკეთ წვდომა ამ სტატიაში ყველა ფარულ ამოცანაზე -
2. განბლოკეთ წვდომა ყველა ფარულ დავალებაზე სახელმძღვანელოს 99-ვე სტატიაში - შეიძინეთ სახელმძღვანელო - 499 რუბლი

დიახ, ჩვენ გვაქვს 99 ასეთი სტატია სახელმძღვანელოში და წვდომა ყველა დავალებაზე და მათში ყველა ფარულ ტექსტზე შეიძლება დაუყოვნებლივ გაიხსნას.

ყველა ფარულ ამოცანაზე წვდომა უზრუნველყოფილია საიტის მთელი სიცოცხლის განმავლობაში.

Საბოლოოდ...

თუ არ მოგწონთ ჩვენი ამოცანები, იპოვეთ სხვები. უბრალოდ არ გაჩერდე თეორიით.

"გასაგებია" და "მე ვიცი როგორ გადაჭრა" სრულიად განსხვავებული უნარებია. ორივე გჭირდება.

იპოვე პრობლემები და მოაგვარე!