არჩევითი საგნის თემა

რიცხვითი და ასოებით გამონათქვამების გადაქცევა

რაოდენობა 34 საათი

უმაღლესი მათემატიკის მასწავლებელი

მემორანდუმი "51-ე საშუალო სკოლა"

სარატოვი, 2008 წ

არჩევითი საგნის პროგრამა

"ციფრული და ასოებით გამოთქმების გადაქცევა"

განმარტებითი შენიშვნა

ბოლო წლებში სკოლებში დამამთავრებელი გამოცდები, ასევე უნივერსიტეტებში მისაღები გამოცდები ტესტების დახმარებით ტარდება. ტესტირების ეს ფორმა განსხვავდება კლასიკური გამოცდისგან და მოითხოვს სპეციფიკურ მომზადებას. დღემდე შემუშავებული ფორმით ტესტირების მახასიათებელია დროის შეზღუდულ პერიოდში უამრავ კითხვებზე პასუხის გაცემის აუცილებლობა, ანუ საჭიროა არა მხოლოდ დასმულ კითხვებზე პასუხის გაცემა, არამედ მისი სწრაფად გაკეთებაც. აქედან გამომდინარე, მნიშვნელოვანია, დაეუფლონ სხვადასხვა ტექნიკას, მეთოდებს, რომლებიც საშუალებას მოგცემთ მიაღწიოთ სასურველ შედეგს.

თითქმის ნებისმიერი სასკოლო პრობლემის გადაჭრისას, თქვენ უნდა გააკეთოთ გარკვეული ტრანსფორმაციები. ხშირად, მისი სირთულე მთლიანად განისაზღვრება სირთულის ხარისხითა და ტრანსფორმაციების ოდენობით, რომლებიც უნდა შესრულდეს. არც ისე იშვიათია, როდესაც მოსწავლე ვერ ახერხებს პრობლემის გადაჭრას, არა იმიტომ, რომ არ იცის როგორ წყდება, არამედ იმიტომ, რომ არ შეუძლია შეცდომის გარეშე განახორციელოს ყველა საჭირო გარდაქმნა და გამოთვლა გონივრულ დროში.

არჩევითი კურსი „რიცხვითი და ასოებით გამოსახულებების კონვერტაცია“ აფართოებს და აღრმავებს საშუალო სკოლაში მათემატიკაში საბაზისო პროგრამას და განკუთვნილია მე-11 კლასში შესასწავლად. შემოთავაზებული კურსი მიზნად ისახავს გამოთვლითი უნარების განვითარებას და აზროვნების სიმკვეთრეს. კურსი განკუთვნილია მათემატიკური მომზადების მაღალი ან საშუალო დონის სტუდენტებისთვის და შექმნილია იმისთვის, რომ დაეხმარონ მათ მოემზადონ უნივერსიტეტებში ჩასაბარებლად, ხელი შეუწყონ სერიოზული მათემატიკური განათლების გაგრძელებას.

Მიზნები და ამოცანები:

რიცხვებისა და მათთან მოქმედებების შესახებ მოსწავლეთა ცოდნის სისტემატიზაცია, განზოგადება და გაფართოება;

მოსწავლეთა დამოუკიდებლობის, შემოქმედებითი აზროვნების და შემეცნებითი ინტერესის განვითარება;

გამოთვლითი პროცესისადმი ინტერესის ფორმირება;

სტუდენტების ადაპტაცია უნივერსიტეტებში შესვლის ახალ წესებთან.

Მოსალოდნელი შედეგები:

რიცხვთა კლასიფიკაციის ცოდნა;

სწრაფი დათვლის უნარებისა და შესაძლებლობების გაუმჯობესება;

მათემატიკური აპარატის გამოყენების უნარი სხვადასხვა ამოცანების გადაჭრაში;

საგანმანათლებლო და თემატური გეგმა

გეგმა არის 34 საათის განმავლობაში. იგი შედგენილია დიპლომის თემის გათვალისწინებით, ამიტომ განიხილება ორი ცალკეული ნაწილი: რიცხვითი და ანბანური გამონათქვამები. მასწავლებლის შეხედულებისამებრ, ანბანური გამონათქვამები შეიძლება განიხილებოდეს ციფრულთან ერთად შესაბამის თემებში.

		საათების რაოდენობა
	რიცხვითი გამონათქვამები Მთელი რიცხვები მათემატიკური ინდუქციის მეთოდი Რაციონალური რიცხვი ათწილადი პერიოდული წილადები ირაციონალური რიცხვები ფესვები და ხარისხები ლოგარითმები ტრიგონომეტრიული ფუნქციები შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციები რთული რიცხვები ტესტი თემაზე "რიცხობრივი გამონათქვამები" რიცხვითი გამონათქვამების შედარება პირდაპირი გამონათქვამები გამონათქვამების გადაქცევა რადიკალებით ძალის გამოხატვის ტრანსფორმაცია ლოგარითმული გამონათქვამების კონვერტაცია ტრიგონომეტრიული გამონათქვამების კონვერტაცია Ფინალური ტესტი

მთელი რიცხვები (4 სთ)

ნომრის მწკრივი. არითმეტიკის ფუნდამენტური თეორემა. NOD და NOC. გაყოფის ნიშნები. მათემატიკური ინდუქციის მეთოდი.

რაციონალური რიცხვები (2სთ)

რაციონალური რიცხვის განმარტება. წილადის ძირითადი თვისება. შემოკლებული გამრავლების ფორმულები. პერიოდული წილადის განმარტება. ათობითი პერიოდული წილადიდან ჩვეულებრივზე გადაყვანის წესი.

ირაციონალური რიცხვები. რადიკალები. ხარისხები. ლოგარითმები (6 სთ)

ირაციონალური რიცხვის განმარტება. რიცხვის ირაციონალურობის დადასტურება. მნიშვნელში ირაციონალურობის მოშორება. რეალური რიცხვები. ხარისხის თვისებები. n ხარისხის არითმეტიკული ფესვის თვისებები. ლოგარითმის განმარტება. ლოგარითმების თვისებები.

ტრიგონომეტრიული ფუნქციები (4სთ)

რიცხვის წრე. ძირითადი კუთხეების ტრიგონომეტრიული ფუნქციების რიცხვითი მნიშვნელობები. კუთხის გადაყვანა გრადუსიდან რადიანად და პირიქით. ძირითადი ტრიგონომეტრიული ფორმულები. ჩამოსხმის ფორმულები. შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციები. ტრიგონომეტრიული მოქმედებები რკალის ფუნქციებზე. რკალის ფუნქციებს შორის ძირითადი ურთიერთობები.

რთული რიცხვები (2 სთ)

რთული რიცხვის კონცეფცია. ოპერაციები რთული რიცხვებით. რთული რიცხვის ტრიგონომეტრიული და ექსპონენციალური ფორმები.

შუალედური ტესტირება (2 სთ)

რიცხვითი გამონათქვამების შედარება (4სთ)

რიცხვითი უტოლობები ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლეზე. რიცხვითი უტოლობების თვისებები. უთანასწორობის მხარდაჭერა. რიცხვითი უტოლობების დადასტურების მეთოდები.

ასოების გამონათქვამები (8 სთ)

ცვლადებით გამონათქვამების გარდაქმნის წესები: მრავალწევრები; ალგებრული წილადები; ირაციონალური გამონათქვამები; ტრიგონომეტრიული და სხვა გამონათქვამები. იდენტობისა და უთანასწორობის დამადასტურებელი საბუთი. გამონათქვამების გამარტივება.

არჩევითი საგნის 1 ნაწილი: „რიცხვითი გამონათქვამები“

აქტივობა 1(2 საათი)

გაკვეთილის თემა: Მთელი რიცხვები

გაკვეთილის მიზნები:რიცხვების შესახებ მოსწავლეთა ცოდნის განზოგადება და სისტემატიზაცია; გავიხსენოთ GCD და NOC ცნებები; გააფართოვოს ცოდნა გაყოფის ნიშნების შესახებ; მთელი რიცხვებით გადაწყვეტილი ამოცანების განხილვა.

გაკვეთილების დროს

მე. შესავალი ლექცია.

ნომრის კლასიფიკაცია:

მთელი რიცხვები;

Მთელი რიცხვები;

Რაციონალური რიცხვი;

რეალური რიცხვები;

რთული რიცხვები.

რიცხვების სერიების გაცნობა სკოლაში იწყება ნატურალური რიცხვის ცნებით. ობიექტების დათვლაში გამოყენებული რიცხვები ეწოდება ბუნებრივი.ნატურალური რიცხვების სიმრავლე აღინიშნება N-ით. ნატურალური რიცხვები იყოფა მარტივ და კომპოზიტურად. პირველ რიცხვებს აქვთ მხოლოდ ორი გამყოფი ერთი და თავად რიცხვი, ხოლო შედგენილ რიცხვებს აქვთ ორზე მეტი გამყოფი. არითმეტიკის ფუნდამენტური თეორემაამბობს: „1-ზე მეტი ნებისმიერი ნატურალური რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს მარტივი რიცხვების ნამრავლად (აუცილებლად არა განსხვავებული) და, უფრო მეტიც, უნიკალური გზით (ფაქტორების რიგითობამდე)“.

კიდევ ორი ​​მნიშვნელოვანი არითმეტიკული ცნება დაკავშირებულია ნატურალურ რიცხვებთან: უდიდესი საერთო გამყოფი (GCD) და უმცირესი საერთო ჯერადი (LCM). თითოეული ეს კონცეფცია რეალურად განსაზღვრავს საკუთარ თავს. მრავალი პრობლემის გადაჭრას ხელს უწყობს გაყოფის ნიშნები, რომლებიც უნდა გვახსოვდეს.

2-ზე გაყოფის ნიშანი . რიცხვი იყოფა 2-ზე, თუ მისი ბოლო ციფრი არის ლუწი ან o.

გაყოფა 4 ნიშნით . რიცხვი იყოფა 4-ზე, თუ ბოლო ორი ციფრი არის ნულები ან ქმნიან რიცხვს, რომელიც იყოფა 4-ზე.

8-ზე გაყოფის ნიშანი. რიცხვი იყოფა 8-ზე, თუ მისი ბოლო სამი ციფრი არის ნულები ან ქმნიან რიცხვს, რომელიც იყოფა 8-ზე.

3 და 9-ის გაყოფის კრიტერიუმები. მხოლოდ ის რიცხვები იყოფა 3-ზე, რომლებისთვისაც ციფრების ჯამი იყოფა 3-ზე; 9-ზე - მხოლოდ ის, რომლებშიც ციფრების ჯამი იყოფა 9-ზე.

6-ზე გაყოფის ნიშანი. რიცხვი იყოფა 6-ზე, თუ იგი იყოფა 2-ზე და 3-ზე.

5-ზე გაყოფის ნიშანი . ხუთზე იყოფა რიცხვები, რომელთა ბოლო ციფრი არის 0 ან 5.

25-ზე გაყოფის ნიშანი. 25-ზე იყოფა რიცხვები, რომელთა ბოლო ორი ციფრი არის ნულები ან ქმნიან რიცხვს, რომელიც იყოფა 25-ზე.

10,100,1000-ზე გაყოფის ნიშნები. მხოლოდ ის რიცხვები, რომელთა ბოლო ციფრი არის 0, იყოფა 10-ზე, მხოლოდ ის რიცხვები, რომელთა ბოლო ორი ციფრი არის 0, იყოფა 100-ზე, მხოლოდ ის რიცხვები, რომელთა ბოლო სამი ციფრი არის 0, იყოფა 1000-ზე.

11-ზე გაყოფის ნიშანი . მხოლოდ ის რიცხვები იყოფა 11-ზე, რომლებისთვისაც კენტი ადგილების მქონე ციფრების ჯამი ან ტოლია ლუწი ადგილების მქონე ციფრების ჯამს, ან მისგან განსხვავდება 11-ზე გაყოფილი რიცხვით.

პირველ გაკვეთილზე შევხედავთ ბუნებრივ და მთელ რიცხვებს. მთლიანირიცხვები ნატურალური რიცხვებია, მათი საპირისპირო რიცხვები და ნული. მთელი რიცხვების სიმრავლე აღინიშნება Z-ით.

II. Პრობლემის გადაჭრა.

მაგალითი 1. ფაქტორიზაცია: ა) 899; ბ) 1000027.

გამოსავალი: ა) ;

ბ) მაგალითი 2. იპოვეთ 2585 და 7975 რიცხვების GCD.

გამოსავალი: გამოვიყენოთ ევკლიდის ალგორითმი:

თუ https://pandia.ru/text/78/342/images/image004_155.gif" width="167" height="29 src=">;

https://pandia.ru/text/78/342/images/image006_127.gif" width="88" height="29 src=">.gif" width="16" height="29">

220 |165 -

165|55 -

პასუხი: gcd(2585,7975) = 55.

მაგალითი 3 გამოთვალეთ:

ამოხსნა: = 1987100011989. მეორე პროდუქტი უდრის იგივე მნიშვნელობას. აქედან გამომდინარე, განსხვავება არის 0.

მაგალითი 4. იპოვეთ GCD და LCM ნომრები ა) 5544 და 1404; ბ) 198, 504 და 780 წ.

პასუხები: ა) 36; 49896; ბ) 6; 360360.

მაგალითი 5. იპოვეთ კოეფიციენტი და ნაშთი გაყოფისას

ა) 5-დან 7-მდე; https://pandia.ru/text/78/342/images/image013_75.gif" width="109" height="20 src=">;

გ) -529-დან (-23-მდე); https://pandia.ru/text/78/342/images/image015_72.gif" width="157" height="28 src=">;

ე) 256-დან (-15); https://pandia.ru/text/78/342/images/image017_68.gif" width="101" height="23">

გამოსავალი: https://pandia.ru/text/78/342/images/image020_64.gif" width="123 height=28" height="28">.

ბ)

გამოსავალი: https://pandia.ru/text/78/342/images/image024_52.gif" width="95" height="23">.

მაგალითი 7..gif" width="67" height="27 src="> 17-ით.

გამოსავალი: შევიტანოთ ჩანაწერი , რაც ნიშნავს, რომ m-ზე გაყოფისას რიცხვები a, b, c, ... d იძლევა იგივე ნაშთს.

აქედან გამომდინარე, ნებისმიერი ბუნებრივი კ, იქნება

მაგრამ 1989=16124+5. ნიშნავს,

პასუხი: დარჩენილი არის 12.

მაგალითი 8. იპოვნეთ 10-ზე მეტი უმცირესი ნატურალური რიცხვი, რომელიც 24-ზე, 45-ზე და 56-ზე გაყოფისას მიიღებთ ნაშთს 1-ს.

პასუხი: LCM(24;45;56)+1=2521.

მაგალითი 9. იპოვეთ უმცირესი ნატურალური რიცხვი, რომელიც იყოფა 7-ზე და როდესაც იყოფა 3-ზე, 4-ზე და 5-ზე, მიიღებთ ნაშთს 1-ზე.

პასუხი: 301. ინსტრუქცია. 60k + 1 ფორმის რიცხვებს შორის უნდა იპოვოთ ყველაზე პატარა, რომელიც იყოფა 7-ზე; k = 5.

მაგალითი 10. მიანიჭეთ 23-ს ერთი ციფრი მარჯვნივ და მარცხნივ ისე, რომ მიღებული ოთხნიშნა რიცხვი გაიყოს 9-ზე და 11-ზე.

პასუხი: 6237.

მაგალითი 11. მიანიჭეთ სამი ციფრი რიცხვის უკან ისე, რომ მიღებული რიცხვი იყოფა 7-ზე, 8-ზე და 9-ზე.

პასუხი: 304 ან 808. მითითება. რიცხვი, როდესაც იყოფა = 789-ზე, იძლევა ნაშთს 200-ზე. ამიტომ, თუ მას დაუმატებთ 304 ან 808, გაიყოფა 504-ზე.

მაგალითი 12. შესაძლებელია თუ არა 37-ზე გაყოფილ სამნიშნა რიცხვში ციფრების გადალაგება ისე, რომ მიღებული რიცხვი ასევე იყოფა 37-ზე?

პასუხი: შეგიძლია. შენიშვნა..gif" width="61" height="24"> ასევე იყოფა 37-ზე. გვაქვს A = 100a + 10b + c = 37k, საიდანაც c = 37k -100a - 10b. შემდეგ B = 100b + 10c + a = 100b + k - 100a - 10b) + a \u003d 370k - 999a, ანუ B იყოფა 37-ზე.

მაგალითი 13. იპოვეთ რიცხვი, გაყოფისას, რომელზედაც რიცხვები 1108, 1453, 1844 და 2281 იძლევა იგივე ნაშთს.

პასუხი: 23. მითითება. ნებისმიერი ორი მოცემული რიცხვის სხვაობა იყოფა საჭიროზე. ეს ნიშნავს, რომ ყველა შესაძლო მონაცემის სხვაობის ნებისმიერი საერთო გამყოფი, 1-ის გარდა, შესაფერისია ჩვენთვის

მაგალითი 14. წარმოადგინეთ 19, როგორც ნატურალური რიცხვების კუბების სხვაობა.

მაგალითი 15. ნატურალური რიცხვის კვადრატი უდრის ზედიზედ ოთხი უცნაური რიცხვის ნამრავლს. იპოვეთ ეს ნომერი.

პასუხი: .

მაგალითი 16..gif" width="115" height="27"> არ იყოფა 10-ზე.

პასუხი: ა) მიმართულება. პირველი და ბოლო ტერმინების, მეორე და წინაბოლო და ა.შ. დაჯგუფების შემდეგ გამოიყენეთ კუბურების ჯამის ფორმულა.

ბ) მითითება..gif" width="120" height="20">.

4) იპოვეთ ნატურალური რიცხვების ყველა წყვილი, რომელთა GCD არის 5 და LCM არის 105.

პასუხი: 5, 105 ან 15, 35.

აქტივობა 2(2 საათი)

გაკვეთილის თემა:მათემატიკური ინდუქციის მეთოდი.

გაკვეთილის მიზანი:განვიხილოთ მათემატიკური დებულებები, რომლებიც საჭიროებენ მტკიცებულებას; გააცნობს მოსწავლეებს მათემატიკური ინდუქციის მეთოდს; განავითარეთ ლოგიკური აზროვნება.

გაკვეთილების დროს

მე. საშინაო დავალების შემოწმება.

II. ახალი მასალის ახსნა.

სასკოლო მათემატიკის კურსში დავალებებს „იპოვე გამოთქმის მნიშვნელობა“ დავალებებია ფორმის: „დაამტკიცო თანასწორობა“. მათემატიკური დებულებების დასადასტურებლად ერთ-ერთი ყველაზე უნივერსალური მეთოდი, რომელშიც ჩნდება სიტყვები „თვითნებური ბუნებრივი n“-სთვის, არის სრული მათემატიკური ინდუქციის მეთოდი.

ამ მეთოდის გამოყენებით მტკიცებულება ყოველთვის შედგება სამი ეტაპისგან:

1) ინდუქციის საფუძველი. შემოწმებულია განცხადების ვალიდობა n = 1-ისთვის.

ზოგიერთ შემთხვევაში, ინდუქციის დასაწყებად, რამდენიმე უნდა შეამოწმოთ

საწყისი მნიშვნელობები.

2) ინდუქციის დაშვება. განცხადება ითვლება ჭეშმარიტად ნებისმიერისთვის

3) ინდუქციური ნაბიჯი. ჩვენ ვადასტურებთ მტკიცების მართებულობას

ამრიგად, დაწყებული n = 1-დან, დადასტურებული ინდუქციური ნაბიჯის საფუძველზე, ვიღებთ მტკიცების ვალიდობას, რომელიც დადასტურებულია

n =2, 3,…t. ე. ნებისმიერი ნ.

მოდით შევხედოთ რამდენიმე მაგალითს.

მაგალითი 1: დაამტკიცეთ, რომ ნებისმიერი ბუნებრივი n რიცხვისთვის იყოფა 7-ზე.

დადასტურება: აღნიშნეთ .

ნაბიჯი 1..gif" width="143" height="37 src="> იყოფა 7-ზე.

ნაბიჯი 3..gif" width="600" height="88">

ბოლო რიცხვი იყოფა 7-ზე, რადგან ეს არის სხვაობა ორ მთელ რიცხვს შორის, რომლებიც იყოფა 7-ზე.

მაგალითი 2: დაამტკიცეთ თანასწორობა https://pandia.ru/text/78/342/images/image047_31.gif" width="240" height="36 src=">

https://pandia.ru/text/78/342/images/image049_34.gif" width="157" height="47"> მიღებულია n-ის შეცვლა k = 1-ით.

III. Პრობლემის გადაჭრა

პირველ გაკვეთილზე ქვემოთ მოცემული ამოცანებიდან (No 1-3) მასწავლებლის შეხედულებისამებრ რამდენიმე ირჩევა დაფაზე ანალიზისთვის. მეორე გაკვეთილი ეხება № 4.5; No1-3-დან დამოუკიდებელი სამუშაოები ტარდება; No6 შემოთავაზებულია დამატებით, გამგეობის სავალდებულო გადაწყვეტილებით.

1) დაამტკიცეთ, რომ ა) იყოფა 83-ზე;

ბ) იყოფა 13-ზე;

გ) იყოფა 20801-ზე.

2) დაამტკიცეთ, რომ ნებისმიერი ბუნებრივი n-სთვის:

ა) იყოფა 120-ზე;

ბ) იყოფა 27-ზე;

in) იყოფა 84-ზე;

გ) იყოფა 169-ზე;

ე) იყოფა 8-ზე;

ვ) იყოფა 8-ზე;

ზ) იყოფა 16-ზე;

თ) იყოფა 49-ზე;

და) იყოფა 41-ზე;

მდე) იყოფა 23-ზე;

მ) იყოფა 13-ზე;

მ) იყოფა .

3) დაამტკიცეთ, რომ:

გ) ;

4) გამოიტანეთ ჯამის ფორმულა https://pandia.ru/text/78/342/images/image073_23.gif" width="187" height="20">.

6) დაამტკიცეთ, რომ ცხრილის თითოეული მწკრივის წევრთა ჯამი

…………….

უდრის კენტი რიცხვის კვადრატს, რომლის რიცხვი მწკრივში უდრის ცხრილის დასაწყისის მწკრივის რიცხვს.

პასუხები და ინსტრუქციები.

1) გამოვიყენოთ წინა გაკვეთილის მე-4 მაგალითში მოცემული ჩანაწერი.

ა) . ამიტომ იყოფა 83-ზე .

ბ) იმიტომ , შემდეგ ;

. აქედან გამომდინარე, .

გ) ვინაიდან , აუცილებელია დავამტკიცოთ, რომ მოცემული რიცხვი იყოფა 11-ზე, 31-ზე და 61-ზე..gif" width="120" height="32 src=">. 11-ზე და 31-ზე გაყოფა დამტკიცებულია ანალოგიურად.

2) ა) დავამტკიცოთ, რომ ეს გამონათქვამი იყოფა 3-ზე, 8-ზე, 5-ზე. სამზე გაყოფა გამომდინარეობს იქიდან, რომ , და სამი თანმიმდევრული ნატურალური რიცხვიდან ერთი იყოფა 3..gif" width="72" height="20 src=">.gif" width="75" height="20 src=">. 5-ზე გაყოფის შესამოწმებლად საკმარისია გავითვალისწინოთ მნიშვნელობები n=0,1,2,3,4.

მათემატიკაში მიღებული აღნიშვნის გამოყენებით ამოცანების პირობების დაწერა იწვევს ეგრეთ წოდებული მათემატიკური გამონათქვამების გაჩენას, რომლებსაც უბრალოდ გამონათქვამები ეწოდება. ამ სტატიაში დეტალურად ვისაუბრებთ რიცხვითი, პირდაპირი და ცვლადი გამონათქვამები: მივცემთ განმარტებებს და მოვიყვანთ თითოეული ტიპის გამონათქვამების მაგალითებს.

გვერდის ნავიგაცია.

რიცხვითი გამონათქვამები - რა არის ეს?

რიცხვითი გამონათქვამების გაცნობა თითქმის მათემატიკის პირველივე გაკვეთილებიდან იწყება. მაგრამ მათი სახელი - რიცხვითი გამონათქვამები - ისინი ოფიციალურად იძენენ ცოტა მოგვიანებით. მაგალითად, თუ მიჰყვებით M. I. Moro-ს კურსს, მაშინ ეს ხდება მე-2 კლასის მათემატიკის სახელმძღვანელოს გვერდებზე. იქ რიცხვითი გამონათქვამების წარმოდგენა მოცემულია შემდეგნაირად: 3+5, 12+1−6, 18−(4+6) , 1+1+1+1+1 და ა.შ. - ეს ყველაფერი რიცხვითი გამონათქვამებიდა თუ გამონათქვამში მითითებულ მოქმედებებს შევასრულებთ, მაშინ ვიპოვით გამოხატვის მნიშვნელობა.

შეიძლება დავასკვნათ, რომ მათემატიკის შესწავლის ამ ეტაპზე რიცხვითი გამონათქვამები ეწოდება ჩანაწერებს, რომლებსაც აქვთ მათემატიკური მნიშვნელობა, რომლებიც შედგება რიცხვებისგან, ფრჩხილებისგან და შეკრებისა და გამოკლების ნიშნებისგან.

ცოტა მოგვიანებით, გამრავლებისა და გაყოფის გაცნობის შემდეგ, რიცხვითი გამონათქვამების ჩანაწერებში იწყება ნიშნები "·" და ":". აი რამდენიმე მაგალითი: 6 4 , (2+5) 2 , 6:2 , (9 3):3 და ა.შ.

ხოლო საშუალო სკოლაში რიცხვითი გამონათქვამების ჩანაწერების მრავალფეროვნება იზრდება, როგორც მთაზე მოძრავი თოვლის ბურთი. მათში ჩნდება საერთო და ათობითი წილადები, შერეული და უარყოფითი რიცხვები, ხარისხები, ფესვები, ლოგარითმები, სინუსები, კოსინუსები და ა.შ.

მოდით შევაჯამოთ ყველა ინფორმაცია რიცხვითი გამოხატვის განმარტებაში:

განმარტება.

რიცხვითი გამოხატულებაარის რიცხვების, არითმეტიკული მოქმედებების ნიშნების, წილადური შტრიხების, ძირეული ნიშნების (რადიკალების), ლოგარითმების, ტრიგონომეტრიული, შებრუნებული ტრიგონომეტრიული და სხვა ფუნქციების აღნიშვნის, აგრეთვე ფრჩხილების და სხვა სპეციალური მათემატიკური სიმბოლოების ერთობლიობა, რომელიც შედგენილია ში მიღებული წესების შესაბამისად. მათემატიკა.

ავხსნათ გახმოვანებული განმარტების ყველა შემადგენელი ნაწილი.

აბსოლუტურად ნებისმიერ რიცხვს შეუძლია მონაწილეობა მიიღოს ციფრულ გამონათქვამებში: ბუნებრივიდან რეალურამდე და თუნდაც რთულამდე. ანუ რიცხვით გამოსახულებებში შეიძლება შევხვდეთ

არითმეტიკული მოქმედებების ნიშნებით ყველაფერი ნათელია - ეს არის შეკრების, გამოკლების, გამრავლებისა და გაყოფის ნიშნები, შესაბამისად, რომლებსაც აქვთ ფორმა "+", "−", "·" და ":". ციფრულ გამონათქვამებში შეიძლება იყოს ამ სიმბოლოებიდან ერთი, ზოგიერთი მათგანი, ან ერთდროულად და არაერთხელ. აქ მოცემულია რიცხვითი გამონათქვამების მაგალითები მათთან ერთად: 3+6, 2.2+3.3+4.4+5.5, 41−2 4:2−5+12 3 2:2:3:12−1/12.

რაც შეეხება ფრჩხილებს, არის როგორც რიცხვითი გამონათქვამები, რომლებშიც არის ფრჩხილები, ასევე გამოსახულებები მათ გარეშე. თუ რიცხვით გამოსახულებაში არის ფრჩხილები, მაშინ ისინი ძირითადად არიან

და ზოგჯერ რიცხვითი გამონათქვამების ფრჩხილებს აქვთ გარკვეული სპეციფიკური, ცალკე მითითებული სპეციალური დანიშნულება. მაგალითად, შეგიძლიათ იპოვოთ კვადრატული ფრჩხილები, რომლებიც აღნიშნავენ რიცხვის მთელ ნაწილს, ასე რომ, რიცხვითი გამოხატულება +2 ნიშნავს, რომ რიცხვი 2 ემატება 1.75 რიცხვის მთელ ნაწილს.

რიცხვითი გამოხატვის განსაზღვრებიდან ასევე ირკვევა, რომ გამონათქვამი შეიძლება შეიცავდეს , , log , ln , lg , აღნიშვნებს ან ა.შ. აქ მოცემულია მათთან ერთად რიცხვითი გამონათქვამების მაგალითები: tgπ , arcsin1+arccos1−π/2 და .

რიცხვითი გამონათქვამების გაყოფა შეიძლება აღვნიშნოთ . ამ შემთხვევაში, არის რიცხვითი გამონათქვამები წილადებით. აი ასეთი გამონათქვამების მაგალითები: 1/(1+2) , 5+(2 3+1)/(7−2,2)+3 და .

ჩვენ ვაძლევთ სპეციალურ მათემატიკურ სიმბოლოებს და აღნიშვნებს, რომლებიც გვხვდება რიცხვით გამოსახულებებში. მაგალითად, ვაჩვენოთ რიცხვითი გამოხატულება მოდულით .

რა არის პირდაპირი გამონათქვამები?

ლიტერატურული გამონათქვამების ცნება მოცემულია რიცხვითი გამონათქვამების გაცნობისთანავე. ეს ასეა შეყვანილი. გარკვეულ ციფრულ გამონათქვამში ერთი რიცხვი არ იწერება, არამედ მის ადგილას წრე (ან კვადრატი ან მსგავსი რამ) იდება და ნათქვამია, რომ წრე შეიძლება შეიცვალოს გარკვეული რიცხვით. ავიღოთ ჩანაწერი, როგორც მაგალითი. თუ, მაგალითად, კვადრატის ნაცვლად დააყენებთ რიცხვს 2, მაშინ მიიღებთ რიცხვით გამოსახულებას 3 + 2. ასე რომ ნაცვლად წრეების, კვადრატების და ა.შ. შეთანხმდნენ წერილების დაწერაზე და ასოებით ასეთ გამოთქმებს ეძახდნენ პირდაპირი გამონათქვამები. დავუბრუნდეთ ჩვენს მაგალითს, თუ ამ ჩანაწერში კვადრატის ნაცვლად დავსვამთ ასო a, მაშინ მივიღებთ 3+a ფორმის სიტყვასიტყვით გამოხატვას.

ასე რომ, თუ დავუშვებთ რიცხვით გამოსახულებაში ასოების არსებობას, რომლებიც აღნიშნავენ ზოგიერთ რიცხვს, მაშინ მივიღებთ ე.წ. მოდით მივცეთ შესაბამისი განმარტება.

განმარტება.

გამოთქმა, რომელიც შეიცავს ასოებს, რომლებიც აღნიშნავენ ზოგიერთ რიცხვს, ეწოდება პირდაპირი გამოთქმა.

ამ განმარტებიდან ირკვევა, რომ ძირეულად ლიტერატურული გამოხატულება განსხვავდება რიცხვითი გამონათქვამისგან იმით, რომ შეიძლება შეიცავდეს ასოებს. ჩვეულებრივ, პირდაპირი გამონათქვამებში გამოიყენება ლათინური ანბანის მცირე ასოები (a, b, c, ...), ხოლო კუთხეების აღნიშვნისას ბერძნული ანბანის მცირე ასოები (α, β, γ, ...).

ასე რომ, ლიტერატურული გამონათქვამები შეიძლება შედგებოდეს რიცხვებისგან, ასოებისგან და შეიცავდეს ყველა მათემატიკურ სიმბოლოს, რომელიც შეიძლება მოიძებნოს ციფრულ გამონათქვამებში, როგორიცაა ფრჩხილები, ფესვის ნიშნები, ლოგარითმები, ტრიგონომეტრიული და სხვა ფუნქციები და ა.შ. ცალკე, ჩვენ ხაზს ვუსვამთ, რომ პირდაპირი გამოთქმა შეიცავს მინიმუმ ერთ ასოს. მაგრამ ის ასევე შეიძლება შეიცავდეს რამდენიმე იდენტურ ან განსხვავებულ ასოს.

ახლა ჩვენ ვაძლევთ ლიტერატურული გამონათქვამების რამდენიმე მაგალითს. მაგალითად, a+b არის პირდაპირი გამოთქმა ასოებით a და b. აქ არის 5 x 3 −3 x 2 +x−2.5 პირდაპირი გამონათქვამის კიდევ ერთი მაგალითი. და ჩვენ ვაძლევთ რთული ფორმის პირდაპირი გამოხატვის მაგალითს: .

გამონათქვამები ცვლადებით

თუ სიტყვასიტყვით გამოხატულებაში ასო აღნიშნავს მნიშვნელობას, რომელიც არ იღებს რომელიმე კონკრეტულ მნიშვნელობას, მაგრამ შეუძლია მიიღოს სხვადასხვა მნიშვნელობა, მაშინ ეს ასო ე.წ. ცვლადიდა გამოთქმა ჰქვია ცვლადი გამოხატულება.

განმარტება.

გამოხატვა ცვლადებითარის პირდაპირი გამოთქმა, რომელშიც ასოები (ყველა ან ზოგიერთი) აღნიშნავს რაოდენობებს, რომლებიც იღებენ სხვადასხვა მნიშვნელობას.

მაგალითად, გამოსახულებაში x 2 −1 ასო x შეიძლება მიიღოს ნებისმიერი ბუნებრივი მნიშვნელობა 0-დან 10-მდე ინტერვალიდან, შემდეგ x არის ცვლადი, ხოლო გამოხატულება x 2 −1 არის გამოხატულება x ცვლადით.

აღსანიშნავია, რომ გამოხატულებაში შეიძლება იყოს რამდენიმე ცვლადი. მაგალითად, თუ განვიხილავთ x და y ცვლადებად, მაშინ გამოსახულებას არის გამოხატულება ორი ცვლადით x და y.

ზოგადად, პირდაპირი გამოხატვის კონცეფციიდან ცვლადებით გამოხატვაზე გადასვლა ხდება მე-7 კლასში, როცა იწყებენ ალგებრის შესწავლას. ამ მომენტამდე, ლიტერატურულმა გამონათქვამებმა რამდენიმე კონკრეტული ამოცანების მოდელირება მოახდინეს. მეორეს მხრივ, ალგებრაში, ისინი იწყებენ გამონათქვამის უფრო ზოგად დათვალიერებას, კონკრეტულ დავალებასთან მიბმულობის გარეშე, იმის გაგებით, რომ ეს გამოთქმა ერგება დავალებების დიდ რაოდენობას.

ამ აბზაცის დასასრულს, ყურადღება მივაქციოთ კიდევ ერთ პუნქტს: პირდაპირი გამოთქმის გამოჩენით შეუძლებელია იმის ცოდნა, მასში შემავალი ასოები ცვლადებია თუ არა. ამიტომ არაფერი გვიშლის ხელს, რომ ეს ასოები ცვლადებად მივიჩნიოთ. ამ შემთხვევაში ქრება განსხვავება ტერმინებს „ლიტერატურული გამოხატულება“ და „გამოხატვა ცვლადებით“.

ბიბლიოგრაფია.

• მათემატიკა. 2 უჯრედი პროკ. ზოგადი განათლებისთვის ინსტიტუტები ად. ელექტრონს. გადამზიდავი. 2 საათზე ნაწილი 1 / [მ. I. Moro, M. A. Bantova, G. V. Beltyukova და სხვები] - მე-3 გამოცემა. - მ.: განათლება, 2012. - 96გვ.: ავად. - (რუსეთის სკოლა). - ISBN 978-5-09-028297-0.
• მათემატიკა: სწავლობს. 5 უჯრედისთვის. ზოგადი განათლება ინსტიტუტები / ნ. ია. ვილენკინი, ვ.ი. ჟოხოვი, ა.ს. ჩესნოკოვი, ს.ი. შვარცბურდი. - 21-ე გამოცემა, წაშლილია. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280გვ.: ილ. ISBN 5-346-00699-0.
• Ალგებრა:სახელმძღვანელო 7 უჯრედისთვის. ზოგადი განათლება დაწესებულებები / [იუ. ნ. მაკარიჩევი, ნ.გ.მინდიუკი, კ.ი.ნეშკოვი, ს.ბ.სუვოროვა]; რედ. S.A. თელიაკოვსკი. - მე-17 გამოცემა. - M. : განათლება, 2008. - 240გვ. : ავად. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Ალგებრა:სახელმძღვანელო 8 უჯრედისთვის. ზოგადი განათლება დაწესებულებები / [იუ. ნ. მაკარიჩევი, ნ.გ.მინდიუკი, კ.ი.ნეშკოვი, ს.ბ.სუვოროვა]; რედ. S.A. თელიაკოვსკი. - მე-16 გამოცემა. - მ. : განათლება, 2008. - 271გვ. : ავად. - ISBN 978-5-09-019243-9.

თქვენი კონფიდენციალურობა ჩვენთვის მნიშვნელოვანია. ამ მიზეზით, ჩვენ შევიმუშავეთ კონფიდენციალურობის პოლიტიკა, რომელიც აღწერს, თუ როგორ ვიყენებთ და ვინახავთ თქვენს ინფორმაციას. გთხოვთ, წაიკითხოთ ჩვენი კონფიდენციალურობის პოლიტიკა და შეგვატყობინოთ, თუ თქვენ გაქვთ რაიმე შეკითხვები.

პირადი ინფორმაციის შეგროვება და გამოყენება

პერსონალური ინფორმაცია ეხება მონაცემებს, რომლებიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას კონკრეტული პირის იდენტიფიცირებისთვის ან მასთან დასაკავშირებლად.

თქვენ შეიძლება მოგეთხოვოთ თქვენი პირადი ინფორმაციის მიწოდება ნებისმიერ დროს, როცა დაგვიკავშირდებით.

ქვემოთ მოცემულია პერსონალური ინფორმაციის ტიპების მაგალითები, რომლებიც შეიძლება შევაგროვოთ და როგორ გამოვიყენოთ ასეთი ინფორმაცია.

რა პერსონალურ ინფორმაციას ვაგროვებთ:

• როდესაც განაცხადებს წარადგენთ საიტზე, ჩვენ შეიძლება შევაგროვოთ სხვადასხვა ინფორმაცია, მათ შორის თქვენი სახელი, ტელეფონის ნომერი, ელექტრონული ფოსტის მისამართი და ა.შ.

როგორ ვიყენებთ თქვენს პირად ინფორმაციას:

• ჩვენ მიერ შეგროვებული პერსონალური ინფორმაცია საშუალებას გვაძლევს დაგიკავშირდეთ და გაცნობოთ უნიკალური შეთავაზებების, აქციების და სხვა ღონისძიებებისა და მომავალი ღონისძიებების შესახებ.
• დროდადრო, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენი პერსონალური ინფორმაცია მნიშვნელოვანი შეტყობინებებისა და კომუნიკაციების გამოსაგზავნად.
• ჩვენ ასევე შეიძლება გამოვიყენოთ პერსონალური ინფორმაცია შიდა მიზნებისთვის, როგორიცაა აუდიტის ჩატარება, მონაცემთა ანალიზი და სხვადასხვა კვლევა, რათა გავაუმჯობესოთ ჩვენს მიერ მოწოდებული სერვისები და მოგაწოდოთ რეკომენდაციები ჩვენს სერვისებთან დაკავშირებით.
• თუ თქვენ მონაწილეობთ საპრიზო გათამაშებაში, კონკურსში ან მსგავს წახალისებაში, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენ მიერ მოწოდებული ინფორმაცია ასეთი პროგრამების ადმინისტრირებისთვის.

გამჟღავნება მესამე პირებისთვის

ჩვენ არ ვუმხელთ თქვენგან მიღებულ ინფორმაციას მესამე პირებს.

გამონაკლისები:

• იმ შემთხვევაში, თუ ეს აუცილებელია - კანონის, სასამართლო ბრძანების შესაბამისად, სასამართლო პროცესებში და/ან საჯარო მოთხოვნის ან რუსეთის ფედერაციის ტერიტორიაზე სახელმწიფო ორგანოების მოთხოვნის საფუძველზე - გაამჟღავნეთ თქვენი პირადი ინფორმაცია. ჩვენ ასევე შეიძლება გავამჟღავნოთ ინფორმაცია თქვენს შესახებ, თუ დავადგენთ, რომ ასეთი გამჟღავნება აუცილებელია ან მიზანშეწონილია უსაფრთხოების, სამართალდამცავი ორგანოების ან სხვა საზოგადოებრივი ინტერესებისთვის.
• რეორგანიზაციის, შერწყმის ან გაყიდვის შემთხვევაში, ჩვენ შეგვიძლია გადავცეთ ჩვენს მიერ შეგროვებული პერსონალური ინფორმაცია შესაბამის მესამე მხარის მემკვიდრეს.

პირადი ინფორმაციის დაცვა

ჩვენ ვიღებთ სიფრთხილის ზომებს - მათ შორის ადმინისტრაციულ, ტექნიკურ და ფიზიკურ - თქვენი პირადი ინფორმაციის დაკარგვის, ქურდობისა და ბოროტად გამოყენებისგან დასაცავად, ასევე არაავტორიზებული წვდომისგან, გამჟღავნების, ცვლილებისა და განადგურებისგან.

თქვენი კონფიდენციალურობის შენარჩუნება კომპანიის დონეზე

იმის უზრუნველსაყოფად, რომ თქვენი პერსონალური ინფორმაცია დაცულია, ჩვენ ვუზიარებთ კონფიდენციალურობისა და უსაფრთხოების პრაქტიკას ჩვენს თანამშრომლებს და მკაცრად ვიცავთ კონფიდენციალურობის პრაქტიკას.

სიტყვასიტყვითი გამოხატულება (ან გამოთქმა ცვლადებით) არის მათემატიკური გამოხატულება, რომელიც შედგება რიცხვებისგან, ასოებისა და მათემატიკური მოქმედებების ნიშნებისგან. მაგალითად, შემდეგი გამოთქმა არის პირდაპირი:

a+b+4

პირდაპირი გამონათქვამების გამოყენებით შეგიძლიათ დაწეროთ კანონები, ფორმულები, განტოლებები და ფუნქციები. პირდაპირი გამონათქვამებით მანიპულირების უნარი არის ალგებრისა და უმაღლესი მათემატიკის კარგი ცოდნის გასაღები.

მათემატიკაში ნებისმიერი სერიოზული პრობლემა განტოლებების ამოხსნამდე მოდის. და იმისთვის, რომ განტოლებების ამოხსნა შეძლოთ, თქვენ უნდა შეძლოთ ლიტერატურულ გამონათქვამებთან მუშაობა.

ლიტერატურულ გამონათქვამებთან მუშაობისთვის საჭიროა კარგად შეისწავლოთ ძირითადი არითმეტიკა: შეკრება, გამოკლება, გამრავლება, გაყოფა, მათემატიკის ძირითადი კანონები, წილადები, წილადებით მოქმედებები, პროპორციები. და არა მხოლოდ შესწავლა, არამედ საფუძვლიანად გაგება.

გაკვეთილის შინაარსი

ცვლადები

ასოები, რომლებიც შეიცავს ლიტერატურულ გამონათქვამებში, ეწოდება ცვლადები. მაგალითად, გამონათქვამში a+b+ 4 ცვლადი არის ასო ადა ბ. თუ ამ ცვლადების ნაცვლად ჩავანაცვლებთ რომელიმე რიცხვს, მაშინ სიტყვასიტყვითი გამოხატულება a+b+ 4 გადაიქცევა ციფრულ გამოსახულებად, რომლის მნიშვნელობაც შეგიძლიათ იხილოთ.

რიცხვები, რომლებიც ჩანაცვლებულია ცვლადებით, ეწოდება ცვლადი მნიშვნელობები. მაგალითად, შევცვალოთ ცვლადების მნიშვნელობები ადა ბ. გამოიყენეთ ტოლობის ნიშანი მნიშვნელობების შესაცვლელად

a = 2, ბ = 3

ჩვენ შევცვალეთ ცვლადების მნიშვნელობები ადა ბ. ცვლადი ამიანიჭა მნიშვნელობა 2 , ცვლადი ბმიანიჭა მნიშვნელობა 3 . შედეგად, პირდაპირი გამოთქმა a+b+4გარდაიქმნება ნორმალურ ციფრულ გამოსახულებად 2+3+4 რომლის ღირებულება შეგიძლიათ იხილოთ:

როდესაც ცვლადები მრავლდება, ისინი ერთად იწერება. მაგალითად, ჩანაწერი აბნიშნავს იგივეს, რაც ჩანაწერს a x b. თუ ცვლადების ნაცვლად ჩავანაცვლებთ ადა ბნომრები 2 და 3 , შემდეგ მივიღებთ 6-ს

ერთად ასევე შეგიძლიათ დაწეროთ რიცხვის გამრავლება გამოსახულებით ფრჩხილებში. მაგალითად, ნაცვლად a×(b + c)შეიძლება დაიწეროს a (b + c). გამრავლების განაწილების კანონის გამოყენებით ვიღებთ a(b + c)=ab+ac.

შანსები

ლიტერატურულ გამონათქვამებში ხშირად შეგიძლიათ იპოვოთ აღნიშვნა, რომელშიც რიცხვი და ცვლადი ერთად იწერება, მაგალითად 3ა. სინამდვილეში, ეს არის 3 რიცხვის ცვლადზე გამრავლების სტენოგრამა. ადა ეს ჩანაწერი ასე გამოიყურება 3×a .

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, გამოხატულება 3აარის 3 რიცხვისა და ცვლადის ნამრავლი ა. ნომერი 3 ამ ნაწარმოებში ე.წ კოეფიციენტი. ეს კოეფიციენტი აჩვენებს რამდენჯერ გაიზრდება ცვლადი ა. ეს გამოთქმა შეიძლება წაიკითხოს როგორც " ასამჯერ ან სამჯერ ა", ან "გაზარდეთ ცვლადის მნიშვნელობა ასამჯერ", მაგრამ ყველაზე ხშირად იკითხება როგორც "სამი ა«

მაგალითად, თუ ცვლადი აუდრის 5 , შემდეგ გამოხატვის მნიშვნელობა 3აიქნება 15-ის ტოლი.

3 x 5 = 15

მარტივი სიტყვებით, კოეფიციენტი არის რიცხვი, რომელიც მოდის ასოს წინ (ცვლადის წინ).

შეიძლება იყოს რამდენიმე ასო, მაგალითად 5 abc. აქ კოეფიციენტი არის რიცხვი 5 . ეს კოეფიციენტი აჩვენებს, რომ ცვლადების ნამრავლი abcიზრდება ხუთჯერ. ეს გამოთქმა შეიძლება წაიკითხოს როგორც " abcხუთჯერ" ან "გამოხატვის მნიშვნელობის გაზრდა abcხუთჯერ" ან "ხუთი abc «.

თუ ცვლადების ნაცვლად abcჩაანაცვლეთ რიცხვები 2, 3 და 4, შემდეგ გამოთქმის მნიშვნელობა 5 abcტოლი იქნება 120

5 x 2 x 3 x 4 = 120

თქვენ შეგიძლიათ გონებრივად წარმოიდგინოთ, როგორ გამრავლდა რიცხვები 2, 3 და 4, და შედეგად მიღებული მნიშვნელობა გაიზარდა ხუთჯერ:

კოეფიციენტის ნიშანი ეხება მხოლოდ კოეფიციენტს და არ ვრცელდება ცვლადებზე.

განიხილეთ გამოხატულება −6ბ. მინუსი კოეფიციენტის წინ 6 , ეხება მხოლოდ კოეფიციენტს 6 , და არ ვრცელდება ცვლადზე ბ. ამ ფაქტის გააზრება საშუალებას მოგცემთ მომავალში არ დაუშვათ შეცდომები ნიშნებით.

იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა −6ბზე b = 3.

−6ბ −6×b. სიცხადისთვის, ჩვენ ვწერთ გამონათქვამს −6ბგაფართოებული ფორმით და ჩაანაცვლეთ ცვლადის მნიშვნელობა ბ

−6b = −6 × b = −6 × 3 = −18

მაგალითი 2იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა −6ბზე b = −5

დავწეროთ გამოთქმა −6ბგაფართოებული ფორმით

−6b = −6 × b = −6 × (−5) = 30

მაგალითი 3იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა −5a+bზე a = 3და b = 2

−5a+bარის მოკლე ფორმა −5 × a + bამიტომ, სიცხადისთვის, ჩვენ ვწერთ გამონათქვამს −5×a+bგაფართოებული ფორმით და ჩაანაცვლეთ ცვლადების მნიშვნელობები ადა ბ

−5a + b = −5 × a + b = −5 × 3 + 2 = −15 + 2 = −13

ზოგჯერ ასოები იწერება კოეფიციენტის გარეშე, მაგალითად აან აბ. ამ შემთხვევაში, კოეფიციენტი არის ერთი:

მაგრამ ერთეული ტრადიციულად არ იწერება, ამიტომ ისინი უბრალოდ წერენ აან აბ

თუ ასოს წინ არის მინუსი, მაშინ კოეფიციენტი არის რიცხვი −1 . მაგალითად, გამოხატულება -არეალურად ჰგავს −1a. ეს არის მინუს ერთი და ცვლადის ნამრავლი ა.ასე გამოვიდა:

−1 × a = −1a

აქ არის პატარა ხრიკი. გამოთქმაში -ამინუს ცვლადამდე არეალურად ეხება "უხილავ ერთეულს" და არა ცვლადს ა. ამიტომ პრობლემების გადაჭრისას ფრთხილად უნდა იყოთ.

მაგალითად, მოცემული გამოხატულება -ადა ჩვენ გვთხოვენ ვიპოვოთ მისი ღირებულება a = 2, შემდეგ სკოლაში ცვლადის ნაცვლად დუისი ჩავანაცვლეთ ადა მიიღეთ პასუხი −2 , ნამდვილად არ ვამახვილებ ყურადღებას იმაზე, თუ როგორ მოხდა ეს. ფაქტობრივად, იყო მინუს ერთის გამრავლება დადებით რიცხვზე 2

-a = -1 × a

−1 × a = −1 × 2 = −2

თუ მოცემულია გამოხატულება -ადა საჭიროა მისი მნიშვნელობის პოვნა a = −2, შემდეგ ჩვენ შევცვლით −2 ცვლადის ნაცვლად ა

-a = -1 × a

−1 × a = −1 × (−2) = 2

შეცდომების თავიდან აცილების მიზნით, თავდაპირველად უხილავი ერთეულები შეიძლება ცალსახად დაიწეროს.

მაგალითი 4იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა abcზე a=2 , b=3და c=4

გამოხატულება abc 1×a×b×c.სიცხადისთვის, ჩვენ ვწერთ გამონათქვამს abc ა , ბდა გ

1 x a x b x c = 1 x 2 x 3 x 4 = 24

მაგალითი 5იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა abcზე a=−2, b=−3და c=−4

დავწეროთ გამოთქმა abcგაფართოებული ფორმით და ჩაანაცვლეთ ცვლადების მნიშვნელობები ა , ბდა გ

1 × a × b × c = 1 × (−2) × (−3) × (−4) = −24

მაგალითი 6იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა − abcზე a=3, b=5 და c=7

გამოხატულება − abcარის მოკლე ფორმა −1×a×b×c.სიცხადისთვის, ჩვენ ვწერთ გამონათქვამს − abcგაფართოებული ფორმით და ჩაანაცვლეთ ცვლადების მნიშვნელობები ა , ბდა გ

−abc = −1 × a × b × c = −1 × 3 × 5 × 7 = −105

მაგალითი 7იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა − abcზე a=−2, b=−4 და c=−3

დავწეროთ გამოთქმა − abcგაფართოებული:

−abc = −1 × a × b × c

ჩაანაცვლეთ ცვლადების მნიშვნელობა ა , ბდა გ

−abc = −1 × a × b × c = −1 × (−2) × (−4) × (−3) = 24

როგორ განვსაზღვროთ კოეფიციენტი

ზოგჯერ საჭიროა ამოცანის გადაჭრა, რომელშიც საჭიროა გამოსახვის კოეფიციენტის განსაზღვრა. პრინციპში, ეს ამოცანა ძალიან მარტივია. საკმარისია რიცხვების სწორად გამრავლება.

გამონათქვამში კოეფიციენტის დასადგენად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ ცალ-ცალკე ამ გამოსახულებაში შემავალი რიცხვები და ცალკე გაამრავლოთ ასოები. შედეგად მიღებული რიცხვითი ფაქტორი იქნება კოეფიციენტი.

მაგალითი 1 7m×5a×(−3)×n

გამოხატულება შედგება რამდენიმე ფაქტორისგან. ეს აშკარად ჩანს, თუ გამოთქმა დაწერილია გაფართოებული ფორმით. ანუ მუშაობს 7მდა 5აჩაწერეთ ფორმაში 7×მდა 5×a

7 × m × 5 × a × (−3) × n

ჩვენ ვიყენებთ გამრავლების ასოციაციურ კანონს, რომელიც საშუალებას გვაძლევს გავამრავლოთ ფაქტორები ნებისმიერი თანმიმდევრობით. კერძოდ, ცალ-ცალკე გავამრავლოთ რიცხვები და ცალ-ცალკე გავამრავლოთ ასოები (ცვლადები):

−3 × 7 × 5 × m × a × n = −105 კაცი

კოეფიციენტი არის −105 . დასრულების შემდეგ, ასოების ნაწილი სასურველია განლაგდეს ანბანური თანმიმდევრობით:

-105 საათი

მაგალითი 2გამოთვალეთ კოეფიციენტი გამოსახულებაში: −a×(−3)×2

−a × (−3) × 2 = −3 × 2 × (−a) = −6 × (−a) = 6a

კოეფიციენტი არის 6.

მაგალითი 3გამოთვალეთ კოეფიციენტი გამოსახულებაში:

მოდით გავამრავლოთ რიცხვები და ასოები ცალ-ცალკე:

კოეფიციენტი არის −1. გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ ერთეული არ არის ჩაწერილი, რადგან კოეფიციენტი 1 ჩვეულებრივ არ არის ჩაწერილი.

ეს ერთი შეხედვით მარტივი ამოცანები შეიძლება ძალიან სასტიკი ხუმრობით გვეთამაშოს. ხშირად ირკვევა, რომ კოეფიციენტის ნიშანი არასწორად არის დაყენებული: ან მინუსი არის გამოტოვებული, ან პირიქით, უშედეგოდ. ამ შემაშფოთებელი შეცდომების თავიდან ასაცილებლად, ის კარგ დონეზე უნდა იყოს შესწავლილი.

ტერმინები პირდაპირი გამონათქვამებით

როდესაც რამდენიმე რიცხვს დაამატებთ, მიიღებთ ამ რიცხვების ჯამს. რიცხვებს, რომლებიც იკრიბებიან, ეწოდება ტერმინები. შეიძლება იყოს რამდენიმე ტერმინი, მაგალითად:

1 + 2 + 3 + 4 + 5

როდესაც გამონათქვამი შედგება ტერმინებისგან, მისი გამოთვლა ბევრად უფრო ადვილია, რადგან მისი დამატება უფრო ადვილია, ვიდრე გამოკლება. მაგრამ გამოთქმა შეიძლება შეიცავდეს არა მხოლოდ დამატებას, არამედ გამოკლებას, მაგალითად:

1 + 2 − 3 + 4 − 5

ამ გამოსახულებაში რიცხვები 3 და 5 გამოკლებულია და არ არის დამატებული. მაგრამ არაფერი გვიშლის ხელს გამოკლების შეკრებით ჩანაცვლებაში. შემდეგ კვლავ ვიღებთ გამონათქვამს, რომელიც შედგება ტერმინებისგან:

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5)

არ აქვს მნიშვნელობა, რომ რიცხვები -3 და -5 ახლა არის მინუს ნიშნით. მთავარი ის არის, რომ ამ გამოსახულებაში ყველა რიცხვი დაკავშირებულია მიმატების ნიშნით, ანუ გამოხატულება არის ჯამი.

ორივე გამონათქვამი 1 + 2 − 3 + 4 − 5 და 1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) უდრის იგივე მნიშვნელობას - მინუს ერთი

1 + 2 − 3 + 4 − 5 = −1

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) = −1

ამრიგად, გამოხატვის მნიშვნელობა არ დაზარალდება იმით, რომ ჩვენ სადღაც შევცვლით გამოკლებას მიმატებით.

თქვენ ასევე შეგიძლიათ შეცვალოთ გამოკლება მიმატებით ლიტერატურულ გამონათქვამებში. მაგალითად, განიხილეთ შემდეგი გამოთქმა:

7a + 6b - 3c + 2d - 4s

7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s)

ცვლადის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის ა ბ გ დდა სგამონათქვამები 7a + 6b - 3c + 2d - 4s და 7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s) იგივე მნიშვნელობის ტოლი იქნება.

მზად უნდა იყოთ იმისთვის, რომ სკოლის მასწავლებელს ან ინსტიტუტის მასწავლებელს შეუძლია ტერმინების გამოძახება თუნდაც ის რიცხვები (ან ცვლადები), რომლებიც არ არის ისინი.

მაგალითად, თუ განსხვავება წერია დაფაზე ა-ბ, მაშინ მასწავლებელი ამას არ იტყვის აარის minuend და ბ- გამოიქვითება. ის ორივე ცვლადს უწოდებს ერთ საერთო სიტყვას - ვადები. და ეს ყველაფერი ფორმის გამოხატვის გამო ა-ბმათემატიკოსი ხედავს როგორ არის ჯამი a + (−b). ამ შემთხვევაში, გამოხატულება ხდება ჯამი და ცვლადები ადა (-ბ)გახდეს კომპონენტები.

მსგავსი ტერმინები

მსგავსი ტერმინებიარის ტერმინები, რომლებსაც აქვთ იგივე ასო ნაწილი. მაგალითად, განიხილეთ გამოხატულება 7a + 6b + 2a. Ვადები 7ადა 2ააქვს იგივე ასო ნაწილი - ცვლადი ა. ასე რომ, პირობები 7ადა 2ამსგავსია.

ჩვეულებრივ, მსგავსი ტერმინები ემატება გამოხატვის გასამარტივებლად ან განტოლების ამოსახსნელად. ამ ოპერაციას ე.წ მსგავსი პირობების შემცირება.

მსგავსი ტერმინების მოსატანად, თქვენ უნდა დაამატოთ ამ ტერმინების კოეფიციენტები და გაამრავლოთ შედეგი საერთო ასოების ნაწილზე.

მაგალითად, ჩვენ ვაძლევთ მსგავს ტერმინებს გამონათქვამში 3a + 4a + 5a. ამ შემთხვევაში, ყველა ტერმინი მსგავსია. ვამატებთ მათ კოეფიციენტებს და შედეგს ვამრავლებთ საერთო ასოს ნაწილზე - ცვლადზე ა

3a + 4a + 5a = (3 + 4 + 5)×a = 12a

ასეთი ტერმინები, როგორც წესი, მოცემულია გონებაში და შედეგი მაშინვე იწერება:

3a + 4a + 5a = 12a

ასევე, შეგიძლიათ კამათი ასე:

იყო 3 ცვლადი a , კიდევ 4 ცვლადი a და მათ დაემატა კიდევ 5 ცვლადი a. შედეგად მივიღეთ 12 ცვლადი a

განვიხილოთ მსგავსი ტერმინების შემცირების რამდენიმე მაგალითი. იმის გათვალისწინებით, რომ ეს თემა ძალიან მნიშვნელოვანია, თავდაპირველად ჩვენ დეტალურად ჩამოვწერთ ყველა დეტალს. მიუხედავად იმისა, რომ აქ ყველაფერი ძალიან მარტივია, ადამიანების უმეტესობა უამრავ შეცდომას უშვებს. ძირითადად უყურადღებობის გამო და არა უცოდინრობის.

მაგალითი 1 3a + 2a + 6a + 8ა

ჩვენ ვამატებთ კოეფიციენტებს ამ გამოსახულებაში და ვამრავლებთ შედეგს საერთო ასოების ნაწილზე:

3a + 2a + 6a + 8a=(3 + 2 + 6 + 8)× a = 19ა

მშენებლობა (3 + 2 + 6 + 8) × ათქვენ არ შეგიძლიათ დაწეროთ, ამიტომ ჩვენ დაუყოვნებლივ ჩავწერთ პასუხს

3 a + 2 a + 6 a + 8 a = 19 ა

მაგალითი 2მოიყვანეთ მსგავსი ტერმინები გამოხატვაში 2a+a

მეორე ვადა აიწერება კოეფიციენტის გარეშე, მაგრამ სინამდვილეში მას წინ უძღვის კოეფიციენტი 1 , რომელსაც ვერ ვხედავთ იმის გამო, რომ არ არის ჩაწერილი. ასე რომ, გამოთქმა ასე გამოიყურება:

2a + 1a

ახლა წარმოგიდგენთ მსგავს ტერმინებს. ანუ ვამატებთ კოეფიციენტებს და ვამრავლებთ შედეგს საერთო ასოების ნაწილზე:

2a + 1a = (2 + 1) × a = 3a

მოკლედ დავწეროთ გამოსავალი:

2a + a = 3a

2a+a, შეგიძლიათ სხვაგვარად კამათი:

მაგალითი 3მოიყვანეთ მსგავსი ტერმინები გამოხატვაში 2a - a

გამოკლება შევცვალოთ მიმატებით:

2a + (−a)

მეორე ვადა (−a)დაწერილია კოეფიციენტის გარეშე, მაგრამ სინამდვილეში ასე გამოიყურება (−1a).კოეფიციენტი −1 ისევ უხილავია იმის გამო, რომ არ არის ჩაწერილი. ასე რომ, გამოთქმა ასე გამოიყურება:

2a + (−1a)

ახლა წარმოგიდგენთ მსგავს ტერმინებს. ვამატებთ კოეფიციენტებს და ვამრავლებთ შედეგს საერთო ასოების ნაწილზე:

2a + (−1a) = (2 + (−1)) × a = 1a = a

ჩვეულებრივ უფრო მოკლედ იწერება:

2a − a = a

მსგავსი ტერმინების მოტანა გამოთქმაში 2a−aთქვენ ასევე შეგიძლიათ კამათი სხვა გზით:

იყო 2 ცვლადი a , გამოაკლო ერთი ცვლადი a , შედეგად იყო მხოლოდ ერთი ცვლადი a

მაგალითი 4მოიყვანეთ მსგავსი ტერმინები გამოხატვაში 6a - 3a + 4a - 8a

6a − 3a + 4a − 8a = 6a + (−3a) + 4a + (−8a)

ახლა წარმოგიდგენთ მსგავს ტერმინებს. ვამატებთ კოეფიციენტებს და ვამრავლებთ შედეგს საერთო ასოების ნაწილზე

(6 + (−3) + 4 + (−8)) × a = −1a = −a

მოკლედ დავწეროთ გამოსავალი:

6a - 3a + 4a - 8a = -a

არის გამონათქვამები, რომლებიც შეიცავს მსგავსი ტერმინების რამდენიმე სხვადასხვა ჯგუფს. Მაგალითად, 3a + 3b + 7a + 2b. ასეთ გამონათქვამებზე მოქმედებს იგივე წესები, რაც დანარჩენზე, კერძოდ, კოეფიციენტების დამატება და შედეგის გამრავლება საერთო ასო ნაწილზე. მაგრამ შეცდომების თავიდან აცილების მიზნით, მოსახერხებელია ტერმინების სხვადასხვა ჯგუფის ხაზგასმა სხვადასხვა ხაზით.

მაგალითად, გამონათქვამში 3a + 3b + 7a + 2bის ტერმინები, რომლებიც შეიცავს ცვლადს ა, შეიძლება ხაზგასმული იყოს ერთი ხაზით და ის ტერმინები, რომლებიც შეიცავს ცვლადს ბ, შეიძლება ხაზგასმული იყოს ორი ხაზით:

ახლა შეგვიძლია მსგავსი პირობების მოტანა. ანუ დაამატეთ კოეფიციენტები და გაამრავლეთ შედეგი საერთო ასო ნაწილზე. ეს უნდა გაკეთდეს ტერმინების ორივე ჯგუფისთვის: ცვლადის შემცველი ტერმინებისთვის ადა ცვლადის შემცველი ტერმინებისთვის ბ.

3a + 3b + 7a + 2b = (3+7)×a + (3 + 2)×b = 10a + 5b

კიდევ ერთხელ ვიმეორებთ, გამოთქმა მარტივია და მსგავსი ტერმინები გონებაში შეიძლება მოვიყვანოთ:

3a + 3b + 7a + 2b = 10a + 5b

მაგალითი 5მოიყვანეთ მსგავსი ტერმინები გამოხატვაში 5a - 6a - 7b + b

ჩვენ ვანაცვლებთ გამოკლებას მიმატებით, სადაც ეს შესაძლებელია:

5a − 6a −7b + b = 5a + (−6a) + (−7b) + b

ხაზი გაუსვით მსგავსი ტერმინებს სხვადასხვა სტრიქონებით. ცვლადების შემცველი ტერმინები ახაზი გაუსვით ერთი ხაზით და ცვლადების შემცველი ტერმინები ბხაზგასმულია ორი ხაზით:

ახლა შეგვიძლია მსგავსი პირობების მოტანა. ანუ, დაამატეთ კოეფიციენტები და გაამრავლეთ შედეგი საერთო ასოების ნაწილზე:

5a + (−6a) + (−7b) + b = (5 + (−6))×a + ((−7) + 1)×b = −a + (−6b)

თუ გამოთქმა შეიცავს ჩვეულებრივ რიცხვებს ანბანური ფაქტორების გარეშე, მაშინ ისინი ცალკე ემატება.

მაგალითი 6მოიყვანეთ მსგავსი ტერმინები გამოხატვაში 4a + 3a − 5 + 2b + 7

შეძლებისდაგვარად, გამოკლება შევცვალოთ მიმატებით:

4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 4a + 3a + (−5) + 2b + 7

წარმოვადგინოთ მსგავსი ტერმინები. ნომრები −5 და 7 არ აქვთ პირდაპირი ფაქტორები, მაგრამ ისინი მსგავსი ტერმინებია - თქვენ უბრალოდ უნდა დაამატოთ ისინი. და ტერმინი 2ბუცვლელი დარჩება, რადგან ამ გამოთქმაში ერთადერთია, რომელსაც აქვს ასოს ფაქტორი ბ,და დასამატებელი არაფერია:

4a + 3a + (−5) + 2b + 7 = (4 + 3)×a + 2b + (−5) + 7 = 7a + 2b + 2

მოკლედ დავწეროთ გამოსავალი:

4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 7a + 2b + 2

ტერმინები შეიძლება დალაგდეს ისე, რომ ის ტერმინები, რომლებსაც აქვთ იგივე ასო ნაწილი, განლაგებულია გამოხატვის იმავე ნაწილში.

მაგალითი 7მოიყვანეთ მსგავსი ტერმინები გამოხატვაში 5t+2x+3x+5t+x

ვინაიდან გამოთქმა არის რამდენიმე ტერმინის ჯამი, ეს საშუალებას გვაძლევს შევაფასოთ იგი ნებისმიერი თანმიმდევრობით. მაშასადამე, ცვლადის შემცველი ტერმინები ტ, შეიძლება დაიწეროს გამოხატვის დასაწყისში და ცვლადის შემცველი ტერმინები xგამოთქმის ბოლოს:

5t+5t+2x+3x+x

ახლა ჩვენ შეგვიძლია დავამატოთ მსგავსი ტერმინები:

5t + 5t + 2x + 3x + x = (5+5)×t + (2+3+1)×x = 10t + 6x

მოკლედ დავწეროთ გამოსავალი:

5t + 2x + 3x + 5t + x = 10t + 6x

საპირისპირო რიცხვების ჯამი არის ნული. ეს წესი ასევე მუშაობს პირდაპირი გამონათქვამებისთვის. თუ გამოთქმა შეიცავს ერთსა და იმავე ტერმინებს, მაგრამ საპირისპირო ნიშნებით, მაშინ შეგიძლიათ თავიდან აიცილოთ ისინი მსგავსი ტერმინების შემცირების ეტაპზე. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, უბრალოდ ჩამოაგდეთ ისინი გამოსახულებიდან, რადგან მათი ჯამი არის ნული.

მაგალითი 8მოიყვანეთ მსგავსი ტერმინები გამოხატვაში 3t − 4t − 3t + 2t

შეძლებისდაგვარად, გამოკლება შევცვალოთ მიმატებით:

3t − 4t − 3t + 2t = 3t + (−4t) + (−3t) + 2t

Ვადები 3 ტდა (−3 ტ)საპირისპირო არიან. საპირისპირო წევრთა ჯამი ნულის ტოლია. თუ გამოსახულებიდან ამ ნულს ამოვიღებთ, მაშინ გამოთქმის მნიშვნელობა არ შეიცვლება, ამიტომ წავშლით მას. და ჩვენ ამოვიღებთ მას პირობების ჩვეულებრივი წაშლით 3 ტდა (−3 ტ)

შედეგად, გვექნება გამოხატულება (−4ტ) + 2ტ. ამ გამოთქმაში შეგიძლიათ დაამატოთ მსგავსი პირობები და მიიღოთ საბოლოო პასუხი:

(−4t) + 2t = ((−4) + 2)×t = −2t

მოკლედ დავწეროთ გამოსავალი:

გამოხატვის გამარტივება

"გამოთქმის გამარტივება" და შემდეგი არის გამოთქმა გასამარტივებელი. გამოხატვის გამარტივებანიშნავს, რომ უფრო მარტივი და მოკლე იყოს.

ფაქტობრივად, ჩვენ უკვე შევეხეთ გამონათქვამების გამარტივებას წილადების შემცირებისას. შემცირების შემდეგ წილადი უფრო მოკლე და ადვილად წასაკითხი გახდა.

განვიხილოთ შემდეგი მაგალითი. გამოხატვის გამარტივება.

ეს დავალება შეიძლება აიხსნას სიტყვასიტყვით შემდეგნაირად: "რაც შეგიძლია გააკეთო ამ გამოთქმით, მაგრამ გაამარტივე" .

ამ შემთხვევაში, შეგიძლიათ შეამციროთ წილადი, კერძოდ, გაყოთ წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი 2-ზე:

კიდევ რა შეიძლება გაკეთდეს? თქვენ შეგიძლიათ გამოთვალოთ მიღებული წილადი. შემდეგ მივიღებთ ათობითი 0.5-ს

შედეგად, ფრაქცია გამარტივდა 0,5-მდე.

პირველი შეკითხვა, რომელიც უნდა დაუსვათ საკუთარ თავს ასეთი პრობლემების გადაჭრისას "რა შეიძლება გაკეთდეს?" . იმიტომ რომ არის რაღაცეები რისი გაკეთებაც შეგიძლია და არის რისი გაკეთებაც არ შეგიძლია.

კიდევ ერთი მნიშვნელოვანი წერტილი, რომელიც უნდა გვახსოვდეს, არის ის, რომ გამოხატვის მნიშვნელობა არ უნდა შეიცვალოს გამოხატვის გამარტივების შემდეგ. დავუბრუნდეთ გამოთქმას. ეს გამოთქმა არის დაყოფა, რომელიც შეიძლება შესრულდეს. ამ გაყოფის შესრულების შემდეგ, ჩვენ ვიღებთ ამ გამოხატვის მნიშვნელობას, რომელიც უდრის 0,5-ს

მაგრამ ჩვენ გავამარტივეთ გამოთქმა და მივიღეთ ახალი გამარტივებული გამოხატულება. ახალი გამარტივებული გამოხატვის მნიშვნელობა კვლავ არის 0.5

მაგრამ ჩვენ ასევე ვცადეთ გამოთვლების გამარტივება. შედეგად, საბოლოო პასუხი იყო 0.5.

ამრიგად, რაც არ უნდა გავამარტივოთ გამოხატულება, მიღებული გამონათქვამების მნიშვნელობა მაინც არის 0.5. ეს ნიშნავს, რომ გამარტივება სწორად განხორციელდა თითოეულ ეტაპზე. ეს არის ის, რისკენაც უნდა ვისწრაფოდეთ გამონათქვამების გამარტივებისას - გამოთქმის მნიშვნელობა არ უნდა დაზარალდეს ჩვენი მოქმედებებისგან.

ხშირად საჭიროა პირდაპირი გამონათქვამების გამარტივება. მათთვის იგივე გამარტივების წესები მოქმედებს, როგორც რიცხვითი გამონათქვამები. თქვენ შეგიძლიათ შეასრულოთ ნებისმიერი სწორი მოქმედება, თუ გამოხატვის მნიშვნელობა არ შეიცვლება.

მოდით შევხედოთ რამდენიმე მაგალითს.

მაგალითი 1გამოხატვის გამარტივება 5,21 წმ × t × 2,5

ამ გამოთქმის გასამარტივებლად შეგიძლიათ ცალ-ცალკე გაამრავლოთ რიცხვები და ცალ-ცალკე გაამრავლოთ ასოები. ეს ამოცანა ძალიან ჰგავს იმას, რაც ჩვენ განვიხილეთ, როდესაც კოეფიციენტის განსაზღვრა ვისწავლეთ:

5,21 წმ × t × 2,5 = 5,21 × 2,5 × წ × t = 13,025 × st = 13,025st

ასე რომ გამოხატულება 5,21 წმ × t × 2,5გამარტივებული 13.025 ქ.

მაგალითი 2გამოხატვის გამარტივება −0,4×(−6,3b)×2

მეორე ნამუშევარი (−6.3b)შეიძლება ითარგმნოს ჩვენთვის გასაგებ ფორმაში, კერძოდ, დაწერილი ფორმით ( −6.3)×b,შემდეგ ცალ-ცალკე გავამრავლოთ რიცხვები და ცალ-ცალკე გავამრავლოთ ასოები:

− 0,4 × (−6.3b) × 2 = − 0,4 × (−6.3) × b × 2 = 5.04b

ასე რომ გამოხატულება −0,4×(−6,3b)×2 გამარტივებული 5.04ბ

მაგალითი 3გამოხატვის გამარტივება

მოდით დავწეროთ ეს გამოთქმა უფრო დეტალურად, რათა ნათლად დავინახოთ, სად არის რიცხვები და სად არის ასოები:

ახლა ჩვენ ვამრავლებთ რიცხვებს ცალ-ცალკე და ვამრავლებთ ასოებს ცალ-ცალკე:

ასე რომ გამოხატულება გამარტივებული −abc.ეს გამოსავალი შეიძლება დაიწეროს მოკლედ:

გამონათქვამების გამარტივებისას, წილადები შეიძლება შემცირდეს ამოხსნის პროცესში და არა ბოლომდე, როგორც ეს გავაკეთეთ ჩვეულებრივი წილადების შემთხვევაში. მაგალითად, თუ ამოხსნისას შევხვდებით ფორმის გამოხატულებას, მაშინ საერთოდ არ არის საჭირო მრიცხველის და მნიშვნელის გამოთვლა და მსგავსი რამის გაკეთება:

წილადი შეიძლება შემცირდეს მრიცხველში და მნიშვნელში ფაქტორების არჩევით და ამ ფაქტორების შემცირებით მათი უდიდესი საერთო გამყოფით. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, გამოიყენეთ , რომელშიც დეტალურად არ აღვწერთ, თუ რაში იყო დაყოფილი მრიცხველი და მნიშვნელი.

მაგალითად, მრიცხველში, კოეფიციენტში 12, ხოლო მნიშვნელში, 4-ის შემცირება შესაძლებელია 4-ით. ჩვენ ვინახავთ ოთხს გონებაში და 12 და 4-ის გაყოფით ამ ოთხზე, ამ რიცხვების გვერდით ვწერთ პასუხებს. მანამდე რომ გადაკვეთა ისინი

ახლა თქვენ შეგიძლიათ გაამრავლოთ მიღებული მცირე ფაქტორები. ამ შემთხვევაში, ბევრი მათგანი არ არის და თქვენ შეგიძლიათ გაამრავლოთ ისინი თქვენს გონებაში:

დროთა განმავლობაში შეიძლება აღმოაჩინოთ, რომ კონკრეტული პრობლემის გადაჭრისას გამოთქმები იწყებს „გასუქებას“, ამიტომ მიზანშეწონილია შეგუება სწრაფ გამოთვლებს. რისი გამოთვლა შესაძლებელია გონებაში, უნდა გამოითვალოს გონებაში. რაც შეიძლება სწრაფად მოიჭრას, სწრაფად უნდა მოიჭრას.

მაგალითი 4გამოხატვის გამარტივება

ასე რომ გამოხატულება გამარტივებული

მაგალითი 5გამოხატვის გამარტივება

ცალ-ცალკე ვამრავლებთ რიცხვებს და ცალ-ცალკე ასოებს:

ასე რომ გამოხატულება გამარტივებული წთ.

მაგალითი 6გამოხატვის გამარტივება

მოდით დავწეროთ ეს გამოთქმა უფრო დეტალურად, რათა ნათლად დავინახოთ, სად არის რიცხვები და სად არის ასოები:

ახლა ვამრავლებთ ცალ-ცალკე რიცხვებს და ცალ-ცალკე ასოებს. გამოთვლების მოხერხებულობისთვის, ათობითი წილადი −6.4 და შერეული რიცხვი შეიძლება გადაკეთდეს ჩვეულებრივ წილადებად:

ასე რომ გამოხატულება გამარტივებული

ამ მაგალითის გამოსავალი შეიძლება დაიწეროს ბევრად უფრო მოკლედ. ეს ასე გამოიყურება:

მაგალითი 7გამოხატვის გამარტივება

ცალ-ცალკე ვამრავლებთ რიცხვებს და ცალ-ცალკე ასოებს. გაანგარიშების მოხერხებულობისთვის, შერეული რიცხვი და ათობითი წილადები 0.1 და 0.6 შეიძლება გადაკეთდეს ჩვეულებრივ წილადებად:

ასე რომ გამოხატულება გამარტივებული ა ბ გ დ. თუ გამოტოვებთ დეტალებს, მაშინ ეს გამოსავალი შეიძლება დაიწეროს ბევრად უფრო მოკლედ:

დააკვირდით, როგორ შემცირდა წილადი. ასევე შეიძლება შემცირდეს ახალი მულტიპლიკატორები, რომლებიც მიიღება წინა მამრავლების შემცირებით.

ახლა მოდით ვისაუბროთ იმაზე, თუ რა არ უნდა გავაკეთოთ. გამონათქვამების გამარტივებისას კატეგორიულად იკრძალება რიცხვების და ასოების გამრავლება, თუ გამოსახულება ჯამია და არა ნამრავლი.

მაგალითად, თუ გსურთ გამოხატვის გამარტივება 5a + 4b, მაშინ არ შეიძლება ჩაიწეროს შემდეგნაირად:

ეს უდრის იმ ფაქტს, რომ თუ ჩვენ გვთხოვენ ორი რიცხვის შეკრებას და ჩვენ გავამრავლებდით მათ ნაცვლად.

ცვლადის ნებისმიერი მნიშვნელობის ჩანაცვლებისას ადა ბგამოხატულება 5a+4bიქცევა მარტივ რიცხვით გამოხატულებად. დავუშვათ ცვლადები ადა ბაქვს შემდეგი მნიშვნელობები:

a = 2, b = 3

მაშინ გამოხატვის მნიშვნელობა იქნება 22

5a + 4b = 5 × 2 + 4 × 3 = 10 + 12 = 22

ჯერ კეთდება გამრავლება და შემდეგ ემატება შედეგები. და თუ შევეცადოთ ამ გამოთქმის გამარტივება რიცხვების და ასოების გამრავლებით, მივიღებთ შემდეგს:

5a + 4b = 5 × 4 × a × b = 20ab

20ab = 20 x 2 x 3 = 120

გამოდის გამოთქმის სრულიად განსხვავებული მნიშვნელობა. პირველ შემთხვევაში აღმოჩნდა 22 , მეორე შემთხვევაში 120 . ეს ნიშნავს გამოხატვის გამარტივებას 5a + 4bშესრულდა არასწორად.

გამოხატვის გამარტივების შემდეგ, მისი მნიშვნელობა არ უნდა შეიცვალოს ცვლადების იგივე მნიშვნელობებით. თუ რომელიმე ცვლადი მნიშვნელობების თავდაპირველ გამოსახულებაში ჩანაცვლებისას მიიღება ერთი მნიშვნელობა, მაშინ გამოხატვის გამარტივების შემდეგ უნდა მივიღოთ იგივე მნიშვნელობა, რაც გამარტივებამდე.

გამომეტყველებით 5a + 4bრეალურად არაფრის გაკეთება არ შეიძლება. ეს არ გაადვილდება.

თუ გამოთქმა შეიცავს მსგავს ტერმინებს, მაშინ ისინი შეიძლება დაემატოს, თუ ჩვენი მიზანია გამოხატვის გამარტივება.

მაგალითი 8გამოხატვის გამარტივება 0.3a−0.4a+a

0.3a − 0.4a + a = 0.3a + (−0.4a) + a = (0.3 + (−0.4) + 1)×a = 0.9a

ან უფრო მოკლე: 0.3a - 0.4a + a = 0.9a

ასე რომ გამოხატულება 0.3a−0.4a+aგამარტივებული 0.9a

მაგალითი 9გამოხატვის გამარტივება −7,5a − 2,5b + 4a

ამ გამოთქმის გასამარტივებლად, შეგიძლიათ დაამატოთ მსგავსი ტერმინები:

−7,5a − 2,5b + 4a = −7,5a + (−2,5b) + 4a = ((−7,5) + 4)×a + (−2,5b) = −3,5a + (−2,5b)

ან უფრო მოკლე −7,5a − 2,5b + 4a = −3,5a + (−2,5b)

ვადა (−2.5b)უცვლელი დარჩა, რადგან დასაკეცი არაფერი იყო.

მაგალითი 10გამოხატვის გამარტივება

ამ გამოთქმის გასამარტივებლად, შეგიძლიათ დაამატოთ მსგავსი ტერმინები:

კოეფიციენტი იყო გაანგარიშების მოხერხებულობისთვის.

ასე რომ გამოხატულება გამარტივებული

მაგალითი 11.გამოხატვის გამარტივება

ამ გამოთქმის გასამარტივებლად, შეგიძლიათ დაამატოთ მსგავსი ტერმინები:

ასე რომ გამოხატულება გამარტივებული .

ამ მაგალითში უფრო ლოგიკური იქნებოდა პირველი და ბოლო კოეფიციენტების დამატება. ამ შემთხვევაში მოკლე გამოსავალს მივიღებდით. ეს ასე გამოიყურება:

მაგალითი 12.გამოხატვის გამარტივება

ამ გამოთქმის გასამარტივებლად, შეგიძლიათ დაამატოთ მსგავსი ტერმინები:

ასე რომ გამოხატულება გამარტივებული .

ტერმინი უცვლელი დარჩა, რადგან დასამატებელი არაფერი იყო.

ეს გამოსავალი შეიძლება დაიწეროს ბევრად უფრო მოკლედ. ეს ასე გამოიყურება:

მოკლე ამოხსნა გამოტოვებს გამოკლების შეკრებით ჩანაცვლების საფეხურებს და დეტალურ ჩანაწერს, თუ როგორ შემცირდა წილადები საერთო მნიშვნელამდე.

კიდევ ერთი განსხვავება ისაა, რომ დეტალურ გადაწყვეტაში პასუხი ასე გამოიყურება , მაგრამ მოკლედ როგორც . სინამდვილეში, ეს იგივე გამოხატულებაა. განსხვავება ისაა, რომ პირველ შემთხვევაში გამოკლებას ცვლის შეკრება, რადგან დასაწყისში, როცა ამონახსნავს დეტალურად ვწერდით, გამოკლება შეკრებით შევცვალეთ, სადაც შესაძლებელი იყო და ეს ჩანაცვლება შენარჩუნებული იყო პასუხისთვის.

იდენტობები. იდენტური თანაბარი გამონათქვამები

მას შემდეგ რაც გავამარტივებთ რაიმე გამოთქმას, ის უფრო მარტივი და მოკლე ხდება. იმის შესამოწმებლად, არის თუ არა გამოთქმა გამარტივებული სწორად, საკმარისია ცვლადის ნებისმიერი მნიშვნელობის ჩანაცვლება ჯერ წინა გამოსახულებაში, რომელიც საჭირო იყო გამარტივებულიყო, შემდეგ კი ახალში, რომელიც გამარტივდა. თუ ორივე გამონათქვამის მნიშვნელობა ერთნაირია, მაშინ გამოხატულება გამარტივებულია სწორად.

განვიხილოთ უმარტივესი მაგალითი. დაე, საჭირო იყოს გამოხატვის გამარტივება 2a × 7b. ამ გამოთქმის გასამარტივებლად შეგიძლიათ ცალ-ცალკე გაამრავლოთ რიცხვები და ასოები:

2a × 7b = 2 × 7 × a × b = 14ab

მოდით შევამოწმოთ სწორად გავამარტივეთ თუ არა გამოთქმა. ამისათვის შეცვალეთ ცვლადის ნებისმიერი მნიშვნელობა ადა ბჯერ პირველ გამონათქვამზე, რომელიც გამარტივებას საჭიროებდა, შემდეგ კი მეორეზე, რომელიც გამარტივდა.

მოდით ცვლადების მნიშვნელობები ა , ბიქნება შემდეგი:

a = 4, b = 5

ჩაანაცვლეთ ისინი პირველ გამონათქვამში 2a × 7b

ახლა მოდით ჩავანაცვლოთ ცვლადების იგივე მნიშვნელობები გამოსახულებაში, რომელიც წარმოიშვა გამარტივებიდან 2a×7b, კერძოდ გამონათქვამში 14აბ

14ab = 14 x 4 x 5 = 280

ჩვენ ამას ვხედავთ a=4და b=5პირველი გამოხატვის მნიშვნელობა 2a×7bდა მეორე გამოხატვის მნიშვნელობა 14აბთანაბარი

2a × 7b = 2 × 4 × 7 × 5 = 280

14ab = 14 x 4 x 5 = 280

იგივე მოხდება ნებისმიერ სხვა მნიშვნელობებზე. მაგალითად, მოდით a=1და b=2

2a × 7b = 2 × 1 × 7 × 2 = 28

14ab = 14 x 1 x 2 = 28

ამრიგად, ცვლადების ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის, გამონათქვამები 2a×7bდა 14აბიგივე მნიშვნელობის ტოლია. ასეთ გამონათქვამებს ე.წ იდენტური თანაბარი.

გამოთქმებს შორის ვასკვნით 2a×7bდა 14აბშეგიძლიათ დააყენოთ თანაბარი ნიშანი, რადგან ისინი ტოლია იგივე მნიშვნელობის.

2a × 7b = 14ab

თანასწორობა არის ნებისმიერი გამოხატულება, რომელსაც უერთდება ტოლობის ნიშანი (=).

და ფორმის თანასწორობა 2a×7b = 14abდაურეკა ვინაობა.

იდენტურობა არის თანასწორობა, რომელიც მართალია ცვლადის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის.

პირადობის სხვა მაგალითები:

a + b = b + a

a(b+c) = ab + ac

a(bc) = (ab)c

დიახ, მათემატიკის კანონები, რომლებიც ჩვენ შევისწავლეთ, არის იდენტობები.

ჭეშმარიტი რიცხვითი თანასწორობები ასევე იდენტობებია. Მაგალითად:

2 + 2 = 4

3 + 3 = 5 + 1

10 = 7 + 2 + 1

რთული ამოცანის ამოხსნისას, გამოთვლების გასაადვილებლად, რთული გამოთქმა იცვლება უფრო მარტივი გამოსახულებით, რომელიც იდენტურად უდრის წინას. ასეთ ჩანაცვლებას ე.წ გამოხატვის იდენტური ტრანსფორმაციაან უბრალოდ გამოხატვის კონვერტაცია.

მაგალითად, ჩვენ გავამარტივეთ გამოთქმა 2a × 7bდა მიიღეთ უფრო მარტივი გამოხატულება 14აბ. ამ გამარტივებას შეიძლება ეწოდოს იდენტობის ტრანსფორმაცია.

ხშირად შეგიძლიათ იპოვოთ დავალება, რომელიც ამბობს "დაამტკიცე, რომ თანასწორობა არის იდენტობა" და შემდეგ მოცემულია დასამტკიცებელი თანასწორობა. ჩვეულებრივ, ეს თანასწორობა შედგება ორი ნაწილისგან: ტოლობის მარცხენა და მარჯვენა ნაწილებისგან. ჩვენი ამოცანაა განვახორციელოთ იდენტური გარდაქმნები თანასწორობის ერთ-ერთ ნაწილთან და მივიღოთ მეორე ნაწილი. ან შეასრულეთ იდენტური გარდაქმნები ტოლობის ორივე ნაწილთან და დარწმუნდით, რომ ტოლობის ორივე ნაწილი შეიცავს ერთსა და იმავე გამონათქვამებს.

მაგალითად, დავამტკიცოთ, რომ თანასწორობა 0.5a × 5b = 2.5abარის იდენტობა.

გაამარტივეთ ამ თანასწორობის მარცხენა მხარე. ამისათვის გაამრავლეთ რიცხვები და ასოები ცალ-ცალკე:

0,5 × 5 × a × b = 2,5აბ

2.5ab = 2.5ab

იდენტურობის მცირე ტრანსფორმაციის შედეგად, თანასწორობის მარცხენა მხარე გახდა თანასწორობის მარჯვენა მხარის ტოლი. ასე რომ, ჩვენ დავამტკიცეთ, რომ თანასწორობა 0.5a × 5b = 2.5abარის იდენტობა.

იდენტური გარდაქმნებიდან ვისწავლეთ რიცხვების შეკრება, გამოკლება, გამრავლება და გაყოფა, წილადების შემცირება, მსგავსი ტერმინების მოყვანა და ასევე ზოგიერთი გამონათქვამის გამარტივება.

მაგრამ ეს შორს არის მათემატიკაში არსებული ყველა იდენტური ტრანსფორმაციისგან. კიდევ ბევრი იდენტური ტრანსფორმაციაა. ამას მომავალში ისევ და ისევ ვიხილავთ.

ამოცანები დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის:

მოგეწონა გაკვეთილი?
შემოუერთდით ჩვენს ახალ Vkontakte ჯგუფს და დაიწყეთ ახალი გაკვეთილების შეტყობინებების მიღება

გამონათქვამები, გამოხატვის გარდაქმნა

ძალოვანი გამონათქვამები (გამოთქმები ძალებით) და მათი ტრანსფორმაცია

ამ სტატიაში ვისაუბრებთ გამონათქვამების ძალებით გარდაქმნაზე. პირველ რიგში, ჩვენ ყურადღებას გავამახვილებთ ტრანსფორმაციებზე, რომლებიც შესრულებულია ნებისმიერი სახის გამონათქვამებით, მათ შორის ძალის გამონათქვამებით, როგორიცაა ფრჩხილების გახსნა, მსგავსი ტერმინების შემცირება. შემდეგ ჩვენ გავაანალიზებთ გარდაქმნებს, რომლებიც თან ახლავს კონკრეტულად გამოხატულებებს გრადუსით: მუშაობა ფუძესთან და ექსპონენტთან, გრადუსების თვისებების გამოყენებით და ა.შ.

გვერდის ნავიგაცია.

რა არის ძალის გამონათქვამები?

ტერმინი "ძალაუფლების გამონათქვამები" პრაქტიკულად არ გვხვდება მათემატიკის სასკოლო სახელმძღვანელოებში, მაგრამ ის ხშირად გვხვდება დავალებების კრებულებში, რომლებიც სპეციალურად შექმნილია ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისთვის და OGE-სთვის მოსამზადებლად, მაგალითად,. ამოცანების გაანალიზების შემდეგ, რომლებშიც საჭიროა რაიმე მოქმედების შესრულება ძალის გამონათქვამებით, ცხადი ხდება, რომ ძალაუფლების გამონათქვამები გაგებულია, როგორც გამონათქვამები, რომლებიც შეიცავს ხარისხს მათ ჩანაწერებში. ამიტომ, თქვენთვის, შეგიძლიათ მიიღოთ შემდეგი განმარტება:

განმარტება.

ძალის გამონათქვამებიარის გამონათქვამები, რომლებიც შეიცავს ძალაუფლებას.

მოვიყვანოთ ძალაუფლების გამოხატვის მაგალითები. უფრო მეტიც, ჩვენ წარმოვადგენთ მათ იმის მიხედვით, თუ როგორ ხდება შეხედულებების განვითარება ბუნებრივი ინდიკატორის ხარისხიდან რეალური ინდიკატორის ხარისხამდე.

მოგეხსენებათ, ჯერ გაეცნობით რიცხვის ხარისხს ნატურალური მაჩვენებლით, ამ ეტაპზე პირველი უმარტივესი სიმძლავრის გამონათქვამები 3 2 , 7 5 +1 , (2+1) 5 , (−0,1). ) 4 , 3 a 2 −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 და ა.შ.

ცოტა მოგვიანებით, შესწავლილია რიცხვის სიმძლავრე მთელი რიცხვის მაჩვენებლით, რაც იწვევს უარყოფითი მთელი ძალებით გამოსახულებების გამოჩენას, როგორიცაა: 3 −2, , a −2 +2 b −3 + c 2 .

უფროს კლასებში ისევ უბრუნდებიან ხარისხს. იქ დანერგილია ხარისხი რაციონალური მაჩვენებლით, რაც იწვევს შესაბამისი სიმძლავრის გამონათქვამების გამოჩენას: , , და ა.შ. და ბოლოს, განიხილება ირაციონალური მაჩვენებლებით და მათ შემცველი გამონათქვამები: , .

საკითხი არ შემოიფარგლება ჩამოთვლილი სიმძლავრის გამონათქვამებით: შემდგომში ცვლადი აღწევს მაჩვენებელში და არის, მაგალითად, ასეთი გამონათქვამები 2 x 2 +1 ან . და გაცნობის შემდეგ იწყება გამონათქვამები ძალებითა და ლოგარითმებით, მაგალითად, x 2 lgx −5 x lgx.

ასე რომ, ჩვენ გავარკვიეთ კითხვა, რა არის ძალაუფლების გამოხატულება. შემდეგი, ჩვენ ვისწავლით როგორ გარდაქმნას ისინი.

ძალაუფლების გამონათქვამების გარდაქმნების ძირითადი ტიპები

ძალაუფლების გამონათქვამებით, თქვენ შეგიძლიათ შეასრულოთ გამონათქვამების იდენტობის ნებისმიერი ძირითადი ტრანსფორმაცია. მაგალითად, შეგიძლიათ გახსნათ ფრჩხილები, შეცვალოთ რიცხვითი გამონათქვამები მათი მნიშვნელობებით, დაამატოთ მსგავსი ტერმინები და ა.შ. ბუნებრივია, ამ შემთხვევაში აუცილებელია მოქმედებების განხორციელებისთვის მიღებული პროცედურის დაცვა. მოვიყვანოთ მაგალითები.

მაგალითი.

გამოთვალეთ სიმძლავრის გამოხატვის მნიშვნელობა 2 3 ·(4 2 −12) .

გადაწყვეტილება.

მოქმედებების თანმიმდევრობის მიხედვით, ჯერ ვასრულებთ მოქმედებებს ფრჩხილებში. იქ ჯერ 4 2-ის სიმძლავრეს ვცვლით მისი მნიშვნელობით 16 (იხ. საჭიროების შემთხვევაში) და მეორეც ვიანგარიშებთ სხვაობას 16−12=4 . Ჩვენ გვაქვს 2 3 (4 2 −12)=2 3 (16−12)=2 3 4.

მიღებულ გამონათქვამში 2 3-ის სიმძლავრეს ვცვლით მისი მნიშვნელობით 8, რის შემდეგაც გამოვთვლით ნამრავლს 8·4=32. ეს არის სასურველი მნიშვნელობა.

Ისე, 2 3 (4 2 −12)=2 3 (16−12)=2 3 4=8 4=32.

პასუხი:

2 3 (4 2 −12)=32 .

მაგალითი.

ძალაუფლების გამონათქვამების გამარტივება 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

გადაწყვეტილება.

ცხადია, ეს გამოთქმა შეიცავს მსგავს ტერმინებს 3 · a 4 · b − 7 და 2 · a 4 · b − 7 და შეგვიძლია შევამციროთ ისინი: .

პასუხი:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

მაგალითი.

გამოხატეთ გამოხატულება ძალებით, როგორც პროდუქტი.

გადაწყვეტილება.

ამოცანის შესასრულებლად საშუალებას იძლევა 9 რიცხვის წარმოდგენა 3 2-ის სიმძლავრის სახით და შემდგომში გამოიყენოს შემოკლებული გამრავლების ფორმულა, კვადრატების სხვაობა:

პასუხი:

ასევე არსებობს მთელი რიგი იდენტური გარდაქმნები, რომლებიც თან ახლავს ძალაუფლების გამონათქვამებს. შემდეგი, ჩვენ გავაანალიზებთ მათ.

ბაზისთან და ექსპონენტთან მუშაობა

არის ხარისხები, რომელთა საფუძველში ან/და ინდიკატორში არის არა მხოლოდ რიცხვები ან ცვლადები, არამედ ზოგიერთი გამონათქვამი. მაგალითად, დავწეროთ (2+0.3 7) 5−3.7 და (a (a+1)−a 2) 2 (x+1) .

ასეთ გამონათქვამებთან მუშაობისას შესაძლებელია როგორც ხარისხის საფუძველში გამოსახულება, ასევე ინდიკატორის გამოხატულება მისი ცვლადების DPV-ზე იდენტური თანაბარი გამოსახულებით. ანუ ჩვენთვის ცნობილი წესების მიხედვით შეგვიძლია ცალ-ცალკე გადავიყვანოთ ხარისხის საფუძველი, ცალკე კი - ინდიკატორი. ცხადია, რომ ამ ტრანსფორმაციის შედეგად მიიღება გამონათქვამი, რომელიც იდენტურად უტოლდება თავდაპირველს.

ასეთი გარდაქმნები საშუალებას გვაძლევს გავამარტივოთ გამოთქმები ძალებით ან მივაღწიოთ სხვა მიზნებს, რაც გვჭირდება. მაგალითად, ზემოხსენებულ 5−3.7 დენის გამოხატულებაში (2+0.3 7) შეგიძლიათ შეასრულოთ მოქმედებები ძირში და მაჩვენებელში მოცემული რიცხვებით, რაც საშუალებას მოგცემთ გადახვიდეთ 4.1 1.3 ხარისხზე. ხოლო ფრჩხილების გახსნის და (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) ხარისხის ფუძეში მსგავსი ტერმინების მოყვანის შემდეგ მივიღებთ 2·(x+1) უფრო მარტივი ფორმის ძლიერ გამოხატულებას. ) .

დენის თვისებების გამოყენება

გამონათქვამების ძალებით გარდაქმნის ერთ-ერთი მთავარი ინსტრუმენტი არის თანასწორობა, რომელიც ასახავს . გავიხსენოთ ძირითადი. ნებისმიერი დადებითი რიცხვისთვის a და b და თვითნებური რეალური რიცხვებისთვის r და s, ძალაუფლების შემდეგი თვისებები მოქმედებს:

• a r a s =a r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (ა ბ) r = a r b r;
• (a:b) r =a r:b r ;
• (a r) s =a r s .

გაითვალისწინეთ, რომ ბუნებრივი, მთელი და დადებითი მაჩვენებლებისთვის, a და b რიცხვებზე შეზღუდვები შეიძლება არც ისე მკაცრი იყოს. მაგალითად, m და n ნატურალური რიცხვებისთვის ტოლობა a m a n =a m+n მართალია არა მხოლოდ დადებითი a , არამედ უარყოფითი და a=0 .

სკოლაში ძალაუფლების გამონათქვამების ტრანსფორმაციისას მთავარი ყურადღება გამახვილებულია ზუსტად შესაბამისი თვისების არჩევისა და მისი სწორად გამოყენების უნარზე. ამ შემთხვევაში, გრადუსების საფუძვლები, როგორც წესი, დადებითია, რაც საშუალებას გაძლევთ გამოიყენოთ ხარისხების თვისებები შეზღუდვების გარეშე. იგივე ეხება ცვლადების შემცველი გამონათქვამების ტრანსფორმაციას გრადუსების საფუძვლებში - ცვლადების მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონი ჩვეულებრივ ისეთია, რომ ფუძეები მასზე მხოლოდ დადებით მნიშვნელობებს იღებენ, რაც საშუალებას გაძლევთ თავისუფლად გამოიყენოთ თვისებები. ხარისხების. ზოგადად, თქვენ მუდმივად უნდა ჰკითხოთ საკუთარ თავს, შესაძლებელია თუ არა ამ შემთხვევაში ხარისხების რაიმე თვისების გამოყენება, რადგან თვისებების არაზუსტმა გამოყენებამ შეიძლება გამოიწვიოს ODZ-ის შევიწროება და სხვა პრობლემები. ეს პუნქტები დეტალურად და მაგალითებით არის განხილული სტატიაში გამონათქვამების ტრანსფორმაცია გრადუსების თვისებების გამოყენებით. აქ შემოვიფარგლებით რამდენიმე მარტივი მაგალითით.

მაგალითი.

გამოთქვით a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 გამოთქმა ხარისხად a ფუძით.

გადაწყვეტილება.

პირველი, ჩვენ გარდაქმნით მეორე ფაქტორს (a 2) −3 სიმძლავრის ხარისხზე აყვანის თვისებით: (a 2) −3 =a 2 (−3) =a −6. ამ შემთხვევაში, საწყისი სიმძლავრის გამოხატულება მიიღებს ფორმას a 2.5 ·a −6:a −5.5 . ცხადია, რჩება ძალაუფლების გამრავლებისა და გაყოფის თვისებების გამოყენება იმავე ფუძით, გვაქვს
a 2.5 a -6: a -5.5 =
a 2,5−6:a−5,5 =a−3,5:a−5,5 =
a −3,5−(−5,5) =a 2 .

პასუხი:

a 2.5 (a 2) -3:a -5.5 \u003d a 2.

სიმძლავრის თვისებები გამოიყენება ძალაუფლების გამონათქვამების გარდაქმნისას როგორც მარცხნიდან მარჯვნივ, ასევე მარჯვნიდან მარცხნივ.

მაგალითი.

იპოვეთ ძალა გამოხატვის მნიშვნელობა.

გადაწყვეტილება.

ტოლობა (a·b) r =a r ·b r, გამოყენებული მარჯვნიდან მარცხნივ, საშუალებას გაძლევთ გადახვიდეთ ორიგინალური გამოხატულებიდან ფორმის ნამრავლზე და შემდგომში. და იმავე ფუძით ძალების გამრავლებისას, ინდიკატორები იკრიბება: .

შესაძლებელი იყო ორიგინალური გამოხატვის ტრანსფორმაციის სხვა გზით შესრულება:

პასუხი:

.

მაგალითი.

1.5 −a 0.5 −6 სიმძლავრის გამოსახულების გათვალისწინებით, შეიყვანეთ ახალი ცვლადი t=a 0.5.

გადაწყვეტილება.

a 1.5 ხარისხი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც 0.5 3 და შემდგომში ხარისხის თვისების საფუძველზე მარჯვნიდან მარცხნივ გამოყენებული ხარისხით (a r) s =a r s, გადაიყვანოთ იგი ფორმაში (a 0.5) 3 . ამრიგად, a 1.5 -a 0.5 -6 = (a 0.5) 3 -a 0.5 -6. ახლა ადვილია ახალი ცვლადის შემოღება t=a 0.5 , მივიღებთ t 3 −t−6 .

პასუხი:

t 3 −t−6 .

სიმძლავრის შემცველი წილადების გადაქცევა

სიმძლავრის გამონათქვამები შეიძლება შეიცავდეს წილადებს ხარისხებით ან წარმოადგენდეს ასეთ წილადებს. წილადის ნებისმიერი ძირითადი გარდაქმნა, რომელიც თანდაყოლილია ნებისმიერი სახის წილადებისთვის, სრულად გამოიყენება ასეთ წილადებზე. ანუ წილადები, რომლებიც შეიცავენ ხარისხს, შეიძლება შემცირდეს, შემცირდეს ახალ მნიშვნელამდე, იმუშაოს ცალ-ცალკე მათ მრიცხველთან და ცალ-ცალკე მნიშვნელთან და ა.შ. ზემოთ მოყვანილი სიტყვების საილუსტრაციოდ, განიხილეთ რამდენიმე მაგალითის ამოხსნა.

მაგალითი.

ძალაუფლების გამოხატვის გამარტივება .

გადაწყვეტილება.

ეს სიმძლავრის გამოხატულება არის წილადი. ვიმუშაოთ მის მრიცხველთან და მნიშვნელთან. მრიცხველში ვხსნით ფრჩხილებს და ვამარტივებთ ამის შემდეგ მიღებულ გამონათქვამს ძალაუფლების თვისებების გამოყენებით, ხოლო მნიშვნელში წარმოვადგენთ მსგავს ტერმინებს:

ჩვენ ასევე ვცვლით მნიშვნელის ნიშანს წილადის წინ მინუსის დაყენებით: .

პასუხი:

.

სიმძლავრის შემცველი წილადების ახალ მნიშვნელამდე შემცირება ხდება ისევე, როგორც რაციონალური წილადების ახალ მნიშვნელამდე შემცირება. ამავდროულად, მოიძებნება დამატებითი ფაქტორიც და მასზე მრავლდება წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი. ამ მოქმედების შესრულებისას უნდა გვახსოვდეს, რომ ახალ მნიშვნელზე შემცირებამ შეიძლება გამოიწვიოს DPV-ის შევიწროება. ამის თავიდან ასაცილებლად, აუცილებელია, რომ დამატებითი ფაქტორი არ გაქრეს ცვლადების რომელიმე მნიშვნელობისთვის ODZ ცვლადებიდან ორიგინალური გამოხატვისთვის.

მაგალითი.

მიიტანეთ წილადები ახალ მნიშვნელზე: ა) მნიშვნელზე a, ბ) მნიშვნელისკენ.

გადაწყვეტილება.

ა) ამ შემთხვევაში საკმაოდ ადვილია იმის გარკვევა, თუ რა დამატებითი ფაქტორი უწყობს ხელს სასურველი შედეგის მიღწევას. ეს არის 0.3-ის გამრავლება, ვინაიდან 0.7 a 0.3 = a 0.7+0.3 = a. გაითვალისწინეთ, რომ a ცვლადის მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონში (ეს არის ყველა დადებითი რეალური რიცხვის სიმრავლე), a 0.3 ხარისხი არ ქრება, შესაბამისად, უფლება გვაქვს გავამრავლოთ მოცემული წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი. ამ დამატებითი ფაქტორით:

ბ) მნიშვნელს უფრო ყურადღებით დავაკვირდებით, ვხვდებით, რომ

და ამ გამონათქვამის გამრავლება მივიღებთ კუბების ჯამს და, ანუ . და ეს არის ახალი მნიშვნელი, რომელსაც უნდა მივიყვანოთ საწყისი წილადი.

ასე რომ, ჩვენ ვიპოვეთ დამატებითი ფაქტორი. გამოთქმა არ ქრება x და y ცვლადების მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონში, ამიტომ ჩვენ შეგვიძლია გავამრავლოთ წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი მასზე:

პასუხი:

ა) , ბ) .

ასევე არაფერია ახალი გრადუსების შემცველი წილადების შემცირებაში: მრიცხველი და მნიშვნელი წარმოდგენილია ფაქტორების გარკვეული რაოდენობის სახით, ხოლო მრიცხველისა და მნიშვნელის იგივე ფაქტორები მცირდება.

მაგალითი.

შეამცირე წილადი: ა) , ბ).

გადაწყვეტილება.

ა) ჯერ მრიცხველი და მნიშვნელი შეიძლება შემცირდეს 30 და 45 რიცხვებით, რაც უდრის 15-ს. ასევე, ცხადია, შეგიძლიათ შეამციროთ x 0,5 +1-ით და . აი რა გვაქვს:

ბ) ამ შემთხვევაში მრიცხველსა და მნიშვნელში ერთი და იგივე ფაქტორები მაშინვე არ ჩანს. მათი მისაღებად, თქვენ უნდა შეასრულოთ წინასწარი გარდაქმნები. ამ შემთხვევაში, ისინი მოიცავს მნიშვნელის ფაქტორებად დაშლას კვადრატების ფორმულის სხვაობის მიხედვით:

პასუხი:

ა)

ბ) .

წილადების ახალ მნიშვნელამდე შემცირება და წილადების შემცირება ძირითადად გამოიყენება წილადებზე მოქმედებების შესასრულებლად. მოქმედებები შესრულებულია ცნობილი წესების მიხედვით. წილადების შეკრებისას (გამოკლებისას) ისინი მცირდება საერთო მნიშვნელამდე, რის შემდეგაც მრიცხველები ემატება (აკლდება) და მნიშვნელი იგივე რჩება. შედეგი არის წილადი, რომლის მრიცხველი არის მრიცხველების ნამრავლი, ხოლო მნიშვნელი არის მნიშვნელების ნამრავლი. წილადზე გაყოფა არის გამრავლება მის ორმხრივად.

მაგალითი.

მიჰყევით ნაბიჯებს .

გადაწყვეტილება.

პირველ რიგში, ჩვენ გამოვაკლებთ წილადებს ფრჩხილებში. ამისათვის ჩვენ მათ საერთო მნიშვნელამდე მივყავართ, რაც არის , შემდეგ გამოვაკლოთ მრიცხველები:

ახლა ვამრავლებთ წილადებს:

ცხადია, შესაძლებელია x 1/2 სიმძლავრის შემცირება, რის შემდეგაც გვაქვს .

თქვენ ასევე შეგიძლიათ გაამარტივოთ სიმძლავრის გამოხატულება მნიშვნელში კვადრატების განსხვავების ფორმულის გამოყენებით: .

პასუხი:

მაგალითი.

ძალაუფლების გამოხატვის გამარტივება .

გადაწყვეტილება.

ცხადია, ეს წილადი შეიძლება შემცირდეს (x 2.7 +1) 2-ით, ეს იძლევა წილადს . გასაგებია, რომ x-ის ძალებით სხვა რამის გაკეთებაა საჭირო. ამისთვის მიღებულ წილადს პროდუქტად ვაქცევთ. ეს გვაძლევს შესაძლებლობას გამოვიყენოთ ძალაუფლების გამყოფი თვისება იგივე საფუძვლებით: . პროცესის ბოლოს კი ბოლო პროდუქტიდან ფრაქციაზე გადავდივართ.

პასუხი:

.

და ვამატებთ, რომ შესაძლებელია და ხშირ შემთხვევაში სასურველია უარყოფითი მაჩვენებლების მქონე ფაქტორების გადატანა მრიცხველიდან მნიშვნელზე ან მნიშვნელიდან მრიცხველზე მაჩვენებლის ნიშნის შეცვლით. ასეთი გარდაქმნები ხშირად ამარტივებს შემდგომ მოქმედებებს. მაგალითად, დენის გამოხატულება შეიძლება შეიცვალოს .

გამონათქვამების კონვერტაცია ფესვებითა და ძალებით

ხშირად გამონათქვამებში, რომლებშიც საჭიროა გარკვეული გარდაქმნები, წილადებთან ერთად ხარისხებთან ერთად, არის ფესვებიც. ასეთი გამონათქვამის სასურველ ფორმაში გადასაყვანად, უმეტეს შემთხვევაში საკმარისია მხოლოდ ფესვებზე გადასვლა ან მხოლოდ ძალებზე გადასვლა. მაგრამ რადგან უფრო მოსახერხებელია ხარისხებთან მუშაობა, ისინი ჩვეულებრივ გადადიან ფესვებიდან გრადუსამდე. თუმცა, მიზანშეწონილია განახორციელოთ ასეთი გადასვლა, როდესაც ცვლადების ODZ ორიგინალური გამოსახულებისთვის საშუალებას გაძლევთ შეცვალოთ ფესვები გრადუსით მოდულზე წვდომის აუცილებლობის გარეშე ან ODZ-ს რამდენიმე ინტერვალებად გაყოფა (ეს დეტალურად განვიხილეთ სტატია, ფესვებიდან ძალაზე გადასვლა და პირიქით, რაციონალური მაჩვენებლის მქონე ხარისხის გაცნობის შემდეგ შემოდის ირაციონალური ინდიკატორის ხარისხი, რაც შესაძლებელს ხდის ხარისხზე საუბარი თვითნებური რეალური მაჩვენებლით. ამ ეტაპზე, სკოლა იწყებს სწავლას ექსპონენციალური ფუნქცია, რომელიც ანალიტიკურად მოცემულია ხარისხით, რომლის საფუძველზეც არის რიცხვი, ხოლო ინდიკატორში – ცვლადი. ასე რომ, ჩვენ წინაშე ვდგავართ გრადუსის ფუძეში რიცხვების შემცველი გამონათქვამების, ხოლო ექსპონენტში - ცვლადებით გამოსახულებებს და ბუნებრივია ჩნდება ასეთი გამონათქვამების გარდაქმნების საჭიროება.

უნდა ითქვას, რომ მითითებული ტიპის გამონათქვამების ტრანსფორმაცია ჩვეულებრივ უნდა განხორციელდეს ამოხსნისას ექსპონენციალური განტოლებებიდა ექსპონენციური უტოლობებიდა ეს გარდაქმნები საკმაოდ მარტივია. უმეტეს შემთხვევაში, ისინი ეფუძნება ხარისხის თვისებებს და ძირითადად მიმართულია მომავალში ახალი ცვლადის დანერგვაზე. განტოლება საშუალებას მოგვცემს ვაჩვენოთ ისინი 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

პირველ რიგში, მაჩვენებლები, რომელთა მაჩვენებლებშიც არის ნაპოვნი ზოგიერთი ცვლადის (ან ცვლადის გამოსახულებების) ჯამი და რიცხვი, იცვლება პროდუქტებით. ეს ეხება მარცხენა მხარეს გამოთქმის პირველ და ბოლო ტერმინებს:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

შემდეგ, თანასწორობის ორივე ნაწილი იყოფა გამოსახულებით 7 2 x, რომელიც იღებს მხოლოდ დადებით მნიშვნელობებს x ცვლადის ODZ-ზე თავდაპირველი განტოლებისთვის (ეს არის სტანდარტული ტექნიკა ამ ტიპის განტოლებების გადასაჭრელად, ჩვენ არ ვართ ახლა ვსაუბრობთ ამაზე, ამიტომ ფოკუსირება მოახდინეთ გამონათქვამების შემდგომ ტრანსფორმაციაზე ძალებით):

ახლა ძალაუფლების მქონე წილადები გაუქმებულია, რაც იძლევა .

საბოლოოდ, თანაფარდობა ერთი და იგივე მაჩვენებლებით იცვლება თანაფარდობის ხარისხებით, რაც იწვევს განტოლებას , რაც უდრის . განხორციელებული გარდაქმნები საშუალებას გვაძლევს შემოვიტანოთ ახალი ცვლადი, რომელიც ამცირებს საწყისი ექსპონენციალური განტოლების ამონახს კვადრატულ განტოლებამდე

ი.ვ.ბოიკოვი, ლ.დ.რომანოვადავალებების კრებული გამოცდისთვის მოსამზადებლად. ნაწილი 1. პენზა 2003 წ.