ტრიგონომეტრიული განტოლებები pi. განტოლებების ამოხსნა ნახევარ კუთხეზე გადასვლის გზით

ტრიგონომეტრიული განტოლებები არ არის ყველაზე მარტივი თემა. მტკივნეულად ისინი მრავალფეროვანია.) მაგალითად, ეს:

sin2x + cos3x = ctg5x

sin(5x+π /4) = ctg(2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

და ა.შ..

მაგრამ ამ (და ყველა სხვა) ტრიგონომეტრიულ მონსტრს ორი საერთო და სავალდებულო მახასიათებელი აქვს. პირველი - არ დაიჯერებთ - განტოლებებში არის ტრიგონომეტრიული ფუნქციები.) მეორე: x ყველა გამოსახულება არის იმავე ფუნქციების ფარგლებში.და მხოლოდ იქ! თუ x გამოჩნდება სადმე გარეთ,Მაგალითად, sin2x + 3x = 3,ეს იქნება შერეული ტიპის განტოლება. ასეთი განტოლებები მოითხოვს ინდივიდუალურ მიდგომას. აქ ჩვენ არ განვიხილავთ მათ.

ბოროტ განტოლებებს არც ამ გაკვეთილზე მოვაგვარებთ.) აქ შევეხებით უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლებები.რატომ? დიახ, რადგან გადაწყვეტილება ნებისმიერიტრიგონომეტრიული განტოლებები შედგება ორი ეტაპისგან. პირველ ეტაპზე ბოროტების განტოლება მცირდება მარტივზე სხვადასხვა გარდაქმნების შედეგად. მეორეზე - ეს უმარტივესი განტოლება ამოხსნილია. სხვა გზა არაა.

ასე რომ, თუ მეორე ეტაპზე პრობლემები გაქვთ, პირველ ეტაპს დიდი აზრი არ აქვს.)

როგორ გამოიყურება ელემენტარული ტრიგონომეტრიული განტოლებები?

sinx = ა

cosx = ა

tgx = a

ctgx = a

Აქ ა დგას ნებისმიერ რიცხვზე. ნებისმიერი.

სხვათა შორის, ფუნქციის შიგნით შეიძლება იყოს არა სუფთა x, არამედ რაიმე სახის გამოხატულება, როგორიცაა:

cos(3x+π /3) = 1/2

და ა.შ. ეს ართულებს სიცოცხლეს, მაგრამ გავლენას არ ახდენს ტრიგონომეტრიული განტოლების ამოხსნის მეთოდზე.

როგორ ამოხსნათ ტრიგონომეტრიული განტოლებები?

ტრიგონომეტრიული განტოლებები შეიძლება ამოხსნას ორი გზით. პირველი გზა: ლოგიკის და ტრიგონომეტრიული წრის გამოყენებით. ჩვენ აქ შევისწავლით ამ გზას. მეორე გზა - მეხსიერების და ფორმულების გამოყენება - განიხილება შემდეგ გაკვეთილზე.

პირველი გზა არის ნათელი, საიმედო და ძნელად დასავიწყებელი.) კარგია ტრიგონომეტრიული განტოლებების, უტოლობების და ყველა სახის სახიფათო არასტანდარტული მაგალითების ამოსახსნელად. ლოგიკა მეხსიერებაზე ძლიერია!

განტოლებებს ვხსნით ტრიგონომეტრიული წრის გამოყენებით.

ჩვენ მოიცავს ელემენტარულ ლოგიკას და ტრიგონომეტრიული წრის გამოყენების უნარს. არ შეგიძლია!? თუმცა... ტრიგონომეტრიაში გაგიჭირდება...) მაგრამ არა უშავს. შეხედეთ გაკვეთილებს "ტრიგონომეტრიული წრე ...... რა არის ეს?" და "კუთხების დათვლა ტრიგონომეტრიულ წრეზე". იქ ყველაფერი მარტივია. სახელმძღვანელოებისგან განსხვავებით...)

აჰ, იცი!? და აითვისა კიდეც "პრაქტიკული მუშაობა ტრიგონომეტრიულ წრეზე"!? მიიღეთ მილოცვები. ეს თემა თქვენთვის ახლო და გასაგები იქნება.) განსაკუთრებით სასიამოვნოა ის, რომ ტრიგონომეტრიულ წრეს არ აქვს მნიშვნელობა, რომელ განტოლებას ამოხსნით. სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი, კოტანგენსი - მისთვის ყველაფერი იგივეა. გადაწყვეტის პრინციპი იგივეა.

ასე რომ, ჩვენ ვიღებთ ნებისმიერ ელემენტარულ ტრიგონომეტრიულ განტოლებას. მინიმუმ ეს:

cosx = 0.5

მე უნდა ვიპოვო X. ადამიანურ ენაზე საუბარი გჭირდებათ იპოვეთ კუთხე (x), რომლის კოსინუსი არის 0,5.

როგორ ვიყენებდით წრეს ადრე? მასზე კუთხე დავხატეთ. გრადუსებში ან რადიანებში. და მაშინვე ნანახი ამ კუთხის ტრიგონომეტრიული ფუნქციები. ახლა პირიქით მოვიქცეთ. წრეზე დახაზეთ 0,5-ის ტოლი კოსინუსი და მაშინვე ვნახოთ ინექცია. რჩება მხოლოდ პასუხის ჩაწერა.) დიახ, დიახ!

ვხატავთ წრეს და ვნიშნავთ კოსინუსს 0,5-ის ტოლი. კოსინუსების ღერძზე, რა თქმა უნდა. Ამგვარად:

ახლა დავხატოთ კუთხე, რომელსაც ეს კოსინუსი გვაძლევს. გადაიტანეთ მაუსი სურათზე (ან შეეხეთ სურათს ტაბლეტზე) და იხილეთიგივე კუთხე X.

რომელ კუთხეს აქვს კოსინუსი 0,5?

x \u003d π / 3

cos 60°= cos( π /3) = 0,5

ზოგი სკეპტიკურად ღრიალებს, დიახ... ამბობენ, ღირდა თუ არა წრის შემოღობვა, როცა ყველაფერი მაინც გასაგებია... შეიძლება, რა თქმა უნდა, ღრიალი...) მაგრამ ფაქტია, რომ ეს მცდარია. პასუხი. უფრო სწორად, არაადეკვატური. წრის მცოდნეებს ესმით, რომ ჯერ კიდევ არსებობს კუთხეების მთელი თაიგული, რომლებიც ასევე იძლევა კოსინუსს 0,5-ის ტოლი.

თუ გადაატრიალებთ მოძრავ მხარეს OA სრული შემობრუნებისთვის, წერტილი A უბრუნდება თავდაპირველ პოზიციას. იგივე კოსინუსით 0,5-ის ტოლი. იმათ. კუთხე შეიცვლება 360° ან 2π რადიანები და კოსინუსი არ არის.ახალი კუთხე 60° + 360° = 420° ასევე იქნება ჩვენი განტოლების ამონახსნი, რადგან

ასეთი სრული ბრუნვის უსასრულო რაოდენობაა... და ყველა ეს ახალი კუთხე იქნება ჩვენი ტრიგონომეტრიული განტოლების ამონახსნები. და ისინი ყველა უნდა ჩაიწეროს როგორმე. ყველა.წინააღმდეგ შემთხვევაში, გადაწყვეტილება არ განიხილება, დიახ ...)

მათემატიკას შეუძლია ამის გაკეთება მარტივად და ელეგანტურად. ერთი მოკლე პასუხით დაწერეთ უსასრულო ნაკრებიგადაწყვეტილებები. აი, როგორ გამოიყურება ის ჩვენი განტოლებისთვის:

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

გავშიფრავ. მაინც დაწერე მნიშვნელოვნადუფრო ლამაზია, ვიდრე სულელურად იდუმალი ასოების დახატვა, არა?)

π /3 იგივე კუთხეა, რაც ჩვენ დაინახაწრეზე და იდენტიფიცირებულიკოსინუსების ცხრილის მიხედვით.

2π არის ერთი სრული შემობრუნება რადიანებში.

ნ - ეს არის სრული რიცხვი, ე.ი. მთლიანირევოლუციები. Ნათელია, რომ ნ შეიძლება იყოს 0, ±1, ±2, ±3.... და ა.შ. როგორც მითითებულია მოკლე ჩანაწერში:

n ∈ Z

ნ ეკუთვნის ( ∈ ) მთელი რიცხვების სიმრავლეს ( ზ ). სხვათა შორის, წერილის ნაცვლად ნ ასოების გამოყენება შესაძლებელია კ, მ, ტ და ა.შ.

ეს აღნიშვნა ნიშნავს, რომ თქვენ შეგიძლიათ აიღოთ ნებისმიერი მთელი რიცხვი ნ . მინიმუმ -3, მინიმუმ 0, მინიმუმ +55. Რა გინდა. თუ ამ რიცხვს შეაერთებთ თქვენს პასუხში, თქვენ მიიღებთ კონკრეტულ კუთხეს, რომელიც ნამდვილად იქნება ჩვენი მკაცრი განტოლების გამოსავალი.)

ან სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, x \u003d π / 3 არის უსასრულო სიმრავლის ერთადერთი ფესვი. ყველა სხვა ფესვის მისაღებად, საკმარისია დაამატოთ ნებისმიერი რაოდენობის სრული ბრუნი π / 3-ზე ( ნ ) რადიანებში. იმათ. 2πn რადიანი.

ყველაფერი? არა. მე კონკრეტულად ვწელავ სიამოვნებას. უკეთ რომ დავიმახსოვროთ.) ჩვენი განტოლების პასუხების მხოლოდ ნაწილი მივიღეთ. გადაწყვეტის პირველ ნაწილს დავწერ შემდეგნაირად:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 1 - არა ერთი ფესვი, ეს არის ფესვების მთელი რიგი, მოკლედ დაწერილი.

მაგრამ არის სხვა კუთხეებიც, რომლებიც ასევე იძლევა კოსინუსს 0,5-ის ტოლი!

დავუბრუნდეთ ჩვენს სურათს, რომლის მიხედვითაც ჩავწერეთ პასუხი. Ის აქ არის:

გადაიტანეთ მაუსი სურათზე და იხილეთკიდევ ერთი კუთხე რომ ასევე იძლევა კოსინუსს 0.5.როგორ ფიქრობთ, რას უდრის? სამკუთხედები ერთი და იგივეა... დიახ! უდრის კუთხეს X , მხოლოდ უარყოფითი მიმართულებით არის დახატული. ეს არის კუთხე -X. მაგრამ ჩვენ უკვე გამოვთვალეთ x. π /3 ან 60°. ამიტომ, ჩვენ შეგვიძლია უსაფრთხოდ დავწეროთ:

x 2 \u003d - π / 3

და, რა თქმა უნდა, ჩვენ ვამატებთ ყველა კუთხეს, რომელიც მიიღება სრული შემობრუნებით:

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

ახლა სულ ესაა.) ტრიგონომეტრიულ წრეში ჩვენ დაინახა(ვისაც ესმის, რა თქმა უნდა)) ყველაკუთხეები, რომლებიც იძლევა 0,5-ის ტოლ კოსინუსს. და მათ ჩამოწერეს ეს კუთხეები მოკლე მათემატიკური ფორმით. პასუხი არის ფესვების ორი უსასრულო სერია:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

ეს არის სწორი პასუხი.

იმედი, ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის ზოგადი პრინციპიწრის დახმარებით გასაგებია. მოცემული განტოლებიდან წრეზე ვნიშნავთ კოსინუსს (სინუსს, ტანგენტს, კოტანგენტს), ვხატავთ შესაბამის კუთხეებს და ვწერთ პასუხს.რა თქმა უნდა, თქვენ უნდა გაარკვიოთ, როგორი კუთხეები ვართ დაინახაწრეზე. ზოგჯერ ეს არც ისე აშკარაა. ისე, როგორც ვთქვი, აქ ლოგიკაა საჭირო.)

მაგალითად, გავაანალიზოთ კიდევ ერთი ტრიგონომეტრიული განტოლება:

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ რიცხვი 0.5 არ არის ერთადერთი შესაძლო რიცხვი განტოლებებში!) უბრალოდ უფრო მოსახერხებელია მისი დაწერა, ვიდრე ფესვები და წილადები.

ჩვენ ვმუშაობთ ზოგადი პრინციპით. ვხატავთ წრეს, აღვნიშნავთ (სინუს ღერძზე, რა თქმა უნდა!) 0.5. ჩვენ ერთდროულად ვხატავთ ყველა კუთხეს, რომელიც შეესაბამება ამ სინუსს. ჩვენ ვიღებთ ამ სურათს:

ჯერ კუთხეს მივხედოთ. X პირველ კვარტალში. ჩვენ ვიხსენებთ სინუსების ცხრილს და განვსაზღვრავთ ამ კუთხის მნიშვნელობას. საქმე მარტივია:

x \u003d π / 6

ჩვენ ვიხსენებთ სრულ მონაცვლეობას და სუფთა სინდისით ვწერთ პასუხების პირველ სერიას:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

სამუშაოს ნახევარი შესრულებულია. ახლა ჩვენ უნდა განვსაზღვროთ მეორე კუთხე...ეს უფრო რთულია ვიდრე კოსინუსებში, დიახ... მაგრამ ლოგიკა გადაგვარჩენს! როგორ განვსაზღვროთ მეორე კუთხე x-ის მეშვეობით? დიახ მარტივად! სურათზე სამკუთხედები იგივეა და წითელი კუთხე X კუთხის ტოლი X . მხოლოდ ის ითვლება π კუთხიდან უარყოფითი მიმართულებით. ამიტომ არის წითელი.) და ჩვენი პასუხისთვის გვჭირდება კუთხე დადებითი ნახევრადღერძიდან OX, ე.ი. 0 გრადუსიანი კუთხიდან.

გადაიტანეთ კურსორი სურათზე და ნახეთ ყველაფერი. პირველი კუთხე მოვხსენი, რომ სურათი არ გამირთულდეს. ჩვენთვის საინტერესო კუთხე (მწვანეში დახატული) ტოლი იქნება:

π - x

x ვიცით π /6 . ასე რომ, მეორე კუთხე იქნება:

π - π /6 = 5π /6

კვლავ ვიხსენებთ სრული რევოლუციების დამატებას და ვწერთ პასუხების მეორე სერიას:

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Სულ ეს არის. სრული პასუხი შედგება ორი სერიის ფესვებისგან:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

განტოლებები ტანგენსთან და კოტანგენსთან ერთად შეიძლება ადვილად ამოხსნას ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის იგივე ზოგადი პრინციპის გამოყენებით. თუ, რა თქმა უნდა, არ იცით როგორ დახატოთ ტანგენსი და კოტანგენსი ტრიგონომეტრიულ წრეზე.

ზემოთ მოყვანილ მაგალითებში გამოვიყენე სინუსის და კოსინუსის ტაბულური მნიშვნელობა: 0.5. იმათ. ერთ-ერთი იმ მნიშვნელობიდან, რომელიც სტუდენტმა იცის უნდა.ახლა მოდით გავაფართოვოთ ჩვენი შესაძლებლობები ყველა სხვა ღირებულება.გადაწყვიტე, გადაწყვიტე!)

ასე რომ, ვთქვათ, ჩვენ უნდა გადავჭრათ შემდეგი ტრიგონომეტრიული განტოლება:

მოკლე ცხრილებში კოსინუსის ასეთი მნიშვნელობა არ არის. ჩვენ ცივად უგულებელყოფთ ამ საშინელ ფაქტს. ვხატავთ წრეს, კოსინუსების ღერძზე ვნიშნავთ 2/3 და ვხატავთ შესაბამის კუთხეებს. ჩვენ ვიღებთ ამ სურათს.

ჩვენ გვესმის, დამწყებთათვის, კუთხით პირველ მეოთხედში. იმის გასაგებად, თუ რას უდრის x, მაშინვე ჩაწერდნენ პასუხს! არ ვიცით... მარცხი!? დამშვიდდი! მათემატიკა საკუთარ თავს არ ტოვებს უბედურებაში! მან გამოიგონა რკალის კოსინუსები ამ შემთხვევისთვის. Არ ვიცი? ამაოდ. გაარკვიე, ეს ბევრად უფრო ადვილია, ვიდრე შენ გგონია. ამ ლინკის მიხედვით, არც ერთი სახიფათო შელოცვა არ არის „შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების“ შესახებ... ზედმეტია ამ თემაში.

თუ თქვენ იცით, უბრალოდ უთხარით საკუთარ თავს: "X არის კუთხე, რომლის კოსინუსი არის 2/3". და დაუყოვნებლივ, წმინდა არკოზინის განმარტებით, შეგვიძლია დავწეროთ:

ჩვენ გვახსოვს დამატებითი რევოლუციები და მშვიდად ვწერთ ჩვენი ტრიგონომეტრიული განტოლების ფესვების პირველ სერიას:

x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

ფესვების მეორე სერია ასევე იწერება თითქმის ავტომატურად, მეორე კუთხისთვის. ყველაფერი იგივეა, მხოლოდ x (arccos 2/3) იქნება მინუსით:

x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

და ყველაფერი! ეს არის სწორი პასუხი. უფრო ადვილია, ვიდრე ცხრილური მნიშვნელობებით. არაფრის დამახსოვრება არ გჭირდებათ.) სხვათა შორის, ყველაზე ყურადღებიანი შეამჩნევთ, რომ ეს სურათი ამონახსნით რკალის კოსინუსში არსებითად არ განსხვავდება გამოსახულებისგან cosx = 0.5 განტოლებისთვის.

ზუსტად! ზოგადი პრინციპი ამაზე და ზოგადად! მე კონკრეტულად დავხატე ორი თითქმის იდენტური სურათი. წრე გვიჩვენებს კუთხეს X თავისი კოსინუსით. ეს არის ტაბულური კოსინუსი, თუ არა - წრე არ იცის. როგორი კუთხეა ეს, π/3, ან რა სახის რკალის კოსინუსი არის ჩვენ გადასაწყვეტი.

სინუსით იგივე სიმღერა. Მაგალითად:

ისევ ვხატავთ წრეს, აღვნიშნავთ 1/3-ის ტოლ სინუსს, ვხატავთ კუთხეებს. გამოდის ეს სურათი:

და ისევ სურათი თითქმის იგივეა, რაც განტოლებისთვის sinx = 0.5.პირველ მეოთხედში ისევ კუთხიდან ვიწყებთ. რას უდრის x, თუ მისი სინუსი არის 1/3? Არაა პრობლემა!

ასე რომ, ფესვების პირველი შეკვრა მზად არის:

x 1 = რკალი 1/3 + 2π n, n ∈ Z

მოდით შევხედოთ მეორე კუთხეს. მაგალითში ცხრილის მნიშვნელობით 0.5, ის ტოლი იყო:

π - x

ასე რომ, აქ ზუსტად იგივე იქნება! მხოლოდ x არის განსხვავებული, arcsin 1/3. Მერე რა!? შეგიძლიათ უსაფრთხოდ დაწეროთ ფესვების მეორე შეკვრა:

x 2 = π - რკალი 1/3 + 2π n, n ∈ Z

ეს არის სრულიად სწორი პასუხი. მიუხედავად იმისა, რომ ეს არ გამოიყურება ძალიან ნაცნობი. მაგრამ ეს გასაგებია, იმედი მაქვს.)

ასე იხსნება ტრიგონომეტრიული განტოლებები წრის გამოყენებით. ეს გზა გასაგები და გასაგებია. ეს არის ის, ვინც ზოგავს ტრიგონომეტრიულ განტოლებებში ფესვების შერჩევით მოცემულ ინტერვალზე, ტრიგონომეტრიულ უტოლობებში - ისინი ზოგადად წყდება თითქმის ყოველთვის წრეში. მოკლედ, ნებისმიერ ამოცანაში, რომელიც ცოტა უფრო რთულია, ვიდრე სტანდარტული.

ცოდნის პრაქტიკაში გამოყენება?

ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნა:

თავიდან ეს უფრო მარტივია, პირდაპირ ამ გაკვეთილზე.

ახლა უფრო რთულია.

მინიშნება: აქ თქვენ უნდა იფიქროთ წრეზე. პირადად.)

ახლა კი გარეგნულად უპრეტენზიო... მათ ასევე უწოდებენ განსაკუთრებულ შემთხვევებს.

სინქსი = 0

სინქსი = 1

cosx = 0

cosx = -1

მინიშნება: აქ თქვენ უნდა გაარკვიოთ წრეში, სად არის პასუხის ორი სერია და სად არის ერთი ... და როგორ ჩაწეროთ ერთი პასუხის ორი სერიის ნაცვლად. დიახ, ისე, რომ უსასრულო რიცხვიდან არც ერთი ფესვი არ დაიკარგოს!)

ისე, საკმაოდ მარტივია):

სინქსი = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

მინიშნება: აქ თქვენ უნდა იცოდეთ რა არის არქსინი, არკოზინი? რა არის რკალის ტანგენსი, რკალის ტანგენსი? უმარტივესი განმარტებები. მაგრამ თქვენ არ გჭირდებათ რაიმე ცხრილის მნიშვნელობების დამახსოვრება!)

პასუხები, რა თქმა უნდა, არაერთგვაროვანია):

x 1= arcsin0,3 + 2πn, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0.3 + 2

ყველაფერი არ გამოდის? Ხდება ხოლმე. კიდევ ერთხელ წაიკითხეთ გაკვეთილი. მხოლოდ გააზრებულად(ასეთი მოძველებული სიტყვაა...) და მიჰყევით ბმულებს. ძირითადი ბმულები არის წრეზე. მის გარეშე ტრიგონომეტრიაში - როგორ უნდა გადაკვეთო გზა თვალდახუჭულმა. ზოგჯერ მუშაობს.)

თუ მოგწონთ ეს საიტი...

სხვათა შორის, მე მაქვს კიდევ რამდენიმე საინტერესო საიტი თქვენთვის.)

შეგიძლიათ ივარჯიშოთ მაგალითების ამოხსნაში და გაიგოთ თქვენი დონე. ტესტირება მყისიერი გადამოწმებით. სწავლა - ინტერესით!)

შეგიძლიათ გაეცნოთ ფუნქციებს და წარმოებულებს.

ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის კონცეფცია.

ტრიგონომეტრიული განტოლების ამოსახსნელად გადააკეთეთ იგი ერთ ან რამდენიმე ძირითად ტრიგონომეტრიულ განტოლებად. ტრიგონომეტრიული განტოლების ამოხსნა საბოლოოდ მოდის ოთხი ძირითადი ტრიგონომეტრიული განტოლების ამოხსნაზე.

ძირითადი ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნა.

არსებობს ძირითადი ტრიგონომეტრიული განტოლების 4 ტიპი:
sin x = a; cos x = a
tan x = a; ctg x = a
ძირითადი ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნა მოიცავს სხვადასხვა x პოზიციების დათვალიერებას ერთეულების წრეზე, ასევე გარდაქმნის ცხრილის (ან კალკულატორის) გამოყენებას.
მაგალითი 1. sin x = 0.866. კონვერტაციის ცხრილის (ან კალკულატორის) გამოყენებით მიიღებთ პასუხს: x = π/3. ერთეული წრე იძლევა სხვა პასუხს: 2π/3. გახსოვდეთ: ყველა ტრიგონომეტრიული ფუნქცია პერიოდულია, ანუ მათი მნიშვნელობები მეორდება. მაგალითად, sin x და cos x პერიოდულობა არის 2πn, ხოლო tg x და ctg x არის πn. ასე რომ, პასუხი ასე იწერება:
x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
მაგალითი 2 cos x = -1/2. კონვერტაციის ცხრილის (ან კალკულატორის) გამოყენებით მიიღებთ პასუხს: x = 2π/3. ერთეული წრე იძლევა სხვა პასუხს: -2π/3.
x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
მაგალითი 3. tg (x - π/4) = 0.
პასუხი: x \u003d π / 4 + πn.
მაგალითი 4. ctg 2x = 1.732.
პასუხი: x \u003d π / 12 + πn.

ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნისას გამოყენებული ტრანსფორმაციები.

ტრიგონომეტრიული განტოლებების გარდაქმნისთვის გამოიყენება ალგებრული გარდაქმნები (ფაქტორიზაცია, ერთგვაროვანი ტერმინების შემცირება და სხვ.) და ტრიგონომეტრიული იდენტობები.
მაგალითი 5. ტრიგონომეტრიული იდენტობების გამოყენებით განტოლება sin x + sin 2x + sin 3x = 0 გარდაიქმნება განტოლებაში 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0. ამრიგად, შემდეგი ძირითადი ტრიგონომეტრიული განტოლებები. საჭიროა გადაჭრა: cos x = 0; sin(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.
კუთხეების პოვნა ფუნქციების ცნობილი მნიშვნელობებიდან.
- სანამ ისწავლით ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნას, უნდა ისწავლოთ როგორ იპოვოთ კუთხეები ფუნქციების ცნობილი მნიშვნელობებიდან. ეს შეიძლება გაკეთდეს კონვერტაციის ცხრილის ან კალკულატორის გამოყენებით.
- მაგალითი: cos x = 0.732. კალკულატორი მოგცემთ პასუხს x = 42,95 გრადუსი. ერთეული წრე მისცემს დამატებით კუთხეებს, რომელთა კოსინუსი ასევე უდრის 0,732-ს.
მოათავსეთ ხსნარი ერთეულ წრეზე.
- თქვენ შეგიძლიათ მოათავსოთ ტრიგონომეტრიული განტოლების ამონახსნები ერთეულ წრეზე. ტრიგონომეტრიული განტოლების ამონახსნები ერთეულ წრეზე არის რეგულარული მრავალკუთხედის წვეროები.
- მაგალითი: ამონახსნები x = π/3 + πn/2 ერთეულ წრეზე არის კვადრატის წვეროები.
- მაგალითი: ამონახსნები x = π/4 + πn/3 ერთეულ წრეზე არის რეგულარული ექვსკუთხედის წვეროები.
ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის მეთოდები.
- თუ მოცემული ტრიგონომეტრიული განტოლება შეიცავს მხოლოდ ერთ ტრიგონომეტრიულ ფუნქციას, ამოხსენით ეს განტოლება ძირითადი ტრიგონომეტრიული განტოლების სახით. თუ ეს განტოლება მოიცავს ორ ან მეტ ტრიგონომეტრიულ ფუნქციას, მაშინ არსებობს ასეთი განტოლების ამოხსნის 2 მეთოდი (დამოკიდებულია მისი გარდაქმნის შესაძლებლობაზე).
  - მეთოდი 1
- გადააქციეთ ეს განტოლება ფორმის განტოლებად: f(x)*g(x)*h(x) = 0, სადაც f(x), g(x), h(x) არის ძირითადი ტრიგონომეტრიული განტოლებები.
- მაგალითი 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
- გადაწყვეტილება. ორმაგი კუთხის ფორმულის გამოყენებით sin 2x = 2*sin x*cos x, შეცვალეთ sin 2x.
- 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. ახლა ამოხსენით ორი ძირითადი ტრიგონომეტრიული განტოლება: cos x = 0 და (sin x + 1) = 0.
- მაგალითი 7 cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
- ამოხსნა: ტრიგონომეტრიული იდენტობების გამოყენებით გადააქციეთ ეს განტოლება ფორმის განტოლებად: cos 2x(2cos x + 1) = 0. ახლა ამოხსენით ორი ძირითადი ტრიგონომეტრიული განტოლება: cos 2x = 0 და (2cos x + 1) = 0.
- მაგალითი 8. sin x - sin 3x \u003d cos 2x. (0< x < 2π)
- ამოხსნა: ტრიგონომეტრიული იდენტობების გამოყენებით გადააქციეთ ეს განტოლება ფორმის განტოლებად: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. ახლა ამოხსენით ორი ძირითადი ტრიგონომეტრიული განტოლება: cos 2x = 0 და (2sin x + 1) = 0.
  - მეთოდი 2
- გადააქციეთ მოცემული ტრიგონომეტრიული განტოლება განტოლებად, რომელიც შეიცავს მხოლოდ ერთ ტრიგონომეტრიულ ფუნქციას. შემდეგ შეცვალეთ ეს ტრიგონომეტრიული ფუნქცია ზოგიერთი უცნობით, მაგალითად, t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x/2) = t და ა.შ.).
- მაგალითი 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
- გადაწყვეტილება. ამ განტოლებაში ჩაანაცვლეთ (cos^2 x) (1 - sin^2 x)-ით (იდენტურობის მიხედვით). გარდაქმნილი განტოლება ასე გამოიყურება:
- 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. ჩაანაცვლეთ sin x t. ახლა განტოლება ასე გამოიყურება: 5t^2 - 4t - 9 = 0. ეს არის კვადრატული განტოლება ორი ფესვით: t1 = -1 და t2 = 9/5. მეორე ფესვი t2 არ აკმაყოფილებს ფუნქციის დიაპაზონს (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
- მაგალითი 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
- გადაწყვეტილება. ჩაანაცვლეთ tg x t-ით. გადაწერეთ საწყისი განტოლება შემდეგნაირად: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. ახლა იპოვეთ t და შემდეგ იპოვეთ x t = tg x-ისთვის.

გაკვეთილი და პრეზენტაცია თემაზე: „უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნა“

დამატებითი მასალები
ძვირფასო მომხმარებლებო, არ დაგავიწყდეთ დატოვოთ თქვენი კომენტარები, გამოხმაურება, წინადადებები! ყველა მასალა შემოწმებულია ანტივირუსული პროგრამით.

ინსტრუქციები და ტრენაჟორები ონლაინ მაღაზიაში "Integral" მე -10 კლასისთვის 1C-დან
ჩვენ ვხსნით პრობლემებს გეომეტრიაში. ინტერაქტიული ამოცანები სივრცეში მშენებლობისთვის
პროგრამული გარემო "1C: მათემატიკური კონსტრუქტორი 6.1"

რას შევისწავლით:
1. რა არის ტრიგონომეტრიული განტოლებები?

3. ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის ორი ძირითადი მეთოდი.
4. ჰომოგენური ტრიგონომეტრიული განტოლებები.
5. მაგალითები.

რა არის ტრიგონომეტრიული განტოლებები?

ბიჭებო, ჩვენ უკვე შევისწავლეთ რკალი, არკოზინი, არქტანგენსი და არკოტანგენსი. ახლა მოდით შევხედოთ ტრიგონომეტრიულ განტოლებებს ზოგადად.

ტრიგონომეტრიული განტოლებები - განტოლებები, რომლებშიც ცვლადი შეიცავს ტრიგონომეტრიული ფუნქციის ნიშნის ქვეშ.

ვიმეორებთ უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის ფორმას:

1) თუ |а|≤ 1, მაშინ განტოლებას cos(x) = a აქვს ამონახსნი:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) თუ |а|≤ 1, მაშინ განტოლებას sin(x) = a აქვს ამონახსნი:

3) თუ |ა| > 1, მაშინ განტოლებას sin(x) = a და cos(x) = a არ აქვთ ამონახსნები 4) განტოლებას tg(x)=a აქვს ამონახსნი: x=arctg(a)+ πk

5) განტოლებას ctg(x)=a აქვს ამონახსნი: x=arcctg(a)+ πk

ყველა ფორმულისთვის k არის მთელი რიცხვი

უმარტივეს ტრიგონომეტრიულ განტოლებებს აქვს ფორმა: Т(kx+m)=a, T- ნებისმიერი ტრიგონომეტრიული ფუნქცია.

მაგალითი.

ამოხსენით განტოლებები: ა) sin(3x)= √3/2

გადაწყვეტილება:

ა) ავღნიშნოთ 3x=t, შემდეგ გადავწერთ ჩვენს განტოლებას სახით:

ამ განტოლების ამონახსნი იქნება: t=((-1)^n)arcsin(√3/2)+ πn.

მნიშვნელობების ცხრილიდან ვიღებთ: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

მოდით დავუბრუნდეთ ჩვენს ცვლადს: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

შემდეგ x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

პასუხი: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, სადაც n არის მთელი რიცხვი. (-1)^n - მინუს ერთი n-ის ხარისხზე.

ტრიგონომეტრიული განტოლებების მეტი მაგალითები.

ამოხსენით განტოლებები: ა) cos(x/5)=1 ბ)tg(3x- π/3)= √3

გადაწყვეტილება:

ა) ამჯერად პირდაპირ გადავალთ განტოლების ფესვების გამოთვლაზე:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. მაშინ x/5= πk => x=5πk

პასუხი: x=5πk, სადაც k არის მთელი რიცხვი.

ბ) ვწერთ სახით: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. ჩვენ ვიცით, რომ: arctg(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

პასუხი: x=2π/9 + πk/3, სადაც k არის მთელი რიცხვი.

ამოხსენით განტოლებები: cos(4x)= √2/2. და იპოვნეთ ყველა ფესვი სეგმენტზე.

გადაწყვეტილება:

მოდით გადავწყვიტოთ ჩვენი განტოლება ზოგადი ფორმით: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

ახლა ვნახოთ, რა ფესვები ეცემა ჩვენს სეგმენტს. k-სთვის k=0, x= π/16, ჩვენ მოცემულ სეგმენტში ვართ.
k=1, x= π/16+ π/2=9π/16-ით ისევ ურტყამდნენ.
k=2-ისთვის x= π/16+ π=17π/16, მაგრამ აქ ჩვენ არ დავარტყით, რაც ნიშნავს, რომ არც დიდ k-ზე დავარტყით.

პასუხი: x= π/16, x= 9π/16

გადაწყვეტის ორი ძირითადი მეთოდი.

ჩვენ განვიხილეთ უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლებები, მაგრამ არის უფრო რთული. მათ გადასაჭრელად გამოიყენება ახალი ცვლადის დანერგვის მეთოდი და ფაქტორილიზაციის მეთოდი. მოდით შევხედოთ მაგალითებს.

მოდით ამოხსნათ განტოლება:

გადაწყვეტილება:
ჩვენი განტოლების ამოსახსნელად ვიყენებთ ახალი ცვლადის შემოღების მეთოდს, რომელიც აღინიშნება: t=tg(x).

ჩანაცვლების შედეგად ვიღებთ: t 2 + 2t -1 = 0

იპოვეთ კვადრატული განტოლების ფესვები: t=-1 და t=1/3

შემდეგ tg(x)=-1 და tg(x)=1/3 მივიღეთ უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლება, ვიპოვოთ მისი ფესვები.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

პასუხი: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

განტოლების ამოხსნის მაგალითი

ამოხსენით განტოლებები: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

გადაწყვეტილება:

გამოვიყენოთ იდენტობა: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

ჩვენი განტოლება ხდება: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

შემოვიღოთ ჩანაცვლება t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

ჩვენი კვადრატული განტოლების ამონახსნია ფესვები: t=2 და t=-1/2

შემდეგ cos(x)=2 და cos(x)=-1/2.

იმიტომ რომ კოსინუსს არ შეუძლია მიიღოს ერთზე მეტი მნიშვნელობები, მაშინ cos(x)=2-ს ფესვები არ აქვს.

cos(x)=-1/2-ისთვის: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

პასუხი: x= ±2π/3 + 2πk

ჰომოგენური ტრიგონომეტრიული განტოლებები.

განმარტება: a sin(x)+b cos(x) ფორმის განტოლებას ეწოდება პირველი ხარისხის ერთგვაროვანი ტრიგონომეტრიული განტოლებები.

ფორმის განტოლებები

მეორე ხარისხის ერთგვაროვანი ტრიგონომეტრიული განტოლებები.

პირველი ხარისხის ერთგვაროვანი ტრიგონომეტრიული განტოლების ამოსახსნელად მას ვყოფთ cos(x-ზე): შეუძლებელია კოსინუსზე გაყოფა, თუ ის ნულის ტოლია, მოდით დავრწმუნდეთ, რომ ეს ასე არ არის:
მოდით cos(x)=0, შემდეგ asin(x)+0=0 => sin(x)=0, მაგრამ სინუსი და კოსინუსი ერთდროულად ნულის ტოლი არ არის, მივიღეთ წინააღმდეგობა, ასე რომ ჩვენ შეგვიძლია უსაფრთხოდ გავყოთ ნულით.

ამოხსენით განტოლება:
მაგალითი: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

გადაწყვეტილება:

ამოიღეთ საერთო ფაქტორი: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

მაშინ ორი განტოლება უნდა ამოხსნათ:

cos(x)=0 და cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 x= π/2 + πk;

განვიხილოთ განტოლება cos(x)+sin(x)=0 ჩვენი განტოლება გავყოთ cos(x-ზე):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

პასუხი: x= π/2 + πk და x= -π/4+πk

როგორ ამოვიცნოთ მეორე ხარისხის ერთგვაროვანი ტრიგონომეტრიული განტოლებები?
ბიჭებო, ყოველთვის დაიცავით ეს წესები!

1. ნახეთ, რის ტოლია a კოეფიციენტი, თუ a \u003d 0, მაშინ ჩვენი განტოლება მიიღებს cos (x) ფორმას (bsin (x) + ccos (x)), რომლის ამოხსნის მაგალითი არის წინა სლაიდი

2. თუ a≠0, მაშინ განტოლების ორივე ნაწილი უნდა გავყოთ კვადრატულ კოსინუსზე, მივიღებთ:

ვაკეთებთ t=tg(x) ცვლადის ცვლილებას, ვიღებთ განტოლებას:

ამოხსენით მაგალითი #:3

ამოხსენით განტოლება:
გადაწყვეტილება:

გაყავით განტოლების ორივე მხარე კოსინუსების კვადრატზე:

ვაკეთებთ t=tg(x) ცვლადის ცვლილებას: t 2 + 2 t - 3 = 0

იპოვეთ კვადრატული განტოლების ფესვები: t=-3 და t=1

მაშინ: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

პასუხი: x=-arctg(3) + πk და x= π/4+ πk

ამოხსენით მაგალითი #:4

ამოხსენით განტოლება:

გადაწყვეტილება:
მოდით შევცვალოთ ჩვენი გამოხატულება:

ჩვენ შეგვიძლია ამოხსნათ ასეთი განტოლებები: x= - π/4 + 2πk და x=5π/4 + 2πk

პასუხი: x= - π/4 + 2πk და x=5π/4 + 2πk

ამოხსენით მაგალითი #:5

ამოხსენით განტოლება:

გადაწყვეტილება:
მოდით შევცვალოთ ჩვენი გამოხატულება:

ჩვენ წარმოგიდგენთ ჩანაცვლებას tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

ჩვენი კვადრატული განტოლების ამონახსნი იქნება ფესვები: t=-2 და t=1/2

შემდეგ მივიღებთ: tg(2x)=-2 და tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

პასუხი: x=-arctg(2)/2 + πk/2 და x=arctg(1/2)/2+ πk/2

ამოცანები დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის.

1) ამოხსენით განტოლება

ა) sin(7x)= 1/2 ბ) cos(3x)= √3/2 გ) cos(-x) = -1 დ) tg(4x) = √3 ე) ctg(0.5x) = -1.7

2) ამოხსენით განტოლებები: sin(3x)= √3/2. და იპოვეთ ყველა ფესვი სეგმენტზე [π/2; π].

3) ამოხსენით განტოლება: ctg 2 (x) + 2ctg(x) + 1 =0

4) ამოხსენით განტოლება: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) ამოხსენით განტოლება: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) ამოხსენით განტოლება: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

ბევრის ამოხსნისას მათემატიკური პრობლემები, განსაკუთრებით ის, რაც ხდება მე-10 კლასამდე, მკაფიოდ არის განსაზღვრული შესრულებული მოქმედებების თანმიმდევრობა, რომელიც მიგვიყვანს მიზნამდე. ასეთი პრობლემები მოიცავს, მაგალითად, წრფივ და კვადრატულ განტოლებებს, წრფივ და კვადრატულ უტოლობას, წილადობრივ განტოლებებს და განტოლებებს, რომლებიც მცირდება კვადრატულ განტოლებამდე. თითოეული აღნიშნული ამოცანის წარმატებით გადაჭრის პრინციპი ასეთია: უნდა დადგინდეს, თუ რა ტიპის ამოცანის გადაჭრა ხდება, დაიმახსოვროთ მოქმედებების აუცილებელი თანმიმდევრობა, რომელიც გამოიწვევს სასურველ შედეგს, ე.ი. უპასუხეთ და მიჰყევით ამ ნაბიჯებს.

ცხადია, წარმატება ან წარუმატებლობა კონკრეტული პრობლემის გადაჭრაში ძირითადად დამოკიდებულია იმაზე, თუ რამდენად სწორად არის განსაზღვრული გადაჭრის განტოლების ტიპი, რამდენად სწორად არის რეპროდუცირებული მისი ამოხსნის ყველა ეტაპის თანმიმდევრობა. რა თქმა უნდა, ამ შემთხვევაში აუცილებელია იდენტური გარდაქმნებისა და გამოთვლების შესრულების უნარ-ჩვევები.

განსხვავებული სიტუაცია ხდება ტრიგონომეტრიული განტოლებები.ძნელი არ არის იმის დადგენა, რომ განტოლება ტრიგონომეტრიულია. სირთულეები წარმოიქმნება ქმედებების თანმიმდევრობის განსაზღვრისას, რაც გამოიწვევს სწორ პასუხს.

ზოგჯერ ძნელია მისი ტიპის განსაზღვრა განტოლების გარეგნობით. და განტოლების ტიპის ცოდნის გარეშე, რამდენიმე ათეული ტრიგონომეტრიული ფორმულიდან სწორის არჩევა თითქმის შეუძლებელია.

ტრიგონომეტრიული განტოლების ამოსახსნელად უნდა ვცადოთ:

1. მიიყვანეთ განტოლებაში შემავალი ყველა ფუნქცია „იგივე კუთხეებამდე“;
2. მიიტანეთ განტოლება „იგივე ფუნქციებზე“;
3. განტოლების მარცხენა მხარის ფაქტორიზირება და ა.შ.

განიხილეთ ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის ძირითადი მეთოდები.

I. შემცირება უმარტივეს ტრიგონომეტრიულ განტოლებამდე

გადაწყვეტის სქემა

Ნაბიჯი 1.გამოხატეთ ტრიგონომეტრიული ფუნქცია ცნობილი კომპონენტების მიხედვით.

ნაბიჯი 2იპოვეთ ფუნქციის არგუმენტი ფორმულების გამოყენებით:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x \u003d (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x \u003d arctg a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x \u003d arcctg a + πn, n Є Z.

ნაბიჯი 3იპოვნეთ უცნობი ცვლადი.

მაგალითი.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

გადაწყვეტილება.

1) cos(3x - π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

პასუხი: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. ცვლადი ჩანაცვლება

გადაწყვეტის სქემა

Ნაბიჯი 1.მიიტანეთ განტოლება ალგებრულ ფორმაში ერთ-ერთი ტრიგონომეტრიული ფუნქციის მიმართ.

ნაბიჯი 2აღნიშნეთ მიღებული ფუნქცია t ცვლადით (საჭიროების შემთხვევაში შემოიტანეთ შეზღუდვები t-ზე).

ნაბიჯი 3ჩაწერეთ და ამოხსენით მიღებული ალგებრული განტოლება.

ნაბიჯი 4გააკეთეთ საპირისპირო ჩანაცვლება.

ნაბიჯი 5ამოხსენით უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლება.

მაგალითი.

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

გადაწყვეტილება.

1) 2(1 - sin 2 (x/2)) - 5sin (x/2) - 5 = 0;

2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.

2) მოდით sin (x/2) = t, სადაც |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 ან e = -3/2 არ აკმაყოფილებს პირობას |t| ≤ 1.

4) ცოდვა (x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

პასუხი: x = π + 4πn, n Є Z.

III. განტოლების რიგის შემცირების მეთოდი

გადაწყვეტის სქემა

Ნაბიჯი 1.შეცვალეთ ეს განტოლება ხაზოვანი განტოლებით სიმძლავრის შემცირების ფორმულების გამოყენებით:

sin 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

tan 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

ნაბიჯი 2ამოხსენით მიღებული განტოლება I და II მეთოდების გამოყენებით.

მაგალითი.

cos2x + cos2x = 5/4.

გადაწყვეტილება.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

პასუხი: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. ჰომოგენური განტოლებები

გადაწყვეტის სქემა

Ნაბიჯი 1.მიიტანეთ ეს განტოლება ფორმაში

ა) a sin x + b cos x = 0 (პირველი ხარისხის ერთგვაროვანი განტოლება)

ან ხედისკენ

ბ) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (მეორე ხარისხის ერთგვაროვანი განტოლება).

ნაბიჯი 2გაყავით განტოლების ორივე მხარე

ა) cos x ≠ 0;

ბ) cos 2 x ≠ 0;

და მიიღეთ განტოლება tg x-სთვის:

ა) a tg x + b = 0;

ბ) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.

ნაბიჯი 3ამოხსენით განტოლება ცნობილი მეთოდების გამოყენებით.

მაგალითი.

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.

გადაწყვეტილება.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.

3) მოდით tg x = t, მაშინ

t 2 + 3t - 4 = 0;

t = 1 ან t = -4, ასე რომ

tg x = 1 ან tg x = -4.

პირველი განტოლებიდან x = π/4 + πn, n Є Z; მეორე განტოლებიდან x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

პასუხი: x = π/4 + πn, n Є Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. განტოლების გარდაქმნის მეთოდი ტრიგონომეტრიული ფორმულების გამოყენებით

გადაწყვეტის სქემა

Ნაბიჯი 1.ყველა სახის ტრიგონომეტრიული ფორმულის გამოყენებით მიიტანეთ ეს განტოლება განტოლებამდე, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია I, II, III, IV მეთოდებით.

ნაბიჯი 2ამოხსენით მიღებული განტოლება ცნობილი მეთოდების გამოყენებით.

მაგალითი.

sinx + sin2x + sin3x = 0.

გადაწყვეტილება.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 ან 2cos x + 1 = 0;

პირველი განტოლებიდან 2x = π/2 + πn, n Є Z; მეორე განტოლებიდან cos x = -1/2.

გვაქვს x = π/4 + πn/2, n Є Z; მეორე განტოლებიდან x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

შედეგად, x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

პასუხი: x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის უნარი და უნარები ძალიან არის მნიშვნელოვანია, რომ მათი განვითარება მოითხოვს მნიშვნელოვან ძალისხმევას, როგორც მოსწავლის, ასევე მასწავლებლის მხრიდან.

ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნასთან ასოცირდება სტერეომეტრიის, ფიზიკის და ა.შ მრავალი პრობლემა.ასეთი ამოცანების ამოხსნის პროცესი, თითქოსდა, შეიცავს ბევრ ცოდნას და უნარს, რომელიც იძენს ტრიგონომეტრიის ელემენტების შესწავლისას.

მათემატიკის სწავლების და ზოგადად პიროვნების განვითარების პროცესში ტრიგონომეტრიულ განტოლებებს მნიშვნელოვანი ადგილი უჭირავს.

გაქვთ რაიმე შეკითხვები? არ იცით როგორ ამოხსნათ ტრიგონომეტრიული განტოლებები?
დამრიგებლის დახმარების მისაღებად - დარეგისტრირდით.
პირველი გაკვეთილი უფასოა!

საიტი, მასალის სრული ან ნაწილობრივი კოპირებით, საჭიროა წყაროს ბმული.

ტრიგონომეტრიული განტოლების ამოსახსნელად უნდა ვცადოთ:

განიხილეთ ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის ძირითადი მეთოდები.

I. შემცირება უმარტივეს ტრიგონომეტრიულ განტოლებამდე

გადაწყვეტის სქემა

ნაბიჯი 2იპოვეთ ფუნქციის არგუმენტი ფორმულების გამოყენებით:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x \u003d (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x \u003d arctg a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x \u003d arcctg a + πn, n Є Z.

ნაბიჯი 3იპოვნეთ უცნობი ცვლადი.

მაგალითი.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

გადაწყვეტილება.

1) cos(3x - π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

პასუხი: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. ცვლადი ჩანაცვლება

გადაწყვეტის სქემა

ნაბიჯი 3ჩაწერეთ და ამოხსენით მიღებული ალგებრული განტოლება.

ნაბიჯი 4გააკეთეთ საპირისპირო ჩანაცვლება.

ნაბიჯი 5ამოხსენით უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლება.

მაგალითი.

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

გადაწყვეტილება.

1) 2(1 - sin 2 (x/2)) - 5sin (x/2) - 5 = 0;

2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.

2) მოდით sin (x/2) = t, სადაც |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 ან e = -3/2 არ აკმაყოფილებს პირობას |t| ≤ 1.

4) ცოდვა (x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

პასუხი: x = π + 4πn, n Є Z.

III. განტოლების რიგის შემცირების მეთოდი

გადაწყვეტის სქემა

sin 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

tan 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

ნაბიჯი 2ამოხსენით მიღებული განტოლება I და II მეთოდების გამოყენებით.

მაგალითი.

cos2x + cos2x = 5/4.

გადაწყვეტილება.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

პასუხი: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. ჰომოგენური განტოლებები

გადაწყვეტის სქემა

Ნაბიჯი 1.მიიტანეთ ეს განტოლება ფორმაში

ა) a sin x + b cos x = 0 (პირველი ხარისხის ერთგვაროვანი განტოლება)

ან ხედისკენ

ბ) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (მეორე ხარისხის ერთგვაროვანი განტოლება).

ნაბიჯი 2გაყავით განტოლების ორივე მხარე

ა) cos x ≠ 0;

ბ) cos 2 x ≠ 0;

და მიიღეთ განტოლება tg x-სთვის:

ა) a tg x + b = 0;

ბ) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.

ნაბიჯი 3ამოხსენით განტოლება ცნობილი მეთოდების გამოყენებით.

მაგალითი.

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.

გადაწყვეტილება.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.

3) მოდით tg x = t, მაშინ

t 2 + 3t - 4 = 0;

t = 1 ან t = -4, ასე რომ

tg x = 1 ან tg x = -4.

პირველი განტოლებიდან x = π/4 + πn, n Є Z; მეორე განტოლებიდან x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

პასუხი: x = π/4 + πn, n Є Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. განტოლების გარდაქმნის მეთოდი ტრიგონომეტრიული ფორმულების გამოყენებით

გადაწყვეტის სქემა

ნაბიჯი 2ამოხსენით მიღებული განტოლება ცნობილი მეთოდების გამოყენებით.

მაგალითი.

sinx + sin2x + sin3x = 0.

გადაწყვეტილება.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 ან 2cos x + 1 = 0;

პირველი განტოლებიდან 2x = π/2 + πn, n Є Z; მეორე განტოლებიდან cos x = -1/2.

გვაქვს x = π/4 + πn/2, n Є Z; მეორე განტოლებიდან x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

შედეგად, x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

პასუხი: x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

გაქვთ რაიმე შეკითხვები? არ იცით როგორ ამოხსნათ ტრიგონომეტრიული განტოლებები?
დამრიგებლისგან დახმარების მისაღებად -.
პირველი გაკვეთილი უფასოა!

blog.site, მასალის სრული ან ნაწილობრივი კოპირებით, საჭიროა წყაროს ბმული.

პორტალი სტუდენტისთვის. თვითმმართველობის ტრენინგი

როგორ გამოიყურება ელემენტარული ტრიგონომეტრიული განტოლებები?

როგორ ამოხსნათ ტრიგონომეტრიული განტოლებები?

განტოლებებს ვხსნით ტრიგონომეტრიული წრის გამოყენებით.

თუ მოგწონთ ეს საიტი...

გაკვეთილი და პრეზენტაცია თემაზე: „უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნა“

რა არის ტრიგონომეტრიული განტოლებები?

უმარტივეს ტრიგონომეტრიულ განტოლებებს აქვს ფორმა: Т(kx+m)=a, T- ნებისმიერი ტრიგონომეტრიული ფუნქცია.

ტრიგონომეტრიული განტოლებების მეტი მაგალითები.

გადაწყვეტის ორი ძირითადი მეთოდი.

განტოლების ამოხსნის მაგალითი

ჰომოგენური ტრიგონომეტრიული განტოლებები.

ამოხსენით მაგალითი #:3

ამოხსენით მაგალითი #:4

ამოხსენით მაგალითი #:5

ამოცანები დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის.

ᲓᲐᲙᲐᲕᲨᲘᲠᲔᲑᲣᲚᲘ ᲡᲢᲐᲢᲘᲔᲑᲘ