რა არის ზოგადი ფუნქცია. ლუწი და კენტი ფუნქციები

სქემის კონვერტაცია.

ფუნქციის სიტყვიერი აღწერა.

გრაფიკული გზა.

ფუნქციის დაზუსტების გრაფიკული გზა ყველაზე საილუსტრაციოა და ხშირად გამოიყენება ინჟინერიაში. მათემატიკურ ანალიზში საილუსტრაციოდ გამოიყენება ფუნქციების დაზუსტების გრაფიკული ხერხი.

ფუნქციის გრაფიკი f არის კოორდინატთა სიბრტყის ყველა წერტილის (x; y) სიმრავლე, სადაც y=f(x) და x „გადის“ მოცემული ფუნქციის მთელ დომენზე.

კოორდინატთა სიბრტყის ქვესიმრავლე არის რაიმე ფუნქციის გრაფიკი, თუ მას აქვს მაქსიმუმ ერთი საერთო წერტილი Oy ღერძის პარალელურად რომელიმე წრფესთან.

მაგალითი. არის თუ არა ქვემოთ მოცემული ფიგურები ფუნქციების გრაფიკები?

გრაფიკული ამოცანის უპირატესობა მისი სიცხადეა. თქვენ შეგიძლიათ დაუყოვნებლივ ნახოთ, როგორ იქცევა ფუნქცია, სად იზრდება, სად მცირდება. გრაფიკიდან შეგიძლიათ დაუყოვნებლივ გაიგოთ ფუნქციის რამდენიმე მნიშვნელოვანი მახასიათებელი.

ზოგადად, ფუნქციის განსაზღვრის ანალიტიკური და გრაფიკული გზები ერთმანეთთან მიდის. ფორმულასთან მუშაობა გეხმარებათ გრაფიკის აგებაში. და გრაფიკი ხშირად გვთავაზობს გადაწყვეტილებებს, რომლებსაც ვერ შეამჩნევთ ფორმულაში.

თითქმის ნებისმიერმა სტუდენტმა იცის ფუნქციის განსაზღვრის სამი გზა, რომელიც ჩვენ ახლახან განვიხილეთ.

შევეცადოთ ვუპასუხოთ კითხვას: "არსებობს თუ არა ფუნქციის განსაზღვრის სხვა გზები?"

არსებობს ასეთი გზა.

ფუნქცია შეიძლება საკმაოდ ცალსახად განისაზღვროს სიტყვებით.

მაგალითად, ფუნქცია y=2x შეიძლება განისაზღვროს შემდეგი სიტყვიერი აღწერით: x არგუმენტის თითოეულ რეალურ მნიშვნელობას ენიჭება მისი გაორმაგებული მნიშვნელობა. წესი დაყენებულია, ფუნქცია დაყენებულია.

უფრო მეტიც, შესაძლებელია ფუნქციის სიტყვიერად დაზუსტება, რომლის დაზუსტება ფორმულით ძალიან რთულია, თუ არა შეუძლებელი.

მაგალითად: x ბუნებრივი არგუმენტის თითოეული მნიშვნელობა ასოცირდება იმ ციფრების ჯამთან, რომლებიც ქმნიან x-ის მნიშვნელობას. მაგალითად, თუ x=3, მაშინ y=3. თუ x=257, მაშინ y=2+5+7=14. და ა.შ. ამის ფორმულით დაწერა რთულია. მაგრამ მაგიდის გაკეთება მარტივია.

სიტყვიერი აღწერის მეთოდი საკმაოდ იშვიათად გამოყენებული მეთოდია. მაგრამ ზოგჯერ ეს ხდება.

თუ x-სა და y-ს შორის არსებობს ერთი-ერთთან შესაბამისობის კანონი, მაშინ არის ფუნქცია. რა კანონი, რა ფორმით არის გამოხატული - ფორმულით, ტაბლეტით, გრაფიკით, სიტყვებით - არ ცვლის საკითხის არსს.

განვიხილოთ ფუნქციები, რომელთა განსაზღვრის სფეროები სიმეტრიულია კოორდინატების წარმოშობის მიმართ, ე.ი. ვინმესთვის Xფარგლებს გარეთ ნომერი (- X) ასევე განეკუთვნება განმარტების სფეროს. ამ ფუნქციებს შორისაა ლუწი და კენტი.

განმარტება.ფუნქცია f ეწოდება თუნდაც, თუ რომელიმესთვის Xმისი დომენის გარეთ

მაგალითი.განიხილეთ ფუნქცია

ის კი არის. მოდით შევამოწმოთ.

Ვინმესთვის Xთანასწორობებს

ამრიგად, ჩვენთვის ორივე პირობა დაკმაყოფილებულია, რაც ნიშნავს, რომ ფუნქცია თანაბარია. ქვემოთ მოცემულია ამ ფუნქციის გრაფიკი.

განმარტება.ფუნქცია f ეწოდება კენტი, თუ რომელიმესთვის Xმისი დომენის გარეთ

მაგალითი. განიხილეთ ფუნქცია

ის უცნაურია. მოდით შევამოწმოთ.

განმარტების დომენი არის მთელი რიცხვითი ღერძი, რაც ნიშნავს, რომ ის სიმეტრიულია წერტილის მიმართ (0; 0).

Ვინმესთვის Xთანასწორობებს

ამრიგად, ჩვენთვის ორივე პირობა დაკმაყოფილებულია, რაც ნიშნავს, რომ ფუნქცია კენტია. ქვემოთ მოცემულია ამ ფუნქციის გრაფიკი.

პირველ და მესამე ფიგურებზე ნაჩვენები გრაფიკები სიმეტრიულია y-ღერძის მიმართ, ხოლო მეორე და მეოთხე ფიგურებში ნაჩვენებია სიმეტრიული საწყისის მიმართ.

რომელი ფუნქციებიდან, რომელთა გრაფიკები ფიგურებშია ნაჩვენები, რომელია ლუწი და რომელია კენტი?

თუნდაც ფუნქცია.

თუნდაცფუნქცია, რომლის ნიშანიც არ იცვლება ნიშნის შეცვლისას, ეწოდება x.

xთანასწორობა ვ(–x) = ვ(x). Ნიშანი xნიშანზე გავლენას არ ახდენს წ.

ლუწი ფუნქციის გრაფიკი სიმეტრიულია კოორდინატთა ღერძის მიმართ (ნახ. 1).

ფუნქციების მაგალითებიც კი:

წ= cos x

წ = x 2

წ = –x 2

წ = x 4

წ = x 6

წ = x 2 + x

ახსნა:
ავიღოთ ფუნქცია წ = x 2 ან წ = –x 2 .
ნებისმიერი ღირებულებისთვის xფუნქცია დადებითია. Ნიშანი xნიშანზე გავლენას არ ახდენს წ. გრაფიკი სიმეტრიულია კოორდინატთა ღერძის მიმართ. ეს თანაბარი ფუნქციაა.

უცნაური ფუნქცია.

კენტიარის ფუნქცია, რომლის ნიშანი იცვლება ნიშნის შეცვლისას x.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ნებისმიერი ღირებულებისთვის xთანასწორობა ვ(–x) = –ვ(x).

კენტი ფუნქციის გრაფიკი სიმეტრიულია საწყისის მიმართ (ნახ. 2).

უცნაური ფუნქციის მაგალითები:

წ= ცოდვა x

წ = x 3

წ = –x 3

ახსნა:

აიღეთ ფუნქცია y = - x 3 .
ყველა ღირებულება ზეექნება მინუს ნიშანი. ეს არის ნიშანი xგავლენას ახდენს ნიშანზე წ. თუ დამოუკიდებელი ცვლადი დადებითი რიცხვია, მაშინ ფუნქცია დადებითია; თუ დამოუკიდებელი ცვლადი უარყოფითი რიცხვია, მაშინ ფუნქცია უარყოფითია: ვ(–x) = –ვ(x).
ფუნქციის გრაფიკი სიმეტრიულია წარმოშობის მიმართ. ეს უცნაური ფუნქციაა.

ლუწი და კენტი ფუნქციების თვისებები:

ᲨᲔᲜᲘᲨᲕᲜᲐ:

ყველა მახასიათებელი არ არის ლუწი ან კენტი. არის ფუნქციები, რომლებიც არ ექვემდებარება ასეთ გრადაციას. მაგალითად, root ფუნქცია ზე = √Xარ ვრცელდება არც ლუწი და არც კენტი ფუნქციებზე (ნახ. 3). ასეთი ფუნქციების თვისებების ჩამოთვლისას უნდა მოხდეს შესაბამისი აღწერა: არც ლუწი და არც კენტი.

პერიოდული ფუნქციები.

მოგეხსენებათ, პერიოდულობა არის გარკვეული პროცესების გამეორება გარკვეული ინტერვალით. ფუნქციები, რომლებიც აღწერს ამ პროცესებს ე.წ პერიოდული ფუნქციები. ანუ, ეს არის ფუნქციები, რომელთა გრაფიკებში არის ელემენტები, რომლებიც მეორდება გარკვეული რიცხვითი ინტერვალებით.

y ცვლადის დამოკიდებულებას x ცვლადზე, რომელშიც x-ის თითოეული მნიშვნელობა შეესაბამება y-ის ერთ მნიშვნელობას, ეწოდება ფუნქცია. აღნიშვნა არის y=f(x). თითოეულ ფუნქციას აქვს რამდენიმე ძირითადი თვისება, როგორიცაა ერთფეროვნება, პარიტეტი, პერიოდულობა და სხვა.

განვიხილოთ პარიტეტული თვისება უფრო დეტალურად.

ფუნქცია y=f(x) იწოდება მაშინაც კი, თუ ის აკმაყოფილებს შემდეგ ორ პირობას:

2. ფუნქციის სიდიდე x წერტილში, რომელიც მიეკუთვნება ფუნქციის ფარგლებს, უნდა იყოს -x წერტილის ფუნქციის მნიშვნელობის ტოლი. ანუ, ნებისმიერი x წერტილისთვის, ფუნქციის დომენიდან, შემდეგი ტოლობა f (x) \u003d f (-x) უნდა იყოს ჭეშმარიტი.

ლუწი ფუნქციის გრაფიკი

თუ თქვენ ააგებთ ლუწი ფუნქციის გრაფიკს, ის სიმეტრიული იქნება y-ღერძის მიმართ.

მაგალითად, ფუნქცია y=x^2 ლუწია. მოდით შევამოწმოთ. განმარტების დომენი არის მთელი რიცხვითი ღერძი, რაც ნიშნავს, რომ ის სიმეტრიულია O წერტილის მიმართ.

აიღეთ თვითნებური x=3. f(x)=3^2=9.

f(-x)=(-3)^2=9. ამიტომ, f(x) = f(-x). ამრიგად, ჩვენთვის ორივე პირობა დაკმაყოფილებულია, რაც ნიშნავს, რომ ფუნქცია თანაბარია. ქვემოთ მოცემულია y=x^2 ფუნქციის გრაფიკი.

ნახაზი აჩვენებს, რომ გრაფიკი სიმეტრიულია y-ღერძის მიმართ.

უცნაური ფუნქციის გრაფიკი

ფუნქციას y=f(x) ეწოდება კენტი, თუ ის აკმაყოფილებს შემდეგ ორ პირობას:

1. მოცემული ფუნქციის დომენი უნდა იყოს სიმეტრიული O წერტილის მიმართ, ანუ თუ რომელიმე a წერტილი ეკუთვნის ფუნქციის დომენს, მაშინ შესაბამისი წერტილი -a ასევე უნდა მიეკუთვნებოდეს მოცემული ფუნქციის დომენს.

2. ნებისმიერი x წერტილისთვის, ფუნქციის დომენიდან, უნდა დაკმაყოფილდეს შემდეგი ტოლობა f (x) \u003d -f (x).

კენტი ფუნქციის გრაფიკი სიმეტრიულია O წერტილის მიმართ - საწყისი. მაგალითად, ფუნქცია y=x^3 არის უცნაური. მოდით შევამოწმოთ. განმარტების დომენი არის მთელი რიცხვითი ღერძი, რაც ნიშნავს, რომ ის სიმეტრიულია O წერტილის მიმართ.

აიღეთ თვითნებური x=2. f(x)=2^3=8.

f(-x)=(-2)^3=-8. ამიტომ f(x) = -f(x). ამრიგად, ჩვენთვის ორივე პირობა დაკმაყოფილებულია, რაც ნიშნავს, რომ ფუნქცია კენტია. ქვემოთ მოცემულია y=x^3 ფუნქციის გრაფიკი.

ნახაზი ნათლად აჩვენებს, რომ კენტი ფუნქცია y=x^3 სიმეტრიულია საწყისის მიმართ.

ჩვენების დამალვა

ფუნქციის დაყენების გზები

ფუნქცია მოცემულია ფორმულით: y=2x^(2)-3 . დამოუკიდებელ ცვლადს x-ისთვის ნებისმიერი მნიშვნელობის მინიჭებით, შეგიძლიათ გამოიყენოთ ეს ფორმულა დამოკიდებული ცვლადის y შესაბამისი მნიშვნელობების გამოსათვლელად. მაგალითად, თუ x=-0.5, მაშინ ფორმულის გამოყენებით მივიღებთ, რომ y-ის შესაბამისი მნიშვნელობა არის y=2 \cdot (-0.5)^(2)-3=-2.5 .

y=2x^(2)-3 ფორმულაში x არგუმენტის მიერ მიღებული ნებისმიერი მნიშვნელობის გათვალისწინებით, შეიძლება გამოითვალოს მხოლოდ ერთი ფუნქციის მნიშვნელობა, რომელიც შეესაბამება მას. ფუნქცია შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ცხრილის სახით:

x	−2	−1	0	1	2	3
წ	−4	−3	−2	−1	0	1

ამ ცხრილის გამოყენებით შეგიძლიათ გაარკვიოთ, რომ არგუმენტის -1 მნიშვნელობისთვის შეესაბამება -3 ფუნქციის მნიშვნელობა; და მნიშვნელობა x=2 შეესაბამება y=0 და ა.შ. ასევე მნიშვნელოვანია იცოდეთ, რომ ცხრილის თითოეული არგუმენტის მნიშვნელობა შეესაბამება მხოლოდ ერთ ფუნქციის მნიშვნელობას.

მეტი ფუნქციის დაყენება შესაძლებელია გრაფიკების გამოყენებით. გრაფიკის დახმარებით დგინდება, თუ რომელი ფუნქციის მნიშვნელობა შეესაბამება x-ის გარკვეულ მნიშვნელობას. ყველაზე ხშირად, ეს იქნება ფუნქციის სავარაუდო მნიშვნელობა.

ლუწი და კენტი ფუნქცია

ფუნქცია არის ფუნქციაც კი, როდესაც f(-x)=f(x) დომენის ნებისმიერი x-ისთვის. ასეთი ფუნქცია იქნება სიმეტრიული Oy ღერძის მიმართ.

ფუნქცია არის უცნაური ფუნქციაროდესაც f(-x)=-f(x) დომენის ნებისმიერი x-ისთვის. ასეთი ფუნქცია იქნება სიმეტრიული O (0;0) საწყისის მიმართ.

ფუნქცია არის არც კი, არც უცნაურიდა დაურეკა ზოგადი ფუნქციაროდესაც მას არ აქვს სიმეტრია ღერძის ან საწყისის მიმართ.

ჩვენ განვიხილავთ შემდეგ ფუნქციას პარიტეტისთვის:

f(x)=3x^(3)-7x^(7)

D(f)=(-\infty ; +\infty) სიმეტრიული განსაზღვრების დომენით წარმოშობის შესახებ. f(-x)= 3 \cdot (-x)^(3)-7 \cdot (-x)^(7)= -3x^(3)+7x^(7)= -(3x^(3)-7x^(7))= -f(x).

აქედან გამომდინარე, ფუნქცია f(x)=3x^(3)-7x^(7) კენტია.

პერიოდული ფუნქცია

ფუნქცია y=f(x) , რომლის დომენში f(x+T)=f(x-T)=f(x) მართალია ნებისმიერი x-ისთვის, ე.წ. პერიოდული ფუნქციაპერიოდით T \neq 0 .

ფუნქციის გრაფიკის გამეორება აბსცისის ღერძის ნებისმიერ სეგმენტზე, რომელსაც აქვს სიგრძე T.

ინტერვალები, სადაც ფუნქცია დადებითია, ანუ f (x) > 0 - აბსცისის ღერძის სეგმენტები, რომლებიც შეესაბამება ფუნქციის გრაფიკის წერტილებს, რომლებიც დევს აბსცისის ღერძის ზემოთ.

f(x) > 0 ჩართულია (x_(1); x_(2)) \ჭიქა (x_(3); +\infty)

ხარვეზები, სადაც ფუნქცია უარყოფითია, ანუ f(x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.

f(x)< 0 на (-\infty; x_(1)) \თასი (x_(2); x_(3))

ფუნქციის შეზღუდვა

ქვემოდან შემოსაზღვრულიჩვეულებრივია გამოვიძახოთ ფუნქცია y=f(x), x \ X-ში, როდესაც არსებობს A რიცხვი, რომლისთვისაც უტოლობა f(x) \geq A მოქმედებს ნებისმიერი x \ X-ში.

ქვემოთ შემოსაზღვრული ფუნქციის მაგალითი: y=\sqrt(1+x^(2)) ვინაიდან y=\sqrt(1+x^(2)) \geq 1 ნებისმიერი x-ისთვის.

ზემოდან შემოსაზღვრულიფუნქცია y=f(x), x \in X იწოდება, თუ არსებობს B რიცხვი, რომლისთვისაც უტოლობა f(x) \neq B მოქმედებს ნებისმიერი x \ X-ში.

ქვემოთ შემოსაზღვრული ფუნქციის მაგალითი: y=\sqrt(1-x^(2)), x \in [-1;1]ვინაიდან y=\sqrt(1+x^(2)) \neq 1 ნებისმიერი x \in [-1;1] .

შეზღუდულიჩვეულებრივ უნდა გამოიძახოთ ფუნქცია y=f(x), x \ X-ში, როდესაც არსებობს რიცხვი K > 0, რომლისთვისაც უტოლობა \left | f(x) \მარჯვნივ | \neq K ნებისმიერი x \ X-ში.

შეზღუდული ფუნქციის მაგალითი: y=\sin x შემოსაზღვრულია მთელ რიცხვით წრფეზე, რადგან \მარცხნივ | \sin x \მარჯვნივ | \nq 1.

გაზრდის და შემცირების ფუნქცია

ჩვეულებრივად არის საუბარი ფუნქციაზე, რომელიც იზრდება განხილულ ინტერვალზე როგორც მზარდი ფუნქციაროდესაც x-ის უფრო დიდი მნიშვნელობა შეესაბამება y=f(x) ფუნქციის უფრო დიდ მნიშვნელობას. აქედან გამოდის, რომ განხილული ინტერვალიდან არგუმენტის ორი თვითნებური მნიშვნელობის აღება x_(1) და x_(2) და x_(1) > x_(2) იქნება y(x_(1)) > y(x_(2)) .

ფუნქცია, რომელიც მცირდება განხილულ ინტერვალზე, ეწოდება კლების ფუნქციაროდესაც x-ის უფრო დიდი მნიშვნელობა შეესაბამება y(x) ფუნქციის უფრო მცირე მნიშვნელობას. აქედან გამოდის, რომ განხილული ინტერვალიდან არგუმენტის ორი თვითნებური მნიშვნელობის აღება x_(1) და x_(2) და x_(1) > x_(2) იქნება y(x_(1))< y(x_{2}) .

ფუნქციის ფესვებიმიღებულია იმ წერტილების დასახელება, რომლებშიც ფუნქცია F=y(x) კვეთს აბსცისის ღერძს (ისინი მიიღება y(x)=0 განტოლების ამოხსნის შედეგად).

ა) თუ ლუწი ფუნქცია იზრდება x > 0-ზე, მაშინ ის მცირდება x-ზე< 0

ბ) როდესაც ლუწი ფუნქცია მცირდება x > 0-ზე, მაშინ ის იზრდება x-ზე< 0

გ) როდესაც კენტი ფუნქცია იზრდება x > 0-ზე, მაშინ ის ასევე იზრდება x-ისთვის< 0

დ) როდესაც კენტი ფუნქცია მცირდება x > 0-ზე, მაშინ ის ასევე შემცირდება x-ისთვის< 0

ფუნქციის უკიდურესობა

ფუნქციის მინიმალური ქულა y=f(x) ჩვეულებრივ უნდა ვუწოდოთ ისეთ წერტილს x=x_(0) , რომელშიც მის სამეზობლოში იქნება სხვა წერტილები (გარდა წერტილისა x=x_(0) ), შემდეგ კი უტოლობა f(x) > f (x_(0)) . y_(წთ) - ფუნქციის აღნიშვნა წერტილში min.

ფუნქციის მაქსიმალური წერტილი y=f(x) ჩვეულებრივ უნდა ვუწოდოთ ისეთ წერტილს x=x_(0) , რომელშიც მის სამეზობლოში იქნება სხვა წერტილები (გარდა წერტილისა x=x_(0) ), შემდეგ კი უტოლობა f(x) კმაყოფილი იქნება მათთვის< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.

აუცილებელი პირობა

ფერმას თეორემის მიხედვით: f"(x)=0, მაშინ როდესაც ფუნქცია f(x) , რომელიც დიფერენცირებადია x_(0) წერტილში, ამ წერტილში გამოჩნდება უკიდურესი.

საკმარისი მდგომარეობა

როდესაც წარმოებულის ნიშანი იცვლება პლუსიდან მინუსზე, მაშინ x_(0) იქნება მინიმალური წერტილი;
x_(0) - იქნება მაქსიმალური წერტილი მხოლოდ მაშინ, როდესაც წარმოებული ცვლის ნიშანს მინუს-დან პლუსზე სტაციონარული წერტილის გავლისას x_(0) .

ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობა ინტერვალზე

გაანგარიშების ნაბიჯები:

ვეძებთ წარმოებულს f"(x) ;
მოიძებნება ფუნქციის სტაციონარული და კრიტიკული წერტილები და არჩეულია ინტერვალის კუთვნილი;
f(x) ფუნქციის მნიშვნელობები გვხვდება სეგმენტის სტაციონარულ და კრიტიკულ წერტილებსა და ბოლოებში. ყველაზე მცირე შედეგი იქნება ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობა, და მეტი - უდიდესი.

ფუნქციას ეწოდება ლუწი (კენტი) თუ რომელიმე და ტოლობა

ლუწი ფუნქციის გრაფიკი სიმეტრიულია ღერძის მიმართ
.

კენტი ფუნქციის გრაფიკი სიმეტრიულია წარმოშობის მიმართ.

მაგალითი 6.2.გამოიკვლიეთ ლუწი ან კენტი ფუნქციები

1)
; 2)
; 3)
.

გადაწყვეტილება.

1) ფუნქცია განისაზღვრება
. მოდი ვიპოვოთ
.

იმათ.
. ასე რომ, ეს ფუნქცია თანაბარია.

2) ფუნქცია განსაზღვრულია ამისთვის

იმათ.
. ამრიგად, ეს ფუნქცია უცნაურია.

3) ფუნქცია განსაზღვრულია , ე.ი. ამისთვის

,
. ამიტომ ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი. მოდით ვუწოდოთ მას ზოგადი ფუნქცია.

3. ფუნქციის გამოკვლევა ერთფეროვნებისთვის.

ფუნქცია
ეწოდება გაზრდა (კლება) რაღაც ინტერვალზე, თუ ამ ინტერვალში არგუმენტის ყოველი უფრო დიდი მნიშვნელობა შეესაბამება ფუნქციის უფრო დიდ (პატარა) მნიშვნელობას.

გარკვეული ინტერვალებით მზარდ (კლებად) ფუნქციებს მონოტონური ეწოდება.

თუ ფუნქცია
დიფერენცირებადია ინტერვალზე
და აქვს დადებითი (უარყოფითი) წარმოებული
, შემდეგ ფუნქცია
იზრდება (მცირდება) ამ ინტერვალში.

მაგალითი 6.3. იპოვეთ ფუნქციების ერთფეროვნების ინტერვალები

1)
; 3)
.

გადაწყვეტილება.

1) ეს ფუნქცია განისაზღვრება მთელ რიცხვთა ღერძზე. მოდი ვიპოვოთ წარმოებული.

წარმოებული არის ნული, თუ
და
. განმარტების დომენი - რიცხვითი ღერძი, დაყოფილი წერტილებით
,
ინტერვალებისთვის. მოდით განვსაზღვროთ წარმოებულის ნიშანი თითოეულ ინტერვალში.

ინტერვალში
წარმოებული უარყოფითია, ფუნქცია მცირდება ამ ინტერვალზე.

ინტერვალში
წარმოებული დადებითია, შესაბამისად, ფუნქცია იზრდება ამ ინტერვალზე.

2) ეს ფუნქცია განისაზღვრება თუ
ან

თითოეულ ინტერვალში განვსაზღვრავთ კვადრატული ტრინომის ნიშანს.

ამრიგად, ფუნქციის ფარგლები

მოდი ვიპოვოთ წარმოებული
,
, თუ
, ე.ი.
, მაგრამ
. განვსაზღვროთ წარმოებულის ნიშანი ინტერვალებში
.

ინტერვალში
წარმოებული უარყოფითია, შესაბამისად, ფუნქცია მცირდება ინტერვალზე
. ინტერვალში
წარმოებული დადებითია, ფუნქცია იზრდება ინტერვალზე
.

4. ექსტრემისთვის ფუნქციის გამოკვლევა.

Წერტილი
ეწოდება ფუნქციის მაქსიმალური (მინიმალური) წერტილი
, თუ არსებობს წერტილის ასეთი მეზობლობა რომ ყველასთვის
ეს უბანი აკმაყოფილებს უთანასწორობას

.

ფუნქციის მაქსიმალურ და მინიმალურ წერტილებს ეწოდება ექსტრემალური წერტილები.

თუ ფუნქცია
წერტილში აქვს ექსტრემუმი, მაშინ ფუნქციის წარმოებული ამ მომენტში ნულის ტოლია ან არ არსებობს (აუცილებელი პირობა ექსტრემის არსებობისთვის).

წერტილებს, რომლებშიც წარმოებული არის ნულის ტოლი ან არ არსებობს, კრიტიკული ეწოდება.

5. საკმარისი პირობები ექსტრემის არსებობისთვის.

წესი 1. თუ გადასვლისას (მარცხნიდან მარჯვნივ) კრიტიკულ წერტილში წარმოებული
ცვლის ნიშანს "+"-დან "-", შემდეგ წერტილში ფუნქცია
აქვს მაქსიმუმი; თუ "-"-დან "+"-მდე, მაშინ მინიმალური; თუ
არ იცვლება ნიშანი, მაშინ არ არის ექსტრემუმი.

წესი 2. მოდით წერტილი
ფუნქციის პირველი წარმოებული
ნული
და მეორე წარმოებული არსებობს და არ არის ნულოვანი. Თუ
, მაშინ არის მაქსიმალური ქულა, თუ
, მაშინ არის ფუნქციის მინიმალური წერტილი.

მაგალითი 6.4 . შეისწავლეთ მაქსიმალური და მინიმალური ფუნქციები:

1)
; 2)
; 3)
;

4)
.

გადაწყვეტილება.

1) ფუნქცია განსაზღვრულია და უწყვეტია ინტერვალზე
.

მოდი ვიპოვოთ წარმოებული
და ამოხსენი განტოლება
, ე.ი.
.აქედან
კრიტიკული წერტილებია.

მოდით განვსაზღვროთ წარმოებულის ნიშანი ინტერვალებში,
.

წერტილების გავლისას
და
წარმოებული ცვლის ნიშანს „–“–დან „+“–ზე, შესაბამისად, წესი 1–ის მიხედვით
არის მინიმალური ქულები.

წერტილის გავლისას
წარმოებული ცვლის ნიშანს "+"-დან "-", ასე
არის მაქსიმალური წერტილი.

,
.

2) ფუნქცია განსაზღვრულია და უწყვეტია ინტერვალში
. მოდი ვიპოვოთ წარმოებული
.

განტოლების ამოხსნით
, იპოვე
და
კრიტიკული წერტილებია. თუ მნიშვნელი
, ე.ი.
, მაშინ წარმოებული არ არსებობს. Ისე,
არის მესამე კრიტიკული წერტილი. მოდით განვსაზღვროთ წარმოებულის ნიშანი ინტერვალებით.