დავალება 1. 300 ფურცელი პრინტერის ქაღალდის სისქეა 3,3 სმ. რა სისქის იქნება ერთი და იგივე ქაღალდის 500 ფურცლის დასტა?

გადაწყვეტილება.მოდით x სმ იყოს 500 ფურცლიანი ქაღალდის სისქე. ორი გზით ვპოულობთ ერთი ფურცლის სისქეს:

3,3: 300 ან x : 500.

ვინაიდან ქაღალდის ფურცლები ერთნაირია, ეს ორი თანაფარდობა ერთმანეთის ტოლია. ჩვენ ვიღებთ პროპორციას შეხსენება: პროპორცია არის ორი თანაფარდობის ტოლობა):

x=(3.3 · 500): 300;

x=5.5. პასუხი:შეკვრა 500 ქაღალდის ფურცლებს აქვს სისქე 5,5 სმ.

ეს არის კლასიკური მსჯელობა და პრობლემის გადაჭრის ფორმულირება. ასეთი პრობლემები ხშირად შედის სამაგისტრო ტესტებში, რომლებიც ჩვეულებრივ წერენ გამოსავალს ამ ფორმით:

ან გადაწყვეტენ ზეპირად, კამათობენ შემდეგნაირად: თუ 300 ფურცელს აქვს 3,3 სმ სისქე, მაშინ 100 ფურცელს აქვს სისქე 3-ჯერ მცირე. 3,3-ს ვყოფთ 3-ზე, მივიღებთ 1,1 სმ. ეს არის 100 ფურცლის სისქე. მაშასადამე, 500 ფურცელს ექნება 5-ჯერ მეტი სისქე, ამიტომ 1,1 სმ-ს ვამრავლებთ 5-ზე და ვიღებთ პასუხს: 5,5 სმ.

რა თქმა უნდა, ეს გამართლებულია, რადგან კურსდამთავრებულთა და აპლიკანტთა ტესტირების დრო შეზღუდულია. თუმცა, ამ გაკვეთილზე ჩვენ ვიმსჯელებთ და დავწერთ გამოსავალს ისე, როგორც ეს უნდა გაკეთდეს 6 კლასი.

დავალება 2.რამდენ წყალს შეიცავს 5 კგ საზამთრო, თუ ცნობილია, რომ საზამთრო 98% წყლისგან შედგება?

გადაწყვეტილება.

საზამთროს მთლიანი მასა (5 კგ) არის 100%. წყალი იქნება x კგ ან 98%. ორი გზით შეგიძლიათ იპოვოთ რამდენი კგ მოდის მასის 1%-ზე.

5: 100 ან x : 98. ვიღებთ პროპორციას:

5: 100 = x : 98.

x=(5 · 98): 100;

x=4.9 პასუხი: 5 კგ-შისაზამთრო შეიცავს 4,9 კგ წყალი.

21 ლიტრი ზეთის მასა 16,8 კგ. რამდენია 35 ლიტრი ზეთის მასა?

გადაწყვეტილება.

35 ლიტრი ზეთის მასა იყოს x კგ. შემდეგ ორი გზით შეგიძლიათ იპოვოთ 1 ლიტრი ზეთის მასა:

16,8: 21 ან x : 35. ვიღებთ პროპორციას:

16,8: 21=x : 35.

იპოვეთ პროპორციის შუა წევრი. ამისათვის ჩვენ გავამრავლებთ პროპორციის უკიდურეს ნაწილებს ( 16,8 და 35 ) და გავყოთ ცნობილ შუა წევრზე ( 21 ). წილადის შემცირება 7 .

გაამრავლე წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი 10 ისე რომ მრიცხველი და მნიშვნელი შეიცავდეს მხოლოდ ნატურალურ რიცხვებს. წილადს ვამცირებთ 5 (5 და 10) და შემდეგ 3 (168 და 3).

პასუხი: 35 ლიტრ ზეთს აქვს მასა 28 კგ.

მას შემდეგ, რაც მთელი ველის 82% გაიჭედა, 9 ჰექტარი დარჩა სახნავი. რა არის მთელი ველის ფართობი?

გადაწყვეტილება.

მთელი ველის ფართობი იყოს x ჰა, რაც არის 100%. რჩება 9 ჰექტრის ხვნა, რაც მთლიანი მინდვრის 100%-82%=18%-ია. ველის ფართობის 1% გამოვხატოთ ორი გზით. Ეს არის:

X : 100 თუ 9 : 18. ჩვენ ვაკეთებთ პროპორციას:

X : 100 = 9: 18.

ჩვენ ვპოულობთ პროპორციის უცნობ უკიდურეს ტერმინს. ამისათვის ჩვენ გავამრავლებთ პროპორციის საშუალო პირობებს ( 100 და 9 ) და გავყოთ ცნობილ უკიდურეს ტერმინზე ( 18 ). ჩვენ ვამცირებთ წილადს.

უპასუხე: მთელი ველის ფართობი 50 ჰა.

გვერდი 1 1-დან 1

ბოლო ვიდეო გაკვეთილში განვიხილეთ პროცენტული ამოცანების ამოხსნა პროპორციების გამოყენებით. შემდეგ, პრობლემის მდგომარეობის მიხედვით, დაგვჭირდა ამა თუ იმ რაოდენობის მნიშვნელობის პოვნა.

ამჯერად საწყისი და საბოლოო მნიშვნელობები უკვე გვეძლევა. ამიტომ, ამოცანებში საჭირო იქნება პროცენტების პოვნა. უფრო ზუსტად, რა პროცენტით შეიცვალა ესა თუ ის მნიშვნელობა. Მოდი ვცადოთ.

დავალება. Sneakers ღირს 3200 რუბლი. ფასის გაზრდის შემდეგ მათ დაიწყეს 4000 რუბლის ფასი. რამდენ პროცენტით გაიზარდა სპორტული ფეხსაცმელი?

ასე რომ, ჩვენ ვხსნით პროპორციით. პირველი ნაბიჯი - თავდაპირველი ფასი იყო 3200 რუბლი. აქედან გამომდინარე, 3200 რუბლი არის 100%.

გარდა ამისა, ჩვენ მოგვცეს საბოლოო ფასი - 4000 რუბლი. ეს უცნობი პროცენტია, ამიტომ ავღნიშნოთ როგორც x. ჩვენ ვიღებთ შემდეგ კონსტრუქციას:

3200 — 100%
4000 - x%

ისე, პრობლემის მდგომარეობა ჩაწერილია. ჩვენ ვადგენთ პროპორციას:

მარცხნივ წილადი შესანიშნავად მცირდება 100-ით: 3200: 100 = 32; 4000: 100 = 40. გარდა ამისა, შეგიძლიათ შეამციროთ 4: 32: 4 = 8; 40: 4 = 10. ვიღებთ შემდეგ პროპორციას:

გამოვიყენოთ პროპორციის ძირითადი თვისება: უკიდურესი წევრების ნამრავლი უდრის შუა რიცხვების ნამრავლს. ჩვენ ვიღებთ:

8 x = 100 10;
8x = 1000.

ეს არის ჩვეულებრივი წრფივი განტოლება. აქედან ვპოულობთ x:

x=1000:8=125

ასე რომ, მივიღეთ საბოლოო პროცენტი x = 125. მაგრამ არის თუ არა რიცხვი 125 პრობლემის გადაწყვეტა? Არანაირად! რადგან ამოცანა მოითხოვს, გაარკვიოთ, რამდენ პროცენტით გაიზარდა სპორტული ფეხსაცმელი.

რამდენი პროცენტით - ეს ნიშნავს, რომ ჩვენ უნდა ვიპოვოთ ცვლილება:

∆ = 125 − 100 = 25

ჩვენ მივიღეთ 25% - ამდენი გაიზარდა საწყისი ფასი. ეს არის პასუხი: 25.

პრობლემა B2 ინტერესისთვის #2

გადავიდეთ მეორე ამოცანაზე.

დავალება. პერანგი ღირდა 1800 მანეთი. ფასის შემცირების შემდეგ დაიწყო 1530 რუბლი. რამდენ პროცენტით შემცირდა მაისურის ფასი?

ჩვენ ვთარგმნით პირობას მათემატიკური ენაზე. საწყისი ფასი 1800 რუბლია 100%. და საბოლოო ფასი არის 1530 რუბლი - ჩვენ ვიცით, მაგრამ არ არის ცნობილი, რამდენი პროცენტია ორიგინალური ღირებულებისა. ამიტომ მას x-ით აღვნიშნავთ. ჩვენ ვიღებთ შემდეგ კონსტრუქციას:

1800 — 100%
1530 - x%

მიღებული ჩანაწერის საფუძველზე, ჩვენ ვადგენთ პროპორციას:

მოდით გავყოთ ამ განტოლების ორივე მხარე 100-ზე შემდგომი გამოთვლების გასამარტივებლად, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მარცხენა და მარჯვენა წილადების მრიცხველზე გადავხაზავთ ორ ნულს. ჩვენ ვიღებთ:

ახლა ისევ გამოვიყენოთ პროპორციის ძირითადი თვისება: უკიდურესი წევრების ნამრავლი უდრის საშუალოების ნამრავლს.

18 x = 1530 1;
18x = 1530.

რჩება x-ის პოვნა:

x = 1530: 18 = (765 2) : (9 2) = 765: 9 = (720 + 45) : 9 = 720: 9 + 45: 9 = 80 + 5 = 85

მივიღეთ, რომ x = 85. მაგრამ, როგორც წინა ამოცანაში, ეს რიცხვი თავისთავად არ არის პასუხი. დავუბრუნდეთ ჩვენს მდგომარეობას. ახლა ჩვენ ვიცით, რომ ახალი ფასი შემცირების შემდეგ არის ძველი ფასის 85%. ხოლო ცვლილებების საპოვნელად საჭიროა ძველი ფასიდან, ე.ი. 100%, გამოაკელი ახალი ფასი, ე.ი. 85%. ჩვენ ვიღებთ:

∆ = 100 − 85 = 15

ეს რიცხვი იქნება პასუხი: გთხოვთ გაითვალისწინოთ: ზუსტად 15 და არავითარ შემთხვევაში 85. სულ ესაა! პრობლემა მოგვარებულია.

ყურადღებიანი მოსწავლეები ალბათ იკითხავენ: რატომ პირველ ამოცანაში სხვაობის პოვნისას გამოვაკლეთ საწყისი რიცხვი საბოლოო რიცხვს, ხოლო მეორე დავალებაში ზუსტად პირიქით: საწყის 100%-ს გამოვაკლეთ საბოლოო 85%?

მოდით გავარკვიოთ ეს. ფორმალურად, მათემატიკაში, მნიშვნელობის ცვლილება ყოველთვის არის განსხვავება საბოლოო მნიშვნელობასა და საწყისს შორის. ანუ მეორე პრობლემაში უნდა გვქონოდა არა 15, არამედ -15.

თუმცა ეს მინუსი არავითარ შემთხვევაში არ უნდა შედიოდეს პასუხში, რადგან ის უკვე გათვალისწინებულია თავდაპირველი პრობლემის პირობებში. იქვე წერია ფასის შემცირებაზე. 15%-იანი ფასის კლება იგივეა, რაც -15%-იანი მატება. ამიტომაც პრობლემის გადაჭრასა და პასუხში საკმარისია დაწეროთ მხოლოდ 15 - ყოველგვარი მინუსების გარეშე.

ყველაფერი, იმედი მაქვს, ამ წუთში გავიგეთ. ამით დასრულდა ჩვენი დღევანდელი გაკვეთილი. Მალე გნახავ!

პროპორცია არის მათემატიკური გამოხატულება, რომელშიც ორი ან მეტი რიცხვი შედარებულია ერთმანეთთან. პროპორციებში, აბსოლუტური მნიშვნელობები და რაოდენობები შეიძლება შევადაროთ ანუფრო დიდი მთლიანობის ნაწილები. პროპორციები შეიძლება დაიწეროს და გამოითვალოს რამდენიმე სხვადასხვა გზით, მაგრამ ძირითადი პრინციპი იგივეა.

ნაბიჯები

Ნაწილი 1

რა არის პროპორცია

გაარკვიეთ რა პროპორციებისთვისაა განკუთვნილი.პროპორციები გამოიყენება როგორც სამეცნიერო კვლევებში, ასევე ყოველდღიურ ცხოვრებაში სხვადასხვა მნიშვნელობებისა და რაოდენობების შესადარებლად. უმარტივეს შემთხვევაში, ორი რიცხვი შედარებულია, მაგრამ პროპორცია შეიძლება შეიცავდეს მნიშვნელობების ნებისმიერ რაოდენობას. ორი ან მეტი რაოდენობის შედარებისას, ყოველთვის შეგიძლიათ გამოიყენოთ პროპორცია. იმის ცოდნა, თუ როგორ უკავშირდება რაოდენობები ერთმანეთს, შესაძლებელს ხდის, მაგალითად, ჩაიწეროს ქიმიური ფორმულები ან რეცეპტები სხვადასხვა კერძებისთვის. პროპორციები გამოგადგებათ სხვადასხვა მიზნებისთვის.

1. გაიგე რას ნიშნავს პროპორცია.როგორც ზემოთ აღინიშნა, პროპორციები საშუალებას გაძლევთ განსაზღვროთ ურთიერთობა ორ ან მეტ რაოდენობას შორის. მაგალითად, თუ ფუნთუშის დასამზადებლად საჭიროა 2 ჭიქა ფქვილი და 1 ჭიქა შაქარი, ჩვენ ვამბობთ, რომ ფქვილისა და შაქრის რაოდენობას შორის არის 2-დან 1-მდე თანაფარდობა.

   • პროპორციებით შეგიძლიათ აჩვენოთ, თუ როგორ უკავშირდება ერთმანეთს სხვადასხვა რაოდენობა, მაშინაც კი, თუ ისინი პირდაპირ არ არის დაკავშირებული ერთმანეთთან (რეცეპტისგან განსხვავებით). მაგალითად, თუ კლასში არის ხუთი გოგონა და ათი ბიჭი, გოგონების რაოდენობის შეფარდება ბიჭების რაოდენობასთან არის 5-დან 10-მდე. ამ შემთხვევაში, ერთი რიცხვი არ არის დამოკიდებული მეორეზე და პირდაპირ არ არის დაკავშირებული. ეს: პროპორცია შეიძლება შეიცვალოს, თუ ვინმე ტოვებს კლასს ან პირიქით, მასში მოვლენ ახალი სტუდენტები. პროპორცია უბრალოდ საშუალებას გაძლევთ შეადაროთ ორი რაოდენობა.

2. ყურადღება მიაქციეთ პროპორციების გამოხატვის სხვადასხვა გზებს.პროპორციები შეიძლება დაიწეროს სიტყვებით ან მათემატიკური სიმბოლოების გამოყენება.

   • ყოველდღიურ ცხოვრებაში პროპორციები უფრო ხშირად გამოხატულია სიტყვებით (როგორც ზემოთ). პროპორციები გამოიყენება მრავალფეროვან სფეროებში და თუ თქვენი პროფესია არ არის დაკავშირებული მათემატიკასთან ან სხვა მეცნიერებასთან, ყველაზე ხშირად შეხვდებით პროპორციების წერის ამ ხერხს.
   • პროპორციები ხშირად იწერება ორწერტილით. პროპორციის გამოყენებით ორი რიცხვის შედარებისას, ისინი შეიძლება ჩაიწეროს ორწერტილით, მაგალითად, 7:13. თუ ორზე მეტი რიცხვის შედარება ხდება, ყოველ ორ რიცხვს შორის თანმიმდევრულად ჩასმულია ორწერტილი, მაგალითად 10:2:23. ზემოთ მოყვანილი კლასის მაგალითში, ჩვენ ვადარებთ გოგოებისა და ბიჭების რაოდენობას 5 გოგოს: 10 ბიჭს. ამრიგად, ამ შემთხვევაში, პროპორცია შეიძლება დაიწეროს როგორც 5:10.
   • ზოგჯერ პროპორციების წერისას გამოიყენება წილადის ნიშანი. ჩვენი კლასის მაგალითში, 5 გოგოსა და 10 ბიჭის თანაფარდობა დაიწერება როგორც 5/10. ამ შემთხვევაში, "გაყოფის" ნიშანი არ უნდა წაიკითხოთ და უნდა გვახსოვდეს, რომ ეს არ არის წილადი, არამედ ორი განსხვავებული რიცხვის თანაფარდობა.

   Მე -2 ნაწილი

   ოპერაციები პროპორციებით

   1. მიიტანეთ პროპორცია მის უმარტივეს ფორმამდე.პროპორციები შეიძლება გამარტივდეს, ისევე როგორც წილადები, მათი წევრების საერთო გამყოფის შემცირებით. პროპორციის გასამარტივებლად, გაყავით მასში არსებული ყველა რიცხვი საერთო გამყოფებზე. თუმცა, არ უნდა დაივიწყოს საწყისი მნიშვნელობები, რამაც გამოიწვია ეს პროპორცია.

      • ზემოთ მოყვანილ მაგალითში 5 გოგოსა და 10 ბიჭისგან შემდგარი კლასში (5:10), პროპორციის ორივე მხარეს აქვს 5-ის საერთო გამყოფი. ორივეს 5-ზე (ყველაზე დიდი საერთო გამყოფი) გავყოფთ, მივიღებთ თანაფარდობას 1 გოგო 2-მდე. ბიჭები (ე.ი. 1:2). თუმცა, გამარტივებული პროპორციის გამოყენებისას უნდა დაიმახსოვროთ საწყისი რიცხვები: კლასში არის არა 3 მოსწავლე, არამედ 15. შემცირებული პროპორცია მხოლოდ გვიჩვენებს თანაფარდობას გოგოებისა და ბიჭების რაოდენობას შორის. ყოველ გოგოზე ორი ბიჭია, მაგრამ ეს არ ნიშნავს რომ კლასში 1 გოგო და 2 ბიჭია.
      • ზოგიერთი პროპორცია არ ექვემდებარება გამარტივებას. მაგალითად, თანაფარდობა 3:56 არ შეიძლება შემცირდეს, რადგან პროპორციაში შემავალ რაოდენობებს არ აქვთ საერთო გამყოფი: 3 არის მარტივი რიცხვი, ხოლო 56 არ იყოფა 3-ზე.

   2. "სკალირების" პროპორციები შეიძლება გამრავლდეს ან გაიყოს.პროპორციები ხშირად გამოიყენება რიცხვების გაზრდის ან შესამცირებლად ერთმანეთის პროპორციულად. ყველა სიდიდის პროპორციულად გამრავლება ან გაყოფა იმავე რიცხვზე ინარჩუნებს მათ შორის თანაფარდობას უცვლელად. ამრიგად, პროპორციები შეიძლება გამრავლდეს ან გაიყოს "მასშტაბის" ფაქტორით.

      • დავუშვათ, მცხობელს უნდა გაასამმაგდეს ნამცხვრების რაოდენობა, რომელსაც ისინი აცხობენ. თუ ფქვილი და შაქარი მიიღება 2-დან 1-ის თანაფარდობით (2:1), ფუნთუშების რაოდენობა სამჯერ რომ გაიზარდოს, ეს პროპორცია უნდა გავამრავლოთ 3-ზე. შედეგი იქნება 6 ჭიქა ფქვილი 3 ჭიქა შაქარზე ( 6:3).
      • თქვენ ასევე შეგიძლიათ გააკეთოთ პირიქით. თუ მცხობელს სჭირდება ნამცხვრების რაოდენობის განახევრება, პროპორციის ორივე ნაწილი უნდა გაიყოს 2-ზე (ან გავამრავლოთ 1/2-ზე). შედეგი არის 1 ჭიქა ფქვილი ნახევარი ჭიქა (1/2, ან 0,5 ჭიქა) შაქარი.

   3. ისწავლეთ როგორ იპოვოთ უცნობი სიდიდე ორი ექვივალენტური პროპორციის გამოყენებით.კიდევ ერთი გავრცელებული პრობლემა, რომლისთვისაც ფართოდ გამოიყენება პროპორციები, არის უცნობი რაოდენობის პოვნა ერთ-ერთ პროპორციებში, თუ მოცემულია მის მსგავსი მეორე პროპორცია. წილადების გამრავლების წესი მნიშვნელოვნად ამარტივებს ამ ამოცანას. ჩაწერეთ თითოეული პროპორცია წილადად, შემდეგ გააიგივეთ ეს წილადები ერთმანეთთან და იპოვეთ სასურველი მნიშვნელობა.

      • დავუშვათ, რომ გვყავს მოსწავლეთა მცირე ჯგუფი 2 ბიჭი და 5 გოგონა. თუ გვინდა შევინარჩუნოთ თანაფარდობა ბიჭებსა და გოგოებს შორის, რამდენი ბიჭი უნდა იყოს კლასში, სადაც 20 გოგოა? პირველი, მოდით შევადგინოთ ორივე პროპორცია, რომელთაგან ერთი შეიცავს უცნობ მნიშვნელობას: 2 ბიჭი: 5 გოგო \u003d x ბიჭები: 20 გოგო. თუ პროპორციებს წილადებად დავწერთ, მივიღებთ 2/5 და x/20. განტოლების ორივე მხარის მნიშვნელებზე გამრავლების შემდეგ მივიღებთ განტოლებას 5x=40; 40-ს ვყოფთ 5-ზე და შედეგად ვპოულობთ x=8.

   ნაწილი 3

   შეცდომის გამოვლენა

   1. პროპორციებთან ურთიერთობისას მოერიდეთ შეკრებას და გამოკლებას.ბევრი პროპორციული პრობლემა ასე ჟღერს: „კერძის მოსამზადებლად საჭიროა 4 კარტოფილი და 5 სტაფილო. თუ გინდა 8 კარტოფილის გამოყენება, რამდენი სტაფილო გჭირდება?“ ბევრი უშვებს შეცდომას, უბრალოდ ცდილობს დაამატოს შესაბამისი მნიშვნელობები. თუმცა, იგივე პროპორციის შესანარჩუნებლად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ და არა დაამატოთ. აქ არის არასწორი და სწორი გამოსავალი ამ პრობლემისთვის:

      • არასწორი მეთოდი: ”8 - 4 = 4, ანუ რეცეპტს დაემატა 4 კარტოფილი. ასე რომ, თქვენ უნდა აიღოთ წინა 5 სტაფილო და დაუმატოთ 4, რომ ... რაღაც არ იყოს! პროპორციები განსხვავებულად მუშაობს. Მოდი კიდევ ვცადოთ".
      • სწორი მეთოდია: „8/4 = 2, ანუ კარტოფილის რაოდენობა გაორმაგდა. ეს ნიშნავს, რომ სტაფილოების რაოდენობაც უნდა გავამრავლოთ 2-ზე. 5 x 2 = 10, ანუ ახალ რეცეპტში 10 სტაფილო იყოს გამოყენებული.

   2. გადააკეთეთ ყველა მნიშვნელობა იმავე ერთეულებში.ზოგჯერ პრობლემა ჩნდება იმის გამო, რომ მნიშვნელობებს განსხვავებული ერთეული აქვთ. პროპორციის ჩაწერამდე, გადააქციეთ ყველა სიდიდე იმავე საზომ ერთეულებში. Მაგალითად:

      • დრაკონს აქვს 500 გრამი ოქრო და 10 კილოგრამი ვერცხლი. როგორია ოქროსა და ვერცხლის შეფარდება დრაკონის რეზერვებში?
      • გრამი და კილოგრამი სხვადასხვა საზომი ერთეულია, ამიტომ ისინი უნდა იყოს ერთიანი. 1 კილოგრამი = 1000 გრამი, ანუ 10 კილოგრამი = 10 კილოგრამი x 1000 გრამი/1 კილოგრამი = 10 x 1000 გრამი = 10000 გრამი.
      • ასე რომ, დრაკონს აქვს 500 გრამი ოქრო და 10000 გრამი ვერცხლი.
      • ოქროს მასის შეფარდება ვერცხლის მასასთან არის 500 გრამი ოქრო / 10000 გრამი ვერცხლი = 5/100 = 1/20.

   3. ჩაწერეთ საზომი ერთეულები ამოცანის ამოხსნაში.პროპორციებთან დაკავშირებული პრობლემების დროს შეცდომის პოვნა ბევრად უფრო ადვილია, თუ თითოეული მნიშვნელობის შემდეგ ჩაწერთ მის საზომ ერთეულს. გახსოვდეთ, რომ თუ მრიცხველსა და მნიშვნელს აქვთ ერთი და იგივე საზომი ერთეული, ისინი მცირდება. ყველა შესაძლო აბრევიატურის შემდეგ, პასუხში უნდა იყოს მიღებული სწორი საზომი ერთეულები.

      • მაგალითად: მოცემულია 6 ყუთი და ყოველ სამ ყუთში არის 9 ბურთი; რამდენი ბურთია?
      • არასწორი მეთოდი: 6 ყუთი x 3 ყუთი / 9 მარმარილო = ... ჰმ, არაფერი შემცირდა და პასუხი არის „ყუთები x ყუთები / მარმარილო“. ამას აზრი არ აქვს.
      • სწორი მეთოდი: 6 ყუთი x 9 ბურთი / 3 ყუთი = 6 ყუთი x 3 ბურთი / 1 ყუთი = 6 x 3 ბურთი / 1 = 18 ბურთი.

საშუალო სკოლის მათემატიკაში ამოცანების უმეტესობის გადასაჭრელად საჭიროა პროპორციების ცოდნა. ეს მარტივი უნარი დაგეხმარებათ არა მხოლოდ სახელმძღვანელოდან რთული სავარჯიშოების შესრულებაში, არამედ მათემატიკური მეცნიერების არსში ჩაღრმავებაში. როგორ გავაკეთოთ პროპორცია? ახლა მოდით გავარკვიოთ.

უმარტივესი მაგალითია პრობლემა, სადაც ცნობილია სამი პარამეტრი, ხოლო მეოთხე უნდა მოიძებნოს. პროპორციები, რა თქმა უნდა, განსხვავებულია, მაგრამ ხშირად თქვენ უნდა იპოვოთ გარკვეული რიცხვი პროცენტულად. მაგალითად, ბიჭს სულ ათი ვაშლი ჰქონდა. მეოთხე ნაწილი დედას გადასცა. რამდენი ვაშლი დარჩა ბიჭს? ეს არის უმარტივესი მაგალითი, რომელიც საშუალებას მოგცემთ გააკეთოთ პროპორცია. მთავარია ამის გაკეთება. თავდაპირველად ათი ვაშლი იყო. დაე იყოს 100%. ჩვენ აღვნიშნეთ მისი ყველა ვაშლი. მან მისცა მეოთხედი. 1/4=25/100. ასე რომ, მან დატოვა: 100% (ეს იყო თავდაპირველად) - 25% (მან მისცა) = 75%. ეს მაჩვენებელი გვიჩვენებს ნაყოფის ოდენობის პროცენტს, რომელიც დარჩა პირველ ხელმისაწვდომ ხილზე. ახლა გვაქვს სამი რიცხვი, რომლითაც უკვე შეგვიძლია პროპორციის ამოხსნა. 10 ვაშლი - 100%, Xვაშლი - 75%, სადაც x არის ხილის სასურველი რაოდენობა. როგორ გავაკეთოთ პროპორცია? აუცილებელია იმის გაგება, თუ რა არის ეს. მათემატიკურად ასე გამოიყურება. თანაბარი ნიშანი არის თქვენი გაგებისთვის.

10 ვაშლი = 100%;

x ვაშლი = 75%.

გამოდის, რომ 10/x = 100%/75. ეს არის პროპორციების მთავარი თვისება. ყოველივე ამის შემდეგ, რაც მეტი x, მით მეტი პროცენტია ეს რიცხვი ორიგინალიდან. ამ პროპორციას ვხსნით და ვიღებთ x=7,5 ვაშლს. რატომ გადაწყვიტა ბიჭმა არამთლიანი თანხის მიცემა, ჩვენ არ ვიცით. ახლა თქვენ იცით, როგორ გააკეთოთ პროპორცია. მთავარია იპოვოთ ორი თანაფარდობა, რომელთაგან ერთი შეიცავს სასურველ უცნობს.

პროპორციის ამოხსნა ხშირად მოდის მარტივ გამრავლებამდე და შემდეგ გაყოფამდე. ბავშვებს სკოლებში არ ასწავლიან, რატომ ხდება ასე. მიუხედავად იმისა, რომ მნიშვნელოვანია გვესმოდეს, რომ პროპორციული ურთიერთობები არის მათემატიკური კლასიკა, მეცნიერების არსი. პროპორციების ამოსახსნელად, თქვენ უნდა შეძლოთ წილადების მართვა. მაგალითად, ხშირად საჭიროა პროცენტების გადაყვანა ჩვეულებრივ წილადებად. ანუ 95%-იანი ჩანაწერი არ იმუშავებს. და თუ დაუყოვნებლივ დაწერთ 95/100, მაშინ შეგიძლიათ გააკეთოთ მყარი შემცირება ძირითადი დათვლის დაწყების გარეშე. დაუყოვნებლივ უნდა ითქვას, რომ თუ თქვენი პროპორცია აღმოჩნდა ორი უცნობი, მაშინ მისი მოგვარება შეუძლებელია. აქ ვერც ერთი პროფესორი ვერ დაგეხმარება. და თქვენს ამოცანას, სავარაუდოდ, აქვს უფრო რთული ალგორითმი სწორი მოქმედებებისთვის.

განვიხილოთ სხვა მაგალითი, სადაც პროცენტები არ არის. მძღოლმა იყიდა 5 ლიტრი ბენზინი 150 მანეთად. ფიქრობდა, რამდენს გადაიხდიდა 30 ლიტრ საწვავში. ამ პრობლემის გადასაჭრელად x-ით აღვნიშნავთ საჭირო თანხას. თქვენ შეგიძლიათ თავად მოაგვაროთ ეს პრობლემა და შემდეგ შეამოწმოთ პასუხი. თუ ჯერ არ გაერკვია როგორ გააკეთოთ პროპორცია, მაშინ შეხედეთ. 5 ლიტრი ბენზინი 150 რუბლია. როგორც პირველ მაგალითში, დავწეროთ 5ლ - 150რ. ახლა ვიპოვოთ მესამე ნომერი. რა თქმა უნდა, ეს არის 30 ლიტრი. დამეთანხმებით, რომ 30 ლ - x რუბლის წყვილი შესაბამისია ამ სიტუაციაში. გადავიდეთ მათემატიკური ენაზე.

5 ლიტრი - 150 რუბლი;

30 ლიტრი - x რუბლი;

ჩვენ ვხსნით ამ პროპორციას:

x = 900 რუბლი.

ასე გადავწყვიტეთ. თქვენს ამოცანაში არ დაგავიწყდეთ პასუხის ადეკვატურობის შემოწმება. ხდება ისე, რომ არასწორი გადაწყვეტილებით მანქანები საათში 5000 კილომეტრს არარეალურ სიჩქარეს აღწევენ და ა.შ. ახლა თქვენ იცით, როგორ გააკეთოთ პროპორცია. თქვენ ასევე შეგიძლიათ მისი მოგვარება. როგორც ხედავთ, ამაში არაფერია რთული.

დღეს ჩვენ ვაგრძელებთ ვიდეო გაკვეთილების სერიას პროცენტული ამოცანების შესახებ მათემატიკაში ერთიანი სახელმწიფო გამოცდიდან. კერძოდ, გავაანალიზებთ ორ ძალიან რეალურ პრობლემას ერთიანი სახელმწიფო გამოცდიდან და კიდევ ერთხელ ვნახავთ, რამდენად მნიშვნელოვანია პრობლემის მდგომარეობის ყურადღებით წაკითხვა და მისი სწორად ინტერპრეტაცია.

ასე რომ, პირველი ამოცანაა:

დავალება. მხოლოდ 95%-მა და ქალაქის 37500 კურსდამთავრებულმა გადაჭრა B1 პრობლემა სწორად. რამდენმა ადამიანმა გადაჭრა B1 პრობლემა სწორად?

ერთი შეხედვით, როგორც ჩანს, ეს არის ერთგვარი დავალება კეპებისთვის. მოსწონს:

დავალება. ხეზე 7 ჩიტი იყო. 3 მათგანი გაფრინდა. რამდენი ჩიტი გაფრინდა?

თუმცა, მოდით გავაკეთოთ მათემატიკა. პროპორციების მეთოდით მოვაგვარებთ. ასე რომ, ჩვენ გვყავს 37 500 სტუდენტი - ეს არის 100%. და ასევე არის გარკვეული რაოდენობის x მოსწავლეები, რაც არის ძალიან იღბლიანთა 95%, ვინც სწორად გადაჭრა პრობლემა B1. ჩვენ ვწერთ მას:

37 500 — 100%
X - 95%

თქვენ უნდა გააკეთოთ პროპორცია და იპოვოთ x. ჩვენ ვიღებთ:

ჩვენამდე არის კლასიკური პროპორცია, მაგრამ სანამ მთავარი თვისება გამოიყენებთ და გავამრავლებთ ჯვარედინად, მე ვთავაზობ განტოლების ორივე ნაწილი გავყოთ 100-ზე. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თითოეული წილადის მრიცხველში გადავკვეთავთ ორ ნულს. გადავწეროთ მიღებული განტოლება:

პროპორციის ძირითადი თვისების მიხედვით, უკიდურესი წევრთა ნამრავლი უდრის შუა წევრთა ნამრავლს. Სხვა სიტყვებით:

x = 375 95

ეს საკმაოდ დიდი რიცხვებია, ასე რომ თქვენ უნდა გაამრავლოთ ისინი სვეტზე. შეგახსენებთ, რომ კატეგორიულად აკრძალულია მათემატიკის გამოცდაზე კალკულატორის გამოყენება. ჩვენ ვიღებთ:

x = 35625

სულ პასუხი: 35625. ეს არის რამდენმა ადამიანმა გადაჭრა თავდაპირველი 37500-დან B1 პრობლემა სწორად. როგორც ხედავთ, ეს რიცხვები საკმაოდ ახლოსაა, რაც ლოგიკურია, რადგან 95% ასევე ძალიან ახლოსაა 100%-თან. ზოგადად, პირველი ამოცანა მოგვარებულია. გადავიდეთ მეორეზე.

ინტერესის პრობლემა #2

დავალება. ქალაქის 45000 კურსდამთავრებულიდან მხოლოდ 80%-მა გადაჭრა B9 პრობლემა სწორად. რამდენმა ადამიანმა გადაჭრა პრობლემა B9 არასწორად?

ჩვენ ვაგვარებთ იმავე გზით. თავდაპირველად 45000 კურსდამთავრებული იყო - ეს არის 100%. შემდეგ ამ რიცხვიდან უნდა შეირჩეს x კურსდამთავრებული, რომელიც უნდა იყოს თავდაპირველი რიცხვის 80%. ვიღებთ პროპორციას და ვხსნით:

45 000 — 100%
x - 80%

მე-2 წილადის მრიცხველსა და მნიშვნელში ერთი ნული შევამციროთ. მოდით, კიდევ ერთხელ გადავწეროთ მიღებული კონსტრუქცია:

პროპორციის მთავარი თვისება: უკიდურესი წევრების ნამრავლი უდრის შუა რიცხვების ნამრავლს. ჩვენ ვიღებთ:

45000 8 = x 10

ეს არის უმარტივესი წრფივი განტოლება. გამოვხატოთ მისგან x ცვლადი:

x = 45,000 8:10

ჩვენ ვამცირებთ ერთ ნულს 45000-ზე და 10-ზე, მნიშვნელი რჩება ერთი, ასე რომ ყველაფერი რაც გვჭირდება არის გამოსახვის მნიშვნელობის პოვნა:

x = 4500 8

თქვენ, რა თქმა უნდა, შეგიძლიათ გააკეთოთ იგივე, რაც წინა ჯერზე და გაამრავლოთ ეს რიცხვები სვეტში. ოღონდ ნუ გავურთულებთ ცხოვრებას და სვეტზე გამრავლების მაგივრად, რვიანს ვანაწილებთ ფაქტორებად:

x = 4500 2 2 2 = 9000 2 2 = 36,000

ახლა კი - ყველაზე მთავარი, რაზეც გაკვეთილის დასაწყისში ვისაუბრე. თქვენ უნდა ყურადღებით წაიკითხოთ პრობლემის მდგომარეობა!

რა უნდა ვიცოდეთ? რამდენმა ადამიანმა გადაჭრა პრობლემა B9 არ არის სწორი. და ჩვენ უბრალოდ ვიპოვეთ ის ადამიანები, რომლებმაც სწორად გადაწყვიტეს. ესენი აღმოჩნდა თავდაპირველი რიცხვის 80%, ე.ი. 36 000. ეს ნიშნავს, რომ საბოლოო პასუხის მისაღებად ჩვენი 80% უნდა გამოკლდეს სტუდენტების თავდაპირველ რაოდენობას. ჩვენ ვიღებთ:

45 000 − 36 000 = 9000

შედეგად მიღებული რიცხვი 9000 არის პრობლემის პასუხი. საერთო ჯამში, ამ ქალაქში 45000 კურსდამთავრებულიდან 9000-მა ადამიანმა B9 პრობლემა არასწორად გადაჭრა. ყველაფერი, ამოცანა მოგვარებულია.