გაუსის მეთოდს აქვს მთელი რიგი უარყოფითი მხარეები: შეუძლებელია იმის ცოდნა, სისტემა თანმიმდევრულია თუ არა, სანამ არ განხორციელდება გაუსის მეთოდში აუცილებელი ყველა ტრანსფორმაცია; გაუსის მეთოდი არ არის შესაფერისი სისტემებისთვის ასოების კოეფიციენტებით.

განვიხილოთ წრფივი განტოლებების სისტემების ამოხსნის სხვა მეთოდები. ეს მეთოდები იყენებს მატრიცის რანგის კონცეფციას და ნებისმიერი ერთობლივი სისტემის ამოხსნას ამცირებს იმ სისტემის ამოხსნამდე, რომელზეც ვრცელდება კრამერის წესი.

მაგალითი 1იპოვეთ შემდეგი წრფივი განტოლებათა სისტემის ზოგადი ამონახსნები შემცირებული ერთგვაროვანი სისტემის ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემის და არაჰომოგენური სისტემის კონკრეტული ამონახსნის გამოყენებით.

1. ვაკეთებთ მატრიცას ადა სისტემის გაძლიერებული მატრიცა (1)

2. გამოიკვლიეთ სისტემა (1) თავსებადობისთვის. ამისათვის ჩვენ ვპოულობთ მატრიცების რიგებს ადა https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">).თუ აღმოჩნდება, რომ მაშინ სისტემა (1) შეუთავსებელი. თუ ამას მივიღებთ , მაშინ ეს სისტემა თანმიმდევრულია და ჩვენ მოვაგვარებთ მას. (თანმიმდევრულობის კვლევა ეფუძნება კრონეკერ-კაპელის თეორემას).

ა. Ჩვენ ვიპოვეთ rA.

Პოვნა rA, განვიხილავთ მატრიცის პირველი, მეორე და ა.შ. რიგის თანმიმდევრულად არანულოვან მინორებს. ადა მათ გარშემო მყოფი არასრულწლოვნები.

M1=1≠0 (1 აღებულია მატრიცის ზედა მარცხენა კუთხიდან მაგრამ).

მოსაზღვრე M1ამ მატრიცის მეორე სტრიქონი და მეორე სვეტი. . ვაგრძელებთ საზღვარს M1მეორე სტრიქონი და მესამე სვეტი..gif" width="37" height="20 src=">. ახლა ჩვენ შემოვხაზავთ არა-ნულოვან მინორს М2′მეორე შეკვეთა.

Ჩვენ გვაქვს: (რადგან პირველი ორი სვეტი იგივეა)

(რადგან მეორე და მესამე სტრიქონები პროპორციულია).

ჩვენ ამას ვხედავთ rA=2, და არის მატრიცის საბაზისო მინორი ა.

ბ. Ჩვენ ვიპოვეთ .

საკმარისად ძირითადი მცირე М2′მატრიცები ასაზღვარი თავისუფალი წევრების სვეტით და ყველა ხაზით (გვაქვს მხოლოდ ბოლო ხაზი).

. აქედან გამომდინარეობს, რომ М3′′რჩება მატრიცის საბაზისო მინორი https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)

როგორც М2′- მატრიცის საბაზისო მინორი ასისტემები (2) , მაშინ ეს სისტემა სისტემის ტოლფასია (3) , რომელიც შედგება სისტემის პირველი ორი განტოლებისგან (2) (ამისთვის М2′არის A მატრიცის პირველ ორ რიგში).

(3)

ვინაიდან ძირითადი მინორი არის https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> (4)

ამ სისტემაში ორი თავისუფალი უცნობი ( x2 და x4 ). Ისე FSR სისტემები (4) შედგება ორი ხსნარისგან. მათ მოსაძებნად, ჩვენ ვაძლევთ უფასო უცნობებს (4) ღირებულებები პირველ რიგში x2=1 , x4=0 , და მერე - x2=0 , x4=1 .

ზე x2=1 , x4=0 ჩვენ ვიღებთ:

.

ეს სისტემა უკვე აქვს ერთადერთი რამ გამოსავალი (ის შეიძლება მოიძებნოს კრამერის წესით ან სხვა მეთოდით). თუ გამოვაკლებთ პირველ განტოლებას მეორე განტოლებას, მივიღებთ:

მისი გადაწყვეტილება იქნება x1= -1 , x3=0 . ღირებულებების გათვალისწინებით x2 და x4 , რომელიც ჩვენ მივეცით, ვიღებთ სისტემის პირველ ფუნდამენტურ გადაწყვეტას (2) : .

ახლა ჩავსვით (4) x2=0 , x4=1 . ჩვენ ვიღებთ:

.

ჩვენ ამ სისტემას ვხსნით კრამერის თეორემის გამოყენებით:

.

ჩვენ ვიღებთ სისტემის მეორე ფუნდამენტურ გადაწყვეტას (2) : .

გადაწყვეტილებები β1 , β2 და შეადგინეთ FSR სისტემები (2) . მაშინ მისი ზოგადი გადაწყვეტა იქნება

γ= C1 β1+С2β2=С1(-1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(-С1+5С2, С1, 4С2, С2)

Აქ C1 , C2 არის თვითნებური მუდმივები.

4. იპოვე ერთი კერძო გადაწყვეტილება ჰეტეროგენული სისტემა(1) . როგორც აბზაცში 3 , სისტემის ნაცვლად (1) განიხილეთ ექვივალენტური სისტემა (5) , რომელიც შედგება სისტემის პირველი ორი განტოლებისგან (1) .

(5)

თავისუფალ უცნობებს მარჯვენა მხარეს გადავიტანთ x2და x4.

(6)

მოდით მივცეთ უფასო უცნობი x2 და x4 თვითნებური მნიშვნელობები, მაგალითად, x2=2 , x4=1 და შეაერთეთ ისინი (6) . ავიღოთ სისტემა

ამ სისტემას აქვს უნიკალური გადაწყვეტა (რადგან მისი განმსაზღვრელი М2′0). მისი ამოხსნით (კრამერის თეორემის ან გაუსის მეთოდის გამოყენებით) მივიღებთ x1=3 , x3=3 . უფასო უცნობის მნიშვნელობების გათვალისწინებით x2 და x4 , ვიღებთ არაჰომოგენური სისტემის კონკრეტული გადაწყვეტა(1)α1=(3,2,3,1).

5. ახლა რჩება წერა არაჰომოგენური სისტემის α ზოგადი ამოხსნა(1) : უდრის ჯამს პირადი გადაწყვეტილებაეს სისტემა და მისი შემცირებული ერთგვაროვანი სისტემის ზოგადი გადაწყვეტა (2) :

α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2).

Ეს ნიშნავს: (7)

6. ექსპერტიზა.შეამოწმეთ, სწორად მოაგვარეთ სისტემა (1) , ჩვენ გვჭირდება ზოგადი გადაწყვეტა (7) შემცვლელი (1) . თუ თითოეული განტოლება ხდება იდენტურობა ( C1 და C2 უნდა განადგურდეს), მაშინ გამოსავალი სწორად არის ნაპოვნი.

ჩავანაცვლებთ (7) მაგალითად, მხოლოდ სისტემის ბოლო განტოლებაში (1) (x1 + x2 + x3 ‑9 x4 =‑1) .

ვიღებთ: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1

(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1

სადაც -1=-1. ჩვენ მივიღეთ ვინაობა. ჩვენ ამას ვაკეთებთ სისტემის ყველა სხვა განტოლებით (1) .

კომენტარი.გადამოწმება, როგორც წესი, საკმაოდ რთულია. ჩვენ შეგვიძლია გირჩიოთ შემდეგი „ნაწილობრივი შემოწმება“: სისტემის საერთო გადაწყვეტაში (1) მიანიჭეთ რამდენიმე მნიშვნელობა თვითნებურ მუდმივებს და ჩაანაცვლეთ მიღებული კონკრეტული ამონახსნები მხოლოდ გაუქმებულ განტოლებებში (ანუ იმ განტოლებებში). (1) რომლებიც არ შედის (5) ). თუ თქვენ მიიღებთ პირადობას, მაშინ უფრო მეტად, სისტემის გადაწყვეტა (1) სწორად ნაპოვნი (მაგრამ ასეთი შემოწმება არ იძლევა სისწორის სრულ გარანტიას!). მაგალითად, თუ შიგნით (7) დადება C2=- 1 , C1=1, მაშინ მივიღებთ: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. (1) სისტემის ბოლო განტოლებაში ჩანაცვლებით, გვაქვს: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , ანუ –1=–1. ჩვენ მივიღეთ ვინაობა.

მაგალითი 2იპოვნეთ წრფივი განტოლებათა სისტემის ზოგადი ამონახსნი (1) , ძირითად უცნობებს თავისუფლად გამოხატავს.

გადაწყვეტილება.Როგორც მაგალითი 1, მატრიცების შედგენა ადა ამ მატრიცებიდან https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50">. ახლა მხოლოდ სისტემის იმ განტოლებებს ვტოვებთ (1) , რომლის კოეფიციენტები შედის ამ ძირითად მინორში (ანუ გვაქვს პირველი ორი განტოლება) და განვიხილავთ მათგან შემდგარ სისტემას, რომელიც უდრის სისტემას (1).

მოდით გადავიტანოთ თავისუფალი უცნობიები ამ განტოლებების მარჯვენა მხარეს.

სისტემა (9) ჩვენ ვხსნით გაუსის მეთოდით, განვიხილავთ სწორ ნაწილებს, როგორც თავისუფალ წევრებს.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">

ვარიანტი 2.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">

ვარიანტი 4.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">

ვარიანტი 5.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">

ვარიანტი 6.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">

წრფივი ალგებრული განტოლებების ჰომოგენური სისტემები

გაკვეთილების ფარგლებში გაუსის მეთოდიდა შეუთავსებელი სისტემები/სისტემები საერთო გადაწყვეტითგანვიხილეთ წრფივი განტოლებათა არაჰომოგენური სისტემები, სად თავისუფალი წევრი(რომელიც ჩვეულებრივ მარჯვნივ არის) ერთი მაინცგანტოლებები განსხვავდებოდა ნულისაგან.
ახლა კი, კარგი გახურების შემდეგ მატრიცის რანგი, ჩვენ გავაგრძელებთ ტექნიკის გაპრიალებას ელემენტარული გარდაქმნებიზე წრფივი განტოლებათა ერთგვაროვანი სისტემა.
პირველი აბზაცების მიხედვით, მასალა შეიძლება მოსაწყენი და ჩვეულებრივი ჩანდეს, მაგრამ ეს შთაბეჭდილება მატყუარაა. ტექნიკის შემდგომი განვითარების გარდა, იქნება ბევრი ახალი ინფორმაცია, ამიტომ გთხოვთ, ეცადეთ, უგულებელყოთ ამ სტატიაში მოცემული მაგალითები.

რა არის წრფივი განტოლებათა ერთგვაროვანი სისტემა?

პასუხი თავისთავად გვთავაზობს. წრფივი განტოლებათა სისტემა ერთგვაროვანია, თუ თავისუფალი წევრია ყველასსისტემის განტოლება არის ნული. Მაგალითად:

სავსებით ნათელია, რომ ერთგვაროვანი სისტემა ყოველთვის თანმიმდევრულია, ანუ ყოველთვის აქვს გამოსავალი. და, პირველ რიგში, ე.წ ტრივიალურიგადაწყვეტილება . ტრივიალური, მათთვის, ვისაც საერთოდ არ ესმის ზედსართავი სახელის მნიშვნელობა, ნიშნავს bespontovoe. აკადემიურად არა, რა თქმა უნდა, მაგრამ გასაგებად =) ... რატომ სცემეს ბუჩქის გარშემო, მოდით გავარკვიოთ აქვს თუ არა ამ სისტემას სხვა გადაწყვეტილებები:

მაგალითი 1

გადაწყვეტილება: ერთგვაროვანი სისტემის ამოსახსნელად საჭიროა ჩაწერა სისტემის მატრიცადა ელემენტარული გარდაქმნების დახმარებით მიიყვანეთ იგი საფეხურზე. გაითვალისწინეთ, რომ აქ არ არის საჭირო თავისუფალი წევრების ვერტიკალური ზოლის და ნულოვანი სვეტის ჩაწერა - რადგან რასაც არ უნდა აკეთებთ ნულებთან, ისინი დარჩება ნულოვანი:

(1) პირველი რიგი დაემატა მეორე რიგს, გამრავლებული -2-ზე. პირველი ხაზი დაემატა მესამე სტრიქონს, გამრავლებული -3-ზე.

(2) მესამე სტრიქონს დაემატა მეორე სტრიქონი, გამრავლებული -1-ზე.

მესამე რიგის 3-ზე გაყოფას დიდი აზრი არ აქვს.

ელემენტარული გარდაქმნების შედეგად მიიღება ეკვივალენტური ერთგვაროვანი სისტემა და, გაუსიანი მეთოდის საპირისპირო სვლის გამოყენებით, ადვილია იმის გადამოწმება, რომ ამოხსნა უნიკალურია.

უპასუხე:

მოდით ჩამოვაყალიბოთ აშკარა კრიტერიუმი: წრფივი განტოლებათა ერთგვაროვანი სისტემა აქვს მხოლოდ ტრივიალური გამოსავალი, თუ სისტემის მატრიცის რანგი(ამ შემთხვევაში 3) უდრის ცვლადების რაოდენობას (ამ შემთხვევაში 3 ცალი).

ჩვენ ვათბობთ და ვარეგულირებთ ჩვენს რადიოს ელემენტარული გარდაქმნების ტალღას:

მაგალითი 2

ამოხსენით წრფივი განტოლებათა ერთგვაროვანი სისტემა

სტატიიდან როგორ მოვძებნოთ მატრიცის წოდება?ჩვენ გავიხსენებთ მატრიცის რიცხვების შემთხვევით შემცირების რაციონალურ მეთოდს. წინააღმდეგ შემთხვევაში მოგიწევთ დიდი და ხშირად მკბენი თევზის დაკვლა. დავალების მაგალითი გაკვეთილის ბოლოს.

ნულები კარგი და მოსახერხებელია, მაგრამ პრაქტიკაში ეს ბევრად უფრო ხშირია, როდესაც სისტემის მატრიცის რიგები წრფივად დამოკიდებული. შემდეგ კი ზოგადი გადაწყვეტის გამოჩენა გარდაუვალია:

მაგალითი 3

ამოხსენით წრფივი განტოლებათა ერთგვაროვანი სისტემა

გადაწყვეტილება: ვწერთ სისტემის მატრიცას და ელემენტარული გარდაქმნების გამოყენებით მივყავართ საფეხურ ფორმამდე. პირველი მოქმედება მიზნად ისახავს არა მხოლოდ ერთი მნიშვნელობის მიღებას, არამედ პირველ სვეტში რიცხვების შემცირებას:

(1) მესამე მწკრივი დაემატა პირველ რიგში, გამრავლებული -1-ზე. მეორე სტრიქონს დაემატა მესამე სტრიქონი, გამრავლებული -2-ზე. ზედა მარცხნივ, მე მივიღე ერთეული "მინუსით", რომელიც ხშირად ბევრად უფრო მოსახერხებელია შემდგომი გარდაქმნებისთვის.

(2) პირველი ორი ხაზი იგივეა, ერთი მათგანი ამოღებულია. პატიოსნად, მე არ შევცვალე გადაწყვეტილება - ეს მოხდა. თუ თქვენ ასრულებთ გარდაქმნებს შაბლონში, მაშინ ხაზოვანი დამოკიდებულებახაზები ცოტა მოგვიანებით გამოჩნდება.

(3) მესამე სტრიქონს დაამატეთ მეორე სტრიქონი, გამრავლებული 3-ზე.

(4) პირველი ხაზის ნიშანი შეიცვალა.

ელემენტარული გარდაქმნების შედეგად მიიღება ეკვივალენტური სისტემა:

ალგორითმი მუშაობს ზუსტად ისევე, როგორც ამისთვის ჰეტეროგენული სისტემები. ცვლადები „საფეხურებზე მჯდომარე“ არის მთავარი, ცვლადი, რომელმაც „ნაბიჯები“ ვერ მიიღო, უფასოა.

ჩვენ გამოვხატავთ ძირითად ცვლადებს თავისუფალი ცვლადის მიხედვით:

უპასუხე: საერთო გადაწყვეტილება:

ტრივიალური გამოსავალი შედის ზოგად ფორმულაში და ზედმეტია მისი ცალკე დაწერა.

გადამოწმება ასევე ხორციელდება ჩვეულებრივი სქემის მიხედვით: მიღებული ზოგადი ამონახსნი უნდა შეიცვალოს სისტემის თითოეული განტოლების მარცხენა მხარეს და მიიღება კანონიერი ნული ყველა ჩანაცვლებისთვის.

ეს შეიძლება მშვიდად დასრულდეს, მაგრამ განტოლებათა ერთგვაროვანი სისტემის ამონახსნები ხშირად უნდა იყოს წარმოდგენილი ვექტორული სახითმეშვეობით ფუნდამენტური გადაწყვეტილების სისტემა. გთხოვთ დროებით დაივიწყოთ ანალიტიკური გეომეტრია, რადგან ახლა ვისაუბრებთ ვექტორებზე ზოგადი ალგებრული გაგებით, რომელიც ოდნავ გავხსენი სტატიაში მატრიცის რანგი. ტერმინოლოგია არ არის საჭირო დაჩრდილვისთვის, ყველაფერი საკმაოდ მარტივია.

მაგალითი 1. იპოვნეთ ზოგადი ამონახსნები და გადაწყვეტილებების ზოგიერთი ფუნდამენტური სისტემა სისტემისთვის

გადაწყვეტილებაიპოვნეთ კალკულატორით. ამოხსნის ალგორითმი იგივეა, რაც წრფივი არაერთგვაროვანი განტოლებების სისტემებისთვის.
ვმუშაობთ მხოლოდ მწკრივებით, ვპოულობთ მატრიცის წოდებას, ძირითად მინორს; ვაცხადებთ დამოკიდებულ და თავისუფალ უცნობებს და ვპოულობთ ზოგად გამოსავალს.

პირველი და მეორე სტრიქონები პროპორციულია, ერთი მათგანი წაიშლება:

.
დამოკიდებული ცვლადები - x 2, x 3, x 5, უფასო - x 1, x 4. პირველი განტოლებიდან 10x 5 = 0 ვპოულობთ x 5 = 0, შემდეგ
; .
ზოგადი გამოსავალი ასე გამოიყურება:

ჩვენ ვპოულობთ ამონახსნების ფუნდამენტურ სისტემას, რომელიც შედგება (n-r) ამონახსნებისაგან. ჩვენს შემთხვევაში n=5, r=3, მაშასადამე, ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემა შედგება ორი ამონახსნისაგან და ეს ამონახსნები წრფივად დამოუკიდებელი უნდა იყოს. იმისათვის, რომ სტრიქონები იყოს წრფივად დამოუკიდებელი, აუცილებელია და საკმარისია, რომ მწკრივების ელემენტებისაგან შედგენილი მატრიცის რანგი ტოლი იყოს მწკრივების რაოდენობასთან, ანუ 2. საკმარისია მივცეთ თავისუფალი უცნობი x 1 და x. 4 მნიშვნელობა მეორე რიგის განმსაზღვრელი რიგებიდან, რომელიც განსხვავდება ნულიდან და გამოთვალეთ x 2 , x 3 , x 5 . უმარტივესი არანულოვანი განმსაზღვრელი არის .
ასე რომ, პირველი გამოსავალი არის: , მეორე - .
ეს ორი გადაწყვეტილება წარმოადგენს გადაწყვეტილების ფუნდამენტურ სისტემას. გაითვალისწინეთ, რომ ფუნდამენტური სისტემა არ არის უნიკალური (ნულის გარდა სხვა განმსაზღვრელი შეიძლება შედგეს რამდენიც გსურთ).

მაგალითი 2 . იპოვეთ სისტემის ზოგადი ამონახსნები და ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემა
გადაწყვეტილება.



,
აქედან გამომდინარეობს, რომ მატრიცის რანგი არის 3 და უდრის უცნობის რაოდენობას. ეს ნიშნავს, რომ სისტემას არ აქვს თავისუფალი უცნობები და, შესაბამისად, აქვს უნიკალური გადაწყვეტა - ტრივიალური.

ვარჯიში . შეისწავლეთ და ამოხსენით წრფივი განტოლებათა სისტემა.
მაგალითი 4

ვარჯიში . იპოვნეთ ზოგადი და კონკრეტული გადაწყვეტილებები თითოეული სისტემისთვის.
გადაწყვეტილება.ჩვენ ვწერთ სისტემის მთავარ მატრიცას:

5	-2	9	-4	-1
1	4	2	2	-5
6	2	11	-2	-6
x 1	x2	x 3	x4	x5

მატრიცას სამკუთხა ფორმამდე მივყავართ. ჩვენ ვიმუშავებთ მხოლოდ მწკრივებთან, რადგან მატრიცის მწკრივის გამრავლება არანულოვანი რიცხვით და სისტემის სხვა მწკრივზე მიმატება ნიშნავს განტოლების იმავე რიცხვზე გამრავლებას და სხვა განტოლებაში დამატებას, რომელიც არ ცვლის ამონახს. სისტემის.
გავამრავლოთ მე-2 რიგი (-5-ზე). დავუმატოთ მე-2 სტრიქონი პირველს:

0	-22	-1	-14	24
1	4	2	2	-5
6	2	11	-2	-6

გავამრავლოთ მე-2 რიგი (6-ზე). გავამრავლოთ მე-3 რიგი (-1). დავუმატოთ მე-3 სტრიქონი მე-2ს:
იპოვეთ მატრიცის რანგი.

0	22	1	14	-24
6	2	11	-2	-6
x 1	x2	x 3	x4	x5

ხაზგასმული მინორს აქვს უმაღლესი რიგი (შესაძლო მინორებს შორის) და არ არის ნულოვანი (ის ტოლია ელემენტების ნამრავლის საპასუხო დიაგონალზე), შესაბამისად, რანგი (A) = 2.
ეს მინორი არის ძირითადი. იგი მოიცავს კოეფიციენტებს უცნობი x 1, x 2, რაც ნიშნავს, რომ უცნობი x 1, x 2 არის დამოკიდებული (ძირითადი), ხოლო x 3, x 4, x 5 თავისუფალია.
ჩვენ გარდაქმნით მატრიცას და ვტოვებთ მხოლოდ ძირითად მინორს მარცხნივ.

0	22	14	-1	-24
6	2	-2	-11	-6
x 1	x2	x4	x 3	x5

სისტემა ამ მატრიცის კოეფიციენტებით არის ორიგინალური სისტემის ექვივალენტური და აქვს ფორმა:
22x2 = 14x4 - x3 - 24x5
6x1 + 2x2 = - 2x4 - 11x3 - 6x5
უცნობის აღმოფხვრის მეთოდით ვპოულობთ არა ტრივიალური გადაწყვეტა:
ჩვენ მივიღეთ ურთიერთობები, რომლებიც გამოხატავს დამოკიდებული ცვლადებს x 1 , x 2 თავისუფალი x 3 , x 4 , x 5 , ანუ ვიპოვეთ საერთო გადაწყვეტილება:
x2 = 0.64x4 - 0.0455x3 - 1.09x5
x 1 = - 0,55x 4 - 1,82x 3 - 0,64x 5
ჩვენ ვპოულობთ ამონახსნების ფუნდამენტურ სისტემას, რომელიც შედგება (n-r) ამონახსნებისაგან.
ჩვენს შემთხვევაში n=5, r=2, მაშასადამე, ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემა შედგება 3 ამონახსნისგან და ეს ამონახსნები წრფივად დამოუკიდებელი უნდა იყოს.
იმისათვის, რომ რიგები იყოს წრფივად დამოუკიდებელი, აუცილებელია და საკმარისია, რომ მწკრივების ელემენტებით შედგენილი მატრიცის რანგი ტოლი იყოს მწკრივების რაოდენობაზე, ანუ 3.
საკმარისია მივცეთ უფასო უცნობი x 3, x 4, x 5 მნიშვნელობები მე-3 რიგის განმსაზღვრელი რიგებიდან, ნულისაგან განსხვავებული და გამოვთვალოთ x 1, x 2.
უმარტივესი არანულოვანი განმსაზღვრელი არის იდენტურობის მატრიცა.

1	0	0
0	1	0
0	0	1

დავალება . იპოვეთ ამონახსნების ფუნდამენტური ნაკრები წრფივი განტოლებათა ერთგვაროვანი სისტემისთვის.

სკოლაშიც კი თითოეული ჩვენგანი სწავლობდა განტოლებებს და, რა თქმა უნდა, განტოლებათა სისტემებს. მაგრამ ბევრმა არ იცის, რომ მათი გადაჭრის რამდენიმე გზა არსებობს. დღეს ჩვენ დეტალურად გავაანალიზებთ წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემის ამოხსნის ყველა მეთოდს, რომელიც შედგება ორზე მეტი ტოლობისგან.

ამბავი

დღეს ცნობილია, რომ განტოლებების და მათი სისტემების ამოხსნის ხელოვნება წარმოიშვა ძველ ბაბილონსა და ეგვიპტეში. თუმცა, თანასწორობა ჩვეულ ფორმაში გაჩნდა ტოლობის ნიშნის "=""-ის გაჩენის შემდეგ, რომელიც 1556 წელს შემოიღო ინგლისელმა მათემატიკოსმა რეკორდმა. სხვათა შორის, ეს ნიშანი შეირჩა მიზეზით: ეს ნიშნავს ორ პარალელურ თანაბარ სეგმენტს. მართლაც, არ არსებობს თანასწორობის უკეთესი მაგალითი.

უცნობის თანამედროვე ასოების აღნიშვნებისა და ხარისხების ნიშნების ფუძემდებელი ფრანგი მათემატიკოსია, თუმცა მისი აღნიშვნები მნიშვნელოვნად განსხვავდებოდა დღევანდელისაგან. მაგალითად, უცნობი რიცხვის კვადრატს აღნიშნა Q ასოთი (ლათ. „quadratus“), კუბი კი ასო C-ით (ლათ. „cubus“). ეს აღნიშვნები ახლა უხერხულად გამოიყურება, მაგრამ მაშინ ეს იყო ყველაზე გასაგები გზა წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემების დასაწერად.

თუმცა, გადაწყვეტის მაშინდელი მეთოდების ნაკლი ის იყო, რომ მათემატიკოსები მხოლოდ დადებით ფესვებს თვლიდნენ. შესაძლოა, ეს გამოწვეულია იმით, რომ უარყოფით მნიშვნელობებს პრაქტიკული გამოყენება არ ჰქონდათ. ასეა თუ ისე, ეს იყო იტალიელი მათემატიკოსები ნიკოლო ტარტალია, ჯეროლამო კარდანო და რაფაელ ბომბელი, ვინც პირველებმა განიხილეს უარყოფითი ფესვები მე-16 საუკუნეში. ხოლო თანამედროვე შეხედულება, ძირითადი გადაწყვეტის მეთოდი (დისკრიმინანტის საშუალებით) შეიქმნა მხოლოდ მე-17 საუკუნეში დეკარტისა და ნიუტონის ნაშრომის წყალობით.

მე-18 საუკუნის შუა ხანებში შვეიცარიელმა მათემატიკოსმა გაბრიელ კრამერმა იპოვა წრფივი განტოლებების სისტემების ამოხსნის ახალი გზა. ამ მეთოდს შემდგომში მისი სახელი დაარქვეს და დღემდე ვიყენებთ. მაგრამ კრამერის მეთოდზე ცოტა მოგვიანებით ვისაუბრებთ, მაგრამ ჯერ-ჯერობით განვიხილავთ წრფივ განტოლებებს და მათ ამოხსნის მეთოდებს სისტემისგან განცალკევებით.

წრფივი განტოლებები

წრფივი განტოლებები არის უმარტივესი ტოლობები ცვლად(ებ)ებთან. ისინი კლასიფიცირდება როგორც ალგებრული. დაწერეთ ზოგადი ფორმით შემდეგნაირად: a 1 * x 1 + a 2 * x 2 + ... და n * x n \u003d b. მათი წარმოდგენა ამ ფორმით დაგვჭირდება შემდგომი სისტემებისა და მატრიცების შედგენისას.

წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემები

ამ ტერმინის განმარტება ასეთია: ეს არის განტოლებათა ერთობლიობა, რომლებსაც აქვთ საერთო უცნობი და საერთო ამონახსნები. როგორც წესი, სკოლაში ყველაფერს ხსნიდნენ სისტემებით ორი ან თუნდაც სამი განტოლებით. მაგრამ არსებობს სისტემები ოთხი ან მეტი კომპონენტით. ჯერ გავარკვიოთ, როგორ ჩავწეროთ ისინი, რათა შემდგომში მოსახერხებელი იყოს მათი გადაჭრა. პირველი, წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემები უკეთესად გამოიყურებიან, თუ ყველა ცვლადი დაიწერება x-დ შესაბამისი ინდექსით: 1,2,3 და ა.შ. მეორეც, ყველა განტოლება უნდა მივიღოთ კანონიკურ ფორმამდე: a 1 * x 1 + a 2 * x 2 + ... a n * x n =b.

ყველა ამ მოქმედების შემდეგ, ჩვენ შეგვიძლია დავიწყოთ საუბარი იმაზე, თუ როგორ მოვძებნოთ ამოხსნა წრფივი განტოლებების სისტემებისთვის. მატრიცები ძალიან სასარგებლოა ამისთვის.

მატრიცები

მატრიცა არის ცხრილი, რომელიც შედგება რიგებისა და სვეტებისგან და მათ კვეთაზე არის მისი ელემენტები. ეს შეიძლება იყოს კონკრეტული მნიშვნელობები ან ცვლადები. ყველაზე ხშირად, ელემენტების დასანიშნად, ხელმოწერები მოთავსებულია მათ ქვეშ (მაგალითად, 11 ან 23). პირველი ინდექსი ნიშნავს მწკრივის ნომერს, ხოლო მეორე - სვეტის ნომერს. მატრიცებზე, ისევე როგორც ნებისმიერ სხვა მათემატიკურ ელემენტზე, შეგიძლიათ შეასრულოთ სხვადასხვა ოპერაციები. ამრიგად, თქვენ შეგიძლიათ:

2) გაამრავლეთ მატრიცა რომელიმე რიცხვზე ან ვექტორზე.

3) ტრანსპოზირება: გადააქციეთ მატრიცის რიგები სვეტებად და სვეტები მწკრივად.

4) გაამრავლეთ მატრიცები, თუ ერთი მათგანის მწკრივების რაოდენობა უდრის მეორის სვეტების რაოდენობას.

ყველა ამ ტექნიკას უფრო დეტალურად განვიხილავთ, რადგან ისინი მომავალში გამოგვადგება. მატრიცების გამოკლება და დამატება ძალიან მარტივია. ვინაიდან ჩვენ ვიღებთ ერთი და იგივე ზომის მატრიცებს, ერთი ცხრილის თითოეული ელემენტი შეესაბამება მეორის თითოეულ ელემენტს. ამრიგად, ჩვენ ვამატებთ (გამოვაკლებთ) ამ ორ ელემენტს (მნიშვნელოვანია, რომ ისინი ერთსა და იმავე ადგილებში იყვნენ თავიანთ მატრიცებში). მატრიცის რიცხვზე ან ვექტორზე გამრავლებისას, თქვენ უბრალოდ უნდა გაამრავლოთ მატრიცის თითოეული ელემენტი ამ რიცხვზე (ან ვექტორზე). ტრანსპოზიცია ძალიან საინტერესო პროცესია. ძალიან საინტერესოა ხანდახან მისი ნახვა რეალურ ცხოვრებაში, მაგალითად, ტაბლეტის ან ტელეფონის ორიენტაციის შეცვლისას. დესკტოპის ხატები არის მატრიცა და როცა პოზიციის შეცვლას ახდენთ, ის ტრანსპონირდება და ფართოვდება, მაგრამ სიმაღლეში იკლებს.

მოდით გავაანალიზოთ ისეთი პროცესი, როგორიც არის, მიუხედავად იმისა, რომ ის ჩვენთვის სასარგებლო არ იქნება, ამის ცოდნა მაინც სასარგებლო იქნება. თქვენ შეგიძლიათ გაამრავლოთ ორი მატრიცა მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ერთ ცხრილში სვეტების რაოდენობა უდრის მეორეში მწკრივების რაოდენობას. ახლა ავიღოთ ერთი მატრიცის მწკრივის ელემენტები და მეორის შესაბამისი სვეტის ელემენტები. ვამრავლებთ მათ ერთმანეთზე და შემდეგ ვამატებთ (ანუ, მაგალითად, a 11 და a 12 ელემენტების ნამრავლი b 12-ზე და b 22-ზე ტოლი იქნება: a 11 * b 12 + a 12 * b 22) . ამრიგად, მიიღება ცხრილის ერთი ელემენტი და იგი შემდგომში ივსება მსგავსი მეთოდით.

ახლა ჩვენ შეგვიძლია დავიწყოთ განხილვა, თუ როგორ არის ამოხსნილი წრფივი განტოლებათა სისტემა.

გაუსის მეთოდი

ეს თემა სკოლაში იწყება. ჩვენ კარგად ვიცით „ორი წრფივი განტოლების სისტემის“ ცნება და ვიცით მათი ამოხსნა. მაგრამ რა მოხდება, თუ განტოლებების რაოდენობა ორზე მეტია? ეს დაგვეხმარება

რა თქმა უნდა, ეს მეთოდი მოსახერხებელია გამოსაყენებლად, თუ თქვენ გააკეთებთ მატრიცას სისტემიდან. მაგრამ თქვენ არ შეგიძლიათ მისი გარდაქმნა და მისი სუფთა სახით გადაჭრა.

მაშ, როგორ იხსნება ხაზოვანი გაუსის განტოლებათა სისტემა ამ მეთოდით? სხვათა შორის, მიუხედავად იმისა, რომ ეს მეთოდი მის სახელს ატარებს, ის ძველ დროში აღმოაჩინეს. გაუსი გვთავაზობს შემდეგს: ოპერაციების განხორციელება განტოლებებით, რათა საბოლოოდ შევიყვანოთ მთელი ნაკრები საფეხურზე. ანუ აუცილებელია, რომ ზემოდან ქვევით (თუ სწორად არის მოთავსებული) პირველი განტოლებიდან ბოლომდე ერთი უცნობი შემცირდეს. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ჩვენ უნდა დავრწმუნდეთ, რომ მივიღოთ, ვთქვათ, სამი განტოლება: პირველში - სამი უცნობი, მეორეში - ორი, მესამეში - ერთი. შემდეგ ბოლო განტოლებიდან ვპოულობთ პირველ უცნობს, ვცვლით მის მნიშვნელობას მეორე ან პირველ განტოლებაში და შემდეგ ვიპოვით დარჩენილ ორ ცვლადს.

კრამერის მეთოდი

ამ მეთოდის დასაუფლებლად სასიცოცხლოდ მნიშვნელოვანია მატრიცების შეკრების, გამოკლების უნარების დაუფლება და ასევე უნდა შეძლოთ დეტერმინანტების პოვნა. ამიტომ, თუ ამ ყველაფერს ცუდად აკეთებთ ან საერთოდ არ იცით როგორ, მოგიწევთ ისწავლოთ და ივარჯიშოთ.

რა არის ამ მეთოდის არსი და როგორ გავაკეთოთ ის ისე, რომ მივიღოთ წრფივი კრამერის განტოლებათა სისტემა? ყველაფერი ძალიან მარტივია. ხაზოვანი ალგებრული განტოლებების სისტემის რიცხვითი (თითქმის ყოველთვის) კოეფიციენტებიდან უნდა ავაშენოთ მატრიცა. ამისათვის ჩვენ უბრალოდ ვიღებთ რიცხვებს უცნობის წინ და ვათავსებთ ცხრილში იმ თანმიმდევრობით, როგორიც სისტემაშია ჩაწერილი. თუ რიცხვს წინ უძღვის "-" ნიშანი, მაშინ ჩავწერთ უარყოფით კოეფიციენტს. ასე რომ, ჩვენ შევადგინეთ პირველი მატრიცა უცნობის კოეფიციენტებიდან, ტოლობის ნიშნების შემდეგ რიცხვების გარეშე (ბუნებრივია, განტოლება უნდა შემცირდეს კანონიკურ ფორმამდე, როდესაც მხოლოდ რიცხვია მარჯვნივ და ყველა უცნობი კოეფიციენტები მარცხნივ). შემდეგ თქვენ უნდა შექმნათ კიდევ რამდენიმე მატრიცა - თითო თითოეული ცვლადი. ამისათვის პირველ მატრიცაში, თავის მხრივ, თითოეულ სვეტს ვანაცვლებთ კოეფიციენტებით რიცხვების სვეტით ტოლობის ნიშნის შემდეგ. ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ რამდენიმე მატრიცას და შემდეგ ვპოულობთ მათ დეტერმინანტებს.

მას შემდეგ რაც ჩვენ ვიპოვეთ განმსაზღვრელი, საქმე მცირეა. ჩვენ გვაქვს საწყისი მატრიცა და არის რამდენიმე მიღებული მატრიცა, რომლებიც შეესაბამება სხვადასხვა ცვლადებს. სისტემის ამონახსნების მისაღებად მიღებული ცხრილის განმსაზღვრელს ვყოფთ საწყისი ცხრილის განმსაზღვრელზე. შედეგად მიღებული რიცხვი არის ერთ-ერთი ცვლადის მნიშვნელობა. ანალოგიურად, ჩვენ ვპოულობთ ყველა უცნობს.

სხვა მეთოდები

არსებობს კიდევ რამდენიმე მეთოდი წრფივი განტოლებების სისტემების ამოხსნის მისაღებად. მაგალითად, ეგრეთ წოდებული გაუს-იორდანიის მეთოდი, რომელიც გამოიყენება კვადრატული განტოლებათა სისტემის ამონახსნების მოსაძებნად და ასევე ასოცირდება მატრიცების გამოყენებასთან. ასევე არსებობს ჯაკობის მეთოდი წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემის ამოხსნისთვის. კომპიუტერთან ადაპტაცია ყველაზე მარტივია და გამოიყენება კომპიუტერულ ტექნოლოგიაში.

რთული შემთხვევები

სირთულე ჩვეულებრივ წარმოიქმნება, როდესაც განტოლებების რაოდენობა ცვლადების რაოდენობაზე ნაკლებია. მაშინ შეგვიძლია დარწმუნებით ვთქვათ, რომ ან სისტემა არათანმიმდევრულია (ანუ მას არ აქვს ფესვები), ან მისი ამონახსნების რიცხვი მიდრეკილია უსასრულობისკენ. თუ გვაქვს მეორე შემთხვევა, მაშინ უნდა ჩავწეროთ წრფივი განტოლებათა სისტემის ზოგადი ამონახსნები. ის შეიცავს მინიმუმ ერთ ცვლადს.

დასკვნა

აქ მივედით ბოლომდე. მოდით შევაჯამოთ: ჩვენ გავაანალიზეთ რა არის სისტემა და მატრიცა, ვისწავლეთ როგორ მოვძებნოთ ზოგადი ამონახსნები წრფივი განტოლებათა სისტემისთვის. გარდა ამისა, განიხილებოდა სხვა ვარიანტებიც. გავარკვიეთ, როგორ იხსნება წრფივი განტოლებათა სისტემა: გაუსის მეთოდი და ვისაუბრეთ რთულ შემთხვევებზე და ამონახსნების სხვა გზებზე.

ფაქტობრივად, ეს თემა ბევრად უფრო ვრცელია და თუ მისი უკეთ გაგება გსურთ, მაშინ გირჩევთ, წაიკითხოთ უფრო სპეციალიზებული ლიტერატურა.

ჩვენ გავაგრძელებთ ტექნიკის გაპრიალებას ელემენტარული გარდაქმნებიზე წრფივი განტოლებათა ერთგვაროვანი სისტემა.
პირველი აბზაცების მიხედვით, მასალა შეიძლება მოსაწყენი და ჩვეულებრივი ჩანდეს, მაგრამ ეს შთაბეჭდილება მატყუარაა. ტექნიკის შემდგომი განვითარების გარდა, იქნება ბევრი ახალი ინფორმაცია, ამიტომ გთხოვთ, ეცადეთ, უგულებელყოთ ამ სტატიაში მოცემული მაგალითები.

რა არის წრფივი განტოლებათა ერთგვაროვანი სისტემა?

პასუხი თავისთავად გვთავაზობს. წრფივი განტოლებათა სისტემა ერთგვაროვანია, თუ თავისუფალი წევრია ყველასსისტემის განტოლება არის ნული. Მაგალითად:

სავსებით ნათელია, რომ ერთგვაროვანი სისტემა ყოველთვის თანმიმდევრულია, ანუ ყოველთვის აქვს გამოსავალი. და, პირველ რიგში, ე.წ ტრივიალურიგადაწყვეტილება . ტრივიალური, მათთვის, ვისაც საერთოდ არ ესმის ზედსართავი სახელის მნიშვნელობა, ნიშნავს bespontovoe. აკადემიურად არა, რა თქმა უნდა, მაგრამ გასაგებად =) ... რატომ სცემეს ბუჩქის გარშემო, მოდით გავარკვიოთ აქვს თუ არა ამ სისტემას სხვა გადაწყვეტილებები:

მაგალითი 1

გადაწყვეტილება: ერთგვაროვანი სისტემის ამოსახსნელად საჭიროა ჩაწერა სისტემის მატრიცადა ელემენტარული გარდაქმნების დახმარებით მიიყვანეთ იგი საფეხურზე. გაითვალისწინეთ, რომ აქ არ არის საჭირო თავისუფალი წევრების ვერტიკალური ზოლის და ნულოვანი სვეტის ჩაწერა - რადგან რასაც არ უნდა აკეთებთ ნულებთან, ისინი დარჩება ნულოვანი:

(1) პირველი რიგი დაემატა მეორე რიგს, გამრავლებული -2-ზე. პირველი ხაზი დაემატა მესამე სტრიქონს, გამრავლებული -3-ზე.

(2) მესამე სტრიქონს დაემატა მეორე სტრიქონი, გამრავლებული -1-ზე.

მესამე რიგის 3-ზე გაყოფას დიდი აზრი არ აქვს.

ელემენტარული გარდაქმნების შედეგად მიიღება ეკვივალენტური ერთგვაროვანი სისტემა და, გაუსიანი მეთოდის საპირისპირო სვლის გამოყენებით, ადვილია იმის გადამოწმება, რომ ამოხსნა უნიკალურია.

უპასუხე:

მოდით ჩამოვაყალიბოთ აშკარა კრიტერიუმი: წრფივი განტოლებათა ერთგვაროვანი სისტემა აქვს მხოლოდ ტრივიალური გამოსავალი, თუ სისტემის მატრიცის რანგი(ამ შემთხვევაში 3) უდრის ცვლადების რაოდენობას (ამ შემთხვევაში 3 ცალი).

ჩვენ ვათბობთ და ვარეგულირებთ ჩვენს რადიოს ელემენტარული გარდაქმნების ტალღას:

მაგალითი 2

ამოხსენით წრფივი განტოლებათა ერთგვაროვანი სისტემა

ალგორითმის საბოლოოდ დასაფიქსირებლად, მოდით გავაანალიზოთ საბოლოო დავალება:

მაგალითი 7

ამოხსენით ერთგვაროვანი სისტემა, დაწერეთ პასუხი ვექტორული სახით.

გადაწყვეტილება: ვწერთ სისტემის მატრიცას და ელემენტარული გარდაქმნების გამოყენებით მივყავართ საფეხურზე:

(1) პირველი ხაზის ნიშანი შეიცვალა. კიდევ ერთხელ ვამახვილებ ყურადღებას არაერთხელ შესრულებულ ტექნიკაზე, რომელიც საშუალებას გაძლევთ მნიშვნელოვნად გაამარტივოთ შემდეგი მოქმედება.

(1) პირველი ხაზი დაემატა მე-2 და მე-3 სტრიქონებს. მე-4 სტრიქონს დაემატა 2-ზე გამრავლებული პირველი სტრიქონი.

(3) ბოლო სამი ხაზი პროპორციულია, მათგან ორი ამოღებულია.

შედეგად, მიიღება სტანდარტული საფეხურების მატრიცა და გამოსავალი გრძელდება დახვეული ბილიკის გასწვრივ:

– ძირითადი ცვლადები;
უფასო ცვლადებია.

ჩვენ გამოვხატავთ ძირითად ცვლადებს თავისუფალი ცვლადების თვალსაზრისით. მე-2 განტოლებიდან:

- ჩანაცვლება პირველ განტოლებაში:

ასე რომ, ზოგადი გამოსავალი არის:

ვინაიდან განხილულ მაგალითში სამი თავისუფალი ცვლადია, ფუნდამენტური სისტემა შეიცავს სამ ვექტორს.

მოდით შევცვალოთ მნიშვნელობების სამმაგი ზოგად ამოხსნაში და მიიღეთ ვექტორი, რომლის კოორდინატები აკმაყოფილებს ერთგვაროვანი სისტემის თითოეულ განტოლებას. და კიდევ ვიმეორებ, რომ ძალიან სასურველია თითოეული მიღებული ვექტორის შემოწმება - ამდენი დრო არ დასჭირდება, მაგრამ ასი პროცენტით დაზოგავს შეცდომებს.

ღირებულებების სამმაგისთვის იპოვნეთ ვექტორი

და ბოლოს სამეულისთვის ვიღებთ მესამე ვექტორს:

უპასუხე: , სად

მათ, ვისაც სურს წილადური მნიშვნელობების თავიდან აცილება, შეიძლება განიხილოს სამეული და მიიღეთ პასუხი ექვივალენტური ფორმით:

წილადებზე საუბარი. გადავხედოთ ამოცანაში მიღებულ მატრიცას და დასვით კითხვა - შესაძლებელია თუ არა შემდგომი გადაწყვეტის გამარტივება? აქ ხომ ჯერ ძირითადი ცვლადი გამოვხატეთ წილადებით, შემდეგ ძირითადი ცვლადი წილადებით და, უნდა ითქვას, რომ ეს პროცესი არც უმარტივესი და არც სასიამოვნო იყო.

მეორე გამოსავალი:

იდეა არის ცდა აირჩიეთ სხვა ძირითადი ცვლადები. მოდით შევხედოთ მატრიცას და შევამჩნიოთ ორი ერთი მესამე სვეტში. მაშ, რატომ არ მიიღოთ ნული ზევით? მოდით გავაკეთოთ კიდევ ერთი ელემენტარული ტრანსფორმაცია: