გაკვეთილი განიხილავს წილადების გამრავლების უფრო განზოგადებულ ვერსიას - ეს არის ექსპონენტაცია. უპირველეს ყოვლისა, ვისაუბრებთ წილადის ბუნებრივ ხარისხზე და მაგალითებზე, რომლებიც აჩვენებენ წილადებთან მსგავს მოქმედებებს. გაკვეთილის დასაწყისში ჩვენ ასევე გავიმეორებთ მთელი რიცხვების გამონათქვამების ბუნებრივ ძალამდე ამაღლებას და ვნახოთ, რამდენად გამოდგება ეს შემდგომი მაგალითების ამოხსნისთვის.

თემა: ალგებრული წილადები. არითმეტიკული მოქმედებები ალგებრულ წილადებზე

გაკვეთილი: ალგებრული წილადის ხარისხამდე აყვანა

1. წილადებისა და მთელი რიცხვების გამოსახულებების ბუნებრივ ხარისხებამდე აყვანის წესები ელემენტარული მაგალითებით

ჩვეულებრივი და ალგებრული წილადების ბუნებრივ ხარისხებამდე აყვანის წესი:

თქვენ შეგიძლიათ დახაზოთ ანალოგია მთელი რიცხვის გამოსახულების ხარისხთან და დაიმახსოვროთ რას ნიშნავს მისი მნიშვნელობის აწევა:

მაგალითი 1 .

როგორც მაგალითიდან ხედავთ, წილადის ხარისხამდე აწევა არის წილადების გამრავლების განსაკუთრებული შემთხვევა, რომელიც წინა გაკვეთილზე იყო შესწავლილი.

მაგალითი 2. ა), ბ) - მინუსი მიდის, რადგან ჩვენ გამოთქმა თანაბარ ძალამდე ავწიეთ.

ხარისხებთან მუშაობის მოხერხებულობისთვის, ჩვენ ვიხსენებთ ბუნებრივ სიმძლავრემდე ამაღლების ძირითად წესებს:

- გრადუსების პროდუქტი;

- ხარისხების დაყოფა;

ხარისხის ამაღლება ძალამდე;

სამუშაოს ხარისხი.

მაგალითი 3. - ეს ჩვენთვის ცნობილია თემიდან "მთლიანი გამონათქვამების ძლიერებამდე ამაღლება", გარდა ერთი შემთხვევისა: ის არ არსებობს.

2. უმარტივესი მაგალითები ალგებრული წილადების ბუნებრივ ხარისხებამდე ასაყვანად

მაგალითი 4. წილადის აწევა ხარისხამდე.

გადაწყვეტილება. თანაბარ სიმძლავრემდე ასვლისას მინუსი ქრება:

მაგალითი 5. წილადის აწევა ხარისხამდე.

გადაწყვეტილება. ახლა ჩვენ ვიყენებთ წესებს ხარისხის ამაღლებისთვის დაუყოვნებლივ ცალკე გრაფიკის გარეშე:

.

ახლა განვიხილოთ კომბინირებული ამოცანები, რომლებშიც დაგვჭირდება წილადების ხარისხზე აყვანა, მათი გამრავლება და გაყოფა.

მაგალითი 6: შეასრულეთ მოქმედებები.

გადაწყვეტილება. . შემდეგი, თქვენ უნდა გააკეთოთ შემცირება. ერთხელ დეტალურად აღვწერთ, თუ როგორ გავაკეთებთ ამას, შემდეგ კი ანალოგიით დაუყოვნებლივ მივუთითებთ შედეგს:. ანალოგიურად (ან ხარისხების დაყოფის წესის მიხედვით). Ჩვენ გვაქვს: .

მაგალითი 7: შეასრულეთ მოქმედებები.

გადაწყვეტილება. . შემცირება ხორციელდება ზემოთ განხილული მაგალითის ანალოგიით.

მაგალითი 8: შეასრულეთ მოქმედებები.

გადაწყვეტილება. . ამ მაგალითში ჩვენ კიდევ ერთხელ აღვწერეთ წილადებში სიმძლავრის შემცირების პროცესი უფრო დეტალურად ამ მეთოდის კონსოლიდაციის მიზნით.

3. უფრო რთული მაგალითები ალგებრული წილადების ბუნებრივ ხარისხებამდე ასაყვანად (ნიშნების გათვალისწინებით და ფრჩხილებში ტერმინებით)

მაგალითი 9: შეასრულეთ მოქმედებები .

გადაწყვეტილება. ამ მაგალითში ჩვენ უკვე გამოვტოვებთ წილადების ცალკე გამრავლებას და დაუყოვნებლივ გამოვიყენებთ მათი გამრავლების წესს და ჩავწერთ მას ერთი მნიშვნელის ქვეშ. ამავდროულად, ჩვენ მივყვებით ნიშნებს - ამ შემთხვევაში, წილადები მაღლა დგას ტოლ ხარისხებამდე, ამიტომ მინუსები ქრება. მოდით გავაკეთოთ შემცირება ბოლოს.

მაგალითი 10: შეასრულეთ მოქმედებები .

გადაწყვეტილება. ამ მაგალითში არის წილადების გაყოფა, გახსოვდეთ, რომ ამ შემთხვევაში პირველი წილადი მრავლდება მეორეზე, მაგრამ შებრუნებული.

გამრავლება არის ოპერაცია, რომელიც მჭიდროდ არის დაკავშირებული გამრავლებასთან, ეს ოპერაცია არის თავისთავად რიცხვის მრავალჯერადი გამრავლების შედეგი. წარმოვიდგინოთ ფორმულა: a1 * a2 * ... * an = an.

მაგალითად, a=2, n=3: 2 * 2 * 2=2^3 = 8.

ზოგადად, ექსპონენტაცია ხშირად გამოიყენება მათემატიკასა და ფიზიკაში სხვადასხვა ფორმულებში. ამ ფუნქციას აქვს უფრო მეცნიერული დანიშნულება, ვიდრე ოთხი ძირითადი: შეკრება, გამოკლება, გამრავლება, გაყოფა.

რიცხვის ძლიერებამდე აწევა

რიცხვის სიმძლავრემდე აყვანა არ არის რთული ოპერაცია. ის დაკავშირებულია გამრავლებასთან, ისევე როგორც ურთიერთობა გამრავლებასა და მიმატებას შორის. ჩანაწერი an - ერთმანეთზე გამრავლებული რიცხვების n-ე რიცხვის მოკლე ჩანაწერი.

განვიხილოთ უმარტივესი მაგალითების გაძლიერება, გადადით რთულ მაგალითებზე.

მაგალითად, 42. 42 = 4 * 4 = 16. ოთხი კვადრატში (მეორე ხარისხამდე) უდრის თექვსმეტს. თუ არ გესმით გამრავლება 4 * 4, მაშინ წაიკითხეთ ჩვენი სტატია გამრავლების შესახებ.

მოდით შევხედოთ სხვა მაგალითს: 5^3. 5^3 = 5 * 5 * 5 = 25 * 5 = 125 . ხუთი კუბი (მესამე ხარისხამდე) უდრის ას ოცდახუთს.

კიდევ ერთი მაგალითი: 9^3. 9^3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729 . ცხრა კუბი უდრის შვიდას ოცდაცხრამეტს.

ექსპონენტაციის ფორმულები

სიმძლავრის სწორად ასამაღლებლად, თქვენ უნდა გახსოვდეთ და იცოდეთ ქვემოთ მოცემული ფორმულები. ამაში ბუნებრივის მიღმა არაფერია, მთავარია, გაიგოთ არსი და მაშინ ისინი არამარტო დაიმახსოვრონ, არამედ იოლადაც გამოიყურებოდეს.

მონომის ძალაუფლებაზე ამაღლება

რა არის მონომია? ეს არის რიცხვებისა და ცვლადების ნამრავლი ნებისმიერი რაოდენობით. მაგალითად, ორი არის მონომია. და ეს სტატია ეხება ასეთი მონომების ძალაუფლებაზე აყვანას.

სიმძლავრის ფორმულების გამოყენებით, რთული არ იქნება მონომის სიმძლავრის სიმძლავრის გამოთვლა.

Მაგალითად, (3x^2y^3)^2= 3^2 * x^2 * 2 * y^(3 * 2) = 9x^4y^6; თუ მონომიას ამაღლებთ სიმძლავრემდე, მაშინ მონომის თითოეული კომპონენტი ამაღლებულია სიმძლავრემდე.

ცვლადის ამაღლებისას, რომელსაც უკვე აქვს ხარისხი ძალამდე, გრადუსები მრავლდება. მაგალითად, (x^2)^3 = x^(2 * 3) = x^6 ;

ამაღლება უარყოფით ძალამდე

უარყოფითი მაჩვენებელი არის რიცხვის საპასუხო. რა არის ორმხრივი? ნებისმიერი X რიცხვისთვის საპასუხო არის 1/X. ეს არის X-1=1/X. ეს არის უარყოფითი ხარისხის არსი.

განვიხილოთ მაგალითი (3Y)^-3:

(3Y)^-3 = 1/(27Y^3).

Რატომ არის, რომ? ვინაიდან ხარისხში არის მინუსი, ჩვენ უბრალოდ გადავიტანთ ამ გამონათქვამს მნიშვნელზე და შემდეგ ავწევთ მას მესამე ხარისხზე. უბრალოდ უფლება?

წილადის ხარისხზე აწევა

დავიწყოთ კონკრეტული მაგალითით. 43/2. რას ნიშნავს სიმძლავრე 3/2? 3 - მრიცხველი, ნიშნავს რიცხვის (ამ შემთხვევაში 4) კუბამდე აწევას. რიცხვი 2 არის მნიშვნელი, ეს არის რიცხვის მეორე ფესვის (ამ შემთხვევაში 4) ამონაწერი.

შემდეგ მივიღებთ კვადრატულ ფესვს 43 = 2^3 = 8 . პასუხი: 8.

ასე რომ, წილადი ხარისხის მნიშვნელი შეიძლება იყოს 3 ან 4 და უსასრულობამდე ნებისმიერი რიცხვი და ეს რიცხვი განსაზღვრავს მოცემული რიცხვიდან ამოღებული კვადრატული ფესვის ხარისხს. რა თქმა უნდა, მნიშვნელი არ შეიძლება იყოს ნული.

ფესვის ამაღლება ძალაზე

თუ ფესვი ამაღლებულია იმ ძალამდე, რომელიც ტოლია თავად ფესვის ძალას, მაშინ პასუხი არის რადიკალური გამოხატულება. მაგალითად, (√x)2 = x. და ასე ნებისმიერ შემთხვევაში ფესვის ხარისხისა და ფესვის ამაღლების ხარისხის თანასწორობა.

თუ (√x)^4. შემდეგ (√x)^4=x^2. ამოხსნის შესამოწმებლად, ჩვენ ვთარგმნით გამოხატულებას წილადის ხარისხით. ვინაიდან ფესვი კვადრატია, მნიშვნელი არის 2. ხოლო თუ ფესვი ამაღლებულია მეოთხე ხარისხში, მაშინ მრიცხველი არის 4. მივიღებთ 4/2=2. პასუხი: x = 2.

ნებისმიერ შემთხვევაში, საუკეთესო ვარიანტია გამოხატვის უბრალოდ გადაქცევა წილადის მაჩვენებლად. თუ წილადი არ შემცირდება, მაშინ ასეთი პასუხი იქნება იმ პირობით, რომ მოცემული რიცხვის ფესვი არ არის გამოყოფილი.

რთული რიცხვის განზომილება

რა არის რთული რიცხვი? რთული რიცხვი არის გამონათქვამი, რომელსაც აქვს ფორმულა a + b * i; a, b არის რეალური რიცხვები. i არის რიცხვი, რომელიც კვადრატში იძლევა რიცხვს -1.

განვიხილოთ მაგალითი. (2 + 3i)^2.

(2 + 3i)^2 = 22 +2 * 2 * 3i +(3i)^2 = 4+12i^-9=-5+12i.

დარეგისტრირდით კურსზე "დააჩქარეთ გონებრივი დათვლა და არა გონებრივი არითმეტიკა", რათა ისწავლოთ სწრაფად და სწორად შეკრება, გამოკლება, გამრავლება, გაყოფა, რიცხვების კვადრატი და ფესვების აღებაც კი. 30 დღეში თქვენ ისწავლით, თუ როგორ გამოიყენოთ მარტივი ხრიკები არითმეტიკული მოქმედებების გასამარტივებლად. თითოეული გაკვეთილი შეიცავს ახალ ტექნიკას, ნათელ მაგალითებს და სასარგებლო დავალებებს.

Exponentiation ონლაინ რეჟიმში

ჩვენი კალკულატორის დახმარებით შეგიძლიათ გამოთვალოთ რიცხვის სიმძლავრე ხარისხზე:

ექსპონენტაციის ხარისხი 7

ძალაუფლებაზე ამაღლება სკოლის მოსწავლეებს მხოლოდ მეშვიდე კლასში იწყებს.

გამრავლება არის ოპერაცია, რომელიც მჭიდროდ არის დაკავშირებული გამრავლებასთან, ეს ოპერაცია არის თავისთავად რიცხვის მრავალჯერადი გამრავლების შედეგი. წარმოვიდგინოთ ფორმულა: a1 * a2 * … * an=an .

Მაგალითად, a=2, n=3: 2 * 2 * 2 = 2^3 = 8.

გადაწყვეტის მაგალითები:

ექსპონაციური პრეზენტაცია

პრეზენტაცია ექსპონენტაციის შესახებ, განკუთვნილია მეშვიდე კლასელებისთვის. პრეზენტაციამ შესაძლოა რამდენიმე გაუგებარი პუნქტი გაარკვიოს, მაგრამ ჩვენი სტატიის წყალობით ასეთი პუნქტები ალბათ არ იქნება.

შედეგი

ჩვენ განვიხილეთ მხოლოდ აისბერგის წვერი, რათა უკეთ გავიგოთ მათემატიკა - დარეგისტრირდით ჩვენს კურსზე: დააჩქარეთ გონებრივი არითმეტიკა - არა გონებრივი არითმეტიკა.

კურსიდან თქვენ ისწავლით არა მხოლოდ ათობით ხრიკს გამარტივებული და სწრაფი გამრავლების, შეკრების, გამრავლების, გაყოფის, პროცენტების გამოთვლისთვის, არამედ შეიმუშავებთ მათ სპეციალურ დავალებებსა და საგანმანათლებლო თამაშებში! გონებრივი დათვლაც დიდ ყურადღებას და კონცენტრაციას მოითხოვს, რომლებიც აქტიურად ვარჯიშობენ საინტერესო პრობლემების გადაჭრაში.

რიცხვის ხარისხზე საუბრის გაგრძელებაში, ლოგიკურია, საქმე მივიღოთ ხარისხის მნიშვნელობის პოვნასთან. ამ პროცესს სახელი ეწოდა ექსპონენტაცია. ამ სტატიაში ჩვენ უბრალოდ შევისწავლით, თუ როგორ ხდება გაძლიერება, ხოლო შევეხებით ყველა შესაძლო მაჩვენებელს - ბუნებრივ, მთელ რიცხვს, რაციონალურ და ირაციონალურ. და ტრადიციულად, ჩვენ დეტალურად განვიხილავთ გადაწყვეტილებებს რიცხვების სხვადასხვა ხარისხით ამაღლების მაგალითებზე.

გვერდის ნავიგაცია.

რას ნიშნავს "ექსპონენტაცია"?

დავიწყოთ იმის ახსნით, რასაც ეძახიან ექსპონენტაციას. აქ არის შესაბამისი განმარტება.

განმარტება.

ექსპონენტაციაარის რიცხვის სიძლიერის მნიშვნელობის პოვნა.

ამრიგად, a-ს მნიშვნელობის პოვნა r მაჩვენებლით და a რიცხვის გაზრდა r-ის ხარისხამდე იგივეა. მაგალითად, თუ დავალება არის "გამოთვალეთ სიმძლავრის მნიშვნელობა (0.5) 5", მაშინ მისი გადაფორმირება შესაძლებელია შემდეგნაირად: "აწიეთ რიცხვი 0.5 5-ის ხარისხზე".

ახლა თქვენ შეგიძლიათ პირდაპირ გადახვიდეთ წესებზე, რომლითაც სრულდება ექსპონენტაცია.

რიცხვის ამაღლება ბუნებრივ ძალამდე

პრაქტიკაში, საფუძველზე თანასწორობა ჩვეულებრივ გამოიყენება ფორმით. ანუ, a რიცხვის წილად ხარისხზე m/n-ზე აყვანისას, პირველ რიგში ამოიღება n-ე ხარისხის ფესვი a რიცხვიდან, რის შემდეგაც შედეგი ამაღლებულია მთელ რიცხვ ხარისხამდე m.

განვიხილოთ გადაწყვეტილებები წილადის ხარისხზე აწევის მაგალითებისთვის.

მაგალითი.

გამოთვალეთ ხარისხის მნიშვნელობა.

გადაწყვეტილება.

ჩვენ ვაჩვენებთ ორ გამოსავალს.

პირველი გზა. ხარისხის განსაზღვრებით წილადის მაჩვენებლით. ჩვენ ვიანგარიშებთ ხარისხის მნიშვნელობას ფესვის ნიშნის ქვეშ, რის შემდეგაც გამოვყოფთ კუბურ ფესვს: .

მეორე გზა. წილადი მაჩვენებლით ხარისხის განსაზღვრით და ფესვების თვისებების საფუძველზე, ტოლობები ჭეშმარიტია . ახლა ამოიღეთ ფესვი და ბოლოს, ჩვენ ვზრდით მთელ ხარისხს .

ცხადია, წილადის სიმძლავრემდე აყვანის მიღებული შედეგები ემთხვევა.

პასუხი:

გაითვალისწინეთ, რომ წილადის მაჩვენებელი შეიძლება დაიწეროს როგორც ათობითი წილადი ან შერეული რიცხვი, ამ შემთხვევაში ის უნდა შეიცვალოს შესაბამისი ჩვეულებრივი წილადით და შემდეგ უნდა განხორციელდეს სიძლიერე.

მაგალითი.

გამოთვალეთ (44,89) 2,5 .

გადაწყვეტილება.

ჩვენ ვწერთ მაჩვენებელს ჩვეულებრივი წილადის სახით (საჭიროების შემთხვევაში იხილეთ სტატია): . ახლა ჩვენ ვასრულებთ ამაღლებას წილადის ხარისხზე:

პასუხი:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

ისიც უნდა ითქვას, რომ რიცხვების რაციონალურ ძალებამდე აყვანა საკმაოდ შრომატევადი პროცესია (განსაკუთრებით მაშინ, როცა წილადის მაჩვენებლის მრიცხველი და მნიშვნელი საკმაოდ დიდი რიცხვია), რომელიც ჩვეულებრივ ხორციელდება კომპიუტერული ტექნოლოგიის გამოყენებით.

ამ აბზაცის დასასრულს, ჩვენ ვისაუბრებთ ნულის რიცხვის აგებულებაზე წილადის ხარისხამდე. ფორმის ნულის წილადის ხარისხს შემდეგი მნიშვნელობა მივეცით: რადგან გვაქვს , ხოლო მ/ნ სიმძლავრის ნული არ არის განსაზღვრული. ასე რომ, ნული დადებით წილად ხარისხამდე არის ნული, მაგალითად, . ხოლო ნულს წილადის უარყოფით ხარისხში აზრი არ აქვს, მაგალითად გამოთქმებს და 0 -4.3 აზრი არ აქვს.

ირაციონალურ ძალამდე ამაღლება

ზოგჯერ საჭირო ხდება ირაციონალური მაჩვენებლით რიცხვის ხარისხის მნიშვნელობის გარკვევა. ამ შემთხვევაში, პრაქტიკული მიზნებისთვის, როგორც წესი, საკმარისია ხარისხის მნიშვნელობის მიღება გარკვეულ ნიშანმდე. ჩვენ დაუყოვნებლივ აღვნიშნავთ, რომ პრაქტიკაში ეს მნიშვნელობა გამოითვლება ელექტრონული გამოთვლითი ტექნოლოგიის გამოყენებით, რადგან ხელით ამაღლება ირაციონალურ სიმძლავრემდე მოითხოვს დიდი რაოდენობით უხერხულ გამოთვლებს. მაგრამ მიუხედავად ამისა, ჩვენ ზოგადად აღვწერთ მოქმედებების არსს.

ირაციონალური მაჩვენებლით a-ის მაჩვენებლის მიახლოებითი მნიშვნელობის მისაღებად, აღებულია მაჩვენებლის ათწილადი მიახლოება და გამოითვლება მაჩვენებლის მნიშვნელობა. ეს მნიშვნელობა არის ირაციონალური მაჩვენებლით a რიცხვის ხარისხის მიახლოებითი მნიშვნელობა. რაც უფრო ზუსტი იქნება რიცხვის ათწილადი მიახლოება თავდაპირველად, მით უფრო ზუსტი იქნება ხარისხის მნიშვნელობა საბოლოოდ.

მაგალითად, გამოვთვალოთ 2 1.174367 სიმძლავრის მიახლოებითი მნიშვნელობა... . ავიღოთ ირაციონალური ინდიკატორის შემდეგი ათობითი მიახლოება: . ახლა ჩვენ ვზრდით 2-ს რაციონალურ სიმძლავრემდე 1.17 (ჩვენ აღვწერეთ ამ პროცესის არსი წინა აბზაცში), ვიღებთ 2 1.17 ≈ 2.250116. ამრიგად, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . თუ ავიღოთ ირაციონალური მაჩვენებლის უფრო ზუსტი ათობითი მიახლოება, მაგალითად, , მაშინ მივიღებთ თავდაპირველი ხარისხის უფრო ზუსტ მნიშვნელობას: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

ბიბლიოგრაფია.

• ვილენკინი ნ.ია., ჟოხოვი ვ.ი., ჩესნოკოვი ა.ს., შვარცბურდი ს.ი. მათემატიკის ჟ სახელმძღვანელო 5 უჯრედისთვის. საგანმანათლებო ინსტიტუტები.
• მაკარიჩევი იუ.ნ., მინდიუკ ნ.გ., ნეშკოვი კ.ი., სუვოროვა ს.ბ. ალგებრა: სახელმძღვანელო 7 უჯრედისთვის. საგანმანათლებო ინსტიტუტები.
• მაკარიჩევი იუ.ნ., მინდიუკ ნ.გ., ნეშკოვი კ.ი., სუვოროვა ს.ბ. ალგებრა: სახელმძღვანელო 8 უჯრედისთვის. საგანმანათლებო ინსტიტუტები.
• მაკარიჩევი იუ.ნ., მინდიუკ ნ.გ., ნეშკოვი კ.ი., სუვოროვა ს.ბ. ალგებრა: სახელმძღვანელო 9 უჯრედისთვის. საგანმანათლებო ინსტიტუტები.
• კოლმოგოროვი A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. და სხვა.ალგებრა და ანალიზის დასაწყისი: სახელმძღვანელო ზოგადსაგანმანათლებლო დაწესებულებების 10-11 კლასებისთვის.
• გუსევი V.A., Mordkovich A.G. მათემატიკა (სახელმძღვანელო ტექნიკური სასწავლებლების მსურველთათვის).

ჩვენ გავარკვიეთ, რა არის რიცხვის ხარისხი ზოგადად. ახლა ჩვენ უნდა გავიგოთ, როგორ სწორად გამოვთვალოთ ის, ე.ი. აწიეთ რიცხვები ძალაუფლებამდე. ამ მასალაში გავაანალიზებთ ხარისხის გამოთვლის ძირითად წესებს მთელი რიცხვის, ბუნებრივი, წილადი, რაციონალური და ირაციონალური მაჩვენებლის შემთხვევაში. ყველა განმარტება იქნება ილუსტრირებული მაგალითებით.

Yandex.RTB R-A-339285-1

ექსპონენტაციის კონცეფცია

დავიწყოთ ძირითადი განმარტებების ფორმულირებით.

განმარტება 1

ექსპონენტაციაარის რომელიმე რიცხვის სიმძლავრის მნიშვნელობის გამოთვლა.

ანუ სიტყვები „ხარისხის ღირებულების გამოთვლა“ და „გამდიდრება“ ერთსა და იმავეს ნიშნავს. ასე რომ, თუ დავალება არის "აწიეთ რიცხვი 0, 5 მეხუთე ხარისხამდე", ეს უნდა გავიგოთ, როგორც "გამოთვალეთ სიმძლავრის მნიშვნელობა (0, 5) 5.

ახლა ჩვენ ვაძლევთ ძირითად წესებს, რომლებიც უნდა დაიცვან ასეთ გამოთვლებში.

გაიხსენეთ რა არის რიცხვის ხარისხში ბუნებრივი მაჩვენებლით. სიმძლავრისთვის a ბაზისით და n მაჩვენებლით, ეს იქნება n-ე რაოდენობის ფაქტორების ნამრავლი, რომელთაგან თითოეული უდრის a-ს. ეს შეიძლება დაიწეროს ასე:

ხარისხის მნიშვნელობის გამოსათვლელად, თქვენ უნდა შეასრულოთ გამრავლების ოპერაცია, ანუ გაამრავლოთ ხარისხის საფუძვლები მითითებულ რაოდენობაზე. ხარისხის კონცეფცია ბუნებრივი მაჩვენებლით ემყარება სწრაფად გამრავლების უნარს. მოვიყვანოთ მაგალითები.

მაგალითი 1

მდგომარეობა: აწევა - 2 4-ის ხარისხზე.

გადაწყვეტილება

ზემოთ მოცემული განმარტების გამოყენებით ვწერთ: (− 2) 4 = (− 2) (− 2) (− 2) (− 2) . შემდეგი, ჩვენ უბრალოდ უნდა მივყვეთ ამ ნაბიჯებს და მივიღოთ 16.

ავიღოთ უფრო რთული მაგალითი.

მაგალითი 2

გამოთვალეთ მნიშვნელობა 3 2 7 2

გადაწყვეტილება

ეს ჩანაწერი შეიძლება გადაიწეროს როგორც 3 2 7 · 3 2 7 . ადრე ჩვენ განვიხილეთ, თუ როგორ სწორად გავამრავლოთ პირობითში აღნიშნული შერეული რიცხვები.

შეასრულეთ ეს ნაბიჯები და მიიღეთ პასუხი: 3 2 7 3 2 7 = 23 7 23 7 = 529 49 = 10 39 49

თუ დავალება მიუთითებს ირაციონალური რიცხვების ბუნებრივ ხარისხზე აყვანის აუცილებლობაზე, ჩვენ დაგვჭირდება ჯერ მათი ფუძეების დამრგვალება ციფრამდე, რომელიც მოგვცემს სასურველ სიზუსტის პასუხს. ავიღოთ მაგალითი.

მაგალითი 3

შეასრულეთ π რიცხვის კვადრატი.

გადაწყვეტილება

ჯერ დავამრგვალოთ მეასედამდე. შემდეგ π 2 ≈ (3, 14) 2 = 9, 8596. თუ π ≈ 3 . 14159, მაშინ მივიღებთ უფრო ზუსტ შედეგს: π 2 ≈ (3, 14159) 2 = 9, 8695877281.

გაითვალისწინეთ, რომ ირაციონალური რიცხვების სიმძლავრის გამოთვლის აუცილებლობა პრაქტიკაში შედარებით იშვიათად ჩნდება. შემდეგ ჩვენ შეგვიძლია დავწეროთ პასუხი როგორც თავად სიმძლავრე (ln 6) 3 ან გადავიყვანოთ, თუ ეს შესაძლებელია: 5 7 = 125 5 .

ცალკე უნდა მიეთითოს რა არის რიცხვის პირველი ხარისხი. აქ შეგიძლიათ უბრალოდ გახსოვდეთ, რომ პირველ ხარისხზე ამაღლებული ნებისმიერი რიცხვი თავისთავად დარჩება:

ეს ირკვევა ჩანაწერიდან. .

ეს არ არის დამოკიდებული ხარისხზე.

მაგალითი 4

ასე რომ, (− 9) 1 = − 9 , და 7 3 ამაღლებული პირველ ხარისხზე რჩება 7 3-ის ტოლი.

მოხერხებულობისთვის ცალ-ცალკე გავაანალიზებთ სამ შემთხვევას: თუ მაჩვენებელი დადებითი მთელი რიცხვია, თუ არის ნული და თუ არის უარყოფითი მთელი რიცხვი.

პირველ შემთხვევაში, ეს იგივეა, რაც ბუნებრივ ხარისხზე აყვანა: ბოლოს და ბოლოს, დადებითი მთელი რიცხვები მიეკუთვნება ნატურალური რიცხვების სიმრავლეს. ჩვენ უკვე აღვწერეთ, თუ როგორ უნდა ვიმუშაოთ ასეთ ხარისხებთან ზემოთ.

ახლა ვნახოთ, როგორ სწორად ავწიოთ ნულოვანი სიმძლავრე. ბაზით, რომელიც არ არის ნულოვანი, ეს გაანგარიშება ყოველთვის აწარმოებს გამომავალს 1-ს. ჩვენ ადრე ავუხსენით, რომ a-ს 0-ე ხარისხი შეიძლება განისაზღვროს ნებისმიერი რეალური რიცხვისთვის, რომელიც არ არის 0-ის ტოლი და a 0 = 1.

მაგალითი 5

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 - არ არის განსაზღვრული.

ჩვენ დაგვრჩენია მხოლოდ გრადუსის შემთხვევა უარყოფითი მთელი რიცხვის მაჩვენებლით. ჩვენ უკვე ვისაუბრეთ, რომ ასეთი გრადუსები შეიძლება დაიწეროს წილადად 1 a z, სადაც a არის ნებისმიერი რიცხვი, ხოლო z არის უარყოფითი მთელი რიცხვი. ჩვენ ვხედავთ, რომ ამ წილადის მნიშვნელი სხვა არაფერია, თუ არა ჩვეულებრივი ხარისხი დადებითი მთელი რიცხვით და უკვე ვისწავლეთ მისი გამოთვლა. მოდით მივცეთ დავალებების მაგალითები.

მაგალითი 6

აწიეთ 3 -2 სიმძლავრემდე.

გადაწყვეტილება

ზემოთ მოცემული განმარტების გამოყენებით ჩვენ ვწერთ: 2 - 3 = 1 2 3

ჩვენ ვიანგარიშებთ ამ წილადის მნიშვნელს და ვიღებთ 8: 2 3 \u003d 2 2 2 \u003d 8.

მაშინ პასუხია: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8

მაგალითი 7

გაზარდეთ 1, 43 -2 სიმძლავრემდე.

გადაწყვეტილება

ხელახლა ფორმულირება: 1 , 43 - 2 = 1 (1 , 43) 2

ჩვენ ვიანგარიშებთ კვადრატს მნიშვნელში: 1,43 1,43. ათწილადები შეიძლება გამრავლდეს ამ გზით:

შედეგად მივიღეთ (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2 , 0449 . ჩვენთვის რჩება ეს შედეგი ჩვეულებრივი წილადის სახით დავწეროთ, რისთვისაც აუცილებელია მისი 10 ათასზე გამრავლება (იხილეთ მასალა წილადების გარდაქმნის შესახებ).

პასუხი: (1, 43) - 2 = 10000 20449

ცალკე შემთხვევა არის რიცხვის აწევა მინუს პირველ ხარისხზე. ასეთი ხარისხის მნიშვნელობა უდრის ფუძის ორიგინალური მნიშვნელობის საპირისპირო რიცხვს: a - 1 \u003d 1 a 1 \u003d 1 a.

მაგალითი 8

მაგალითი: 3 − 1 = 1/3

9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .

როგორ გავზარდოთ რიცხვი წილადის ხარისხამდე

ასეთი ოპერაციის შესასრულებლად, ჩვენ უნდა გავიხსენოთ ხარისხის ძირითადი განმარტება წილადის მაჩვენებლით: a m n \u003d a m n ნებისმიერი დადებითი a, მთელი რიცხვი m და ბუნებრივი n.

განმარტება 2

ამრიგად, წილადი ხარისხის გამოთვლა უნდა განხორციელდეს ორ ეტაპად: აწევა მთელ რიცხვამდე და n-ე ხარისხის ფესვის პოვნა.

გვაქვს ტოლობა a m n = a m n , რომელიც, ფესვების თვისებების გათვალისწინებით, ჩვეულებრივ გამოიყენება ამოცანების ამოსახსნელად m n = a n m სახით. ეს ნიშნავს, რომ თუ რიცხვს ავწევთ a წილადის ხარისხზე m/n, მაშინ ჯერ გამოვყავით n-ე ხარისხის ფესვი a-დან, შემდეგ მივიღებთ შედეგს ხარისხამდე, რომელსაც აქვს მთელი რიცხვი მაჩვენებლით.

ილუსტრირებას მოდი მაგალითით.

მაგალითი 9

გამოთვალეთ 8 - 2 3 .

გადაწყვეტილება

მეთოდი 1. ძირითადი განმარტების მიხედვით, ჩვენ შეგვიძლია წარმოვადგინოთ ეს, როგორც: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3

ახლა გამოვთვალოთ ხარისხი ფესვის ქვეშ და გამოვყოთ მესამე ფესვი შედეგიდან: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

მეთოდი 2. გადავცვალოთ ძირითადი ტოლობა: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3 \u003d 8 3 - 2

ამის შემდეგ გამოვყავით ფესვი 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 და კვადრატში გამოვყავით შედეგი: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4

ჩვენ ვხედავთ, რომ გადაწყვეტილებები იდენტურია. თქვენ შეგიძლიათ გამოიყენოთ ნებისმიერი გზა, რომელიც მოგწონთ.

არის შემთხვევები, როცა ხარისხს აქვს შერეული რიცხვის ან ათობითი წილადის სახით გამოხატული ინდიკატორი. გაანგარიშების სიმარტივისთვის, უმჯობესია შეცვალოთ იგი ჩვეულებრივი წილადით და დათვალოთ, როგორც ზემოთ არის მითითებული.

მაგალითი 10

აწიეთ 44,89 2,5 ხარისხამდე.

გადაწყვეტილება

გადავიყვანოთ ინდიკატორის მნიშვნელობა ჩვეულებრივ წილადად - 44, 89 2, 5 = 49, 89 5 2.

და ახლა ჩვენ ვასრულებთ ზემოთ მითითებულ ყველა მოქმედებას თანმიმდევრობით: 44 , 89 5 2 = 44 , 89 5 = 44 , 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 11 501 = 20 13 501, 25107

პასუხი: 13501, 25107.

თუ წილადი მაჩვენებლის მრიცხველსა და მნიშვნელში დიდი რიცხვია, მაშინ რაციონალური მაჩვენებლებით ასეთი მაჩვენებლების გამოთვლა საკმაოდ რთული სამუშაოა. ეს ჩვეულებრივ მოითხოვს კომპიუტერულ ტექნოლოგიას.

ცალკე, ჩვენ ვცხოვრობთ ხარისხზე ნულოვანი ფუძით და წილადის მაჩვენებლით. 0 m n ფორმის გამოხატულებას შეიძლება მივცეთ შემდეგი მნიშვნელობა: თუ m n > 0, მაშინ 0 m n = 0 m n = 0 ; თუ მ ნ< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .

როგორ ავიყვანოთ რიცხვი ირაციონალურ ძალამდე

იმ ხარისხის მნიშვნელობის გამოთვლის საჭიროება, რომლის ინდიკატორში არის ირაციონალური რიცხვი, არც ისე ხშირად ჩნდება. პრაქტიკაში, ამოცანა ჩვეულებრივ შემოიფარგლება მიახლოებითი მნიშვნელობის გამოთვლით (ათწილადების გარკვეულ რაოდენობამდე). ეს ჩვეულებრივ გამოითვლება კომპიუტერზე ასეთი გამოთვლების სირთულის გამო, ამიტომ ჩვენ ამაზე დეტალურად არ ვისაუბრებთ, მხოლოდ მთავარ დებულებებს მივუთითებთ.

თუ a ხარისხის სიდიდე უნდა გამოვთვალოთ a ირაციონალური მაჩვენებლით, მაშინ ავიღებთ მაჩვენებლის ათობითი მიახლოებას და ვითვლით მისგან. შედეგი იქნება სავარაუდო პასუხი. რაც უფრო ზუსტია ათობითი მიახლოება, მით უფრო ზუსტი იქნება პასუხი. მაგალითით ვაჩვენოთ:

მაგალითი 11

გამოთვალეთ 21-ის მიახლოებითი მნიშვნელობა 174367 ....

გადაწყვეტილება

ჩვენ შემოვიფარგლებით ათწილადის მიახლოებით a n = 1, 17. მოდით გამოთვლები გავაკეთოთ ამ რიცხვის გამოყენებით: 2 1 , 17 ≈ 2 , 250116 . თუ ავიღებთ, მაგალითად, მიახლოებას a n = 1, 1743, მაშინ პასუხი ცოტა უფრო ზუსტი იქნება: 2 1, 174367. . . ≈ 2 1. 1743 ≈ 2. 256833.

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter