ზოგიერთი ცნება და ტერმინი გამოიყენება მკაცრად ვიწრო საზღვრებში, სხვა განმარტებები გვხვდება ისეთ სფეროებში, რომლებიც მკვეთრად ეწინააღმდეგებიან. ასე, მაგალითად, „გრადიენტის“ ცნებას იყენებს ფიზიკოსი, მათემატიკოსი და მანიკურის ან „ფოტოშოპის“ სპეციალისტი. რა არის გრადიენტი, როგორც კონცეფცია? მოდი გავარკვიოთ.

რას ამბობენ ლექსიკონები?

რა არის „გრადიენტი“ სპეციალური თემატური ლექსიკონები განმარტავენ მათ სპეციფიკასთან მიმართებაში. ლათინურიდან თარგმნილი ეს სიტყვა ნიშნავს - "ის, ვინც მიდის, იზრდება". და "ვიკიპედია" განსაზღვრავს ამ კონცეფციას, როგორც "ვექტორს, რომელიც მიუთითებს სიდიდის ზრდის მიმართულებას". განმარტებით ლექსიკონებში ჩვენ ვხედავთ ამ სიტყვის მნიშვნელობას, როგორც „ნებისმიერი მნიშვნელობის ცვლილება ერთი მნიშვნელობით“. კონცეფციას შეიძლება ჰქონდეს როგორც რაოდენობრივი, ასევე თვისობრივი მნიშვნელობა.

მოკლედ, ეს არის ნებისმიერი მნიშვნელობის გლუვი თანდათანობითი გადასვლა ერთი მნიშვნელობით, რაოდენობის ან მიმართულების პროგრესული და უწყვეტი ცვლილება. ვექტორს ითვლის მათემატიკოსები, მეტეოროლოგები. ეს კონცეფცია გამოიყენება ასტრონომიაში, მედიცინაში, ხელოვნებაში, კომპიუტერულ გრაფიკაში. ანალოგიური ტერმინით არის სრულიად განსხვავებული ტიპის აქტივობები განსაზღვრული.

მათემატიკის ფუნქციები

რა არის ფუნქციის გრადიენტი მათემატიკაში? ეს არის ის, რაც მიუთითებს ფუნქციის ზრდის მიმართულებას სკალარ ველში ერთი მნიშვნელობიდან მეორეზე. გრადიენტის სიდიდე გამოითვლება ნაწილობრივი წარმოებულების განმარტების გამოყენებით. გრაფიკზე ფუნქციის ზრდის უსწრაფესი მიმართულების გასარკვევად, არჩეულია ორი წერტილი. ისინი განსაზღვრავენ ვექტორის დასაწყისს და დასასრულს. სიჩქარე, რომლითაც მნიშვნელობა იზრდება ერთი წერტილიდან მეორეზე, არის გრადიენტის სიდიდე. ამ ინდიკატორის გამოთვლებზე დაფუძნებული მათემატიკური ფუნქციები გამოიყენება ვექტორულ კომპიუტერულ გრაფიკაში, რომლის ობიექტებია მათემატიკური ობიექტების გრაფიკული გამოსახულებები.

რა არის გრადიენტი ფიზიკაში?

გრადიენტის ცნება გავრცელებულია ფიზიკის ბევრ ფილიალში: ოპტიკის გრადიენტი, ტემპერატურა, სიჩქარე, წნევა და ა.შ. ამ ინდუსტრიაში კონცეფცია აღნიშნავს ერთეულზე მნიშვნელობის გაზრდის ან შემცირების საზომს. იგი გამოითვლება როგორც განსხვავება ორ ინდიკატორს შორის. განვიხილოთ ზოგიერთი რაოდენობა უფრო დეტალურად.

რა არის პოტენციური გრადიენტი? ელექტროსტატიკურ ველთან მუშაობისას განისაზღვრება ორი მახასიათებელი: დაძაბულობა (ძალა) და პოტენციალი (ენერგია). ეს განსხვავებული რაოდენობა დაკავშირებულია გარემოსთან. და მიუხედავად იმისა, რომ ისინი განსაზღვრავენ განსხვავებულ მახასიათებლებს, მათ მაინც აქვთ ერთმანეთთან კავშირი.

ძალის ველის სიძლიერის დასადგენად გამოიყენება პოტენციური გრადიენტი - მნიშვნელობა, რომელიც განსაზღვრავს პოტენციალის ცვლილების სიჩქარეს ველის ხაზის მიმართულებით. როგორ გამოვთვალოთ? ელექტრული ველის ორი წერტილის პოტენციური სხვაობა გამოითვლება ცნობილი ძაბვისგან ინტენსივობის ვექტორის გამოყენებით, რომელიც უდრის პოტენციურ გრადიენტს.

მეტეოროლოგებისა და გეოგრაფების პირობები

პირველად, გრადიენტის კონცეფცია მეტეოროლოგებმა გამოიყენეს სხვადასხვა მეტეოროლოგიური მაჩვენებლების სიდიდისა და მიმართულების ცვლილების დასადგენად: ტემპერატურა, წნევა, ქარის სიჩქარე და ძალა. ეს არის სხვადასხვა სიდიდის რაოდენობრივი ცვლილების საზომი. მაქსველმა ეს ტერმინი მათემატიკაში მოგვიანებით შემოიტანა. ამინდის პირობების განსაზღვრაში არსებობს ვერტიკალური და ჰორიზონტალური გრადიენტების ცნებები. განვიხილოთ ისინი უფრო დეტალურად.

რა არის ვერტიკალური ტემპერატურის გრადიენტი? ეს არის მნიშვნელობა, რომელიც აჩვენებს შესრულების ცვლილებას, გამოითვლება 100 მ სიმაღლეზე. ის შეიძლება იყოს დადებითი ან უარყოფითი, განსხვავებით ჰორიზონტალურისგან, რომელიც ყოველთვის დადებითია.

გრადიენტი გვიჩვენებს მიწაზე დახრილობის სიდიდეს ან კუთხეს. იგი გამოითვლება, როგორც სიმაღლის თანაფარდობა ბილიკის პროექციის სიგრძეზე გარკვეულ მონაკვეთზე. გამოხატულია პროცენტულად.

სამედიცინო მაჩვენებლები

"ტემპერატურული გრადიენტის" განმარტება ასევე გვხვდება სამედიცინო ტერმინებს შორის. ის გვიჩვენებს განსხვავებას შინაგანი ორგანოებისა და სხეულის ზედაპირის შესაბამის ინდიკატორებში. ბიოლოგიაში ფიზიოლოგიური გრადიენტი აფიქსირებს ცვლილებას ნებისმიერი ორგანოს ან ორგანიზმის ფიზიოლოგიაში მისი განვითარების ნებისმიერ ეტაპზე. მედიცინაში მეტაბოლური მაჩვენებელია მეტაბოლიზმის ინტენსივობა.

არა მხოლოდ ფიზიკოსები, არამედ ექიმებიც იყენებენ ამ ტერმინს თავიანთ საქმიანობაში. რა არის წნევის გრადიენტი კარდიოლოგიაში? ეს კონცეფცია განსაზღვრავს არტერიული წნევის განსხვავებას გულ-სისხლძარღვთა სისტემის ნებისმიერ ურთიერთდაკავშირებულ მონაკვეთში.

ავტომატურობის კლებადი გრადიენტი არის გულის აგზნების სიხშირის შემცირების მაჩვენებელი მისი ფუძიდან ზევით მიმართულებით, რაც ხდება ავტომატურად. გარდა ამისა, კარდიოლოგები განსაზღვრავენ არტერიული დაზიანების ადგილს და მის ხარისხს სისტოლური ტალღების ამპლიტუდების განსხვავების კონტროლით. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, პულსის ამპლიტუდის გრადიენტის გამოყენებით.

რა არის სიჩქარის გრადიენტი?

როდესაც ადამიანი საუბრობს გარკვეული რაოდენობის ცვლილების სიჩქარეზე, ამით ნიშნავს დროისა და სივრცის ცვლილების სიჩქარეს. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, სიჩქარის გრადიენტი განსაზღვრავს სივრცითი კოორდინატების ცვლილებას დროებით ინდიკატორებთან მიმართებაში. ეს მაჩვენებელი გამოითვლება მეტეოროლოგების, ასტრონომების, ქიმიკოსების მიერ. სითხის ფენების ათვლის სიჩქარის გრადიენტი განისაზღვრება ნავთობისა და გაზის ინდუსტრიაში, რათა გამოვთვალოთ სითხის სიჩქარის აწევა მილში. ტექტონიკური მოძრაობების ასეთი მაჩვენებელია სეისმოლოგების გამოთვლების არეალი.

ეკონომიკური ფუნქციები

მნიშვნელოვანი თეორიული დასკვნების დასასაბუთებლად გრადიენტის ცნებას ფართოდ იყენებენ ეკონომისტები. მომხმარებელთა პრობლემების გადაჭრისას გამოიყენება სასარგებლო ფუნქცია, რომელიც ეხმარება პრეფერენციების წარმოდგენას ალტერნატივების ნაკრებიდან. "ბიუჯეტის შეზღუდვის ფუნქცია" არის ტერმინი, რომელიც გამოიყენება სამომხმარებლო პაკეტების ნაკრებისთვის. ამ ზონაში გრადიენტები გამოიყენება ოპტიმალური მოხმარების გამოსათვლელად.

ფერის გრადიენტი

ტერმინი „გრადიენტი“ ნაცნობია შემოქმედებითი ადამიანებისთვის. მიუხედავად იმისა, რომ ისინი შორს არიან ზუსტი მეცნიერებისგან. რა არის გრადიენტი დიზაინერისთვის? ვინაიდან ზუსტ მეცნიერებებში ეს არის ღირებულების თანდათანობითი ზრდა ერთით, ამიტომ ფერში ეს მაჩვენებელი აღნიშნავს იმავე ფერის ჩრდილების გლუვ, დაჭიმულ გადასვლას უფრო ღიადან მუქამდე, ან პირიქით. მხატვრები ამ პროცესს „გაჭიმვას“ უწოდებენ. ასევე შესაძლებელია იმავე დიაპაზონში სხვადასხვა თანმხლებ ფერებზე გადასვლა.

ოთახების შეღებვაში ჩრდილების გრადიენტურმა გაჭიმვამ ძლიერი პოზიცია დაიკავა დიზაინის ტექნიკას შორის. ახალი ომბრის სტილი - ჩრდილის გლუვი ნაკადი ღიადან ბნელამდე, ნათელიდან ფერმკრთალამდე - ეფექტურად გარდაქმნის ნებისმიერ ოთახს სახლისა და ოფისში.

ოპტიკოსები თავიანთ სათვალეებში იყენებენ სპეციალურ ლინზებს. რა არის გრადიენტი სათვალეებში? ეს არის ლინზის დამზადება სპეციალური გზით, როდესაც ფერი იცვლება ზემოდან ქვემოდან მუქიდან ღია ჩრდილში. ამ ტექნოლოგიით დამზადებული პროდუქტები იცავს თვალებს მზის გამოსხივებისგან და საშუალებას გაძლევთ ნახოთ ობიექტები თუნდაც ძალიან კაშკაშა შუქზე.

ფერი ვებ დიზაინში

ვინც დაკავებულია ვებ დიზაინით და კომპიუტერული გრაფიკით, კარგად იცის უნივერსალური ინსტრუმენტი „გრადიენტი“, რომელიც ქმნის მრავალფეროვან ეფექტებს. ფერის გადასვლები გარდაიქმნება ხაზგასმებად, ლამაზ ფონად, სამგანზომილებიანად. ფერების მანიპულირება, სინათლისა და ჩრდილის შექმნა ვექტორულ ობიექტებს მოცულობას მატებს. ამ მიზნით გამოიყენება რამდენიმე ტიპის გრადიენტი:

• ხაზოვანი.
• რადიალური.
• კონუსური.
• სარკე.
• რომბოიდი.
• ხმაურის გრადიენტი.

გრადიენტური სილამაზე

სილამაზის სალონების ვიზიტორებისთვის კითხვა, რა არის გრადიენტი, მოულოდნელი არ იქნება. მართალია, ამ შემთხვევაში მათემატიკური კანონების და ფიზიკის საფუძვლების ცოდნა საჭირო არ არის. ეს ყველაფერი ფერის გადასვლებზეა. თმა და ფრჩხილები ხდება გრადიენტის ობიექტი. ომბრე ტექნიკა, რაც ფრანგულად „ტონს“ ნიშნავს, მოდაში შემოვიდა სერფინგის და სხვა პლაჟის აქტივობების სპორტის მოყვარულთაგან. ბუნებრივად დამწვარი და ხელახლა გაზრდილი თმა ჰიტად იქცა. მოდის ქალებმა დაიწყეს თმის სპეციალურად შეღებვა ჩრდილების ძლივს შესამჩნევი გადასვლით.

ომბრეს ტექნიკამ არ გაიარა ფრჩხილის სალონები. ფრჩხილებზე გრადიენტი ქმნის შეფერილობას ფირფიტის თანდათანობით გაღიავებით ფესვიდან კიდემდე. ოსტატები გვთავაზობენ ჰორიზონტალურ, ვერტიკალურ, გარდამავალ და სხვა ჯიშებს.

ხელსაქმის

"გრადიენტის" კონცეფცია ნაცნობია ხელსაქმის ქალებისთვის სხვა მხრიდან. ამ ტიპის ტექნიკა გამოიყენება დეკუპაჟის სტილში ხელნაკეთი ნივთების შესაქმნელად. ამ გზით იქმნება ახალი ანტიკური ნივთები, ან აღდგება ძველი: კომოდები, სკამები, სკივრები და ა.შ. დეკუპაჟი გულისხმობს შაბლონის გამოყენებას შაბლონის გამოყენებით, რომელიც დაფუძნებულია ფერის გრადიენტზე, როგორც ფონი.

ქსოვილის მხატვრებმა მიიღეს ამ გზით შეღებვა ახალი მოდელებისთვის. გრადიენტური ფერების კაბებმა პოდიუმები დაიპყრო. მოდა აიღეს ხელსაქმის ქალებმა - ქსოვებმა. ნაქსოვი ტანსაცმელი გლუვი ფერის გადასვლით არის წარმატება.

"გრადიენტის" განმარტების შეჯამებით, შეგვიძლია ვთქვათ ადამიანის საქმიანობის ძალიან ფართო სფეროზე, რომელშიც ამ ტერმინს აქვს ადგილი. სინონიმით „ვექტორის“ ჩანაცვლება ყოველთვის არ არის მიზანშეწონილი, ვინაიდან ვექტორი, ბოლოს და ბოლოს, ფუნქციური, სივრცითი კონცეფციაა. რაც განსაზღვრავს კონცეფციის ზოგადობას არის გარკვეული რაოდენობის, ნივთიერების, ფიზიკური პარამეტრის თანდათანობითი ცვლილება ერთეულზე გარკვეული პერიოდის განმავლობაში. ფერში, ეს არის ტონის გლუვი გადასვლა.

დაე ზ= ფ(მ) არის ფუნქცია, რომელიც განსაზღვრულია წერტილის ზოგიერთ სამეზობლოში M(y; x);ლ={ Cos; Cos} – ერთეული ვექტორი (ნახ. 33 1=  , 2= ); ლარის სწორი ხაზი, რომელიც გადის წერტილს მ; M1(x1; y1), სადაც x1=x+x და y1=y+y- წერტილი ხაზზე ლ;  ლ- სეგმენტის ზომა MM1;  ზ= ფ(x+x, y+y)-ფ(X, ი) - ფუნქციის გაზრდა ფ(მ) წერტილში M(x; y).

განმარტება. მიმართების ზღვარი, თუ ის არსებობს, ე.წ წარმოებული ფუნქცია ზ = ფ ( მ ) წერტილში მ ( X ; ი ) ვექტორის მიმართულებით ლ .

Დანიშნულება.

თუ ფუნქცია ფ(მ) ერთ წერტილში დიფერენცირებადი M(x; y), შემდეგ წერტილში M(x; y)არსებობს წარმოებული ნებისმიერი მიმართულებით ლმოდის მ; იგი გამოითვლება შემდეგი ფორმულის მიხედვით:

(8)

სად Cos და Cos- ვექტორის მიმართულების კოსინუსები ლ.

მაგალითი 46. გამოთვალეთ ფუნქციის წარმოებული ზ= X2 + ი2 Xწერტილში M(1; 2)ვექტორის მიმართულებით MM1, სად M1- მიუთითეთ კოორდინატებით (3; 0).

. ვიპოვოთ ერთეული ვექტორი ლ, ამ მიმართულების მქონე:

სად Cos= ; Cos=- .

ჩვენ ვიანგარიშებთ ფუნქციის ნაწილობრივ წარმოებულებს წერტილში M(1; 2):

ფორმულით (8) ვიღებთ

მაგალითი 47. იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული U = xy2 ზ3 წერტილში M(3; 2; 1)ვექტორის მიმართულებით MN, სად ნ(5; 4; 2) .

. ვიპოვოთ ვექტორი და მისი მიმართულების კოსინუსები:

გამოთვალეთ ნაწილობრივი წარმოებულების მნიშვნელობები წერტილში მ:

შესაბამისად,

განმარტება. გრადიენტი ფუნქციებიზ= ფ(მ) M(x; y) წერტილში არის ვექტორი, რომლის კოორდინატები უდრის M(x; y) წერტილში აღებული შესაბამისი ნაწილობრივი წარმოებულების u.

Დანიშნულება.

მაგალითი 48. იპოვეთ ფუნქციის გრადიენტი ზ= X2 +2 ი2 -5 წერტილში M(2; -1).

გამოსავალი. ჩვენ ვპოულობთ ნაწილობრივ წარმოებულებს: და მათი ღირებულებები წერტილში M(2; -1):

მაგალითი 49. იპოვეთ ფუნქციის გრადიენტის სიდიდე და მიმართულება წერტილში

გამოსავალი.ვიპოვოთ ნაწილობრივი წარმოებულები და გამოვთვალოთ მათი მნიშვნელობები M წერტილში:

შესაბამისად,

სამი ცვლადის ფუნქციის მიმართულების წარმოებული განისაზღვრება ანალოგიურად U= ფ(X, ი, ზ) , ფორმულები მიღებულია

შემოღებულია გრადიენტის ცნება

ჩვენ ამას ხაზს ვუსვამთ გრადიენტური ფუნქციის ძირითადი თვისებები ეკონომიკური ოპტიმიზაციის ანალიზისთვის უფრო მნიშვნელოვანია: გრადიენტის მიმართულებით ფუნქცია იზრდება. ეკონომიკურ პრობლემებში გამოიყენება გრადიენტის შემდეგი თვისებები:

1) მიეცით ფუნქცია ზ= ფ(X, ი) , რომელსაც აქვს ნაწილობრივი წარმოებულები განმარტების სფეროში. განიხილეთ რაღაც მომენტი M0(x0, y0)განმარტების სფეროდან. მოდით იყოს ფუნქციის მნიშვნელობა ამ ეტაპზე ფ(X0 , ი0 ) . განვიხილოთ ფუნქციის გრაფიკი. წერტილის მეშვეობით (X0 , ი0 , ფ(X0 , ი0 )) სამგანზომილებიანი სივრცე, ვხატავთ სიბრტყეს ფუნქციის გრაფიკის ზედაპირზე ტანგენტს. შემდეგ ფუნქციის გრადიენტი გამოითვლება წერტილში (x0, y0), გეომეტრიულად განიხილება, როგორც წერტილზე მიმაგრებული ვექტორი (X0 , ი0 , ფ(X0 , ი0 )) , პერპენდიკულარული იქნება ტანგენტის სიბრტყეზე. გეომეტრიული ილუსტრაცია ნაჩვენებია ნახ. 34.

2) გრადიენტური ფუნქცია ფ(X, ი) წერტილში M0(x0, y0)მიუთითებს წერტილში ფუნქციის ყველაზე სწრაფი ზრდის მიმართულებას М0. გარდა ამისა, ნებისმიერი მიმართულება, რომელიც ქმნის მახვილ კუთხეს გრადიენტთან, არის ფუნქციის ზრდის მიმართულება წერტილში М0. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მცირე მოძრაობა წერტილიდან (x0, y0)ფუნქციის გრადიენტის მიმართულებით ამ მომენტში იწვევს ფუნქციის ზრდას და უდიდესი ზომით.

განვიხილოთ ვექტორი გრადიენტის საპირისპირო. მას ეძახიან ანტი-გრადიენტული . ამ ვექტორის კოორდინატებია:

ანტი-გრადიენტული ფუნქცია ფ(X, ი) წერტილში M0(x0, y0)მიუთითებს წერტილში ფუნქციის ყველაზე სწრაფი კლების მიმართულებას М0. ნებისმიერი მიმართულება, რომელიც აყალიბებს მახვილ კუთხეს ანტიგრადიენტთან, არის მიმართულება, რომლითაც ფუნქცია მცირდება ამ წერტილში.

3) ფუნქციის შესწავლისას ხშირად ხდება საჭირო ასეთი წყვილების პოვნა (x, y)ფუნქციის სფეროდან, რომლისთვისაც ფუნქცია იღებს ერთსა და იმავე მნიშვნელობებს. განვიხილოთ პუნქტების ნაკრები (X, ი) ფუნქციის ფარგლებს გარეთ ფ(X, ი) , ისეთივე როგორც ფ(X, ი)= კონსტ, სად არის შესვლა “ კონსტ” ნიშნავს, რომ ფუნქციის მნიშვნელობა ფიქსირებულია და ტოლია ფუნქციის დიაპაზონიდან რომელიმე რიცხვს.

განმარტება. ფუნქციის დონის ხაზი U = ფ ( X , ი ) დაურეკა ხაზსფ(X, ი)=С თვითმფრინავშიXOy, რომლის წერტილებშიც ფუნქცია მუდმივი რჩებაU= C.

დონის ხაზები გეომეტრიულად გამოსახულია დამოუკიდებელი ცვლადების ცვლილების სიბრტყეზე მრუდი ხაზების სახით. დონის ხაზების მიღება შეიძლება წარმოიდგინოთ შემდეგნაირად. განიხილეთ ნაკრები FROM, რომელიც შედგება წერტილებისგან სამგანზომილებიან სივრცეში კოორდინატებით (X, ი, ფ(X, ი)= კონსტ), რომლებიც, ერთი მხრივ, ფუნქციის გრაფიკს ეკუთვნის ზ= ფ(X, ი), მეორეს მხრივ, ისინი წევენ კოორდინატთა სიბრტყის პარალელურად სიბრტყეში ᲠᲝᲒᲝᲠ, და მისგან გამოყოფილია მოცემული მუდმივის ტოლი მნიშვნელობით. შემდეგ დონის ხაზის ასაგებად საკმარისია ფუნქციის გრაფიკის ზედაპირი სიბრტყესთან გადაკვეთა. ზ= კონსტდა გადაკვეთის ხაზის დაპროექტება სიბრტყეზე ᲠᲝᲒᲝᲠ. ზემოთ მოყვანილი მსჯელობა არის სიბრტყეზე დონის ხაზების უშუალოდ აგების შესაძლებლობის დასაბუთება ᲠᲝᲒᲝᲠ.

განმარტება. დონის ხაზების ნაკრები ე.წ დონის ხაზის რუკა.

დონის ხაზების ცნობილი მაგალითებია იგივე სიმაღლის დონეები ტოპოგრაფიულ რუკაზე და იგივე ბარომეტრიული წნევის ხაზები ამინდის რუკაზე.

განმარტება. მიმართულებას, რომლის გასწვრივაც ფუნქციის გაზრდის სიჩქარე მაქსიმალურია, ეწოდება "სასურველი" მიმართულება, ან ყველაზე სწრაფი ზრდის მიმართულება.

"სასურველი" მიმართულება მოცემულია ფუნქციის გრადიენტის ვექტორით. ნახ. 35 გვიჩვენებს მაქსიმალურ, მინიმალურ და უნაგირის წერტილს ორი ცვლადის ფუნქციის ოპტიმიზაციის პრობლემაში შეზღუდვების არარსებობის შემთხვევაში. ფიგურის ქვედა ნაწილი გვიჩვენებს დონის ხაზებს და ყველაზე სწრაფი ზრდის მიმართულებებს.

მაგალითი 50. იპოვნეთ ფუნქციის დონის ხაზები U= X2 + ი2 .

გამოსავალი.დონის ხაზების ოჯახის განტოლებას აქვს ფორმა X2 + ი2 = C (C>0) . მიცემა FROMსხვადასხვა რეალური მნიშვნელობებით, ვიღებთ კონცენტრირებულ წრეებს, რომლებიც ორიენტირებულია საწყისზე.

დონის ხაზების მშენებლობა. მათი ანალიზი ფართოდ გამოიყენება ეკონომიკურ პრობლემებში მიკრო და მაკროდონეებზე, წონასწორობის თეორიასა და ეფექტურ გადაწყვეტილებებში. იზოკოსტები, იზოკვანტები, გულგრილობის მრუდები - ეს არის ყველა დონის ხაზები, რომლებიც აგებულია სხვადასხვა ეკონომიკური ფუნქციისთვის.

მაგალითი 51. განვიხილოთ შემდეგი ეკონომიკური მდგომარეობა. მოდით აღწერილი იყოს პროდუქციის წარმოება კობ-დუგლასის ფუნქცია ფ(X, ი)=10x1/3y2/3, სად X- შრომის ოდენობა ზე- კაპიტალის ოდენობა. რესურსების შესაძენად 30 დოლარი გამოიყო. ერთეული, შრომის ფასი 5 ც. ერთეული, კაპიტალი - 10 ც. ერთეულები მოდით დავუსვათ საკუთარ თავს კითხვა: რა არის ყველაზე დიდი გამოსავალი, რაც შეიძლება ამ პირობებში? აქ „მოცემული პირობები“ ეხება მოცემულ ტექნოლოგიებს, რესურსების ფასებს და წარმოების ფუნქციის ტიპს. როგორც უკვე აღვნიშნეთ, ფუნქცია კობ-დუგლასიმონოტონურად იზრდება თითოეულ ცვლადში, ანუ ყოველი ტიპის რესურსის ზრდა იწვევს გამომუშავების ზრდას. ამ პირობებში ცხადია, რომ შესაძლებელია რესურსების ათვისების გაზრდა, სანამ საკმარისი თანხაა. რესურსების პაკეტები, რომლებიც ღირს 30 ც. ერთეული, აკმაყოფილებს პირობას:

5x + 10y = 30,

ანუ, ისინი განსაზღვრავენ ფუნქციის დონის ხაზს:

გ(X, ი) = 5x + 10 წ.

მეორეს მხრივ, დონის ხაზების დახმარებით კობ-დუგლასის ფუნქციები (ნახ. 36) შესაძლებელია ფუნქციის გაზრდის ჩვენება: დონის ხაზის ნებისმიერ წერტილში გრადიენტის მიმართულება არის უდიდესი ზრდის მიმართულება, ხოლო წერტილში გრადიენტის ასაგებად საკმარისია დახაზეთ ტანგენსი დონის ხაზთან ამ ეტაპზე, დახაზეთ ტანგენსზე პერპენდიკულარული და მიუთითეთ გრადიენტის მიმართულება. ნახ. 36 ჩანს, რომ კობ-დუგლასის ფუნქციის დონის ხაზის მოძრაობა გრადიენტის გასწვრივ უნდა განხორციელდეს მანამ, სანამ ის არ გახდება ტანგენსი დონის ხაზთან. 5x + 10y = 30. ამრიგად, დონის ხაზის, გრადიენტის, გრადიენტური თვისებების ცნებების გამოყენებით, შესაძლებელია შემუშავდეს მიდგომები რესურსების საუკეთესოდ გამოყენების მიმართ გამომავალი მოცულობის გაზრდის თვალსაზრისით.

განმარტება. ფუნქციონალური დონის ზედაპირი U = ფ ( X , ი , ზ ) ზედაპირს უწოდებენფ(X, ი, ზ)=С, რომლის წერტილებში ფუნქცია მუდმივი რჩებაU= C.

მაგალითი 52. იპოვნეთ ფუნქციების დონის ზედაპირები U= X2 + ზ2 - ი2 .

გამოსავალი.დონის ზედაპირების ოჯახის განტოლებას აქვს ფორმა X2 + ზ2 - ი2 =C. Თუ C=0, შემდეგ მივიღებთ X2 + ზ2 - ი2 =0 - კონუსი; თუ C<0 , მაშინ X2 + ზ2 - ი2 =C -ორფურცლიანი ჰიპერბოლოიდების ოჯახი.

თუ სივრცის თითოეულ წერტილში ან სივრცის ნაწილზე განსაზღვრულია გარკვეული სიდიდის მნიშვნელობა, მაშინ ნათქვამია, რომ მოცემულია ამ სიდიდის ველი. ველს ეწოდება სკალარული, თუ განხილული მნიშვნელობა სკალარულია, ე.ი. კარგად ხასიათდება მისი რიცხვითი მნიშვნელობით. მაგალითად, ტემპერატურის ველი. სკალარული ველი მოცემულია u = /(M) წერტილის სკალარული ფუნქციით. თუ სივრცეში შემოტანილია დეკარტის კოორდინატთა სისტემა, მაშინ არსებობს სამი ცვლადის ფუნქცია x, yt z - M წერტილის კოორდინატები: განმარტება. სკალარული ველის დონის ზედაპირი არის წერტილების ერთობლიობა, რომლებშიც ფუნქცია f(M) იღებს იგივე მნიშვნელობას. დონის ზედაპირის განტოლება მაგალითი 1. იპოვნეთ სკალარული ველის დონის ზედაპირები ვექტორის ანალიზი სკალარული ველის დონის ზედაპირები და დონის ხაზები სკალარული ველის მიმართულების წარმოებული წარმოებული გრადიენტი ძირითადი გრადიენტის თვისებები გრადიენტის უცვლელი განმარტება გრადიენტის გაანგარიშების წესები -4 დონის გაანგარიშებით ზედაპირის განტოლება იქნება. ეს არის სფეროს (Ф 0-ით) განტოლება, რომელიც ორიენტირებულია საწყისზე. სკალარული ველი ეწოდება ბრტყელს, თუ ველი ერთნაირია რომელიმე სიბრტყის პარალელურად ყველა სიბრტყეში. თუ მითითებული სიბრტყე მიღებულია როგორც xOy სიბრტყე, მაშინ ველის ფუნქცია არ იქნება დამოკიდებული z კოორდინატზე, ანუ ის იქნება მხოლოდ x და y არგუმენტების ფუნქცია და ასევე მნიშვნელობა. დონის ხაზის განტოლება - მაგალითი 2. იპოვეთ სკალარული ველის დონის ხაზები დონის ხაზები მოცემულია განტოლებებით c = 0-ზე ვიღებთ ხაზების წყვილს, ვიღებთ ჰიპერბოლების ოჯახს (ნახ. 1). 1.1. მიმართულების წარმოებული იყოს სკალარული ველი, რომელიც განისაზღვრება სკალარული ფუნქციით u = /(Af). ავიღოთ წერტილი Afo და ავირჩიოთ I ვექტორით განსაზღვრული მიმართულება. ავიღოთ სხვა წერტილი M ისე, რომ ვექტორი M0M იყოს ვექტორის 1-ის პარალელურად (ნახ. 2). MoM ვექტორის სიგრძე ავღნიშნოთ A/-ით, ხოლო ფუნქციის /(Af) - /(Afo) ზრდა, D1 გადაადგილების შესაბამისი, Di-ით. თანაფარდობა განსაზღვრავს სკალარული ველის ცვლილების საშუალო სიჩქარეს სიგრძის ერთეულზე მოცემულ მიმართულებამდე.მოდით ახლა ნულისკენ მივისწრაფვით ისე, რომ ვექტორი М0М მუდმივად დარჩეს I ვექტორის პარალელურად. განმარტება. თუ D/O-სთვის არის (5) მიმართების სასრული ზღვარი, მაშინ მას ეწოდება ფუნქციის წარმოებული მოცემულ წერტილში Afo მოცემულ I მიმართულებამდე და აღინიშნება სიმბოლო zr!^. ასე რომ, განმარტებით, ეს განსაზღვრება არ არის დაკავშირებული კოორდინატთა სისტემის არჩევასთან, ანუ მას აქვს **ვარიანტული ხასიათი. მოდით ვიპოვოთ წარმოებულის გამოხატულება დეკარტის კოორდინატთა სისტემაში მიმართულების მიმართ. ფუნქცია / იყოს დიფერენცირებადი წერტილში. განვიხილოთ მნიშვნელობა /(Af) წერტილში. მაშინ ფუნქციის მთლიანი ზრდა შეიძლება ჩაიწეროს შემდეგი სახით: სადაც და სიმბოლოები ნიშნავს, რომ ნაწილობრივი წარმოებულები გამოითვლება Afo წერტილში. აქედან გამომდინარე, აქ სიდიდეები jfi, ^ არის ვექტორის მიმართულების კოსინუსები. ვინაიდან ვექტორები MoM და I თანამიმართულია, მათი მიმართულების კოსინუსები იგივეა: წარმოებულები, წარმოებულები არიან ფუნქციის და კოორდინატთა ღერძების მიმართულებების გასწვრივ გარე nno-ით. მაგალითი 3. იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული წერტილისკენ. ვექტორს აქვს სიგრძე. მისი მიმართულების კოსინუსები: (9) ფორმულით გვექნება ის ფაქტი, რომ ნიშნავს, რომ სკალარული ველი მოცემულ წერტილში ასაკის მოცემული მიმართულებით - ბრტყელი ველისთვის, წარმოებული I მიმართულებით წერტილში გამოითვლება ფორმულით. სადაც a არის I ვექტორის მიერ წარმოქმნილი კუთხე Oh ღერძით. Zmmchmm 2. ფორმულა (9) წარმოებულის გამოსათვლელად I მიმართულებით მოცემულ წერტილში Afo ძალაში რჩება მაშინაც კი, როდესაც M წერტილი მიისწრაფვის Mo წერტილისკენ მრუდის გასწვრივ, რომლის ვექტორი I არის ტანგენსი PrISp 4 წერტილში. გამოთვალეთ სკალარული ველის წარმოებული Afo(l, 1) წერტილში. კუთვნილი პარაბოლას ამ მრუდის მიმართულებით (აბსცისის გაზრდის მიმართულებით). პარაბოლის მიმართულება წერტილში არის პარაბოლის ტანგენსის მიმართულება ამ წერტილში (სურ. 3). პარაბოლას ტანგენსმა აფოს წერტილში Ox ღერძთან ერთად ჩამოაყალიბოს კუთხე. მაშინ საიდან ტანგენტის კოსინუსების მიმართვა, გამოვთვალოთ მნიშვნელობები და წერტილში. ჩვენ გვაქვს ახლა ფორმულით (10) ვიღებთ. იპოვეთ სკალარული ველის წარმოებული წრის მიმართულებით წერტილში წრის ვექტორულ განტოლებას აქვს ფორმა. ვპოულობთ წრის ტანგენსის m ერთეულ ვექტორს. წერტილი შეესაბამება პარამეტრის მნიშვნელობას. სკალარული ველის გრადიენტი მოდით, სკალარული ველი განისაზღვროს სკალარული ფუნქციით, რომელიც ითვლება დიფერენცირებად. განმარტება. სკალარული ველის გრადიენტი » მოცემულ წერტილში M არის ვექტორი, რომელიც აღინიშნება სიმბოლოთი grad და განისაზღვრება ტოლობით. ცხადია, რომ ეს ვექტორი დამოკიდებულია როგორც ფუნქციაზე / ასევე M წერტილზე, რომელზეც გამოითვლება მისი წარმოებული. მოდით 1 იყოს ერთეული ვექტორი მიმართულებით მაშინ მიმართულების წარმოებულის ფორმულა შეიძლება ჩაიწეროს შემდეგნაირად: . ამგვარად, u ფუნქციის წარმოებული 1 მიმართულებით უდრის u(M) ფუნქციის გრადიენტის და I მიმართულების 1° ერთეული ვექტორის სკალარული ნამრავლის ტოლია. 2.1. გრადიენტის თეორემა 1. სკალარული ველის გრადიენტი პერპენდიკულარულია დონის ზედაპირზე (ან დონის ხაზთან, თუ ველი ბრტყელია). (2) მოდით დავხატოთ დონის ზედაპირი u = const თვითნებური M წერტილის გავლით და ავირჩიოთ გლუვი მრუდი L ამ ზედაპირზე, რომელიც გადის M წერტილში (ნახ. 4). მოდით ვიყო ვექტორი L მრუდზე ტანგენსი M წერტილში. ვინაიდან დონის ზედაპირზე u(M) = u(M|) ნებისმიერი წერტილისთვის Mj ∈ L, მაშინ მეორეს მხრივ, = (გრადუ, 1°) . Ამიტომაც. ეს ნიშნავს, რომ ვექტორები grad და და 1° ორთოგონალურია. ამრიგად, ვექტორული grad და ორთოგონალურია M წერტილში დონის ზედაპირის ნებისმიერ ტანგენტს. ამრიგად, ის ორთოგონალურია თავად დონის ზედაპირის მიმართ M წერტილში. თეორემა 2. გრადიენტი მიმართულია ველის ფუნქციის გაზრდის მიმართულებით. ადრე ჩვენ დავამტკიცეთ, რომ სკალარული ველის გრადიენტი მიმართულია ნორმალურის გასწვრივ დონის ზედაპირზე, რომელიც შეიძლება იყოს ორიენტირებული ან u(M) ფუნქციის გაზრდაზე ან მის შემცირებაზე. აღვნიშნოთ ti(M) ფუნქციის გაზრდის მიმართულებით ორიენტირებული დონის ზედაპირის n-ით ნორმალურად და ვიპოვოთ u ფუნქციის წარმოებული ამ ნორმალის მიმართულებით (სურ. 5). ჩვენ გვაქვს წლიდან ნახ. 5-ის პირობის მიხედვით და შესაბამისად ვექტორული ანალიზი სკალარული ველი ზედაპირები და დონის ხაზები წარმოებული მიმართულებით სკალარული ველის წარმოებული გრადიენტი გრადიენტის ძირითადი თვისებები გრადიენტის უცვლელი განმარტება გრადიენტის გამოთვლის წესები აქედან გამომდინარეობს, რომ გრადიენტი და მიმართულია იმავე მიმართულებით, როგორც ჩვენ ავირჩიეთ ნორმალური n, ანუ u(M) ფუნქციის გაზრდის მიმართულებით. თეორემა 3. გრადიენტის სიგრძე უდრის უდიდეს წარმოებულს ველის მოცემულ წერტილში მიმართულების მიმართ, (აქ max $ აღებულია ყველა შესაძლო მიმართულებით მოცემულ M წერტილში წერტილისკენ). ჩვენ გვაქვს სად არის კუთხე ვექტორებს შორის 1 და grad n. ვინაიდან ყველაზე დიდი მნიშვნელობა არის მაგალითი 1. იპოვეთ ყველაზე დიდი და აბსოლუტური სკალარული ველის მიმართულება წერტილში და ასევე ამ უდიდესი ცვლილების სიდიდე მითითებულ წერტილში. სკალარული ველის უდიდესი ცვლილების მიმართულება მითითებულია ვექტორით. ჩვენ გვაქვს ასე ეს ვექტორი განსაზღვრავს ველში წერტილისკენ უდიდესი ზრდის მიმართულებას. ველში ყველაზე დიდი ცვლილების მნიშვნელობა ამ ეტაპზე არის 2.2. გრადიენტის უცვლელი განმარტება სიდიდეებს, რომლებიც ახასიათებს შესასწავლი ობიექტის თვისებებს და არ არის დამოკიდებული კოორდინატთა სისტემის არჩევანზე, მოცემული ობიექტის ინვარიანტები ეწოდება. მაგალითად, მრუდის სიგრძე ამ მრუდის უცვლელია, მაგრამ მრუდის ტანგენტის კუთხე x-ღერძთან არ არის უცვლელი. სკალარული ველის გრადიენტის ზემოაღნიშნული სამი თვისებიდან გამომდინარე, შეგვიძლია მივცეთ გრადიენტის შემდეგი უცვლელი განმარტება. განმარტება. სკალარული ველის გრადიენტი არის ვექტორი, რომელიც მიმართულია ნორმალური ზედაპირის გასწვრივ, ველის ფუნქციის გაზრდის მიმართულებით და აქვს სიგრძე, რომელიც უდრის ყველაზე დიდ მიმართულების წარმოებულს (მოცულ წერტილში). მოდით იყოს ერთეული ნორმალური ვექტორი მიმართული ველის გაზრდის მიმართულებით. შემდეგ მაგალითი 2. იპოვეთ მანძილის გრადიენტი - რომელიღაც ფიქსირებული წერტილი და M(x,y,z) - მიმდინარე. 4 გვაქვს სად არის ერთეულის მიმართულების ვექტორი. გრადიენტის გამოთვლის წესები, სადაც c არის მუდმივი რიცხვი. ზემოაღნიშნული ფორმულები მიიღება უშუალოდ გრადიენტისა და წარმოებულების თვისებების განსაზღვრებიდან. პროდუქტის დიფერენციაციის წესით მტკიცებულება თვისების მტკიცებულების მსგავსია, მოდით, F(u) იყოს დიფერენცირებადი სკალარული ფუნქცია. შემდეგ 4 გრადიენტის განმარტებით, ჩვენ გვაქვს გამოვიყენოთ ყველა ტერმინი მარჯვენა მხარეს, რთული ფუნქციის დიფერენციაციის წესი. ვიღებთ კერძოდ, ფორმულა (6) ფორმულის სიბრტყიდან გამომდინარეობს ამ სიბრტყის ორ ფიქსირებულ წერტილამდე. განვიხილოთ თვითნებური ელიფსი Fj და F კერებით და დაამტკიცეთ, რომ ნებისმიერი სინათლის სხივი, რომელიც გამოდის ელიფსის ერთი ფოკუსიდან, ელიფსიდან ასახვის შემდეგ, შედის მის მეორე ფოკუსში. ფუნქციის დონის ხაზები (7) არის ვექტორული ანალიზი სკალარული ველი ზედაპირები და დონის ხაზები მიმართულების წარმოებული წარმოებული სკალარული ველის გრადიენტი გრადიენტის ძირითადი თვისებები გრადიენტის უცვლელი განმარტება გრადიენტის გამოთვლის წესები განტოლებები (8) აღწერს ელიფსების ოჯახს ფოკუსებით F წერტილებში. ) და Fj. მაგალითი 2-ის შედეგის მიხედვით გვაქვს და რადიუსის ვექტორები. გამოყვანილია P(x, y) წერტილამდე F| კერებიდან და Fj და, შესაბამისად, დევს ამ რადიუს ვექტორებს შორის კუთხის ბისექტორზე (ნახ. 6). Tooromo 1-ის მიხედვით, გრადიენტი PQ პერპენდიკულარულია ელიფსის (8) წერტილზე. ამიტომ, სურ.6. ელიფსის ნორმა (8) ნებისმიერ მე-წე წერტილში ორად ყოფს კუთხეს ამ წერტილამდე მიყვანილ რადიუსის ვექტორებს შორის. აქედან და იქიდან, რომ დაცემის კუთხე არეკვლის კუთხის ტოლია, მივიღებთ: ელიფსის ერთი ფოკუსიდან გამომავალი სინათლის სხივი, მისგან არეკლილი, აუცილებლად მოხვდება ამ ელიფსის მეორე ფოკუსში.

1 0 გრადიენტი მიმართულია ნორმალურის გასწვრივ დონის ზედაპირზე (ან დონის ხაზისკენ, თუ ველი ბრტყელია).

2 0 გრადიენტი მიმართულია ველის ფუნქციის გაზრდის მიმართულებით.

3 0 გრადიენტური მოდული უდრის უდიდეს წარმოებულს ველის მოცემულ წერტილში მიმართულებით:

ეს თვისებები იძლევა გრადიენტის უცვლელ მახასიათებელს. ისინი ამბობენ, რომ gradU ვექტორი მიუთითებს მოცემულ წერტილში სკალარული ველის უდიდესი ცვლილების მიმართულებასა და სიდიდეს.

შენიშვნა 2.1.თუ ფუნქცია U(x,y) არის ორი ცვლადის ფუნქცია, მაშინ ვექტორი

(2.3)

დევს ოქსი სიბრტყეში.

დავუშვათ U=U(x,y,z) და V=V(x,y,z) ფუნქციები დიფერენცირებადი М 0 (x,y,z) წერტილში. შემდეგ მოქმედებს შემდეგი ტოლობები:

ა) grad()= ; ბ) grad(UV)=VgradU+UgradV;

გ) grad(U V)=gradU gradV; დ) დ) გრად = , V ;

ე) gradU( = gradU, სადაც, U=U() აქვს წარმოებული .

მაგალითი 2.1.მოცემულია ფუნქცია U=x 2 +y 2 +z 2. განსაზღვრეთ ფუნქციის გრადიენტი M(-2;3;4) წერტილში.

გამოსავალი.ფორმულის მიხედვით (2.2) გვაქვს

.

ამ სკალარული ველის დონის ზედაპირები არის სფეროების ოჯახი x 2 +y 2 +z 2, ვექტორი gradU=(-4;6;8) არის სიბრტყეების ნორმალური ვექტორი.

მაგალითი 2.2.იპოვეთ სკალარული ველის გრადიენტი U=x-2y+3z.

გამოსავალი.ფორმულის მიხედვით (2.2) გვაქვს

მოცემული სკალარული ველის დონის ზედაპირები არის სიბრტყეები

x-2y+3z=C; ვექტორი gradU=(1;-2;3) არის ამ ოჯახის სიბრტყეების ნორმალური ვექტორი.

მაგალითი 2.3.იპოვეთ ზედაპირის ყველაზე ციცაბო დახრილობა U=x y M(2;2;4) წერტილში.

გამოსავალი.Ჩვენ გვაქვს:

მაგალითი 2.4.იპოვეთ სკალარული ველის დონის ზედაპირის ერთეული ნორმალური ვექტორი U=x 2 +y 2 +z 2 .

გამოსავალი.მოცემული სკალარის დონის ზედაპირები ველი-სფერო x 2 +y 2 +z 2 =C (C>0).

გრადიენტი მიმართულია ნორმალური ზედაპირის გასწვრივ, ისე, რომ

განსაზღვრავს ნორმალურ ვექტორს დონის ზედაპირზე M(x,y,z) წერტილში. ერთეული ნორმალური ვექტორისთვის ვიღებთ გამოსახულებას

, სად

.

მაგალითი 2.5.იპოვეთ ველის გრადიენტი U= , სადაც და არიან მუდმივი ვექტორები, r არის წერტილის რადიუსის ვექტორი.

გამოსავალი.დაე

შემდეგ:
. დეტერმინანტის დიფერენციაციის წესით ვიღებთ

შესაბამისად,

მაგალითი 2.6.იპოვეთ მანძილის გრადიენტი, სადაც P(x,y,z) არის შესწავლილი ველის წერტილი, P 0 (x 0,y 0,z 0) არის რაღაც ფიქსირებული წერტილი.

გამოსავალი.გვაქვს - ერთეული მიმართულების ვექტორი.

მაგალითი 2.7.იპოვეთ კუთხე ფუნქციების გრადიენტებს შორის M 0 (1,1) წერტილში.

გამოსავალი.ამ ფუნქციების გრადიენტებს ვპოულობთ M 0 (1,1) წერტილში, გვაქვს

; კუთხე gradU-სა და gradV-ს შორის M 0 წერტილში განისაზღვრება ტოლობიდან

აქედან გამომდინარე =0.

მაგალითი 2.8.იპოვეთ წარმოებული მიმართულების მიმართ, რადიუსის ვექტორი ტოლია

(2.4)

გამოსავალი.ამ ფუნქციის გრადიენტის პოვნა:

(2.5) ჩანაცვლებით (2.4) მივიღებთ

მაგალითი 2.9.იპოვეთ M 0 (1;1;1) წერტილში სკალარული ველის უდიდესი ცვლილების მიმართულება U=xy+yz+xz და ამ წერტილის ამ უდიდესი ცვლილების სიდიდე.

გამოსავალი.ველში უდიდესი ცვლილების მიმართულება მითითებულია ვექტორული გრადუსით U(M). ჩვენ ვიპოვით მას:

Და, შესაბამისად, . ეს ვექტორი განსაზღვრავს ამ ველის უდიდესი ზრდის მიმართულებას M 0 (1;1;1) წერტილში. ამ ეტაპზე ველში ყველაზე დიდი ცვლილების მნიშვნელობა უდრის

.

მაგალითი 3.1.იპოვეთ ვექტორული ველის ვექტორული ხაზები სადაც არის მუდმივი ვექტორი.

გამოსავალი.ასე გვაქვს

(3.3)

პირველი წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი გავამრავლოთ x-ზე, მეორე - y-ზე, მესამე - z-ზე და დავამატოთ იგი ტერმინით. პროპორციის თვისების გამოყენებით ვიღებთ

აქედან გამომდინარე xdx+ydy+zdz=0, რაც ნიშნავს

x 2 +y 2 +z 2 =A 1, A 1 -const>0. ახლა ვამრავლებთ პირველი წილადის (3.3) მრიცხველს და მნიშვნელს c 1-ზე, მეორეს c 2-ზე, მესამეს c 3-ზე და შევაჯამებთ ნაწილზე ნაწილზე, მივიღებთ

საიდანაც c 1 dx+c 2 dy+c 3 dz=0

და, შესაბამისად, 1 x+c 2 y+c 3 z=A 2-ით. 2-კონსტ.

ვექტორული ხაზების საჭირო განტოლებები

ეს განტოლებები გვიჩვენებს, რომ ვექტორული ხაზები მიიღება სფეროების გადაკვეთის შედეგად, რომლებსაც აქვთ საერთო ცენტრი სათავეში ვექტორის პერპენდიკულარულ სიბრტყეებთან. . აქედან გამომდინარეობს, რომ ვექტორული ხაზები არის წრეები, რომელთა ცენტრები განლაგებულია სწორ ხაზზე, რომელიც გადის საწყისზე ვექტორის c მიმართულებით. წრეების სიბრტყეები მითითებული ხაზის პერპენდიკულარულია.

მაგალითი 3.2.იპოვეთ ვექტორული ველის ხაზი წერტილის გავლით (1,0,0).

გამოსავალი.ვექტორული წრფეების დიფერენციალური განტოლებები

აქედან გამომდინარე გვაქვს . პირველი განტოლების ამოხსნა. ან თუ შემოვიყვანთ t პარამეტრს, მაშინ გვექნება ამ შემთხვევაში განტოლება ფორმას იღებს ან dz=bdt, საიდანაც z=bt+c 2 .

სასკოლო მათემატიკის კურსიდან ცნობილია, რომ ვექტორი სიბრტყეზე არის მიმართული სეგმენტი. მის დასაწყისს და დასასრულს ორი კოორდინატი აქვს. ვექტორული კოორდინატები გამოითვლება საწყისი კოორდინატების ბოლო კოორდინატებს გამოკლებით.

ვექტორის ცნება ასევე შეიძლება გავრცელდეს n-განზომილებიან სივრცეში (ორი კოორდინატის ნაცვლად იქნება n კოორდინატი).

გრადიენტი gradz ფუნქცია z=f(x 1 , x 2 , ... x n) არის ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებულების ვექტორი წერტილში, ე.ი. ვექტორი კოორდინატებით.

შეიძლება დადასტურდეს, რომ ფუნქციის გრადიენტი ახასიათებს ფუნქციის დონის ყველაზე სწრაფი ზრდის მიმართულებას წერტილში.

მაგალითად, ფუნქციისთვის z \u003d 2x 1 + x 2 (იხ. სურათი 5.8), გრადიენტს ნებისმიერ წერტილში ექნება კოორდინატები (2; 1). ის შეიძლება აშენდეს თვითმფრინავზე სხვადასხვა გზით, ვექტორის დასაწყისად ნებისმიერი წერტილის აღებით. მაგალითად, შეგიძლიათ დააკავშიროთ წერტილი (0; 0) წერტილს (2; 1), ან წერტილი (1; 0) წერტილს (3; 1), ან წერტილი (0; 3) წერტილს (2; 4), ან ტ .პ. (იხ. სურათი 5.8). ამ გზით აგებულ ყველა ვექტორს ექნება კოორდინატები (2 - 0; 1 - 0) = = (3 - 1; 1 - 0) = (2 - 0; 4 - 3) = (2; 1).

სურათი 5.8 ნათლად აჩვენებს, რომ ფუნქციის დონე იზრდება გრადიენტის მიმართულებით, რადგან აშენებული დონის ხაზები შეესაბამება დონის მნიშვნელობებს 4 > 3 > 2.

სურათი 5.8 - ფუნქციის გრადიენტი z \u003d 2x 1 + x 2

განვიხილოთ კიდევ ერთი მაგალითი - ფუნქცია z= 1/(x 1 x 2). ამ ფუნქციის გრადიენტი აღარ იქნება ყოველთვის იგივე სხვადასხვა წერტილში, რადგან მისი კოორდინატები განისაზღვრება ფორმულებით (-1 / (x 1 2 x 2); -1 / (x 1 x 2 2)).

ნახაზი 5.9 გვიჩვენებს z= 1/(x 1 x 2) ფუნქციის დონის ხაზებს 2 და 10 დონეებისთვის (ხაზი 1/(x 1 x 2) = 2 მითითებულია წერტილოვანი ხაზით, ხოლო ხაზი 1/( x 1 x 2) = 10 არის მყარი ხაზი).

სურათი 5.9 - z \u003d 1 / (x 1 x 2) ფუნქციის გრადიენტები სხვადასხვა წერტილში

აიღეთ, მაგალითად, წერტილი (0.5; 1) და გამოთვალეთ გრადიენტი ამ ეტაპზე: (-1 / (0.5 2 * 1); -1 / (0.5 * 1 2)) \u003d (-4; - 2) . გაითვალისწინეთ, რომ წერტილი (0.5; 1) დევს დონის ხაზზე 1 / (x 1 x 2) \u003d 2, რადგან z \u003d f (0.5; 1) \u003d 1 / (0.5 * 1) \u003d 2. დახაზეთ ვექტორი (-4; -2) სურათზე 5.9, დააკავშირეთ წერტილი (0.5; 1) წერტილთან (-3.5; -1), რადგან (-3.5 - 0.5; -1 - 1) = (-4; -2).

ავიღოთ სხვა წერტილი იმავე დონის წრფეზე, მაგალითად, წერტილი (1; 0.5) (z=f(1; 0.5) = 1/(0.5*1) = 2). გამოთვალეთ გრადიენტი ამ წერტილში (-1/(1 2 *0.5); -1/(1*0.5 2)) = (-2; -4). 5.9-ზე მის გამოსასახავად, ჩვენ ვაკავშირებთ წერტილს (1; 0.5) წერტილს (-1; -3.5), რადგან (-1 - 1; -3.5 - 0.5) = (-2; - ოთხი).

ავიღოთ კიდევ ერთი წერტილი იმავე დონის წრფეზე, მაგრამ მხოლოდ ახლა არაპოზიტიურ კოორდინატთა კვარტალში. მაგალითად, წერტილი (-0.5; -1) (z=f(-0.5; -1) = 1/((-1)*(-0.5)) = 2). გრადიენტი ამ ეტაპზე იქნება (-1/((-0.5) 2 *(-1)); -1/((-0.5)*(-1) 2)) = (4; 2). მოდით გამოვსახოთ იგი ნახაზზე 5.9 წერტილის (-0.5; -1) (3.5; 1) წერტილის შეერთებით, რადგან (3.5 - (-0.5); 1 - (-1)) = (4 ; 2).

უნდა აღინიშნოს, რომ სამივე განხილულ შემთხვევაში, გრადიენტი აჩვენებს ფუნქციის დონის ზრდის მიმართულებას (დონის ხაზისკენ 1/(x 1 x 2) = 10 > 2).

შეიძლება დადასტურდეს, რომ გრადიენტი ყოველთვის პერპენდიკულარულია მოცემულ წერტილში გამავალი დონის წრფეზე (დონის ზედაპირი).

რამდენიმე ცვლადის ფუნქციის ექსტრემა

მოდით განვსაზღვროთ კონცეფცია ექსტრემალურიმრავალი ცვლადის ფუნქციისთვის.

მრავალი ცვლადის ფუნქციას აქვს f(X) X წერტილში (0) მაქსიმალური (მინიმალური),თუ არის ამ წერტილის ისეთი მეზობლობა, რომ ყველა X წერტილისთვის ამ სამეზობლოდან არის f(X)f(X (0)) () უტოლობა.

თუ ეს უტოლობები დაკმაყოფილებულია როგორც მკაცრი, მაშინ ექსტრემუმი ეწოდება ძლიერიდა თუ არა, მაშინ სუსტი.

გაითვალისწინეთ, რომ ამ გზით განსაზღვრული ექსტრემუმი არის ადგილობრივიხასიათი, რადგან ეს უტოლობები მოქმედებს მხოლოდ უკიდურესი წერტილის ზოგიერთ მახლობლად.

დიფერენცირებადი ფუნქციის ლოკალური უკიდურესობის აუცილებელი პირობაა z=f(x 1, . . ., x n) წერტილში არის ყველა პირველი რიგის ნაწილობრივი წარმოებულის ნულის ტოლობა ამ წერტილში:
.

წერტილები, რომლებზედაც ეს თანასწორობაა, ეწოდება სტაციონარული.

სხვაგვარად, უკიდურესობის აუცილებელი პირობა შეიძლება ჩამოყალიბდეს შემდეგნაირად: უკიდურეს წერტილში გრადიენტი ნულის ტოლია. ასევე შესაძლებელია უფრო ზოგადი განცხადების დამტკიცება - უკიდურეს წერტილში ფუნქციის წარმოებულები ქრება ყველა მიმართულებით.

სტაციონარული წერტილები უნდა დაექვემდებაროს დამატებით კვლევებს - დაკმაყოფილებულია თუ არა საკმარისი პირობები ადგილობრივი ექსტრემის არსებობისთვის. ამისათვის დაადგინეთ მეორე რიგის დიფერენციალური ნიშანი. თუ რომელიმესთვის, რომელიც ერთდროულად არ არის ნულის ტოლი, ის ყოველთვის უარყოფითია (დადებითი), მაშინ ფუნქციას აქვს მაქსიმუმი (მინიმუმი). თუ ის შეიძლება გაქრეს არა მხოლოდ ნულოვანი მატებით, მაშინ ექსტრემის საკითხი ღია რჩება. თუ მას შეუძლია მიიღოს როგორც დადებითი, ასევე უარყოფითი მნიშვნელობები, მაშინ არ არის ექსტრემუმი სტაციონარულ წერტილში.

ზოგადად, დიფერენციალური ნიშნის დადგენა საკმაოდ რთული პრობლემაა, რომელსაც აქ არ განვიხილავთ. ორი ცვლადის ფუნქციისთვის შეიძლება დაამტკიცოს, რომ თუ სტაციონარულ წერტილში
, მაშინ არის ექსტრემუმი. ამ შემთხვევაში მეორე დიფერენციალური ნიშანი ემთხვევა ნიშანს
, ე.ი. თუ
, მაშინ ეს არის მაქსიმუმი და თუ
, მაშინ ეს არის მინიმალური. Თუ
, მაშინ ამ ეტაპზე ექსტრემუმი არ არის და თუ
, მაშინ ექსტრემის საკითხი ღია რჩება.

მაგალითი 1. იპოვეთ ფუნქციის უკიდურესობა
.

ვიპოვოთ ნაწილობრივი წარმოებულები ლოგარითმული დიფერენციაციის მეთოდით.

ln z = ln 2 + ln (x + y) + ln (1 + xy) - ln (1 + x 2) - ln (1 + y 2)

ანალოგიურად
.

მოდით ვიპოვოთ სტაციონარული წერტილები განტოლებათა სისტემიდან:

ამრიგად, ნაპოვნია ოთხი სტაციონარული წერტილი (1; 1), (1; -1), (-1; 1) და (-1; -1).

ვიპოვოთ მეორე რიგის ნაწილობრივი წარმოებულები:

ln (z x `) = ln 2 + ln (1 - x 2) -2ln (1 + x 2)

ანალოგიურად
;
.

იმიტომ რომ
, გამოხატვის ნიშანი
დამოკიდებულია მხოლოდ
. გაითვალისწინეთ, რომ ამ ორივე წარმოებულში მნიშვნელი ყოველთვის დადებითია, ასე რომ თქვენ შეგიძლიათ გაითვალისწინოთ მხოლოდ მრიცხველის ნიშანი, ან თუნდაც x (x 2 - 3) და y (y 2 - 3) გამონათქვამების ნიშანი. მოდით განვსაზღვროთ იგი თითოეულ კრიტიკულ წერტილში და შევამოწმოთ საკმარისი ექსტრემალური მდგომარეობის შესრულება.

წერტილისთვის (1; 1) ვიღებთ 1*(1 2 - 3) = -2< 0. Т.к. произведение двух отрицательных чисел
> 0 და
< 0, в точке (1; 1) можно найти максимум. Он равен
= 2*(1 + 1)*(1 +1*1)/((1 +1 2)*(1 +1 2)) = = 8/4 = 2.

წერტილისთვის (1; -1) ვიღებთ 1*(1 2 - 3) = -2< 0 и (-1)*((-1) 2 – 3) = 2 >0. რადგან ამ რიცხვების ნამრავლი
< 0, в этой точке экстремума нет. Аналогично можно показать, что нет экстремума в точке (-1; 1).

წერტილისთვის (-1; -1) ვიღებთ (-1)*((-1) 2 - 3) = 2 > 0. ორი დადებითი რიცხვის ნამრავლი
> 0 და
> 0, წერტილში (-1; -1) შეგიძლიათ იპოვოთ მინიმუმი. ის უდრის 2*((-1) + (-1))*(1 +(-1)*(-1))/((1 +(-1) 2)*(1 +(-1) 2) ) = -8/4 = = -2.

იპოვე გლობალურიმაქსიმალური ან მინიმალური (ფუნქციის უდიდესი ან უმცირესი მნიშვნელობა) გარკვეულწილად უფრო რთულია, ვიდრე ადგილობრივი ექსტრემი, რადგან ამ მნიშვნელობების მიღწევა შესაძლებელია არა მხოლოდ სტაციონარულ წერტილებში, არამედ განსაზღვრის დომენის საზღვარზე. ამ რეგიონის საზღვარზე ფუნქციის ქცევის შესწავლა ყოველთვის ადვილი არ არის.