თემა ნომერი 2.

ალგებრული გამონათქვამების კონვერტაცია

მე. თეორიული მასალა

Ძირითადი ცნებები

ალგებრული გამოთქმა: მთელი რიცხვი, წილადი, რაციონალური, ირაციონალური.

ფარგლები, გამოხატვის სწორი მნიშვნელობები.

ალგებრული გამოხატვის მნიშვნელობა.

მონომიული, მრავალწევრი.

შემოკლებული გამრავლების ფორმულები.

ფაქტორიზაცია, საერთო ფაქტორის ბრეკეტირება.

წილადის ძირითადი თვისება.

ხარისხი, ხარისხის თვისებები.

კორტიმი, ფესვების თვისებები.

რაციონალური და ირაციონალური გამონათქვამების ტრანსფორმაცია.

რიცხვებისა და ცვლადებისაგან შემდგარი გამოთქმა შეკრების, გამოკლების, გამრავლების, გაყოფის ნიშნების გამოყენებით, რაციონალურ ხარისხზე აწევის, ფესვის ამოღება და ფრჩხილების გამოყენებით ე.წ. ალგებრული.

მაგალითად: ;
;
;

;
;
;
.

თუ ალგებრული გამონათქვამი არ შეიცავს ცვლადებად დაყოფას და ცვლადებიდან ფესვის ამოღებას (კერძოდ, წილადის მაჩვენებლით გაძლიერებას), მაშინ მას ე.წ. მთლიანი.

მაგალითად:
;
;
.

თუ ალგებრული გამონათქვამი შედგება რიცხვებისა და ცვლადებისაგან, შეკრების, გამოკლების, გამრავლების, გაძლიერების ოპერაციების გამოყენებით ბუნებრივი მაჩვენებლით და გაყოფით, ხოლო გამოსახულებებად დაყოფა გამოიყენება ცვლადებით, მაშინ მას ე.წ. წილადი.

მაგალითად:
;
.

მთელი და წილადი გამოსახულებები ეწოდება რაციონალურიგამონათქვამები.

მაგალითად: ;
;

.

თუ ალგებრული გამოთქმა იყენებს ფესვის ამოღებას ცვლადებიდან (ან ცვლადების წილადის ხარისხზე აყვანას), მაშინ ასეთ ალგებრულ გამოსახულებას ე.წ. ირაციონალური.

მაგალითად:
;
.

ცვლადების მნიშვნელობები, რომლებისთვისაც ალგებრული გამოხატულება აზრიანია, ეწოდება მოქმედი ცვლადი მნიშვნელობები.

ცვლადების ყველა დასაშვები მნიშვნელობების ნაკრები ეწოდება განმარტების სფერო.

მთელი ალგებრული გამოხატვის დომენი არის რეალური რიცხვების სიმრავლე.

წილადი ალგებრული გამოსახულებების დომენი არის ყველა რეალური რიცხვის სიმრავლე, გარდა იმ რიცხვებისა, რომლებიც მნიშვნელს ნულს აქცევს.

მაგალითად: აზრი აქვს როცა
;

აზრი აქვს როცა
, ანუ როდის
.

ირაციონალური ალგებრული გამოხატვის დომენი არის ყველა რეალური რიცხვის ერთობლიობა, გარდა იმ რიცხვებისა, რომლებიც უარყოფით რიცხვად აქცევენ გამოსახულებას ლუწი ხარისხის ფესვის ნიშნის ქვეშ ან წილადის ხარისხზე აწევის ნიშნის ქვეშ.

მაგალითად:
აზრი აქვს როცა
;

აზრი აქვს როცა
, ანუ როდის
.

ცვლადების დასაშვები მნიშვნელობების ალგებრული გამოსახულებით ჩანაცვლებით მიღებული რიცხვითი მნიშვნელობა ეწოდება ალგებრული გამოხატვის მნიშვნელობა.

მაგალითად: გამოხატულება
ზე
,
იღებს ღირებულებას
.

ალგებრული გამონათქვამი, რომელიც შეიცავს მხოლოდ რიცხვებს, ცვლადების ბუნებრივ სიმძლავრეებს და მათ პროდუქტებს, ეწოდება მონომიური.

მაგალითად:
;
;
.

მონომი, რომელიც იწერება, როგორც რიცხვითი ფაქტორის ნამრავლი, პირველ რიგში, და სხვადასხვა ცვლადის სიმძლავრეები, მცირდება სტანდარტული ხედი.

მაგალითად:
;
.

მონომის სტანდარტული აღნიშვნის რიცხვითი ფაქტორი ეწოდება მონომიური კოეფიციენტი. ყველა ცვლადის მაჩვენებლების ჯამი ეწოდება მონომიური ხარისხი.

მონომის მონომზე გამრავლებისას და მონომის ბუნებრივ ხარისხზე აყვანისას ვიღებთ მონომს, რომელიც უნდა დავიყვანოთ სტანდარტულ ფორმამდე.

მონომების ჯამი ე.წ მრავალწევრი.

მაგალითად:
; ;
.

თუ მრავალწევრის ყველა წევრი იწერება სტანდარტული ფორმით და შესრულებულია მსგავსი ტერმინების შემცირება, მაშინ მიღებულია სტანდარტული ფორმის მრავალწევრი.

მაგალითად: .

თუ პოლინომში მხოლოდ ერთი ცვლადია, მაშინ ამ ცვლადის ყველაზე დიდი მაჩვენებელი ეწოდება მრავალწევრი ხარისხი.

მაგალითად: მრავალწევრს აქვს მეხუთე ხარისხი.

ცვლადის მნიშვნელობა, რომლისთვისაც მრავალწევრის მნიშვნელობა არის ნული, ეწოდება მრავალწევრი ფესვი.

მაგალითად: მრავალწევრი ფესვები
არის რიცხვები 1.5 და 2.

შემოკლებული გამრავლების ფორმულები

შემოკლებული გამრავლების ფორმულების გამოყენების განსაკუთრებული შემთხვევები

კვადრატული განსხვავება:
ან

ჯამის კვადრატი:
ან

განსხვავების კვადრატი:
ან

კუბების ჯამი:
ან

კუბების განსხვავება:
ან

ჯამის კუბი:
ან

განსხვავების კუბი:
ან

მრავალწევრის გადაქცევას რამდენიმე ფაქტორის ნამრავლად (მრავალწევა ან მონომი) ეწოდება მრავალწევრის ფაქტორიზაცია.

Მაგალითად:.

მრავალწევრის ფაქტორინგის მეთოდები

მაგალითად: .

სხარტი გამრავლების ფორმულების გამოყენება.

მაგალითად: .

დაჯგუფების მეთოდი. კომუტაციური და ასოციაციური კანონები საშუალებას გაძლევთ დააჯგუფოთ მრავალწევრის ტერმინები სხვადასხვა გზით. ერთ-ერთი გზა მივყავართ იქამდე, რომ იგივე გამონათქვამი მიიღება ფრჩხილებში, რაც თავის მხრივ ამოღებულია ფრჩხილებიდან.

Მაგალითად:.

ნებისმიერი წილადი ალგებრული გამოსახულება შეიძლება დაიწეროს როგორც ორი რაციონალური გამონათქვამის კოეფიციენტი მნიშვნელში ცვლადით.

მაგალითად:
.

წილადს, რომელშიც მრიცხველი და მნიშვნელი რაციონალური გამონათქვამებია და მნიშვნელი შეიცავს ცვლადს, ე.წ. რაციონალური წილადი.

მაგალითად:
;
;
.

თუ რაციონალური წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი გამრავლდება ან იყოფა იმავე არანულოვან რიცხვზე, მონომში ან მრავალწევრზე, მაშინ წილადის მნიშვნელობა არ შეიცვლება. ამ გამოთქმას ე.წ წილადის ძირითადი თვისება:

.

წილადის მრიცხველისა და მნიშვნელის იმავე რიცხვზე გაყოფის მოქმედებას ეწოდება წილადის შემცირება:

.

მაგალითად:
;
.

მუშაობა ნმამრავლები, რომელთაგან თითოეული უდრის ა,სადაც აარის თვითნებური ალგებრული გამოხატულება ან რეალური რიცხვი და ნნატურალური რიცხვია, ე.წ ხარისხია :

.

ალგებრული გამოხატულება ადაურეკა ხარისხის საფუძველი, ნომერი
ნ – მაჩვენებელი.

მაგალითად:
.

განმარტებით ვარაუდობენ, რომ ნებისმიერი ანულის ტოლი არ არის:

და
.

Თუ
, მაშინ
.

ხარისხის თვისებები

1.
.

2.
.

3.
.

4.
.

5.
.

Თუ ,
, შემდეგ გამოხატვა ნ-რომლის ხარისხი უდრის ა, ეწოდება ფესვინ ე ხარისხია . მას ჩვეულებრივ მოიხსენიებენ
. სადაც ადაურეკა რადიკალური გამოხატულება, ნდაურეკა ფესვის მაჩვენებელი.

მაგალითად:
;
;
.

Root თვისებებინა-ის ხარისხი

1.
.

2.
,
.

3.
.

4.
.

5.
.

ხარისხისა და ფესვის ცნების განზოგადებით, მივიღებთ ხარისხის ცნებას რაციონალური მაჩვენებლით:

.

Კერძოდ,
.

ფესვებზე შესრულებული მოქმედებები

მაგალითად: .

II. პრაქტიკული მასალა

დავალებების შესრულების მაგალითები

მაგალითი 1. იპოვეთ წილადის მნიშვნელობა
.

პასუხი: .

მაგალითი 2. გამოხატვის გამარტივება
.

მოდით გადავცვალოთ გამონათქვამი პირველ ფრჩხილებში:

, თუ
.

მოდით გადავცვალოთ გამონათქვამი მეორე ფრჩხილებში:

.

გაყავით შედეგი პირველი ფრჩხილიდან მეორე ფრჩხილის შედეგზე:

პასუხი:

მაგალითი 3. გამოთქმის გამარტივება:

.

მაგალითი 4. გამოხატვის გამარტივება.

გადავიყვანოთ პირველი წილადი:

.

გადავცვალოთ მეორე წილადი:

.

შედეგად, ჩვენ ვიღებთ:
.

მაგალითი 5გამოხატვის გამარტივება
.

გადაწყვეტილება. ვიმოქმედოთ:

1)
;

2)
;

3)
;

6)
;

პასუხი:
.

მაგალითი 6დაამტკიცეთ ვინაობა
.

1)
;

2)
;

მაგალითი 7გამოთქმის გამარტივება:

.

გადაწყვეტილება. ჩვენ ვასრულებთ მოქმედებებს:

;

2)
.

მაგალითი 8დაამტკიცეთ ვინაობა
.

გადაწყვეტილება. ჩვენ ვასრულებთ მოქმედებებს:

1)
;

2)

;

3)
.

ამოცანები დამოუკიდებელი მუშაობისთვის

1. გაამარტივე გამოთქმა:

ა)
;

ბ)
;

2. გამოთვალეთ:

ა)
;

ბ)
;.დოკუმენტი

საგანი No5.1. ტრიგონომეტრიული განტოლებები I. თეორიულიმასალაძირითადი ცნებები ტრიგონომეტრიული განტოლება... სხვადასხვას გამოყენებით ალგებრულიდა ტრიგონომეტრიული ფორმულები და გარდაქმნები. II. პრაქტიკული მასალადავალებების მაგალითები...

თეორიული მასალა გარე ჯგუფებისა და სესიის სტუდენტებისთვის სარჩევი გაკვეთილი 1 ინფორმატიკის გაკვეთილი 2 ინფორმაცია

გაკვეთილი

თეორიულიმასალაამისთვის... , გარდაქმნები, გადაცემა და გამოყენება. ინფორმაცია ცოდნაა გამოხატული... და ადრე დაგროვილი, თემებიამით, ხელს უწყობს პროგრესულ ... მათ სიმართლეს დახმარებით ალგებრულიმეთოდები. გამონათქვამები და გამონათქვამები...

თემა "არჩევითი კურსის პროგრამის შემუშავება, როგორც წინაპროფილური ტრენინგის ნაწილი" დასრულდა

დოკუმენტი

... თეორიულიპროექტის ტექნიკურ-ეკონომიკური დასაბუთება 2005 წლის ივნისი-აგვისტო 3. შერჩევა მასალა... აჩვენებს მოდულის განმარტების გამოყენებას, როდესაც ტრანსფორმაციაალგებრულიგამონათქვამები. მოდული განტოლებებში: - ...მოსწავლის მოტივაცია ხელშეწყობით თემებიყველაზე, ინტრაპროფილური...

სასწავლო დამხმარე საშუალება

... საგანი 1. იდენტური გარდაქმნებიალგებრულიგამონათქვამები საგანი 2. ალგებრული თეორიულიმასალა

და კონდაუროვამ შეარჩია მათემატიკის სწავლების თეორიისა და მეთოდების თავები სკოლის მოსწავლეების დამატებითი მათემატიკური განათლების შესახებ.

სასწავლო დამხმარე საშუალება

... საგანი 1. იდენტური გარდაქმნებიალგებრულიგამონათქვამები(მათ შორის ჩანაცვლების გამოყენება, რიცხვის მოდულის კონცეფცია). საგანი 2. ალგებრული... პედაგოგები. არის დისტანციური ლექციები თეორიულიმასალარომელიც შეიძლება წარმოდგენილი იყოს...

რიცხვების შეკრებისა და გამრავლების ძირითადი თვისებები.

შეკრების კომუტაციური თვისება: ტერმინების გადალაგებისას ჯამის მნიშვნელობა არ იცვლება. ნებისმიერი a და b რიცხვისთვის ტოლობა მართალია

შეკრების ასოციაციური თვისება: იმისათვის, რომ დაამატოთ მესამე რიცხვი ორი რიცხვის ჯამს, შეგიძლიათ დაამატოთ მეორე და მესამე რიცხვის ჯამი პირველ რიცხვს. ნებისმიერი a, b და c რიცხვებისთვის ტოლობა მართალია

გამრავლების კომუტაციური თვისება: ფაქტორების პერმუტაცია არ ცვლის ნამრავლის მნიშვნელობას. ნებისმიერი a, b და c რიცხვისთვის ტოლობა მართალია

გამრავლების ასოციაციური თვისება: იმისათვის, რომ გავამრავლოთ ორი რიცხვის ნამრავლი მესამე რიცხვზე, შეგიძლიათ გაამრავლოთ პირველი რიცხვი მეორე და მესამეს ნამრავლზე.

ნებისმიერი a, b და c რიცხვისთვის ტოლობა მართალია

გამანაწილებელი თვისება: რიცხვის ჯამზე გასამრავლებლად, შეგიძლიათ ეს რიცხვი გაამრავლოთ თითოეულ წევრზე და დაამატოთ შედეგები. ნებისმიერი a, b და c რიცხვებისთვის ტოლობა მართალია

მიმატების კომუტაციური და ასოციაციური თვისებებიდან გამომდინარეობს, რომ ნებისმიერ ჯამში შეგიძლიათ გადააწყოთ ტერმინები, როგორც გსურთ და თვითნებურად დააკავშიროთ ისინი ჯგუფებში.

მაგალითი 1 გამოვთვალოთ ჯამი 1.23+13.5+4.27.

ამისათვის მოსახერხებელია პირველი ტერმინის მესამესთან შეთავსება. ჩვენ ვიღებთ:

1,23+13,5+4,27=(1,23+4,27)+13,5=5,5+13,5=19.

ეს გამომდინარეობს გამრავლების კომუტაციური და ასოციაციური თვისებებიდან: ნებისმიერ პროდუქტში, თქვენ შეგიძლიათ გადააწყოთ ფაქტორები ნებისმიერი გზით და თვითნებურად დააკავშიროთ ისინი ჯგუფებად.

მაგალითი 2 ვიპოვოთ ნამრავლის მნიშვნელობა 1.8 0.25 64 0.5.

პირველი ფაქტორის მეოთხესთან, ხოლო მეორეს მესამესთან შეთავსებით, გვექნება:

1.8 0.25 64 0.5 \u003d (1.8 0.5) (0.25 64) \u003d 0.9 16 \u003d 14.4.

განაწილების თვისება ასევე მოქმედებს, როდესაც რიცხვი მრავლდება სამი ან მეტი წევრის ჯამზე.

მაგალითად, ნებისმიერი რიცხვისთვის a, b, c და d, ტოლობა მართალია

a(b+c+d)=ab+ac+ad.

ჩვენ ვიცით, რომ გამოკლება შეიძლება შეიცვალოს მიმატებით, მინუენდისთვის საპირისპირო რიცხვის მიმატებით:

ეს საშუალებას აძლევს a-b ფორმის რიცხვითი გამოსახულებას ჩაითვალოს a და -b რიცხვების ჯამი, a + b-c-d ფორმის რიცხვითი გამოხატულება ჩაითვალოს a, b, -c, -d და ა.შ. ქმედებების განხილული თვისებები ასევე მოქმედებს ასეთ თანხებზე.

მაგალითი 3 ვიპოვოთ გამოთქმის მნიშვნელობა 3.27-6.5-2.5+1.73.

ეს გამოხატულება არის 3.27, -6.5, -2.5 და 1.73 რიცხვების ჯამი. შეკრების თვისებების გამოყენებით მივიღებთ: 3,27-6,5-2,5+1,73=(3,27+1,73)+(-6,5-2,5)=5+(-9) = -4.

მაგალითი 4 გამოვთვალოთ ნამრავლი 36·().

მამრავლი შეიძლება მივიჩნიოთ, როგორც რიცხვების ჯამი და -. გამრავლების გამანაწილებელი თვისების გამოყენებით ვიღებთ:

36()=36-36=9-10=-1.

იდენტობები

განმარტება. ორი გამონათქვამი, რომელთა შესაბამისი მნიშვნელობები ტოლია ცვლადის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის, ნათქვამია, რომ იდენტური ტოლია.

განმარტება. თანასწორობას, რომელიც ჭეშმარიტია ცვლადის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის, ეწოდება იდენტობა.

ვიპოვოთ 3(x+y) და 3x+3y გამონათქვამების მნიშვნელობები x=5, y=4:

3(x+y)=3(5+4)=3 9=27,

3x+3y=3 5+3 4=15+12=27.

იგივე შედეგი მივიღეთ. გამანაწილებელი თვისებიდან გამომდინარეობს, რომ ზოგადად, ცვლადის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის, 3(x+y) და 3x+3y გამონათქვამების შესაბამისი მნიშვნელობები ტოლია.

ახლა განვიხილოთ გამონათქვამები 2x+y და 2xy. x=1-ისთვის y=2 ისინი იღებენ თანაბარ მნიშვნელობებს:

თუმცა, შეგიძლიათ მიუთითოთ x და y მნიშვნელობები ისე, რომ ამ გამონათქვამების მნიშვნელობები არ იყოს ტოლი. მაგალითად, თუ x=3, y=4, მაშინ

გამოსახულებები 3(x+y) და 3x+3y იდენტურად ტოლია, მაგრამ გამოსახულებები 2x+y და 2xy იდენტურად ტოლი არ არის.

ტოლობა 3(x+y)=x+3y, ჭეშმარიტი x და y ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის, არის იდენტობა.

ჭეშმარიტი რიცხვითი ტოლობები ასევე განიხილება იდენტობად.

ასე რომ, იდენტობები არის ტოლობები, რომლებიც გამოხატავს რიცხვებზე მოქმედებების ძირითად თვისებებს:

a+b=b+a, (a+b)+c=a+(b+c),

ab=ba, (ab)c=a(bc), a(b+c)=ab+ac.

იდენტურობის სხვა მაგალითების მოყვანა შეიძლება:

a+0=a, a+(-a)=0, a-b=a+(-b),

a 1=a, a (-b)=-ab, (-a)(-b)=ab.

გამონათქვამების იდენტობის გარდაქმნები

ერთი გამონათქვამის შეცვლას მეორით, მისი იდენტურად ტოლი, ეწოდება იდენტური ტრანსფორმაცია ან უბრალოდ გამოხატვის ტრანსფორმაცია.

ცვლადებთან გამონათქვამების იდენტური გარდაქმნები შესრულებულია რიცხვებზე მოქმედებების თვისებებზე დაყრდნობით.

xy-xz გამოხატვის მნიშვნელობის მოსაძებნად x, y, z მნიშვნელობების გათვალისწინებით, თქვენ უნდა შეასრულოთ სამი ნაბიჯი. მაგალითად, x=2.3, y=0.8, z=0.2 მივიღებთ:

xy-xz=2.3 0.8-2.3 0.2=1.84-0.46=1.38.

ამ შედეგის მიღება შესაძლებელია მხოლოდ ორ საფეხურზე, გამოხატვის x(y-z) გამოყენებით, რომელიც იდენტურად უდრის გამოხატვას xy-xz:

xy-xz=2.3(0.8-0.2)=2.3 0.6=1.38.

ჩვენ გავამარტივეთ გამოთვლები xy-xz გამოხატვის ჩანაცვლებით იდენტურად თანაბარი გამოხატულებით x(y-z).

გამონათქვამების იდენტობის გარდაქმნები ფართოდ გამოიყენება გამონათქვამების მნიშვნელობების გამოთვლასა და სხვა პრობლემების გადაჭრისას. უკვე განხორციელდა რამდენიმე იდენტური ტრანსფორმაცია, მაგალითად, მსგავსი ტერმინების შემცირება, ფრჩხილების გახსნა. გაიხსენეთ ამ გარდაქმნების შესრულების წესები:

მსგავსი ტერმინების მოსატანად, თქვენ უნდა დაამატოთ მათი კოეფიციენტები და გაამრავლოთ შედეგი საერთო ასო ნაწილზე;

თუ ფრჩხილების წინ არის პლუსის ნიშანი, მაშინ ფრჩხილები შეიძლება გამოტოვოთ, შეინარჩუნოთ ფრჩხილებში ჩასმული თითოეული ტერმინის ნიშანი;

თუ ფრჩხილების წინ არის მინუს ნიშანი, მაშინ ფრჩხილების გამოტოვება შესაძლებელია ფრჩხილებში ჩასმული თითოეული ტერმინის ნიშნის შეცვლით.

მაგალითი 1 დავამატოთ მსგავსი ტერმინები ჯამში 5x+2x-3x.

ჩვენ ვიყენებთ წესს მსგავსი ტერმინების შესამცირებლად:

5x+2x-3x=(5+2-3)x=4x.

ეს ტრანსფორმაცია ემყარება გამრავლების გამანაწილებელ თვისებას.

მაგალითი 2 გავაფართოვოთ ფრჩხილები გამოსახულებაში 2a+(b-3c).

ფრჩხილების გახსნის წესის გამოყენება, რომელსაც წინ უძღვის პლუს ნიშანი:

2a+(b-3c)=2a+b-3c.

შესრულებული ტრანსფორმაცია ემყარება დამატების ასოციაციურ თვისებას.

მაგალითი 3 გავაფართოვოთ ფრჩხილები გამოსახულებაში a-(4b-c).

მოდით გამოვიყენოთ ფრჩხილების გაფართოების წესი, რომელსაც წინ უძღვის მინუს ნიშანი:

a-(4b-c)=a-4b+c.

შესრულებული ტრანსფორმაცია ეფუძნება გამრავლების გამანაწილებელ თვისებას და შეკრების ასოციაციურ თვისებას. ვაჩვენოთ. მოდით წარმოვიდგინოთ მეორე წევრი -(4b-c) ამ გამოსახულებაში, როგორც ნამრავლი (-1)(4b-c):

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c).

მოქმედებების ამ თვისებების გამოყენებით, მივიღებთ:

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c)=a+(-4b+c)=a-4b+c.

რიცხვითი და ალგებრული გამონათქვამები. გამოხატვის კონვერტაცია.

რა არის გამოთქმა მათემატიკაში? რატომ არის საჭირო გამოხატვის კონვერტაცია?

კითხვა, როგორც ამბობენ, საინტერესოა... ფაქტია, რომ ეს ცნებები ყველა მათემატიკის საფუძველია. ყველა მათემატიკა შედგება გამონათქვამებისგან და მათი გარდაქმნებისაგან. არ არის ძალიან ნათელი? Ნება მომეცი აგიხსნა.

ვთქვათ, თქვენ გაქვთ ბოროტი მაგალითი. ძალიან დიდი და ძალიან რთული. ვთქვათ, მათემატიკაში კარგად ხარ და არაფრის არ გეშინია! შეგიძლია მაშინვე მიპასუხო?

მოგიწევთ გადაწყვიტოსეს მაგალითი. თანმიმდევრულად, ეტაპობრივად, ეს მაგალითი გაამარტივებს. გარკვეული წესების მიხედვით, რა თქმა უნდა. იმათ. გააკეთოს გამოხატვის კონვერტაცია. რამდენად წარმატებით ახორციელებთ ამ გარდაქმნებს, ასე რომ თქვენ ძლიერი ხართ მათემატიკაში. თუ არ იცით როგორ გააკეთოთ სწორი გარდაქმნები, მათემატიკაში ვერ გააკეთებთ არაფერი...

იმისათვის, რომ თავიდან ავიცილოთ ასეთი არასასიამოვნო მომავალი (ან აწმყო ...), ამ თემის გაგება არაფერ შუაშია.)

დასაწყისისთვის, მოდით გავარკვიოთ რა არის გამოთქმა მათემატიკაში. Რა რიცხვითი გამოხატულებადა რა არის ალგებრული გამოხატულება.

რა არის გამოთქმა მათემატიკაში?

გამოხატვა მათემატიკაშიძალიან ფართო ცნებაა. თითქმის ყველაფერი, რასთან გვაქვს საქმე მათემატიკაში, არის მათემატიკური გამონათქვამების ნაკრები. ნებისმიერი მაგალითი, ფორმულა, წილადი, განტოლება და ასე შემდეგ - ეს ყველაფერი შედგება მათემატიკური გამონათქვამები.

3+2 არის მათემატიკური გამოხატულება. c 2 - d 2ასევე მათემატიკური გამოთქმაა. და ჯანსაღი წილადი და თუნდაც ერთი რიცხვი - ეს ყველაფერი მათემატიკური გამონათქვამებია. განტოლება, მაგალითად, არის:

5x + 2 = 12

შედგება ორი მათემატიკური გამოსახულებისგან, რომლებიც დაკავშირებულია ტოლობის ნიშნით. ერთი გამოხატულება არის მარცხნივ, მეორე არის მარჯვნივ.

ზოგადად, ტერმინი მათემატიკური გამოხატულება"გამოიყენება ყველაზე ხშირად იმისთვის, რომ არ დრტვინდეს. გკითხავენ, მაგალითად, რა არის ჩვეულებრივი წილადი? და როგორ გიპასუხოთ?!

პასუხი 1: "ეს არის... მ-მ-მ-მ... ასეთი რამ ... რომელშიც ... შეიძლება წილადი უკეთ დავწერო? Რომელი გინდა?"

პასუხის მეორე ვარიანტი: "ჩვეულებრივი ფრაქცია არის (მხიარულად და მხიარულად!) მათემატიკური გამოხატულება , რომელიც შედგება მრიცხველისა და მნიშვნელისაგან!"

მეორე ვარიანტი უფრო შთამბეჭდავია, არა?)

ამ მიზნით, ფრაზა " მათემატიკური გამოხატულება "ძალიან კარგი. სწორიც და მყარიც. მაგრამ პრაქტიკული გამოყენებისთვის კარგად უნდა გქონდეს ცოდნა გამოთქმების კონკრეტული სახეები მათემატიკაში .

კონკრეტული ტიპი სხვა საკითხია. Ეს არის სულ სხვა რამ!მათემატიკური გამოხატვის თითოეულ ტიპს აქვს ჩემიწესებისა და ტექნიკის ნაკრები, რომელიც უნდა იქნას გამოყენებული გადაწყვეტილების მიღებისას. წილადებთან მუშაობა - ერთი კომპლექტი. ტრიგონომეტრიულ გამოსახულებებთან მუშაობისთვის - მეორე. ლოგარითმებთან მუშაობისთვის - მესამე. და ა.შ. სადღაც ეს წესები ემთხვევა ერთმანეთს, სადღაც მკვეთრად განსხვავდება. მაგრამ ნუ შეგეშინდებათ ამ საშინელი სიტყვების. ლოგარითმები, ტრიგონომეტრია და სხვა იდუმალი საგნები, რომლებსაც დავეუფლებით შესაბამის განყოფილებებში.

აქ ჩვენ დავეუფლებით (ან - გავიმეორებთ, როგორც მოგწონთ...) მათემატიკური გამონათქვამების ორ ძირითად ტიპს. რიცხვითი გამონათქვამები და ალგებრული გამოსახულებები.

რიცხვითი გამონათქვამები.

Რა რიცხვითი გამოხატულება? ეს ძალიან მარტივი კონცეფციაა. თავად სახელი მიანიშნებს, რომ ეს არის გამოთქმა რიცხვებით. ასეც არის. მათემატიკური გამოსახულებას, რომელიც შედგება რიცხვებისგან, ფრჩხილებისგან და არითმეტიკული მოქმედებების ნიშნებისგან, ეწოდება რიცხვითი გამოსახულებას.

7-3 არის რიცხვითი გამოხატულება.

(8+3.2) 5.4 ასევე რიცხვითი გამოხატულებაა.

და ეს მონსტრი:

ასევე რიცხვითი გამოთქმა, დიახ...

ჩვეულებრივი რიცხვი, წილადი, ნებისმიერი გამოთვლის მაგალითი x-ების და სხვა ასოების გარეშე - ეს ყველაფერი რიცხვითი გამონათქვამებია.

მთავარი თვისება რიცხვითიგამონათქვამები მასში ასოების გარეშე. არცერთი. მხოლოდ რიცხვები და მათემატიკური ხატები (საჭიროების შემთხვევაში). ეს მარტივია, არა?

და რა შეიძლება გაკეთდეს რიცხვითი გამონათქვამებით? რიცხვითი გამონათქვამები ჩვეულებრივ შეიძლება დაითვალოს. ამისათვის ზოგჯერ ხდება ფრჩხილების გახსნა, ნიშნების შეცვლა, შემოკლება, ტერმინების შეცვლა - ე.ი. გააკეთოს გამოხატვის კონვერტაციები. მაგრამ უფრო მეტი ამის შესახებ ქვემოთ.

აქ საქმე გვაქვს ისეთ სასაცილო შემთხვევასთან, როდესაც რიცხვითი გამოსახულებით თქვენ არაფრის გაკეთება არ გჭირდებათ.ისე, საერთოდ არაფერი! ეს მშვენიერი ოპერაცია არაფრის გაკეთება)- სრულდება გამოხატვისას აზრი არ აქვს.

როდის არ აქვს რიცხვითი გამოთქმა აზრი?

რა თქმა უნდა, თუ ჩვენ თვალწინ დავინახავთ რაიმე სახის აბრაკადაბრას, მაგ

მაშინ ჩვენ არაფერს გავაკეთებთ. რადგან გაუგებარია რა უნდა გააკეთოს მასთან. რაღაც სისულელეა. თუ პლიუსების რაოდენობის დათვლა...

მაგრამ არის გარეგნულად საკმაოდ წესიერი გამონათქვამები. მაგალითად ეს:

(2+3) : (16 - 2 8)

თუმცა ეს გამოთქმაც არის აზრი არ აქვს! იმ მარტივი მიზეზის გამო, რომ მეორე ფრჩხილებში - თუ დათვალეთ - მიიღებთ ნულს. ნულზე ვერ გაყოფ! ეს არის აკრძალული ოპერაცია მათემატიკაში. ამიტომ არც ამ გამოთქმასთან არის საჭირო არაფრის გაკეთება. ნებისმიერი ამოცანისთვის ასეთი გამონათქვამით, პასუხი ყოველთვის იგივე იქნება: "გამოთქმას აზრი არ აქვს!"

ასეთი პასუხის გასაცემად, რა თქმა უნდა, უნდა გამომეანგარიშებინა, რა იქნებოდა ფრჩხილებში. და ზოგჯერ ფრჩხილებში ასეთი ირონია ... ისე, არაფერია გასაკეთებელი.

მათემატიკაში არც ისე ბევრი აკრძალული ოპერაციაა. ამ თემაში მხოლოდ ერთია. გაყოფა ნულზე. ფესვებში და ლოგარითმებში წარმოქმნილი დამატებითი აკრძალვები განხილულია შესაბამის თემებში.

ასე რომ, იდეა რა არის რიცხვითი გამოხატულება- მიიღო. შინაარსი რიცხვით გამოხატვას აზრი არ აქვს- მიხვდა. მოდით წავიდეთ უფრო შორს.

ალგებრული გამონათქვამები.

თუ რიცხვით გამოსახულებაში ასოები გამოჩნდება, ეს გამოთქმა ხდება... გამოთქმა ხდება... დიახ! ხდება ალგებრული გამოხატულება. Მაგალითად:

5a 2; 3x-2y; 3(z-2); 3.4მ/ნ; x 2 +4x-4; (ა + ბ) 2; ...

ასეთ გამონათქვამებსაც ეძახიან პირდაპირი გამონათქვამები.ან გამონათქვამები ცვლადებით.პრაქტიკულად იგივეა. გამოხატულება 5a +cმაგალითად - ლიტერალურიც და ალგებრულიც და ცვლადებით გამოხატვა.

შინაარსი ალგებრული გამოთქმა -უფრო ფართო ვიდრე რიცხვითი. ის მოიცავსდა ყველა რიცხვითი გამონათქვამი. იმათ. რიცხვითი გამოთქმა ასევე ალგებრული გამოხატულებაა, მხოლოდ ასოების გარეშე. ყველა ქაშაყი თევზია, მაგრამ ყველა თევზი არ არის ქაშაყი...)

რატომ სიტყვასიტყვით- Ნათელია. ისე, რადგან არის ასოები ... ფრაზა გამოხატვა ცვლადებითასევე არ არის ძალიან დამაბნეველი. თუ გესმით, რომ რიცხვები იმალება ასოების ქვეშ. ყველანაირი რიცხვის დამალვა შესაძლებელია ასოების ქვეშ... და 5, და -18 და რაც მოგწონთ. ანუ წერილს შეუძლია ჩანაცვლებასხვადასხვა ნომრისთვის. ამიტომაც ეძახიან ასოებს ცვლადები.

გამოთქმაში y+5, Მაგალითად, ზე- ცვლადი. ან უბრალოდ თქვი " ცვლადი", სიტყვის "ღირებულების" გარეშე. ხუთისგან განსხვავებით, რომელიც მუდმივი მნიშვნელობაა. ან უბრალოდ - მუდმივი.

ვადა ალგებრული გამოხატულებანიშნავს, რომ ამ გამონათქვამთან მუშაობისთვის საჭიროა კანონებისა და წესების გამოყენება ალგებრა. Თუ არითმეტიკამუშაობს კონკრეტულ ნომრებთან, მაშინ ალგებრა- ყველა ნომრით ერთდროულად. მარტივი მაგალითი გარკვევისთვის.

არითმეტიკაში ამის დაწერა შეიძლება

მაგრამ თუ მსგავს ტოლობას დავწერთ ალგებრული გამონათქვამების საშუალებით:

a + b = b + a

ჩვენ დაუყოვნებლივ გადავწყვეტთ ყველაკითხვები. ამისთვის ყველა ნომერიინსულტი. უსასრულო რაოდენობის ნივთებისთვის. რადგან ასოების ქვეშ ადა ბნაგულისხმევი ყველანომრები. და არა მხოლოდ რიცხვები, არამედ სხვა მათემატიკური გამონათქვამებიც კი. ასე მუშაობს ალგებრა.

როდის აქვს ალგებრული გამოთქმა აზრი?

რიცხვით გამოსახულებაში ყველაფერი ნათელია. ნულზე ვერ გაყოფ. და ასოებით შესაძლებელია თუ არა იმის გარკვევა, რაზე ვყოფთ?!

მაგალითისთვის ავიღოთ შემდეგი ცვლადი გამოხატულება:

2: (ა - 5)

აზრი აქვს? მაგრამ ვინ იცნობს მას? ა- ნებისმიერი ნომერი...

ნებისმიერი, ნებისმიერი... მაგრამ არის ერთი მნიშვნელობა ა, რისთვისაც ეს გამოთქმა ზუსტადაზრი არ აქვს! და რა არის ეს ნომერი? დიახ! 5-ია! თუ ცვლადი აშეცვალეთ (ამბობენ - „შეცვალეთ“) ნომრით 5, ფრჩხილებში გამოვა ნული. რომლის გაყოფა შეუძლებელია. ასე რომ, გამოდის, რომ ჩვენი გამოხატულება აზრი არ აქვს, თუ a = 5. მაგრამ სხვა ღირებულებებისთვის ააქვს აზრი? შეგიძლიათ სხვა ნომრების ჩანაცვლება?

Რა თქმა უნდა. ასეთ შემთხვევებში უბრალოდ ნათქვამია, რომ გამოხატულება

2: (ა - 5)

აზრი აქვს ნებისმიერ ღირებულებას ა, გარდა a = 5 .

რიცხვების მთელი ნაკრები შეუძლიამოცემულ გამოთქმაში ჩანაცვლება ეწოდება მოქმედი დიაპაზონიეს გამოთქმა.

როგორც ხედავთ, სახიფათო არაფერია. ჩვენ ვუყურებთ გამონათქვამს ცვლადებით და ვფიქრობთ: ცვლადის რა მნიშვნელობაზე მიიღება აკრძალული ოპერაცია (გაყოფა ნულზე)?

და შემდეგ აუცილებლად გადახედეთ დავალების კითხვას. რას ეკითხებიან?

აზრი არ აქვს, ჩვენი აკრძალული ღირებულება იქნება პასუხი.

თუ იკითხავენ ცვლადის რა მნიშვნელობით გამოსახულია აქვს მნიშვნელობა(იგრძენი განსხვავება!), პასუხი იქნება ყველა სხვა ნომერიგარდა აკრძალულისა.

რატომ გვჭირდება გამოთქმის მნიშვნელობა? იქ არის, არა... რა განსხვავებაა?! ფაქტია, რომ ეს კონცეფცია უმაღლეს სკოლაში ძალიან მნიშვნელოვანი ხდება. Ძალიან მნიშვნელოვანი! ეს არის საფუძველი ისეთი მყარი ცნებებისთვის, როგორიცაა მოქმედი მნიშვნელობების დიაპაზონი ან ფუნქციის ფარგლები. ამის გარეშე თქვენ საერთოდ ვერ ამოხსნით სერიოზულ განტოლებებს ან უტოლობას. Ამგვარად.

გამოხატვის კონვერტაცია. იდენტობის გარდაქმნები.

გავეცანით რიცხვით და ალგებრულ გამონათქვამებს. გაიგე რას ნიშნავს ფრაზა „გამოხატვას აზრი არ აქვს“. ახლა ჩვენ უნდა გავარკვიოთ რა გამოხატვის კონვერტაცია.პასუხი მარტივია, აღმაშფოთებელი.) ეს არის ნებისმიერი ქმედება გამოხატვით. და ეს არის ის. თქვენ აკეთებთ ამ გარდაქმნებს პირველი კლასიდან.

აიღეთ მაგარი რიცხვითი გამოხატულება 3+5. როგორ შეიძლება მისი გარდაქმნა? დიახ, ძალიან მარტივია! გამოთვალეთ:

ეს გაანგარიშება იქნება გამოხატვის ტრანსფორმაცია. თქვენ შეგიძლიათ დაწეროთ იგივე გამოთქმა სხვაგვარად:

აქ არაფერი არ ჩავთვალეთ. უბრალოდ ჩაწერეთ გამოთქმა განსხვავებული ფორმით.ეს ასევე იქნება გამოხატვის ტრანსფორმაცია. შეიძლება ასე დაიწეროს:

და ესეც გამოხატვის ტრანსფორმაციაა. თქვენ შეგიძლიათ განახორციელოთ იმდენი ტრანსფორმაცია, რამდენიც გსურთ.

ნებისმიერიმოქმედება გამოხატულებაზე ნებისმიერიმის სხვაგვარად დაწერას ეწოდება გამოხატვის ტრანსფორმაცია. და ყველაფერი. ყველაფერი ძალიან მარტივია. მაგრამ აქ არის ერთი რამ ძალიან მნიშვნელოვანი წესი.იმდენად მნიშვნელოვანია, რომ მას უსაფრთხოდ შეიძლება ეწოდოს მთავარი წესიყველა მათემატიკა. ამ წესის დარღვევა გარდაუვლადიწვევს შეცდომებს. გვესმის?)

ვთქვათ, ჩვენ თვითნებურად შევცვალეთ ჩვენი გამოხატულება, ასე:

ტრანსფორმაცია? Რა თქმა უნდა. გამოთქმა სხვა ფორმით დავწერეთ, რა არის აქ ცუდი?

ასე არ არის.) ფაქტია, რომ გარდაქმნები "სულ ერთია"მათემატიკა საერთოდ არ აინტერესებს.) ყველა მათემატიკა აგებულია გარდაქმნებზე, რომლებშიც გარეგნობა იცვლება, მაგრამ გამოთქმის არსი არ იცვლება.სამს დამატებული ხუთი შეიძლება დაიწეროს ნებისმიერი ფორმით, მაგრამ ეს უნდა იყოს რვა.

გარდაქმნები, გამონათქვამები, რომლებიც არ ცვლის არსსდაურეკა იდენტური.

ზუსტად იდენტური გარდაქმნებიდა საშუალებას მოგვცემს, ეტაპობრივად, რთული მაგალითი გადავაქციოთ მარტივ გამოხატულებად, შენახვა მაგალითის არსი.თუ ჩვენ დავუშვებთ შეცდომას გარდაქმნების ჯაჭვში, ჩვენ გავაკეთებთ არა იდენტურ ტრანსფორმაციას, შემდეგ ჩვენ გადავწყვეტთ სხვამაგალითი. სხვა პასუხებით, რომლებიც არ არის დაკავშირებული სწორ პასუხებთან.)

აქ არის ნებისმიერი ამოცანის გადაჭრის მთავარი წესი: ტრანსფორმაციების იდენტურობასთან შესაბამისობა.

მე მოვიყვანე მაგალითი რიცხვითი გამოსახულებით 3 + 5 სიცხადისთვის. ალგებრულ გამონათქვამებში იდენტური გარდაქმნები მოცემულია ფორმულებითა და წესებით. ვთქვათ, არის ფორმულა ალგებრაში:

a(b+c) = ab + ac

ასე რომ, ნებისმიერ მაგალითში, ჩვენ შეგვიძლია ნაცვლად გამოხატვის a(b+c)თავისუფლად დაწერე გამოთქმა ab+ac. და პირიქით. Ეს არის იდენტური ტრანსფორმაცია.მათემატიკა გვაძლევს ამ ორი გამოთქმის არჩევანს. და რომელი დავწერო, დამოკიდებულია კონკრეტულ მაგალითზე.

Სხვა მაგალითი. ერთ-ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი და აუცილებელი გარდაქმნა არის წილადის ძირითადი თვისება. მეტი დეტალი შეგიძლიათ ნახოთ ბმულზე, მაგრამ აქ მხოლოდ წესს შეგახსენებთ: თუ წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი გამრავლდება (გაიყოფა) ერთსა და იმავე რიცხვზე, ან გამოსახულებაში, რომელიც არ არის ნულის ტოლი, წილადი არ შეიცვლება.აქ მოცემულია ამ თვისების იდენტური გარდაქმნების მაგალითი:

როგორც ალბათ მიხვდით, ეს ჯაჭვი უსასრულოდ შეიძლება გაგრძელდეს...) ძალიან მნიშვნელოვანი თვისება. ეს არის ის, რაც საშუალებას გაძლევთ გადააქციოთ ყველა სახის მაგალითი მონსტრები თეთრად და ფუმფულად.)

არსებობს მრავალი ფორმულა, რომელიც განსაზღვრავს იდენტურ გარდაქმნებს. მაგრამ ყველაზე მნიშვნელოვანი - საკმაოდ გონივრული თანხა. ერთ-ერთი ძირითადი ტრანსფორმაცია არის ფაქტორიზაცია. იგი გამოიყენება ყველა მათემატიკაში - დაწყებითიდან მაღალ დონეზე. დავიწყოთ მისგან. შემდეგ გაკვეთილზე.)

თუ მოგწონთ ეს საიტი...

სხვათა შორის, მე მაქვს კიდევ რამდენიმე საინტერესო საიტი თქვენთვის.)

შეგიძლიათ ივარჯიშოთ მაგალითების ამოხსნაში და გაიგოთ თქვენი დონე. ტესტირება მყისიერი გადამოწმებით. სწავლა - ინტერესით!)

შეგიძლიათ გაეცნოთ ფუნქციებს და წარმოებულებს.

ᲛᲔ. გამოსახულებებს, რომლებშიც რიცხვები, არითმეტიკული მოქმედებების ნიშნები და ფრჩხილები შეიძლება ასოებთან ერთად იყოს გამოყენებული, ალგებრული გამონათქვამები ეწოდება.

ალგებრული გამონათქვამების მაგალითები:

2მ-ნ; 3 · (2a+b); 0.24x; 0.3a-b · (4a + 2b); a 2 - 2ab;

ვინაიდან ალგებრულ გამოსახულებაში ასო შეიძლება შეიცვალოს რამდენიმე განსხვავებული რიცხვით, ასოს ეწოდება ცვლადი, ხოლო თავად ალგებრულ გამონათქვამს ეწოდება გამოხატულება ცვლადით.

II. თუ ალგებრულ გამოსახულებაში ასოები (ცვლადები) შეიცვალა მათი მნიშვნელობებით და შესრულებულია მითითებული მოქმედებები, მაშინ მიღებულ რიცხვს ეწოდება ალგებრული გამოხატვის მნიშვნელობა.

მაგალითები. იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა:

1) a + 2b -c a = -2-სთვის; b = 10; c = -3,5.

2) |x| + |y| -|z| x = -8-ზე; y=-5; z = 6.

გადაწყვეტილება.

1) a + 2b -c a = -2-სთვის; b = 10; c = -3,5. ცვლადების ნაცვლად, ჩვენ ვცვლით მათ მნიშვნელობებს. ჩვენ ვიღებთ:

— 2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.

2) |x| + |y| -|z| x = -8-ზე; y=-5; z = 6. ჩვენ ვცვლით მითითებულ მნიშვნელობებს. გახსოვდეთ, რომ უარყოფითი რიცხვის მოდული უდრის მის საპირისპირო რიცხვს, ხოლო დადებითი რიცხვის მოდული უდრის თავად ამ რიცხვს. ჩვენ ვიღებთ:

|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.

III.ასოს (ცვლადის) მნიშვნელობებს, რომლებისთვისაც ალგებრული გამოთქმა აზრი აქვს, ასოს (ცვლადი) მოქმედი მნიშვნელობები ეწოდება.

მაგალითები. ცვლადის რომელ მნიშვნელობებზე გამოთქმას აზრი არ აქვს?

გადაწყვეტილება.ჩვენ ვიცით, რომ შეუძლებელია ნულზე გაყოფა, ამიტომ თითოეულ ამ გამოთქმას აზრი არ ექნება იმ ასოს (ცვლადის) მნიშვნელობით, რომელიც წილადის მნიშვნელს ნულს აქცევს!

მაგალითში 1) ეს არის მნიშვნელობა a = 0. მართლაც, თუ a-ის ნაცვლად ჩავანაცვლებთ 0-ს, მაშინ რიცხვი 6 უნდა გაიყოს 0-ზე, მაგრამ ეს შეუძლებელია. პასუხი: გამოთქმა 1) არ აქვს აზრი, როდესაც a = 0.

მაგალითში 2) მნიშვნელი x - 4 = 0 x = 4-ზე, შესაბამისად, ეს მნიშვნელობა x = 4 და არ შეიძლება იქნას მიღებული. პასუხი: გამოთქმა 2) არ აქვს აზრი x = 4-ს.

მაგალითში 3) მნიშვნელი არის x + 2 = 0 x = -2-ისთვის. პასუხი: გამოხატულებას 3) აზრი არ აქვს x = -2-ზე.

მაგალითში 4) მნიშვნელი არის 5 -|x| = 0 |x|-ისთვის = 5. და ვინაიდან |5| = 5 და |-5| \u003d 5, მაშინ ვერ აიღებთ x \u003d 5 და x \u003d -5. პასუხი: გამოთქმა 4) არ აქვს აზრი x = -5 და x = 5.
IV. ნათქვამია, რომ ორი გამონათქვამი იდენტურია ტოლია, თუ ცვლადების ნებისმიერი დასაშვები მნიშვნელობებისთვის, ამ გამონათქვამების შესაბამისი მნიშვნელობები ტოლია.

მაგალითი: 5 (a - b) და 5a - 5b იდენტურია, რადგან ტოლობა 5 (a - b) = 5a - 5b იქნება ჭეშმარიტი a და b-ის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის. ტოლობა 5 (a - b) = 5a - 5b არის იდენტობა.

იდენტობა არის თანასწორობა, რომელიც მოქმედებს მასში შემავალი ცვლადების ყველა დასაშვებ მნიშვნელობებზე. თქვენთვის უკვე ცნობილი იდენტობების მაგალითებია, მაგალითად, შეკრების და გამრავლების თვისებები, განაწილების თვისება.

ერთი გამონათქვამის შეცვლას მეორით, მისი იდენტურად ტოლი, ეწოდება იდენტური ტრანსფორმაცია ან უბრალოდ გამოხატვის ტრანსფორმაცია. ცვლადებთან გამონათქვამების იდენტური გარდაქმნები შესრულებულია რიცხვებზე მოქმედებების თვისებებზე დაყრდნობით.

მაგალითები.

ა)გადაიყვანეთ გამოხატულება იდენტურ ტოლად გამრავლების გამანაწილებელი თვისების გამოყენებით:

1) 10 (1.2x + 2.3y); 2) 1.5 (a -2b + 4c); 3) a·(6m -2n + k).

გადაწყვეტილება. გავიხსენოთ გამრავლების გამანაწილებელი თვისება (კანონი):

(a+b) c=a c+b გ(გამრავლების კანონი შეკრების მიმართ: ორი რიცხვის ჯამის გასამრავლებლად მესამე რიცხვზე, შეგიძლიათ თითოეული წევრი გაამრავლოთ ამ რიცხვზე და დაამატოთ შედეგები).
(a-b) c=a c-b გ(გამრავლების გამანაწილებელი კანონი გამოკლებასთან მიმართებაში: იმისათვის, რომ გავამრავლოთ ორი რიცხვის სხვაობა მესამე რიცხვზე, შეგიძლიათ გაამრავლოთ ამ შემცირებულ და გამოკლებულ რიცხვზე ცალ-ცალკე და გამოაკლოთ მეორე პირველ შედეგს).

1) 10 (1.2x + 2.3y) \u003d 10 1.2x + 10 2.3y \u003d 12x + 23y.

2) 1.5 (a -2b + 4c) = 1.5a -3b + 6c.

3) a (6m -2n + k) = 6am -2an +ak.

ბ)გარდაქმენით გამოხატვის იდენტურად თანაბარი მიმატების კომუტაციური და ასოციაციური თვისებების (კანონების) გამოყენებით:

4) x + 4.5 + 2x + 6.5; 5) (3a + 2.1) + 7.8; 6) 5.4s -3 -2.5 -2.3s.

გადაწყვეტილება.ჩვენ ვიყენებთ დამატების კანონებს (თვისებებს):

a+b=b+a(გადაადგილება: ჯამი არ იცვლება ტერმინების გადალაგებიდან).
(a+b)+c=a+(b+c)(ასოციაციური: ორი წევრის ჯამს მესამე რიცხვის დასამატებლად შეგიძლიათ პირველ რიცხვს დაუმატოთ მეორე და მესამე რიცხვი).

4) x + 4.5 + 2x + 6.5 = (x + 2x) + (4.5 + 6.5) = 3x + 11.

5) (3a + 2.1) + 7.8 = 3a + (2.1 + 7.8) = 3a + 9.9.

6) 6) 5.4s -3 -2.5 -2.3s = (5.4s -2.3s) + (-3 -2.5) = 3.1s -5.5.

in)გადააქციეთ გამოხატულება იდენტურ ტოლად გამრავლების კომუტაციური და ასოციაციური თვისებების (კანონების) გამოყენებით:

7) 4 · X · (-2,5); 8) -3,5 · 2 წ · (-ერთი); 9) 3ა · (-3) · 2 წმ.

გადაწყვეტილება.გამოვიყენოთ გამრავლების კანონები (თვისებები):

a b=b a(გადაადგილება: ფაქტორების პერმუტაცია არ ცვლის პროდუქტს).
(ა ბ) c=a (ბ გ)(კომბინატიული: ორი რიცხვის ნამრავლის გასამრავლებლად მესამე რიცხვზე, შეგიძლიათ გაამრავლოთ პირველი რიცხვი მეორე და მესამეს ნამრავლზე).

ალგებრაში განხილულ სხვადასხვა გამოთქმებს შორის მნიშვნელოვანი ადგილი უჭირავს მონომების ჯამს. აქ მოცემულია ასეთი გამონათქვამების მაგალითები:
\(5a^4 - 2a^3 + 0.3a^2 - 4.6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)

მონომების ჯამს მრავალწევრი ეწოდება. მრავალწევრის ტერმინებს მრავალწევრის წევრები ეწოდება. მონონომები ასევე მოიხსენიება როგორც მრავალწევრები, განიხილება მონომი, როგორც პოლინომი, რომელიც შედგება ერთი წევრისაგან.

მაგალითად, მრავალწევრი
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 \)
შეიძლება გამარტივდეს.

ჩვენ წარმოვადგენთ ყველა ტერმინს სტანდარტული ფორმის მონომიებად:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)

მიღებულ პოლინომში მსგავს ტერმინებს ვაძლევთ:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
შედეგი არის მრავალწევრი, რომლის ყველა წევრი სტანდარტული ფორმის მონომია და მათ შორის მსგავსი არ არის. ასეთ მრავალწევრებს უწოდებენ სტანდარტული ფორმის მრავალწევრები.

უკან მრავალწევრი ხარისხისტანდარტული ფორმა იღებს მისი წევრების ყველაზე დიდ უფლებამოსილებებს. ასე რომ, ბინომს \(12a^2b - 7b \) აქვს მესამე ხარისხი, ხოლო ტრინომს \(2b^2 -7b + 6 \) აქვს მეორე.

ჩვეულებრივ, სტანდარტული ფორმის მრავალწევრების ტერმინები, რომლებიც შეიცავს ერთ ცვლადს, განლაგებულია მისი მაჩვენებლების კლებადობით. Მაგალითად:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)

რამდენიმე მრავალწევრის ჯამი შეიძლება გარდაიქმნას (გამარტივდეს) სტანდარტული ფორმის მრავალწევრად.

ზოგჯერ მრავალწევრის წევრები უნდა დაიყოს ჯგუფებად, თითოეული ჯგუფის ჩასმა ფრჩხილებში. ვინაიდან ფრჩხილები ფრჩხილების საპირისპიროა, მისი ჩამოყალიბება მარტივია ფრჩხილების გახსნის წესები:

თუ + ნიშანი მოთავსებულია ფრჩხილების წინ, მაშინ ფრჩხილებში ჩასმული ტერმინები იწერება იგივე ნიშნებით.

თუ ფრჩხილების წინ არის "-" ნიშანი, მაშინ ფრჩხილებში ჩასმული ტერმინები იწერება საპირისპირო ნიშნებით.

მონომისა და მრავალწევრის ნამრავლის ტრანსფორმაცია (გამარტივება).

გამრავლების გამანაწილებელი თვისების გამოყენებით შეიძლება მონომისა და მრავალწევრის ნამრავლის გადაქცევა (გამარტივება) მრავალწევრად. Მაგალითად:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

მონომისა და მრავალწევრის ნამრავლი იდენტურად უდრის ამ მონომის ნამრავლებისა და მრავალწევრის თითოეული წევრის ჯამს.

ეს შედეგი ჩვეულებრივ ჩამოყალიბებულია როგორც წესი.

მონომის მრავალწევრზე გასამრავლებლად, ეს მონომი უნდა გავამრავლოთ მრავალწევრის თითოეულ წევრზე.

ჩვენ არაერთხელ გამოვიყენეთ ეს წესი ჯამზე გასამრავლებლად.

მრავალწევრების ნამრავლი. ორი მრავალწევრის ნამრავლის ტრანსფორმაცია (გამარტივება).

ზოგადად, ორი მრავალწევრის ნამრავლი იდენტურად უდრის ერთი მრავალწევრის თითოეული წევრისა და მეორის თითოეული წევრის ნამრავლის ჯამს.

ჩვეულებრივ გამოიყენეთ შემდეგი წესი.

მრავალწევრის მრავალწევრზე გასამრავლებლად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ ერთი მრავალწევრის თითოეული წევრი მეორის თითოეულ წევრზე და დაამატოთ მიღებული პროდუქცია.

შემოკლებული გამრავლების ფორმულები. ჯამი, სხვაობა და სხვაობის კვადრატები

ალგებრული გარდაქმნების ზოგიერთ გამონათქვამს უფრო ხშირად უნდა შევეხოთ, ვიდრე სხვებს. ალბათ ყველაზე გავრცელებული გამონათქვამებია \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) და \(a^2 - b^2 \), ანუ ჯამის კვადრატი, სხვაობის კვადრატი და სხვაობის კვადრატი. თქვენ შენიშნეთ, რომ ამ გამონათქვამების სახელები თითქოს არასრულია, ასე რომ, მაგალითად, \((a + b)^2 \) არის, რა თქმა უნდა, არა მხოლოდ ჯამის კვადრატი, არამედ ჯამის კვადრატი. ა და ბ. თუმცა, a და b ჯამის კვადრატი არც თუ ისე გავრცელებულია, როგორც წესი, a და b ასოების ნაცვლად, შეიცავს სხვადასხვა, ზოგჯერ საკმაოდ რთულ გამონათქვამებს.

გამონათქვამები \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) ადვილად გარდაიქმნება (გამარტივება) სტანდარტული ფორმის პოლინომებად, ფაქტობრივად, თქვენ უკვე შეგხვედრიათ ასეთი დავალება მრავალწევრების გამრავლებისას. :
\((ა + ბ)^2 = (ა + ბ)(ა + ბ) = a^2 + აბ + ბა + ბ^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

შედეგად მიღებული იდენტობები სასარგებლოა დასამახსოვრებლად და გამოყენებაში შუალედური გამოთვლების გარეშე. ამას ეხმარება მოკლე სიტყვიერი ფორმულირებები.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - ჯამის კვადრატი უდრის კვადრატების ჯამს და ორმაგ ნამრავლს.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - სხვაობის კვადრატი არის კვადრატების ჯამი ნამრავლის გაორმაგების გარეშე.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - კვადრატების სხვაობა უდრის სხვაობისა და ჯამის ნამრავლს.

ეს სამი იდენტობა საშუალებას აძლევს ტრანსფორმაციას შეცვალოს მათი მარცხენა ნაწილები მარჯვენა ნაწილებით და პირიქით - მარჯვენა ნაწილები მარცხნივ. ყველაზე რთული ამ შემთხვევაში არის შესაბამისი გამონათქვამების დანახვა და იმის გაგება, თუ რა არის მათში ჩანაცვლებული a და b ცვლადები. მოდით შევხედოთ შემოკლებული გამრავლების ფორმულების გამოყენების რამდენიმე მაგალითს.