განვიხილოთ სამი სხივი a, b, c, რომლებიც გამოდიან ერთი და იმავე წერტილიდან და არ დევს ერთ სიბრტყეში. სამკუთხედი (abc) არის ფიგურა, რომელიც შედგება "სამი ბრტყელი კუთხისგან (ab), (bc) და (ac) (ნახ. 2). ამ კუთხეებს ეწოდება სამკუთხედის სახეები, ხოლო მათი გვერდები კიდეებია. ბრტყელი კუთხის საერთო წვერო ეწოდება.

ანალოგიურად არის განსაზღვრული მრავალწახნაგოვანი კუთხის კონცეფცია (ნახ. 3).

პოლიჰედრონი

სტერეომეტრიაში სწავლობენ სივრცეში არსებულ ფიგურებს, რომლებსაც სხეულებს უწოდებენ. ვიზუალურად, (გეომეტრიული) სხეული უნდა წარმოვიდგინოთ, როგორც ფიზიკური სხეულის მიერ დაკავებული და ზედაპირით შემოსაზღვრული სივრცის ნაწილი.

მრავალედრონი არის სხეული, რომლის ზედაპირი შედგება ბრტყელი მრავალკუთხედების სასრული რაოდენობისგან (ნახ. 4). მრავალკუთხედს ეწოდება ამოზნექილი, თუ ის მდებარეობს მის ზედაპირზე არსებული ყველა ბრტყელი მრავალკუთხედის სიბრტყის ერთ მხარეს. ასეთი სიბრტყის საერთო ნაწილს და ამოზნექილი პოლიედრონის ზედაპირს სახე ეწოდება. ამოზნექილი მრავალკუთხედის სახეები ბრტყელი ამოზნექილი მრავალკუთხედებია. სახეების გვერდებს მრავალწახნაგების კიდეები ეწოდება, წვეროებს კი მრავალწახნაგა.

ავხსნათ რა ითქვა ნაცნობი კუბის მაგალითზე (სურ. 5). კუბი არის ამოზნექილი პოლიედონი. მისი ზედაპირი შედგება ექვსი კვადრატისაგან: ABCD, BEFC, .... ისინი მისი სახეებია. კუბის კიდეები არის ამ კვადრატების გვერდები: AB, BC, BE,.... კუბის წვეროები არის კვადრატების წვეროები: A, B, C, D, E, .... კუბს აქვს ექვსი სახე, თორმეტი კიდე და რვა წვერო.

უმარტივესი პოლიედრები - პრიზმები და პირამიდები, რომლებიც ჩვენი შესწავლის მთავარი ობიექტი იქნება - მივცემთ განმარტებებს, რომლებიც, არსებითად, არ იყენებენ სხეულის ცნებას. ისინი განისაზღვრება როგორც გეომეტრიული ფიგურები მათ კუთვნილი სივრცის ყველა წერტილის მითითებით. გეომეტრიული სხეულის კონცეფცია და მისი ზედაპირი ზოგადი შემთხვევამოგვიანებით გადაეცემა.

გაკვეთილის ტექსტის ახსნა:

პლანიმეტრიაში შესწავლის ერთ-ერთი ობიექტია კუთხე.

კუთხე არის გეომეტრიული ფიგურა, რომელიც შედგება წერტილისგან - კუთხის წვეროსა და ამ წერტილიდან გამომავალი ორი სხივისგან.

ორ კუთხეს, ერთ მხარეს, რომლებიც საერთოა და მეორე ორი ერთმანეთის გაგრძელებაა, პლანიმეტრიაში მიმდებარე ეწოდება.

კომპასი შეიძლება განიხილებოდეს როგორც ბრტყელი კუთხის მოდელი.

გაიხსენეთ დიედრული კუთხის კონცეფცია.

ეს არის ფიგურა, რომელიც წარმოიქმნება a სწორი ხაზით და ორი ნახევრად სიბრტყე საერთო საზღვრით a, რომლებიც გეომეტრიაში არ მიეკუთვნება იმავე სიბრტყეს, ეწოდება დიედრული კუთხე. ნახევარი სიბრტყე არის დიედრული კუთხის სახეები. სწორი ხაზი a არის დიედრული კუთხის კიდე.

სახლის სახურავი ნათლად აჩვენებს დიედრალურ კუთხეს.

მაგრამ სახლის სახურავი მეორე ფიგურაში დამზადებულია ფიგურის სახით, რომელიც ჩამოყალიბებულია ექვსი ბრტყელი კუთხიდან საერთო წვერით ისე, რომ კუთხეები გარკვეული თანმიმდევრობით არის აღებული და მიმდებარე კუთხის თითოეულ წყვილს, პირველის და ბოლოს ჩათვლით, აქვს. საერთო მხარე. რა ჰქვია ამ ტიპის სახურავს?

გეომეტრიაში, ფიგურა, რომელიც შედგება კუთხეებისგან

და კუთხეებს, რომლებიც ქმნიან ამ კუთხეს, ბრტყელი კუთხეები ეწოდება. ბრტყელი კუთხეების გვერდებს მრავალწახნაგოვანი კუთხის კიდეები ეწოდება. O წერტილს კუთხის წვერო ეწოდება.

მრავალწახნაგოვანი კუთხეების მაგალითები გვხვდება ტეტრაედრში და კუბოიდში.

ტეტრაედრის DBA, ABC, DBC სახეები ქმნიან მრავალწახნაგა კუთხეს BADC. უფრო ხშირად მას სამკუთხედს უწოდებენ.

პარალელეპიპედში სახეები AA1D1D, ABCD, AA1B1B ქმნიან სამკუთხედს AA1DB.

ისე, სახლის სახურავი დამზადებულია ექვსკუთხა კუთხის სახით. იგი შედგება ექვსი ბრტყელი კუთხისგან.

მრავალწახნაგოვანი კუთხისთვის არის მრავალი თვისება. ჩამოვაყალიბოთ და დავამტკიცოთ. აქ ნათქვამია განცხადებაში

პირველი, ნებისმიერი ამოზნექილი მრავალწახნაგოვანი კუთხისთვის არის სიბრტყე, რომელიც კვეთს მის ყველა კიდეს.

დასამტკიცებლად განვიხილოთ მრავალწახნაგოვანი კუთხე OA1A2 A3…An.

განმარტებით, ის ამოზნექილია. კუთხეს ეწოდება ამოზნექილი, თუ ის დევს მისი თითოეული ბრტყელი კუთხის სიბრტყის ერთ მხარეს.

ვინაიდან პირობით ეს კუთხე ამოზნექილია, მაშინ წერტილები O, A1, A2, A3, An დევს OA1A2 სიბრტყის ერთ მხარეს.

მოდით დავხატოთ OA1A2 სამკუთხედის შუა ხაზი KM და OA3, OA4, OAn კიდეებიდან ავირჩიოთ ის კიდე, რომელიც ქმნის უმცირეს დიედრალურ კუთხეს OCM სიბრტყით. დაე ეს იყოს ზღვარი OAi. (Oa სულ)

განვიხილოთ α ნახევრად სიბრტყე CM საზღვრით, რომელიც ყოფს ორმხრივ კუთხეს OKMAi ორ ორმხრივ კუთხედ. ყველა წვერო A-დან An-მდე დევს α სიბრტყის ერთ მხარეს, ხოლო O წერტილი მეორე მხარეს. ამიტომ, α სიბრტყე კვეთს მრავალწახნაგოვანი კუთხის ყველა კიდეს. მტკიცება დადასტურდა.

ამოზნექილ მრავალწახნაგა კუთხეებს კიდევ ერთი მნიშვნელოვანი თვისება აქვთ.

ამოზნექილი მრავალწახნაგოვანი კუთხის სიბრტყის კუთხეების ჯამი 360°-ზე ნაკლებია.

განვიხილოთ ამოზნექილი მრავალწახნაგოვანი კუთხე O წერტილში წვერით. დადასტურებული დებულების მიხედვით, არსებობს სიბრტყე, რომელიც კვეთს მის ყველა კიდეს.

დავხატოთ ასეთი სიბრტყე α, გადავკვეთოთ კუთხის კიდეები A1, A2, A3 და ა.შ An წერტილებში.

სიბრტყე α მოწყვეტს სამკუთხედს ბრტყელი კუთხის გარე არედან. კუთხეების ჯამია 180°. ჩვენ ვიღებთ, რომ ყველა სიბრტყის კუთხის ჯამი А1ОА2-დან АnОА1-მდე უდრის გამოსახულებას, რომელსაც ჩვენ გარდაქმნით, ამ გამოსახულებაში ვაჯგუფებთ წევრებს, ვიღებთ

ამ გამონათქვამში ფრჩხილებში მითითებული თანხები არის სამკუთხედის სიბრტყის კუთხეების ჯამები და როგორც მოგეხსენებათ, ისინი აღემატება მესამე სიბრტყის კუთხეს.

ეს უტოლობა შეიძლება დაიწეროს ყველა სამკუთხედის კუთხისთვის, რომლებიც ქმნიან მოცემულ მრავალკუთხედს.

ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ თანასწორობის შემდეგ გაგრძელებას

მიღებული პასუხი ადასტურებს, რომ ამოზნექილი მრავალწახნაგოვანი კუთხის სიბრტყის კუთხეების ჯამი 360 გრადუსზე ნაკლებია.

№1 თარიღი 05.09.14

საგანი გეომეტრია

Კლასი 11

გაკვეთილის თემა: მრავალწახნაგოვანი კუთხის კონცეფცია. სამკუთხა კუთხე.

გაკვეთილის მიზნები:

გააცანით ცნებები: „სამკუთხედი კუთხეები“, „მრავალედრული კუთხეები“, „მრავალედრები“;

გააცნოს მოსწავლეებს სამკუთხედი და მრავალწახნაგოვანი კუთხეების ელემენტები, მრავალწახნაგები, აგრეთვე ამოზნექილი მრავალწახნაგოვანი კუთხის განმარტებები და მრავალწახნაგოვანი კუთხის ბრტყელი კუთხეების თვისებები;

გააგრძელონ მუშაობა სივრცითი წარმოდგენებისა და სივრცითი წარმოსახვის განვითარებაზე, ასევე მოსწავლეთა ლოგიკურ აზროვნებაზე.

გაკვეთილის ტიპი: ახალი მასალის შესწავლა

გაკვეთილების დროს

1. საორგანიზაციო მომენტი.

მოსწავლეების მისალმება, გაკვეთილისთვის კლასის მზადყოფნის შემოწმება, მოსწავლეთა ყურადღების ორგანიზება, გაკვეთილის ზოგადი მიზნების და მისი გეგმის გამჟღავნება.

2. ახალი ცნებებისა და მოქმედების მეთოდების ჩამოყალიბება.

ამოცანები: უზრუნველყოს მოსწავლეთა მიერ შესწავლილი მასალის აღქმა, გააზრება და დამახსოვრება. სტუდენტების მიერ შესწავლილი მასალის რეპროდუცირების მეთოდოლოგიის ათვისების უზრუნველყოფა, ასიმილირებული ცნებების, კანონების, წესების, ფორმულების ფილოსოფიური გაგების ხელშეწყობა. მოსწავლეების მიერ შესწავლილი მასალის სისწორის და ცნობადობის დადგენა, პირველადი გააზრების ხარვეზების გამოვლენა, შესწორების განხორციელება. იმის უზრუნველსაყოფად, რომ მოსწავლეებმა დააკავშირონ თავიანთი სუბიექტური გამოცდილება სამეცნიერო ცოდნის ნიშნებთან.

მიეცით სამი სხივია, ბ დას ს საერთო საწყისი წერტილიო (ნახ. 1.1). ეს სამი სხივი სულაც არ დევს ერთ სიბრტყეში. სურათზე 1.2, სხივებიბ დათან თვითმფრინავში დაწოლაR, სხივია არ წევს ამ თვითმფრინავში.

სხივებია, ბ დათან წყვილი განსაზღვრავს სამ ბრტყელ კუთხეს, რომლებიც გამოირჩევიან რკალებით (ნახ. 1.3).

განვიხილოთ ფიგურა, რომელიც შედგება ზემოთ მითითებული სამი კუთხისგან და სივრცის ნაწილისგან, რომელიც შემოიფარგლება ამ ბრტყელი კუთხით. ეს სივრცითი ფიგურა ე.წსამკუთხა კუთხე (ნახ. 2).

სხივებია, ბ და თან დაურეკასამკუთხა კუთხის კიდეები, და კუთხეები: = AOC, = AOB,

= BOC , სამკუთხა კუთხის შეზღუდვა, - მისისახეები. ეს კუთხეები ყალიბდებასამკუთხა ზედაპირი. Წერტილიო დაურეკასამკუთხა კუთხის წვერო. სამკუთხედი შეიძლება აღვნიშნოთ შემდეგნაირად: OABC

ნახატ 3-ში ნაჩვენები ყველა მრავალწახნაგოვანი კუთხის გულდასმით შესწავლის შემდეგ, შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ თითოეულ მრავალკუთხედს აქვს იგივე რაოდენობის კიდეები და სახეები:

4 სახე და ერთი წვერო;

ხუთმხრივ კუთხეს აქვს 5 კიდე, 5 სახე და ერთი წვერო;

• 
  ექვსკუთხა კუთხეს აქვს 6 კიდე, 6 სახე და ერთი წვერო და ა.შ.

მრავალწახნაგოვანი კუთხეებია ამოზნექილი და არაამოზნექილი.

წარმოიდგინეთ, რომ ჩვენ ავიღეთ ოთხი სხივი საერთო წარმოშობით, როგორც სურათზე 4. ამ შემთხვევაში მივიღეთარაამოზნექილი მრავალწახნაგოვანი კუთხე.

განმარტება 1. მრავალწახნაგა კუთხეს ეწოდება ამოზნექილი კუთხე,თუ ისდევს მისი თითოეული სახის სიბრტყის ერთ მხარეს.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ამოზნექილი მრავალწახნაგოვანი კუთხე ყოველთვის შეიძლება განთავსდეს მის რომელიმე სახეზე რომელიმე სიბრტყეზე. თქვენ ხედავთ, რომ მე-4 სურათზე ნაჩვენები შემთხვევაში ეს ყოველთვის არ არის შესაძლებელი. 4-ზე ნაჩვენები ოთხკუთხედის კუთხე არის არაამოზნექილი.

გაითვალისწინეთ, რომ ჩვენს სახელმძღვანელოში, თუ ვამბობთ "მრავალედრალურ კუთხეს", ვგულისხმობთ, რომ ის ამოზნექილია. თუ განხილული მრავალწახნაგოვანი კუთხე არაამოზნექილია, ეს ცალკე იქნება განხილული.

მრავალწახნაგოვანი კუთხის სიბრტყე კუთხეების თვისებები

თეორემა 1.სამკუთხედის თითოეული ბრტყელი კუთხე ნაკლებია დანარჩენი ორი ბრტყელი კუთხის ჯამზე.

თეორემა 2.ამოზნექილი მრავალწახნაგოვანი კუთხის ყველა სიბრტყის კუთხის მნიშვნელობების ჯამი 360°-ზე ნაკლებია.

3. განაცხადი. უნარებისა და შესაძლებლობების ფორმირება.

მიზნები: უზრუნველყოს, რომ მოსწავლეებმა გამოიყენონ ის ცოდნა და მოქმედების მეთოდები, რაც მათ სჭირდებათ SW-სთვის, შექმნან პირობები, რათა მოსწავლეებმა დაადგინონ ნასწავლის გამოყენების ინდივიდუალური გზები.

6. სასცენო ინფორმაცია საშინაო დავალების შესახებ.

მიზნები: უზრუნველყოს, რომ მოსწავლეებმა გაიგონ საშინაო დავალების შესრულების მიზანი, შინაარსი და მეთოდები.

§1 (1.1, 1.2) გვ. 4, No. 9.

7. გაკვეთილის შეჯამება.

მიზანი: კლასის და ცალკეული მოსწავლეების მუშაობის ხარისხობრივი შეფასება.

8. რეფლექსიის ეტაპი.

ამოცანები: წამოიწყონ მოსწავლეთა რეფლექსია მათი საქმიანობის თვითშეფასებაზე. უზრუნველყოს, რომ მოსწავლეებმა ისწავლონ თვითრეგულირებისა და თანამშრომლობის პრინციპები.

საუბარი თემაზე:

რა მოგეჩვენათ საინტერესო გაკვეთილზე?

რა გაუგებარია?

რას უნდა მიაქციოს მასწავლებელმა ყურადღება მომდევნო გაკვეთილზე?

როგორ შეაფასებდით თქვენს სამუშაოს კლასში?

სლაიდი 1

მითითებული ზედაპირით და მის მიერ შემოსაზღვრული სივრცის ორი ნაწილიდან ერთ-ერთ ფიგურას მრავალწახნაგოვანი კუთხე ეწოდება. საერთო წვერო S-ს ეწოდება მრავალწახნაგოვანი კუთხის წვერო. სხივებს SA1, …, SAn ეწოდება მრავალწახნაგოვანი კუთხის კიდეები, ხოლო თავად სიბრტყე კუთხეებს A1SA2, A2SA3, …, An-1SAn, AnSA1 ეწოდება მრავალწახნაგოვანი კუთხის სახეები. მრავალწახნაგოვანი კუთხე აღინიშნება ასოებით SA1…An, რაც მიუთითებს წვეროზე და მის კიდეებზე მდებარე წერტილებზე. ზედაპირი, რომელიც წარმოიქმნება A1SA2, A2SA3, …, An-1SAn, AnSA1 სიბრტყე კუთხეების სასრული სიმრავლით S საერთო წვერით, რომელშიც მეზობელ კუთხეებს არ აქვთ საერთო წერტილები, გარდა საერთო სხივის წერტილებისა, ხოლო არამეზობელი კუთხეები აქვთ. საერთო წერტილები არ არის, გარდა საერთო წვერისა, ჩვენ დავარქმევთ მრავალწახნაგა ზედაპირს.

სლაიდი 2


სახეების რაოდენობის მიხედვით მრავალწახნაგოვანი კუთხეებია სამკუთხედი, ოთხკუთხედი, ხუთკუთხედი და ა.შ.

სლაიდი 3

სამმხრივი კუთხეები

თეორემა. სამკუთხედის ყოველი ბრტყელი კუთხე ნაკლებია მისი დანარჩენი ორი ბრტყელი კუთხის ჯამზე. დადასტურება განვიხილოთ სამკუთხედის კუთხე SABC. მისი ბრტყელი კუთხეებიდან ყველაზე დიდი იყოს ASC კუთხე. შემდეგ უტოლობები ASB ASC

სლაიდი 4


საკუთრება. სამკუთხედის სიბრტყის კუთხეების ჯამი 360°-ზე ნაკლებია. ანალოგიურად, B და C წვეროებით სამკუთხედის კუთხეებისთვის მოქმედებს შემდეგი უტოლობა: ABС

სლაიდი 5

ამოზნექილი მრავალმხრივი კუთხეები

მრავალწახნაგოვანი კუთხეს ეწოდება ამოზნექილი, თუ ის ამოზნექილი ფიგურაა, ანუ მის ნებისმიერ ორ წერტილთან ერთად მთლიანად შეიცავს მათ დამაკავშირებელ სეგმენტს.სურათზე ნაჩვენებია ამოზნექილი და არაამოზნექილი მრავალკუთხედის მაგალითები. თვისება ამოზნექილი მრავალწახნაგოვანი კუთხის ყველა სიბრტყის კუთხის ჯამი 360°-ზე ნაკლებია. მტკიცებულება მსგავსია სამკუთხედის შესაბამისი თვისების მტკიცებულების.

სლაიდი 6

ვერტიკალური მრავალწახნაგოვანი კუთხეები

ნახატებზე მოცემულია სამკუთხა, ოთხკუთხა და ხუთწახნაგოვანი ვერტიკალური კუთხეების მაგალითები.თეორემა. ვერტიკალური კუთხეები ტოლია.

სლაიდი 7

მრავალწახნაგოვანი კუთხეების გაზომვა

ვინაიდან განვითარებული დიედრული კუთხის გრადუსის მნიშვნელობა იზომება შესაბამისი წრფივი კუთხის გრადუსული მნიშვნელობით და უდრის 180°-ს, მივიჩნევთ, რომ მთელი სივრცის გრადუსის მნიშვნელობა, რომელიც შედგება ორი განვითარებული დიედრული კუთხისგან, არის 360°. . მრავალწახნაგოვანი კუთხის მნიშვნელობა, გამოხატული გრადუსით, გვიჩვენებს სივრცის რა ნაწილს იკავებს მოცემული მრავალწახნაგოვანი კუთხე. მაგალითად, კუბის სამკუთხედის კუთხე იკავებს სივრცის მერვედს და, შესაბამისად, მისი ხარისხის მნიშვნელობა არის 360o:8 = 45o. რეგულარულ n-გონალურ პრიზმაში სამკუთხა კუთხე ტოლია გვერდითი კიდეზე მდებარე დიედრული კუთხის ნახევარს. იმის გათვალისწინებით, რომ ეს ორმხრივი კუთხე ტოლია, მივიღებთ, რომ პრიზმის სამკუთხედი ტოლია.

სლაიდი 8

სამკუთხა კუთხეების გაზომვა*

ჩვენ გამოვიყვანთ ფორმულას, რომელიც გამოხატავს სამკუთხედის მნიშვნელობას მისი ორმხრივი კუთხეების მიხედვით. მოდით აღვწეროთ ერთეული სფერო სამკუთხედის კუთხის S წვეროს მახლობლად და აღვნიშნოთ სამკუთხედის კიდეების გადაკვეთის წერტილები ამ სფეროსთან A, B, C. სამკუთხა კუთხის სახეების სიბრტყეები ამ სფეროს ყოფს ექვსად. წყვილი ტოლი სფერული დიგონები, რომლებიც შეესაბამება მოცემული სამკუთხედის ორკუთხედს. სფერული სამკუთხედი ABC და სფერული სამკუთხედი A "B" C მასთან სიმეტრიული არის სამი დიგონის კვეთა. შესაბამისად, ორმხრივი კუთხეების ორმაგი ჯამი არის 360o პლუს სამკუთხედის ოთხმაგი მნიშვნელობა, ან  SA + SB +. SC = 180o + 2SABC.

სლაიდი 9

მრავალწახნაგოვანი კუთხეების გაზომვა*

მოდით SA1…An იყოს ამოზნექილი n-სახიანი კუთხე. სამკუთხედად დაყოფით, A1A3, …, A1An-1 დიაგონალების დახატვით და მათზე მიღებული ფორმულის გამოყენებით, გვექნება:  SA1 + … + SAn = 180о(n – 2) + 2SA1…An. მრავალწახნაგოვანი კუთხეები ასევე შეიძლება გაიზომოს რიცხვებით. მართლაც, მთელი სივრცის სამას სამოცი გრადუსი შეესაბამება რიცხვს 2π. მიღებულ ფორმულაში გრადუსიდან რიცხვებზე გადასვლისას გვექნება: SA1+ …+SAn = π(n – 2) + 2SA1…An.

სლაიდი 10

სავარჯიშო 1

შეიძლება არსებობდეს სამკუთხედი ბრტყელი კუთხეებით: ა) 30°, 60°, 20°; ბ) 45°, 45°, 90°; გ) 30°, 45°, 60°? Პასუხის გარეშე; ბ) არა; გ) დიახ.

სლაიდი 11

სავარჯიშო 2

მოიყვანეთ პოლიედრების მაგალითები, რომელთა სახეები, რომლებიც წვეროებზე იკვეთება, ქმნიან მხოლოდ: ა) სამკუთხედს; ბ) ოთხკუთხედი კუთხეები; გ) ხუთგვერდიანი კუთხეები. პასუხი: ა) ტეტრაედონი, კუბი, დოდეკაედონი; ბ) ოქტაედონი; გ) იკოსაედონი.

სლაიდი 12

სავარჯიშო 3

სამკუთხედის ორი სიბრტყე კუთხეა 70° და 80°. რა არის მესამე სიბრტყის კუთხის საზღვარი? პასუხი: 10o

სლაიდი 13

სავარჯიშო 4

სამკუთხედის სიბრტყის კუთხეებია 45°, 45° და 60°. იპოვეთ კუთხე 45° ბრტყელ კუთხეებს შორის. პასუხი: 90o.

სლაიდი 14

სავარჯიშო 5

სამკუთხედში ორი სიბრტყე კუთხეა თითო 45°; დიედრული კუთხე მათ შორის სწორია. იპოვეთ მესამე ბრტყელი კუთხე. პასუხი: 60o.

სლაიდი 15

სავარჯიშო 6

სამკუთხედის სიბრტყის კუთხეებია 60°, 60° და 90°. ტოლი სეგმენტები OA, OB, OC გამოსახულია მის კიდეებზე წვეროდან. იპოვეთ დიედრული კუთხე 90° კუთხის სიბრტყესა და ABC სიბრტყეს შორის. პასუხი: 90o.

სლაიდი 16

სავარჯიშო 7

სამკუთხედის თითოეული ბრტყელი კუთხე არის 60°. მის ერთ-ერთ კიდეზე, 3 სმ-ის ტოლი სეგმენტი ზემოდან არის დაშვებული, ხოლო პერპენდიკულარი ჩამოშვებულია მისი ბოლოდან მოპირდაპირე მხარეს. იპოვეთ ამ პერპენდიკულურის სიგრძე. პასუხი: იხილეთ

სლაიდი 17

სავარჯიშო 8

იპოვეთ სამკუთხედი კუთხის შიდა წერტილების ლოკუსი, რომელიც თანაბარი მანძილით არის დაშორებული მისი სახეებიდან. პასუხი: სხივი, რომლის წვერო არის სამკუთხედი კუთხის წვერო, რომელიც მდებარეობს სიბრტყეების გადაკვეთის ხაზზე, რომელიც ყოფს ორკუთხედებს შუაზე.

სლაიდი 18

სავარჯიშო 9

იპოვეთ სამკუთხა კუთხის შიდა წერტილების ლოკუსი, რომელიც თანაბრად არის დაშორებული მისი კიდეებიდან. პასუხი: სხივი, რომლის წვერო არის სამკუთხედი კუთხის წვერო, რომელიც მდებარეობს სიბრტყეების ბისექტორებზე გამავალი და ამ კუთხეების სიბრტყეების პერპენდიკულარული სიბრტყეების გადაკვეთის ხაზზე.

სლაიდი 19

სავარჯიშო 10

ოთხკუთხედის ორმხრივი კუთხეებისთვის გვაქვს: , საიდანაც 70o30". ოთხკუთხედის სამკუთხედისთვის გვაქვს: 15o45". პასუხი: 15o45". იპოვეთ ტეტრაედრის სამკუთხედის მიახლოებითი მნიშვნელობები.

სლაიდი 20

სავარჯიშო 11

იპოვეთ ოქტაედრის ტეტრაედრული კუთხეების სავარაუდო მნიშვნელობები. რვაკუთხედის ორწახნაგოვანი კუთხეებისთვის გვაქვს: , საიდანაც 109o30". ოთხკუთხედის ოთხკუთხედი გვაქვს: 38o56". პასუხი: 38o56".

სლაიდი 21

სავარჯიშო 12

იპოვეთ იკოსედრონის ხუთმხრივი კუთხის სავარაუდო მნიშვნელობები. იკოსაედრონის ორწახნაგოვანი კუთხეებისთვის გვაქვს: , საიდანაც 138o11". პასუხი: 75o28".

სლაიდი 22

სავარჯიშო 13

თორმეტკუთხედის ორთავიანი კუთხეებისთვის გვაქვს: , საიდანაც 116o34". თორმეტკუთხედის სამკუთხედი გვაქვს: 84o51". პასუხი: 84o51". იპოვნეთ თორმეტკუთხედის სამკუთხა კუთხეების სავარაუდო მნიშვნელობები.

სლაიდი 23

სავარჯიშო 14

ჩვეულებრივ ოთხკუთხა პირამიდაში SABCD ფუძის გვერდი არის 2 სმ, სიმაღლე 1 სმ იპოვეთ ოთხკუთხა კუთხე ამ პირამიდის თავზე. ამოხსნა: მითითებული პირამიდები ყოფენ კუბს ექვს თანაბარ პირამიდად კუბის ცენტრში წვეროებით. მაშასადამე, 4 გვერდიანი კუთხე პირამიდის თავზე არის 360° კუთხის მეექვსედი, ე.ი. უდრის 60o. პასუხი: 60o.

სლაიდი 24

სავარჯიშო 15

ჩვეულებრივ სამკუთხა პირამიდაში გვერდითი კიდეები 1-ის ტოლია, ზედა კუთხეები 90o. იპოვეთ სამკუთხედი ამ პირამიდის თავზე. ამოხსნა: მითითებული პირამიდები რვააედრონს ყოფენ რვა თანაბარ პირამიდად, წვეროებით რვააედრის O ცენტრში. მაშასადამე, 3 გვერდიანი კუთხე პირამიდის თავზე არის 360° კუთხის მერვედი, ე.ი. უდრის 45o. პასუხი: 45o.

სლაიდი 25

სავარჯიშო 16

ჩვეულებრივ სამკუთხა პირამიდაში, გვერდითი კიდეები უდრის 1-ს, ხოლო სიმაღლე იპოვეთ სამკუთხა კუთხე ამ პირამიდის ზედა ნაწილში. ამოხსნა: მითითებული პირამიდები ყოფენ ჩვეულებრივ ტეტრაედრონს ოთხ თანაბარ პირამიდად, წვეროებით ტეტრაედრის ცენტრში. მაშასადამე, 3 გვერდიანი კუთხე პირამიდის თავზე არის 360° კუთხის მეოთხედი, ე.ი. უდრის 90o. პასუხი: 90o.

ყველა სლაიდის ნახვა

განმარტებები. ავიღოთ რამდენიმე კუთხე (სურ. 37): ASB, BSC, CSD, რომლებიც ერთმანეთზე რიგად მიმდებარედ, განლაგებულია ერთ სიბრტყეში S საერთო წვერის გარშემო.

მოდით მოვატრიალოთ ASB კუთხის სიბრტყე საერთო SB გვერდის გარშემო ისე, რომ ამ სიბრტყემ შექმნას რაღაც ორმხრივი კუთხე BSC სიბრტყესთან. შემდეგ, მიღებული დიედრული კუთხის შეცვლის გარეშე, ჩვენ ვატრიალებთ მას SC სწორი ხაზის გარშემო ისე, რომ BSC სიბრტყემ შექმნას გარკვეული დიედრული კუთხე CSD სიბრტყით. გავაგრძელოთ ეს თანმიმდევრული ბრუნვა თითოეული საერთო მხარის გარშემო. თუ ამ შემთხვევაში SF-ის ბოლო მხარე შერწყმულია SA-ს პირველ მხარეს, მაშინ იქმნება ფიგურა (სურ. 38), რომელიც ე.წ. მრავალწახნაგოვანი კუთხე. კუთხეებს ASB, BSC,... ეწოდება ბრტყელი კუთხეებიან სახეები, მათ მხარეებს SA, SB, ... ეძახიან ნეკნებიდა საერთო წვერო S- სამიტიმრავალმხრივი კუთხე.

თითოეული კიდე ასევე არის რაღაც დიედრული კუთხის კიდე; მაშასადამე, მრავალწახნაგა კუთხეში იმდენივე ორთავიანი კუთხეა და იმდენი ბრტყელი კუთხე, რამდენი კიდეა მასში. მრავალწახნაგოვანი კუთხით სახეების ყველაზე მცირე რაოდენობა არის სამი; ამ კუთხეს უწოდებენ სამკუთხა. შეიძლება იყოს ოთხმხრივი, ხუთგვერდიანი და ა.შ.

მრავალწახნაგოვანი კუთხე აღინიშნება წვეროზე მოთავსებული ერთი ასო S-ით, ან SABCDE ასოების სერიით, რომელთაგან პირველი აღნიშნავს წვეროს, ხოლო დანარჩენები კიდეებია მათი მდებარეობის მიხედვით.

მრავალწახნაგოვანი კუთხე ეწოდება ამოზნექილს, თუ ის განლაგებულია მისი თითოეული სახის სიბრტყის ერთ მხარეს, რომელიც განუსაზღვრელი ვადით არის გაშლილი. ასეთია, მაგალითად, 38-ე ნახატზე ნაჩვენები კუთხე. პირიქით, 39-ე ნახაზის კუთხეს არ შეიძლება ეწოდოს ამოზნექილი, ვინაიდან იგი მდებარეობს ASB სახის ან BSC სახის ორივე მხარეს.

თუ მრავალწახნაგოვანი კუთხის ყველა სახე იკვეთება სიბრტყით, მაშინ განყოფილებაში წარმოიქმნება მრავალკუთხედი ( ა ბ ც დ ე ). ამოზნექილ მრავალკუთხედში ეს მრავალკუთხედი ასევე ამოზნექილია.

განვიხილავთ მხოლოდ ამოზნექილ მრავალწახნაგა კუთხეებს.

თეორემა. სამკუთხედში თითოეული ბრტყელი კუთხე ნაკლებია დანარჩენი ორი ბრტყელი კუთხის ჯამზე.

სამკუთხედში SABC (ნახ. 40) ბრტყელ კუთხეებს შორის ყველაზე დიდი იყოს ASC კუთხე.

მოდით დავხატოთ ASD კუთხე ამ კუთხეზე, რომელიც უდრის ASB კუთხს და დავხატოთ სწორი ხაზი AC, რომელიც კვეთს SD-ს რაღაც D წერტილში. დააყენეთ SB = SD. B-ს A-სთან და C-თან შეერთებით ვიღებთ \(\Delta\)ABC, რომელშიც

AD+DC< АВ + ВС.

სამკუთხედები ASD და ASB თანმიმდევრულია, რადგან თითოეული მათგანი შეიცავს თანაბარ კუთხეს თანაბარ გვერდებს შორის: აქედან გამომდინარე, AD = AB. მაშასადამე, თუ გამოვიყვანთ AD და AB თანაბარ წევრებს გამოყვანილ უტოლობაში, მივიღებთ რომ DC< ВС.

ახლა ჩვენ შევნიშნავთ, რომ SCD და SCB სამკუთხედებს აქვთ ერთის ორი გვერდი, რომელიც ტოლია მეორის ორ მხარეს, ხოლო მესამე გვერდები არ არის ტოლი; ამ შემთხვევაში, უფრო დიდი კუთხე დევს ამ მხარის დიდის საპირისპიროდ; ნიშნავს,

∠CSD< ∠ CSВ.

ამ უტოლობის მარცხენა მხარეს ASD კუთხის დამატება და მარჯვენა მხარეს მის ტოლ კუთხის ASB, მივიღებთ უტოლობას, რომელიც საჭირო იყო დასამტკიცებლად:

∠ASC< ∠ CSB + ∠ ASB.

ჩვენ დავამტკიცეთ, რომ ყველაზე დიდი ბრტყელი კუთხეც კი ნაკლებია დანარჩენი ორი კუთხის ჯამზე. ასე რომ, თეორემა დამტკიცებულია.

შედეგი. გამოვაკლოთ ბოლო უტოლობის ორივე ნაწილს ASB კუთხეში ან CSB კუთხეში; ჩვენ ვიღებთ:

∠ASC - ∠ASB< ∠ CSB;

∠ASC - ∠CSB< ∠ ASB.

ამ უტოლობების გათვალისწინებით მარჯვნიდან მარცხნივ და იმის გათვალისწინებით, რომ ASC კუთხე, როგორც სამი კუთხიდან ყველაზე დიდი, მეტია, ვიდრე დანარჩენი ორი კუთხის სხვაობა, დავასკვნით, რომ სამკუთხედში, თითოეული სიბრტყის კუთხე უფრო დიდია, ვიდრე სხვა ორი კუთხის სხვაობა.

თეორემა. ამოზნექილი მრავალწახნაგოვანი კუთხით, ყველა პლანშეტური კუთხის ჯამი ნაკლებია 4d-ზე (360°) .

გადავკვეთოთ SABCDE ამოზნექილი კუთხის სახეები (სურ. 41) რომელიმე სიბრტყეს; აქედან განყოფილებაში ვიღებთ ამოზნექილს ნ-გონ ABCDE.

ადრე დადასტურებული თეორემის გამოყენება თითოეულ სამკუთხედზე, რომლის წვეროები არის A, B, C, D და E წერტილებზე, paholim:

∠ABC< ∠ABS + ∠SВC, ∠BCD < ∠BCS + ∠SCD и т. д.

მოდით დავამატოთ ყველა ეს უტოლობა ტერმინით. შემდეგ მარცხენა მხარეს ვიღებთ ABCDE მრავალკუთხედის ყველა კუთხის ჯამს, რომელიც უდრის 2-ს. დნ - 4დ , ხოლო მარჯვნივ - სამკუთხედების ABS, SBC და ა.შ. X დამატების შემდეგ ვიღებთ:

2დნ - 4დ < 2dn - x .

ვინაიდან განსხვავებები 2 დნ - 4დ და 2 dn - x მინუენდები იგივეა, მაშინ იმისთვის, რომ პირველი სხვაობა მეორეზე ნაკლები იყოს, აუცილებელია, რომ სუბტრაჰენდი 4 დ გამოკლებული იყო X ; ნიშნავს 4 დ > X , ე.ი. X < 4დ .

სამკუთხედის ტოლობის უმარტივესი შემთხვევები

თეორემები. სამკუთხედი კუთხეები ტოლია, თუ მათ აქვთ:

1) თანაბარი დიედრული კუთხით, რომელიც ჩაკეტილია ორ, შესაბამისად, თანაბარ და თანაბრად დაშორებულ სიბრტყე კუთხეს შორის, ან

2) თანაბარი სიბრტყის კუთხის გასწვრივ, რომელიც ჩასმულია ორ, შესაბამისად, თანაბარ და თანაბრად დაშორებულ დიედრალურ კუთხეს შორის.

1) მოდით S და S 1 იყოს ორი სამკუთხედი (ნახ. 42), რომლებშიც ∠ASB = ∠A 1 S 1 B 1 , ∠ASC = ∠A 1 S 1 C 1 (და ეს თანაბარი კუთხეები თანაბრად მდებარეობს) და დიედრული კუთხე AS უდრის A 1 S 1 ორწახნაგოვანი კუთხის.

მოდით ჩავსვათ კუთხე S 1 კუთხეში S ისე, რომ წერტილები S 1 და S, წრფეები S 1 A 1 და SA და სიბრტყეები A 1 S 1 B 1 და ASB ემთხვევა ერთმანეთს. შემდეგ კიდე S 1 B 1 წავა SB-ის გასწვრივ (კუთხების A 1 S 1 B 1 და ASB ტოლობის გამო), სიბრტყე A 1 S 1 C 1 წავა ASC-ის გასწვრივ (დიედრული კუთხეების ტოლობის გამო), ხოლო კიდე S 1 C 1 წავა SC კიდის გასწვრივ (A 1 S 1 C 1 და ASC კუთხეების თანასწორობის გამო). ამრიგად, სამკუთხედი კუთხეები გაერთიანდება ყველა მათი კიდეებით, ე.ი. ისინი თანაბარი იქნებიან.

2) მეორე კრიტერიუმი, ისევე როგორც პირველი, დასტურდება ჩანერგვით.

სიმეტრიული მრავალწახნაგოვანი კუთხეები

მოგეხსენებათ, ვერტიკალური კუთხეები თანაბარია, როდესაც საქმე ეხება სწორი ხაზებით ან სიბრტყეებით წარმოქმნილ კუთხეებს. ვნახოთ, მართალია თუ არა ეს განცხადება მრავალწახნაგოვანი კუთხეებისთვის.

ვაგრძელებთ (სურ. 43) SABCDE კუთხის ყველა კიდეს S წვეროს მიღმა, შემდეგ წარმოიქმნება კიდევ ერთი მრავალწახნაგოვანი კუთხე SA 1 B 1 C 1 D 1 E 1, რომელიც შეიძლება ე.წ. ვერტიკალურიპირველ კუთხესთან მიმართებაში. ადვილი მისახვედრია, რომ ორივე კუთხეს აქვს თანაბარი სიბრტყე და დიედრული კუთხეები, შესაბამისად, მაგრამ ორივე საპირისპირო თანმიმდევრობითაა. მართლაც, თუ წარმოვიდგენთ დამკვირვებელს, რომელიც უყურებს მრავალწახნაგოვანი კუთხის გარედან მის წვეროზე, მაშინ კიდეები SA, SB, SC, SD, SE მას მოეჩვენება, რომ მდებარეობს საათის ისრის საწინააღმდეგო მიმართულებით, ხოლო SA 1 B კუთხეს უყურებს. 1 C 1 D 1 E 1 , ის ხედავს კიდეებს SA 1 , SВ 1 , ... მდებარეობს საათის ისრის მიმართულებით.

მრავალწახნაგოვანი კუთხეები, შესაბამისად თანაბარი სიბრტყით და ორმხრივი კუთხეებით, მაგრამ განლაგებულია საპირისპირო თანმიმდევრობით, საერთოდ არ შეიძლება გაერთიანდეს ჩადგმისას; ეს ნიშნავს, რომ ისინი არ არიან თანაბარი. ასეთ კუთხეებს ე.წ სიმეტრიული(ზედა S-თან შედარებით). მეტი სივრცეში ფიგურების სიმეტრიის შესახებ ქვემოთ იქნება განხილული.

სხვა მასალები