მოდით, სწორი ხაზი გაიაროს M 1 (x 1; y 1) და M 2 (x 2; y 2) წერტილებში. სწორი ხაზის განტოლებას, რომელიც გადის M 1 წერტილში, აქვს ფორმა y- y 1 \u003d კ (x - x 1), (10.6)
სადაც კ - ჯერ კიდევ უცნობი კოეფიციენტი.
ვინაიდან სწორი ხაზი გადის M 2 წერტილში (x 2 y 2), მაშინ ამ წერტილის კოორდინატები უნდა აკმაყოფილებდეს განტოლებას (10.6): y 2 -y 1 \u003d კ (x 2 -x 1).
აქედან ვპოულობთ ნაპოვნი მნიშვნელობის ჩანაცვლებას კ
განტოლებაში (10.6), ვიღებთ სწორი ხაზის განტოლებას, რომელიც გადის M 1 და M 2 წერტილებში: 
ვარაუდობენ, რომ ამ განტოლებაში x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2
თუ x 1 \u003d x 2, მაშინ სწორი ხაზი, რომელიც გადის M 1 (x 1, y I) და M 2 (x 2, y 2) წერტილებზე y-ღერძის პარალელურია. მისი განტოლება არის x = x 1 .
თუ y 2 \u003d y I, მაშინ სწორი ხაზის განტოლება შეიძლება დაიწეროს როგორც y \u003d y 1, სწორი ხაზი M 1 M 2 არის x ღერძის პარალელურად.
სწორი ხაზის განტოლება სეგმენტებში
სწორი ხაზი გადაკვეთოს Ox ღერძს M 1 წერტილში (a; 0), ხოლო Oy ღერძი - M 2 წერტილში (0; b). განტოლება მიიღებს ფორმას: 
იმათ. 
. ეს განტოლება ე.წ სწორი ხაზის განტოლება სეგმენტებში, რადგან რიცხვები a და b მიუთითებს, თუ რომელ სეგმენტებს წყვეტს სწორი ხაზი კოორდინატთა ღერძებზე.
სწორი ხაზის განტოლება, რომელიც გადის მოცემულ წერტილში მოცემულ ვექტორზე პერპენდიკულარულად
ვიპოვოთ სწორი წრფის განტოლება, რომელიც გადის მოცემულ წერტილში Mo (x O; y o) მოცემული არანულოვანი ვექტორის პერპენდიკულარული n = (A; B).
აიღეთ თვითნებური წერტილი M(x; y) სწორ ხაზზე და განიხილეთ ვექტორი M 0 M (x - x 0; y - y o) (იხ. სურ. 1). ვინაიდან n და M o M ვექტორები პერპენდიკულარულია, მათი სკალარული ნამრავლი ნულის ტოლია:
A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)
განტოლება (10.8) ეწოდება სწორი ხაზის განტოლება, რომელიც გადის მოცემულ წერტილში მოცემულ ვექტორზე პერპენდიკულარულად .
ვექტორს n = (A; B) წრფის პერპენდიკულარული ეწოდება ნორმალური ამ ხაზის ნორმალური ვექტორი .
განტოლება (10.8) შეიძლება გადაიწეროს როგორც Ah + Wu + C = 0 , (10.9)
სადაც A და B არის ნორმალური ვექტორის კოორდინატები, C \u003d -Ax o - Vu o - თავისუფალი წევრი. განტოლება (10.9) არის სწორი ხაზის ზოგადი განტოლება(იხ. სურ.2).
სურ.1 ნახ.2
სწორი ხაზის კანონიკური განტოლებები
,
სად 
არის იმ წერტილის კოორდინატები, რომლითაც გადის ხაზი და 
- მიმართულების ვექტორი.
მეორე რიგის წრის მრუდები
წრე არის სიბრტყის ყველა წერტილის სიმრავლე, რომლებიც თანაბრად არის დაშორებული მოცემული წერტილისგან, რომელსაც ცენტრი ეწოდება.
რადიუსის წრის კანონიკური განტოლება
რ წერტილზე ორიენტირებული 
:
კერძოდ, თუ ფსონის ცენტრი ემთხვევა საწყისს, მაშინ განტოლება ასე გამოიყურება: 
ელიფსი
ელიფსი არის სიბრტყეში წერტილების ერთობლიობა, თითოეული მათგანიდან ორ მოცემულ წერტილამდე მანძილების ჯამი.
და 
, რომლებსაც ფოკუსებს უწოდებენ, არის მუდმივი მნიშვნელობა 
, უფრო მეტია ვიდრე მანძილი კერებს შორის 
.
ელიფსის კანონიკურ განტოლებას, რომლის კერები მდებარეობს ოქსის ღერძზე და რომლის საწყისი შუაშია კერებს შორის, აქვს ფორმა 
გ 
დეა ძირითადი ნახევარღერძის სიგრძე;ბ არის მცირე ნახევრადღერძის სიგრძე (ნახ. 2).
სიბრტყეზე სწორი ხაზის განტოლება.
მიმართულების ვექტორი სწორია. ნორმალური ვექტორი
სიბრტყეზე სწორი ხაზი ერთ-ერთი უმარტივესი გეომეტრიული ფორმაა, რომელიც თქვენთვის ნაცნობია დაწყებითი კლასებიდან და დღეს ჩვენ ვისწავლით თუ როგორ გავუმკლავდეთ მას ანალიტიკური გეომეტრიის მეთოდების გამოყენებით. მასალის დასაუფლებლად აუცილებელია სწორი ხაზის აგება; იცოდეთ რომელი განტოლება განსაზღვრავს სწორ ხაზს, კერძოდ, საწყისზე გამავალ სწორ ხაზს და კოორდინატთა ღერძების პარალელურ სწორ ხაზებს. ეს ინფორმაცია შეგიძლიათ იხილოთ სახელმძღვანელოში. ელემენტარული ფუნქციების გრაფიკები და თვისებებიმატანისთვის შევქმენი, მაგრამ ხაზოვანი ფუნქციის განყოფილება ძალიან წარმატებული და დეტალური აღმოჩნდა. ამიტომ, ძვირფასო ჩაიდანი, ჯერ იქ გათბეთ. გარდა ამისა, თქვენ უნდა გქონდეთ საბაზისო ცოდნა ვექტორებიწინააღმდეგ შემთხვევაში მასალის გაგება არასრული იქნება.
ამ გაკვეთილზე ჩვენ განვიხილავთ გზებს, რომლითაც შეგიძლიათ დაწეროთ სწორი ხაზის განტოლება სიბრტყეში. გირჩევთ არ უგულებელყოთ პრაქტიკული მაგალითები (თუნდაც ეს ძალიან მარტივი ჩანდეს), რადგან მათ მივაწვდით ელემენტარულ და მნიშვნელოვან ფაქტებს, ტექნიკურ მეთოდებს, რომლებიც საჭირო იქნება მომავალში, მათ შორის უმაღლესი მათემატიკის სხვა განყოფილებებში.
- როგორ დავწეროთ სწორი ხაზის განტოლება დახრილობით?
- Როგორ ?
- როგორ ვიპოვოთ მიმართულების ვექტორი სწორი ხაზის ზოგადი განტოლებით?
- როგორ დავწეროთ სწორი ხაზის განტოლება, მოცემული წერტილისა და ნორმალური ვექტორის?
და ვიწყებთ:
ხაზის განტოლება დახრილობით
სწორი ხაზის განტოლების ცნობილ „სასკოლო“ ფორმას ე.წ სწორი ხაზის განტოლება დახრილობასთან. მაგალითად, თუ სწორი ხაზი მოცემულია განტოლებით, მაშინ მისი დახრილობა: . განვიხილოთ ამ კოეფიციენტის გეომეტრიული მნიშვნელობა და როგორ მოქმედებს მისი მნიშვნელობა ხაზის მდებარეობაზე: 
გეომეტრიის მსვლელობაში დასტურდება რომ სწორი ხაზის დახრილობა არის კუთხის ტანგენსიდადებითი ღერძის მიმართულებას შორისდა მოცემული ხაზი: , და კუთხე „გახსნილია“ საათის ისრის საწინააღმდეგოდ.
იმისთვის, რომ ნახატი არ დამეშალოს, მე დავხატე კუთხე მხოლოდ ორი სწორი ხაზისთვის. განვიხილოთ "წითელი" სწორი ხაზი და მისი დახრილობა. ზემოაღნიშნულის მიხედვით: (კუთხე „ალფა“ აღინიშნება მწვანე რკალით). ფერდობთან „ლურჯი“ სწორი ხაზისთვის თანასწორობა მართალია (კუთხე „ბეტა“ მითითებულია ყავისფერი რკალით). და თუ კუთხის ტანგენსი ცნობილია, მაშინ საჭიროების შემთხვევაში მისი პოვნა ადვილია და კუთხეშებრუნებული ფუნქციის გამოყენებით - რკალის ტანგენსი. როგორც ამბობენ, ტრიგონომეტრიული ცხრილი ან კალკულატორი ხელში. ამრიგად, დახრილობა ახასიათებს სწორი ხაზის დახრილობის ხარისხს x-ღერძზე.
ამ შემთხვევაში შესაძლებელია შემდეგი შემთხვევები:
1) თუ დახრილობა უარყოფითია: , მაშინ ხაზი, უხეშად რომ ვთქვათ, მიდის ზემოდან ქვევით. მაგალითებია "ლურჯი" და "ჟოლოსფერი" სწორი ხაზები ნახაზში.
2) თუ დახრილობა დადებითია: , მაშინ ხაზი მიდის ქვემოდან ზევით. მაგალითებია "შავი" და "წითელი" სწორი ხაზები ნახაზში.
3) თუ დახრილობა ტოლია ნულის: , მაშინ განტოლება იღებს ფორმას და შესაბამისი წრფე ღერძის პარალელურია. ამის მაგალითია "ყვითელი" ხაზი.
4) ღერძის პარალელურად სწორი ხაზების ოჯახისთვის (ნახაზზე არ არის მაგალითი, გარდა თავად ღერძისა), დახრილობა არ არსებობს (90 გრადუსიანი ტანგენტი არ არის განსაზღვრული).
რაც უფრო დიდია დახრის მოდული, მით უფრო ციცაბო მიდის ხაზოვანი გრაფიკი.
მაგალითად, განიხილეთ ორი სწორი ხაზი. აი, ასე რომ, სწორ ხაზს უფრო ციცაბო დახრილობა აქვს. შეგახსენებთ, რომ მოდული საშუალებას გაძლევთ უგულებელყოთ ნიშანი, ჩვენ მხოლოდ გვაინტერესებს აბსოლუტური ღირებულებებიკუთხოვანი კოეფიციენტები.
თავის მხრივ, სწორი ხაზი უფრო ციცაბოა, ვიდრე სწორი ხაზები. 
.
პირიქით: რაც უფრო მცირეა ფერდობის მოდული, სწორი ხაზი უფრო ბრტყელია.
სწორი ხაზებისთვის 
უთანასწორობა მართალია, შესაბამისად, სწორი ხაზი უფრო მეტია ვიდრე ტილო. ბავშვთა სლაიდი, რათა არ დარგოს სისხლჩაქცევები და მუწუკები.
რატომ არის ეს საჭირო?
გაახანგრძლივეთ თქვენი ტანჯვა ზემოაღნიშნული ფაქტების ცოდნა საშუალებას გაძლევთ დაუყოვნებლივ ნახოთ თქვენი შეცდომები, კერძოდ, შეცდომები გრაფიკების შედგენისას - თუ ნახატი აღმოჩნდა "აშკარად რაღაც არასწორია". სასურველია, რომ თქვენ გასწვრივნათელი იყო, რომ, მაგალითად, სწორი ხაზი ძალიან ციცაბოა და მიდის ქვემოდან ზევით, ხოლო სწორი ხაზი ძალიან ბრტყელია, ღერძთან ახლოს და მიდის ზემოდან ქვემოდან.
გეომეტრიულ ამოცანებში ხშირად ჩნდება რამდენიმე სწორი ხაზი, ამიტომ მოსახერხებელია მათი აღნიშვნა.
აღნიშვნა: სწორი ხაზები აღინიშნება პატარა ლათინური ასოებით: . პოპულარული ვარიანტია იგივე ასოს აღნიშვნა ბუნებრივი ხელმოწერებით. მაგალითად, ხუთი ხაზი, რომელიც ახლა განვიხილეთ, შეიძლება აღვნიშნოთ 
.
ვინაიდან ნებისმიერი სწორი ხაზი ცალსახად განისაზღვრება ორი წერტილით, ის შეიძლება აღინიშნოს შემდეგი წერტილებით: 
და ა.შ. აღნიშვნა აშკარად გულისხმობს, რომ წერტილები მიეკუთვნება ხაზს.
დროა ცოტა დავისვენოთ:
როგორ დავწეროთ სწორი ხაზის განტოლება დახრილობით?
თუ ცნობილია წერტილი, რომელიც ეკუთვნის გარკვეულ წრფეს და ამ წრფის დახრილობას, მაშინ ამ ხაზის განტოლება გამოიხატება ფორმულით:
მაგალითი 1
შეადგინეთ დახრილობის სწორი ხაზის განტოლება, თუ ცნობილია, რომ წერტილი ეკუთვნის ამ სწორ ხაზს.
გადაწყვეტილება: ფორმულის მიხედვით შევადგენთ სწორი ხაზის განტოლებას 
. Ამ შემთხვევაში: 
უპასუხე:
ექსპერტიზაშესრულდა ელემენტარულად. პირველ რიგში, ჩვენ ვუყურებთ მიღებულ განტოლებას და დავრწმუნდებით, რომ ჩვენი დახრილობა თავის ადგილზეა. მეორე, წერტილის კოორდინატები უნდა აკმაყოფილებდეს მოცემულ განტოლებას. მოდით ჩავრთოთ ისინი განტოლებაში:
მიიღება სწორი ტოლობა, რაც ნიშნავს, რომ წერტილი აკმაყოფილებს მიღებულ განტოლებას.
დასკვნა: განტოლება ნაპოვნია სწორად.
უფრო რთული მაგალითი საკუთარი თავის გადაწყვეტისთვის:
მაგალითი 2
დაწერეთ სწორი ხაზის განტოლება, თუ ცნობილია, რომ მისი დახრის კუთხე ღერძის დადებითი მიმართულების მიმართ არის , და წერტილი ეკუთვნის ამ სწორ ხაზს.
თუ რაიმე სირთულე გაქვთ, გადაიკითხეთ თეორიული მასალა. უფრო სწორად, უფრო პრაქტიკული, ბევრი მტკიცებულება მენატრება.
ბოლო ზარი დაირეკა, გამოსაშვები ბურთი ჩაქრა და ჩვენი მშობლიური სკოლის ჭიშკარს, ფაქტობრივად, ანალიტიკური გეომეტრია გველოდება. ხუმრობები დასრულდა... იქნებ ახლა იწყება =)
ნოსტალგიურად ვატრიალებთ სახელურს ნაცნობს და ვეცნობით სწორი ხაზის ზოგად განტოლებას. ვინაიდან ანალიტიკურ გეომეტრიაში ეს არის ზუსტად ის, რაც გამოიყენება:
სწორი ხაზის ზოგად განტოლებას აქვს ფორმა: , სად არის რამდენიმე რიცხვი. ამავე დროს, კოეფიციენტები ერთდროულადარ არის ნულის ტოლი, რადგან განტოლება კარგავს თავის მნიშვნელობას.
მოდით ჩავიცვათ კოსტიუმში და მივაკრათ განტოლება ფერდობზე. პირველი, ჩვენ გადავიტანთ ყველა ტერმინს მარცხენა მხარეს:
ტერმინი "x"-ით პირველ რიგში უნდა დაიდოს:
პრინციპში, განტოლებას უკვე აქვს ფორმა, მაგრამ მათემატიკური ეტიკეტის წესების მიხედვით, პირველი წევრის კოეფიციენტი (ამ შემთხვევაში) დადებითი უნდა იყოს. ნიშნების შეცვლა:
გახსოვდეთ ეს ტექნიკური თვისება!ჩვენ პირველ კოეფიციენტს (ყველაზე ხშირად) დადებითს ვაკეთებთ!
ანალიტიკურ გეომეტრიაში, სწორი ხაზის განტოლება თითქმის ყოველთვის მოცემულია ზოგადი ფორმით. ისე, საჭიროების შემთხვევაში, ადვილია მისი მიყვანა "სასკოლო" ფორმაში დახრილობით (გარდა y-ღერძის პარალელურად სწორი ხაზებისა).
ვკითხოთ საკუთარ თავს რა საკმარისიიცით სწორი ხაზის აშენება? ორი ქულა. მაგრამ ამ ბავშვობის შემთხვევის შესახებ მოგვიანებით, ახლა ისრებით წესია. თითოეულ სწორ ხაზს აქვს კარგად გამოკვეთილი დახრილობა, რომელზედაც მისი „ადაპტაცია“ მარტივია. ვექტორი.
ვექტორს, რომელიც წრფის პარალელურია, ამ წრფის მიმართულების ვექტორი ეწოდება.. ცხადია, ნებისმიერ სწორ ხაზს აქვს უსასრულოდ ბევრი მიმართულების ვექტორი და ყველა მათგანი იქნება კოლინარული (ერთად მიმართული თუ არა - არ აქვს მნიშვნელობა).
მიმართულების ვექტორს აღვნიშნავ შემდეგნაირად: .
მაგრამ ერთი ვექტორი არ არის საკმარისი სწორი ხაზის ასაგებად, ვექტორი თავისუფალია და არ არის მიმაგრებული სიბრტყის არცერთ წერტილზე. ამიტომ, დამატებით აუცილებელია ვიცოდეთ რაღაც წერტილი, რომელიც ეკუთვნის ხაზს.
როგორ დავწეროთ სწორი ხაზის განტოლება, მოცემული წერტილისა და მიმართულების ვექტორის?
თუ ცნობილია გარკვეული წერტილი, რომელიც ეკუთვნის წრფეს და ამ წრფის ვექტორს, მაშინ ამ წრფის განტოლება შეიძლება შედგენილი იყოს ფორმულით:
ზოგჯერ მას ეძახიან წრფის კანონიკური განტოლება .
რა უნდა გააკეთოს როდის ერთ-ერთი კოორდინატიარის ნული, ქვემოთ განვიხილავთ პრაქტიკულ მაგალითებს. სხვათა შორის, გაითვალისწინეთ - ორივე ერთდროულადკოორდინატები არ შეიძლება იყოს ნულოვანი, რადგან ნულოვანი ვექტორი არ აკონკრეტებს კონკრეტულ მიმართულებას.
მაგალითი 3
დაწერეთ სწორი ხაზის განტოლება, მოცემული წერტილისა და მიმართულების ვექტორის
გადაწყვეტილება: ფორმულის მიხედვით შევადგენთ სწორი ხაზის განტოლებას. Ამ შემთხვევაში:
პროპორციის თვისებების გამოყენებით, ჩვენ ვაშორებთ წილადებს: 
და განტოლებას მივყავართ ზოგად ფორმამდე:
უპასუხე:
ასეთ მაგალითებში დახატვა, როგორც წესი, არ არის საჭირო, მაგრამ გასაგებად: 
ნახაზზე ვხედავთ საწყის წერტილს, თავდაპირველ მიმართულების ვექტორს (მისი გადადება შესაძლებელია სიბრტყის ნებისმიერი წერტილიდან) და აგებულ ხაზს. სხვათა შორის, ხშირ შემთხვევაში, სწორი ხაზის აგება ყველაზე მოხერხებულად ხორციელდება დახრილობის განტოლების გამოყენებით. ჩვენი განტოლება ადვილად გადაიყვანება ფორმაში და უპრობლემოდ აიღეთ კიდევ ერთი წერტილი სწორი ხაზის ასაგებად.
როგორც განყოფილების დასაწყისში აღინიშნა, წრფეს აქვს უსასრულოდ ბევრი მიმართულების ვექტორი და ისინი ყველა თანამიმართულია. მაგალითად, მე დავხატე სამი ასეთი ვექტორი: 
. რომელი მიმართულების ვექტორიც არ უნდა ავირჩიოთ, შედეგი ყოველთვის იქნება იგივე სწორი ხაზის განტოლება.
შევადგინოთ სწორი ხაზის განტოლება წერტილისა და მიმართულების ვექტორის მიხედვით:
პროპორციის დაშლა:
გაყავით ორივე მხარე -2-ზე და მიიღეთ ნაცნობი განტოლება:
მსურველებს შეუძლიათ ანალოგიურად შეამოწმონ ვექტორები 
ან ნებისმიერი სხვა კოლინარული ვექტორი.
ახლა მოვაგვაროთ საპირისპირო პრობლემა:
როგორ ვიპოვოთ მიმართულების ვექტორი სწორი ხაზის ზოგადი განტოლებით?
Ძალიან მარტივი:
თუ სწორი ხაზი მოცემულია ზოგადი განტოლებით მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში, მაშინ ვექტორი არის ამ სწორი ხაზის მიმართულების ვექტორი.
სწორი ხაზების მიმართულების ვექტორების პოვნის მაგალითები: 
განცხადება საშუალებას გვაძლევს ვიპოვოთ მხოლოდ ერთი მიმართულების ვექტორი უსასრულო სიმრავლიდან, მაგრამ მეტი არ გვჭირდება. თუმცა ზოგიერთ შემთხვევაში მიზანშეწონილია შემცირდეს მიმართულების ვექტორების კოორდინატები:
ასე რომ, განტოლება განსაზღვრავს სწორ ხაზს, რომელიც არის ღერძის პარალელურად, და მიღებული საჭის ვექტორის კოორდინატები მოხერხებულად იყოფა -2-ზე, მიიღება ზუსტად ძირითადი ვექტორი, როგორც საჭის ვექტორი. ლოგიკურად.
ანალოგიურად, განტოლება განსაზღვრავს ღერძის პარალელურ სწორ ხაზს და ვექტორის კოორდინატების 5-ზე გაყოფით მივიღებთ ორტს, როგორც მიმართულების ვექტორს.
ახლა მოდით შევასრულოთ შეამოწმეთ მაგალითი 3. მაგალითი წავიდა, ამიტომ შეგახსენებთ, რომ მასში შევადგინეთ სწორი ხაზის განტოლება წერტილისა და მიმართულების ვექტორის გამოყენებით
Პირველ რიგშისწორი ხაზის განტოლების მიხედვით აღვადგენთ მის მიმართულ ვექტორს: 
- ყველაფერი კარგადაა, ჩვენ მივიღეთ ორიგინალური ვექტორი (ზოგიერთ შემთხვევაში, ის შეიძლება აღმოჩნდეს თავდაპირველი ვექტორის კოლინარული და ეს ჩვეულებრივ ადვილი შესამჩნევია შესაბამისი კოორდინატების პროპორციულობით).
მეორეც, წერტილის კოორდინატები უნდა აკმაყოფილებდეს განტოლებას . ჩვენ მათ ვცვლით განტოლებაში:
მიღებულია სწორი თანასწორობა, რაც ჩვენ ძალიან კმაყოფილი ვართ.
დასკვნა: სამუშაო სწორად შესრულებულია.
მაგალითი 4
დაწერეთ სწორი ხაზის განტოლება, მოცემული წერტილისა და მიმართულების ვექტორის
ეს არის საკუთარი თავის მაგალითი. ამოხსნა და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს. ძალიან სასურველია შემოწმება განხილული ალგორითმის მიხედვით. შეეცადეთ ყოველთვის (თუ შესაძლებელია) შეამოწმოთ მონახაზი. სისულელეა შეცდომების დაშვება, სადაც მათი 100%-ით თავიდან აცილებაა შესაძლებელი.
იმ შემთხვევაში, თუ მიმართულების ვექტორის ერთ-ერთი კოორდინატი ნულის ტოლია, ამის გაკეთება ძალიან მარტივია:
მაგალითი 5
გადაწყვეტილება: ფორმულა არასწორია, რადგან მარჯვენა მხარეს მნიშვნელი არის ნული. არის გასასვლელი! პროპორციის თვისებების გამოყენებით, ჩვენ გადავიწერთ ფორმულას ფორმაში, ხოლო დანარჩენს ვახვევთ ღრმა ჩიხში:
უპასუხე:
ექსპერტიზა:
1) აღადგინეთ სწორი ხაზის მიმართულების ვექტორი:
– შედეგად მიღებული ვექტორი ტოლია ორიგინალური მიმართულების ვექტორთან.
2) შეცვალეთ წერტილის კოორდინატები განტოლებაში: 
მიღებულია სწორი თანასწორობა
დასკვნა: სამუშაო სწორად შესრულებულია
ჩნდება კითხვა, რატომ იწუხებთ ფორმულას, თუ არსებობს უნივერსალური ვერსია, რომელიც მაინც იმუშავებს? ორი მიზეზია. პირველი, წილადის ფორმულა ბევრად უკეთესია გახსოვდეთ. და მეორეც, უნივერსალური ფორმულის მინუსი არის ის დაბნეულობის საგრძნობლად გაზრდილი რისკიკოორდინატების შეცვლისას.
მაგალითი 6
შეადგინეთ სწორი ხაზის განტოლება, მოცემული წერტილისა და მიმართულების ვექტორის.
ეს არის საკუთარი თავის მაგალითი.
დავუბრუნდეთ ყოვლისმომცველ ორ პუნქტს:
როგორ დავწეროთ ორი წერტილის მოცემული სწორი ხაზის განტოლება?
თუ ცნობილია ორი წერტილი, მაშინ ამ წერტილებში გამავალი სწორი ხაზის განტოლება შეიძლება შედგენილი იყოს ფორმულის გამოყენებით:
სინამდვილეში, ეს არის ერთგვარი ფორმულა და აი რატომ: თუ ცნობილია ორი წერტილი, მაშინ ვექტორი იქნება ამ წრფის მიმართულების ვექტორი. გაკვეთილზე ვექტორები დუმებისთვისჩვენ განვიხილეთ უმარტივესი პრობლემა - როგორ ვიპოვოთ ვექტორის კოორდინატები ორი წერტილიდან. ამ პრობლემის მიხედვით, მიმართულების ვექტორის კოორდინატები: 
შენიშვნა
: ქულების „გაცვლა“ და ფორმულის გამოყენება შესაძლებელია 
. ასეთი გადაწყვეტილება თანაბარი იქნება.
მაგალითი 7
დაწერეთ სწორი ხაზის განტოლება ორი წერტილიდან 
.
გადაწყვეტილება: გამოიყენეთ ფორმულა: 
ჩვენ ვავარცხნებთ მნიშვნელებს:
და აურიეთ გემბანი: 
ახლა მოსახერხებელია წილადი რიცხვებისგან თავის დაღწევა. ამ შემთხვევაში, თქვენ უნდა გაამრავლოთ ორივე ნაწილი 6-ზე: 
გახსენით ფრჩხილები და გაიხსენეთ განტოლება: 
უპასუხე:
ექსპერტიზააშკარაა - საწყისი წერტილების კოორდინატები უნდა აკმაყოფილებდეს მიღებულ განტოლებას:
1) შეცვალეთ წერტილის კოორდინატები: 
ნამდვილი თანასწორობა.
2) შეცვალეთ წერტილის კოორდინატები: 
ნამდვილი თანასწორობა.
დასკვნა: სწორი ხაზის განტოლება სწორია.
Თუ ერთი მაინცრაოდენობა არ აკმაყოფილებს განტოლებას, მოძებნეთ შეცდომა.
აღსანიშნავია, რომ ამ შემთხვევაში გრაფიკული შემოწმება რთულია, რადგან ხაზის დახატვა და პუნქტები ეკუთვნის თუ არა მას. 
, არც ისე ადვილია.
მე აღვნიშნავ გადაწყვეტის რამდენიმე ტექნიკურ პუნქტს. ალბათ ამ პრობლემაში უფრო მომგებიანია სარკის ფორმულის გამოყენება 
და იგივე პუნქტებისთვის 
გააკეთე განტოლება: 
წილადები ნაკლებია. თუ გსურთ, შეგიძლიათ ბოლომდე დაასრულოთ ამოხსნა, შედეგი უნდა იყოს იგივე განტოლება.
მეორე წერტილი არის საბოლოო პასუხის გადახედვა და მისი შემდგომი გამარტივება? მაგალითად, თუ განტოლება მიიღება, მაშინ მიზანშეწონილია მისი ორით შემცირება: - განტოლება დაადგენს იმავე სწორ ხაზს. თუმცა ეს უკვე სალაპარაკო თემაა სწორი ხაზების ურთიერთმოწყობა.
პასუხი რომ მიიღო 
მე-7 მაგალითში, ყოველი შემთხვევისთვის, შევამოწმე, იყო თუ არა განტოლების ყველა კოეფიციენტი 2-ზე, 3-ზე ან 7-ზე. თუმცა, ყველაზე ხშირად ასეთი შემცირება ხდება ამოხსნის დროს.
მაგალითი 8
დაწერეთ წერტილებში გამავალი სწორი ხაზის განტოლება 
.
ეს არის მაგალითი დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის, რომელიც საშუალებას მოგცემთ უკეთ გაიგოთ და შეიმუშაოთ გაანგარიშების ტექნიკა.
წინა აბზაცის მსგავსად: თუ ფორმულაში 
ერთ-ერთი მნიშვნელი (მიმართულების ვექტორის კოორდინატი) ქრება, შემდეგ მას გადავწერთ როგორც . და ისევ შეამჩნიე, როგორ უხერხულად და დაბნეულმა დაიწყო ყურება. პრაქტიკული მაგალითების მოყვანაში დიდ აზრს ვერ ვხედავ, ვინაიდან ასეთი პრობლემა რეალურად უკვე მოვაგვარეთ (იხ. Nos. 5, 6).
სწორი ხაზის ნორმალური ვექტორი (ნორმალური ვექტორი)
რა არის ნორმალური? მარტივი სიტყვებით, ნორმალური არის პერპენდიკულარული. ანუ წრფის ნორმალური ვექტორი მოცემული წრფის პერპენდიკულარულია. აშკარაა, რომ ნებისმიერ სწორ ხაზს აქვს მათი უსასრულო რაოდენობა (ისევე, როგორც მართვითი ვექტორები), ხოლო სწორი ხაზის ყველა ნორმალური ვექტორი იქნება კოლინარული (თანმიმართული თუ არა - არ აქვს მნიშვნელობა).
მათთან გამკლავება უფრო ადვილი იქნება, ვიდრე მიმართულების ვექტორებთან:
თუ სწორი ხაზი მოცემულია ზოგადი განტოლებით მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში, მაშინ ვექტორი არის ამ სწორი ხაზის ნორმალური ვექტორი.
თუ მიმართულების ვექტორის კოორდინატები განტოლებიდან გულდასმით უნდა "ამოიღონ", მაშინ ნორმალური ვექტორის კოორდინატები შეიძლება უბრალოდ "ამოღებულ იქნეს".
ნორმალური ვექტორი ყოველთვის ორთოგონალურია წრფის მიმართულების ვექტორის მიმართ. ჩვენ შევამოწმებთ ამ ვექტორების ორთოგონალურობას გამოყენებით წერტილოვანი პროდუქტი:
მე მივცემ მაგალითებს იგივე განტოლებით, როგორც მიმართულების ვექტორისთვის: 
შესაძლებელია თუ არა სწორი ხაზის განტოლების დაწერა, ერთი წერტილის და ნორმალური ვექტორის ცოდნა? იგრძნობა, რომ ეს შესაძლებელია. თუ ნორმალური ვექტორი ცნობილია, მაშინ ყველაზე სწორი ხაზის მიმართულება ასევე ცალსახად არის განსაზღვრული - ეს არის "ხისტი სტრუქტურა" 90 გრადუსიანი კუთხით.
როგორ დავწეროთ სწორი ხაზის განტოლება, მოცემული წერტილისა და ნორმალური ვექტორის?
თუ ცნობილია წრფის და ამ წრფის ნორმალური ვექტორის კუთვნილი წერტილი, მაშინ ამ წრფის განტოლება გამოიხატება ფორმულით:
აქ ყველაფერი წილადებისა და სხვა სიურპრიზების გარეშე ჩაიარა. ასეთია ჩვენი ნორმალური ვექტორი. Მიყვარს. და პატივისცემა =)
მაგალითი 9
შეადგინეთ სწორი ხაზის განტოლება მოცემული წერტილისა და ნორმალური ვექტორის. იპოვეთ სწორი ხაზის მიმართულების ვექტორი.
გადაწყვეტილება: გამოიყენეთ ფორმულა: 
სწორი ხაზის ზოგადი განტოლება მიღებულია, მოდით შევამოწმოთ:
1) "ამოშალე" ნორმალური ვექტორის კოორდინატები განტოლებიდან: 
- დიახ, მართლაც, თავდაპირველი ვექტორი მიიღება მდგომარეობიდან (ან ვექტორი უნდა იყოს თავდაპირველი ვექტორის კოლინარული).
2) შეამოწმეთ, აკმაყოფილებს თუ არა წერტილი განტოლებას: 
ნამდვილი თანასწორობა.
მას შემდეგ რაც დავრწმუნდებით, რომ განტოლება სწორია, დავასრულებთ დავალების მეორე, უფრო მარტივ ნაწილს. ჩვენ ამოვიღებთ სწორი ხაზის მიმართულების ვექტორს: 
უპასუხე: 
ნახაზში სიტუაცია ასეთია: 
ტრენინგის მიზნებისთვის, მსგავსი ამოცანა დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის:
მაგალითი 10
შეადგინეთ სწორი ხაზის განტოლება მოცემული წერტილისა და ნორმალური ვექტორის. იპოვეთ სწორი ხაზის მიმართულების ვექტორი.
გაკვეთილის ბოლო ნაწილი დაეთმობა სიბრტყეში სწორი ხაზის განტოლებების ნაკლებად გავრცელებულ, მაგრამ ასევე მნიშვნელოვან ტიპებს.
სწორი ხაზის განტოლება სეგმენტებში.
სწორი ხაზის განტოლება პარამეტრულ ფორმაში
სეგმენტებში სწორი ხაზის განტოლებას აქვს ფორმა, სადაც არის არანულოვანი მუდმივები. ზოგიერთი ტიპის განტოლება არ შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ამ ფორმით, მაგალითად, პირდაპირი პროპორციულობით (რადგან თავისუფალი წევრი არის ნული და არ არსებობს გზა, რომ მიიღოთ ერთი მარჯვენა მხარეს).
ეს არის, ფიგურალურად რომ ვთქვათ, "ტექნიკური" ტიპის განტოლება. ჩვეულებრივი ამოცანაა სწორი ხაზის ზოგადი განტოლების წარმოდგენა, როგორც სწორი ხაზის განტოლება სეგმენტებში. რატომ არის მოსახერხებელი? სწორი ხაზის განტოლება სეგმენტებში საშუალებას გაძლევთ სწრაფად იპოვოთ სწორი ხაზის გადაკვეთის წერტილები კოორდინატთა ღერძებით, რაც ძალიან მნიშვნელოვანია უმაღლესი მათემატიკის ზოგიერთ პრობლემაში.
იპოვნეთ წრფის ღერძთან გადაკვეთის წერტილი. ჩვენ აღვადგენთ "y"-ს და განტოლება იღებს ფორმას. სასურველი ქულა მიიღება ავტომატურად: .
იგივე ღერძი 
არის წერტილი, სადაც წრფე კვეთს y-ღერძს.
ამ სტატიაში განვიხილავთ სიბრტყეში სწორი ხაზის ზოგად განტოლებას. მოვიყვანოთ სწორი ხაზის ზოგადი განტოლების აგების მაგალითები, თუ ცნობილია ამ სწორი ხაზის ორი წერტილი ან თუ ცნობილია ამ სწორი წრფის ერთი წერტილი და ნორმალური ვექტორი. წარმოგიდგენთ განტოლების ზოგადი სახით კანონიკურ და პარამეტრულ ფორმებად გადაქცევის მეთოდებს.
მიეცით თვითნებური დეკარტის მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა ოქსი. განვიხილოთ პირველი ხარისხის განტოლება ან წრფივი განტოლება:
| Axe+by+C=0, | (1) |
სადაც A, B, Cარის გარკვეული მუდმივები და ერთ-ერთი ელემენტი მაინც ადა ბგანსხვავდება ნულიდან.
ჩვენ ვაჩვენებთ, რომ წრფივი განტოლება სიბრტყეში განსაზღვრავს სწორ ხაზს. დავამტკიცოთ შემდეგი თეორემა.
თეორემა 1. თვითნებური დეკარტის მართკუთხა კოორდინატთა სისტემაში სიბრტყეზე, თითოეული სწორი ხაზი შეიძლება იყოს მოცემული წრფივი განტოლებით. საპირისპიროდ, თითოეული წრფივი განტოლება (1) თვითნებურ დეკარტის მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში სიბრტყეზე განსაზღვრავს სწორ ხაზს.
მტკიცებულება. საკმარისია იმის დასამტკიცებლად, რომ ხაზი ლგანისაზღვრება წრფივი განტოლებით ნებისმიერი დეკარტის მართკუთხა კოორდინატთა სისტემისთვის, მას შემდეგ იგი განისაზღვრება წრფივი განტოლებით და დეკარტის მართკუთხა კოორდინატთა სისტემის ნებისმიერი არჩევანისთვის.
მიეცით სწორი ხაზი თვითმფრინავზე ლ. ჩვენ ვირჩევთ კოორდინატთა სისტემას ისე, რომ ღერძი ოქსიხაზთან გასწორებული ლდა ღერძი ოიიყო მასზე პერპენდიკულარული. შემდეგ წრფის განტოლება ლმიიღებს შემდეგ ფორმას:
| y=0. | (2) |
ყველა წერტილი ხაზზე ლდააკმაყოფილებს წრფივ განტოლებას (2) და ყველა წერტილი ამ სწორი ხაზის გარეთ არ დააკმაყოფილებს განტოლებას (2). დადასტურებულია თეორემის პირველი ნაწილი.
მიეცით დეკარტის მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა და ხაზოვანი განტოლება (1), სადაც მინიმუმ ერთი ელემენტი ადა ბგანსხვავდება ნულიდან. იპოვეთ წერტილების ლოკუსი, რომელთა კოორდინატები აკმაყოფილებს განტოლებას (1). ვინაიდან ერთ-ერთი კოეფიციენტი მაინც ადა ბგანსხვავდება ნულისაგან, მაშინ განტოლებას (1) აქვს მინიმუმ ერთი ამონახსნი მ(x 0 ,წ 0). (მაგალითად, როდის ა≠0, წერტილი მ 0 (−C/A, 0) მიეკუთვნება წერტილების მოცემულ ადგილს). ამ კოორდინატების (1) ჩანაცვლებით ვიღებთ იდენტურობას
| Ნაჯახი 0 +ავტორი 0 +C=0. | (3) |
გამოვაკლოთ იდენტობა (3) (1):
| ა(x−x 0)+ბ(წ−წ 0)=0. | (4) |
ცხადია, განტოლება (4) უდრის განტოლებას (1). ამიტომ, საკმარისია იმის დასამტკიცებლად, რომ (4) განსაზღვრავს გარკვეულ ხაზს.
ვინაიდან ჩვენ განვიხილავთ დეკარტის მართკუთხა კოორდინატთა სისტემას, თანასწორობიდან (4) გამომდინარეობს, რომ ვექტორი კომპონენტებით ( x−x 0 , y−y 0 ) არის ვექტორის ორთოგონალური ნკოორდინატებით ( A, B}.
განვიხილოთ რამდენიმე ხაზი ლწერტილის გავლით მ 0 (x 0 , წ 0) და ვექტორზე პერპენდიკულარული ნ(ნახ.1). დაუშვით წერტილი მ(x,y) მიეკუთვნება ხაზს ლ. შემდეგ ვექტორი კოორდინატებით x−x 0 , y−y 0 პერპენდიკულარული ნდა განტოლება (4) დაკმაყოფილებულია (ვექტორების სკალარული ნამრავლი ნდა უდრის ნულს). პირიქით, თუ წერტილი მ(x,შ) არ დევს ხაზზე ლ, შემდეგ ვექტორი კოორდინატებით x−x 0 , y−y 0 არ არის ორთოგონალური ვექტორის მიმართ ნდა განტოლება (4) არ არის დაკმაყოფილებული. თეორემა დადასტურდა.
მტკიცებულება. ვინაიდან ხაზები (5) და (6) განსაზღვრავენ ერთსა და იმავე ხაზს, ნორმალურ ვექტორებს ნ 1 ={ა 1 ,ბ 1) და ნ 2 ={ა 2 ,ბ 2) არის კოლინარული. ვინაიდან ვექტორები ნ 1 ≠0, ნ 2 ≠ 0, მაშინ არის რიცხვი λ , რა ნ 2 =ნ 1 λ . აქედან გამომდინარე გვაქვს: ა 2 =ა 1 λ , ბ 2 =ბ 1 λ . ეს დავამტკიცოთ C 2 =C 1 λ . აშკარაა, რომ თანხვედრილ ხაზებს აქვთ საერთო წერტილი მ 0 (x 0 , წ 0). (5) განტოლების გამრავლება λ და მისგან (6) განტოლების გამოკლებით მივიღებთ:
ვინაიდან პირველი ორი თანასწორობა (7) დაკმაყოფილებულია, მაშინ C 1 λ −C 2=0. იმათ. C 2 =C 1 λ . შენიშვნა დადასტურდა.
გაითვალისწინეთ, რომ განტოლება (4) განსაზღვრავს წერტილში გამავალი სწორი ხაზის განტოლებას მ 0 (x 0 , წ 0) და აქვს ნორმალური ვექტორი ნ={A, B). ამიტომ, თუ ცნობილია წრფის ნორმალური ვექტორი და ამ წრფის კუთვნილი წერტილი, მაშინ წრფის ზოგადი განტოლება შეიძლება აშენდეს განტოლების (4) გამოყენებით.
მაგალითი 1. წრფე გადის წერტილს მ=(4,−1) და აქვს ნორმალური ვექტორი ნ=(3, 5). შეადგინეთ სწორი ხაზის ზოგადი განტოლება.
გადაწყვეტილება. Ჩვენ გვაქვს: x 0 =4, წ 0 =−1, ა=3, ბ=5. სწორი ხაზის ზოგადი განტოლების ასაგებად, ჩვენ ვცვლით ამ მნიშვნელობებს განტოლებაში (4):
პასუხი:
ვექტორი წრფის პარალელურად ლდა, შესაბამისად, პერპენდიკულარულია წრფის ნორმალური ვექტორის მიმართ ლ. ავაშენოთ ნორმალური წრფის ვექტორი ლ, იმის გათვალისწინებით, რომ ვექტორების სკალარული ნამრავლი ნდა უდრის ნულს. ჩვენ შეგვიძლია დავწეროთ, მაგალითად, ნ={1,−3}.
სწორი ხაზის ზოგადი განტოლების ასაგებად ვიყენებთ ფორმულას (4). შევცვალოთ (4) წერტილის კოორდინატები მ 1 (ჩვენ ასევე შეგვიძლია ავიღოთ წერტილის კოორდინატები მ 2) და ნორმალური ვექტორი ნ:
წერტილის კოორდინატების ჩანაცვლება მ 1 და მ 2-ში (9) შეგვიძლია დავრწმუნდეთ, რომ (9) განტოლებით მოცემული სწორი ხაზი გადის ამ წერტილებში.
პასუხი:
გამოვაკლოთ (10) (1):
მივიღეთ სწორი ხაზის კანონიკური განტოლება. ვექტორი ქ={−ბ, ა) არის სწორი ხაზის მიმართულების ვექტორი (12).
იხილეთ საპირისპირო ტრანსფორმაცია.
მაგალითი 3. სიბრტყეში სწორი ხაზი წარმოდგენილია შემდეგი ზოგადი განტოლებით:
გადაიტანეთ მეორე წევრი მარჯვნივ და გაყავით განტოლების ორივე მხარე 25-ზე.
წრფე, რომელიც გადის K(x 0; y 0) წერტილში და y = kx + a წრფის პარალელურად, გვხვდება ფორმულით:
y - y 0 \u003d k (x - x 0) (1)
სადაც k არის სწორი ხაზის დახრილობა.
ალტერნატიული ფორმულა:
წრფე, რომელიც გადის M 1 (x 1 ; y 1) წერტილში და წრფის პარალელურად Ax+By+C=0, წარმოდგენილია განტოლებით.
A(x-x 1)+B(y-y 1)=0 . (2)
მაგალითი #1. შეადგინეთ სწორი ხაზის განტოლება, რომელიც გადის M 0 წერტილში (-2.1) და იმავდროულად:ა) სწორი ხაზის პარალელურად 2x+3y -7 = 0;
ბ) 2x+3y წრფეზე პერპენდიკულარული -7 = 0.
გადაწყვეტილება . წარმოვიდგინოთ დახრილობის განტოლება, როგორც y = kx + a . ამისათვის ჩვენ გადავიტანთ ყველა მნიშვნელობას y-ის გარდა მარჯვენა მხარეს: 3y = -2x + 7 . შემდეგ მარჯვენა მხარეს ვყოფთ კოეფიციენტზე 3 . ვიღებთ: y = -2/3x + 7/3
იპოვეთ NK განტოლება, რომელიც გადის K(-2;1) წრფის პარალელურად y = -2 / 3 x + 7 / 3 წერტილში
x 0 \u003d -2, k \u003d -2 / 3, y 0 \u003d 1 ჩანაცვლებით მივიღებთ:
y-1 = -2 / 3 (x-(-2))
ან
y = -2 / 3 x - 1 / 3 ან 3y + 2x +1 = 0
მაგალითი #2. დაწერეთ სწორი ხაზის განტოლება, რომელიც პარალელურია სწორი წრფის 2x + 5y = 0 და კოორდინატთა ღერძებთან ერთად ქმნის სამკუთხედს, რომლის ფართობია 5.
გადაწყვეტილება
. ვინაიდან ხაზები პარალელურია, სასურველი წრფის განტოლება არის 2x + 5y + C = 0. მართკუთხა სამკუთხედის ფართობი, სადაც a და b არის მისი ფეხები. იპოვეთ სასურველი წრფის გადაკვეთის წერტილები კოორდინატთა ღერძებით: 
;
.
ასე რომ, A(-C/2,0), B(0,-C/5). ფართობის ფორმულაში ჩანაცვლება: 
. ვიღებთ ორ ამონახსანს: 2x + 5y + 10 = 0 და 2x + 5y - 10 = 0 .
მაგალითი #3. დაწერეთ (-2; 5) წერტილისა და პარალელური წრფის 5x-7y-4=0 წრფის განტოლება.
გადაწყვეტილება. ეს სწორი ხაზი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს განტოლებით y = 5/7 x – 4/7 (აქ a = 5/7). სასურველი ხაზის განტოლებაა y - 5 = 5 / 7 (x - (-2)), ე.ი. 7(y-5)=5(x+2) ან 5x-7y+45=0 .
მაგალითი #4. მაგალითი 3 (A=5, B=-7) ამოხსნით (2) ფორმულით, ვპოულობთ 5(x+2)-7(y-5)=0.
მაგალითი ნომერი 5. დაწერეთ (-2;5) წერტილის გამავალი სწორი წრფის და პარალელური სწორი წრფის განტოლება 7x+10=0.
გადაწყვეტილება. აქ A=7, B=0. ფორმულა (2) იძლევა 7(x+2)=0, ე.ი. x+2=0. ფორმულა (1) არ გამოიყენება, რადგან ამ განტოლების ამოხსნა შეუძლებელია y-ის მიმართ (ეს სწორი ხაზი არის y-ღერძის პარალელურად).
სწორი ხაზის ზოგადი განტოლება:
სწორი ხაზის ზოგადი განტოლების ცალკეული შემთხვევები:
და თუ C= 0, განტოლებას (2) ექნება ფორმა
Ნაჯახი + ავტორი = 0,
და ამ განტოლებით განსაზღვრული სწორი ხაზი გადის საწყისზე, რადგან საწყისი კოორდინატებია x = 0, წ= 0 აკმაყოფილებს ამ განტოლებას.
ბ) თუ სწორი ხაზის ზოგად განტოლებაში (2) ბ= 0, მაშინ განტოლება იღებს ფორმას
Ნაჯახი + თან= 0, ან .
განტოლება არ შეიცავს ცვლადს წდა ამ განტოლებით განსაზღვრული სწორი ხაზი ღერძის პარალელურია ოი.
გ) თუ სწორი ხაზის ზოგად განტოლებაში (2) ა= 0, მაშინ ეს განტოლება იღებს ფორმას
ავტორი + თან= 0, ან ;
განტოლება არ შეიცავს ცვლადს x, და მის მიერ განსაზღვრული სწორი ხაზი ღერძის პარალელურია ოქსი.
უნდა გვახსოვდეს: თუ სწორი ხაზი პარალელურია რომელიმე კოორდინატთა ღერძის, მაშინ მისი განტოლება არ შეიცავს ტერმინს, რომელიც შეიცავს ამავე სახელწოდების კოორდინატს ამ ღერძთან.
დ) როდის C= 0 და ა= 0 განტოლება (2) იღებს ფორმას ავტორი= 0, ან წ = 0.
ეს არის ღერძის განტოლება ოქსი.
ე) როდის C= 0 და ბ= 0 განტოლება (2) შეიძლება დაიწეროს ფორმით Ნაჯახი= 0 ან x = 0.
ეს არის ღერძის განტოლება ოი.
სიბრტყეზე სწორი ხაზების ურთიერთგანლაგება. კუთხე ხაზებს შორის სიბრტყეზე. პარალელური წრფეების მდგომარეობა. ხაზების პერპენდიკულარობის პირობა.
l 1 l 2 l 1: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0
l 2: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0
S 2 S 1 ვექტორებს S 1 და S 2 ეწოდება სახელმძღვანელო მათი ხაზებისთვის.
კუთხე l 1 და l 2 ხაზებს შორის განისაზღვრება მიმართულების ვექტორებს შორის კუთხით.
თეორემა 1: cos კუთხე l 1 და l 2 \u003d cos (l 1; l 2) \u003d
თეორემა 2:იმისათვის, რომ 2 ხაზი იყოს ტოლი, აუცილებელია და საკმარისია:
თეორემა 3:ისე, რომ 2 ხაზი პერპენდიკულარული იყოს აუცილებელი და საკმარისი:
L 1 l 2 ó A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0
თვითმფრინავის ზოგადი განტოლება და მისი განსაკუთრებული შემთხვევები. სიბრტყის განტოლება სეგმენტებში.
ზოგადი სიბრტყის განტოლება:
Ax + By + Cz + D = 0
განსაკუთრებული შემთხვევები:
1. D=0 Ax+By+Cz = 0 - სიბრტყე გადის საწყისზე
2. С=0 Ax+By+D = 0 – სიბრტყე || უნცია
3. В=0 Ax+Cz+d = 0 – თვითმფრინავი || OY
4. A=0 By+Cz+D = 0 – სიბრტყე || ოქსი
5. A=0 და D=0 By+Cz = 0 - თვითმფრინავი გადის OX-ზე
6. B=0 და D=0 Ax+Cz = 0 - თვითმფრინავი გადის OY-ზე
7. C=0 და D=0 Ax+By = 0 - სიბრტყე გადის OZ-ზე
სიბრტყეების და სწორი ხაზების ურთიერთგანლაგება სივრცეში:
1. ხაზებს შორის კუთხე სივრცეში არის კუთხე მათ მიმართულების ვექტორებს შორის.
Cos (l 1 ; l 2) = cos(S 1 ; S 2) = = 
2. სიბრტყეებს შორის კუთხე განისაზღვრება მათ ნორმალურ ვექტორებს შორის კუთხით.
Cos (l 1 ; l 2) = cos(N 1 ; N 2) = = 
3. წრფესა და სიბრტყეს შორის კუთხის კოსინუსის პოვნა შესაძლებელია წრფის მიმართულების ვექტორსა და სიბრტყის ნორმალურ ვექტორს შორის კუთხის სინუსის საშუალებით.
4. 2 სტრიქონი || სივრცეში, როცა მათი || ვექტორული სახელმძღვანელო
5. 2 თვითმფრინავი || როდის || ნორმალური ვექტორები
6. ანალოგიურად არის შემოტანილი წრფეებისა და სიბრტყეების პერპენდიკულარობის ცნებები.
კითხვა #14
სიბრტყეზე სწორი ხაზის განტოლების სხვადასხვა ტიპები (სწორი ხაზის განტოლება სეგმენტებში, დახრილობით და ა.შ.)
სწორი ხაზის განტოლება სეგმენტებში:
დავუშვათ, რომ სწორი ხაზის ზოგად განტოლებაში:
1. C \u003d 0 Ah + Wu \u003d 0 - სწორი ხაზი გადის საწყისზე.
2. a \u003d 0 Wu + C \u003d 0 y \u003d
3. in \u003d 0 Ax + C \u003d 0 x \u003d
4. v \u003d C \u003d 0 Ax \u003d 0 x \u003d 0
5. a \u003d C \u003d 0 Wu \u003d 0 y \u003d 0
სწორი ხაზის განტოლება ფერდობთან:
ნებისმიერი სწორი ხაზი, რომელიც არ არის y-ღერძის ტოლი (B არა = 0) შეიძლება ჩაიწეროს შემდეგში. ფორმა:
k = tgα α არის კუთხე სწორ ხაზსა და დადებითად მიმართულ ОХ წრფეს შორის
b - სწორი ხაზის გადაკვეთის წერტილი OS ღერძთან
Doc-in:
Ax+by+C = 0
ვუ \u003d -Ax-C |: B
სწორი ხაზის განტოლება ორ წერტილზე:
კითხვა #16
ფუნქციის სასრული ზღვარი წერტილში და x→∞-სთვის
დასასრულის ლიმიტი x 0 წერტილში:
რიცხვს A ეწოდება y \u003d f (x) ფუნქციის ზღვარი x → x 0-სთვის, თუ რომელიმე E > 0-ისთვის არის b > 0 ისეთი, რომ x ≠ x 0-ისთვის დააკმაყოფილოს უტოლობა |x - x 0 |< б, выполняется условие |f(x) - A| < Е
ლიმიტი აღინიშნება: = A
დასასრული ლიმიტი წერტილი +∞:
A რიცხვს ეწოდება y = f(x) ფუნქციის ზღვარი x-ისთვის → + ∞ , თუ რომელიმე E > 0-სთვის არსებობს C > 0 ისეთი, რომ x > C-სთვის უტოლობა |f(x) - A|< Е
ლიმიტი აღინიშნება: = A
დასასრულის ლიმიტი წერტილში -∞:
A რიცხვს ეწოდება y = f(x) ფუნქციის ზღვარი x→-∞,თუ რომელიმე E< 0 существует С < 0 такое, что при х < -С выполняется неравенство |f(x) - A| < Е
