ეს სტატია ეძღვნება სხვადასხვა განტოლებისა და უტოლობების ამოხსნის ტექნიკას
ცვლადი მოდულის ნიშნის ქვეშ.

თუ გამოცდაზე შეხვდებით განტოლებას ან უტოლობას მოდულთან, შეგიძლიათ ამოხსნათ იგი,
რაიმე სპეციალური მეთოდების ცოდნის გარეშე და მხოლოდ მოდულის განმარტების გამოყენებით. სიმართლე,
მას შეუძლია საათნახევარი ძვირფასი გამოცდის დრო დასჭირდეს.

ამიტომ გვინდა მოგიყვეთ ტექნიკის შესახებ, რომელიც ამარტივებს მსგავსი პრობლემების გადაჭრას.

პირველ რიგში ეს გავიხსენოთ

განვიხილოთ სხვადასხვა ტიპები განტოლებები მოდულით. (უფრო მოგვიანებით უთანასწორობაზე.)

მარცხენა მოდული, მარჯვენა ნომერი

ეს უმარტივესი შემთხვევაა. მოდი ამოვხსნათ განტოლება

არსებობს მხოლოდ ორი რიცხვი, რომელთა მოდული ოთხია. ეს არის 4 და -4. მაშასადამე, განტოლება
უდრის ორი მარტივის კომბინაციას:

მეორე განტოლებას ამონახსნები არ აქვს. პირველის ამონახსნები: x = 0 და x = 5.

პასუხი: 0; 5.

ცვლადი როგორც მოდულის ქვეშ, ასევე მოდულის გარეთ

აქ თქვენ უნდა გააფართოვოთ მოდული განსაზღვრებით. . . ან წარმოიდგინე!

განტოლება იშლება ორ შემთხვევად, რაც დამოკიდებულია მოდულის ქვეშ გამოხატვის ნიშანზე.
სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ეს უდრის ორი სისტემის კომბინაციას:

პირველი სისტემის ამოხსნა: . მეორე სისტემას არ აქვს გამოსავალი.
პასუხი: 1.

პირველი შემთხვევა: x ≥ 3. ამოიღეთ მოდული:

რიცხვი, როგორც უარყოფითი, არ აკმაყოფილებს x ≥ 3 პირობას და, შესაბამისად, არ არის საწყისი განტოლების ფესვი.

მოდით გავარკვიოთ აკმაყოფილებს თუ არა ნომერი ამ პირობას. ამისათვის ჩვენ ვიღებთ განსხვავებას და განვსაზღვრავთ მის ნიშანს:

მაშასადამე, სამზე მეტი და შესაბამისად არის თავდაპირველი განტოლების ფესვი

მეორე შემთხვევა: x< 3. Снимаем модуль:

ნომერი . მეტია და ამიტომ არ აკმაყოფილებს x პირობას< 3. Проверим :

ნიშნავს,. არის საწყისი განტოლების ფესვი.

ამოიღეთ მოდული განსაზღვრებით? ამაზე ფიქრიც კი საშინელია, რადგან დისკრიმინანტი არ არის სრულყოფილი კვადრატი. უკეთესი გამოვიყენოთ შემდეგი მოსაზრება: განტოლება |A| = B უდრის ორი სისტემის კომბინაციას:

იგივე, მაგრამ ოდნავ განსხვავებული:

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ჩვენ ვხსნით ორ განტოლებას, A = B და A = −B, და შემდეგ ვირჩევთ ფესვებს, რომლებიც აკმაყოფილებს B ≥ 0 პირობას.

Დავიწყოთ. პირველ რიგში, ჩვენ ვხსნით პირველ განტოლებას:

შემდეგ ჩვენ ვხსნით მეორე განტოლებას:

ახლა თითოეულ შემთხვევაში ჩვენ ვამოწმებთ მარჯვენა მხარის ნიშანს:

ამიტომ, მხოლოდ და შესაფერისია.

კვადრატული განტოლებები |x|-ით = ტ

მოდით ამოხსნათ განტოლება:

ვინაიდან , მოსახერხებელია ცვლილება |x| = ტ. ჩვენ ვიღებთ:

პასუხი: ±1.

მოდული უდრის მოდულს

საუბარია |A|-ის ფორმის განტოლებებზე = |B|. ეს ბედის საჩუქარია. არ არის მოდულის გაფართოება განსაზღვრებით! Ეს მარტივია:

მაგალითად, განვიხილოთ განტოლება: . ეს უდრის შემდეგ კომპლექტს:

რჩება მოსახლეობის თითოეული განტოლების ამოხსნა და პასუხის ჩაწერა.

ორი ან მეტი მოდული

მოდით ამოხსნათ განტოლება:

ჩვენ არ შევიწუხებთ თითოეულ მოდულს ცალ-ცალკე და გავხსნით მას განსაზღვრებით - ძალიან ბევრი ვარიანტი იქნება. არსებობს უფრო რაციონალური გზა - ინტერვალების მეთოდი.

მოდულების ქვეშ გამოსახულებები ქრება x = 1, x = 2 და x = 3 წერტილებში. ეს წერტილები ყოფს რიცხვითი წრფეს ოთხ ინტერვალად (ინტერვალებად). ჩვენ აღვნიშნავთ ამ წერტილებს რიცხვით ხაზზე და მიღებულ ინტერვალებზე ვათავსებთ თითოეული გამონათქვამის ნიშნებს მოდულების ქვეშ. (ნიშანთა თანმიმდევრობა იგივეა, რაც განტოლებაში შესაბამისი მოდულების თანმიმდევრობა.)

ამრიგად, ჩვენ უნდა განვიხილოთ ოთხი შემთხვევა - როდესაც x არის თითოეულ ინტერვალში.

შემთხვევა 1: x ≥ 3. ყველა მოდული ამოღებულია "პლიუსით":

შედეგად მიღებული მნიშვნელობა x = 5 აკმაყოფილებს x ≥ 3 პირობას და, შესაბამისად, არის საწყისი განტოლების ფესვი.

შემთხვევა 2: 2 ≤ x ≤ 3. ბოლო მოდული ახლა ამოღებულია "მინუსით":

x-ის მიღებული მნიშვნელობაც შესაფერისია - განხილულ ინტერვალს განეკუთვნება.

შემთხვევა 3: 1 ≤ x ≤ 2. მეორე და მესამე მოდული ამოღებულია "მინუსით":

ჩვენ მივიღეთ სწორი რიცხვითი ტოლობა ნებისმიერი x-სთვის განხილული ინტერვალიდან, ისინი ემსახურებიან ამ განტოლების ამონახსნებს.

შემთხვევა 4: x ≤ 1 ≤ 1. მეორე და მესამე მოდული ამოღებულია "მინუსით":

Ახალი არაფერია. ჩვენ უკვე ვიცით, რომ x = 1 არის გამოსავალი.

პასუხი: ∪ (5).

მოდული მოდულის შიგნით

მოდით ამოხსნათ განტოლება:

ვიწყებთ შიდა მოდულის გაფართოებით.

1) x ≤ 3. ვიღებთ:

მოდულის ქვეშ გამოხატვა ქრება ზე. ეს პუნქტი განხილულს ეკუთვნის
ინტერვალი. ამიტომ ორი ქვეშემთხვევა უნდა განვიხილოთ.

1.1) ამ შემთხვევაში ვიღებთ:

x-ის ეს მნიშვნელობა არ არის კარგი, რადგან ის არ ეკუთვნის განხილულ ინტერვალს.

1.2). შემდეგ:

ეს x მნიშვნელობა ასევე არ არის კარგი.

ასე რომ, x ≤ 3-ისთვის არ არის ამონახსნები. გადავიდეთ მეორე შემთხვევაზე.

2) x ≥ 3. გვაქვს:

აქ ჩვენ გაგვიმართლა: გამოთქმა x + 2 დადებითია განხილულ ინტერვალში! მაშასადამე, აღარ იქნება ქვეშემთხვევები: მოდული ამოღებულია "პლიუსით":

x-ის ეს მნიშვნელობა განხილულ ინტერვალშია და, შესაბამისად, არის საწყისი განტოლების ფესვი.

ასე წყდება ამ ტიპის ყველა დავალება - რიგრიგობით ვხსნით ჩადგმულ მოდულებს, დაწყებული შიდადან.

ინსტრუქცია

თუ მოდული წარმოდგენილია როგორც უწყვეტი ფუნქცია, მაშინ მისი არგუმენტის მნიშვნელობა შეიძლება იყოს დადებითი ან უარყოფითი: |х| = x, x ≥ 0; |x| = - x, x

მოდული არის ნული, ხოლო ნებისმიერი დადებითი რიცხვის მოდული არის მისი მოდული. თუ არგუმენტი უარყოფითია, მაშინ ფრჩხილების გახსნის შემდეგ მისი ნიშანი იცვლება მინუსიდან პლუსზე. აქედან გამომდინარეობს დასკვნა, რომ საპირისპირო მოდულები ტოლია: |-x| = |x| = x.

რთული რიცხვის მოდული გვხვდება ფორმულით: |a| = √b ² + c ² და |a + b| ≤ |a| + |ბ|. თუ არგუმენტი შეიცავს დადებით რიცხვს, როგორც მულტიპლიკატორი, მაშინ ის შეიძლება ამოღებულ იქნას ფრჩხილის ნიშნიდან, მაგალითად: |4*b| = 4*|ბ|.

თუ არგუმენტი წარმოდგენილია რთული რიცხვის სახით, მაშინ გამოთვლების მოხერხებულობისთვის დასაშვებია კვადრატულ ფრჩხილებში ჩასმული გამოთქმის ტერმინების თანმიმდევრობა: |2-3| = |3-2| = 3-2 = 1, რადგან (2-3) არის ნულზე ნაკლები.

ხარისხზე აყვანილი არგუმენტი ერთდროულად არის იმავე რიგის ფესვის ნიშნის ქვეშ - ის იხსნება: √a² = |a| = ± ა.

თუ თქვენს წინაშე გაქვთ დავალება, რომელიც არ აკონკრეტებს მოდულის ფრჩხილების გაფართოების პირობას, მაშინ არ გჭირდებათ მათი მოშორება - ეს იქნება საბოლოო შედეგი. და თუ გსურთ მათი გახსნა, მაშინ უნდა მიუთითოთ ნიშანი ±. მაგალითად, თქვენ უნდა იპოვოთ გამოხატვის მნიშვნელობა √(2 * (4-b)) ². მისი ამოხსნა ასე გამოიყურება: √(2 * (4-b)) ² = |2 * (4-b)| = 2 * |4-ბ|. ვინაიდან 4-b გამოთქმის ნიშანი უცნობია, ის უნდა დარჩეს ფრჩხილებში. თუ დაამატებთ დამატებით პირობას, მაგალითად, |4-b| >

ნულის მოდული ნულის ტოლია, ხოლო ნებისმიერი დადებითი რიცხვის მოდული უდრის თავის თავს. თუ არგუმენტი უარყოფითია, მაშინ ფრჩხილების გახსნის შემდეგ მისი ნიშანი იცვლება მინუსიდან პლუსზე. აქედან გამომდინარეობს დასკვნა, რომ საპირისპირო რიცხვების მოდულები ტოლია: |-x| = |x| = x.

რთული რიცხვის მოდული გვხვდება ფორმულით: |a| = √b ² + c ² და |a + b| ≤ |a| + |ბ|. თუ არგუმენტი შეიცავს დადებით მთელ რიცხვს მულტიპლიკატორად, მაშინ ის შეიძლება ამოღებულ იქნას ფრჩხილის ნიშნიდან, მაგალითად: |4*b| = 4*|ბ|.

მოდული არ შეიძლება იყოს უარყოფითი, ამიტომ ნებისმიერი უარყოფითი რიცხვი გარდაიქმნება დადებითად: |-x| = x, |-2| = 2, |-1/7| = 1/7, |-2.5| = 2.5.

თუ არგუმენტი წარმოდგენილია რთული რიცხვის სახით, მაშინ გამოთვლების მოხერხებულობისთვის დასაშვებია კვადრატულ ფრჩხილებში ჩასმული გამოთქმის ტერმინების თანმიმდევრობის შეცვლა: |2-3| = |3-2| = 3-2 = 1, რადგან (2-3) არის ნულზე ნაკლები.

თუ თქვენს წინაშე გაქვთ დავალება, რომელიც არ აკონკრეტებს მოდულის ფრჩხილების გაფართოების პირობას, მაშინ არ გჭირდებათ მათი მოშორება - ეს იქნება საბოლოო შედეგი. და თუ გსურთ მათი გახსნა, მაშინ უნდა მიუთითოთ ნიშანი ±. მაგალითად, თქვენ უნდა იპოვოთ გამოხატვის მნიშვნელობა √(2 * (4-b)) ². მისი ამოხსნა ასე გამოიყურება: √(2 * (4-b)) ² = |2 * (4-b)| = 2 * |4-ბ|. ვინაიდან 4-b გამოთქმის ნიშანი უცნობია, ის უნდა დარჩეს ფრჩხილებში. თუ დაამატებთ დამატებით პირობას, მაგალითად, |4-b| > 0, მაშინ შედეგი არის 2 * |4-b| = 2 * (4 - ბ). როგორც უცნობი ელემენტი შეიძლება იყოს კონკრეტული რიცხვიც, რომელიც გასათვალისწინებელია, რადგან. ეს გავლენას მოახდენს გამოხატვის ნიშანზე.

თქვენი კონფიდენციალურობა ჩვენთვის მნიშვნელოვანია. ამ მიზეზით, ჩვენ შევიმუშავეთ კონფიდენციალურობის პოლიტიკა, რომელიც აღწერს, თუ როგორ ვიყენებთ და ვინახავთ თქვენს ინფორმაციას. გთხოვთ, წაიკითხოთ ჩვენი კონფიდენციალურობის პოლიტიკა და შეგვატყობინოთ, თუ თქვენ გაქვთ რაიმე შეკითხვები.

პირადი ინფორმაციის შეგროვება და გამოყენება

პერსონალური ინფორმაცია ეხება მონაცემებს, რომლებიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას კონკრეტული პირის იდენტიფიცირებისთვის ან მასთან დასაკავშირებლად.

თქვენ შეიძლება მოგეთხოვოთ თქვენი პირადი ინფორმაციის მიწოდება ნებისმიერ დროს, როცა დაგვიკავშირდებით.

ქვემოთ მოცემულია პერსონალური ინფორმაციის ტიპების მაგალითები, რომლებიც შეიძლება შევაგროვოთ და როგორ გამოვიყენოთ ასეთი ინფორმაცია.

რა პერსონალურ ინფორმაციას ვაგროვებთ:

• საიტზე განაცხადის გაგზავნისას, ჩვენ შეიძლება შევაგროვოთ სხვადასხვა ინფორმაცია, მათ შორის თქვენი სახელი, ტელეფონის ნომერი, ელექტრონული ფოსტის მისამართი და ა.შ.

როგორ ვიყენებთ თქვენს პირად ინფორმაციას:

• ჩვენ მიერ შეგროვებული პირადი ინფორმაცია საშუალებას გვაძლევს დაგიკავშირდეთ და გაცნობოთ უნიკალური შეთავაზებების, აქციების და სხვა ღონისძიებებისა და მომავალი ღონისძიებების შესახებ.
• დროდადრო, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენი პირადი ინფორმაცია მნიშვნელოვანი შეტყობინებებისა და კომუნიკაციების გამოსაგზავნად.
• ჩვენ ასევე შეიძლება გამოვიყენოთ პერსონალური ინფორმაცია შიდა მიზნებისთვის, როგორიცაა აუდიტის ჩატარება, მონაცემთა ანალიზი და სხვადასხვა კვლევა, რათა გავაუმჯობესოთ ჩვენს მიერ მოწოდებული სერვისები და მოგაწოდოთ რეკომენდაციები ჩვენს სერვისებთან დაკავშირებით.
• თუ თქვენ მონაწილეობთ საპრიზო გათამაშებაში, კონკურსში ან მსგავს წახალისებაში, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენ მიერ მოწოდებული ინფორმაცია ასეთი პროგრამების ადმინისტრირებისთვის.

გამჟღავნება მესამე პირებისთვის

ჩვენ არ ვუმხელთ თქვენგან მიღებულ ინფორმაციას მესამე პირებს.

გამონაკლისები:

• იმ შემთხვევაში, თუ ეს აუცილებელია - კანონის, სასამართლო ბრძანების შესაბამისად, სასამართლო პროცესებში და/ან საჯარო მოთხოვნის ან რუსეთის ფედერაციის ტერიტორიაზე სახელმწიფო ორგანოების მოთხოვნის საფუძველზე - გაამჟღავნეთ თქვენი პირადი ინფორმაცია. ჩვენ ასევე შეიძლება გავამჟღავნოთ ინფორმაცია თქვენს შესახებ, თუ დავადგენთ, რომ ასეთი გამჟღავნება აუცილებელია ან მიზანშეწონილია უსაფრთხოების, სამართალდამცავი ორგანოების ან სხვა საზოგადოებრივი ინტერესებისთვის.
• რეორგანიზაციის, შერწყმის ან გაყიდვის შემთხვევაში, ჩვენ შეგვიძლია გადავცეთ ჩვენს მიერ შეგროვებული პერსონალური ინფორმაცია შესაბამის მესამე მხარის მემკვიდრეს.

პირადი ინფორმაციის დაცვა

ჩვენ ვიღებთ სიფრთხილის ზომებს - მათ შორის ადმინისტრაციულ, ტექნიკურ და ფიზიკურ - თქვენი პირადი ინფორმაციის დაკარგვის, ქურდობისა და ბოროტად გამოყენებისგან დასაცავად, ასევე არაავტორიზებული წვდომისგან, გამჟღავნების, ცვლილებისა და განადგურებისგან.

თქვენი კონფიდენციალურობის შენარჩუნება კომპანიის დონეზე

იმის უზრუნველსაყოფად, რომ თქვენი პერსონალური ინფორმაცია დაცულია, ჩვენ ვუზიარებთ კონფიდენციალურობისა და უსაფრთხოების პრაქტიკას ჩვენს თანამშრომლებს და მკაცრად ვიცავთ კონფიდენციალურობის პრაქტიკას.

ჩვენ არ ვირჩევთ მათემატიკასმისი პროფესია და ის ირჩევს ჩვენ.

რუსი მათემატიკოსი იუ.ი. მანინი

მოდულის განტოლებები

სასკოლო მათემატიკაში ყველაზე რთული ამოსახსნელი ამოცანებია მოდულის ნიშნის ქვეშ ცვლადების შემცველი განტოლებები. ასეთი განტოლებების წარმატებით გადასაჭრელად აუცილებელია იცოდეთ მოდულის განმარტება და ძირითადი თვისებები. ბუნებრივია, მოსწავლეებს უნდა ჰქონდეთ ამ ტიპის განტოლებების ამოხსნის უნარები.

ძირითადი ცნებები და თვისებები

რეალური რიცხვის მოდული (აბსოლუტური მნიშვნელობა).აღინიშნა და განისაზღვრება შემდეგნაირად:

მოდულის მარტივი თვისებები მოიცავს შემდეგ ურთიერთობებს:

Შენიშვნა, რომ ბოლო ორი თვისება მოქმედებს ნებისმიერი ლუწი ხარისხისთვის.

ასევე, თუ სად, მაშინ და

უფრო რთული მოდულის თვისებები, რომელიც შეიძლება ეფექტურად იქნას გამოყენებული მოდულებით განტოლებების ამოხსნისას, ჩამოყალიბებულია შემდეგი თეორემების საშუალებით:

თეორემა 1.ნებისმიერი ანალიტიკური ფუნქციისთვისდა უთანასწორობა

თეორემა 2.თანასწორობა იგივეა, რაც უთანასწორობა.

თეორემა 3.Თანასწორობა უდრის უტოლობას.

განვიხილოთ ამოცანების ამოხსნის ტიპიური მაგალითები თემაზე „განტოლებები, მოდულის ნიშნის ქვეშ ცვლადების შემცველი.

განტოლებების ამოხსნა მოდულით

მოდულით განტოლებების ამოხსნის ყველაზე გავრცელებული მეთოდი სასკოლო მათემატიკაში არის მეთოდი, მოდულის გაფართოების საფუძველზე. ეს მეთოდი ზოგადია, თუმცა, ზოგადად, მისმა გამოყენებამ შეიძლება გამოიწვიოს ძალიან რთული გამოთვლები. ამასთან დაკავშირებით, სტუდენტებმა ასევე უნდა იცოდნენ სხვა, ასეთი განტოლებების ამოხსნის უფრო ეფექტური მეთოდები და ტექნიკა. Კერძოდ, უნდა ჰქონდეს თეორემების გამოყენების უნარები, მოცემულ სტატიაში.

მაგალითი 1ამოხსენით განტოლება. (ერთი)

გადაწყვეტილება. განტოლება (1) ამოიხსნება „კლასიკური“ მეთოდით – მოდულის გაფართოების მეთოდით. ამისათვის ჩვენ ვარღვევთ რიცხვით ღერძსწერტილები და ინტერვალით და განიხილეთ სამი შემთხვევა.

1. თუ , მაშინ , , და განტოლება (1) იღებს ფორმას. აქედან გამომდინარეობს. თუმცა, აქ, ასე რომ ნაპოვნი მნიშვნელობა არ არის (1) განტოლების ფესვი.

2. თუ, შემდეგ (1) განტოლებიდან ვიღებთან .

Მას შემდეგ (1) განტოლების ფესვი.

3. თუ, შემდეგ განტოლება (1) იღებს ფორმასან . Გაითვალისწინე .

პასუხი: ,.

შემდეგი განტოლებების მოდულით ამოხსნისას ჩვენ აქტიურად გამოვიყენებთ მოდულების თვისებებს, რათა გავზარდოთ ასეთი განტოლებების ამოხსნის ეფექტურობა.

მაგალითი 2განტოლების ამოხსნა.

გადაწყვეტილება.მას შემდეგ, რაც და მაშინ გამოდის განტოლებიდან. Ამ მხრივ, , , და განტოლება ხდება. აქედან ვიღებთ. თუმცა, ასე რომ, თავდაპირველ განტოლებას არ აქვს ფესვები.

პასუხი: არ არის ფესვები.

მაგალითი 3განტოლების ამოხსნა.

გადაწყვეტილება.Მას შემდეგ . თუ, მაშინ, და განტოლება ხდება.

აქედან ვიღებთ.

მაგალითი 4განტოლების ამოხსნა.

გადაწყვეტილება.მოდით გადავწეროთ განტოლება ექვივალენტური ფორმით. (2)

მიღებული განტოლება მიეკუთვნება ტიპის განტოლებებს.

თეორემა 2-ის გათვალისწინებით, შეგვიძლია განვაცხადოთ, რომ განტოლება (2) უდრის უტოლობას. აქედან ვიღებთ.

პასუხი:.

მაგალითი 5ამოხსენით განტოლება.

გადაწყვეტილება. ამ განტოლებას აქვს ფორმა. Ისე , თეორემა 3-ის მიხედვით, აქ გვაქვს უთანასწორობაან .

მაგალითი 6განტოლების ამოხსნა.

გადაწყვეტილება.დავუშვათ, რომ. როგორც , მაშინ მოცემული განტოლება იღებს კვადრატული განტოლების ფორმას, (3)

სადაც . ვინაიდან განტოლებას (3) აქვს ერთი დადებითი ფესვიდა მერე . აქედან ვიღებთ ორიგინალური განტოლების ორ ფესვს:და .

მაგალითი 7 განტოლების ამოხსნა. (4)

გადაწყვეტილება. განტოლებიდან გამომდინარეუდრის ორი განტოლების კომბინაციას:და მაშინ (4) განტოლების ამოხსნისას აუცილებელია ორი შემთხვევის გათვალისწინება.

1. თუ , მაშინ ან .

აქედან ვიღებთ და .

2. თუ , მაშინ ან .

Მას შემდეგ .

პასუხი: , , , .

მაგალითი 8განტოლების ამოხსნა . (5)

გადაწყვეტილება.მას შემდეგ რაც და მერე. აქედან და (5) განტოლებიდან გამომდინარეობს, რომ და ე.ი. აქ გვაქვს განტოლებათა სისტემა

თუმცა, ეს განტოლებათა სისტემა არათანმიმდევრულია.

პასუხი: არ არის ფესვები.

მაგალითი 9 განტოლების ამოხსნა. (6)

გადაწყვეტილება.თუ დავნიშნავთ და (6) განტოლებიდან ვიღებთ

ან . (7)

ვინაიდან განტოლებას (7) აქვს ფორმა, ეს განტოლება უდრის უტოლობას. აქედან ვიღებთ. მას შემდეგ ან .

პასუხი:.

მაგალითი 10განტოლების ამოხსნა. (8)

გადაწყვეტილება.თეორემა 1-ის მიხედვით შეგვიძლია დავწეროთ

(9)

განტოლების (8) გათვალისწინებით, ვასკვნით, რომ ორივე უტოლობა (9) გადაიქცევა ტოლებად, ე.ი. არსებობს განტოლებათა სისტემა

თუმცა, თეორემა 3-ით, განტოლებათა ზემოაღნიშნული სისტემა უტოლდება უტოლობათა სისტემას.

(10)

უტოლობების სისტემის ამოხსნით (10) ვიღებთ . ვინაიდან უტოლობების სისტემა (10) უდრის განტოლებას (8), თავდაპირველ განტოლებას აქვს ერთი ფესვი.

პასუხი:.

მაგალითი 11. განტოლების ამოხსნა. (11)

გადაწყვეტილება.მოდით და, მაშინ განტოლება (11) გულისხმობს ტოლობას.

აქედან გამომდინარეობს, რომ და . ამრიგად, აქ გვაქვს უთანასწორობის სისტემა

ამ უთანასწორობის სისტემის გამოსავალი არისდა .

პასუხი: ,.

მაგალითი 12.განტოლების ამოხსნა. (12)

გადაწყვეტილება. განტოლება (12) ამოიხსნება მოდულების თანმიმდევრული გაფართოების მეთოდით. ამისათვის განიხილეთ რამდენიმე შემთხვევა.

1. თუ , მაშინ .

1.1. თუ , მაშინ და , .

1.2. თუ , მაშინ . თუმცა, შესაბამისად, ამ შემთხვევაში განტოლებას (12) არ აქვს ფესვები.

2. თუ , მაშინ .

2.1. თუ , მაშინ და , .

2.2. თუ , მაშინ და .

პასუხი: , , , , .

მაგალითი 13განტოლების ამოხსნა. (13)

გადაწყვეტილება.ვინაიდან (13) განტოლების მარცხენა მხარე არაუარყოფითია, მაშინ და . ამასთან დაკავშირებით, და განტოლება (13)

იღებს ფორმას ან.

ცნობილია, რომ განტოლება უდრის ორი განტოლების ერთობლიობასდა რომლის ამოხსნაც მივიღებთ, . როგორც , მაშინ განტოლებას (13) აქვს ერთი ფესვი.

პასუხი:.

მაგალითი 14 განტოლებათა სისტემის ამოხსნა (14)

გადაწყვეტილება.მას შემდეგ, რაც და, შემდეგ და. ამრიგად, განტოლებათა სისტემიდან (14) ვიღებთ განტოლებათა ოთხ სისტემას:

ზემოაღნიშნული განტოლებათა სისტემების ფესვები არის განტოლებათა სისტემის ფესვები (14).

პასუხი: ,, , , , , , .

მაგალითი 15 განტოლებათა სისტემის ამოხსნა (15)

გადაწყვეტილება.Მას შემდეგ . ამასთან დაკავშირებით განტოლებათა სისტემიდან (15) ვიღებთ განტოლებათა ორ სისტემას

განტოლებათა პირველი სისტემის ფესვებია და , ხოლო განტოლებათა მეორე სისტემიდან ვიღებთ და .

პასუხი: , , , .

მაგალითი 16 განტოლებათა სისტემის ამოხსნა (16)

გადაწყვეტილება.სისტემის (16) პირველი განტოლებიდან გამომდინარეობს, რომ .

Მას შემდეგ . განვიხილოთ სისტემის მეორე განტოლება. Იმდენად, რამდენადაც, მაშინ და განტოლება ხდება, , ან .

თუ ჩვენ შევცვლით მნიშვნელობასსისტემის პირველ განტოლებაში (16)შემდეგ , ან .

პასუხი: ,.

პრობლემის გადაჭრის მეთოდების უფრო ღრმა შესწავლისთვის, განტოლებათა ამოხსნასთან დაკავშირებული, მოდულის ნიშნის ქვეშ ცვლადების შემცველი, შეგიძლიათ ურჩიოთ გაკვეთილები რეკომენდებული ლიტერატურის სიიდან.

1. დავალებების კრებული მათემატიკაში ტექნიკური უნივერსიტეტების აპლიკანტებისთვის / რედ. მ.ი. სკანავი. - მ .: სამყარო და განათლება, 2013. - 608გვ.

2. სუპრუნი ვ.პ. მათემატიკა საშუალო სკოლის მოსწავლეებისთვის: გაზრდილი სირთულის ამოცანები. - M .: KD "Librocom" / URSS, 2017. - 200გვ.

3. სუპრუნი ვ.პ. მათემატიკა საშუალო სკოლის მოსწავლეებისთვის: ამოცანების გადაჭრის არასტანდარტული მეთოდები. - M .: KD "Librocom" / URSS, 2017. - 296გვ.

გაქვთ რაიმე შეკითხვები?

დამრიგებლის დახმარების მისაღებად - დარეგისტრირდით.

საიტი, მასალის სრული ან ნაწილობრივი კოპირებით, საჭიროა წყაროს ბმული.