კვადრატული განტოლებები გამოიყენება მრავალი პრობლემის გადასაჭრელად. პრობლემების მნიშვნელოვანი ნაწილი, რომლებიც ადვილად წყდება პირველი ხარისხის განტოლებების დახმარებით, ასევე შეიძლება გადაწყდეს წმინდა არითმეტიკურად, თუმცა ზოგჯერ ბევრად უფრო რთული, გრძელი და ხშირად ხელოვნური გზით. ამოცანები, რომლებსაც კვადრატულ განტოლებამდე მივყავართ, როგორც წესი, არითმეტიკული ამონახსნის საშუალებას არ აძლევს. ფიზიკის, მექანიკის, ჰიდრომექანიკის, აეროდინამიკის და მრავალი სხვა გამოყენებითი მეცნიერების მრავალრიცხოვანი და ყველაზე მრავალფეროვანი კითხვები იწვევს ასეთ პრობლემებს.

ამოცანის პირობების მიხედვით კვადრატული განტოლებების შედგენის ძირითადი ეტაპები იგივეა რაც პირველი ხარისხის განტოლებამდე მიმავალი ამოცანების ამოხსნისას. მოვიყვანოთ მაგალითები.

დავალება. 1. ორმა ტიპაპისტმა ხელახლა აკრიფა ხელნაწერი 6 საათში. 40 წთ. რა დროს შეეძლო თითოეულ მბეჭდავს, რომელიც მარტო მუშაობდა, ხელახლა აკრიფოს ხელნაწერი, თუ პირველმა დახარჯა 3 საათით მეტი ამ სამუშაოზე, ვიდრე მეორე?

გადაწყვეტილება. ნება მიეცით მეორე მბეჭდავმა დახარჯოს x საათი ხელნაწერის გადასაბეჭდად. ეს ნიშნავს, რომ პირველი მბეჭდავი საათობით დაატარებს იმავე სამუშაოს.

ჩვენ გავარკვევთ, რომელ ნაწილს ასრულებს თითოეული მბეჭდავი ერთ საათში და რომელ ნაწილს - ორივე ერთად.

პირველი მბეჭდავი ნაწილს ერთ საათში ასრულებს

Მეორე ნაწილი.

ორივე ტიპისტი ასრულებს ნაწილს.

აქედან გამომდინარე გვაქვს:

პრობლემის მნიშვნელობის მიხედვით დადებითი რიცხვია

გავამრავლოთ განტოლების ორივე მხარე გამარტივების შემდეგ, მივიღებთ კვადრატულ განტოლებას:

ვინაიდან , განტოლებას ორი ფესვი აქვს. ფორმულით (B) ვხვდებით:

მაგრამ როგორც უნდა იყოს, ეს მნიშვნელობა არ არის მოქმედი ამ ამოცანისთვის.

უპასუხე. პირველი ტიპისტი სამუშაოზე საათებს ატარებს, მეორე 12 საათს.

ამოცანა 2. თვითმფრინავის საკუთარი სიჩქარე კმ საათში. თვითმფრინავმა 1 კმ მანძილი ორჯერ გაფრინდა: ჯერ ქარის საწინააღმდეგოდ, შემდეგ ქარის საწინააღმდეგოდ, ხოლო მეორე რეისზე მეტი საათი გაატარა. გამოთვალეთ ქარის სიჩქარე.

გამოსავლის მსვლელობას გამოვსახავთ დიაგრამის სახით.

კვადრატული განტოლებები შესწავლილია მე-8 კლასში, ასე რომ, აქ არაფერია რთული. მათი გადაჭრის უნარი აუცილებელია.

კვადრატული განტოლება არის ax 2 + bx + c = 0 ფორმის განტოლება, სადაც კოეფიციენტები a , b და c არის თვითნებური რიცხვები და a ≠ 0.

კონკრეტული ამოხსნის მეთოდების შესწავლამდე აღვნიშნავთ, რომ ყველა კვადრატული განტოლება შეიძლება დაიყოს სამ კლასად:

1. არ აქვს ფესვები;
2. მათ აქვთ ზუსტად ერთი ფესვი;
3. მათ ორი განსხვავებული ფესვი აქვთ.

ეს არის მნიშვნელოვანი განსხვავება კვადრატულ და წრფივ განტოლებებს შორის, სადაც ფესვი ყოველთვის არსებობს და უნიკალურია. როგორ განვსაზღვროთ რამდენი ფესვი აქვს განტოლებას? ამისთვის არის მშვენიერი რამ - დისკრიმინანტი.

დისკრიმინანტი

მოცემული იყოს კვადრატული განტოლება ax 2 + bx + c = 0. მაშინ დისკრიმინანტი არის უბრალოდ რიცხვი D = b 2 − 4ac .

ეს ფორმულა ზეპირად უნდა იყოს ცნობილი. საიდან მოდის, ახლა არ არის მნიშვნელოვანი. მნიშვნელოვანია კიდევ ერთი: დისკრიმინანტის ნიშნით შეგიძლიათ განსაზღვროთ რამდენი ფესვი აქვს კვადრატულ განტოლებას. კერძოდ:

1. თუ დ< 0, корней нет;
2. თუ D = 0, არის ზუსტად ერთი ფესვი;
3. თუ D > 0, იქნება ორი ფესვი.

გთხოვთ გაითვალისწინოთ: დისკრიმინანტი მიუთითებს ფესვების რაოდენობას და არა მათ ნიშნებს, როგორც რატომღაც ბევრი ფიქრობს. გადახედე მაგალითებს და შენ თვითონ მიხვდები ყველაფერს:

დავალება. რამდენი ფესვი აქვს კვადრატულ განტოლებებს:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

ჩვენ ვწერთ კოეფიციენტებს პირველი განტოლებისთვის და ვპოულობთ დისკრიმინანტს:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

ასე რომ, დისკრიმინანტი დადებითია, ამიტომ განტოლებას ორი განსხვავებული ფესვი აქვს. ჩვენ ვაანალიზებთ მეორე განტოლებას ანალოგიურად:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

დისკრიმინანტი უარყოფითია, ფესვები არ არსებობს. ბოლო განტოლება რჩება:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

დისკრიმინანტი ნულის ტოლია - ფესვი ერთი იქნება.

გაითვალისწინეთ, რომ კოეფიციენტები დაწერილია თითოეული განტოლებისთვის. დიახ, ეს გრძელია, დიახ, დამღლელი - მაგრამ თქვენ არ აირევთ შანსებს და არ დაუშვებთ სულელურ შეცდომებს. აირჩიეთ თქვენთვის: სიჩქარე ან ხარისხი.

სხვათა შორის, თუ „ხელს ავსებ“, გარკვეული პერიოდის შემდეგ აღარ დაგჭირდებათ ყველა კოეფიციენტის ამოწერა. ასეთ ოპერაციებს შეასრულებ შენს თავში. უმეტესობა ამის კეთებას იწყებს სადღაც 50-70 ამოხსნილი განტოლების შემდეგ - ზოგადად, არც ისე ბევრი.

კვადრატული განტოლების ფესვები

ახლა გადავიდეთ გამოსავალზე. თუ დისკრიმინანტი D > 0, ფესვები შეიძლება მოიძებნოს ფორმულების გამოყენებით:

კვადრატული განტოლების ფესვების ძირითადი ფორმულა

როდესაც D = 0, შეგიძლიათ გამოიყენოთ ნებისმიერი ფორმულა - მიიღებთ იგივე რიცხვს, რომელიც იქნება პასუხი. საბოლოოდ, თუ დ< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x2 = 0;
3. x2 + 12x + 36 = 0.

პირველი განტოლება:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ განტოლებას ორი ფესვი აქვს. მოდი ვიპოვოთ ისინი:

მეორე განტოლება:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.

D > 0 ⇒ განტოლებას ისევ ორი ​​ფესვი აქვს. მოდი ვიპოვოთ ისინი

\[\begin(გასწორება) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \მარჯვნივ))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \მარჯვნივ))=3. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

და ბოლოს, მესამე განტოლება:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ განტოლებას აქვს ერთი ფესვი. ნებისმიერი ფორმულის გამოყენება შესაძლებელია. მაგალითად, პირველი:

როგორც მაგალითებიდან ხედავთ, ყველაფერი ძალიან მარტივია. თუ იცით ფორმულები და შეძლებთ დათვლას, პრობლემა არ იქნება. ყველაზე ხშირად, შეცდომები ხდება მაშინ, როდესაც უარყოფითი კოეფიციენტები ჩანაცვლებულია ფორმულაში. აქ, ისევ და ისევ, ზემოთ აღწერილი ტექნიკა დაგეხმარებათ: შეხედეთ ფორმულას სიტყვასიტყვით, დახატეთ თითოეული ნაბიჯი - და თავიდან აიცილეთ შეცდომები ძალიან მალე.

არასრული კვადრატული განტოლებები

ეს ხდება, რომ კვადრატული განტოლება გარკვეულწილად განსხვავდება იმისგან, რაც მოცემულია განმარტებაში. Მაგალითად:

1. x2 + 9x = 0;
2. x2 − 16 = 0.

ადვილი მისახვედრია, რომ ერთ-ერთი ტერმინი აკლია ამ განტოლებებს. ასეთი კვადრატული განტოლებები კიდევ უფრო ადვილად ამოსახსნელია, ვიდრე სტანდარტული: მათ არც კი სჭირდებათ დისკრიმინანტის გამოთვლა. მოდით შემოვიტანოთ ახალი კონცეფცია:

განტოლებას ax 2 + bx + c = 0 ეწოდება არასრული კვადრატული განტოლება, თუ b = 0 ან c = 0, ე.ი. x ცვლადის ან თავისუფალი ელემენტის კოეფიციენტი ნულის ტოლია.

რა თქმა უნდა, შესაძლებელია ძალიან რთული შემთხვევა, როდესაც ორივე ეს კოეფიციენტი ნულის ტოლია: b \u003d c \u003d 0. ამ შემთხვევაში, განტოლება იღებს ცულის 2 \u003d 0 ფორმას. ცხადია, ასეთ განტოლებას აქვს ერთიანი. ფესვი: x \u003d 0.

განვიხილოთ სხვა შემთხვევები. მოდით b \u003d 0, მაშინ მივიღებთ არასრულ კვადრატულ განტოლებას ფორმის ax 2 + c \u003d 0. მოდით ოდნავ გარდავქმნათ იგი:

ვინაიდან არითმეტიკული კვადრატული ფესვი არსებობს მხოლოდ არაუარყოფითი რიცხვიდან, ბოლო ტოლობას აქვს აზრი მხოლოდ მაშინ, როდესაც (−c / a ) ≥ 0. დასკვნა:

1. თუ ax 2 + c = 0 ფორმის არასრული კვადრატული განტოლება აკმაყოფილებს უტოლობას (−c / a ) ≥ 0, იქნება ორი ფესვი. ფორმულა მოცემულია ზემოთ;
2. თუ (−c/a)< 0, корней нет.

როგორც ხედავთ, დისკრიმინანტი არ იყო საჭირო - არასრულ კვადრატულ განტოლებებში საერთოდ არ არის რთული გამოთვლები. ფაქტობრივად, არც კი არის აუცილებელი გავიხსენოთ უტოლობა (−c / a ) ≥ 0. საკმარისია გამოვხატოთ x 2-ის მნიშვნელობა და ვნახოთ რა არის ტოლობის ნიშნის მეორე მხარეს. თუ არის დადებითი რიცხვი, იქნება ორი ფესვი. თუ უარყოფითია, ფესვები საერთოდ არ იქნება.

ახლა მოდით გაუმკლავდეთ ax 2 + bx = 0 ფორმის განტოლებებს, რომლებშიც თავისუფალი ელემენტი ნულის ტოლია. აქ ყველაფერი მარტივია: ყოველთვის იქნება ორი ფესვი. საკმარისია მრავალწევრის ფაქტორიზირება:

საერთო ფაქტორის ამოღება ფრჩხილიდან

პროდუქტი ნულის ტოლია, როდესაც ერთ-ერთი ფაქტორი მაინც ნულის ტოლია. აქედან მოდის ფესვები. დასასრულს, ჩვენ გავაანალიზებთ რამდენიმე ამ განტოლებას:

დავალება. ამოხსენით კვადრატული განტოლებები:

1. x2 − 7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. არ არსებობს ფესვები, რადგან კვადრატი არ შეიძლება იყოს უარყოფითი რიცხვის ტოლი.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 \u003d -1.5.

მოედანი ტრიპონ III

§ 50 კვადრატული განტოლებები

ფორმის განტოლებები

ნაჯახი 2 + bx+c = 0, (1)

სადაც X- უცნობი ღირებულება, ა, ბ, გ- მოცემული ნომრები ( ა =/= 0) კვადრატს უწოდებენ.

კვადრატული განტოლების მარცხენა მხარეს სრული კვადრატის გამოყოფით (იხ. ფორმულა (1) § 49), მივიღებთ:

ცხადია, განტოლება (2) უდრის განტოლებას (1) (იხ. § 2). განტოლებას (2) შეიძლება ჰქონდეს რეალური ფესვები მხოლოდ მაშინ, როდესაც ან ბ 2 - 4ტუზი > 0 (4 წლიდან ა 2 > 0).

გამოთქმის D = განსაკუთრებული როლის გათვალისწინებით ბ 2 - 4ტუზი განტოლების (1) ამოხსნისას ამ გამოთქმას ენიჭება სპეციალური სახელი - დისკრიმინანტიკვადრატული განტოლება ნაჯახი 2 + bx+c = 0 (ან კვადრატული ტრინომის დისკრიმინანტი ნაჯახი 2 + bx+c ). Ისე, თუ კვადრატული განტოლების დისკრიმინანტი უარყოფითია, მაშინ განტოლებას არ აქვს რეალური ფესვები.

თუ D = ბ 2 - 4ტუზი > 0, შემდეგ (2)-დან ვიღებთ:

თუ კვადრატული განტოლების დისკრიმინანტი არაუარყოფითია, მაშინ ამ განტოლებას რეალური ფესვები აქვს. ისინი იწერება წილადის სახით, რომლის მრიცხველი არის განტოლების კოეფიციენტი X , აღებული საპირისპირო ნიშნით, პლუს ან მინუს დისკრიმინანტის კვადრატული ფესვი, ხოლო მნიშვნელში - ორჯერ მეტი კოეფიციენტი X 2 .

თუ კვადრატული განტოლების დისკრიმინანტი დადებითია, მაშინ განტოლებას ორი განსხვავებული რეალური ფესვი აქვს:

თუ კვადრატული განტოლების დისკრიმინანტი ნულია, მაშინ განტოლებას აქვს ერთი რეალური ფესვი:

X = - ბ / 2 ა

(ამ შემთხვევაში, ზოგჯერ ამბობენ, რომ განტოლებას აქვს ორი თანაბარი ფესვი: x 1 = x 2 = - ბ / 2 ა )

მაგალითები.

1) განტოლებისთვის 2 X 2 - X - 3 = 0 დისკრიმინანტი D = (- 1) 2 - 4 2 (- 3) = 25 > 0. განტოლებას ორი განსხვავებული ფესვი აქვს:

2) განტოლებისთვის 3 X 2 - 6X + 3 = 0 D = (- 6) 2 - 4 3 3 = 0. ამ განტოლებას აქვს ერთი რეალური ფესვი

3) მე-5 განტოლებისთვის X 2 + 4X + 7 = 0 D = 4 2 - 4 5 7 = - 124< 0. Это уравнение не имеет действительных корней.

4) გაარკვიეთ რა ღირებულებებისთვის ა კვადრატული განტოლება X 2 + ოჰ + 1 = 0:

ა) აქვს ერთი ფესვი

ბ) აქვს ორი განსხვავებული ფესვი;

გ) საერთოდ არ აქვს ფესვები,

ამ კვადრატული განტოლების დისკრიმინანტი არის

D= ა 2 - 4.

Თუ | a | = 2, შემდეგ D = 0; ამ შემთხვევაში, განტოლებას აქვს ერთი ფესვი.

Თუ | a | > 2, შემდეგ D > 0; ამ შემთხვევაში, განტოლებას ორი განსხვავებული ფესვი აქვს.

საბოლოოდ, თუ | a | < 2, то данное уравнение не имеет корней.

Სავარჯიშოები

განტოლებების ამოხსნა (No. 364-369):

364. 6X 2 - X - 1 = 0. 367. - X 2 + 8X - 16 = 0.

365. 3X 2 - 5X + 1 = 0. 368. 2X 2 - 12X + 12 == 0.

366. X 2 - X + 1 = 0. 369. 2X - X 2 - 6 = 0.

370. შეიძლება თუ არა რიცხვი 15 წარმოდგენილი იყოს ორი რიცხვის ჯამის სახით ისე, რომ მათი ნამრავლი იყოს 70-ის ტოლი?

371. რა ღირებულებებზე ა განტოლება

X 2 - 2ოჰ + ა (1 + ა ) = 0

ა) აქვს ორი განსხვავებული ფესვი;

ბ) აქვს მხოლოდ ერთი ფესვი;

გ) ფესვები არ აქვს?

372. რა ღირებულებებზე ა განტოლება

(1 - ა ) X 2 - 4ოჰ + 4 (1 - ა ) = 0

ა) არ აქვს ფესვები;

ბ) არ აქვს ერთზე მეტი ფესვი;

გ) აქვს ერთი ფესვი მაინც?

373. რა ღირებულებით ა განტოლება X 2 + ოჰ + 1 = 0 აქვს უნიკალური ფესვი? რის ტოლია?

374. რა არის რიცხვის საზღვრები ა თუ ცნობილია, რომ განტოლებები

X 2 + x + a = 0 და X 2 + x - a = 0

375. ზომაზე რას იტყვით ა თუ განტოლებები

4ა (X 2 + X ) = ა - 2.5 და X (X - 1) = 1,25 - ა

აქვს იგივე რაოდენობის ფესვები?

376. მატარებელი გადაიდო სადგურზე ტ წთ. დაკარგული დროის ასანაზღაურებლად მძღოლმა სიჩქარე გაზარდა ა კმ/სთ და შემდეგ ეტაპზე ში ბ კმ აღმოფხვრა შეფერხება. რამდენად სწრაფი იყო მატარებელი სადგურზე დაგვიანებამდე?

377. ორმა ამწამ, ერთად მომუშავე, გადმოტვირთა ბარჟა ტ თ) რა დროში შეუძლია თითოეულ ამწეს ცალ-ცალკე განტვირთოს ბარჟა, თუ რომელიმე მათგანი დახარჯავს მასზე. ა მეორეზე ნაკლები?

378. ერთ-ერთი ქარხანა ზოგიერთ შეკვეთას მეორეზე 4 დღით სწრაფად ასრულებს. რამდენ ხანში შეუძლია თითოეულ მცენარეს ცალ-ცალკე მუშაობდეს შეკვეთის შესრულება, თუ ცნობილია, რომ 24 დღეში ერთად მუშაობისას მათ 5-ჯერ დიდი შეკვეთა დაასრულეს?

განტოლებების ამოხსნა (No379, 380).

(ყურადღება მიაქციეთ, რომ ამ განტოლებებში უცნობია წილადების მნიშვნელებში. მიღებული ფესვები საჭიროებს შემოწმებას!)

381*. რა ღირებულებებზე ა განტოლებები

X 2 + ოჰ + 1 = 0 და X 2 + X + ა = 0

აქვს მინიმუმ ერთი საერთო ფესვი?

ფარაფონოვა ნატალია იგორევნა

თემა:არასრული კვადრატული განტოლებები.

გაკვეთილის მიზნები:- არასრული კვადრატული განტოლების ცნების გაცნობა;

ისწავლეთ როგორ ამოხსნათ არასრული კვადრატული განტოლებები.

გაკვეთილის მიზნები:- შეძლოს კვადრატული განტოლების ფორმის განსაზღვრა;

ამოხსენით არასრული კვადრატული განტოლებები.

ვებ წიგნი:ალგებრა: პროკ. 8 უჯრედისთვის. ზოგადი განათლება ინსტიტუტები / შ.ა.ალიმოვი, იუ.მ.კოლიაგინი, იუ.ვ.სიდოროვი და სხვები - მ.: განათლება, 2010წ.

გაკვეთილების დროს.

1. შეახსენეთ მოსწავლეებს, რომ ნებისმიერი კვადრატული განტოლების ამოხსნამდე აუცილებელია მისი სტანდარტულ ფორმამდე მიყვანა. დაიმახსოვრე განმარტება სრული კვადრატული განტოლება:ax2+bx +c = 0,a ≠ 0.

ამ კვადრატულ განტოლებებში დაასახელეთ კოეფიციენტები a, b, c:

ა) 2x 2 - x + 3 = 0; ბ) x 2 + 4x - 1 = 0; გ) x 2 - 4 \u003d 0; დ) 5x 2 + 3x = 0.

2. მიეცით არასრული კვადრატული განტოლების განმარტება:

კვადრატული განტოლება ax 2 + bx + c = 0 ეწოდება არასრული, თუ კოეფიციენტებიდან ერთი მაინც, b ან c, უდრის 0-ს. ყურადღება მიაქციეთ, რომ კოეფიციენტი a ≠ 0. ზემოთ წარმოდგენილი განტოლებიდან აირჩიეთ არასრული კვადრატული განტოლებები.

3. უფრო მოსახერხებელია არასრული კვადრატული განტოლებების ტიპების წარმოდგენა ამონახსნების მაგალითებით ცხრილის სახით:

1. ამოხსნის გარეშე, დაადგინეთ ფესვების რაოდენობა თითოეული არასრული კვადრატული განტოლებისთვის:

ა) 2x 2 - 3 = 0; ბ) 3x 2 + 4 = 0; გ) 5x 2 - x \u003d 0; დ) 0,6x2 = 0; ე) -8x 2 - 4 = 0.

1. ამოხსენით არასრული კვადრატული განტოლებები (განტოლებების ამოხსნა, დაფაზე შემოწმება, 2 ვარიანტი):

გ) 2x 2 + 15 = 0

დ) 3x 2 + 2x = 0

ე) 2x 2 - 16 = 0

ვ) 5 (x 2 + 2) = 2 (x 2 + 5)

ზ) (x + 1) 2 - 4 = 0

გ) 2x 2 + 7 = 0

დ) x 2 + 9x = 0

ე) 81x 2 - 64 = 0

ვ) 2 (x 2 + 4) = 4 (x 2 + 2)

ზ) (x - 2) 2 - 8 = 0.

6. დამოუკიდებელი მუშაობა ვარიანტებზე:

1 ვარიანტი

ა) 3x 2 - 12 = 0

ბ) 2x 2 + 6x = 0

ე) 7x 2 - 14 = 0

ვარიანტი 2

ბ) 6x 2 + 24 = 0

გ) 9y 2 - 4 = 0

დ) -y 2 + 5 = 0

ე) 1 - 4y 2 = 0

ვ) 8y 2 + y = 0

3 ვარიანტი

ა) 6y - y 2 = 0

ბ) 0.1y 2 - 0.5y = 0

გ) (x + 1) (x -2) = 0

დ) x(x + 0.5) = 0

ე) x 2 - 2x = 0

ვ) x 2 - 16 = 0

4 ვარიანტი

ა) 9x 2 - 1 = 0

ბ) 3x - 2x 2 = 0

დ) x 2 + 2x - 3 = 2x + 6

ე) 3x 2 + 7 = 12x + 7

5 ვარიანტი

ა) 2x2 - 18 = 0

ბ) 3x 2 - 12x = 0

დ) x 2 + 16 = 0

ე) 6x 2 - 18 = 0

ვ) x 2 - 5x = 0

6 ვარიანტი

ბ) 4x 2 + 36 = 0

გ) 25y 2 - 1 = 0

დ) -y 2 + 2 = 0

ე) 9 - 16y 2 = 0

ვ) 7y 2 + y = 0

7 ვარიანტი

ა) 4y - y 2 = 0

ბ) 0.2y 2 - y = 0

გ) (x + 2) (x - 1) = 0

დ) (x - 0.3) x = 0

ე) x 2 + 4x = 0

ვ) x 2 - 36 = 0

8 ვარიანტი

ა) 16x 2 - 1 = 0

ბ) 4x - 5x 2 = 0

დ) x 2 - 3x - 5 = 11 - 3x

ე) 5x 2 - 6 = 15x - 6

პასუხები დამოუკიდებელი მუშაობისთვის:

ვარიანტი 1: ა) 2, ბ) 0; -3; გ) 0; დ) ფესვები არ არის; ე);

ვარიანტი 2 ა) 0; ბ) ფესვები; in); G); ე); ვ)0;-;

3 ვარიანტი ა) 0; 6; ბ) 0;5; გ) -1;2; დ) 0;-0.5; ე) 0;2; ვ)4

4 ვარიანტი ა); ბ) 0; 1.5; გ) 0;3; დ) 3; ე)0;4 ე)5

5 ვარიანტი ა)3; ბ) 0;4; გ) 0; დ) ფესვები არ არის; ე) ვ) 0; 5

6 ვარიანტი ა) 0; ბ) არ არსებობს ფესვები; გ) დ) ე) ვ) 0;-

7 ვარიანტი ა) 0; 4; ბ) 0;5; გ) -2;1; დ) 0;0.03; ე) 0;-4; ვ)6

8 ვარიანტი ა) ბ) 0; გ) 0;7; დ) 4; ე) 0;3; ე)

გაკვეთილის შეჯამება:ჩამოყალიბებულია „არასრული კვადრატული განტოლების“ ცნება; ნაჩვენებია სხვადასხვა ტიპის არასრული კვადრატული განტოლებების ამოხსნის გზები. სხვადასხვა ამოცანების შესრულებისას დამუშავდა არასრული კვადრატული განტოლებების ამოხსნის უნარები.

7. Საშინაო დავალება: №№ 421(2), 422(2), 423(2,4), 425.

დამატებითი დავალება:

a-ს რომელი მნიშვნელობებისთვის არის განტოლება არასრული კვადრატული განტოლება? ამოხსენით განტოლება a-ს მიღებული მნიშვნელობებისთვის:

ა) x 2 + 3ax + a - 1 = 0

ბ) (a - 2)x 2 + ცული \u003d 4 - a 2 \u003d 0