ლოგარითმული ფუნქციის კონცეფცია

ჯერ გავიხსენოთ რა არის ლოგარითმი.

განმარტება 1

$b\in R$ რიცხვის ლოგარითმი $a$ ფუძემდე ($a>0,\ a\ne 1$) არის რიცხვი $c$, რომელზეც უნდა გაიზარდოს რიცხვი $a$, რომ მიიღოთ რიცხვი. $b$.

განვიხილოთ ექსპონენციალური ფუნქცია $f\left(x\right)=a^x$, სადაც $a >1$. ეს ფუნქცია იზრდება, უწყვეტია და ასახავს რეალურ ღერძს $(0,+\infty)$ ინტერვალზე. შემდეგ, შებრუნებული უწყვეტი ფუნქციის არსებობის თეორემით, $Y=(0,+\infty)$ სიმრავლეში მას აქვს შებრუნებული ფუნქცია $x=f^(-1)(y)$, რომელიც ასევე არის უწყვეტი და იზრდება $Y $-ში და ასახავს $(0,+\infty)$ ინტერვალს მთელ რეალურ ღერძზე. ამ შებრუნებულ ფუნქციას ეწოდება ლოგარითმული ფუნქცია $a\ (a >1)$ ბაზაში და აღინიშნება $y=((log)_a x\ )$.

ახლა განიხილეთ ექსპონენციალური ფუნქცია $f\left(x\right)=a^x$, სადაც $0

ამრიგად, ჩვენ განვსაზღვრეთ ლოგარითმული ფუნქცია $a$ ბაზის ყველა შესაძლო მნიშვნელობისთვის. განვიხილოთ ეს ორი შემთხვევა ცალკე.

1%24"> ფუნქცია $y=((log)_a x\ ),\ a >1$

განიხილეთ თვისებებიამ ფუნქციას.

$Oy$ ღერძთან კვეთა არ არის.

ფუნქცია დადებითია $x\in (1,+\infty)$-სთვის და უარყოფითია $x\in (0,1)$

$y"=\frac(1)(xlna)$;

მინიმალური და მაქსიმალური ქულები:

ფუნქცია იზრდება განმარტების მთელ დომენზე;

$y^("")=-\frac(1)(x^2lna)$;

\[-\frac(1)(x^2lna) ფუნქცია ამოზნექილია განსაზღვრების მთელ დომენზე;

$(\mathop(lim)_(x\ to 0) y\ )=-\infty ,\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) y\ )=+\infty ,\ $;

ფუნქციის გრაფიკი (ნახ. 1).

სურათი 1. $y=((log)_a x\ ),\ a >1$ ფუნქციის გრაფიკი

ფუნქცია $y=((log)_a x\ ), \ 0

განვიხილოთ ამ ფუნქციის თვისებები.

განმარტების დომენი არის $(0,+\infty)$ ინტერვალი;

მნიშვნელობის დიაპაზონი არის ყველა რეალური რიცხვი;

ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი.

გადაკვეთის წერტილები კოორდინატთა ღერძებით:

$Oy$ ღერძთან კვეთა არ არის.

$y=0$-ისთვის $((log)_a x\ )=0,\ x=1.$ გადაკვეთა $Ox$ ღერძთან: (1,0).

ფუნქცია დადებითია $x\in (0,1)$-ზე და უარყოფითია $x\in (1,+\infty)$

$y"=\frac(1)(xlna)$;

მინიმალური და მაქსიმალური ქულები:

\[\frac(1)(xlna)=0-ძირები\არა\]

არ არის მაქსიმალური და მინიმალური ქულები.

$y^("")=-\frac(1)(x^2lna)$;

ამოზნექილი და ჩაზნექილი ინტერვალები:

\[-\frac(1)(x^2lna)>0\]

ფუნქციის გრაფიკი (ნახ. 2).

ლოგარითმული ფუნქციების კვლევისა და აგების მაგალითები

მაგალითი 1

გამოიკვლიეთ და ასახეთ ფუნქცია $y=2-((log)_2 x\ )$

განმარტების დომენი არის $(0,+\infty)$ ინტერვალი;

მნიშვნელობის დიაპაზონი არის ყველა რეალური რიცხვი;

ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი.

გადაკვეთის წერტილები კოორდინატთა ღერძებით:

$Oy$ ღერძთან კვეთა არ არის.

$y=0$-ისთვის $2-((log)_2 x\ )=0,\ x=4.$ გადაკვეთა $Ox$ ღერძთან: (4,0).

ფუნქცია დადებითია $x\in (0,4)$-ზე და უარყოფითია $x\in (4,+\infty)$

$y"=-\frac(1)(xln2)$;

მინიმალური და მაქსიმალური ქულები:

\[-\frac(1)(xln2)=0-ძირები\არა\]

არ არის მაქსიმალური და მინიმალური ქულები.

ფუნქცია მცირდება განმარტების მთელ დომენზე;

$y^("")=\frac(1)(x^2ln2)$;

ამოზნექილი და ჩაზნექილი ინტერვალები:

\[\frac(1)(x^2ln2) >0\]

ფუნქცია ჩაზნექილია განსაზღვრების მთელ დომენზე;

$(\mathop(lim)_(x\ to 0) y\ )=+\infty ,\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty) y\ )=-\infty ,\ $;

სურათი 3

ლოგარითმული ფუნქცია აღინიშნება

მის y-ს, რომელიც შეესაბამება x-ის მნიშვნელობას, ეწოდება x-ის ნატურალური რიცხვი. განმარტებით, მიმართება (1) ექვივალენტურია

(e - ). ვინაიდან e y > 0 ნებისმიერი რეალური y-სთვის, მაშინ ლოგარითმული ფუნქცია განისაზღვრება მხოლოდ x > 0-ისთვის. უფრო ზოგადი გაგებით, ლოგარითმული ფუნქციას ფუნქცია ეწოდება.

სადაც a > 0 (a ¹ 1) არის თვითნებური. თუმცა მათემატიკურ ანალიზში InX ფუნქციას აქვს განსაკუთრებული თვისება; ფუნქციის ჟურნალი a X მცირდება მასზე ფორმულით:

სადაც M = 1/ა. ლოგარითმული ფუნქცია ერთ-ერთი მთავარია; მისი განრიგი ბრინჯი. ერთი) ეწოდება . ძირითადი ლოგარითმული ფუნქცია გამომდინარეობს ექსპონენციალური ფუნქციისა და ლოგარითმების შესაბამისი თვისებებიდან; მაგ., ლოგარითმული ფუნქცია აკმაყოფილებს ფუნქციურ განტოლებას

ბრინჯი. 1 ხელოვნება. ლოგარითმული ფუნქცია.

1-ისთვის< х, 1 справедливо разложение Логарифмическая функция в степенной ряд:

ჟურნალი (1 + x) = x

ბევრი გამოიხატება ლოგარითმული ფუნქციის მიხედვით; Მაგალითად

,

.

ლოგარითმული ფუნქცია მუდმივად გვხვდება მათემატიკურ ანალიზსა და მის გამოყენებაში.

ლოგარითმული ფუნქცია კარგად იყო ცნობილი მე-17 საუკუნეში. პირველად, ლოგარითმული ფუნქციით გამოხატული ცვლადებს შორის კავშირი განიხილა ჯ.-მ (1614 წ.). მან წარმოადგინა კავშირი რიცხვებსა და მათ ლოგარითმებს შორის პარალელური სწორი ხაზების გასწვრივ მოძრავი ორი წერტილის გამოყენებით ( ბრინჯი. 2). ერთი მათგანი (Y) ერთნაირად მოძრაობს, დაწყებული C-დან, ხოლო მეორე (X), დაწყებული A-დან, მოძრაობს მის პროპორციულად B-მდე. თუ დავსვამთ SU = y, XB = x, მაშინ, ამ განსაზღვრების მიხედვით, dx / dy = kx, საიდანაც .

ლოგარითმული ფუნქცია კომპლექსზე არის მრავალმნიშვნელოვანი (უსასრულო მნიშვნელობის) ფუნქცია, რომელიც განისაზღვრება ყველა z ¹ 0-სთვის, რომელიც აღინიშნება Lnz-ით. ამ ფუნქციის ერთმნიშვნელოვანი ფილიალი, რომელიც განისაზღვრება როგორც

Inz = In½ z½ + i arg z,

Გვერდი 1

ლოგარითმული ფუნქცია (80) ახორციელებს მთლიანი სიბრტყის w შებრუნებულ გამოსახვას ზოლად - i / /: i, უსასრულო ფურცლიანი რიმანის ზედაპირის ჭრილით სრულ z - სიბრტყეზე.

ლოგარითმული ფუნქცია: y ლოგაქსი, სადაც ლოგარითმების ფუძე არის a-დადებითი რიცხვი, არ უდრის ერთს.

ლოგარითმული ფუნქცია განსაკუთრებულ როლს ასრულებს ალგორითმების შემუშავებასა და ანალიზში, ამიტომ ღირს უფრო დეტალურად განხილვა. იმის გამო, რომ ხშირად გვაქვს საქმე ანალიტიკურ შედეგებთან, სადაც მუდმივი ფაქტორი გამოტოვებულია, ჩვენ ვიყენებთ log TV აღნიშვნას, გამოვტოვებთ ფუძეს. ლოგარითმის ბაზის შეცვლა ცვლის ლოგარითმის მნიშვნელობას მხოლოდ მუდმივი ფაქტორით, თუმცა, ლოგარითმის ბაზის სპეციალური მნიშვნელობები წარმოიქმნება გარკვეულ კონტექსტში.

ლოგარითმული ფუნქცია არის ექსპონენციალურის შებრუნებული. მისი გრაფიკი (სურ. 247) მიიღება ექსპონენციალური ფუნქციის გრაფიკიდან (იგივე ფუძით) ნახატის დახრით პირველი კოორდინატთა კუთხის ბისექტრის გასწვრივ. ასევე მიღებულია ნებისმიერი შებრუნებული ფუნქციის გრაფიკი.

შემდეგ ლოგარითმული ფუნქცია შემოღებულია, როგორც ექსპონენციალური რეციპროკული. ორივე ფუნქციის თვისებები მიღებულია ამ განმარტებებიდან სირთულის გარეშე. სწორედ ეს განსაზღვრება დაამტკიცა გაუსმა, რომელმაც იმავდროულად გამოთქვა უთანხმოება Göttingen Scientific News-ის მიმოხილვაში მისთვის მიცემულ შეფასებასთან. ამავდროულად, გაუსი საკითხს უფრო ფართო კუთხით მიუდგა, ვიდრე და კუნია. ეს უკანასკნელი შემოიფარგლებოდა რეალურ რეგიონში ექსპონენციალური და ლოგარითმული ფუნქციების გათვალისწინებით, ხოლო გაუსმა გააფართოვა მათი განმარტება კომპლექსურ ცვლადებზე.

ლოგარითმული ფუნქცია y logax მონოტონურია მისი განმარტების მთელ დომენზე.

ლოგარითმული ფუნქცია უწყვეტი და დიფერენცირებადია განსაზღვრების მთელ დომენში.

ლოგარითმული ფუნქცია იზრდება მონოტონურად, თუ a I, როდესაც 0 ​​a 1, ლოგარითმული ფუნქცია a ფუძით მონოტონურად მცირდება.

ლოგარითმული ფუნქცია განისაზღვრება მხოლოდ x-ის დადებითი მნიშვნელობებისთვის და ერთი-ერთზე აჩვენებს ინტერვალს (0; 4 - oc.

ლოგარითმული ფუნქცია y loga x არის yax ექსპონენციალური ფუნქციის შებრუნებული ფუნქცია.

ლოგარითმული ფუნქცია: y ogax, სადაც a ლოგარითმების ფუძე არის დადებითი რიცხვი, რომელიც არ უდრის ერთს.

ლოგარითმული ფუნქციები კარგად არის შერწყმული პოლიეთილენის ცოცვის ბუნების ფიზიკურ კონცეფციებთან იმ პირობებში, როდესაც დაძაბულობის სიჩქარე დაბალია. ამ მხრივ, ისინი ემთხვევა ანდრაადის განტოლებას, ამიტომ ისინი ზოგჯერ გამოიყენება ექსპერიმენტული მონაცემების მიახლოებისთვის.

ლოგარითმული ფუნქცია, ან ბუნებრივი ლოგარითმი, u In z, განისაზღვრება ტრანსცენდენტული განტოლების r ei გადაჭრით u-ს მიმართ. x და y რეალური მნიშვნელობების დიაპაზონში, x 0 პირობით, ეს განტოლება აღიარებს უნიკალურ გადაწყვეტას.

ლოგარითმების მონაკვეთს დიდი მნიშვნელობა აქვს სასკოლო კურსში „მათემატიკური ანალიზი“. ლოგარითმული ფუნქციების ამოცანები ეფუძნება სხვა პრინციპებს, ვიდრე უტოლობებისა და განტოლებების ამოცანები. ლოგარითმისა და ლოგარითმული ფუნქციის ცნებების განმარტებებისა და ძირითადი თვისებების ცოდნა უზრუნველყოფს ტიპიური USE ამოცანების წარმატებულ გადაწყვეტას.

სანამ ახსნით რა არის ლოგარითმული ფუნქცია, ღირს მივმართოთ ლოგარითმის განმარტებას.

მოდით შევხედოთ კონკრეტულ მაგალითს: ჟურნალი a x = x, სადაც a › 0, a ≠ 1.

ლოგარითმების ძირითადი თვისებები შეიძლება ჩამოვთვალოთ რამდენიმე პუნქტში:

ლოგარითმი

ლოგარითმი არის მათემატიკური ოპერაცია, რომელიც საშუალებას იძლევა გამოიყენოს კონცეფციის თვისებები რიცხვის ან გამონათქვამის ლოგარითმის მოსაძებნად.

მაგალითები:

ლოგარითმის ფუნქცია და მისი თვისებები

ლოგარითმული ფუნქციას აქვს ფორმა

მაშინვე აღვნიშნავთ, რომ ფუნქციის გრაფიკი შეიძლება იყოს გაზრდილი › 1-ისთვის და კლებადი 0 ‹ a ‹ 1-ით. აქედან გამომდინარე, ფუნქციის მრუდს ექნება ამა თუ იმ ფორმით.

აქ მოცემულია ლოგარითმების გრაფიკების გამოსახვის თვისებები და მეთოდი:

• f(x)-ის დომენი არის ყველა დადებითი რიცხვის სიმრავლე, ე.ი. x-ს შეუძლია მიიღოს ნებისმიერი მნიშვნელობა ინტერვალიდან (0; + ∞);
• ODZ ფუნქციები - ყველა რეალური რიცხვის სიმრავლე, ე.ი. y შეიძლება იყოს ნებისმიერი რიცხვის ტოლი ინტერვალიდან (- ∞; +∞);
• თუ ლოგარითმის საფუძველი a > 1, მაშინ f(x) იზრდება განსაზღვრების მთელ დომენზე;
• თუ ლოგარითმის საფუძველია 0 ‹ a ‹ 1, მაშინ F მცირდება;
• ლოგარითმული ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი;
• გრაფიკის მრუდი ყოველთვის გადის წერტილში კოორდინატებით (1;0).

ორივე ტიპის გრაფიკის აგება ძალიან მარტივია, მოდით შევხედოთ პროცესს მაგალითის გამოყენებით

ჯერ უნდა გახსოვდეთ მარტივი ლოგარითმის თვისებები და მისი ფუნქცია. მათი დახმარებით თქვენ უნდა ააწყოთ ცხრილი კონკრეტული x და y მნიშვნელობებისთვის. შემდეგ კოორდინატთა ღერძზე მიღებული წერტილები უნდა იყოს მონიშნული და გლუვი ხაზით დაკავშირებული. ეს მრუდი იქნება საჭირო გრაფიკი.

ლოგარითმული ფუნქცია არის y= a x-ით მოცემული ექსპონენციალური ფუნქციის შებრუნებული. ამის დასადასტურებლად საკმარისია ორივე მრუდის დახატვა იმავე კოორდინატულ ღერძზე.

ცხადია, ორივე ხაზი ერთმანეთის სარკისებური გამოსახულებაა. სწორი ხაზის აგებით y = x შეგიძლიათ იხილოთ სიმეტრიის ღერძი.

იმისათვის, რომ სწრაფად იპოვოთ პასუხი პრობლემაზე, თქვენ უნდა გამოთვალოთ წერტილების მნიშვნელობები y = log 2⁡ x-ისთვის და შემდეგ უბრალოდ გადაიტანოთ კოორდინატთა წერტილების საწყისი სამი განყოფილება OY ღერძზე და 2 განყოფილება. მარცხნივ OX ღერძის გასწვრივ.

დადასტურების სახით ავაშენებთ გამოთვლის ცხრილს გრაფიკის y = log 2 ⁡ (x + 2) -3 წერტილებისთვის და მიღებულ მნიშვნელობებს შევადარებთ ფიგურას.

როგორც ხედავთ, კოორდინატები ცხრილიდან და გრაფიკის წერტილები ემთხვევა, შესაბამისად, ღერძების გასწვრივ გადატანა სწორად განხორციელდა.

ტიპიური USE პრობლემების გადაჭრის მაგალითები

სატესტო ამოცანების უმეტესობა შეიძლება დაიყოს ორ ნაწილად: განსაზღვრის დომენის პოვნა, ფუნქციის ტიპის დაზუსტება გრაფიკის ნახაზის მიხედვით, იმის დადგენა, იზრდება თუ არა ფუნქცია მცირდება.

ამოცანების სწრაფი პასუხისთვის აუცილებელია ნათლად გვესმოდეს, რომ f(x) იზრდება, თუ ლოგარითმის მაჩვენებელი a > 1, და მცირდება - როცა 0 ‹ a ‹ 1. თუმცა, არა მხოლოდ ფუძე, არამედ არგუმენტიც. შეიძლება დიდად იმოქმედოს ფუნქციის მრუდის ფორმაზე.

გამშვები ნიშნით მონიშნული F(x) არის სწორი პასუხები. ეჭვები ამ შემთხვევაში გამოწვეულია მაგალითებით 2 და 3. „-“ ნიშანი ჟურნალის წინ იცვლება კლებადობით და პირიქით.

მაშასადამე, გრაფიკი y=-log 3⁡ x მცირდება განსაზღვრების მთელ დომენზე და y= -log (1/3) ⁡x იზრდება, მიუხედავად იმისა, რომ საფუძველი არის 0 ‹ a ‹ 1.

უპასუხე: 3,4,5.

უპასუხე: 4.

ამ ტიპის ამოცანები განიხილება მარტივად და ფასდება 1-2 ქულით.

დავალება 3.

დაადგინეთ ფუნქცია მცირდება თუ იზრდება და მიუთითეთ მისი განმარტების ფარგლები.

Y = ჟურნალი 0.7 ⁡(0.1x-5)

ვინაიდან ლოგარითმის საფუძველი ერთზე ნაკლებია, მაგრამ ნულზე მეტია, x-ის ფუნქცია მცირდება. ლოგარითმის თვისებების მიხედვით, არგუმენტი ასევე უნდა იყოს ნულზე მეტი. მოვაგვაროთ უტოლობა:

უპასუხე: D(x) განსაზღვრის დომენი არის ინტერვალი (50; + ∞).

უპასუხე: 3, 1, OX ღერძი, მარჯვნივ.

ასეთი ამოცანები კლასიფიცირდება როგორც საშუალო და ფასდება 3-4 ქულით.

დავალება 5. იპოვეთ დიაპაზონი ფუნქციისთვის:

ლოგარითმის თვისებებიდან ცნობილია, რომ არგუმენტი შეიძლება იყოს მხოლოდ დადებითი. ამიტომ, ჩვენ ვიანგარიშებთ ფუნქციის დასაშვები მნიშვნელობების ფართობს. ამისათვის საჭირო იქნება ორი უტოლობის სისტემის ამოხსნა.

მოყვანილია ლოგარითმის ძირითადი თვისებები, ლოგარითმის გრაფიკი, განსაზღვრების სფერო, სიდიდეების სიმრავლე, ძირითადი ფორმულები, მატება და შემცირება. განიხილება ლოგარითმის წარმოებულის პოვნა. ისევე როგორც ინტეგრალური, სიმძლავრის სერიის გაფართოება და წარმოდგენა რთული რიცხვების საშუალებით.

ლოგარითმის განმარტება

ლოგარითმი ფუძით aარის y ფუნქცია (x) = ჟურნალი x, შებრუნებული ექსპონენციალური ფუნქციის ფუძით a: x (y) = a y.

ათწილადი ლოგარითმიარის რიცხვის ფუძის ლოგარითმი 10 : ჟურნალი x ≡ ჟურნალი 10 x.

ბუნებრივი ლოგარითმიარის ლოგარითმი e-ის ფუძის მიმართ: ln x ≡ ჟურნალი e x.

2,718281828459045... ;
.

ლოგარითმის გრაფიკი მიიღება ექსპონენციალური ფუნქციის გრაფიკიდან სარკისებური ასახვით სწორი ხაზის შესახებ y \u003d x. მარცხნივ არის y ფუნქციის გრაფიკები (x) = ჟურნალი xოთხი ღირებულებისთვის ლოგარითმის საფუძვლები:a= 2 , a = 8 , a = 1/2 და a = 1/8 . გრაფიკი აჩვენებს, რომ > 1 ლოგარითმი მონოტონურად იზრდება. x იზრდება, ზრდა მნიშვნელოვნად შენელდება. ზე 0 < a < 1 ლოგარითმი მონოტონურად მცირდება.

ლოგარითმის თვისებები

დომენი, მნიშვნელობების ნაკრები, აღმავალი, დაღმავალი

ლოგარითმი მონოტონური ფუნქციაა, ამიტომ მას არ აქვს უკიდურესობები. ლოგარითმის ძირითადი თვისებები წარმოდგენილია ცხრილში.

დომენი	0 < x < + ∞	0 < x < + ∞
ღირებულებების დიაპაზონი	- ∞ < y < + ∞	- ∞ < y < + ∞
მონოტონური	მონოტონურად იზრდება	მონოტონურად მცირდება
ნულები, y= 0	x= 1	x= 1
y-ღერძთან გადაკვეთის წერტილები, x = 0	არა	არა
	+ ∞	- ∞
	- ∞	+ ∞

პირადი ღირებულებები

ბაზის 10 ლოგარითმი ეწოდება ათობითი ლოგარითმიდა აღინიშნება ასე:

ბაზის ლოგარითმი ედაურეკა ბუნებრივი ლოგარითმი:

ძირითადი ლოგარითმის ფორმულები

შებრუნებული ფუნქციის განმარტებიდან გამომდინარე ლოგარითმის თვისებები:

ლოგარითმების ძირითადი თვისება და მისი შედეგები

ბაზის შეცვლის ფორმულა

ლოგარითმიარის ლოგარითმის აღების მათემატიკური ოპერაცია. ლოგარითმის აღებისას ფაქტორების ნამრავლები გარდაიქმნება ტერმინთა ჯამებად.

გაძლიერებაარის ლოგარითმის შებრუნებული მათემატიკური ოპერაცია. გაძლიერებისას მოცემული ფუძე ამაღლებულია იმ გამოხატვის ძალამდე, რომელზედაც ხდება გაძლიერება. ამ შემთხვევაში ტერმინების ჯამები გარდაიქმნება ფაქტორების პროდუქტებად.

ლოგარითმების ძირითადი ფორმულების დადასტურება

ლოგარითმებთან დაკავშირებული ფორმულები გამომდინარეობს ექსპონენციალური ფუნქციების ფორმულებიდან და შებრუნებული ფუნქციის განსაზღვრებიდან.

განვიხილოთ ექსპონენციალური ფუნქციის თვისება
.
მერე
.
ექსპონენციალური ფუნქციის თვისების გამოყენება
:
.

მოდით დავამტკიცოთ ბაზის ცვლილების ფორმულა.
;
.
დაყენებით c = b, გვაქვს:

ინვერსიული ფუნქცია

ლოგარითმის ფუძის ორმხრივი არის ექსპონენციალური ფუნქცია a მაჩვენებლით.

თუ, მაშინ

თუ, მაშინ

ლოგარითმის წარმოებული

ლოგარითმის მოდულის წარმოებული x :
.
n-ე რიგის წარმოებული:
.
ფორმულების გამოყვანა > > >

ლოგარითმის წარმოებული რომ ვიპოვოთ, ის უნდა დაიყვანოთ ფუძემდე ე.
;
.

ინტეგრალური

ლოგარითმის ინტეგრალი გამოითვლება ნაწილებით ინტეგრირებით: .
Ისე,

გამონათქვამები რთული რიცხვების მიხედვით

განვიხილოთ კომპლექსური რიცხვების ფუნქცია ზ:
.
გამოვხატოთ რთული რიცხვი ზმოდულის საშუალებით რდა არგუმენტი φ :
.
შემდეგ, ლოგარითმის თვისებების გამოყენებით, გვაქვს:
.
ან

თუმცა, არგუმენტი φ მკაფიოდ არ არის განსაზღვრული. თუ დავაყენებთ
, სადაც n არის მთელი რიცხვი,
მაშინ ეს იქნება იგივე რიცხვი სხვადასხვასთვის ნ.

ამრიგად, ლოგარითმი, როგორც რთული ცვლადის ფუნქცია, არ არის ერთმნიშვნელოვანი ფუნქცია.

დენის სერიის გაფართოება

იყიდება, გაფართოება ხდება:

ცნობები:
ი.ნ. ბრონშტეინი, კ.ა. სემენდიაევი, მათემატიკის სახელმძღვანელო უმაღლესი საგანმანათლებლო დაწესებულებების ინჟინრებისა და სტუდენტებისთვის, ლან, 2009 წ.