მათემატიკაში USE-ის პროფილის დონის No7 ამოცანაში აუცილებელია წარმოებულისა და ანტიწარმოებულის ფუნქციის ცოდნის დემონსტრირება. უმეტეს შემთხვევაში, ცნებების უბრალოდ განსაზღვრა და წარმოებულის მნიშვნელობების გაგება საკმარისია.

ტიპიური ვარიანტების ანალიზი ამოცანების No7 გამოყენება მათემატიკაში პროფილის დონის

დავალების პირველი ვერსია (დემო ვერსია 2018)

ნახატზე ნაჩვენებია დიფერენცირებადი ფუნქციის y = f(x) გრაფიკი. x ღერძზე აღინიშნება ცხრა წერტილი: x 1 , x 2 , ..., x 9 . ამ წერტილებს შორის იპოვეთ ყველა წერტილი, სადაც y = f(x) ფუნქციის წარმოებული უარყოფითია. თქვენს პასუხში მიუთითეთ ნაპოვნი ქულების რაოდენობა.

გადაწყვეტის ალგორითმი:

1. მოდით შევხედოთ ფუნქციის გრაფიკს.
2. ჩვენ ვეძებთ წერტილებს, რომლებშიც ფუნქცია მცირდება.
3. ჩვენ ვითვლით მათ რაოდენობას.
4. ჩვენ ვწერთ პასუხს.

გადაწყვეტილება:

1. გრაფიკზე ფუნქცია პერიოდულად იზრდება, პერიოდულად მცირდება.

2. იმ ინტერვალებში, სადაც ფუნქცია მცირდება, წარმოებულს აქვს უარყოფითი მნიშვნელობები.

3. ეს ინტერვალები შეიცავს წერტილებს x 3 , x 4 , x 5 , xცხრა . ასეთი 4 პუნქტია.

დავალების მეორე ვერსია (იაშენკოდან, No4)

სურათზე ნაჩვენებია y \u003d f (x) ფუნქციის გრაფიკი. x ღერძზე მონიშნულია -2, -1, 2, 4 წერტილები, ამ წერტილებიდან რომელზეა წარმოებულის მნიშვნელობა უდიდესი? გთხოვთ, თქვენს პასუხში მიუთითოთ ეს წერტილი.

გადაწყვეტის ალგორითმი:

1. მოდით შევხედოთ ფუნქციის გრაფიკს.
2. ჩვენ განვიხილავთ ფუნქციის ქცევას თითოეულ წერტილში და წარმოებულის ნიშანს მათზე.
3. ჩვენ ვპოულობთ წერტილებს წარმოებულის უდიდეს მნიშვნელობაში.
4. ჩვენ ვწერთ პასუხს.

გადაწყვეტილება:

1. ფუნქციას აქვს კლების და გაზრდის რამდენიმე ინტერვალი.

2. სადაც ფუნქცია მცირდება. წარმოებულს აქვს მინუს ნიშანი. ასეთ პუნქტებს შორისაა მითითებული. მაგრამ გრაფიკზე არის წერტილები, სადაც ფუნქცია იზრდება. მათი წარმოებული დადებითია. ეს არის წერტილები აბსცისებით -2 და 2.

3. განვიხილოთ გრაფიკი x=-2 და x=2 წერტილებში. x = 2 წერტილში ფუნქცია უფრო ციცაბო მაღლა იწევს, რაც ნიშნავს, რომ ამ წერტილში ტანგენტს უფრო დიდი დახრილობა აქვს. მაშასადამე, აბსცისის წერტილში 2. წარმოებულს აქვს უდიდესი მნიშვნელობა.

დავალების მესამე ვერსია (იაშენკოდან, No21)

ხაზი ტანგენსია ფუნქციის გრაფიკზე . იპოვე ა.

გადაწყვეტის ალგორითმი:

1. ვაიგივებთ ტანგენსის და ფუნქციის განტოლებებს.
2. მიღებულ ტოლობას ვამარტივებთ.
3. ჩვენ ვპოულობთ დისკრიმინანტს.
4. განსაზღვრეთ პარამეტრი ა, რომლის გამოსავალი უნიკალურია.
5. ჩვენ ვწერთ პასუხს.

გადაწყვეტილება:

1. ტანგენსი წერტილის კოორდინატები აკმაყოფილებს ორივე განტოლებას: ტანგენტს და ფუნქციას. ასე რომ, ჩვენ შეგვიძლია გავატოლოთ განტოლებები. ჩვენ ვიღებთ:

2. ჩვენ ვამარტივებთ თანასწორობას ყველა ტერმინის ერთი მიმართულებით გადაადგილებით:

3. შეხების წერტილში უნდა იყოს ერთი ამონახსნი, ამიტომ მიღებული განტოლების დისკრიმინანტი ნულის ტოლი უნდა იყოს. ეს არის კვადრატული განტოლების ფესვის უნიკალურობის პირობა.

4. ვიღებთ:

თუ ამოცანა სწორად მოგვარებულია, მაშინ მიიღებთ 1 ქულა.

Დაახლოებით 5 წუთი.

პროფილის დონის მათემატიკაში 7 ამოცანის ამოსახსნელად, თქვენ უნდა იცოდეთ:

1. დავალებები იყოფა რამდენიმე ტიპად:
   • წარმოებულის ფიზიკური მნიშვნელობა.
   • წარმოებულის და ტანგენტის გეომეტრიული მნიშვნელობა;
   • წარმოებულის გამოყენება ფუნქციების შესასწავლად;
   • პრიმიტიული.
2. წარმოებული ფუნქციის ცოდნა და .
3. და უმეტეს შემთხვევაში, მხოლოდ ცნებების განსაზღვრა და წარმოებულის მნიშვნელობების გაგება.

• წარმოებული - ფუნქციის ცვლილების სიჩქარე. წარმოებული დადებითიაინტერვალებით სადაც ფუნქცია inიზრდებადა უარყოფითიიმ ინტერვალებზე, რომლებზეც ფუნქცია მცირდება.
• უკიდურესი, მაქსიმალური და მინიმალური წერტილები. უკიდურესი წერტილი– ფუნქციის მაქსიმალური/მინიმალური მნიშვნელობა მოცემულ კომპლექტზე. თუ მაქსიმალური მნიშვნელობა მიღწეულია, მაშინ უკიდურეს წერტილს ეწოდება "მაქსიმალური წერტილი", თუ ყველაზე მცირე მნიშვნელობა მიღწეულია, მაშინ უკიდურეს წერტილს ეწოდება "მინიმალური წერტილი".
• პრიმიტიული. ფუნქცია F(x)ფუნქციის ანტიდერივატი ეწოდება f(x)მოცემულ ინტერვალზე, თუ ყველასთვის Xამ ინტერვალიდან თანასწორობა F′(x) = f(x). ანტიდერივატიული ფუნქციის პოვნის ოპერაციას ეწოდება ინტეგრაცია.
• ინტეგრაცია - მათემატიკური ოპერაცია, დიფერენციაციის საპირისპირო, ანუ წარმოებულის პოვნა. ინტეგრაცია საშუალებას გაძლევთ იპოვოთ ფუნქცია თავად ფუნქციის წარმოებულიდან.

02.01.2020

იშვიათ სიძეებს შეუძლიათ დაიკვეხნონ, რომ მათ აქვთ თანაბარი და მეგობრული ურთიერთობა დედამთილთან. ჩვეულებრივ პირიქით ხდება

წარმოებული- ფუნქციის წარმოებული წ = ვ(x) განსაზღვრულია გარკვეული ინტერვალით ( ა, ბ) წერტილში xამ ინტერვალს ეწოდება ზღვარი, რომლისკენაც მიდრეკილია ფუნქციის ზრდის შეფარდება ვიმ მომენტში არგუმენტის შესაბამის ზრდასთან ერთად არგუმენტის ზრდა ნულს უახლოვდება.

წარმოებული ჩვეულებრივ აღინიშნება შემდეგნაირად:

სხვა აღნიშვნები ასევე ფართოდ გამოიყენება:

მყისიერი სიჩქარე.

დაუშვით წერტილი მმოძრაობს სწორი ხაზით. მანძილი სმოძრავი წერტილი, დათვლილი ზოგიერთი საწყისი პოზიციიდან მ 0 , დროზეა დამოკიდებული ტ, ე.ი. სდროის ფუნქციაა ტ: ს= ვ(ტ). მოდით რაღაც მომენტში ტმოძრავი წერტილი მდისტანციაზე იყო სსაწყისი პოზიციიდან მ 0 და შემდეგ მომენტში ტ+ დ ტპოზიციაზე იყო მ 1 - დისტანციაზე ს+ დ სსაწყისი პოზიციიდან ( იხილეთ სურათი.).

ამრიგად, გარკვეული პერიოდის განმავლობაში დ ტმანძილი სშეიცვალა მნიშვნელობით D ს. ამ შემთხვევაში ჩვენ ვამბობთ, რომ დროის ინტერვალის განმავლობაში D ტსიდიდე სმიიღო დანამატი D ს.

საშუალო სიჩქარე ყველა შემთხვევაში ზუსტად ვერ ახასიათებს წერტილის გადაადგილების სიჩქარეს. მდროზე ტ. თუ, მაგალითად, სხეული D ინტერვალის დასაწყისში ტმოძრაობს ძალიან სწრაფად და ბოლოს ძალიან ნელა, მაშინ საშუალო სიჩქარე ვერ ასახავს წერტილის მოძრაობის მითითებულ მახასიათებლებს და წარმოდგენას მისცემთ ამ მომენტში მისი მოძრაობის ნამდვილ სიჩქარეს ტ. საშუალო სიჩქარის გამოყენებით ნამდვილი სიჩქარის უფრო ზუსტად გამოხატვისთვის, საჭიროა დროის უფრო მცირე პერიოდი D ტ. ის ყველაზე სრულად ახასიათებს წერტილის მოძრაობის სიჩქარეს მომენტში ტზღვარი, რომლისკენაც მიისწრაფვის საშუალო სიჩქარე D ტ® 0. ამ ზღვარს ეწოდება მოძრაობის სიჩქარე მოცემულ მომენტში:

ამრიგად, მოძრაობის სიჩქარე მოცემულ მომენტში არის D ბილიკის ნამატის შეფარდების ზღვარი სდროის ნამატებამდე D ტროდესაც დროის ზრდა ნულისკენ მიისწრაფვის. როგორც

წარმოებულის გეომეტრიული მნიშვნელობა. ფუნქციის გრაფიკის ტანგენტი.

ტანგენტების აგება ერთ-ერთი იმ პრობლემათაგანია, რამაც გამოიწვია დიფერენციალური გამოთვლების დაბადება. ლაიბნიცის მიერ დაწერილი პირველი გამოქვეყნებული ნაშრომი დიფერენციალური გამოთვლების შესახებ ეწოდა მაქსიმალური და მინიმუმების, ასევე ტანგენტების ახალი მეთოდი, რომლისთვისაც არც წილადი და არც ირაციონალური სიდიდეები არ არის დაბრკოლება და ამისთვის სპეციალური გაანგარიშებაა..

მრუდი იყოს ფუნქციის გრაფიკი წ =ვ(xმართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში ( სმ. ბრინჯი.).

გარკვეული ღირებულებისთვის xფუნქციას აქვს მნიშვნელობა წ =ვ(x). ეს ღირებულებები xდა წწერტილი მრუდზე მ 0(x, წ). თუ არგუმენტი xმიცემა მატება D x, შემდეგ არგუმენტის ახალი მნიშვნელობა x+ დ xშეესაბამება ფუნქციის ახალ მნიშვნელობას y+დ წ = ვ(x + დ x). მრუდის შესაბამისი წერტილი იქნება წერტილი მ 1(x+ დ x,წ+ დ წ). თუ დავხატავთ სეკანტს მ 0მ 1 და აღნიშნეთ j-ით დადებითი ღერძის მიმართულების სეკანტის მიერ წარმოქმნილი კუთხე ოქსი, ფიგურიდან პირდაპირ ჩანს რომ

თუ ახლა დ xმიდრეკილია ნულისკენ, შემდეგ წერტილისკენ მ 1 მოძრაობს მრუდის გასწვრივ, უახლოვდება წერტილს მ 0 და კუთხე ჯ იცვლება D ცვლილებით x. ზე Dx® 0 კუთხე j მიდრეკილია გარკვეულ ზღვარზე a და წრფეზე, რომელიც გადის წერტილს მ 0 და აბსცისის ღერძის დადებითი მიმართულების კომპონენტი, a კუთხე იქნება სასურველი ტანგენსი. მისი დახრილობა:

აქედან გამომდინარე, ვ´( x) = ტგა

იმათ. წარმოებული ღირებულება ვ´( x) არგუმენტის მოცემული მნიშვნელობისთვის xუდრის ფუნქციის გრაფიკზე ტანგენტის მიერ წარმოქმნილი კუთხის ტანგენტს ვ(x) შესაბამის წერტილში მ 0(x,წ) დადებითი ღერძის მიმართულებით ოქსი.

ფუნქციების დიფერენციალურობა.

განმარტება. თუ ფუნქცია წ = ვ(x) აქვს წარმოებული წერტილში x = x 0, მაშინ ფუნქცია ამ ეტაპზე დიფერენცირებადია.

ფუნქციის უწყვეტობა, რომელსაც აქვს წარმოებული. თეორემა.

თუ ფუნქცია წ = ვ(x) რაღაც მომენტში დიფერენცირებადია x = x 0, მაშინ ის უწყვეტია ამ ეტაპზე.

ამრიგად, შეწყვეტის წერტილებში ფუნქციას არ შეიძლება ჰქონდეს წარმოებული. საპირისპირო დასკვნა მცდარია, ე.ი. იქიდან, რომ რაღაც მომენტში x = x 0 ფუნქცია წ = ვ(x) არის უწყვეტი, არ გამომდინარეობს, რომ ის ამ ეტაპზე დიფერენცირებადია. მაგალითად, ფუნქცია წ = |x| უწყვეტი ყველასთვის x(–Ґ x x = 0-ს არ აქვს წარმოებული. ამ ეტაპზე გრაფიკზე ტანგენსი არ არსებობს. არის მარჯვენა და მარცხენა ტანგენსი, მაგრამ ისინი ერთმანეთს არ ემთხვევა.

ზოგიერთი თეორემა დიფერენცირებადი ფუნქციების შესახებ. თეორემა წარმოებულის ფესვებზე (როლის თეორემა).თუ ფუნქცია ვ(x) არის უწყვეტი ინტერვალზე [ა,ბ], დიფერენცირებადია ამ სეგმენტის ყველა შიდა წერტილში და ბოლოებში x = ადა x = ბქრება ( ვ(ა) = ვ(ბ) = 0), შემდეგ სეგმენტის შიგნით [ ა,ბ] არის ერთი წერტილი მაინც x= თან, ა c b, რომელშიც წარმოებული ვў( x) ქრება, ე.ი. ვў( გ) = 0.

სასრული ზრდის თეორემა (ლაგრანჟის თეორემა).თუ ფუნქცია ვ(x) არის უწყვეტი ინტერვალზე [ ა, ბ] და დიფერენცირებადია ამ სეგმენტის ყველა შიდა წერტილში, შემდეგ სეგმენტის შიგნით [ ა, ბ] არის ერთი წერტილი მაინც თან, აგ ბ რომ

ვ(ბ) – ვ(ა) = ვў( გ)(ბ– ა).

თეორემა ორი ფუნქციის ნამატების შეფარდების შესახებ (კოშის თეორემა).Თუ ვ(x) და გ(x) არის ორი უწყვეტი ფუნქცია სეგმენტზე [ა, ბ] და დიფერენცირებადია ამ სეგმენტის ყველა შიდა წერტილში და გў( x) არ ქრება არსად ამ სეგმენტის შიგნით, შემდეგ სეგმენტის შიგნით [ ა, ბ] არის ასეთი წერტილი x = თან, აგ ბ რომ

სხვადასხვა შეკვეთის წარმოებულები.

დაუშვით ფუნქცია წ =ვ(x) დიფერენცირებადია გარკვეული ინტერვალით [ ა, ბ]. წარმოებული მნიშვნელობები ვ ў( x), ზოგადად რომ ვთქვათ, დამოკიდებულია x, ე.ი. წარმოებული ვ ў( x) ასევე ფუნქციაა x. ამ ფუნქციის დიფერენცირებისას მიიღება ფუნქციის ე.წ. მეორე წარმოებული ვ(x), რომელიც აღინიშნება ვ ўў ( x).

წარმოებული n-ფუნქციის თანმიმდევრობა ვ(x) წარმოებულის (პირველი რიგის) წარმოებულს უწოდებენ n- 1- th და აღინიშნება სიმბოლოთი წ(ნ) = (წ(ნ– 1)) •.

სხვადასხვა შეკვეთის დიფერენციალი.

ფუნქციის დიფერენციალი წ = ვ(x), სადაც xარის დამოუკიდებელი ცვლადი, არის დი = ვ ў( x)dx, ზოგიერთი ფუნქცია x, მაგრამ დან xმხოლოდ პირველი ფაქტორი შეიძლება იყოს დამოკიდებული ვ ў( x), ხოლო მეორე ფაქტორი ( dx) არის დამოუკიდებელი ცვლადის ზრდა xდა არ არის დამოკიდებული ამ ცვლადის მნიშვნელობაზე. როგორც დიარის ფუნქცია x, მაშინ ჩვენ შეგვიძლია განვსაზღვროთ ამ ფუნქციის დიფერენციალი. ფუნქციის დიფერენციალურობის დიფერენციალს ამ ფუნქციის მეორე ან მეორე რიგის დიფერენციალი ეწოდება და აღინიშნება დ 2წ:

დ(dx) = დ 2წ = ვ ўў( x)(dx) 2 .

დიფერენციალური n-წესრიგს ეწოდება დიფერენციალის პირველი დიფერენციალი n- 1- შეკვეთა:

d n y = დ(d n–1წ) = ვ(ნ)(x)dx(ნ).

კერძო წარმოებული.

თუ ფუნქცია დამოკიდებულია არა ერთ, არამედ რამდენიმე არგუმენტზე x i(მეიცვლება 1-დან ნ,მე= 1, 2,… ნ),ვ(x 1,x 2,… x n), შემდეგ დიფერენციალურ კალკულუსში შემოდის ნაწილობრივი წარმოებულის კონცეფცია, რომელიც ახასიათებს რამდენიმე ცვლადის ფუნქციის ცვლილების სიჩქარეს, როდესაც იცვლება მხოლოდ ერთი არგუმენტი, მაგალითად, x i. 1-ლი რიგის ნაწილობრივი წარმოებულის მიმართ x iგანისაზღვრება, როგორც ჩვეულებრივი წარმოებული, ვარაუდობენ, რომ ყველა არგუმენტი გარდა x i, შეინარჩუნეთ მუდმივი მნიშვნელობები. ნაწილობრივი წარმოებულებისთვის, ჩვენ შემოგთავაზებთ აღნიშვნას

ამ გზით განსაზღვრულ 1-ლი რიგის ნაწილობრივ წარმოებულებს (როგორც იგივე არგუმენტების ფუნქციებს) შეიძლება, თავის მხრივ, ჰქონდეთ ნაწილობრივი წარმოებულებიც, ეს არის მეორე რიგის ნაწილობრივი წარმოებულები და ა.შ. აღებული სხვადასხვა არგუმენტების მიმართ, ასეთ წარმოებულებს უწოდებენ შერეულს. ერთი და იმავე რიგის უწყვეტი შერეული წარმოებულები არ არიან დამოკიდებული დიფერენციაციის რიგზე და ერთმანეთის ტოლია.

ანა ჩუგაინოვა

წარმოებული ფუნქციებიწერტილს ეწოდება ფუნქციის გაზრდის შეფარდების ზღვარი არგუმენტის ზრდასთან, იმ პირობით, რომ ის ნულისკენ მიისწრაფვის.

წარმოებულის პოვნის ძირითადი წესები

თუ - და - არის დიფერენცირებადი ფუნქციები წერტილში, (ანუ ფუნქციები, რომლებსაც აქვთ წარმოებულები წერტილში), მაშინ:

ძირითადი ფუნქციების წარმოებულების ცხრილი

1. 8.

2. 9.

3. 10.

5. 12.

6. 13.

7.

რთული ფუნქციის დიფერენცირების წესი.თუ და, ე.ი. , სად და აქვს წარმოებულები, მაშინ

პარამეტრულად განსაზღვრული ფუნქციის დიფერენციაცია. მოდით ცვლადის დამოკიდებულება ცვლადზე პარამეტრულად მოცემული იყოს პარამეტრის საშუალებით:

დავალება 3. იპოვეთ მოცემული ფუნქციების წარმოებულები.

1)

გადაწყვეტილება. მე-2 წესის გამოყენებით წარმოებულების ცხრილის წარმოებულებისა და ფორმულების 1 და 2 საპოვნელად, მივიღებთ:

გადაწყვეტილება.მე-4 წესის გამოყენებით წარმოებულების და წარმოებულების ცხრილის 1 და 13 ფორმულების საპოვნელად, მივიღებთ:

.

გადაწყვეტილება.მე-3 წესის გამოყენებით წარმოებულების და წარმოებულების ცხრილის 5 და 11 ფორმულების საპოვნელად, მივიღებთ:

გადაწყვეტილება.თუ ვივარაუდებთ, თუ სად, რთული ფუნქციის წარმოებულის პოვნის ფორმულის მიხედვით, მივიღებთ:

გადაწყვეტილება. გვაქვს: შემდეგ პარამეტრულად მოცემული ფუნქციის წარმოებულის ფორმულის მიხედვით მივიღებთ:

4. უმაღლესი ორდერების წარმოებულები. L'Hopital-ის წესი.

ფუნქციის მეორე რიგის წარმოებულიმისი წარმოებულის წარმოებულს უწოდებენ, ე.ი. . მეორე წარმოებულისთვის გამოიყენება შემდეგი აღნიშვნა: ან, ან.

ფუნქციის პირველი რიგის წარმოებულიეწოდება მისი მე-4 რიგის წარმოებულის წარმოებული. -th რიგის წარმოებულისთვის გამოიყენება შემდეგი აღნიშვნა: ან, ან.

L'Hopital-ის წესი.დაე, ფუნქციები იყოს დიფერენცირებადი წერტილის სამეზობლოში და წარმოებული არ ქრება. თუ ფუნქციები და არის ერთდროულად უსასრულოდ მცირე ან უსასრულოდ დიდი, და არსებობს at-ის თანაფარდობის ზღვარი, მაშინ ასევე არსებობს at-ის შეფარდების ზღვარი. და

.

წესი ასევე მოქმედებს, როდესაც

გაითვალისწინეთ, რომ ზოგიერთ შემთხვევაში, ფორმის გაურკვევლობის გამჟღავნება ან შეიძლება მოითხოვდეს L'Hospital-ის წესის განმეორებით გამოყენებას.

გაურკვევლობების ნახვა და ა.შ. ელემენტარული გარდაქმნები ადვილად მცირდება ფორმის ან.

დავალება 4. იპოვეთ ლიმიტი L'Hopital-ის წესით.

გადაწყვეტილებააქ გვაქვს ფორმის განუსაზღვრელობა, ვინაიდან ზე. მოდით გამოვიყენოთ L'Hospital-ის წესი:

.

L'Hopital-ის წესის გამოყენების შემდეგ კვლავ მივიღეთ ფორმის გაურკვევლობა, რადგან ზე. L'Hopital-ის წესის ხელახლა გამოყენებისას მივიღებთ:

.

5. ფუნქციების კვლევა

ა) მზარდი და კლების ფუნქციები

ფუნქციას ეძახიან იზრდებასეგმენტზე , თუ რომელიმე წერტილისთვის და იმ სეგმენტიდან, სადაც ადგილი აქვს უტოლობას. თუ ფუნქცია უწყვეტია ინტერვალზე და საათზე, მაშინ ის იზრდება ინტერვალზე.

ფუნქციას ეძახიან მცირდებასეგმენტზე , თუ რომელიმე წერტილისთვის და სეგმენტიდან, სადაც ადგილი აქვს უტოლობას. თუ ფუნქცია უწყვეტია ინტერვალზე და at, მაშინ ის მცირდება ინტერვალზე.

თუ ფუნქცია მხოლოდ იზრდება ან მხოლოდ მცირდება მოცემულ ინტერვალზე, მაშინ მას უწოდებენ ერთფეროვანიინტერვალზე.

ბ) ფუნქციის უკიდურესობები

მინიმალური ქულაფუნქციები .

თუ არსებობს - წერტილის მეზობლობა ისეთი, რომ უტოლობა მოქმედებს ამ სამეზობლოში მდებარე ყველა წერტილისთვის, მაშინ წერტილი ეწოდება მაქსიმალური ქულაფუნქციები .

ფუნქციის მაქსიმალურ და მინიმალურ წერტილებს მისი ეწოდება უკიდურესი წერტილები.

წერტილი ე.წ სტაციონარული წერტილითუ არსებობს ან არ არსებობს.

თუ არსებობს სტაციონარული წერტილის -მეზობლობა ისეთი, რომ for და for, მაშინ - არის ფუნქციის მაქსიმალური წერტილი.

თუ არის სტაციონარული წერტილის -მეზობლობა ისეთი, რომ for და for, მაშინ - ფუნქციის მინიმალური წერტილი.

ა) მრუდის მიმართულება. გადახრის წერტილები

ამოზნექილიინტერვალზე , თუ იგი მდებარეობს ფუნქციის გრაფიკზე დახატული ტანგენტის ქვემოთ ამ ინტერვალის ნებისმიერ წერტილში.

ინტერვალზე ფუნქციის გრაფიკის ზემოთ ამოზნექილის საკმარისი პირობა არის უტოლობის შესრულება ნებისმიერი განხილული ინტერვალისთვის.

დიფერენცირებადი ფუნქციის გრაფიკი ეწოდება ამოზნექილი ქვემოთინტერვალზე , თუ იგი მდებარეობს ამ ინტერვალის ნებისმიერ წერტილში ფუნქციის გრაფიკზე გამოსახული ტანგენტის ზემოთ.

ინტერვალზე ფუნქციის გრაფიკის დაღმავალ ამოზნექილობის საკმარისი პირობა არის უტოლობის შესრულება ნებისმიერი განხილული ინტერვალისთვის.

წერტილი, სადაც იცვლება ფუნქციის გრაფიკის ამოზნექილი მიმართულება, ეწოდება დახრის წერტილი.

წერტილი, სადაც ან არ არსებობს, არის დახრის წერტილის აბსციზა, თუ მას აქვს სხვადასხვა ნიშნები მარცხნივ და მარჯვნივ.

დ) ასიმპტოტები

თუ მანძილი ფუნქციის გრაფიკის წერტილიდან გარკვეულ სწორ ხაზამდე ნულისკენ მიისწრაფვის წერტილის საწყისიდან უსასრულო მანძილით, მაშინ სწორი ხაზი ე.წ. ფუნქციის გრაფიკის ასიმპტოტი.

თუ არის ასეთი რიცხვი, მაშინ ხაზი არის ვერტიკალური ასიმპტოტი.

თუ არსებობს საზღვრები , მაშინ ხაზი არის ირიბი (ჰორიზონტალური k=0-ზე) ასიმპტოტი.

ე) ფუნქციის ზოგადი შესწავლა

1. ფუნქციის ფარგლები

2. გრაფიკის გადაკვეთის წერტილები კოორდინატთა ღერძებთან

3. უწყვეტობის, ლუწი/კენტი და პერიოდულობის ფუნქციის გამოკვლევა

4. ფუნქციის ერთფეროვნების ინტერვალები

5. ფუნქციის ექსტრემალური წერტილები

6. ფუნქციის გრაფიკის ამოზნექილობის ინტერვალები და დახრის წერტილები

7. ფუნქციის გრაფიკის ასიმპტოტები

8. ფუნქციის გრაფიკი.

დავალება 5. გამოიკვლიეთ ფუნქცია და დახაზეთ მისი გრაფიკი.

გადაწყვეტილება. 1) ფუნქცია განისაზღვრება მთელ რიცხვთა ღერძზე, გარდა იმ წერტილისა, სადაც წილადის მნიშვნელი ქრება. . გვაქვს: არ ეკუთვნის ამ ფუნქციის ფარგლებს. ამრიგად, ამ ფუნქციის სტაციონარული წერტილები არის წერტილები, მინიმალური მნიშვნელობა (როგორც ნაჩვენებია სურათზე).

გეომეტრიული მნიშვნელობის შესახებ ბევრი თეორია დაიწერა. მე არ შევალ ფუნქციის ნამატის დერივაციაში, შეგახსენებთ დავალებების შესრულების მთავარს:

წარმოებული x წერტილში უდრის ამ წერტილში y = f (x) ფუნქციის გრაფიკზე ტანგენსის დახრილობას, ანუ ის არის X ღერძის დახრის კუთხის ტანგენსი.

მოდით დაუყოვნებლივ ავიღოთ დავალება გამოცდიდან და დავიწყოთ მისი გაგება:

დავალება ნომერი 1. ფიგურა აჩვენებსფუნქციის გრაფიკი y = f(x) და მასზე ტანგენსი x0 აბსცისის წერტილში. იპოვეთ f(x) ფუნქციის წარმოებულის მნიშვნელობა x0 წერტილში.
ვინც ჩქარობს და არ სურს განმარტებების გაგება:ააშენეთ ნებისმიერი ასეთი სამკუთხედი (როგორც ნაჩვენებია ქვემოთ) და გაყავით მდგომი მხარე (ვერტიკალური) მწოლიარეზე (ჰორიზონტალური) და ბედნიერი იქნებით, თუ არ დაივიწყებთ ნიშანს (თუ ხაზი შემცირდება (→ ↓), მაშინ პასუხი უნდა იყოს მინუსით, თუ ხაზი იზრდება (→), მაშინ პასუხი დადებითი უნდა იყოს!)

თქვენ უნდა იპოვოთ კუთხე ტანგენტსა და X ღერძს შორის, მოდით ვუწოდოთ მას α: გავავლოთ სწორი ხაზი X ღერძის პარალელურად ნებისმიერ ადგილას გრაფიკის ტანგენსზე, მივიღებთ იგივე კუთხეს.

უმჯობესია არ ავიღოთ წერტილი x0, რადგან ზუსტი კოორდინატების დასადგენად დაგჭირდებათ დიდი გამადიდებელი შუშა.

ნებისმიერი მართკუთხა სამკუთხედის აღებით (სურათზე შემოთავაზებულია 3 ვარიანტი), ვპოულობთ tgα (კუთხეები ტოლია, როგორც შესაბამისი), ე.ი. ვიღებთ f(x) ფუნქციის წარმოებულს x0 წერტილში. Რატომ ასე?

თუ ტანგენსებს დავხატავთ სხვა წერტილებზე x2, x1 და ა.შ. ტანგენტები განსხვავებული იქნება.

დავუბრუნდეთ მე-7 კლასს სწორი ხაზის ასაშენებლად!

სწორი ხაზის განტოლება მოცემულია y = kx + b განტოლებით, სადაც

k - დახრილობა X ღერძის მიმართ.

b არის მანძილი Y-ღერძთან გადაკვეთის წერტილსა და საწყისს შორის.

სწორი ხაზის წარმოებული ყოველთვის ერთი და იგივეა: y" = k.

ხაზის რომელ წერტილშიც არ უნდა ავიღოთ წარმოებული, ის უცვლელი იქნება.

მაშასადამე, რჩება მხოლოდ tgα-ს პოვნა (როგორც ზემოთ აღინიშნა: მდგარ მხარეს ვყოფთ მწოლიარე მხარეს). ჩვენ ვყოფთ საპირისპირო ფეხს მიმდებარეზე, ვიღებთ, რომ k \u003d 0.5. თუმცა, თუ გრაფიკი მცირდება, კოეფიციენტი უარყოფითია: k = −0,5.

გირჩევთ შეამოწმოთ მეორე გზა:
ორი წერტილი შეიძლება გამოყენებულ იქნას სწორი ხაზის დასადგენად. იპოვეთ ნებისმიერი ორი წერტილის კოორდინატები. მაგალითად, (-2;-2) და (2;-4):

შეცვალეთ განტოლებაში y = kx + b ნაცვლად y და x წერტილების კოორდინატები:

-2 = -2k + b

ამ სისტემის ამოხსნისას მივიღებთ b = −3, k = −0,5

დასკვნა: მეორე მეთოდი უფრო გრძელია, მაგრამ მასში არ დაივიწყებთ ნიშანს.

პასუხი: - 0.5

დავალება ნომერი 2. ფიგურა აჩვენებს წარმოებული გრაფიკიფუნქციები f(x). x ღერძზე მონიშნულია რვა წერტილი: x1, x2, x3, ..., x8. ამ წერტილებიდან რამდენი დევს f(x) ფუნქციის გაზრდის ინტერვალებზე?

თუ ფუნქციის გრაფიკი მცირდება - წარმოებული უარყოფითია (და პირიქით).

თუ ფუნქციის გრაფიკი იზრდება, წარმოებული დადებითია (და პირიქით).

ეს ორი ფრაზა დაგეხმარებათ პრობლემების უმეტესობის გადაჭრაში.

დააკვირდით ყურადღებით წარმოებულის ან ფუნქციის ნახატი მოგეცემათ და შემდეგ აირჩიეთ ორი ფრაზიდან ერთი.

ჩვენ ვაშენებთ ფუნქციის სქემატურ გრაფიკს. იმიტომ რომ გვეძლევა წარმოებულის გრაფიკი, იქ სადაც უარყოფითია, ფუნქციის გრაფიკი მცირდება, სადაც დადებითია, იზრდება!

გამოდის, რომ 3 ქულა დევს ზრდის არეებზე: x4; x5; x6.

პასუხი: 3

დავალება ნომერი 3. ფუნქცია f(x) განისაზღვრება ინტერვალზე (-6; 4). სურათზე ჩანს მისი წარმოებულის გრაფიკი. იპოვეთ იმ წერტილის აბსცისა, სადაც ფუნქცია იღებს უდიდეს მნიშვნელობას.

გირჩევთ, ყოველთვის ააწყოთ, თუ როგორ მიდის ფუნქციის გრაფიკი, ასეთი ისრებით ან სქემატურად ნიშნებით (როგორც No4 და No5):

ცხადია, თუ გრაფიკი გაიზრდება -2-მდე, მაშინ მაქსიმალური წერტილი არის -2.

პასუხი: -2

დავალება ნომერი 4. ნახატზე ნაჩვენებია f(x) ფუნქციის გრაფიკი და x-ღერძზე თორმეტი წერტილი: x1, x2, ..., x12. ამ წერტილებიდან რამდენზეა ფუნქციის წარმოებული უარყოფითი?

დავალება შებრუნებულია, ფუნქციის გრაფიკის გათვალისწინებით, თქვენ უნდა ააგოთ სქემატურად როგორი იქნება ფუნქციის წარმოებულის გრაფიკი და გამოთვალოთ რამდენი წერტილი იქნება უარყოფით დიაპაზონში.

დადებითი: x1, x6, x7, x12.

უარყოფითი: x2, x3, x4, x5, x9, x10, x11.

პასუხი: 7

სხვა ტიპის დავალება, როცა ეკითხებიან რაღაც საშინელ „ექსტრემებს“? არ გაგიჭირდება იმის პოვნა, თუ რა არის, მაგრამ მე ავხსნი გრაფიკებს.

დავალება ნომერი 5. ნახატზე ნაჩვენებია f(x) ფუნქციის წარმოებულის გრაფიკი, რომელიც განსაზღვრულია (-16; 6) ინტერვალზე. იპოვეთ f(x) ფუნქციის უკიდურესი წერტილების რაოდენობა სეგმენტზე [-11; 5].

გაითვალისწინეთ დიაპაზონი -11-დან 5-მდე!

მოდით მივაქციოთ ჩვენი კაშკაშა თვალები ფირფიტაზე: მოცემულია ფუნქციის წარმოებულის გრაფიკი => მაშინ უკიდურესები არის X ღერძთან გადაკვეთის წერტილები.

პასუხი: 3

დავალება ნომერი 6. ნახატზე ნაჩვენებია f (x) ფუნქციის წარმოებულის გრაფიკი, რომელიც განსაზღვრულია (-13; 9) ინტერვალზე. იპოვეთ f(x) ფუნქციის მაქსიმალური წერტილების რაოდენობა [-12; 5].

გაითვალისწინეთ დიაპაზონი -12-დან 5-მდე!

თქვენ შეგიძლიათ შეხედოთ ფირფიტას ერთი თვალით, მაქსიმალური წერტილი არის ექსტრემი, ისეთი, რომ მის წინ წარმოებული დადებითია (ფუნქცია იზრდება), ხოლო მის შემდეგ წარმოებული უარყოფითი (ფუნქცია მცირდება). ეს წერტილები შემოხაზულია.

ისრები აჩვენებს, თუ როგორ იქცევა ფუნქციის გრაფიკი.

პასუხი: 3

დავალება ნომერი 7. ნახატზე ნაჩვენებია (-7; 5) ინტერვალზე განსაზღვრული f(x) ფუნქციის გრაფიკი. იპოვეთ წერტილების რაოდენობა, სადაც f(x) ფუნქციის წარმოებული 0-ის ტოლია.

შეგიძლიათ გადახედოთ ზემოთ მოცემულ ცხრილს (წარმოებული არის ნული, რაც ნიშნავს, რომ ეს არის ექსტრემალური წერტილები). და ამ პრობლემაში მოცემულია ფუნქციის გრაფიკი, რაც ნიშნავს, რომ თქვენ უნდა იპოვოთ გადახრის წერტილების რაოდენობა!

და თქვენ შეგიძლიათ, როგორც ყოველთვის: ჩვენ ვაშენებთ წარმოებულის სქემატურ გრაფიკს.

წარმოებული არის ნული, როდესაც ფუნქციების გრაფიკი იცვლის მიმართულებას (გაზრდიდან კლებამდე და პირიქით)

პასუხი: 8

დავალება ნომერი 8. სურათზე ჩანს წარმოებული გრაფიკი(-2; 10) ინტერვალზე განსაზღვრული f(x) ფუნქცია. იპოვეთ ფუნქციის გაზრდის ინტერვალები f(x). თქვენს პასუხში მიუთითეთ ამ ინტერვალებში შემავალი მთელი ქულების ჯამი.

მოდით ავაშენოთ ფუნქციის სქემატური გრაფიკი:

სადაც ის იზრდება, მივიღებთ 4 მთელ რიცხვს: 4 + 5 + 6 + 7 = 22.

პასუხი: 22

დავალება ნომერი 9. სურათზე ჩანს წარმოებული გრაფიკი(-6; 6) ინტერვალზე განსაზღვრული f(x) ფუნქცია. იპოვეთ f(x) წერტილების რაოდენობა, სადაც ფუნქციის გრაფიკის ტანგენსი პარალელურია ან ემთხვევა წრფეს y = 2x + 13.

ჩვენ გვეძლევა წარმოებულის გრაფიკი! ეს ნიშნავს, რომ ჩვენი ტანგენსი ასევე უნდა "გადაითარგმნოს" წარმოებულში.

ტანგენტის წარმოებული: y" = 2.

ახლა ავაშენოთ ორივე წარმოებული:

ტანგენტები იკვეთება სამ წერტილზე, ამიტომ ჩვენი პასუხია 3.

პასუხი: 3

დავალება ნომერი 10. ნახატზე ნაჩვენებია f (x) ფუნქციის გრაფიკი და მონიშნულია წერტილები -2, 1, 2, 3. ამ წერტილებიდან რომელზეა წარმოებულის მნიშვნელობა ყველაზე მცირე? გთხოვთ, თქვენს პასუხში მიუთითოთ ეს წერტილი.

ამოცანა გარკვეულწილად წააგავს პირველს: წარმოებულის მნიშვნელობის საპოვნელად, თქვენ უნდა ააგოთ ამ გრაფიკის ტანგენსი ერთ წერტილში და იპოვოთ კოეფიციენტი k.

თუ ხაზი მცირდება, კ< 0.

თუ ხაზი იზრდება, k > 0.

მოდით ვიფიქროთ იმაზე, თუ როგორ იმოქმედებს კოეფიციენტის მნიშვნელობა სწორი ხაზის დახრილობაზე:

k = 1 ან k = − 1-ით, გრაფიკი შუაში იქნება x და y ღერძებს შორის.

რაც უფრო ახლოს არის სწორი ხაზი X ღერძთან, მით უფრო უახლოვდება k კოეფიციენტი ნულს.

რაც უფრო ახლოს არის წრფე Y-ღერძთან, მით უფრო უახლოვდება k კოეფიციენტი უსასრულობას.

წერტილში -2 და 1 კ<0, однако в точке 1 прямая убывает "быстрее" больше похоже на ось Y =>სწორედ აქ იქნება წარმოებულის უმცირესი მნიშვნელობა

პასუხი: 1

დავალება ნომერი 11. წრფე არის y = 3x + 9 y = x³ + x² + 2x + 8 ფუნქციის გრაფიკზე tangent. იპოვეთ შეხების წერტილის აბსციზა.

ხაზი იქნება ტანგენსი გრაფიკზე, როდესაც გრაფიკებს აქვთ საერთო წერტილი, როგორც მათი წარმოებულები. გაატოლეთ გრაფიკების და მათი წარმოებულების განტოლებები:

მეორე განტოლების ამოხსნით ვიღებთ 2 ქულას. იმის შესამოწმებლად, რომელია შესაფერისი, ჩვენ ვცვლით თითოეულ x-ს პირველ განტოლებაში. მხოლოდ ერთი გააკეთებს.

საერთოდ არ მინდა კუბური განტოლების ამოხსნა, მაგრამ კვადრატული ტკბილი სულისთვის.

ეს უბრალოდ რა უნდა ჩაწეროთ პასუხად, თუ მიიღებთ ორ "ნორმალურ" პასუხს?

x (x) ორიგინალ გრაფიკებში y \u003d 3x + 9 და y \u003d x³ + x² + 2x + 8 ჩანაცვლებისას, თქვენ უნდა მიიღოთ იგივე Y.

y= 1³+1²+2×1+8=12

უფლება! ასე რომ x=1 იქნება პასუხი

პასუხი: 1

დავალება ნომერი 12. y = − 5x − 6 წრფე tangentა ax² + 5x − 5 ფუნქციის გრაფიკზე. იპოვნეთ .

ანალოგიურად, ჩვენ ვაიგივებთ ფუნქციებს და მათ წარმოებულებს:

მოდით გადავჭრათ ეს სისტემა a და x ცვლადების მიმართ:

პასუხი: 25

წარმოებულებით დავალება გამოცდის პირველ ნაწილში ერთ-ერთ ყველაზე რთულად ითვლება, თუმცა მცირეოდენი ყურადღების მიქცევით და საკითხის გააზრებით, წარმატებას მიაღწევთ და ამ დავალების შესრულების პროცენტს გაზრდით!

წარმოებულის ნიშნის კავშირის ჩვენება ფუნქციის ერთფეროვნების ბუნებასთან.

გთხოვთ იყოთ უკიდურესად ფრთხილად შემდეგში. ნახეთ, WHAT-ის განრიგი მოგეცემათ! ფუნქცია ან მისი წარმოებული

მოცემულია წარმოებულის გრაფიკი, მაშინ ჩვენ გვაინტერესებს მხოლოდ ფუნქციის ნიშნები და ნულები. ჩვენთვის პრინციპში არც ერთი "კოკლები" და "ღრმულები" არ გვაინტერესებს!

დავალება 1.

ნახატზე ნაჩვენებია ინტერვალზე განსაზღვრული ფუნქციის გრაფიკი. დაადგინეთ მთელი რიცხვი წერტილების რაოდენობა, სადაც ფუნქციის წარმოებული უარყოფითია.

გადაწყვეტილება:

ნახატზე ფერად ხაზგასმულია კლების ფუნქციის სფეროები:

4 მთელი რიცხვი ხვდება კლების ფუნქციის ამ სფეროებში.

დავალება 2.

ნახატზე ნაჩვენებია ინტერვალზე განსაზღვრული ფუნქციის გრაფიკი. იპოვეთ წერტილების რაოდენობა, სადაც ფუნქციის გრაფიკის ტანგენსი პარალელურია ან ემთხვევა წრფეს.

გადაწყვეტილება:

ვინაიდან ფუნქციის გრაფიკის ტანგენსი პარალელურია (ან ემთხვევა) სწორ ხაზს (ან, რომელიც იგივეა, ) რომელსაც აქვს ფერდობზე, ნულის ტოლია, მაშინ ტანგენტს აქვს დახრილობა .

ეს თავის მხრივ ნიშნავს, რომ ტანგენსი ღერძის პარალელურია, რადგან დახრილობა არის ღერძის ტანგენსის დახრილობის კუთხის ტანგენსი.

მაშასადამე, გრაფიკზე ვპოულობთ უკიდურეს წერტილებს (მაქსიმალური და მინიმალური წერტილები), - სწორედ მათში იქნება ღერძის პარალელური ფუნქციები გრაფიკზე ტანგენტი.

ასეთი 4 პუნქტია.

დავალება 3.

ნახატზე ნაჩვენებია ინტერვალზე განსაზღვრული ფუნქციის წარმოებულის გრაფიკი. იპოვეთ წერტილების რაოდენობა, სადაც ფუნქციის გრაფიკის ტანგენსი პარალელურია ან ემთხვევა წრფეს.

გადაწყვეტილება:

ვინაიდან ფუნქციის გრაფიკის ტანგენსი პარალელურია (ან ემთხვევა) სწორ ხაზს, რომელსაც აქვს დახრილობა, მაშინ ტანგენტს აქვს დახრილობა.

ეს თავის მხრივ ნიშნავს იმას, რომ შეხების წერტილებში.

მაშასადამე, ჩვენ ვუყურებთ გრაფიკზე რამდენ წერტილს აქვს ორდინატი ტოლი .

როგორც ხედავთ, ოთხი ასეთი პუნქტია.

დავალება 4.

ნახატზე ნაჩვენებია ინტერვალზე განსაზღვრული ფუნქციის გრაფიკი. იპოვეთ პუნქტების რაოდენობა, სადაც ფუნქციის წარმოებული არის 0.

გადაწყვეტილება:

წარმოებული არის ნული უკიდურეს წერტილებში. ჩვენ გვაქვს 4 მათგანი:

დავალება 5.

ნახატზე ნაჩვენებია ფუნქციის გრაფიკი და თერთმეტი წერტილი x-ღერძზე:. ამ წერტილებიდან რამდენზეა ფუნქციის წარმოებული უარყოფითი?

გადაწყვეტილება:

კლებადი ფუნქციის ინტერვალებზე მისი წარმოებული იღებს უარყოფით მნიშვნელობებს. და ფუნქცია მცირდება წერტილებში. ასეთი 4 პუნქტია.

დავალება 6.

ნახატზე ნაჩვენებია ინტერვალზე განსაზღვრული ფუნქციის გრაფიკი. იპოვეთ ფუნქციის უკიდურესი წერტილების ჯამი.

გადაწყვეტილება:

ექსტრემალური წერტილებიარის მაქსიმალური ქულები (-3, -1, 1) და მინიმალური ქულები (-2, 0, 3).

უკიდურესი წერტილების ჯამი: -3-1+1-2+0+3=-2.

დავალება 7.

ნახატზე ნაჩვენებია ინტერვალზე განსაზღვრული ფუნქციის წარმოებულის გრაფიკი. იპოვეთ ფუნქციის გაზრდის ინტერვალები. თქვენს პასუხში მიუთითეთ ამ ინტერვალებში შემავალი მთელი ქულების ჯამი.

გადაწყვეტილება:

ნახაზი ხაზს უსვამს იმ ინტერვალებს, რომლებზეც ფუნქციის წარმოებული არაუარყოფითია.

გაზრდის მცირე ინტერვალზე არ არის მთელი რიცხვი, გაზრდის ინტერვალზე არის ოთხი მთელი რიცხვი: , და .

მათი ჯამი:

დავალება 8.

ნახატზე ნაჩვენებია ინტერვალზე განსაზღვრული ფუნქციის წარმოებულის გრაფიკი. იპოვეთ ფუნქციის გაზრდის ინტერვალები. თქვენს პასუხში ჩაწერეთ მათგან ყველაზე დიდი სიგრძე.

გადაწყვეტილება:

ნახატზე ხაზგასმულია ყველა ის ინტერვალი, რომელზედაც წარმოებული დადებითია, რაც ნიშნავს, რომ თავად ფუნქცია იზრდება ამ ინტერვალებზე.

მათგან ყველაზე დიდის სიგრძე 6-ია.

დავალება 9.

ნახატზე ნაჩვენებია ინტერვალზე განსაზღვრული ფუნქციის წარმოებულის გრაფიკი. სეგმენტის რომელ წერტილში იღებს მას ყველაზე დიდი მნიშვნელობა.

გადაწყვეტილება:

ჩვენ ვუყურებთ, თუ როგორ იქცევა გრაფიკი სეგმენტზე, კერძოდ, ჩვენ გვაინტერესებს მხოლოდ წარმოებული ნიშანი .

წარმოებულის ნიშანი on არის მინუს, რადგან ამ სეგმენტის გრაფიკი ღერძის ქვემოთაა.