ანტიდერივატიული ფუნქცია და განუსაზღვრელი ინტეგრალი

ფაქტი 1. ინტეგრაცია არის დიფერენციაციის საპირისპირო, კერძოდ, ფუნქციის აღდგენა ამ ფუნქციის ცნობილი წარმოებულიდან. ფუნქცია აღდგენილია ამ გზით ფ(x) ეწოდება პრიმიტიულიფუნქციისთვის ვ(x).

განმარტება 1. ფუნქცია ფ(x ვ(x) გარკვეული ინტერვალით X, თუ ყველა მნიშვნელობისთვის xამ ინტერვალიდან თანასწორობა ფ "(x)=ვ(x), ანუ ეს ფუნქცია ვ(x) არის ანტიდერივატიული ფუნქციის წარმოებული ფ(x). .

მაგალითად, ფუნქცია ფ(x) = ცოდვა x არის ფუნქციის ანტიდერივატი ვ(x) = cos x მთელ რიცხვთა წრფეზე, ვინაიდან x-ის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის (ცოდვა x)" = (კოს x) .

განმარტება 2. ფუნქციის განუსაზღვრელი ინტეგრალი ვ(x) არის მისი ყველა ანტიდერივატივის კოლექცია. ეს იყენებს აღნიშვნას

∫

ვ(x)dx

,

სად არის ნიშანი ∫ ეწოდება ინტეგრალური ნიშანი, ფუნქცია ვ(x) არის ინტეგრანტი და ვ(x)dx არის ინტეგრანტი.

ამრიგად, თუ ფ(x) არის გარკვეული ანტიდერივატი ვ(x), მაშინ

∫

ვ(x)dx = ფ(x) +C

სადაც C - თვითნებური მუდმივი (მუდმივი).

ფუნქციის ანტიწარმოებულთა სიმრავლის, როგორც განუსაზღვრელი ინტეგრალის მნიშვნელობის გასაგებად, შესაბამისია შემდეგი ანალოგი. იყოს კარი (ტრადიციული ხის კარი). მისი ფუნქციაა „იყოს კარი“. რისგან არის დამზადებული კარი? ხიდან. ეს ნიშნავს, რომ ინტეგრანტის ანტიწარმოებულთა სიმრავლე "to be კარი", ანუ მისი განუსაზღვრელი ინტეგრალი, არის ფუნქცია "to be ხე + C", სადაც C არის მუდმივი, რომელიც ამ კონტექსტში შეიძლება აღინიშნოს, მაგალითად, ხის სახეობა. ისევე როგორც კარი მზადდება ხისგან ზოგიერთი ხელსაწყოებით, ფუნქციის წარმოებული არის "დამზადებული" ანტიდერივატიული ფუნქციისგან. ფორმულა, რომელიც წარმოებულის შესწავლით ვისწავლეთ .

შემდეგ ჩვეულებრივი ობიექტების ფუნქციების ცხრილი და მათი შესაბამისი პრიმიტივები („იყო კარი“ - „ხე იყოს“, „კოვზი იყოს“ - „მეტალი იყოს“ და ა.შ.) ცხრილის მსგავსია. ძირითადი განუსაზღვრელი ინტეგრალები, რომლებიც ქვემოთ იქნება მოცემული. განუსაზღვრელი ინტეგრალების ცხრილი ჩამოთვლის საერთო ფუნქციებს, სადაც მითითებულია ანტიწარმოებულები, საიდანაც ეს ფუნქციები "დამზადებულია". განუსაზღვრელი ინტეგრალის პოვნის ამოცანების ფარგლებში მოცემულია ისეთი ინტეგრანდები, რომელთა ინტეგრირება შესაძლებელია უშუალოდ განსაკუთრებული ძალისხმევის გარეშე, ანუ განუსაზღვრელი ინტეგრალების ცხრილის მიხედვით. უფრო რთულ ამოცანებში ინტეგრადი ჯერ უნდა გარდაიქმნას ისე, რომ ტაბულური ინტეგრალები იყოს გამოყენებული.

ფაქტი 2. ფუნქციის, როგორც ანტიწარმოებულის აღდგენისას, უნდა გავითვალისწინოთ თვითნებური მუდმივი (მუდმივი) Cდა იმისათვის, რომ არ დაწეროთ ანტიწარმოებულების სია სხვადასხვა მუდმივებით 1-დან უსასრულობამდე, თქვენ უნდა ჩაწეროთ ანტიწარმოებულების ნაკრები თვითნებური მუდმივით. C, ასე: 5 x³+C. ასე რომ, თვითნებური მუდმივი (მუდმივი) შედის ანტიწარმოებულის გამოხატულებაში, რადგან ანტიწარმოებული შეიძლება იყოს ფუნქცია, მაგალითად, 5. x³+4 ან 5 x³+3 და 4 ან 3-ის ან რომელიმე სხვა მუდმივის დიფერენცირებისას ქრება.

ჩვენ ვაყენებთ ინტეგრაციის პრობლემას: მოცემული ფუნქციისთვის ვ(x) იპოვნეთ ასეთი ფუნქცია ფ(x), რომლის წარმოებულიუდრის ვ(x).

მაგალითი 1იპოვეთ ფუნქციის ანტიწარმოებულთა სიმრავლე

გადაწყვეტილება. ამ ფუნქციისთვის ანტიდერივატი არის ფუნქცია

ფუნქცია ფ(x) ფუნქციისთვის ანტიდერივატი ეწოდება ვ(x) თუ წარმოებული ფ(x) უდრის ვ(x), ან, რაც იგივეა, დიფერენციალი ფ(x) უდრის ვ(x) dx, ე.ი.

(2)

მაშასადამე, ფუნქცია ფუნქციის ანტიდერივატიულია. თუმცა, ეს არ არის ერთადერთი ანტიდერივატი . ისინი ასევე ფუნქციებია

სადაც თანარის თვითნებური მუდმივი. ეს შეიძლება დადასტურდეს დიფერენციაციის გზით.

ამრიგად, თუ ფუნქციისთვის არის ერთი ანტიწარმოებული, მაშინ მისთვის არის ანტიწარმოებულების უსასრულო ნაკრები, რომლებიც განსხვავდება მუდმივი ჯამით. ფუნქციის ყველა ანტიდერივატი იწერება ზემოთ მოყვანილი ფორმით. ეს გამომდინარეობს შემდეგი თეორემიდან.

თეორემა (ფაქტის ფორმალური განცხადება 2).Თუ ფ(x) არის ფუნქციის ანტიდერივატი ვ(x) გარკვეული ინტერვალით X, შემდეგ ნებისმიერი სხვა ანტიდერივატი ვ(x) იმავე ინტერვალზე შეიძლება იყოს წარმოდგენილი როგორც ფ(x) + C, სად თანარის თვითნებური მუდმივი.

შემდეგ მაგალითში ჩვენ უკვე მივმართავთ ინტეგრალების ცხრილს, რომელიც მოცემულია მე-3 პუნქტში, განუსაზღვრელი ინტეგრალის თვისებების შემდეგ. ჩვენ ამას ვაკეთებთ სანამ გავეცნობით მთელ ცხრილს, რათა ზემოაღნიშნულის არსი ნათელი იყოს. და ცხრილისა და თვისებების შემდეგ, ჩვენ მათ მთლიანობაში გამოვიყენებთ ინტეგრირებისას.

მაგალითი 2იპოვნეთ ანტიდერივატების ნაკრები:

გადაწყვეტილება. ჩვენ ვპოულობთ ანტიდერივატიული ფუნქციების ერთობლიობას, საიდანაც ეს ფუნქციები "შექმნილია". ინტეგრალების ცხრილიდან ფორმულების ხსენებისას, ჯერ-ჯერობით, უბრალოდ მიიღეთ, რომ არსებობს ასეთი ფორმულები და განუსაზღვრელი ინტეგრალების ცხრილს სრულად შევისწავლით ცოტა შემდგომ.

1) ფორმულის (7) გამოყენება ინტეგრალების ცხრილიდან ნ= 3, ვიღებთ

2) ფორმულის (10) გამოყენებით ინტეგრალების ცხრილიდან ნ= 1/3, გვაქვს

3) მას შემდეგ, რაც

შემდეგ ფორმულის მიხედვით (7) at ნ= -1/4 პოვნა

ინტეგრალური ნიშნის ქვეშ ისინი თავად ფუნქციას არ წერენ ვდა მისი პროდუქტი დიფერენციალურად dx. ეს კეთდება პირველ რიგში იმისთვის, რომ მიუთითოთ რომელი ცვლადის მოძიება ხდება ანტიწარმოებულში. Მაგალითად,

, ;

აქ ორივე შემთხვევაში ინტეგრანი უდრის , მაგრამ მისი განუსაზღვრელი ინტეგრალები განხილულ შემთხვევებში განსხვავებული აღმოჩნდება. პირველ შემთხვევაში ეს ფუნქცია განიხილება, როგორც ცვლადის ფუნქცია x, ხოლო მეორეში - როგორც ფუნქცია ზ .

ფუნქციის განუსაზღვრელი ინტეგრალის პოვნის პროცესს ამ ფუნქციის ინტეგრირება ეწოდება.

განუსაზღვრელი ინტეგრალის გეომეტრიული მნიშვნელობა

დაე, საჭირო გახდეს მრუდის პოვნა y=F(x)და ჩვენ უკვე ვიცით, რომ ტანგენსის დახრილობის ტანგენსი მის თითოეულ წერტილში არის მოცემული ფუნქცია f(x)ამ პუნქტის აბსციზა.

წარმოებულის გეომეტრიული მნიშვნელობის მიხედვით, ტანგენსის დახრილობის ტანგენსი მრუდის მოცემულ წერტილში y=F(x)წარმოებულის მნიშვნელობის ტოლია F" (x). ასე რომ, ჩვენ უნდა ვიპოვოთ ასეთი ფუნქცია F(x), რისთვისაც F"(x)=f(x). ამოცანაში საჭირო ფუნქცია F(x)მომდინარეობს f(x). პრობლემის პირობას აკმაყოფილებს არა ერთი მრუდი, არამედ მრუდის ოჯახი. y=F(x)- ამ მრუდის ერთ-ერთი და ნებისმიერი სხვა მრუდის მიღება შესაძლებელია მისგან ღერძის გასწვრივ პარალელური გადაყვანით ოი.

დავარქვათ ანტიწარმოებული ფუნქციის გრაფიკი f(x)ინტეგრალური მრუდი. Თუ F"(x)=f(x), შემდეგ ფუნქციის გრაფიკი y=F(x)არის განუყოფელი მრუდი.

ფაქტი 3. განუსაზღვრელი ინტეგრალი გეომეტრიულად წარმოდგენილია ყველა ინტეგრალური მრუდის ოჯახით როგორც ქვემოთ მოცემულ სურათზე. თითოეული მრუდის მანძილი საწყისიდან განისაზღვრება ინტეგრაციის თვითნებური მუდმივით (მუდმივი). C.

განუსაზღვრელი ინტეგრალის თვისებები

ფაქტი 4. თეორემა 1. განუსაზღვრელი ინტეგრალის წარმოებული ინტეგრადის ტოლია, ხოლო მისი დიფერენციალი ინტეგრადის ტოლია.

ფაქტი 5. თეორემა 2. ფუნქციის დიფერენციალური განუსაზღვრელი ინტეგრალი ვ(x) ფუნქციის ტოლია ვ(x) მუდმივ ვადამდე , ე.ი.

(3)

1 და 2 თეორემები აჩვენებს, რომ დიფერენციაცია და ინტეგრაცია ურთიერთშებრუნებული ოპერაციებია.

ფაქტი 6. თეორემა 3. ინტეგრალის მუდმივი კოეფიციენტი შეიძლება ამოღებულ იქნას განუსაზღვრელი ინტეგრალის ნიშნიდან. , ე.ი.

დიფერენციალურ გამოთვლებში პრობლემა მოგვარებულია: მოცემული ƒ(x) ფუნქციით იპოვეთ მისი წარმოებული(ან დიფერენციალური). ინტეგრალური გამოთვლა ხსნის შებრუნებულ პრობლემას: ვიპოვოთ F (x) ფუნქცია, იცოდეთ მისი წარმოებული F "(x) \u003d ƒ (x) (ან დიფერენციალი). სასურველ F ფუნქციას (x) ეწოდება ფუნქციის ანტიდერივატი. ƒ (x).

ფუნქცია F(x) ეწოდება პრიმიტიულიფუნქცია ƒ(x) ინტერვალზე (a; b), თუ რომელიმე x є (a; b) ტოლობა

F "(x)=ƒ(x) (ან dF(x)=ƒ(x)dx).

მაგალითად, ანტიწარმოებული ფუნქცია y \u003d x 2, x є R, არის ფუნქცია, ვინაიდან

ცხადია, ანტიდერივატები ასევე იქნება ნებისმიერი ფუნქცია

სადაც C არის მუდმივი, რადგან

თეორემა 29. 1. თუ ფუნქცია F(x) არის ƒ(x) ფუნქციის ანტიწარმოებული (a;b), მაშინ ყველა ანტიწარმოებულის სიმრავლე ƒ(x)-ისთვის მოცემულია F(x)+ ფორმულით. C, სადაც C არის მუდმივი რიცხვი.

▲ ფუნქცია F(x)+C არის ƒ(x) ანტიწარმოებული.

მართლაც, (F(x)+C) "=F" (x)=ƒ(x).

დაე, F(x) იყოს სხვა, განსხვავებული F(x-ისგან), ანტიწარმოებული ფუნქცია ƒ(x), ანუ Ф "(x)=ƒ(x). შემდეგ ნებისმიერი x є (a; b) გვაქვს

და ეს ნიშნავს (იხ. დასკვნა 25.1) რომ

სადაც C არის მუდმივი რიცხვი. ამიტომ, Ф(х)=F(x)+С.▼

ყველა პრიმიტიული ფუნქციის სიმრავლე F(x)+C ƒ(x)-ისთვის ეწოდება ƒ(x) ფუნქციის განუსაზღვრელი ინტეგრალიდა აღინიშნება ∫ ƒ(x) dx სიმბოლოთი.

ასე რომ, განსაზღვრებით

∫ ƒ(x)dx= F(x)+C.

აქ ƒ(x) ეწოდება ინტეგრანდ, ƒ(x)dx — ინტეგრანდ, X - ინტეგრაციის ცვლადი, ∫ -განუსაზღვრელი ინტეგრალური ნიშანი.

ფუნქციის განუსაზღვრელი ინტეგრალის პოვნის ოპერაციას ამ ფუნქციის ინტეგრაცია ეწოდება.

გეომეტრიულად განუსაზღვრელი ინტეგრალი არის "პარალელური" მრუდების ოჯახი y \u003d F (x) + C (C-ის თითოეული რიცხვითი მნიშვნელობა შეესაბამება ოჯახის გარკვეულ მრუდს) (იხ. სურ. 166). თითოეული ანტიწარმოებულის (მრუდის) გრაფიკი ე.წ ინტეგრალური მრუდი.

აქვს თუ არა ყველა ფუნქციას განუსაზღვრელი ინტეგრალი?

არსებობს თეორემა, რომელიც ამბობს, რომ „ყოველ უწყვეტ ფუნქციას (a;b)-ზე აქვს ანტიწარმოებული ამ ინტერვალზე“ და, შესაბამისად, განუსაზღვრელი ინტეგრალი.

ჩვენ აღვნიშნავთ განუსაზღვრელი ინტეგრალის მთელ რიგ თვისებებს, რომლებიც გამომდინარეობს მისი განმარტებიდან.

1. განუსაზღვრელი ინტეგრალის დიფერენციალი ინტეგრადის ტოლია, ხოლო განუსაზღვრელი ინტეგრალის წარმოებული ტოლია ინტეგრადის:

დ(∫ ƒ(x)dx)=ƒ(x)dх, (∫ ƒ(x)dx) "=ƒ(x).

მართლაც, d (∫ ƒ (x) dx) \u003d d (F (x) + C) \u003d dF (x) + d (C) \u003d F "(x) dx \u003d ƒ (x) dx

(∫ ƒ (x) dx) "=(F(x)+C)"=F"(x)+0 =ƒ(x).

ამ თვისების წყალობით, ინტეგრაციის სისწორე მოწმდება დიფერენციაციის გზით. მაგალითად, თანასწორობა

∫(3x 2 + 4) dx=x h + 4x+C

მართალია, რადგან (x 3 + 4x + C) "= 3x 2 +4.

2. ზოგიერთი ფუნქციის დიფერენციალური განუსაზღვრელი ინტეგრალი უდრის ამ ფუნქციისა და თვითნებური მუდმივის ჯამს:

∫dF(x)=F(x)+C.

მართლაც,

3. მუდმივი ფაქტორი შეიძლება ამოღებულ იქნას ინტეგრალური ნიშნიდან:

α ≠ 0 არის მუდმივი.

მართლაც,

(დააყენეთ C 1 / a \u003d C.)

4. უწყვეტი რაოდენობის უწყვეტი ფუნქციების ალგებრული ჯამის განუსაზღვრელი ინტეგრალი ტოლია ფუნქციების წევრთა ინტეგრალების ალგებრული ჯამის:

მოდით F"(x)=ƒ(x) და G"(x)=g(x). მერე

სადაც C 1 ± C 2 \u003d C.

5. (ინტეგრაციის ფორმულის ინვარიანტობა).

Თუ , სადაც u=φ(x) არის თვითნებური ფუნქცია, რომელსაც აქვს უწყვეტი წარმოებული.

▲ მოდით x იყოს დამოუკიდებელი ცვლადი, ƒ(x) უწყვეტი ფუნქცია და F(x) მისი ანტიწარმოებული. მერე

მოდით დავაყენოთ u=φ(x), სადაც φ(x) არის განუწყვეტლივ დიფერენცირებადი ფუნქცია. განვიხილოთ რთული ფუნქცია F(u)=F(φ(x)). ფუნქციის პირველი დიფერენციალური ფორმის უცვლელობის გამო (იხ. გვ. 160) გვაქვს

აქედან ▼

ამრიგად, განუსაზღვრელი ინტეგრალის ფორმულა ძალაში რჩება, მიუხედავად იმისა, არის თუ არა ინტეგრაციის ცვლადი დამოუკიდებელი ცვლადი თუ მისი რომელიმე ფუნქცია, რომელსაც აქვს უწყვეტი წარმოებული.

ასე რომ, ფორმულიდან x-ით u (u=φ(x)) ჩანაცვლებით ვიღებთ

Კერძოდ,

მაგალითი 29.1.იპოვნეთ ინტეგრალი

სადაც C \u003d C1 + C 2 + C 3 + C 4.

მაგალითი 29.2.იპოვნეთ ინტეგრალური გადაწყვეტა:

• 29.3. ძირითადი განუსაზღვრელი ინტეგრალების ცხრილი

ისარგებლეთ იმით, რომ ინტეგრაცია არის დიფერენციაციის ინვერსია, შეიძლება მივიღოთ ძირითადი ინტეგრალების ცხრილი დიფერენციალური გამოთვლის შესაბამისი ფორმულების (დიფერენციალთა ცხრილის) შებრუნებით და განუსაზღვრელი ინტეგრალის თვისებების გამოყენებით.

მაგალითად, როგორც

d(sin u)=cos u . du,

ინტეგრაციის ძირითადი მეთოდების განხილვისას მოცემულია ცხრილის რიგი ფორმულების წარმოშობა.

ქვემოთ მოცემულ ცხრილში მოცემულ ინტეგრალებს ტაბულური ინტეგრალები ეწოდება. ისინი ზეპირად უნდა იყოს ცნობილი. ინტეგრალურ გამოთვლებში არ არსებობს მარტივი და უნივერსალური წესები ელემენტარული ფუნქციებიდან ანტიწარმოებულების მოსაძებნად, როგორც დიფერენციალურ გამოთვლებში. ანტიწარმოებულების პოვნის მეთოდები (ანუ ფუნქციის ინტეგრირება) მცირდება ისეთი მეთოდების მითითებამდე, რომლებიც მოცემულ (სასურველ) ინტეგრალს ტაბულურში მოაქვს. ამიტომ აუცილებელია ცხრილის ინტეგრალების ცოდნა და მათი ამოცნობის უნარი.

გაითვალისწინეთ, რომ ძირითადი ინტეგრალების ცხრილში, ინტეგრაციის ცვლადი და შეუძლია აღნიშნოს როგორც დამოუკიდებელი ცვლადი, ასევე დამოუკიდებელი ცვლადის ფუნქცია (ინტეგრაციის ფორმულის უცვლელობის თვისების მიხედვით).

ქვემოთ მოყვანილი ფორმულების მართებულობა შეიძლება დადასტურდეს მარჯვენა მხარეს არსებული დიფერენციალის აღებით, რომელიც ტოლი იქნება ფორმულის მარცხენა მხარეს ინტეგრანდზე.

მოდით დავამტკიცოთ, მაგალითად, ფორმულის 2-ის მართებულობა. ფუნქცია 1/u არის განსაზღვრული და უწყვეტი u-ის ყველა არანულოვანი მნიშვნელობისთვის.

თუ u > 0, მაშინ ln|u|=lnu, მაშინ Ისე

Თუ შენ<0, то ln|u|=ln(-u). Ноნიშნავს

ასე რომ, ფორმულა 2 სწორია. ანალოგიურად, მოდით შევამოწმოთ ფორმულა 15:

ძირითადი ინტეგრალების ცხრილი

Მეგობრები! გეპატიჟებით განხილვაზე. თუ გაქვთ აზრი, მოგვწერეთ კომენტარებში.

დიფერენციალური გამოთვლების მთავარი ამოცანაარის წარმოებულის პოვნა ვ'(x)ან დიფერენციალური df=ვ'(x)dxფუნქციები ვ(x).ინტეგრალურ გამოთვლებში შებრუნებული პრობლემა წყდება. მოცემული ფუნქციის მიხედვით ვ(x) საჭიროა ასეთი ფუნქციის პოვნა F(x),რა F'(x)=ვ(x)ან dF(x)=F'(x)dx=ვ(x)dx.

ამრიგად, ინტეგრალური კალკულუსის მთავარი ამოცანაარის აღდგენის ფუნქცია F(x)ამ ფუნქციის ცნობილი წარმოებული (დიფერენციალი) მიერ. ინტეგრალურ კალკულუსს აქვს მრავალი გამოყენება გეომეტრიაში, მექანიკაში, ფიზიკასა და ტექნოლოგიაში. ის იძლევა ზოგად მეთოდს უბნების, მოცულობების, სიმძიმის ცენტრების და ა.შ.

განმარტება. ფუნქციაF(x), , ეწოდება ფუნქციის ანტიწარმოებულსვ(x) X სიმრავლეზე თუ ის დიფერენცირებადია რომელიმე დაF'(x)=ვ(x) ანdF(x)=ვ(x)dx.

თეორემა. ნებისმიერი უწყვეტი სეგმენტზე [ა;ბ] ფუნქციავ(x) აქვს ანტიდერივატი ამ სეგმენტზეF(x).

თეორემა. ᲗუF 1 (x) დაF 2 (x) არის ერთი და იგივე ფუნქციის ორი განსხვავებული ანტიდერივატივ(x) x სიმრავლეზე, მაშინ ისინი განსხვავდებიან ერთმანეთისგან მუდმივი წევრით, ე.ი.F 2 (x)=F1x)+C, სადაც C არის მუდმივი.

განუსაზღვრელი ინტეგრალი, მისი თვისებები.

განმარტება. ᲐგრეგატიF(x)+C ყველა ანტიდერივატივ(x) X სიმრავლეზე ეწოდება განუსაზღვრელი ინტეგრალი და აღინიშნება:

- (1)

ფორმულაში (1) ვ(x)dxდაურეკა ინტეგრანდ,ვ(x) არის ინტეგრანტი, x არის ინტეგრაციის ცვლადი,ა C არის ინტეგრაციის მუდმივი.

განვიხილოთ განუსაზღვრელი ინტეგრალის თვისებები, რომლებიც გამომდინარეობს მისი განსაზღვრებიდან.

1. განუსაზღვრელი ინტეგრალის წარმოებული ინტეგრადის ტოლია, განუსაზღვრელი ინტეგრალის დიფერენციალი ინტეგრადის ტოლია:

და .

2. ზოგიერთი ფუნქციის დიფერენციალური განუსაზღვრელი ინტეგრალი უდრის ამ ფუნქციისა და თვითნებური მუდმივის ჯამს:

3. მუდმივი ფაქტორი a (a≠0) შეიძლება ამოღებულ იქნას განუსაზღვრელი ინტეგრალის ნიშნიდან:

4. სასრული რაოდენობის ფუნქციების ალგებრული ჯამის განუსაზღვრელი ინტეგრალი ამ ფუნქციების ინტეგრალების ალგებრული ჯამის ტოლია:

5. ᲗუF(x) არის ფუნქციის ანტიდერივატივ(x), შემდეგ:

6 (ინტეგრაციის ფორმულების უცვლელობა). ნებისმიერი ინტეგრაციის ფორმულა ინარჩუნებს თავის ფორმას, თუ ინტეგრაციის ცვლადი ჩანაცვლებულია ამ ცვლადის ნებისმიერი დიფერენცირებადი ფუნქციით:

სადაცu არის დიფერენცირებადი ფუნქცია.

განუსაზღვრელი ინტეგრალების ცხრილი.

მოვიყვანოთ ფუნქციების ინტეგრირების ძირითადი წესები.

მოვიყვანოთ ძირითადი განუსაზღვრელი ინტეგრალების ცხრილი.(გაითვალისწინეთ, რომ აქ, როგორც დიფერენციალურ გამოთვლებში, ასო uშეიძლება ეწოდოს დამოუკიდებელი ცვლადი (u=x)და დამოუკიდებელი ცვლადის ფუნქცია (u=u(x)).)

(n≠-1). (a>0, a≠1). (a≠0). (a≠0). (|უ| > |ა|).(|უ|< |a|).

ინტეგრალები 1 - 17 ეწოდება ცხრილის.

ინტეგრალების ცხრილის ზოგიერთი ზემოაღნიშნული ფორმულა, რომელსაც ანალოგი არ გააჩნია წარმოებულთა ცხრილში, მოწმდება მათი მარჯვენა მხარის დიფერენცირებით.

ცვლადის შეცვლა და ინტეგრაცია განუსაზღვრელ ინტეგრალში ნაწილების მიხედვით.

ინტეგრაცია ჩანაცვლებით (ცვლადის შეცვლა). დაე, საჭირო გახდეს ინტეგრალის გამოთვლა

, რომელიც არ არის ცხრილი. ჩანაცვლების მეთოდის არსი არის ის, რომ ინტეგრალში ცვლადი Xცვლადის შეცვლა ტფორმულის მიხედვით x=φ(უ),სადაც dx=φ'(უ)dt.

თეორემა. დაუშვით ფუნქციაx=φ(t) განსაზღვრულია და დიფერენცირებადია ზოგიერთ T სიმრავლეზე და მოდით X იყოს ამ ფუნქციის მნიშვნელობების სიმრავლე, რომელზედაც განსაზღვრულია ფუნქციავ(x). მაშინ თუ X სიმრავლეზე ფუნქციავ(

ამ სტატიაში დეტალურად არის საუბარი განსაზღვრული ინტეგრალის ძირითად თვისებებზე. ისინი დადასტურებულია რიმანისა და დარბუს ინტეგრალის კონცეფციის გამოყენებით. განსაზღვრული ინტეგრალის გაანგარიშება 5 თვისების წყალობით. დანარჩენი მათგანი გამოიყენება სხვადასხვა გამონათქვამების შესაფასებლად.

განსაზღვრული ინტეგრალის ძირითად თვისებებზე გადასვლამდე აუცილებელია დავრწმუნდეთ, რომ a არ აღემატებოდეს b-ს.

განსაზღვრული ინტეგრალის ძირითადი თვისებები

განმარტება 1

ფუნქცია y \u003d f (x) , განსაზღვრული x \u003d a-სთვის, მსგავსია სამართლიანი ტოლობის ∫ a a f (x) d x \u003d 0.

მტკიცებულება 1

აქედან ჩვენ ვხედავთ, რომ ინტეგრალის მნიშვნელობა დამთხვევის ზღვრებით ნულის ტოლია. ეს არის რიმანის ინტეგრალის შედეგი, რადგან ყოველი ინტეგრალური ჯამი σ ნებისმიერი დანაყოფისთვის ინტერვალზე [a; a ] და ζ i წერტილების ნებისმიერი არჩევანი უდრის ნულს, რადგან x i - x i - 1 = 0 , i = 1 , 2 , . . . , n, მივიღებთ, რომ ინტეგრალური ფუნქციების ზღვარი არის ნული.

განმარტება 2

სეგმენტზე ინტეგრირებადი ფუნქციისთვის [a; b ] , პირობა ∫ a b f (x) d x = - ∫ b a f (x) d x დაკმაყოფილებულია.

მტკიცებულება 2

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თუ თქვენ შეცვლით ინტეგრაციის ზედა და ქვედა ზღვრებს ადგილებზე, მაშინ ინტეგრალის მნიშვნელობა შეცვლის მნიშვნელობას საპირისპიროდ. ეს თვისება აღებულია რიმანის ინტეგრალიდან. თუმცა, სეგმენტის გაყოფის ნუმერაცია იწყება x = b წერტილიდან.

განმარტება 3

∫ a b f x ± g (x) d x = ∫ a b f (x) d x ± ∫ a b g (x) d x გამოიყენება y = f (x) და y = g (x) ტიპის ინტეგრირებადი ფუნქციებისთვის, რომლებიც განსაზღვრულია [ a ; ბ] .

მტკიცებულება 3

ჩაწერეთ y = f (x) ± g (x) ფუნქციის ინტეგრალური ჯამი სეგმენტებად დაყოფისთვის ζ i წერტილების მოცემული არჩევანით: σ = ∑ i = 1 n f ζ i ± g ζ i x i - x i - 1 = = ∑ i = 1 n f (ζ i) x i - x i - 1 ± ∑ i = 1 n g ζ i x i - x i - 1 = σ f ± σ g

სადაც σ f და σ g არის y = f (x) და y = g (x) ფუნქციების ინტეგრალური ჯამები სეგმენტის გასაყოფად. ლიმიტზე გადასვლის შემდეგ λ = m a x i = 1 , 2 , . . . , n (x i - x i - 1) → 0 მივიღებთ, რომ lim λ → 0 σ = lim λ → 0 σ f ± σ g = lim λ → 0 σ g ± lim λ → 0 σ g .

რიმანის განმარტებით, ეს გამოთქმა ექვივალენტურია.

განმარტება 4

მუდმივი ფაქტორის ამოღება განსაზღვრული ინტეგრალის ნიშნიდან. ინტეგრირებადი ფუნქცია ინტერვალიდან [a; b ] k-ის თვითნებური მნიშვნელობით აქვს ∫ a b k · f (x) d x = k · ∫ a b f (x) d x ფორმის სწორი უტოლობა.

მტკიცებულება 4

განსაზღვრული ინტეგრალის თვისების მტკიცებულება წინა მსგავსია:

σ = ∑ i = 1 n k f ζ i (x i - x i - 1) = = k ∑ i = 1 n f ζ i (x i - x i - 1) = k σ f ⇒ lim λ → 0 σ = lim λ → 0 (k σ f) = k lim λ → 0 σ f ⇒ ∫ a b k f (x) d x = k ∫ a b f (x) d x

განმარტება 5

თუ y = f (x) ფორმის ფუნქცია ინტეგრირებადია x ინტერვალზე a ∈ x , b ∈ x , მივიღებთ ∫ a b f (x) d x = ∫ a c f (x) d x + ∫ c b f (x) d x .

მტკიცებულება 5

ქონება ითვლება მოქმედად c ∈ a ; b , c ≤ a და c ≥ b . მტკიცებულება ხორციელდება წინა თვისებების მსგავსად.

განმარტება 6

როდესაც ფუნქციას აქვს უნარი იყოს ინტეგრირებადი სეგმენტიდან [a; b], მაშინ ეს შესაძლებელია ნებისმიერი შიდა სეგმენტისთვის c; d ∈ a; ბ.

მტკიცებულება 6

მტკიცებულება ეფუძნება Darboux თვისებას: თუ ქულები დაემატება სეგმენტის არსებულ დანაყოფს, მაშინ ქვედა Darboux ჯამი არ შემცირდება და ზედა არ გაიზრდება.

განმარტება 7

როდესაც ფუნქცია ინტეგრირებადია [a; b ] f-დან (x) ≥ 0 f (x) ≤ 0 x ∈ a-ს ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის; b , მაშინ მივიღებთ, რომ ∫ a b f (x) d x ≥ 0 ∫ a b f (x) ≤ 0 .

თვისება შეიძლება დადასტურდეს რიმანის ინტეგრალის განმარტებით: ნებისმიერი ინტეგრალური ჯამი სეგმენტის გამყოფი წერტილებისა და ζ i წერტილების ნებისმიერი არჩევანისთვის იმ პირობით, რომ f (x) ≥ 0 f (x) ≤ 0 არაუარყოფითია.

მტკიცებულება 7

თუ y = f (x) და y = g (x) ფუნქციები ინტეგრირებადია სეგმენტზე [a; b ], მაშინ შემდეგი უტოლობა ითვლება მართებულად:

∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b g (x) d x, f (x) ≤ g (x) ∀ x ∈ a ; b ∫ a b f (x) d x ≥ ∫ a b g (x) d x, f (x) ≥ g (x) ∀ x ∈ a ; ბ

მტკიცების წყალობით, ჩვენ ვიცით, რომ ინტეგრაცია დასაშვებია. ეს დასკვნა გამოყენებული იქნება სხვა თვისებების დასადასტურებლად.

განმარტება 8

ინტეგრირებადი ფუნქციისთვის y = f (x) სეგმენტიდან [a; b ] გვაქვს ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x ფორმის სწორი უტოლობა.

მტკიცებულება 8

გვაქვს, რომ - f (x) ≤ f (x) ≤ f (x) . წინა თვისებიდან მივიღეთ, რომ უტოლობა შეიძლება ინტეგრირებული იყოს ტერმინით და იგი შეესაბამება ფორმის უტოლობას - ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x . ეს ორმაგი უტოლობა შეიძლება დაიწეროს სხვა ფორმით: ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x .

განმარტება 9

როდესაც y = f (x) და y = g (x) ფუნქციები ინტეგრირებულია [a; b ] g (x) ≥ 0 ნებისმიერი x ∈ a ; b , ვიღებთ m ∫ a b g (x) d x ≤ ∫ a b f (x) g (x) d x ≤ M ∫ a b g (x) d x , სადაც m = m i n x ∈ a ; b f (x) და M = m a x x ∈ a ; b f (x) .

მტკიცებულება 9

მტკიცებულება კეთდება ანალოგიურად. M და m ითვლება y = f (x) ფუნქციის უდიდეს და უმცირეს მნიშვნელობებად, რომლებიც განსაზღვრულია [a; b ] , მაშინ m ≤ f (x) ≤ M . აუცილებელია ორმაგი უტოლობის გამრავლება y = g (x) ფუნქციით, რომელიც მისცემს ფორმის ორმაგი უტოლობის მნიშვნელობას m g (x) ≤ f (x) g (x) ≤ M g (x) . აუცილებელია მისი ინტეგრირება სეგმენტზე [a; b ], მაშინ ვიღებთ დასამტკიცებელ მტკიცებას.

შედეგი: g (x) = 1-ისთვის უტოლობა ხდება m b - a ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ M (b - a) .

პირველი საშუალო ფორმულა

განმარტება 10

y = f (x) ინტეგრირებადი ინტერვალზე [a; b ] ერთად m = m i n x ∈ a ; b f (x) და M = m a x x ∈ a ; b f (x) არის რიცხვი μ ∈ m ; M , რომელიც შეესაბამება ∫ a b f (x) d x = μ · b - a .

შედეგი: როდესაც ფუნქცია y = f (x) არის უწყვეტი სეგმენტიდან [a; b ] , მაშინ არის ასეთი რიცხვი c ∈ a ; b , რომელიც აკმაყოფილებს ტოლობას ∫ a b f (x) d x = f (c) b - a .

საშუალო მნიშვნელობის პირველი ფორმულა განზოგადებული ფორმით

განმარტება 11

როდესაც y = f (x) და y = g (x) ფუნქციები ინტეგრირებადია [a; b ] ერთად m = m i n x ∈ a ; b f (x) და M = m a x x ∈ a ; b f (x) , და g (x) > 0 x ∈ a-ს ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის; ბ. აქედან გვაქვს, რომ არსებობს μ ∈ m რიცხვი; M , რომელიც აკმაყოფილებს ტოლობას ∫ a b f (x) g (x) d x = μ · ∫ a b g (x) d x .

მეორე საშუალო მნიშვნელობის ფორმულა

განმარტება 12

როდესაც ფუნქცია y = f (x) ინტეგრირებადია [a; b ] , და y = g (x) მონოტონურია, მაშინ არის რიცხვი, რომელიც c ∈ a ; b , სადაც მივიღებთ ∫ a b f (x) g (x) d x = g (a) ∫ a c f (x) d x + g (b) ∫ c b f (x) d x

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

ამ სტატიაში ჩვენ ჩამოვთვლით განსაზღვრული ინტეგრალის ძირითად თვისებებს. ამ თვისებების უმეტესობა დადასტურებულია რიმანისა და დარბუს ცნებების განსაზღვრული ინტეგრალის საფუძველზე.

განსაზღვრული ინტეგრალის გამოთვლა ძალიან ხშირად ხორციელდება პირველი ხუთი თვისების გამოყენებით, ამიტომ საჭიროების შემთხვევაში მათ მივმართავთ. განსაზღვრული ინტეგრალის დარჩენილი თვისებები ძირითადად გამოიყენება სხვადასხვა გამონათქვამების შესაფასებლად.

სანამ გადავიდოდი განსაზღვრული ინტეგრალის ძირითადი თვისებებივეთანხმებით, რომ a არ აღემატება b.

x = a-სთვის განსაზღვრული y = f(x) ფუნქციისთვის, ტოლობა მართალია.

ანუ, განსაზღვრული ინტეგრალის მნიშვნელობა იგივე ინტეგრაციის ლიმიტებით არის ნული. ეს თვისება არის რიმანის ინტეგრალის განსაზღვრის შედეგი, რადგან ამ შემთხვევაში თითოეული ინტეგრალური ჯამი ინტერვალის ნებისმიერი დანაყოფისთვის და ნებისმიერი წერტილის არჩევანი ნულის ტოლია, რადგან, შესაბამისად, ინტეგრალური ჯამების ზღვარი არის ნული.

სეგმენტზე ინტეგრირებული ფუნქციისთვის გვაქვს .

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, როდესაც ინტეგრაციის ზედა და ქვედა ზღვარი შებრუნებულია, განსაზღვრული ინტეგრალის მნიშვნელობა იცვლება. განსაზღვრული ინტეგრალის ეს თვისება ასევე გამომდინარეობს რიმანის ინტეგრალის კონცეფციიდან, მხოლოდ სეგმენტის დანაყოფის ნუმერაცია უნდა დაიწყოს x = b წერტილიდან.

y = f(x) და y = g(x) ფუნქციებისთვის ინტერვალზე ინტეგრირებადი.

მტკიცებულება.

ვწერთ ფუნქციის ინტეგრალურ ჯამს სეგმენტის მოცემული დანაყოფისთვის და პუნქტების მოცემული არჩევანისთვის:

სადაც და არის y = f(x) და y = g(x) ფუნქციების ინტეგრალური ჯამები სეგმენტის მოცემული დანაყოფისთვის, შესაბამისად.

ლიმიტამდე გავლა ზე ჩვენ ვიღებთ, რომ რიმანის ინტეგრალის განმარტებით, უდრის დადასტურებული თვისების მტკიცებას.

მუდმივი ფაქტორი შეიძლება ამოღებულ იქნას განსაზღვრული ინტეგრალის ნიშნიდან. ანუ, y = f(x) და თვითნებური რიცხვის k სეგმენტზე ინტეგრირებული ფუნქციისთვის, ტოლობა .

განსაზღვრული ინტეგრალის ამ თვისების მტკიცებულება აბსოლუტურად მსგავსია წინას:


მოდით ფუნქცია y = f(x) იყოს ინტეგრირებადი X ინტერვალზე და და მერე .

ეს ქონება მოქმედებს ორივესთვის და ან .

მტკიცებულება შეიძლება განხორციელდეს განსაზღვრული ინტეგრალის წინა თვისებების საფუძველზე.

თუ ფუნქცია ინტეგრირებადია სეგმენტზე, მაშინ ის ასევე ინტეგრირებულია ნებისმიერ შიდა სეგმენტზე.

მტკიცებულება ემყარება დარბუს ჯამების თვისებას: თუ სეგმენტის არსებულ დანაყოფს დაემატება ახალი წერტილები, მაშინ ქვედა დარბუს ჯამი არ შემცირდება და ზედა არ გაიზრდება.

თუ ფუნქცია y = f(x) ინტეგრირებადია არგუმენტის ინტერვალზე და ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის, მაშინ .

ეს თვისება დასტურდება რიმანის ინტეგრალის განმარტებით: ნებისმიერი ინტეგრალური ჯამი სეგმენტის გამყოფი წერტილებისა და წერტილების ნებისმიერი არჩევანისთვის იქნება არაუარყოფითი (არა დადებითი).

შედეგი.

y = f(x) და y = g(x) ფუნქციებისთვის, რომლებიც ინტეგრირდება ინტერვალზე, მოქმედებს შემდეგი უტოლობა:


ეს განცხადება ნიშნავს, რომ უთანასწორობების ინტეგრაცია დასაშვებია. ჩვენ გამოვიყენებთ ამ დასკვნას შემდეგი თვისებების დასამტკიცებლად.

დაე, ფუნქცია y = f(x) იყოს ინტეგრირებადი სეგმენტზე, შემდეგ უტოლობა .

მტკიცებულება.

აშკარაა რომ . წინა თვისებაში გავარკვიეთ, რომ უტოლობა შეიძლება იყოს ტერმინის მიხედვით ინტეგრირებული, შესაბამისად, მართალია . ეს ორმაგი უტოლობა შეიძლება დაიწეროს როგორც .

მოდით, y = f(x) და y = g(x) ფუნქციები ინტეგრირებადი იყოს არგუმენტის ინტერვალზე და ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის, მაშინ , სად და .

მტკიცებულება ხორციელდება ანალოგიურად. ვინაიდან m და M არის y = f(x) ფუნქციის უმცირესი და უდიდესი მნიშვნელობები სეგმენტზე, მაშინ . ორმაგი უტოლობის გამრავლება არაუარყოფით ფუნქციაზე y = g(x) მიგვიყვანს შემდეგ ორმაგ უტოლობამდე. მისი ინტეგრირება სეგმენტზე, ჩვენ მივდივართ დასამტკიცებელ მტკიცებამდე.

შედეგი.

თუ ავიღებთ g(x) = 1-ს, მაშინ უტოლობა იღებს ფორმას .

პირველი ფორმულა საშუალოზე.

დაე, ფუნქცია y = f(x) იყოს ინტეგრირებადი სეგმენტზე, და , მაშინ არსებობს ისეთი რიცხვი რომ .

შედეგი.

თუ ფუნქცია y = f(x) უწყვეტია სეგმენტზე, მაშინ არის ისეთი რიცხვი, რომელიც .

საშუალო მნიშვნელობის პირველი ფორმულა განზოგადებული ფორმით.

დაე ფუნქციები y = f(x) და y = g(x) იყოს ინტეგრირებადი ინტერვალზე, და , და g(x) > 0 არგუმენტის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის. მაშინ არის ისეთი რიცხვი, რომ .

მეორე ფორმულა საშუალოზე.

თუ სეგმენტზე ფუნქცია y = f(x) ინტეგრირებადია და y = g(x) არის მონოტონური, მაშინ არსებობს ისეთი რიცხვი, რომელიც ტოლია .